tcm - facultatea de energetica - upb

Upload: simeanu-edward

Post on 30-Oct-2015

109 views

Category:

Documents


3 download

DESCRIPTION

Transfer de caldura si masa

TRANSCRIPT

  • Prof.dr.ing. Adrian Alexandru Badea

    INITIERE IN TRANSFERUL DE CALDURA SI MASA

    2004

  • CUPRINS

    Cap.1 Consideraii generale 1.1. Definiii 1 1.1.1. Cmpul de temperatur... 1 1.1.2. Suprafaa izoterm.. 2 1.1.3. Gradientul de temperatur.. 2 1.1.4. Fluxul termic... 3 1.1.5. Fluxuri termice unitare... 3 1.1.6. Linii i tub de curent. 3 1.2. Analogia electric a transferului de cldur 4 1.3. Modurile fundamentale de transfer al cldurii 4 1.3.1. Conducia termic... 4 1.3.2. Convecia termic.. 5 1.3.3. Radiaia termic. 7 Cap.2 Transferul de cldur prin conducie 2.1. Ecuaiile difereniale ale conduciei termice 9 2.1.1. Ecuaia legii lui Fourier.. 9 2.1.2. Ecuaia general a conduciei termice 9 2.1.3. Condiii de determinare univoc a proceselor

    de conducie

    13 2.1.4. Conductivitatea termic.. 15 2.2. Conducia termic unidirecional n regim constant.. 17 2.2.1. Corpuri cu forme geometrice simple fr surse

    interioare de cldur.

    17 2.2.1.1. Peretele plan.. 17 2.2.1.2. Peretele cilindric. 30 2.2.1.3. Peretele sferic. 36 2.2.2. Corpuri cu forme geometrice simple cu surse

    interioare de cldur uniform distribuite..

    38 2.2.2.1. Peretele plan.. 38 2.2.2.2. Peretele cilindric. 42 2.2.2.3. Perete cilindric tubular 43 2.2.3. Conducia termic prin suprafee extinse... 46 2.2.3.1. Ecuaia general a nervurilor.. 46 2.2.3.2. Nervura cu seciune constant 48 2.2.3.3. Nervura circular 54

  • Iniiere n transferul de cldur i mas viii

    2.2.3.4. Transferul de cldur printr-un perete nervurat.. 58 2.3 Conducia termic bidirecional n regim constant. 61 2.3.1. Metoda separrii variabilelor.. 61 2.3.2. Metoda grafic 65 2.3.3. Metode numerice 71 2.4. Conducia termic n regim tranzitoriu 73 2.4.1. Conducia tranzitorie prin corpuri cu rezistene

    interne neglijabile...

    75 2.4.2. Conducia tranzitorie prin corpuri cu rezistene

    de suprafa neglijabile.

    78 2.4.3. Conducia tranzitorie prin corpuri cu rezistene

    interne i de suprafa finite...

    80 2.4.3.1. Perete plan infinit 80 2.4.3.2. Discretizarea ecuaiei difereniale a conductei

    tranzitorii

    87 Cap.3 Convecia termic 3.1. Introducere n convecia termic.. 91 3.1.1. Elemente fundamentale i definiii. 91 3.1.2. Ecuaiile difereniale ale conveciei 94 3.1.2.1. Ecuaia conduciei.. 94 3.1.2.2. Ecuaia micrii.. 95 3.1.2.3. Ecuaia continuitii 97 3.1.2.4. Condiii de determinare univoc. 98 3.1.3. Factorii care influeneaz transferul de cldur.. 99 3.1.4. Metode de determinare a coeficientului de

    convecie.

    100 3.1.5. Studiul experimental al proceselor de convecie

    termic

    103 3.1.5.1. Bazele teoriei similitudinii.. 104 3.1.5.2. Analiza dimensional.. 106 3.1.5.3. Planificarea experimentului i corelarea datelor

    experimentale..

    111 3.2. Convecia liber... 114 3.2.1. Convecia liber n spaii mari 115 3.2.2. Convecia liber n spaii limitate.. 119 3.3. Convecia forat monofazic exterioar. 122 3.3.1. Convecia forat la curgerea peste o plac 122 3.3.2. Convecia forat la curgerea peste un cilindru.. 126 3.3.3. Transferul de cldur la curgerea forat peste

    un fascicul de evi..

    130 3.4. Convecia forat monofazic la curgerea prin canale. 135 3.4.1. Curgerea prin canale circulare 135 3.4.1.1. Transferul de cldur la curgerea laminar 135 3.4.1.2. Transferul de cldur la curgerea turbulent.. 139

  • Cuprins ix

    3.4.2. Curgerea prin canale necirculare 144 3.4.2.1. Canale inelare. 144 3.4.2.2. Canale rectangulare 146 3.4.2.3. Canale ondulate.. 147 3.5. Transferul de cldur la fierbere.. 150 3.5.1. Clasificarea proceselor de fierbere. 150 3.5.2. Fierberea n volum mare. 151 3.5.2.1. Condiiile amorsrii nucleaiei 151 3.5.2.2. Regimurile fierberii 153 3.5.2.3. Transferul de cldur la fierberea nucleic. 156 3.5 .2.4. Transferul de cldur la fierberea pelicular.. 161 3.5.3. Fierberea cu convecie forat 162 3.5.3.1. Mrimi caracteristice.. 162 3.5.3.2. Structura curgerii bifazice.. 163 3.5.3.3. Transferul de cldur la fierberea cu convecie

    forat.

    167 3.6. Transferul de cldur la condensare. 168 3.6.1. Condensarea pelicular . . . . . . . . . . . . .. . . .. . . 169 3.6.1.1. Transferul de cldur la condensarea pelicular

    cu curgere laminar.

    171 3.6.1.2. Transferul de cldur la condensarea pelicular

    cu curgere turbulent..

    176 3.6.1.3. Influena vitezei vaporilor asupra coeficientului

    de convecie

    177 3.6.1.4. Influena prezenei gazelor necondensabile

    asupra condensrii peliculare..

    178 3.6.1.5. Condensarea pelicular n interiorul evilor... 179 3.6.2. Transferul de cldur la condensarea nucleic... 181 Cap.4 Radiaia termic 4.1. Elemente fundamentale 183 4.1.1. Natura fenomenului 183 4.1.2. Definiii... 184 4.1.3. Legile radiaiei termice... 189 4.1.3.1. Legea lui Planck. 189 4.1.3.2. Legea lui Stefan Boltzmann 191 4.1.3.3. Legea lui Kirchhoff. 194 4.1.3.4. Legea lui Lambert... 195 4.2. Transferul de cldur prin radiaie ntre corpuri separate

    prin medii transparente

    195 4.2.1. Transferul de cldur prin radiaia ntre dou

    suprafee plane paralele..

    195 4.2.2. Transferul de cldur prin radiaie ntre dou

    corpuri oarecare..

    198 4.3. Radiaia gazelor 205

  • Iniiere n transferul de cldur i mas x

    Cap.5 Intensificarea transferului termic 5.1. Intensificarea transferului termic convectiv 212 5.1.1. Metode de intensificare... 212 5.1.2. Nervurile. 216 5.1.3. Inseriile.. 220 5.1.4. Suprafee rugoase 221 5.1.5. Intensificarea transferului termic la fierbere... 223 5.1.6. Intensificarea transferului de cldur la

    condensare..

    225 5.2. Intensificarea transferului termic prin radiaie 228 Cap.6 Transferul de mas 6.1. Transferul de mas prin difuziune molecular. 229 6.1.1. Definiii. Legi de baz 229 6.1.2. Ecuaii difereniale ale difuziei moleculare 235 6.1.2.1. Ecuaia de continuitate 235 6.1.2.2. Forme speciale ale ecuaiei de continuitate 238 6.1.2.3. Condiii iniiale i la limit. 240 6.1.3. Difuzia masic prin medii cu geometri simple

    fr reacii chimice care genereaz mas n volum..

    241 6.2. Transferul de mas convectiv... 243 6.2.1. Ecuaii de baz 244 6.2.2. Transferul de mas interfazic.. 245 Bibliografie

  • CAP.1 CONSIDERAII GENERALE

    1.1. Definiii

    Transferul de cldur este tiina proceselor spontane, ireversibile, de propagare a cldurii n spaiu i reprezint schimbul de energie termic ntre dou corpuri, dou regiuni ale unui corp sau dou fluide sub aciunea unei diferene de temperatur. Transferul de cldur face parte din tiina mai larg a studiului cldurii, el respectnd cele dou principii ale termodinamicii: primul principiu care exprim legea conservrii energiei termice n procesele de transfer i cel de al doilea principiu potrivit cruia transferul de cldur se realizeaz ntotdeauna de la o temperatur mai ridicat ctre o temperatur mai cobort.

    1.1.1. Cmpul de temperatur

    Temperatura caracterizeaz starea termic a unui corp, caracteriznd gradul de nclzire a acestuia. n fiecare punct M (x,y,z) dintr-un corp solid, lichid sau gazos se poate defini o temperatur, funcie scalar de coordonatele punctului i de timp: T= T (x,y,z,t) (1.1)

    Cmpul de temperatur definit de relaia (1.1) este tridimensional i

    nestaionar. Dac temperatura nu depinde de timp, cmpul de temperatur este staionar sau permanent. Cel mai simplu cmp de temperatur, care va fi utilizat cel mai des n acest curs este cmpul staionar unidirecional:

    T = T (x). (1.2)

  • Iniiere n transferul de cldur i mas 2

    1.1.2. Suprafaa izoterm

    Suprafaa izoterm este locul geometric al punctelor din spaiu care la un moment dat au aceeai temperatur. n regim nestaionar suprafeele izoterme sunt mobile i deformabile; n regim staionar ele sunt invariabile. Suprafeele izoterme nu pot intersecta, acelai punct din spaiu la acelai moment de timp, neputnd avea temperaturi diferite. Unitatea de msur pentru temperatur este gradul Kelvin [ ]K , definit ca 1/273,16 din temperatura termodinamic a punctului triplu al apei. In sistemul internaional de uniti de msur este tolerat i gradul Celsius [C], care are aceeai msur cu gradul Kelvin, diferind doar originea scrii de msur. Din aceste considerente vom utiliza n lucrare att K ct i C.

    1.1.3. Gradientul de temperatur

    Cmpul de temperatur fiind o funcie derivabil se poate defini n orice punct M, la fiecare moment t un vector al gradientului de temperatur n direcia normal la suprafaa izoterm care trece prin acel punct (1.1):

    grad T = DD

    =

    D nT

    nt

    n 0lim [K/m] . (1.3)

    Fig.1.1 Gradientul de temperatur

    n

    x

    T+Dt Dn Dx

    T

  • Consideraii generale 3

    1.1.4. Fluxul termic

    Fluxul termic este cantitatea de cldur care trece printr-o suprafa izoterm n unitatea de timp:

    tD

    D=

    QQ [W] . (1.4)

    unde: QD este cantitatea de cldur, n J; D t este intervalul de timp n s.

    1.1.5. Fluxuri termice unitare

    Fluxul termic unitar de suprafa (densitatea fluxului termic) reprezint fluxul termic care este transmis prin unitatea de suprafa:

    SQqs = [W/m2] . (1.5)

    Fluxul termic unitar linear este fluxul termic transmis prin unitatea de lungime a unei suprafee:

    LQql = [W/m] (1.6)

    Fluxul termic unitar volumic este fluxul termic emis sau absorbit de unitatea de volum dintr-un corp:

    VQqv = [W/m

    3] . (1.7)

    1.1.6 Linii i tub de curent

    Liniile de curent sunt tangentele la vectorii densitii fluxului termic

    sq Ansamblul liniilor de curent pentru un contur dat formeaz tubul de curent.

  • Iniiere n transferul de cldur i mas 4

    1.2. Analogia electric a transferului de cldur

    Dou fenomene sunt analoge dac difer ca natur dar au ecuaii care le caracterizeaz identice ca form. n cazul transferului de cldur exist o analogie a acestuia cu fenomenul de trecere a curentului electric printr-un circuit:

    t

    s RTq D= [W/m2], respectiv:

    eRUI D= [A], (1.8)

    unde: et RR , sunt rezistenele termice, respectiv electrice, n (m2K)/W,

    respectiv ;W TD diferena de temperatur, n K; UD diferena de potenial, n V; I curentul electric, n A. n baza acestei analogii, se pot aplica problemelor de transfer de cldur o serie de concepte din teoria curentului electric, pentru un circuit termic putnd construi un circuit electric echivalent , pentru care calculul rezistenei termice total se face cu aceleai reguli ca la circuitele electrice.

    1.3. Modurile fundamentale de transfer al cldurii

    Transferul de energie termic se poate realiza prin trei moduri fundamentale distincte: conducia termic , convecia termic i radiaia termic.

    1.3.1. Conducia termic este procesul de transfer al cldurii dintr-o zon cu o temperatur mai ridicat ctre una cu temperatur mai cobort, n interiorul unui corp (solid, lichid sau gazos) sau ntre corpuri solide diferite aflate n contact fizic direct, fr existena unei deplasri aparente a particulelor care alctuiesc corpurile respective [ 1 ] .

    Mecanismul conduciei termice este legat de cinetica molecular, de interaciunea energetic ntre microparticulele care alctuiesc corpurile (molecule, atomi, electroni).

    n corpurile solide nemetalice , conducia se realizeaz prin transferul energiei vibraiilor atomilor. Purttorii asociai acestor unde longitudinale i transversale sunt fononi (teoria statistic Bose-Einstein i Debye) [ 11 ] .

  • Consideraii generale 5

    n cazul metalelor conducia termic se realizeaz att prin fononi ct i prin electroni liberi (teoria statistic Fermi-Dirac). n acest caz ponderea electronilor liberi este de 10 30 ori mai mare dect cea a fononilor.

    n cazul gazelor macroscopic imobile, conducia termic se efectueaz prin schimbul de energie de translaie, de rotaie i vibraie a moleculelor (teoria cineticii gazelor, statistica Maxwell-Boltzmann).

    Pentru lichide exist dou mecanisme de propagare a cldurii prin conducia: ciocnirile elastice legate de micarea de mic amplitudine a moleculelor n jurul poziiilor lor de echilibru i deplasarea electronilor liberi (potenialul Van der Waals).

    Ecuaia fundamental a conduciei termice este ecuaia legii lui Fourier (1822):

    dxdTSQ l-= [W]. (1.9)

    sau: gradTqs l-= [W/m

    2] , (1.10) unde: l este conductivitatea termic, n W/(mK); S suprafaa, n m2;

    sqQ, fluxul termic, respectiv fluxul termic unitar de suprafa, n W, respectiv W/m2; T temperatura, n K. Ecuaia legii lui Fourier este valabil pentru conducia termic unidirecional n regim staionar, prin corpuri omogene i izotrop, fr surse interioare de cldur. Semnul minus din ecuaia (1.1) i (1.2) ine seama c fluxul termic se propag de la o temperatur mai ridicat ctre una mai cobort, avnd sens invers gradientului de temperatur.

    1.3.2. Convecia termic

    Convecia termic reprezint procesul de transfer de cldur ntre un perete i un fluid n micare, sub aciunea unei diferene de temperatur ntre perete i fluid. Convecia presupune aciunea combinat a conduciei termice n stratul limit de fluid de lng perete, a acumulrii de energie intern i a micrii de amestec a particulelor de fluid. Intensitatea procesului de convecie depinde n msur esenial de micarea de amestec a fluidului. Dup natura micrii se disting dou tipuri

  • Iniiere n transferul de cldur i mas 6

    de micare crora le corespund dou tipuri de convecie: liber sau natural i forat. Micarea liber este datorat variaiei densitii fluidului cu temperatur. La nclzirea fluidului densitatea lui scade i el se ridic; la rcire, densitatea crete i fluidul coboar pe lng suprafaa de schimb de cldur. Intensitatea micrii libere este determinat de natura fluidului, diferena de temperatur ntre fluid i perete, volumul ocupat de fluid i cmpul gravitaional. Micarea forat a unui fluid este determinat de o for exterioar care l deplaseaz (pomp, ventilator, diferen de nivel, etc.). Ecuaia fundamental a conveciei termice este dat de formula lui Newton (1701):

    TSTTSQ pf Da=-a= // [W] , (1.11) sau: Tqs D= a [ W/m

    2] . (1.12) unde: a este coeficientul de convecie, n W/(m2K); pf TT , temperaturile fluidului, respective a peretelui, n K; S suprafaa, n m2. Coeficientul de convecie a , caracterizeaz intensitatea transferului de cldur convectiv. El este diferit de legea lui Newton ca fluxul termic transmis prin convecie prin unitatea de suprafa izoterm la o diferen de temperatur de 1 K. Coeficientul de convecie se poate modifica n lungul suprafeei de transfer de cldur. Valoarea sa ntr-un anumit punct se numete local. n calculele termice se utilizeaz de obicei valoarea medie n lungul suprafeei a coeficientului de convecie. Valoarea coeficientului de convecie depinde de numeroi factori: natura fluidului, viteza fluidului, presiune, temperatur, starea de agregare, geometria suprafeei, etc. n tabelul 1.1 sunt prezentate ordinele de mrime a coeficientului de convecie pentru diferite fluide [39].

  • Consideraii generale 7

    Tabelul 1.1

    Ordinul de mrime a coeficientului de convecie a

    Fluidul i tipul conveciei a, n W/(m2K) Gaze, convecie liber 6 - 30 Gaze, convecie forat 30 - 300 Ulei, convecie forat 60 - 1800 Ap, convecie forat 500 - 40.000 Ap, fierbere 3000 - 60.000 Abur, condensare 6000 - 120.000

    1.3.3 Radiaia termic

    Radiaia termic este procesul de transfer de cldur ntre corpuri cu temperaturi diferite separate n spaiu. Orice corp S emite prin radiaii electromagnetice energie. Transportul se realizeaz prin fotoni, care se deplaseaz n spaiu cu viteza luminii. Energia transportat de acetia este n funcie de lungimea de und a radiaiei. Transferul de cldur prin radiaie se realizeaz de la distan. Fenomenul are dublu sens: un corp radiaz energie ctre altele, dar la rndul su primete energie emis sau reflectat de corpurile nconjurtoare. Dac avem dou corpuri S i S , corpul S emite energie prin radiaie ctre corpul S dar i primete radiaie de la corpul S , emis sau reflectat de acesta. Dac ,'ss TT > pe ansamblu apare un flux termic net transmis de corpul S ctre corpul S. Relaia de baz a transferului de cldur prin radiaie a fost stabilit experimental de Stefan n 1879 i teoretic de Boltzmann n 1984. Ecuaia Stefan Boltzmann exprim fluxul termic emis de un corp negru absolut sub forma:

    40STQ s= [W] (1.13)

    unde: s0 este coeficientul de radiaie a corpului negru ( 80 1067,5

    -=s W/(m2K4); S, T suprafaa, respective temperatura, n m2, respective K.

  • CAP. 2 TRANSFERUL DE CLDUR PRIN CONDUCIE

    2.1. ECUAIILE DIFERENIALE ALE CONDUCIEI TERMICE

    2.1.1. Ecuaia legii lui Fourier

    Aceast ecuaie care caracterizeaz conducia termic unidirecional, n regim permanent prin corpuri omogene i izotrope, fr surse interioare de cldur, reprezint ecuaia fundamental a conduciei.

    Ea a fost enunat n capitolul anterior i are forma:

    dxdTqS l-= [W/m

    2]. (2.1)

    2.1.2. Ecuaia general a conduciei termice

    Aceast ecuaie caracterizeaz conducia tridimensional, n regim nestaionar, prin corpuri cu surse interioare de cldur uniform distribuite.

    Ipotezele care stau la baza determinrii acestei ecuaii sunt: - corpul este omogen i izotrop, astfel nct conductivitatea termic

    este constant i are aceleai valori n toate direciile: .;constzyx =l=l=l=l

    - cldura specific pc i densitatea r sunt constante n intervalul de temperatur considerat;

    - n interiorul corpului exist surse de cldur uniform distribuite cu densitatea volumic (flux termic unitar volumic) qv [W/m3] = const.;

    - deformarea corpului prin dilataie datorit variaiei temperaturii este neglijabil:

    Pentru determinarea acestei legi se consider un element cu volumul dv dintr-un corp (figura 2.1), pentru care se va scrie bilanul termic [20].

  • Iniiere n transferul de cldur i mas 10

    Fig.2.1. Conducia termic printr-un element de volum

    Ecuaia bilanului termic pentru elementul dv are forma: cldura intrat i rmas n corp cldura generat de surse prin suprafeele lui exterioare (dQ1) interioare de cldur (dQ2) cldura acumulat n corp (dQ3) Cldura intrat n elementul dv prin conducie dup direcia Ox, se poate scrie, utiliznd ecuaia legii lui Fourier:

    t

    l-=t= dydzdxTdydzdqdQ sx1 [J], (2.3)

    unde: dxdz este suprafaa de schimb de cldur prin care intr cldura dup direcia Ox. Cldura ieit din elementul dv dup aceeai direcie, innd seama

    c temperatura feei A'B'C'D' a elementului dv este dxxTT

    + , va fi:

    tl dydzddxxTT

    xdQx

    +

    -=2 [J]. (2.4)

    Cldura rmas n elementul dv dup direcia Ox va fi atunci:

    dQy2

    A' A

    D

    C

    D'

    C'

    B B'

    T dQx1

    dQz1

    dQx2

    dQy1 dQz2

    + dxxTT

    O

    y

    x

    z

    + =

    =

  • Transferul de cldur prin conducie 11

    tltl

    tltl

    ddvxTdxdydzd

    xT

    dydzddxxTT

    xdydzd

    xTdQdQdQ xxx

    =

    =

    =

    +

    +

    -=-=

    2

    2

    2

    2

    21

    [J]. (2.5)

    n mod analog se poate scrie cantitatea de cldur rmas n elementul dv dup direciile Oy i Oz:

    tl ddvyTdQy 2

    2

    = , (2.6)

    .22

    t

    l= ddvzTdQz (2.7)

    Cantitatea total de cldur intrat prin suprafaa lateral a elementului dv i rmas n aceasta va fi:

    ,222

    2

    2

    2

    2

    1 tl=t

    +

    +

    l= dTdvddvzT

    yT

    xTdQ (2.8)

    unde: T2 este laplacianul temperaturii. Cantitatea de cldur generat de sursele interioare de cldur uniform distribuite este:

    tddvqdQ v =2 [J] . (2.9) Cldura acumulat n corp se poate determina utiliznd relaia:

    tt

    r=t

    t

    = dTdvcdTcmdQ pp3 [J] . (2.10)

    nlocuind valorile lui 321 ,, dQdQdQ n ecuaia bilanului termic (2.2), se obine:

    t+tl=tt

    r ddvqTdvdddvTc vp

    2 , (2.11)

    sau:

    .2cp

    qTcp

    T vr

    +r

    l=

    t (2.12)

    Definind difuzivitatea termic pc

    arl

    = ecuaia general a

    conduciei are forma:

    l

    +=t

    vqTTa

    21 (2.13)

  • Iniiere n transferul de cldur i mas 12

    Difuzivitatea termic a reprezint o proprietate fizic a unui material, ea caracteriznd capacitatea acestuia de transport conductiv al cldurii. Ecuaia general a conduciei termice are o serie de cazuri particulare, prezentate n tabelul 2.1

    Tabelul 2.1

    Ecuaiile difereniale ale conduciei termice

    Denumire Regimul Ecuaia

    Ecuaia general a conduciei

    Regim tranzitoriu cu surse interioare de

    cldur l+=

    t vqTT

    a21

    Ecuaia lui Poisson Regim constant cu surse interioare de cldur 02 =

    l+ v

    qT

    Ecuaia lui Fourier Regim tranzitoriu fr

    surse interioare de cldur

    TTa

    21 =t

    Ecuaia lui Laplace Regim constant fr surse interioare de

    cldur 02 = T

    n cazul corpurilor neomogene i neizotrope : ( ),,, zyx llll=l la care )(Tr=r i )(Tcc pp = i care au surse interne de cldur discrete n punctele xi, yi, zi, cu densitile ( ),,,, tiiii zyxq ecuaia general a conduciei se poate scrie [39] :

    ( ) ( )

    ( ).,,,0 tl

    llt

    r

    ii

    n

    iiiz

    yxp

    zyxqzT

    z

    yT

    yxTTTTc

    =

    +

    +

    +

    +

    =

    (2.14)

  • Transferul de cldur prin conducie 13

    2.1.3. Condiii de determinare univoc a proceselor de conducie

    Ecuaiile difereniale prezentate descriu o scar larg de procese de conducie termic. Pentru descrierea unui proces concret de transfer conductiv, ecuaiilor difereniale trebuie s li se ataeze condiii de determinare univoc a procesului.

    Aceste condiii sunt de urmtoarele tipuri: Condiii geometrice, care dau forma i dimensiunile spaiului n

    care se desfoar procesul de conducie. Condiii fizice, care dau proprietile fizice ale corpului: pc,,rl i

    variaia surselor interioare de cldur. Condiiile iniiale, care apar n cazul proceselor nestaionare i dau

    de obicei, valorile cmpului de temperatur, la momentul iniial 0=t . Condiiile limit sau de contur, care definesc legtura corpului cu

    mediul ambiant i care se pot defini n mai multe forme [36] : a) Condiiile la limit de ordinul I (condiii Dirichlet) se refer la

    cunoaterea cmpului de temperatur pe suprafaa corpului n orice moment de timp: ( ).,,, tzyxTp

    Un caz particular al acestui tip de condiii la limit este cel n care suprafaa corpului este izoterm n timp: ctTp = .

    b) Condiiile limit de ordinul II (condiii Neumann), la care se cunosc valorile fluxului termic unitar pe contur n orice moment de timp:

    ( )t=

    l-= ,,, zyxfnTq

    psp (2.15)

    n acest caz exist dou cazuri particulare: - fluxul termic unitar pe suprafa este constant: .constqsp = ; - fluxul termic unitar la suprafa este nul (corp izolat termic,

    adiabat):

    .0=

    pnT (2.16)

    c) Condiiile la limit de ordinul III, la care se dau temperatura fluidului care nconjoar corpul fT i legea de transfer de cldur ntre corp i fluid.

    n cazul n care transferul de cldur ntre corp i fluid se realizeaz prin convecie, condiia la limit de ordinul III se scrie:

  • Iniiere n transferul de cldur i mas 14

    ).( fpp

    TTnT

    -a=

    l- (2.17)

    d) Condiiile limit de ordinul IV, care caracterizeaz condiiile de transfer la interfaa dintre dou corpuri solide de naturi diferite (figura 2.2)

    Fig.2.2 Condiii la limit de ordinul IV n cazul n care contactul ntre cele dou corpuri este perfect (nu exist rezistene termice de contact), fluxul termic unitar de suprafa fiind acelai n ambele corpuri, condiiile la limit de ordinul IV se scriu:

    .2211pp dx

    dTdxdT

    l=

    l (2.18)

    La interfaa de contact pantele celor dou variaii ale temperaturilor ndeplinesc condiia:

    .1

    2

    2

    1 consttgtg

    =ll

    =jj (2.19)

    2.1.4. Conductivitatea termic

    Conductivitatea termic se definete din ecuaia legii lui Fourier:

    Tgrandqs=l [W/(mK)] . (2.20)

    Solid 1 Solid 2

    T

    x

    Ts

    T1

    j1

    T2 j2

    l1 l2

  • Transferul de cldur prin conducie 15

    Ea reprezint fluxul transmis prin conducie prin unitatea de

    suprafa izoterm la un gradient de temperatur de 1K/m. Conductivitatea termic este o proprietate a corpurilor care depinde

    de natura acesteia, temperatur i presiune. Ordinul de mrime al conductivitii termice pentru diferite materiale este prezentat n figura 2.3 [39].

    Fig. 2.3. Ordinul de mrime al conductivitii termice

    pentru diferite materiale [20] Pentru corpurile solide influena presiunii asupra lui l este

    neglijabil, variaia cu temperatura avnd forma: ( )Tbl=l 10 [W/(mK)] (2.21)

    Variaiile conductivitii termice pentru cteva solide, lichide sau gaze sunt prezentate n figurile (2.4), (2.5) i (2.6) [20].

  • Iniiere n transferul de cldur i mas 16

    Fig.2.4. Variaia cu temperatur a conductivitii termice pentru solide

    Fig. 2.5. Variaia cu temperatur a conductivitii termice pentru lichide

  • Transferul de cldur prin conducie 17

    Fig.2.6. Variaia cu temperatur a conductivitii termice pentru gaze

    2.2. Conducia termic unidirecional n regim constant

    2.2.1. Corpuri cu forme geometrice simple fr surse interioare de cldur

    2.2.1.1. Peretele plan

    Se consider un perete plan ci grosimea dp, dintr-un material cu conductivitatea termic lp, prin care se transmite cldura de la un fluid cald cu temperatura Tf1, la un fluid rece cu temperatura Tf2 (figura 2.7)

    a) Conducia la limit de ordinul I n acest caz mrimile cunoscute sunt: grosimea peretelui d, n m; conductivitatea termic lp, n W/(mK); temperaturile celor doi perei Tp1 i Tp2, suprafaa peretelui S, n m2.

  • Iniiere n transferul de cldur i mas 18

    Se ce mrimile: cmpul de temperatur T(x), fluxul termic unitar qs i fluxul termic Q. n acest caz conducii a fiind unidirecional, n regim permanent, fr surse interioare de cldur se poate pleca de la ecuaia legii lui Fourier:

    Fig. 2.7 Conducia termic printr-un perete plan

    dxdTqs l-= (2.22)

    Prin separarea variabilelor i integrare se obine:

    d

    l-=2

    10

    p

    p

    p T

    Tps dTdxq , (2.23)

    sau: ( )21 pppps TTq -l=d . (2.24)

    Rezult:

    Tp1

    Fluid cald a1

    Fluid rece a2

    Tf1

    Tf2

    Tp2

    x x =dp

    lp

    Tf1 Tf2 Rs1 Rs2 Rs3 Tp1 Tp2

    qs

  • Transferul de cldur prin conducie 19

    p

    p

    pps

    TTq

    l

    d-

    = 21 [W/m3] . (2.25)

    Comparnd ecuaia (2.25) cu ecuaia analogiei electrice (1.8), rezult c rezistena termic conductiv pentru un perete plan este:

    p

    psR l

    d= [(m2K)/W] (2.26)

    Fluxul termic va fi: Q = qs S [W] (2.27] Pentru determinarea cmpului de temperatur ecuaia (2.22) se va integra de la 0 la x, respectiv de la Tp1 la T(x). Rezult: qsx = l [Tp1 - T(x)] , (2.28) de unde, nlocuind pe qs cu valoarea din (2.25), rezult:

    xTT

    TTp

    pppx d

    --= 211 . (2.29)

    Rezult c variaia temperaturii prin perete este linear. n cazul n care conductivitatea termic nu este constant, ci variaz liniar cu temperatura: l = l0(1 + bT) [W/(mK)] , (2.30) ecuaia legii lui Fouriei va fi:

    dxdTTqs )1(0 b+l-= [W/m2] . (2.31)

    Prin separarea variabilelor i integrare se obine:

    ( ) ( )2221210 2 ppppps TTTTq -b

    +-l=d , (2.32)

    sau:

    ( )21210 21 pppp

    ps TT

    TTq -

    +b+

    dl

    = [W/m2] , (2.33)

  • Iniiere n transferul de cldur i mas 20

    ( )21 ppms TTq -dl

    = [W/m2] . (2.34)

    Rezult c n acest caz pentru determinarea fluxului termic unitar se poate utiliza aceeai ecuaia ca pentru cazul l = ct., conductivitatea termic calculndu-se la temperatura medie a peretelui Tm = 0,5 (Tp1 + Tp2). n cazul n care l = l0 (1 + bT), cmpul de temperatur, determinat analog ca pentru l = ct., are forma:

    b

    -bl

    -

    +

    b=

    121)(0

    2

    1xqTxT sp . (2.35)

    Variaia temperaturii prin perete n acest caz este prezentat n figura 2.8.

    Fig. 2.8 Distribuia temperaturii la conducia termic printr-un perete plan omogen

    b) Condiii la limit de ordinul III n acest caz mrimile cunoscute sunt temperaturile celor dou fluide Tf1 i Tf2, cei doi coeficieni de convecie a1 i a2, grosimea i conductivitatea termic a peretelui dp i lp, suprafaa de schimb de cldur S.

    Tp1

    Tp2

    l = const.(b=0)

    l=l0(1+bt)

    T(x)

    T

    d

    b0

  • Transferul de cldur prin conducie 21

    Se cere determinarea fluxului termic unitar qs, a fluxului termic i a temperaturilor peretelui Tp1 i Tp2. Fluxul termic unitar de suprafa se poate scrie n acest caz:

    ( ) ( ) ( )22221111 fpppp

    ppfs TTTTTTq -a=-d

    l=-a= [W/m2] (2.36)

    Din aceste egaliti vor rezulta:

    a=-

    l

    d=-

    a=-

    222

    21

    111

    1

    1

    sfp

    p

    pspp

    spf

    qTT

    qTT

    qTT

    (2.37)

    Prin nsumare se obine:

    a+

    l

    d+

    a=-

    2121

    11

    p

    psff qTT . (2.38)

    Rezult fluxul termic unitar de suprafa:

    21

    21

    11a

    +l

    d+

    a

    -=

    p

    p

    ffs

    TTq [W/m2] . (2.39)

    La acelai rezultata se ajunge folosind analogia electric a transferului de cldur. n acest caz apar trei rezistene termice nseriate: Rst = Rs1 + Rs2 + Rs3 [(m2K)/W] , (2.40) unde: Rs1 este rezistena termic convectiv la transferul ntre fluidul cald i perete; Rs2 - rezistena termic conductiv prin perete; Rs3 - rezistena termic convectiv de la perete la fluidul rece; Rst - rezistena termic total. Fluxul termic unitar la convecie este dat de relaia lui Newton:

    ( )s

    pfpfs R

    TTTTTq D=

    a

    -=-a= 1

    . (2.41)

    Rezult c rezistena termic convectiv n cazul peretelui plan este:

  • Iniiere n transferul de cldur i mas 22

    a

    =1

    scvR [(m2K)/W] . (2.42)

    Atunci fluxul termic unitar de suprafa va fi:

    21

    21

    11a

    +l

    d+

    a

    -=

    D=

    p

    p

    ff

    sts

    TTR

    Tq [W/m2] . (2.43]

    Se definete coeficientul global de transfer de cldur Ks:

    21

    1111

    a+

    l

    d+

    a

    ==

    p

    psts R

    K [W/(m2K)] . (2.44)

    Fluxul termic transmis va fi: Q = Ks S Tf1 - Tf2) [W] . (2.45) Temperaturile suprafeelor peretelui se stabilesc fie din ecuaiile (2.36 ), fie cu ajutorul rezistenelor termice. n general temperatura ntr-un punct oarecare din perete se determin cu relaia: Tx = T0 qs Rs, o-x , (2.46) unde: T0 este temperatura cunoscut ntr-un punct de referin;

    Rs,o-x - rezistena termic ntre punctul de referin i punctul cu Tx. Aplicnd relaia (2.46) rezult: ( )322111 sssfssfp RRqTRqTT ++=-= , sau:

    a+

    l

    d+=

    a-=

    2111

    112

    p

    psfsfp qTqTT ; (2.47)

    i

  • Transferul de cldur prin conducie 23

    ( ) 322112 ssfsssfp RqTRRqTT +=+-= , sau:

    2

    21

    1211

    a+=

    l

    d+

    a-= sf

    p

    psfp qTqTT . (2.48)

    c) Rezistene termice de contact Dac dou suprafee plane vin n contact una cu cealalt, contactul fizic direct, datorit rugozitii suprafeelor, se realizeaz pe o suprafa Sc, care reprezint o mic parte din suprafa total de contact S (figura 2.9)

    Fig. 2.9 Rezistena termic de contact Suprafaa efectiv de contact este funcie de rugozitatea suprafeelor i de fora de strngere ntre acestea, ea reprezentnd ntre 18% din suprafaa total. Deoarece conductivitatea termic a fluidului din interstiiile ntre cele dou suprafee este diferit de conductivitatea termic a celor dou suprafee, la suprafaa de contact apare o diferen de temperatur DTc, datorit unei rezistene termice de contact Rsc definit ca:

    s

    csc q

    TR D= [(m2K)/W] . (2.49)

    Mrimea invers rezistenei termice de contact este conductana termic de contact:

  • Iniiere n transferul de cldur i mas 24

    scR

    1* =a [W/(m2K)] . (2.50)

    Rezistena termic de contact este compus din dou rezistene termice legate n paralel: rezistena termic prin punctele solide de contact Rss i rezistena termic prin fluidul din interstiii Rsf:

    sfsssc RRR

    111* +==a [W/(m2K)] . (2.51)

    Fluxul termic transmis n zona de contact va fi:

    ( )21*2121 TTSSRTTS

    RTTQ f

    sfc

    ss

    -a=-

    +-

    = [W] . (2.52)

    Dar:

    2

    2

    1

    1

    ld

    +ld

    =ssR , (2.53)

    f

    sfR ld

    = . (2.54)

    nlocuind valorile Rss i Rsf n ecuaia (2.52) i fcnd ipoteza: d1 = d2 = d/2, rezult:

    l+

    l+lll

    d

    =a ffc

    SS

    SS

    21

    21* 21 , (2.55)

    sau:

    l+l

    d=a f

    fmed

    c

    SS

    SS1* [W/(m2K)] , (2.56)

    unde: lmed este media armonic a conductivitii celor dou corpuri n contact (l1 i l2). Din relaia (2.56) rezult c rezistena termic de contact, respectiv conducia termic de contact sunt dependente de:

    - presiunea de strngere a celor dou suprafee; - rugozitatea suprafeelor; - rezistena la rupere sr a materialului cu duritate mai mic; - conductivitatea termic a celor dou solide; - conductivitatea termic a fluidului din interstiii.

  • Transferul de cldur prin conducie 25

    n figura 2.10 sunt date curbele de variaie a conductanei termice de contact n funcie de presiunea de strngere pentru 10 perechi de materiale prezentate n tabelul 2.2 [37].

    Fig. 2.10 Variaia conductanei termice de contact

  • Iniiere n transferul de cldur i mas 26

    Tabelul 2.2

    Caracteristicile suprafeelor n contact corespunztoare curbelor de conductan termic din figura 2.10

    Curba nr.

    Perechea de materiale

    Rugozitatea suprafeelor

    mm

    Fluidul din interstiiu

    Temperatura medie de contact

    C 1 Aluminiu 1,22-1,65 Vid (10-2 Pa) 43 2 Aluminiu 1,65 Aer 93

    3 Aluminiu 0,15-0,2 (neplane) Foi de plumb

    (0,2 mm) 43

    4 Oel inoxidabil 1,08-1,52 Vid (10-2 Pa) 30 5 Oel inoxidabil 0,25-0,38 Vid (10-2 Pa) 30 6 Oel inoxidabil 2,54 Aer 93 7 Cupru 0,18-0,22 Vid (10-2 Pa) 46

    8 Oel inoxidabil- aluminiu 0,76-1,65 Aer 93

    9 Magneziu 0,2-0,41 (oxidat) Vid (10-2 Pa) 30

    10 Fier-aluminiu - Aer 27 d) Perete plan neomogen cu straturi perpendiculare pe direcia de propagare a cldurii Vom considera un perete plan format din 2 straturi cu rezisten termic de contact ntre ele, cu condiii la limit de ordinul III (figura 2.11). Mrimile cunoscute n acest caz vor fi: temperaturile celor dou fluide Tf1 i Tf2, coeficienii de convecie a1 i a2, grosimile celor doi perei d1 i d2, conductivitile termice ale pereilor l1 i l2, conductana termic de contact a* i suprafaa de schimb de cldur S. .

  • Transferul de cldur prin conducie 27

    Fig. 2.11 Transferul cldurii ntre dou fluide printr-un perete omogen cu straturi perpendiculare pe direcia de propagare a cldurii: a - distribuia temperaturii; b - schema electric echivalent.

    Se cer: fluxul termice unitar de suprafa qs, fluxul termic Q i temperaturile pereilor Tp1, Tp2, Tp3, Tp4. Vom porni de la schema electric echivalent care este format din 5 rezistene termice nseriate. Rezult:

    =

    -= 5

    1

    21

    isi

    ffs

    R

    TTq [W/m2] , (2.57)

    sau, nlocuind valorile celor 5 rezistene:

    DT

    Tp1 1

    111a

    ==D ssps qRqT

    *

    1a

    ==D sscsc qRqT

    2

    222 l

    d==D sspsp qRqT

    222

    1a

    ==D sss qRqT

    1

    111 l

    d==D sspsp qRqT

    Tf2

    Tf1

    Tp2

    Tp3 Tp4

    d2 d1

    l2 l1

    a2

    a1

    qs S

    a)

    11

    1a

    =sR1

    11 l

    d=spR *

    1a

    =scR 2

    22 l

    d=spR

    22

    1a

    =sR

    Tf1 Tf2 Tp1 Tp2 Tp3 Tp4

    qs

    b)

  • Iniiere n transferul de cldur i mas 28

    22

    2*

    1

    1

    1

    21

    111a

    +ad

    +a

    +ld

    +a

    -= ffs

    TTq [W/m2] . (2.58)

    Coeficientul global de transfer de cldur va fi:

    22

    2*

    1

    1

    1

    11111

    a+

    ld

    +a

    +ld

    +a

    ==st

    s RK [W/(m2K)] (2.59)

    Fluxul termic transmis va fi: Q = qs S = Ks S (Tf1 - Tf2) [W] . (2.60) Aplicnd regula dat de relaia (2.46) rezult:

    1

    11111

    a-=-= sfssfp qTRqTT ; (2.61)

    ( )

    ld

    +a

    -=+-=1

    1

    112112

    1sfsssfp qTRRqTT ; (2.62)

    ( )

    a

    +ld

    +a

    -=++-= *1

    1

    1132113

    11sfssssfp qTRRRqTT ; (2.63)

    2

    2241

    a+=+= sfspsfp qTRqTT . (2.64)

    e) Perete compozit Pentru exemplificarea acestui caz vom considera faada unei cldiri (figura 2.12) constituit din beton cu conductivitatea termic l1 (haurat) i un material izolant (aer sau polistiren) cu conductivitatea termic l2 [1].

  • Transferul de cldur prin conducie 29

    innd seama de simetria sistemului, acesta se poate descompune, n elemente de nlime identic b. Schema electric echivalent este compus din 7 rezistene termice legate n serie i paralele.

    Fig. 2.12 Perete compozit [1] Rezistena termic total echivalent va fi:

    76

    543

    21 1111

    ss

    sss

    ssst RR

    RRR

    RRR ++++

    ++= . (2.65)

    Pentru determinarea rezistenelor termice vom scrie fluxul termic unitar pe fiecare zon, considernd o lime a peretelui z, astfel ca zb=1m2. Vom obine pentru zonele omogene 1, 2, 4 i 5:

    5241

    12

    1

    111 TTTTqs Da=Dd

    l=D

    dl

    =Da= . (2.66)

    d1

    b3

    b

    b

    DT3 DT1 DT2 DT4 DT5

    Rs2 Rs1

    Rs3

    Rs4

    Rs5

    Rs6 Rs7 Tf1 Tf2

    Tf1 Tf2 a1 a2

    b1

    b2

    d2 d1

  • Iniiere n transferul de cldur i mas 30

    Rezult:

    2

    71

    16

    1

    12

    11

    1;;;1a

    =ld

    =ld

    =a

    = ssss RRRR [(m2K)/W] (2.67)

    Pentru zona 3 care este neomogen fluxul termic unitar va fi:

    332

    22

    2

    11

    2

    2321 Tzbzbzbqqqq ssss D

    dl

    +dl

    +dl

    =++= . (2.68)

    Rezult:

    12

    2

    12

    2

    2

    123

    1bb

    zbzbRs l

    d=

    ld

    =

    dl

    = ; (2.69)

    21

    2

    21

    2

    2

    2114

    1bb

    zbzbRs l

    d=

    ld

    =

    dl

    = ; (2.70)

    32

    2

    32

    2

    2

    325

    1bb

    zbzbRs l

    d=

    ld

    =

    dl

    = . (2.71)

    2.2.1.2. Peretele cilindric Se consider un perete cilindric tubular cu raza interioar ri (diametrul di) i raza exterioar re (diametrul exterior de), alctuit dintr-un material omogen cu conductivitatea termic l = const. a) Condiii la limit de ordinul I Se dau: diametrele di i de, conductivitatea termic l, lungimea l a cilindrului i temperaturile pe cele dou fee Tp1 i Tp2. Se cer: determinarea cmpului de temperatur, fluxului termic unitar linear i fluxului termic. n cazul peretelui cilindric suprafaa sa variaz n lungul razei i n consecin i fluxul termic unitar de suprafa va fi variabil n funcie de

  • Transferul de cldur prin conducie 31

    raz. Din aceste motive n acest caz se utilizeaz fluxul termic unitar linear ql. Legtura ntre cele dou fluxuri unitare este: dqq sl p= [W/m] . (2.72)

    Fig. 1.13 Transferul de cldur conductiv printr-un perete cilindric: a) variaia temperaturii; b) schema electric echivalent

    Pentru determinarea fluxului termic unitar linear se pornete de la ecuaia legii lui Fourier:

    drdTSlqQ l l-== . (2.73)

    Suprafaa de schimb de cldur este: S = 2prl. Rezult:

    ri

    re

    di

    de

    Tp1

    Tp2

    Tf1

    Tf2

    dr r

    d

    dT

    l=1m

    l=const.

    T ql

    a)

    b) Tf2 Tf1 Tp2 Tp1

    Rl2 Rl1 Rl3

  • Iniiere n transferul de cldur i mas 32

    drdTrql lp-= 2 . (2.74)

    Separnd variabilele i integrnd se obine:

    r

    drqdTe

    i

    p

    p

    r

    r

    eT

    T

    pl

    =- 22

    1

    , (2.75)

    de unde:

    i

    e

    ppl

    rr

    TTq

    ln2

    121

    pl

    -= [W/m] . (2.76)

    Din analogia electric va rezulta valoarea rezistenei termice lineare pentru peretele cilindric:

    i

    e

    i

    el d

    drrR ln

    21ln

    21

    plpl== [(mK)/W] . (2.77)

    Pentru determinarea ecuaiei cmpului de temperatur ecuaia (2.75) se va integra de la Tp1 la T(r), respectiv de la ri la r. Se obine:

    i

    lp r

    rqrTT ln2

    )(1 pl=- . (2.78)

    nlocuind valoarea lui ql din (2.77), se obine:

    ( ))/(ln)/(ln

    )( 211ie

    ippp rr

    rrTTTrT --= , (2.79)

    relaie care arat c distribuia temperaturii n peretele cilindric este de tip logaritmic. n cazul n care conductivitatea termic este variabil linear cu temperatura: l = l0 (1+bT) ecuaia (2.74) devine:

    ( )drdTrTql pb+l-= 210 . (2.80)

  • Transferul de cldur prin conducie 33

    Prin integrare ntre limitele r1 i r, respectiv Tp1 i T(r), rezult:

    ( )b

    -bpl

    -

    +

    b=

    1/ln1)(0

    12

    1rrqTrT lp . (2.81)

    Distribuia temperaturii prin perete n funcie de semnul lui b este prezentat n figura 2.14 b) Conducii la limit de ordinul III n acest caz mrimile cunoscute vor fi: temperaturile celor dou fluide Tf1 i Tf2, coeficienii de convecie ai, ae, diametrele i lungimea peretelui: di, de, l i conductivitatea termic l. Pentru determinarea fluxului termic unitar linear se va utiliza analogia electric a transferului termic pentru schema echivalent din figura 2.13.

    Fig. 2.14 Distribuia temperaturii la conducia termic printr-un perete cilindric omogen

    Fluxul termic unitar linear va fi:

    d1

    lconst.(b=0) T(r)

    b0

    l=l0(1+Tb)

    Tp1

    Tp2

    T

    d2

    r

    ql

  • Iniiere n transferul de cldur i mas 34

    321

    21

    lll

    ffl RRR

    TTq

    ++

    -= [W/m] , (2.82)

    unde: Rl1 i Rl3 sunt rezistene termice convective, n mK/W; Rl2 - rezistena termic conductiv, n mK/W. Pentru determinarea valorii rezistenei termice convective se pleac de la relaia legii lui Newton: TrlTSQ Dpa=Da= 2 [W] . (2.83) Rezult:

    ap

    D==

    d

    TlQql 1 [W/m] . (2.84)

    Rezistena termic linear convectiv va fi:

    ap

    =d

    R cvl1

    , [(mK)/W] . (2.85)

    nlocuind n (2.82) valorile rezistenelor termice calculate cu (2.85) i (2.77), rezult:

    eei

    e

    ii

    ffl

    ddd

    d

    TTq

    ap+

    pl+

    ap

    -=

    1ln2

    1121 [W/m] . 2.86)

    Definind coeficientul global linear de transfer de cldur:

    eei

    e

    ii

    l

    ddd

    d

    K

    ap+

    pl+

    ap

    =1ln

    211

    1 [W/(mK)] , (2.87)

    fluxul termic va fi: ( )21 ffl TTlKQ -= [W] . (2.88) Pentru determinarea temperaturilor pereilor se va aplica relaia (2.46):

    ei

    lfllfp dqTRqTT

    ap-=-=

    11111 ; (2.89)

  • Transferul de cldur prin conducie 35

    ( )

    eelfllf

    i

    e

    iilflllfp

    dqTRqT

    dd

    dqTRRqTT

    ap

    plap

    1

    ln2

    11

    232

    12112

    +=+=

    =

    +-=+-=

    . (2.90)

    c) Perete cilindric neomogen cu straturi perpendiculare pe direcia de propagare a cldurii Se consider un perete cilindric format din dou straturi cu rezisten termic de contact ntre ele (figura 2.15). Rezistena termic total este:

    232

    3

    2*

    21

    2

    111

    2211

    1ln2

    11ln2

    11ap

    +pl

    +ap

    +pl

    +ap

    =

    =++++=

    ddd

    ddd

    d

    RRRRRR llplclpllt . (2.91)

    Coeficientul global de schimb de cldur, fluxul termic unitar linear i fluxul termic se determin cu relaiile:

    Fig. 2.15 Transferul cldurii printr-un perete cilindric neomogen cu straturi perpendiculare pe direcia de propagare a cldurii

    232

    3

    2*

    21

    2

    111

    1ln2

    11ln2

    111

    ap+

    pl+

    ap+

    pl+

    ap

    =

    ddd

    ddd

    d

    K l [W/(mK)];(2.92)

    Tf1

    D T

    Tp1 11

    111ap

    ==Dd

    qRqT lll

    *2

    1ap

    ==Dd

    qRqT llclc

    2

    3

    222 ln2

    1dd

    qRqT llplp pl==D

    2322

    1ap

    ==Dd

    qRqT lll

    1

    2

    111 ln2

    1dd

    qRqT llplp pl==D

    Tf2

    Tp2

    Tp3 Tp4

    l2 l1

    a2

    a1

    qi l

    d1 d2

    d3

    a*

  • Iniiere n transferul de cldur i mas 36

    ( )11 pfll TTKq -= [W/m] . (2.93) Temperaturile peretelui se determin analog ca n cazul anterior (relaia 2.46). Pentru exemplificare:

    ( )

    ( )2221113

    lpllf

    lclpllfp

    RRqTRRRqTT

    ++=

    =++-= [C] . (2.94)

    2.2.1.3. Peretele sferic a) Condiii la limit de ordinul I Se consider un perete sferic (sfer goal la interior, (figura 2.16) cu raza interioar r1 i cea exterioar r2, dintr-un material cu conductivitatea termic l. Se cunosc cele dou temperaturi pe suprafa Tp1 i Tp2.

    Fig. 2.16 Transferul cldurii prin conducie printr-un perete sferic omogen

    T Tp1

    Tp2

    T(r)

    r1

    r2 r dr

    dT

    d1 d2

    0

    l=const.

  • Transferul de cldur prin conducie 37

    Fluxul termic, conform ecuaiei legii lui Fourier va fi:

    ( )drdTr

    drdTSQ 24pl-=l-= [W] . (2.95)

    Prin separarea variabilelor i integrare se obine:

    pl=-2

    1

    2

    1

    24

    r

    r

    T

    T rdrQdT

    p

    p

    , (2.96)

    Rezult:

    -

    pl=-

    2121

    114 rrQTT pp . (2.97)

    Fluxul termic va fi:

    ( )

    -

    pl

    -=

    -

    -pl=

    21

    21

    21

    21

    112

    1114

    dd

    TT

    rr

    TTQ pppp [W] . (2.98)

    Rezult c rezistena termic conductiv n cazul sferic va fi:

    -

    pl=

    21

    112

    1dd

    Rtcd [K/W] (2.99)

    Prin integrarea relaiei (2.96) de la Tp1 la T(r), respectiv de la r1 la r, rezult ecuaia cmpului de temperatur:

    ( )21

    1211

    11 11

    1111

    4)(

    rr

    rrTTTrr

    QTrT pppp-

    ---=

    -

    pl-= (2.100)

    Relaia (2.100) arat c variaia temperaturii prin perete este n acest caz de tip hiperbolic. b) Condiii la limit de ordinul III Ecuaia fluxului termic convectiv n cazul sferei este:

  • Iniiere n transferul de cldur i mas 38

    ap

    D=Dap=Da=

    2

    2

    1d

    TTdTSQ [W] (2.101)

    Rezult c rezistena termic convectiv n cazul peretelui sferic este:

    ap

    = 21

    dRtcv [K/W] . (2.202)

    Aplicnd analogia electric, n cazul condiiilor la limit de ordinul III fluxul termic va fi:

    222211

    21

    21

    1

    21

    1112

    11

    2

    ap+

    -

    pl+

    ap

    -=

    =++

    -=

    dddd

    TTRRR

    TTQ

    ff

    tcvtcdtcv

    ff

    [W] , (2.103)

    sau: ( )21 ffsf TTKQ -= [W] . (2.104) Rezult coeficientul global de schimb de cldur pentru peretele sferic:

    222211

    21

    1112

    111

    ap+

    -

    pl+

    ap

    =

    dddd

    K sf [W/K] . (2.105)

    2.2.2. Corpuri cu forme geometrice simple cu surse interioare de cldur uniform distribuite

    2.2.2.1. Peretele plan a) Perete rcit uniform pe ambele fee (fig.2.17a) Ecuaia diferenial care caracterizeaz conducia termic prin corpuri cu surse interioare de cldur uniform distribuite n regim permanent este ecuaia lui Poisson, care scris pentru cmpul de temperatur unidirecional este:

  • Transferul de cldur prin conducie 39

    022

    =l

    + vq

    dxTd . (2.106)

    Integrnd de dou ori se obine:

    1Cxq

    dxdT v +

    l-= , (2.107)

    212

    2CxCxqT v ++

    l-= (2.108)

    Pentru determinarea constantelor de integrare C1 i C2 se pot pune condiii la limit de ordinul I sau ordinul III. Peretele fiind rcit uniform pe ambele fee, n centrul plcii temperatura va fi maxim, deci:

    la x = 0 , 0=dxdT . (2.109)

    Fig. 2.17. Distribuia temperaturii printr-un perete plan cu sursa interioar de cldur uniform distribuit: a) rcit uniform pe ambele fee; b) rcit neuniform

    n cazul condiiile la limit de ordinul I:

    la x = d , T =Tp . (2.110) Cu aceste condiii la limit cele 2 constante rezult:

    0

    d d

    S Tf Tf

    Tp

    Q1/2 Q1/2

    Tp

    Tm

    x

    a a

    qv=const.

    l=const.

    a)

    qv=const. l=const.

    Q1 Q2

    Qx Qx+dx

    x dx

    xm

    Tm

    S

    Tf1

    Tf2

    Tp1

    Tp2

    a1 a2

    2d

    0 x b)

  • Iniiere n transferul de cldur i mas 40

    01 =C i 2

    2 2d

    l+= vp

    qTC . (2.111)

    Rezult:

    d-d

    l+=

    22 1

    2xqTT vp . (2.112)

    Temperatura maxim a peretelui va fi:

    22

    dl

    += vpmqTT . (2.113)

    Ecuaia cmpului de temperatur se poate scrie i pornind de la temperatura maxim, punnd condiia la limit:

    la x = 0 , T = Tm . (2.114) Rezult: C1 = 0; C2 = Tm i:

    l

    -=2

    2xqTT vm . (2.115)

    n cazul condiiilor la limit de ordinul III, vom avea:

    la x = 0, 0=dxdT ;

    la x = d , ( )fp TTdxdT

    -a=l- . (2.116)

    Se obine: C1 = 0 i:

    ad

    += vfpqTT . (2.117)

    nlocuind valoarea lui Tp n relaia (2.112), rezult:

    d-d

    l+

    ad

    +=2

    2 12

    xqqTT vvf . (2.118)

    Fluxul termic transmis prin fiecare fa a peretelui cu suprafaa S va fi:

    d=l-=d=

    SqdxdTSQ v

    x2/1 [W] . (2.119)

  • Transferul de cldur prin conducie 41

    b) Perete rcit neuniform pe cele dou fee (fig. 2.17.b)

    n acest caz punnd condiiile la limit de ordinul I: la x = 0 , T = Tp1 ; la x = 2d , T = Tp2 ,

    rezult: C2 = Tp1 i

    ld

    +d

    -= vpp

    qTTC2

    121 . (2.120)

    Ecuaia cmpului de temperatur va fi:

    112

    2

    22 pvppv Txq

    TTxqT +

    ld

    +d

    -+

    l-= . (2.121)

    Temperatura maxim se realizeaz la distana x = xm, care rezult din ecuaia dT/dx = 0 :

    d

    -

    l+d=

    212 pp

    vm

    TTq

    x . (2.122)

    nlocuind valoarea lui xm n ecuaia (2.121), rezult temperatura maxim:

    ( ) ( )2121222

    21

    82 ppppvv

    m TTTTqqT ++-

    dl

    +ld

    = . (2.123)

    Fluxurile termice transmise prin cele dou fee, avnd suprafaa S este:

    ld

    +d

    -l-=-= vppmv

    qTTSSxqQ2

    121 [W] ,

    (2.124)

    ( )

    d

    --

    ld

    l-=-d-=2

    2 122ppv

    mv

    TTqSxSqQ [W] .

    (2.125) Condiiile la limit de ordinul III vor fi:

    la x = 0 , ( )111 fp TTdxdT

    -a-=l- ;

    la x = 2d , ( )22 fp TTdxdT

    -a=l- .

  • Iniiere n transferul de cldur i mas 42

    Rezult temperaturile suprafeelor peretelui:

    d

    la

    +aa

    +

    ld

    +a

    d+-+=

    1

    2

    1

    212

    11

    21

    12 vfffp

    qTTTT ;

    (2.126)

    d

    la

    +aa

    +

    ld

    +a

    d+-+=

    2

    1

    2

    121

    22

    21

    12 vfffp

    qTTTT . (2.127)

    nlocuind aceste valori n ecuaia (2.121) se stabilete ecuaia cmpului de temperatur.

    2.2.2.2. Peretele cilindric (fig. 2.18) Ecuaia lui Poisson pentru conducia unidirecional n coordonate cilindrice are forma:

    0122

    =l

    ++ vq

    drdT

    rdrTd , (2.128)

    cu soluia general:

    212

    ln4

    CrCrqT v ++l

    -= . (2.129)

    Punnd condiiile la limit:

    la r = 0 , 0=drdT ;

    la r = 0 , T = Tm , rezult: C1 = 0 i C2 = Tm. Ecuaia cmpului de temperatur va fi:

    l

    -=4

    2rqTT vm . (2.130)

    Temperatura peretelui se obine pentru r = R:

    l

    -=4

    2RqTT vmp . (1.131)

    Fluxul termic generat n perete i transmis prin suprafaa acestuia este:

  • Transferul de cldur prin conducie 43

    ( )lTTlqRdrdTSQ pmv

    r

    -pl=p=l-==

    420

    [W] . (1.132)

    Fig. 2.18 Perete cilindric cu surse interioare de cldur uniform distribuite

    2.2.2.3. Perete cilindric tubular n cazul transferului de cldur printr-un perete tubular, dac tubul cilindric are perei subiri (de/di 1,1) el poate fi tratat cu bun aproximaie ca un perete plan. n cazul tuburilor cu perei groi (de/di > 1,1) se pot ntlni trei cazuri:

    tubul are suprafaa interioar izolat termic, fiind rcit numai la exterior (fig. 2.19.a);

    tubul are suprafaa exterioar izolat termic, fiind rcit numai la interior (fig. 2.19.b);

    tubul termic este rcit pe ambele fee (fig. 1.19.c). Ecuaiile cmpului de temperatur, razei la care apare temperatura maxim i fluxurile transmise prin cele dou fee sunt prezentate n tabelul 2.3

    qv = const.

    l = const. Tf Tf

    Tp Tp

    Tm

    Qr+dr Qr

    dr r l

    R

    r 0

    a

  • Iniiere n transferul de cldur i mas 44

    Fig. 2.19. Perete tubular cu surse interioare de cldur uniform distribuite:

    a) rcit la exterior; b) rcit la interior; c) rcit pe ambele fee

    qv=const qv=const

    qv=const

    l=const. l=const.

    l=const.

    Supr

    afa

    izol

    at

    te

    rmic

    Supr

    afa

    izol

    at

    te

    rmic

    Fluid de rcire

    Fluid de rcire

    Fluid de rcire

    Fluid de rcire

    Re Re

    Re

    Ri Ri

    Ri

    Ti

    Ti

    Ti

    Te

    Te

    Te

    Tm

    Rm

    Qe

    Qe Qi

    Qi

    a) b)

    c)

  • Tabelul2.3

    Perete tubular cu surse interioare de cldur

    Mrimea Rcit la exterior (fig.2.19.a) Rcit la interior

    (fig.2.19.b) Rcit pe ambele fee

    (fig.2.19.c)

    Cmpul de temperatur

    --

    l

    -= 1ln24

    22

    ii

    ivi R

    rRrRqTT

    --

    -= 1ln2

    4

    22

    ee

    eve R

    rRrRqTT

    l

    ( ) ( )( )

    ( ) ( )

    l-

    --

    +l-

    -=

    4

    /ln/ln

    422

    22

    ievei

    ei

    iivi

    RRqTT

    RRRrRrqTT

    Raza la care temperatura este maxim

    Rm = Ri Rm = Ri

    ( ) ( )

    i

    ev

    iev

    ie

    m

    RRq

    RRqTTR

    ln2

    422

    l

    -l

    +-=

    Fluxul transmis prin peretele interior

    ( ) viei lqRRQ 22 -p= 0 ( ) vimi lqRRQ 22 -p=

    Fluxul transmis prin peretele exterior

    0 ( ) viee lqRRQ 22 -p= ( ) vmee lqRRQ 22 -p=

  • Iniiere n transferul de cldur i mas 46

    2.2.3. Conducia termic prin suprafee extinse

    n cazul transferului de cldur ntre un fluid cald i unul rece, printr-o suprafa de schimb de cldur, coeficientul global de schimb de cldur este mai mic dect cel mai mic coeficient de convecie (Ks < amin). Dac cei doi coeficieni de convecie au valori care difer mult (dou ordine de mrime), coeficientul global de schimb de cldur este practic egal cu amin. De exemplu, dac a1 = 5000 W/(m2K) (convecia monofazic n faz lichid); a2 = 50 W(m2K) (convecia monofazic n faz gazoas); lp = 45 W(mK) (perete de oel); dp = 0,002 m, coeficientul global de schimb de cldur va fi Ks = 49,39 W/(m2K). Rezult c pentru a mri coeficientul global de schimb de cldur, n aceste cazuri, trebuie intensificat transferul de cldur convectiv pe partea fluidului cu amin (de obicei un gaz). O alt metod de a mri coeficientul global de schimb de cldur o constituie extinderea suprafeei de schimb de cldur pe partea fluidului cu amin. Aceasta se realizeaz prin prevederea unor nervuri longitudinale, radiale sau aciculare (fig.2.20), executate din acelai material sau din materiale diferite cu peretele suport.

    Fig.2.20. Exemple de nervuri: a) cu seciune constant; b) cu seciune variabil; c) circular; d) acicular.

    2.2.3.1. Ecuaia general a nervurilor Pentru determinarea acestei ecuaii se consider o nervur cu seciunea transversal variabil S = S(x) i perimetrul variabil P = P(x), realizat dintr-un material cu l = const. Nervura vine n contact cu un fluid

  • Transferul de cldur prin conducie 47

    cu temperatur constant Tf = const., coeficientul de convecie ntre nervur i fluid fiind de asemenea constant: a = const. (fig. 2.21).

    Fig. 2.21 Bilanul energetic al unei nervuri

    Pentru un element de volum cu grosimea dx din aceast nervur, n ipoteza transferului de cldur conductiv numai n lungul nervurii (ipotez valabil pentru nervurile subiri i lungi), bilanul termic va avea forma: convdxxx QQQ += + [W] , (2.133) unde: Qx este fluxul termic care intr prin conducie n elementul considerat, n W; Qx+dx - fluxul termic care iese prin conducie din elementul considerat, n W; Qconv - fluxul termic schimbat prin convecie ntre suprafaa lateral a elementului considerat i fluidul nconjurtor, n W. Fluxul termic Qx poate fi calculat cu ecuaia legii lui Fourier, transferul de cldur conductiv fiind unidirecional n regim staionar, fr surse interioare de cldur:

    dxdTSQx l-= [W] . (2.134)

    Fluxul termic Qx+dx va fi:

    dxdx

    dQQQ xxdxx +=+ [W] , (2.135)

    sau:

  • Iniiere n transferul de cldur i mas 48

    dxdxdTS

    dxd

    dxdTSQ dxx

    l-l-=+ . (2.136)

    Deoarece i S i T sunt funcii de x se obine:

    dxdx

    TdSdxdxdT

    dxdS

    dxdTSQ dxx 2

    2

    l-l-l-=+ .

    (2.137) Fluxul termic transmis prin convecie este: ( ) ( )ffsconv TTPdxTTAQ -=-= aa , (2.138) unde: As este suprafaa lateral a elementului considerat: As = Pdx. nlocuind valorile lui Qx, Qx+dx, Qconv, n relaia (2.133) rezult:

    ( )fTTPdxdxdx

    TdS

    dxdxdT

    dxdS

    dxdTS

    dxdTS

    -a+l-

    -l-l-=l-

    2

    2 ,

    (2.139) sau:

    ( ) 022

    =--+ fTTPdxdxdxdT

    dxdSdx

    dxTdS all , (2.140)

    sau:

    ( ) 0122

    =-la

    -+ fTTSP

    dxdT

    dxdS

    SdxTd

    . (2.141)

    Notnd: fTT -=q - excesul de temperatur ntre perete i fluid i:

    SPm

    la

    =2 [m-2] , (2.142)

    Ecuaia general a nervurii capt forma:

    01 222

    =q-q

    +q m

    dxd

    dxdS

    Sdxd . (2.143)

    2.2.3.2. Nervura cu seciune constant Din aceast categorie fac parte nervurile longitudinale cu profil rectangular (figura2.22a) i nervurile aciculare cu profil cilindric (figura 2.22b).

  • Transferul de cldur prin conducie 49

    n aceste cazuri seciunea transversal a nervurii este constant (S=ct.), ecuaia general a nervurii fiind:

    0222

    =q-q m

    dxd . (2.144)

    Soluia general a ecuaiei este: mxmx eCeC -+=q 21 .

    Fig. 2.22 Nervuri cu seciune constant a) nervura rectangular; b)nervura cilindric

    Pentru determinarea constantelor C1 i C2 se pot pune diferite tipuri de condiii la limit. a) Cldura transmis prin vrful nervurii este neglijabil n acest caz condiiile la limit vor fi:

    la x = 0, T = T0, respectiv 0q=q ;

  • Iniiere n transferul de cldur i mas 50

    la x = L , 0=dxdT , respectiv 0=q

    dxd

    Rezult:

    =

    q=+-mLmL meCmeC

    CC

    21

    021 (2.145)

    De unde:

    mLmLmL

    eeeC -

    -

    +q= 01 ; (2.146)

    mLmLmL

    eeeC -+

    = 02 q . (2.147)

    Distribuia temperaturii n lungul nervurii va fi:

    mLmLmxmLmxmL

    eeeeee

    -

    --

    ++

    =qq

    0

    , (2.148)

    sau:

    mLmx

    mL

    mx

    ee

    ee

    220 11

    -

    -

    ++

    +=

    qq . (2.149)

    Utiliznd funciile hiperbolice: shx = (ex - e-x)/2; chx = (ex +e-x)/2, ecuaia (2.149) se poate scrie:

    ( )[ ]( )mLchxLmch -

    =qq

    0

    (2.150)

    Din analiza relaiei (2.150) rezult c temperatura nervurii scade n lungul su, scderea fiind cu att mai mare cu ct parametrul m este mai mare. Fluxul termic transmis prin nervur este egal cu fluxul termic care intr prin baza nervurii:

    ( )( )mLchmLshSm

    dxdSQ

    xn ql=

    ql-=

    =0

    Dar SPm la= / , atunci: ( )mLthSPQn 0qla= (2.151)

  • Transferul de cldur prin conducie 51

    nlocuind pe S = bd0 rezult:

    ( )( )mLchmLmshbQn 00

    qld= , (2.152)

    sau: ( )mLthbmQn 00 qld= [W] . (2.153) Randamentul nervurii se definete ca raportul ntre fluxul termic transmis prin nervur i fluxul maxim care s-ar transmite dac nervura ar avea pe toat lungimea temperatura de la baza ei T0. Rezult:

    ( )0

    00

    max 2 aqqld

    ==hLb

    mLthbmQQn

    n . (2.154)

    sau:

    ( )L

    mLmthn

    0

    2ld

    a=h . (2.155)

    Dar: 0

    2 2ld

    a=m , deci:

    ( )mLmLth

    n =h (2.156)

    Pentru a se lua n consideraie cldura cedat prin vrful nervurii Harper-Brown, propune ca s se mreasc fictiv lungimea nervurii L cu o lungime DL, astfel nct, fluxul de cldur transmis prin vrful nervurii s fie egal cu cel transmis prin suprafaa lateral a prelungirii fictive cu DL a nervurii (figura 2.23).

    Fig.2.23 Nervura echivalent cu captul

    Izolaie termic

    qL q = 0

    d0

    DL L

  • Iniiere n transferul de cldur i mas 52

    izolat termic (aproximaia Harper-Brown) Lbb L Da=qad 20 ; (2.157) rezult: 2/0d=DL (2.158) Noua lungime de calcul a nervurii va fi: 2/0d+= LLc (2.159) b) Nervura infinit n acest caz condiiile la limit vor fi:

    la x = 0 , 0q=q la x = , 0=q

    Rezult: C1 = 0 i C2 = 0q Atunci variaia temperaturii n lungul nervurii va fi:

    mxe-=qq

    0

    (2.160)

    Fluxul termic transmis prin nervur i randamentul nervurii vor fi: 00 qld= bmQn [W] ; (2.161)

    mn1

    =h (2.162)

    c) Nervura cu lungime finit n acest caz condiiile la limit vor fi:

    la x=0 , T = T0, respectiv 0q=q ;

    la x = L , ( )fLL TTdxdT

    -a=l- , respectiv LLdxd

    qa=q

    l-

    Rezult:

  • Transferul de cldur prin conducie 53

    ( )

    +la

    -=-=q

    q=+

    --

    =

    mLmLmLmL

    Lx

    eCeCmeCmeCdxd

    CC

    2121

    021 ;

    (2.163) Rezolvnd sistemul (2.163) se obine:

    la

    -+

    la

    +

    la

    -q=

    mme

    mC

    mL2

    0

    1 ; (2.164)

    la

    -+

    la

    +

    la

    +q=

    mme

    meC

    mL

    mL

    2

    20

    2 .

    (2.165) Variaia temperaturii n lungul nervurii va fi:

    la

    -+

    la

    +

    la

    ++

    la

    -=

    qq

    -

    mme

    meeme

    mL

    mLmxmx

    2

    2

    0

    ,

    (2.166) Sau utiliznd funcii hiperbolice:

    ( )[ ] ( )[ ]

    ( ) ( )mLshm

    mLch

    xLmshm

    xLmch

    la

    +

    -l

    a+-

    =qq

    0

    . (2.167)

    Fluxul termic transmis prin nervur va fi:

    0=

    ql-=

    xn dx

    dSQ ; (2.168)

    ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )mLshmmLchmLchmmLshSPQn la+

    la+laq=

    //

    0 . (2.169)

  • Iniiere n transferul de cldur i mas 54

    2.2.3.3. Nervura circular Pentru extinderea suprafeei evilor de cele mai multe ori se utilizeaz nervuri circulare (figura 2.20.c) Elementele geometrice ale acestei nervuri (figura 2.24) sunt: S = 2prd0; P = 4pr + 2d0 , sau deoarece d0

  • Transferul de cldur prin conducie 55

    unde: I0 i K0 sunt funciile Bessel modificate de spea I i ordinul 0, respectiv spea II i ordinul 0. Considernd cldura degajat prin vrful nervurii neglijabil, vom avea condiiile la limit:

    la r = r1 , 0q=q ;

    la r = r2 , 0=q

    drd

    Rezult:

    ( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) ( )21102110021021

    0 mrImrKmrKmrImrKmrImrImrK

    ++

    =qq

    , (2.174)

    unde: I1 i K1 sunt funciile Bessel modificate de spea I i ordinul I, respectiv de spea II i ordinul I. Fluxul termic transmis prin nervur va fi:

    11

    010 2rrrr

    n drdr

    drdTSQ

    ==

    qdpl-=l-= . (2.175)

    Rezult yqldp 0012 mrQn = , (2.176) unde:

    ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2110211011211121

    mrKmrImrImrKmrImrKmrKmrI

    +-

    =y (2.177)

    Randamentul nervurii va fi:

    ( )y-p=h 212212

    rrr

    n . (2.178)

    n tabelul (2.4) i n figurile (2.25) i (2.26) sunt prezentate valorile randamentului nervurii i variaia acestuia n funcie de (mL) pentru principalele tipuri de nervuri.

  • Iniiere n transferul de cldur i mas 56

    Tabelul 2.4 Valorile randamentului nervurii

    Tipul nervurii Randamentul nervurii 1 2

    Nervuri longitudinale Rectangulara S = 2bLc Lc = L+(d/2)

    c

    cn mL

    mLtanh=h

    Triunghiulara S=2b[L2+(d/2)2]1/2

    )2()2(1

    0

    1

    mLImLI

    mLn=h

    Parabolica S=b[C1L+ +(L2/d)ln(d/L+C1)] C1=[1+(d/L)2]1/2

    ( )[ ] 1142

    2/12 ++=h

    mLn

    Nervuri circulare Rectangulara

    ( )21222 rrS c -p= r2c = r2 + (d/2)

    ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )cc

    ccn mrImrKmrKmrI

    mrKmrImrImrKC21102110

    211121112 +

    -=h

    ( )( )2122

    12

    /2rrmrC

    c -=

    Nervuri aciculare Rectangularb Af=pDLc Lc=L+(D/4)

    cc

    n mLmLtanh

    =h

    Triunghiularb

    ( )[ ] 2/122 2/2

    DLDS +p=

    ( )( )mLI

    mLImLn 2

    22

    1

    2=h

    Parabolicb

    {

    [ ] }34

    43

    3

    )/2(ln2

    8

    CLDCDL

    CCDLS

    +-

    -p

    =

    C3 = 1+2(D/L)2 C4 = [1+(D/L)2]1/2

    [ ] 11)(9/42

    2/12 ++=h

    mLn

    a m = (2a/ld)1/2 b m = (4a/lD)1/2

  • Transferul de cldur prin conducie 57

    Fig. 2.25 Variaia randamentului nervurilor longitudinale

    Fig. 2.26 Variaia randamentului nervurilor circulare

    O alt mrime care caracterizeaz performanele nervurrii este eficiena nervurrii, definit ca raportul ntre fluxul termic transmis prin nervur i fluxul termic transmis dac nu ar exista nervurarea:

  • Iniiere n transferul de cldur i mas 58

    00qa

    =eSQn

    n , (2.179)

    unde S0 este seciunea la baza nervurii. Dac, exprimm valoarea lui en pentru nervura infinit cu seciunea constant, va rezulta:

    mbbm

    n al

    =aqd

    qld=e

    00

    00 , (2.180)

    sau nlocuind valoarea 2/1

    la

    =SPm , rezult:

    SP

    n al

    =e (2.181)

    Din analiza relaiilor de calcul ale randamentului nervurilor a figurilor (2.25) i (2.26) i a valorii eficienei nervurii rezult urmtoarele observaii:

    randamentul i eficiena nervurii crete odat cu conductivitatea termic a materialului l, din acest motiv se recomand ca nervurile s se realizeze din cupru sau aluminiu;

    n cazul nervurilor longitudinale profilul recomandat este parabolic sau triunghiular;

    pentru o eficien ridicat nervurile trebuie s aib raportul P/S ridicat, pentru aceasta nervura trebuie s fie zvelt, cu grosimea mic i nlimea ridicat;

    nervurarea este eficient numai n cazul n care coeficientul de convecie este cobort, din aceste motive de obicei nervurarea se face pe partea gazelor la care valorile lui a sunt de ordinul zecilor de W/(m2K);

    nervurarea se justific de obicei numai la valori (lP/aS)1/2 > 4.

    2.2.3.4. Transferul de cldur printr-un perete nervurat Dac se consider un perete plan nervurat pe una din pri cu suprafaa pe partea ne nervurat S1 i suprafaa pe partea nervurat St: St = Sn + Snn [m2] (2.182) unde: Sn, Snn sunt suprafa nervurilor, respectiv suprafaa din perete ne nervurat (dintre nervuri).

  • Transferul de cldur prin conducie 59

    Fig.2.27 Transferul de cldur printr-un

    perete plan nervurat. Fluxul termic transmis pe partea nervurat va fi:

    0022 qa=qa+qa=+= trednnnnnnn SSSQQQ [W] (2.183) Dar: 0qh=q nn , deci: 00202 qa=qa+qha= trednnnn SSSQ [W] , (2.184) de unde:

    t

    nnnnred S

    SS +ha=a 2 [W/(m

    2K)] . (2.185)

    Fluxul termic transmis de la fluidul cald cu Tf1, ctre cel rece cu temperatura Tf2 va fi:

    ( ) ( ) ( )222111111 fptredpppf TTSTTSTTSQ -a=-dl

    =-a= [W]

    (2.186) Din acest ir de egaliti rezult:

  • Iniiere n transferul de cldur i mas 60

    ( )

    red

    tt

    tff

    tred

    ff

    SS

    SS

    STT

    SSS

    TTQ

    a+

    ld

    +a

    -=

    a+

    ld

    +a

    -=

    11111

    111

    21

    111

    21 [W] (2.187)

    n cazul peretelui nervurat se pot defini doi coeficieni globali de schimb de cldur, dup cum acetia se refer la suprafaa nervurat sau ne nervurat: ( ) ( )2122111 fftSffS TTSKTTSKQ -=-= [W] . (2.188) Rezult:

    tred

    S

    SSK 1

    1

    1 111

    ald

    a++

    = [W/(m2K)] , (2.189)

    red

    ttS

    SS

    SSK

    ald

    a11

    1

    111

    2

    ++= [W/(m2K)] . (2.190)

    Raportul St/S1, poart denumirea de coeficient de nervurare:

    1S

    Sn t= . (2.191)

    Din analiza relaiei (2.189), rezult ca prin nervurare (n ipoteza hn=1), coeficientul de convecie pe partea nervurat se mrete de n ori. Din acest motiv n multe lucrri nervurarea este menionat ca o metod de intensificare a transferului de cldur convectiv.

  • Transferul de cldur prin conducie 61

    2.3. Conducia termic bidirecional n regim constant

    Tratarea unidirecional a problemelor de conducie d rezultate acceptabile n cazul corpurilor cu grosimea mult mai mic fa de lungimea lor, cum sunt evile, plcile subiri, cilindri cu diametru mic, la care transferul de cldur are loc predominant transversal. Exist ns cazuri n care corpurile au contururi neregulate sau la care temperaturile pe contur nu sunt uniforme. n aceste situaii tratarea problemelor trebuie fcut bidirecional sau chiar tridimensional. Rezolovarea problemelor de conducie bi sau tridimensional se poate realiza prin metode analitice, grafice sau numerice.

    2.3.1. Metoda separrii variabilelor

    Pentru exemplificarea acestei metode vom considera o plac rectangular la care trei laturi sunt meninute la o temperatur constant T1, iar cea de-a patra fat este meninut la temperatura T2 T1 (figura 2.28). Scopul studiului va fi determinarea cmpului de temperatur T(x,y) n plac Transferul de cldur conductiv va fi bidirecional, n regim staionar printr-un corp omogen i izotrop, fr surse interioare de cldur. Ecuaia diferenial care caracterizeaz procesul va fi:

    022

    2

    2

    =

    +

    yT

    xT . (2.192)

    Pentru simplificarea soluiei vom face schimbarea de variabil:

    12

    1

    TTTT

    --

    =q , (2.193)

    n acest caz ecuaia diferenial fiind:

    022

    2

    2

    =

    +

    yxqq , (2.194)

    condiiile la limit fiind: ( ) 0,0 =q y i ( ) 00, =q x ; (2.195) ( ) 0, =q yL i ( ) 1, =q Wx . (2.196)

  • Iniiere n transferul de cldur i mas 62

    Fig. 2.28 Conducia termic bidirecional printr-o plac

    Pentru rezolvarea ecuaiei se utilizeaz metoda separrii variabilelor, considernd funcia q ca un produs a dou funcii, una numai funcie de x, cealalt numai funcie de y: ( ) ( ) ( )yYxXyx =q , . (2.197) Ecuaia (2.194) devine:

    22

    2

    2 11dy

    YdYdx

    XdX

    =- (2.198)

    Pentru a avea aceast egalitate, fiecare membru al ei trebuie s fie egal cu aceeai constant. Pentru ca s se obin o soluie care s respecte condiiile la limit impuse, constanta trebuie s fie pozitiv ( )2l . Vom scrie atunci:

    0222

    =l+ Xdx

    Xd (2.199)

    0222

    =l- Ydy

    Yd (2.200)

    T (x,y) T1,q = 0 T1,q = 0

    T1,q = 0

    T2,q = 1

    0

    W

    L

    y

    x

  • Transferul de cldur prin conducie 63

    Soluiile generale ale ecuaiilor (2.199) i (2.200) sunt: xCxCX l+l= sincos 21 ; (2.201) yy eCeCY ll- += 43 . (2.202) Soluia general a funciei q va fi: ( )( )yy eCeCxCxC ll- +l+l=q 4321 sincos . (2.203) Din condiia q (0, y) = 0 , rezult c C1 = 0 Din condiia q (x, 0) = 0 , rezult: ( ) 0sin 432 =+l CCxC (2.204) Deoarece C2 nu poate fi zero, pentru c n acest caz funcia q nu ar mai fi variabil cu x, rezult: C3 + C4 = 0, deci C3 = -C4. Soluia general devine: ( )yy eexCC l-l -l=q sin42 (2.205) Din condiia ( ) 0, =q yL , se obine: ( ) 0sin42 =-l l-l yy eeLCC Aceast condiie se poate realiza numai dac constanta l va lua valori pentru care 0sin =lL . Aceste valori sunt:

    Lnp

    =l cu n = 1, 2, 3.... (2.206)

    Atunci:

    ( )LynLyn eeL

    xnCC //42 sinp-p -

    p=q . (2.207)

    Combinnd cele 2 constante C2 i C4 i trecnd la funcii hiperbolice se obine:

    L

    ynL

    xnCn

    npp

    q sinhsin1

    =

    = . (2.208)

    Pentru determinarea lui Cn se pune ultima condiie la limit ( ) 1, =q Wx :

    1sinhsin1

    =

    = LWn

    LxnC

    nn

    pp . (2.209)

    Pentru determinarea lui Cn din ecuaia (2.209) vom folosi analogia cu dezvoltarea n serii a funciilor ortogonale [20]. Astfel un ir infinit de funcii g1(x), g2(x), ....., gn(x), .... va fi ortogonal n domeniul a x b, dac:

    ( ) ( ) =b

    anm dxxgxg 0 , m n . (2.210)

  • Iniiere n transferul de cldur i mas 64

    Orice funcie f(x) poate fi exprimat ca o sum infinit de funcii ortogonale:

    ( ) ( )xgAxf nn

    n

    =

    =1

    (2.211)

    Forma coeficientului An din aceast serie se poate determina prin multiplicarea fiecrui membru al ecuaiei cu gn(x) i integrarea ntre limitele a i b:

    ( ) ( ) ( ) ( )dxxgAxgdxxgxf nn

    n

    b

    an

    b

    an

    =

    =1

    .

    (2.212) innd seama de condiia (2.209) rezult ca n membrul drept al ecuaiei (2.212) va rmne din sum numai un singur termen pentru care integrala nu este egal cu zero, deci:

    ( ) ( ) ( )dxxgAdxxgxfb

    annn

    b

    a = 2 (2.213)

    Rezult:

    ( ) ( )

    ( )dxxg

    dxxgxfA b

    an

    n

    b

    an

    =

    2

    . (2.214)

    Pentru determinarea lui Cn din ecuaia (2.209) vom alege f(x) = 1 i ( ) ( )Lxnxgn /sin p= . Se va obine:

    ( )n

    dxL

    xn

    dxL

    xn

    An

    L

    L

    n112

    sin

    sin 1

    0

    2

    0 +-p

    =p

    p

    =+

    . (2.215)

    nlocuind An n ecuaia (2.211) avem:

    ( ) 1sin1121

    1=

    p+-p

    +

    = L

    xnn

    n

    n (2.216)

    Comparnd ecuaia (2.216) cu (2.209), rezult:

    ( )[ ]( )LWnhnCn

    n /sin112 1

    pp+-

    =+

    , n = 1, 2, 3 ... (2.217)

    Atunci ecuaia (2.208) devine:

  • Transferul de cldur prin conducie 65

    ( ) ( ) ( )( )LWnLyn

    Lxn

    nyx

    n

    n

    /sinh/sinhsin112,

    1

    1

    ppp

    pq

    =

    + +-= (2.218)

    Ecuaia (2.218) este o serie convergent, care permite calculul lui q pentru orice valoare x i y. n figura 2.29 sunt prezentate izotermele obinute pentru placa considerat [20].

    Fig. 2.29 Izotermele pentru o plac cu conducie bidirecional

    2.3.2. Metoda grafic

    Metoda grafic poate fi utilizat pentru problemele la care conturul corpului studiat este izoterm i adiabat. Metoda se bazeaz pe faptul c izotermele i liniile care indic direcia fluxului termic sunt perpendiculare. Obiectivul metodei este s construiasc o reea de izoterme i linii ale fluxului termic. Procedura de construcie a reelei exemplificat pentru un canal ptrat cu lungimea l (figura 2.30), are urmtoarele etape [1]:

    0.75

    0.50

    0.25

    0.1

    q = 0

    q = 1 W

    L

    y

    x

    q = 0 q = 0

    0

  • Iniiere n transferul de cldur i mas 66

    1. Prima etap o constituie identificarea liniilor de simetrie i descompunerea corpului n elemente identice care vor fi analizate (figura 2.30b).

    2. Liniile de simetrie sunt adiabate, izotermele fiind perpendiculare pe ele.

    3. Se traseaz toate izotermele cunoscute pe contur i se face o ncercare de construire a celorlalte izoterme, care va trebui s fie perpendiculare pe adiabate.

    4. Se traseaz ntreaga reea de izoterme i liniile de flux constant, obinndu-se o reea de ptrate curbilinii care trebuie s ndeplineasc condiia ca liniile de temperatur i flux constant s formeze unghiuri drepte i fiecare latur a unui ptrat s aib aproximativ aceeai lungime. Deoarece ultima condiie este dificil de respectat strict, se accept ca s fie egale sumele feelor opuse ale fiecrui ptrat. Pentru unul din ptrate (figura 2.30c) condiia se scrie:

    22bdacycdabx +=D+=D . (2.219)

    Fig. 2.30 Conducia bidirecional ntr-un canal cu seciune ptrat i lungime l: a) liniile de simetrie;

    b) reeaua de izoterme i linii de flux; c) element curbiliniu al reelei

    T1 T2

    Linii de simetrie

    Adiabate

    Izoterme

    DTj qi qi

    T1

    T2

    DTj

    Dy

    Dx

    a b

    c d

    qi

    y

    x

    (a)

    (b)

    (c)

  • Transferul de cldur prin conducie 67

    Realizarea unei reele corecte se poate realiza numai prin iteraii succesive cu rbdare i sim artistic. Dup obinerea reelei finale se dispune de o distribuie a temperaturii n corp i se poate calcula fluxul termic unitar. Astfel pentru celula din figura 2.30c avem:

    ( )xT

    lyx

    TAQ jjii D

    DDl=

    D

    Dl= , (2.220)

    Deoarece creterea de temperatur este aceeai pentru fiecare celul:

    NTT j 21-

    D=D , (2.221)

    unde: N este numrul de intervale (pai) de temperatur ntre feele cu temperaturile T1 i T2. innd seama c avem M culoare paralele de flux termic i c

    yx DD , fluxul termic total va fi:

    21-Dl== TNMlMQQ i (2.222)

    Raportul Ml/N=B depinde de forma geometric a corpului i poart numele de factor de form. Atunci:

    21-Dl= TSQ [W] . (2.223)

  • Tabelul 2.5 Factorul de form pentru cteva sisteme bidirecionale

    Nr. Sistemul Schema Restricii Factorul de form

    1 2 3 4 5

    1 Sfer izoterm ntr-un mediu semi-infinit

    z > D/2 zD

    D4/1

    2-

    p

    2 Cilindru orizontal izoterm cu lungimea L ntr-un mediu semi-infinit

    L >> D L >> D z > 3D/2

    ( )

    ( )DzL

    DzhL

    /4ln2

    /2cos2

    1

    p

    p-

    3 Cilindru vertical ntr-un mediu semi-infinit

    L >> D ( )DLL/4ln

    2p

    4 Doi cilindri cu lungimea L n mediu infinit

    L >> D1, D2 L >> w

    --p

    -

    21

    22

    21

    21

    24cos

    2

    DDDDwh

    L

    L T1

    D

    T2

    L D T1

    z

    T2

    T1 D

    z

    T2

    T

    T

    DD

    w

  • Tabelul 2.5 (continuare)

    1 2 3 4 5

    5

    Cilindru orizontal cu lungimea L ntre dou plane paralele cu aceeai lungime i lime infinit

    z >> D/2 L >> z ( )Dz

    Lp

    p/8ln

    2

    6 Cilindru cu lungimea L ntr-un cub cu aceeai lungime

    w > D L >> w ( )Dw

    L/08.1ln

    2p

    7 Cilindru excentric cu lungimea L, ntr-un cilindru cu aceeai lungime

    D > s L >>D

    -+p

    -

    DdzdDh

    L

    24cos

    2222

    1

    T1

    T2

    T2

    z

    z D

    w T1

    D

    T2

    D

    d

    z

    T1 T2

  • Tabelul 2.5

    (continuare) 1 2 3 4 5

    8 Conducia n muchea a doi perei

    D > L/5 0.54 D

    9 Conducia prin colul de intersecie a trei perei

    L

  • Transferul de cldur prin conducie 71

    2.3.3. Metode numerice

    Pentru geometri complexe i condiii pe frontier de ordinul II, metoda analitic i grafic nu pot oferi soluii fiabile. n aceste cazuri cea mai bun alternativ o constituie utilizarea metodelor numerice, care sunt: metoda diferenelor finite, metoda elementelor finite i metoda elementelor de frontier [6,10,43] conductivitatea termic a celor dou solide; Deoarece analiza acestor metode face obiectul altor discipline, n prezentul paragraf se va prezenta numai modul n care ecuaia lui Laplace pentru conducia bidirecional n regim permanent poate fi transformat ntr-o ecuaie algebric. Spre deosebire de soluiile analitice, la care ecuaiile descriu cmpul de temperatur n orice punct, soluiile numerice permit determinarea temperaturii n puncte discrete. Prima etap a oricrei analize numerice presupune alegerea acestor puncte. Pentru aceasta corpul studiat se mparte n mici regiuni, n centrul creia se ia un punct de referin (figura 2.31) care poart numele de nod. Suma acestor noduri formeaz reeaua de noduri sau gril. Fiecare nod reprezint o regiune i temperatura lui este temperatura medie a regiunii. El este caracterizat de o schem numeric (figura 2.31a), coordonatele x i y fiind desenate de indicii m i n. Alegerea grilei de discretizare se face innd seama de geometria corpului i de precizia pe care o dorim. Cu ct grila este mai fin, cu att precizia este mai mare, dar numrul de ecuaii crete, crescnd timpul de calcul.

    xTT

    xT

    xTT

    xT

    nmnm

    nm

    nmnm

    nm

    D-

    =

    D-

    =

    +

    +

    -

    -

    ,,1

    ,2/1

    ,1,

    ,2/1

    Fig. 2.31 Conducia bidirecional: a) Reeaua de noduri

    b) Aproximarea cu diferene finite

    Dx

    Dx

    Dy

    x,m

    y,n

    m-1,n

    m+1,n

    m,n-1

    m,n+1

    m,n

    21

    -m21

    +m m+1

    m-1

    m

    Dx x

    T(x)

    (a)

    (b)

  • Iniiere n transferul de cldur i mas 72

    Pentru aproximarea ecuaiei (2.192) cu diferene finite se vor exprima derivatele de ordinul unu i doi ale temperaturii:

    xTT

    xT nmnm

    nm D-

    -

    -

    ,1,

    ,2/1

    ; (2.224)

    x

    TTxT nmnm

    nm D-

    +

    +

    ,,1

    ,2/1

    ; (2.225)

    i

    x

    xT

    xT

    xT nmnm

    nm D

    -

    -+ ,2/1,2/1

    ,2

    2

    . (2.226)

    Atunci:

    ( )2

    ,,1,1

    ,2

    2 2x

    TTTxT nmnmnm

    nm D

    -+

    -+ . (2.227)

    Similar:

    ( )2

    ,1,1,

    ,2

    2 2y

    TTTyT nmnmnm

    nm D

    -+

    -+ . (2.228)

    nlocuind n (2.192) i utiliznd o reea la care yx D=D , ecuaia lui Laplace scris cu elemente finite, caracteriznd conducia bidirecional prin corpuri omogene, fr surse interioare de cldur, n regim staionar va fi: 04 ,,1,11,1, =-+++ -+-+ nmnmnmnmnm TTTTT (2.229) Aceast ecuaie trebuie scris pentru fiecare nod al reelei, prin rezolvarea sistemului de ecuaii obinut se determin temperaturile din diferite noduri. Rezolvarea sistemelor de ecuaii se pot realiza prin diferite metode [6,43]: metoda relaxrii, inversiunea matricelor, metoda Gauss-Seidel etc.

  • Transferul de cldur prin conducie 73

    2.4. Conducia termic n regim tranzitoriu

    n tehnic procesele termice tranzitorii pot apare n trei categorii de procese:

    procese tranzitorii care n final ating regimul constant; procese tranzitorii de scurt durat la care nu se atinge regimul

    constant; procese tranzitorii periodice, n care temperatura i fluxul termic

    au variaii ciclice. n prezentul capitol ne vom ocupa numai de prima categorie de procese tranzitorii, care au o larg rspndire. Cel mai simplu proces de conducie tranzitorie este cele de nclzire a unei piese ntr-un cuptor (figura 2.32a) n care temperatura este Tf [33]. Corpul ncepe s se nclzeasc n timp de la suprafaa acestuia (Tp), temperatura n centrul corpului (T0) ncepnd s creasc dup o perioad de timp. Dup un interval de timp (teoretic infinit) corpul ajunge la echilibru cu mediul din cuptor. Fluxul primit de corp (Q) descrete n timp ajungnd 0 la echilibru. n cazul conduciei printr-un perete ntre un fluid cald cu Tf1 i unul rece cu Tf2 (figura 2.32b), dac printr-un salt de temperatur, temperatura fluidului cald crete de la ' 1fT la

    "1fT , temperatura fluidului rece rmnnd

    constant ' 2fT , temperaturile peretelui cresc n timp (figura 2.32b) creterea fiind simit nti pe partea fluidului cald, Tp1, apoi pe partea fluidului rece, Tp2 (figura 2.32c). Variaia fluxurilor termice cedate de fluidul cald Q1 i primite de fluidul rece Q2 (figura 2.32d), evideniaz cldura acumulat n perete (suprafaa haurat) pentru a modifica entalpia acestuia. La nclzirea sau rcirea n regim tranzitoriu a corpurilor se evideniaz dou tipuri de rezistene termice: rezistenele termice interioare, date de procesul de conducie i rezistenele termice de suprafa, datorate conveciei ntre corp i fluidul cu care vine n contact.

  • Iniiere n transferul de cldur i mas 74

    Fig. 2.32 Conducia termic n regim tranzitoriu

    Tratarea analitic a proceselor de conducie tranzitorie se poate face n trei ipoteze:

    corpuri cu rezistene interne neglijabile; corpuri cu rezistene de suprafa neglijabile; corpuri cu rezistene interne i de suprafa finite.

    t1 t2 t3

    ''1fT

    '1fT

    '2fT

    '2pT

    ''2pT

    ''1pT

    '1pT

    d

    0

    T

    x

    b) a)

    c) d)

    t

    T

    T=f (t)

    Tf

    Tp T0

    0

    Q=f (t)

    t

    Q

    0

    0 0

    '1pT ''

    2pT

    Tp1

    Tp2 '2pT

    ''1pT

    ''pTD

    'pTD

    Q T

    t t

    Q1

    Q2

    Q

    Q

  • Transferul de cldur prin conducie 75

    2.4.1. Conducia tranzitorie prin corpuri cu rezistene interne neglijabile

    n acest caz temperatura n interiorul corpului va fi constant, ea variind numai n timp. Fluxul de cldur schimbat de corp cu mediul ambiant prin convecie va fi egal cu fluxul acumulat n cor