suuuuccccccceeeessss!!!! · pdf fileprof. ioana cr ăciun ... da ţi exemplu de dou ă ... ar...
TRANSCRIPT
Inspectoratul Şcolar al Judeţului Prahova
Olimpiada de matematică
Etapa locală-26 ianuarie 2008
Clasa a V a
Subiecte
1. Calculaţi :
a) )2120(...)220)(120(2008 33333320080
−⋅⋅−−− .
b) 227222 5025210042102502008 ⋅⋅−⋅⋅−⋅ .
Prof. Nicolae Radu,Ploieşti
2. Să se afle câtul şi restul împărţirii numărului 11t+z la x+y ,unde :
15220 1 +⋅⋅= + nnx , 15210 1 −⋅⋅= +nny , 115240 1 +⋅⋅= + nn
z ,
152100 1 −⋅⋅= +nnt , n ∈ N *
. Prof. Maria şi Anton Negrilă, Ploieşti
3. Mulţimea A este formată din toate numerele de trei cifre distincte scrise numai cu cifrele
de la 1 la 8.
a) Calculaţi ( 375+624)+(143+856).
b)Determinaţi numărul de elemente din mulţimea A.
c) Calculaţi suma elementelor mulţimii A.
Prof. Dragoş Moldoveanu , Sinaia
4. Se dă şirul 1,9,35,91,189,341,559,855,........
a) Enumeraţi următorii doi termeni ai şirului.
b) Arătaţi că al 2008 –lea termen al şirului este divizibil cu 5.
Prof. Adelina Apostol ,Ploieşti
SSSSSSSSUUUUUUUUCCCCCCCCCCCCCCCCEEEEEEEESSSSSSSS!!!!!!!!
Notă:
Timp de lucru : 3 ore.
Fiecare subiect se notează cu puncte de la 1 la 10
Inspectoratul Şcolar al Judeţului Prahova
Olimpiada de matematică
Etapa locală-26 ianuarie 2008
Clasa a VI a
Subiecte
1. Să se arate că nu există nici un număr natural care prin împărţire la 25 să dea restul 15 iar
prin împărţire la 15 să dea restul 6.
Prof. Ioana Crăciun si Gheorghe Crăciun, Ploieşti
2 Un număr natural,scris în baza zece,are 2008 cifre şi este scris cu cifrele 3,4,5 şi 613
zerouri.Numărul de apariţii al cifrelor 3,4,5 este direct proporţional cu numerele 4,5 şi 6.Să se
arate că numărul dat nu este pătrat perfect.
Prof. Anda Marcu,Ploieşti
3. Fie punctele A,O,E coliniare( în această ordine) şi semidreptele [OB, [OC, [OD construite
în acelaşi semiplan, astfel încât unghiurile AOB şi DOE sunt congruente şi măsurile
unghiurilor AOB,BOC şi COD sunt direct proporţionale cu numerele 3,4 si 2.
a) Aflaţi măsurile unghiurilor AOB,BOC,COD şi DOE.
b) Fie semidreapta [OD′ opusa lui [OD.Justificaţi că semidreapta [OA este bisectoarea
unghiului BOD′şi OB ⊥ DD′.
Prof. Nicolae Radu,Ploieşti
4. Vom spune că o mulţime de unghiuri formate în jurul unui punct au proprietatea P dacă
măsurile oricăror două unghiuri adiacente diferă prin 20 .
a) Determinaţi măsurile exprimate prin numere întregi în cazul unei mulţimi de 6 unghiuri
care au proprietatea P.
b) Arătaţi că nu există mulţimi formate din 9 unghiuri care să aibă proprietatea P.
Prof. Dragoş Moldoveanu , Sinaia
SSSSSSSSUUUUUUUUCCCCCCCCCCCCCCCCEEEEEEEESSSSSSSS!!!!!!!!
Notă:
Timp de lucru : 3 ore.
Fiecare subiect se notează cu puncte de la 1 la 10
Inspectoratul Şcolar al Judeţului Prahova
Olimpiada de matematică
Etapa locală-26 ianuarie 2008
Clasa a VII a
Subiecte
1. Demonstraţi că:
a) ( )3
1
+nn=
+−
3
11
3
1
nn,∀ n ∈ N*
b) S =61 1 1 1 1 1 1 1 1
........18 1 4 2 5 3 6 100 103 3 101 102 103
+ + + + + + + +
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
este un pătrat perfect.
Prof. Mihaela Doinaru ,Sinaia
2. Numerele naturale a şi b au proprietatea „P” dacă ba + şi ba − sunt simultan numere
naturale.
a) Daţi exemplu de două numere naturale nenule care au proprietatea „P”.
b) Arătaţi că dacă numerele naturale a şi b au proprietatea „P” atunci ele nu pot fi
simultan numere impare.
Prof.Gh.Bumbăcea, Buşteni
3 . Se consideră paralelogramul ABCD şi punctele M = mijlocul lui ][BC , ][ABE ∈
cu EBAE ⋅= 2 . Fie { }NBDAM =∩ , { }FACDE =∩ , { }PADMF =∩ . Sa se
demonstreze că NPDC este trapez .
Prof.Claudiu Militaru ,Ploieşti
4. Fie ABCD un patrulater convex oarecare,dar nu paralelogram,M, N,P,Q mijloacele
laturilor AB,BC,CD,respectiv AD.Notăm cu E intersecţia dreptelor DM şi BQ şi cu F
intersecţia dreptelor DN şi BP.
a) Să se arate că MNPQ este paralelogram ,iar MEFN şi QEFP sunt trapeze.
b) Demonstraţi că ,dacă MEFN şi QEFP sunt ambele trapeze isocele,atunci DB este
bisectoare pentru unghiurile ADC şi ABC.
Prof. Gabriela Leu ,Sinaia
SSSSSSSSUUUUUUUUCCCCCCCCCCCCCCCCEEEEEEEESSSSSSSS!!!!!!!!
Notă:
Timp de lucru : 3 ore.
Fiecare subiect se notează cu puncte de la 1 la 10
Inspectoratul Şcolar al Judeţului Prahova
Olimpiada de matematică
Etapa locală-26 ianuarie 2008
Clasa a VIII a
Subiecte
1. Arătaţi că dacă ∈+
+
23
23
cb
baQ , unde a,b,c∈N*, atunci =++ 222
cba ( a+b+c)(a-b+c).
Prof .Gheorghe Achim , Mizil
2. Demonstraţi că :
a) a
a 2+<
1
1
−
+
a
a , pentru orice a > 1.
b) 20082008
200720072
2
+
+>
2
2
20072007
20062006
+
+
Prof. Ion Bilciurescu , Boldesti - Scaieni
3. Paralelipipedul dreptunghic ABCDA’B’C’D’ are laturile AD = AA’ = a şi AB = 2a.
Punctul E este proiecţia punctului A pe diagonala BD’. Calculaţi:
a) măsura unghiului diedru format de planele (D’AB) şi (BCD).
b) aria triunghiului AD’B.
c) lungimea segmentului C’E.
Prof. Magdalena-Maria Georgescu şi Mihail Focşeneanu,Ploieşti
4. Pe planul trapezului dreptunghic ABCD cu AB CD, m( A) =m(D) =900,DC= a,
AB= 2a si AC ⊥ BD, se ridică perpendiculara MA =a 2 .Calculaţi distanţa de la B la MC şi
distanţa de la A la planul (MBC).
Prof. Ion Lupea şi Ion Tomescu
SSSSSSSSUUUUUUUUCCCCCCCCCCCCCCCCEEEEEEEESSSSSSSS!!!!!!!!
Notă: Timp de lucru : 3 ore. Fiecare subiect se notează cu puncte de la 1 la 10