Inspectoratul Şcolar al Judeţului Prahova

Olimpiada de matematică

Etapa locală-26 ianuarie 2008

Clasa a V a

Subiecte

1. Calculaţi :

a) )2120(...)220)(120(2008 33333320080

−⋅⋅−−− .

b) 227222 5025210042102502008 ⋅⋅−⋅⋅−⋅ .

Prof. Nicolae Radu,Ploieşti

2. Să se afle câtul şi restul împărţirii numărului 11t+z la x+y ,unde :

15220 1 +⋅⋅= + nnx , 15210 1 −⋅⋅= +nny , 115240 1 +⋅⋅= + nn

z ,

152100 1 −⋅⋅= +nnt , n ∈ N *

. Prof. Maria şi Anton Negrilă, Ploieşti

3. Mulţimea A este formată din toate numerele de trei cifre distincte scrise numai cu cifrele

de la 1 la 8.

a) Calculaţi ( 375+624)+(143+856).

b)Determinaţi numărul de elemente din mulţimea A.

c) Calculaţi suma elementelor mulţimii A.

Prof. Dragoş Moldoveanu , Sinaia

4. Se dă şirul 1,9,35,91,189,341,559,855,........

a) Enumeraţi următorii doi termeni ai şirului.

b) Arătaţi că al 2008 –lea termen al şirului este divizibil cu 5.

Prof. Adelina Apostol ,Ploieşti

SSSSSSSSUUUUUUUUCCCCCCCCCCCCCCCCEEEEEEEESSSSSSSS!!!!!!!!

Notă:

Timp de lucru : 3 ore.

Fiecare subiect se notează cu puncte de la 1 la 10

Inspectoratul Şcolar al Judeţului Prahova

Olimpiada de matematică

Etapa locală-26 ianuarie 2008

Clasa a VI a

Subiecte

1. Să se arate că nu există nici un număr natural care prin împărţire la 25 să dea restul 15 iar

prin împărţire la 15 să dea restul 6.

Prof. Ioana Crăciun si Gheorghe Crăciun, Ploieşti

2 Un număr natural,scris în baza zece,are 2008 cifre şi este scris cu cifrele 3,4,5 şi 613

zerouri.Numărul de apariţii al cifrelor 3,4,5 este direct proporţional cu numerele 4,5 şi 6.Să se

arate că numărul dat nu este pătrat perfect.

Prof. Anda Marcu,Ploieşti

3. Fie punctele A,O,E coliniare( în această ordine) şi semidreptele [OB, [OC, [OD construite

în acelaşi semiplan, astfel încât unghiurile AOB şi DOE sunt congruente şi măsurile

unghiurilor AOB,BOC şi COD sunt direct proporţionale cu numerele 3,4 si 2.

a) Aflaţi măsurile unghiurilor AOB,BOC,COD şi DOE.

b) Fie semidreapta [OD′ opusa lui [OD.Justificaţi că semidreapta [OA este bisectoarea

unghiului BOD′şi OB ⊥ DD′.

Prof. Nicolae Radu,Ploieşti

4. Vom spune că o mulţime de unghiuri formate în jurul unui punct au proprietatea P dacă

măsurile oricăror două unghiuri adiacente diferă prin 20 .

a) Determinaţi măsurile exprimate prin numere întregi în cazul unei mulţimi de 6 unghiuri

care au proprietatea P.

b) Arătaţi că nu există mulţimi formate din 9 unghiuri care să aibă proprietatea P.

Prof. Dragoş Moldoveanu , Sinaia

SSSSSSSSUUUUUUUUCCCCCCCCCCCCCCCCEEEEEEEESSSSSSSS!!!!!!!!

Notă:

Timp de lucru : 3 ore.

Fiecare subiect se notează cu puncte de la 1 la 10

Inspectoratul Şcolar al Judeţului Prahova

Olimpiada de matematică

Etapa locală-26 ianuarie 2008

Clasa a VII a

Subiecte

1. Demonstraţi că:

a) ( )3

1

+nn=

+−

3

11

3

1

nn,∀ n ∈ N*

b) S =61 1 1 1 1 1 1 1 1

........18 1 4 2 5 3 6 100 103 3 101 102 103

+ + + + + + + +

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

este un pătrat perfect.

Prof. Mihaela Doinaru ,Sinaia

2. Numerele naturale a şi b au proprietatea „P” dacă ba + şi ba − sunt simultan numere

naturale.

a) Daţi exemplu de două numere naturale nenule care au proprietatea „P”.

b) Arătaţi că dacă numerele naturale a şi b au proprietatea „P” atunci ele nu pot fi

simultan numere impare.

Prof.Gh.Bumbăcea, Buşteni

3 . Se consideră paralelogramul ABCD şi punctele M = mijlocul lui ][BC , ][ABE ∈

cu EBAE ⋅= 2 . Fie { }NBDAM =∩ , { }FACDE =∩ , { }PADMF =∩ . Sa se

demonstreze că NPDC este trapez .

Prof.Claudiu Militaru ,Ploieşti

4. Fie ABCD un patrulater convex oarecare,dar nu paralelogram,M, N,P,Q mijloacele

laturilor AB,BC,CD,respectiv AD.Notăm cu E intersecţia dreptelor DM şi BQ şi cu F

intersecţia dreptelor DN şi BP.

a) Să se arate că MNPQ este paralelogram ,iar MEFN şi QEFP sunt trapeze.

b) Demonstraţi că ,dacă MEFN şi QEFP sunt ambele trapeze isocele,atunci DB este

bisectoare pentru unghiurile ADC şi ABC.

Prof. Gabriela Leu ,Sinaia

SSSSSSSSUUUUUUUUCCCCCCCCCCCCCCCCEEEEEEEESSSSSSSS!!!!!!!!

Notă:

Timp de lucru : 3 ore.

Fiecare subiect se notează cu puncte de la 1 la 10

Inspectoratul Şcolar al Judeţului Prahova

Olimpiada de matematică

Etapa locală-26 ianuarie 2008

Clasa a VIII a

Subiecte

1. Arătaţi că dacă ∈+

+

23

23

cb

baQ , unde a,b,c∈N*, atunci =++ 222

cba ( a+b+c)(a-b+c).

Prof .Gheorghe Achim , Mizil

2. Demonstraţi că :

a) a

a 2+<

1

1

−

+

a

a , pentru orice a > 1.

b) 20082008

200720072

2

+

+>

2

2

20072007

20062006

+

+

Prof. Ion Bilciurescu , Boldesti - Scaieni

3. Paralelipipedul dreptunghic ABCDA’B’C’D’ are laturile AD = AA’ = a şi AB = 2a.

Punctul E este proiecţia punctului A pe diagonala BD’. Calculaţi:

a) măsura unghiului diedru format de planele (D’AB) şi (BCD).

b) aria triunghiului AD’B.

c) lungimea segmentului C’E.

Prof. Magdalena-Maria Georgescu şi Mihail Focşeneanu,Ploieşti

4. Pe planul trapezului dreptunghic ABCD cu AB CD, m( A) =m(D) =900,DC= a,

AB= 2a si AC ⊥ BD, se ridică perpendiculara MA =a 2 .Calculaţi distanţa de la B la MC şi

distanţa de la A la planul (MBC).

Prof. Ion Lupea şi Ion Tomescu

SSSSSSSSUUUUUUUUCCCCCCCCCCCCCCCCEEEEEEEESSSSSSSS!!!!!!!!

Notă: Timp de lucru : 3 ore. Fiecare subiect se notează cu puncte de la 1 la 10