suport seminar inginerie

65
ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE BUCUREŞTI CATEDRA DE MONEDĂ INGINERIE FINANCIARĂ SUPORT PENTRU SEMINARII Bucureşti 2009

Upload: duongquynh

Post on 28-Dec-2016

250 views

Category:

Documents


2 download

TRANSCRIPT

Page 1: Suport seminar inginerie

ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE BUCUREŞTI

CATEDRA DE MONEDĂ

INGINERIE FINANCIARĂ

SUPORT PENTRU SEMINARII

Bucureşti 2009

Page 2: Suport seminar inginerie

2

CUPRINS

Seminar 1: Opţiuni şi strategii pe bază de opţiuni ........................................................ 3

Seminar 2: Noţiuni elementare ........................................................................................ 7

Seminar 3: Modelul Binomial ........................................................................................ 13

Seminar 4: Procese Stocastice........................................................................................ 21

Seminar 5: Martingale şi Integrala stocastică.............................................................. 28

Seminar 6: Ecuaţia Black-Merton-Scholes şi Modelul Black-Scholes ....................... 34

Seminar 7: Indicatori de senzitivitate, hedging static şi volatilitatea implicită......... 38

Seminar 8: Operaţiuni de hedging utilizând opţiuni PUT-protective........................ 45

Seminar 9: Evaluarea firmei utilizând modelul Black – Scholes (Modelul Merton

pentru riscul de credit) ................................................................................................... 49

Seminar 10: Evaluarea instrumentelor financiare derivate ....................................... 54

Seminar 11: Obligaţiuni zero-cupon – cazul stocastic. Preţul de piaţă al riscului ... 60

Page 3: Suport seminar inginerie

Seminar 1: Opţiuni şi strategii pe bază de opţiuni

3

Seminar 1: Opţiuni şi strategii pe bază de opţiuni

Notaţii: tS cursul activului suport la momentul t ; , ,E K X preţul de exercitare al opţiunii (CALL sau PUT); ( )t tC P prima unei opţiuni CALL (respectiv PUT) de tip european; ( )t tc p prima unei opţiuni CALL (respectiv PUT) de tip american;

Diferenţele între o opţiune de tip european şi una de tip american. Valoarea opţiunii (preţul sau prima), valoarea intrinsecă şi valoarea timp:

Valoarea (preţul sau prima) opţiunii variază pe piaţă pe baza cererii şi ofertei şi poate fi calculată, teoretic, pe baza unor modele analitice (ex. Black – Scholes) sau numerice (ex. modelul Binomial).

Valoarea intrinsecă este: ,

,

max{( ),0}max{( ),0}

Call t t

Put t t

VI S EVI E S

= −⎧⎪⎨ = −⎪⎩

şi în funcţie de semnul expresiei

tS E− pt. CALL şi respectiv tE S− pt. PUT se poate stabili dacă opţiunea este în bani (dacă diferenţa este pozitivă), la bani (dacă diferenţa este 0) şi în afara banilor (dacă diferenţa este negativă). Obs. Valoarea opţiunii va fi întotdeauna mai mare sau egală cu valoarea intrinsecă a opţiunii. Valoarea timp = Valoarea opţiunii – Valoarea intrinsecă. Obs. Cu cât perioada de timp până la scadenţa opţiunii este mai îndepărtată cu atât valoarea timp este mai mare. De asemenea, la un anumit moment de timp, valoarea timp diferă ca magnitudine în funcţie de poziţionarea lui tS faţă de E . Valoarea timp a opţiunii este 0 la maturitate. Profitul şi payoff-ul unei opţiuni: Valoarea opţiunii la scadenţă se numeşte payoff iar câştigul investitorul din investiţia în opţiune poartă numele de profit.

în bani (in the money)

Valoarea opţiunii (înainte de expirare)

E

Valoarea intrinsecă

tS

în afara banilor (out of the money)

la bani (at the money)

,t tC c

Page 4: Suport seminar inginerie

Seminar 1: Opţiuni şi strategii pe bază de opţiuni

4

.

0 0 – ( )not

T TProfit opţiune payoff prima iniţială C C respectiv P P= = − − .....

Panta= ProfitS

∂∂

.

Panta: (0;1) Panta: (0;-1)

Panta: (-1;0) Panta: (1;0)

Strategii pe bază de opţiuni:

Reverse Covered CALL

ETS

Short SLong CALL

Profit

0

Long PUT sintetic

Covered CALL

Long S

ETSShort

CALL

Profit

0

Short PUT sintetic

+prima PUT

ETS

payoff

profit

Valoarea opţiunii

0PPR E P= − 0

Short PUT

profit

0

PPRE P= −

E -prima PUT TS

payoff

Valoarea opţiunii

0

Long PUT

+prima CALL

ETS

payoff

profit

Valoarea opţiunii

0CPR E C= + 0

Short CALL

450

0CPR E C= + E -prima CALL TS

payoff

profit

Valoarea opţiunii

0

Long CALL

0P+

0C−

0C+

0P−

Page 5: Suport seminar inginerie

Seminar 1: Opţiuni şi strategii pe bază de opţiuni

5

Aplicaţie: 1. Funcţia profitului ( tG ) la scadenţă pentru o combinaţie de mai multe opţiuni având aceeaşi scadenţă t , în funcţie de preţul la scadenţă al activului-suport tS şi de patru

preţuri de exercitare , 1, 4iE i = , este dată în tabelul următor:

tS 1E 2E 3E 4E

Panta: t

t

GS

∂∂

0 5 -2 5 0

Determinaţi două combinaţii diferite de opţiuni CALL şi PUT ce permit obţinerea profilului rezultatului dat în tabel. Reprezentaţi grafic profilul rezultatului şi determinaţi punctele moarte. Rezolvare: Utilizând CALL-uri:

tS 1E 2E 3E 4E 5 long 1( )C E 0 5 5 5 5 7 short 2( )C E 0 0 -7 -7 -7 7 long 3( )C E 0 0 0 7 7 5 short 4( )C E 0 0 0 0 -5 TOTAL 0 5 -2 5 0

Reverse Protective PUT

ETS

Short S Short PUT

Profit

0

Short CALL sintetic

Protective PUT

Long PUT

E TS

Long S

Profit

0

Long CALL sintetic

Page 6: Suport seminar inginerie

Seminar 1: Opţiuni şi strategii pe bază de opţiuni

6

Utilizând PUT-uri: tS 1E 2E 3E 4E

5 long 1( )P E -5 0 0 0 0 7 short 2( )P E 7 7 0 0 0 7 long 3( )P E -7 -7 -7 0 0 5 short 4( )P E 5 5 5 5 0 TOTAL 0 5 -2 5 0

3PM 2PM 1PM 4E 3E 2E

1E costul strategiei

0

PROFIT

Page 7: Suport seminar inginerie

Seminar 2: Noţiuni elementare

7

Seminar 2: Noţiuni elementare

1. Rata dobânzii cu capitalizare în timp continuu. 2. Arbitraj. Lipsa oportunităţilor de arbitraj. 3. Limite de variaţie a preţurilor opţiunilor. 4. Teorema de paritate CALL – PUT. 5. Preţul Forward.

1. Rata dobânzii cu capitalizare în timp continuu Ex. Un investitor depune o sumă 0S într-un depozit bancar cu capitalizare, care plăteşte o dobândă la rata r , în procente pe an. Determinaţi suma finală de care va dispune investitorul după t ani, dacă capitalizarea se face: a) anual; b) semestrial; c) trimestrial; d) lunar; e) zilnic; f) în timp continuu. a) 0 (1 )t

tS S r= ⋅ + .

b) 20 (1 )

2t

trS S ⋅= ⋅ + .

c) 40 (1 )

4t

trS S ⋅= ⋅ + .

d) 120 (1 )

12t

trS S ⋅= ⋅ + .

e) 3600 (1 )

360t

trS S ⋅= ⋅ + .

f) 0 0 0lim (1 ) lim[(1 ) ]n

n t r t r trt n n

r rS S S S en n

⋅ ⋅ ⋅

→∞ →∞= ⋅ + = ⋅ + = ⋅

r - reprezintă rata dobânzii cu capitalizare în timp continuu sau rata dobânzii neutre la risc (sau rata fără risc fiind asociată unor investiţii fără risc cum ar fi depozite bancare sau obligaţiuni 0-cupon);

0r tS e ⋅⋅ - reprezintă suma finală din depozit, fructificată la sfârşitul celor t ani ( t

poate reprezenta şi un număr fracţionat de ani); r te ⋅ - reprezintă factorul de fructificare în timp continuu;

1 r tr t e

e− ⋅

⋅ = - reprezintă factorul de actualizare în timp continuu.

Page 8: Suport seminar inginerie

Seminar 2: Noţiuni elementare

8

2. Arbitraj. Lipsa oportunităţilor de arbitraj 1. a) Ex. O acţiune Coca Cola este cotată simultan pe piaţele bursiere NYSE la preţul de 10$ pe o acţiune şi LSE la preţul de 9£ pe o acţiune, în condiţiile în care pe piaţa valutară cursul de schimb între cele două monede este 1£ 1,45$= . Propuneţi o strategie de arbitraj şi explicaţi mecanismele prin care preţurile pe cele trei pieţe se vor corecta.

Obs. Presupunând ca volumul tranzacţiilor prilejuite de acest dezechilibru este insuficient pentru a influenţa cursul de schimb de pe piaţa valutară, se poate obţine un câştig sigur de 1.6$ pe acţiune luând simultan poziţie short la LSE şi poziţie long la NYSE pe un număr de acţiuni. Investitorii raţionali vor vinde la LSE generând presiuni de scădere a preţului pe această piaţă şi vor cumpăra la NYSE determinând creşterea preţului pe această piaţă. Oportunitatea de arbitraj va dispare în momentul în care raportul între preţurile pe cele două pieţe bursiere va egala raportul de schimb între cele două monede (eliminând eventuala existenţă a costurilor de tranzacţionare).

b) Ex. Presupunem că ratele de schimb spot şi forward pentru cursul de schimb £/$ sunt: spot 0 1,6080S = , forward peste 90 zile (0,90 ) 1,6056F zile = şi forward peste 180 zile

(0,180 ) 1,6018F zile = . Ce oportunităţi are un arbitrajor în următoarele situaţii: i) pe piaţă mai există o opţiune europeană CALL cu maturitatea peste 180 zile, cu preţul de exercitare 1,57$ / £E = şi care costă 0 0,02$C = ; ii) pe piaţă mai există o opţiune europeană PUT maturitatea peste 90 zile, cu preţul de exercitare 1,64$ / £E = şi care costă 0 0,02$C = . Presupunem că valoarea timp a banilor este 0.

LSE

Short: 8£

NYSE

Long: -10$

8£=11.6$Profit = 1.6$

Arbitraj: posibilitatea obţinerii unui câştig sigur fără a se investi capital iniţial şi fără a se asuma nici un risc.

Arbitrajul poate fi:

a) spaţial – se obţin profituri sigure utilizându-se dezechilibrele de pe două sau mai multe pieţe în acelaşi moment de timp;

b) temporal – se obţin profituri sigure utilizându-se dezechilibrele de pe pieţele unor instrumente financiare, în momente de timp diferite.

Page 9: Suport seminar inginerie

Seminar 2: Noţiuni elementare

9

i) Poziţia la iniţiere: long CALL short FORWARD+ pe contractele cu scadenţa 180 zile. Peste 180 zile (cursul spot va fi TS ):

00

0

(0,180 ) ,Profit max{( ),0} (0,180 )

(0,180 ) ,

1,6018 1,57 0,02 0,0118$, 1,570.

1,6018 0,02 , 1,57

TT T

T T

T

T T

F zile E C S ES E C F zile S

F zile S C S E

SS S

− − >⎧= − − + − = =⎨ − − ≤⎩

− − = >⎧= >⎨ − − ≤⎩

ii) Poziţia la iniţiere: long PUT long FORWARD+ pe contractele cu scadenţa 90 zile. Peste 90 zile (cursul spot va fi TS ):

00

0

(0,180 ) ,Profit max{( ),0} (0,90 )

(0,90 ) ,

1,6056 0,02 1,6256, 1,640.

1,64 1,6056 0,02 0,0144$, 1,64

T TT T

T

T T T

T

S F zile P S EE S P S F zile

E F zile P S E

S S SS

− − >⎧= − − + − = =⎨ − − ≤⎩− − = − >⎧

= >⎨ − − = ≤⎩

Obs. Valoarea timp a banilor a fost ignorată în aceste calcule. Dacă am fi luat în considerare existenţa unei rate de dobândă pe perioadele pe care s-au făcut plasamentele, strategiile ar fi rămas profitabile ţinând cont că profitul depăşeşte 0.0118$ şi respectiv 0.0144$ la o investiţie iniţială de 0.02$, ceea ce ar corespunde unei dobânzi anualizate de peste 100% pentru fiecare din cele două perioade considerate.

Concluzie: Dacă astfel de situaţii de tip arbitraj ar apare în realitate, ele ar fi eliminate relativ repede prin acţiunea legii cererii şi ofertei pe piaţă (ţinând cont şi de faptul că aceste profituri pot fi considerate „gratuite” iar pe piaţa instrumentelor financiare există arbitrajorii – foarte bine plătiţi – care caută şi exploatează astfel de oportunităţi).

De aceea în teoria financiară, evaluarea activelor porneşte de la ipoteza conform căreia pe pieţele financiare nu există oportunităţi de arbitraj (sau similar oportunităţi de a obţine profit instantaneu şi fără asumarea niciunui risc). Schematic această ipoteză poate fi redată astfel:

Dacă valoarea a două portofolii de active financiare A şi B va fi cu certitudine aceeaşi la un moment în viitor T , ( ) ( )T TA BΠ = Π , atunci valoarea celor două portofolii trebuie să fie aceeaşi la orice moment de timp anterior t T≤ , ( ) ( )t tA BΠ = Π . Relaţia este valabilă şi pentru inegalităţi între valoarea celor două portofolii şi se demonstrează prin reducere la absurd (vezi curs).

Page 10: Suport seminar inginerie

Seminar 2: Noţiuni elementare

10

3. Limite de variaţie a preţurilor opţiunilor

Aplicaţii ale ipotezei absenţei oportunităţilor de arbitraj (notaţie AOA):

i) Valoarea unei opţiuni CALL de tip european ( tC ) va fi întotdeauna mai mică decât valoarea activului suport ( tS ) şi mai mare decât valoarea activului suport mai puţin preţul de exercitare E actualizat: ( )r T t

t t tS C S E e− ⋅ −≥ ≥ − ⋅ .

Pentru prima parte a relaţiei, t tS C≥ , considerăm două portofolii astfel:

:: sup

A long CALLB long activul ort

La scadenţă despre payoff-ul celor două portofolii vom şti cu siguranţă: ,

( ) ( )0,

T TT T T

T

S E S EA S B

S E− >⎧

Π = ≤ = Π⎨ ≤⎩ de unde, conform ipotezei AOA:

( ) ( ) , .t T t tA B C S t TΠ ≤ Π ⇔ ≤ ∀ ≤ Pentru cea de a doua parte a relaţiei, ( )r T t

t tC S E e− ⋅ −≥ − ⋅ , considerăm următoarele două portofolii:

( ):: suport

r T tA long CALL depozit în valoare de E eB long activul

− ⋅ −+ ⋅

La scadenţă despre payoff-ul celor două portofolii vom şti cu siguranţă: ( ) ( ), ,

( ) ( )0, ,

T T T Tr T t r T tT T T

T T

S E S E S S EA E e e S B

S E E S E− ⋅ − ⋅ −− > >⎧ ⎧

Π = + ⋅ ⋅ = ≥ = Π⎨ ⎨≤ ≤⎩ ⎩ de unde,

conform ipotezei AOA: ( )( ) ( ) , .r T tt t t tA B C S E e t T− ⋅ −Π ≥ Π ⇔ ≥ − ⋅ ∀ ≤ c.c.t.d.

ii) Valoarea unei opţiuni PUT de tip european ( tP ) va fi întotdeauna mai mică decât preţul de exercitare E actualizat şi mai mare decât preţul de exercitare E actualizat mai puţin valoarea activului suport ( tS ): ( ) ( )r T t r T t

t tE e P E e S− ⋅ − − ⋅ −⋅ ≥ ≥ ⋅ − .

Pentru prima parte a relaţiei, ( )r T t

tE e P− ⋅ −⋅ ≥ , considerăm două portofolii astfel:

( )

:: r T t

A long PUTB depozit in valoare de E e− ⋅ −⋅

La scadenţă despre payoff-ul celor două portofolii vom şti cu siguranţă: ( ) ( ),

( ) ( )0,

T T r T t r T tT T

T

E S S EA E e e E B

S E− ⋅ − ⋅ −− <⎧

Π = ≤ ⋅ ⋅ = = Π⎨ ≥⎩ de unde, conform ipotezei

AOA: ( )( ) ( ) , .r T tt t tA B P E e t T− ⋅ −Π ≤ Π ⇔ ≤ ⋅ ∀ ≤

Page 11: Suport seminar inginerie

Seminar 2: Noţiuni elementare

11

Pentru cea de a doua parte a relaţiei, ( )r T tt tP E e S− ⋅ −≥ ⋅ − , considerăm următoarele două

portofolii:

( )

:: suportr T t

A long PUTB depozit în valoare de E e short activul− ⋅ −⋅ +

La scadenţă despre payoff-ul celor două portofolii vom şti cu siguranţă: ( ) ( ),

( ) ( )0,

T T r T t r T tT T T T

T

E S S EA E e e S E S B

S E− ⋅ − ⋅ −− <⎧

Π = ≥ ⋅ ⋅ − = − = Π⎨ ≥⎩de unde, conform

ipotezei AOA: ( )( ) ( ) , .r T tt t t tA B P E e S t T− ⋅ −Π ≥ Π ⇔ ≥ ⋅ − ∀ ≤ c.c.t.d.

4. Teorema de paritate CALL – PUT

Aplicaţie a ipotezei absenţei oportunităţilor de arbitraj (notaţie AOA):

Demonstraţi următoarea relaţie care are loc între preţurile opţiunilor CALL şi PUT de tip european, care au aceleaşi caracteristici (acelaşi activ suport, acelaşi preţ de exercitare, aceeaşi scadenţă şi aceeaşi piaţă de tranzacţionare):

( ) , .r T tt t tC E e P S t T− −+ ⋅ = + ∀ ≤

Demonstraţie: Considerăm 2 portofolii:

( ):: sup

r T tA long CALL depozit in valoare de E eB long PUT long activul ort

− ⋅ −+ ⋅+

La scadenţă despre payoff-ul celor două portofolii vom şti cu siguranţă: ( )T AΠ ( )T BΠ

TS E≤ 0 E+ T TE S S E− + =

TS E> T TS E E S− + = 0 T TS S+ = Conform ipotezei AOA: ( ) ( ), .t tA B t TΠ = Π ∀ ≤ c.c.t.d. Generalizare pentru cazul cu dividend: ( ) ( ) ,r T t q T t

t t tC E e P S e t T− − − ⋅ −+ ⋅ = + ⋅ ∀ ≤ unde q reprezintă rata continuă a dividendului.

Ex. Primele call, respectiv put, având aceleaşi caracteristici sunt: 17,2808C = şi

12,9118P = . Se ştie că 105S E= = , iar 6 luniT t− = . Să se calculeze rata dobânzii r .

Rezolvare:

Din relaţia de paritate put-call: ( )1 ln 8,5%P C S

rT t E

⎡ ⎤− += − =⎢ ⎥− ⎣ ⎦

.

Page 12: Suport seminar inginerie

Seminar 2: Noţiuni elementare

12

5. Preţul Forward Ex. Se ia o poziţie long pe un contract forward cu suport o acţiune ex-dividend (fără dividend) la momentul 0 0t = . Cursul spot al acţiunii la momentul 0t este 0 40S = $ iar rata dobânzii în timp continuu 10%r = .

a) Determinaţi preţul forward al contractului emis la momentul 0t cu scadenţa la 1T an= şi valoarea iniţială a acestui contract.

b) După 6 luni ( 1 6t luni= ): 1

45tS = $ , 10%r = . Determinaţi preţul forward al contractului emis la momentul 1t cu scadenţa la 1T an= şi valoarea contractului forward emis la 0t .

Rezolvare:

a) 0,1

0(0, ) 40 44, 21(0,0, ) 0.

r T

L

F T S e ef T

⋅= ⋅ = ⋅ ==

$

b)1

1

1 1

1

( ) 0,1 0,51

( )1 1 0

( , ) 45 47,31

( , , ) [ ( , ) (0, )] 2,95

r T tt

r T t r tL t

F t T S e e

f t t T F t T F T e S S e

⋅ − ⋅

− ⋅ − ⋅

= ⋅ = ⋅ =

= − ⋅ = − ⋅ =

$

$.

1

1

( ) ( )

( )1 0 1 0

( )1 0 1 0 0 1

( , )

: ( , , ) [ ( , ) ( , )]

: ( , , ) ( , , ) [ ( , ) ( , )]

r q T tt

r T tL

r T tS L

F t T S e

long f t t T F t T F t T e

short f t t T f t t T F t T F t T e

− ⋅ −

− ⋅ −

− ⋅ −

= ⋅

= − ⋅

= − = − ⋅

unde:

( , )F t T reprezintă preţul forward al contractului emis la momentul t cu scadenţa la momentul T ;

tS reprezintă preţul la momentul t al activului suport;

q este rata continuă a dividendelor plătite de acţiunea suport (în cazul acţiunilor fără dividend, 0q = );

1 0( , , )Lf t t T reprezintă valoarea la momentul 1t a contractului forward poziţie long, emis la momentul 0t cu scadenţa la momentul T , unde 1t t T≤ ≤ ;

1 0( , , )Sf t t T reprezintă valoarea la momentul 1t a contractului forward poziţie short.

Obs. Preţul forward este identic cu preţul futures atât timp cât rata dobânzii este deterministă. În cazul în care suportul contractului forward este o valută, fq r= , unde

fr este rata dobânzii pentru valuta suport în contract.

Page 13: Suport seminar inginerie

Seminar 3: Modelul Binomial

13

Seminar 3: Modelul Binomial

Ipoteze: Cursul activului suport urmează o distribuţie binomială a.î. în fiecare moment de timp

evoluţia sa poate fi descrisă astfel:

0S u⋅

0S cu 1 tu ed

σ ⋅ Δ= = (vezi curs)

0S d⋅ 0 1t t

t− − − − − − − −→

Δ

unde u şi d reprezintă factori de creştere respectiv scădere constanţi în timp, tΔ intervalul de timp între două momente succesive în care se face evaluarea, σ volatilitatea cursului activului suport iar p şi 1 p− reprezintă probabilitatea de creştere, respectiv scădere a cursului activului suport în fiecare moment de timp considerat.

Evaluarea se face într-un mediu neutru la risc a.î. valoarea aşteptată la momentul 1t a cursului activului suport poate fi scrisă:

1 0

*0[ / ] r t

t tE S S e ⋅Δ= ⋅F

dar media unei variabile aleatoare care urmează o distribuţie binomială este:

1 0 0[ ] (1 )tE S p S u p S d= ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅

de unde: r te dpu d

⋅Δ −=

−, denumită probabilitate neutră la risc (evaluarea s-a făcut într-un

mediu neutru la risc).

În mod similar, folosind metoda evaluării neutre la risc, valoarea unui CALL cu suport activul S , la momentul 0t poate fi scrisă:

0 1 0

*[ / ] [ (1 ) ]r t r tt t t u dC e E C e p C p C− ⋅Δ − ⋅Δ= ⋅ = ⋅ ⋅ + − ⋅F (identic pt. PUT)

unde uC este valoarea CALL la 1t dacă cursul creşte (devenind 0S u⋅ ) iar dC este valoarea CALL la 1t dacă cursul scade (devenind 0S d⋅ ).

Formulele generale pentru un model binomial cu n perioade, valabile doar pentru evaluarea opţiunilor de tip european (vezi curs):

( )

0

( )

0

(1 ) max( ,0)( )

(1 ) max( ,0)( )

nr T t i n i i n i

t ti

nr T t i n i i n i

t ti

nC e p p S u d Ei n i

nP e p p E S u di n i

− ⋅ − − −

=

− ⋅ − − −

=

= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ −⋅ −

= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅⋅ −

!! !

!! !

p

1-p

Page 14: Suport seminar inginerie

Seminar 3: Modelul Binomial

14

Obs: Fie α nr. minim de paşi crescători pe care cursul acţiunii suport trebuie să îi facă a.î. opţiunea CALL să expire în bani:

ln( ) ln( )( ) 1

ln( ) ln( )

n nn t t

t nt

E ES d S du ES u d E u ud S d

d d

partea întreagă

α α α α α−

⎡ ⎤⎢ ⎥⋅ ⋅⎢ ⎥⋅ ⋅ > ⇒ > ⇒ > ⇒ = +

⋅ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

în mod similar pt. PUT, parametrul α reprezintă nr. maxim de paşi crescători pe care cursul acţiunii suport poate să îi facă a.î. opţiunea PUT să expire în bani. Astfel în aplicaţii cele două formule generalizate se pot scrie:

( )

1( )

0

(1 ) ( )( )

(1 ) ( )( )

nr T t i n i i n i

t ti

r T t i n i i n it t

i

nC e p p S u d Ei n i

nP e p p E S u di n i

α

α

− ⋅ − − −

=

−− ⋅ − − −

=

= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ −⋅ −

= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅⋅ −

!! !

!! !

.

Aplicaţii: 1. Fie o acţiune suport care are cursul spot la momentul curent 0 50 . .S u m= ,

20%σ = şi pentru care se emit opţiuni cu preţul de exercitare 50 . .E u m= Rata dobânzii fără risc este 10%r = . a) Să se evalueze opţiuni CALL şi PUT europene, americane cu şi fără dividend folosind modelul binomial pe 5 perioade ştiind că durata unei perioade este de 3 luni. În cazurile în care acţiunea suport plăteşte dividende, presupunem că acestea sunt plătite în perioada 4 şi reprezintă 10% din valoarea cursului din acel moment. b) Verificaţi relaţia de paritate PUT-CALL în cazul opţiunilor europene ex-dividend. c) Explicaţi de ce preţurile opţiunilor americane la emisiune sunt mai mari decât preţurile opţiunilor europene corespunzătoare. d) Demonstraţi că un CALL american cu suport o acţiune ex-dividend se exercită întotdeauna doar la scadenţă (fiind astfel echivalent cu un CALL european cu suport o acţiune ex-dividend). Rezolvare1: a) Preţul de exercitare (Strike price): 50E = Factorul de actualizare (Discount factor per step): 0,9753r te− ⋅Δ =

1La adresa web: http://www.rotman.utoronto.ca/~hull/software/ puteti descarca programul DerivaGem for Excel cu ajutorul căruia se pot verifica calculele din cadrul modelelor aplicate pentru evaluarea instrumentelor financiare derivate.

Page 15: Suport seminar inginerie

Seminar 3: Modelul Binomial

15

Factorul de fructificare (Growth factor per step): 1,0253r te ⋅Δ =

Perioada de timp dintre 2 noduri (Time step): 3 0,25 ani

12tΔ = =

Probabilitatea neutră la risc (Probability of up move): p= 0,6014 r te du d

⋅Δ −=

Factorul de creştere (Up step size): 0.2 0.25 1,1052tu e eσ ⋅ Δ ⋅= = =

Factorul de scădere (Down step size): 0.2 0.251 0,9048td e eu

σ− ⋅ Δ − ⋅= = = = .

Evaluarea opţiunii CALL de tip european este identică cu cea a opţiunii CALL de tip american în cazul în care acţiunea suport nu plăteşte dividende (vezi demonstraţia de la pct. d). Binomial European CallAt each node: Upper value = Underlying Asset Price Lower value = Option PriceValues in red are a result of early exercise.

Strike price = 50Discount factor per step = 0.9753 82.43606Time step, dt = 0.2500 years, 91.25 days 32.43606Growth factor per step, a = 1.0253 74.59123Probability of up move, p = 0.6014 25.82574Up step size, u = 1.1052 67.49294 67.49294Down step size, d = 0.9048 19.93147 17.49294

61.07014 61.0701414.96255 12.30464

55.2585459 55.25855 55.2585510.96868087 8.416238 5.258546

50 50 507.879951 5.639758 3.084334

45.2418709 45.24187 45.241873.720452328 1.809077 0

40.93654 40.936541.061092 0

37.04091 37.040910 0

33.5160

30.326530

Node Time: 0.0000 0.2500 0.5000 0.7500 1.0000 1.2500

Page 16: Suport seminar inginerie

Seminar 3: Modelul Binomial

16

Pe ultima coloană payoff-ul opţiunii (marcat în chenar cu roşu) se obţine calculând ( , ) max( ,0)TC T S S E= − . De exemplu pentru 5 creşteri consecutive ale cursului valoarea

opţiunii CALL la scadenţă va fi 55 82, 436 50 32, 436 . .

uC S u E u m= ⋅ − = − = .

Pentru chenarele din perioadele anterioare aplicăm expresia dedusă pe baza metodei evaluării neutre la risc. De exemplu valoarea din primul chenar din perioada 4t (după 4 creşteri consecutive de curs) este:

4 5 40,1 0,25[ (1 ) ] [32,436 0,6013 17,4929 0,398] 25,825r t

u u u dC e p C p C e− ⋅Δ − ⋅= ⋅ ⋅ + − ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ =

Continuând raţionamentul obţinem valoarea opţiunii la momentul iniţial: 0 7,88 . .C u m=

Binomial European PutAt each node: Upper value = Underlying Asset Price Lower value = Option PriceValues in red are a result of early exercise.

Strike price = 50Discount factor per step = 0.9753 82.43606Time step, dt = 0.2500 years, 91.25 days 0Growth factor per step, a = 1.0253 74.59123Probability of up move, p = 0.6014 0Up step size, u = 1.1052 67.49294 67.49294Down step size, d = 0.9048 0 0

61.07014 61.070140.279591 0

55.25855 55.25855 55.258550.952006 0.719163 0

50 50 502.004797 2.026932 1.84983

45.24187 45.24187 45.241873.720452 4.128678 4.758129

40.93654 40.936546.511728 7.828958

37.04091 37.0409110.52056 12.95909

33.51615.24949

30.3265319.67347

Node Time: 0.0000 0.2500 0.5000 0.7500 1.0000 1.2500

Page 17: Suport seminar inginerie

Seminar 3: Modelul Binomial

17

Pentru opţiunea PUT se raţionează similar dar pornind de la payoff-ul unei opţiuni PUT: ( , ) max( ,0)TP T S E S= − . De exemplu valoarea PUT-ului după 4 scăderi consecutive de

curs va fi:

4 4 50,1 0,25[ (1 ) ] [12,959 0,6013 19,6734 0,398] 15,2494r t

d d u dP e p P p P e− ⋅Δ − ⋅= ⋅ ⋅ + − ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ =

Continuând raţionamentul obţinem valoarea opţiunii PUT la momentul iniţial: 0 2.0048 . .P u m= .

Binomial American PutAt each node: Upper value = Underlying Asset Price Lower value = Option PriceValues in red are a result of early exercise.

Strike price = 50Discount factor per step = 0.9753 82.43606Time step, dt = 0.2500 years, 91.25 days 0Growth factor per step, a = 1.0253 74.59123Probability of up move, p = 0.6014 0Up step size, u = 1.1052 67.49294 0 67.49294Down step size, d = 0.9048 0 0

61.07014 0 61.070140.279591 0

55.25855 0 55.25855 0 55.258551.047144 0.719163 0

50 0 50 0 502.50208 2.271646 1.84983

45.24187 0 45.24187 0 45.241874.85603 4.75813 4.758134.75813 40.93654 4.608619 40.93654

9.06346 9.063467.828958 37.04091 7.828958 37.04091

12.9591 12.959111.72458 33.516

16.48415.24949 30.32653

19.6735Node Time:

0.0000 0.2500 0.5000 0.7500 1.0000 1.2500

Page 18: Suport seminar inginerie

Seminar 3: Modelul Binomial

18

Pentru evaluarea unei opţiuni americane trebuie să ţinem cont că de fiecare dată valoarea opţiunii (cea redată în chenar sub cursul activului suport) va fi maximul dintre valoarea care s-ar obţine prin exercitare (în figura de mai sus valoarea subliniată) şi valoarea obţinută prin actualizare (valoarea nesubliniată, redată sub curs). Valorile îngroşate, marcate cu roşu, sunt valori de exercitare ale opţiunii, mai mari decât cele obţinute prin actualizare. American CALL with dividend

Page 19: Suport seminar inginerie

Seminar 3: Modelul Binomial

19

American PUT with dividend

Valoarea unui PUT cu activ suport plătitor de dividend are o valoare mai mare decât a unui PUT ex-dividend întrucât în primul caz cresc şansele de exercitare datorită scăderii valorii activului suport ca urmare a plăţii dividendului. b) Teorema de paritate CALL-PUT valabilă pentru opţiuni europene:

0.11.250 0 0 7,879951 50 2,004797 50 52,0048 52,0048.r TC E e P S e− ⋅ − ⋅+ ⋅ = + ⇔ + ⋅ = + ⇔ =

c) Opţiunile americane au mai multe şanse să se exercite.

d) ( )

. . .

r T tt t t t

val CALL american val CALLeuropean val deexercitareCALLamerican

c C S E e S E− ⋅ −≥ ≥ − ⋅ ≥ − .

Page 20: Suport seminar inginerie

Seminar 3: Modelul Binomial

20

2. Să se calculeze utilizând modelul binomial, valoarea unei opţiuni PUT pe baza următoarelor date: 100; 200; 1 ; 40; 12%; 8%S E T an n rσ= = = = = = (PUT). Rezolvare:

10,0840

0,08 39 1 390

1 ;40

1,0192;1 0,9812;

0,9812 0,548011,0192 0,9812

ln38,26; 39 e preferabil să calculăm prima CALL.

ln

[40 0,54801 (1 0,54801) (100 1,0192

t

r t

n

t

u e

du

e d epu d

ES d rangu

dC e

σ

α

⋅ Δ

⋅⋅Δ

Δ =

= =

= =

− −= = =

− −

⋅> = = ⇒

= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅40 40 9

0,9812 200)

1 0,54801 (100 1,0192 200)] 6,57 10 .−

− +

+ ⋅ ⋅ ⋅ − = ⋅

Iar prima opţiunii PUT se determină aplicând teorema de paritate PUT-CALL:

0 0 0 84,623.r TP C E e S− ⋅= + ⋅ − =

Page 21: Suport seminar inginerie

Seminar 4: Procese Stohastice

21

Seminar 4: Procese Stocastice

1. Procesul Wiener fundamental (mişcarea browniană standard) :

., (0,1)

notz B t Nε εΔ = Δ = ⋅ Δ ∼ , valorile variabilei zΔ în două intervale oarecare de timp

1tΔ şi 2tΔ fiind independente.

media: ( ) 0E zΔ = varianţa: var( )z tΔ = Δ de unde deviaţia standard: ( )devs z tΔ = Δ .

2. Procesul Wiener generalizat (mişcarea browniană generalizată):

x t zμ σΔ = ⋅Δ + ⋅Δ cu şiμ σ (driftul şi difuzia) constante. media: ( )E x tμΔ = ⋅Δ

varianţa: 2var( )x tσΔ = ⋅Δ de unde deviaţia standard: ( )devs z tσΔ = ⋅ Δ . Obs. dacă 1t anΔ = atunci ( )E x μΔ = reprezentând media anuală a variabilei xΔ iar

( )devs z σΔ = reprezentând deviaţia standard anuală a variabilei xΔ . 3. Procesul Ito (mişcarea browniană geometrică):

( , ) ( , )x x t t x t zμ σΔ = ⋅Δ + ⋅Δ cu ( , ) ( , )x t şi x tμ σ parametri neconstanţi.

Exemplu: Rentabilitatea cursului unei acţiuni urmează un proces de tip Wiener

generalizat: SSΔ

= t zμ σ⋅Δ + ⋅Δ şi în consecinţă cursul unei acţiuni urmează un proces de

tip Ito: S S t S zμ σΔ = ⋅ ⋅Δ + ⋅ ⋅Δ . Consecinţă: ( , )S N t tS

μ σΔ⋅Δ ⋅ Δ∼ .

Obs. în timp continuu notaţia tΔ este înlocuită cu dt . 4. Lema Ito:

Fie ( , )D x t o funcţie care depinde de variabila aleatoare x ce urmează un proces de tip Ito şi de timp. ( , )D x t va fi o variabilă aleatoare care urmează tot un proces de tip Ito de

forma: 2

22

1( ( , ) ( , ) ) ( , )2

D D D DdD x t x t dt x t dzt x x x

μ σ σ∂ ∂ ∂ ∂= + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

∂ ∂ ∂ ∂.

5. „Tabla înmulţirii” pentru mişcarea browniană standard:

( )

( )

2

2

1 21 2

1 2

00

0, mişcări browniene standard independente;, mişcări browniene standard .

t

t

t tt t

t t

dtdt dB

dB dt

dacă B şi BdB dB

dt dacă B şi B corelateρ

=

⋅ =

=

⎧⋅ = ⎨ ⋅⎩

Page 22: Suport seminar inginerie

Seminar 4: Procese Stohastice

22

Aplicaţii 1. Fie D preţul unui instrument financiar derivat şi S cursul activului suport. Să se scrie ecuaţia de dinamică pentru preţul derivativului D ştiind că S urmează un proces de tip Ito. dS S dt S dzμ σ= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

22 2

2

1( )2

D D D DdD S S dt S dzt S S S

μ σ σ∂ ∂ ∂ ∂

= + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅∂ ∂ ∂ ∂

2. Fie dinamica preţului unei acţiuni: S S t S zμ σΔ = ⋅ ⋅Δ + ⋅ ⋅Δ . Fie ( )r T tF S e −= ⋅ preţul forward al acestei acţiuni. Care este dinamica preţului forward? Reprezentaţi această dinamică într-un mediu neutru la risc. Aplicăm lema lui Ito funcţiei F reprezentând preţul forward:

22 2

2

1( )2

F F F FdF S S dt S dzt S S S

μ σ σ∂ ∂ ∂ ∂

= + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅∂ ∂ ∂ ∂

( )( )

( )( )

2

2 0

r T tr T t

r T tr T t

F S e r S e r Ft tF S e eS SF

S

−−

−−

⎫⎪∂ ∂ ⋅ ⎪= =− ⋅ ⋅ =− ⋅ ⎪⎪∂ ∂ ⎪⎪⎪∂ ∂ ⋅ ⎪⎪= = ⎬⎪∂ ∂ ⎪⎪⎪∂ ⎪⎪= ⎪∂ ⎪⎪⎭

de unde:

( ) ( )( ) ( )r T t r T tdF r F S e dt S e dz r F dt F dzμ σ μ σ− −= − ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

Rentabilitatea preţului forward urmează o mişcare Wiener generalizată deoarece:

( )dF r dt dzF

μ σ= − ⋅ + ⋅

Într-un mediu neutru la risc toate activele au aceaaşi rentabilitate dată de rata fără risc: rμ = . De aici: *dF F dzσ= ⋅ ⋅ unde *dz reprezintă mişcarea browniană standard sub

probabilitatea neutră la risc. 3. Fie y randamentul la maturitate cu compunere continuă (yield to maturity) pentru o obligaţiune 0-cupon ce plăteşte o unitate monetară la scadenţă. Presupunem că y urmează procesul stohastic:

0( )dy a y y dt c y dz= ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ , unde 0, ,a y c sunt constante pozitive. Care este procesul urmat de preţul obligaţiunii?

Obs. Este la fel de riscantă o poziţie forward deschisă pe activul suport ca şi o poziţie spot pe respectivul activ suport (volatilitatea rentabilităţii celor două poziţii este aceeaşi, σ ).

Page 23: Suport seminar inginerie

Seminar 4: Procese Stohastice

23

Notăm cu tB preţul la momentul t al acestei obligaţiuni. 1TB = iar ( )y T t

tB e− ⋅ −= Aplicăm lema Ito funcţiei tB :

22 2

0 2

1( ( ) )2

B B B BdB a y y c y dt c y dzt y y y

∂ ∂ ∂ ∂= + ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

∂ ∂ ∂ ∂

( )

( )

22

2

( ) ( )

( )

y T tt

y T tt

t

B y e y BtB T t e T t ByB T t By

− −

− ⋅ −

⎫∂ ⎪= ⋅ = ⋅∂ ⎪

⎪∂ ⎪= − − ⋅ = − − ⋅ ⎬∂ ⎪⎪∂

= − ⋅ ⎪∂ ⎪⎭

de unde:

2 2 20

1( ) ( ) ( ) ( )2 t tdB y a y y T t c y T t B dt c y T t B dz⎡ ⎤= − ⋅ − ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦

4. Preţul valutei din ţara A exprimat în funcţie de preţul valutei din ţara B (1A S B= ⋅ ) urmează un proces de forma: ( )B AdS r r S dt S dzσ= − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ unde ,A Br r reprezintă ratele dobânzilor în cele două ţări. Care este procesul urmat de preţul valutei din ţara B exprimat în funcţie de preţul valutei din ţara A?

Aplicăm lema Ito funcţiei: 11B AS

= ⋅ :

2

2 2 3

1 1 11 20; ; .S S S

t S S S S

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = − =∂ ∂ ∂

( )

( )

2 22 3 2

2

1 1 1 2 1(0 ( ) ) ( )2

1 1 1

B A

A B

d r r S S dt S dzS S S S

d r r dt dzS S S

σ σ

σ σ

⎛ ⎞ = + − ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ =>⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞ = − + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

Obs. Procesul urmat de rentabilitatea y se numeşte mean-reverting deoarece: dacă 0y y< atunci driftul 0( ) 0a y y− > şi deci trend-ul lui y este unul crescător, de revenire spre nivelul lui 0y iar dacă 0y y> atunci driftul 0( ) 0a y y− < şi deci trend-ul lui y este unul descrescător, de revenire spre nivelul lui 0y . Se poate demonstra că 0y reprezintă media pe temen lung a rentabilităţii y (vezi aplicaţiile 6 şi 7 din seminarul 5). Abaterile variabilei y de o parte şi de alta a mediei pe termen lung sunt determinate de apariţia unor şocuri descrise de componenta stohastică a procesului urmat de y .

Page 24: Suport seminar inginerie

Seminar 4: Procese Stohastice

24

5. Aplicaţi lema Ito funcţiei ln S şi demonstraţi că această variabilă urmează o distribuţie normală ( S S t S zμ σΔ = ⋅ ⋅Δ + ⋅ ⋅Δ ).

2

2 2

(ln ) (ln ) 1 (ln ) 10; ; .S S St S S S S

∂ ∂ ∂= = = −

∂ ∂ ∂

2 22

2

1 1 1 1(ln ) 02

(ln )2

S S S t S zS S S

S t z

μ σ σ

σμ σ

⎡ ⎤⎛ ⎞Δ = + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅Δ + ⋅ ⋅ ⋅Δ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎛ ⎞

Δ = − ⋅Δ + ⋅Δ⎜ ⎟⎝ ⎠

Aşadar variabila ln S urmează un proces Wiener generalizat, de unde: 2

0

2

0

ln [ , ]2

ln ln ln în intervalul (0, )

ln [ln , ]2

T

T

S N t t

S S S T

S N S T T

σμ σ

σμ σ

⎫⎛ ⎞Δ − ⋅Δ ⋅ Δ ⎪⎜ ⎟ ⇒⎬⎝ ⎠

⎪Δ = − ⎭⎛ ⎞

+ − ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

deci cursul unei acţiuni se poate preupune că urmează o distribuţie lognormală.

Obs. Ţinând cont de proprietăţile distribuţiei normale, pentru o cuantilă α +∈R oarecare, cunoaştem relaţia:

2

0ln [ln ]2

( ) 2 ( ) 1S S T

p P NT

σμα α α

σ

⎛ ⎞− + − ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠= − ≤ ≤ = ⋅ −⋅

unde p reprezintă o

probabilitate care depinde funcţional de cuantila α +∈R aleasă iar ( )N α reprezintă

funcţia de probabilitate normală în punctul α +∈R . Aşadar 1 1( )2

pNα − += .

Cunoscând aceste proprietăţi, putem determina cu probabilitatea p intervalul în care se va afla cursul unei acţiuni (notat cu S ) la un anumit moment viitor T :

2 2( ) ( )

2 20 0

T T T T

TS e S S eσ σμ α σ μ α σ− ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅

⋅ ≤ ≤ ⋅

Obs. Apariţia varianţei variabilei S în driftul procesului urmat de variabila 1S

poartă

denumirea de paradoxul Siegel.

Page 25: Suport seminar inginerie

Seminar 4: Procese Stohastice

25

6. Cursul unei acţiuni la momentul actual este 100. Cursul acţiunii urmează un

proces Ito de forma: 0,1 0,2dS dt dzS

= ⋅ + ⋅ .

a) Care este rentabilitatea medie anuală a cursului acestei acţiuni? Dar volatilitatea corespunzătoare? b) Determinaţi intervalul de variaţie a cursului pe un orizont de 3 luni cu o probabilitate de i) 90%; ii) 95%; iii) 99%. a) 10% respectiv 20%.

b) 90%p = iar 1 1( )2

pNα − += . Cu ajutorul tabelului distribuţiei normale, disponibil în

ANEXĂ se determină valoarea cuantilei α pentru fiecare din cele trei cazuri: i) 1.65α = şi [86.5022,120.3218]TS ∈ . ii) 1.96α = şi [83.8618,124.1102]TS ∈ . iii) 2.58α = şi [78.8203,132.0486]TS ∈ . 7. Cursul unei acţiuni este 0S , volatilitatea σ şi rentabilitatea .μ a) Să se deducă formula care cu probabilitatea s , dă intervalul închis în care se va afla cursul la momentul T: [ , ].p q b) 0 100, 15%, 45%, 3 , 99%.S T luni sμ σ= = = = = c) Să se deducă următorii indicatori de senzitivitate privind mărimea intervalului

în care se va afla cursul: [ ] [ ] [ ] [ ]; ; ; .q p q p q p q pT sσ μ

∂ − ∂ − ∂ − ∂ −∂ ∂ ∂ ∂

Formulele deduse la punctul c) vor fi aplicate pe exemplul de la punctul b).

a) 2 2

1 11 1( ) [ ] ( ) [ ]2 2 2 2

0 0

s sT N T T N T

Tp S e S S e qσ σμ σ μ σ− −+ +

− ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅= ⋅ ≤ ≤ ⋅ = .

b) p=56,71182; q=180,6809. c) şi d)

Page 26: Suport seminar inginerie

Seminar 4: Procese Stohastice

26

1 1

2 1 2 1

[ ] 1 1[ [ ]] [ [ ]] 291,6966;2 2

[ ] ( ) 30,9922;

[ ] 1 1 1 1 1 1[ [ ] ] [ [ ] ] 281,12;2 2 2 22 2

[ ] 1 ( ) 275, 284.12 ( )2

q p s sq T T N p T T N

q p T q p

q p s sq N p NT T T

q p T q pss n

σ σσ

μ

μ σ σ μ σ σ

σ

− −

− −

∂ − + += ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ =

∂∂ −

= ⋅ − =∂

∂ − + += ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ =

∂ ⋅ ⋅∂ −

= ⋅ ⋅ ⋅ + =+∂ ⋅

unde 2

2( ) 1( )2

dN dn d ed π

−∂= = ⋅

∂.

Interpretare: La o modificare cu 1 p.p. a volatilităţii sau a rentabilităţii medii anuale a cursului, intervalul de prognoză se modifică în acelaşi sens cu 2,916966 ( 291,6966 0,01⋅ ) şi respectiv 0,309922 (30,9922 0,01⋅ ). La o modificare cu un an a orizontului de prognoză, intervalul se modifică în acelaşi sens cu 281,12 iar la o modificare cu 1 p.p. a probabilităţii s , intervalul de prognoză se modifică în acelaşi sens cu 2,75284 ( 275,284 0,01⋅ ).

Page 27: Suport seminar inginerie

ANEXĂ

27

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.090 0.5000 0.4960 0.4920 0.4880 0.4840 0.4801 0.4761 0.4721 0.4681 0.4641 0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359

0.1 0.4602 0.4562 0.4522 0.4483 0.4443 0.4404 0.4364 0.4325 0.4286 0.4247 0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.57530.2 0.4207 0.4168 0.4129 0.4090 0.4052 0.4013 0.3974 0.3936 0.3897 0.3859 0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.61410.3 0.3821 0.3783 0.3745 0.3707 0.3669 0.3632 0.3594 0.3557 0.3520 0.3483 0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.65170.4 0.3446 0.3409 0.3372 0.3336 0.3300 0.3264 0.3228 0.3192 0.3156 0.3121 0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.68790.5 0.3085 0.3050 0.3015 0.2981 0.2946 0.2912 0.2877 0.2843 0.2810 0.2776 0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.72240.6 0.2743 0.2709 0.2676 0.2643 0.2611 0.2578 0.2546 0.2514 0.2483 0.2451 0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.75490.7 0.2420 0.2389 0.2358 0.2327 0.2296 0.2266 0.2236 0.2206 0.2177 0.2148 0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.78520.8 0.2119 0.2090 0.2061 0.2033 0.2005 0.1977 0.1949 0.1922 0.1894 0.1867 0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.81330.9 0.1841 0.1814 0.1788 0.1762 0.1736 0.1711 0.1685 0.1660 0.1635 0.1611 0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389

1 0.1587 0.1562 0.1539 0.1515 0.1492 0.1469 0.1446 0.1423 0.1401 0.1379 1 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.86211.1 0.1357 0.1335 0.1314 0.1292 0.1271 0.1251 0.1230 0.1210 0.1190 0.1170 1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.88301.2 0.1151 0.1131 0.1112 0.1093 0.1075 0.1056 0.1038 0.1020 0.1003 0.0985 1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.90151.3 0.0968 0.0951 0.0934 0.0918 0.0901 0.0885 0.0869 0.0853 0.0838 0.0823 1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.91771.4 0.0808 0.0793 0.0778 0.0764 0.0749 0.0735 0.0721 0.0708 0.0694 0.0681 1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.93191.5 0.0668 0.0655 0.0643 0.0630 0.0618 0.0606 0.0594 0.0582 0.0571 0.0559 1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.94411.6 0.0548 0.0537 0.0526 0.0516 0.0505 0.0495 0.0485 0.0475 0.0465 0.0455 1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.95451.7 0.0446 0.0436 0.0427 0.0418 0.0409 0.0401 0.0392 0.0384 0.0375 0.0367 1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.96331.8 0.0359 0.0351 0.0344 0.0336 0.0329 0.0322 0.0314 0.0307 0.0301 0.0294 1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.97061.9 0.0287 0.0281 0.0274 0.0268 0.0262 0.0256 0.0250 0.0244 0.0239 0.0233 1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767

2 0.0228 0.0222 0.0217 0.0212 0.0207 0.0202 0.0197 0.0192 0.0188 0.0183 2 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.98172.1 0.0179 0.0174 0.0170 0.0166 0.0162 0.0158 0.0154 0.0150 0.0146 0.0143 2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.98572.2 0.0139 0.0136 0.0132 0.0129 0.0125 0.0122 0.0119 0.0116 0.0113 0.0110 2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.98902.3 0.0107 0.0104 0.0102 0.0099 0.0096 0.0094 0.0091 0.0089 0.0087 0.0084 2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.99162.4 0.0082 0.0080 0.0078 0.0075 0.0073 0.0071 0.0069 0.0068 0.0066 0.0064 2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.99362.5 0.0062 0.0060 0.0059 0.0057 0.0055 0.0054 0.0052 0.0051 0.0049 0.0048 2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.99522.6 0.0047 0.0045 0.0044 0.0043 0.0041 0.0040 0.0039 0.0038 0.0037 0.0036 2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.99642.7 0.0035 0.0034 0.0033 0.0032 0.0031 0.0030 0.0029 0.0028 0.0027 0.0026 2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.99742.8 0.0026 0.0025 0.0024 0.0023 0.0023 0.0022 0.0021 0.0021 0.0020 0.0019 2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.99812.9 0.0019 0.0018 0.0018 0.0017 0.0016 0.0016 0.0015 0.0015 0.0014 0.0014 2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986

3 0.0013 0.0013 0.0013 0.0012 0.0012 0.0011 0.0011 0.0011 0.0010 0.0010 3 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.99903.1 0.0010 0.0009 0.0009 0.0009 0.0008 0.0008 0.0008 0.0008 0.0007 0.0007 3.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.99933.2 0.0007 0.0007 0.0006 0.0006 0.0006 0.0006 0.0006 0.0005 0.0005 0.0005 3.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.99953.3 0.0005 0.0005 0.0005 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0003 3.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.99973.4 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0002 3.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.99983.5 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 3.5 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

Tabel pentru când 0

0,6278 0,62 0,78 0,63 0,62

0,7324 0,78 0,7357 0,73240,7350

N x x

N N N N

⎡ ⎤= + −⎣ ⎦= + × −

=

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

Tabel pentru când 0

0,1234 0,12 0,34 0,12 0,13

0,4522 0,34 0,4522 0,48340,4509

N x x

N N N N

⎡ ⎤− = − − − − −⎣ ⎦= − × −

=

Page 28: Suport seminar inginerie

Seminar 5: Martingale şi Integrala stocastică

28

Seminar 5: Martingale şi Integrala stocastică

I. Martingale:

Fie ( , 0)tX t ≥ un process stocastic, care este martingal dacă: i) ( , 0)tX t ≥ este t măsurabilă−F ( tX este adaptat filtrării 0{ }t t≥F );

ii) tX este integrabilă (0

( )T

X s ds ≤ ∞∫ );

iii) [ / ] ,T t tE X X t T= ∀ ≤F (valoarea aşteptată a variabilei X , având disponibilă informaţia la momentul curent t este egală cu valoarea prezentă a acestei variabile). Lemă: Un proces stocastic ( , 0)tX t ≥ este martingal ⇔ ecuaţia de dinamică stocastică pentru acest proces are forma t t tdX b dB= ⋅ (acest proces nu prezintă drift). II. Integrala stocastică:

Fie ( , 0)tB t ≥ o mişcare Browniană standard. ( ) ( )T

st

I s dBθ θ= ∫ se numeşte integrală

stocastică având următoarea condiţie de integrare 2[ ( )]T

t

E s dsθ < ∞∫ .

Obs. θ poate fi o funcţie deterministă sau un proces stocastic. Proprietăţi:

i) E[ ( )] [ ( ) / ] 0.T

Bs t

t

I E s dBθ θ= =∫ F

ii) 2 2var[ ( )] [( ( ) ) ] [ ( )]T T

st t

I E s dB E s dsθ θ θ= =∫ ∫ ( 2var[ ( )] ( )I T tθ θ= ⋅ − dacă θ e o constantă).

iii) ( )T

st

s dBθ∫ este , .BT măsurabilă T t− ∀ ≥F

Corolar: Orice integrală stohastică este martingal:

0 0

0 0

[ ( ) / ] [ ( ) / ] [ ( ) / ]

( ) [ ( ) / ] ( )

T t TB B B

s t s t s tt

t T tB

s s t st

E s dB E s dB E s dB

s dB E s dB s dB

θ θ θ

θ θ θ

= + =

= + =

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

F F F

F

Propoziţie: • Dacă Y şi Z sunt variabile stohastice iar Z este t măsurabilă−F atunci:

[ / ] [ / ]t t t tE Z Y Z E Y⋅ = ⋅F F . • Dacă Y este o variabila stohastica iar s t≤ atunci: [ [ / ] / ] [ / ]t s sE E Y E Y=F F F .

Page 29: Suport seminar inginerie

Seminar 5: Martingale şi Integrala stocastică

29

Aplicaţii: 1. tB este o martingală. Fie s t≤ un interval de timp. Ştim din proprietăţile procesului Wiener fundamental că

[ ] [ / ] 0 [ / ] [ / ]t s t s s t s s s sE B E B B E B E B B−Δ = − = ⇒ = =F F F 2. 2

tB t− este o martingală.

2 2 2 2 2

2

[ / ] [( ) 2 2 / ] [( ) 2 ( ) / ]

[( ) / ] 2 [( ) / ]t s s t s t s s s t s s t s s

t s s s t s s

E B B E B B B B B E B B B B B

E B B B E B B t s

− = − + ⋅ ⋅ − ⋅ = − + ⋅ ⋅ − =

= − + ⋅ ⋅ − = −

F F F

F F2 2 2 2[ / ] [ / ]t s s t s sE B B t s E B t B s− = − ⇒ − = −F F

3.

2

2tB te

σσ ⋅ − ⋅ este o martingală.

2 2 2

2 2 2

( )2 2 2

( )2 2 2

[ / ] [ / ] [ ]

.

t s st s

s s

B t B t B tB B g t ss s

t sB t B s

E e e E e e E e

e e e

σ σ σσ σ σσ σ

σ σ σσ σ

⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅⋅ − ⋅ ⋅ −

⋅ −⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅

= ⋅ = ⋅ =

= ⋅ =

F F

deoarece (0, )t s t sB B B t s N t sε− = − = − ⋅ −∼ . 4. Calculaţi 4[ ]tE B . Aplicăm lema lui Ito funcţiei: 4( ) tD x x unde dx dB= = .

3 3 2 3

22

0

14 0 0 4 1 12 1 42

12

tt

t

DtD x dD x x dt x dBxD xx

⎫∂= ⎪

∂ ⎪⎪∂ ⎛ ⎞= ⋅ ⇒ = + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅⎬ ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠⎪⎪∂

= ⋅ ⎪∂ ⎭

Lemă: dacă (0,1)g N∼ atunci 2

2[ ]gE e eλ

λ⋅ = unde λ este un parametru real (vezi ANEXA)

Page 30: Suport seminar inginerie

Seminar 5: Martingale şi Integrala stocastică

30

2 36 4t t tdD B dt B dB= ⋅ + ⋅ şi integrând ⇒ 2 3

0 0

6 4t t

t s s sD B ds B dB= ⋅ + ⋅∫ ∫ şi aplicând

opertatorul medie rezultă: [ ] 2 3 2

0 0 0int.

6 4 6 0 3t t t

t s s s

stocastică

E D E B ds E B dB sds t⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤= ⋅ + ⋅ = ⋅ + = ⋅⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫ ∫ .

5. Calculaţi integrala stocastică: 0

.t

s sB dB∫

Facând analogia cu integrala Riemann, o funcţie de la care putem porni în mod natural analiza este 2( ) tD t B= pentru care aplicăm lema lui Ito:

2

2

0

12 0 0 2 1 2 1 22

2

t t t t tt

t

DtD B dB B dt B dBBDB

⎫∂= ⎪

∂ ⎪⎪∂ ⎛ ⎞= ⋅ ⇒ = + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅⎬ ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠⎪⎪∂

= ⎪∂ ⎭

2

2 2

0 0

2 22 2

t tt

t t t t s s s sB tdB dt B dB B t B dB B dB= + ⋅ ⋅ ⇒ = + ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ = −∫ ∫ .

6. Procesul Ornstein-Uhlenbeck:

0, ; , .t t tdx kx dt dB x y k consσ σ= − + = = Determinaţi [ ] [ ], ,t t tx E x Var x şi valoarea mediei pe termen lung a variabilei x . Evident procesul urmat de tx nu este un caz particular al procesului Ito deoarece driftul este neconstant iar difuzia este constantă. Analogia cu modul de rezolvare al ecuaţiilor

diferenţiale deterministe de forma dx Ax fdt

+ = (care se reduc la ecuaţii diferenţiale de

forma ( )At

Atd e x

e fdt

⋅= ⋅ după înmulţirea ambilor termeni cu A te ⋅ ) ne îndreptăţeşte la

alegerea unei funcţii de forma ( , ) k tD t x e x⋅= ⋅ pentru care plicăm lema lui Ito:

Page 31: Suport seminar inginerie

Seminar 5: Martingale şi Integrala stocastică

31

( ) 2

2

2

1 02

0

k tt

k t k t k t k t k tt t t

t

t

D k e xtD e d e x k e x k x e dt e dBx

Dx

σ σ

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⎫∂ ⎪= ⋅ ⋅∂ ⎪

⎪∂ ⎪ ⎛ ⎞= ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅⎬ ⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠⎪⎪∂ ⎪=

∂ ⎪⎭

( )

0 0

t tk t k s k t k s t

t s t se x y e dB x e y e dBσ σ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ −⋅ − = ⋅ ⇔ = ⋅ + ⋅∫ ∫ .

( ) ( )

0

tk t k s t k t

t sE x e y E e dB e yσ− ⋅ ⋅ − − ⋅⎡ ⎤= ⋅ + ⋅ = ⋅⎢ ⎥

⎣ ⎦∫ datorită proprietăţilor integralei stohastice.

( ) ( )( )2 2

2 2 ( ) 2 ( )

0 0

22 2 ( ) 2

0

1 .2

t tk s t k s t

t t t s s

t k tk s t

Var x E x E x E e dB E e dB

ee dsk

σ σ

σ σ

⋅ − ⋅ −

− ⋅⋅ −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − = ⋅ = ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

−= ⋅ = ⋅

∫ ∫

Media pe termen lung: ( )lim lim 0k ttt t

E x e y− ⋅

→∞ →∞= ⋅ = .

7. Particularizare a procesului Ornstein-Uhlenbeck – modelul Vasicek pentru dinamica ratei dobânzii:

0( ) , , , , constantetdr k r dt dB cu r kθ σ θ σ= − + . Determinaţi: ( ) ( ), ,t t tr E r Var r şi valoarea mediei pe termen lung a variabilei r . Obs. Variabila x r θ= − urmează un proces de tip Ornstein-Uhlenbeck deoarece:

( ) tdx d r dr kxdt dBθ σ= − = = − +

Aplicând lema lui Ito funcţiei: ( ) kt

t tD r eθ= − vom obţine (prin analogie cu rezultatele din problema 6):

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )0

0

0 0

22

( )

( )

12

tk t k s t

t t s

k t k tt t

k t

t t t

r x e r e dB

E r E x x e r e

eVar r Var x Var xk

θ θ θ σ

θ θ θ θ

θ σ

− ⋅ ⋅ −

− ⋅ − ⋅

− ⋅

= + = + ⋅ − + ⋅

= + = + ⋅ = + − ⋅

−= + = = ⋅

Page 32: Suport seminar inginerie

Seminar 5: Martingale şi Integrala stocastică

32

Media pe termen lung: ( ) ( )0lim lim ( ) .k ttt t

E r r eθ θ θ− ⋅

→∞ →∞= + − ⋅ =

Comentarii legate de modelul Vasicek:

Avantaj: rata dobânzii în acest model urmeză un proces de tip mean-reverting (se consideră că acest tip de proces descrie cel mai fidel dinamica din realitate a ratei dobânzii – vezi aplicaţia 3 de la seminarul 4); Dezavantaj: rata dobânzii fiind o variabilă aleatoare Gaussiană, în cadrul acestui model, are o probabilitate pozitivă de a lua valori negative.

Page 33: Suport seminar inginerie

Seminar 5: Martingale şi Integrala stocastică

33

Anexă Lema: Dacă X este o variabilă aleatoare distribuită normal de medie m şi deviaţie

standard s atunci: ( )2

2smxE e e

+= .

Demonstraţie:

( )

( )

( )( )

2

2

222

2

( )2

222 2

2 2

22

12

( )2 2 2

12

x mx x s

x m ssmx s

E e e e dxs

x m sx m sx ms s

E e e e dxs

π

π

−∞ −

−∞

⎡ ⎤− +∞ ⎣ ⎦−+

−∞

= ⋅ ⋅

⎡ ⎤− +− ⎣ ⎦− = + − ⇒

= ⋅ ⋅

Făcând schimbarea de variabilă: 2( )x m s dxu du

s s− +

= ⇒ = de unde:

( )2 2 2

2 2 212

s u sm mxE e e e du eπ

∞+ − +

−∞

= ⋅ ⋅ =∫ c.c.t.d.

Page 34: Suport seminar inginerie

Seminar 6: Ecuaţia Black-Merton-Scholes şi Modelul Black-Scholes

34

Seminar 6: Ecuaţia Black-Merton-Scholes şi Modelul Black-Scholes Ecuaţia Black-Merton-Scholes. Dacă tD este preţul unui instrument financiar derivat la momentul t , ce are ca suport activul S , atunci tD verifică următoarea ecuaţie de dinamică (ecuaţia Black-Merton-Scholes) :

22 2

2

12

t t tt t t

D D Dr S S r Dt S S

σ∂ ∂ ∂+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

∂ ∂ ∂

Modelul Black-Scholes. Dacă derivativul D este un CALL de tip european (respectiv o opţiune PUT de tip european) cu suport acţiunea S neplătitoare de dividend, atunci soluţia ecuaţiei Black-Merton-Scholes este:

( )1 2

( )2 1

2

1

2 1

( ) ( )

( ) ( ) :

ln ( ) ( )2

( )

( )

r T tt t

r T tt t

t

C S N d E e N d şi respectiv

P E e N d S N d unde

S r T tEd

T t

d d T t

σ

σ

σ

− ⋅ −

− ⋅ −

= ⋅ − ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ − − ⋅ −

+ + ⋅ −=

⋅ −

= − ⋅ −

Generalizare. Dacă activul suport a opţiunilor europene generează venit, formulele aferente ecuaţiei şi modelului Black-Scholes devin:

22 2

2

1( )2

t t tt t t

D D Dr q S S r Dt S S

σ∂ ∂ ∂+ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

∂ ∂ ∂

( ) ( )1 2

( ) ( )2 12

1

2 1

( ) ( )

( ) ( ) :

ln ( ) ( )2

( )

( )

q T t r T tt t

r T t q T tt t

t

C S e N d E e N d şi respectiv

P E e N d S e N d unde

S r q T tEd

T t

d d T t

σ

σ

σ

− ⋅ − − ⋅ −

− ⋅ − − ⋅ −

= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ −

+ − + ⋅ −=

⋅ −

= − ⋅ −

În funcţie de tipul activului suport, avem următoarele posibilităţi: i) dacă activul suport este o acţiune plătitoare de dividende, q este rata continuă a dividendului (în procente pe an); ii) dacă activul suport este un indice bursier, q reprezintă rata continuă medie a dividendelor generate de acţiunile care intră în componenţa indicelui;

Page 35: Suport seminar inginerie

Seminar 6: Ecuaţia Black-Merton-Scholes şi Modelul Black-Scholes

35

iii) dacă activul suport este o valută, q reprezintă rata de dobândă la valuta suport în

contract (rata de dobândă străină .not

fq r= ); iv) dacă activul suport este un contract futures, q r= iar ecuaţia şi modelul (denumit în acest caz modelul Black) devin:

2

2 22

12

t tt t

D DF r Dt F

σ∂ ∂+ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

∂ ∂ şi respectiv

( )

1 2( )

2 12

1

2 1

[ ( ) ( )]

[ ( ) ( )] :

ln ( )2( )

( )

r T tt t

r T tt t

t

C e F N d E N d

P e E N d F N d unde

F T tEd

T t

d d T t

σ

σ

σ

− ⋅ −

− ⋅ −

= ⋅ ⋅ − ⋅

= ⋅ ⋅ − − ⋅ −

+ ⋅ −=

⋅ −

= − ⋅ −

Obs. 1. Paritatea PUT-CALL: ( ) ( ) ,r T t q T t

t t tC E e P S e t T− − − ⋅ −+ ⋅ = + ⋅ ∀ ≤ valabilă pentru opţiuni europene cu aceleaşi caracteristici poate fi demonstrată şi cu ajutorul formulelor Black-Scholes2. 2. Paritatea PUT-CALL în cazul în care activul suport este un contract futures se scrie: ( ) ( ) ,r T t r T t

t t tC E e P F e t T− − − ⋅ −+ ⋅ = + ⋅ ∀ ≤ . Aplicaţii: 1. Un contract forward cu suport o acţiune ex-dividend este un instrument financiar derivat a cărui valoare depinde de valoarea activului suport. Verificaţi această afirmaţie folosind ecuaţia Black-Merton-Scholes. Preţul unui contract forward (poziţie long) emis la momentul 0 0t = cu scadenţa la T şi care este evaluat la momentul 0t t T≤ ≤ este: 0 0( , , ) r t

t L tD f t t T S S e ⋅= = − ⋅ .

0 ; 1; 0;r tt t t

t t

D D Dr S et S S

⋅∂ ∂ ∂= − ⋅ ⋅ = =

∂ ∂ ∂

2 2

0 011 0 ( )2

r t r tt t t tr S e r S S r S S e r Dσ⋅ ⋅− ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ = ⋅ c.c.t.d.

2. Cursul curent al unei acţiuni este 100 . .tS u m= , volatilitatea sa este 20%σ = , rata dobânzii fără risc pe piaţă este 10%r = . Se emit opţiuni CALL şi PUT de tip

2 Vezi suportul de curs.

Page 36: Suport seminar inginerie

Seminar 6: Ecuaţia Black-Merton-Scholes şi Modelul Black-Scholes

36

european, cu scadenţa peste 6 luni şi care au un preţ de exercitare 100 . .E u m= Determinaţi valuarea curentă a opţiunilor CALL şi PUT emise.

( )1 2( ) ( )r T t

t tC S N d E e N d− ⋅ −= ⋅ − ⋅ ⋅ 22

1

2 1

100 0,2ln (0,1 ) 0,5ln ( ) ( )100 22 0,4243

( ) 0,2 0,5

( ) 0,4243 0,2 0,5 0,2828.

tS r T tEd

T t

d d T t

σ

σ

σ

+ + ⋅+ + ⋅ −= = =

⋅ − ⋅

= − ⋅ − = − ⋅ =

1

2

( ) (0,4243) (0,42) 0,43 [ (0,43) (0,42)]0,6628 0,43 (0,6664 0,6628) 0,6643.( ) (0,2828) (0,28) 0,28 [ (0,29) (0,28)] 0,6113.

N d N N N N

N d N N N N

= = + ⋅ − == + ⋅ − =

= = + ⋅ − =

0,1 0,5100 0,6643 100 0,6113 8,2778 . .tC e u m− ⋅= ⋅ − ⋅ ⋅ =

Valoarea opţiunii PUT cu aceleaşi caracteristici ca şi opţiunea CALL o determinăm utilizând teorema de paritate PUT-CALL:

( ) 0,1 0,58, 2778 100 100 3,4007 . .r T tt t tP C E e S e u m− ⋅ − − ⋅= + ⋅ − = + ⋅ − =

3. Determinaţi valoarea unei opţiuni de tip european care dă dreptul la cumpărarea peste 9 luni a unui dolar canadian la preţul de 0,75 USD. Cursul spot este 1CAD = 0,75USD iar volatilitatea cursului de schimb CAD/USD este 4% pe an. Ratele de dobândă în procente pe an în Canada şi SUA sunt 9% şi respectiv 7%. Suportul opţiunii este CAD şi de aceea 9%.f CADr r= =

2 2

1

2 1

0,04ln ( ) ( ) 0 (0,02 ) 0,752 2 0,4157.

( ) 0,04 0,75

( ) 0,4503.

tf

S r r T tEd

T t

d d T t

σ

σ

σ

+ − + ⋅ − + + ⋅= = = −

⋅ − ⋅

= − ⋅ − = −

1

2

( ) ( 0,4157) ( 0,41) 0,57 [ ( 0,41) ( 0,42)] 0,3388.( ) ( 0,4503) ( 0,45) 0,03 [ ( 0,45) ( 0,46)] 0,3262.

N d N N N NN d N N N N

= − = − − ⋅ − − − == − = − − ⋅ − − − =

( ) ( )1 2

0,09 0,75 0,07 0,75

( ) ( )

0,75 0,3388 0,75 0,3262 0,0054 .

fr T t r T tt tC S e N d E e N d

e e USD

− ⋅ − − ⋅ −

− ⋅ − ⋅

= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =

Preţul opţiunii PUT corespunzătoare o putem determina utilizând teorema de paritate PUT-CALL:

( ) ( ) 0,016 .r T t

fr T tet t tP C E e S e USD

⋅ − − ⋅ −−= + ⋅ − ⋅ = 4. Un activ are un curs de piaţă 0 100 . .S u m= Pentru acest activ se emit contracte futures cu scadenţa peste 9 .T luni= Rata dobânzii pe piaţă este 10%.r = Pentru contractele futures se emit opţiuni CALL şi PUT cu scadenţa tot peste 9 luni, preţul

Page 37: Suport seminar inginerie

Seminar 6: Ecuaţia Black-Merton-Scholes şi Modelul Black-Scholes

37

de exercitare fiind egal cu preţul la termen pentru ambele tipuri de opţiuni. Volatilitatea preţului futures este 20%.σ = Determinaţi prima opţiunilor emise.

0r TF S e E⋅= ⋅ = (opţiunile sunt emide la bani sau at the money).

0 1 2 0 1 22

1

2 1 1

( ) ( ) [ ( ) ( )]

ln2

2

.2

r T r TC e F N d e E N d S N d N d

F TEd T

T

d d T T d

σσ

σσσ

− ⋅ − ⋅= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ −

+ ⋅= = ⋅

= − ⋅ = − ⋅ = −

De unde: 2 1( ) ( )N d N d= − .

0 0 1 2 0 10, 2[ ( ) ( )] [2 ( ) 1] 100 [2 ( 0,75) 1] 6,9012.2

C S N d N d S N d N= ⋅ − = ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ ⋅ − =

Din teorema de paritate: .r T r Tt t t tP F e C E e P C− ⋅ − ⋅+ ⋅ = + ⋅ ⇔ =

5. Un investitor dispune de o sumă de bani A cu care poate cumpăra exact 100 acţiuni ale firmei M&N. În cazul în care suma este depusă la bancă cu dobândă continuă, după 9 luni ea devine B . Cu suma A investitorul poate cumpăra exact 1000 opţiuni CALL cu scadenţa peste 9 luni, având preţul de exercitare 0,01E B= ⋅ şi având ca suport această acţiune. Să se calculeze volatilitatea σ a acţiunii (volatilitatea implicită).

( ) ( ) ( )100 ; ; 1000 ; 0,01 0.01 .r T t r T t r T tA S B A e A C E B A e S e⋅ − ⋅ − ⋅ −= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ( ) ( ) ( )

1 2 1 2

1 222

( )

1

2 1

1000 1000 [ ( ) ( )] 10 ( ) 10 ( )( ) ( ) 0,1

ln ( ) ( )ln ( ) ( )22 ( )

2( ) ( )

r T t r T t r T t

tr T t

A C S N d E e N d A N d A e e N dN d N d

SS r T tr T tS eEd T t

T t T td d

σσσ

σ σ

− ⋅ − ⋅ − − ⋅ −

⋅ −

= ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒− =

+ + ⋅ −+ + ⋅ −⋅= = = ⋅ −

⋅ − ⋅ −

= −

1 2 1 1 1

1

1

( ) ( ) 0,1 ( ) ( ) 0,1 2 ( ) 1,1

( ( )) 0,55 ( ) (0,55)2 2

(0,12 ) (0,12) 0, [ (0,13) (0,12)] 0,55(0,55) 0,1256 29%.

N d N d N d N d N d

N T t T t N

N x N x N NN

σ σ

σ

− = ⇔ − − = ⇔ ⋅ = ⇒

⋅ − = ⇒ ⋅ − =

= + ⋅ − = ⇒

= ⇒ =

Page 38: Suport seminar inginerie

Seminar 7: Indicatori de senzitivitate, hedging static şi volatilitatea implicită

38

Seminar 7: Indicatori de senzitivitate, hedging static şi volatilitatea implicită Indicatorii de senzitivitate cuantifică variaţia primei opţiunii la o modificare cu o unitate a factorilor care influenţează valoarea opţiunii respective: ( , , , , , )D S E r T t qσ − . D = CALL D = PUT

Delta: DS

∂∂

( )( )1 0q T t

C e N d− ⋅ −Δ = ⋅ > ( )( )1 0q T t

P e N d− ⋅ −Δ = − ⋅ − <

Nabla: DE∂∂

( ) ( )2 0r T t

C e N d− −∇ = − ⋅ < ( ) ( )2 0r T tP e N d− −∇ = ⋅ − >

Gamma: 2

2

DS

∂∂

212

( ) 1 02

d

q T tC

eeS T tσ π

− ⋅ −Γ = ⋅ ⋅ >⋅ ⋅ − ⋅

212

( ) 1 02

d

q T tP

eeS T tσ π

− ⋅ −Γ = ⋅ ⋅ >⋅ ⋅ − ⋅

Rho: Dr

∂∂

( ) ( ) ( )2 0r T t

C T t E N d eρ − ⋅ −= − ⋅ ⋅ ⋅ > ( ) ( ) ( )2 0r T t

P T t E N d eρ − ⋅ −= − − ⋅ ⋅ − ⋅ <

Vega: Dσ∂∂

212

( ) 02

d

q T tC

ee S T tυπ

− ⋅ −= ⋅ ⋅ − ⋅ >⋅

212

( ) 02

d

q T tP

ee S T tυπ

− ⋅ −= ⋅ ⋅ − ⋅ >⋅

Miu: Dq

∂∂

( )

1( ) ( ) 0q T tC S e T t N dμ − ⋅ −= − ⋅ ⋅ − ⋅ < ( )

1( ) ( ) 0q T tP S e T t N dμ − ⋅ −= ⋅ ⋅ − ⋅ − >

Theta: 1 ( )C C

C Ct T t

θ θ∂ ∂= = − = −∂ ∂ −

1 ( )P PP Pt T t

θ θ∂ ∂= = − = −∂ ∂ −

Dacă dezvoltăm în serie Taylor funcţia ( )D S în jurul unei valori curente 0S obţinem aproximarea modificării valorii derivativului (CALL sau PUT) la o modificare mică a valorii cursului activului suport:

1 0 1 0( ) ( ) ( )CC S C S S S− ≅ Δ ⋅ − pt. modificări mici ale cursului 1 0 1 . .S S u m− < 2

1 0 1 0 1 01( ) ( ) ( ) ( )2C CC S C S S S S S− ≅ Δ ⋅ − + ⋅Γ ⋅ − pt. modificări relativ mai mari ale

cursului 1 0 1 . .S S u m− >

Page 39: Suport seminar inginerie

Seminar 7: Indicatori de senzitivitate, hedging static şi volatilitatea implicită

39

Aplicaţii:

1. O acţiune are în prezent un curs de piaţă 0 180S = , volatilitatea estimată este de 32%σ = iar rata dobânzii fără risc pe piaţă este 9,5%r = . Se emit opţiuni CALL şi

PUT având ca suport această acţiune, preţul de exercitare 190E = şi scadenţa peste 9 luni. Determinaţi:

a. Prima opţiunilor put şi call la momentul curent.

b. Pentru cele două opţiuni să se determine indicatorii de senzitivitate:

(Delta); (Gamma); (Nabla); şi (Vega).υΔ Γ ∇

c. Determinaţi noua valoare a opţiunii call dacă valoarea acţiunii suport devine 1 181.S =

d. Determinaţi noua valoare a opţiunii put în situaţia în care valoarea acţiunii suport devine 2 177.S =

e. Ştiind că un investitor are un portofoliu format din 1 2.500N = opţiuni call, poziţie long şi 2 3.200N = opţiuni put, poziţie short, să se calculeze suma investită, precum şi indicatorii

(Delta); (Gamma); (Nabla); şi (Vega)υΔ Γ ∇

ai portofoliului.

f. Cu cât se modifică valoarea acestui portofoliu dacă cursul acţiunii suport scade cu o unitate?

g. Să se precizeze numărul de acţiuni care trebuie cumpărate sau vândute, astfel încât portofoliul să devină neutralΔ − .

h. Ce poziţii trebuie să ia acest investitor pe cele două opţiuni existente pe piaţă şi pe activul suport a.î. portofoliul său să devină neutralΔ −Γ .

Rezolvare:

a. Formulele de evaluare Black-Scholes (cazul fără dividend):

( ) ( ) ( )1 2r T tC S N d E e N d− ⋅ −= ⋅ − ⋅ ⋅ şi ( ) ( ) ( )2 1

r T tP E e N d S N d− ⋅ −= ⋅ ⋅ − − ⋅ − , unde

Page 40: Suport seminar inginerie

Seminar 7: Indicatori de senzitivitate, hedging static şi volatilitatea implicită

40

( )2

1

ln ( )2

S r T tEd

T t

σ

σ

⎛ ⎞ + + ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠=

⋅ − şi 2 1d d T tσ= − ⋅ − .

Dacă se cunoaşte valoarea uneia dintre prime, call sau put, valoarea celeilalte se poate determina folosind relaţia de paritate put-call:

( )r T tt t tP S C E e− −+ = + ⋅ .

Obţinem: 1 0, 2006d = ; 2 0,0766d = − ; ( )1 0,5795N d = ; ( ) ( )2 21 0, 4695N d N d= − − = ;

0 021,2388 şi 18,1723C P= = .

b. Indicatorii de senzitivitate pentru opţiunea call:

( )

212

11;

2

d

C CeN d

S T tσ π

Δ = Γ = ⋅⋅ ⋅ − ⋅

;

( ) ( )2r T t

C e N d− ⋅ −∇ = − ⋅ ;

2121

2

d

C S T t eυπ

−= ⋅ − ⋅

⋅;

Obţinem: 0,5795CΔ = ; 0,0078CΓ = ; 0, 4372C∇ = − şi 60,9506Cυ = .

Indicatorii de senzitivitate pentru opţiunea put:

( ) ( )1 11 1P C N d N dΔ = Δ − = − = − − ;

2121

2

d

P Ce

S T tσ π

Γ = Γ = ⋅⋅ ⋅ − ⋅

;

( ) ( ) ( )2r T t r T t

P C e e N d− ⋅ − − ⋅ −∇ = ∇ + = ⋅ − ;

2121

2

d

P C S T t eυ υπ

−= = ⋅ − ⋅

⋅;

Obţinem: 0,4205PΔ = − ; 0,0078PΓ = ; 0, 4940P∇ = ; 60,9506Pυ = şi 70,3992Pρ = − .

Page 41: Suport seminar inginerie

Seminar 7: Indicatori de senzitivitate, hedging static şi volatilitatea implicită

41

c. 1 0 1 0( 181) ( ) 21,2388 0,5795 1 21,8183CC S C S S= = + Δ ⋅ − = + ⋅ =

d. Modificarea cursului suport este mai consistentă decât în cazul precedent, aşadar:

22 0 2 0 2 0

2

1( 177) ( ) ( )2

118,1723 0,4205 ( 3) 0,0078 ( 3) 19,46892

P PP S P S S S S= = + Δ ⋅ − + ⋅Γ ⋅ − =

= − ⋅ − + ⋅ ⋅ − =

e. Valoarea portofoliului este:

1 2 5.054,36N C N PΠ = ⋅ − ⋅ = − .

Indicatorii de senzitivitate pentru portofoliu sunt:

1 2 2.794,3630C PN NΠΔ = ⋅Δ − ⋅Δ = ;

1 2 5, 4868C PN NΠΓ = ⋅Γ − ⋅Γ = − ;

1 2 2.673,8935C PN NΠ∇ = ⋅∇ − ⋅∇ = − ;

1 2 42.665,4202C PN Nυ υ υΠ = ⋅ − ⋅ = − ;

f. 1 0 1 0( ) 2.794,363 ( 1) 2.794,363.S SΠΠ −Π = Δ ⋅ − = ⋅ − = −

g. În acest caz investitorul realizează o operaţiune de hedging static prin care se protejează împotriva variaţiilor mici ale cursului activului suport.

Trebuie vândute 2.794,363ΠΔ = acţiuni. Noul portofoliu va fi format din: * 2500 3200 2794,363C P SΠ = ⋅ − ⋅ − ⋅ având indicatorul * 0.

ΠΔ =

h. În acest caz investitorul realizează o operaţiune de hedging static prin care se protejează împotriva unor variaţii mai mari ale cursului activului suport.

Preupunem că investitorul introduce în portofoliul său x unităţi din activul suport şi y unităţi noi de opţiuni CALL (putem alege opţiunea PUT ca derivativ pt. această operaţiune de hedging). Investitorul va avea de rezolvat următorul sistem de ecuaţii:

1 0 2.794,363 0,5795 00 0 5, 4868 0,0078 0

C

C

x y x yx y y

Π

Π

Δ + ⋅ + ⋅Δ = + + ⋅ =⎧ ⎧⇔⎨ ⎨Γ + ⋅ + ⋅Γ = − + ⋅ =⎩⎩

unde am ţinut cont că Δ pentru activul suport este 1SSS∂

Δ = =∂

iar 2

2 0SS

S∂

Γ = =∂

.

Poziţie short pe 2.835,127x = − acţiuni şi poziţie long pe 703,436y = opţiuni call.

Page 42: Suport seminar inginerie

Seminar 7: Indicatori de senzitivitate, hedging static şi volatilitatea implicită

42

2. Pentru acţiunile firmei M&N se cunosc: 87, 28%, 0S qσ= = = iar rata dobânzii pe piaţă este 10%r = . Pentru o opţiune de tip CALL cu suport acţiunea M&N şi scadenţa peste 9 luni se cunosc următorii indicatori de senzitivitate:

10,5199, 0,016846, 9,4486.θΔ = Γ = = − Determinaţi prima opţiunii CALL. Rezolvare: Din ecuaţia Black-Merton-Scholes:

22 2

2

2 21

2 2

12

1 1( )2

1 1( 9,4486 0,1 87 0,5199 0,28 87 0,016846) 6,47330,1 2

t t tt t t

C C Cr S S r Ct S S

r S S Cr

C

σ

θ σ

∂ ∂ ∂+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇔

∂ ∂ ∂

⋅ + ⋅ ⋅Δ + ⋅ ⋅ ⋅Γ = ⇔

= ⋅ − + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ =

3. Calculaţi volatilitatea implicită pentru preţul futures ştiind că preţul pe piaţă al unei opţiuni PUT cu suport contractul futures este 20 u.m. Preţul curent al contractului futures este 525 . .F u m= iar preţul de exercitare al opţiunii este

525 . .E u m= Scadenţa opţiunii este peste 5 luni iar rata dobânzii pe piaţă este 6%.

Rezolvare: Practic volatilitatea implicită va fi soluţia următoarei ecuaţii: ( ) piaţăP Pσ = care, în general, poate avea o soluţie analitică sau nu. În acest caz putem rezolva această ecuaţie analitic.

( ) ( ) ( )2 1 2 1( ) ( ) [ ( ) ( )]r T t r T t r T tP E e N d F e N d F e N d N d− ⋅ − − ⋅ − − ⋅ −= ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ − − −

( )2

1

2 1

ln ( )2

2

S r T tEd T t

T td d

σσ

σ

⎛ ⎞ + + ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠= = ⋅ −

⋅ −= −

( )1[2 ( ) 1]r T tP F e N d− ⋅ −= ⋅ ⋅ ⋅ − de unde

15( ( )) 0,5195 (0,5195) 0,04 ... 0,04892 2 1215,15%.

N T t N xσ σ

σ

−⋅ − = ⇔ ⋅ = = = = ⇒

=

Obs. Volatilitatea implicită reprezintă acea valoare a volatilităţii care egalizează preţul opţiunii obţinut din model cu preţul opţiunii observabil pe piaţă.

Page 43: Suport seminar inginerie

Seminar 7: Indicatori de senzitivitate, hedging static şi volatilitatea implicită

43

4. Determinaţi volatilitatea implicită pentru o acţiune al cărei curs prezent este 0 500S = , ştiind că preţul unei opţiuni CALL cu suport această acţiune, cu preţ de

exercitare 500E = şi scadenţa peste 6 luni este 29,2514. 10%.r = Rezolvare: În această situaţie, ecuaţia ( ) 29, 2514C σ = nu va avea o soluţie analitică (vom avea în aceeaşi relaţie ambele probabilităţi 1( )N d şi 2( )N d fără să le putem reduce) şi de aceea o vom rezolva numeric, aplicând algoritmul Newton – Raphson:

Algoritmul Newton – Raphson:

.( ) ( ) 0

not

piaţăf C Cσ σ= − = Alegem aleator o valoare 0σ de preferat undeva între 10% şi 30%. Calculăm:

01 0 '

0

12 1 '

1

11 '

1

1

( )( )( )( )

...........................( )( )

1 . .

nn n

n

n n

ffff

ff

STOP dacă p p

σσ σσσσ σσ

σσ σσ

σ σ

−−

= −

= −

= −

− ≤

Volatilitatea implicită: *nσ σ≅ .

( )f σ

σ0σ 1σ .............nσ

0( )f σ

1( )f σ

2( )f σ

Page 44: Suport seminar inginerie

Seminar 7: Indicatori de senzitivitate, hedging static şi volatilitatea implicită

44

( ) ( ) 29,2514 0f Cσ σ= − =

. '

0 0 0 1'

1 1 1 2*

2 1

20% ( ) 41,389; ( ) 128,9; 0,12108

12,108% ( ) 31,6091; ( ) 115,89; 0,11835

0.01 11,83%.

f f

f f

σ σ σ σ

σ σ σ σ

σ σ σ

= ⇒ = = =

= ⇒ = = =

− < ⇒ =

Volatilitatea implicită este * 11,83%.σ ≅

( ) ( ) ( )21

1 2

' 1 21 1

1

( ) 29,2514 0

( ) 1( ) ( ) ( )2

r T t

d

C

f S N d E e N d

N dCf S n d T t unde n d ed

σ

σ υσ π

− ⋅ −

= ⋅ − ⋅ ⋅ − =

∂∂= = = ⋅ ⋅ − = = ⋅∂ ∂ ⋅

Page 45: Suport seminar inginerie

Seminar 8: Operaţiuni de hedging utilizând opţiuni PUT-protective

45

Seminar 8: Operaţiuni de hedging utilizând opţiuni PUT-protective PROTECTIVE PUT = LONG PUT + LONG SUPORT

_ max( ,0) max( , )T T T T T Tpayoff PP S P S E S E S E= + = + − = ≥

Aplicaţii: 1. Un investitor dispune de o sumă 0 10 .W mil= u.m. pe care doreşte să o investească pentru o perioadă 2T ani= într-un portofoliu diversificat conţinând obligaţiuni zero cupon în sumă de B u.m. şi portofolii protective – put în valoare de 0W B− a.î. la scadenţă valoarea portofoliului său să fie cel puţin egală cu valoarea

11,5 .TA mil= u.m. Rata dobânzii fără risc pe piaţă este 10%r = iar acţiunile din portofoliile protective – put au un curs 0 1000S = u.m. şi o volatilitate 15%.σ = a) Determinaţi costul de cumpărare al unui portofoliu protective – put ( 0PP ) şi numărul de portofolii cumpărate. b) Valoarea la scadenţă a investiţiei, dacă valoarea acţiunilor la scadenţă este de 1200 u.m. Rezolvare:

a) 0 00 0

0 0 0

.W B W BW B x PP xPP S P− −

= + ⋅ ⇒ = =+

TPP

0S E

E

TS

payoff

Page 46: Suport seminar inginerie

Seminar 8: Operaţiuni de hedging utilizând opţiuni PUT-protective

46

T T TPP S P E= + ≥

Investitorul doreşte să obţină un randament minim 0min

0

100 11,5%TA WRW−

= ⋅ = , de aceea

vom fixa preţul de exercitare al opţiunilor PUT la 0 min(1 ) 1150 . .E S R u m= ⋅ + = ( ) ( )

2 12

1 1

2 1 2

0 0 0

( ) ( ) 56,04

ln ( ) ( )2 0,39; ( ) 0,3483

( )

( ) 0,1778; ( ) 0, 42941056,04 . .

r T t q T tt t

t

P E e N d S e N d

S r T tEd N d

T t

d d T t N dPP S P u m

σ

σ

σ

− ⋅ − − ⋅ −= ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ − =

+ + ⋅ −= = − =

⋅ −

= − ⋅ − = − =

= + =

La scadenţă: 0 0

0 0

4.608.217,54 . .r T r TT T T

W B W BW B e PP B e E A B u mPP PP

⋅ ⋅− −= ⋅ + ⋅ ≥ ⋅ + ⋅ = ⇒ =

5.105,66x = . b) max( , ) 11.755282r T r T r T

T T T T TW B e x PP B e x E S B e x S A⋅ ⋅ ⋅= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = > Dacă la T cursul suport TS E≤ atunci T TW A= , în caz contrar T TW A> .

2. Un investitor doreşte să investească A = 1 milion u.m. în acţiuni având următoarele caracteristici: 0 76S = , 16%μ = , 28%σ = pe o perioadă de 9 T luni= . Pentru fiecare acţiune cumpără o opţiune PUT cu preţul de exerciţiu E, formând un număr de portofolii protective put. Fie ( )V E nivelul minim, cert, al acestei investiţii după 9 luni. Rata dobânzii este 10%r = . Să se deducă o condiţie de maxim pentru ( )V E şi să se precizeze dacă punctul de maxim e atins.

Rezolvare:

0 0 0 0

02

0 0 0 0

2 2 0 1 00 0

0 1 0 1 1 1

( )

max ( )

( ). .1: 0 0( )

1 ( ) ( ) ( )

(1 ( )) 0 ( ) 0 ( ) 0

ln

T T

E

r T r TP

A A EA PP V ES P S P

V E

PV E A A Ec oE P S P S E

E E e N d E e N d S N d SP SS N d S N d N d d

S EE

− ⋅ − ⋅

⋅= ⋅ ≥ =

+ +

∂∂ ⋅= ⇔ − ⋅ = ⇔

∂ + + ∂⋅∇

⇔ = ⇔ ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ − − ⋅ − + ⇔+

⇔ ⋅ − − = ⇔ ⋅ = ⇒ = ⇒ →−∞⇒

⇒ →−∞⇔ →∞

Page 47: Suport seminar inginerie

Seminar 8: Operaţiuni de hedging utilizând opţiuni PUT-protective

47

2 1 1 2

0 2 0 1 0

0 0 0

( ) ( ) 1

( ) ( )

lim ( ) lim lim

r T r T

r Tr TE E E

d d T t N d şi N d

P E e N d S N d E e S

A E A EV E A eP S E e S

σ− ⋅ − ⋅

∞∞

⋅− ⋅→∞ →∞ →∞

= − ⋅ − → −∞⇒ − − →

= ⋅ ⋅ − − ⋅ − → ⋅ + →∞

⋅ ⋅= = = ⋅

+ ⋅ +

3. Un investitor deţine un portofoliu format din 100 acţiuni X şi 100 acţiuni Y ce au cursurile curente 0 04 u.m. şi Y 5 u.m.X = = iar volatilităţile 15%X Yσ σ= = . Pentru conservarea valoarii portofoliului pe un orizont de 1 an (astfel încât valoarea portofoliului să fie cel puţin la nivelul celei curente), investitorul cumpără 100 opţiuni put cu suport acţiunea X şi 100 opţiuni put cu suport acţiunea Y, cu scadenţele peste 1 an. Determinaţi preţurile de exercitare ale acestor opţiuni astfel încât costul lor (şi deci al protecţiei) să fie minim. Investitorul se putea proteja utilizând contracte forward? Comentaţi diferenţele dintre cele două tipuri de protecţie prin prisma valorii finale a portofoliului. Rezolvare:

0 5 100 4 100 900V = × + × = Payoff Protective Put-uri =

1 1 1 2 1 2 0100 ( ( , ,1 )) 100 ( ( , ,1 ) 100 ( ) 900an anX P X K an Y P Y K an K K V× + + × + ≥ × + = =

r TA e ⋅⋅

0 E

( )V E

profit

Concluzie: O investiţie cu risc nu poate asigura cu certitudine un profit mai mare decât cel obţinut în urma unei investiţii fără risc (la rata r ) – în caz contrar ar exista oportunităţi de arbitraj.

Page 48: Suport seminar inginerie

Seminar 8: Operaţiuni de hedging utilizând opţiuni PUT-protective

48

1 2 2 1

0 1 0 1

9 9costul protectiei= ( , ,0) ( ,9 ,0)

K K K KP X K P Y K

⇒ + = ⇒ = −+ −

Problema se scrie:

1

1 1

1 1

0 1 0 1

0 1 0 1

1

0 1 0 1 1( ) (9 )

1 1 1

2, 2,9

min ( , ,0) ( ,9 ,0)

( , ,0) ( ,9 ,0). . : 0

( , ,0) ( ,9 ,0) (9 ) 0(9 )

( ) ( )

K

P K P K

rT rTK K

P X K P Y K

P X K P Y Kc o IK

P X K P Y K KK K K

e N d e N d

− −−

+ −

∂ + −= ⇒

∂∂ ∂ − ∂ −

+ × = ∇ −∇ =∂ ∂ − ∂

⇒ − = − ⇒

2 2

0 0

1 1

ln ( ) 1 ln ( ) 12 9 2

1 1

X Y

X Y

X Yr rK K

σ σ

σ σ

+ + × + + ×−

=× ×

0 01 2

1 1

4; 5.9

X Y K KK K

⇒ = ⇒ = =−

Cost acoperire= 100*[Put(X,K1,1an)+Put(Y,K2,1an)] = ...... Pentru acoperirea utilizând contracte forward:

0

0

(0,1, ) 4,42

(0,1, ) 5,52

r T

r T

F X X e

F Y Y e

= ⋅ =

= ⋅ =

Poziţie short pe 100 forward cu suport 0X şi short pe 100 forward cu suport 0Y asigură peste 1 an 994 u.m., costul strategiei fiind 0.

Avantajul protecţiei prin put este dat de faptul că la scadenţă valoarea portofoliului nu este limitată superior la o anumita valoare, caştigul fiind teoretic nelimitat. Contractul forward fixează valoarea finală a portofoliului.

Page 49: Suport seminar inginerie

Seminar 9: Evaluarea firmei utilizând modelul Black – Scholes (Modelul Merton pentru riscul de credit)

49

Seminar 9: Evaluarea firmei utilizând modelul Black – Scholes (Modelul Merton pentru riscul de credit) Ipoteze: i) Bilanţul simplificat al firmei este reprezentat astfel:

Capitaluri proprii ( t tE sau CP ) Active ( t tA sau V ) Datoria ( t tD sau P )

ii) Datoria firmei este contractată sub forma unei obligaţiuni zero-cupon cu valoarea nominală F ( L sau VN ) şi cu scadenţa la momentul T .

iii) Activele firmei urmează o ecuaţie de dinamică de tip Ito: t A t A tdA A dt A dzμ σ= + .

iv) Capitalurile firmei au valoare reziduală ⇒

( ) ( , )( , )

r T tt t t

t t t

D F e P F AE C F A

− ⋅ −= ⋅ −

= unde

2

1

2 1

ln ( ) ( )2

t A

A

A

A r T tFd

T t

d d T t

σ

σ

σ

+ + ⋅ −=

⋅ −

= − ⋅ −

Obs.

tP se mai numeşte put to default şi se „exercită” în situaţia în care firma intră în faliment (sau echivalent, atunci când t tA D< ). Probabilitatea de nerambursare a creditului de către firmă (aceeaşi cu probabilitatea ca firma să intre în faliment, deci cu probabilitatea ca tP să se exercite) este 2( )N d− .

Valoarea medie de recuperare a creditului în caz de faliment este: ( ) 1

2

( )( )

r T tt

N dA eN d

⋅ − −⋅ ⋅

−.

v) Cazul creditului junior: datoria firmei este formată din două tipuri de credite – unul senior şi unul junior: , ,t s t j tD D D= + . În acest caz:

( ),

( ), ,

( , )

( , )

( , ) ( ( , ))

( , ) ( ( , ) ) ( , ) ( , ).

t t s j t

r T ts t s t s t

r T tj t t t s t t t s j t s t s t

t t s j t t s t t t s t t s j t

E C F F A

D F e P F A

D A E D A C F F A F e P F A

A C F F A C F A A C F A C F F A

− ⋅ −

− ⋅ −

= +

= ⋅ −

= − − = − + − ⋅ − =

= − + − + = − +

t t tA E D= +

Page 50: Suport seminar inginerie

Seminar 9: Evaluarea firmei utilizând modelul Black – Scholes (Modelul Merton pentru riscul de credit)

50

Aplicaţii: 1. a) Valoarea activelor unei firme este A0, iar volatilitatea Aσ . Firma are luat un împrumut sub formă de bond zero cupon cu valoarea nominală F şi scadenţa T. Să se determine volatilitatea datoriei, a acţiunilor firmei şi coeficientul de corelaţie între acţiuni şi debit. b) 0 110.000A = , 90.000F = , 78%Aσ = , 6 T ani= , 12%r = . Să se calculeze

Dσ , Eσ şi DEρ , precum şi prima de risc aplicată creditului. c) Determinaţi valoarea medie de recuperare a creditului în caz de faliment. Care este probabilitatea de nerambursare a creditului? d) Presupunem că S JF 60.000, F 30.000= = (datoria firmei este formată dintr-un credit senior şi unul junior). Să se calculeze prima aplicată creditului senior, creditului junior, precum şi prima medie corespunzătoare întregului credit. e) Să se deducă pentru cazul general (A0 , FS , FJ, Aσ , r şi T se dau) formula de calcul a volatilităţii debitului junior DJσ . Aplicaţie: să se calculeze volatilitatea creditului junior de la punctul d). f) Să se demonstreze pentru cazul general că valoarea medie a primei plătite precum şi valoarea capitalului propriu, în cazul unui credit junior FJ şi a unui credit senior

FS, nu depind de structura creditului, respectiv de raportul J

S

FF

.

Rezolvare: a) Activele urmează un proces de tip Ito: t A t A tdA A dt A dzμ σ= + . Datoriile pot fi exprimate ca o funcţie de activele firmei: ( , )tD t A . Aplicând lema Ito funcţiei ( , )tD t A obţinem:

22 2

2

1( )2 tt A t A A t

D D D DdD A A dt A dzt A A A

μ σ σ∂ ∂ ∂ ∂= + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

∂ ∂ ∂ ∂

tot un proces Ito care poate fi exprimat şi sub forma:

t D t D tdD D dt D dzμ σ= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

Egalând părţile stochastice ale celor două forme de exprimare pentru procesul tdD , obţinem:

1( ( , )) ( )t t t t t

D A A At t t

A A P F A AD N dD A D A D

σ σ σ σ∂ −∂= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ −

∂ ∂⇒ .D Aσ σ<

În mod similar obţinem o formulă pentru volatilitatea acţiunilor (capitalurilor) firmei:

1( ( , )) ( )t t t t t

E A A At t t

A A C F A AE N dE A E A E

σ σ σ σ∂∂= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

∂ ∂⇒ .E Aσ σ>

Pentru coeficientul de corelaţie dintre debit şi capitaluri pornim de la relaţia bilanţieră:

Page 51: Suport seminar inginerie

Seminar 9: Evaluarea firmei utilizând modelul Black – Scholes (Modelul Merton pentru riscul de credit)

51

t t tA D E= + , pentru care scriem relaţia corespunzătoare între varianţele exprimate în procente:

2 22 2 2

,2A D E D E D ED E D EA A A A

σ σ σ σ σ ρ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

şi înlocuind cu formulele deduse ⇒

2 21 1 1 1 ,

2 21 1 1 1 ,

1 1 1 , ,

1 ( ) ( ) 2 ( ) ( )

1 ( ) [1 ( )] 2 ( ) [1 ( )]1 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 1.

D E

D E

D E D E

N d N d N d N d

N d N d N d N dN d N d N d

ρ

ρρ ρ

= − + + ⋅ ⋅ − ⋅ ⇔

− = − + ⋅ ⋅ − ⋅ ⇔

+ = − + ⋅ ⋅ ⇒ =

Fiind afectate de acelaşi factor de incertitudine (exprimat prin procesul Wiener fundamental dz ), capitalurile şi datoriile firmei sunt perfect corelate.

b)

20

1 1

ln ( )2 1, 4372; ( ) 0,9247.

A

A

A r TFd N d

T

σ

σ

+ + ⋅= = =

2 1 20, 4734; ( ) 0,318.Ad d T N dσ= − ⋅ = − =

0 0 0 1 2

0 0 0

( ) ( ) 87.784, 422.215,6

r TE C A N d F e N dD A E

− ⋅= = ⋅ − ⋅ ⋅ == − =

,

110.0000,78 (1 0,9247) 29,1%22.215,6110.0000,78 0,9247 90,38%87.784, 4

1.

D

E

D E

σ

σ

ρ

= ⋅ ⋅ − =

= ⋅ ⋅ =

=

Prima de risc:

00

1 ln 23,32%

11,32%.

y T FD F e yT D

y rπ

− ⋅ ⎛ ⎞= ⋅ ⇒ = ⋅ =⎜ ⎟

⎝ ⎠= − =

unde y reprezintă rata dobânzii cu risc percepută de creditori firmei iar π prima de risc percepută peste rata fără risc a pieţei.

c) Valoarea medie de recuperare în caz de faliment este: ( ) 1

2

( ) 24.961,04.( )

r T tt

N dA eN d

⋅ − −⋅ ⋅ =

Probabilitatea de faliment a firmei: 2( ) 68, 2%N d− = , ceea ce explică prima de risc de credit însemnată ca mărime.

d) ( ) 0,12 6

,0

, ,

( , ) 60.000 12.163,01 17.042,13110.000 87.784,4 17.042,13 5.173,471

r T ts s t s t

j t t t s t

D F e P F A eD A E D

− ⋅ − − ⋅= ⋅ − = ⋅ − =

= − − = − − =

Page 52: Suport seminar inginerie

Seminar 9: Evaluarea firmei utilizând modelul Black – Scholes (Modelul Merton pentru riscul de credit)

52

,00,

,00,

1 ln 20,98%; 8,98%

1 ln 29,29%; 17,29%.

s

j

y T ss s s s s

s

y T jj j j j j

j

FD F e y y rT D

FD F e y y r

T D

π

π

− ⋅

− ⋅

⎛ ⎞= ⋅ ⇒ = ⋅ = = − =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞

= ⋅ ⇒ = ⋅ = = − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

,0 ,00, ,0

1( ) ln 23,32%; 11,32%s jy Ts j s j

s j

F FD D F F e y y r

T D Dπ− ⋅

⎛ ⎞++ = + ⋅ ⇒ = ⋅ = = − =⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

Obs. .j s iarπ π π π> = e) Aplicând acelaş raţionament ca la punctul a) funcţiei , ( , )j t tD t A obţinem:

1, 1

( ( , ) ( , ))[ ( ) ( )]

j

j t s t t s j tt t tD A A A s

j j j

D C F A C F F AA A A N d N dD A D A D

σ σ σ σ∂ ∂ − +

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ −∂ ∂

2

1, 1

ln ( )2 . )

t A

ss

A

A r TFunde d iar d cel de la pct b

T

σ

σ

+ + ⋅=

⋅.

f)

, ,

( , )

1 1ln ln .( ,..., )

t t s j

s j s j

t s t j t t t s j

E A F F

F F F Fr r

T D D T A E A F Fπ

+

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ += ⋅ − = ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ − +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Evident atât capitalul cât şi prima medie de risc nu depind de structura ci de valoarea totală a datoriei. 2. Valoarea activelor unei firme este 100.000 u.m. iar volatilitatea acestora este

65%Aσ = . Firma a beneficiat de un credit luat sub forma unei obligaţiuni zero cupon cu valoarea nominală 80.000 u.m. şi scadenţa peste 6 ani. Rata dobânzii pe piaţă este r = 10% . Determinaţi: a) Valoarea iniţială a datoriei firmei şi volatilităţile datoriei respectiv acţiunilor firmei. b) La sfârşitul anului 3, firma decide să-şi refinanţeze creditul, în situaţia în care activele sale în acest moment valorau 125.000 u.m. Calculaţi ce primă de risc va fi aplicată firmei de către noii creditori. Rezolvare: a) tA : valoarea activelor firmei la momentul t .

Page 53: Suport seminar inginerie

Seminar 9: Evaluarea firmei utilizând modelul Black – Scholes (Modelul Merton pentru riscul de credit)

53

0 0

0 0 0

0

01

0

01

0

( , ) 26.584,61 . .73.415,39 . .

( , ) 17.320,32 . .

( ) 23,12%

( ) 80,16%.

r T

D A

S A

D F e Put A T u mE A D u mPut A T u m

A N dDA N d

CP

σ σ

σ σ

− ⋅= ⋅ − == − =

=

= ⋅ ⋅ − =

= ⋅ ⋅ =

b)

( 3)3 3

3

( , 3) 45.759,49 . .

1 ln 8,62%3

r TD F e Put A T u m

F rT D

π

− ⋅ −= ⋅ − − =

⎛ ⎞= ⋅ − =⎜ ⎟− ⎝ ⎠

3. Valoarea de piaţă a activelor unei firme este 89.000A = , ea având un credit (obligaţiune 0-cupon) cu valoarea nominală 70.000, 5 , 60%, 12%.F T ani rσ= = = = a) Să se calculeze valoarea debitului 0D , precum şi prima de risc aplicată.

b) Să se calculeze următorii indicatori de senzitivitate: 0 0 0 0; ; ; ,A

D D D DA F Tσ

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

menţionându-se monotonia funcţiei 0 0 ( , , , ).AD D A F Tσ= Rezolvare: a) b)

0

0

27.191,6046( , ) 11.225, 2099

6,9117%.

DP A Fπ

==

=

01

( ) ( )02

0

.( )0

( ) 0,0973;

( ) 0,26473;

34.236,09;

4.277,93.

P

r T t r T tP

pA

Th Paritater T t

P C

D N dAD e e N dFD

D r F eT

υσ

θ θ

− ⋅ − − ⋅ −

− ⋅ −

∂= −Δ = − =

∂∂

= −∇ = ⋅ =∂∂

= − = −∂∂

= − ⋅ ⋅ − = − = −∂

Page 54: Suport seminar inginerie

Seminar 10: Evaluarea instrumentelor financiare derivate

54

Seminar 10: Evaluarea instrumentelor financiare derivate Într-un mediu neutru la risc preţul activelor financiare nu depind de preferinţele pentru risc ale investitorilor. Într-un astfel de mediu, preţul la momentul t al unui instrument financiar derivat ce plăteşte la scadenţa T payoff-ul TD va fi: ( ) [ / ]r T t

t Q T tD e E D− ⋅ −= ⋅ F , unde operatorul de speranţă matematică este aplicat în raportul cu probabilitatea neutră la risc, notată cu Q . Aplicaţii 1. Să se evalueze un activ financiar derivat al cărui payoff este:

, ( )( )

0, ( )c dacă Y T c

X Tdacă Y T c

≤⎧= ⎨ >⎩

unde ( )Y t este soluţia ecuaţiei: t tdY dt dBα β= + iar

, , (0)c şi Yα β sunt nişte constante. Rezolvare: Integrând ecuaţia de dinamică pentru ( )Y t obţinem: ( ) (0) tY t Y t Bα β= + + de unde:

( ) (0) ;Y t N Y t tα β⎡ ⎤+ ⋅ ⋅⎣ ⎦∼ . Evident, variabila ( ) (0)( ) [0;1]Y t Y tZ t Ntα

β− − ⋅

=⋅

∼ a cărei

funcţie de probabilitate este tabelată. Într-un mediu neutru la risc, preţul la momentul t T≤ al activului financiar este:

[ ]( )2

2( ) (0)

( ) ( ) 2( ) ( ) / ( ) ( )2

Y t Y tcr T t r T t t

QcX t e E X T X t e e dY tt

αβ

β π

− − ⋅−

− ⋅ − − ⋅ − ⋅ ⋅

−∞

= ⋅ = ⋅ ⋅⋅ ⋅∫

Facem schimbarea de variabilă: ( ) (0) ( )( ) ( ) ( )Y t Y t dY tdZ t d t dZ t dY t

t tα β

β β− − ⋅

= = ⇒ ⋅ ⋅ =⋅ ⋅

şi înlocuind în relaţia de

evaluare obţinem:

2 2(0) (0)

( ) ( )( ) ( )2 2

( )

1( ) ( ) ( )2 2

(0)( ) .

c Y t c Y tt tZ t Z t

r T t r T t

r T t

cX t e e dZ t e c e dZ t

c Y tc e N d unde dt

α αβ β

π πα

β

− − ⋅ − − ⋅⋅ ⋅

− −− ⋅ − − ⋅ −

−∞ −∞

− ⋅ −

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =

− − ⋅= ⋅ ⋅ =

∫ ∫

Page 55: Suport seminar inginerie

Seminar 10: Evaluarea instrumentelor financiare derivate

55

2. Se consideră procesele stocastice ( )X t şi ( )Y t ale căror ecuaţii de dinamică sunt: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

dX t X t dt Y t dB tdY t Y t dt X t dB t

αα

= ⋅ ⋅ − ⋅= ⋅ ⋅ + ⋅

Se cere: a. Demonstraţi că procesul 2 2( ) ( )X t Y t+ este determinist. b. Determinaţi procesul ( )X t şi calculaţi [ ( )]E X t .

Rezolvare: a. Utilizând lema lui Ito, dinamica procesului 2 ( )X t se scrie:

2 2 2( ) (2 ( ) ( )) 2 ( ) ( ) ( )dX t X t Y t dt X t Y t dB tα= ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅

Analog, dinamica lui 2 ( )Y t este: 2 2 2( ) (2 ( ) ( )) 2 ( ) ( ) ( )dY t Y t X t dt Y t X t dB tα= ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅

Însumând: 2 2 2 2[ ( ) ( )] (2 1) ( ( ) ( ))d X t Y t X t Y t dtα+ = ⋅ + ⋅ +

Procesul 2 2( ) ( )X t Y t+ evoluează după o lege în care nu intervine nici un factor stocastic, deci acest proces este unul determinist. b. Pentru a determina procesul ( )X t , vom integra pe [0, ]t relaţia de dinamică pentru acest proces:

( ) ( ) ( ) ( )0 0

0t t

sX t X X s ds Y s dBα= + ⋅ −∫ ∫

Aplicând operatorul de speranţă matematică şi având în vedere că media necondiţionată a integralei stocastice din expresia anterioară este zero, avem:

( ) ( ) ( )0

0t

E X t X E X s dsα⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫

Derivând această relaţie în variabila t şi ţinând cont de formula Leibniz-Newton, obţinem:

( )( )

E X tE X t

⎡ ⎤∂ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤= ⋅ ⎣ ⎦∂

relaţie pe care o înmulţim cu te α− ⋅ şi obţinem:

( )( ) 0t tE X t

e e E X tt

α αα− ⋅ − ⋅⎡ ⎤∂ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤⋅ − ⋅ ⋅ =⎣ ⎦∂

Page 56: Suport seminar inginerie

Seminar 10: Evaluarea instrumentelor financiare derivate

56

Integrând prin părţi pe [0, ]t , rezultă:

( ) ( )0 0 .te E X t e E X ct unde ctα α− ⋅ − ⋅⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ − ⋅ = ∈⎣ ⎦ ⎣ ⎦ R ⇔

( ) ( )[ 0 ]tE X t e X ctα⋅⎡ ⎤ = ⋅ +⎣ ⎦

dar ( )0 (0) 0.E X X ct⎡ ⎤ = ⇒ =⎣ ⎦ În concluzie ( ) ( )0 .tE X t e Xα⋅⎡ ⎤ = ⋅⎣ ⎦ 3. Se consideră o acţiune care nu plăteşte dividende având ecuaţia de dinamică a cursului: t t t tdS S dt S dBμ σ= + .

Fie un derivativ al acestei acţiuni care are la scadenţa T un payoff egal cu 2T TS S⋅ .

Determinaţi preţul la momentul t T< al derivativului şi volatilitatea acestuia. Rezolvare: Fie tD preţul la momentul t al acestui instrument financiar derivat.

52

( ) 2

5 5 lnln2 2 2

[ ]

TT

r T tt Q T T

SST T T

D e E S S

S S S e e

− ⋅ −

= ⋅ ⋅

⋅ = = =

Prin aplicarea lemei Ito funcţiei ln tS obţinem3:

2

(ln )2t td S dt dBσ

μ σ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

Pentru a scrie relaţia precedentă într-un univers neutru la risc, aplicăm teorema lui

Girsanov pentru rμθ

σ−

= şi obţinem:

*t t

rdB dB dtμσ−

= +

unde *tB este o mişcare browniană standard sub o probabilitate neutră la risc. Prin

înlocuire în ecuaţia de dinamică a logaritmului cursului acţiunii suport, obţinem: 2

*(ln )2 ttd S r dt dBσ

σ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

Prin integrare pe [ , ]t T se obţine:

3 vezi aplicaţia 5 din seminarul 4.

Page 57: Suport seminar inginerie

Seminar 10: Evaluarea instrumentelor financiare derivate

57

2* *ln ln ( ) ( )

2 tT t TS S r T t B Bσσ

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= + − ⋅ − + ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

Ţinând cont de proprietăţile mişcării browniene standard, din această relaţie rezultă: 2

ln [ln ( ), ]2T tS N S r T t T tσ

σ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟+ − ⋅ − ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

Şi revenind 2

2

2

[ln ln ( ) ( )]1 25 5ln ln 2( ) ( ) ( )2 2

2

1[ ] (ln )2 ( )

ln ln ( ) ( )2 (0;1); (ln ) ( )

T t

T T

S S r T tS Sr T t r T t T t

t Q T

T t

T T T

D e E e e e e d ST t

S S r T tz N d S T t dz

T t

σ

σ

σ π

σ

σσ

− − − ⋅ −∞ − ⋅⋅ ⋅− ⋅ − − ⋅ − ⋅ −

−∞

= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅⋅ −

− − − ⋅ −= = −

⋅ −

2 2

22

2 22

5 [ ln ( )]2 2( ) 2

5 5 5 5ln ( ) ( )( ) 2 2 4 2 2

1 5 253 5 ( )( ) ( )2 2 2 82 4

12

12

TT t

Tt T

T

t

zz T t S r T tr T t

t T

zS r T t T t z T tr T tT

z T t Tr T t T t

t

D e e e dz

e e e e e e dz

S S e e

σσ

σ σ

σ σσ

π

π

⎛ ⎞∞ ⋅ ⋅ ⋅ − + + − ⋅ −⎜ ⎟ −⎜ ⎟− − ⎝ ⎠

−∞

∞⋅ ⋅ − − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − −− −

−∞

− ⋅ − ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅⋅ − − ⋅ −

= ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅

2 223 15 3 151 5( ) ( ) ( ) ( )( )2 22 8 2 82 2

12

12

T

t t

t

T

r T t T t r T t T tz T t

t T t

dz

S S e e dz S S eσ σσ

π

π

∞−

−∞

∞⋅ − + ⋅ − ⋅ − + ⋅ −− ⋅ − ⋅ ⋅ −

−∞

⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

2 25

2 1,5 ( ) 1,875 ( ) 1,5 ( ) 1,875 ( )2t

r T t T t r T t T tt t tD S S e S eσ σ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ −⇒ = ⋅ ⋅ = ⋅ .

Pentru a determina volatilitatea acestui instrument financiar aplicăm lema lui Ito funcţiei ( , )t tD t S :

23 153 ( ) ( )2 825 5

2 2t

t D t D t t D t S t t

r T t T t

D t S t t D t S t t

DdD D dt D dB D dt S dBS

D dt S S e dB D dt D dBσ

μ σ μ σ

μ σ μ σ⋅ − + ⋅ −

∂= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

52D Sσ σ= ⋅ .

Page 58: Suport seminar inginerie

Seminar 10: Evaluarea instrumentelor financiare derivate

58

4. Se consideră o acţiune care nu distribuie dividende având ecuaţia de dinamică a cursului t t t tdS S dt S dBμ σ= + . Fie un derivativ al acestei acţiuni care la scadenţa T

are un payoff egal cu [ ]2ln TS . a) Determinaţi preţul la momentul t T< al derivativului. b) Determinaţi volatilitatea acestuia.

Rezolvare:

a) 2

*(ln ) ( )2T Td S r dT dBσ σ= − +

2

2

(ln )

ln ln ( ) ( );2

T T

T T t

D S

S X N S r T t T tσ σ

=

⎡ ⎤= + − ⋅ − ⋅ −⎢ ⎥

⎣ ⎦∼

[ ]

22

2

[ln ln ( ) ( )]1 22( ) ( ) 2 ( )

2

2( ) 2

1/ (ln ) (ln )2 ( )

ln ( ) ( )2 (0;1); ( )

1( ( ) ( ) ln )2 2

T tS S r T t

r T t r T t T tt Q T t T T

T t

T T T

r T tt T t

D e E D e S e d ST t

X S r T tz N dX T t dz

T t

D e z T t r T t S

σ

σ

σ π

σ

σσ

σσπ

− − − ⋅ −∞ − ⋅

− ⋅ − − ⋅ − ⋅ −

−∞

− ⋅ −

= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ −

− − − ⋅ −= = ⋅ −

⋅ −

= ⋅ ⋅ ⋅ − + − ⋅ − + ⋅ ⋅

F

2

2 2

2 2

2

2

2( ) 2 2 2 22 2

322 2 2 2

22

1 1[ ( ) ( ) ( )22 2

1 1[ln( )] 2 ( )( )22 2

1 12 ( ) ln 2( )( ) ln22 2

T

T T

T T

T

z

T

z zr T t

T T T

z z

t T T T

z

t T T t

e dz

e T t z e dz r T t e dz

S e dz r T t z e dz

T t S z e dz r T t S

σσπ π

σσπ π

σσπ π

∞−

−∞

∞ ∞− −− ⋅ −

−∞ −∞

∞ ∞− −

−∞ −∞

∞ ∞−

−∞ −∞

=

= ⋅ − + − − +

+ + − − +

+ − + − −

∫ ∫

∫ ∫

∫2

2

32 2( ) 2 2 2 2 2

2

2 2( ) 2 2 2 2

]

[ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 [ln( )] 1 2 ( )( ) ( )2 2

2 ( ) ln ( ) 2( )( ) ln 1]2

( ) ( ) ( ) [ln( )] 2( )( ) ln2 2

Tz

T

r T tT t T

t T t

r T tt t

e dz

e T t Var Z r T t S r T t E z

T t S E z r T t S

e T t r T t S r T t S

e

σ σσ σ

σσ

σ σσ

− −

− −

=

= ⋅ − ⋅ + − − ⋅ + ⋅ + − − ⋅ +

+ − ⋅ + − − ⋅ =

⎧ ⎫= ⋅ − + − − + + − − =⎨ ⎬

⎩ ⎭

=

22( ) 2 ( ) ( )( ) ln( )

2r T t

tT t r T t Sσσ− −⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⋅ − + − − +⎨ ⎬⎢ ⎥

⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭

Page 59: Suport seminar inginerie

Seminar 10: Evaluarea instrumentelor financiare derivate

59

b) 2

*(ln ) ( )2t td S r dt dBσ σ= − +

Din lema Ito pentru tD cu suport ln tS rezultă: 2

( ) *

2( )

*

d (...) 2 [( )( ) ln ]2

2 [( )( ) ln ]2(...)

t

t

r T tt t

r T tt

t

t t

D dt e r T t S dB

e r T t SdD dt dBD D

σ σ

σ σ

− −

− −

= + − − +

− − += +

Volatilitatea fiind coeficientul lui *t

dB din ecuaţia rentabilităţii derivativului t

t

dDD

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠.

Page 60: Suport seminar inginerie

Seminar 11: Obligaţiuni zero-cupon – cazul stocastic. Preţul de piaţă al riscului

60

Seminar 11: Obligaţiuni zero-cupon – cazul stocastic. Preţul de piaţă al riscului 1. a) Ecuaţia de dinamică a ratei dobânzii este: dr dt dzμ σ= + . Să se deducă ecuaţia de dinamică care modelează preţul unei obligaţiuni zero-cupon.

b) Să se verifice că preţul obligaţiunii zero-cupon este dat de următoarea formulă: 2 2 31 1( ) ( ) ( ) ( )

2 6( , )r T t T t T t

P t T eμ σ λ σ− ⋅ − − ⋅ − ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ −

= . Verificaţi că această formulă satisface ecuaţia de dinamică.

c) Să se calculeze pentru cazul considerat rentabilitatea la scadenţă şi preţul forward.

d) Să se identifice preţul riscului de piaţă şi să se demonstreze că joacă rolul preţului riscului de piaţă.

Rezolvare: a) Aplicăm lema lui Ito preţului ( , , )P t T r :

2 2

2 22 2

1 12 2

P P P P P P PdP dt dz dt drt r r r t r r

μ σ σ σ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = + ⋅ ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (1.1)

2.2

2

12

not

t rσ

∂⋅ ∂ ⋅∇= +

∂ ∂

Ecuaţia (1.1) devine: PdP Pdt drr

∂= ∇ +

∂.

Considerăm un portofoliu format dintr-o obligaţiune zero-cupon poziţie long şi din h obligaţiuni zero-cupon poziţie short, astfel: 1 2P h P∏ = − ⋅ .

Ecuaţia de dinamică a preţului acestui portofoliu se scrie:

1 21 2( ) ( )P Pd P h P dt h dr

r r∂ ∂

∏ = ∇ − ⋅∇ + − ⋅∂ ∂

Alegem 1

2

Prh Pr

∂∂=∂∂

şi înlocuind rezultă (ţinem cont că dinamica valorii portofoliului Π

este una deterministă, deoarece a dispărut termenul cu dr ):

Page 61: Suport seminar inginerie

Seminar 11: Obligaţiuni zero-cupon – cazul stocastic. Preţul de piaţă al riscului

61

1 1

1 2 1 22 2

( ) ( )

P Pr rd P P dt r P P dtP Pr r

∂ ∂∂ ∂∏ = ∇ − ⋅∇ ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒∂ ∂∂ ∂

1 1 2 2

1 2

P r P P r PP Pr r

∇ − ⋅ ∇ − ⋅=

∂ ∂∂ ∂

Raportul:

.

( , )notP r P c t rP

r

∇ − ⋅=

∂∂

(1.2)

este constant în raport cu scadenţa T .

Fie ( , )( , )def c t rt r μλ

σ+

= . Formula (1.2) se scrie: ( , )P r P t rPr

λ σ μ∇ − ⋅

= ⋅ −∂∂

de unde:

[ ]2

22

12

P P P r Pt r r

μ λ σ σ∂ ∂ ∂+ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅

∂ ∂ ∂ (1.3)

care reprezintă ecuaţia de dinamică a preţului obligaţiunii zero-cupon.

b) În general preţul obligaţiunii zero-cupon este de forma: ( ) ( )( , ) A T t r B T tP t T e − − ⋅ −=

În cazul considerat: 2 2 31 1( ) ( ) ( ) ( )

2 6( )

A T t T t T t

B T t T t

μ σ λ σ⎧ − = − ⋅ − ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ −⎪⎨⎪ − = −⎩

.

Vom verifica dacă acest preţ verifică ecuaţia de dinamică (1.3):

2 2

22

2

1( ) ( ) ( ) ( , )2

( ) ( , )

( ) ( , )

P r T t T t P t TtP T t P t TrP T t P t T

r

μ σ λ σ∂ ⎡ ⎤= + − ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ − ⋅⎢ ⎥∂ ⎣ ⎦∂

= − − ⋅∂∂

= − ⋅∂

Şi înlocuind în ecuaţia (1.3) rezultă:

2 2

2 2

1( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , )2

1 ( ) ( , ) ( , )2

r T t T t P t T T t P t T

T t P t T r P t T

μ σ λ σ μ σ λ

σ

⎡ ⎤+ − ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ − ⋅ − − ⋅ ⋅ − ⋅ +⎢ ⎥⎣ ⎦

+ ⋅ ⋅ − ⋅ = ⋅

şi relaţia este verificată.

Page 62: Suport seminar inginerie

Seminar 11: Obligaţiuni zero-cupon – cazul stocastic. Preţul de piaţă al riscului

62

c) 2 21 1 1( , ) ln ( , ) ( ) ( ) ( )2 6

R t T P t T r T t T tT t

μ σ λ σ= − ⋅ = + ⋅ − ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ −−

2 2

( , ) ( , )1( , ) ( ) ( ) ( )

( , ) ( , ) 2

P t T P t TT tf t T r T t T t

P t T P t Tμ λ σ σ

∂ ∂∂ ∂= − = = + − ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ − .

d) Într-un mediu neutru la risc ecuaţia de dinamică (1.3) se scrie doar în funcţie de rata fără risc r , fără ajutorul ratei de rentabilitate medii μ (într-un mediu neutru la risc preţul

obligaţiunii nu depinde de preferinţele pentru risc ale investitorilor). Alegând rμλσ−

=

(denumit preţul de piaţă al riscului) relaţia (1.3) se rescrie:

2 2

2 22 2

1 12 2

P r P P P P Pr P r r Pt r r t r r

μμ σ σ σσ

∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎡ ⎤+ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⇔ + ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦

Soluţie alternativă:

Aplicând Teorema lui Girsanov pentru rμθ

σ−

= rescriem mişcarea browniană standard

în raport cu probabilitatea neutră la risc, astfel:

*t t

rdz dz dtμσ−

= +

iar ecuaţia de dinamică a preţului obligaţiunii zero-cupon (1.1) se scrie: 2

2 *2

22 *

2

1 ( )2

12

t

t

P P P P rdP dt dz dtt r r r

P P P Pr dt dzt r r r

μμ σ σσ

σ σ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ −= + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂= + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

Într-un mediu neutru la risc preţul obligaţiunii nu depinde de preferinţele pentru risc ale investitorilor, de aceea în formula de evaluare în locul rentabilităţii anuale medii μ , apare rata fără risc r .

Raportul rμλσ−

= poartă denumirea de preţ al riscului de piaţă. Înlocuind în formula

(1.3) acest raport rescriem ecuaţia de dinamică a preţului obligaţiunii zero-cupon în mediu neutru la risc:

[ ]2 2

2 22 2

1 12 2

P P P P P Pr P r r Pt r r t r r

μ λ σ σ σ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⇔ + ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Page 63: Suport seminar inginerie

Seminar 11: Obligaţiuni zero-cupon – cazul stocastic. Preţul de piaţă al riscului

63

2. Se consideră acţiunea A având ecuaţia de dinamică: dS dt dzS

μ σ= + , precum şi

mulţimea de opţiuni de tip CALL: { ( , ); 1, 2,..., }kC S E k p= având ca suport acţiunea A şi preţul de exerciţiu kE . Formând un portofoliu de opţiuni fără risc, să se demonstreze că există un indicator ( , )t Sγ , invariant în raport cu kE , care

caracterizează fiecare opţiune a familiei descrise. Notând cu ( , )( , ) t S St SS

γ μλ

σ+ ⋅

=⋅

preţul de piaţă al riscului, să se exprime λ în funcţie de , r şiμ σ . Să se formuleze interpretarea financiară a formulei deduse. Rezolvare:

Alegem 2 opţiuni oarecare din familia dată: ( , )i iC C S E= şi ( , )j jC C S E= , cu

, 1, şii j p i j= ≠ . Construim portofoliul ( , ) ( , )i jC S E h C S EΠ= − ⋅ pentru care aplicăm

lema Ito cunoscând ecuaţia de dinamică a suportului: dS dt dzS

μ σ= + ⇒

22 2

2

22 2

2

12

12

i i i i

j j j j

C C C Cd S S dt S dzt S S S

C C C Ch S S dt S dz

t S S S

μ σ σ

μ σ σ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎟⎜ ⎟Π= + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎟⎜⎢ ⎥⎟⎜− ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

(2.1)

Definim operatorul NABLA: ( )2.

2 22

12

notS

t Sσ

∂⋅ ∂ ⋅∇ ⋅ = +

∂ ∂

Relaţia (2.1) se scrie:

( ) ( ) j ji ii j

C CC Cd C S h C S dt S h S dzS S S S

μ μ σ σ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂⎟ ⎟⎜ ⎜⎢ ⎥⎟ ⎟Π= ∇ + ⋅ ⋅ − ⋅ ∇ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎜⎟ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

(2.2)

Alegem i

j

CSh CS

∂∂=∂

şi relaţia (2.2) devine: ( ) ( )i

i jj

CSd C C dtCS

⎛ ⎞∂ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂⎜ ⎟Π= ∇ − ⋅∇⎜ ⎟⎜ ∂ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∂

, relaţie ce

descrie dinamica unui process determinist. De aceea:

Page 64: Suport seminar inginerie

Seminar 11: Obligaţiuni zero-cupon – cazul stocastic. Preţul de piaţă al riscului

64

( ) ( )i i

i j i jj j

C CS Sd C C dt r C C dtC CS S

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟∂ ∂⎜ ⎜⎟ ⎟Π= ∇ − ⋅∇ ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜∂ ∂⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠∂ ∂

( )( )( , ) , , 1, .j ji i

i j

C r CC r Ct S i j pC CS S

γ∇ − ⋅∇ − ⋅

= = ∀ =∂ ∂∂ ∂

(2.3)

Pornind de la ecuaţia Black-Merton-Scholes, obţinem:

22 2

2

1 ( )2

( )

C C C Cr S S r C C r S r Ct S S S

CC r C r SS

σ∂ ∂ ∂ ∂

+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇔∇ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⇔∂ ∂ ∂ ∂

∂∇ = ⋅ − ⋅ ⋅

Înlocuind în (2.3), avem: ( , )t S r Sγ =− ⋅

de unde: ( , )( , ) t S S rt SS

γ μ μλ

σ σ+ ⋅ −

= =⋅

care reprezintă raportul dintre excesul de

rentabilitate peste rata fără risc şi volatilitate.

3. Un număr de trei derivative au ca sursă de risc aceeşi variabilă θ . Se cunosc următoarele ecuaţii:

ii i

i

d mdt sdz

df dt dzf

θθ

μ σ

= +

= +

cu i = 1,2,3 iar ( , ); ( , ).i it tμ μ θ σ θ= =

a) Să se deducă expresia pentru preţul riscului de piaţă al factorului θ .

b) Se ştie că: 1 1

2 2

14%, 20%16%, 25%

μ σμ σ

= == =

. Să se calculeze mărimea ratei dobânzii r .

Page 65: Suport seminar inginerie

Seminar 11: Obligaţiuni zero-cupon – cazul stocastic. Preţul de piaţă al riscului

65

Rezolvare:

a) Aplicăm lema Ito functiei ( , )if t θ :

2

2 22

12

i i i ii

f f f fdf m s dt s dzt S

θ θ θθ θ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎟⎜ ⎟= + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

ii i i i i

fdf f dt f dzμ σθ

∂= +

∂ deoarece ( , )if t θ urmează tot un proces de tip Ito.

2.2 2

2

12

nots

θ∂⋅ ∂ ⋅

∇⋅= + ⋅ ⋅ ⋅∂ ∂

rezultă:

ii i i

ii i

ff m f

ff s

θ μθ

σ θθ

⎧ ∂⎪⎪∇ + ⋅ ⋅ = ⋅⎪⎪ ∂⎪⎨⎪ ∂⎪ ⋅ = ⋅ ⋅⎪⎪ ∂⎪⎩

(3.1)

Aplicând lema Ito portofolilui i jf h fΠ= − ⋅ cu i j≠ obţinem:

j ji ii j i j

f ff fd df h df f m h f m dt s h s dzθ θ θ θθ θ θ θ

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂⎟ ⎟⎜ ⎜⎢ ⎥⎟ ⎟Π= − ⋅ = ∇ + ⋅ ⋅ − ⋅ ∇ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎜⎟ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

Alegem i

j

f

h fθ

θ

∂∂=∂

de unde: i i

i j i jj j

f f

d f f dt f f dtf fθ θθ

θ θ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟∂ ∂⎜ ⎜⎟ ⎟Π= ∇ − ⋅∇ ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜∂ ∂⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠∂ ∂

.

Obţinem: ( , ), , 1,3.j ji i

i j

f ff f c t i jf fθθ

θ

θ θ

∇ − ⋅∇ − ⋅= = ∀ =

∂ ∂∂ ∂

Folosind relaţia (3.1) rezultă:

( , )( , ) c t mtsθ θ μ θ

λ θθ σ+ ⋅ −

= =⋅

.

b) Factorul de risc θ este în acest caz rata dobânzii.

0,14 0,16 6%.0,2 0,25

r r r− −= ⇒ =