Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială

Subiecte pentru Referate

Cap. 1 SPAŢII VECTORIALE FINIT DIMENSIONALE Literele

asociate *)

1. Spaţii vectoriale. Combinaţii liniare. Sisteme de

generatori. Sisteme liniar dependente şi liniar independente.

Definitii si exemple. Demonstrati afirmatia: familia de vectori

nenuli {x1, x2,, …, xn}, este liniar dependentă dacă şi numai

dacă există un indice j {1, 2, …, n} astfel încât xj se scrie ca

o combinaţie liniară de ceilalţi vectori din familie.

A, O

2. Baza a unui spaţiu vectorial. Coordonate ale unui vector

intr-o bază. Dimensiune a unui spaţiu vectorial. Definitii si

exemple. Demonstrati afirmatia: Dacă G= (x1, x2, …, xm) un

sistem de generatori din spaţiul vectorial V (0) şi (G) este

familia tuturor sistemelor de vectori liniar independente din G

atunci orice F(G) cu proprietatea că numărul de elemente

din F este maximal (adică orice alt element al lui (G) are cel

mult tot atatea elemente ca si F) este o bază a lui V.

B, H

3. Lema substituţiei. Enunţ şi exemplu de aplicare. Aplicati

Lema susbstituţiei pentru a calcula: inversa unei matrici,

matricea de trecere de la o baza la alta, determinarea

coordonatelor unui vector intr-o bază, rezolvarea sistemelor

liniare compatibil nedeterminate.

C,P

4. Baza a unui spaţiu vectorial. Matrice de trecere de la o

bază la alta. Definitii si exemple. Folositi atat Lema

substitutiei cat si definitia matricei de trecere pentru a calcula

D,U

254

Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială

matricea de trecere de la o baza la alta a unui spaţiu vectorial.

Demonstrati afirmatia: Dacă un vector xV are coordonatele

x = (x1, x2,…, xn) în baza B = {u1, u2,…, un} şi coordonatele

= (1, 2,…, n) în baza B' = {v1, v2,…, vn} iar A = (aij), i,j =

1,…,n este matricea de trecere de la baza B la B' atunci

legătura între cele două sisteme de coordonate este dată de

formula: T= (AT)-1xT.

5. Subspaţii vectoriale. Intersecţii şi sume de subspaţii

vectoriale. Suma directă. Definitii si exemple. Demonstrati

afirmatia: Dacă B1 = {u1, u2,…,up}, respectiv B2 = {v1, v2,

…,vk}, sunt baze în subspaţiile V1 şi respectiv V2 ale K

spaţiului vectorial V, iar V1V2 = (0), atunci B1 B2 este o

bază în V1 V2.

E, S

6. Segment orientat. Vector liber. Operaţii cu vectori liberi (adunarea vectorilor liberi, înmulţirea vectorilor liberi cu numere reale). Definitii, proprietăţi şi exemple. Demonstrati afirmatiile: a) Vectorii liberi , V3 sunt liniar dependenţi dacă şi numai dacă sunt coliniari.b) Vectorii liberi , , V3 sunt liniar dependenţi dacă şi

numai dacă sunt coplanari.

F, V

7. Produs scalar, produs vectorial şi produs mixt. Definiţii şi

proprietăţi. Exemple de aplicare a proprietăţilor produselor

enumerate mai sus. Demonstraţi afirmaţiile de mai jos:

1) Dacă = a1 + a2 + a3 , = b1 + b2 + b3 , = c1 + c2

+c3 , unde , , este

o bază canonică în V3, atunci < , x >=

2) < , x > = 0 unul din vectori este nul sau doi dintre vectori sunt coliniari sau vectorii sunt coplanari.

G,T

255

Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială

3) < , x > = < , x > = < , x >, < , x > = -< , x >.< 1 + 2, x > =< 1, x > + < 2, x >.

Cap. 3 OPERATORI LINIARI

8. Operatori liniari. Definitii, proprietăţi şi exemple. Imaginea

şi nucleul unui operator liniar. Definitii şi exemple de calcul.

Demonstrati ca imaginea (ImA) şi nucleul (Ker A) unui

operator liniar ALK(V,W) sunt subspatii vectoriale ale

spaţiilor vectoriale W, respectiv V. Demonstraţi relaţia

dimKImA+ dimKKerA = dimKV.

I

9. Operatori liniari. Matrice asociata unui operator liniar.

Valori şi vectori proprii. Subspaţii proprii. Polinom

caracteristic, ecuaţie caracteristică. Definitii, şi exemple.

Demonstrati afirmatiiile:1) Mulţimea tuturor vectorilor

proprii, corespunzători valorii proprii , la care se adaugă

vectorul nul 0V este un subspaţiu vectorial al lui V, notat V .

2)Vectorii proprii ce corespund la valori proprii distincte

sunt liniar independenţi.

J, R

10. Operator liniar diagonalizabil. Definiţie. Multiplicitate

algebrica. Multiplicitate geometrică. Definitii, şi exemple.

Enunţati criteriul de diagonalizare şi daţi exemple de aplicare.

Demonstraţi afirmaţia: Dacă V un K-spaţiu vectoria a.î dimKV

= n şi ALK(V), iar ma(0) este multiplicitate algebrică a

valorii proprii 0 a operatorului liniar A, respectiv mg(0)

este multiplicitate geometrică a valorii proprii 0 atunci

mg(0) ma(0).

L

Cap. 4. SPAŢII VECTORIALE EUCLIDIENE/UNITARE

11. Produs scalar. Spaţii euclidiene şi spaţii unitare. Bază M, Z

256

Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială

ortonormată. Definitii şi exemple. Aplicaţi procedeul de

ortonormare Gram Schmidt pentru a ortonorma o bază a unui

spaţiu vectorial unitar. Demonstraţi teorema următoare:

(Inegalitatea lui Schwarz) Fie V un spaţiu vectorial peste

corpul K (K = R sau K = C) înzestrat cu produsul scalar ,

. Pentru orice x, yV, x, y 2 x, x y, y.

Egalitatea are loc dacă şi numai dacă vectorii x şi y sunt

liniar dependenţi.

Cap. 5 FORME PĂTRATICE

12. Forme pătratice definite pe Rn. Matrice asociată unei

forme pătratice într-o bază canonică a spaţilui Rn. Definiţii şi

exemple. Reducerea la forma canonică prin metoda lui Gauss.

Exemple de aplicare a metodei lui Gauss.

Prezentaţi, folosind cursul tipărit, noţiunea de formă biliniară

simetrică (definită pe un spaţiu vectorial real) şi respectiv de

matrice asociată unei forme biliniare simetrice. Daţi exemple

de forme biliniare simetrice şi respectiv de matrici asociate în

diferite baze ale spaţiului. Ce legătură există între formele

pătratice şi cele biliniare simetrice?

N, P

*) fiecare student care a acumulat (până la data de 1.dec 2010) cel puţin 10 ore de participare la cursul de ALGAD, poate realiza un referat corespunzător primei litere a primului său nume de familie. Referatul va fi notat cu o notă de la 1 la 10 şi va contribui în proporţie de 40% la nota obţinută pe parcurs. **) Pentru demonstratiile cerute se va utiliza cursul tiparit sau afisat pe internet la adresa

Exemplu: studentului Popescu Ion îi va fi atribuit referatul cu numărul 13 (corespunzător literei P), dacă acesta are cel puţin 10 ore de participare

257

Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială

la cursul de ALGAD. Orice alt referat nu va fi luat in considerare, fiind notat cu nota 1.

258