subiecte d. popovici 2015

8/17/2019 Subiecte D. Popovici 2015

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Inspectoratul Şcolar Judeţean DoljColegiul Naţional Pedagogic "Ştefan Velovan" Craiova 9 mai 2015

Concursul interjudeţean de matematicµa "ŞTEFAN VELOVAN" -edi̧tia a XI-a

Partea I

1. Rezultatul calculului 2015 2014 + 2013 2012 + ::: + 5 4 + 3 2 + 1 este egal cu:a) 0 b) 1 c) 999 d) 1000 e) 1007 f ) 1008

2. Câte numere pare de trei cifre au proprietatea cµa sunt egale cu rµasturnatele lor?a) 35 b) 36 c) 40 d) 44 e) 50 f ) 81

3. Gµasi̧ti numµarul mai mare cu x decât 1385 şi mai mic cu x decât 2015a) 1500 b) 1600 c) 1650 d) 1670 e) 1700 f ) 1750

4. Ce orµa va arµata ceasul peste 100 de ore dacµa acum el aratµa 16 : 00?a) 16 : 00 b) 9 : 00 c) 11 : 00 d) 12 : 00 e) 18 : 00 f ) 20 : 00

5. La pornire, kilometrajul unei maşini indicµa cel mai mare numµar natural de patru cifre diferite, iar la oprireindicµa cel mai mic numµar natural de cinci cifre diferite. Câ̧ti kilometri a parcurs maşina?

a) 258 b) 348 c) 358 d) 368 e) 458 f ) 2000

6. Elevii claselor III A şi III B dintr-o şcoalµa merg la teatru şi ocupµa locurile numerotate cu numere naturalede douµa cifre, dupµa cum urmeazµa: Clasa III A ocupµa locurile cu ambele cifre impare, iar clasa III B ocupµa locurilecu ambele cifre pare. Cu câţi elevi are mai mult una dintre clase decât cealaltµa clasµa?

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 f ) 5

Partea a II-a

1. Reconstituiţi adunarea:U N A +U N A

DOUA. Gµasiţi toate soluţiile.

(Gazeta Matematicµ a, nr. 12/1992)

2. 48 de mere se împart în douµa grµamezi. Se iau din prima grµamadµa câte sunt în a doua şi se adaugµa la adoua grµamadµa. Se iau din a doua câte au rµamas în prima şi se adaugµa în prima. Se iau din prima câte au rµamasîn a doua şi se adaugµa la a doua. În urma acestor operaţii, grµamezile au acelaşi numµar de mere. Câte mere aufost la început în …ecare grµamadµa?


0

Notµa:

Pentru Partea I se va scrie pe foaia de concurs numai varianta corectµa, fµarµa demonstraţie. Fiecare rµaspuns corect vaprimi câte 10 puncte.

Pentru Partea a II-a se cere demonstraţia completµa, pentru care se vor acorda maxim 40 puncte.

Timp de lucru 2 ore.


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Partea I1. f ) 2. c) 3. e) 4. f ) 5. c) 6. f )

Total 60p

Partea a II-a1.

p 630 +630

1260. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p

p 840 +840

1680. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p

p 680 +680

1360. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p

p 890 +890

1780. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p

Total 20p

2.p Notµam a este numµarul merelor din prima grµamadµa, iar b este numµarul merelor din a doua grµamadµa. . . 1pp a + b = 48. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1pp Dupµa prima operaţie, în prima grµamadµa sunt a b mere, iar în a doua grµamadµa sunt 2b mere. . . . . . . . . 4pp Dupµa a doua operaţie, în prima grµamadµa sunt 2a 2b mere, iar în a doua grµamadµa sunt 3b a mere. . 4pp Dupµa a treia operaţie, în prima grµamadµa sunt 3a 5b mere, iar în a doua grµamadµa sunt 6b 2a mere. 4pp Din 3a 5b = 6b 2a se obţine 5a = 11b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4pp Finalizare a = 33 se obţine b = 15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p

Total 20p


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Partea I

1. Despre numerele a şi b se ştiu urmµatoarele: a + b = 40 şi a : 2 + b 2 = a. A‡aţi a : b.a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 f ) 6

2. Jumµatate din triplul sfertului unui numµar este 9. Cât este dublul numµarului?a) 24 b) 30 c) 32 d) 36 e) 40 f ) 48

3. Albµa ca Zµapada şi cei 7 pitici au suma vârstelor 200 de ani. Albµa ca Zµapada este cea mai micµa dintre ei,iar vârstele piticilor sunt numere naturale consecutive. A‡a̧ti cea mai mare vârsta pe care o poate avea Albµa caZµapada.

a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20 f ) 21

4. Un pahar şi o sticlµa cântµaresc cât o canµa, iar un pahar şi o farfurie cântµaresc cât o sticlµa. Ştiind cµa douµacµani cântµaresc cât trei farfurii, a‡a̧ti câte pahare cântµaresc cât o sticlµa.

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 f ) 7

5. Un numµar de elevi participµa la Concursul de matematicµa "Ştefan Velovan". Dacµa organizatorii repartizeazµacâte 28 de elevi în …ecare salµa, rµamân 10 copii fµarµa loc, iar dacµa elevii sunt repartizaţicâte 30 în …ecare clasµa, rµamâne o clasµa cu 20 de elevi. Determinaţi numµarul elevilorparticipanţi la concurs.

a) 200 b) 250 c) 270 d) 290 e) 300 f ) 320

6. Un dreptunghi este împµarţit în zece pµatrate, ca în …gura alµaturatµa. Latura

pµatratelor haşurate este de lungime 9. Care este latura pµatratului mare alb?a) 25 b) 30 c) 31 d) 32 e) 35 f ) 36

Partea a II-a1. Se dau 333 obiecte de mase diferite 1g, 2g, 3g,..., 333g. Se cere sµa se formeze cu ele 3 grupe cu acelaşi

numµar de obiecte, având aceeaşi masµa.

(Gazeta Matematicµ a, nr. 5-6/2000)

2. S-au vândut 237kg de mµalai, ambalate în pungi de 5kg şi de 7kg. Câte pungi au fost de …ecare fel? Sµa segµaseascµa toate soluţiile.

(Gazeta Matematicµ a, nr. 9-10-11-12/1992)

0 Notµa:





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Partea I1. d) 2. f ) 3. c) 4. d) 5. d) 6. b)

Total 60p

Partea a II-a1.p

Cele 333 obiecte cântµaresc 1 + 2 + 3 + ::: + 333 = 55611g. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4pp Fiecare dintre cele trei grupe cântµarȩste 55611g: 3 = 18 537g. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4pp Gµasirea primei grupe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4p

p Gµasirea celei de-a doua grupe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4pp Gµasirea celei de-a treia grupe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4p

Total 20p

2.p Notµam cu a numµarul pungilor de 5kg şi b numµarul pungilor de 7kg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2pp 237 = 5a + 7b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4p

Avem soluţiile:p a = 46, b = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2pp a = 39, b = 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2pp a = 32, b = 11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p

p a = 25, b = 16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2pp a = 18, b = 21. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2pp a = 11, b = 26. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2pp a = 4, b = 31. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p

Total 20p


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1. Rezultatul calculului 7; 635 : 0; 15 3; 212 este:a) 40; 5895 b) 40; 5959 c) 41; 0001 d) 41; 0101 e) 40; 5958 f ) 40

2. Câte numere naturale de patru cifre diferite încep cu 2 şi se terminµa cu 3?a) 52 b) 54 c) 56 d) 60 e) 100 f ) 999

3. Numµarul q reprezintµa scrierea sub formµa de fracţie zecimalµa a lui 2542

495 . A 2015-a zecimalµa a lui q este:

a) 5 b) 3 c) 1 d) 4 e) 2 f ) 0

4. Fie n cel mai mare numµar natural de 4 cifre distincte care împµaŗtit la 25 dµa restul 1. Suma cifrelor lui este:a) 27 b) 28 c) 29 d) 30 e) 31 f ) 32

5. Se considerµa muļtimea A =

abab; abab

... 15

. Numµarul de elemente al lui A este:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 f ) 8

6. Într-un oraş se a‡µa 10000 de copii. Fiecare copil are câte un numµar de bile mai mare sau egal cu 1 şi maimic sau egal cu 100. Care este cel mai mic numµar de copii ce trebuie alȩsi pentru a … siguri cµa printre ei se a‡µacel puţin 50 de copii cu acelaşi numµar de bile?

a) 5000 b) 5001 c) 4999 d) 4902 e) 4901 f ) 4900

Partea a II-a

1. Determinaţi n 2 N, n prim astfel încât numerele n2

2, 2n2

1 şi 3n2

+ 4 sµa …e simultan numere prime.(Gazeta Matematicµ a, nr. 7-8/2000)

2. Comparaţi numerele 3456 şi 4321.


0 Notµa:





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Partea I1. b) 2. c) 3. a) 4. d) 5. e) 6. e)

Total 60p

Partea a II-a1.p

Observµam cµa numerele n = 3 şi n = 7 convin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4pp n = 7k 1 ) 3n2 + 4 = 3(7k 1)2 + 4 = 3 (M 7 + 1) + 4 = M 7 6= numµar prim. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4pp n = 7k

2

)2n2

1 = M 7

6= numµar prim. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4p

p n = 7k 3 ) n2 2 = M 7 6= numµar prim. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4pp n = 3 şi n = 7 sunt singurele soluţii. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4p

Total 20p

2.p 3456 > 3444 =

34111

= 81111. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6pp 4321 81111 > 64111 > 4321. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6pp Deci 3456 > 4321. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p

Total 20p


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Partea I

1. Dacµa a = (2 + 4 + 6 + ::: + 84) 2

7 9 + 2

9 11 + 2

11 13 + ::: + 2

19 21

atuncia) a = 162 b) a = 172 c) a = 182 d) a = 344 e) a = 102 f ) a = 104

2. Fiecare numµar din mulţimea f1; 2; 3; :::; 4030g se împarte cu rest la 2015. Suma câturilor obţinute este:a) 2004 b) 2015 c) 2016 d) 2017 e) 2018 f ) 2019

3. Fie A cel mai mic num¼ar natural, în baza zece, de forma abcabc cu a; b; c cifre distincte, având cel mai micnum¼ar de divizori şi B cel mai mare num¼ar natural, în baza zece, de forma abcabc cu a; b; c cifre distincte, avândcel mai mic num¼ar de divizori. Atunci num¼arul A + B este:

a) 1087086 b) 1101000 c) 1000000 d) 1085084 e) 1001001 f ) 1008608

4. Numerele a;b; c reprezintµa mµasurile în grade a trei unghiuri astfel încât numerele a şi b sunt invers pro-

porţionale cu 0; 5 şi 0; (3), numerele b şi c sunt direct proporţionale cu 1

4 şi

1

3, iar c reprezintµa 40% din suplementul

lui a. Valoarea numµarului a + b + c este:a) 90 b) 100 c) 120 d) 130 e) 135 f ) 150

5. Se consider¼a unghiul obtuz AOB. Fie [OX 1 , [OX 2 , [OX 3 , ..., [OX n bisectoarele unghiurilor ^AOB,^BOX 1, ^BOX 2, ..., ^BOX n1, n 2 Nn f0; 1g. Valoarea num¼arului natural n pentru care m (^BOX n) = 10este:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 f ) 7

6. Pe latura AC a triunghiului ascuţitunghic ABC se consider¼a punctele P şi Q astfel încât (AQ) (CP ).Dac¼a P aparţine mediatoarei segmentului (BC ), iar Q aparţine mediatoarei segmentului (AB) şi m (^P BQ) = 20,atunci m (^BAC ) este de:

a) 75 b) 60 c) 80 d) 40 e) 30 f ) 50

Partea a II-a1. Spunem despre o muļtime de numere naturale c¼a are proprietatea P dac¼a orice element al s¼au are exact 4

divizori.a) Scrieţi mulţimea cu proprietatea P format¼a din cele mai mici patru numere naturale de trei cifre.b) Fie A o muļtime cu proprietatea P astfel încât 8 2 A. Ar¼ataţi c¼a, orice elemente ar avea mulţimea A, suma

divizorilor acestor elemente nu poate … 2014.


2. În triunghiul ABC bisectoarea unghiului B formeaz¼a cu latura AC unghiul ADB de 45, D 2 (AC ).Perpendiculara în punctul B pe latura B C intersecteaz¼a dreapta AC în E . Demonstraţi c¼a triunghiul AB E esteisoscel.


0 Notµa:





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Partea I1. b) 2. d) 3. a) 4. e) 5. c) 6. f )

Total 60p

Partea a II-a1.a)p

A = f106; 111; 115; 118g. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5pb)

p Elementele mulţimii A, diferite de 8, sunt de forma p3

sau p q , unde p, q sunt numere prime, p impar. 3pp Suma divizorilor numerelor de forma p3, unde p este prim şi impar, este 1 + p + p2 + p3 =numµar par. . 3pp Suma divizorilor numerelor de forma p q , unde p; q sunt numere prime, p impar, este 1 + p + q + pq =numµar

par. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3pp Suma divizorilor numµarului 8 2 A este 15 =numµar impar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3pp Suma divizorilor elementelor mulţimii A este un numµar impar, deci nu poate … 2014. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p

Total 20p

2.p m (Ê ) = 90 m (^C ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4p

p m (ÂDB) = m (^C ) +

m (^B)

2

= 45

)m (^C ) = 45

m (^B)

2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4p

p m (Ê ) = 45 +

m (^B)

2 . (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4p

p B AE este unghi exterior triunghiului AB D ) m (BAE ) = 45 + m (^B)

2 . (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4pp

Din (1) şi (2) rezultµa cµa triunghiul AB E este isoscel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4pTotal 20p


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Partea I

1. Numµarul diagonalelor unui poligon cu 18 laturi este:a) 18 b) 135 c) 153 d) 144 e) 148 f ) 132

2. Numerele naturale se scriu pe linii într-un tablou triunghiular în felul urm¼ator: pe prima linie 1, pe a doualinie 2; 3; 4, pe a treia linie 5; 6; 7; 8; 9 şi aşa mai departe. Pe ce linie şi pe ce poziţie este numµarul 2015?

a) (45; 79) b) (45; 71) c) (35; 72) d) (41; 2) e)(41; 53) f ) (25; 25)

3. Fie triunghiul AB C cu ortocentrul H . Dacµa AB = C H atunci mµasura unghiului C este:a) 15 b) 120 c) 90 d) 60 e) 45 f ) 30

4. Fie ABCD paralelogram cu mµasura unghiului A de 150, AB = 10cm, BC = 24cm. Considerµam M

mijlocul segmentului C D, AM \BD = fGg, iar AC \BD = fOg. Atunci aria triunghiului AOG este:a) 8cm2 b) 14cm2 c) 10cm2 d) 9cm2 e) 15cm2 f ) 12cm2

5. În triunghiul ABC considerµam D mijlocul segmentului BC , M mijlocul segmentului AD, MP==AC ,P 2 AB, iar AC = 15cm. Lungimea segmentului M P este egalµa cu:

a) 8cm b) 5cm c) 7cm d) 15

4 cm e) 7; 5cm f ) 9cm

6. Fie A o mulţime cu proprietµa̧tilei) x 2 A ) x 2 Z, jxj 2015ii) x; y 2 A ) x2 + y2 ...11

Atunci numµarul elementelor mulţimii A este:a) 2015 b) 4031 c) 366 d) 184 e) 183 f ) 367

Partea a II-a1. Pe latura BC a triunghiului ABC se considerµa punctele D şi E astfel încât BD = DE = E C . Mediana

BB 0 (B0 2 AC ) intersecteazµa pe AD în M , iar mediana C C 0 (C 0 2 AB) intersecteazµa pe AE în N . Arµataţi cµa:a) BMNC este trapez.

b) M N = 1

4BC .

(Gazeta Matematicµ a, nr. 6-7-8/2012)

2. Sµa se determine numerele naturale scrise în baza 10 cu proprietatea cµa …ecare este de 47 de ori mai maredecât suma cifrelor sale.


0 Notµa:





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Partea I1. b) 2. a) 3. e) 4. c) 5. d) 6. f )

Total 60p

Partea a II-a1.a)p

În triunghiul AB E : DC 0 linie mijlocie) DC 0 = AE 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p

p În triunghiul C C 0D: N E linie mijlocie) N E = DC 0

2 = AE 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3pp N E =

AE

4 ) N E

AE =

1

4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

p Analog

M D

AD =

1

4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1pp

Conform reciprocei teoremei lui Thales avem M N==BC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1pp Deci MN CB trapez. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

b)p MN==DE ) 4AM N 4ADE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p

p Rezultµa

M N

DE =

AM

AD =

AN

AE =

3

4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p

p Dar, DE = BC

3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2pp Deci M N =

BC

4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p

Total 20p

2.p Fie n = a1a2:::ak = 47 (a1 + a2 + ::: + ak). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2pp Cum n 47 ) n are cel puţin douµa cifre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2pp Fie s (n) suma cifrelor sale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1pp 10k1 n = 47 s (n) 47 9k = 423k. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2pp 10k1 423k are loc pentru k


11/12



Partea I1. Fie f : R

!R şi g : R

!R douµa funcţii de gradul I, care satisfac relaţiile: f (x

1) = 2x

3 + g (1)

f (1)

şi g (x 1) = 4x + 5 g (1) f (1), oricare ar … x 2 R. Care sunt funcţiile f şi g?

a)

f (x) = 2x + 1g (x) = 4x + 1

b)

f (x) = 2xg (x) = 4x

c)

f (x) = 2x 1g (x) = 4x 1

d)

f (x) = 3x + 1g (x) = 3x + 5

e)

f (x) = 4xg (x) = 2x + 5

f )

f (x) = 3xg (x) = 4x

2. Fie prisma triunghiularµa regulatµa ABCA0B0C 0. Dacµa AB = 12cm, AA0 = 6p

6cm şi fOg = BC 0 \ B0C ,atunci tangenta unghiului dintre dreptele AO şi A0B0

a) 3p 102

b) 3 c) p 104

d) p 64

e) 1213

f ) 16

3. Fie x 2 [1; +1) astfel încât x + 1x

= 11. Care este valoarea lui p

x 1p x

?

a) 2 b) 1 c) 3 d) 5 e) 7 f ) 8

4. Fie funcţia f : R!R, cu proprietatea f (2016x 2015) = 2016x, pentru orice x 2 R. Punctul de intersecţieal gra…cului funcţiei f cu axa Ox este:

a) A (2015; 0) b) B (2016; 0) c) C (2015; 0) d) D (2014; 0) e) O (0; 0) f ) F (1; 0)

5. Se considerµa funcţia f : R!R, f (x) = 2x 1. DacµaS = f (2015) + f (2014) + ::: + f (1) + f (0) + f (1) + ::: + f (2014) + f (2015) ,

atunci

a) S = 4030 b) S = 4031 c) S = 4029 d) S = 40372

e) S = 2015 2016 f ) S = 2015 1008

6. Se dµa piramida patrulaterµa regulatµa V ABCD cu latura bazei AB = 12cm şi muchia lateralµa V A = 6p

5cm.Care este mµasura unghiului format de douµa feţe opuse?

a) 30 b) 90 c) 120 d) 60 e) 45 f ) 150

Partea a II-a1. Fie a > 0, b > 0 numere reale cu proprietatea cµa: (2a + 5) (b + 1) = 6. A‡aţi valoarea minimµa a expresiei

4ab + 1

ab.


2. Fie SABCD o piramidµa patrulaterµa regulatµa. AM ?SB , M 2 SB , BN ?SC , N 2 SC , C P ?SD, P 2 SD,DQ?SA, Q 2 SA şi R simetricul lui N fa̧tµa de AC .

a) Demonstraţi cµa punctele B;R;Q; D sunt coplanare.b) A‡aţi mµasura unghiului dintre dreptele M P şi RQ.


0 Notµa:





12/12



Partea I1. a) 2. c) 3. c) 4. a) 5. b) 6. d)

Total 60p

Partea a II-a1.a)p

2ab + 2a + 5b = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1pp 2a + 5b = 1

2ab. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

p (x + y)2

4xy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5pp (2a + 5b)2 40ab. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5pp (1 2ab)2 40ab , 4a2b2 + 1 44ab. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5p

p 4ab +

1

ab 44. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1pp

Valoarea minimµa este 44. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1pp

Valoarea minimµa se obţine pentru a =

p 30 5

2 şi b =

p 30 5

5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

Total 20p

2.a)

p Ducem QE ?AC , E 2 AC şi notµam N R \AC = fF g. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1pp [EQ] [F N ] [F R] şi EQ==FR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2pp ) EQFR paralelogram. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2pp ) RQ \EF = fOg, unde fOg = AC \BD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2pp ) RQ \BD = fOg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2pp Deci B;Q ;R; D coplanare. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

b)p Cum [BM ] [DP ] şi 4SDB este isoscel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2pp ) MP==BD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2pp m (^ (MP;QR)) = m (^ (BD;QR)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2pp B D

?(SAC )

)BD

?OQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p

p m (^ (MP;QR)) = m (^ (BD;QR)) = 90. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2pTotal 20p

subiecte d. popovici 2015

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