Studiul unor oscilatori mecanici simpli:Pendulul gravitaional reprezint un system fizicv, format dintr-un corp demas m suspendat de un punct fix printr-un fir de lungime l, care efectueaz o miscarii oscilatorie sub aciunea fortei gravitationale. El a fost studiat pentru prima dat n profunzime de savantul italian Galileo Galilei i aplicat n studierea miscarii corpurilor. Pendulul ideal reprezint un model matematic, unde se consider c firul pendulului este inextensibil i nu are greutate proprie, iar corpul este punctiform i toat masa sa este concentrat n punctul respectiv.

Izocronicitatea micilor oscilatii ale unui pendul gravitational:Perioada unei oscilaii efectuate de un pendul gravitaional rmne constant, indiferent de masa corpului atrnat de fir, atunci cnd oscilaiile sunt mici. Oscilaiile cu o amplitudine mare, unde deviaia firului fa de poziia de echilibru depete 5-6, nu sunt izocrone. Pentru ca oscilaiile s aib aceeai perioad indiferent de amplitudine traiectoria circular trebuie nlocuit cu o traiectorie cicloidal, dup cum a demonstrat Christiaan Huygens, care a folosit acest principiu cnd a construit pendulul cicloidal.

Marimi fizice caracteristice:n cazul oscilaiilor de amplitudine mic perioada unei oscilaii complete efectuate de pendulul galilean este dat de formula:

unde T = perioada (msurat n secunde) = 3,1415926... (raportul dintre lungimea circumferenei unui cerc i diametrul lui) l = lungimea firului (exprimat n metri) g = acceleraia gravitaional, aproximativ 9,81 m/s2 (depinde de locul de pe glob unde se efectueaz msurarea i de altitudine) La amplitudini mai mari perioada se poate calcula folosind o serie infinit:

unde max este amplitudinea unghiular a pendulului...

Dispozitive experimentale bazate pe pendulul gravitational:

Pendul balistic (pentru determinarea vitezei gloanelor) Pendul dublu Pendul Huygens (pendul cicloidal) Pendul Foucault Pendul Kater (pendul reversibil) Pendul Overbeck (pendul n cruce)

Pendulul elastic:Oscilatorul armonic este un model fizic pentru un sistem oscilant la care un set de mrimi fizice proprii sistemului variaz periodic n timp atunci cnd asupra lui acioneaz o cauz extern care scoate sistemul din starea lui de echilibru. Calitatea de armonicitate a osciatorului se refer la trei aspecte eseniale, care pot fi privite ca ipoteze ale modelului: Mrimea fizic extern care care produce abaterea de la starea de echilibru este direct proporional cu mrimea caracteristic a oscilaiei. Frecvena prin care variaz mrimile oscilante ale sistemului este independent de amplitudinea oscilaiilor, n domeniul de liniaritate. Efectele mai multor cauze exterme pot fi suprapuse liniar.

Oscilatorul armonic reprezint un exemplu de o importan excepional pentru diverse domenii ale fizicii i tehnicii, deoarece servete drept model exact sau aproximativ pentru multe probleme din domeniul fizicii clasice i cuantice. Modelul oscilatorului armonic descrie deopotriv fenomene ca oscilaiile armonice ale sistemelor mecanice, variaia n timp a tensiunii i curentului

electric ntr-un circuit LC, comportamentul rezonatorilor acustici, strile energetice ale sistemelor cuantice, etc. Oscilatorul armonic a aprut ca model n cadrul studiilor asupra oscilaiilor mecanice, de aceea exemplul clasic pentru acest model este cel din domeniul mecanicii clasice. Descrierea calitativ a diferiilor oscilatori pot diferii substanial de la un tip de oscilator la altul, determinrile cantitative ns, date de ecuaiile temporale ale oscilaiilor i expresiile matematice ale mrimilor oscilante respectiv ale parametrilor carcteritici fenomenului sunt identice ca form algebric. ntre mrimile fizice oscilante ale diverselor sisteme exist o coresponden prin analogie, cu alte cuvinte, dac de exemplu, n ecuaiile ce descriu fenomenul oscilaiilor pentru un oscilator armonic mecanic oarecare se schimb simbolurile cu cele analoage ale circuitelor electrice ideale de curent alternativ, atunci obinem toate expresiile matematice corecte ce descriu complet variaia sinusoidal a tensiunii i curentului electric din circuit.

Tratarea clasic pe baza legii a doua al lui NewtonUn oscilator armonic simplu este un caz particular de oscilator armonic, caracterizat prin aceea c fenomenul oscilaiilor se produce n lipsa unor fore disipative sau excitante, sub aciunea unei fore externe care tot timpul are direcia opus i valoarea proporional cu a vectorului elongaie, expresia unei asemenea fore se scrie: utiliznd Legea a doua al lui Newton,

Unde acceleraia

este dat de derivata a doua temporal a elongaiei .

Dac definim pulsaia oscilatorului, prin relaia: micrii se poate transcrie sub forma urmtoare:

, atunci ecuaia

Aceaste este o ecuaie diferenial liniar ordinar i omogen de gradul doi, ea admite soluia general:

Dac amplitudinea i faza pentru un moment de timp prin expresia:

sunt determinate prin condiiile iniiale (date ), atunci soluia general se poate exprima i

sau de forma:

unde

i

sunt dou constante care se determin folosind condiiile iniiale.

frecvena oscilaiilor este dat de expresia

viteza i acceleraia punctului material de mas m sunt date de relaiile:

energia cinetic a oscilatorului este dat de relaia

. iar energia potenial de

Prin urmare energia total a sistemului are o valoare constant

Studiul amortizarii oscilatiilor mecanice:

Numim oscilatie amortizata oscilatia a carei amplitudine scade in timp.

Amortizarea oscilaiilor se datoreaz transferului inevitabil de energie mediului n care oscilatorul se mic. Pe parcursul modificrii lungimii firului elastic apar frecri interne care modific temperatura firului. O parte din energia oscilatorului este transferat mediului sub form de cldur. Totodat, corpul pendulului ntlnete n drumul su moleculele aerului, transferndule acestora o alt parte a energiei de oscilaie. n consecin, oscilaiile devin din ce n ce mai puin ample i, n cele din urm, pendulul se oprete. Energia pe care o avea la nceputul micrii a fost transferat integral mediului.

Micnduse n sus i n jos, pendulul cu CD ntlnete mult mai multe molecule de aer i transfer mai rapid energie mediului. Oscilaiile acestuia sunt mai puternic amortizate.

Studiul a doi oscilatori mecanici cuplai:Interaciunile dintre un oscilator i mediul su conduc, inevitabil, la amortizarea oscilaiilor prin disiparea energiei de oscilaie. Dar mediul unui sistem oscilator ar putea transfera energie oscilatorului, provocnd, n anumite condiii, chiar o amplificare a oscilaiilor acestuia

n timp ce pendulul A oscileaz, cellalt pendul (sl numim B) ncepe s oscileze, din ce n ce mai amplu! Totodat, amplitudinea de oscilaie a pendulului A scade mult mai repede dect ar justificao amortizarea. Dup doar cteva oscilaii, pendulul A se oprete, n timp ce pendulul B oscileaz amplu!n continuare, se ntmpl ceva surprinztor: dup ce sa oprit, pendulul A rencepe s oscileze, n timp ce pendulul B oscileaz din ce n ce mai puin amplu! Dup doar cteva oscilaii, pendulul B se oprete, n timp ce pendulul A oscileaz din nou (aproape) ca la nceput! Procesul se repet periodic, pendulele transferndui reciproc toat energia de oscilaie, cnd ntrun sens, cnd n cellalt. Iat c ntre doi oscilatori se poate transfera energie, ntrun sens sau n cellalt.Numim oscilatri cuplati oscilatorii care pot transfera energie de la unul la celalalt.

Cele dou pendule sunt cuplate. Firul orizontal de care ai agat cele dou pendule nu este rigid. Cnd unul dintre pendule oscileaz, punctul su de suspensie se mic pe o direcie perpendicular pe fir, odat cu pendulul. Aceste perturbri transversale ale poziiei punctului de suspensie se transmit, prin firul ntins, i locului n care este suspendat cellalt pendul, punndul n micare. Chiar dac deformrile firului orizontal care cupleaz cele dou pendule sunt aproape imperceptibile, pe aceast cale poate fi transferat integral energia de oscilaie de la un pendul la cellalt. Este o lecie important pe care trebuie s o nvee toi cei care construiesc structuri. Oscilaiile unei pri a structurii se pot transfera ntregii structuri, chiar prin deformri aproape imperceptibile ale elementelor de legturCuplajele dintre oscilatori pot favoriza transmiterea unui mod de oscilatie in defavoarea altuia.

Studiul corzii vibrante:Studiul corzii vibrante I. Definirea marimilor studiate. O unda reprezinta o perturbatie care se propaga in spatiu, din aproape in aproape, prin intermediul unui camp, in cazul de fata un camp de forte elastice. Perturbatia care se propaga in spatiu este in general functie de locul din spatiu si de timp si se caracterizeaza printr-o marime (r,t) numita functie de unda. Daca se considera o perturbatie, descrisa de functia , ce se propaga intr-o singura directie, si anume de-a lungul axei OX, cu viteza constanta v, functia de unda va avea forma: (x,t)=f(x-vt), (1) iar marimea x-vt, se numeste faza undei considerate Calculand derivatele partiale ale functiei in raport cu variabilele x si t se obtine: (2) Aceasta ecuatie se numeste ecuatia diferentiala a undei. Prin interferena a dou unde plane de aceeai frecven i de aceeai amplitudine, care se propag pe aceeai direcie, dar in sensuri opuse, se obtine o unda rezultanta cunoscuta sub numele de und staionar. Amplitudinea undei staionare variaz n funcie de x, trecnd succesiv prin maxime numite ventre i minime numite noduri. Diferena dintre dou noduri succesive (sau dintre dou ventre) este egal cu /2. Fenomenul de unde stationare se caracterizeaza prin aceea ca amplitudinea unui punct dat de pe directia de propagare are aceeasi valoare in orice moment, acest lucru nefiind valabil pentru cazul unei singure unde (progressive, cand amplitudinea punctului respectiv variaza in timp). II. Descrierea Fenomenului Fizic In lucrarea de fata se studiaza undele stationare produse intr-o coarda elastica, reprezentata dintr-un fir elastic legat la capete. Sa consideram un element dintr-o astfel de coarda, a carei pozitie de echilibru este de-a lungul axei Ox, si care sub influenta unei forte exterioare se deplaseaza din pozitia AB in pozitia CD (fig.1). In punctele B si D ale elementului de coarda dx actioneaz fortele F1 si F2 egale ca marime dar pe directii diferite. Rezultanta lor R tinde sa readuca elementul de coarda CD in pozitia de echilibru. Marimea ei este data de: R=-Fsin+Fsin

Unde si sunt unghiurile dintre direciile fortelorsi axa Ox. Pentru unghiuri mici avem: sin tg= ; si (4)

sin tg= Pentru rezultant se obine: R=-F +F .

(5)

Dezvoltam functia

in serie Taylor si neglijand termenii de ordin superior, avem: (6)

= + si inlocuind in relatia (5) se obtine: R=F (7)

Rezultanta va imprima o acceleratie II-a a dinamicii, putem scrie:

elementului de coarda si conform legii a

R=dm (8) Unde dm este masa elementului de coarda de lungime dx. Identificand ultimele relatii se obtine: =0 (9) , ecuatia (9) devine:

Notand cu =dm/dx, densitatea liniara a firului si cu v = =0 Ecuatia (10) este ecuatia corzii vibrante. (10)

Expresia se exprima in sistemul international in m/s fiind o viteza si anume viteza cu care se deplaseaz o perturbatie de-a lungul corzii. Deci v este viteza de propagare a unei unde de-a lungul corzii, deoarece (10) este ecuatia unei unde de forma (2).

Daca se considera o coada elastica fixata la capete de-a lungul ei se vor forma unde care interfer, determinand formarea undelor stationare care au noduri la capetele fixate ale corzii (fig. 3).

Fig. 3 Pentru aceasta, lungimea l a corzii trebuie sa fie un multiplu intreg de semilungimi de unda, adic: l=n , unde n = 1,2,3 n fiind numrul de ventre ale undei stationare. (11)

Dar,

=

(12)

unde este frecventa undei. Rezult c l= => = (13).

III. Descrierea instalaiei.

Dispozitivul experimental consta dintr-un fir de cupru fixat la capete ( la un capat cu un resort A care indica tensiunea din fir, iar la celalalt capat firul este fixat cu

un surub B) alimentat la o sursa de curent alternativ (Fig. 4). Acest fir trece printre polii unui electromagnet E alimentat cu curent continuu, ce produce un camp magnetic. Oscilatiile corzii sunt produse datorita fortei elctromagnetice F = I(lxB)ce actioneaza asupra unui conductor parcurs de curent electric atunci cand acesta se gaseste in camp magnetic, unde I este intensitatea curentului, l lungimea corzii iar B inductia produsa de electromagnet. Forta electromagnetica actioneaza pe directie verticala si isi modifica sensul cu o frecventa egala cu frecventa curentului alternativ si deci coarda va oscila cu aceeasi frecventa (fig.5).

Fig.5 IV. Modul de lucru

l=3/2

Scopul acestei lucrari este determinarea densitatii liniare a corzii. Conform cu relaia (13) este necesar s determinm fora F de tensiune in fir.1. Pentru aceasta se desface surubul B si cu ajutorul unui scripete se agata de capatul firului un platan pe care se vor aseaza mase marcate. Se noteaza diviziunea ce reprezinta pozitia de zero a indicatorului resortului A. 2. Se aseaza mase marcate pe platan si se noteaza diviziunile aratate de indicatorul resortului, pentru fiecare mas. 3. Se traseaza grafic curba F=f(a) unde F=mg (g se ia 9,8 iar masa ataata in kg.) iar a este numarul de diviziuni in m fata de pozitia de zero, (fig. 4). Se determina constanta elestica a resortului prin metoda celor mai mici patrate. 4. Se pune in functiune instalatia de alimentare a firului si a electromagnetului. 5. Se modifica tensiunea din coarda cu ajutorul unui dispozitiv P pana se obtin undele stationare. In acest moment se citeste indicatia resortului, numarul de ventre n si se masoara lungimea corzii l, cu o rigla gradat. 6. Se calculeaza din grafic, corespunzator indicatiei resortului forta de tensiune din fir. 7. Se determina cu relatia (14), stiind ca = 50Hz. 8. Se fac mai multe determinari, pentru diferite valori ale lui n, F, l si se trec in tabel. 9. In final se face calculul erorilor conform indicaiilor cadrului didactic.

Nr. crt. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

n (nr. ventre)

F (N)

l (m)

(Hz)

- Tabel de date v (kg/m) (m/s)