Studiul functiilor cu ajutorul derivatelor

Rolul derivatei intai in studiul functiilor (intervale de monotonie, puncte de extreme)

Teorema : Fie f: I R ( I R, interval), o functie derivabila pe I. Daca :

1)       f’ > 0 ( respective f’  0) pe I, atunci f este strict crescatoare (respectiv crescatoare) pe I.

2)       f’ < 0 ( respective f’  0) pe I, atunci f este strict descrescatoare ( respectiv descrescatoare) pe I.

3)       Daca f’ nu se anuleaza pe I, atunci f este strict monotona pe I (f pastreaza semn constant pe I ).

Observa tii.

1)       Daca domeniul de definitie nu este interval, teorema nu mai are loc.

2)       Determinarea intervalelor de monotonie, ale unei functii, se reduce la aflarea intervalelor pe care derivata pastreaza acelasi semn.

3)       Derivata întâi, ne indica monotonia unei functii derivabile si eventualele puncte de extrem.

4)       Punctele de extrem, din interiorul intervalului I ( conform teoremei lui Fermat ) trebuie cautate printre punctele critice.

       Presupunem f’(x0) = 0; daca pe I :

a)       pentru x < x0, f’(x) > 0 si pentru x > x0, f’(x) < 0, atunci x0 este punct de maxim al functiei.

b)       pentru x < x0, f’(x) < 0 si pentru x > x0, f’(x) > 0, atunci x0 este punct de minim al functiei.

Comentarii. Pentru determinarea intervalelor de monotonie, ale unei functii derivabile f : D R, se procedeaza astfel :

       se determina derivate f’ pe D.

       se rezolva în R, ecuatia f’(x) = 0, x D (se determina punctele critice ).

       Se determina intervalele din D, pentru care f’ pastreaza semn constant.

Se aplica teorema.

Rolul derivatei a doua in studiul functiilor (intervale de convexitate, concavitate, puncte de inflexiune)

Defini tie : Functia f : I R, ( I interval) derivabila pe I, se numeste convexa pe I ( respectiv concava ) pe I, daca tangenta în orice punct la graficul functiei, se afa sub ( respectiv deasupra) graficului functiei.

Teorema 1). Fie f : [ a, b ] R, derivabila de doua ori pe [a,b], a < b. Daca :

1)       f’’  0 pe (a,b), atunci f este convexa pe [a,b].

2)       f’’  0 pe (a,b), atunci f este concava pe [a,b].

Observatie:1) Sunt adevarate si reciprocele.

                  2) Uneori spunem despre graficul convex, ca “tine apa” si despre cel concav, ca „nu tine apa”.

Definitie. Fie f : D R si fie x0 un punct din intervalul I D.

              Spunem ca x0 este punct de inflexiune al functiei f, derivabila în x0, daca pe I, f este convexa ( respective concava) de o parte a lui x0 si f este concava ( respectiv convexa) de cealalta parte a lui x0.

Observatie. Tangenta la graficul functiei, într-un punct de inflectiune,    traverseaza graficul.

Teorema 2). Fie f : D R si fie x0 D. Daca f este de doua ori derivabila, într-o vecinatate V a lui x0 si daca a,b V, astfel încât :

1)       a < x0 <b.

2)       f’’ (x0) = 0.

3)       f’’ 0 pe (a,x0), f’’ 0 pe (x0,b) sau f’’ 0 pe (a,x0), f’’ 0 pe(x0,b),

atunci x0 este punct de inflexiune pentru f.

Comentarii.

1) Pentru determinarea intervalelor de convexitate(concavitate), eventual si a punctelor de inflexiune, parcurgem etapele :

- calculam f’’.

- rezolvam ecuatia f’’(x) = 0.

- cu ajutorul radacinilor ecuatiei f’’(x) = 0, se determina intervalele pe care derivata a doua pastreaza semn constant.

- se aplica teoremele 1) si 2).

2) Conditia f’’(x0) = 0 (singulara) nu implica faptul ca x0 este punct de inflexiune; exemplu : f : RR, f(x) = 2x4 – 1.

Regulile lui L’Hospital

Teorema ;(cazul ) Fie I un interval (marginit sau nemarginit) si x0 punct de acumulare al lui I (finit sau infinit).

         Daca f si g au proprietatile :

a)  =  = 0.

b) f si g sunt derivabile pe I- .

c) g(x) 0 , pentru x x0.

d) exista  = ( în ) , atunci exista  = .

Teorema : ( cazul ) Fie f, g: I R, x0 punct de acumulare pentru I.

               Daca f si g au proprietatile :

a)  =  = ( sau - ).

b) f si g sunt derivabile pe I – .

c) g’(x) 0 si g(x) 0 într-o vecinatate a lui x0 .

d) exista  = ( în ), atunci exista  = .

Observatii : 1) Cazul  se reduce la cazul .

                   2) Uneori este nevoie ca regula lui l’Hospital sa se aplice de mai multe ori, de ex.

pentru , n N*.

                             3) Calculul unor limite de siruri se poate reduce la calculul unor limite de functii, ex.

 =  =  =  = 0.

Regulile lui L’Hospital, nedeterminari pentru limite de functii

Cazuri de nedeterminare pentru limite de functii.

1) Cazul 0. . Presupunem ca f(x) = 0, g(x) = + (sau - ). Presupunem ca g(x) 0,

x V – , V vecinatate a lui x0. Atunci f(x).g(x) =  si limita devine de forma . Scriind

f(x).g(x) =  se ajunge la cazul .

2) Cazul  - . Presupunem ca f(x) = g(x) = + . Daca f(x) 0, g(x) 0, într-o vecinatate V a lui x0( cu exceptia lui x0), atunci f(x) – g(x) =

 si limita este în cazul .Daca scriem f(x)-g(x)=f(x)(1- ), atunci  este

în cazul . Daca 1,atunci limita data este  +  sau - . Daca = 1, se ajunge la cazul 0. .

Cazuri de nedeterminare pentru limite de functii.

Cazurile : 00 , , 0 ,

Consideram f(x) > 0, pentru x I – .

Daca :

       f(x) = g(x) = 0, atunci fg este în cazul 00.

       f(x) = 1, g(x) = + (sau - ), atunci fg este în cazul .

       f(x) = , g(x) = 0, atunci fg este în cazul 0 .

Deoarece    

fg = eglnf

     suntem condusi la calcularea limitei : g(x)lnf(x), care conduce la cazul 0.  ( în toate cele tri cazuri ).