stoica-elemente de varietati diferentiabile

Elemente de varietati diferentiabile

I.L. Stoica

Cuprins

1. Prefata 12. Notatii si conventii 2

Capitolul 1. Notiunea de varietate 41. Atlas, varietate, harta 42. Anexa: aspecte topologice 123. Exercitii 14

Capitolul 2. Grupul rotatiilor 211. O(n) si SO(n) 212. Rotatii si orientare n plan 243. Rotatii si orientare n spatiu 284. Solidul rigid si unghiurile lui Euler 325. Exercitii 38

Capitolul 3. Vectori tangenti si diferentiala 401. Spatiul tangent ntr-un punct al varietatii 402. Diferentiala unei aplicatii 473. Exercitii 50

Capitolul 4. Teorema de inversiune 531. Reprezentarea locala a imersiei si a submersiei 532. Teorema rangului constant 58

Capitolul 5. Subvarietati n Rn 611. Subvarietatea ca varietate 612. Constructia subvarietatilor 623. Exercitii 67

Capitolul 6. Fibrarea tangenta si cmpuri vectoriale 721. Fibrarea tangenta 722. Cmpuri de vectori 763. Exercitii 80

Capitolul 7. Curenti si cmpuri vectoriale 831. Curentul generat de un cmp 832. Curenti locali 873. Demonstratia diferentiabilitatii curentului 924. Alte proprietati ale curentilor 945. Curenti si cmpuri complete 96

iii

iv CUPRINS

6. Anexa: ecuatii diferentiale de clasa C1 977. Exercitii 99

Capitolul 8. Derivata Lie pentru cmpuri 1011. Transportul cmpurilor 1012. Derivata Lie 1053. Comutarea curentilor 107

Capitolul 9. Distrbutii de m-plane 110

Bibliograe 120

1. PREFATA 1

n amintirea lui Gh. Th. Gheorghiu...

1. Prefata

Cursul de fata se adreseaza studentilor din anul al doilea al fac-ultatii de matematica. Mai precis, el a fost predat n semestrul aldoilea al anului doi de studiu. Se presupune deci ca cititorul cunoastecursul de baza de analiza matematica, a facut cunostinta cu teoremelede existenta, unicitate si diferentiabilitate n raport cu parametrii pen-tru ecuatii diferentiale ordinare, iar n semestrul nti a studiat teoriacurbelor si suprafetelor. Pornind de aici, sunt prezentate notiunea devarietate si faptele de baza despre subvarietati si cmpuri de vectori.Desigur ca acest cuprins este clasic si exista numeroase carti n limbaromna ct si n limbi straine care contin acest material. Efortul au-torului a fost n special didactic, directionat spre o prezentare ct mainaturala si mai intuitiva a formalismului ce constituie fundamentulteoriei varietatilor diferentiabile.n lucrul direct cu studentii am constatat cteva aspecte care fac

dicila acomodarea unui ncepator cu notiunea de varietate. Una dindicultati sta desigur n aspectul abstract al teoriei si n cantitateadestul de mare de formalism. Apoi, am constatat ca ntelegerea exactaa teoriei se bazeaza si pe detalierea operatiilor de teoria multimilorcare sunt inerente, lucru ce nu este observabil de la nceput si care ntratatele dedicate geometriei diferentiale este ignorat, acestea ind con-siderate chestiuni triviale. Notiunea de vector tangent, care aparent sedeneste scurt si suna sugestiv, n fond este un obiect abstract netrivialsi necesita si ea o prezentare detaliata a tuturor unghiurilor de privire.La fel brarea tangenta. Aceste aspecte complet elementare, dar careconstituie cheia bunei ntelegeri a faptelor mai complexe din geometriadiferentiala, le-am acordat o atentie speciala n expunerea noastra. Deasemenea, am inclus un numar sucient de exemple tratate sub formade exercitii. Din acest punct de vedere trebuie sa mentionam carteaprofesorului Dan Papuc Geometrie diferentialacare dintre toate lu-crarile n limba romna se apleaca cel mai mult asupra laturii didacticen prezentarea varietatilor. Lund ca model aceasta carte am ncercatsa continuam perfectionarea prezentarii notiunilor de baza. O lista atuturor cartilor cunoscute de autor care trateaza introducerea n vari-etatile diferentiabile se gaseste la sfsitul acestui volum.

Lucrarea noastra are n intentie ca subiectul limitat pe care -ltrateaza sa e ct mai bine acoperit. De aceea, n forma pregatitapentru tipar, cursului prezentat studentilor i-au fost adaugate unelecompletari care din motive de timp nu au ncaput n materia predata.

2 CUPRINS

Speram ca acestea sa e utile celor ce vor sa urmeze ulterior o directiede formare mai cuprinzatoare n domeniul geometriei diferentiale.

2. Notatii si conventii

n acest curs vom utiliza termenul de functie diferentiabila, care nmod obisnuit nseamna functie care admite diferentiala (sau derivata),cu ntelesul de functie de clasa C1 , adica functie ce poate diferenti-ata (sau derivata) de ori cte ori este nevoie. De altfel si notiunea devarietate pe care o numim diferentiabila este ntr-un limbaj mai spe-cializat de fapt o varietate diferentiabila de clasa C1. Nu vom discutaniciodata clasa minima de diferentiabilitate care se impune pentru val-abilitatea unui rezultat. De fapt, toate rezultatele pe care le prezentamapar n alte lucrari precizate cu o clasa de diferentiabilitate mica, 1,2,cel mult 3, dar contabilitatea claselor de diferentiabilitate este n fondun aspect formal pentru principalul continut al cartii. Am renuntat laprecizarea claselor de diferentiabilitate pentru simplicare, dar si da-torita faptului ca cele mai multe exemple concrete sunt prinse n acestcadru. n acest spirit vom spune difeomorsm unei aplicatii care estebijectiva, de clasa C1 si cu inversa de clasa C1.

Un punct curent din Rn va notat x = (x1; :::; xn) iar modulul sauva

j x j=sX

i

(xi)2 .

Daca f : D ! Rm este o aplicatie diferentiabila denita pe un deschisD Rn , cu componentele f = (f 1; :::; fm) , vom nota

@f

@x=@ (f 1; :::; fm)

@ (x1; :::; xn)=

@f i

@xj

matricea functionala numita si matricea jacobiana a functiei, care ntr-un punct x0 2 D determina diferentiala df (x0). Deci df (x0) este oaplicatie liniara ntre spatiile vectoriale Rn si Rm. Este convenabil safolosim atunci notatia sub forma de vector coloana pentru un punctvazut ca vector, astfel ca putem scrie0BBBB@

@f1

@x1(x0) : : :

@f1

@xn(x0)

: :: :: :

@fm

@x1(x0) : : :

@fm

@xn(x0)

1CCCCA0BBBB@

v1

:::vn

1CCCCA =0BBBB@

w1

:::wm

1CCCCA ;pentru a exprima sub forma matriciala egalitatea

nXj=1

@f i

@xj(x0) v

j = wi , i = 1; :::;m,

2. NOTATII SI CONVENTII 3

care de fapt se mai scrie df (x0) (v) = w, unde, v = (v1; :::; vn) 2 Rn siw = (w1; :::; wm) 2 Rm.

Vom utiliza obisnuit conventia de sumare cunoscuta sub numeleconventia lui Einstein, care spune ca, atunci cnd este precizata di-mensiunea n a unui spatiu vectorial si apar variabile purtnd indicisuperiori si inferiori, o sumare de la 1 la n este notata fara semnulsuma

Pprin simpla aparitie a aceluiasi indice si sus si jos ntr-un

produs (sau la o aceeasi variabila care are mai multi indici). Utilizndaceasta regula, egalitatea anterioara o vom scrie

@f i

@xj(x0) v

j = wi ; i = 1; :::;m:

Vom mai utiliza notatia ij; ij; ij pentru a desemna simbolurile lui

Kronecker. Cu aceste notatii avem, spre exemplu, egalitatile

ijvj = vi ; i = 1; :::; n;

ijvi = vj ; j = 1; :::; n:

Atunci cnd apare o a doua dimensiune m si exista posibilitatea uneiconfuzii cu privire la sumare, sau cnd indicele dupa care se facesumarea nu apare sus si jos nu folosim conventia. De exemplu vomscrie

nXi=1

viij = vj ; j = 1; :::; n:

CAPITOLUL 1

Notiunea de varietate

Ce este o varietate diferentiabila? Un prim raspuns la aceasta n-trebare ar putea : este un spatiun care se poate face calcul difer-ential si integral. Scopul acestui capitol este de a deni riguros aceastanotiune de spatiu si de a o ilustra cu exemple semnicative. Calcululdiferential si integral, dezvoltat n cursul se analiza din anul nti destudiu, a fost aplicat n prima parte a cursului de geometrie din anul aldoilea la studiul curbelor si suprafetelor. Cu aceasta ocazie au aparutobiecte noi cum ar vectorii tangenti, planul tangent, vectorii normali,formele asociate suprafetei etc. Se poate spune ca varietatea diferenti-abila este generalizarea notiunii de suprafata. Insa, trebuie imediatadaugat ca aceasta generalizare este impusa de tratarea unor obiectece apar din diverse ramuri ale matematicii sau din zica, obiecte ce nupot considerate direct ca suprafete. Suprafata ramne totusi modelulintuitiv cel mai potrivit ce trebuie purtat n minte, atunci cnd lucramcu o varietate diferentiabila. Calculul diferential si integral din anulnti este utilizat pentru crearea unui nou calcul pe varietati. Acestaeste obiectul prezentului curs de geometrie diferentiala.

1. Atlas, varietate, harta

Denitia 1.1. Fie M o multime si n un numar natural.Vom numiatlas diferentiabil (de dimensiune n) pe M; o familie (U;)2 deaplicatii cu urmatoarele proprietati:

(1) : U ! D este o bijectie, U M , iar D este un deschisdin Rn,

(2)M = [

2U;

(3) pentru orice pereche ; 2 , multimile (U\U) si (U\U) sunt deschise (n Rn) si aplicatia 1 : (U\U)!(U \ U) este un difeomorsm.

n gura alaturata reprezentam schema de teoria multimilor core-spunzatoare aplicatiei 1 .

Denitia 1.2. Fie M un spatiu topologic separat (Hausdor ), cubaza numarabila si (U;)2 un atlas diferentiabil de dimensiune npe M . Vom spune ca M mpreuna cu atlasul dat denesc o varietate

4

1. ATLAS, VARIETATE, HARTA 5

diferentiabila (de dimensiune n) daca ecare din multimile U estedeschisa n M si ecare aplicatie este un homeomorsm.

Conditiile din denitie ne spun ca o varietate arata local ca undeschis din Rn. Acesta este punctul de plecare al posibilului calculdiferential. Remarcam ca ultima conditie din denitia atlasului aduceinformatie numai n cazul cnd 6= iar multimea U\U este nevida;altfel ea devine trivial satisfacuta.

Privitor la dimensiunea n, facem remarca urmatoare: numarul ntrebuie sa e acelasi, indiferent de indicele , pentru ca aplicatia 1 sa e difeomorsm. Reamintim ca o aplicatie bijectiva care estediferentiabila mpreuna cu inversa trebuie sa actioneze pe spatii deaceeasi dimensiune. Mai precis, sa consideram : U ! V o aplicatiebijectiva, U Rn; V Rm, astfel ca si 1 sa e diferentiabile.Atunci relatia 1 = id, prin diferentiere, ne da d1((x)) d(x) = I, n orice punct x 2 U . Aceasta relatie implica injectivitatealui d(x). Aplicatia d(x) : Rn ! Rm ind liniara si injectiva rezultaca m n. Similar,(din relatia 1 = id) rezulta ca n m.

n continuare vom arata ca un atlas dat pe o multime determinaautomat si o topologie pe ea.Atunci cnd nu este pericol de confuzie,pentru a simplica scrierea familiei de aplicatii (U;)2, nu vommentiona ntotdeauna multimea de indici , scriind simplu, (U;).

Teorema 1.1. Fie M o multime si (U;) un atlas diferentiabilpe M . Atunci exista o unica topologie pe M astfel ca ecare multimeU sa e deschisa si ecare aplicatie sa e un homeomorsm.

DemonstraTie. Unicitatea unei topologii care satisface conditi-ile din enunt rezulta imediat, deoarece vecinatatile ecarui punct, n

6 1. NOTIUNEA DE VARIETATE

conditiile date, sunt practic determinate de aplicatiile . Vom con-strui acum topologia pe M , pe care o notam T , denind multimiledeschise ca ind acele multimi A dinM care au proprietatea ca pentruecare indice 2 multimea (A \ U) este deschisa (n Rn). Saaratam ca aceasta este o topologie. Fie (Ai)i2I o familie arbitrara demultimi din T . Pentru a arata ca [

i2IAi este n T ncepem prin a lua

un indice arbitrar si a scrie relatia[i2IAi

\ U = [

i2I(Ai \ U) :

Cum aplicarea unei functii comuta cu reuniunea de multimi, deducem

[i2IAi

\ U

= [

i2I (Ai \ U) ;

iar multimile care se reunesc n membrul drept ind toate deschiserezulta si reuniunea lor deschisa. Deci [

i2IAi este n T . Fie acum

multimileA;B 2 T si sa aratam ca intersectia lor este tot n T . Aceastarezulta imediat din relatia

(A \B \ U) = (A \ U) \ (B \ U) :Tragem concluzia ca T este o topologie.Pentru a verica ca aplicatiile : U ! D Rn sunt home-

omorsme, mai nti remarcam ca, prin nsasi denitia lor, multim-ile din T au proprietatea ca sunt transportate prin aplicatiile nmultimi deschise din Rn . Cu alte cuvinte, inversele 1 sunt con-tinue. Mai trebuie aratat ca ecare aplicatie este continua. Fie,deci, indicele xat si o multime deschisa D D. Vrem sa aratamca 1 (D) 2 T ,adica sa aratam ca, pentru orice indice , multimea (

1 (D) \ U) este deschisa n Rn .Dar aceasta multime este egala

cu multimea 1 (D \ (U \ U)) , care se dovedeste a de-schisa utiliznd proprietatile atlasului. Deci, aplicatia este continua.

Q.E.D.Topologia produsa de teorema anterioara nu este neaparat sepa-

rata si nici nu are baza numarabila (exercetiul 1.2 prezinta un exemplude spatiu topologic neseparat peste care este denit un atlas ce satis-face toate celelalte conditii din denitia varietatii). Daca se dovedesteca, ntr-un caz concret, topologia aceasta este si separata si cu bazanumarabila, atunci M devine varietate diferentiabila. Reciproc, dacaM este o varietate diferentiabila, atunci topologia sa este exact ceacare satisface n raport cu atlasul de denitie conditiile din teoremaanterioara. Pe de alta parte, exemplele de varietati cu adevarat in-teresante apar ca obiecte geometrice ce, din nsasi contextul de origine,sunt nzestrate cu o topologie bine denita. Problema curenta este,atunci, de a construi un atlas diferentiabil care sa e compatibil cutopologia data.


Exemplul 1.1. O multime deschisa U Rn, este considerata n-totdeauna ca o varietate diferentiabila cu aplicatia = idU : U ! U ,care singura determina un atlas ce da structura de varietate. Spunemca U este organizata canonic ca subvarietate deschisa nRn.

Exemplul 1.2. Fie fM; (U;)2g o varietate diferentiabila dedimensiune n si U M o multime deschisa. Atunci, U devine vari-etate diferentiabila n mod canonic: se considera = f 2 =U\U 6=;g si aplicatiile : V ! Rn; V = U \ U; = jV ; 2 .Familia de aplicatii (V;)2 deneste o varietate diferentiabila peU , care se numeste subvarietatea deschisa canonica.

Hipersuprafata parametrizata, studiata n prima parte a cursuluidin anul al doilea, ofera un exemplu interesant de varietate diferentia-bila, exemplu ce-l descriem acum.

Exemplul 1.3. Fie U un deschis din Rn si f : U ! Rn+1 oaplicatie diferentiabila astfel ca rangul matricei df(x) este n n oricepunct x 2 U . Fie V un deschis astfel ca V sa e compact, V Usi restrictia lui f la V sa e injectiva. Sa aratam ca multimea M =f(V ) cu topologia data de incluziunea M Rn+1 si parametrizareaf : V ! M devine o varietate diferentiabila. Mai precis,pentru ane exprima strict n termenii denitiei 1.2, vom introduce aplicatia = f1 :M ! V . Armam ca familia cu un singur element (M;)deneste un atlas pe M si ,cu topologia indusa din Rn+1, o varietate.

DemonstraTie.Singurul lucru ce nu este evident si trebuie aratatreferitor la acest exemplu este faptul ca este homeomorsm.Continuitatealui f (care este chiar diferentiabila) implica continuitatea lui 1 = fjV .Ramne sa aratam ca este continua, ceea ce revine la a vericaca, pentru orice deschis D V , multimea 1(D) este deschisa nM (cu topologia indusa din Rn+1). Pentru a arata ca 1(D) estedeschisa n topologia indusa este sucient sa aratam ca Mn1(D)este nchisa n topologia indusa. Dar, deoarece este bijectie, avemMn1(D) = f(V nD).Sa notam K = V nD ; este o multime compactasi K \ V = V nD. Tinnd cont ca f este injectiva pe V , rezulta caf(V nD) = f(K \ V ) = f(K) \ f(V ) = f(K) \M .Cum f este con-tinua f(K) este o multime compacta n Rn, deci nchisa. Urma acesteimultimi pe M este o multime nchisa n topologia indusa.

Q.E.D.Remarcam ca n demonstratie nu intervine faptul ca f este difer-

entiabila, ci se utilizeaza numai continuitatea aplicatiei. De asemenea,nu s-a utilizat nici faptul ca rangul matricei df (x) este maxim. Acesteasunt nsa conditiile uzuale impuse unei hipersuprafete.

Exemplul 1.4. (Produsul a doua varietati). Consideram doua va-rietati diferentiabile (M1; (U;)2) si (M2; (V;)2), de dimen-siuni n, respectiv m. Spatiul topologic produs M1 M2 se organizeaza


ca varietate diferentiabila de dimensiune n+m cu familia de aplicatiiW;; ;

denite prin W; = UV M1M2, ; = (;)

: W; ! F; = D E Rn+m, (; ) 2 , unde Dsi E sunt domeniile valorilor pentru aplicatiile : U ! D si : V ! E.Denitia 1.3. Fie U un deschis din varietatea diferentiabilaM;denita

de atlasul (U;), e D Rn un deschis si : U ! D un home-omorsm astfel ca, pentru orice indice pentru care U \ U 6= ;,aplicatia 1 denita pe (U \ U) cu valori n (U \ U) sa eun difeomorsm. Se spune ca (U;) este o harta. (De obicei se omitementionarea imaginii D, aceasta ind implicit determinata).

n denitia hartii se poate renunta la cerinta ca sa e homeomor-sm, aceasta proprietate rezultnd din celelalte conditii care apar ndenitie. Propozitia urmatoare precizeaza acest lucru.

Propozitia 1.1. Fie U un deschis din varietatea diferentiabilafM; (U;)gde dimensiune n, si : U ! D o bijectie pe deschisulU Rn. Presupunem ca, pentru ecare indice , multimea (U \ U)este deschisa si 1 : (U \ U)! (U \ U) este un difeomor-sm. Atunci (U;) este o harta.

DemonstraTie. Trebuie sa aratam ca este un homeomorsm sipentru aceasta este sucient sa aratam local ca att ct si 1 suntcontinue. Mai precis, vom arata ca : U \ U ! (U \ U) este unhomeomorsm, pentru orice . Cum multimile U \U acopera U , vomobtine rezultatul dorit. Dar, pe multimea U \ U, se exprima ca ocompunere de homeomorsme

= 1

.Q.E.D.

Observam ca perechile (U;), care apar n denitia varietatii,toate sunt harti. Cel mai adesea nsa, n situatii concrete, apar inverselehartilor, care se numesc parametrizari. Iata denitia lor.

Denitia 1.4. Fie U un deschis din varietatea fM; (U;)g, undeschis D Rn si F : D ! U un homeomorsm astfel ca, pentruorice indice pentru care U \ U 6= ;, aplicatia F , denita peF1(U\U) cu valori n (U\U), sa e un difeomorsm. Se spuneca (D;F ) este o parametrizare.

Se observa ca inversa unei parametrizari este o harta si reciproc.

Propozitia 1.2. Fiind data o varietate diferentiabila fM; (U;)2g,notam M multimea tuturor hartilor pe M . Atunci, M este un atlaspe M .n plus, spatiul topologic M mpreuna cu atlasul M vericaproprietatile din denitia varietatii diferentiabile.


DemonstraTie. Singura proprietate din denitia atlasului carenu este evidenta este proprietatea 3. Fie (U;) si (V;) doua harti.Trebuie sa aratam ca aplicatia compusa

1 : (U \ V )! (U \ V )este un difeomorsm.Luam x 2 (U \ V ) si vrem sa aratam difer-entiabilitatea aplicatiei pe o vecinatate a lui. Fie a 2 U \ V astfel ca(a) = x. Stim ca exista un indice 2 astfel ca a 2 U. NotamW = U\U\V si observam ca (W ) este un deschis care l contine pex. Vom arata ca 1 este diferentiabila pe (W ). Pentru aceastascriem

1 = 1 1si observam ca aplicatiile

1 : (W ) ! (W ); 1 : (W ) ! (W );

sunt diferentiabile. Pentru prima, aceasta rezulta din faptul ca esteharta. Pentru a doua, acelasi lucru rezulta din faptul ca este harta sidin egalitatea 1 = ( 1 )1. Deci 1 este difeomorsmsi inversa este diferentiabila.

Q.E.D.


Denitia 1.5. Fiind data o varietate diferentiabila fM; (U;)2g,multimea tuturor hartilor pe M (notataM n propozitia anterioara) va numita structura diferentiabila data de atlasul (U;)2.

Propozitia 1.3. Fie (U;)2 si (V;)2 doua atlase caredenesc varietati diferentiabile pe acelasi spatiu topologic M . Urma-toarele proprietati sunt echivalente:

(1) ambele atlase dau aceeasi structura diferentiabila pe M ,(2) pentru orice 2 , perechea (U;) este o harta n raport

cu varietatea denita de atlasul (V;)2,(3) pentru orice 2 ,perechea (V;) este o harta n raport cu

varietatea data de atlasul (U;)2 .

DemonstraTie. Este clar ca proprietatea 1. implica 2. si 3. Vomarata ca 2. si 3. sunt echivalente. Proprietatea 2. ne asigura ca functia

1 : (U \ V) ! (U \ V)este un difeomorsm. Inversa acestei aplicatii este

1 : (U \ V) ! (U \ V):Faptul ca, pentru orice 2 si orice 2 , aceasta este un

difeomorsm este continutul armatiei 3. Rezulta echivalenta 2. cu 3.Sa aratam ca 2. si 3. mpreuna implica 1. Fie (U;) o harta n raportcu varietatea determinata de atlasul (U;)2. Vrem sa aratam ca

1 : (U \ V) ! (U \ V)este un difeomorsm, pentru orice astfel ca U \ V 6= ;. Notam mainti ca 1 este bijectiva ntre cele doua multimi de mai sus.Luamun punct x 2 (U \ V). Notam y = 1 (x) si alegem un indice 2 astfel ca y 2 U. Rezulta ca multimea U \ V \U contine pe y(si este deschisa). Putem scrie

1 = 1 1 : (U \ V \ U) ! (U \ V \ U):Att 1 ct si 1 sunt difeomorsme si de aceea com-

punerea lor este difeomorsm ntr-o vecinatate a lui x. Cum x afost ales arbitrar se obtine ca (U;) este harta si n raport cu atla-sul (V;)2.

Q.E.D.Fiind data o functie f : M1 ! M2, unde M1 si M2 sunt varietati

diferentiabile de dimensiune n respectiv m, pentru a vorbi de difer-entiabilitatea functiei f trebuie sa utilizam niste harti pe M1 si pe M2pentru ca, local, sa ne transportam n Rn. Astfel, numai prin inter-mediul hartilor se poate pune n evidenta aspectul diferentiabil alspatiului topologic M .


Denitia 1.6. Presupunem ca f :M1 !M2 este continua. Vomspune ca functia f este diferentiabila daca pentru orice punct x 2 M1exista doua harti (U;) pe M1 si (V;) pe M2, astfel nct x 2 U sif(x) 2 V , iar aplicatia

(*): f 1 : (U [ f1(V )) ! Rm;

sa e diferentiabila (n sensul de clasa C1).Remarcam ca multimea (U [ f1(V )) este un deschis din Rn,

deoarece f este continua iar este homeomorsm. Denitia anterioarapoate ntarita n felul urmator.

Propozitia 1.4. Daca f : M1 ! M2 este o aplicatie diferentia-bila, iar (U 0;0) si (V 0;0) sunt harti arbitrare pe M1, respectiv M2,astfel ca U 0 \ f1(V 0) 6= ;, atunci aplicatia (analoga cu ())

0 f 01 : 0(U 0 \ f1(V 0)) ! Rmeste diferentiabila.

DemonstraTie. Fie y un punct n domeniul functiei, y 2 0(U 0 \f1(V 0)). Dorim sa aratam ca functia noastra este diferentiabila nvecinatatea lui y. Notam x = 01(y) si aplicam denitia diferentiabil-itatii pentru a obtine hartile (U;) si (V;) astfel ca aplicatia () sae diferentiabila. Atunci putem scrie

(**):

0 f 01 = (0 1) ( f 1) ( 01):Deoarece att ct si 0 sunt harti din aceeasi structura diferenti-

abila, din propozitia 1.2 rezulta ca 01 este un difeomorsm. La fel0 1. Rezulta ca avem o compunere de trei aplicatii diferentiabile.Relatia anterioara este pur algebrica, nsa pentru a o putea scrie, tre-buie sa ne asiguram ca domeniile de denitie ale diverselor functii suntcompatibile, astfel ca, global, expresia din dreapta este denita pe ovecinatate a lui y. Pentru a capata o intuitie despre calculul domeniilorde denitie ne poate utila schema din gura alaturata.Att ct si 0 sunt denite pe U \U 0, iar si 0 sunt denite pe

V \ V 0. Deoarece y 2 0(U 0 \ f1(V 0)), rezulta ca x 2 U 0 \ f1(V 0).De asemenea, x 2 U si f(x) 2 V . Rezulta ca x 2 U \U 0\f1(V \V 0).Notam cu W aceasta ultima multime(n gura este hasurata). Ea estedeschisa n M1. Pe multimea 0(W ) este posibila scrierea egalitatii() si aceasta multime este o vecinatate a lui y. Cum y a fost arbitrar,rezulta ca 0 f 01 este diferentiabila pe domeniul sau de denitie.

Q.E.D.

Propozitia 1.5. FieM1;M2;M3 varietati diferentiabile, de dimen-siuni diferite n general si f1 : M1 ! M2; f2 : M2 ! M3 douaaplicatii diferentiabile. Atunci compunerea f2 f1 este o aplicatie difer-entiabila.


Demonstratia o lasam ca un exercitiu cititorului.

Denitia 1.7. Fie f :M1 !M2 o aplicatie diferentiabila. Spunemca ea este un difeomorsm daca este bijectiva si inversa, f1 , este totdiferentiabila. M1 si M2 se numesc difeomorfe.

In cazul n care doua varietati sunt difeomorfe, se verica usor caele au n mod necesar aceeasi dimensiune.

2. Anexa: aspecte topologice

Reamintim n continuare cteva denitii si fapte de topologie gen-erala pe care le utilizam n legatura cu varietatile diferentiabile. Fie Tun spatiu topologic si T familia deschisilor pe T . Spunem ca T este unspatiu separat (sau Hausdor) daca pentru orice doua puncte x1 6= x2exista doua multimi D1; D2 2 T , disjuncte, cu xi 2 Di; i = 1; 2. Ofamilie B T se numeste baza a topologiei daca orice element D 2 Tse scrie ca o reuniune de elemente din B. Se spune ca (T; T ) are bazanumarabila daca exista o familie numarabila B T care este baza atopologiei. Este usor de vazut ca Rn este un spatiu separat. Multimeabilelor cu centre de coordonate rationale si cu raze rationale constitueo baza numarabila pentru Rn.

2. ANEXA: ASPECTE TOPOLOGICE 13

Daca T1si T2 sunt doua spatii topologice cu baza numarabila pro-dusul T1 T2, cu topologia produs, este tot cu baza numarabila .Daca B este o baza a topologiei pe T si A T este o parte, atunci

urmele multimilor din B pe A formeaza o baza a topologiei urma pe A.n particular, daca T are baza numarabila, atunci si topologia urma peA are baza numarabila.

Un spatiu topologic (T; T ) se numeste local compact daca este sep-arat si orice punct poseda o vecinatate compacta .

Lema 1.1. Fie (T; T ) un spatiu local compact.10 Daca K este o multime compacta , atunci exista un deschis rel-

ativ compact care contine pe K.20 Daca K1; K2 sunt doua multimi compacte si disjuncte, atunci

exista doi deschisi disjuncti, U1 si U2 , astfel nct Ki Ui; i = 1; 2.DemonstraTie. 10 Pentru ecare punct x 2 K alegem o vecina-

tate Ux care este deschisa si relativ compacta . Familia fUx; x 2 Kgacopera K. Alegem o subfamilie nita , Ux1 ; :::; Uxn, care acopera K.Deschisul

U =n[i=1

Uxi

este relativ compact si contine pe K.20 Presupunem mai nti ca primul compact se reduce la un punct

K1 = fxg. Faptul ca T este separat permite ca pentru ecare punct y 2K2 sa alegem doua deschise disjuncte ,Uy continnd x si Vy continndy. Familia fVy j y 2 K2g realizeaza o acoperire a lui K2. Alegem osubacoperire nita Vy1 ; :::; Vyn si punem

U =n\i=1

Uyi ; V =n[i=1

Vyi.

Multimile astfel obtinute sunt disjuncte si K1 U , K2 V .Sa tratam acum cazul general. Pentru ecare punct x 2 K1 alegem

Ux si Vx doi deschisi disjuncti astfel ca x 2 Ux si K2 Vx. Familia Uxrealizeaza o acoperire a lui K1, din care extragem o subacoperire nita, Ux1 ; :::; Uxn. Punem apoi

U1 =

n\i=1

Uxi ; U2 =

n[i=1

Vxi.

Multimile U1 si U2 satisfac cerintele din enunt.Q.E.D.

Lema 1.2. Daca (T; T ) este un spatiu local compact cu baza numara-bila, atunci exista un sir (Ki) de multimi compacte care acopera spatiul.

Sirul poate ales astfel nct ,n plus, sa e crescator si Ki Ki+1

pentru orice i 2 N .


DemonstraTie. Fie B o baza a topologiei. Familia B0 = fB 2BjB compactg ramne o baza a topologiei , dupa cum se verica usor.De aceea, spatiul nostru poseda o baza numarabila fBi j i 2 Ng cuproprietatea ca ecare multime Bi este relativ compacta. Construimsirul de compacte n felul urmator. Punem K1 = B1 si procedam prinrecurenta . Daca compactul Ki a fost construit, alegem Ki+1 astfelnct Bi+1 [Ki sa e continut n interiorul lui Ki+1: Alegerea lui Ki+1se realizeaza bazndu-ne pe punctul 10 al lemei anterioare.

Q.E.D.

Propozitia 1.6. Fie M o varietate diferentiabila . Atunci M esteun spatiu local compact. n plus, exista un sir (Ki) de multimi compacte

astfel nct1Si=1

Ki =M si Ki Ki+1, pentru orice i = 1; 2; ::: .

DemonstraTie. Fie p un punct din M . Stim ca exista o harta : U ! D astfel ca p 2 U . Alegem atunci o bila B cu centrul n (p)astfel nct B D. Multimea B este o vecinatate compacta a lui (p).Multimea 1

Bva o vecinatate compacta a lui p. Cu aceasta am

demonstrat ca M este spatiu local compact. Cea de -a doua armatiedin enunt este o consecinta a lemei anterioare.

Q.E.D.

3. Exercitii

Exercitiul 1.1. (1) Fie M o multime, n 2 N, n 1 si(U;)2 un atlas diferentiabil de dimensiune n pe M . FieA M o multime care are proprietatea ca pentru ecare punctp 2 A exista un indice 2 astfel ca p 2 U si multimea (A \ U) sa e o vecinatate ( n Rn) a punctului (p).Atunci multimea A este deschisa n topologia canonica datade atlas (vezi teorema 1.1).

(2) Conditia necesara si sucienta ca topologia data de teorema1.1 sa aiba o baza numarabila este sa existe o familie cel multnumarabila de indici I astfel ca M = [

2IU.

(3) Armatia din propozitia 1.1 poate ntarita n felul urma-tor: Fiind date varietatea M si bijectia : U ! D ntredeschisiiU M si D Rn, presupunem ca, pentru ecarepunct p 2 U , exista un indice astfel nct p 2 U, (U \ U)este o multime deschisa, iar 1 este un difeomorsm.Atunci este o harta.

Exercitiul 1.2. Fie M = R [ f00g ,unde 00 este un punct dis-tinct de toate punctele lui R. Denim o topologie pe M , dndu-nefamilia multimilor deschise. Anume, o multime A M va con-siderata deschisa n urmatoarele doua situatii: 1) A R si este de-schisa n topologia lui R, 2) 0

0 2 A si ( A \R) [ f0g este deschisa n

3. EXERCITII 15

topologia lui R. Notam U submultimea lui M care este egala cu R siV = (U n f0g)[f00g. Denim : U ! R prin (x) = x si : V ! Rprin (x) = x daca x 6= 00 si (00) = 0. Sa se arate ca M mpre-una cu (U;) si (V;) verica toate conditiile din denitia varietatiidiferentiabile, cu exceptia faptului ca M nu este spatiu separat.

Exercitiul 1.3. Fie M = f(x; x3) j x 2 Rg R2 , : M ! R, (x; x3) = x , :M ! R, (x; x3) = x3. Sa se arate ca (M; (M;))si (M; (M;)) sunt doua varietati diferentiabile , care nu dau aceeasistructura diferentiabila pe mutimea M .

Exercitiul 1.4. Se noteaza Sn = fx 2 Rn+1 j j x j= 1g sferade raza 1 din Rn+1. Exista mai multe modalitati de a organiza sferaca varietate diferentiabila de dimensiune n. Vom prezenta doua dintrecele mai uzuale (vezi si gurile de mai sus).

(1) Se noteaza xN = (0; :::; 0; 1), xS = (0; :::; 0;1) 2 Rn+1 \ Snsi se numesc polul nord, respectiv polul sud. Denim N :Sn n fxNg ! Rn n felul urmator. Identicam Rn = fx 2Rn+1 j xn+1 = 0g si, pentru ecare x 2 Sn n fxNg, deter-minam N (x) ca intersectia dreptei determinate de xN si xcu fx 2 Rn+1 j xn+1 = 0g. n mod similar, se deneste S :SnnfxSg ! Rn utiliznd polul sud n locul polului nord. (Apli-catiile N siS se numesc proiectii stereograce.) Calculati ex-presiile aplicatiilor N si S si aratati ca denesc o varietatediferentiabila pe Sn.


(2) Se considera multimile Ui = fx 2 Sn j xi > 0g si U 0i = fx 2 Sn j xi < 0g, i = 1; :::; n + 1 si B = fx 2 Rn jj x j< 1g. Se denesc apli-catiile i : Ui ! B, 0i : U 0i ! B prin proiectie ortogonala,

ix1; :::; xn+1

=

x1; :::;

^xi; :::; xn+1

;

unde am marcat cu caciula ^ faptul ca lipseste coordonatadin pozitia i. Aplicatia

0i are aceeasi expresie ca i, diferind

numai domeniul de denitie. Sa se arate ca , n acest fel, sedeneste o varietate diferentiabila pe Sn care produce aceeasistructura diferentiabila ca si proiectiile stereograce.

Exercitiul 1.5. Fie M o varietate diferentiabila si : U M !D Rn o harta. Considernd U si D ca varietati diferentiabile, sa searate ca este un difeomorsm ntre varietati diferentiabile.

3. EXERCITII 17

Exercitiul 1.6. n conditiile propozitiei 1.3, proprietatile (1), (2),(3) sunt echivalente si cu urmatoarea: -Aplicatia identica este difeo-morsm ntre varietatea denita de familia (U;)2 si cea denitacu familia (V;)2.

Exercitiul 1.7. Spatiul proiectiv de dimensiune n este multimeadreptelor din Rn+1 care trec prin origine. El se organizeaza ca varietatediferentiabila n felul urmator. Pe multimea Rn+1 n f0g se denesteo relatie de echivalenta astfel: doua puncte x; y 2 Rn+1 n f0g suntechivalente , x y, daca si numai daca exista un numar 2 R astfelca x = y.

(1) Aratati ca " este ntr-adevar o relatie de echivalenta. Spatiulct se noteaza Pn = Rn+1nf0g = si reprezinta spatiul proiec-tiv. Notam aplicatia canonica : Rn+1 n f0g ! Pn. Pespatiul Pn se introduce topologia ct (vezi exercitiul 1.16).

(2) Aratati ca aceasta topologie, notata D, se descrie asfel: D =fA Pn j 1 (A) este deschisa n Rn+1g.

Pentru x 2 Rn+1 cu proprietatea j x j= 1 si " > 0 denim

V (x; ") =

z 2 Rn+1 n f0g j j zj z j x j< " sau j

z

j z j + x j< "

(3) Sa se arate ca are loc egalitatea 1 ( (V (x; "))) = V (x; ")si sa se deduca faptul ca (V (x; ")) este o multime deschisadin Pn.

(4) Fie x; y 2 Rn+1, j x j=j y j= 1 astfel ca x 6= y. Notam = min (j x y j; j x+ y j) :

Sa se arate ca V (x; =2) \ V (y; =2) = ;.(5) Sa se arate, utiliznd punctul precedent, ca Pn este un spatiu

separat (Hausdor ).(6) Daca A Rn+1n f0g este o multime deschisa, atunci (A)

este deschisa n Pn.(7) Pn este spatiu compact cu baza numarabila.

Pentru ecare i 2 f1; :::; n+ 1g denim aplicatia Fi : Rn !Pn, prin formula Fi (x1; :::; xn) = (x1; :::; xi1; 1; xi; :::; xn).Aplicatiile acestea vor parametrizarile ce denesc structurade varietate pe spatiul proiectiv. Pentru a vedea acest lucru seprocedeaza n felul urmator.

(8) Aratati ca Vi := Fi (Rn) este o multime deschisa n Pn si Fieste continua.

Notam Hi = fx 2 Rn+1 j xi = 1g si Gi : Rn ! Rn+1 apli-catia denita prin Gi (x1; :::xn) = (x1; :::xi1; 1; xi:::xn), astfelca Fi = Gi.

(9) Sa se arate ca aplicatia i = jHi : Hi ! Vi este bijectiva sica Fi = i Gi.


(10) Calculati domeniul de denitie si expresia functiei 1i ,aratnd ca este continua.

(11) Aratati ca daca A Hi este o multime deschisa, atunci 1 (i (A))este deschisa n Rn+1.

(12) Sa se deduca faptul ca i este homeomorsm si Fi este unhomeomorsm de la Rn la Vi.

(13) Sa se arate ca Pn devine varietate diferentiabila cu familiai := F

1i : Vi ! Rn , i = 1; :::; n+ 1.

Exercitiul 1.8. O alta descriere a spatiului proiectiv se face n felulurmator. Se considera sfera Sn cu familia de harti (Ui;i) ,

U

0i ;

0i

, i = 1; :::; n + 1 data de proiectia ortogonala (vezi exercitiul 1.4.20).Pe Sn avem relatia de echivalenta obtinuta prin restrictia celei dinexercitiul anterior.

(1) Daca x; y 2 Sn , atunci x y daca si numai daca x = ysau x = y. Notam K := Sn= spatiul ct si : Sn ! Keste aplicatia de factorizare . Topologia ct pe K are familiadeschisilor E = fA K j 1 (A) este un deschis din Sng.

(2) Fie V Sn o multime deschisa astfel nct sa e injectivapeV . Aratati ca (V ) este un deschis si jV : V ! (V ) esteun homeomorsm.

(3) Notam Wi = (Ui) si i = jUi. Sa se arate ca i sunthomeomorsme.

(4) Notam i := i 1i : Wi ! B. Sa se arate ca familia (Wi; i), i = 1; :::; n+ 1 deneste o varietate diferentiabila pe K.

(5) Aratati ca aplicatia : K ! Pn este bine denita prin formula ( (x)) = (x) , x 2 Sn

si este o bijectie ntre K si Pn.(6) Aratati ca este un difeomorsm.

Notam J =n+1Sk=1

Jk , unde Jk = fx 2 Sn j xk > 0, xk+1 =0,..., xn+1 = 0g, k = 1; :::; n si Jn+1 = fx 2 Sn j xn+1 > 0g .

(7) Sa se arate ca este bijectiva de la J la K.

Exercitiul 1.9. Considernd un deschis U Rn si Rm cu struc-tura canonica de varietate diferentiabila, ce nseamna ca f : U ! Msi g : M ! Rm sunt diferentiabile? (Am notat cu M o varietatediferentiabila.)

Exercitiul 1.10. Fie M1 si M2 doua varietati diferentiabile de di-mensiuni n, respectiv m. Adoptam toata notatia introdusa n 1.4.

(1) Sa se arate ca spatiul topologic produs, M1 M2, este separatsi cu baza numarabila.

(2) Sa se arate ca 1; =1 ;

1

si sa se verice ca M1 M2

este ntr-adevar o varietate diferentiabila.

3. EXERCITII 19

(3) Fie : U M1 ! D Rn o harta pe M1 si : V M2 !E Rm o harta peM2. Sa se arate ca (; ) : UV ! DEeste o harta pe M1 M2.

(4) Fie M3 o a treia varietate diferentiabila si f :M1M2 !M3o aplicatie diferentiabila. Fie p1 2 M1, p2 2 M2, : U ! Dharta pe M1 astfel ca p1 2 U si : V ! E harta pe M2 cup2 2 V . Sa se arate ca , daca : W ! F este o harta pe M3astfel nct f (p1; p2) 2 W , atunci exista U 0 si V 0 doi deschisiasa ca p1 2 U 0 U , p2 2 V 0 V si f

U

0 V 0 W ,iar aplicatia f 1; 1 : U 0 V 0 ! F estediferentiabila.

Exercitiul 1.11. Fie T o multime si (Ti)i2I o familie de topologiipe T .

(1) Sa se arate ca

T =\i2ITi

este o topologie.(2) NotamM = fF P (T ) j F este o topologie pe T si Ti F ; (8) i 2 Ig.

A- ratati ca multimeaM nu este vida si caT 0 =

\F2M

F

este o topologie pe T .(3) Topologia T este cea mai na topologie inclusa n toate topologi-

ile date, iar T 0 este cea mai grosiera topologie care le continepe toate.

Exercitiul 1.12. Fie T o multime si A P (T ) o clasa de partiale lui T . Aratati ca multimea M = fF P (T ) j F este o topologiesi A Fg este nevida, iar

T (A) =\F2M

F

este o topologie pe T . Aceasta se numeste topologia generata de A.Exercitiul 1.13. Fie (Ti; Ti)i2I o familie de spatii topologie si fi :

U ! Ti o familie de aplicatii denite pe o aceeasi multime U . Ara-tati ca printre toate topologiile de pe U , care fac toate aplicatiile ficontinue, exista una care este cea mai grosiera.

Exercitiul 1.14. Fie (T; T ) un spatiu topologic, U o multime sif : T ! U o functie. Sa se arate ca familia de parti

U = A U j f1 (A) 2 T formeaza o topologie. Aratati ca U este cea mai na topologie pe Ucare face functia f continua.


Exercitiul 1.15. Fie (T1; T1) si (T2; T2) doua spatii topologice. NotamT = T1 T2 si 1 : T ! T1 ,2 : T ! T2 cele doua proiectii canon-ice. Topologia produs, pe care o notam T , este prin denitie cea maigrosiera topologie pe T care face aplicatiile 1 si 2 continue. Sa searate ca

B = fAB j A 2 T1; B 2 T2gformeaza o baza a topologiei T .Exercitiul 1.16. Fie (T; T ) un spatiu toplogic si " " o relatie

de echivalenta pe T . Notam U spatiul ct si aplicatia de proiectiecanonica

: T ! U = T= :Topologia ct, pe care o notam U , este prin denitie cea mai natopologie pe U pentru care este continua. Daca A T vom utilizanotatia

A^ = fx 2 T j (9) y 2 A; a:^{: x yg :(1) Fiind data A T , sa se arate ca (A) 2 U daca si numai

daca A^ 2 T .(2) Aplicatia este deschisa (adica duce deschisi n deschisi) daca

si numai daca, pentru orice multime A 2 T , avem A^ 2 T .(3) Sa se arate ca daca T este compact, atunci si U este compact.(4) Presupunem ca T este local compact si aplicatia este de-

schisa. Sa se arate ca orice punct din U are o vecinatate com-pacta.

CAPITOLUL 2

Grupul rotatiilor

Exemplele de varietati diferentiabile din acest curs sunt prezentaten special sub forma de exercitii n capitolele 1 si 5. Scopul acestuicapitol este de a prezenta un exemplu mai elaborat, exemplu ce con-sta n parametrizarea varietatii reperelor ortonormale orientate pozitivdin R3 prin utilizarea unghiurilor lui Euler. n paragraful 2.1 denimgrupurile clasice O (n) si SO (n). Ele sunt subvarietati n Rn2, daracest lucru nu l probam aici, ci apare sub forma exercitiului 5.1 ncapitolul 5, unde avem tehnica potrivita tratarii problemei. n schimb,n paragraful 2.4 tratam n detaliu cazul n = 3, care este cunoscut subalt punct de vedere si din cursurile de mecanica.

1. O(n) si SO(n)Se noteaza cuM(n) multimea matricilor reale de dimensiune nn

si cu O(n) multimea matricilor a 2 M(n) care satisfac relatia ta a =I, unde am notat cu ta transpusa matricei a. Relatia aceasta esteechivalenta cu a1 = ta sau cu a ta = I. n particular, a 2 O (n)daca si numai daca ta 2 O (n). Se verica usor ca O(n) este un grup(necomutativ) n raport cu operatia de nmultire a matricilor.Se stie ca ecarei matrici a = (aij) 2M(n) i se asociaza o aplicatie

liniara A : Rn! Rn. Vom nota ca vectori coloana vectorii din Rn,astfel ca baza canonica este

e1 =

[email protected]

1CCA ; : : : ; en [email protected]

1CCA ;iar aplicatia A se scrie prin intermediul matricei astfel

(1.1) Aej = aijei =

0B@ a1j...anj

1CA ; j = 1; : : : n:Se vede ca aici coloanele matricei sunt exact vectorii imagine prin A avectorilor din baza. Vom nota cu h; i produsul scalar canonic din Rn.Cu aceasta notatie putem enunta urmatoarea caracterizare.

Propozitia 2.1. Matricea a 2 M(n) apartine lui O(n) daca sinumai daca are loc urmatoarea relatie, pentru orice x; y 2 Rn,

21

22 2. GRUPUL ROTATIILOR

(1.2) hAx;Ayi = hx; yi:DemonstraTie.Relatia ta a = I este echivalenta cuX

k

aki akj = ij; i; j = 1; : : : ; n:

Insa, aceasta relatie este echivalenta cu hAei; Aeji = ij. Se vedeimediat ca egalitatea 1.2 implica aceasta relatie. Daca x; y 2 Rn sescriu ca vectori coloana

x =

0@ x1...xn

1A = xiei ; y =0@ y1...

yn

1A = yiei;atunci avem

hAx;Ayi = xiyjhAei; Aejisi, admitnd ca a 2 O(n) , putem scrie

hAx;Ayi = xiyjij =Xi

xiyi = hx; yi:

Q.E.D.Grupul O(n) se numeste grupul transformarilor ortogonale. Denu-

mirea este justicata de propozitia anterioara: aplicatia asociata uneimatrici din O(n) duce vectori ortogonali n vectori ortogonali.

n cursul demonstratiei anterioare am vazut ca a 2 O(n) daca sinumai daca vectorii coloana din a, priviti ca vectori n Rn, sunt orto-normali. Aceasta armatie citita pentru ta ne conduce la concluzia caa 2 O(n) daca si numai daca vectorii linie ai lui a sunt ortonormali.

Pentru o matrice a 2 O(n), relatia taa = I conduce la(det a)2 = 1:

Deci det a = 1. Matricile a 2 O(n) cu proprietatea ca det a = 1formeaza un subgrup notat SO(n), care se numeste grupul rotatiilor.Denumirea aceasta va justicata n paragrafele care urmeaza.

O aceeasi aplicatie liniara poate avea asociate mai multe matrici deexprimare n diverse baze. Vom vedea acum care este legatura dintreaceste matrici, tinnd cont de schimbarea bazei.Fie A : F ! F o aplicatie liniara denita pe spatiul vectorial F

de dimensiune nita n. Daca e = fei = i = 1; : : : ; ng si f = ffi = i =1; : : : ; ng sunt doua baze sa notam b = (bij) matricea care realizeazatrecerea de la e la f , adica matricea care permite scrierea vectorilor fjn functie de vectorii ei sub forma

(1.3) fj = bijei; j = 1; : : : ; n:

1. O(n) SI SO(n) 23

Similar, o matrice c = (cij) permite exprimarea lui e n functie def , ej = cijfi; j = 1; :::; n. Relatiile acestea ne conduc la

fj = bijei = b

ijcki fk ; j = 1; : : : ; n:

Deoarece f este baza, coecientii din ambii membri, ai elementelorfk, trebuie sa e egali si se obtine

bijcki =

kj :

Aceasta spune ca c = b1.

Lema 2.1. In contextul anterior, e a = (aij) si a = (aij) matricea

care exprima aplicatia A n baza e respectiv f , adica a este asociata cuA prin baza e si similar, a este asociatacu A prin baza f . Atunci areloc formula a = bab1.

DemonstraTie. Se face urmatorul calcul:

Aej = cijAfi = c

ijaki fk = c

ijaki bpkep:

Expresia anterioara este egala si cu apjep. Prin egalarea coecientilorlui ep din cele doua expresii, obtinem a

pj = b

pka

ki cij, care demonstreaza

ca a = bac.Q.E.D.

Ca o consecinta a acestei leme deducem ca det a = det a, adicadeterminantul matricei de exprimare a aplicatiei liniare A n orice bazaeste acelasi.Urmatoarea lema ne va utila n continuare.

Lema 2.2. Daca v = fvi j i = 1; :::; ng este un sistem de n vectoridin F iar a = (aij); c = (c

ij) sunt matricile de reprezentare a vectorilor

din v n functie de cele doua baze e , respectiv f ,

vj = aijei = c

ijfi; j = 1; : : : n;

atunci are loc formula a = bc.

DemonstraTie. Tinem cont de 1.3 si de egalitatea din enuntobtinnd

akj ek = cijbki ek:

Egalnd coecientii vectorilor ek se obtin relatiile cautate.Q.E.D.

Sa presupunem acum ca E este un spatiu vectorial euclidian dedimensiune n. (aceasta nseamna ca pe E avem un produs scalar). Oaplicatie liniara A : E ! E va numita ortogonala daca satisfacerelatia 1.2. Aplicatia A se numeste rotatie daca este ortogonala siexista o baza pe E astfel ca determinantul matricei de exprimare a luiA (prin relatia 1.1 ) sa e egal cu 1.Observam ca terminologia introdusa admite o oarecare ambiguitate,

deoarece am tentati sa numim rotatie o matrice a 2 SO(n). Pentru


eliminarea acestei confuzii, o matrice a 2 SO(n) va numita matricerotatie (ea este asociata unei rotatii n baza canonica din Rn). La felun element a 2 O(n) va numit matrice ortogonala.

2. Rotatii si orientare n plan

Incepem prin a descrie rotatiile din plan. Vom nota cu E spatiulvectorial euclidian de dimensiune doi.

Propozitia 2.2. Fie A : E ! E o rotatie si (e1; e2) un reper orto-normal. Atunci, exista un unic numar ' 2 [0; 2) astfel ca matriceaasociata lui A n baza (e1; e2) sa aiba forma

(2.1)cos' sin'sin' cos'

:

DemonstraTie. Sa presupunem ca matricea ce o studiem areforma

a11 a12

a21 a12

:

Cum Aej = aijei si jAejj = jejj = 1, rezulta(a1j)

2 + (a2j)2 = 1; j = 1; 2:

Punctul de coordonate (a11; a21), privit ca punct n R

2 se aa pe cerculunitate. Rezulta un unic unghi ' 2 [0; 2) astfel ca a11 = cos'; a21 =sin '. La fel se deduce ca a12 = cos ; a

22 = sin , cu un alt unghi .

Pe de alta parte, conditia

0 = he1; e2i = hAe1; Ae2i = cos(' )ne da ' = 2 sau ' = 32 . Rezulta doua posibilitati

a12 = sin'a22 = cos'

a12 = sin'a22 = cos':

Cum matricea A este rotatie, conditia ca determinantul sa e 1 elim-ina prima solutie. Ramne cea de a doua, care demonstreaza formuladorita.

Q.E.D.Sa presupunem acum ca E = R2. Aceasta revine la a xa un

reper ortonormal (e1; e2) n E, care devine baza canonica din R2. naceasta baza aplicatiile ortogonale sunt puse n corespondenta bijectivacu O(2) iar rotatiile cu SO(2). Corespondenta este chiar un izomor-sm, compunerea aplicatiilor ind echivalenta cu nmultirea matricilor.Propozitia anterioara ne da astfel descrierea matricilor din SO(2). Fiev un vector de norma 1, cu componentele scrise sub forma

v =

cos sin

:

2. ROTATII SI ORIENTARE N PLAN 25

O rotatie avnd matricea exprimata cu formula 2.1 actioneaza asupralui v, transformndu-l n vectorul

Av =

cos( + ')sin( + ')

:

Deci vectorii sunt rotiti cu unghiul ' n sensul trigonometric. Aceastaarata ca rotatiile reprezinta ceea ce intuitia noastra ntelege prin rotireaspatiului E. Sa observam ca nmultirea a doua matrici de forma 2.1arata n felul urmator:cos' sin'sin' cos'

cos sin sin cos

=

cos('+ ) sin('+ )sin('+ ) cos('+ )

:

Se verica imediat ca inversa unei matrici de tipul 2.1 este matriceasimilara cu ' n loc de '. Daca cerem ca ' 2 [0; 2), asa cum estenecesar n realizarea bijectiei data de propozitie, rezulta ca SO(2) esteizomorf cu [0; 2) daca acest din urma interval este vazut ca grupulct R=2Z( Grupul 2Z este multimea f2k=k 2 Zg cu adunarea).Pe grupul ct operatia de grup este data de adunarea ' + , modulo2. Relatia scrisa mai sus pentru nmultirea matricilor ne arata, nparticular, ca SO(2) este un grup comutativ.Sa trecem acum la precizarea conceptului de orientare. Sa observam

ca n planul zic intuitia ne permite sa stabilim o orientare. De exem-plu, reprezentnd pe o foaie un sistem de axe (xOy), obisnuim sa leguram ca n schema alaturata si stim ce este acela sensul trigonometricde rotire (sau sensul invers acelor de ceas).Planul zic este identicatcu R2 alegndu-se un astfel de sistem de axe. Vom discuta n contin-uare exprimarea matematica n R2 a conceptului de orientare pe carel avem n planul zic. (Planul zic este un obiect intuitiv n timp ceR2 este un obiect matematic denit riguros).


Fie (e1; e2) baza canonica din R2. Fiind dat un alt reper (v1; v2),putem vorbi despre sensul de rotatie de la v1 la v2, acesta ind deter-minat de modalitatea prin care rotim v1 pentru al suprapune peste v2alegnd directia de rotire astfel ca unghiul de rotire sa e minim (vezigura alaturata). Sensul de rotire de la e1 la e2 este sensul trigonomet-ric. Aplicnd regula si reperului (v1; v2), n plus, noi stim sa spunemdaca sensul determinat de (v1; v2) este acelasi sau nu cu sensul trigono-metric.

[Un reper este o baza ale carei elemente sunt ordonateprin numerotare. Baza canonica din Rn este un reper,de fapt.]

Pentru a descrie matematic aceste fapte, sa presupunem mai ntica (v1; v2) este un reper ortonormal. Intuitia ne spune ca, daca sensuldat de (v1; v2) este sensul trigonometric, atunci printr-o rotatie n plansistemul (v1; v2) poate rotit astfel ca el sa se suprapuna peste (e1; e2).Sau, rotind invers, sistemul (e1; e2) poate suprapus peste (v1; v2). FieA o rotatie astfel ca Ae1 = v1; Ae2 = v2. Reprezentnd vectorii subforma de coloane avem

e1 =

10

; e2 =

01

;

iar matricea asociata lui A n sensul relatiei 1.1 va avea pe coloanecoordonatele vectorilor (v1; v2),

v11 v12

v21 v22

:

Aceasta matrice este n acelasi timp matricea de reprezentare a reperu-lui (v1; v2) n functie de (e1; e2) (n sensul relatiei 1.3). Determinantulacestei matrici este 1, pentru ca A este rotatie. Putem trage con-cluzia urmatoare: reperul ortonormal (v1; v2) este orientat n sensultrigonometric (se mai spune orientat pozitiv) daca si numai daca de-terminantul matricei (vij) care exprima acest reper n functie de bazacanonica este +1. Observam ca ortonormalitatea sistemului (v1; v2)implica (vij) 2 O(2). Orientarea pozitiva revine atunci la faptul cadeterminantul matricei (vij) este pozitiv.Sa vedem acum cum se descrie orientarea pozitiva a unui reper

arbitrar (v1; v2). Vom pune f1 = 1jv1j v1 si vom alege un al doilea vectorf2 astfel ca perechea (f1; f2) sa formeze un reper ortonormal orientatpozitiv. (Alegerea lui f2 este simpla: exista doar doi vectori de norma1 care sa e ortogonali pe f1. Se alege cel care face determinantulcoordonatelor pozitiv.) Mai departe, se compara orientarea lui (v1; v2)cu (f1; f2).

Vectorul v2 se exprima n functie de (f1; f2) astfel:

v2 = hv2; f1if1 + hv2; f2if2:

2. ROTATII SI ORIENTARE N PLAN 27

Daca mpartim planul n doua prin dreapta care contine vectorul v1 (sif1), atunci perechile (v1; v2) si (f1; f2) sunt orientate la fel daca vectoriiv2 si f2 sunt n acelasi semiplan. Numeric, aceasta revine la conditiaca hv2; f2i > 0.Matricea de exprimare a vectorilor (v1; v2) n baza (f1; f2) este

c =

jv1j hv2; f1i0 hv2; f2i

:

Determinantul acestei matrici este det c = jv1jhv2; f2i. Putemspune atunci ca (v1; v2) sunt pozitiv orientati daca det c > 0. Dacanotam cu amatricea de exprimare a vectorilor (v1; v2) n baza (e1; e2); a =(vij) si cu b matricea de exprimare a vectorilor (f1; f2) n baza canonica,lema 2.2 ne spune ca a = bc. Cum det b = 1, rezulta det a = det c.Deducem ca reperul (v1; v2) este pozitiv orientat daca si numai dacadet a > 0.

Ne ntoarcem acum la E, spatiul vectorial euclidian 2-dimensional.Fie (v1; v2) si (w1; w2) doua repere. Vom spune ca ele au aceeasi ori-entare daca exista un reper ortonormal (e1; e2) astfel ca matricile asi a0 care exprima primele doua repere n functie de (e1; e2) sa aibaproprietatea ca det a si det a0 au acelasi semn. Tinnd cont de lema2.2, aceasta conditie este ndeplinita n raport cu (e1; e2) daca si numaidaca este ndeplinita n raport cu orice alt reper din E.

Fiind date doua repere, ele pot de aceeasi orientare sau de orien-tari contrare. Un reper xat determina o orientare. Tinnd cont ca R2

este de fapt E mpreuna cu o baza canonica, orientarea pozitiva esteorientarea lui (e1; e2).

Propozitia 2.3. Fie A o rotatie pe E care se exprima cu o matricede forma 2.1 n raport cu un reper ortonormal (e1; e2). Daca (f1; f2)este un alt reper ortonormal de aceeasi orientare, atunci matricea aso-ciata lui A n raport cu (f1; f2) este neschimbata,iar unghiul ' careapare n 2.1este acelasi.

DemonstraTie. Matricea b, care exprima (f1; f2) n functie de(e1; e2) este din SO(2). Fie a matricea care exprima pe A n raport cu(e1; e2) si a care exprima pe A n functie de (f1; f2). Att a ct si aapartin lui SO(2), iar lema 2.1 ne spune ca a = bab1. Comutativitatealui SO(2) ne arata ca a = a.

Q.E.D.


Propozitiile2.2 si 2.3 arata ca ind xata o orientare pe E, ecareirotatii A i corespunde un unic unghi ' 2 [0; 2), cu care se poateexprima matricea rotatiei n raport cu ecare reper ortonormal avndorientarea data. Unghiul ' se numeste unghiul rotatiei n orientarearespectiva.

Fie acum v1; v2 vectori de norma 1, altfel arbitrari din E. Se aratausor ca exista o unica rotatie A astfel ca Av1 = v2. Unghiul rotatieiA ntr-o anumita orientare, reprezinta ceea ce se ntelege prin masuraunghiului de la v1 la v2, masurata n sensul dat de orientarea xata.

3. Rotatii si orientare n spatiu

Fie E spatiul euclidian de dimensiune 3. Rotatiile sunt descrise deurmatoarea propozitie, care arata ca denumirea de rotatie a fost binepusa. Formula 3.1 arata ca aplicatia A face o rotatie cu un unghi ' njurul dreptei ce trece prin origine si contine vectorul e3.

Propozitia 2.4. Fie A : E ! E o rotatie. Exista atunci un reperortonormal e = (e1; e2; e3), astfel ca matricea asociata aplicatiei A saaiba forma

(3.1) a =

0@ cos' sin' 0sin' cos' 00 0 1

1A :DemonstraTie. Mai nti se alege f = (f1; f2; f3), un reper orto-

normal arbitrar si se noteaza cu a matricea asociata aplicatiei A nraport cu f ,

Afj = aijfi; j = 1; 2; 3:

Vom arata ca 1 este valoare proprie pentru a. Cu alte cuvinte, vomarata ca 1 este radacina a ecuatiei

det

0@ a11 a12 a13a1 a22 a23a31 a

32 a

33

1A = 0:Sa vedem cine pot valorile proprii reale, mai nti. Fie o valoare

proprie reala si v un vector propriu corespunzator. AvemAv = v, ceeace conduce la jAvj = jj jvj. Aceasta implica jj = 1; deci = 1.Ecuatia anterioara are forma

3 + 2 + + 1 = 0;deoarece termenul de grad zero este det a = 1. Daca 1; 2; 3 suntcele trei radacini ale ecuatiei rezulta ca produsul lor este 123 = 1.Daca toate sunt reale, atunci cel putin una este 1. Daca una este realasi cealelalte doua complexe, acestea neaparat sunt complexe conjugatesi produsul lor va pozitiv. Rezulta ca radacina reala trebuie sa epozitiva, deci egala cu 1.

3. ROTATII SI ORIENTARE N SPATIU 29

Valorii proprii 1 i corespunde un vector propriu, pe care l notamu. Prin normalizare, putem sa-l aducem pe u la norma 1. Alegemapoi nca doi vectori v si w astfel ca (u; v; w) sa e liniar independenti.Aplicnd procedeul de ortonormalizare obtinem un reper ortonormal ncare primul vector este u. Printr-o renumerotare ajungem la un reperortonormal (e1; e2; e3) cu e3 = u. Avem Ae3 = e3. Vom nota F spatiulvectorial generat de e1 si e2. Deoarece pentru i = 1; 2 avem

hAei; e3i = hAei; Ae3i = hei; e3i = 0;rezulta Aei 2 F . Cu alte cuvinte, AF F . Din propozitia 2.2 sededuce existenta unghiului ', astfel ca matricea restrictiei AjF sa aibaforma 2.1 n baza (e1; e2). Dar atunci, n baza (e1; e2; e3), matricea luiA va avea forma 3.1.

Q.E.D.Propozitia anterioara ne permite si descrierea lui SO (3). Fie a 2

SO(3). Putem aplica propozitia anterioara aplicatiei liniare asociatacu a n baza canonica din R3. Vom obtine un alt reper ortonormal(f1; f2; f3), n raport cu care noua matrice va avea forma 3.1. Decib1ab are forma 3.1, unde b este matricea de trecere de la baza canonicala baza (f1; f2; f3). Deoarece ultima baza este ortonormala, rezulta cab 2 O (3).

Sa stabilim acum ce nseamna orientare n spatiu. Pentru aceasta,sa observam ca n spatiul zic notiunea de orientare este clara: anumeea este data de regula burghiului(numita si regula surubului dreptsau regula tirbusonului). Pentru a o descrie, sa ne imaginam un plan or-izontal si un ac de burghiu care este asezat deasupra n pozitie verticala.Regula burghiului spune ca rotind burghiul n sensul trigonometric, elva nainta n sus. Sa ne imaginam ca n spatiul zic avem un punct x0 si un reper ortonormal (v1; v2; v3) cu originea n 0. El poate com-parat cu un burghiu n felul urmator: asezam un burghiu pe dreaptasuport a lui v3 si l rotim n jurul axei, mpreuna cu vectorul v1 astfel caaceasta sa se suprapuna peste v2, sensul de rotatie ind ales asa nctrotatia sa e minima. Daca prin aceasta rotatie sensul de naintarea burghiului coincide cu sensul lui v3, atunci se spune ca reperul esteorientat pozitiv. In caz contrar se spune ca este orientat negativ.Sa presupunem ca avem xat un reper ortonormal orientat pozitiv,

notat e = (e1; e2; e3). Atunci vom identica spatiul zic cuR3. Vectoriireperului i vom scrie ca vectori coloana

e1 =

0@ 100

1A ; e2 =0@ 010

1A ; e3 =0@ 001

1A :Dupa un moment de meditatie, acceptam ca adevarata caracteri-

zarea reperelor ortonormale pozitiv orientate n spatiul zic, ca indacele repere ce pot suprapuse peste reperul xat e, n urma unorrotiri. Fiind dat un reper ortonormal v = (v1; v2; v3) n R3, matricea


componentelor a = (vij) va o matrice ortogonala ce este asociataunei transformari ortonormale. Faptul ca v este pozitiv orientat revinela conditia det a > 0. Avem astfel o identicare a triedrelor pozitivorientate cu SO(3).Sa analizam acum un reper v = (v1; v2; v3) astfel ca hv1; v3i =

hv2; v3i = 0, altfel arbitrar. Regula burghiului poate utilizata dinnou, pentru a stabili daca reperul este sau nu orientat pozitiv. Sa pre-supunem ca normalizam f1 = jv1j1 v1; f3 = jv3j1 v3 si alegem f2astfel ca reperul (f1; f2; f3) sa e ortonormal si orientat pozitiv. (Ex-ista doi vectori distincti care sunt de norma unu si ortogonali pe f1 sif3. Ei difera prin semn. Alegerea revine la ndeplinirea conditiei cadeterminantul matricei formate cu componentele lor n baza canonicasa e pozitiv).Pentru ca sensul stabilit prin regula burghiului sa e acelasi n ra-

port cu reperul (v1; v2; v3) ct si n raport cu (f1; f2; f3), trebuie ca v2si f2 sa e de aceeasi parte a planului (v1; v3). Aceasta se exprimanumeric prin hv2; f2i > 0.Pe de alta parte, calculnd matricea c de exprimare a vectorilor

(v1; v2; v3) n functie de (f1; f2; f3) avem

c =

0@ jv1j hv2; f1i 00 hv2; f2i 00 0 jv3j

1A :Cum det c = jv1jjv2jhv2; f2i, rezulta ca (v1; v2; v3) sunt pozitiv orientatidaca si numai daca det c > 0. Daca a = (aij); b = (b

ij) sunt matricile

de exprimare a reperelor (v1; v2; v3) si (f1; f2; f3) n baza canonica e,lema2.2 ne da a = bc. Deoarece (f1; f2; f3) este pozitiv orientat rezultadet b = 1, si atunci det a = det c. In concluzie, orientarea pozitivaa reperului (v1; v2; v3) este exprimata prin det a > 0. Apelnd ncaodata la lema2.2, acesta implica faptul ca determinantul matricei de

3. ROTATII SI ORIENTARE N SPATIU 31

exprimare a reperului (v1; v2; v3) , n raport cu orice baza ortonormalasi orientata pozitiv, este pozitiv.

[n legatura cu obtinerea unui vector ortogonal pe doivectori dati, sa ne amintim de produsul vectrorial. Fiex; y doi vectori liniari independenti din R3. Produsulvectorial, notat x y , se deneste prin determinantulformal al matricei 0@ x1 y1 e1x2 y2 e2

x3 y3 e3

1A ;formate cu componentele lui x si y n baza canonica.Explicit avem

x y = x2 y2x3 y3

e1 x1 y1x3 y3 e2 + x1 y1x2 y2

e3:Se constata imediat, prin calcul direct, ca x y este or-togonal pe x si pe y si n plus determinantul de exprimarea reperului (x; y; x y) n functie de baza canonica estestrict pozitiv, egal cu

x y = x2 y2x3 y3

2 + x1 y1x3 y32 + x1 y1x2 y2

2 :Deci reperul (x; y; x y) este orientat pozitiv.]

Sa consideram acum un reper (v1; v2; v3) absolut arbitrar. Nu putemaplica regula burghiului pentru a da sens notiunii de orientare, darputem calcula determinantul matricei a = (vij), care exprima reperuln functie de reperul canonic. Sa vedem la ce revine geometric conditiadet a > 0. Notam

w =1

jv1; v2jv1 v2si stim ca (v1; v2; w) este pozitiv orientat. Vectorul v3 hv3; wiw esteortogonal pe w, deci se exprima n functie de v1 si v2. De aceea, existadoua numere ; 2 R astfel ca

v3 = v1 + v2 + hv3; wiw:Matricea de exprimare a reperului (v1; v2; v3) n functie de (v1; v2; w)este

c =

0@ 1 0 0 1 0 0 hv3; wi

1A :Determinantul sau este det c = hv3; wi. Conditia det c > 0 este

echivalenta cu faptul ca v3 este de aceeasi parte cuw, n raport cu planul(v1; v2). Notnd b = (bij) matricea de exprimare a reperului (v1; v2; v3)n functie de baza canonica, avem a = bc si stim ca det b > 0. Rezulta


ca det a si det c au acelasi semn. Conditia det a > 0 revine astfel lafaptul ca v3 si w sunt de aceeasi parte a planului determinat de v1 siv2.

4. Solidul rigid si unghiurile lui Euler

Sa consideram un corp rigid aat n spatiul zic care are un punctx n jurul caruia se poate roti liber. Aceasta este o situatie idealacare apare n zica atunci cnd se considera x centrul de greutate sise studiaza miscarea raportata la acest centru. Se pot nsa imagina sisituatii mai apropiate de realitate, cum ar n gura alaturata.Sprijinit pe un plan cu un vrf ascutit, care este socotit x, corpul

din gura poate rotit n jurul punctului, ntre anumite limite.Sa notam O punctul x si sa presupunem ca avem un reper v =

(v1; v2; v3), ortonormal, avnd originea n O si care este solidar cu cor-pul. In acest fel, miscarea corpului n jurul punctului x este descrisade miscarea reperului. Presupunnd ca reperul a fost orientat pozitiv,n urma oricarei rotiri el va ramne tot pozitiv orientat. Vom mai notacu a = (e1; e2; e3) o pozitie a reperului, pe care o luam de referinta. In-troducnd un sistem cartezian de coordonate (Oxyz) astfel ca e devinebaza canonica, multimea tuturor pozitiilor posibile ale corpului rigid va identicata cu multimea V a tuturor reperelor ortonormale orientatepozitiv n R3. In acest paragraf vom utiliza parametrizarea data deunghiurile lui Euler pentru a organiza V ca o varietate diferentiabila.Orice reper v = (v1; v2; v3) 2 V este determinat de matricea (vij) careexprima acest reper n functie de reperul canonic e,

vj =

0@ v1jv2jv3j

1A = vijei:Matricea (vij este n SO(3). Deci V este identicat cu SO(3) si im-plicit vom avea o structura de varietate diferentiabila pe SO(3) asoci-ata parametrizarilor cu unghiurile lui Euler. Mai jos descriem acesteunghiuri.

4. SOLIDUL RIGID SI UNGHIURILE LUI EULER 33

Fiind dat reperul v 2 V astfel ca v3 6= e3, se considera dreapta de intersectie a planelor (e1; e2) si (v1; v2). Aceasta dreapta esteortogonala n O pe e3 si v3. Pe se ia vectorul n de norma jnj = 1orientat astfel ca reperul (e3; v3; n) sa e orientat pozitiv. Se introducunghiurile '; ; astfel:unghiul ' se masoara de la e1 la n n raport cu orientarea data

de (e1; e2). Rezulta ' 2 [0; 2).unghiul se masoara de la e3 la v3 n raport cu orientarea data

de (e3; v3). Aceasta implica 2 (0; ).unghiul se masoara de la n la v1 n raport cu orientarea data

de (v1; v2). Avem 2 [0; 2).Unghiurile '; ; se numesc unghiurile lui Euler si vom arata n

continuare ca ele determina complet reperul v. Pentru a studia ndetaliu corespondenta dintre v si ('; ; ) vom introduce trei rotatiiAi : R

3 ! R3; i = 1; 2; 3 care se exprima n functie de unghiurile('; ; ) si vom arata ca A3A2A1ej = vj; j = 1; 2; 3.RotatiaA1 este rotatia de unghi ' n jurul axei e3 n sensul (e1; e2).Rotatia A2 este rotatia de unghi n jurul axei n n sensul (e3; v3). Rotatia A3 este rotatia de unghi n jurul axei v3 n sensul

(v1; v2).Pentru a determina rotatia A1 si unghiul ', ncepem prin a nota

u = e3 v3,

u =

0 v13 e10 v23 e21 v33 e3

= v23e1 + v13e2:Punem = juj =

p(v23)

2 + (v13)2 si determinam vectorul n:

n =1

u =

1

(v23e1 + v13e2)

In baza (e1; e2; e3) matricea asociata cu A1 este

(4.1) a1 =

0@ cos' sin' 0sin' cos' 00 0 1

1A :Unghiul ' este determinat de conditia Ae1 = n, adica cos e1+sin'e2 =n. Rezulta

(4.2) cos' = v23

; sin' =

v13:

Aceste doua relatii determina unic unghiul ' n intervalul [0; 2). AvemA1e3 = e3; A1e1 = n si notam

f = A1e2 = sin'e1 + cos'e2:Reperul (n; f; e3) este ortonormal si pozitiv orientat.


Pentru a trece la determinarea unghiului si a aplicatiei A2, mainti vom arata ca (f; e3) si (e3; v3) sunt la fel orientate. Mai nti samentionam ca cei trei vectori f; e3; v3 apartin planului ortogonal pe n.Vectorul f se mai scrie

f = v13

e1 v

23

e2;

ceea ce permite exprimarea vectorului v3 sub forma v3 = f + v33e3.Rezulta ca matricea de exprimare a vectorilor (e3; v3) n functie de(f; e3) este

0 1 v33

:

Determinantul acestei matrici este > 0 (v33 6= 1), ceea ce arata ca(e3; v3) si (f; e3) au aceeasi orientare. Atunci putem spune ca matriceaaplicatiei A2 n baza (n; f; e3) este

(4.3) a2 =

0@ 1 0 00 cos sin 0 sin cos

1A :Unghiul se determina din conditia A2e3 = v3, care conduce la v3 = sin f + cos e3. Tinnd cont de precedenta descompunere a lui v3,


deducem

(4.4) sin = ; cos = v33:

Deoarece avem 2+(v33)2 = jv3j2 = 1, relatiile obtinute determina unic

un unghi 2 (0; ).Avem A2n = n; A2e3 = v3 si notam g = A3f .Reperul (n; g; v3) este ortonormal si pozitiv orientat.Denim acum aplicatia A3 cernd ca matricea ei n baza (n; g; v3)

sa aibe forma

(4.5) a3 =

0@ cos sin 0sin cos 00 0 1

1A :Pentru a vedea ca aceasta denitie corespunde descrierii facute anterior,ar trebui sa stim ca (v1; v2) si (n; g) au aceeasi orientare, lucru ce-lvom verica mai ncolo. Deocamdata sa punem conditia ca A3n = v1.Aceasta revine la

(4.6) v1 = cos n+ sin g:

Tinnd cont ca v1 ? v3, rezulta ca are sens determinarea unghiului care sa satisfaca aceasta egalitate. Unghiul este astfel unic deter-minant n [0; 2). Aplicatia A3 are deci proprietatea ca este o rotatie,A3n = e1 si A3v3 = v3. Notam h = A3g si atunci reperul (v1; h; v3) esteortonormal si orientat pozitiv. Cum (v1; v2; v3) este tot orientat pozitiv,rezulta h = v2. Avem A3n = v1 si A3g = v2, ceea ce arata ca (v1; v2) si(n; g) sunt la fel orientate si, prin urmare, A3 este rotatia pe care amdescris-o la nceput. n gura care urmeaza am reprezentat pozitiilesuccesive ale reperului canonic dupa aplicarea rotatiilor A1; A2; A3.In baza canonica e, aplicatia A2 se exprima prin matricea

a1a2a11 :

Baza (n; g; v3) se exprima n functie de e prin matricea a1a2. Rezultaca A3 n baza e va avea matricea

a1a2a3(a1a2)1:

Compunerea A3A2A1 se va scrie n baza canonica prin matricea.

a1a2a3(a1a2)1a1a2a11 a1 = a1a2a3:

Deoarece am probat relatia

(4.7) A3A2A1ei = vi; i = 1; 2; 3;

rezulta ca matricea a1a2a3 coincide cu matricea (vij). Obtinem n acestfel expresia componentelor vij n functie de unghiurile '; ; , anumeaceasta expresie este sub forma de polinoame trigonometrice.Corespondenta astfel stabilita ntre multimea de repere V (e) =

fv 2 V = v3 6= e3g si multimea de unghiuri ('; ; ) 2 D = [0; 2)(0; ) [0; 2) este bijectiva. Pentru a verica acest lucru, sa notmcu : V (e) ! D aplicatia care unui reper v i asociaza unghiurile


('; ; ) dupa procedeul anterior si sa notam cu F : D ! V aplicatiacare asociaza unghiurilor ('; ; ) reperul v = (v1; v2; v3), obtinut dincoloanele matricei produs a1a2a3. Relatia 4.7 arata ca F = id.Vom arata ca F (D) V (e) si ca F = id. Fie ('; ; ) 2 D si sanotam w = (w1; w2; w3) = F ('; ; ). Daca a1; a2; a3 sunt matricile def-inite prin 4.1,4.3 si 4.5 putem calcula usor ultima coloana a produsuluia1a2a3 si obtinem

w3 =

0@ sin' cos cos' sin cos

1Adeoarece 2 (0; ), avem sin > 0 si atunci putem scrie

sin =q(w13)

2 + (w23)2;

sin' =w13sin

; cos' =w23sin

;

cos = w33:


Cu acesta ocazie observam ca w3 6= e3. Sa notam ('; ; ) = (w)si sa observam ca relatiile anterioare comparate cu 4.2 si 4.4 arata ca' = ' si = . Daca lasam a1; a2; a3 sa desemneze matricile asociateunghiurilor ('; ; ), relatia 4.7 ne spune ca w se identica cu cei treivectori coloana ai matricei produs a1a2a3. Deci a1a2a3 = a1; a2; a3, ceeace conduce la a3 = a3. n ne, obtinem = si ncheiem demonstratiarelatiei F = id.

Acum suntem pregatiti pentru a organiza V ca o varietate difer-entiabila. Mai nti sa precizam ca topologia ce o consideram pe Veste data de metrica

d(v; w) =

sXj

jvj wjj2 =sX

ij

(vij wij)2;

v = (v1; v2; v3) ; w = (w1; w2; w3);

vj =

0@ v1jv2jv3j

1A ; wj =0@ w1jw2j

w3j

1A :Aceasta este urma metricii din spatiulM(3) identicat cu R9.

Propozitia 2.5. Multimea V mpreuna cu parametrizarile date deunghiurile lui Euler asociate la doua repere initiale e = (e1; e2; e3) sie0 = (e01; e

02; e

03), astfel ca e

03 6= e3, denesc o varietate diferentiabila.

(n demonstratie vom construi opt harti).

DemonstraTie. Acoperim multimea V (e) cu patru multimi de-schise:

U1 = fv 2 V (e) j e3 v3 6= je3 v3je1; e3 v3 6= je3 v3jv1g;U2 = fv 2 V (e) j e3 v3 6= je3 v3je1; e3 v3 6= je3 v3jv1g;U3 = fv 2 V (e) j e3 v3 6= je3 v3je1; e3 v3 6= je3 v3jv1g;U4 = fv 2 V (e) j e3 v3 6= je3 v3je1; e3 v3 6= je3 v3jv1g:Mai denim deschisii din R3:

D1 = (0; 2) (0; ) (0; 2);

D2 = (; ) (0; ) (0; 2);

D3 = (0; 2) (0; ) (; );

D4 = (; ) (0; ) (; )si aplicatiile i : Ui ! Di; Fi = 1i , astfel ca 1 = jU1 , iar

pentru i = 2; 3; 4 se aleg variantele continue adecvate corespondenteice trebuie realizata.Fie acum b = (bij) matricea care exprima reperul e

0 n functie dee (e0j = b

ijei). Denim aplicatia

0 : V (e0) ! D si F 0 : D ! V (e0)


utiliznd parametrizarea data de unghiurile lui Euler n raport cu e0

(sau cu un sistem cartezian x0 y0 z0 determinant de e0). Pentru aceasta,ecare reper v 2 V (e0) este scris n raport cu e0. Daca componentelelui v n raport cu e sunt (vij), notam (w

ij) componentele aceluiasi reper

n raport cu e0,vj = v

ijei = w

ije0j:

Notnd v si w matricile v = (vij); w = (wij) avem v = bw. Denim

0(v) = (w) = (b0v) si F 0('; ; ) = bF ('; ; ). Acoperim V (e0),n mod similar cazului V (e), cu deschisii U 0i ; i = 1; 2; 3; 4 si denim0i : U

0i ! Di; F 0i = (0i)1. Vericarea conditiilor din denitia

varietatii diferentiabile o lasam cititorului.Q.E.D.

5. Exercitii

Exercitiul 2.1. Numim reexie n plan o aplicatie A : R2 ! R2care duce un punct n simetricul sau fata de o dreapta xa. Sa searate ca orice matrice a 2 O (2) nSO (2) reprezinta o reexie fata de odreapta ce trece prin origine si reciproc.

Exercitiul 2.2. Care este legatura dintre unghiurile unei rotatiin plan n raport cu orientarile contrare?(Folositi denitiile si faceticalculul).

Exercitiul 2.3. Care este unghiul de la

v1 =

11

la v2 =

11

;

masurat n sensul direct si care n sens invers?

Exercitiul 2.4. Sa se arate ca SO (2) este subgrup normal nO (2).Exercitiul 2.5. Fie E spatiul euclidian de dimensiune 3 si A :

E ! E o rotatie diferita de identitate. Sa se arate ca spatiul V =fv 2 E j Av = vg este unidimensional.Exercitiul 2.6. Unghiul ' din scrierea 3.1 este independent de

reperul ortonormal e.

Exercitiul 2.7. Pentru a face fata diverselor situatii concrete,zicienii utilizeaza, n afara de regula burghiului, si alte reguli ad-hoc(reguli asociate palmei desfacute). La fel putem face si noi; putem in-troduce o regula care sa spuna cnd un reper arbitrar (v1; v2; v3) estepozitiv orientat, n felul urmator. Se ntinde palma dreapta n planul(v1; v2) astfel ca cele patru degete mici (lipite) sa arate directia v2, iardegetul mare directia v1. Originea O ar trebui sa e lnga ncheieturade la mna. Cum unghiul dintre degetul mare si celelalte trebuie sa emai mic de 1800 , pozitia minii este astfel xata. Daca triedrul este

5. EXERCITII 39

orientat pozitiv, directia lui v3 trebuie sa iasa din palma. Justicatiaceasta regula.

Exercitiul 2.8. n demonstratia propozitiei 2.5 s-au construit pa-tru multimi deschise (D1; D2; D3 si D4) pentru a acoperi multimea V (e)cu imaginile lor prin parametrizari date de unghiurile lui Euler. Seputea face acest lucru si cu mai putine multimi deschise din R3?

Exercitiul 2.9. Sa se scrie explicit aplicatiile 1 si 4 din demon-stratia propozitiei 2.5 si sa se calculeze 1 14 , vericnd astfel casi aceasta este o aplicatie diferentiabila.

CAPITOLUL 3

Vectori tangenti si diferentiala

1. Spatiul tangent ntr-un punct al varietatii

Notiunea cheie n dezvoltarea calculului integro-diferential pe o va-rietate diferentiabila este cea de vector tangent ntr-un punct al vari-etatii si de spatiu tangent. Aceste notiuni sunt generalizarea notiunilorde vector si plan tangent din cazul unei suprafete (sau hipersuprafete).

Spatiul tangent la un punct x din Rn trece neobservat n cursulde anliza pentru ca el este la ndemna n mod direct. Prezenta sase manifesta prin aceea ca putem deni derivata dupa directie pentruorice functie reala de clasa C1 n vecinatatea lui x. Anume, orice vectorh 2 Rn produce natural dreapta x+ th si atunci derivata dupa directiah pentru o functie f se calculeaza dupa formula

@f

@h(x) = lim

t!0f(x+ th) f(x)

t=

d

dtf(x+ th)jt=0 :

Spatiul tangent se identica, astfel, cu multimea vectorilor tangenti,adica cu Rn. In cazul unei suprafete (sau hipersuprafete) spatiul tan-gent la suprafata ntr-un punct p trebuie privit ca multimea vectorilorderivati (sau vectorii viteza) _c(t) pentru curbe de pe suprafata caresatisfac conditia c(t) = p. Daca f este o functie denita pe suprafata,n vecinatatea lui p, derivata ddtf c(t) nu depinde att de curba, ctde vectorul _c(t). (Vezi exercitiul 3.3 ).In continuare, vom presupune ca M este o varietate diferentiabila

de dimensiune n xata. Vom numi curba (sau curba diferentiabila )o aplicatie c : (a; b) ! M , denita pe un interval (a; b) R , careeste diferentiabila n sensul denitiei 1.6. Tinnd cont ca (a; b) arestructura de varietate diferentiabila canonica, aceasta denitie revinela urmatoarea proprietate: pentru orice harta (U;) din M aplicatia c : c1(U) ! Rn este diferentiabila (de clasa C1).

Vom xa un punct p 2 M si notam Gp multimea tuturor functiilorf : M ! R, astfel ca exista o vecinatate deschisa U , a lui p, pentrucare restrictia lui f la U este diferentiabila. Faptul ca f : U M !R este diferentiabila revine la proprietatea urmatoare: pentru oriceharta (V;), cu V U , aplicatia f 1 : (V ) Rn! R estediferentiabila (de clasa C1). Fiind data o curba c : (a; b) !M astfelca c(t) = p, pentru un punct t 2 (a; b), se deneste derivata c0(t) ca o

40

1. SPATIUL TANGENT NTR-UN PUNCT AL VARIETATII 41

aplicatie c0(t) : Gp ! R n felul urmatorc0(t) (f) = (f c)0 (t) sau altfel scris

(1.1) c0(t)(f) =d

dsf(c(s))js=t:

Notatia c0(t), care aminteste de un vector tangent la o curba, are scopulde a sublinia faptul ca este vorba de generalizarea la cazul varietatilora vectorului derivat. Se constata ca Gp este o algebra de functii pesteR (deci comutativa) si, n particular, un spatiu vectorial real.

Lema 3.1. Aplicatia c0(t) are urmatoarele proprietati:(1) este o aplicatie liniara pe Gp, considerat ca spatiu vectorial,(2) daca f; g 2 Gp sunt doua functii ce coincid pe o vecinatate a

punctului p, atunci c0(t)(f) = c0(t)(g),(3) c0(t)(fg) = c0(t)(f)g(p) + f(p)c0(t)(g); f; g 2 Gp:Vericarea acestor proprietati se face utiliznd direct relatia de

denitie 1.1 si o lasam cititorului.Aplicatia c0(t) va numita derivareaasociata curbei c n punctul t sau vectorul tangent la curba n p.

Denitia 3.1. Vom numi spatiu tangent n punctul p si vom notaTpM multimea tuturor derivarilor c0(t), asociate unor curbe c : (a; b) !M; t 2 (a; b); c(t) = p.Daca notam cu Gp spatiul vectorial al tuturor aplicatiilor liniare

A : Gp ! R, atunci TpM este o submultime a lui Gp . Doua curbepot diferite, astfel nct sa se ntlneasca numai n punctul p, darderivarile asociate n p sa e egale. De fapt se pot construi o innitatede curbe distincte care produc acelasi vector tangent (vezi exercitiul3.4). Deci, elementele lui TpM nu trebuiesc confundate cu curbele carele produc.

Lema 3.2. Fie c : (a; b) ! M o curba astfel ca c(t) = p, pentruun punct t 2 (a; b) si : (a0; b0) ! (a; b) o aplicatie diferentiabilaastfel ca () = t, pentru un punct 2 (a0; b0). Denim curba c(s) =c((s)); s 2 a0; b0), care are proprietatea ca c() = p. Atunci, are locegalitatea

c0() = 0()c0(t):

Demonstratia este imediata. Aceasta lema ne permite sa aranjam cantotdea- una sa consideram curbele ce genereaza TpM ca ind denitepe intervalele de tipul ("; ") iar punctul t sa e acelasi, mereu egalcu 0. De exemplu, daca c : (a; b) ! M , are proprietatea ca c(t) = p,pentru un punct t 2 (a; b), alegem " > 0 astfel nct (t"; t+") (a; b)si punem c(s) = c(t+ s). Curba c : ("; ") !M , are proprietatea cac(0) = p si c0(0) = c0(t). Atunci TpM poate descris si ca multimeatuturor vectorilor c0(0), asociati unor curbe c : ("; ") ! M , cuc(0) = p. Rezultatul principal privitor la spatiul tangent este continutn urmatoarea teorema.

42 3. VECTORI TANGENTI SI DIFERENTIALA

Teorema 3.1. Multimea TpM este un subspatiu vectorial (real ) allui Gp si are dimensiunea n.Demonstratia acestei teoreme va rezulta din cteva leme, pe care le

probam mai jos. Dar mai nti introducem o notatie care ne va ajutasa explicitam rationamentul. Fie o harta : U M ! D Rn,unde U este un deschis ce contine p. Daca c : ("; ") ! U este ocurba (inclusa n U) astfel ca c(0) = p, vom utiliza notatia

(1.2) c(s) = (c1(s); : : : cn(s)) ;unde ci(s) = i c(s); iar i; i = 1:::n sunt cele n componente aleaplicatiei cu valori n Rn; = (1; : : :n). Mai notam (p1; : : : pn) =(1(p); :::n(p)) = (p). Daca f 2 Gp , utilizam notatia(1.3) f

x1; :::xn

= f 1(x1; : : : xn); x = (x1; : : : xn) 2 D:

[Att notatia 1.2 ct si 1.3 sunt abuzive: c(s) este unpunct dinM si nu are componente, iar f este denita peM , nu pe D , si de aceea n argumentul sau nu ar trebuisa apara x = (x1; : : : xn): Spunem ca f (x1; :::xn) reprez-inta expresia n coordonate locale a functiei f . Aceastanotatie este adesea folosita pentru ca simplica scriereasi face ca anumite calcule complicate sa sune ntr-un modfamiliar, parnd calcule n Rn.]

Vom deni acum niste curbe ce trec prin punctul p si sunt strictlegate de harta aleasa. Denirea acestor curbe se face mai nti n D,punnd

ik(s) = pi + sik; i = 1; : : : n:

Pentru ecare k 2 f1; :::; ng , xat, acestea reprezinta componenteleunei drepte nRn ce trece prin p si e paralela la axa Oxk de coordonate.Se alege un numar astfel nct (1k(s); : : :

nk(s)) 2 D , pentru s 2

(; ). Deoarece k(0) = (p1; : : : pn) 2 D, se poate face o astfel dealegere. Apoi se pune k(s) = 1(0k(s); : : :

nk(s)), obtinnd curbele

de care avem nevoie, k : (; ) ! M , k = 1; : : : n . Ele vericaevident relatia k(s) = (1k(s); : : : nk(s)).

Lema 3.3. Are loc urmatoarea egalitate, considerata ca o relatientre elemente din Gp ,

c0(0) = _ci(0)0i(0):

(n Gp are sens nmultirea numarului _ci(0) 2 R cu functionala 0i(0) 2Gp ,ct si sumarea dupa i, astfel ca membrul drept al relatiei este binedenit.)

DemonstraTie.Fie f 2 Gp. In vecinatatea lui 0, functia s !f c(s) este derivabila si putem scrie(1.4)

c0(0)(f) = f c0 (s) = f(c1(s); : : : cn(s))0(0) = @f@xi

(p1; : : : pn) _ci(0);


unde _ci(s) = ci0 (s) = ddsci(s). Relatia obtinuta ne va permite sa demon-

stram lema. In acest scop o vom interpreta mai nti pentru curbele k.Calculnd derivatele obtinem _ik(s) =

ik si de aceea, aplicnd formula

de mai sus deducem:

(1.5) 0k(0)(f) =@f

@xi(p1; : : : pn)ik =

@f

@xk(p1; : : : pn):

Inlocuind n relatia 1.4 se obtine

c0(0)(f) = 0i(0)(f) _ci(0);

care este adevarata pentru orice f 2 Gp si ,de aceea, implica relatia dinenunt.

Q.E.D.Daca am sti ca TpM este subspatiu vectorial n Gp , atunci lema

anterioara ar spune ca vectorii 01(0); : : : 0n(0) genereaza TpM . In con-

tinuare vom proba urmatoarea lema.

Lema 3.4. Daca a1; : : : an sunt numere reale arbitrare, atunci ex-ista o curba a : ("; ")!M , astfel ca a(0) = p si

a0(0) = ai0i(0):

DemonstraTie.Trecem la demonstratia armatiei construind curbamai nti n D. Denim ai(s) = pi + sai; s 2 ("; "), cu " ales astfelnct (a1(s); : : : an(s)) 2 D, pentru orice s 2 ("; "). Punem apoia(s) = 1(a1(s); : : : an(s)) si vom avea (a(s)) = (a1(s); : : : an(s)) .Deoarece, prin calcul direct, se obtine _ai (0) = da

i(s)ds

(0) = ai , relatiadin enunt se deduce imediat din lema anterioara.

Q.E.D.

Lema 3.5. Vectorii 01(0); : : : 0n(0), priviti ca elemente n Gp , sunt

liniar independenti.

DemonstraTie. Sa luam 0; : : : n 2 R si sa presupunem ca aravea loc egalitatea k0k(0) = 0. Aceasta relatie se mai scrie si subforma

k0k(0)(f) = 0; f 2 Gp:Vom pune f i(q) = i(q) daca q 2 U si f i(q) = 0 daca q 2 MnU . Amdenit astfel functiile f 1; : : : fn 2 Gp. Pentru x 2 D avem f i(x) =i 1(x) = xi . Tinnd cont de relatia 1.5 se obtine

0k(0)(fi) = ik:

De aceea, introducnd pe rnd n relatia precedenta f i; i = 1; :::n,rezulta

kik = 0;

ceea ce nseamna i = 0. Cum i a fost arbitrar, se obtine independentaliniara a vectorilor 01(0); : : :

0n(0).

Q.E.D.


DemonstraTia teoremei 3.1. Vom arata mai nti ca TpMeste un subspatiu vectorial al lui Gp .Fiind dati v; w 2 TpM; si ; 2R vrem sa aratam ca ,efectund operatiile n Gp , avem v + w 2TpM . Presupunem ca cei doi vectori sunt dati de curbele a (t) ; b (t), care satisfac conditiile : a (0) = b (0) = p si a0 (0) = v; b0 (0) = w. Cu notatia de tip 1.2 , a (t) = (a1 (t) ; :::an (t)) , b (t) =(b1 (t) ; :::bn (t)) , prin aplicarea lemei 3.3 , se deduce

v + w = _ai (0) + _bi (0)

0i (0) :

n continuare, se constata ca membrul drept al acestei egalitati n-deplineste conditiile din lema 3.4 , pe care o aplicam, obtinnd o curbac (t) astfel ca c (0) = p si c0 (0) = v + w . Am aratat astfel caTpM este subspatiu vectorial. Din lemele 3.3 si 3.5 rezulta ca vectorii01(0); : : :

0n(0) formeaza o baza n TpM .

Q.E.D.Propozitia urmatoare completeaza imaginea pe care am conturat-o

spatiului tangent, dndu-i o noua descriere.

Propozitia 3.1. Fie v : Gp ! R o aplicatie care verica conditiile(1), (2) si (3)din lema 3.1. Atunci v 2 TpM .DemonstraTie. Mai nti aplicam proprietatea (3) pentru functia

constanta 1 si deducem v(1) = 2v(1), ceea ce implica v(1) = 0. Tinndcont de (1) si (2) rezulta ca v(f) = 0, pentru orice functie f 2 Gp careeste constanta pe o vecinatate a lui p. Fie acum : U ! D Rno harta cu p 2 U . Pentru o functie f 2 Gp scriem f(x1; : : : xn) = f 1(x1; : : : xn) si (p1; : : : pn) = (p). Alegem o bila B = Br((p)) Dastfel ca f sa e diferentiabila oe B si apoi aplicam lema3.6, de maijos, obtinnd

f(q) = f(p) + (i(q) pi)gi((q));pentru orice q n 1(B). Proprietatile (1) si (3) ne permit sa deducem

v(f) = v(i)gi((p)) = v(i)@f

@xi(p1; : : : pn):

Observam ca numerele v(i) nu depind de functia f , iar egalitateaanterioara se poate scrie si ca

v = v(i)0i(0);

utiliznd notatia din demonstratia propozitiei anterioare, ceea ce ncheiedemon- stratia.

Q.E.D.

Lema 3.6. Fie B = Br(x0) Rn si f : B ! R o functie diferenti-abila. Atunci, exista gi; i = 1; : : : n, functii diferentiabile pe B astfelca gi(x0) =

@f@xi(x0) si sa aiba loc relatia

f(x) = f(x0) + (xi xi0)gi(x); x 2 B:


DemonstraTie. Se noteaza '(x; t) = f(x0+ t(xx0)) si se aplicaformula Leibniz Newton n raport cu t pe intervalul [0; 1], considerndx x. Se obtine formula

f(x)f(x0) =Z 10

d

dtf(x0+t(xx0))dt = (xixi0)

Z 10

@f

@xi(x0+t(xx0))dt:

Functiile gi; i = 1; : : : n, denite prin

gi(x) =

Z 10

@f

@xi(x0 + t(x x0))dt; x 2 B;

au proprietatile cerute.Q.E.D.

In demonstratia teoremei 3.1 s-a pus n evidenta o anumita notatielegata de punctul p si o harta n vecinatatea sa. Notatia si cadrulrespectiv necesita unele completari. Pentru aceasta, vom schimba unpic punctul de vedere si nu vom mai considera punctul xat ci vomlua o harta : U M ! D Rn xa, iar p va punctul curentdin U . Vom nota (p) = (p1; : : : pn), iar componentele acestui punctvor numite coordonatele locale ale lui p. Pentru p 2 U si s 2 Rpunem ik(s; p) = p

i + sik, unde i; k 2 f1; : : : ng. Pentru k xat s !(1k(s; p); : : :

nk(s; p)) reprezinta o dreapta n R

n ce trece prin p si esteparalela cu axa Oxk. Alegem "p astfel ca ecare din cele n curbe ce trecprin p si sunt paralele la axe sa e incluse n D pentru s 2 ("p; "p).Denim

k(s; p) = 1(1k(s; p); : : :

nk(s; p)); s 2 ("p; "p); k = 1; : : : n:

Am vazut, n demonstratia teoremei 3.1, ca derivatele 01(0; p); : : : 0n(0; p)

formeaza baza pentru TpM . Vom introduce notatia

@

@xk jp:= 0k(0; p):

Spunem ca vectorii acestia formeaza baza canonica a spatiului tangentn p, TpM , n raport cu harta (U;). Rezulta ca un vector genericv 2 TpM , se reprezinta n coordonatele locale date de (U;) sub formav = vi

@@xi jp. Daca f 2 Gp si utilizam notatia 1.3 putem scrie relatia 1.5

din demonstratia teoremei 3.1 sub forma

(1.6)@

@xk jp(f) =

@f

@xk(p1; : : : pn):

Aceasta formula pune n evidenta avantajul notatiei 1.3 .Totusi, facemprecizarea ca, desi notatia este sugestiva, ajutnd la conducerea cal-culului, uneori cititorul neobisnuit, are suspiciuni n legatura cu val-abilitatea acestor calcule. De aceea, sugeram cititorului sa considerecalculele din carte efectuate n acest fel ca pe calcule formale, urmndca el nsusi sa faca calculul complet fara utilizarea acestei notatii. In


cele ce urmeaza vom da cteva exemple de calcule facute cu si fara aapela la 1.3. nainte nsa, ncepem prin a rescrie formula 1.6 n forma

(1.7)@

@xk jp(f) =

@f 1@xk

((p)):

Observam ca daca q = k(t; p), are loc egalitatea 0k(t; p) = 0k(0; q) =

@@xk jq, conform cu lema 3.2. Mai notam ca formula din lema 3.7 sepoate scrie sub forma

(1.8) c0(0) = _ci(0)@

@xi jp:

In concluzie, o harta pune la dispozitie cte o baza canonica necare din spatiile tangente n puncte din harta.Daca avem doua harti, n domeniul comun avem la dispozitie doua

baze canonice si se pune problema determinarii legaturii dintre celedoua baze. Sa consideram, atunci, ca pe lnga harta (U;) avem o adoua harta : V ! E si sa notam y = (y1; : : : yn) punctul curent dinE. Aplicatia 1(x) o vom nota y(x), sau, scris pe componente,

yi(x0; : : : xn) = i (x0; : : : xn); i = 1; : : : n:Fie p 2 U \ V si un vector tangent v 2 TpM , care scris n raport cucele doua baze canonice are formele

v = vi@

@xi jp= wj

@

@yj jp:

Lema 3.7. Au loc formulele

@

@xi jp=@yj

@xi@

@yj jp

=@j 1

@xi((p))

@

@yi jp

!;

wj =@yj

@xivi

=@j 1

@xi((p)) vi

DemonstraTie. Luam f 2 Gp si notam x0 = (p), y0 = (p),

f(x1; : : : ; xn) = f 1(x1; : : : xn) si f(y1; : : : yn) = f 1(y1; : : : yn).Cu aceasta notatie putem scrie

@

@xi jp(f) =

@f

@xi(x0) =

@ f y(x)@xi

(x0) =

=@f

@yj(y0)

@yj

@xi(x0) =

@yj

@xi(x0)

@

@yj jp(f):

Prima formula este demonstrata. Din prima formula rezulta

v = vi@

@xi jp= vi

@yi

@xi@

@yj jp= wj

@

@yj jp:

Egalnd coecientii vectorilor din cea de a doua baza, vectori ceapar n ultimele doua expresii, se obtine cea de a doua formula.

2. DIFERENTIALA UNEI APLICATII 47

Q.E.D.Pentru mai multa claritate, rescriem calculul din demonstratia an-

stoica-elemente de varietati diferentiabile

Documents