stiinte barem jud 2013

BAREM DE CORECTARE I NOTARE CLASA A IX-A

1. Pe latura [BC] a triunghiului ABC considerm punctele D, E, F, n aceast ordine, astfel nct BD 2DE====

i CF 2FE====

. Dac M AB i N AC sunt astfel nct AE MD NF = {{{{ }}}}O , artai c dreptele MN i BC sunt paralele.

Sergiu Prisacariu

Soluie. Aplicnd teorema lui Menelaus n ABE cu punctele coliniare O, D i M,

obinem c AM BD OE 1MB DE OA

= = = = ...2p

Aplicnd teorema lui Menelaus n ACE cu punctele coliniare O, F i N,

rezult c AN CF OE 1NC FE OA

= = = = ......2p

Folosind ipotezele BD 2DE====

i CF 2FE====

, deducem c BD CFDE FE

==== ......1p

Din cele trei egaliti obinem AM ANMB NC

==== 1p

Aplicnd reciproca teoremei lui Thales, urmeaz c MNBC..1p

2. Fie punctele coliniare A, B, C, D astfel nct AB = BC = CD. Un mobil parcurge distanele AB, BC, CD cu vitezele constante 1v , 2v , respectiv 3v , diferite ntre ele. Un al doilea mobil parcurge distana AD cu viteza constant v , care este media aritmetic a vitezelor 1v , 2v i 3v . Artai c timpul necesar parcurgerii segmentului AD este mai mare pentru primul mobil dect pentru cel de-al doilea.

Sergiu Prisacariu

Soluie.

Notnd AB = BC = CD = a, se obine 11

at

v==== , 2

2

at

v==== , 3

3

at

v==== , deci timpul n care primul mobil

parcurge AD este 1 1 2 31 2 3

1 1 1T t t t av v v

= + + = + += + + = + += + + = + += + + = + +

........2p

Timpul necesar celui de-al doilea mobil este 21 2 3

9aTv v v

====

+ ++ ++ ++ +......2p

Avem de artat c: 1 2 3 1 2 3

1 1 1 9aa

v v v v v v

+ + >+ + >+ + >+ + >

+ ++ ++ ++ + ,.....1p

INSPECTORATUL COLAR JUDEEAN IAI

FACULTATEA CONSTRUCII DE MAINI

I MANAGEMENT INDUSTRIAL

CONCURSUL NAIONAL DE MATEMATIC APLICAT

"ADOLF HAIMOVICI" ETAPA JUDEEAN

9 martie 2013

Profil real, specializarea tiinele naturii

adic 1 2 3

1 2 3

v v v 31 1 13v v v

+ ++ ++ ++ +>>>>

+ ++ ++ ++ +, ceea ce rezult din faptul c media aritmetic este mai mare

dect media armonic, inegalitatea fiind strict ntruct numerele 1v , 2v i 3v sunt distincte......2p

3. Determinai funcia f : pentru care f (2) 3==== i care verific relaia: 1 1 1 n

...

f (1) f (2) f (2) f (3) f (n) f (n 1) f (n 1)+ + + =+ + + =+ + + =+ + + = + + + + + + + + , pentru orice n .

Gazeta Matematic (Supliment)

Soluie. Pentru n = 1 se obine c f (1) 1==== ...................................................................................................... 1p Dnd n continuare valori lui n, intuim c f (n) 2n 1= = = = ................................................................... 2p Presupunerea precedent se demonstreaz prin inducie............4p

4. Triunghiul ABC este nscris n cercul de centru O, are ortocentrul H i centrul de greutate G. Fie A, B, C punctele diametral opuse punctelor A, B, C n cercul circumscris triunghiului. Dac ABC are ortocentrul H i centrul de greutate G, artai c punctul O este mijloc i pentru segmentul [HH] i pentru segmentul [GG].

Soluie. OA OA 0+ =+ =+ =+ =

, OB OB 0+ =+ =+ =+ =

, OC OC 0+ =+ =+ =+ =

......2p Avem c OH OA OB OC= + += + += + += + +

i OH OA OB OC = + += + += + += + +

.................................................2p Adunnd relaiile, obinem OH OH 0+ =+ =+ =+ =

, adic O este mijlocul segmentului [HH]......1p

Dar OH 3OG====

i OH 3OG ====

,...........1p de unde OG OG 0+ =+ =+ =+ =

, adic O este mijlocul segmentului GG..................................1p

BAREM DE CORECTARE I NOTARE CLASA A X-A

1. Considerm funcia f : cu proprietatea c ( )( ) ( )f f x 2f x 1= + , x . a) Aflai punctele de pe graficul funciei care au abscisa egal cu ordonata. b) Determinai funciile bijective cu proprietatea dat.

Iulia Cecon

Soluie. a) Fie A(a, a) Gf ; atunci f(a) = a .................................................................................................. 2p f(f(a)) = f(a) = a ................................................................................................................................ 1p nlocuind n relaia din enun, obinem a = 2a + 1 a = 1 A(1, 1) este singurul punct care are coordonatele egale i este situat pe graficul funciei f ................................................................ 1p b) Trecem x f-1(x) (f-1 exist, funcia f fiind bijectiv) ................................................................ 1p f(x) = 2x + 1, x ......................................................................................................................... 2p

2. Fie n* i numerele reale a, b, x1, x2, ..., xn din intervalul (0, 1), astfel nct: bn x1 x2 ... xn. Demonstrai c (logab)n logax1 logax2 ... logaxn .

Cristian Moan, Gazeta Matematic

Soluie. Inegalitatea de demonstrat revine la n a 1 a 2 a n alog x log x ... log x log b ..................................... 1p

Din inegalitatea mediilor, ( )n a 1 a 2 a n a 1 a 2 a n1log x log x ... log x log x log x ... log xn

+ + + =

= a 1 2 n1 log x x ...xn

............................................................................................................................. 4p

Cum funcia x logax este strict descresctoare, loga x1x2 ... xn nlogab i, de aici, cerina problemei .............................................................................................................................. 2p

3. a) Dac z , demonstrai c 2 22z z 2 z .+ b) Fie a, b, c, d patru numere complexe astfel nct:

2 22a b 2 c ,+ =2 22b c 2 d ,+ =

2 22c d 2 a+ = i 2 22d a 2 b+ = .

Demonstrai c exist 1, 2, 2, 4 {1, 1} pentru care 1a + 2b + 3c + 1d = 0. Florin Stnescu






9 martie 2013


1 2 3 4 5 6 7 8 9

Soluie. a) Dac z = x + iy cu x, y, atunci 22z z+ = 2x2 2y2 2(x2 + y2) = 2|z|2 ................................... 2p Egalitatea se atinge pentru y = 0, deci cnd z ............................................................................ 1p b) Adunnd membru cu membru cele patru relaii i innd seama de punctul a), obinem c a, b, c, d . Astfel, relaiile din enun devin a2 + b2 = 2c2, b2 + c2 = 2d2, c2 + d2 = 2a2, d2 + a2 = 2b2 ...... 2p nlocuind succesiv, obinem c a2 = b2 = c2 = d2, deci | a | = | b | = | c | = | d | i, de aici, urmeaz concluzia ........................................................................................................................................... 2p

4. Pe tastatura unui telefon celular, cifrele 1, 2, ..., 9 sunt aranjate n cele nou csue ale unui ptrat 33. Plecnd de la o cifr oarecare de pe tastatur, Lucian-Georges formeaz numere de cinci cifre nenule, astfel nct csua fiecrei cifre a numrului (ncepnd cu cea de-a doua) s aib un singur vrf n comun cu csua cifrei precedente a numrului; el poate reveni de mai multe ori la aceeai cifr.

a) Cte numere care s conin att cifre pare, ct i cifre impare, se pot forma? b) Cte numere care conin numai cifre pare se pot forma? c) Cte numere care conin numai cifre impare se pot forma?

Gabriel Popa

Soluie. a) Csuele care conin cifre pare i cele care conin cifre impare au laturi ntregi comune, deci nu se pot forma astfel de numere ............................................................................................................... 2p b) 4 2 2 2 2 = 64 de numere ...................................................................................................... 2p c) Avem 1 4 1 4 1 = 16 numere care ncep cu 5 i 4 1 4 1 4 = 64 numere care ncep cu 1, 3, 7 sau 9, n total 80 de numere ....................................................................................................... 3p

Figura 1

Figura 2

BAREM DE CORECTARE I NOTARE CLASA A XI-A

1. Dac n , calculai 1

x x x x

x 0

1 2 ... nlimn

+ + +

.

Gazeta Matematic (Supliment)

Soluie. x x x

x x x

1 2 ... n n1 n nx

x x x x x xx 1 2 ... n n

x 0 x 0

1 2 ... n 1 2 ... n nlim lim 1n n

+ + +

+ + +

+ + + + + +

= + =

.......................... 3p

x x x

x 0

2 1 3 1 n 1 1lim ...x x x n

e

+ + +

= = ................................................................................................................... 2p ( ) 1ln 2 ln3 ... ln n

ne+ + +

= = ............................................................................................................................. 1p n

1 ln n! ln n! nne e n!= = = ........................................................................................................................ 1p

2. Ctalin, membru n Armata Ultra, dorete s ofere fiecrui suporter al echipei Steaua prezent la un meci desfurat pe Arena Naional (care are 60000 locuri i este, desigur, plin) cte un banner matriceal avnd forma din figura 1. Ctlin intenioneaz s coloreze fiecare dintre cele 16 ptrele din matrice fie cu rou, fie cu albastru.

a) Poate s ofere Ctlin fiecrui suporter din stadion cte un banner colorat n mod diferit? b) Care este numrul maxim de bannere distincte care pot fi colorate simetric n raport cu diagonala principal? (un exemplu de banner simetric n raport cu diagonala principal este prezentat n figura nr. 2).

Soluie. a) Numrul total de bannere distincte este 16

16de2

2 2 ... 2 2 65536 60000 = = > .

Ctlin poate oferi fiecrui suporter cte un banner distinct ............................................................ 4p b) Pot fi colorate 210 = 1024 bannere distincte, simetric fa de diagonala principal ..................... 3p

3. a) Gsii o matrice A() astfel nct, dac mprim numrul detA la 4, obinem restul 1. b) Indicai o matrice B3() cu proprietatea c detB se divide cu 4.






9 martie 2013


c) Fie 2011 2013 2015

T 2013 2009 20132017 2013 2019

=

. Aflai restul mpririi prin 4 a numrului detT.

Soluie.

a) Alegem, de exemplu, 31 0 0

A I 0 1 00 0 1

= =

i detA = 1 = 4 0 + 1 ............................................. 2p

b) Putem considera 30 0 0

B O 0 0 00 0 0

= =

i detB = 0 = 4 0 + 0 .................................................... 2p

c) 4 4 4

4 4 4 4

4 4 4

2011 2013 2015 M 1 M 1 M 1det T 2013 2009 2013 M 1 M 1 M 1 M ,

2017 2013 2019 M 1 M 1 M 1

+

= = + + + =

+ +

deci restul mpririi la 4 a lui detT

este egal cu 0 ................................................................................................................................... 3p

4. Fie f : o funcie cu proprietatea c f(x + y) = f(x) + f(y), x, y . Demonstrai c funcia f este strict cresctoare dac i numai dac ( )

xlim f x

= + .

Arpad Benyi, Revista de Matematic din Timioara

Soluie. O funcie aditiv are proprietatea c f(0) = 0, iar f(nx) = nf(x), n, x .............................. 2p Dac f este strict cresctoare, atunci f(1) > f(0) = 0, iar ( ) [ ]( ) [ ] ( )f x f x x f 1 , = deci ( )

xlim f x

[ ] ( )xlim x f 1

= + ......................................................................................................................... 3p

Reciproc, fie ( )xlim f x

= + i x < y. Atunci ( )( ) ( ) ( ) ( )f n y x f ny nx nf y nf x = = =

( ) ( )( )n f y f x .= Astfel, ( ) ( )( ) ( )( )n nlim n f y f x lim f n y x ,

= = + prin urmare f(y) f(x) > 0,

adic f(x) < f(y) ................................................................................................................................ 2p

BAREM DE CORECTARE I NOTARE CLASA A XII-A

1. Pe mulimea M = {Poli Iai, Steaua, Oelul, Rapid, UTA} definim legea de compoziie * astfel:

* Poli Iai Steaua Oelul Rapid UTA Poli Iai Poli Iai Steaua Steaua Steaua Poli Iai Steaua Steaua Steaua Steaua Steaua Steaua Oelul Poli Iai Steaua Poli Iai Poli Iai Oelul Rapid Oelul Steaua Oelul Poli Iai Rapid UTA Poli Iai Steaua Oelul Rapid UTA

a) Precizai dac legea * admite element neutru i n caz c exist, identificai-l . b) Spunem c elementul d M este element destroyer dac d*x = x*d = d, xM. Admite legea de compoziie descris mai sus element destroyer? c) Pe mulimea M dat mai sus, cte legi de compoziie se pot defini (numrnd-o i pe cea deja

definit)? Cte dintre acestea sunt comutative ?

Soluie. a) Se observ c UTA * x = x * UTA = x, xM, deci UTA este elementul neutru ...................... 2p b) Steaua * x = x * Steaua = Steaua, xM, aadar Steaua este elementul destroyer .................... 2p c) Exist 525 legi de compoziie posibile pe M ................................................................................. 2p Dintre acestea, 515 sunt comutative .................................................................................................. 1p

2. Pe mulimea numerelor ntregi , considerm legea de compoziie * definit prin: x * y = 5xy + 5x + 5y + 4, x, y.

a) Justificai asociativitatea legii *. b) Cercetai existena elementului neutru. c) Calculai ultimele 2000 cifre ale numrului 1*2*3*4* ... * 2012*2013.

Soluie. a) Justificarea corect a asociativitii (de exemplu (x*y)*z = x*(y*z) = 52(x+1)(y+1)(z+1) 1; x, y, z) .......................................... 3p b) Nu exist element neutru pentru legea * pe .............................................................................. 2p c) Inductiv, x1 * x2 * ... * xn = 5n-1(x1+1)(x2+1) ... (xn+1) 1, x1, x2, ..., xn ............................. 1p






9 martie 2013


1*2*3*4* ... * 2012*2013 = 52012234 ... 20132014 1 i se observ c numrul 1*2*3* ... *2013 are pe ultimele 2000 poziii cifrele

2000de9

999...9 ..................................................................................... 1p

3. Determinai primitivele funciei ( ) ( ) ( )2013 1006

20131007

x xf : 0, , f xx 2

+ =

+ .

Ctlin Cristea, Recreaii Matematice 1/2013

Soluie.

( ) ( )( ) ( ) ( )1006 1007 1006 1006 1006

2013 2012 20131007 1007 1007

x x 2 x x xf xx 2 x 2 x 2

+ = =

+ + + ...................................................... 2p

( )( )( ) ( ) ( )

10071006

n n n 11007 1007 1007

x 2x 1 1 1dx dx1007 1007 n 1x 2 x 2 x 2

+= = +

+ + + C ................................ 3p

( ) ( ) ( )2011 20121007 10071 1 1 1f x dx

1007 2011 1007 2012x 2 x 2= + +

+ + C ...................................... 2p

4. Fie [ ]f : 0,1 o funcie care admite primitive i F o primitiv a sa cu F(1) = 0. Artai c exist c(0, 1) astfel nct (c + 1)F(c) + cf(c) = 0.

Carmen Botea i Viorel Botea, Gazeta Matematic (Supliment)

Soluie.

Concluzia revine la faptul c exist c(0, 1) pentru care ( ) ( )x c

xF x xF x 0=

+ = ................... 2p

adic ( )xx c

xe F x 0=

= .................................................................................................................. 2p

Funcia G(x) = xexF(x), x[0, 1], verific ipotezele teoremei lui Rolle, de unde cerina problemei . ........................................................................................................................................................... 3p

stiinte barem jud 2013

Documents