Ştiinţa, 2012 -...

Download Ştiinţa, 2012 - biblioteca.ceiti.mdbiblioteca.ceiti.md/files/shares/clasaX/X_Fizica__in_limba_romana_.pdf · c. Spaţiul şi timpul în mecanica clasică ... 1.9.o Mişcarea corpurilor

If you can't read please download the document

Upload: duonglien

Post on 06-Feb-2018

238 views

Category:

Documents


12 download

TRANSCRIPT

  • tiina, 2012

  • CZU 53(075.3)M 39

    Elaborat conform curriculumului disciplinar n vigoare i aprobat prin Ordinul ministrului educaiei (nr. 265 din 27 aprilie 2012). Editat din sursele fi nanciare ale Fondului Special pentru Manuale.

    Contribuia autorilor la elaborarea manualului:Mihai Marinciuc capitolele 1, 2 (par. 2.12.3, 2.8), 3, 4 Spiridon Rusu capitolele 2 (par. 2.42.7), 4 (par. 4.3), 5, lucrri de laborator Comisia de experi: Ion Stratan, doctor n fi zic, confereniar, Universitatea Tehnic a Moldovei Eleodor Lupacu, doctor n fi zic, confereniar, Universitatea Agrar, Chiinu Andrei Petruca, prof. colar, grad did. superior, Liceul Teoretic Principesa Natalia Dadiani, Chiinu Recenzeni: Oleg Bursuc, doctor n tiine ale educaiei, coordonator, Consiliul pentru Cercetri i Schimburi Internai-onale (IREX), ChiinuAlexei Colbneac, Maestru n Arte, profesor universitar, Academia de Muzic, Teatru i Arte Plastice, ChiinuMihai leahtichi, doctor n psihologie i pedagogie, confereniar, Universitatea Liber Internaional din Moldova, ChiinuAnatolie Cerbu, doctor n tiine fi zico-matematice, confereniar, Academia de Transporturi, Informatic i Comunicaii, Chiinu Tatiana Cartaleanu, doctor n fi lologie, confereniar, Universitatea Pedagogic de Stat Ion Creang, Chiinu

    Redactor: Mariana BelenciucCorectori: Maria Cornesco, Tatiana DariiRedactor tehnic: Nina DuduciucMachetare computerizat, copert: Romeo ve, Vitaliu Pogola

    ISBN 978-9975-67-823-0 Mihai Marinciuc, Spiridon Rusu. 2007, 2012 .E.P. tiina. 2007, 2012

    ntreprinderea Editorial-Poligrafi c tiina,str. Academiei, nr. 3; MD-2028, Chiinu, Republica Moldova;tel.: (+373 22) 73-96-16, fax: (+373 22) 73-96-27; e-mail: [email protected]

    Descrierea CIP a Camerei Naionale a CriiMarinciuc, Mihai

    Fizic: Man. pentru cl. a 10-a / Mihai Marinciuc, Spiridon Rusu; Min. Educaiei al Rep. Moldova. Ch.: .E.P. tiina, 2012 (Tipogr. SEREBIA SRL). 180 p.

    ISBN 978-9975-67-823-053(075.3)

    DIFUZARE: M Societatea de Distribuie a Crii PRO-NOIstr. Alba-Iulia, nr. 23/1 A; MD-2051, Chiinu; tel.: (+37322) 51-68-17; 51-57-49; fax: (+373 22) 50-15-81;e-mail: [email protected], www.pronoi.md

    Toate drepturile asupra acestei ediii aparin ntreprinderii Editorial-Poligrafi ce tiina.

  • Introducere ........................................................................................................................................................ 7

    Capitolul I. CINEMATICA ..................................................................................................................................... 8

    1.1. Punctul material i solidul rigid modele utilizate n mecanic ....................................... 8

    1.2. Sistem de referin. Spaiu i timp .................................................................................................... 10a. Relativitatea micrii. Sistem de referin ........................................................................................ 10b. Unitile de lungime i de timp .......................................................................................................... 11c. Spaiul i timpul n mecanica clasic ................................................................................................. 12

    1.3. Traiectoria. Deplasarea i distana parcurs ................................................................................ 13a. Descrierea micrii unui punct material .......................................................................................... 13b. Traiectoria .................................................................................................................................................. 14c. Deplasarea i distana parcurs .......................................................................................................... 14d.o Micarea de translaie a rigidului ..................................................................................................... 15

    1.4. Operaii cu vectori ..................................................................................................................................... 16a. Adunarea vectorilor ................................................................................................................................ 16b. Scderea vectorilor ................................................................................................................................. 17c. Componentele i proieciile unui vector ......................................................................................... 18

    1.5. Micarea rectilinie uniform. Viteza ................................................................................................ 20

    1.6.o Cinematica micrii relative ................................................................................................................ 24

    1.7. Micarea rectilinie uniform variat. Acceleraia ......................................................................... 27a. Micarea rectilinie neuniform. Viteza medie. Viteza momentan ....................................... 27b. Micarea rectilinie uniform variat. Acceleraia ............................................................................ 28c. Grafi cele proieciilor acceleraiei i vitezei ...................................................................................... 29d. Legea micrii uniform variate a mobilului .................................................................................... 30e. Formula lui Galilei .................................................................................................................................... 31f.o Raportul distanelor parcurse de mobil n intervale de timp egale ......................................... 32g. Micarea corpului pe vertical ............................................................................................................. 32

    C U P R I N S

  • 1.8. Micarea circular uniform. Acceleraia centripet ................................................................ 37a. Micarea circular uniform. Perioada i frecvena de rotaie ................................................. 37b. Acceleraia centripet ........................................................................................................................... 39c. Viteza unghiular ..................................................................................................................................... 40

    1.9.o Micarea corpurilor pe traiectorii parabolice .............................................................................. 42

    Capitolul II. PRINCIPIILE DINAMICII. FORELE NATURII ................................................................. 45

    2.1. Principiul ineriei. Sisteme de referin ineriale ....................................................................... 45

    2.2. Masa i fora. Principiul fundamental al dinamicii .................................................................... 47a. Interaciuni fundamentale .................................................................................................................... 47b. Masa ............................................................................................................................................................. 48c. Fora .............................................................................................................................................................. 50d. Principiul fundamental al dinamicii .................................................................................................. 51e.o Principiul suprapunerii forelor ......................................................................................................... 53

    2.3. Principiul aciunii i reaciunii ............................................................................................................. 55

    2.4.o Atracia universal .................................................................................................................................... 56 a. Legea atraciei universale ..................................................................................................................... 56b. Cmpul gravitaional ............................................................................................................................... 59c. Satelii artifi ciali ......................................................................................................................................... 60

    2.5. Fora elastic. Micarea sub aciunea forei elastice ............................................................... 63

    2.6. Fora de frecare. Micarea n prezena forei de frecare ......................................................... 67

    2.7.o Micarea corpurilor sub aciunea mai multor fore .................................................................. 72

    2.8.o Principiul relativitii al lui Galilei ..................................................................................................... 77

    Capitolul III. ELEMENTE DE STATIC .......................................................................................................... 81

    3.1. Echilibrul de translaie al rigidului .................................................................................................... 81

    3.2.o Momentul forei. Echilibrul de rotaie al rigidului .................................................................... 85

    3.3.o Centrul de greutate al sistemului de puncte materiale. Centrul de mas .................... 87a. Centrul de greutate. Centrul de mas .............................................................................................. 87b. Determinarea poziiei centrului de greutate ................................................................................. 89

    Capitolul IV. IMPULSUL MECANIC. LUCRUL I ENERGIA MECANIC ...................................... 92

    4.1. Impulsul punctului material. Teorema variaiei i legea conservrii impulsului punctului material ............................. 92

  • 4.2. Impulsul sistemului de puncte materiale. Teorema variaiei i legea conservrii impulsului sistemului de puncte materiale ...................... 95

    a. Fore interne i externe. Proprietatea forelor interne ............................................................. 95b. Teorema variaiei impulsului sistemului de puncte materiale ................................................ 96c. Legea conservrii impulsului sistemului de puncte materiale. Aplicaii ............................. 97d.o Micarea reactiv .................................................................................................................................... 99

    4.3.o Momentul cinetic al punctului material. Legea conservrii momentului cinetic ..... 101

    4.4. Lucrul mecanic. Puterea ......................................................................................................................... 103a. Lucrul mecanic al forei constante .................................................................................................... 103b. Puterea ........................................................................................................................................................ 106

    4.5. Energia cinetic. Teorema variaiei energiei cinetice ............................................................... 108

    4.6. Lucrul forei de greutate. Energia potenial gravitaional ............................................... 112a. Fora de greutate for conservativ ............................................................................................. 112b. Energia potenial gravitaional ...................................................................................................... 113c. Echilibrul n cmpul gravitaional ....................................................................................................... 114

    4.7. Lucrul forei elastice. Energia potenial elastic ...................................................................... 116

    4.8. Lucrul forei de frecare ............................................................................................................................ 118

    4.9. Legea conservrii i transformrii energiei mecanice ............................................................. 120a. Legea conservrii i transformrii energiei mecanice n sisteme izolate

    n care acioneaz fore conservative ............................................................................................... 120b.o Ciocnirile corpurilor .............................................................................................................................. 122c.o Variaia energiei mecanice a sistemului n prezena forelor neconservative

    i a forelor externe ................................................................................................................................. 124

    Capitolul V. OSCILAII I UNDE MECANICE .............................................................................................. 127

    5.1. Micarea oscilatorie .................................................................................................................................. 127

    5.2. Oscilatorul liniar armonic ...................................................................................................................... 130a. Pendulul elastic ........................................................................................................................................ 130b. Pendulul gravitaional ........................................................................................................................... 131c. Legea micrii oscilatorii armonice ................................................................................................... 133d. Caracteristicile momentane ale oscilaiilor armonice ................................................................ 135e.o Reprezentarea micrii oscilatorii prin fazori ............................................................................... 136f. Dependena pulsaiei i perioadei oscilaiilor armonice libere de proprietile sistemului .... 137g. Energia oscilatorului liniar armonic .................................................................................................. 138

    5.3.o Compunerea oscilaiilor coliniare ..................................................................................................... 141

    5.4.o Oscilaii amortizate i forate. Rezonana ..................................................................................... 143

    5.5. Propagarea micrii oscilatorii. Unde transversale i unde longitudinale .................... 145

    5.6. Caracteristicile micrii ondulatorii. Viteza de propagare a undelor .............................. 147

  • 5.7.o Ecuaia undei plane .................................................................................................................................. 150

    5.8. Principiul lui Huygens .............................................................................................................................. 152

    5.9. Refl exia i refracia undelor .................................................................................................................. 152a. Legile refl exiei i refraciei .................................................................................................................... 152b.o Studiul refl exiei i refraciei cu ajutorul principiului lui Huygens ......................................... 153c.o Comportamentul fazei undelor la refl exie .................................................................................... 154

    5.10. Difracia undelor ........................................................................................................................................ 155

    5.11. Interferena undelor ................................................................................................................................ 156a. Studiul calitativ al interferenei undelor .......................................................................................... 156b.o Studiul cantitativ al interferenei undelor ...................................................................................... 157

    5.12.o Unde sonore ................................................................................................................................................ 159a. Clasifi carea undelor sonore .................................................................................................................. 159b. Calitile sunetului ................................................................................................................................... 159

    5.13.o Unde seismice ............................................................................................................................................. 161

    LUCRRI DE LABORATOR ............................................................................................................................. 165 Noiuni elementare despre calculul erorilor ............................................................................................. 165

    a. Msurri i erori .............................................................................................................................................. 165b. Erorile msurrilor directe .......................................................................................................................... 166c. Erorile msurrilor indirecte ...................................................................................................................... 167d. Eroarea unei singure msurri .................................................................................................................. 169e. Prelucrarea grafi c a datelor experimentale ....................................................................................... 170

    Lucrarea de laborator nr. 1 Studiul micrii rectilinii uniform accelerate a unui corp ....................................................................... 171

    Lucrarea de laborator nr. 2o Determinarea constantei de elasticitate a unui corp cu proprieti elastice .................................... 172

    Lucrarea de laborator nr. 3 Determinarea coefi cientului de frecare la alunecare ............................................................................... 173

    Lucrarea de laborator nr. 4. Studiul pendulului elastic ..................................................................................................................................... 175

    Rspunsuri la probleme ..................................................................................................................................... 177

    NOT: Temele nemarcate snt obligatorii pentru ambele profi luri. Cele marcate convenional (o) snt obligatorii pentru profi lul real.

  • IntroducereO particularitate general a naturii ce ne nconjoar este schimbarea. Schimbrile, foarte diverse i complicate, se cerceteaz n cadrul tiinelor naturii: fi zica, biologia, chimia, astronomia, geologia .a.Mecanica (n limba greac nseamn main sau tiina despre maini i me-canisme) este o ramur a fi zicii care studiaz cea mai simpl form de micare, numit micare mecanic.Micarea mecanic a unui corp este schimbarea n timp a poziiei lui n raport cu alte corpuri.Exemple de micare mecanic observm n jurul nostru la fi ecare pas: deschiderea ochilor, ridicarea din pat, deschiderea uii, a robinetului, deplasarea spre coal etc.n mecanic se disting dou compartimente care studiaz dou aspecte ale micrii mecanice:Cinematica (n limba greac micare) cerceteaz formele micrii corpurilor i caracteristicile acesteia, fr a evidenia ns factorii ce determin o form sau alta de micare. La descrierea micrii se folosesc formule, grafi ce i tabele. Cinematica este numit metaforic i geometrie a micrii.Dinamica (n limba greac for) studiaz formele micrii corpurilor n funcie de cauzele ce le condiioneaz. Astfel, n dinamic se rspunde la ntrebarea: De ce corpul se mic n modul dat?, ntrebare care nu-i gsete rspunsul n cinematic.Un compartiment special al dinamicii este statica, ce studiaz doar repausul (echilibrul) corpului n vederea stabilirii condiiilor corespunztoare ale acestuia. n natur mai exist o micare foarte frecvent ntlnit, care se repet dup anumite intervale de timp. De exemplu: micarea unui corp suspendat la captul resortului sau al unui fi r, a unei rigle metalice prinse la un capt, a crengilor copacilor sub aciunea vntului, btile inimii, vibraiile plmnilor n procesul respiraiei, vibraiile coardelor vocale i ale timpanelor care ne permit s vorbim i s auzim etc. Aceste micri snt numite micri oscilatorii. n general, n urma aciunii unei anumite fore, orice corp material poate efectua oscilaii, chiar dac acestea, n unele cazuri, snt de scurt durat. Propagarea micrii oscilatorii n spaiu i timp reprezint micarea ondulatorie. Undele pot fi de natur diferit. n funcie de faptul ce oscileaz i n ce medii se propag, se deosebesc unde: pe suprafaa apei, sonore n medii elastice, seismice n scoara terestr etc.

    7

  • 8

    C a p i t o l u l I

    CINEMATICA

    1.1 PUNCTUL MATERIAL I SOLIDUL RIGID MODELE UTILIZATE N MECANIC

    Cunoatei deja c micarea mecanic este cea mai simpl form a micrii. Totui aceast micare nu este de fi ecare dat foarte simpl. Urmrind atent cderea unei frunze, vei observa c ea se rotete, legnndu-se pe undele aerului (fi g. 1.1). Rsfoind manualul, fi l cu fi l, putei observa c, la nceput, foaia se ndoaie, se deformeaz (adic i schimb forma), apoi diferite poriuni ale ei se mic n mod divers. Aceste dou exemple snt sufi ciente pentru a nelege c micarea mecanic n natur nu este ntotdeauna simpl i c descrierea ei exact poate fi foarte complicat.

    ntrebarea fi reasc este dac n procesul studierii fenomenelor fi zice trebuie s cunoatem i s analizm, de fi ecare dat, detaliat i amnunit micarea corpurilor.

    S examinm un exemplu concret. Imaginai-v un pasager pe peronul unei gri, care ateapt sosirea trenului ce se afl la civa

    kilometri de gar. Pentru acest pasager, ca i pentru dispecerul grii (care urmrete mersul trenului pe o schem electronic, fi g. 1.2), este important s tie distana la care se afl trenul, pentru a deduce dac trenul circul n conformitate cu orarul stabilit. n aceast situaie, determinnd distana dintre tren i gar, putem face abstracie de dimensiunile trenului, care nu ne intereseaz (fi ind cu mult mai mici dect distana pn la el). Nu are importan pentru pasager i dispecer nici for-ma trenului, determinat de conturul poriunii de cale ferat pe care se afl .Fig. 1.2

    Fig. 1.1

  • 9

    CINE

    MAT

    ICA

    Studiind micarea unei nave cosmice spre Lun sau spre o planet oarecare, vom ne-glija n calculele noastre dimensiunile navei, care snt foarte mici n comparaie cu distana parcurs. Ajungem, aadar, la concluzia c n unele micri dimensiunile corpurilor conside-rate pot fi neglijate n raport cu distanele pn la alte corpuri sau cu distanele parcurse de aceste corpuri. Astfel, s-a ajuns la un model foarte des utilizat n mecanic, modelul punctului material.

    Corpul ale crui dimensiuni spaiale pot fi neglijate n comparaie cu distana parcurs sau cu distanele pn la alte corpuri este numit punct material.Din defi niie reiese c punctul material nu

    este neaprat un corp mic, important fi ind ca dimensiunile lui s poat fi neglijate n condiiile date.

    Evident, n alte condiii corpul respectiv nu mai poate fi considerat punct material. Atunci cnd trenul intr n gar (fi g. 1.3), dimensiunile lui devin importante pentru pasagerul care ateapt anunul dispecerului privind ordinea numerotrii vagoanelor: primele vagoane se afl la ieirea pe peron n partea stng sau n cea dreapt a peronului. Rezult c modelul (noiunea) de punct material poate fi utilizat numai n cazul n care snt satisfcute anumite condiii. Corpul n micare la care se neglijeaz nu numai dimensiunile spaiale, ci i alte caracteristici ale lui (masa, sarcina electric etc.) este numit mobil.

    S examinm i s defi nim alt model de corp utilizat n mecanic. Cunoatem c forma i di-mensiunile corpului dat depind, ntr-o anumit msur, i de corpurile cu care el interacioneaz. Astfel, lungimea unui resort poate fi mai mare sau mai mic, o lam poate fi mai mult sau mai puin ncovoiat etc. Deci corpurile din jur pot modifi ca dimensiunile i forma corpului dat, adic provoac deformarea acestuia. n natur nu exist corpuri care nu se deformeaz, unele deformndu-se n aceleai condiii mai puin, altele mai mult.

    n anumite cazuri modifi crile dimensiunilor i ale formei corpurilor pot fi neglijate. n aceste situaii se utilizeaz modelul solidului rigid.

    Corpul care n condiiile date nu-i modifi c dimensiunile i forma (adic nu se deformeaz) se numete solid rigid sau, pur i simplu, rigid.Cu alte cuvinte, rigid este corpul la care distana dintre orice dou puncte rmne invariabil n timp.Pot fi utilizate i alte modele att pentru corpuri, ct i pentru fenomene fi zice. Necesitatea

    lor rezult din faptul c proprietile corpurilor i fenomenele fi zice reale din natur snt foarte complicate. De aceea se evideniaz unele proprieti (sau factori) ce nu infl ueneaz esenial fenomenul studiat i snt neglijate. Acest procedeu este cunoscut sub denumirea de abstractizare, iar modelele elaborate snt numite abstracii. Veridicitatea modelului elaborat este justifi cat de corectitudinea prezicerilor obinute pe baza lui. Se ajunge, astfel, la o de-scriere aproximativ, dar mai simpl, a fenomenului studiat, ceea ce permite stabilirea unor relaii cantitative ntre mrimile ce-l caracterizeaz. Ulterior pot fi evaluate i modifi crile condiionate de factorii neglijai asupra rezultatelor obinute anterior.

    Fig. 1.3

  • 10

    CA

    PIT

    OL

    UL

    I

    NTREBRI

    1. Ce reprezint punctul material? Exemplifi cai.2. Care este deosebirea dintre noiunea de punct material i cea de mobil?3. Care corpuri solide se numesc rigide?4. Mai multe automobile se afl n faa barierei n ateptarea traversrii cii ferate. Poate fi con-

    siderat trenul drept un punct material fa de automobile?5. Analizai situaiile urmtoare: o albin se mic pe petalele unei fl ori n cutarea nectarului; albina

    se afl n zbor spre stup; albina zboar n faa urdiniului pentru a intra n stup. n ce caz albina poate fi considerat punct material i n care nu? Argumentai rspunsul.

    1.2 SISTEM DE REFERIN. SPAIU I TIMP

    a. Relativitatea micrii. Sistem de referinn definiia micrii mecanice se menioneaz c schim-

    barea poziiei corpului dat are loc n raport cu alte corpuri. De exemplu, poziia unui automobil poate fi determinat n raport cu o born kilometric de pe marginea oselei, cu podul de care se apropie, cu autobuzul ce vine din sens opus, cu tractorul ce se deplaseaz n direcie perpendicular fa de drumul pe care se mic automobilul (fig. 1.4) etc. Un pasager din autobuz se afl n stare de repaus n raport cu autobuzul, dar se mic fa de celelalte corpuri. Astfel, micarea automobilului sau a pa-sagerului poate fi descris n raport cu mai multe corpuri. Aadar, ajungem la concluzia c

    micarea oricrui corp, precum i starea lui de repaus, ca un caz particular al micrii, snt relative.Conchidem c nainte de a cerceta micarea unui corp, trebuie s indicm corpul n raport

    cu care este descris micarea. Acest corp, considerat fi x, este numit corp de referin sau reper.Pentru a determina poziia corpului, considerat punct

    material, n raport cu un corp de referin, este necesar s legm de el (n mod rigid) un sistem de coordonate i s avem un instrument de msurare a distanelor. Alegerea corpului de referin legat cu originea unui sistem de coordonate, a direciei i sensului axelor acestuia este arbitrar. Descrierea micrii trebuie s fi e ct mai simpl pentru observatorul care o cerceteaz. De exemplu, studierea micrii unui corp pe puntea unui vas maritim poate fi realizat att n raport cu puntea vasului, ct i n raport cu Pmntul. La descrierea micrii navei cosmice spre Lun (fi g. 1.5), pot fi utilizate diferite corpuri de referin lansarea navei i micarea ei n vecintatea Pmntului este mai convenabil s fi e descrise considernd Pmntul drept corp de referin. Micarea navei de la Pmnt spre Lun poate fi descris inndu-se cont de poziia ei att fa de Pmnt, ct i fa de Soare sau de Lun; apropierea de Lun i aselenizarea navei se descriu mai simplu dac se consider Luna drept corp de referin.

    Fig. 1.5

    Fig. 1.4

  • 11

    CINE

    MAT

    ICA

    n defi niia micrii mecanice se menioneaz, de asemenea, c schimbarea poziiei corpului are loc n timp. De aceea, pentru a descrie micarea, este necesar i un instrument de msurare a timpului (un ceasornic), imobil fa de corpul de referin.

    Toate elementele enumerate mai sus, indispensabile pentru a descrie micarea mecanic a corpurilor, constituie ceea ce numim sistem de referin sau referenial.

    Corpul de referin, sistemul de coordonate (legat rigid cu el), instrumentul de msurare a distanelor i ceasornicul (imobil n raport cu acelai corp) formeaz sistemul de referin sau referenial (consi-derat convenional fi x, fi g.1.6).

    b. Unitile de lungime i de timpPentru a determina coordonatele punctului material la un

    moment anumit de timp, este necesar s msurm lungimi i intervale de timp. Pe aceast cale se stabilete cte uniti conine mrimea msurat (ea este egal cu numrul respectiv de uniti). Msurarea mrimii fi zice const n compararea ei cu o mrime de aceeai natur, considerat ca unitate.

    n prezent se utilizeaz Sistemul Internaional (SI), ce are apte uniti fundamentale stabilite, pentru apte mrimi fi zice. Unitile altor mrimi fi zice se exprim prin cele fundamentale i snt numite uniti derivate.

    Din gimnaziu cunoatei unitile de lungime i de timp metrul (m) i secunda (s). Metrul, ca unitate fundamental n SI, a fost defi nit n 1791 ca a 1/40000000 parte din lungimea meridianului terestru pe care este situat Parisul. S-au realizat apoi msurrile respective i pe baza lor a fost stabilit un etalon al metrului, confecionat din platin (90%) i iridiu (10%), adoptat la 10 decembrie 1799. Acesta reprezint o bar de construcie special, avnd la capete cte trei linii subiri. Lungimea de 1 m este egal cu distana dintre liniile de mijloc (fi g. 1.7). Etalonul se pstreaz la Biroul Internaional de Msuri i Greuti de la Svres, lng Paris. Msurrile mai exacte au artat c lungimea meridianului ales este mai mare dect valoarea obinut anterior, dar etalonul metrului nu a fost modifi cat (el nu mai corespunde defi niiei iniiale).

    Pentru msurarea timpului s-a folosit nc n Antichitate periodicitatea schimbrii zilei cu noaptea, schimbare condiionat de rotaia Pmntului n jurul axei sale. Durata acestui interval numit zi s-a dovedit a fi mare, de aceea a fost divizat n mai multe pri: o zi conine 24 de ore (aceast divizare a fost propus nc n Babilon), 1 or 60 de minute, iar 1 minut 60 de secunde. n SI secunda a fost adoptat ca unitate fundamental pentru timp:

    1s = 1 24 60 60 = dintr-o zi.

    Secunda astfel defi nit este numit secund astronomic.Pe baza acestor defi niii ale metrului i secundei au fost construite instrumente ce permit

    msurarea lungimilor i a intervalelor de timp cu precizii destul de mari, sufi ciente pentru activitatea cotidian a omului.

    Fig. 1.7

    1m

    Fig. 1.6

  • 12

    CA

    PIT

    OL

    UL

    I

    Cercetrile speciale necesit etaloane defi nite mult mai exact dect cele descrise mai sus, care ar putea fi realizate n cazul dispariiei etaloanelor existente. S-a stabilit c aciunea Lunii i a Soarelui asupra Pmntului frneaz rotaia acestuia n jurul axei sale, ceea ce duce la mrirea duratei unei zile cu circa 0,001 s ntr-un secol. Durata zilei este infl uenat i de schimbrile formei i ale dimensiunii Pmntului, de cutremurele de pmnt .a. n urma unor cutremure de intensitate mare, durata zilei variaz brusc cu valori de pn la 0,004 s.

    Se impune utilizarea unui sistem fi zic cu o periodicitate mult mai stabil. Aceasta este radiaia emis de atomi, pus la baza defi nirii unor etaloane noi. n 1972, a fost adoptat o nou defi niie a secundei ca unitate fundamental n SI:

    O secund este egal cu 9 192 631 770 de perioade ale radiaiei ce corespunde tran-ziiei dintre dou niveluri fi ne ale atomului de cesiu 133.Tot radiaia atomilor, de aceast dat a atomilor de cripton, a fost pus n 1960 la baza

    defi niiei unui etalon nou al metrului. n 1983, acesta a fost nlocuit cu un alt etalon, care este n uz i n prezent.

    Metrul este egal cu distana parcurs de lumin n vid n intervalul de timp egal cu 1/299 762 458 dintr-o secund.Aceste etaloane se utilizeaz numai n cercetri speciale care necesit msurri cu un

    grad nalt de precizie.

    c. Spaiul i timpul n mecanica clasicCorpurile se mic n spaiu i n timp. Spaiul determin ordinea n care snt situate

    (aranjate) corpurile, iar timpul, ordinea n care se succed fenomenele. Aceste noiuni se consider fundamentale n fi zic.

    n mecanica clasic sau newtonian, ale crei principii fundamentale au fost formulate de ctre Newton, spaiul i timpul snt considerate absolute, independente unul de altul, de corpurile ce se afl i se mic n spaiu. De aici rezult concluzii importante: distana dintre dou puncte (lungimea segmentului) pentru observatorii din diferite sisteme de referin este una i aceeai; aceasta se refer i la durata intervalului de timp dintre dou evenimente la determinarea ei observatorii din diferite sisteme de referin obin una i aceeai valoare.

    La nceputul secolului al XX-lea, s-a constatat c aceste concepii referitoare la spaiu i timp snt limitate i necesit modifi cri eseniale.

    NTREBRI

    1. Ce reprezint relativitatea micrii? Ilustrai cu exemple care difer de cele din text. 2. Ce este corpul de referin?3. Ce reprezint sistemul de referin?4. Care este deosebirea dintre unitile fundamentale i cele derivate?5. Ce nelegei prin caracterul absolut al spaiului i al timpului?6. Care este corpul de referin preferat la studiul micrii planetelor? Dar al sateliilor acestora?7. Un pescar traverseaz rul cu o luntre vslind. Ce corpuri pot fi luate drept corpuri de referin

    la descrierea micrii vslei? 8. Poate fi considerat corp de referin corpul a crui micare se studiaz?

  • 13

    CINE

    MAT

    ICA

    1.3 TRAIECTORIA. DEPLASAREA I DISTANA PARCURS

    a. Descrierea micrii unui punct materialMicarea unui punct material este considerat cunoscut (descris) dac poate fi

    identifi cat poziia lui la orice moment de timp. Exist cteva metode de descriere a micrii.Metoda coordonatelor. S urmrim un punct material care

    se mic de-a lungul unei linii drepte (de exemplu, micarea automobilului sau a trenului pe o poriune rectilinie de drum). n acest caz este raional s construim sistemul de coordonate astfel nct o ax a lui, de exemplu, axa Ox, s coincid cu aceast linie (fi g. 1.8). Poziia mobilului M pe ax este determinat de valoarea coordonatei x egal cu distana de la origi-nea O pn la punctul M, luat cu semnul plus, dac pentru a ajunge din O n M trebuie s ne micm n sensul pozitiv al axei x, i luat cu semnul minus n sens contrar. La micarea mobilului M n timp, coordonata lui variaz, adic este o funcie de timp:

    x = x (t). (1.1)Ecuaia dat descrie micarea punctului material de-a lungul

    unei linii drepte i este numit ecuaie cinematic a micrii.Pentru descrierea micrii unui punct material pe o suprafa

    plan (de exemplu: o luntre pe apa stttoare a unui lac sau o bil pe masa de biliard), este convenabil s construim un sistem de dou coordonate situate n acest plan (fi g. 1.9). Poziia punctului material M pe plan este determinat de coordonatele x i y, egale cu distanele lui de la axele de coordonate i luate cu semnele plus sau minus n acord cu convenia stabilit n cazul precedent. De exemplu, coordonatele punctului M snt

    x = OM2 = MM1 i y = OM1 = MM2 , iar coordonatele punctului M:

    x = OM2 = M M1 i y = OM1 = M M2 .La micarea punctului material, coordonatele lui variaz, adic

    x = x (t), y = y (t). (1.2)Astfel, micarea punctului material pe o suprafa plan este

    descris de dou ecuaii cinematice ale micrii.n cazul micrii punctului material M n spaiu, se iau trei axe de coordonate, reci-

    proc perpendiculare (fi g. 1.10). Poziia punctului material M este determinat de cele trei coordonate x, y, z, egale cu distanele punctului de la planele perpendiculare pe axele corespunztoare. Distanele se iau cu semnele plus sau minus conform regulii stabilite mai sus. De exemplu, punctul M are coordonatele: x = M1M2, y = OM2, z = MM1, iar punctul Mare coordonatele: x = M1 M2, y = OM2, z = M M1.

    Cnd punctul material se mic, cele trei coordonate variaz n timp, prin urmare: x = x (t), y = y (t), z = z (t). (1.3)

    Aceste trei ecuaii cinematice ale micrii descriu complet micarea punctului material n spaiu.

    Fig. 1.8

    Fig. 1.9

    Fig. 1.10

  • 14

    CA

    PIT

    OL

    UL

    I

    Metoda vectorial. Poziia mobilului M n raport cu sistemul de coordonate, legat rigid cu corpul de referin, poate fi determinat, de asemenea, de un vector numit vector de poziie. Amintim c vectorul este un segment de dreapt orientat, caracterizat prin modl (valoare), punct de aplicaie (origine), direcie i sens. Originea vectorului de poziie r = OM coincide permanent cu originea coordonatelor O, iar extremitatea sa cu punctul material M (fig. 1.11). Modulul vectorului de poziie este egal cu distana de la originea coordonatelor pn la punctul M.

    Cunoaterea vectorului de poziie r presupune cunoaterea modulului su i a unghiurilor formate cu axele de coordonate sau cunoaterea coordonatelor extremitii lui M.

    Pentru a descrie micarea corpului ntr-un plan, reprezentm vectorul de poziie al unui punct material ce se mic n acest plan (fi g. 1.12). Notm cu unghiul msurat n sens trigonometric, de la axa Ox spre vectorul de poziie. Cunoaterea modulului vectorului de poziie i a unghiului permite calcularea coordonatelor mobilului i invers.

    Din fi gur obinem x = r cos, y = r sin i relaiile inverse .Aceste relaii rmn valabile pentru orice valori ale unghiului .n timpul micrii mobilului M, vectorul lui de poziie variaz n modl i direcie,

    originea sa rmne fi x (n O), iar sensul este mereu orientat de la O spre M. Astfel, vectorul r este o funcie de timp:

    r= r(t). (1.4)Aceast ecuaie descrie complet micarea mobilului.

    b. TraiectoriaMobilul n timpul micrii sale trece dintr-o poziie n alta. Ansamblul poziiilor ocupate succesiv de mobil constituie o linie numit traiectorie. Traiectoria permite vizualizarea simultan a tabloului integral al micrii, al tuturor

    punctelor prin care a trecut sau va trece mobilul n timpul micrii. Traiectoria reprezint, n genere, o linie imaginar i doar uneori este materializat de

    corpuri. De exemplu, linia de cale ferat determin traiectoria trenului, srma care trece printr-o bil determin traiectoria acesteia n timpul alunecrii pe srm etc.

    Forma traiectoriei este pus la baza primei clasifi cri a micrilor mecanice ale mobilului: n micri rectilinii (traiectoriile snt linii drepte) i n micri curbilinii (traiectoriile snt linii curbe, n plan sau n spaiu).

    c. Deplasarea i distana parcursConsiderm traiectoria unui mobil (fi g. 1.13) i dou poziii ocu-

    pate de el pe traiectorie: poziia M la momentul de timp t i poziia M la momentul ulterior de timp t= t +t.

    Vectorul s = MMcare unete poziia iniial M i cea fi nal Mse numete vector deplasare sau deplasare s a mobilului n intervalul de timp t = t t .

    Fig. 1.11

    Fig. 1.12

    l

    Fig. 1.13

  • 15

    CINE

    MAT

    ICA

    Modulul deplasrii (lungimea vectorului deplasare) este distana minim dintre aceste poziii i nu depinde de forma traiectoriei dintre ele.

    Lungimea traiectoriei l dintre poziiile M i Mse numete distan parcurs de mobil n intervalul de timp t.Deplasarea mobilului este o mrime vectorial i nu poate fi comparat cu distana

    parcurs, care reprezint o mrime scalar. Ultima poate fi comparat doar cu modulul deplasrii ce nu poate depi distana parcurs: s l.

    d.o Micarea de translaie a rigiduluiMicarea de translaie a rigidului este micarea n care segmentul de dreapt ce unete dou puncte arbitrare ale rigidului rmne paralel cu sine nsui (fi g. 1.14).n jur observm deseori corpuri n micare de translaie: valiza cu

    rotile ce coboar pe o suprafa nclinat (fi g. 1.15), telefericul ce urc sau coboar, dar a crui podea rmne permanent orizontal (fi g. 1.16), scaunele roii de contemplare (roata dracului) ale cror speteze snt permanent verticale (fi g. 1.17) etc.

    Cercetnd detaliat micarea de translaie a corpului din fi gura 1.14, observm c segmentul AB ce unete punctele arbitrare A i B ocup ulterior poziia AB. n conformitate cu defi niia rigidului, segmentele AB i ABau lungimi egale, iar potrivit defi niiei micrii de translaie, aceste segmente snt paralele. Prin urmare, pa-trulaterul ABBAeste un paralelogram. Deci n intervalul de timp ct a durat aceast micare, deplasrile punctelor arbitrare A i B snt egale: . Punctele fi ind arbi-trare, rezult c deplasrile tuturor punctelor rigidului n micare de translaie snt egale ntre ele, adic toate punctele au traiectorii identice. Acest fapt permite s considerm rigidul n micare de translaie drept punct material, chiar dac dimensiunile corpului nu snt neglijabile.

    NTREBRI I PROBLEME

    01. Ce metode de descriere a micrii mobilului cunoatei?02. Care este defi niia vectorului de poziie?03. Ce numim traiectorie a unui punct material?04. Cum se defi nete vectorul deplasare? Dar distana parcurs?

    Fig. 1.14

    Fig. 1.15 Fig. 1.16

    Fig. 1.17

  • 16

    CA

    PIT

    OL

    UL

    I

    05. n ce const micarea de translaie? Cum se mic punctele corpului n cazul micrii de translaie?06. Poate oare modulul deplasrii unui corp s fi e egal cu distana parcurs? Dar mai mare? Mai

    mic? Argumentai rspunsul.07. Deplasarea mobilului ntr-un interval de timp este egal cu zero. Se poate oare afi rma c n

    acest interval mobilul s-a afl at n repaus? Justifi cai rspunsul.08. Ce indic contorul vitezometrului automobilului: modulul deplasrii sau distana parcurs?09. Coordonatele punctului material la un moment de timp snt: x = 8 m, y = 6 m. Trasai pe caiet

    axele unui sistem plan al coordonatelor i reprezentai n el poziia punctului i vectorul lui de poziie. Determinai n baza fi gurii obinute modulul vectorului de poziie i unghiul format de el pe axa Ox. Verifi cai rezultatele efectund calculele respective (vezi p. 14).

    10. Un corp aruncat vertical n sus de la nlimea h = 3 m deasupra pmntului se ridic n sus cu H = 7 m deasupra locului lansrii, apoi cade pe pmnt. Determinai modulul deplasrii i distana parcurs de corp n aceast micare.

    11. Un grup de turiti parcurge distana l1 = 1,6 km n direcia Nord, apoi nc l2 = 1,2 km n direcia Vest. Determinai modulul deplasrii grupului de turiti i cu ct el este mai mic dect distana parcurs.

    12. O bil se mic de la un capt pn la altul al unui jgheab de forma unui semiinel de raz R = 0,5 m. Determinai modulul deplasrii bilei i distana parcurs de ea.

    13. Un sportiv alearg pe un stadion distana L = 200 m. Pista de alergri prezint un semicerc urmat de o poriune rectilinie cu lungimea l = 100 m. Care este modulul deplasrii sportivului?

    1.4 OPERAII CU VECTORI

    a. Adunarea vectorilorn fi zic se utilizeaz pe larg mrimile vectoriale, dou dintre ele fi ind deja defi nite:

    vectorul de poziie i deplasarea. Din cursul de Matematic, clasa a VIII-a, cunoatei unele elemente de algebr vectorial.

    Regula adunrii (compunerii) vectorilor poate fi stabilit relativ simplu, analiznd un exemplu de micare. Imaginai-v intersecia a dou strzi i un pieton care se afl n poziia A i trebuie s ajung n poziia B (fi g. 1.18). Trecerea direct de la A la B, n linie dreapt, este interzis de regulile de circulaie. De aceea pietonul traverseaz mai nti una din strzi ca s ajung n poziia C, apoi strada a doua i ajunge n poziia B.

    n conformitate cu defi niia, vectorul s = AB este deplasarea pietonului n tot intervalul de

    timp. Aceast deplasare se compune din dou etape, s1 = AC i s2 = CB

    , efectuate succesiv. Deci s = s1 + s

    2 . (1.5)

    Acest exemplu ilustreaz regula adunrii vectorilor. Considerm doi vectori: a i b (fi g. 1.19, a) i notm suma lor cu c = a + b. Reprezentm n fi gura 1.19, b vectorul a, apoi translm paralel vectorul bcu originea sa n extremitatea vectorului a. Vectorul sum c, numit i rezultant, i are originea n cea a primului vector a i extremitatea n cea a vec-torului al doilea b. Acelai rezultat cse obine dac efectum operaia menionat mai sus n ordine invers, adic reprezentm mai nti vectorul b, iar pe urm vectorul a(fi g. 1.19, c). Aceast regul de adunare a vectorilor este cunoscut ca regula triunghiului.

    Rezultatul adunrii vectorilor rmne acelai dac realizm o alt fi gur: reprezentm vectorii ce se adun, ai b, cu originea comun, construim pe ei un paralelogram, apoi

  • 17

    CINE

    MAT

    ICA

    diagonala lui, care pornete din originea comun a acestor vectori. Vectorul sum c pornete din aceast origine i are ca extremitate vrful opus al paralelogramului (fi g. 1.19, d). Aceast regul a fost denumit regula paralelogramului.

    Avem dou reguli echivalente de adunare a vectorilor. n cazul folosirii regulii triun-ghiului se construiesc doar dou laturi ale paralelogramului i diagonala lui.

    La adunarea mai multor vectori una dintre regulile expuse mai sus se aplic de mai multe ori, rezultatul fi ind independent de ordinea n care acetia se adun (fi g. 1.20).

    Modulul vectorului sum poate fi determinat att grafic, prin construirea figurii corespunztoare la o scal aleas, ct i analitic. De exemplu, dac vectorii a i bau suport comun i acelai sens (fi g. 1.21, a), atunci modulul sumei este egal cu suma modulelor; dac ns vectorii au suport comun, dar sensuri contrare (fi g. 1.21, b), vectorul sum este orientat n sensul vectorului cu modulul mai mare i are modulul egal cu diferena modulelor vecto-rilor ce se adun; n cazul n care vectorii a i bformeaz ntre ei un unghi drept (fi g. 1.21, c), modulul vectorului sum se determin pe baza teoremei lui Pitagora: c = . n alte cazuri se utilizeaz aparatul matematic adecvat, de exemplu, teorema cosinusului.

    b. Scderea vectorilorConsiderm doi vectori ai b. Diferena lor d = a b poate fi determinat prin cteva

    metode.Observm c a = b+ d, adic vectorul a este vector sum. Construim vectorii ai bcu

    origine comun. Evident, vectorul d este segmentul orientat din extremitatea vectorului bspre extremitatea lui a(fi g. 1.22, a).

    S2

    S1

    S

    Fig. 1.19Fig. 1.18

    Fig. 1.20

    Fig. 1.21

  • 18

    CA

    PIT

    OL

    UL

    I

    Transformm relaia d = a b = a + ( b). Astfel, vectorul diferen dse obine prin adunarea vectorilor ai ( b), ultimul avnd acelai modl i aceeai linie de suport ca i vectorul b, dar sens contrar (fi g. 1.22, b). Din fi gurile de mai jos observai c prin ambele metode se obine unul i acelai rezultat.

    Cunoaterea operaiei de scdere a vectorilor permite s exprimm vectorul deplasare s al mobilului prin vectorii de poziie ri r ai locurilor ocupate de acesta la nceputul i la sfritul intervalului de timp. Din fi gura 1.23 observm c s = r r= r, unde cu r= r rs-a notat variaia vectorului de poziie al mobilului.

    Vectorul deplasare al mobilului ntr-un interval oarecare de timp este egal cu variaia vectorului de poziie al mobilului n acest timp.

    c. Componentele i proieciile unui vectorDin cele expuse mai sus rezult c este relativ

    simplu a determina modulul vectorului sum sau al vectorului diferen a doi vectori dac aceti vectori snt coliniari sau reciproc perpendiculari. Dac ns unghiul dintre vectori este arbitrar i se opereaz cu mai muli vectori, procedura adunrii (scderii) se complic considerabil. Pentru a o simplifi ca, se introduc noiunile de componente i de proiecii ale vectorilor.

    Orice vector situat n planul de coordonate xOy poate fi prezentat ca suma a doi vectori paraleli la axele de coordonate (fi g. 1.24). Aceti vectori se numesc componente ale vectorului. Astfel, compo-nentele unui vector snt tot vectori. Componenta se noteaz ca i vectorul corespunztor, dar cu indice care arat axa creia i este paralel. Astfel, cx este componenta vectorului cparalel la axa Ox, iar cy este componenta aceluiai vector paralel la axa Oy. Conform defi niiei, cx + cy = c.

    Folosind componentele vectorilor, sistemul iniial de vectori orientai arbitrar n plan se nlocuiete cu un sistem de vectori n numr de dou ori mai mare, dintre care o jumtate snt paraleli la axa Ox, iar alt jumtate paraleli la axa Oy. Dup adunarea vectorilor din fi ecare jumtate, se obin doi vectori reciproc perpendiculari. Procedura adunrii vectorilor s-a simplifi cat.

    Fig. 1.22 Fig. 1.23

    Fig. 1.24

  • 19

    CINE

    MAT

    ICA

    Pentru a efectua calculele prin metoda analitic, introducem nc o noiune proiecia vectorului pe o ax, n particular, pe axa de coordonate. Conform defi niiei, proiecia unui vector pe o ax reprezint o mrime scalar algebric egal cu modulul com-ponentei vectorului n direcia acestei axe, luat cu semnul plus dac componenta i axa respectiv au acelai sens sau cu semnul minus n cazul n care sensul componentei este contrar sensului axei.

    Proiecia vectorului a pe axa Ox se noteaz cu ax , proiecia vectorului bpe axa Oy cu by etc. Conform fi gurii 1.24, proieciile vectorilor snt:

    ax=ax, ay= ay, bx= bx, by= by, cx= cx, cy=cy. Exist i o alt defi niie, echivalent, a proieciei vectorului pe o ax. S examinm vec-

    torul adin fi gura 1.25. Coborm perpendiculare din originea i extremitatea lui pe axele de coordonate. Astfel, se obin proieciile punctelor respective pe axe. Proiecia vectorului pe o ax este egal cu diferena dintre coordonatele proieciei extremitii i proieciei vectorului originii. Adic ax = x2 x1 i ay = y2 y1. Observm c ax > 0 i ay < 0, ceea ce rezult i din defi niia precedent.

    Proieciile vectorului se pot calcula ca lungimile catetelor triunghiurilor dreptunghice. Cunoscnd un unghi (fi g. 1.25), pentru proiecii avem ax = a sin i ay = a cos .

    Din aceeai fi gur se obine i relaia dintre modulul vectorului i proieciile lui pe axele de coordonate:

    . (1.6)

    S ilustrm aplicarea noiunii de proiecie a vectorului la calcularea sumei a trei vectori s = a+ b+ c(fi g. 1.26). Din fi gur observm c proiecia vectorului sum pe axa Ox este sx= x4 x1 = (x4 x3 ) + (x3 x2 ) + (x2 x1 ) = cx + bx + ax.

    n mod similar se obine: sy = ay + by + cy.Proiecia vectorului sum a unui sistem de vectori este egal cu suma proieciilor acestor vectori pe axa corespunztoare.innd seama de relaia (1.6), pentru modulul vectorului sum avem

    s = s2x + s2y= (ax+ bx+ cx)2 + (ay+ by+ cy)2. (1.7)n cazul diferenei vectorilor, proieciile respective se iau cu semnul minus.

    Fig. 1.26Fig. 1.25

  • 20

    CA

    PIT

    OL

    UL

    I

    NTREBRI I PROBLEME

    01. Cum se adun doi vectori dup regula triunghiului? Dar dup regula paralelogramului?02. Ce reprezint componentele unui vector?03. Cum se determin proiecia unui vector pe o ax?04. Cu ce este egal proiecia pe o ax a vectorului perpendicular pe ea? 05. Suma a cror doi vectori este egal cu zero?06. n ce caz modulul sumei a doi vectori este egal cu diferena modulelor vectorilor ce se adun?07. Modulul vectorului sum a doi vectori de module identice este egal cu modulul unuia dintre

    ei. Care este unghiul dintre vectorii ce se adun?08. Trei vectori de module egale, situai n acelai plan, formeaz ntre ei unghiuri de 120o. Care

    este modulul sumei acestor vectori?

    09. Proieciile vectorului a pe axele de coordonate snt ax=2 uniti i ay = 2uniti. Determinai modulul acestui vector i unghiurile formate de el cu axele de coordonate.

    10. Vectorul a are proieciile pe axele de coordonate ax = 6 uniti i ay = 4 uniti, iar vectorul

    b proieciile egale cu bx=2uniti i by = 2 uniti . Determinai modulul vectorului sum s = a + b i modulul vectorului diferen d = a b.

    11. Un punct material s-a deplasat din poziia M1 determinat de coordonatele x1 = 6 m, y1 = 2 m n poziia M2 cu coordonatele x2 = 2 m, y2 = 1 m. Alegei un sistem plan de coordonate Oxy i scala respectiv pentru lungime. Indicai poziiile M1 i M2, trasai vectorii respectivi de poziie r1 i r2 , precum i vectorul deplasare s = r2 r1. Determinai, n baza fi gurii obinute, modulul vectorului deplasare. Verifi cai rezultatul prin calculele respective.

    1.5 MICAREA RECTILINIE UNIFORM. VITEZA

    Micarea rectilinie a punctului material care parcurge deplasri egale n intervale de timp egale se numete micare rectilinie uniform.Fie s1 , s

    2 , s

    3 , snt deplasrile mobilului n intervalele de timp t1 , t2 , t3 ,

    corespunztoare. n conformitate cu defi niia de mai sus, s1 = s2 = s3 =, pentru orice intervale t1 = t2 = t3 = . Dac unul dintre aceste intervale este divizat n dou pri egale, atunci i deplasarea ce corespunde unei jumti de interval va fi egal cu o jumtate din deplasarea efectuat n intervalul ntreg de timp. Aceast afi rmaie rmne just i n cazul divizrii intervalului de timp n mai multe pri egale.

    Egalitatea vectorilor deplasare ai punctului material este posibil numai dac acetia snt orientai de-a lungul aceleiai drepte. Astfel, conchidem c n condiiile prevzute de defi niia de mai sus traiectoria mobilului constituie o linie dreapt, adic micarea este rectilinie, iar din egalitatea deplasrilor i, respectiv, a intervalelor de timp rezult egali-tatea rapoartelor:

    = = ... = = ... = const.

    Deci n micarea rectilinie uniform raportul dintre deplasarea punctului material i intervalul de timp corespunztor este o mrime constant.

  • 21

    CINE

    MAT

    ICA

    Vitez a mobilului n micarea rectilinie uniform este numit raportul dintre depla-sarea mobilului i intervalul de timp respectiv:

    = = const. (1.8)Intervalul de timp t > 0; prin urmare, viteza are aceeai direcie i sens ca i vectorul

    deplasare. Putem formula o alt defi niie pentru aceeai micare:Micarea mobilului cu vitez constant este o micare rectilinie uniform.S-a convenit a nota unitile mrimilor fi zice cu simbolurile respective luate n paran-

    teze ptrate. De exemplu, unitatea deplasrii [s ] = m, a intervalului de timp [t] = s. La stabilirea unitii de vitez n SI, obinem

    [ v ]= . Unitatea de vitez este o unitate derivat, deoarece se exprim prin unitile fundamentale.

    Pentru a descrie mai simplu micarea mobi-lului de-a lungul traiectoriei sale rectilinii, este convenabil s lum o ax de coordonate, Ox, de-a lungul traiectoriei (fig. 1.27). Indicm pe ax poziia iniial a mobilului M0 (la momentult0 = 0) i poziia fi nal M

    (la momentul t). Deplasarea mobilului n intervalul t = t 0 = t este egal cu vectorul = s , iar viteza lui v

    = . De aici exprimm deplasarea mobilului n intervalul t = t:

    s = t. (1.9)Legea micrii rectilinii uniforme este urmtoarea: Deplasarea mobilului ce se mic rectiliniu uniform este direct proporional cu durata micrii.n proiecii pe axa Ox avem

    sx = xt. (1.10)Din fi gura 1.27 observm c proiecia deplasrii sx = x x0, deci x x0 = vxt. Astfel, co-

    ordonata mobilului ce se mic rectiliniu uniform este dat de expresia x = x0+ x t, (1.11)

    care constituie ecuaia cinematic a micrii rectilinii uniforme.Din (1.11) observm c pentru vx > 0, cnd viteza este

    orientat n sensul pozitiv al axei Ox, coordonata x crete cu timpul, iar pentru vx < 0 ea descrete.

    Ecuaia micrii (1.11) permite a determina coordonata mobilului la orice moment de timp, adic descrie micarea dat.

    Construim grafi cele pentru proieciile vitezei i pentru coordonata mobilului n micarea rectilinie uniform.

    Proiecia vitezei rmne constant n timp, grafi cul ei este o dreapt paralel la axa timpului (fi g.1.28). Dreapta 2

    Fig. 1.27

    2

    3

    1

    Fig. 1.28

  • 22

    CA

    PIT

    OL

    UL

    I

    corespunde micrii cu o vitez v2x mai mare dect viteza v1x , iar dreapta 3 corespunde micrii n sensul negativ al axei Ox (proiecia v3x < 0).

    Cunoaterea grafi cului pentru proiecia vitezei mobilu-lui permite calcularea proieciei deplasrii lui. Din grafi cul reprezentat n fi gura 1.29 i lund n considerare formula (1.10), constatm c proiecia deplasrii s1x = v1x . t1 este numeric egal cu aria dreptunghiului haurat dintre grafi c i axa timpului. Dac proiecia vitezei v2x < 0, atunci i proiecia deplasrii este negativ.

    Se tie c laturile fi gurilor se exprim n metri (m), iar ariile lor n metri ptrai (m2). Dreptunghiul de sub grafi cul proieciei vitezei are o latur (pe axa absciselor) care se exprim n s, a doua n m/s, iar aria lui se exprim n metri. Analogia cu geometria nu este complet, de aceea se menioneaz c egalitatea proieciei deplasrii cu aria de sub grafi c reprezint doar o egalitate numeric, unitatea de msur fi ind diferit de unitatea de msur a ariei (m2).

    n conformitate cu ecuaia micrii (1.11), la momentul iniial (t0 = 0) coordonata mobilului este egal cu x0, apoi crete liniar pentru vx > 0 (grafi cul 1 din fi g. 1.30). Grafi cul 2 corespunde micrii cu o vitez mai mare, ambele mobile pornind din aceeai poziie. Grafi cul 3, paralel cu grafi cul 1, corespunde micrii ce are ca poziie iniial originea coor-donatelor i viteza v3x = v1x . Grafi cul 4 corespunde micrii mobilului care ncepe din poziia cu coordonata x0 i are proiecia vitezei v4x < 0, adic mobilul se mic n sensul negativ al axei Ox.

    Distana parcurs de punctul material n micarea rectilinie uniform este egal cu modulul deplasrii, deoarece sensul micrii rmne permanent acelai. Avem l = |sx| = |vx|t.

    Dac cunoaterea grafi cului proieciei vitezei permite de-terminarea deplasrii, deci i a coordonatei, atunci cunoaterea grafi cului coordonatei permite calcularea proieciei vitezei. n acest scop, determinm din grafi c variaia coordonatei (egal cu proiecia deplasrii) ntr-un interval oarecare de timp t (fi g. 1.31), apoi calculm:

    x = . (1.12)Din aceeai fi gur observm c aceast mrime este raportul catetei opuse la cateta

    alturat unghiului , adic un raport asemntor celui care defi nete tangenta unghiului. Aceasta ns este o mrime adimensional, n timp ce raportul catetelor triunghiului din fi gura 1.31 reprezint o mrime dimensional i se msoar n uniti de vitez (m/s). De aceea trebuie s fi m ateni la utilizarea n asemenea cazuri a noiunii de tangent, subliniind c egalitatea mrimilor n cauz este doar numeric.

    Fig. 1.29

    Fig. 1.30

    Fig. 1.31

  • 23

    CINE

    MAT

    ICA

    PROBLEM REZOLVAT

    n fi gura 1.32 snt reprezentate grafi cele micrii pentru dou mo-bile. Utiliznd grafi cele:

    a) determinai intervalele de timp i distanele parcurse de mobile pn la ntlnirea lor;

    b) determinai vitezele mobilelor;c) scriei ecuaiile micrii mobilelor;d) determinai distana dintre mobile la t = 4 s dup ntlnire.

    REZOLVARE a) Punctul de intersecie al grafi celor corespunde ntlnirii mobilelor,

    adic aceasta are loc la momentul de timp tnt = 6 s n punctul cu coordonata xnt = 8 m. Mobilul 1 ncepe micarea sa din punctul cu coordonata x01= 5 m la momentul t01= 0, deci pn la ntlnire parcurge distana l1= xnt x01= 3 m n timpul t1 = tnt t01 = 6 s. Mobilul 2 ncepe s se deplaseze la momentul t02 = 2 s din origine: x02 = 0. Pn la ntlnire el parcurge distana l2 = xnt x02 = 8 m n timpul t2 = tnt t02 = 4 s.

    b) Vitezele ambelor mobile snt orientate n sensul pozitiv al axei Ox: v1 = = 0,5 m/s i v2 = = 2 m/s.

    c) Ecuaia micrii mobilului 1 se obine din expresia general x = x0 + vxt, n care se sub-stituie valorile obinute mai sus: x1 = x01+ v1t = 5 + 0,5t. Cel de-al doilea mobil ncepe s se deplaseze din origine (x02 = 0) cu t02 = 2 s mai trziu dect primul, ecuaia micrii lui fiind x2 = v2 (t t02) = 2(t 2). n aceast expresie se pot substitui doar valorile t >_ 2 s.

    d) Distana dintre mobile d = |x1 x2| = |5 + 0,5 t 2 (t 2)| = |9 1,5 t|. Intervalul de timp t = 4 s dup ntlnire corespunde momentului de timp t1 = tnt + t = 10 s. Distana d la acest moment: d = 6 m.

    NTREBRI I PROBLEME

    1. Care micare a mobilului este numit rectilinie uniform?2. Ce se numete vitez a mobilului n micare rectilinie uniform?3. Cum se defi nete micarea rectilinie uniform prin noiunea de vitez?4. Cum poate fi determinat proiecia deplasrii mobilului n micare rectilinie uniform cnd

    este cunoscut grafi cul vitezei?5. Ce indic vitezometrul automobilului: proiecia vitezei sau modulul ei?6. Un automobil care se mic rectiliniu uniform cu viteza v1 = 54 km/h a parcurs n t1 = 10 s o

    distan egal cu cea parcurs de un motociclist n t2 = 12 s. Care este viteza motociclistului, considernd micarea lui, de asemenea, rectilinie uniform?

    7. Un tren cu lungimea l = 160 m traverseaz un ru pe un pod cu lungimea L = 290 m. Ct timp dureaz micarea trenului pe pod cu viteza constant v = 18 km/h?

    8. Un mobil se mic rectiliniu uniform. La momentul t1 = 2 s coordonata lui x1 = 5 m, iar la momentul t2 = 4 s coordonata devine egal cu x2 = 2 m. Scriei ecuaia micrii mobilului.

    9. Dou mobile se mic de-a lungul axei de coordonate Ox conform ecuaiilor x1 = 3 + 2t i x2 = 17 3 t, n care timpul t este exprimat n s , iar coordonata x n m. Construii grafi cele pentru coordonatele i proieciile vitezelor mobilelor; determinai momentul ntlnirii lor i distanele parcurse de ele pn la ntlnire.

    Fig. 1.32

  • 24

    CA

    PIT

    OL

    UL

    I

    1.6 CINEMATICA MICRII RELATIVEMai sus (par. 1.2, a) s-a menionat c micarea este relativ, adic poate fi descris simul-

    tan fa de mai multe sisteme de referin. n acest caz este important s stabilim ce relaii exist ntre caracteristicile micrii unuia i aceluiai corp n sisteme de referin diferite.

    De exemplu, un elev se deplaseaz cu autobuzul. Admitem c el s-a aezat pe un scaun (fi g. 1.33, a). Fa de autobuz elevul se afl n repaus, dar fa de staia de autobuze (de Pmnt) el se mic mpreun cu autobuzul. Astfel, acest elev fa de un referenial se afl n repaus, iar fa de altul se mic. De aceea se spune c starea de repaus este relativ i depinde de alegerea referenialului. Deplasarea elevului fa de referenialul legat de autobuz (referenialul mobil) este nul s1 = 0, iar deplasarea sa s

    fa de referenialul legat de Pmnt (referenial considerat convenional fi x) devine egal cu deplasarea s2 a autobuzului, adic

    s = s2 pentru s1 = 0. (1.13)O alt situaie: elevul intr n autobuz prin ua din spate i trece pn la ua din fa

    n timp ce autobuzul se mic. Dup cum se observ din fi gura 1.33, b, deplasarea s a elevului fa de Pmnt este egal cu deplasarea sa s1 fa de autobuz plus deplasarea s2 a acestuia:

    s = s1 + s2 . (1.14)Deplasrile elevului n raport cu cele dou

    refereniale snt diferite, deci ele snt relative, adic dependente de referenialul ales.

    Dac ns elevul intr n autobuz prin ua din fa i se deplaseaz spre partea din spate a lui, relativitatea micrii este i mai evident: n raport cu autobuzul elevul se deplaseaz ntr-un sens (n sensul deplasrii sale s1 ), iar n raport cu Pmntul n sens contrar (i cu spatele nainte!). Din fi gura 1.33, c observm c i n acest caz deplasrile corpurilor satisfac relaia (1.14).

    Corpurile din exemplele de mai sus se micau n aceeai direcie. S examinm acum un caz cnd ele se mic n direcii diferite: pe suprafaa apei unui ru se deplaseaz simultan, pornind din acelai loc, o plut i o luntre cu vsle, aceasta innd cursul su perpendicular pe direcia curentului de ap (fi g. 1.34). Pluta i luntrea snt antrenate n micare de curentul de ap la fel, rmnnd permanent pe o direcie perpendicular fa de curentul de ap. n timpul n care luntrea ajunge la malul opus al rului, aceasta, ca i pluta, s-a deplasat n direcia curentului de ap cu s2 . Deplasarea luntrii n raport cu pluta, deci i n raport cu curentul de ap, este egal cu s1 . Din fi gur observm c deplasarea s a luntrii n raport cu malul satisface relaia s = s1 + s2 , obinndu-se din nou relaia (1.14).

    Fig. 1.33

    Fig. 1.34

    S2S1

    S

  • 25

    CINE

    MAT

    ICA

    Micarea corpului fa de sistemul mobil i caracteristicile acesteia snt numite rela-tive: deplasare relativ, vitez relativ. Micarea corpului i caracteristicile ei n raport cu sistemul de referin considerat fi x snt numite absolute: deplasare absolut, vitez absolut. Micarea corpului cauzat numai de micarea sistemului mobil este numit micare de transport i, respectiv, caracteristicile ei: deplasare de transport, vitez de transport. Din aceste defi niii reiese c pentru a evidenia micarea de transport i a determina carac-

    teristicile ei, este necesar s ne imaginm corpul n repaus fa de referenialul mobil.n aceti termeni relaia (1.14) se enun astfel:Deplasarea absolut a corpului este egal cu suma deplasrii relative i a celei de transport.Aceasta este legea compunerii deplasrilor.La prima vedere, relaia (1.14) este identic cu relaia (1.5). n ambele cazuri se adun

    vectorii deplasare. Dar n relaia (1.5) se adun vectorii deplasare ai corpului pentru in-tervale succesive de timp t1 i t2, obinndu-se deplasarea corpului n ntreg intervalul de timp ( t = t1 + t2). n relaia (1.14) ns fi gureaz deplasri ale corpului n unul i acelai interval de timp, dar fa de refereniale diferite, i deplasarea corpului condiionat de micarea referenialului mobil.

    Considerm c micarea relativ a corpului i cea a referenialului mobil snt rectilinii i uniforme. Atunci i micarea n raport cu referenialul fi x este rectilinie i uniform.

    Notm cu t durata micrii (timpul este absolut, deci durata t este aceeai n ambele sisteme de referin). mprind termenii relaiei (1.14) la t, obinem

    . (1.15)

    Mrimea v = constituie viteza absolut (n raport cu referenialul fi x), v1 = este viteza relativ (n raport cu referenialul mobil) i v2 = viteza de transport, adic viteza pe care o are corpul datorit micrii referenialului mobil.

    Relaia (1.15) ia forma = 1 + 2 . (1.16)

    Viteza absolut a mobilului este egal cu suma vitezei relative i a celei de transport.Aceasta este legea compunerii vitezelor.Astfel, nu numai deplasarea mobilului, ci i viteza lui este o caracteristic relativ,

    dependent de sistemul de referin ales.Legea exprimat de relaia (1.16) este cunoscut, de asemenea, ca legea compunerii

    vitezelor n mecanica clasic. Ulterior vei afl a c ea rmne valabil la viteze mult mai mici dect viteza luminii n vid c i c la viteze comparabile cu c este nlocuit cu o lege general de compunere a vitezelor, care la viteze mici n comparaie cu c trece n legea (1.16).

    PROBLEM REZOLVATUn sportiv traverseaz un ru cu limea L n direcie perpendicular pe mal. El ajunge n punctul B de pe malul opus, situat vizavi de locul de plecare, apoi se rentoarce la acesta. A doua oar sportivul noat n sens opus curentului de ap (n amonte) la o distan egal, de asemenea,

  • 26

    CA

    PIT

    OL

    UL

    I

    cu L, dup care se ntoarce la locul iniial. n ce caz sportivul a consumat un timp mai mare i de cte ori? Viteza sportivului n ap stttoare v1 = 0,90 m/s, viteza de curgere a apei din ru v2 = 0,54 m/s.

    REZOLVARE Reprezentm n fi gura 1.35 poziia iniial A, poziia B de pe malul opus al rului i poziia C n amonte. Distanele AB = AC = L. La traversarea rului din A n B i napoi, viteza v1 a sportivului n raport cu apa trebuie s fi e orientat sub un anumit unghi fa de aceast direcie, astfel nct viteza v a lui fa de mal s fi e perpendicular pe acesta. Din fi gur observm c v = . Deci timpul deplasrii din A n B

    i napoi este egal cu t1 = . Viteza sportivului fa de mal la deplasarea lui din A n C este egal cu (v1 v2), iar la deplasarea din C n A cu (vv1 + vv2). Timpul total n acest caz: t2 = . Calculm

    raportul timpilor: = 0,8, de unde

    obinem t2 = 1,25 t1.Astfel, n cel de-al doilea caz sportivul are nevoie de un interval de timp de 1,25 ori mai mare dect n primul caz.

    NTREBRI I PROBLEME

    1. Cnd caracteristicile micrii snt numite absolute? Dar de transport?2. Cum se formuleaz legea compunerii vitezelor?3. Cum se explic faptul c n majoritatea cazurilor sateliii snt lansai dinspre vest spre est (vezi

    fi g. 1.5)?4. Viteza unui biciclist v1 = 12 m/s, iar viteza vntului ce-i sufl n fa este v2 = 4 m/s, ambele

    viteze fi ind considerate n raport cu pmntul. Determinai viteza vntului n raport cu biciclistul.5. Viteza de curgere a apei din ru v1 = 1,2 m/s. O luntre cu motor se deplaseaz n amonte (n

    sens contrar curentului de ap) cu viteza v2 = 3 m/s fa de mal. Cu ce vitez se mic luntrea n aval (n sensul curgerii apei)? Regimul de funcionare a motorului luntrii n ambele cazuri este acelai.

    6. Pe dou linii paralele de cale ferat se deplaseaz n acelai sens dou trenuri: un marfar cu lungimea L = 640 m, cu viteza v1 = 36 km/h i un tren de pasageri cu viteza v2 = 64,8 km/h. Determinai intervalul de timp n care pasagerul vede marfarul atunci cnd acesta este depit de trenul de pasageri.

    7. O scar rulant urc o persoan afl at n repaus n timpul t1 = 1 min. Pe scara imobil persoana urc n t2 = 3 min. n ct timp ea va urca micndu-se pe scara cu trepte mobile?

    8. Un sportiv trece not un ru n direcie perpendicular pe mal cu viteza v = 0,5 m/s fa de acesta. Determinai viteza de curgere a apei din ru dac se tie c ea este de ori mai mic dect viteza sportivului n raport cu apa.

    9. O luntre traverseaz un ru cu limea L = 60 m , viteza ei fa de ap fi ind perpendicular pe direcia curentului de ap. tiind c viteza luntrii n ap stttoare este egal cu v1 = 3 m/s, iar viteza curentului de ap cu v2 = 1 m/s, s se determine:a) viteza luntrii fa de mal;b) distana cu care a fost deplasat luntrea de curentul de ap;c) modulul deplasrii luntrii fa de malul rului.

    Se d: v1 = 0,90 m/s,v2 = 0,54 m/s

    ?

    Fig. 1.35

  • 27

    CINE

    MAT

    ICA

    1.7 MICAREA RECTILINIE UNIFORM VARIAT. ACCELERAIA

    a. Micarea rectilinie neuniform. Viteza medie. Viteza momentan n viaa cotidian ntlnim rar corpuri ce se mic rectiliniu uniform. n majoritatea cazurilor

    ele efectueaz deplasri diferite n intervale de timp egale, adic micrile lor snt neuniforme. De exemplu, autobuzul care pornete din staie efectueaz n prima secund o deplasare mai mic dect n secunda a doua, iar n a doua o deplasare mai mic dect n a treia. Un auto-mobil care frneaz efectueaz n ultima secund o deplasare mai mic dect n penultima etc.

    Pentru a caracteriza micarea rectilinie neuniform a mobilului i pentru a compara micrile neuniforme ale diferitor mobile, se introduce noiunea de vitez medie. Admitem c deplasarea mobilului ntr-un interval de timp t = t2 t1 este egal cu s.

    Mrimea fi zic egal cu raportul dintre deplasare i intervalul de timp corespunztor se numete vitez medie a corpului n acest interval de timp.

    vmed = . (1.17)Vectorul vitez medie are direcie i sens comune cu deplasarea corpului, adic este

    orientat de-a lungul dreptei ce prezint traiectoria sa.Viteza medie caracterizeaz micarea mobilului n ntreg intervalul de timp (t2t1).

    Cunoaterea ei nu permite determinarea deplasrii mobilului ntr-o anumit poriune a acestui interval, de exemplu, n prima treime a lui. Mrimea care permite o descriere mai detaliat a micrii neuniforme este viteza mobilului la un moment dat, numit vitez momentan sau instantanee.

    Considerm un exemplu concret: un motociclist se deplaseaz pe o poriune rectilinie de osea. Se cere s se determine viteza instantanee a lui la momentul trecerii pe lng borna kilometric, mai exact a unui punct, de exemplu, al axului roii din fa, la momentul cnd trece prin planul din fa P al bornei (fi g. 1.36).

    Admitem c n intervalul de timp t1 motociclistul a ajuns din poziia A1 n B1 efectund deplasarea s1. Viteza medie a lui n acest interval vmed 1= . Lum un interval mai mic t2, deplasarea mobilului este mai mic i egal cu s2 , iar viteza medie n acest interval: vmed 2= .vmed 2 difer de viteza vmed 1. Unor intervale de timp din ce n ce mai mici t3>t4>t5 le corespund deplasri din ce n ce mai mici s3, s

    4, s

    5... i viteze medii:

    vmed 3= , vmed 4= , vmed 5= s

    5

    t5 ... .

    Calculnd viteza medie la intervale tot mai mici, vom obine valoarea vitezei momentane.

    Notnd cu s o deplasare destul de mic a mobi-lului i cu t intervalul de timp corespunztor, afl m viteza momentan a mobilului:

    = . (1.18)Cu ct intervalul de timp t este mai mic, cu att acesta se apropie tot mai mult de un

    moment de timp, iar viteza medie pe acest interval se apropie de viteza momentan.

    S2S4

    S1

    S5S3

    Fig. 1.36

  • 28

    CA

    PIT

    OL

    UL

    I

    n cazul micrii rectilinii neuniforme, viteza momentan, care ulterior va fi numit vitez, ia valori diferite pentru momente de timp diferite, adic este o funcie de timp:

    = (t). (1.19)

    Ea crete n modl atunci cnd mobilul ncepe micarea sa i scade cnd acesta frneaz.n situaia unei traiectorii arbitrare a micrii mobilului (fi g. 1.23), viteza lui momentan

    reprezint raportul dintre variaia n timp r a vectorului de poziie i intervalul respectiv de timp t, adic v = (se consider c intervalul de timp tinde ctre zero).

    Observaie. n cazul n care mobilul se mic n unul i acelai sens, modulul deplasrii lui este egal cu distana parcurs s = l , astfel pentru modulul vitezei medii avem

    med = . (1.20)Dac ns mobilul se mic ntr-un sens, apoi n sens contrar, atunci modulul deplasrii

    devine mai mic dect distana parcurs. Dac mobilul se ntoarce n poziia iniial, modulul deplasrii devine nul, deci viteza medie calculat dup formula (1.17) este egal cu zero, de parc mobilul nu s-ar fi micat pe parcursul acestui interval de timp.

    De aceea, atunci cnd mobilul i schimb sensul micrii, ca n cazul micrii pe traiec-torii curbilinii, este mai efi cient a utiliza viteza medie de distan. Ea este o mrime scalar egal cu raportul dintre lungimea distanei parcurse i intervalul de timp corespunztor. Expresia respectiv coincide cu relaia (1.20). Cnd se afi rm c un autobuz a parcurs traseul ChiinuOrhei cu viteza de 45 km/h, se constat c acesta a parcurs lungimea de 45 km a oselei (traiectoriei) de la Chiinu pn la Orhei n timp de o or.

    b. Micarea rectilinie uniform variat. AcceleraiaCorpul ce se mic rectiliniu uniform are vitez constant, aceasta fi ind cea mai simpl

    form de micare. Exist ns o micare rectilinie a corpului, n care viteza lui variaz ntr-un anumit mod.

    Micarea rectilinie a corpului este uniform variat, dac n orice intervale egale de timp variaia vitezei lui momentane este una i aceeai.Conform defi niiei, variaiile vitezei corpului v1, v2, v3, ... n intervalele de timp egale

    t1 = t2 = t3 = ... satisfac condiia v1 = v2 = v3 = ... . De asemenea, dac divizm unul dintre intervalele ti n mai multe intervale mai mici egale, atunci fi ecrui interval mai mic i corespunde o variaie a vitezei tot de attea ori mai mic fa de variaia vitezei n intervalul ti.

    Din cele expuse mai sus rezult egalitatea raporturilor ... = const.Acest raport, constant pentru micarea dat, este numit acceleraie (n latin acceleratio

    a grbi):a= . (1.21)

    Unitatea pentru acceleraie n SI este [a] = = = .Acceleraia este mrimea fi zic ce caracterizeaz rapiditatea variaiei vitezei mobi-lului. Acceleraia mobilului n micare rectilinie uniform variat este o mrime constant: a= const.

  • 29

    CINE

    MAT

    ICA

    Viteza mobilului n micarea rectilinie uniform rmne constant, deci variaia ei, ca i acceleraia mo-bilului, este nul. Astfel, micarea rectilinie uniform este micarea cu acceleraie nul. Considerm micarea rectilinie uniform variat a unui mobil. Orientm axa de coordonate Ox n direcia micrii (fi g. 1.37). Admitem c la momentul iniial t0 = 0 mobilul ocupa poziia M0 cu coordonata x0 i avea viteza iniial v 0, iar la momentul t ocup poziia M cu coordonata x i are viteza v. Deci n intervalul de timp t = t t0 = t, viteza mobilului s-a modifi cat cu v = v v0. Acceleraia lui este

    a= = , (1.22)de unde exprimm viteza mobilului la momentul t:

    = 0 + at. (1.23)Pentru proiecia vitezei pe axa Ox (fi g. 1.37) avem

    x = 0x+ axt. (1.24)Aceasta este ecuaia vitezei n micarea rectilinie uniform variat.Din aceste relaii observm c viteza mobilului n micare rectilinie uniform variat este o

    funcie liniar de timp. n cazul n care proieciile vitezei v0x i ale acceleraiei ax au acelai semn, proiecia vx crete n modl cu timpul, dac ns ele au semne opuse, proiecia vx descrete. n primul caz micarea este numit accelerat, n cazul al doilea ncetinit.

    c. Grafi cele proieciilor acceleraiei i vitezeiProiecia acceleraiei mobilului n micare rectilinie uni-

    form variat este constant ax = const. Grafi cul ei reprezint o dreapt paralel cu axa timpului (fi g. 1.38). Din fi gur observm c grafi cul 2 corespunde micrii cu o acceleraie mai mare dect cea din micarea reprezentat de grafi cul 1: a2x > a1x. Grafi cul 3 corespunde micrii uniform variate cu proiecia negativ a acceleraiei (a3x < 0), adic orientate n sens contrar sensului pozitiv al axei Ox.

    Grafi cul proieciei vitezei vx ca funcie liniar de timp (1.24) este o linie dreapt. n fi gura 1.39 snt reprezentate diferite grafi ce posibile. Grafi cul 1 reprezint micarea rectilinie uniform variat cu viteza iniial v0x i acceleraia a1x, am-bele proiecii fi ind pozitive, adic vectorii corespunztori snt orientai n sensul pozitiv al axei Ox. Grafi cul 2 red micarea cu aceeai vitez iniial ca n micarea 1, dar cu acceleraie mai mare: a2x > a1x, deoarece viteza crete mai repede. Grafi cul 3, paralel cu grafi cul 1, reprezint o micare cu viteza iniial nul i acceleraia a3x = a1x. Viteza corpului n micrile reprezentate de grafi cele 1, 2 i 3 crete cu timpul, adic micrile snt uniform accelerate.

    Grafi cul 4 red o micare uniform variat cu proiecia vitezei iniiale v0x > 0 i cea a acceleraiei a4x < 0. Cu timpul

    2

    3

    1

    Fig. 1.38

    Fig. 1.37

    Fig. 1.39

    2

    3

    4

    1

    5

  • 30

    CA

    PIT

    OL

    UL

    I

    viteza mobilului se micoreaz, deci micarea lui este uniform ncetinit. La momentul t4, care corespunde punctului de intersecie a grafi cului 4 cu axa timpului, viteza mobilului a devenit nul, deci el s-a oprit. Dup aceasta (la t > t4), proiecia vitezei a devenit negativ, corpul se mic n sens contrar micrii iniiale cu vitez crescnd n modl. Astfel, micarea descris de grafi cul 4 este iniial uniform ncetinit, pn la momentul t4, cnd trece n micare uniform accelerat.

    Grafi cul 5 corespunde micrii uniform ncetinite n sensul negativ al axei Ox pn la momentul t5, n care viteza mobilului devine nul, dup ce micarea lui devine uniform accelerat n sensul pozitiv al axei Ox.

    Punctele de intersecie a grafi celor vitezelor pentru diferite mobile corespund momentelor de timp la care mobilele au viteze egale. De exemplu, mobilele 3 i 5 au viteze egale la momentul t3, 5.

    Cunoscnd grafi cul proieciei vitezei, se poate determina proiecia acceleraiei mobilului (fi g. 1.40). Considerm un interval de timp t i determinm din grafi c variaia vx a proieciei vitezei n acest interval. Pentru proiecia acceleraiei avem ax= .

    Procedeul determinrii proieciei acceleraiei pe baza grafi cului vitezei mobilului n micare uniform accelerat este asemntor cu cel al determinrii proieciei vitezei mobilului n micare uniform conform grafi cului pentru coordonata lui.

    d. Legea micrii uniform variate a mobiluluiPentru a deduce expresia coordonatei mobilului n

    micare uniform variat, s examinm graficul pentru proiecia vitezei (fig. 1.41), amintindu-ne c proiecia deplasrii mobilului n aceast micare este numeric egal cu aria dreptunghiului format de grafi cul proieciei vitezei, axa timpului i ordonatele ce corespund nceputului i sfritului intervalului de timp corespunztor (vezi fi g. 1.29).

    Spre deosebire de micarea rectilinie uniform, cnd proiecia vitezei rmne constant, n micarea uniform accelerat proiecia vitezei mobi-lului variaz pe parcursul intervalului 0 t de la valoarea v0x pn la valoarea vx = v0x+ axt.

    Pentru a calcula proiecia deplasrii n acest caz, mprim imaginar intervalul de timp ntr-un numr mare de poriuni (intervale) mici t1, t2 ti , ..., tj . Deplasarea mo-bilului n ntreg intervalul de timp se egaleaz cu suma deplasrilor lui n toate poriunile mici n care a fost mprit acest interval (micarea este rectilinie n unul i acelai sens!). La calcularea proieciei deplasrii mobilului pe parcursul unui interval destul de mic de timp ti inem seama de faptul c n acest interval variaia vitezei este mult mai mic dect valoa-rea ei, ceea ce se vede i din fi gura 1.41. Dac neglijm aceast variaie a proieciei vitezei, atunci micarea mobilului pe parcursul intervalului ti poate fi considerat uniform cu viteza vix. Prin urmare, proiecia deplasrii respective, six, este numeric egal cu aria de sub grafi c cu aria fiei haurate de lime ti i nlime vix. Proiecia deplasrii mobilului ntr-un alt interval mic tj este numeric egal cu aria fiei respective, de alt lime tj i de alt nlime vjx.

    Fig. 1.40

    Fig. 1.41

  • 31

    CINE

    MAT

    ICA

    nsumarea proieciilor deplasrilor n toate intervalele mici de timp se reduce la adunarea ariilor tuturor fiilor, obinndu-se, astfel, aria fi gurii de sub grafi c. Figura respectiv este un trapez cu bazele egale cu v0x i (v0x + axt) i nlimea egal cu t. Pentru proiecia deplasrii obinem

    sx= . t = v0xt+ .Aceasta este legea micrii rectilinii uniform variate.innd seama de faptul c proiecia deplasrii sx = x x0 (fi g. 1.37), pentru coordonata

    mobilului avemx = x0 + 0x t + . (1.25)

    Aceasta este ecuaia micrii rectilinii uniform variate. n funcie de semnele proieciilor v0x i ax coordonata x i proiecia vitezei vx se pot mri sau micora.

    e. Formula lui GalileiRezumnd rezultatele privitor la micarea rectilinie uniform variat, pentru proiecia

    deplasrii i a vitezei mobilului n aceast micare avem relaiile

    (1.26)

    Ecuaiile de mai sus conin cinci mrimi: sx, vx, v0x, ax i t, permind a determina dou dintre aceste mrimi cnd snt cunoscute celelalte trei. n acest mod se rezolv toate pro-blemele ce se refer la forma dat de micare.

    n unele probleme timpul t nu este cunoscut i nici nu se cere determinarea lui. n astfel de cazuri este util folosirea unei relaii ce se obine din cele dou relaii (1.26) dup excluderea din ele a timpului t. Exprimm din cea de-a doua formul timpul t = i l substituim n prima formul din (1.26):

    sx = vox sau

    2x 20x = 2axsx. (1.27)

    Relaia respectiv este cunoscut ca formula lui Galilei. Ea nu conine timpul i permite a determina una dintre mrimi cnd snt cunoscute celelalte trei.

    Galileo GALILEI (15641642), fi zician i astronom italian

    A descoperit principiul ineriei, a stabilit caracterul relativ al micrii mecanice, a formulat principiul clasic al relativitii i legea compunerii vitezelor. A stabilit legitile cderii libere, ale micrii corpului pe planul nclinat i ale oscilaiilor pendulului.

    Cu ajutorul unei lunete confecionate de el, a descoperit munii pe Lun, patru satelii ai planetei Jupiter; a stabilit natura stelar a Cii-Lactee. A construit un telescop care i-a permis s descopere fazele planetei Venus, petele pe Soare.

    Galilei a fost adept al sistemului heliocentric al lui Copernic, pentru aceasta fi ind persecutat de inchiziie.

  • 32

    CA

    PIT

    OL

    UL

    I

    f .o Raportul distanelor parcurse de mobil n intervale de timp egaleS analizm o proprietate deosebit a micrii uniform accelerate cu vitez iniial nul

    (v0x= 0). Presupunem c axa Ox este orientat n sensul vitezei, care n cazul de fa nu se modifi c. Prin urmare, distana parcurs este egal cu proiecia deplasrii: l = sx= .

    Considerm intervale de timp, egale fi ecare cu , care se succed. Distana parcurs de corp n primul interval este l1= .

    Distana parcurs n cel de-al doilea interval este egal cu distana parcurs n intervalul (2) de la nceputul micrii minus cea parcurs n primul interval , adic

    l2 = .Distana parcurs n cel de-al treilea interval succesiv de timp egal cu coincide cu

    distana parcurs n timpul (3) minus cea parcurs n timpul (2):

    l3 = .

    n mod analog, obinem l4 = 7 , l5 = 9 .Din aceste expresii rezult legitatea

    l1 : l2 : l3 : l4 : = 1: 3: 5: 7: . (1.28)

    n micarea rectilinie uniform accelerat cu vitez iniial nul, distanele parcurse de mobil n intervale succesive de timp egale se raport ca numerele impare succesive.Acest raport al distanelor poate fi utilizat la cercetarea micrii uniform accelerate, n

    particular, folosind cronofotografi erea. Pe aceeai fotografi e se obin imagini ale corpului dup intervale de timp egale. Practic ea se realizeaz prin fotografi erea n ntuneric a corpului ce se mic. Obiectivul aparatului de fotografi at rmne deschis, iar corpul este iluminat cu impul-suri de lumin de scurt durat, care snt orientate asupra lui dup intervale de timp egale.

    g. Micarea corpului pe verticalUn exemplu de micare rectilinie uniform variat este micarea

    corpului pe vertical la nlimi mult mai mici dect raza Pmntului. Micarea pe vertical este micarea corpului liber lansat vertical n sus, micarea unui corp n cdere liber (cu sau fr vitez iniial, orientat vertical n jos ori n sus).

    Primul care a cercetat cderea liber a corpurilor a fost Galileo Gali-lei. El lsa corpuri diferite s cad de pe vestitul turn nclinat de la Pisa (fi g. 1.42), comparnd timpii de cdere a acestora (timpul era evaluat numrnd btile inimii sau dup volumul de ap ce se scurgea printr-un orifi ciu al unui vas). n urma unor multiple experimente, Galilei a ajuns la concluzia c toate corpurile cad la fel.

    La prima vedere pare c aceast concluzie contravine realitii. S ne amintim de cderea frunzei (fi g. 1.1), analizat la nceputul aces-tui capitol. Ea nu cade pe vertical, aa cum cade, de exemplu, o bil metalic, pentru c micarea frunzei este infl uenat puternic de aer, Fig. 1.42

  • 33

    CINE

    MAT

    ICA

    de curenii de aer care o pot ridica. Este deci necesar realizarea unui experiment n care ar fi exclus infl uena aerului.

    Lum tubul Newton un tub de sticl lung de circa 1 m avnd n interiorul su o pan, o bucic de plut i o alice de plumb. La un capt al su se afl un tubuor cu robinet, care permite evacuarea aerului din tub, apoi nchiderea etan a acestuia.

    n poziia vertical a tubului corpurile se afl la fundul lui. ntoar-cem tubul cu fundul n sus. Ce observm? Corpurile cad diferit: prima cade alicea, ultima pana (fi g. 1.43, a). Repetm experimentul dup ce aerul este evacuat parial din tub. Ce se observ la rsturnarea lui? Corpurile au czut n aceeai ordine, dar diferena dintre timpii de cdere a devenit mai mic. La evacuarea aproape total a aerului se observ cderea aproape simultan a corpurilor (fi g. 1.43, b). Astfel, presupunerea ce se refer la infl uena aerului asupra cderii diferite a corpurilor prin el este justifi cat.

    Concluzia privind cderea identic a corpurilor pe Pmnt se refer nu numai la cderea acestora n vid, dar i la cderea corpurilor din substane de densitate mare cu viteze nu prea mari (experimentul a confi rmat infl uena mult mai slab a aerului asupra cderii alicei de plumb).

    Experimental s-a constatat faptul c un corp, fi ind lsat s cad liber, se mic uniform accelerat. Aceast acceleraie, unic pentru toate corpurile, numit acceleraie gravitaional, este orientat vertical n jos. Pentru a o evidenia, ea se noteaz cu g. Valoarea ei depinde de latitudinea geografi c a locului unde se afl corpul i de nlimea lui deasupra Pmntului.

    La nivelul mrii, acceleraia gravitaional ia urmtoarele valori: la poli g = 9,8324 m/s2, la latitudinea de 45o valoarea g = 9,8067 m/s2, iar la ecuator g = 9,7805 m/s2. Pentru rezolvarea problemelor se iau valorile indicate n ele: g = 9,81 m/s2, g = 9,8 m/s2 sau, pentru a simplifi ca calculele numerice, g = 10 m/s2.

    Analizm o situaie concret. Un corp este lansat vertical n sus