Indicatorii variaţiei (împrăştierii)

Indicatorii sintetici ai variaţiei (1)

Abaterea medie liniară

Definiţie: Media aritmetică a abaterilor individuale faţă de medie (di) luate în valoare absolută

Pentru un şir simplu de valori:Pentru o serie de frecvenţe sau pentru o serie de date grupate pe intervale de grupare:

n

xxd i

i

ii

n

nxxd

Abaterea medie liniară are ca unitate de măsură, unitatea de măsură a variabilei analizate.

Indicatorii sintetici ai variaţiei (2)

Dispersia sau momentul centrat de ordin 2

Definiţie: Media aritmetică a pătratelor abaterilor individuale faţă de medie (di)

Pentru un şir simplu de valori:Pentru o serie de frecvenţe sau pentru o serie de date grupate pe intervale de grupare:

Din considerente de interpretare vom lăsa dispersia fără unitate de măsură.

n

xxi

2

2

i

ii

n

nxx2

2

Formula alternativă de calcul a dispersiei: 222 xx p

Indicatorii sintetici ai variaţiei (3)

Abaterea standard sau abaterea medie pătratică

Definiţie: Rădăcina pătrată a dispersiei

Abaterea medie pătratică are ca unitate de măsură, unitatea de măsură a variabilei analizate.

2 Proprietate: De obicei, între abaterea medie pătratică şi abaterea medie liniară există următoarea relaţie:

5

4d

Indicatorii sintetici ai variaţiei (4)

Coeficientul de variaţie sau de omogenitateDefiniţie: Este o exprimare în cifre relative (vezi indicatorii simpli ai împrăştierii) a abaterii standard

Proprietăţi: 100x

CV

• de obicei CV ia valori în intervalul [0;100]

• valori mici (apropiate de limita inferioară) ale indicatorului indică o serie omogenă (media, mediana, valoarea modală sunt reprezentative)

• valori mari (apropiate de limita superioară) ale indicatorului arată o serie eterogenă (neomogenă) (media, mediana, valoarea modală sunt nereprezentative)

• pentru a considera o serie omogenă, teoria recomandă, ca valoarea CV sa fie cel mult 30-35%

Caz particular pentru dispersie

Dispersia variabilei de tip binar

MN

MpNp 222 )0()1(

MN

Mp

MN

Nq 22

qppq 22 )( qppq pq )1( pp

Dispersia maximă a variabilei de tip binar este 0,25

Studiul formei funcţiilor de repartiţie (1)

Asimetria

3

8

13

18

23

28

33

38

43

2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nota

Stu

den

ti

1) Metode simple de analiză a asimetriei

a) metoda vizuală

3

8

13

18

23

28

33

38

43

2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nota

Stu

den

ti

3

8

13

18

23

28

33

38

43

2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nota

Stu

den

ti

serie simetrică serie asimetrică spre stânga serie asimetrică spre dreapta

Asimetria (2)

xb) metoda comparării indicatorilor tendinţei centrale ( , Me şi Mo)

3

8

13

18

23

28

33

38

43

2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nota

Stu

den

ti

Mo

Me

x

3

8

13

18

23

28

33

38

43

2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nota

Stu

den

ti

Asimetria (3)

xb) metoda comparării indicatorilor tendinţei centrale ( , Me şi Mo)

Mo Me x

3

8

13

18

23

28

33

38

43

2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nota

Stu

den

ti

Asimetria (4)

xb) metoda comparării indicatorilor tendinţei centrale ( , Me şi Mo)

MoMex

Asimetria (5)

2) Metode analitice de abordare

Coeficienţii de asimetrie ai lui Pearson

Mox

Cas

Proprietăţi şi interpretare:

• interval de valori [-1;+1 ]

• semnul arată direcţia asimetriei

• valori mici (apropiate de 0) indică o asimetrie de mică intensitate

• valori mari (apropiate de ±1) indică o asimetrie cu intensitate foarte mare

Mex

Cas

3

Proprietăţi şi interpretare:

• interval de valori [-3;+3 ]

• semnul arată direcţia asimetriei

• valori mici (apropiate de 0) indică o asimetrie de mică intensitate

• valori mari (apropiate de ±3) indică o asimetrie cu intensitate foarte mare

Asimetria (6)

Coeficientul lui Bowley

1223

1223

qqqq

qqqqCas

Proprietăţi şi interpretare:

• interval de valori [-1;+1 ]

• semnul arată direcţia asimetriei

• valori mici (apropiate de 0) indică o asimetrie de mică intensitate

• valori mari (apropiate de ±1) indică o asimetrie cu intensitate foarte mare

Coeficienţii lui Pearson (continuare)

i

ii

n

nxx 2

22

i

ii

n

nxx 3

3

32

23

1 asC

unde:

(momentul centrat de ordin 2)

(momentul centrat de ordin 3)

Boltirea (1)

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nota

Stu

den

ti

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nota

Stu

den

ti

1) Metoda vizuală

serie mezocurtică serie leptocurtică serie platicurtică

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

NotaS

tud

enti

Interpretare:

=0 (repartiţie mezocurtică)

>0 (repartiţie leptocurtică)

<0 (repartiţie platicurtică)

Boltirea (2)

2) Metoda analitică

Coeficientul lui Pearson

22

42

unde

i

ii

n

nxx 4

4

(momentul centrat de ordinul 4)

Interpretare:

β2=3 (repartiţie mezocurtică)

β 2>3 (repartiţie leptocurtică)

β 2<3 (repartiţie platicurtică)

Coeficientul lui Fischer

322

2

2

2

2