societatea de s¸tiin¸te · p,q, respectiv rsunt proiec¸tiile punctului ape dreptele sb,sc,sd,se,...

Societatea de ŞtiinţeMatematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale

Olimpiada Naţională de Matematică

Etapa Judeţeană şi a Municipiului Bucureşti, 8 Martie 2014

CLASA a V-a

Problema 1. Determinaţi numerele de forma abc care verifică relaţia

b · ac = c · ab+ 10.

Gazeta Matematică

Problema 2. Fie M mulţimea numerelor palindrom de forma 5n+4, unden ∈ N. (Un număr natural se numeşte palindrom dacă este egal cu răsturnatulsău. De exemplu, numerele 7, 191, 23532, 3770773 sunt numere palindrom.)

a) Dacă scriem ı̂n ordine crescătoare elementele mulţimii M , stabiliţi careeste al 50-lea număr scris.

b) Determinaţi cel mai mic şi cel mai mare dintre elementele mulţimii Mcare se scriu cu cifre nenule şi au suma cifrelor 2014.

Problema 3. Se consideră mulţimea A = {1, 3, 32, 33, . . . , 32014}. Spunemcă se realizează o partiţie a lui A dacă mulţimea A este scrisă ca o reuniunede submulţimi nevide ale sale, disjuncte două câte două.

a) Demonstraţi că nu există o partiţie a lui A astfel ı̂ncât produsul ele-mentelor fiecărei submulţimi din partiţie să fie pătrat perfect.

b) Arătaţi că există o partiţie a lui A astfel ı̂ncât suma elementelor fiecăreisubmulţimi din partiţie să fie pătrat perfect.

Problema 4. Un număr natural de 10 cifre se numeşte dichisit dacă cifrelesale aparţin mulţimii {1, 2, 3} şi oricare două cifre consecutive diferă prin 1.

a) Arătaţi că un număr dichisit conţine ı̂n scrierea sa exact cinci cifre de 2.

b) Stabiliţi câte numere dichisite există.

c) Demonstraţi că suma tuturor numerelor dichisite se divide cu 1408.

Timp de lucru 2 ore. Se acordă ı̂n plus 30 de minute pentru ı̂ntrebări.

Fiecare problemă este notată cu 7 puncte.




CLASA a VI-a

Problema 1. Arătaţi că:

a)

(

1

2

)3

+

(

2

3

)3

+

(

5

6

)3

= 1;

b) 333 + 433 + 533 < 633.

Gazeta Matematică

Problema 2. Spunem că mulţimea nevidă M de cardinal n are propri-etatea P dacă elementele sale sunt numere naturale care au exact 4 divizori.Notăm cu SM suma tuturor celor 4n divizori ai elementelor lui M (sumapoate conţine termeni care se repetă).

a) Arătaţi că A = {2 · 37, 19 · 37, 29 · 37} are proprietatea P şi SA = 2014.

b) În cazul ı̂n care o mulţime B are proprietatea P şi 8 ∈ B, demonstraţică SB 6= 2014.

Problema 3. Pe laturile BC, CA şi AB ale triunghiului ABC se con-sideră punctele M , N respectiv P astfel ı̂ncât BM = BP şi CM=CN . Per-pendiculara din B pe MP şi perpendiculara din C pe MN se intersectează

ı̂n I. Demonstraţi că unghiurile ÎPA şi ÎNC sunt congruente.

Problema 4. Determinaţi numerele naturale a pentru care există exact

2014 numere naturale b care verifică relaţia 2 ≤a

b≤ 5.

Timp de lucru 2 ore. Se acordă ı̂n plus 30 de minute pentru ı̂ntrebări.





CLASA a VII-a

Problema 1. a) Arătaţi că pentru orice numere reale a şi b are locrelaţia:

(

a2 + 1) (

b2 + 1)

+ 50 ≥ 2 (2a+ 1) (3b+ 1) .

b) Determinaţi numerele naturale n şi p care verifică relaţia

(

n2 + 1) (

p2 + 1)

+ 45 = 2 (2n+ 1) (3p+ 1) .

Problema 2. Fie numerele reale a, b, c astfel ı̂ncât:

|a− b| ≥ |c|, |b− c| ≥ |a|, |c− a| ≥ |b|.

Arătaţi că unul dintre numerele a, b, c este suma celorlalte două.

Problema 3. Se consideră triunghiul ABC ı̂n care m(Â) = 135◦. Per-pendiculara ı̂n A pe dreapta AB intersectează latura [BC] ı̂n punctul D, iarbisectoarea unghiului B intersectează latura [AC] ı̂n punctul E. Determinaţimăsura unghiului BED.

Gazeta Matematică

Problema 4. Se consideră pătratul ABCD şi punctele K ∈ (AB),L ∈ (BC) şi M ∈ (CD) astfel ı̂ncât triunghiul KLM este dreptunghicisoscel, cu unghiul drept ı̂n L. Demonstraţi că dreptele AL şi DK suntperpendiculare.

Timp de lucru 4 ore.





CLASA a VIII-a

Problema 1. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C ′D′ cuAB = 12

√3 cm şi AA′ = 18 cm, se consideră punctele P ∈ [AA′] şi

N ∈ [A′B′] astfel ı̂ncât A′N = 3B′N.Determinaţi lungimea segmentului [AP ] astfel ı̂ncât, pentru orice punct

M ∈ [BC] , triunghiul MNP să fie dreptunghic ı̂n N.Gazeta Matematică

Problema 2. Pentru fiecare număr natural nenul a se notează cu p (a)cel mai mare pătrat perfect cel mult egal cu a.

a) Determinaţi numărul perechilor de numere naturale nenule (m,n), cum ≤ n, pentru care

p (2m− 1) · p (2n− 1) = 400.

b) Determinaţi mulţimea

{

n ∈ N∗∣

∣

∣

∣

n ≤ 100 şip (n+ 1)

p (n)/∈ N

}

.

Problema 3. În vârful A al hexagonului regulat ABCDEF de latură ase ridică perpendiculara AS = 2a

√3 pe planul hexagonului. Punctele M, N,

P, Q, respectiv R sunt proiecţiile punctului A pe dreptele SB, SC, SD, SE,respectiv SF.

a) Demonstraţi că punctele M, N, P, Q, R sunt coplanare.b) Determinaţi măsura unghiului format de planele (MNP ) şi (ABC).

Problema 4. Fie n ≥ 2 un număr natural. Determinaţi mulţimeavalorilor pe care le poate lua suma

S = [x2 − x1] + [x3 − x2] + ...+ [xn − xn−1] ,

unde x1, x2, ..., xn sunt numere reale cu partea ı̂ntreagă 1, 2, ..., n.Prin [x] se notează partea ı̂ntregă a numărului real x.





SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE – CLASA a V-a

Problema 1. Determinaţi numerele de forma abc care verifică relaţia

b · ac = c · ab+ 10.

Gazeta Matematică

Soluţie. Relaţia din ipoteză revine la b(10a+ c) = c(10a+ b) + 10 ⇔ ab = ac+ 1. . . . 3 pObţinem că a(b− c) = 1, de unde a = b− c = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 pNumerele căutate sunt 110, 121, 132, 143, 154, 165, 176, 187, 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p

Problema 2. Fie M mulţimea numerelor palindrom de forma 5n + 4, unde n ∈ N. (Unnumăr natural se numeşte palindrom dacă este egal cu răsturnatul său. De exemplu, numerele7, 191, 23532, 3770773 sunt numere palindrom.)

a) Dacă scriem ı̂n ordine crescătoare elementele mulţimii M , stabiliţi care este al 50-leanumăr scris.

b) Determinaţi cel mai mic şi cel mai mare dintre elementele mulţimii M care se scriu cucifre nenule şi au suma cifrelor 2014.

Soluţie.

a) Numerele din mulţimea M au ultima cifră 4 sau 9. În mulţimea M există două numerede o cifră (4 şi 9), două numere de două cifre (44 şi 99), 20 de numere de trei cifre (404,414,..., 494, 909, 919, ..., 999) şi 20 de numere de patru cifre (4004, 4114, ..., 4994, 9009,9119, ..., 9999) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p

Al 50-lea număr din M este al şaselea număr de cinci cifre, anume 40504 . . . . . . . . . . .1 p

b) Pentru a obţine numere mici, ar trebui ca acestea să aibă cât mai puţine cifre, prin urmarevom lua cât mai multe cifre de 9. Cel mai mic număr din M cu suma cifrelor 2014 este98 99 . . . 9

︸︷︷︸

220 de 9

89 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 p

Pentru a obţine numere mari, ar trebui ca acestea să aibă cât mai multe cifre. Prinurmare, vom lua numărul maxim de cifre de 1, scriind cifra 4 pe prima şi ultima poziţie.Numărul cerut este 4 11 . . . 1

︸︷︷︸

2006 de 1

4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p

Problema 3. Se consideră mulţimea A = {1, 3, 32, 33, . . . , 32014}. Spunem că se realizeazăo partiţie a lui A dacă mulţimea A este scrisă ca o reuniune de submulţimi nevide ale sale,disjuncte două câte două.

a) Demonstraţi că nu există o partiţie a lui A astfel ı̂ncât produsul elementelor fiecăreisubmulţimi din partiţie să fie pătrat perfect.

b) Arătaţi că există o partiţie a lui A astfel ı̂ncât suma elementelor fiecărei submulţimi dinpartiţie să fie pătrat perfect.

Soluţie

a) Presupunem că există o astfel de partiţie. Cum produsul elementelor fiecărei submulţimidin partiţie este pătrat perfect, deducem că produsul tuturor elementelor din mulţimeaA este pătrat perfect.

Însă produsul elementelor lui A este 31+2+3+···+2014 = 32015·1007 şi acest număr nu estepătrat perfect, deoarece exponentul lui 3 este impar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 p

b) Observăm că 32n + 32n+1 = (3n · 2)2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 p

O posibilă partiţie este A = {1, 3} ∪ {32, 33} ∪ · · · ∪ {32012, 32013} ∪ {32014} . . . . . . . . . 2 p

Problema 4. Un număr natural de 10 cifre se numeşte dichisit dacă cifrele sale aparţinmulţimii {1, 2, 3} şi oricare două cifre consecutive diferă prin 1.

a) Arătaţi că un număr dichisit conţine ı̂n scrierea sa exact cinci cifre de 2.

b) Stabiliţi câte numere dichisite există.

c) Demonstraţi că suma tuturor numerelor dichisite se divide cu 1408.

Soluţie.

a) În scrierea unui număr dichisit, cifrele pare alternează cu cele impare. Cum numerele au10 cifre, ele vor conţine exact cinci cifre pare, deci exact cinci de 2. . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

b) Există 2 ·2 ·2 ·2 ·2 = 32 numere dichisite de forma 2a2b2c2d2e şi 2 ·2 ·2 ·2 ·2 = 32 numerede forma a2b2c2d2e2. În total, există 64 de numere dichisite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p

c) Dacă numărul a1a2 . . . a10 este dichisit, atunci şi numărul (4− a1)(4− a2) . . . (4− a10)este dichisit şi distinct de primul. Suma acestor două numere este 4444444444. . . . . 2 p

Grupăm numerele dichisite ı̂n 32 astfel de perechi. Prin urmare, suma tuturor numereloreste 32 · 4444444444 = 27 · 11 · 101010101 = 1408 · 101010101. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 p

2



SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE –CLASA a VI-a

Problema 1. Arătaţi că:

a)

(

1

2

)3

+

(

2

3

)3

+

(

5

6

)3

= 1;

b) 333 + 433 + 533 < 633.

Gazeta MatematicăSoluţie

a)

(

1

2

)3

+

(

2

3

)3

+

(

5

6

)3

=1

2+

8

27+

125

216=

27 + 64 + 125

216=

216

216= 1. . . . . . . . . . . . . . .3 p

b) Ar fi suficient să arătăm că333

633+

433

633+

533

633< 1, adică

(

1

2

)33

+

(

2

3

)33

+

(

5

6

)33

< 1.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 p

Cum1

2,2

3şi

5

6sunt subunitare, avem

(

1

2

)33

<

(

1

2

)3

,

(

2

3

)33

<

(

2

3

)3

şi

(

5

6

)33

<

(

5

6

)3

. Adunând cele trei relaţii şi ţinând cont de a), urmează inegalitatea dorită. . . 2 p

Problema 2. Spunem că mulţimea nevidă M de cardinal n are proprietatea P dacăelementele sale sunt numere naturale care au exact 4 divizori. Notăm cu SM suma tuturorcelor 4n divizori ai elementelor unei astfel de mulţimi M (suma conţine şi termeni care serepetă).

a) Arătaţi că A = {2 · 37, 19 · 37, 29 · 37} are proprietatea P şi SA = 2014.

b) În cazul ı̂n care o mulţime B are proprietatea P şi 8 ∈ B, demonstraţi că SB 6= 2014.

Soluţie

a) Orice număr de forma p · q, unde p şi q sunt numere prime distincte, are exact patrudivizori: 1, p, q şi pq. Cum 2, 19, 29 şi 37 sunt prime, rezultă că mulţimea A areproprietatea P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

SA = 1+2+37+2 ·37+1+19+37+20 ·37+1+29+37+29 ·37 = 3 ·38+20 ·38+30 ·38 =53 · 38 = 2014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p

b) În afara lui 8, elementele lui B vor fi de forma p · q (cu numere prime distincte) sau p3

(cu p număr prim impar). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Cum măcar unul dintre numerele prime p şi q este impar, suma divizorilor lui pq, 1 + p+q + pq = (1 + p)(1 + q), este număr par. Rezultă că suma divizorilor numerelor de formap · q (cu p şi q numere prime distincte) este pară. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 p

Pentru p impar, suma divizorilor lui p3, 1 + p + p2 + p3, este număr par. Astfel sumadivizorilor numerelor de forma p3 (cu p număr prim impar) este pară. . . . . . . . . . . . . . 1 p

Suma divizorilor lui 8 este 15, număr impar. Rezultă că SB este număr impar, prin urmareSB 6= 2014. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 p

Problema 3. Pe laturile BC, CA şi AB ale triunghiului ABC se consideră puncteleM , N respectiv P astfel ı̂ncât BM = BP şi CM=CN . Perpendiculara din B pe MP şi

perpendiculara din C pe MN se intersectează ı̂n I. Demonstraţi că unghiurile ÎPA şi ÎNCsunt congruente.

Soluţie

Cum CM = CN şi CI ⊥ MN , rezultă că dreapta CI este mediatoarea segmentului MN .De aici, IM = IN . Analog se arată că IM = IP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p

Triunghiurile IMC şi INC sunt congruente (L.L.L.), deci ÎMC ≡ ÎNC. Analog se arată

că ÎMB ≡ ÎPB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 p

Unghiurile ÎPA şi ÎMC sunt congruente, având suplemente congruente. Deducem că

ÎPA ≡ ÎNC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 p

Problema 4. Determinaţi numerele naturale a pentru care există exact 2014 numere

naturale b care verifică relaţia 2 ≤a

b≤ 5.

Soluţie. Relaţia 2 ≤a

b≤ 5 este echivalentă cu

a

5≤ b ≤

a

2, adică 2a ≤ 10b ≤ 5a. . . . . .1 p

Înseamnă că ı̂n secvenţa 2a, 2a + 1, . . . , 5a trebuie să se afle exact 2014 multipli ai lui 10,adică secvenţa trebuie să conţină cel puţin 2013 decade de numere consecutive şi mai puţin de2015 decade de numere consecutive. Deducem că 2013 · 10 ≤ 5a − 2a < 2015 · 10. Obţinema ∈ {6710, 6711, . . . , 6716}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 p

Convin numerele: 6710, 6712 şi 6713. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 p

Timp de lucru 2 ore. Se acordă ı̂n plus 30 de minute pentru ı̂ntrebări.Fiecare problemă este notată cu 7 puncte.

2




CLASA a VII-a

SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE

Problema 1. a) Arătaţi că pentru orice numere reale a şi b are locrelaţia:

(

a2 + 1) (

b2 + 1)

+ 50 ≥ 2 (2a+ 1) (3b+ 1) .

b) Determinaţi numerele naturale n şi p care verifică relaţia:

(

n2 + 1) (

p2 + 1)

+ 45 = 2 (2n+ 1) (3p+ 1) .

Soluţie. a) Relaţia din enunţ este echivalentă cu(ab− 6)2 + (a− 2)2 + (b− 3)2 ≥ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3pb) (np− 6)2 + (n− 2)2 + (p− 3)2 = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p(np− 6)2, (n− 2)2, (p− 3)2 ∈ {0, 1, 4} distincte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1pDiscutarea cazurilor şi găsirea soluţiilor:(n, p) ∈ {(2, 4), (2, 2)} . . . . . . 2p

Problema 2. Fie numerele reale a, b, c astfel ı̂ncât:

|a− b| ≥ |c|, |b− c| ≥ |a|, |c− a| ≥ |b|.

Arătaţi că unul dintre numerele a, b, c este suma celorlalte două.

Soluţie. Ridicând la pătrat inegalităţile din enunţ rezultă (a− b)2 ≥ c2

şi analoagele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2pDe aici rezult ă (a− b+ c)(b+ c− a) ≤ 0 şi analoagele . . . . . . . . . . . . . 2pAtunci: (a+ b− c)2(b+ c− a)2(c+ a− b)2 ≤ 0, de unde rezultă că unul

dintre numerele a, b, c este suma celorlalte două . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3p

Soluţie alternativă. Fără a restrânge generalitatea, putem presupunea ≥ b ≥ c. Atunci a− b ≥ |c| şi b− c ≥ |a| (∗) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

Adunând relaţiile, rezultă a − c ≥ |a| + |c| ≥ a − c, deoarece |a| ≥ a şi|c| ≥ −c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p

Ca urmare, ı̂n dubla inegalitate de mai sus are loc egalitatea, ceea ce seı̂ntâmplă dacă a = |a| şi |c| = −c, adică a ≥ 0 şi c ≤ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p

Relaţiile (∗) devin a− b ≥ −c şi b− c ≥ a, de unde b = a+ c . . . . . . 2p

Problema 3. Se consideră triunghiul ABC ı̂n care m(Â) = 135◦. Per-pendiculara ı̂n A pe dreapta AB intersectează latura [BC] ı̂n punctul D, iarbisectoarea unghiului B intersectează latura [AC] ı̂n punctul E. Determinaţi

m(B̂ED).Gazeta Matematică

Soluţie. Dacă I ∈ (BE) astfel ı̂ncât IA este bisectoarea unghiului D̂AB,

de unde ID bisectoarea unghiului ÂDB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

Din m(ÂDB) +m(ÂBD) = 90◦ şi m(ÎDB) +m(ÎBD) = 45◦ deducem

că m(D̂IB) = 135◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p△ABE ∼ △IBD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

ImplicaţiaAB

IB=

BE

BD⇒

AB

EB=

BI

BD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1p

△ABI ∼ △DBE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

m(B̂ED) = m(B̂AI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

m(B̂ED) = 45◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1p

Problema 4. Se consideră pătratul ABCD şi punctele K ∈ (AB),L ∈ (BC) şi M ∈ (CD) astfel ı̂ncât triunghiul KLM este dreptunghicisoscel, cu unghiul drept ı̂n L. Demonstraţi că dreptele AL şi DK suntperpendiculare.

Soluţie. △KLB ≡ △LMC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2pKB = LC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1pDin AB = BC deducem AK = BL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1p△AKD ≡ △BLA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2pDin AK ⊥ BL şi AD ⊥ BA, rezultă AL ⊥ KD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p



2




CLASA a VIII-a

SOLUŢII ŞI BAREME ORIENTATIVE

Problema 1. În paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C ′D′ cuAB = 12

√3 cm şi AA′ = 18 cm, se consideră punctele P ∈ [AA′] şi

N ∈ [A′B′] astfel ı̂ncât A′N = 3B′N.Determinaţi lungimea segmentului [AP ] astfel ı̂ncât, pentru orice punct

M ∈ [BC] , triunghiul MNP să fie dreptunghic ı̂n N.Gazeta Matematică

Soluţie. Deoarece BC ⊥ (ABB′) , rezultă BC ⊥ PN . . . . . . . . . . . . . 1pCum PN ⊥ NM, rezultă PN ⊥ (NBC) , de unde PN ⊥ NB, adică

triunghiul NBP este dreptunghic ı̂n N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2pNotând AP = x, se obţine BP 2 = x2 + 432, PN2 = (18− x)2 + 243 şi

BN2 = 351. Întrucât BP 2 = PN2 +BN2, se obţine x = 13, 5 cm . . . . . . 4p

Problema 2. Pentru fiecare număr natural nenul n se notează cu p (n)cel mai mare pătrat perfect cel mult egal cu n.

a) Determinaţi numărul perechilor de numere naturale nenule (m,n) , cum ≤ n, pentru care

p (2m+ 1) · p (2n+ 1) = 400.

b) Determinaţi mulţimea

{

n ∈ N∗∣

∣

∣

∣

n ≤ 100 şi p (n+ 1)p (n)

/∈ N}

.

Soluţie. a) Sunt posibile trei cazuri:Cazul 1: p (2m− 1) = 1, p (2n− 1) = 400; se obţine 1 ≤ 2m − 1 < 4 şi

400 ≤ 2n− 1 < 441, de unde m ∈ {1, 2} şi n ∈ {200, 201, ..., 219} . . . . . . 1pCazul 2: p (2m− 1) = 4, p (2n− 1) = 100; rezultă 4 ≤ 2m − 1 < 9 şi

100 ≤ 2n− 1 < 121, de unde m ∈ {3, 4} şi n ∈ {51, 52, ..., 60} . . . . . . . . . 1pCazul 3: p (2m− 1) = 16, p (2n− 1) = 25; atunci 16 ≤ 2m − 1 < 25 şi

25 ≤ 2n− 1 < 36, de unde m ∈ {9, 10, 11, 12} şi n ∈ {13, 14, ..., 18} . . . . 1pÎn primul caz se formează 40 de perechi, ı̂n al doilea caz se formează 20

de perechi, iar ı̂n al treilea 24 de perechi; ı̂n total sunt 84 de perechi ca ı̂nenunţ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

b) Fie n ∈ N. Notând p (n) = k2, rezultă k2 ≤ n ≤ (k + 1)2 − 1, de undek2 < n+ 1 ≤ (k + 1)2 . Ca urmare, p (n+ 1) ∈ {k, k + 1} . . . . . . . . . . . . . . . 1p

Atuncip (n+ 1)

p (n)/∈ N dacă şi numai dacă p (n) = k2 6= 1 şi p (n+ 1) =

(k + 1)2 , adică n = (k + 1)2 − 1, k ∈ N, k ≥ 2. Cum n ≤ 100, rezultă k ≤ 9.

Mulţimea cerută este {8, 15, 24, 35, 48, 63, 80, 99} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p

Problema 3. În vârful A al hexagonului regulat ABCDEF de latură ase ridică perpendiculara AS = 2a

√3 pe planul hexagonului. Punctele M, N,

P, Q, respectiv R sunt proiecţiile punctului A pe dreptele SB, SC, SD, SE,respectiv SF.

a) Demonstraţi că punctele M, N, P, Q, R sunt coplanare.b) Determinaţi măsura unghiului format de planele (MNP ) şi (ABC).

Soluţie. a) Cu teorema celor trei perpendiculare, din SA ⊥ (ABC) şiAB ⊥ BD, rezultă SB ⊥ BD. Întrucât BD ⊥ AB şi BD ⊥ SB, obţinemBD ⊥ (SAB) , de unde BD ⊥ AM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

Deoarece AM ⊥ SB, rezultă AM ⊥ (SBD) , deci AM ⊥ SD. De aici,ţinând cont că SD ⊥ AP, rezultă SD ⊥ (AMP ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

Analog, se arată că SD ⊥ (ARP ), SD ⊥ (ANP ) şi SD ⊥ (AQP ) .Din unicitatea planului perpendicular pe o dreaptă ı̂ntr-un punct, rezultă căpunctele A, M, N, P, Q, R sunt coplanare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p

b) Folosind eventual faptul căMR ‖ BF, se arată că dreapta de intersecţiea planelor (MNP ) şi (ABC) este paralela d dusă prin A la BF . . . . . . . 1p

Cum d ⊥ SA şi d ⊥ AD, rezultă d ⊥ (SAD) , deci d ⊥ AP. Ca urmare,măsura unghiului format de planele (MNP ) şi (ABC) este egală cu măsuraunghiului PAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

Folosind teorema lui Pitagora, se obţine SD = 4a, de unde rezultă

m(P̂DA) = 60◦ şi m(P̂AD) = 30◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1p

Problema 4. Fie n ≥ 2 un număr natural. Determinaţi mulţimeavalorilor pe care le poate lua suma

S = [x2 − x1] + [x3 − x2] + ...+ [xn − xn−1] ,unde x1, x2, ..., xn sunt numere reale cu partea ı̂ntreagă 1, 2, ..., n.

Soluţie. Fie a, b ∈ R. Atunci [a] ≤ a < [a]+1, de unde − [a]−1 < −a ≤− [a] . Adunând cu [b] ≤ b < [b] + 1, rezultă

[b]− [a]− 1 < b− a < [b]− [a] + 1,de unde se obţine [b]− [a]− 1 ≤ [b− a] ≤ [b]− [a] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p

Atunci [xk] − [xk−1] − 1 ≤ [xk − xk−1] ≤ [xk] − [xk−1] , de unde 0 ≤[xk − xk−1] ≤ 1, pentru orice k = 2, 3, ..., n. Ca urmare, 0 ≤ S ≤ n− 1 . 2p

Vom arăta că mulţimea valorilor pe care le poate lua S este {0, 1, 2, ..., n− 1} .Valoarea maximă S = n − 1 se obţine, de exemplu, pentru xk = k,

k = 1, 2, ..., n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1pSuma S = p, unde 0 ≤ p ≤ n− 2, se obţine, de exemplu, pentru:

xk =

{

k +1

k + 1, dacă 1 ≤ k ≤ n− 1− p

k, dacă n− p ≤ k ≤ n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2p

2

societatea de s¸tiin¸te · p,q, respectiv rsunt proiec¸tiile punctului ape dreptele sb,sc,sd,se,...

Documents