sisteme multiagent. teoria jocurilor 2

7/30/2019 Sisteme multiagent. Teoria jocurilor 2

1/107

Modelarea i analizasistemelor multi-agent

5. Teoria jocurilor (II)

Florin Leon

Universitatea TehnicGheorgheAsachi din IaiFacultatea de Automatici Calculatoare

http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm

Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm


2/107

Teoria jocurilor (II)Jocuri de sum general cu doi ageni1. Reducerea la jocuri de sum nul2. Echilibru Nash pur

3. Echilibru Nash mixt4. Jocuri cooperante

Jocuri cooperante cu n ageni5. Reprezentarea jocurilor n forma caracteristic

6. Nucleul7. Valoarea Shapley8. Nucleolus

2Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm


3/107

Teoria jocurilor (II)Jocuri de sum general cu doi ageni1. Reducerea la jocuri de sum nul2. Echilibru Nash pur






4/107

Jocuri bimatriceale Jocurile de sum general (sau nenul)

se mai numesc i bimatriceale

Pentru jocurile de sum nul, R=C



5/107

Reducerea la un joc de sumnul Un joc bimatriceal cu matricele Ri Cpoate fi redus

la un joc de sum nul dac exist > 0i , Efiindmatricea unitate (Eij= 1), astfel nct:

Pentru exemplul anterior:



6/107

Exemplu de calcul (I)

6

Jocul nu poate fi redus

= 2, = 1i se obin din ecuaiile

corespunztoare primei linii i

se verific n ecuaiilecorespunztoare liniei a doua



7/107

Exemplu de calcul (IIa)

7

Dac = 1/5 i =2, atunci:



8/107

Exemplu de calcul (IIb) Jocul se reduce la un joc de sumnul cu matricea:

Este un exemplu rezolvat n cursul anterior, cu strategiile deechilibru mixt R: (4/7, 3/7) i C: (2/7, 0, 5/7, 0, 0), iar valoareajocului este v= 1/7

Ctigul ateptat al lui Colin este: E[PC] =v=1/7

Avem: E[PR]+=E[PC] Ctigul ateptat al lui Rose este:

E[PR] = 1/ (v) = 5 (1/7 + 2) = 75/7

8

= 1/5, =2



9/107

Teoria jocurilor (II)

Jocuri de sum general cu doi ageni1. Reducerea la jocuri de sum nul2. Echilibru Nash pur






10/107

Echilibrul Nash O combinaiede strategii este un echilibru Nash dac

fiecare agent i maximizeaz ctigul, date fiindstrategiile folosite de ceilali ageni

Echilibrul Nash identific acele combinaii de strategiicare sunt stabile, n sensul c fiecare agent estemulumit cu aciunea aleas, date fiind aciunilecelorlali

Comportamentul generat de un echilibru Nash estede ateptat s persiste n timp



11/107

Echilibrul Nash Echilibru Nash pentru o strategie pur

11

),(),( ***iiiiii

ssussu

Ctigul(utilitatea)agentului i

Strategia dinechilibrul Nash

Strategiaagentului i

Strategiilecelorlali agenicu excepia lui i

Determinist,care nu implic

probabiliti



12/107

Echilibrul Nash Echilibrul Nash pentru o strategie pur

Echilibrul Nash este strict dac:

Strile din care niciun agent nu-i poatemri ctigul prin schimbareaunilateral a strategiei

12

),(),( ***iiiiii

ssussu

),(),( ***iiiiii

ssussu



13/107

Calculul echilibrelor Nash pure Se evideniaz maximele pe linii pentru primul agent

cu {

Se evideniaz maximele pe coloane pentru al doileaagent cu } Strile ncadrate de { } sunt echilibre Nash pure



14/107

Exemple

14

Dilema inculpailor

Btlia sexelor



15/107

Tragedia punii comunale engl. the tragedy of the commons Punea este folosit n comun de 6 rani,

fiecare cu cte o vac



16/107

Tragedia punii comunale

Fiecare vac d 20 de litri de lapte pe zi Capacitatea punii este de 8 vaci Pentru fiecare vac peste 8, producia de

lapte scade cu 2 litri Exist mai puin iarb de pscut pentru fiecare

vac, deci i mai puin lapte



17/107

17

20 litri 20 litri

20 litri

20 litri20 litri

20 litri

Producia zilnic total de lapte: 120 litriFlorin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm


18/107

18

ranii vor s-i maximizeze producia de lapte

20 litri

20 litri

20 litri20 litri

20 litri

Producia zilnic total de lapte: 140 litri (7 vaci)

40 litri

O s cumpr nc o vac



19/107

19

Acum s-a atins capacitatea maxim a punii. Dar ranii nu se opresc.

20 litri

20 litri20 litri

20 litri


40 litri 40 litri

Atunci i eu o s-mi cumpr



20/107

20

18 litri18 litri

18 litri


36 litri 36 litri

O s-mi iau nc una

36 litri



21/107

21

32 litri16 litri

16 litri


32 litri 32 litri

32 litri

Vaca produc e acum mai puin,dar 2 vaci o s rezolve problema



22/107

22

28 litri

14 litri


28 litri 28 litri

28 litri

O s-mi cumpr nc una 28 litri



23/107

23

24 litri


24 litri 24 litri

24 litri

24 litri

Toat lumea i cumprnc o vac, deci i eu

24 litri



24/107

24

20 litri


30 litri 20 litri

nc pot crete produciadac iau i a treia vac

20 litri

20 litri

20 litri



25/107

25

-100

-50

0

50

100

150

200

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Total Cow

ranii vor continua scumpere vaci pn cnd sunt15 vaci n total pe pune

Nivelul iniial

Ctigul sau pierdereapentru un ran la

cumprarea unei noi vaci

Numrul total de vaci

Producia totalpentru toate vacile

Producia maxim de laptepentru pune: 162 litri/zi



26/107


27/107

Soluii? Acord de cooperare ntre rani

mprirea profitului pentru cele 3 vaci n plus

Consolidare

O firm gestioneaz toate vacile i devine un singur centru deprofit

Reglementri ale statului Stabilirea unui numr maxim de vaci pe pune sau impunerea

redistribuirii profitului

Proiectarea mecanismelor (engl. mechanism design) Stimulente i penalizri pentru agenii individuali astfel nct s fie

tentai s ating optimul social Problem nc deschis



28/107

Beneficiul social ibeneficiul individual

Partajarea (sharing-ul) n reele P2P Poluarea ... n general, managementul resurselor din

proprietatea comun



29/107








30/107

30

Jocul ajutorului social

Guvernul vrea s ajute un om srac doar dac acestavrea s munceasc

Sracul i caut de lucru doar dac nu ia ajutor de lastat

engl. the welfare game



31/107

31


(Aid, Try to work) nu este EN PauperpreferBe idle(Aid, Be Idle) nu este EN: Govt preferNo Aid(No Aid, Be Idle) nu este EN: Pauper preferTry to Work(No Aid, Try to Work) nu este EN: Govt preferAidJocul nu are echilibru Nash!



32/107

32


(Aid, Try to work) nu este EN PauperpreferBe idle(Aid, Be idle) nu este EN: GovtpreferNo aid(No Aid, Be Idle) nu este EN: Pauper preferTry to Work(No Aid, Try to Work) nu este EN: Govt preferAidJocul nu are echilibru Nash!



33/107

33


(Aid, Try to work) nu este EN PauperpreferBe idle(Aid, Be idle) nu este EN: GovtpreferNo aid(No Aid, Be idle) nu este EN: PauperpreferTry towork(No Aid, Try to work) nu este EN: Govt preferAidJocul nu are echilibru Nash!



34/107

34


(Aid, Try to work) nu este EN PauperpreferBe idle(Aid, Be idle) nu este EN: GovtpreferNo Aid(No Aid, Be idle) nu este EN: PauperpreferTry to work(No Aid, Try to work) nu este EN: GovtpreferAidJocul nu are echilibru Nash (pur)!



35/107

35

Strategii pure i mixte Strategie pur

Agentul ialege strategia sij din mulimeaSi Strategie mixt

Agentul ialege strategia sijcu probabilitateapij

pij 0, jpij = 1

Orice strategie pur este de asemenea i o strategie

mixt Un joc finit are ntotdeauna cel puin un echilibru

Nash pur sau mixt O strategie mixt are ntotdeauna un echilibru Nash



36/107

36

Strategii mixte

Ctigul n strategii mixte este ctigul ateptat Fie 1 ctigul cu strategia s1i 4 cu strategia s2

Strategia mixt (0.3, 0.7) d ctigul ateptat0.3 1 + 0.7 4 = 3.1 Un ctig sigur de 3.1 este echivalent cu un ctig

ateptat ntr-un joc cu ctiguri de 1 i 4 cu

probabilitile 0.3 respectiv 0.7



37/107

37

Strategii mixte: interpretare

Jocuri n care se pot aplica simultan strategii multiple Pariurile pe mai muli cai

Instane multiple ale aceluiai joc Scenariu de rzboi: qij% din piloi urmeaz strategiasij

Acelai joc repetat la infinit Pentru un singur joc: distribuia de probabilitate este

estimarea oponenilor asupra deciziei unui agent



38/107

Metoda resturilor

engl. oddment method Metod simpl pentru calculul echilibrelor

Nash mixte Dac jocul are un echilibru Nash pur,

metoda nu se aplic



39/107

Strategiile pentru Pauper



40/107

Strategiile pentru Government



41/107

41

Echilibrul Nash n jocul ajutoruluisocial cu strategie mixt (I)

DacGovernment alege o probabilitate de 0.5 pentruAid, Pauper nu poate profita de pe urma acestei deciziin alegerea uneia din aciunile Work sau Be idle

Ctigul Pauper(Work) = 0.5 2 + (10.5) 1 = 1.5

Ctigul Pauper (Be idle) = 0.5 3 + (10.5) 0 = 1.5



42/107

42

Echilibrul Nash n jocul ajutoruluisocial cu strategie mixt (II)

DacPauper alege Try to work cu probabilitatea 0.2,Government va fi indiferent ntreAidiNo aid Ctigul Govt(Aid) = 0.2 3 + (10.2) (1) =0.2 Ctigul Govt(No aid) = 0.2 (1) + (10.2) 0 =0.2



43/107

43

Echilibrul Nash n jocul ajutoruluisocial cu strategie mixt (III)

Pentru probabilitile 0.5 i 0.2, att Governmentcti Pauperau ctiguri egale pentru ambele aciuni,ceea ce permite existena unui echilibru Nash



44/107

Metoda 2

Determinarea strategiei pentru Pauper 3 x+ (1) (1x) = (1) x+ 0 (1x) x = 0.2, 1x = 0.8

Determinarea strategiei pentru Government 2 y+ 1 (1y)= 3 y+ 0 (1y) y = 0.5, 1y = 0.5



45/107

45

Stabilitatea

Dar dac un agent prsete strategia deechilibru, oponentul poate profita pentru a

ctiga mai mult dect ar ctiga la echilibru



46/107

46

Optimalitatea Pareto

Un rezultat (x0,y0)este optim Pareto(sau dominant sau neinferior) dacNU EXIST alt rezultat (x,y)unde: Ambii ageni au un ctig mai mare

x>x0iy> y0

Un agent are ctig mai mare iar cellalt areacelai ctig x>x0iy= y0 , sau x=x0 iy> y0



47/107

Optimalitatea Pareto

Un rezultat este optim Pareto dac este: mai bun sau la fel dect alt rezultat din toate

punctele de vederei

mai bun strict din cel puin un punct de vedere



48/107

48

Stri optime Pareto

ntr-o stare optim Pareto, agenii nu au motivaia dea devia n coaliie

De exemplu: dilema inculpailor Ambii ageni au ctig mai marempreundac ambii neag



49/107

49

Interpretare Optimalitatea Paretonseamn o situaie mai bun

pentru cel puin un agent fr a dezavantaja niciunalt agent

Optimalitatea Pareto nu nseamn egalitate De exemplu mprirea unui tort ntre 3 persoaneA, B, C A ia 70%, B ia 30%, C nu ia nimic Aceast stare este un echilibru optim Pareto, deoarece

pentru a-i da lui C ceva, A sau B ar trebui s renune la ceva

Totui, implic alocarea tuturor resurselor O stare n care A ia 50%, B ia 30% iC nu ia nimic nu este

optim Pareto C poate lua 20% fr a-i afecta pe A sau B



50/107

50

Aplicaii ale optimalitii Pareto

Probleme de optimizare Traficul n reele de calculatoare

Planificarea task-urilor

Planificarea produciei

Proiectarea componentelor

Procesele de reacii chimice

Economie Analiza eficienei de pia

mbuntirea sistemului de impozitare

Etc.



51/107

Interpretarea grafic

51

Pentru jocul:



52/107

Ctiguri neliniare

52

Ctigul ateptat pentruA

Toi agenii joac 1 cuprobabilitatea xi 2 cu

probabilitatea 1x



53/107

Soluia diferenial



54/107

Exploatarea soluiei difereniale Presupunem c Bi Cfolosesc strategia cux*= 1/3 Apoate exploata acest fapt alegnd y= 0

54< 0

> 0.385

_



55/107

Interpretarea grafic



56/107

Exemplu mai complex

56

Intersecia se poatedetermina prin

metode numerice



57/107








58/107

Cooperarea

n jocurile anterioare, agenii erau raionali i egoiti Prin cooperare, ageni pot obine un ctig mai mare

Rezultatul n care suma utilitilor este maxim

Problema estemprirea ctigului suplimentarobinut

Soluia corectreprezint poziiile de negociere alecelor doi ageni Poziia de negociere abilitatea de negociere



59/107

Exemplul 1

Dac nu exist cooperare, jocul are: Echilibre Nash pure: (10, 40) i (40, 10) Echilibru Nash mixt: Renault (0.5, 0.5) i Peugeot (0.8, 0.2),

cu ctig0 pentru ambele companii



60/107

Cooperarea

Matricea sum(engl.sum matrix) a jocului reflectctigul total care poate fi obinut prin cooperare

Matricea ameninrilor(engl.threat matrix) esteutilizat pentru descrierea puterii de negociere a

agenilor



61/107

Interpretare

Prima linie cuprinde doar valori pozitive, deci Rare o poziieputernic de negociere (indiferent ce ar alege P, Rctig maimult)

Dac nu se ajunge la o nelegere, Ramenin c va alege F Pctig 10 n loc de 40

Pare o poziie slab de negociere deoarece ameninarea de a

alege Fpoate fi contracarat de ctre Rprin folosirea strategieimixte (0.5, 0.5), care este de asemenea un echilibru Pctig 0 n loc de 40

Difereniala ameninrii(engl.threat differential) estevaloareajoculuipentru matricea ameninrilor, n acest caz, 30



62/107

Soluia Soluia pentru un joc cooperant cu doi ageni:

Ctigul total este valoarea maxim din matricea sum Diferena de ctig dintre ageni este difereniala ameninrii

Pentru exemplul anterior: Ctigul total = 50 Diferena ctigurilor= 30 R+ P= 50 i RP= 30 Prin urmare, Robine 40 iar Pobine 10

Nu conteazstrategiile jucate, att timp ct se obine ctigul

total i se respect modul de mprire a acestuia Pentru strategiile (R:F/ P:M), ctigurile agenilor sunt cele date direct de

rezultatul jocului Pentru strategiile (R:M/ P:F), Ptrebuie s i plteasc 30 de uniti lui R



63/107

Exemplul 2

Ctigul total maxim este 5 Matricea ameninrilor este:

Difereniala ameninrii este 1, deoarece combinaia destrategii (1,2) reprezint un punct a

Soluia jocului: Rctig 3, Cctig 2 Agenii joac (R:2 / C:1)i Colin i pltete 2 uniti lui Rose



64/107

Exemplul 3 S considerm urmtoruljoc cooperant:

Ctigultotal maxim este 9 Matricea ameninrii este:

Are un echilibru mixt, cu strategiile (2/3, 1/3) pentru Rose i(5/6, 1/6) pentru Colin iar valoarea jocului este 4/3

Rose obine 31/6 Colin obine 23/6 darctigul su este mai mic cu 1/6 dect

ctigulobinut fr cooperare, prin echilibrul Nash pur (4) Cooperarea nu asigur ntotdeauna un ctig mai mare pentru

fiecare agent



65/107








66/107

Fie mulimea de ageni { P1, P2, ..., Pn } Marea coaliie este mulimea tuturor agenilor:G= { P1, ,Pn }

Ocoaliiereprezint orice submulime nevid a lui G Fiecare coaliie ncearcs-i maximizeze ctigul Funcia caracteristic vnregistreaz ctigul maxim

pentru fiecare coaliie (valoarea coaliiei) Joc superaditiv:

v(ST) v(S) + v(T), unde Si Tsunt coaliii fr agenicomuni

Definiii



67/107

Oalocare(engl. imputation) este mulimea dectiguri (x1,x2, ...,xn) care satisface urmtoarelecondiii: Suma ctigurilor este maximul posibil Fiecare agent obine un ctig cel puin

la fel de bun ca acela obinut dac nuar coopera

O alocare este o mprire eficienti individualraional

Alocare



68/107

Exemplul 1 Fie un joc cu 3 ageni: P1, P2, P3 Fiecare poate alege cap (H) sau pajur (T) Dac doi ageni aleg la fel iar al treilea diferit, acesta va plti

cte 1 unitate fiecruia din ceilali doi. Altfel, toi agenii primesc0 n total ({P1, P2, P3}) = 0 (mpreun nu pot ctiga nimic) Presupunem c se formeaz coaliia S= {P2, P3} Contra-coaliia va fi Sc= {P1} Rezult un joc de sum nul cu matricea:



69/107

Coloanele 2 i 3 sunt dominate(0 < 1 i2 < 1)

Valoarea jocului este1 (echilibru minimax mixt) ({P1}) =1(ct se ateapt s ctige P1) ({P2, P3}) = 1(ct se ateapt s ctige coaliia S) Datorit simetriei jocului, funcia caracteristic este:

Alocri:xi 1, i= 1, 2, 3;x1 +x2 +x3= 0

Exemplul 1

69

Sdorete s-imaximizeze ctigul



70/107

Exemplul 2 ({P1, P2, P3}) este

ctigul total maximcare poate fi ctigat

din cele 8 combinaii({P1, P2, P3}) = 1



71/107

Exemplul 2 Fie S= {P1, P3} i Sc= {P2}

Sc: (1/3, 2/3)

S: (1/3, 0, 2/3, 0)

v({P1, P3}) = 4/3, v({P2}) =1/3 Analog:

v({P1, P2}) = 1, v({P3}) = 0

v({P2, P3}) = 3/4, v({P1}) = 1/4



72/107








73/107

Nucleul Nucleul(engl. core) unui joc cu nagenieste mulimea

alocrilor nedominate

Nucleul unui joc cu funcia caracteristic veste mulimea tuturor

alocrilor x= (x1,x2, ...,xn) astfel nct pentru orice coaliieS= {Pi1, Pi2,,Pim}avem:xi1 +xi2 + +xim v(S)

Orice alocare din nucleu poate fi privit ca o soluie a jocului

Nucleul este stabil

Dac o alocare nu se afl n nucleu, atunci exist cel puin ocoaliie ai crei membri nu obin ctigul maxim pe care l-arputea obine altfel. Aceti ageni prefer o alt alocare



74/107

Exemplul 1

3 studeni doresc s cumpere o carte, care cost 110$

Pentru 2 cri sau 3 cri cumprate mpreun, existo reducere de 10$, respectiv 20$ / exemplar

Valorile coaliiilor exprim banii economisii



75/107

Exemplul 1

Fie x= (x1,x2,x3) o alocare din nucleu. Atunci:



76/107

Exemplul 2

Fiind un joc de sum nul, are nucleul vid (jocul este instabil)

Fie x= (x1,x2,x3)o alocare din nucleu Vom avea: Deoarece xeste o alocare:

Prin urmare:

Similar obinemx1 1 ix2 1 Dar valorile obinutecontrazic condiia:x1+x2+x3= 0 n concluzie, xnu poate fi o alocare i deci nucleul este vid Nu exist o alocare astfel nct fiecare agent s fie mulumit



77/107

Exemplul 3 Un vnztor Svrea s vnd un cal. Pentru S, dac

nu este vndut, calul nu valoreaz nimic Un fermier Fi un mcelar Bvor s l cumpere Pentru F, calul valoreaz 1000$ Pentru B, calul valoreaz 500$



78/107

Exemplul 3



79/107

Exemplul 3

79

Bnu primete nimic, dar

prezena lui este importantpentru poziia de negocierea vnztoruluiS



80/107

Normalizarea unui joc

Albert, Bobbie i Colin doresc s cumpere ocarte de 110$

Albert are un card de reduceri Costul crilor este urmtorul:



81/107

Normalizarea unui joc



82/107

Interpretarea grafic a nucleului



83/107

Western Union (W),Hughes Aircraft (H) iGeneral Telephone (G)i pot lansa satelii decomunicaie individuali,sau pot folosi mpreunnite satelii, n diversecombinaii

Costurile sunt exprimaten milioane de dolari

83

Nucleu vid



84/107








85/107

Valoarea Shapley

Nucleul ofer o mulime de soluii pentru un joc Unele jocuri nu au nucleu Nu exist o modalitate de a evalua corectitudinea

alocrilor din nucleu Ideea de baz a valorii Shapley:

Fiecare agent trebuie s primeasc un ctig corespunztorcontribuiei sale marginale la coaliie

Pentru nageni, exist n!ordonri n care un agentse poate altura celorlali Valoarea Shapley reprezint media dup toate ordonrile

posibile



86/107

Valoarea Shapley: definiie



87/107

Exemplul 1

Fie un joc cu doi ageni i urmtoarea formcaracteristic: v({}) = 0, v({1}) = 1, v({2}) = 3,v({1, 2}) = 6

Sunt 2! permutri posibile: (1, 2) i (2, 1) Valorile Shapley:



88/107

Exemplul 2


Calculul valorii Shapley pentru


89/107

Calculul valorii Shapley pentruun singur agent



90/107

Exemplu



91/107

Proprieti

Valoarea Shapley exist ntotdeauna, este unic ieste ntotdeauna fezabil (suma ctigurilor ageniloreste maxim)

Poate s nu aparin nucleului, chiar dac jocul arenucleun acest caz, este instabil

Presupune un efort de calcul mare Poate fi folosit pentru un numr mic de ageni

Dar exist metode de calcul aproximative ntr-un sistem multi-agent real, chiar calculul valorilor

sub-coaliiilor poate fi foarte complex



92/107


93/107

Pentru fiecare alocare xi coaliie S, definim excesullui Sn xastfel:

Excesul poate fi considerat o msura nefericiriicoaliiei Sn cazul alocrii x

Scopul este de a gsi alocarea care minimizeaz

cel mai mare exces es(x) ncercm s facem cea mai nefericit coaliie ct mai

puin nefericit

Modul de calcul



94/107

Fie jocul cu urmtoarea form caracteristic:v(A) = v(B) = v(C) = 0

v(AB) = 60, v(AC) = 80, v(BC) = 100, v(ABC) = 105

ncepem cu o alocare arbitrar, x= (20, 35, 50) Calculm excesele:

Exemplul 1



95/107

Exemplul 1 Excesul cel mai mare este eBC(x) = 15 l putem minimiza prin alegerea unei alocri care ofer

un ctig mai mare coaliiei BC(mai puin luiA)

Deoarece eAC(x) > eAB(x), putem lua 5 de laAi s idm lui C Obinem o nou alocare y= (15, 35, 55)

Rezultatul obinut este minimul: orice exces micorat ncontinuare va conduce la mrirea altuia



96/107

Interpretarea geometric

Nucleolus estepunctul cel maiinterior al nucleului



97/107

Exemplul 2 Fie jocul cu urmtoarea form caracteristic:

v(A) = v(B) = v(C) = 0

v(AB) = 4, v(AC) = 0, v(BC) = 3, v(ABC) = 6

ncepem cux= (2, 3, 1)

97

cel mai mare exces



98/107

Exemplul 2 eABC(x) nu poate fi minimizat (excesul marii coaliii este

ntotdeauna 0) Alegem urmtorul exces maxim:

eC(x) = eAB(x) = eBC(x) =1 Lum 0.5 de laAi dm lui B Obinem nucleolus y= (1.5, 3.5, 1)



99/107

Interpretarea geometric



100/107

Proprieti Exist ntotdeauna i este unic Se afl n nucleu dac nucleul nu este vid este stabil Se calculeaz iterativ, rezolvnd succesiv o serie de programe

liniare

Pentru 3 ageni, exist formule directe (vezi suportul de curs)


Comparaie valoarea Shapley -


101/107

Co pa a e a oa ea S ap eynucleolus

Valoarea Shapley -

101

Nucleolus -



102/107

Aplicaii n viaa real

Distribuirea costurilor hidroelectrice n India



103/107

Costurile



104/107

Valorile coaliiilor



105/107

Valorile Shapley


Nucleul, nucleolus,


106/107

, ,valoarea Shapley



107/107

Distribuia costurilor

Tamil Nadu (T) ar trebui s plteasc n jur de 75%

Andhra Pradesh (A) restul de 25% Kerala-Mysore (K) are resurse importante i deci nu ar trebui

s plteasc nimic

sisteme multiagent. teoria jocurilor 2

Documents