simetria spaţiului în raport cu un plan

8/13/2019 Simetria spaiului n raport cu un plan

1/8

1

Lieul Teoretic George linescu

roiect

Simetria n raport cu un plan

Chiinu 2012


2/8

2

uprins

Noiune 3

Proprieti 4

Probleme rezolvate 6


3/8

3

Simetria spaiului n raport cu un plan

Definiie.Se numete simetrie n raport cu un plan a (numit plan de simetrie) transformarea

spaiului, lacare fiecare punctM are drept imagine un astfel de punct M',nct

[MM]i trece prin mijlocul M0 al segmentului MM' . Punctele planului de simetrie se

aplic pe ele nsei .

Vom nota simetria n raport cu un plan prin litera m (sau ma):

m(M) = M, [MM'] a, [M0M] = [M0M'] M0a, m(P)=P, dacPa.

Observm c n rezultatul efecturii unei simetrii n raport cu un plan a orice dreapt

perpendicular cu a se aplic pe ea nsi, i anume: punctele corespunztoare M i M' situate pe operpendicular la planul de simetrie a sunt simetrice fa de punctul ei de intersecie cu planul

punctele corespunztoare M i M', Ni N' situate ntr-un plan perpendicular cu sunt simetrice n

raport cu dreapta lor de intersecie MoN0.


4/8

4

Proprietati

Proprietile simetriei spaiului n raport cu un plan sunt asemntoare proprietilor simetriei

axiale a planului. Fr a aduce demonstrri detaliate ne vom limita doar la enumerarea lor.

1)Simetria n raport cu un plan este o deplasare a spaiului.

Intr-adevr, fie M i N dou.puncte arbitrare ale spaiului. Ducemprin aceste puncte un plan ,

atunciM' iN' i sunt simetricecuM iN n raport cu dreapta M0No= .Rezult |MV'| = |MN|.2) Imaginea unui plan (unei drepte) paralel cu planul de simetrie este un plan (o dreapt)

paralel cu a, situat la aceeai distan de a ca i planul (dreapta) dat; imaginea unui

plan (unei drepte) ce intersecteaz este un plan (o dreapt) ce trece prin dreapta (punctul)

de intersecie a planului(dreptei) dat cu planul a; planul (dreapta) dat i imaginea lui

formeaz cu planul de simetrie unghiuri congruente.

3) Deplasarea spaiului invers simetriei n raport cu un plan este aceeai simetrie, adic m-1=m.

4)Compoziia a dou simetrii n raport cu dou plane paralele ia2este o translaie paralel in

direcia unei drepte perpendiculare pe planele a1i a2de la primul plan spre al doilea i la o

distan de dou ori mai mare dect distana dintre planele de simetrie

5) Multe corpuri (figuri spaiale) seaplic pe ele nsei n rezultatul efecturii simetriei n raport

unele plane special determinate. Aceste plane se numesc plane de simetrie ale corpului respectiv.


5/8


6/8

6

Din definiia de mai sus rezult c, pentru a construi simetricul unui punct M fa de un plan dat P;se

duce dinMperpendicularaMOpe planulP:apoi se ia pe prelungirea acestei perpendiculare segmentul [OM']t

cu:

OM'=OM.

Metoda simetriei const n faptul c ; n rezolvarea unor probleme de geometrie ne folosim de simetrie

pentru a reduce problema dat la una a crei rezolvare este cunoscut sau se poate rezolva mai uor. Rezolvarea

problemei noi aduce dup sine i rezolvarea problemei iniiale.

Exemplele urmtoare pun n eviden aplicarea metodei simetriei.

Problema 1:n interiorul unghiului AOB se dau dou puncte: C i D. S se gseasc pe latura

[OA] a unghiului dat un punct F i pe latura [OB] un punct E, n aa fel nct linia frnt CEFD s

fie cea mai scurt posibil.

Soluie: Mai nti construim figura care se compune din elementele date. Pentru a gsi puncteleE iF

vom proceda astfel: construim punctul C';simetricul lui C fa de OB:i punctulD':simetricul luiD fa

deOA. Punctele C,D i unghiul


7/8

7

CE=CE

deoarece sunt lungimi de segmente simetrice fa de axaOB;

EF=EF:(latur comun);

FD=FD',ca lungimi de segmente simetrice fat de axaOA:

CE+EF+FD=C'E+EF+FD'=C'D' Linia frntCEFD este cea

mai scurt.Oricare alte dou puncte luate pe laturile [OB] i [OA], n

afar de E i F gsite mai sus, ne vor da o linie frnt mai lung dect

CEFD. ntr-adevr, fie G i H dou puncte oarecare situate, respectiv, pe laturile [OB] i [OA]. Vrem s

artm c:

CE+EF+FD


8/8

8

Deoarece unghiurile

simetria spaţiului în raport cu un plan

Documents