1

Sisteme

Semnalele pot fi supuse prelucrarii in scopul

obtinerii unor alte semnale, sau al obtinerii unor

parametri ai acestora.

Prelucrarile se aplica unui semnal de intrare x(t)

si se obtine un alt semnal, de iesire, y(t).

Modularea/demodularea, filtrarea etc.

1 http://shannon.etc.upt.ro/teaching/ssist/Cap2.pdf

2 2

Sistem analogic

2 ;

2 2

2

S

S

10000

10000

5 ;

V 500 ;

V 0

;

100 ;

500 5

100 k

u

uS

Su

Si

in

in

i

A

uA

V

u uV

A

u V

V

Vi

R

R k

Vi nA

amplificator

2

Sistem digital

Mediere alunecătoare.

Algoritm.

3

4 4

convertor pe 10 biti (1024

nivele de cuantizare)

domeniu al tensiunii de intrare 10V

10V10mV

1024

Eroarea absoluta maxima 5mV

sx nT qx n

q

Simularea sistemului analogic folosind

unul digital

3

Modelul matematic

sau sau dSS

dy t S x t x t y t ; y n S x n x n y n

5

t

-

:

:

dx t x' t

dt

x t x d

Sunt modelate prin operatori.

Sisteme liniare

d d

S ax t aS x t

S ax n aS x n

1 1 2 2 1 1 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2d d d

S a x t a x t a S x t a S x t

S a x n a x n a S x n a S x n

Omogenitate

2y(t)

6

4

7 7

Sistem incremental liniar

Pentru un sistem omogen, 0: 0 0 0a S x t S x t

Sisteme cu variatii la iesire proportionale cu variatiile de la

intrare.

Se modeleaza printr-un sistem liniar, la iesirea caruia se

adauga valoarea de repaus (zero-input response) y0

Aditivitatea

Răspunsul sistemului

liniar la suma a doua

semnale de intrare

este suma

răspunsurilor la

fiecare semnal.

8

5

Sisteme invariante la translaţia în

timp

0 0

S x t y t

S x t t y t t

9

Sistem liniar si invariant in timp = SLIT

(linear time-invariant system, LTI)

10

0 0

d

d

S x n y n

S x n n y n n

6

11 11

Stabilitatea folosind o analogie mecanica

a) Sistem stabil: impulsul

aplicat bilei determina

oscilatii ale pozitiei

sale, care se

amortizeaza –bila

revine in pozitia de

echilibru initial.

b) Sistem stabil la

limita: impulsul

aplicat bilei modifica

pozitia de echilibru.

c) Sistem instabil:

impulsul aplicat bilei

duce la pierderea

echilibrului.

BIBO Stabilitatea sistemelor

Dacă semnalul de intrare este mărginit şi

semnalul de ieşire trebuie să fie mărginit.

12

BIBO- bounded input bounded output

7

Cauzalitatea sistemelor

Efectul să nu apară înaintea cauzei.

13

14 14

2.6. Sisteme analogice descrise prin ecuatii diferentiale

si sisteme digitale descrise prin ecuatii cu diferente

finite, cu coeficienti constanti

Tema de casa: Sa se demonstreze liniaritatea acestor

sisteme.

Sistem liniar R-C de ordin unu. Sistem liniar R-L-C de ordin doi.

dy tRC y t x t

dt

2

2

d y t dy tLC RC y t x t

dtdt

8

15 15

Forma generala a ecuatiei diferentiale

care descrie un sistem liniar de ordin N

0 0

2 1

0 2 1

0 0 0

, 0 (macar), , const.

Conditiile initiale trebuie sa fie nule daca sistemul este liniar, adica:

... 0

daca momentul de apli

k kN M

k k N k kk kk k

N

N

t t t t t t

d y t d x ta b a a b

dt dt

dy t d y t d y ty t

dt dt dt

0

0

care al semnalului de intrare este

0 pentru

t

x t t t

16 16

Un sistem digital echivalent

sistemului de ordin unu

- Derivata poate fi aproximata:

1

1 1

e

e

e e

e e e

e et nT

e e

t nT

dy tRC y t x t

dt

dy tRC y nT x nT

dt

y n y ndy t y nT y nT T

dt T T

RC RCy n y n x n

T T

Ecuatie cu diferente finite, cu coeficienti constanti, obtinuta prin

aproximarea ecuatiei diferentiale.

9

17 17

• Panta secantei este o aproximare buna pentru panta tangentei daca se considera o valoare mica a pasului de esantionare Te

18 18

2

2

ee

e e

t nTt nT

d y t dy tLC RC y nT x nT

dtdt

Un sistem digital echivalent

sistemului de ordin doi

2

2

2

1 1 2

2 1 2

e e e

ee

t nT t nT T

et nTt nT

e e

e e

dy t dy t

dt dtd y t dy td

dt dt Tdt

y n y n y n y n

y n y n y nT T

T T

2 2 2

21 1 2

e ee e e

LC RC LC RC LCy n y n y n x n

T TT T T

Ecuatie cu diferente finite, cu coeficienti constanti, obtinuta prin

aproximarea ecuatiei diferentiale.

10

19 19

Forma generala a ecuatiei cu diferente

finite care descrie un sistem digital

liniar de ordin N

0 0

, 0 (macar)

, const.

N M

k k N

k k

k k

A y n k B x n k A

A B

Exemple de sisteme şi simboluri folosite

20

*Circuite Integrate Analogice

Simbolul folosit pentru

sistemul proportional

ideal

Simbolul folosit pentru

sistemul diferentiator

ideal

Simbolul folosit pentru

sistemul integrator ideal

11

21 21

2.7. Câteva exemple de sisteme

i) Sistemul proportional ideal

, y t ax t a , y n ax n a

Sistem fara memorie: Valoarea curenta a semnalului de

iesire depinde doar de valoarea curenta a semnalului de la

intrare, nu si de valorile sale anterioare.

22 22

ii) Sistemul ideal de derivare

(analogic) si de intarziere (digital)

1

1s

dx ty t y n x n x n

dt T

“Diferentierea” finita.

Sistem discret ce implementeaza

aproximarea derivatei din timp continuu

12

23 23

iii) Sistemul integrator ideal

t

y t x d

1

1

n n

k k

y n x k x k x n

y n y n x n

Timp continuu

Timp discret:

sumator

(acumulator)

Sisteme cu memorie sau

dinamice:

•Diferentierea si integrarea

(in timp continuu)

•Diferenta finita si

acumulatorul in timp discret

Ex: contorul de apa/curent etc.

24 24

2.8. Exemple i) Analizam liniaritatea si invarianta in timp pentru un sistem

analogic descris prin ecuatia diferentiala cu coeficienti variabili in timp

22

22

d y t dy tt t y t x t

dtdt

a) Sistem liniar = aditiv + omogen

21 1 2

1 1 1 12

22 2 2

2 2 2 22

22

1 2 1 2 1 2 1 22

1 2 1 2

2

2

2

d y t dy tx t y t t t y t x t

dtdt

d y t dy tx t y t t t y t x t

dtdt

d dy t y t t y t y t t y t y t x t x t

dtdt

x t x t y t y t

Sistem aditiv ?

13

25 25

22

2

22

2

2

2

d y t dy tx t y t t t y t x t

dtdt

d day t t ay t t ay t ax t ax t ay t

dtdt

Sistem omogen ?

b) Invarianta la deplasare in timp

22

2

223 3

0 3 0 0 3 02

2

2

d y t dy tx t y t t t y t x t

dtdt

d y t dy tx t t y t t t t t y t x t t

dtdt

3 0Dar sistemul este liniar dar nu si invariant

la deplasarea in timp

y t y t t

20 0 2

0 02

Daca sistemul ar fi invariant la deplasarea in timp:

2d y t t dy t t

t t y t t x t tdtdt

26

ii) Analizam importanta conditiilor initiale

nule asupra liniaritatii unui sistem analogic.

00

2

0

0 0

dy ty t x t

dt

K cos t , tx t K cos t t

, t

Sistem dinamic descris prin ecuatia diferentiala de ordinul unu, cu coeficienti

constanti

cu semnalul de intrare:

14

27

Solutia fortata de Kcos(ω0t), de regim stationar

0

02

0

2 cos , 0

cos , 04

f

f

f

dy ty t K t t

dt

Ky t t t

Solutia de regim liber, tranzitorie. Este solutia

ecuatiei omogene

2 2

2 0

, 0 and , 0

tr

tr

t t

tr tr

dy ty t t

dt

y t Be t y t Ce t

28

Solutia finala trebuie sa fie

continua in t=0

2 2

0 02

0

2

0

2 2

0 02

0

, 0

, 0

cos cos , 04

, 0

cos cos4

tr f

tr

t t

t

t t

y t y t ty t

y t t

Ky e t e t

y t

y e t

Ky t y e t e

t t

2

00

0

sistem liniarPentru 0 : 0 0

Numai cu conditie initiala nula, 0, sistemul este liniar

t

KK x t y t y e

y

15

29

iii) Importanta conditiilor initiale nule

asupra liniaritatii unui sistem digital

00

, 00 5 1

0 , 0

K cos n ny n , y n x n x n K cos n n

n

Solutia de regim stationar

00

0

0

00

0.5 1 cos Re , 0

cos

0.5sin; arctg

1 0.5cos1.25 cos

j nf f

f

j

y n y n K n Ke n

y n A n

KA e

0 5 1 0 ,

0 5 , 0 si 0 5 , 0

tr tr

n ntr tr

y n , y n n

y n B , n y n C , n

Solutia de regim tranzitoriu

Sistem dinamic discret, descris prin ecuatia cu diferente finite, de ordinul unu, cu

coeficienti constanti, cu semnalul de intrare:

30

Solutia finala

00

00

0.5 cos , 01.25 cos

0.5 , 0

Sistem liniar conditii initiale nule: 1 0

cos1.25 cos

Pentru un sistem de or

n

n

KB n n

y n

C n

y

Ky n n n

din , conditiile initiale sunt:

1 2 ... 0

N

y y y N

Pentru un sistem liniar si invariant in timp (SLIT),

conditiile initiale sunt nule.