seminarii 6

8/14/2019 seminarii 6

http://slidepdf.com/reader/full/seminarii-6 1/18

Seminarul 6Functii reale. Limite de functii

Material video:

Urmareste exercitiile rezolvate afisate pe site la continut multimedia Analiza matematicaAnul I , Semestrul I:

- Limite 1

Exemple

1. Folosind definiŃia limitei unei funcŃii într-un punct , să se arate că:2

x 2 x 4

→=lim

Rezolvare: fie 0δ > un număr real şi x astfel încât x 2 δ − < . ObŃinem atunci că x 2 2 x 2δ δ δ δ − < − < − < < + . Cum însă x 2 x 2+ ≤ + şi 2 2δ δ − − < − , avem:

x 2 δ < + şi x 2 x 2 4 δ + ≤ + < +

Atunci:(*) ( )( ) ( )2 x 4 x 2 x 2 x 2 x 2 4δ δ − = − + = − + < +

Fie atunci 0ε > şi 0δ > astfel încât ( )4 02 4

ε δ δ ε δ

ε + < < <

+ +. Pentru x I x 2 δ − < , în relaŃia

(*) obŃinem : 2 x 4 ε − < . Am obŃinut aşadar:Pentru orice 0ε > există 0

2 4

ε δ ε

< <+ +

astfel încât pentru orice x I , cu

x 2 2 4

ε ε − < + + , avem:

2

x 4 ε − < , ceea ce înseamnă conform definiŃiei că funcŃia dată arelimita4 în 0 x 2= .

2. Să se arate că funcŃia ( ) f f x x→ = : , sin nu are limită când x tinde către ∞ .

Rezolvare: Vom arăta că există şirurile ( ) ( )n nn n x y

, , cu n n

x x x y

→∞ →∞= = ∞lim lim şi ( ) ( )n n

x x f x f y

→∞ →∞≠lim lim .

Fie aşadar n n x n y 2n2π π π = = + , . Avem evident

n nn 2n2π

π π →∞ →∞

= + = ∞ lim lim

Dar ( ) ( )n f x n 0π = = sin şi ( )n f y 2n 12π π

= + =

sin , deci ( )nn

f x 0→∞

=lim şi ( )nn

f y 1→∞

=lim , deci( ) ( )n n

x x f x f y

→∞ →∞≠lim lim

ceea ce contrazice criteriul lui Heine.



3. Să se calculeze:( )2

x x x 1 x

→±∞+ −lim

Rezolvare: Avem:

( ) ( )( )( )2 2

2

2

2

x 1 x x 1 x x f x x x 1 x x 1 x 1 x x 1 1

x

+ − + +

= + − = = + + + +

Pentru x → ∞ avem x 0> deci x x= . Atunci:

( )2

x x x

22

x 1 1 x x 1 x

211 1 1 x 1 1 x x

→∞ →∞ →∞+ − = = =

+ ++ +

lim lim lim

Pentru x → −∞ avem x 0< şi deci x x= − . Atunci:

( ) ( )22 2

22

1 1 f x x x 1 x x x 1 x x x 1 x

x x

1 x 1 1

x

= + − = + − = − + − =

= − + +

Atunci:

( )2 22 x x

1 x x 1 x x 1 1

x→∞ →∞

+ − = − + + = −∞

lim lim

4. Să se calculeze:

x 0

5x 3x5x→

− sin sinlim

Rezolvare: Avem:

x 0 x 0 x 0 x 0

5x 3x 2 x 4x 2 x 24x

5x 5x 5 x 2→ → → →

− = = =

sin sin sin cos sinlim lim lim lim cos



Seminarul 7Functii reale: continuitate, derivabilitate, determinarea asimptotelor

Material video:

Urmareste exercitiile rezolvate afisate pe site la continut multimedia Analiza matematicaAnul I , Semestrul I:- Continuitate 1- Derivabilitate 1- Derivabilitate 2

Exemple

1. StudiaŃi continuitatea funcŃiei:

( ) { }daca

daca

21

xe x 0 f x

1 x 0

−

=

=

, \

,

Rezolvare: Pentru x 0≠ , funcŃia este continuă; vom studia continuitatea funcŃiei numai înpunctul x 0= . Avem:

2 x 0

1 x→

− = −∞

lim şi deci ( ) 21

x

x 0 x 0 f x e 0

−

→ →= =lim lim

Cum ( ) ( ) x 0

f x f 0→

≠lim , funcŃia nu este continuă în punctul x 0= ; acest punct este punct dediscontinuitate de speŃa întâi.

2. Fie ( )[ ]

( ] x 1 x 0 1

f x3ax 3 x 1 3

+ =

+

, ,

, , . Să se determine constantaa astfel încât funcŃia f să fiecontinuă pe intervalul închis[ ]1 2 , .

Rezolvare: Deoarece funcŃia f pe intervalele[ )1 2 , şi ( ]1 2 , este liniară, deci continuă, vomstudia continuitatea funcŃiei f numai în punctul x 1= . CondiŃia de continuitate pentrufuncŃia f în punctul x 1= se scrie:

( ) ( ) ( ) ( )1 f 1 f 1 0 f 1 0= + = − Dar:

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) x 1 x 1 x 1 x 1

x 1 x 1 x 1 x 1

2 f 1 1 1 2

f 1 0 f x x 1 2

f 1 0 f x 3ax 3 3a 3

→ < → <

→ > → >

= + =

− = = + =

+ = = + = +

, ,

, ,

lim lim

lim lim

Din relaŃiile ( )1 şi ( )2 obŃinem aşadar că: 3a 3 2+ = , deci 1a

3= − .

3. Să se studieze derivabilitatea funcŃiei ( ) ( )2 f x 2x 1= + sin în punctul 0 x 2=



Rezolvare: Conform definiŃiei, o funcŃie este derivabilă într-un punct 0 x dacă există şieste finită ( ) ( )

0

0

x x 0

f x f x

x x→

−

−lim . În cazul de faŃăobŃinem:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2 22

x 2 x 2 x 2

2 2 22

2 x 2 x 2

2x 1 9 2x 1 922x 1 9 f x f 2 2 2

x 2 x 2 x 2

2 x 4 x 5 x 42 x 2 x 5 8 9

x 2 x 4

→ → →

→ →

+ − + + + −−

= = =− − −

− + −= = + + =

− −

sin cos sin sinlim lim lim

sin cos sinlim lim cos cos

pentru că ( )2

2 x 2

x 41

x 4→

−=

−

sinlim ; aşadar ( ) ( )

x 2

f x f 2

x 2→

−

−lim există şi este finită, deci funcŃia dată este

derivabilă în punctul 0 x 2= .

4. Să se demonstreze inegalitatea

( )( ) ( )

( )2 2

b a b ab a

a b

− −≤ − ≤ tg tg

cos cos

pentru orice0 a b

2

π ≤ < < .

Rezolvare: Fie [ ] ( ) ( ) f a b f x x→ =: , , tg . Cum f este continuă pe [ ]a b , şi derivabilă pe ( )a b , , f îndeplineşte ipotezele teoremei Lagrange, deci există ( )c a b, astfel încât:

( ) ( )( )

( ) ( )( )2

f b f a b a 1 f c

b a b a c

− −= =

− −

tg tg'

cos

Deoarece funcŃia ( ) x cos este descrescătoare pe intervalul[ ]a b 02π

, , , cum a c b< < , obŃinem

că:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )2 2 2

2 2 2

1 1 1a c b 0 a c b

a c b> > > > > < < cos cos cos cos cos cos

cos cos cosDar

( ) ( )

( )2

b a 1

b a c

−=

−

tg tg

cos, deci

( )( ) ( )

( )2 2

b a b ab a

a b

− −≤ − ≤ tg tg

cos cos

pentru orice0 a b2π

≤ < < .

5. Să se calculeze:( )

x

x 1

x x x x 1→

−

− +lim

ln

Rezolvare: Fie ( ) ( ) ( ) ( ) x f g 0 f x x x g x x x 1∞ → = − = − + , : , , , ln . Observăm că:i. f şi g admit derivate de ordinul Işi II pe ( )0 ∞ , şi

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

x

2 x x 12

1 f x x x 1 1 g x 1

x1

f x x x 1 x g x x

−

= + − = −

= + + = −

' ln , '

'' ln , ''

ii. ( )g x 0≠' şi ( )g x 0≠'' pentru orice ( ) x 0 ∞ , iii. ( ) ( ) ( ) ( )

x 1 x 1 x 1 x 1 f x g x f x g x 0

→ → → →= = = =lim lim lim ' lim '

iv. ( )( )

( )( )2 x x 1

x 1 x 1

2

f x x x 1 x2

1g x x

−

→ →

+ += = −

−

'' lnlim lim

''

Atunci conform teoremei lui l’Hospital obŃinem:



( )( )

( )( ) x 1 x 1

f x f xg x g x→ →

='

lim lim'

şi ( )( )

( )( ) x 1 x 1

f x f xg x g x→ →

=' ''

lim lim' ''

de unde( )

x

x 1

x x2

x x 1→

−= −

− +lim

ln.

6. Folosind diferenŃiala, să se calculeze aproximativ valoarea ( )0 51 arcsin ,

Rezolvare: Fie funcŃia [ ] ( ) ( ) f 1 1 f x x2 2π π

− → − = : , , , arcsin . Punând x 0 5 x 0 01= ∆ = , , , şi aplicânddefiniŃia diferenŃialei unei funcŃii se obŃine:

( ) ( ) ( )( ) x x x x x+ ∆ ≈ + ∆ arcsin arcsin arcsin ' sau, în cazul de faŃă:

( ) ( )( )2

10 51 0 5 0 01 0 513

1 0 5≈ + ≈

− arcsin , arcsin , , ,

,



Seminarul 8Siruri si serii de functii reale

Material video:

Urmareste exercitiile rezolvate afisate pe site la continut multimedia Analiza matematicaAnul I , Semestrul I:

- Şiruri de funcŃii 1- Şiruri de funcŃii 2-

Exemple

1. CalculaŃi domeniul de convergenŃăal seriei 2nn 1

11 x

∞

= +∑

Rezolvare: Dacă x 1< , atunci lim 2nn

111 x→∞ =+ ; pentru ca o serie de numere reale să conveargă

este necesar însă ca şirul termenilor generali să conveargă la 0, deci seria de funcŃii dată nu este convergentă pentru x 1< .

Dacă x 1= , atunci se obŃine seria cu termenul generaln1

u2

= , deci seria de funcŃiinu converge nici pentru x 1= , din aceleaşi considerente.

Dacă x 1> , atunci:2n 2n

1 1

1 x x<

+

iar seria cu termenul generaln 2n

1u

x= este convergentă pentru x 1> (este o progresie

geometrică cu raŃia subunitară), deci seria dată converge pentru x 1> . Aşadar domeniul deconvergenă pentru seria dată este ( ) ( ) , ,1 1−∞ − ∞ .

2. Să se determine mulŃimea de convergenŃăpentru seria de funcŃiin n

n 1

n 1 1 xn 1 2x

∞

=

+ −

− ∑

Rezolvare: Se observă că şirul de funcŃii ( )n n f are ca domeniu de definiŃie mulŃimea

{ } \12

. Fie aşadar { } \1

x2

. ObŃinem seria numerică n n

n 1

n 1 1 xn 1 2x

∞

=

+ −

− ∑ . Pentru această serie

aplicăm criteriul rădăciniişi obŃinem:- dacă lim lim lim

n n

nnn

n n n

n 1 1 x n 1 1 x 1 x f 1

n 1 2x n 1 2x 1 2x→∞ →∞ →∞

+ − + − − = = = <

− − − atunci seria numerică este

convergentă; rezolvând inecuaŃia 1 x1

1 2x−

<−

obŃinem ( ) , ,2

x 03

−∞ ∞

. Aşadar seria de

funcŃii converge pentru ( ) , ,2

x 03

−∞ ∞

.



- dacă lim lim limn n

nnn

n n n

n 1 1 x n 1 1 x 1 x f 1

n 1 2x n 1 2x 1 2x→∞ →∞ →∞

+ − + − − = = = >

− − − atunci seria numerică este

divergentă; aşadar seria de funcŃii nu este convergentă pentru { } , \2 1

x 03 2

- dacă lim lim limn n

nnn

n n n

n 1 1 x n 1 1 x 1 x f 1

n 1 2x n 1 2x 1 2x→∞ →∞ →∞

+ − + − − = = = =

− − − , deci pentru { } ,2

x 03

obŃinem:

- dacă x 0= , se obŃine seria numerică n

n 1

n 1n

∞

=

+ ∑ , care nu este convergentă, deci seria

de funcŃii nu converge pentru x 0= - dacă 2

x3

= , se obŃine seria numerică ( )n

n

n 1

n 11

n

∞

=

+ − ∑ , care nu este convergentă pentru

că termenul general al seriei nu converge la0.Aşadar mulŃimea de convergenŃăpentru seria dată este ( ) , ,

20

3

−∞ ∞

.



Seminarul 9Serii de puteri. Dezvoltarea in serie Taylor, respectiv serie Mac-Laurin

Material video:

Urmareste exercitiile rezolvate afisate pe site la continut multimedia Analiza matematicaAnul I , Semestrul I:- Serii de functii 1- Serii de functii 2

Exemple

1. Să se studieze convergenŃa seriei ( )n

2n 1

1 x 2

n

∞

=

−∑ .

Rezolvare: Notăm t x 2= − . Atunci seria dată devine: n2

n 1

1t

n

∞

=∑ . Calculăm raza de convergenŃăcu

teorema Cauchy Hadamard:( )

( )lim lim lim

22n 1

2n n nn2

1a nn 1 1

1a n 1n

λ +

→∞ →∞ →∞

+= = = =+

de unde 1 R 1

λ = = .Aşadar seria n

2n 1

1t

n

∞

=

∑ converge pentru ( ) ,t 1 1 − şi diverge pentru ( ) ( ) , ,t 1 1 −∞ − ∞ ;

revenind la notaŃia f ăcută, obŃinem că seria ( )n

2n 1

1 x 2

n

∞

=

−∑ converge pentru ( ) , x 1 3 şi diverge pentru

( ) ( ) , , x 1 3 −∞ ∞ .Pentru x 1= seria devine 2

n 1

1n

∞

=

∑ , care este convergentă (seria armonică generalizată n 1

1nα

∞

=

∑ este

convergentă pentru 1α > ).Pentru x 3= seria devine ( )n

2n 1

11

n

∞

=

−∑ , serie care este de asemenea convergentă, conform criteriului

lui Leibniz.În concluzie, domeniul de convergenŃăpentru seria dată este [ ] ,1 3 .

2. Să se dezvolte în serie de puteri următoarele funcŃii, precizându-seşi domeniul pe care estevalabilă dezvoltarea:

a. ( ) x f x e= b. ( ) ( ) sin f x x=

Rezolvare: Să remarcăm mai întâi că funcŃiile date sunt funcŃii indefinit derivabile pe .a. Avem( )

( )n x xe e= pentru orice x , deci ( ) ( )n 0e 0 e 1= = deci obŃinem dezvoltarea:

( ) ( )

! !

n x n n

n 0 n 0

e 0 1e x x

n n

∞ ∞

= =

= =∑ ∑

Pentru a determina raza de convergenŃăobŃinem:



( ) !lim lim lim

!

n 1

n n nn

1a 1n 1 0

1a n 1n

λ +

→∞ →∞ →∞

+= = = =+

de unde, conform teoremei Cauchy-Hadamard, obŃinem că R = ∞ , deci domeniul de convergenŃă este ( ) ,−∞ ∞ .

b.

Avem( ) ( )

( )

( ) ( )

sin' cos sin

sin'' sin' sin

...

sin sinn

x x x2

x x x 22 2

x x n2

π

π π

π

= = +

= + = +

= +

de unde( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

sin sin sin

sin sin sin

sin sin sin

2n

4n 1

4n 3

0 2n n 02

0 4n 1 12 2

30 4n 3 12 2

π π

π π

π π

+

+

= = =

= + = =

= + = = −

ObŃinem aşadar dezvoltarea:( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sin' sin sin sin sin ...

! ! !

...! ! !

2 32 3

3 5 7

0 0 x x 0 x x x

1 2 3

x x x x

3 5 7

= + + + + =

= − + − +

Şi în cazul acestei serii domeniul de convergenŃăeste ( ) ,−∞ ∞ .



Seminarul 10Construc Ńia graficului unei func Ńii reale.

Recapitulare pentru unitatea de înv ăŃare “Func Ńii reale”

Limite de func Ńii

Ne punem problema studierii comportamentului unei funcŃii în jurul unui punct 0 x . Nu neinteresează valoarea funcŃiei în punctul respectiv, deci0 x nu trebuie să aparŃină în modobligatoriu domeniului de definiŃie, dar trebuie să fie punct de acumulare al acestuia.

Defini Ńie Fie 0: , ' f D x D→ . Spunem că 0

lim ( ) x x

f x l→

= dacă pentru ocire unitateV a lui l

considerăm, există o vecinătateU a lui 0 x astfel încât 0( ) \{ } ( ) x U D x f x V ∩ .

Dacă limita fununei funcŃii într-un punct există, atunci aceasta este unică.

Opera Ńii cu limite de func Ńii Deoarece limitele de funcŃii se pot defini cu ajutorul limitelor deşiruri, a face operaŃii cu limite defuncŃii revine la a face operaŃii cu limite deşiruri, deci toate teoremele referitoare la operaŃiile culimite de şiruri rămân valabileşi în cazul operaŃiilor cu limite de funcŃii, adică pentru

0 , f g x D D avem:1)

0 0lim ( ) lim ( )

x x x xkf x k f x

→ →=

2) ( )0 0 0

lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) x x x x x x

f x g x f x g x→ → →

+ = +

3) ( )0 0 0

lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) x x x x x x

f x g x f x g x→ → →

=

4)0

00

lim ( )( )lim ( ) lim ( )

x x

x x x x

f x f xg x g x

→

→→

=

5) ( ) 0

0 0

lim ( )( )lim ( ) lim ( ) x x

g xg x

x x x x f x f x

→

→ →

=

Cazurile de nedeterminare sunt aceleaşi şi în cazul operaŃiilor cu limite de şiruri:0 00, , ,0 ,1 ,0 ,

0∞±∞

∞ − ∞ ∞ ∞±∞

Trecerea la limit ă în inegalit ăŃi

1)

Dacă ( ) ( ) f x g x<

atunci 0 0lim ( ) lim ( ) x x x x f x g x→ →≤

.2) Teorema cleştelui: dacă ( ) ( ) ( )g x f x h x< < şi dacă există

0 0lim ( ) lim ( )

x x x xh x g x l

→ →= = ,

atunci existaşi0

lim ( ) x x

f x l→

=

Limite laterale



Dacă 0 x este punct de acumulare pentru f D , vom numi limita stângă în 0 x

0

0lim ( ) ( 0)0

x x

sl f x f x x x

<

= = −→

şi respectiv limita dreaptă în 0 x

0

0lim ( ) ( 0)0

x x

d l f x f x x x

>

= = −→

.

Obs. 1. Dacă : ( , ) f a b → , în punctula nu putem vorbi decât despre limută dreaptă, iar înb doar de limită stângă.2. Dacă 0 x este punct de acumulare din domeniul funcŃiei şi au sens sl şi d l în 0 x , atunci există şi

0lim ( ) s d

x x f x l l

→ = .

Propozi Ńie Dacă 0

0, : , ', lim ( ) 0 x x

f g D x D f x→

→ = şi g este mărginită, atunci

0lim ( ) ( ) 0

x x f x g x

→ = .

AplicaŃii Să se calculeze limitele:

a) 0

1lim sin x x x→

b)0

1lim cos , 0 x

x x

α

α →

>

Func Ńii continue

Dacă f nu are limită într-un punct 0 x , atunci graficul se întrerupe în acest punct.Dacă f are limită în 0 x , dar limita este diferită de valoarea funcŃiei, de asemenea graficul se întrerupe.Problema studierii neîntreruperii graficului funcŃiei, deci a continuităŃii funcŃiei într-un punct 0 x se poate pune numai dacă 0 x aparŃine domeniului de definiŃie al funcŃiei.Defini Ńie Fie 0: , ' f E x E E → ∩ . Spunem că f este continuă în 0 x dacă există

00lim ( ) ( )

x x f x f x

→= .

Obs. 1. În punctele izolate ale domeniului de definiŃie o funcŃiei este continuă.2. FuncŃiile elementare sunt continue în toate punctele domeniului lor de definiŃie.3. Dacă f nu este continuă în 0 x , spunem că 0 x este punct de discontinuitate al funcŃiei.Spunem că 0 x este punct de discontinuitate de prima speŃă, dacă există limite laterale finite înpunctul 0 x . Punctele de discontinuitate care nu sunt de speŃa întâi se numesc puncte dediscontinuitate de speŃa a doua.Defini Ńie Fie : f I → . Spunem că f este continuă pe I , dacă f este continuă în orice punct x I .FuncŃiile elementare sunt continue pe domeniile lor de definiŃie. Compunerea a două funcŃiicontinue rămâne funcŃie continuă.Defini Ńie Fie : f I → . Spunem că f are proprietatea lui Darboux dacă de îndată ce f ia două valori distincte, f ia orce valoare intermediară.



Propriet ăŃi ale func Ńiilor continue 1. Dacă f este continuă în 0 x şi 0( ) 0 f x > ( 0( ) 0 f x < ) rezultă că există o vecinătate V a

lui 0 x astfel încât( ) ( ) 0 x V f x > (respectiv ( ) 0 f x < ).2. Dacă f este continuă pe I , atunci f are proprietatea lui Darboux.

ConsecinŃea) f e continuă pe [ , ]a b şi ( ) ( ) 0 f a f b < rezultă că există ( , )a bξ astfel încât

( ) 0 f ξ = .b) Dacă f este continuă pe I şi f nu se anulează pe I , atunci f păstrează semn constant pe I .3. Dacă f este continuă, atunci f conută cu operaŃia de trecere la limită:

( )0 0

lim ( ) lim ( ) x x x x

f g x f g x→ →

=

.

4. Dacă f este continuă pe un interval închisşi mărginit, atunci f este mărginită şi î şi atingeefectiv marginile (adică există u,v astfel încât f(u)=m şi f(v)=M ).

Func Ńii derivabile. Derivata unei func Ńii

Problema tangentei

Defini Ńie Dreapta tangentă la curba ( ) y f x= în punctul ( , ( ))P a f a este dreapta care trece prin

P şi are panta ( ) ( )lim x a

f x f am

x a→

−=

−cu condiŃia ca această limită să existe.



O altă expresie a pantei se obŃine notândh x a x a h= − = + ; când 0 x a h→ → deci

0

( ) ( )limh

f a h f am

h→

+ −= .

Derivata unei func Ńii

Fie : f I → ( mulŃimea I este formată numai din puncte de acumulare). Se numeşte derivata

funcŃiei f în punctula şi se notează cu f ’(a) limita ( ) ( )lim x a

f x f a x a→

−

−.

Deci ( ) ( )'( ) lim x a

f x f a f a

x a→

−=

−. Dacă această limită nu există se spune că f nu este derivabilă în

punctula .

Interpretarea geometric ă a derivatei unei func Ńii f într-un punct a

'( ) f a reprezintă panta tangentei la f G în punctula .

Obs. Dacă '( ) f a = ±∞ antunci tangenta la f G este paralelă cu axa OYşi ecuaŃia tangentei este X a= .Dacă '( ) f a este finită, atunci ecuaŃia tangentei la f G în punctula este

( ) '( )( )Y f a f a X a− = −

Derivate laterale

( ) ( )' ( ) lims x a

x a

f x f a f a

x a→

<

−=

−

( ) ( )' ( ) limd x a

x a

f x f a f a x a→

>

−=−

Defini Ńie f este derivabilă pe I dacă f este derivabilă în orice punct x I .

Teorem ă O funcŃie derivabilă într-un punct este continuă în acel punct.Obs. Reciproca nu este adevărată: : , ( ) | | f f x x→ = este continuă în 0, dar nu estederivabilă în 0.

Putem defini o funcŃie care face ca oricărui punct x I să-i asocieze derivata funcŃiei în acest

punct, adică dacă f e derivabilă pe I atunci se numeşte funcŃia derivată sau derivata pe I , funcŃia' : f I → , '( ) x f x→

Teorema lui Darboux Derivata unei funcŃii derivabile are proprietatea lui Darboux.

Reguli de derivare1. Dacă , : f g I → sunt derivabile pe I , atunci( ) ' ' ' f g f g+ = + .2. Dacă , : f g I → sunt derivabile pe I , atunci( ) ' ' ' f g f g fg = + .



3. Dacă , : f g I → sunt derivabile pe I , iar 0g ≠ atunci'

2' ' f f g fg

g g

−=

Derivarea funcŃiilor compuseFie : , : f I J g J → → astfel încât f este derivabilă în a I şi g este derivabilă în b J ,

unde ( )b f a=

, atunci g f este derivabilă în a şi ( ) '( ) '( ( )) '( )g f a g f a f a=

.Derivate de ordin superior Fie : f I → derivabilă pe I . Se numeşte derivata de ordinul al doilea a funcŃiei f , derivata lui

' f : "( ) ( '( )) ' f x f x= . Analog avem ( ) ( 1)( ) ( ( )) 'n n f x f x−= .Dacă o funcŃie admite derivate de orice ordin, f se numeşte indefinit derivabilă.

Formula lui Leibniz( ) ( ) ( )

0( )

nn k n k k

nk

f g C f g−

=

= ∑

Puncte de extrem Fie : f I → 1. 0 x I se numeşte punct de maxim relativ al funcŃiei f dacă există o vecinătate V a lui 0 x astfel încât 0( ) ( ) ( ) x V f x f x ≤ .2. 0 x I se numeşte punct de minim relativ al funcŃiei f dacă există o vecinătateV a lui 0 x astfel încât 0( ) ( ) ( ) x V f x f x ≥ .

Teorema lui Fermat Fie : f I → , f derivabilă pe I . Dacă 0 x este punct interior al intervalului I şi 0 x este punct de extrem, aunci 0'( ) 0 f x = .

Obs. 1. Deoarece din teorema lui Fermat în punctele de extrem ale unei funcŃii derivabile,derivata sa se anulează, vom căuta punctele de extrem printre rădăcinile derivatei, motiv pentrucare aceste poartă numele de puncte critice.2. Teorema nu rămâne adevărată dacă punctele de extrem se află la capetele intervalului.3. Reciproca teoremei lui Fermat este adevărată.

Defini Ńie FuncŃia :[ , ] f a b → se numeşte funcŃie Rolle dacă f este continuă pe [ , ]a b şi estederivabilă pe ( , )a b .

Rolul derivatei întâi în studiul func Ńiilor

Fie:

f I → , f derivabilă pe I . Dacă - '( ) 0, ( ) f x x I > , atunci f este strict crescătoare pe I - '( ) 0, ( ) f x x I < , atunci f este strict descrescătoare pe I .

Rolul derivatei a doua în studiul func Ńiilor



Defini Ńie O funcŃie : f I → , I interval se numeşte convexă dacă oricare ar fi 1 2, x x I şioricare ar fi [0,1]t avem 1 2 1 2((1 ) ) (1 ) ( ) ( ) f t x tx t f x tf x− + ≤ − + .Defini Ńie O funcŃie : f I → , I interval se numeşte concavă, dacă f − este convexă.

Teorem ă Fie :[ , ] f a b → continuă. Presupunem că există ' f şi " f pe ( , )a b , iar"( ) 0, ( ) ( , ) f x x a b≥ , atunci f este convexă pe [ , ]a b .

Defini Ńie Fie : f I → o funcŃie continuă. Punctul 0 x I diferit de capete, se numeşte punctde inflexiune al lui f dacă există 0 xα β < < astfel încât f este convexă pe 0( , ) xα şi concavă pe

0( , ) x β (sau invers).

Asimptotele func Ńiilor reale

Defini Ńie Spunem că dreapta y a= e asimptotă orizontală la +∞ (respectiv la−∞ ) a funcŃiei f dacă lim ( )

x f x a

→+∞= ( sau lim ( )

x f x a

→−∞= ).

Defini Ńie Spunem că dreapta y mx n= + e asimptotă oblică la +∞ a funcŃiei f dacă există şi sunt

finite limitele ( )lim x

f xm

x→+∞= şi lim ( ( ) )

x f x mx n

→+∞− = .

Defini Ńie Dacă b este punct de acumulare pentru domeniul maxim de definiŃie al unei funcŃii f , f nu este definită în b şi dacă lim ( )

x b

x b

f x→

<

= ±∞ sau lim ( ) x b

x b

f x→

>

= ±∞ atunci dreapta x b= se

numeşte asimptotă verticală.

Obs. 1. Dacă există asimptote orizontale nu mai căutăm asimptote oblice.

2. Dacă nu există asimptote orizontaleşi( )lim 0

x

f x x→±∞

= , atunci nu există nici asimptote oblice.

3. Asimptotele verticale se caută în capetele finite ale domeniului de definiŃie, care nu aparŃindomeniului.



Trasarea graficului unei func Ńii Paşii de parcurs:

1. Domeniul: se determină domeniul de definiŃie al funcŃiei f 2. IntersecŃiile cu axele: intersecŃia cu axa OY se determină calculând f(0) , iarintersecŃiile cu OX se determină rezolvând ecuaŃia ( ) 0 f x = 3. Simetrii: a) dacă ( ) ( ) f x f x= − , atunci f este pară şi f G este simetric faŃăde OY;

b) dacă ( ) ( ) f x f x= − − , atunci f este impară şi f G este simetric faŃă de origineasistemului de coordonate;c) dacă există 0T > astfel încât ( ) ( ), ( ) f f x T f x x D+ = , atunci f este periodică şise studiază f G pe un interval de lungimea perioadei

4. Asimptote, limiteşi valori la capetele domeniului de definiŃie5. Intervalele de monotonie: se rezolvă ecuaŃia '( ) 0 f x = şi se stabileşte semnul lui

' f 6. Punctele de extrem local: se determină printre punctele critice7. Convexitate şi puncte de inflexiune: se calculează " f , se rezolvă ecuaŃia

"( ) 0 f x = , apoi se stabileşte semnul lui " f 8. Se alcătuieşte tabelul de variaŃie.9. Trasarea graficului: folosind informaŃiile obŃinute la punctele 1 – 8 se schiŃează

graficul. Se trasează asimptotele ca linii punctate. Se marchează punctele deintersecŃie cu axele, punctele de extremşi cele de inflexiune. Apoi facem ca f G să treacă prin aceste puncteŃinând cont de 5. cu convexitatea stabilită la 7.şi apropiindu-ne de asimptote. Dacă se doreşte o precizie mai mare într-un anumit punct, se va calculavaloarea derivatei în acel punct. Tangenta va indica direcŃia în care se îndreaptă

f G în

apropierea acelui punct. Obs. Nu toate punctele de mai sus sunt relevante pentru orice funcŃie. De exemplugraficul unei funcŃii poate să nu intersecteze axa OX, sau poate sa nu admită simetrii, sauasimptote, etc.

Exemplu Să se traseze graficul funcŃiei2

22( )

1 x

f x x

=−

.

1. Domeniul funcŃiei este 2{ | 1 0} ( , 1) ( 1,1) (1, ) f D x x= − ≠ = −∞ − − ∞ .

2.G intersecteaz

ăambele axe în (0,0).

3. Întrucât ( ) ( ) f x f x= − f este pară şi f G este simetric faŃăde OY.

4. Avem , deci dreapta 2 y = este asimptota orizontală la ±∞ . Întrucât -1şi 1 sunt capete finite ale domeniului studiem existenŃa asimptotelor verticale în aceste puncte:



Rezultă deci că 1 x = − şi 1 x = sunt asimptote verticale.5. Calculăm derivata de ordinul întâi

Deoarece '( ) 0 f x > când 0( 1) x x< ≠ − şi respectiv '( ) 0 f x < când 0( 1) x x> ≠ , rezultă că f este crescătoare pe intervalele ( , 1)−∞ − şi ( 1,0)− şi este descrescătoare pe (0,1)şi pe(1, )+∞ .6. Singurul punct critic este 0 x = . Deoarece ' f se schimbă de la pozitiv la negatic în 0,

(0) 0 f = este punct de maxim local.

7. Calculăm derivata de ordinul al doilea

Deoarece pentru orice x , avem

şiDeci f este convexă pe intervalele ( , 1)−∞ − şi (1, )+∞ , iar pe intervalul ( 1,1)− funcŃia econcavă. Nu avem puncte de inflexiune deoarece -1şi 1 nu aparŃin domeniului funcŃiei.9.



Exerci Ńii propuse Să se traseze graficele următoarelor funcŃii:

1.2

( )1

x f x

x=

+

2.ln

( )x

f x x= 3. ( ) x f x x e−= +

4.3

2( )1

x f x

x=

−

5.2

( )1

x f x

x=

+

6. ( ) x f x xe= 7. 2( ) ln(9 ) f x x= −

8. 2( ) 9 x

f x x= − 9. ( ) 2 f x x x= − 10. ( ) ln f x x x=

ATEN ł IE ! La examen nu se va cere trasarea efectivă a graficelor acestor funcŃii, dar sevor pune întrebări din etapele 1-7 din trasarea graficului pentru functiile de mai sus. Deexemplu se pot cere limitele la capetele domeniului de definitie, determinarea intervalelorde monotonie, determinarea punctelor de extrem, a celor de inflexiune, etc.

seminarii 6

Documents