1. Scrierea i citirea numerelor naturale

Scrierea. Pentru scrierea unui numr natural se folosesc unul sau mai multe din urmtoarele zece simboluri, numite cifre arabe:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Ele se pot repeta sau nu. Acest mod de scriere a unui numr natural se numete sistem zecimal, sau n baza zece, pentru c zece uniti de un anumit ordin formeaz o unitate de ordin imediat mai mare. Prima cifr a unui numr natural format din mai mult de dou cifre este diferit de 0.

Exemple: 275 2 100 7 10 5 , 8086 8 1000 0 100 8 10 6 .

Citirea. n scrierea oricrui numr natural, locul ocupat de fiecare cifr reprezint un anumit ordin(uniti, zeci, sute, uniti de mii, ...). Fiecare grup de trei ordine consecutive(uniti, zeci, sute) formeaz o clas(clasa unitilor, clasa miilor, clasa milioanelor, clasa miliardelor,...)

Pentru a citi un numr natural, grupm cifrele cte trei de la dreapta spre stnga. Scrierea numerelor n baza zece este o scriere poziional. Fiecare cifr are o anumit valoare dup locul unde este scris.

Exemplu. n numrul 23 472 508 216, cifra 2 apare de trei ori, de la dreapta spre stnga i ea are urmtoarele valori: sute, milioane i respectiv zeci de miliarde.

sute

de

mil

iard

e

zeci

de

mil

iard

e

mil

iard

e

sute

de

mil

ioan

e

zeci

de

mil

ioan

e

mil

ioan

e

sute

de

mii

zeci

de

mii

mii

sute

zeci

un

it

i

2 3 4 7 2 5 8 8 2 1 6

clasa

miliardelor

clasa

milioanelor

clasa

miilor

clasa

unitilor

Descompunerea zecimal. Orice numr natural de dou sau mai multe cifre se scrie n mod unic sub forma unei sume de produse ntre fiecare cifr din scrierea numrului i ordinul cifrei respective , ca de exemplu:

10 ,ab a b 100 10 ,abc a b c 1000 100 10abcd a b c d .

Observaie. Determinarea numrului de numere naturale n cuprinse ntre dou numere naturale a i b date:

- de la 1 la n sunt n numere naturale, iar de la 0 la n sunt 1n numere naturale;

- n general, de la a la b (incluzndu-le pe a i b) sunt 1b a numere naturale.

1. Citii numerele:

a) 84305027; b) 5000002; c) 205017;

d) 111111; e) 211005; f) 67403067.

Rezolvare. a) Grupm numrul n grupe de cte trei cifre de la dreapta spre stnga 84 305 027 i citim optzeci i patru de milioane trei sute cinci mii douzeci i apte

2. Citii numerele: a) 123000456; b) 985420; c) 203005023;

d) 987654321; e) 100005; f) 403067;

g) 98700654; h) 120; i) 202022.

3. Scriei n baza zece, cu cifre arabe, numerele: a) douzeci i apte; b) trei sute cincizeci i opt; c) dou mii trei; d) cinci mii opt; e) nou mii apte sute cinci; f) trei milioane cinci; g) trei mii; h) trei mii dou sute trei; i) dou sute ase.

4. Scriei n baza zece, cu cifre arabe, numerele: a) dou milioane opt sute treizeci i apte de mii doi; b) apte milioane trei mii ase sute cinci; c) treizeci i apte de milioane optzeci de mii ase; d) patruzeci i trei de mii opt sute unu.

5. Scriei n baza zece, cu cifre arabe, numerele: a) apte mii nou sute optzeci i doi; b) cinci mii douzeci i apte; c) trei milioane nou mii unsprezece; d) patru sute de mii douzeci i trei.

6. a) Scriei patru numere impare cu suma cifrelor 3. b) Scriei trei numere impare cu produsul cifrelor 6. c) Scriei patru numere pare cu suma cifrelor 10.

7. Cte numere cuprinse ntre 30 i 60 conin: a) cifra 4; b) dou cifre identice; c) cifrele 1 sau 8?

8. Dai trei exemple de numere naturale de forma abcdcba i apoi citii-le.

9. Cte cifre se folosesc pentru a scrie toate numerele naturale pn la 20 inclusiv?

10. Cte cifre se folosesc, n total, pentru a scrie toate numerele de la 1 la 35, inclusiv 1 i 35?

11. De cte ori se utilizeaz cifra 5 pentru a scrie toate numerele naturale de 3 cifre?

12. a) Scriei 4 numere pare, avnd suma cifrelor 3. b) Scriei 4 numere impare de dou cifre, avnd diferena cifrelor egal cu 1.

13. Cte numere naturale, cuprinse ntre 500 i 550, conin: a) cifra 3; b) dou cifre identice; c) cifrele 0 i 7?

Rezolvare. a) Numerele care conin cifra 3 sunt: 503, 513, 523, 543 i 530, 531, 532, ..., 539. n total sunt 14 numere.

14. a) Determinai numerele de forma abc tiind c 3 100 7 10 9.abc

b) Determinai cifrele , ,a b c tiind c 789 100 10a b c .

c) Determinai cifrele , , ,a b c d tiind c 3 4 5 1000 100 7 10a c b d .

15. a) Determinai numerele de forma 2 5a b tiind c produsul cifrelor sale este 120.

b) Determinai numerele de forma 11 3 7a b tiind c suma cifrelor sale este 17.

16. a) Aflai numerele naturale ab pentru care 2 2a b ba .

b) Aflai numerele naturale abc pentru care 4a bc cbaa .

c) Cte numere naturale abcd verific egalitatea 7a bd cadb ?

17. a) Cte numere naturale sunt de la 1 la 34? Dar de la 0 la 25? Dar de la 7 la 28? b) Cte numere naturale sunt de la 1 la 9? Dar de la 11 la 75? Dar de la 111 la 211? Rezolvare. a) De la 1 pn la 34 sunt 34 numere naturale. De la 0 pn la 25 sunt 25-0+1=26 numere naturale. De la 7 pn la 28 sunt 28-7+1=22 numere naturale.

18. a) Cte numere pare i cte impare sunt de la 127 pn la 579? b) Determinai cte numere pare sunt de la 444 pn la 2012. c) Pe ecranul calculatorului sunt scrise numerele de la 600 la 2013. Alin scrie un program care terge de pe

ecran numerele pare. Cte numere rmn pe ecran?

Rezolvare a) Utilizarea unui contor de numrare.

Numerele impare de la 127 pn la 579 se scriu astfel: 127 2 1, 63 129 2 1 64 , 131 2 1 65 , ,

577 2 1, 579 2 1 287 289 .

Urmrind numerele scrise ngroat, observm c fiecrui numr impar dintre 127 i 579 i corespunde un numr natural (contorul) cuprins ntre 63 i 289. Aadar, trebuie s gsim cte numere naturale sunt de la 63 pn la 289, adic

289 63 1 227 numere.

Practic, se observ c toate numerele impare cuprinse ntre 127 i 579 se pot scrie sub forma 2 1k , unde k (pe

care l vom numi contor) ia valori consecutive de la 63 la 289, iar problema se reduce la determinarea numrului de valori pe care le ia contorul.

n acelai fel, numerele pare cuprinse ntre 127 i 579 sunt 128 2 64 , 130 2 65 , , 578 2 289 , deci

contorul ia valori de la 64 la 289. Ca urmare, ntre 127 i 579 sunt 289 64 1 226 numere naturale pare.

Metoda contorului de numrare poate fi utilizat, n general, pentru determinarea numrului de termeni ai unei secvene de numere naturale care se obin numrnd din r n r ncepnd de la primul termen al secvenei, unde r este un numr natural nenul dat. O astfel de secven se numete progresie aritmetic, iar r se numete raia progresiei.

19. a) Scriei primele 12 numere din irul numerelor naturale. b) Care este al 57-lea numr natural din irul numerelor naturale nenule? c) Care este al 33-lea termen numr par din irul numerelor naturale?

20. Utiliznd, eventual, metoda contorului, aflai cte numere se gsesc n irul: a) 1, 2, 3, ..., 30; b) 10, 11, 12, ..., 30; c) 2, 4, 6, 8, ..., 200;

d) 0, 1, 2, 3, ..., 19; e) 17, 18, 19, ..., 156; f) 11, 13, 15, 17, ..., 137;

g)15, 20, 25, ..., 125; h) 9, 12, 15, ..., 249; i) 6, 12, 18, ..., 660.

21. a) Care este al 37-lea numr natural par din irul numerelor naturale? b) Care este al 138-lea numr natural impar din irul numerelor naturale?

Rezolvare. Cum irul numerelor naturale este 0, 1, 2, ..., n, ... numerele pare fiind de forma 2k, k , obinem c 2 36 = 72 este al 37-lea numr par.

22. a) Cte numere impare se gsesc n irul: 5, 6, 7, 8, ..., 20? b) Cte numere pare se gsesc n irul: 2, 4, 6, 8, ..., 80?

23. Scriei urmtorii 3 termeni pentru fiecare din irurile de mai jos: a)10, 16, 22, ..., ..., ... b) 10, 21, 32, ..., ..., ... c) 2, 6, 18, ..., ..., ...

d) 5, 11, 23, ..., ..., ... e) 4, 11, 32, ..., ..., ... f) 12, 23, 34, ..., ..., ...

24. a) Cte numere de dou cifre exist? Cte numere impare de trei cifre exist?

b) Aflai cte numere de dou cifre distincte exist.

c) Determinai numrul de numere pare de forma 5ab c .

d) Determinai cte numere pare sunt de forma 2 6ab c .

Rezolvare.

a) Prima cifr a unui numr de dou cifre ab poate fi oricare cifr de la 1 pn la 9, adic se poate alege n 9

moduri. Pentru a doua cifr sunt 10 posibiliti de alegere poziie, adic oricare dintre cifrele de la 0 pn la 9. Pentru

fiecare cifr a putem scrie oricare din cele 10 cifre b, deci vor fi 9 10 90 numere naturale.

Dac abc este un numr impar, atunci cifra a poate lua 9 valori, cifra b 10 valori, iar cifra c 5 valori (1, 3, 5, 7 sau

9), deci sunt 9 10 5 450 numere impare de trei cifre.

Metoda folosit mai sus se numete:

Regula produsului. Dac un cuvnt este format din n litere i dac pentru litera de pe locul k (unde

1,2,...,k n ) exist ka posibiliti de alegere, independente de alegerile literelor anterioare, atunci numrul

cuvintelor formate din n litere este egal cu 1 2 ... .na a a

25. Utiliznd eventual regula produsului, determinai: a) Cte numere de dou cifre se pot forma, folosind numai cifrele 5 i 7? b) Cte numere de trei cifre se pot forma, folosind numai cifrele 2, 3 i 4? c) Cte numere de trei cifre distincte se pot forma, folosind numai cifrele 1, 2 i 3? d) Cte numere pare de trei cifre se pot forma cu cifrele 2, 5, 7 i 6? e) Cte numere impare de patru cifre se pot forma cu numerele 1, 2, 3 i 4?

26. a) Cte cifre arabe s-au folosit pentru numerotarea unei cri cu 100 de pagini? b) Pentru numerotarea paginilor unei culegeri de matematic s-au folosit 450 cifre. Cte pagini are culegerea?

27. Utiliznd eventual regula produsului, determinai:

a) Cte numere naturale de 6 cifre ncep cu 123?

b) Cte numere naturale de 6 cifre se termin cu 123? c) Cte numere naturale de 6 cifre conin secvena de cifre 123? d) Cte numere naturale de 6 cifre distincte se termin cu 123?

28. a) Cte numere naturale de patru cifre se pot forma cu cifrele 2, 5 i 8? b) Cte numere naturale de patru cifre se pot forma cu cifrele 0, 2, 7?

29. a) Cte cifre arabe s-au folosit pentru numerotarea unei cri cu 1024 de pagini? b) Pentru numerotarea paginilor unei enciclopedii s-au utilizat 3389 cifre. Cte pagini are enciclopedia?

30. a) Cte numere impare se gsesc n irul: 17, 18, 19, ..., 173? b) Cte numere pare se gsesc n irul: 3, 6, 9, 12, 15, 18, ..., 300?

c) Cte numere conine urmtorul ir: 11, 16, 21, ..., 2011?

31. a) Cte numere naturale de forma aba cu 0a i ba exist?

b) Cte numere naturale au forma abcabc , cu 0 i a a b c a ?

c) Cte numere naturale sunt de forma abc , cu 0a i a b c ?

32. a) Cte numere naturale au forma abcd , cu 0a i a b c d ?

b) Cte numere naturale impare sunt de forma abcd cu 0a i dcba ?

c) Cte numere naturale sunt de forma abc i au produsul cifrelor numr impar?

33. a) Determinai numerele naturale de forma abc tiind c 3a c .

b) Determinai numerele naturale de forma abc tiind c 6a c b .

34. Aflai numrul perechilor de numere naturale consecutive de forma 3ab , 4ca .

35. Se formeaz numrul natural 35355355535555... dup regula: dup primul trei un cinci, dup al doilea trei doi de cinci, dup al treilea trei se scriu trei de cinci .a.m.d. a) Care este cifra de pe poziia 21? b) A cta cifr a numrului va fi a zecea cifr de 3?

36. Determinai al 13-lea numr din irul de numere: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... .

37. Aflai cte numere au n comun irurile 10, 15, 20, ..., 2010 i 10, 14, 18, ..., 2010.