riscul si rentabilitatea

PIETE DE CAPITAL

CURS 5. RISCUL ŞI RENTABILITATEA INSTRUMENTELOR FINANCIARE (II)

Asist. univ. drd. Alina GRIGORE

Catedra de MONEDĂ

Facultatea de Finanţe, Asigurări, Bănci şi Burse de Valori

CUPRINSI. Riscul şi rentabilitatea unui portofoliu format din două active cu

risc

II. Relaţia risc – rentabilitate. Portofolii eficiente

III. Relaţia risc – rentabilitate pentru portofolii formate dintr-un activ cu risc şi un activ fără risc

IV. Efectul diversificării asupra riscului. Observaţii empirice.

V. Frontiera portofoliilor optime formate numai din active cu risc

VI. Frontiera portofoliilor eficiente ce includ şi un activ fără risc

Bibliografie: Bodie, Z., A. Kane, and A. J. Marcus (2007): Essentials of

Investments, 6th edition, McGraw Hill International Edition Harry Markowitz (1952): Portfolio selection, The Journal of Finance,

Vol.7, No.1 Reilly, F., and K. Brown (2006): Investments Analysis and Portfolio

Management, 8th edition, South-Western, Div of Thomson Learning; International Ed.

Copeland, T. And J. F. Weston (1988): Financial Theory and Corporate Policy, Addison-Wesley Publishing Company

RISCUL ŞI RENTABILITATEA UNUI PORTOFOLIU FORMAT DIN 2 ACTIVE RISCANTE1. Rentabilitatea unui portofoliu:

2. Rentabilitatea aşteptată a unui portofoliu:

3. Varianţa portofoliului:

Unde,

Observaţie!

1. σAA = σA2

2. O covarianţă pozitivă arată că randamentele celor două active tind să se modifice în aceeaşi direcţie.

3. O covarianţă negativă indică o tendinţă a randamentelor a două active de a evolua în sens opus (altfel spus, când randamentul unui activ creşte, de regulă, randamentul celuilalt scade).

BBAAP RwRwR Pe măsură ce covarianţa scade, riscul portofoliului scade şi el. Cu alte

cuvinte, prin diversificare riscul asumat se reduce.

RISCUL ŞI RENTABILITATEA UNUI PORTOFOLIU FORMAT DIN 2 ACTIVE RISCANTE

Exemplul 10: Să considerăm următoarele randamente istorice pentru două acţiuni A şi B:

RA (%) 2 -3 2 -3 -1 2 3 -2 5 -3

RB (%) 3 -1 -2 4 -1 1 -3 2 -1 2

Randamentul anticipat pentru fiecare acţiune este:

Riscul (calculat prin deviaţia standard ) pentru fiecare acţiune este:

Covarianţa dintre randamentul acţiunii A şi B este:

RISCUL ŞI RENTABILITATEA UNUI PORTOFOLIU FORMAT DIN 2 ACTIVE RISCANTE

Dacă se investeşte o pondere de 30 % în A şi restul de 70% în B atunci rentabilitatea şi riscul portofoliului sunt:

Observaţie!1.Dacă s-ar investi doar în acţiunea A riscul asumat va fi de 2.9364%. 2.Dacă s-ar investi doar în acţiunea B atunci riscul asumat va fi de 2.3190%. 3.Prin diversificare, adică prin formarea unui portofoliu cu cele două acţiuni riscul asumat se reduce la 1.4377%. 4.Dacă se modifică ponderile investite în cele două active se va schimba şi riscul portofoliului, dar el va rămâne întotdeauna mai mic sau cel mult egal cu media ponderată a riscurilor individuale ale celor două acţiuni (această afirmaţie va fi demonstrată mai jos! )

%

COEFICIENTUL DE CORELAŢIE Ca şi varianţa, covarianţa se exprimă în „procente la pătrat” şi este

greu de interpretat. De pildă, este incert în ce măsură o covarianţă de - 3.20, cât am

obţinut în exemplul anterior, înseamnă o legătură puternică sau una slabă!

Utilizarea unui alt indicator: coeficientul de corelaţie

Observaţii!

1. Spre deosebire de covarianţă a cărei valoare variază în intervalul, coeficientul de corelaţie ia valori doar în intervalul [-1, 1].

2. Dacă atinge limita superioară (ρ = 1), atunci randamentele sunt perfect pozitiv corelate (adică, ori de câte ori RA creşte, RB creşte şi el).

3. Dacă atinge limita inferioară (ρ = -1), atunci randamentele sunt perfect negativ corelate (când RA scade, RB creşte).

4. Dacă ρ = 0, atunci randamentele sunt independente.

COEFICIENTUL DE CORELAŢIE Interpretare grafică: Dacă ρ = 1, într-o

reprezentare grafică de coordonate RA0RB („scatter plot”) randamentele sunt pe o dreaptă cu o pantă pozitivă.

Prin urmare,

COEFICIENTUL DE CORELAŢIE

În realitate randamentele nu sunt nici perfect pozitiv şi nici perfect negativ corelate.

Randamente pozitiv / negativ corelate

a). Randamente pozitiv corelate (ρ = 0.72)

COEFICIENTUL DE CORELAŢIE b). Randamente negativ corelate (ρ = - 0.80)

Astfel, utilizând coeficientul de corelaţie, riscul portofoliului format din două active financiare se determină:

Pe măsură ce coeficientul de corelaţie scade, riscul portofoliului scade şi el.

COEFICIENTUL DE CORELAŢIE. DIVERSIFICARE Cu cât coeficientul de corelaţie este mai mic cu atât este mai puternic

efectul diversificării asupra reducerii riscului. Pentru ρ= -1, varianţa portofoliului este:

Iar deviaţia standard devine:

Pentru ρ=1 (randamentele sunt perfect pozitiv corelate) riscul portofoliului devine:

Observaţii! Pentru ρ=1, diversificarea nu are niciun efect asupra riscului, deoarece

riscul este în acest caz egal cu media ponderată a riscului celor două active.

Deşi rentabilitatea unui portofoliu este egală cu media ponderată a rentabilităţilor individuale ale activelor componente, riscul portofoliului este cel mult egal cu media ponderată a riscurilor individuale ale activelor, acest plafon fiind atins în cazul mai puţin realist al unui coeficient de corelaţie de 1.

RELAŢIA RISC – RENTABILITATE. PORTOFOLII EFICIENTE

Harry Markowitz (University of Chicago,1952) –

- Există o frontieră a portofoliilor eficiente? Harry Markowitz (1952): Portfolio selection, The Journal of

Finance, Vol.7, No.1 (1990) – Harry Markowitz – Premiul Nobel pentru Economie


Cu doar două active putem construi o infinitate de portofolii şi prin urmare se pot determina o infinitate de combinaţii risc – rentabilitate. Din punct de vedere geometric relaţia risc – rentabilitate pentru portofolii de active riscante este o hiperbolă.

Exemplul 11: Să considerăm un portofoliu format din două acţiuni A şi B. Rentabilitatea anticipată a acţiunii A este de 50%, iar a acţiunii B de 10%. Varianţa pentru A este de 50%, varianţa pentru B de 30%, iar coeficientul de corelaţie de -0.5.

Cu aceste acţiuni s-au construim 12 portofolii, iar pentru fiecare portofoliu s-a calculat randamentul mediu şi riscul (deviaţia standard). Rezultatele sunt ilustrate în tabelul următor:


Nr. portofoliu wA wB Risc Var(Rp) E(Rp)

1 0 1 0.547723 0.3 0.1

2 0.1 0.9 0.461674 0.213143 0.14

3 0.2 0.8 0.387340 0.150032 0.18

4 0.3 0.7 0.332667 0.110667 0.22

5 0.4 0.6 0.308299 0.095048 0.26

6 0.4158 0.5842 0.307819 0.094753 0.2663

7 0.5 0.5 0.321209 0.103175 0.3

8 0.6 0.4 0.367489 0.135048 0.34

9 0.7 0.3 0.436655 0.190667 0.38

10 0.8 0.2 0.519646 0.270032 0.42

11 0.9 0.1 0.610854 0.373143 0.46

12 1 0 0.707107 0.5 0.5

Observaţi că pe măsură ce rentabilitatea creşte, riscul scade până la un punct după care creşte. În cazul de faţă, riscul minim ce se poate asuma este de 30.78% şi corespunde unui portofoliu format prin investirea unei ponderi de 41.58% în A şi restul de 58.42 % în B.


Punctele din capetele curbei corespund investiţiilor doar într-un singur activ, iar vârful hiperbolei corespunde portofoliului de risc minim (notat cu V). Portofoliile 1, 2, 3, 4, 5 sau orice alt portofoliu aflat pe curba VB (cu excepţia portofoliului V), sunt considerate ineficiente, deoarece se pot crea portofolii cu acelaşi risc dar cu o rentabilitate mai mare, adică portofoliile de pe curba VA (inclusiv V).

Spunem că portofoliile de pe VB sunt dominate de cele de pe VA, şi că acestea din urmă sunt portofolii eficiente (sau optime). In funcţie de aversiunea sa la risc va prefera un portofoliu mai apropiat de V sau mai apropiat de A.

Figura 2. Relaţia risc-rentabilitate


Între riscul şi rentabilitatea unui portofoliu format numai din active cu risc există o relaţie direct proporţională (dacă rentabilitatea anticipată creşte, atunci creşte şi riscul asumat) şi neliniară.

Oare cum se modifică relaţia risc - rentabilitate din figura 2 pentru diferite valori ale coeficientului de corelaţie ?

Figura 3. Relaţia risc- rentabilitate pentru diferite valori ale lui ρ

Observaţie! CORELAŢIA NU IMPLICĂ ŞI CAUZALITATE.De exemplu, când RA creşte RB scade, dar RB scade nu din cauza lui RA.


Observaţii!

Pe măsură ce ρ scade, pentru o rentabilitate fixată, riscul devine mai mic.

De asemenea, observaţi că rentabilitatea unui portofoliu nu se modifică la modificarea coeficientului de corelaţie, ci doar riscul.

De exemplu pentru portofoliul de risc minim (V) care se află la nivelul unei rentabilităţi de 26.63%, pe măsură ce ρ se reduce riscul său scade chiar până la zero.

Prin diversificare, spunem că riscul se reduce, iar figura 3 indică faptul că gradul diversificării este influenţat de coeficientul de corelaţie.

Prin definiţie, un portofoliu este eficient (sau optim) dacă nu există un alt portofoliu cu aceeaşi rentabilitate şi un risc mai mic, sau nu există un alt portofoliu cu acelaşi risc şi o rentabilitate mai mare.


Se observă că portofoliile de pe IA sunt dominate de cele de pe IC; la fel putem spune despre portofoliile de pe IW că sunt dominate de cele de pe IV. Fără o analiză mai complexă decât cea de până acum, nu putem spune dacă portofoliile de pe IC respectiv IV sunt eficiente; putem spune doar că ele domină portofoliile de pe IA respectiv IW.Cu alte cuvinte, pentru a determina portofoliile eficiente trebuie să determinăm relaţia risc – rentabilitate similară celei din figura 2 folosind toate activele cu risc existente.

Figura 4. Portofolii eficiente

Mulţimea portofoliilor eficiente formate doar din active cu risc se numeşte frontiera Markowitz.

RELAŢIA RISC – RENTABILITATE PENTRU PORTOFOLII FORMATE DINTR-UN ACTIV CU RISC ŞI UN ACTIV FĂRĂ RISC

Se consideră un bilet de trezorerie emis emis cu discount ce în prezent este tranzacţionat pe piaţă la preţul de 950 u.m. şi care la scadenţă (să presupunem, 3 luni) va fi răscumpărat la valoarea nominală de 1000 u.m.

În cazul activului fără risc, nu mai este nevoie să specificăm o anumită distribuţie a randamentelor, deoarece există doar un singur randament viitor şi acesta este cert (în exemplul biletului de trezorerie, se obţine un randament de 5.26% cu o probabilitate de 100%).

Notăm randamentul activului fară risc cu rf atunci putem scrie că:

%26.5950

9501000


Dacă formăm un portofoliu din activul fără risc şi un activ cu risc A, atunci rentabilitatea şi riscul acestui portofoliu vor fi:

Cum este relaţia risc rentabilitate pentru un portofoliu format dintr-un activ cu risc şi un activ fără risc? Pentru a demonstra se calculează modificarea rentabilităţii/riscului în raport cu w:

În consecinţă panta relaţiei risc - rentabilitate este:

Se observă că panta este invariabilă în raport cu structura portofoliului şi deci relaţia risc - rentabilitate este liniară.


Dacă w = 0, se obţine σP = 0 respectiv E(RP) = rf, ceea ce înseamnă că relaţia risc - rentabilitate (care este o dreaptă) intersectează axa 0y în punctul rf.

Ecuaţia relaţiei risc – rentabilitate pentru portofolii ce includ şi un activ fără risc va fi:

Relaţia de mai sus se numeşte dreapta fundamentală a pieţei de capital (CML – „Capital Market Line”).

Exemplul 12: Să presupunem că rentabilitatea anticipată a activului cu risc este 10%, rentabilitatea activului fără risc este de 4%, iar deviaţia standard a activului cu risc este de 25%.

Folosind relaţiile discutate putem determina rentabilitatea şi riscul unui set de portofolii, considerând diferite valori pentru w (ponderea investită în activul cu risc). Aici s-au cosiderat 9 portofolii ce corespund unor ponderi w de: 0%, 20%, 40%, 60%, 80%, 100%, 120%, 140% respectiv 160%. Rezultatele sunt prezentate în tabelul următor:


Rezultatele sunt prezentate în tabelul următor:

Portofoliu w E(Rp) σp

1(rf) 0 0.04 0

2 0.2 0.052 0.05

3 0.4 0.064 0.1

4 0.6 0.076 0.15

5 0.8 0.088 0.2

6(A) 1 0.1 0.25

7 1.2 0.112 0.3

8 1.4 0.124 0.35

9 1.6 0.136 0.4

Ponderile mai mari de 100% investite în activul cu risc corespund unor ponderi negative investite în activul fără risc ceea ce reprezintă o poziţie short pe acest activ.

Spre exemplu, dacă dispunem de suma M şi investim 120% din M în activul cu risc şi -20% în activul fără risc, acest lucru înseamnă de fapt că luăm cu împrumut suma 20% din M la rata fără risc, ceea ce ne permite să investim în activul cu risc mai mult cu 20% decât suma de care dispunem (M). Pentru că în acest caz ne asumăm riscuri mai mari, randamentul cerut va fi, bineînţeles, mai mare.


Portofoliile de la 1 la 6 presupun poziţii long pe ambele active şi deci w este mai mic sau egal cu 1 (100%). Portofoliile 7, 8, 9 presupun o poziţie long pe activul cu risc şi o poziţie short pe activul fără risc (w >1).

Figura 5. Relaţia risc – rentabilitate când un activ este fără risc

RISCUL ŞI RENTABILITATEA PORTOFOLIILOR FORMATE DIN N ACTIVE

Pentru cazul în care portofoliile sunt formate din N, se preferă scrierea ecuaţiilor pentru rentabilitate şi risc în formă matricială.

Pentru N=2, rentabilitatea aşteptată şi varianţa unui portofoliu sunt:

Cu condiţia ca suma ponderilor să fie 1.

Pentru N active într-un portofoliu:

EFECTUL DIVERSIFICĂRII ASUPRA RISCULUI

Rescriem ecuaţia varianţei:

Se demonstrează că:

Pe măsură ce numărul de acţiuni dintr-un portofoliu creşte, scade efectul riscurilor individuale (σi) ale acţiunilor componente asupra riscului portofoliului (σP).

Deci riscul portofoliilor foarte bine diversificate depinde de covarianţa dintre acţiunile componente (adică de tendinţa randamentelor lor de a evolua în acelaşi sens sau în sens opus) şi nu de riscul specific acţiunii (al firmei emitente).


Exemplul 13: Se consideră randamentele lunare din perioada 1/2003 – 4/2008 ale 19 acţiuni cotate la BVB, cu următoarele simboluri: amo, atb, apc, azo, cmp, ect, imp, oil, olt, pcl, sif1, sif2, sif3, sif4, sif5, sno, snp, tlv, zim.

Din aceste 19 acţiuni s-a ales în mod aleator o acţiune şi s-a calculat riscul acesteia (deviaţia standard), apoi s-au extras aleator 2 acţiuni şi s-a calculat riscul portofoliului (deviaţia standard) de ponderi egale; după care s-au extras aleator 3 acţiuni şi s-a calculat riscul portofoliului de ponderi egale ş.a.m.d. până la formarea unui portofoliu cu toate cele 19 acţiuni.

a). Varianta 1 b). Varianta 2

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200.09

0.1

0.11

0.12

0.13

0.14

0.15

0.16

0.17

0.18

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200.09

0.095

0.1

0.105

0.11

0.115

0.12

0.125

0.13

0.135

0.14

Figura 6. Efectul diversificării asupra riscului


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200.08

0.09

0.1

0.11

0.12

0.13

0.14

0.15

0.16

0.17

0.18

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200.09

0.1

0.11

0.12

0.13

0.14

0.15

c). Varianta 3 d). Varianta 4

Se observă că pe măsură ce creşte numărul de acţiuni incluse în portofoliu, riscul acestuia scade, dar cu rate descrescătoare.

Reducerea riscului datorată creşterii numărului de acţiuni din portofoliu (cazul pieţei de capital româneşti)

Nr de actiuni 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Varianta 1 49.48 70.88 79.75 83.68 87.14 85.50 85.30 85.88 83.01Varianta 2 48.34 45.20 62.30 46.02 48.49 60.52 65.85 77.09 77.35Varianta 3 62.76 77.07 86.14 92.89 92.52 93.37 94.32 94.75 89.85Varianta 4 38.21 55.09 59.08 67.79 67.40 76.22 75.08 72.51 67.08

După 10.000 de variantemedia 35.14 52.06 61.52 67.82 72.75 76.27 78.83 80.78 82.78dev std 35.23 27.38 23.00 19.50 16.46 14.47 12.56 11.58 10.30


Comentarii! În prima variantă, riscul portofoliului format dintr-o acţiune

(aleasă aleator) era de aproximativ 17%, după includerea unei alte acţiuni (aleasă tot aleator) riscul s-a redus cu aproximativ 50%; pentru un portofoliu din 3 acţiuni riscul a scăzut cu aproximativ 70%; pentru 4 acţiuni alese aleator riscul a scăzut cu aproximativ 80%, ş.a.m.d.

Rata de descreştere a riscului variază de la un experiment la altul

Conform primei variante, efectele diversificării sunt impresionante, şi chiar mai impresionante în cazul variantei 3 unde riscul se reduce şi mai repede.

S-au simulat 10.000 de experimente (variante) şi s-a calculat media şi deviaţia standard a histogramelor obţinute.

Conform rezultatelor obţinute prin formarea unor portofolii simulate pe baza a 19 acţiuni cotate la BVB, se observă că prin diversificarea cu doar două acţiuni alese aleator, riscul asumat se reduce în medie cu 35.14%. Dacă se aleg 3 acţiuni în mod aleator riscul se reduce în medie cu 52.06%, dacă se aleg 4 acţiuni riscul scade în medie cu 61.52% ş.a.m.d.

FRONTIERA PORTOFOLIILOR OPTIME FORMATE NUMAI DIN ACTIVE CU RISC

Din punct de vedere matematic, frontiera portofoliilor optime se poate determina în două moduri:

minimizarea riscului pentru o rentabilitate dată; maximizarea rentabilităţii pentru un risc dat. Vom rezolva o problemă de optimizare pătratică de forma:

cu constrângerile: (**)

Rezolvând problema de optimizare pentru T valori ale lui r* vom obţine T portofolii optime (adică vectori w*) de risc minim, σ*. Reprezentând grafic cele T combinaţii (σ*, r*) se obţine o hiperbolă similară celei din figura .

Mulţimea portofoliilor eficiente formate doar din active

cu risc se numeşte frontiera Markowitz.

E(RP) = r*


STRUCTURA OPTIMĂ A PORTOFOLIULUI CU 2 ACTIVE RISCANTE

Minimizăm varianţa portofoliului:

Deci:

De unde vom deduce structura optimă a portofoliului cu 2 active riscante:

În concluzie, wA şi wB sunt ponderile portofoliului cu risc minim!

ABBABABBAAP wwww 222222

02

B

P

w

1 BA ww

ABBABA

ABBAABw

222

2

ABBABA

ABBAB

ABBABA

ABBAAAw

22

122

2

22

2


Exemplul 14: Să considerăm că pe piaţa de capital ar exista doar 5 acţiuni: SIF1, SIF2, SIF3, SIF4, SIF5; şi ne propunem să determinăm frontiera portofoliilor eficiente ce pot fi formate cu cele 5 acţiuni.

Distribuţia randamentelor este aici aproximată prin histograma randamentelor lunare istorice din perioada 12/1999 – 3/2008, iar randamentele aşteptate vor fi mediile acestor distribuţii.

Randamentul lunar mediu al SIF-urilor

Actiunea SIF1 SIF2 SIF3 SIF4 SIF5

E(Ri) 4.44% 5.05% 3.57% 3.75% 4.81%

De asemenea, folosind randamentele lunare istorice, s-a determinat matricea de covarianţă:

sif1 sif2 sif3 sif4 sif5

sif1 0.020002 0.019063 0.016138 0.016238 0.016434

sif2 0.019063 0.02335 0.017118 0.017777 0.019855

sif3 0.016138 0.017118 0.019246 0.014809 0.01452

sif4 0.016238 0.017777 0.014809 0.019679 0.015272

sif5 0.016434 0.019855 0.01452 0.015272 0.022704


Optimizarea problemei (**) s-a realiza în Excel prin algoritmul „SOLVER”. S-au determinat ponderile (portofoliile optime), care minimizează riscul pentru un randament lunar aşteptat al portofoliului de: 1%, 2%, 3%, 4%, 5%, 6%, 7%, 8%, 9%.

Risc port. -σp

Rentab. Port. -E(Rp)

Ponderi (w)

SIF1 SIF2 SIF3 SIF4 SIF5

18.84 % 1 % -0.05 -2.23 1.52 1.35 0.42

15.28 % 2 % 0.07 -1.57 1.11 0.99 0.41

13.02 % 3 % 0.19 -0.91 0.70 0.63 0.40

12.75 % 4 % 0.31 -0.25 0.29 0.27 0.39

14.59 % 5 % 0.43 0.41 -0.12 -0.09 0.38

17.89 % 6 % 0.55 1.07 -0.53 -0.45 0.37

22.02 % 7 % 0.67 1.73 -0.94 -0.81 0.36

26.58 % 8 % 0.79 2.39 -1.35 -1.17 0.35

31.39 % 9 % 0.91 3.05 -1.76 -1.53 0.34


Figura 7. Frontiera Markowitz (cu short selling)Frontiera Markowitz (a portofoliilor eficiente) este reprezentată doar de portofoliile aflate pe braţul superior al hiperbolei (curba roşie din grafic).

Cum ajustăm problema de optim (**), dacă pe piaţa de capital nu sunt permise astfel de operaţiuni ? (este şi cazul pieţei de capital din România)

wi > 0, pentru orice i =1, 2...N

DISTRIBUŢIA RANDAMENTELOR PORTOFOLIILOR EFICIENTE DE PE FRONTIERA MARKOWITZ ( CU SHORT SELLING). CAZUL SIF-URILOR

-1 -0.5 0 0.5 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Data

Dens

ity

-1 -0.5 0 0.5 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Data

Dens

ity

-1 -0.5 0 0.5 10

0.5

1

1.5

2

2.5

Data

Dens

ity

-1 -0.5 0 0.5 10

0.5

1

1.5

2

2.5

Data

Dens

ity

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.60

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Data

Dens

ity

a). PVM b). P1 c). P2 d). P3


Portofolii eficiente (fără short selling)

Risc port. - σp

Rentab. Port. - E(Rp)

Ponderi (w)SIF1 SIF2 SIF3 SIF4 SIF5

13.48 % 3.6 % 0.00 0.00 0.86 0.14 0.0012.93 % 3.8 % 0.00 0.00 0.48 0.39 0.1312.88 % 4 % 0.12 0.00 0.36 0.30 0.2213.11 % 4.3 % 0.31 0.00 0.18 0.17 0.3513.64 % 4.6 % 0.38 0.15 0.04 0.05 0.3813.85 % 4.7 % 0.39 0.21 0.00 0.02 0.3814.11 % 4.8 % 0.27 0.38 0.00 0.00 0.3514.9 % 5 % 0.00 0.80 0.00 0.00 0.20

Spre deosebire de situaţia anterioară, acum pentru a obţine o rentabilitate medie de 4% se va investi o pondere de 12% în SIF1, o pondere de 36% în SIF3, 30% în SIF4, 22% în SIF5 şi nimic în SIF2.


Frontiera Markowitz (fără short selling)

FRONTIERA PORTOFOLIILOR EFICIENTE CE INCLUD ŞI UN ACTIV FĂRĂ RISC

Dacă, pe lângă activul fără risc, în formarea portofoliilor eficiente se folosesc toate activele cu risc, atunci relaţia risc – rentabilitate obţinută se numeşte dreapta fundamentală a pieţei de capital (CML – Capital Market Line).

Dreapta fundamentală a pieţei de capital (CML)Dacă se diversifică portofoliul A cu activul fără risc (de rentabilitate rf) se pot obţine o infinitate de portofolii ce sunt situate pe dreapta rfA. Portofoliile ce presupun o pondere mai mare investită în portofoliul A sunt mai apropiate de acesta, iar cu cât ne apropiem de rf înseamnă că se măreşte ponderea investită în activul fără risc.Portofoliile de pe rfA sunt dominate de portofoliile de pe rfB, deoarece au o rentabilitate mai mică la acelaşi nivel de risc.


Portofoliile eficiente se vor afla pe tangenta dusă din punctul rf la frontiera Markowitz.

Toate portofoliile de pe această dreaptă (numită CML) domină portofoliile de pe frontiera Markowitz.

Prin urmare, dacă pe piaţă există un activ fără risc, frontiera portofoliilor optime este reprezentată de dreapta CML.

Portofoliul din active cu risc (M) aflat la punctul de intersecţie dintre frontiera Markowitz cu CML se numeşte portofoliul pieţei şi este singurul portofoliu eficient format numai din active cu risc.

În funcţie de aversiunea sa la risc, investitorul poate alege un portofoliu de risc scăzut (aflat în apropierea lui rf) sau un portofoliu cu risc ridicat (aflat în apropierea sau deasupra lui M).

De asemenea, portofoliile aflate pe CML între rf şi M presupun o pondere pozitivă (poziţie long) investită în activul fără risc.

Dacă se alege portofoliul pieţei, M, înseamnă că se investeşte doar în active cu risc.

În cazul în care se alege un portofoliu aflat deasupra lui M, aceasta implică o pondere negativă (poziţie short) investită în activul fără risc, ceea ce semnifică faptul că investitorul se împrumută la rata fără risc (rf), iar suma obţinută o investeşte în portofoliul pieţei.


Exemplul 14 (continuare): Să presupunem că alături de cele 5 acţiuni, pe piaţă mai există şi un activ făra risc de rentabilitate lunară 1%.

În acest caz vectorul de rentabilităţi devine:

Actiunea SIF1 SIF2 SIF3 SIF4 SIF5 RfE(Ri) 4.44% 5.05% 3.57% 3.75% 4.81% 1%

iar matricea de covarianţă este:

sif1 sif2 sif3 sif4 sif5 rfsif1 0.020002 0.019063 0.016138 0.016238 0.016434 0

sif2 0.019063 0.02335 0.017118 0.017777 0.019855 0

sif3 0.016138 0.017118 0.019246 0.014809 0.01452 0

sif4 0.016238 0.017777 0.014809 0.019679 0.015272 0

sif5 0.016434 0.019855 0.01452 0.015272 0.022704 0

rf 0 0 0 0 0 0


Portofolii eficiente cu un activ fără risc

Risc port -σp

Rentab port -E(Rp)

Ponderi (w)SIF1 SIF2 SIF3 SIF4 SIF5 rf

0.00 1 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.003.57 2 0.11 0.19 -0.09 -0.08 0.08 0.797.15 3 0.22 0.38 -0.18 -0.15 0.16 0.58

10.72 4 0.33 0.57 -0.27 -0.23 0.23 0.3714.29 5 0.44 0.76 -0.36 -0.30 0.31 0.1617.86 6 0.55 0.95 -0.45 -0.38 0.39 -0.0621.44 7 0.65 1.14 -0.54 -0.45 0.47 -0.2725.01 8 0.76 1.32 -0.63 -0.53 0.54 -0.4828.59 9 0.87 1.51 -0.72 -0.60 0.62 -0.69

Conform rezultatelor, pentru a obţine o rentabilitate lunară de 4%, se va investi 37% în activul fără risc şi restul de 63% în activele riscante, astfel: 33% în SIF1, 57% în SIF2, -27% în SIF 3, -23% în SIF4 şi 23% în SIF5. Observaţi că pentru a obţine rentabilităţi mai mari precum 6%, 7%, 8% sau 9 %, investitorul trebuie să se împrumute, iar suma obţinută să o investească în portofoliul pieţei.


Frontiera portofoliilor eficiente cu un activ fără risc Figura arată

combinaţia risc-rentabilitate pentru cele 5 SIF-uri (activele cu risc din exemplul nostru) pentru a arăta că investiţiile doar intr-una din ele sunt dominate de portofoliile eficiente de pe CML.

ÎNTREBĂRI

1. Analizând cele 5 grafice, spuneti cât este coeficientul de corelaţie între cele 2 acţiuni (alegând între valorile -1, -0.5, -0.3, 0, 0.2, 0.5, 1)?

INTREBĂRI ? Ce înţelegeţi prin diversificarea riscului un portofoliu? Care este diferenţa între covarianţă şi coeficientul de corelaţie? Un manager al unui fond de pensii analizează trei portofolii: unul format

din acţiuni, unul format din obligaţiuni corporative pe termen lung, unul format din active fără risc (rf = 5,5%).

Rentab astept

Dev. Std.

Port. Actiuni (A) 15% 35%

Port. Oblig (O) 9% 23%

i) Care este portofoliul cu risc minim şi structura sa, ştiind că valoarea coeficientului de corelaţie este 0.15? ii) Determinaţi frontiera portofoliilor eficiente, pentru un portofoliul format din acţiuni şi obligaţiuni, variind ponderile în total portofoliu de la 0% la 100%, cu creştere a ponderilor de 20%. (vezi tabelul de mai jos)

Ponderile portofoliului Rentabilitatea asteptata

Deviatia StdxA xO = 1 - xA

0.0 1.00.2 0.80.4 0.60.6 0.40.8 0.21 0

iii) Cât este raportul rentabilitate-risc pentru dreapta CML în cazul portofoliul de acţiuni?iv) Reprezentaţi grafic dreapta CML.

riscul si rentabilitatea

Documents