rezi konyv

Click here to load reader

Post on 07-Apr-2018

234 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    1/394

    PAVEL TRIPA MIHAI HLUCU

    REZISTENA

    MATERIALELOR

    NOIUNI FUNDAMENTALE I APLICAII

    *

    Editura MIRTON

    Timioara2006

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    2/394

    Refereni tiinifici:

    Prof. Univ. Dr. Eur. Ing. Tiberiu BABEUMembru al Academiei de tiine Tehnice din Romnia

    Prof. Univ. Dr. ing. Nicolae NEGU

    Tehnoredactare computerizat:

    Prof. univ. dr. ing. Pavel TRIPAef lucr. dr. ing. Mihai HLUCU

    Descrierea CIP a Bibliotecii Naionale a RomnieiTRIPA, PAVEL

    Rezistena materialelor : noiuni fundamentale i aplicaii/Pavel Tripa, Mihai Hlucu. Timioara: Mirton, 2006

    Bibliogr.ISBN (10) 973-661-934-6

    (13) 978-973-661-934-2

    I. Hlucu Mihai

    539.4

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    3/394

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    4/394

    C U P R I N S

    Cuprins .... 1 Prefa ..................................................................................................... 3

    1 INTRODUCERE ... 5 1.1 Clasificarea forelor care acioneaz asupra elementelor derezisten ...................................................................................... 5

    1.2 Momentul forei fa de un punct ................................................ 7 1.3 Reducerea forelor ntr-un punct ................................................. 9 1.4 Condiiile ce trebuie satisfcute de ctre elementele de

    rezisten ...................................................................................... 10

    1.5 Tipuri de probleme ntlnite n Rezistena materialelor .......... 122 REAZEME I REACIUNI .. 14

    2.1 Reazeme ...................................................................................... 14 2.2 Reaciuni ...................................................................................... 15 2.3 Calculul reaciunilor .................................................................... 17 2.4 Etape n calculul reaciunilor. Exemple ....................................... 193 EFORTURI. DIAGRAME DE EFORTURI ....... 24 3.1 Eforturi ........................................................................................ 24 3.2 Diagrame de eforturi ................................................................... 27 3.3 Etape pentru trasarea diagramelor de eforturi ............................. 29 3.4 Exemple de trasare a diagramelor de eforturi ............................. 31

    3.4.1 Diagrame de eforturi la bare drepte orizontale ........... 31 3.4.2 Diagrame de eforturi la cadre cu bare drepte ............. 38 3.4.3 Diagrame de eforturi la bare curbe plane ................... 42 3.4.4 Diagrame de eforturi la sisteme spaiale de bare

    drepte ... 46

    3E Diagrame de eforturi (Probleme propuse) ................................... 573R Diagrame de eforturi (Rspunsuri) .. 77

    4 CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SUPRAFEELORPLANE ................................................................................................... 118

    4.1 Consideraii generale ................................................................... 1184.2 Caracteristicile geometrice ale ctorva suprafee simple 122

    4.3 Etape pentru determinarea caracteristicilor geometrice ale

    suprafeelor plane ..............................................................

    124

    4.4 Exemple de determinare a principalelor caracteristici

    geometrice ale suprafeelor plane ................................................ 128

    4E Caracteristici geometrice ale suprafeelor plane (Probleme

    propuse) ... 136

    4R Caracteristici geometrice ale suprafeelor plane (Rspunsuri) 147

    5 SOLICITAREA AXIAL.. 1595.1 Consideraii generale. Etape de calcul ......................................... 1595,2 Calculul sistemelor de bare drepte, static determinate ................ 163

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    5/394

    5.3 Calculul barelor drepte solicitate de fore axiale ......................... 170

    5.4 Calculul sistemelor de bare articulate, static nedeterminate ... 173

    5.5 Calculul sistemelor cu inexactiti de execuie ....................... 179

    5.5.1 Calculul barelor articulate, static nedeterminate, cu

    inexactiti de execuie ................................................................ 1795.5.2 Calculul barelor drepte solicitate axial, care prezint

    un rost la un capt ........................................................................ 187

    5.6 Calculul barelor cu seciuni neomogene, solicitate axial ............ 191

    5.7 Calculul barelor supuse variaiilor de temperatur ...................... 198

    5.8 Calculul barelor supuse aciunii simultane a mai multor

    factori............................................................................................ 204

    5E Solicitarea axial (Probleme propuse) . 208

    5R Solicitarea axial (Rspunsuri) .... 225

    6 CALCULUL MBINRILOR DE PIESE ... 2326.1 Consideraii generale. Etape de calcul.......................................... 2326.2 Calculul mbinrilor de piese cu grosime mic ....................... 234

    6.3 Calculul mbinrilor nituite ..................................................... 239

    6.4 Calculul mbinrilor sudate ..................................................... 246

    6.5 Calculul mbinrilor pieselor de lemn ..................................... 252

    6E Calculul mbinrilor de piese (Probleme propuse) .. 256

    6R Calculul mbinrilor de piese (Rspunsuri) 269

    7 CALCULUL LA NCOVOIERE SIMPL AL BARELOR

    DREPTE PLANE . 2767.1 Consideraii generale. Etape de calcul ......................................... 2767.2 Exemplu de calcul ................................................................... 2816E Calculul la ncovoiere simpl al barelor drepte plane (Probleme

    propuse) ... 288

    6R Calculul la ncovoiere simpl al barelor drepte plane

    (Rspunsuri) .... 315

    8 CALCULUL LA RSUCIRE AL BARELOR DREPTE .... 3518.1 Calculul la torsiune al barelor drepte cu seciune circular sau

    inelar. Consideraii generale. Etape de calcul ............................ 3518.2 Calculul la torsiune al barelor drepte cu seciune necircular . 361

    8E Calculul la rsucire al barelor drepte de seciune circular, sau

    inelar (Probleme propuse) .. 375

    8R Calculul la rsucire al barelor drepte de seciune circular sauinelar (Rspunsuri) .................................................................... 385

    Bibliografie . 392

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    6/394

    3

    Prefa

    Rezolvarea problemelor de Rezistena Materialelor are unanumit specific.

    Lucrrile de specialitate elaborate n domeniul RezisteneiMaterialelor, mai ales cursurile i culegerile de probleme, pgubescmult prin aceea c asupra modului de rezolvare al problemelor, seopresc foarte puin sau chiar deloc.

    Cei pui n situaia de a rezolva probleme de rezistenamaterialelor ntmpin mari dificulti, n special din cauzanecunoaterii etapelori metodologiei de rezolvare, specifice acestorprobleme.

    Cu rezolvarea unor probleme mai complexe de rezistenamaterialelor se ntlnesc studenii facultilor tehnice, care prin programa analitic studiaz aceast disciplin. Cum pregtireaacestora pe parcursul activitii lor nu este continui susinut, atuncicnd sunt nevoii s rezolve probleme concrete de rezistenamaterialelor, ntmpin mari greuti, care rezult tocmai din

    necunoaterea etapelori a metodologiei de rezolvare.Aceast lucrare vine n sprijinul eliminrii acestor neajunsuri,

    prin prezentarea etapelori metodologiei ce trebuie urmat larezolvarea problemelor de rezistena materialelor.

    Prezentarea etapelor i a metodologiei de rezolvare ale problemelor de rezistena materialelor este gndit n sensulcuprinderii ntregii materiii care se pred la cursul de RezistenaMaterialelor, studenilor de la facultile tehnice.

    Lucrarea poate fi considerat un ghid practic, coninnd attnoiuni teoretice, probleme rezolvate ct i aplicaii de rezolvat. Este ocombinaie reuit ntre curs i culegerea de probleme.

    La fiecare capitol se face o prezentare a noiunilor teoretice (frdemonstraie) necesare rezolvrii problemelor din capitolul respectiv,a etapelori metodologiei de urmat n rezolvarea problemelor. Dupaceasta, se prezint probleme a cror rezolvare urmeaz etapele imetodologia indicat.

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    7/394

    4

    n primele opt capitole se trateaz: calculul reaciunilor,diagramele de eforturi, calculul caracteristicilor geometrice ale

    suprafeelor planei calculul elementelor de rezisten la solicitrisimple (ntindere compresiune, forfecare, ncovoiere simpl,rsucire).

    Pentru ca cei interesai de astfel de probleme s-i poat verificacapacitatea de rezolvare a problemelor de rezistena materialelor, ncapitolul 9 (Aplicaii) al lucrrii, sunt propuse, pentru fiecare capitol,un numr mare de aplicaii la care se indic rezultatele finale i decele mai multe ori i cele intermediare.

    Lucrarea se adreseaz n primul rnd studenilor de la facultiletehnice care studiaz disciplina de Rezistena Materialelor n vedereapregtirii lor profesionale i mai ales a examenului la aceastdisciplin. n acelai timp, ea este deosebit de util proiectanilor deelemente i structuri de rezisten, care de cele mai multe ori dincomoditate i mai ales din necunoterea metodologiei de calcul arezistenei i deformabilitii elementelor, nu fac calculele necesare.

    Elaborarea acestei lucrri, se bazeaz n primul rnd peexperiena de peste 25 de ani, acumulat de autori n activitatea custudenii la disciplina de Rezistena Materialelor.

    Autorii sunt recunosctori acelora care vor lectura aceastlucrare i vor veni cu aprecieri, dar mai ales cu propuneri denbuntire a coninutului lucrrii ntr-o ediie nou, astfel nctstudenii i cei interesai s aib la dispoziie o lucrarea util, de carela ora aceasta este foarte mare nevoie.

    Celelalte capitole ale Rezistenei Materialelor vor fi tratate ntr-oalt lucrare.

    Autorii

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    8/394

    5

    1. INTRODUCERE

    La proiectarea mainilori a diferitelor construcii, proiectantultrebuie s aleag materialele i s dimensioneze fiecare element derezisten, astfel nct acesta s reziste n deplin siguran aciuniiforelor exterioare care i se transmit.

    Pentru a avea convingerea c cele prezentate n aceast carte vorfi bine nelese, consider c este necesar totui prezentarea unornoiuni, chiar dac acestea se prezint detaliat n toate cursurile deRezistena Materialelor.

    1.1 Clasificarea forelor care acioneaz asupraelementelor de rezisten

    Organele de maini i diferitele elmente de rezisten, preiau oserie de sarcini exterioare i transmit aciunea acestora de la unelement la altul. Forele pe care le preiau organele de maini ielementele de construcie sunt, fie fore de volum, fie fore deinteraciune ntre elementul dat i elementele vecine. Forele devolum (exemplu greutatea proprie), acioneaz asupra fiecruielement de volum.

    Clasificarea forelor se poate face dup mai multe criterii:A. Dup modul de aplicare, distingem:a) fore concentrateb) fore distribuiteForele concentrate se transmit ntre diferitele elemente de

    rezisten prin intermediul unei suprafee ale crei dimensiuni suntfoarte mici n comparaie cu dimensiunile ntregului corp. n calculelede rezisten, datorit dimensiunii mici a suprafeei prin care se

    transmite fora, se consider c foraconcentrat (Fig.1.1-1) se aplic ntr-un punct. Acest mod de reprezentareeste doar o reprezentare aproximativ,introdus numai pentru simplificareaFig.1.1-1

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    9/394

    6

    calculelor. n practic, forele nu se pot transmite printr-un punct.Inexactitatea provocat de o astfel de aproximare este foarte mici npractic poate fi neglijat.Fora concentrat se msoar n [N].

    Forele aplicate continuu pe o lungime sau pe o suprafa a unuielement de rezisten, se numesc sarcini distribuite. Sarciniledistribuite, pot avea intensitate (mrime) constant (Fig.1.1-2a) sauvariabil(Fig.1.1-2b). Sarcinile distribuite liniar se msoar n [N/m],

    iar cele distribuite pe suprafa n [Pa] = [N/m2].n calculele de rezistena materialelor, de multe ori sarcinile

    distribuite se nlocuiesc printr-o rezultant, a crei mrime i direcie,sens i punct de aplicaie trebuie cunoscut. Pentru cazul sarcinilordistribuite liniar, n Fig.1.1-3a,b sunt prezentate valoarea, sensul i

    punctul de aplicaie al rezultantei Ra acestor sarcini.

    Am prezentat numai cazul sarcinilor distribuite liniar, deoarecen problemele curente ntlnite (mai ales la seminar), acest caz dencrcare este cel mai frecvent.

    p

    a b

    Fig.1.1-2

    l / 2 2 l / 3

    R = p l

    R = pl / 2l

    l

    p

    a) b)

    Fig.1.1-3

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    10/394

    7

    B. Dup natura lor, forele sunt:a) fore date sau active, numite isarcinisau ncrcri,b) fore de legtur saureaciuni.Forele active mpreun cu forele de legtur, formeaz grupa

    forelor exterioare. Asupra legturilor sau reazemelor undeacioneaz forele de legtur, se revine ntr-un paragraf separat (par.2.2).

    C. Dup natura aciunii lor, sarcinile pot fi:a) statice

    b) dinamice.

    Sarcinile statice ncarc construcia treptat. Odat aceste sarciniaplicate, ele nu mai variaz sau sufer variaii nesemnificative. Mareamajoritate a sarcinilor care acioneaz asupra diferitelor construcii,sunt de acest tip.

    n construcia de maini mai ales, se ntlnesc elemente nmicare a cror acceleraii sunt mari i variaia vitezei are loc ntr-untimp relativ mic. Asupra acestor elemente, acioneaz sarciniledinamice. Astfel de sarcini sunt: sarcinile aplicate brusc, cele careproduc ocuriisarcinile variabile (periodic sau aleator) n timp.

    Sarcinile aplicate brusc, se transmit dintr-o dat construciei cuntreaga lor valoare.

    ocurile iau natere n urma variaiei rapide a sarcinilor, ceea cecauzeaz variaia brusc a vitezei elementului de rezisten.

    Sarcinile variabile periodic n timp, acioneaz asupraelementelor de rezisten, repetndu-se de un numr mare de ori.

    D. Sarcinile mai pot fi clasificate i n sarcini:a) permanente

    b) mobile.

    Sarcinile permanente acioneaz pe toat durata existeneiconstruciei sau structurii de rezisten, iar cele mobile acioneazdoar n decursul unui anumit interval de timp.

    Trebuie specificat c, forele pot fi clasificate i pe baza altorcriterii. Clasificarea prezentat este doar una din multiplele clasificri

    care pot fi fcute.

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    11/394

    8

    Ct privete cuplurile (momentele), clasificarea acestora, poatefi fcut pe baza clasificrii forelor.

    1.2 Momentul forei fa de un punct

    n rezolvarea problemelor de rezistena materialelor, adeseoritrebuie calculat momentul forelor fa de un punct sau fa decentrul de greutate al unei seciuni. S ne reamintim atunci, cum secalculeaz momentul unei fore fa de un punct.

    a) Momentul unei fore concentrate F fa de un punct B(Fig.1.2-1) este egal cu produsul dintremrimaea forei Fi braul acesteea, b:

    (mF)B= F b 1.2-1

    unde prin braul forei se nelegedistana de la punctul considerat (B)pn la suportul forei F. n cazul prezentat, braul forei este segmantul

    BM care este perpendicular pe suportul forei (BM = b; BMperpendicular pe suportul forei).

    b) Momentul unei sarcini distribuite p fa de un punct B,(Fig.1.2-2) este egal cu produsul dintre rezultanta sarcinii distribuite(R= p l) i braul rezultantei. n acest caz, braul rezultantei fa depunctul B, este:

    b = l / 2 + a

    Deci, momentul sarcinii distribuite fa de punctul B, pentrucazul prezentat, este:

    B

    M

    F

    b

    Fig.1.2-1

    a l

    Fig.1.2-2

    p

    R

    B

    l/2

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    12/394

    9

    (mp)B = R b = p l ( l / 2 + a ) 1.2-2

    c) Momentul unui cuplu M0 (moment)fa de un punct B(Fig.1.2-3), este egal cu valoarea acelui moment:

    (mM0)B = M0 1.2-3

    Atenie: n acest caz, momentul M0NUse nmulete cu braul b = l, aa cum de multe ori, n mod greit se procedeaz. Deci,momentul unui cuplu (moment ) fa de un punct, este nsi acelcuplu.

    1.3 Reducerea forelor ntr-un punct

    a)O for concentrat F se reduce ntr-un punct B, totdeauna lao for concentrat i la un cuplu concentrat (Fig.1.3-1). Foraconcentrat rezultat este egal n mrime, are aceeai direcie iacelai sens cu fora redus.

    B

    l

    M0B

    Fig.1.2-3

    F F

    b

    M= F b

    Fig. 1.3-1

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    13/394

    10

    Cuplul rezultat prin reducere este egal n mrime cu produsuldintre fora F i braul b al acesteea, iar sensul lui este dat de regulaburghiului drept.

    Aadar, o for concentrat F se reduce ntr-un punct B(nesituat pe suportul forei) la o fori la un cuplu.

    b) O sarcin distribuit se reduce la fel ca i o for concentrat,cu specificarea c rolul forei concentrate este preluat de data aceasta

    de rezultanta sarcinii distribuite (Fig.1.3-2).

    B

    c) Un cuplu (moment) M0 se reduce ntr-un punct tot la un cupluM de aceeai valoare cu cuplul care se reduce ( M = M0 ) i la felorientat (acelai sens cu cuplul care se reduce M0).

    F

    (mF) = F b

    F 1.3-1

    R= p l

    M=pl (l/2 + a)

    R

    a l

    p

    Fig.1.3-2

    p

    R= p l

    (mp) = R b = p l ( l / 2 + a)

    1.3-2

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    14/394

    11

    1.4 Condiiile ce trebuie satisfcute de ctreelementele de rezisten

    Unele dimensiuni (principale) ale elementelor de rezisten sestabilesc direct, din necesitatea asigurrii unor dimensiuni funcionale.Aceste dimensiuni sunt dimensiuni constructive. Alte dimensiuni aleelementelor de rezisten, de obicei cele ale seciunilor transversale, sedetermin prin calcul.

    Calculul dimensiunilor seciunilor transversale ale elementelorde rezisten se face n scopul satisfacerii simultan a urmtoarelorcondiii de baz:

    a) Condiia de rezisten. Fiecare element de rezisten trebuies reziste n foarte bune condiii, tuturor forelor exterioare careacioneaz asupra lui. Prin rezistena unui element de rezistentrebuie neles, proprietatea acestuia de a nu se rupe, sau de a nuajunge ntr-o stare limit. Stare limit poate fi i o alt stare n afarde cea din momentul ruperii elementului de rezisten. Forele careacioneaz asupra elementului de rezisten, trebuie s fie mai micidect cele care acioneaz n momentul atingerii strii limit.

    Condiia de rezisten este prima i cea mai important condiie pe care trebuie s o satisfac un element de rezisten n timpulfuncionrii sale.

    b) Condiia de rigiditate. Este tiut faptul c RezistenaMaterialelor consider corpurile deformabile sub aciunea sarcinilor.Cu ct sarcinile sunt mai mari, cu att i deformarea elementelor derezisten este mai pronunat. n cazul mainilor sau construciilor,deformaiile diferitelor elemente de rezisten nu pot fi orict de mari.Deformaii prea mari, pot cauza distrugerea altor elemente derezisten sau scoaterea din funcionare a mainilor respective.

    Proprietatea elementelor de rezistende a se opune deformrii

    lor, poartnumele de rigiditate.

    Calculul de rezisten, trebuie s aib n vedere i asigurareaunei rigiditi corespunztoare elementului de rezistesten respectiv.

    c) Condiia de stabilitate. n practic, se ntlnesc situaii ncare dei elementul de rezisten satisface condiia de rezisteni ceade rigiditate, nu poate fi utilizat deoarece sub aciunea sarcinilor,

    acesta i-a pierdut stabilitatea (condiia de echilibru stabil).

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    15/394

    12

    Fenomenul este cunoscut sub numele de flambaj. Este de precizat c,flambajul apare numai n anumite condiii de solicitare i pentru uneleelemente de rezisten. Totui, pentru aceste cazuri, dimensiunileseciunii transversale ale elementului de rezisten, trebuie s asigureacestuia o bun stabilitate.

    d) Condiia realizrii economice. Tot calculul de rezistenefectuat asupra elementelor de rezisten, trebuie s aib n vedere caacesta s fie realizat cu un pre de cost ct mai mic.

    Primele trei condiii, asigur o bun funcionare i siguran nexploatere a construciei, iar cea de-a patra condiie, asigur un prede cost sczut. n acest caz, se spune c structura respectiv a fost

    dimensionat raional. Proiectarea raional impune cunoaterea dectre proiectant att a metodelor de calcul de rezisten, ct i aproprietilor (caracteristicilor) mecanice a materialului elementelorde rezisten, n condiii de exploatare.

    1.5 Tipuri de probleme ntlnite n Rezistena

    Materialelor

    n Rezistena Materialelor, n majoritatea cazurilor, se ntlnescurmtoarele tipuri de probleme:

    a) Probleme de verificare. n acest caz, se cunosc toatedimensiunile elementului de rezisten, materialul din care acesta esteconfecionat, forele exterioare care acioneaz asupra sa i trebuiefcut un calcul n urma cruia s se poat aprecia dac acel element derezisten satisface toate condiiile impuse prin tema de proiectare.

    b) Probleme de dimensionare. n cazul problemelor dedimensionare, se cunosc dimensiunile constructive ale elementului derezisten, forele exterioare aplicate, materialul din care esteconfecionat elementul i trebuie stabilite dimensiunile seciuniitransversale n vederea satisfacerii condiiilor cerute prin tema deproiectare.

    c) Probleme de determinare a ncrcrii maxime admise(probleme de efort capabil). Pentru acest tip de probleme, se cunosc

    toate dimensiunile elementului de rezisten (constructive i ale

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    16/394

    13

    seciunii transversale), materialul din care este confecionat elementuli trebuie determinate valorile maxime admise ale sarcinilor care potaciona asupra acelui element de rezisten n vederea satisfaceriicondiiilor impuse prin tema de proiectare.

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    17/394

    14

    2. REAZEME I REACIUNI

    2.1 Reazeme

    ntre elementele de rezisten ale unei structuri, exist o serie delegturi, numite reazeme.

    n calculele obinuite de rezistena materialelor, cele maintlnite reazeme sunt:

    - reazemul articulat mobil (articulaia mobil sau reazemul

    mobil),- reazemul articulat fix(sau articulaia fix),- ncastrarea (sau nepenirea).

    Articulaia mobil a crei reprezentare este prezentat nFig.2.1-1a, permite celor dou elemente de rezisten s se roteascunul fa de cellalt i o deplasare liber pe o anumit direcie. ncazul prezentat n figur, este permis deplasarea liber pe direcie

    orizontal. Pe direcia vertical (direcie perpendicular pe cea pe careeste permis deplasarea liber), deplasarea este mpiedecat.Articulaia fix (Fig.2.1-1b) permite rotirea elementului de

    rezisten dar nu permite deplasarea acestuia pe nici o direcie.ncastrarea (Fig.2.1-1c) mpiedic orice fel de deplasare a

    elementului de rezisten. Acest tip de reazem se poate obine dintr-oarticulaie fix, la care se blocheaz rotirile.

    a) b) c)

    Fig.2.1-1

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    18/394

    15

    2.2 Reaciuni

    Deoarece elementele de rezisten sunt supuse aciuniidiferitelor sarcini, este firesc ca n reazeme s apar fore, numitefore de legtur sau reaciuni. Mrimea i orientarea acestorreaciuni este legat de mrimea i orientarea sarcinilor care solicitelementul, iar direcia reaciunilor este legat de tipul reazemului.

    Dup cum s-a mai spus, sarcinile direct aplicate (fore imomente) mpreun cu reaciunile, formeaz sistemul forelorexterioare care acioneaz asupra elementului de rezisten.

    Pentru calculul de rezisten este necesar s se cunoasc ntregulansamblu al forelor exterioare ce solicit elementul, deci este nevoies se cunoasci reaciunile.

    Pentru nceput, stabilim ce fel de reaciuni apar n cele trei tipuride reazeme care au fost prezentate anterior.

    Mai precizm c reaciunile se opun aciunii i ca urmare eleapar pe acele direcii pe care micrile (deplasrile i rotirile)elementului de rezisten sunt mpiedicate.

    Pentru articulaia mobil, fiind mpiedicat deplasarea pe osingur direcie, reaciunea Rcare apare este o for (Fig.2.2-1) caretrece prin centrul articulaiei mobile i este dirijat perpendicular pedirecia deplasrii libere a reazemului (n mod obinuit pe axa grinzii).

    F

    R

    R

    F

    Fig.2.2-1

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    19/394

    16

    n cazul articulaiei fixe, reaciunea care apare n reazem este oforRa crei direcie nu este cunoscut. Se cunoate numai punctulde aplicaie al acesteea, care este articulaia.

    Pentru a putea calcula reaciunea din articulaia fix, senlocuiete aceast reaciune prin dou componente ale sale: H dirijatn lungul axei elementului de rezisteni V, dirijat perpendicular peaxa elementului (Fig.2.2-2). Aadar, articulaia fix, din acest punctde vedere, d dou reaciuni: Hi V.

    La ncastrare, dup cum cunoatem, toate micrile elementuluide rezisten sunt mpiedicate. ncastrarea fiind o articulaie fix lacare s-a blocat rotirea, nseamn c la acest tip de reazem fa dearticulaia fix apare n plus un cuplu M care s mpiedice rotirea(Fig.2.2-3). De aceea, la o ncastrare apar trei reaciuni: H paralel cu

    H

    VR

    F

    Fig.2.2-2

    H

    VM

    F

    Fig.2.2-3

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    20/394

    17

    axa elementului; V perpendicular pe axa elementului de rezistenimomentul (cuplul) M.

    2.3 Calculul reaciunilor

    n paragraful anterior (2.2), am vzut care sunt reaciunile pentru principalele tipuri de reazeme i care este direcia acestora. Nu s-aprecizat care este mrimea i sensul (orientarea) acestora. Mrimea iorientarea reaciunilor se determin din condiia ca fiecare element derezisten n parte, s se afle n echilibru sub aciunea tuturor foreloraplicate i a reaciunilor (a forelor exterioare).

    Se exemplific n continuare, calculul reaciunilor pentrusisteme plane. Este tiut faptul c, un sistem plan este n echilibrudac:

    - nu se deplaseaz pe o direcie (fie x aceast direcie),- nu se deplaseaz pe o direcie perpendicular pe prima (fie y

    direcia perpendicular pe x),- nu se rotete.Cele trei condiii enunate mai nainte sunt satisfcute dac suma

    proieciilor tuturor forelor pe direcia x, respectiv y, este nuli sumatuturor cuplurilor fa de un punct oarecare (fie K acest punct) alplanului, este nul. Aceste condiii pot fi scrise sub forma unor relaiide forma:

    ( )Fx

    = 0 ( )F

    y = 0 2.3-1

    ( )M K = 0

    Relaiile 2.3-1 exprim condiiile pentru ca un sistem plan s fien echilibru. Acest sistem, pentru a putea fi rezolvat, poate coninemaxim trei necunoscute. n cazul nostru, cele trei necunoscute suntreaciunile. Dac sunt mai mult de trei necunoscute (reaciuni),sistemul de ecuaii 2.3-1 nu poate fi rezolvat i n acest caz, sistemuldat iniial este un sistem static nederminat. Pentru rezolvarea

    sistemelor static nederminate, sunt necesare ecuaii suplimentare.

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    21/394

    18

    Modul de rezolvare a sistemelor static nederminate, va fi prezentatntr-un alt capitol.

    Determinnd reaciunile unui element de rezisten cu relaia2.3-1, se observ c nu avem o posibilitate simpl pentru verificareacorectitudinii calculului efectuat.

    Pentru a avea posibilitatea verificrii corectitudinii determinriireaciunilori pentru a obine ecuaii uor de rezolvat, relaiile pentrucalculul reaciunilor vor rezulta din urmtoarele considerente:

    - sistemul s nu se deplaseze pe o direcie (fie x aceast direcie,dar nu neaparat direcia orizontal). Aceast direcie, este acea direciepe care exist numai o singur reaciune necunoscut,

    - sistemul s nu se roteasc fa de un punct (fie K1 acest punct)al planului. Punctul K1 va fi unul din cele dou reazeme aleelementului de rezisten,

    - sistemul s nu se roteasc fa de un alt punct (fie K2 acestpunct i diferit de K1) al planului. Punctul K2 va fi neaparat cellaltreazem al elementului de rezisten.

    Condiiile de mai sus, se scriu sub forma unor relaii:

    ( )F

    x

    = 0

    ( )M

    K =

    10 2.3-2

    ( )MK

    =2

    0

    Sistemul 2.3-2 neconinnd i relaia ( )Fy

    = 0, nu nseamn c

    elementul de rezisten este n echilibru dar, scris sub aceast form,

    ne permite s calculm cele trei reaciuni. Pentru a putea ti creaciunile determinate (cu relaiile 2.3-2) sunt corecte, valorilereaciunilor gsite se introduc n relaia ( )F

    y .

    Dac:

    ( )Fy

    = 0, reaciunile sunt corect calculate,2.3-3

    ( )Fy 0, reaciunile sunt greit calculate.

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    22/394

    19

    n acest ultim caz, se reface calculul reaciunilor.n concluzie, calculul reaciunilor pentru un sistem plan se face

    pe baza ecuaiilor 2.3-2 iar verificarea corectitudinii calculului (etapobligatorie), cu relaiile 2.3-3.

    2.4 Etape n calculul reaciunilor. Exemple

    Pentru a calcula corect reaciunile unui sistem plan de elementede rezisten, propun parcurgerea urmtoareloretape:Privii atent sistemul; cutai reazemele i notai-le cu litere (A, B,

    C, ...). Dacputei nu utilizai litera A, deoarece mai trziu aceastliter se va utiliza mult, pentru aria seciunii transversale a

    elementului de rezisten.

    Identificai fiecare reazem: articulaie mobil , articulaie fix,ncastrare,

    Dup ce ai identificat reazemele, introducei reaciunile n fiecarereazem (vezi parag. 2.2) i le notai (HB, VC, M, ...). Recomand ca

    literele utilizate s fie nsoite de un indice, iar acesta s fie cel cu

    care s-a notat reazemul respectiv. Este uor mai trziu s gsiireaciunile, n situaia n care iniial le-ai calculat greit.

    Dac pe elementul de rezisten avei sarcini distribuite, este bines le nlocuii cu rezultanta corespunztoare (vezi parag. 1.1), darcu linie ntrerupt , pentru a nu o considera din neatenie de dou

    ori,

    Acum se poate trece la scrierea detaliat a relaiilor 2.3-2 ideterminarea din acest sistem de ecuaii, a reaciunilor. La scrierea

    acestor ecuaii, pentru ecuaiile de momente, alegei-v un sens derotire considerat pozitiv i nu-l mai schimbai pn nu ai scristoatrelaia,

    Dup ce ai calculat reaciunile cu ajutorul ecuaiilor 2.3-2,utilizai relaia 2.3-3. Dac obinei 0 (zero), nseamn c nu ai

    greit, reaciunile sunt corecte. Dac acea sum nu conduce la 0(zero), ai greiti reluai calculul de la prima ecuaie a sistemului

    de ecuaii, 2.3-2.

    Exemple:

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    23/394

    20

    2.4.1 S se calculeze reaciunile pentru grinda prezentat n

    Fig.2.4.1-1.

    Parcurgem acum toate etapele recomandate pentru calcululreaciunilor (vezi Fig.2.4.1-2):

    - elementul de rezisten este sprijinit (rezemat) pe doureazeme pe care le notm cu B i C; B este n stnga iar C este cel dindreapta.

    HB B C

    VB R=16kNVC

    - reazemul din stnga B, este o articulaie fix. Introducem celedou reaciuni pentru acest reazem: HBi VB. Reazemul din dreaptaC, este o articulaie mobil. Singura reaciune din acest reazem i pecare o punem este VC..

    M= 40 kNm p= 4 kN/mF= 24 kN

    300

    1 m 3 m 1 m

    Fig.2.4.1-1

    1 m

    M= 40 kNm p= 4 kN/m F= 24 kN

    300

    1 m 3 m 1 m

    Fig.2.4.1-2

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    24/394

    21

    - nlocuim sarcina uniform distribuit p, cu rezultanta sa R= p4=16 kN, care acioneaz la mijlucul distanei dintre reazeme (la 2 mde reazemul B i tot la 2 m de reazemul C),

    - scriem detaliat ecuaiile pentru calculul reaciunilor (rel. 2.3-2).Prima direcie x, o alegem ca fiind cea orizontal, deoarece pe aceastdirecie exist o singur reaciune i anume HB. Deci:

    ( )Fx

    = 0HB - F cos30

    0 = 0 (1)

    ( ) ( )M MK B

    =1

    0

    F sin300 5 - VC 4 + R 2 + M = 0 (2)

    ( ) ( )M MK C

    =2

    0VB 4 + M - R 2 + F sin30

    0 1 = 0 (3)

    Din ecuaia (1), rezult: HB = F cos300 = 12 3 kN.

    Din ecuaia (2), rezult: VC = 33 kN.Din ecuaia (3), rezult: VB = - 5 kN.

    Reaciunile HBi VC, au rezultat pozitive, ceea ce nseamn cele sunt orientate aa cum sunt figurate n Fig.2.4.1-2. Reaciunea VB,rezultnd negativ, este orientat invers de cum este pe Fig.2.4.1-2,adic este orientat de sus n jos.

    - Verificm acum dac valorile calculate pentru cele treireaciuni sunt bune. Pentru aceasta, scriem o ecuaie de echilibru casum de fore pe o direcie perpendicular pe direcie utilizat lacalculul reaciunilor. Cum la calculul reaciunilor am utilizat direcia x(orizontal), pentru verificarea reaciunilor, utilizm direcia y(verticala). Aadar, rezult:

    ( )F V R V F y B C

    = + =sin300 = - 5 - 16 + 33 - 24 1/2 =- 21 +33 -12 = -33 + 33 = 0

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    25/394

    22

    A rezultat ( )Fy

    = 0, ceea ce nsemn c condiia 2.3-3 este

    ndeplinit, deci reaciunile sunt corect calculate i valorile lor suntbune.

    2.4.2 Parcurgnd etapele cunoscute, calculai i verificaireaciunile pentru cadrul prezentat n Fig.2.4.2-1.

    Observaie: Tot ce rezult a fi fcut, pentru acest exemplu estereprezentat n Fig.2.4.2-1.

    1 m

    1 m R=20kN 1 mC

    2 m2 m

    B

    HB

    VB

    - Cadrul prezint dou reazeme, pe care le notm cu B respectiv,cu C,

    - Reazemul C este o articulaie mobil i introduce numaireaciunea HC. Reazemul B este o articulaie fix i introduce doureaciuni: HBi VB,

    - nlocuim sarcina distribuit p, cu rezultanta sa R= 10 2 = 20kN,

    - Trecem la scrierea ecuaiilor pentru calculul reaciunilor (rel.2.3-2). Se observ c pe vertical, exist o singur reaciune i anumeVB.

    Prima ecuaie va fi atunci:

    p = 10 kN/mF1 = 20 kN

    F2 = 30 kN

    M = 20 kN m

    Fig.2.4.2-1

    HC

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    26/394

    23

    ( )Fy

    = 0 R + F1 -VB = 0 (1)

    Celelalte ecuaii sunt ecuaii de momente fa de reazemele B i C:

    ( )MB

    = 0HC 2 - R 1 + F1 1 - F2 2 - M = 0 (2)

    ( )MC

    = 0VB 2 + HB 2 + M + F2 0 - F1 3 - R 1 = 0 (3)

    Din relaia (1), rezult: VB = 40 kN.Din relaia (2), rezult: HC = 40 kN.Din relaia (3), rezult : HB = - 10 kN.

    Se constati n acest exemplu, c reaciunea HB este orientat inversde cum a fost reprezentat iniial n Fig.2.4.2-1.

    S verificm acum corectitudinea calculului efectuat. De dataaceasta, ecuaia de verificare este o ecuaie de proiecii de fore peorizontal (pe o direcie perpendicular la direcia utilizat la calculul

    reaciunilor, care a fost direcia vertical y).

    ( )F H F H x C B

    = + = =2 40 30 10 0Cum aceast ecuaie satisface condiia 2.3-3 de verificare a

    reaciunilor, rezult c valorile calculate pentru reaciuni sunt bune.Cu aceste reaciuni, cadrul prezentat n Fig.2.4.2-1, este supus aciuniiunui sistem de fore exterioare, ca cel prezentat n Fig.2.4.2-2.

    10 kN/m 20 kN

    40 kN

    10 kN 20 kN m

    40 kN Fig.2.4.2-2

    30 kN

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    27/394

    24

    3. EFORTURI. DIAGRAME DE EFORTURI

    3.1 Eforturi

    Eforturilesunt fore interioare care iau natere n elementele derezistenca urmare a aciunii asupra acestora a forelor exterioare.

    Pentru un sistem plan, eforturile posibile dintr-o seciunetransversal a elementului de rezisten, sunt: (Fig.3.1-1)

    - efortul axial N, care acioneaz n centrul de greutate alseciunii i este perpendicular pe planul acesteea,

    - efortul tietor T, acioneaz n centrul de greutate al seciuniii este situat n planul seciunii,

    - momentul ncovoietor Mi, acioneaz n centrul de greutate alseciunii i este situat n planul acesteea.

    yT

    Mi x

    Nz

    x

    Eforturile de pe faa din dreapta, suplinesc aciunea forelorexterioare care acioneaz pe partea stng (considerat nlturat) aelementului (vezi Fig.3.1-1). Eforturile de pe faa din stnga aseciunii, suplinesc aciunea forelor exterioare care acioneaz asupraprii din dreapta elementului (considerat ndeprtat).

    La sistemele spaiale, eforturi tietoare exist pe ambele direcii principale de inerie ale seciunii transversale. La aceste sisteme,

    momente pot exista pe toate cele trei direcii: x, y, z. Momentelesituate pe axele din planul seciunii (axele y i z) sunt momente

    Fig.3.1-1

    Mt

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    28/394

    25

    ncovoietoare, iar momentul situat pe axa x (normal la planulseciunii), este un moment de torsiune (rsucire) care se noteaz cuMt.

    Valoarea eforturilor este determinat de valoarea forelorexterioare care solicit elementul de rezisten.

    S vedem acum, pentru un sistem plan, cum se determinmrimea eforturilor.

    Pentru un sistem plan, pot exista trei eforturi: axial (N), tietor(T) i moment ncovoietor Mi. Efortul axial Nntr-o seciune, este egal n mrime cu suma

    algebric a proieciilor pe normala la seciunea barei a tuturorforelor exterioare din stnga seciunii sau a celor din dreapta,luate ns cu semn schimbat. Efortul axial N, se consider pozitiv,atunci cnd are efect de ntindere a poriunii rmase a barei(Fig.3.1-2a)

    Efortul tietor T ntr-o seciune a elementului de rezisten , esteegal n mrime cu suma algebric a proieciilor pe o direcieperpendicular la normala seciunii (deci n planul seciunii) atuturor forelor exterioare din stnga seciunii sau a celor dindreapta, luate ns cu semn schimbat. Efortul tietor se considerpozitiv, cnd la o bardreaptacioneazde sus n jos pe faa din stnga sau de jos n sus pe faa din dreapta, sau altfel spus cndacesta are tendina s roteasc seciunea n care acioneaz nsensul acelor de ceasornic (Fig.3.1-2b).

    N

    a) b) c)

    Fig.3.1-2

    N

    T T Mi Mi

    N

    Fa a din drea ta Fa a din stn a

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    29/394

    26

    Momentul ncovoietor Mi dintr-o seciune a unui element derezisten este egal n mrime cu suma algebric a momentelor nraport cu centrul de greutate al seciunii considerate, a tuturorforelor exterioare din stnga seciunii sau a celor din dreapta, nsluate cu semn schimbat. La o bardreapt, Mi se considerpozitivatunci cnd pe faa din stnga are sensul acelor de ceasornic iar pefaa din dreapta, sens contrar acestora (Fig.3.1-2c)

    ntr-o reprezentare centralizat, n Fig.3.1-3 se prezintorientarea pozitiv a celor trei eforturi N, T, Mi, att pe faa din stngact i pe cea din dreapta a seciunii unui element de rezisten.

    Aceast convenie de semne este valabili pentru cazul barelorverticale sau nclinate (vezi cadrele), cu condiia s se aleag un sensde parcurs al barei de la un capt spre cellalt.

    Pentru uurina trasrii diagramelor de eforturi, propun pstrareaaceleeai convenii de semne pozitive ale eforturilori n cazul barelor

    curbe plane. Pentru momentul de torsiune Mt , nu exist o convenie unanim

    acceptat pentru ca acesta s fie considerat pozitiv. Pentru a nuncrca memoria cu prea multe noiuni, propun ca momentul detorsiune s fie considerat pozitiv, dac este orientat dup normalaexterioarla seciune, adicla fel ca pentru efortul axial N.

    3.2 Diagrame de eforturi

    N N

    T

    T

    Mi Mi

    Faa din dreapta Faa din stnga

    Fig.3.1-3

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    30/394

    27

    Calculul de rezisten al diferitelor elemente, necesit

    cunoaterea n orice seciune a valorilor eforturilor. Deoareceeforturile depind de seciunea n care se determin, variaia fiecruiefort de-a lungul elementului de rezisten, se exprim funcie decoordonata seciunii respective. O astfel de expresie (funcie) pentruefort, poart numele de funcie de efort. n cazul problemelor plane(la care ne vom rezuma cel mai mult), funciile de eforturi reprezintnsi variaia eforturilor N, T, Mi n lungul elementului de rezisten.

    Reprezentarea grafic a funciilor de eforturi, conduce laobinerea aa numitelordiagrame de eforturi.

    Pentru a obine diagrame de eforturi corecte, pe lng modul deobinere a acestora, mai trebuie tiut cteva aspecte care rezult dinrelaiile difereniale care exist ntre eforturi i forele exterioare caresolicit elementul de rezisten.

    Iat cteva aspecte care sunt obligatoriu a fi cunoscute, pentruobinerea unor diagrame de eforturi corecte: valoarea efortului tietor ntr-o seciune, reprezint tangenta

    trigonometric a unghiului pe care l face cu axa x (axalongitudinal a barei) tangenta la diagrama Mi n seciunearespectiv,

    dacpe o poriune (interval) oarecare:a) efortul tietor T > 0 (pozitiv), momentul ncovoietor Mi

    crete,b) efortul tietor T < 0 (negativ), momentul ncovoietor Mi

    scade,c) efortul tietor T trece prin valoarea zero schimbnd semnul

    din + (plus) n - (minus), atunci n acea seciune, Mi are un maxim(Mi = Mi,max), iar cnd semnul se schimbdin - n +, Mi are un minim(Mi = Mi,min),

    d) efortul tietor este nul (T = 0), momentul ncovoietor Mi esteconstant (Mi = const.),Dac sarcina distribuit este nul (p = 0) pe un interval (interval

    nencrcat), pe ecel interval efortul tietor T este constant (T =const.). Pe acest interval, diagrama momentului ncovoietor Mi estereprezentat prin drepte oblice, numai dac T 0. Dac p < 0,

    efortul tietor, scade.

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    31/394

    28

    Pe intervale ncrcate cu sarcin uniform distribuit (p = const.),diagrama Mi este o parabol, iar diagrama T, o dreapt nclinat.n cazul unei distribuii neuniforme a sarcinii distribuite p, ambelediagrame (Ti Mi ) vor fi curbe a cror natur depinde de tipulsarcinii p.n seciunile din dreptul forelor concentrate, diagrama T prezinto

    discontinuitate de valoare (salt), egal cu valoarea acelei fore iprodus n sensul forei, iar diagrama Mi prezinto discontinuitatede tangent(o frngere) a poriunilor vecine ale diagramei.

    Dacsarcina distribuiteste orientat n jos ( p < 0), diagrama Mieste o curba crei convexitate este dirijat n jos (Fig.3.2-1a), iardacsarcina distribuiteste dirijat n sus (p > 0), diagrama M

    ipe

    acea poriune are convexitatea n sus (Fig.3.2-1b).Pe intervale ncrcate cu sarcini distribuite liniar, efortul tietor T

    variazdupo curbde gradul doi, iar efortul Mi dupo curbde gradul trei. Convexitatea diagramei Mi , se stabilete la fel ca ncazul p = const., (Fig.3.2-1). Convexitatea efortului T, se stabileteuor pe baza celor cunoscute din Analiza Matematic.

    Pe reazemul articulat de la captul grinzii, momentul ncovoietorMi este egal cu zero dac pe acest reazem nu se gsete un cuplu(moment) concentrat. Dac n seciunea de la captul consolei nu

    n os

    n sus

    a) b)

    Fig.3.2-1

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    32/394

    29

    este aplicat o for concentrat, efortul tietor pe consol T, esteegal cu zero.

    La captul ncastrat al unei bare, eforturile Ti Mi sunt egale cureaciunea, respectiv momentul din ncastrare.

    Seciunile n care se aplicun cuplu concentrat (moment concentratexterioar), diagrama Mi prezinto discontinuitate n valoare (salt)egal cu valoarea acelui cuplu concentrati produs n sensul deaciune al cuplului. Asupra diagramei T, acest cuplu concentrat, nuare nici o influen.

    3.3 Etape pentru trasarea diagramelor de eforturi

    Pentru trasarea diagramelor de eforturi, recomand parcurgereaurmtoareloretape: Se calculeazi se verific reaciunile (vezi Cap.1). Nu se trece la

    etapa urmtoare pn cnd nu s-au verificat reaciunile i avemcertitudinea c acestea sunt calculate corect. Altfel, toat muncadepusmai departe este zadarnic.

    Se noteaz (cu numere ori litere) toate seciunile care pot delimitaintervale. Un interval este acea poriune a unui element derezisten , pe care eforturile nu-i modific funciile. Astfel de puncte, pot fi considerate seciunile n care acioneaz fore,reaciuni, cupluri, nceputuli sfritul sarcinii distribuite, bara imodificorientarea (noduri), etc.

    Analiznd elementul de rezisten, se stabilete care sunt eforturilecare pot aprea n seciunile acestuia. Se traseaz acum liniile de

    valoare zero ale eforturilor (linii care coincid cu axa geometricaelementului), se noteazeforturile care urmeaza fi determinate ise pun i unitile de msurutilizate pentru eforturi. Se trece la scrierea funciilor de eforturi i reprezentarea lor

    grafic, adicobinerea diagramelor de eforturi.

    Pentru scrierea funciilor de eforturi i reprezentarea lor grafic,se parcurg etapele:

    Din mulimea de intervale care au rezultat, se alege unul singur.

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    33/394

    30

    n intervalul ales, se face o seciune (imaginar) i considerm cprin aceastseciune am separat elementul de rezisten n dou: oparte situatn stnga iar cealaltn dreapta seciunii fcute. Privim atent cele dou pri rezultate i alegem pentru scrierea

    funciilor de eforturi, pe cea cu fore exterioare mai puine.Lum variabila (x sau - pentru bare curbe) care poziioneaz

    seciunea fcut, n vederea scrierii funciilor de eforturi. Origineavariabilei este n unul din capetele intervalului stabilit pentrurezolvare. Dac s-a ales partea stng de parcurs, atunci origineavariabilei este n captul din stnga al intervalului, iar dac s-aales de parcurs partea dreapt , atunci originea variabilei este ncaptul din dreapta al intervalului.

    Se noteazintervalul care se rezolv. Tot acum se scrie i intervalulvalorilor variabilei, ca de exemplu:

    Intervalul (B - 1) cu x ( 0 ; 2 m).

    Dup stabilirea intervalului, se trece la scrierea funciilor deeforturi pe acest interval (vezi parag. 3.1), funcii care apoi sereprezint grafic. Odat cu trasarea diagramelor, corectitudineaacestora se verific cu ajutorul cunotiinelor prezentate la

    paraggraful 3-2.Dac totul a reieit bine, se alege un alt intervali se parcurg dinnou toate etapele indicate.

    Dup trasarea diagramelor de eforturi pentru tot elementul derezisten , se recomand a se mai face nc o verificare pe bazacelor prezentate la paragraful 3.2.

    La barele curbe, apar mici diferene, dar acestea se vor specifica

    atunci cnd se prezint un exemplu de trasare al diagramelor deeforturi la astfel de bare (vezi parag. 3.4.3).

    3.4 Exemple de trasare ale diagramelor de eforturi

    3.4.1 Diagrame de eforturi la bare drepte orizontale

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    34/394

    31

    3.4.1-1 Sse traseze diagramele de eforturi pentru bara dreapt

    orizontaldin Fig.3.4.1-1a.

    B Cx 1 x x

    VB=24 kN VC=32 kN

    13,86 13,86

    La barele drepte orizontale, se consider c observatorul (celcare rezolv problema) se afl sub bari de aici privete modul desolicitare i deformare al barei.

    2 m 2 m 1 m

    24

    300 F = 16 kN p = 12 kN/m M=16 kNm

    HB = 13,86 kN

    a)

    b)

    c)

    d)

    N [kN]

    -8

    - 32

    T [kN]

    Mi [kNm]

    24

    - 16 - 16

    Fig.3.4.1-1

    2

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    35/394

    32

    De la nceput, trebuie lsat loc suficient sub bar pentrudiagramele de eforturi.

    - Calculul reaciunilori verificarea lor, a condus la urmtoarelevalori:

    HB = 13,86 kNVB = 24 kNVC = 32 kN.

    - Notm celelalte seciuni caracteristice cu 1 i 2. Au rezultatastfel trei intervale caracteristice: B-1 ; 1-C ; C-2. Pe fiecare astfel deinterval, eforturile au funcii unice.

    - Tinnd seama de forele exterioare, se constat c pentruaceast grind exist trei eforturi: N, T, Mi.

    - Am reprezentat liniile de valoare zero (axa barei), le-am notatcu N, T, respectiv Mi i am pus n paranteze drepte, unitile demsur corespunztoare: [kN], [kN], [kNm].

    Trecem la scrierea funciilor de eforturi i trasarea acestordiagrame, pe fiecare interval.

    - Alegem pentru nceput, intervalul din stnga i realizm o

    seciune imaginar (Fig.3.4.1-1a). Au rezultat astfel dou pri fa deaceast seciune: una n stnga i cealalt n dreapta. Se constat c partea din stnga (poriunea B - pn la seciune) este mai puinncrcat, motiv pentru care alegem aceast parte. Originea variabileix o alegem n stnga, n punctul B (n reazem).

    Deci, rezolvm:

    Intervalul (B - 1) cu x [0 ; 2 m].

    Pe acest interval, funciile de eforturi sunt (vezi i convenia desemne pozitive):

    Efortul axial N:N = HB = 13,86 kN. Efortul N, nu depinde de poziia seciunii x

    i este constant. Valorile pozitive le reprezentm grafic, deasupra axeide valoare zero (vezi sensul pozitiv al ordonatei). n seciunea B,rezult un salt de 13,86 kN, salt care trebuie s existe (Fig.3.4.1-1b).

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    36/394

    33

    Efortul tietor T:T = VB - p x = 24 - 12 x i este o dreapt (corect).

    Calculm valorile lui T, la capetele intervalului B - 1:TB = Tx=0 = 24 -12 0 = 24 kN, rezult salt (corect),T1 = Tx=2 = 24 -12 2 = 24 - 24 = 0 kN

    Se unesc valorile de la capetele intervalului i rezult diagrama careprezint o variaie liniar (corect - Fig.3.4.1-1c).

    Efortul moment ncovoietor, Mi:Mi = VB x - p x x/2 = 24 x -6 x

    2 - este o parabol (corect).Calculm valorile lui Mi, la capetele intervalului:

    Mi,B = Mi,x=0 = 24 0 - 6 02 = 0 (corect),

    Mi,B = Mi,x=2 = 24 2 - 6 22 = 48 - 24 = 24 kNm.Rezult, Mi cresctor (corect, T>0) i nu are salt sau extrem (corect).La momentul ncovoietor, valorile pozitive se reprezint sub axa devaloare zero (dedesubt - Fig.3.4.1-1d).

    Deoarece am terminat intervalul din stnga, trecem la altinterval. Alegem spre exemplu, intervalul din dreapta.

    - Am realizat seciunea imaginar (Fig.3.4.1-1a),

    - Se observ c partea din dreapta, fa de seciune, este maipuin ncrcat: numai cu momentul M. Alegem aceast parte.

    -Variabila x, are originea n seciunea 2.- Rezolvm acum:

    Intervalul (2 - C) cu x [0 ; 1 m].Pe acest interval, funciile de eforturi, sunt (atenie la semnele pozitiveale eforturilor - parcurgem intervalul de la dreapta la stnga):

    N = 0 (nu exist fore exterioare axiale pe partea din dreapta),T = 0 (nu exist fore exterioare normale la axa barei),Mi = - M = - 16 kNm - nu depinde de poziia seciunii x,

    - este constant,- prezint salt n seciunea 2 (corect).

    A mai rmas intervalul din mijloc.- Facem o seciune imaginar x (vezi Fig.3.4.1-1a).

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    37/394

    34

    - Am impresia c partea din dreapta este mai simplu de rezolvat.Alegem aceast parte. Varibila x, are originea n seciunea C(reazemul din dreapta).

    Rezolvm acum:

    Intervalul (C - 1) cu x [0 ; 2 m].

    Funciile de eforturi, pe acest interval, sunt:N = 0 (nu exist fore exterioare axiale pe partea din dreapta),

    - n seciunea 1, apare un salt de 13,86 kN (corect -Fig.3.4.1-1b),

    T = - VC + p x = -32 + 12 x - variaie liniar (corect),Valorile lui T la capetele intervalului, sunt:

    TC = Tx=0 = -32 +12 0 = -32 kN,T1 = Tx=2 = -32 +12 2 = -32 + 24 = -8 kN.n seciunea C, apare un salt de 32 kN (corect), iar n seciunea

    1, un salt de 8 kN (corect). Efortul T nu se anuleaz pe acest interval,dect n seciunea 1 (Fig.3.4.1-1c).

    Mi = -M + VC x - p x x/2 = -16 +32 x - 6 x2 -variaie parabolic

    (corect).Valorile lui Mi la capetele intervalului, sunt:

    Mi,C = Mi,x=0 = -16 kNm -diagrama se nchide n C (corect),Mi,1 = Mi,x=2 = -16 +32 2 - 6 2

    2 = -16 +64 -24 = 24 kNm -diagrama se nchide n 1 (corect). n seciunea 1, rezult un extrem(corect, deoarece T1 = 0). Pe intervalul 1 - C, T < 0, iar Mi estedescresctor, scade de la 24 kNm la -16 kNm (corect).

    Aa se traseaz corect diagramele de eforturi. Este bine caverificarea corectitudinii diagramelor de eforturi, s se fac aa ca n

    exemplul prezentat, adic o dat cu trasarea diagramelor i apoi serecomand o reverificare la final. O verificare a diagramelor deeforturi numai la final (dup ce acestea au fost trasate), prin corectareconduce la un aspect urt, dezordonat, de unde nu se mai nelegenimic

    3.4.1-2 S se traseze diagramele de eforturi, pentru bara

    dreaptdin figura de mai jos (Fig.3.4.1-2).

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    38/394

    35

    Calculul reaciunilor a condus la urmtoarele valori:

    VB = 7,2 kNHC = 0VC = 14,8 kN.

    Pentru acest element de rezisten, exist numai eforturile T i

    Mi. Neexistnd ncrcri axiale, nu exist nici efort axial N (N = 0).

    = 3 6 m

    M = 16 kNm p = 2 kN/m F = 2 kN

    a)

    7 2 7 26

    2

    -8,8

    T [kN]

    -1,6

    -8

    b)

    c)

    11,3

    14,4

    Mi [kNm]

    Fig.3.4.1-2

    12

    VC = 14,8 kNVB = 7,2 kN

    xx x

    B

    C

    2 m 2 m8 m

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    39/394

    36

    Alte puncte caracteristice n afar de reazeme, sunt seciunile 1i 2 (Fig.3.4.1-2a). Alegem pentru nceput,

    Intervalul (B - 1) cu x [0 ; 2 m].Originea variabilei x este n seciunea B, deoarece alegem partea

    din stnga, fiind mai puin ncrcat.Funciile eforturilor pe acest interval, sunt:T = VB = 7,2 kN -rezult efort tietor constant, cu salt n

    seciunea B (corect - vezi Fig.3.4.1-2b),Mi = VB x = 7,2 x -variaie liniar (corect).

    La capetele intervalului, valorile lui Mi, sunt:Mi,B = Mi,x=0 = 7,2 0 = 0 (corect),Mi,1 = Mi,x=2 = 7,2 2 = 14,4 kNm.

    Momentul ncovoietor Mi este cresctor (corect, deoarece T > 0 -veziFig.3.4.1-2c).

    Alegem alt interval i anume, pe cel din mijloc, n care realizmo seciune imaginar (Fig.3.4.1-2a). Partea din stnga pare mai uorde rezolvat. Rezolvm acum,

    Intervalul (1 - C) cu x [0 ; 8 m].

    Funciile eforturilor pe intervalul 1 - C, sunt:T = VB - p x = 7,2 - 2 x -variaie liniar (corect).

    Valorile efortului tietor la capetele intervalului, sunt:T1 = Tx=0 = 7,2 - 2 0 = 7,2 kN -diagrama se nchide fr salt n

    seciunea 1 (corect - vezi Fig.3.4.1-2b),TC = Tx=8 = 7,2 - 2 8 = 7,2 - 16 = -8,8 kN.

    Efortul tietor T se anuleaz (trece de la valori pozitive la valorinegative). Seciunea n care T se anuleaz, trebuie determinat,

    deoarece n aceast seciune, efortul Mi prezint un extrem (maxim ncazul nostru). Punem condiia ca T s fie nul. Rezult:

    T = 7,2 - 2 = 0, de unde = 7,2 / 2 = 3,6 m. Se coteaz poziiaacestei seciuni (vezi Fig.3.4.1-2b).

    Efortul Mi, are pe intervalul 1 - C, expresia:Mi = VB (2 + x) - M - p x x / 2 sau,Mi = 7,2 (2 + x) - 16 - x

    2 -variaie parabolic (corect).Valorile lui Mi la capetele intervalului i valoarea extrem (maxim),

    sunt:

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    40/394

    37

    Mi,1 = Mi,x=0 = 7,2 (2 + 0) -16 - 02 = -1,6 kNm -rezult n

    seciunea 1 un salt de 16 kNm (corect -Fig.3.4.1-2c),Mi,extrem = Mi,=3,6 = 7,2 (2 + 3,6) -16 - 3,6

    2 = 11,3 kNm,Mi,C = Mi,x=8 = 7,2 (2 + 8) -16 - 8

    2 = -8 kNm.Pe poriunea unde T > 0, Mi descrete de la 11,3 kNm la -8 kNm(corect - Fig.3.4.1-2c).

    A mai rmas, intervalul din dreapta. Dup realizarea seciuniiimaginare n acest interval (Fig.3.4.1-2a), se observ c partea dreapteste mai puin ncrcat. Alegem atunci,

    Intervalul (2 - C) cu x [0 ; 2 m].Pe intervalul 2 - C, eforturile prezint urmtoarele expresii:

    T = F + p x = 2 + 2 x -variaie liniar (corect).La capetele intervalului, efortul tietor T, are valorile:

    T2 = Tx=0 = 2 + 2 0 = 2 kN,TC = Tx=2 = 2 + 2 2 = 6 kN.

    n seciunea 2, apare un salt de 2 kN (corect), iar n seciunea C unsalt de 14,8 kN (corect - Fig.3.4.1-2b). Efortul tietor este pozitiv inu se anuleaz.

    Funciile de moment ncovoietor Mi pe intervalul 2 - C, sunt:Mi = -F x - p x x/2 = -2 x - x2 -variaie parabolic (corect).

    Cum T nu se anuleaz, Mi nu prezint extrem.La capetele intervalului 2 - C, valorile lui Mi, sunt:

    Mi,2 = Mi,x=0 = -2 0 - 02 = 0 -fr salt n seciunea 2 (corect),

    Mi,C = Mi,x=2 = -2 2 - 22 = -8 kNm -diagrama se nchide n

    seciunea C fr salt (corect). Cum pe intervalul 2 - C, T > 0, efortulMi crete de la -8 kNm la zero (corect).

    3.4.2Diagrame de eforturi la cadre cu bare drepte

    3.4.2-1 S se traseze diagramele de eforturi, pentru cadrul

    plan din Fig.3.4.2-1

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    41/394

    38

    Calculul reacinilor a condus la urmtoarele valori:

    HB = 40 kNVB = 5 kNVC = 35 kN.

    Liniile de valoare zero ale eforturilor, nu mai pot fi puse subelementul de rezisten ca la barele drepte orizontale. n acest caz,liniile de valoare zero ale eforturilor urmresc conturul cadrului i seaeaz separat, ca n Fig.3.4.2-2. Aici se noteaz natura efortului i

    unitatea de msur.Alte puncte caracteristice ale cadrului sunt seciunile 1 i 2

    (Fig.3.4.2-1). i pentru acest cadru, avem tot trei intervalecaracteristice (B - 1, 1 - 2, 2 - C), unul (B - 1) fiind orientat pevertical, iar celelalte dou pe orizontal, ca la exemplul 3.4.1.Aezarea pe vertical a intervalului B - 1, nu ridic problemedeosebite pentru scrierea funciilor de eforturi i trasarea diagramelor.

    p = 20 kN/m

    B HB = 40 kN

    VB = 5 kN

    x

    2 m

    x x

    1 m 1 mVC = 35 kN

    C

    M = 10 kNm F = 40 kN

    1 2

    Fig.3.4.2-1

    Observator

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    42/394

    39

    .

    Nu ne rmne dect s ne imaginm c eforturile pe care le-amreprezentat pentru bara dreapt orizontal, s-au rotit cu 900i au ajunsorientate pe verical (Fig.3.4.2-3)

    La cadre, pentru barele verticale, poziia observatorului esteastfel nct trecerea la barele orizontale s fie fcut fr a trece decealalt parte a barei. Pentru cadrele cu contururi nchise, rezult cpoziia observatorului trebuie s fie n interiorul cadrului. Pentruexemplul nostru, la poriunea vertical, observatorul va privi bara dinpartea dreapt (Fig.3.4.2-1).

    -5

    -5

    40

    5 5

    -35 -35

    40

    30

    35N[kN]

    T[kN]

    Mi[kNm]

    a) b) c)

    Fig.3.4.2-2

    Observator

    Observator

    a) b) c)

    Fig.3.4.2-3

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    43/394

    40

    ncepem scrierea funciilor de eforturi i trasarea diagramelor deeforturi cu intervalul orientat pe vertical.

    Realizm seciunea imaginar n acest interval (Fig.3.4.2-1) iconstatm c poriunea mai puin ncrcat este cea din partea stnga observatorului (dinspre reazemul B). Ca urmare, originea variabileix, va fi n seciunea B.

    La scrierea funciilor de eforturi, pentru aceast situaie, neorientm dup convenia de semne pozitive, prezentat n Fig.3.4.2-3b. Rezolvm atunci,

    Intervalul (B - 1) cu x [0 ; 2 m]Funciile de eforturi pe acest interval, sunt:N = - VB = -5 kN -efort constant (corect)

    -salt n seciunea B (corect - Fig.3.4.2-2a)T = HB - p x = 40 - 20 x -variaie liniar (corect).

    Valorile lui T la capetele intervalului, sunt:TB = Tx=0 = 40 - 20 0 = 40 kN, salt n seciunea B (corect),T1 = Tx=2 = 40 - 20 2 = 0 kN -se anuleaz n captul

    intervalului i este pozitiv (corect - Fig.3.4.2-2b).Mi = HB x - p x x/2 = 40 x - 10 x

    2 -variaie parabolic (corect).

    Valorile lui Mi la capetele intervalului B - 1, sunt:Mi,B = Mi,x=0 = 40 0 - 10 0

    2 = 0 -fr salt n seciunea B(corect),

    Mi,1 = Mi,x=2 = 40 2 - 10 22 = 40 kNm -momentul ncovoietor

    Mi este cresctor (corect) i prezint extrem n seciunea 1 (corect -Fig.3.4.2-2c).

    Trasm acum diagramele de eforturi pentru,

    Intervalul (C - 2) cu x [0 ; 1 m]Originea variabilei x este n seciunea C, deoarece am ales

    partea din dreapta seciunii. Acest interval fiind orizontal, nu ridicnici un fel de probleme.

    Funciile de eforturi, sunt: N = 0 -nu exist sarcini axiale pe partea luat n considerare

    (corect),T = - VC = -35 kN -efort constant cu salt n seciunea C (corect

    - Fig.3.4.2-2b),

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    44/394

    41

    Mi = VC x = 35 x -variaie liniar (corect).La capetele intervalului C - 1, valorile lui Mi, sunt:

    Mi,C = Mi,x=0 = 35 0 = 0 -fr salt n seciunea C (corect),Mi,2 = Mi,x=1 = 35 1 = 35 kNm -momentul ncovoietor este

    descresctor pe intervalul 2 - C de la valoarea 35 kNm la 0 kNm(Fig.3.4.2-2c).

    Intervalul (2 - 1) cu x [0 ; 1 m]va fi rezolvat tot de la dreapta spre stnga cu originea variabilei x, nseciunea 1 (Fig.3.4.2-1).

    Pe acest interval, funciile de eforturi au expresiile: N = 0 -nu exist fore exterioare axiale pe partea considerat

    (corect),T = -VC + F = -35 + 40 = 5 kN -efort constant cu salt de 40 kN

    n seciunea 1 i pozitiv (corect - Fig.3.4.2-2b),Mi= VC (1 + x) - F x = 35 (1 + x) - 40 x = 35 - 5 x -variaie

    liniar (corect).Valorile lui Mi la capetele intervalului, sunt:

    Mi,2 = Mi,x=0 = 35 - 5 0 = 35 kNm -diagrama n seciunea 2 senchide fr salt (corect - Fig.3.4.2-2c),

    Mi,1 = Mi,x=1 = 35 - 5 1 = 30 kNm -momentul ncovoietor estecresctor pe intervalul 1 - 2 (T > 0). n nodul rigid 1, apare un salt demoment ncovoietor de la 30 kNm (pe bara vertical) la 40 kNm (pe bara orizontal). Apariia acestui salt de 10 kNm este corect,deoarece n seciunea 1 acioneaz momentul concentrat M = 10 kNm.

    Se poate constata c n nodurile nencrcate, formate de bareperpendiculare, efortul axial de pe o bar devine tietor pe cealalt, iarefortul tietor de pe o bar devine axial pe cealalt bar. De asemenea,

    n nodurile nencrcate formate din bare perpendiculare, momentulncovoietor Mi de pe o bar, se transmite pe cealalt bar n mrime isemn.

    3.4.3 Diagrame de eforturi la bare curbe plane

    3.4.3-1 S se traseze diagramele de eforturi pentru bara curbplandin Fig.3.4.3-1.

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    45/394

    42

    La bare nepenite, pentru trasarea diagramelor de eforturi, se poate renuna la calculul reaciunilor, cu condiia ca funciile deeforturi pentru toate intervalele s fie scrise parcurgnd fiecareinterval caracteristic dinspre captul liber spre ncastrare.

    Pentru bara din Fig.3.4.3-1, dup notarea seciunilorcaracteristice 1, 2 respectiv B, rezult dou intervale caracteristice:primul interval 1 - 2 constituie o poriune dreapt, iar cel de-al doilea2 - 3 - B, este o poriune curb cu raza de curbur R.

    Abordm trasarea diagramelor de eforturi la fel ca la cadre (vezi

    parag. 3.4.2). Diagramele de eforturi, le trasm pe conturul cadruluiprezentat n Fig.3.4.3-2. ncepem cu:

    Intervalul (1 - 2) cu x [0 ; 2R].

    Originea variabilei x este n seciunea 1, deoarece considerm c partea din dreapta seciunii este mai puin ncrcat i mai uor derezolvat.

    Pe intervalul 1 - 2, funciile de eforturi au expresiile:N = 0 -nu exist fore exterioare axiale pe partea dreapt,

    T = F -efort axial constant de valoare F, pozitiv, iar n seciunea1 apare un salt de valoare F (corect - Fig.3.4.3-2b),

    Mi = -F x -variaie liniar (corect).Valorile lui Mi la capetele intervalului 1 - 2, sunt:

    Mi,1 = Mi,x=0 = F 0 = 0 -nu apare salt n seciunea 1 (corect -Fig.3.4.3-2c),

    F

    2 R

    R

    1

    B

    Fi .3.4.3-1

    3

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    46/394

    43

    Mi,2 = Mi,x=2R = F 2R = 2FR -momentul ncovoietor Mi peintervalul 2 -1 este descresctor, T < 0 (corect - Fig.3.4.3-2c).

    Cel de-al doilea interval, dup cum se poate observa, nu mai estedrept, ci este o poriune curb. Variabila liniar x de la barele dreptenu poate fi utilizati pentru poriunile curbe. Pentru poriunile curbe,variabila care poziioneaz seciunea n care se scriu funciile deeforturi este un unghi, fie el notat cu (Fig.3.4.3-3).

    n seciunea definit de unghiul , trebuie scrise funciile deeforturi.

    Dup cum se tie, efortul axial N este situat pe o direcieperpendicular la seciune. La poriunile curbe, o astfel de direcieeste tangenta la curb, notat ( t ) n Fig.3.4.3-3. Efortul tietor T, esteconinut n planul seciunii. La poriunile curbe, aceast direcie treceprin seciune i prin centrul de curbur (direcia radial r-Fig.3.4.3-3).

    -F

    -F

    F F -2FR

    -2FR

    -3FR

    N [kN] T [kN]

    Mi [kNm]

    a) b) c)

    Fig.3.4.3-2

    ( r ) ( t ) F

    Fig.3.4.3-3

    CC (centrul de curbur)

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    47/394

    44

    Aadar, pentru a stabili funcia de efort axial N ntr-o seciune aunei poriuni curbe, toate forele exterioare de pe partea considerat,trebuie proiectate pe tangenta la curb n seciunea respectiv (direciat).

    Pentru funcia efort tietor T, se proiecteaz toate foreleexterioare de pe partea considerat, pe direcia radial ( r ) careconine acea seciune.

    Dac o proiectare direct a forelor exterioare ce acioneaz pepartea considerat este dificil, atunci se recomand reducerea tuturoracestor fore exterioare n seciunea respectiv (vezi i parag. 1.3).

    Exemplu de reducere a forelor exterioare, pentru problemastudiat (Fig.3.4.3-1) este prezentat n Fig.3.4.3-4.

    Acum putem scrie funciile de eforturi (cu aceleai convenii de

    semn pozitiv de la barele drepte) pe:Intervalul (2 - B) cu [o ; ].

    Efortul axial N, are expresia:N = -F sin -variaie sinusoidal (vezi Fig.3.4.3-4),

    Valorile efortului axial N la capetele intervalului considerat, sunt:N2 = N=0 = -F sin 0 = 0 -nu apare salt n diagram (corect -

    Fig.3.4.3-2a),N3 = N=/2 = -F sin /2 = -F

    FF

    T

    CC N = F sin T = F cos

    Fig.3.4.3-4

    3

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    48/394

    45

    NB = N= = -F sin = -F 0 = 0 -se poate constata c peintervalul 2 - B, efortul axial N, prezint un singur extrem pentru =/2 (Fig.3.4.3-2a).

    Efortul tietor T, are expresia:T = F cos -variaie cosinusoidal (vezi Fig.3.4.3-4).

    Valorile lui T pe intervalul considerat, sunt:T2 = T=0 = F cos 0 = F -diagrama T se nchide fr salt n

    seciunea 2 (corect - Fig.3.4.3-2b),T3 = N=/2 = F cos/2 = 0TB = T= = F cos = F (-1) = -F -n seciunea B apare un salt

    determinat de reaciunea vertical din nepenire (corect - Fig.3.4.3-

    2b). Efortul moment ncovoietor Mi n seciunea considerat, se scrierelativ uor. Din Fig.3.4.3-4, rezult:

    Mi = -F (2R + R sin ) = -FR (2 + sin ) -o variaiesinusoidal.Pe intervalul 2 - B, valorile lui Mi sunt:

    Mi,2 = Mi,=0= -FR (2 + sin 0) = -2FR -diagrama Mi se nchidefr salt n seciunea 2 (corect - Fig.3.4.3-2c),

    Mi,3 = Mi,=/2= -FR (2 + sin /2) = -FR(2 + 1) = -3FR -areextrem n seciunea 3, deoarece T3 = 0 (corect - Fig.3.4.3-2c),Mi,B = Mi,== -FR (2 + sin ) = -FR(2 + 0) = -2FR -n

    seciunea B apare un salt determinat de reaciunea unui cuplu dinncastrare (corect - Fig.3.4.3-2c). Pe poriunea 3 - 2 unde T > 0, Micrete de la -3FR la -2FR, iar pe poriunea B - 3 unde T < 0, Midescrete de la -2FR la -3FR (corect - Fig.3.4.3-2c).

    Trasarea diagramelor de eforturi la bare curbe a fost prezentat pe un exemplu de combinaie bar dreapt - bar curb. n cazulexistenei numai a poriunilor curbe, scrierea funciilor i trasareadiagramelor de eforturi, se face la fel ca pentru poriunea curbprezentat.

    Se atrage atenia asupra faptului c n unele situaii, funciile deefort N i T pot prezenta extrem, a crui valoare trebuie determinat.La aceste eforturi, extreme se pot ntlni atunci cnd funciile

    eforturilor conin att funcia trigonometric sin ct i cos, saucombinaii de aceste funcii trigonometrice.

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    49/394

    46

    Pentru semnele pozitive ale eforturilor din barele curbe plane,recomand utilizarea conveniei stabilit la barele drepte i nu altele,care nu fac altceva dect s ngreuneze calculul i s deruteze sau sncurce pe rezolvitor.

    3.4.4 Diagrame de eforturi la sisteme spaiale de bare drepte

    Sistemele spaiale sunt printre cele mai rspndite sisteme ntr-oconstrucie sau structur de rezisten. Ele pot fi formate din baredrepte, curbe sau combinaie a acestora.

    M voi opri asupra sistemelor spaiale alctuite din bare drepte,nu numai pentru faptul c sunt cele mai rspndite, ci i pentru aceeac formeaz baza de studiu pentru studenii facultilor cu profilmecanic.

    La sistemele spaiale, nu putem utiliza toate conveniile pe carele-am utilizat la exemplele precedente. La aceste sisteme, folosimurmtoarele convenii pentru trasarea diagramelor de eforturi: Diagrama efortului axial N, o putem reprezenta n orice plan al

    sistemului. n aceast diagram , vom pune semn: plus (+) dacefortul este de ntindere i minus (-) daceste de compresiune.

    Diagrama efortului tietor T, se va reprezenta n planul n careacioneaz forele exterioare normale la axa barei i de aceeaiparte a barei cu forele respective. n diagrama T, nu se mai punesemn.Diagrama momentului ncovoietor Mi , se va reprezenta de partea

    fibrei ntinse a barei, iar n diagramnu se mai pune semn. Momentul de torsiune Mt , se poate reprezenta n orice plan, nu se

    mai pune semn n diagram , iar "haura" diagramei Mt se face printr-o spiral , tocmai pentru a se deosebi de momentulncovoietor Mi.

    nainte de a ne apuca s trasm diagramele de eforturi la unsistem spaial, este recomandat a ne reaminti cum variaz eforturile nfuncie de ncrcarea fiecrui interval (vezi parag.3.2). De asemeneaeste bine s ne reamintim cum se reduc forele exterioare ntr-oseciune (vezi parag. 1.3) ifaptul co dimensiune a unui element de

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    50/394

    47

    rezistenparalel cu suportul forei nu constituie braal forei i caurmare produsul dintre fori o astfel de dimensiune, nu produceniciodatun cuplu (moment).Dac ne-am reamintit toate acestea, putem ncepe s trasm diagramede eforturi pentru sisteme spaiale.

    3.4.4.1 Pentru cadrul din Fig.3.4.4.1-1, s se trasezediagramele de eforturi.

    Dup cum se poate constata, cadrul proprizis mpreun cu F1,formeaz un sistem plan. Cum F2 este ntr-un plan perpendicular peplanul cadrului i a forei F1, rezult un sistem spaial.

    Notm seciunile caracteristice ale sistemului cu: 1, 2, 3, B. S-auobinut astfel trei intervale caracteristice (Fig.3.4.4.1-1).

    Privind atent sistemul din Fig.3.4.4.1-1, se pot stabili o serie deaspecte cu privire la diagramele de eforturi. Iat doar cteva dintreacestea:

    . efortul axial N exist numai pe tronsonul 2 - 3 dat de F1, esteconstant i de ntindere; poate fi pus pe diagrama N (Fig.3.4.4.1-2a).

    - fora exterioar F1 produce efort tietor pe intervalele 1 - 2 i3-B, constant, de valoare F1. n diagram acest efort se va reprezentan plan vertical (cum acioneaz i F1) i deasupra barei (de partea

    B

    c 3

    b

    2 aF1

    F2

    b > a

    Fig.3.4.4.1-1

    1

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    51/394

    48

    forei F1). Efortul tietor produs de F1, este reprezentat n diagrama Tdin Fig.3.4.4.1-2b.

    - fora exterioar F2 este perpendicular pe toate intervalelesistemului, deci pe fiecare interval produce efort tietor, constant i devaloare F2. Efortul tietor produs de F2 se reprezint n diagrama T n planul n care acioneaz F2 i de aceeai parte a barei cu F2 (veziFig.3.4.4.1-2b).

    Dup cum se poate observa, la sistemele spaiale alctuite din bare drepte, trasarea diagramelor de eforturi N i T, se face foarte

    uor, fr a mai fi nevoie de scrierea funciilor eforturilor.

    F1F1 F1

    F2 F2

    F2 F2

    F1 a + c

    F1 a

    F1a

    F1 a

    F2 a

    F2(a+c) F2b

    F2 a

    N T Mi(F1) Mi(F2)

    a) b) c) d)

    F2 b F2 b

    F2 a

    F2 a

    F1 a

    F1 a

    F2 a

    F2b

    F2 (a + c)

    F1 a + c

    F2 a

    Mt Mi

    e) f)

    Fig.3.4.4.1-2

    F1

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    52/394

    49

    Trasarea diagramelor Mii Mt este ceva mai dificil, dar dac v-ai nsuit bine toate cunotiinele prezentate pn acum, vei vedea cnu avei dificulti.

    Trasarea diagramelor Mi i Mt este bine s se fac prinsuprapunere de efecte. Asta nseamn c se va lua sistemul ncrcat pernd numai cu cte o sarcin. Acest principiu l aplicm i exempluluinostru din Fig.3.4.4.1-1.

    Pentru nceput, considerm sistemul ncrcat numai cu foraexterioar F1 (Fig.3.4.4.1-3).

    Privind sistemul i avnd trasate diagramele T, putem afirmaurmtoarele:

    - Sistemul din Fig.3.4.4.1-3 este un cadru plan (vezi diagramelede eforturi de la parag. 3.4.2).

    - Pe toate intervalele, diagramele Mi produse de F1, prezintvariaie liniar (intervale nencrcate).

    - Dimensiunea b a intervalului 2 - 3 fiind paralel cu suportul

    forei F1, nu va fi bra pentru aceasta. Asta nseamn c nu va existanici un moment egal cu F1b.

    - Dac variaia momentelor produse de F1 sunt liniare, atuncieste convenabil s determinm valoarea momentelor numai lacapetele intervalelori apoi s le unim cu linie dreapt.

    - Cum intervalul 2 - 3 este paralel cu suportul forei F1 dar la odistana de acesta, rezult c pe acest interval, momentul produs deF1 este constant.

    B c 3

    b

    2 1

    a

    F1

    Fig.3.4.4.1-3

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    53/394

    50

    - Mai tim c n noduri rigide (cum sunt nodurile 2 i 3), lasistemele plane, momentele se transmit de la o bar la alta.

    - Sistemul fiind plan i neexistnd ncrcri cupluri (momente)de torsiune, nu va exista nici efort moment de torsiune Mt.

    n Fig.3.4.4.1-4, se arat valorile momentelor produse de foraF1 la capetele fiecrui interval.

    Nu ne rmne acum dect ca aceste momente s fie identificate

    (sunt de ncovoiere sau de torsiune), s fie reprezentate de parteafibrei ntinse (cele de ncovoiere n Fig.3.4.4.1-4 s-au pus de parteafibrei ntinse) i unite valorile cu linii drepte. Aceast etap esteparcurs n Fig.3.4.4.1-2c.

    S procedm la fel i pentru fora exterioar F2 (Fig.3.4.4.1-5).i la acest sistem, se pot preciza nc de nceput, cteva aspecte:

    - Pe toate intervalele, momentele au o variaie liniar (intervalenencrcate).

    0

    B 3

    F1 (a + c) F1 a

    3

    2

    F1 a

    F1 a

    2 1

    F1 a

    F1

    Fig.3.4.4.1-4

    B c 3

    b

    21

    F2

    Fig.3.4.4.1-5

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    54/394

    51

    - Toate dimensiunile a, b, c sunt perpendiculare pe direcia foreiF2, deci toate sunt brae pentru F2, toate vor creea momente cu F2.

    - Cum fora F2 mpinge sistemul dinspre noi nspre partea opusnou, rezult c fibrele ntinse ale cadrului sunt situate nspre noi. Deaceast parte vor fi reprezentate i diagramele Mi.

    n Fig.3.4.4.1-6, sunt puse la capetele intervalelor, momenteleproduse de fora exterioar F2.

    Rmne acum s stabilim natura momentelor i s lereprezentm grafic (Fig.3.4.4.1-2d,e).

    Intervalul 1 - 2. Momentul F2a din seciunea 2, este momentncovoietor Mi.

    Intervalul 2 - 3. Momentul F2a din seciunea 2, este moment detorsiune Mt. n seciunea 2, nu exist moment ncovoietor Mi.Momentul F2b din seciunea 3, este moment ncovoietor Mi, iar

    momentul F2a din seciunea 3, este moment de torsiune Mt.Intervalul 3 - B. Momentul F2b din seciunea 3, este moment de

    torsiune Mt. Momentul F2a din seciunea 3, este moment ncovoietorMi. Momentul F2(a + c) din seciunea B, este moment ncovoietor, iarmomentul F2b din seciunea B, este moment de torsiune Mt.

    Puse pe diagrami unind valorile momentelor de acelai tip, aurezultat diagramele de eforturi din Fig.3.4.4.1-2d,e. Se poate constatac momente ncovoietoare Mi exist n mai multe plane, produse de F1i F2. Diagrama final rezultat Mi este prezentat n Fig.3.4.4.1-2f.

    B3 3

    F2 b F2 b F2 a

    F2(a + c) F2 a F2 b

    F2 a

    22 1

    0 F2 a 0

    Fig.3.4.4.1-6

    F2

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    55/394

    52

    Pentru cazul prezentat, diagramele finale de eforturi N, T, Mi,Mt sunt cele reprezentate n Fig.3.4.4.1-2a,b,e,f.

    S-a prezentat prin acest exemplu, o metod simpl de trasare adiagramelor de eforturi pentru sistemele spaiale, care nu necesitsisteme de axe, scrierea funciilor de eforturi, etc.

    Dac exist intervale cu sarcini uniform distribuite, nu uitai c pe acele intervale, T variaz liniar, iar Mi, parabolic. Pe celelalteintervale, efectul sarcinii distribuite este dat de rezultanta sarciniidistribuite (reamintii-v valoarea rezultantei i punctul ei deaplicaie).

    3.4.4.2 Pentru bara cotit din Fig.3.4.4.2-1, s se trasezediagramele de eforturi.

    Nu calculm reaciunea din nepenire, dar toate intervalele vorfi parcurse dinspre captul liber spre nepenire.

    Notm seciunile caracteristice ale cadrului cu: 1, 2, 3, B(Fig.3.4.4.2-1), rezultnd trei intervale: 1 - 2, 2 - 3, 3 - B.

    Privind atent sistemul (cadrul i ncrcarea), diagramele

    eforturilor N i T se traseaz foarte uor. Toate intervalele suntnencrcate (p = 0), de unde rezult c N i T sunt constante, iar M(Mii Mt) prezint variaie liniar.

    Pe intervalele 1 - 2 i 2 - 3, fora exterioar F produce eforttietor care acioneaz n plan vertical (de sus n jos), iar pe intervalul3 - B, fora F produce efort axial N, de compresiune. Efortul axial Nse poate reprezenta n diagram n orice plan, iar efortul tietor T lreprezentm n planul forei F, adic n plan vertical, deasupra barei

    (pentru a fi de aceeai parte pe bar cu fora F).

    Fig.3.4.4.2-1

    b

    B

    a1

    F

    2 3

    c

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    56/394

    53

    Diagramele N i T, sunt prezentate n Fig.3.4.4.2-2a, respectivFig.3.4.4.2-2b.

    n diagrama N punem semn, iar n diagrama T nu mai punemsemn.

    S calculm i s trasm acum diagramele de momente(ncovoietoare Mii de torsiune Mt), diagrame care se obin ceva maigreu.

    Utilizm aceeai metod ca la exemplul precedent. Separm celetrei intervale (Fig.3.4.4.2-3) i calculm valoarea momentelor lacapetele fiecrui interval. S ne reamintim c, ntr-o seciune (nuconteaz la care interval aparine), eforturile M sunt aceleai, dar de laun interval la altul pot fi de natur diferit (Mi Mt sau Mt Mi).

    0 F b

    F

    F

    F

    F a

    F

    F

    N T

    a) b)

    Fa F b

    F b

    F b

    F

    F a

    F a

    Mi Mt

    c) d)

    Fig.3.4.4.2-2

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    57/394

    54

    Se poate constata c dimensiunile a i b ale primelor douintervale, sunt perpendiculare pe suportul forei Fi ca urmare acestedimensiuni sunt brae pentru fora F; ele creeaz momente mpreuncu fora F. Dimensiunea c a celui de-al treilea interval (3 - B), esteparalel cu direcia forei F, ceea ce nseamn c dimensiunea c nu vafi bra pentru Fi ca urmare nu exist nici un moment dat de F cu c.

    Aadar, s ncepem cu ,

    Intervalul (1 - 2).

    n seciunea 1, M1 = 0.n seciunea 2, M2 = F a.

    Valorile momentelor pentru acest interval, sunt trecute n Fig.3.4.4.2-3 la capetele intervalului. Rmne s stabilim natura acestora. M2 =Fa este moment ncovoietor (este perpendicular pe planul format deF i braul b). Variaia lui M1-2 este liniar, fibra ntins fiinddeasupra. Diagrama aceasta este reprezentat n Fig.3.4.4.2-2c.

    Intervalul (2 - 3).n seciunea 2 a intervalului 2 - 3, exist acelai moment M2 =

    Fa care a existat i n seciunea 2 a intervalului 1 - 2. Momentul M2 =Fa este scris la captul intervalului 2 - 3 (Fig.3.4.4.2-3). Acestmoment este un moment de torsiune (este orientat n lungul barei 2 -3). n seciunea 3 a intervalului 2 - 3, fora F creeaz dou momente(pentru a ajunge n seciunea 3, trebuie parcurse braele ai b): M1,3 =Fa i M2,3 = Fb. Momentele M1,3i M2,3 sunt puse n seciunea 3 a

    intervalului 2 - 3 (Fig.3.4.4.2-3). Momentul M1,3 = Fa este un moment

    2

    0 1

    F

    F a

    2 3 3

    B

    F a F aF b

    F b

    F a

    F aFig.3.4.4.2-3

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    58/394

    55

    de torsiune, iar M2,3 = Fb moment ncovoietor, fibra ntins fiinddeasupra barei. De remarcat c n seciunea 2 a intervalului 2 - 3, nuexist moment ncovoietor i momentul M2 = Fa (ncovoietor) dinseciunea 2 a intervalului 1 - 2, devine moment de torsiune n aceeaiseciune 2, dar a intervalului 2 - 3. Valorile momentelor determinate pentru intervalul 2 - 3, sunt trecute n diagrama din Fig.3.4.4.2-2c,respectiv Fig.3.4.4.2-2d i apoi aceste valori sunt unite prin liniedreapt (variaie liniar). Diagrama Mt rezultat, poate fi reprezentatn orice plan.

    Intervalul (3 - B).n seciunea 3 a intervalului 3 - B exist aceleai momente care

    au existat i n seciunea 3 a intervalului 2 - 3. Acestea sunt trecute nseciunea 3 a intervalului 3 - B (Fig.3.4.4.2-3). Pentru a ajunge laseciunea B, trebuie parcurse de la fora F (seciunea 1) dimensiunilea, bi c. Aa cum s-a mai spus ceva mai devreme, dimensiunea c nuformeaz moment cu fora F. Rezult c n seciunea B nu aparmomente suplimentare fa de cele din seciunea 3. n seciunea B,exist atunci numai momentele, M1,B = Fa i M2,B = Fb. Ele sunttrecute n seciunea B n Fig.3.4.4.2-3. Att M1,B ct i M2,B sunt

    momente ncovoietoare. Momentul ncovoietorM1,3 = M1,B = Fa, dinseciunile 3 i B, apleac intervalul 3 - B dinspre noi nspre planul dinspate, ntinznd fibrele situate nspre noi. n Fig.3.4.4.2-2c punemvalorile acestui moment la capetele intervalului de partea fibrei ntinsei unim aceste valori printr-o linie dreapt, rezultnd o variaie liniarconstant (vezi Fig.3.4.4.2-2c).

    Momentul ncovoietorM2,3 = M2,B = Fb din ambele seciuni (3i B ale intervalului 3 - B), apleac bara 3 - B spre stnga (n planul

    barelor 2 - 3 i 3 - B) ntinznd fibrele din partea dreapt. nFig.3.4.4.2-3 punem valorile acestui moment la capetele intervalului 3- B de partea fibrei ntinse (n partea dreapt). Unim cu linie dreaptvalorile de la captul intervalului 3 - B i obinem diagrama dinFig.3.4.4.2-2c (variaie liniar constant).

    Am parcurs astfel ntreaga bar cotit (din captul liber pn lanepenire), rezultnd diagramele de eforturi, prezentate n Fig.3.4.4.2-2.

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    59/394

    56

    Dup cele dou exemple prezentate (3.4.4.1 i 3.4.4.2), considerc putei aborda cu curaj i ncredere orice sistem spaial n vedereatrasrii diagramelor de eforturi (vezi Cap.3E).

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    60/394

    57

    3E. Diagrame de eforturi (Probleme propuse)

    Pentru sistemele urmtoare s se traseze diagramele de

    eforturi:

    8 kN

    300

    12 kNm6 kN/m

    2 m 4 m

    3E.1

    3E.2 6 kN7 kN/m

    12 kNm

    2 m 4 m

    3E.3

    8 kN

    4 kN/m6 kNm

    2 m 4 m

    3E.410 kNm

    9 kN/m10 kN

    4 m 2 m

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    61/394

    58

    10 kNm3E.5

    8 kN/m

    16 kN4 m 2 m

    8 kNm3E.6 9 kN/m

    4 kN1 m 3 m

    3E.7 8 kN/m10 kNm

    2 kN1 m 3 m 1 m

    1 m

    3E.8 10 kNm 10 kN/m

    8 kN2 m1 m

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    62/394

    59

    3E.9 1,5 pa 0,5 pa2p

    a 2 a a

    3E.10 7 kN/m 10 kNm

    4 kN1,5 m 1 m2,5 m

    pa

    3E.12 p2pa2

    a a 2a

    1 m

    3E.11

    1 m 3 m

    15 kN/m

    5 kNm

    10 kN

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    63/394

    60

    8 kN1,2 m

    3E.1312 kNm 6 kN/m

    2 m 1,4 m

    3E.144 kN/m

    6 kNm6 kN

    1m 5m 1m

    2pa

    3E.15 pa2

    2p

    1,8a 2,2a 2a

    0,8m

    3E.164 kN

    7 kN/m2 kNm

    1,2m1m

    1m2m1m

    12 kN/m3E.17 6 kNm

    8 kN

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    64/394

    61

    3E.184 kNm

    6 kN/m

    8 kN2m2m 1m

    3E.194 kN

    4 kNm

    10 kN1m1m 4m

    8 kN

    3E.20

    4 kNm6 kN/m

    1m 1m2m

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    65/394

    62

    2pa

    3E.21p pa

    2

    2a a 3a

    1m 1m1m

    3E.226 kN/m

    9 kN 3 kNm

    3m

    3E.23pa

    a 2a2a

    p

    3pa 4pa3E.24 2p

    a

    a a a2a

    3E.25 pa p

    2a3a

    a

    6a 2a

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    66/394

    63

    2p

    3E.267p 2pa

    2

    2a2a2a

    1m

    3 kN3E.27

    3 kN/m 9 kN

    1,5m 1,5m 1,5m

    3E.28

    6 kN/m

    12 kN/m

    3m 2m

    3E.29 6 kN/m

    2m 2m 1m

    3E.3010 kN

    2 kNm8 kN/m

    600

    2m 2m1m

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    67/394

    64

    3E.32 3 kN

    1,5 kN/m

    2 kNm

    2 m

    1,5 m 1,5 m

    1,5 m

    3E.3320 kN/m

    50 kN

    20 kN

    1m1m

    2m

    2m

    3m

    4m

    3E.31 pa

    2a

    a

    a

    a

    p

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    68/394

    65

    3E.34 2pa2

    2pa

    p

    4a

    4a4a

    2a

    a

    a

    3E.35

    pa

    p

    2aa

    3E.36 2 kN/m

    3 kN

    2m

    1m1m1m

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    69/394

    66

    3E.37 3 kN

    2 kN/m

    1,5m

    1m

    300

    3 m

    3E.38 Fa/2 a/2

    a a

    3E.39F a/2 a/2

    h h

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    70/394

    67

    3E.40 p

    3a

    4a3aa

    3E.41

    a/2 a/2

    h h

    p

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    71/394

    68

    9.1.42

    R

    F

    2F3E.42

    R

    F

    2F

    3E.43

    R

    M

    3E.44

    R2F

    F

    3E.45

    p

    R

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    72/394

    69

    3E.46

    F

    R

    3E.47

    Fa

    2a 2a

    3E.4810 kN

    4 kN/m1m

    1m

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    73/394

    70

    3E.49

    a

    2F

    F

    3F

    2a

    3E.50

    a

    2aa

    p p

    pa

    4pa

    2a

    p

    3E.51

    F

    p

    aa

    2a

    2aa

    a

    p

    3E.52

    F

    p

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    74/394

    71

    2a

    3E.53 F2F

    2a

    a

    a

    p

    3E.54p =2P/a

    F

    P

    a

    a

    2a

    2a

    a

    3E.55

    F

    P

    a

    a

    2a

    3E.56

    4a

    2FF

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    75/394

    72

    a

    a

    a

    a

    3E.57

    p

    pa

    a

    F1

    3E.58

    F1

    F2

    a

    a

    a

    F3E.59F

    F

    a

    2a

    3E.60

    2a

    a

    F a

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    76/394

    73

    P = 20 kW, n = 100 rot/min, S1 = 2S2, T1 = 2T2, D1= 400 mm, D2

    = 600 mm.

    P = 12 kW, n = 110 rot/min, S1 = 2S2, T1 = 2T2, D1 = 500 mm,

    D2 = 700 mm.

    P = 16 kW, n = 90 rot/min, D1 = 600 mm, D2 = 900 mm.

    3E.61

    S2T2

    S1

    T1

    100 150

    1 2

    260

    3E.62

    S1

    S2

    T1

    T2

    12

    100 150 120

    3E.63

    S1

    S2

    1 2

    200 240 190

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    77/394

    74

    P = 50 kW, n = 150 rot/min, D1 = 600 mm, D2 = 400 mm, T1 =

    3T2

    P = 70 kW, n = 300 rot/min, D1 = 400 mm, D2 = 600 mm, S1 =

    3S2, T1 = 2T2

    P = 40 kW, n = 100 rot/min, D1 = 400 mm, D2 = 600 mm, S1 =

    3S2, T1 = 2T2

    3E.64

    S

    T1

    T2

    300300 100

    3E.65

    200500100S2

    S1

    T1

    T21 2

    3E.66

    S1

    S2

    T1

    T2

    300 300 200

    1 2

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    78/394

    75

    P = 60 kW, n = 200 rot/min, D1 = 400 mm, D2 = 600 mm, S1 =

    2S2, T1 = 3T2.

    P1 = 80 kW, P2 = 30 kW, P3 = 50 kW, n = 400 rot/min, D1 = 320

    mm, D2 = 480 mm, D3 = 4000 mm.

    P = 40 CP, n = 750 rot/min, P1 = 6 CP, P2 = 18 CP, P3 = 16 CP,

    D1 = 400 mm, D2 = 800 mm, D3 = 400 mm, G1 = 80 daN, G2 = 200daN, G3 = 80 daN.

    3E.67

    T1

    T2

    S1S2

    200 300 300

    21

    3E.68

    3E.69

    ME

    1 2 3

    200 200400 400

    2T1

    T1 2T2T2

    2T3

    T3

    P

    12

    3

    T2 T1 T3

    4T33T2

    200 500 500 300

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    79/394

    76

    P1 = P2 = 100 CP, n = 200 rot/min, D1= 800 mm, D2 = 1.000

    mm, G1 = 60 daN, G2 = 120 daN.

    500

    3E.70

    750 750

    1 230

    0

    450

    T1

    2T1

    T2

    2T2

    1 2

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    80/394

    77

    3R. Diagrame de eforturi (Rspunsuri)

    14

    3R.2 6 kN7 kN/m

    12 kNm

    2 m 4 m

    20 kN14 kN

    2 m

    -6-14

    -12-12

    2

    Mi [kNm]

    T [kN]

    -8

    8 kN30

    0

    12 kNm6 kN/m

    2 m 4 m

    15 kN 13 kN

    6,93

    -4

    11

    -13

    1,83 m

    4

    14,1

    Mi [kNm]

    T [kN]

    N [kN]

    3R.1

    6,93 kN

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    81/394

    78

    1,88 m

    8

    3R.3

    8 kN

    4 kN/m6 kNm

    2 m 4 m

    7,5 kN 8,5 kN

    T [kN]

    Mi [kNm]

    8 7,5

    -8,5

    15,03

    6

    -10

    3R.410 kNm

    9 kN/m10 kN

    15,5 kN 30,5 kN

    4 m 2 m

    15,5 1010

    -20,51,72 m

    -20

    T [kN]

    Mi [kNm]

    13,35

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    82/394

    79

    16

    10 kNm3R.5

    T [kN]

    8 kN/m

    16 kN

    22,5 kN

    9,5 kN

    4 m 2 m

    2,81 m

    Mi [kNm]

    22,55

    -9,5-16

    -10

    21,64

    1,13

    -8

    9,13

    3R.68 kNm

    9 kN/m

    4 kN1 m 3 m

    9,13 kN 13,87 kN

    T [kN]

    Mi [kNm]

    13,13

    -13,87

    1,46 m

    10,7

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    83/394

    80

    2

    1,37 m

    3R.7 8 kN/m

    T [kN]

    10 kNm

    2 kN1 m 3 m 1 m

    Mi [kNm]

    18,7 kN 11,3 kN

    10,7

    -8-13,3

    2

    4

    3,1

    8

    2,75

    4,25

    0,92 m

    1 m

    3R.8

    Mi [kNm]

    10 kNm10 kN/m

    8 kN2 m1 m

    12,25

    19,25 kN 2,75 kN

    -10,75

    -2,75T [kN]

    14,25

    8,5

  • 8/6/2019 Rezi konyv

    84/394

    81

    -1,5 pa

    0,33 pa2

    0,34 pa2

    0,83 a

    3R.9 1,5 pa 0,5 pa2p

    a 2 a a

    2,17 pa

    -0,83 pa-1,5 pa

    3,67 pa 0,83 pa

    T

    Mi

    1,5 pa2

    0,83 pa2

    10,125

    1,71 m

    3R.10

    T [kN]

    7 kN/m 10 kNm

    4 kN

    12 kN12 kN

    Mi [kNm]

    1,5 m 1 m2