Revista micului matematician

CUPRINS

Matematicieni romni....................................................................... 3-6

Curioziti numerice.......................................................................... 7-8

Numere uriae......................................................................7

Ce nseamn un miliard................................................... 7-8

De la Pmnt la Lun.......................................................... 8

Curioziti de ale matematicienilor................................................... 8-9

Ghicirea unui numr............................................................................. 9

Dintr-un zar.................................................................................. 10-11

Ci ani ai...................................................................................... 11-12

Banda lui Mobius............................................................................... 13

Scrile lui Pentrose............................................................................. 14

Magia numerelor........................................................................... 15-17Seciuni de figuri........................................................................... 17-18

Puterea magic a cifrelor.............................................................. 18-19

Fracii................................................................................................. 20

Proporia divin............................................................................. 21-22

Legile lui Murphy n matematic....................................................... 22

Matematicieni romniNicolae Abramescu(1884-1947) Nicolae Abramescu a fost un matematician romn. Profesor la Universitatea din Cluj, fondator al Facultii de tiine cu seciile matematic, fizic, chimie, tiine naturale, geografie a Universitii Regele Ferdinand. Secia de matematic avea catedrele: matematici generale, mecanic, teoria funciilor, analiz, algebr, astronomie. Abramescu preda geometrie descriptiv.

Din 1921 este profesor la Universitatea Bucureti. A contribuit la organizarea Societii de tiine din Cluj i a primului Congres Naional al matematicienilor romni (Cluj 1929), care s-a bucurat de participarea lui Vito Volterra, cuvntul inaugural fiind rostit de Gheorghe ieica. Cu acest prilej debuteaz, la Cluj, revista Matematica, al crei membru fondator este i N. Abramescu. Colaboreaz peste 150 de matematicieni din toat lumea.

n 1941 unul dintre cei 26 de profesori universitari semnatari ai protestului fa de actul de cedare a Ardealului de Nord alturi de Ion Mulea, D. D. Roca, G. Spacu .a. A participat activ n perioada 1941-1943 la funcionarea Cercului matematic al Societii de tiine din Cluj aflat n refugiu la Timioara.Aurel Angelescu(1886- 1938)

Aurel Angelescu a fost un matematician romn care a contribuit la dezvoltarea algebrei i teoriei funciilor.

A urmat cursul primar i liceul la Ploieti. Revista Gazeta Matematic i-a desvrit apoi, n cursul superior de liceu, gustul pentru matematici, cci el a fost un asiduu corespondent al acestei publicaii. n ultima clas de liceu l-a avut ca profesor de matematici pe Niculae Abramescu, care i ncepea pe atunci cariera sa didactic. Abramescu s-a mndrit totdeauna c n prima lui serie de liceeni a avut ca elev pe Aurel Angelescu, care, ulterior, ntrecndu-i maestrul, i-a luat doctoratul n matematici cu civa ani naintea lui Abramescu. Dup terminarea liceului, Angelescu a plecat la Paris. Aici, la Sorbona, i-a luat licena n matematici, iar la 7 aprilie 1916 i-a luat doctoratul n tiinele matematice cu o tez avnd ca subiect: Sur les polynmes gnralisant les polynmes de Legendre et dHermite et sur le calcul approch des intgrals multiples. Dup ce i-a trecut teza de doctorat n matematici, Angelescu se ntoarce n ar. La propunerea lui Gheorghe ieica, ocup la 1 noiembrie 1919 postul de profesor agregat de teoria funciilor la Facultatea de tiine a Universitii din Cluj, catedr la care a fost titularizat n 1922. Aici a funcionat pn la 1 ianuarie 1930. n 1930 Angelescu a fost chemat ca profesor titular de algebr superioar i teoria numerelor la Facultatea de tiine a Universitii din Bucureti (succesor al lui Traian Lalescu). A fost numit astfel la o alt catedr dect cea n domeniul creia era consacrat. La aceast catedr a funcionat pn la deces, n 1938.Theodor Anghelu (1882-1964)S-a nscut n satul Adam din fostul jude Tutova la 28 aprilie 1882. coala primar i liceul le-a urmat la Brlad. A nceput s colaboreze la Gazeta matematic nc din liceu. A urmat cursurile Facultii de tiine a Universitii din Bucureti, secia matematici, unde i-a luat licena n matematici n 1905. n perioada 1905-1909 a funcionat n nvmntul secundar. ntre anii 1910 i 1914 a urmat din nou matematicile n Frana la Sorbona unde l-a avut, printre alii, ca profesor pe Emile Picard. Anghelu se rentoarce n ar n 1914 datorit izbucnirii primului rzboi mondial, unde funcioneaz iari n nvmntul secundar. n 1919 este numit confereniar la Universitatea din Bucureti, la Facultatea de tiinte, secia matematici. n acelai timp a fost numit suplinitor la catedra de algebr i teoria numerelor, deoarece Lalescu a fost trimis la Paris. Doctoratul i-l trece la 16 iunie 1922 la Universitatea din Bucureti cu subiectul O clas general de polinoame trigonometrice i aproximarea cu care ele reprezint o funcie continu care abordeaz un subiect din teoria seriilor trigonometrice. n anul 1923 este numit profesor titular definitiv la Universitatea din Cluj, la catedra de algebr superioar, pn la scoaterea la pensie la 1 septembrie 1947. ntre anii 1930 i 1931 a fost decan al Facultatii de tiine din Cluj, iar n anumii ani, profesor suplinitor de mecanic sau teoria funciilor. Dei era la pensie, n 1950 a fost solicitat s revin ca profesor la Facultatea de Matematic si Fizic a Universitii V. Babe din Cluj, unde a funcionat pn n septembrie 1955. La 1 octombrie 1955 a fost numit profesor la Institutul politehnic din Cluj. n aceast calitate a funcionat pn n anul 1962.

La 30 mai 1964 a decedat in Cluj.

Theodor Angheluta a fost un excelent profesor si pedagog, avea o fire potolit, delicat, manifestnd mult devotament pentru tiin. Prelegerile sale erau pline de fantezie investigativ. Leciile sale erau urmrite cu plcere. Nu se putea s nu admiri o conferin din care rezultau uor, precis i riguros, legile matematice i mai ales frumuseea acestor legi.

Anghelu a publicat n diferite reviste de specialitate din ar i strinatate, memorii originale de matematici i o serie de articole tratnd probleme de matematici elementare sau superioare n Gazeta matematic sau Revista matematic din Timioara.Alexandru Ghika (1902-1964)S-a nscut n Bucureti la 9/22 iunie 1902, fcnd parte din vechea familie a Ghikuletilor. coala primar i trei clase secundare le-a facut n Bucureti (Liceul Lazr), dup care a plecat, n 1917, mpreun cu familia, la Paris. Aici urmeaz restul claselor secundare la Liceul Saint-Louis, trecnd bacalaureatul n iulie 1920.

n toamna aceluiai an se nscrie la Universitatea din Paris, Facultatea de tiinte. n 1922 i ia la Sorbona licen n matematici, cu certificatele: calcul diferenial i integral, mecanic raional i astronomia aprofundat. La Sorbona i la College de France audiaz toate somitile din acel timp. Simultan pregtete contiincios teza de doctorat n matematici, cu subiectul: Sur le Fonction de caree somable le long des contours de leur domaines dholomorphisme et leur applications aux ecuations differentiales lineares dordre infini. Dup trecerea doctoratului se rentoarce n ar. Cariera universitar i-o ncepe ceva mai trziu, cci abia n noiembrie 1932 este numit asistent la catedra de teoria funciilor de la Universitatea din Bucureti, catedra al crei titular era Dimitrie Pompei. La 7 februarie 1935, n urma unui concurs, este numit confereniar de analiza i teoria funciilor.

n 1945 aceast conferin este transformat n catedra de calcul funcional i Ghika este numit titularul catedrei. Pe urm, n octombrie 1048, este ales membru al Academiei.

Ct timp a durat Academia de tiine din Romania, Ghika a fost membru corespondent al acesteia (din 1935), iar mai trziu, n 1938 a fost ales membru titular. Din 1955 pn n 1963 a fost membru corespondent al Academiei R.P.R., la secia de tiine matematice i fizice, iar de la 20 martie 1963 a fost naintat membru titular al acestei academii, la aceeasi secie. De la nfiinarea Institutului de matematic al Academiei i pn la deces, Ghika a fost eful seciei de analiz funcional din acest institut.

Alexandru Ghika a decedat la 11 aprilie 1964, n urma unui cancer la plmni care s-a generalizat. A fost nmormntat n biserica Ghika-Tei din Bucureti, cldit de unul din strmoii si.

Opera tiinific a lui Alexandru Ghika este prin excelen opera de analiz funcional publicat n peste 115 de articole i memorii.

Gheorghe ClugreanuNscut la Iai la 16 iulie 1902, a urmat coala primar i liceul n Bucureti. Deoarece tatl lui a trecut profesor universitar la Cluj, Gh. Clugareanu a urmat Facultatea de tiine, secia de matematici la Universitatea din Cluj. Pe cnd era student i apoi pe cnd ii pregtea licena n matematici, a fost preparator la Institutul de fizic teoretic i aplicat al universitii clujene. Dup luarea licenei pleac la Sorbona unde-i ia din nou licena la 30 iunie 1926, apoi doctoratul la 6 noiembrie 1928. Teza a avut ca subiect Sur les fonctiones polzgenes.

Dup doctorat se rentoarce n ar i la 1 iulie 1929 i ia licena n teoria funciilor la Universitatea din Bucureti. La 1 octombrie 1930 este numit asistent la Institutul pentru nvmntul matematic de la Facultatea de tiinte din Cluj; ca asistent obine titlu provizoriu la 1 martie 1934. De la 1 octombrie trece confereniar provizoriu de geometrie proiectiv si descriptiv la Facultatea de tiinte a Universitatii din Cernui. Aici nu st mult deoarece la 1 decembrie 1934 este numit conferentiar provizoriu de analiz matematic la Cluj, iar la 1 februarie 1938, la aceeai facultate, este numit conferentiar definitiv de analiz matematic.

Cnd apare n 1938 legea de raionalizare a nvmntului superior, Clugareanu este trecut confereniar definitiv de matematici generale i geometrie. n 1942 este numit profesor la catedra de teoria funciilor la Universitatea din Cluj, dar funcionnd la Timioara. Din 1948 este numit ef de catedr.

n anul 1935 Clugareanu a fost ales membru corespondent al Academiei de tiine din Bucureti. De asemenea a fost membru al Societii de tiine din Cluj si membru la Societe mathematique de France. A fost membru corespondent i apoi titular la Academia Romn.

Tcut i linitit, cu o fire de taciturn incorigibil profesorul G. Clugreanu a fost preocupat foarte mult de catedra i de memoriile sale de matematici pe care le publica n periodice de circulatie mondial sau naional, fiindu-i complet strin vanitatea goanei dup publicitate cu ori ce pre i n orice condiii. A publicat peste 100 de memorii matematice i lucrri didactice.

Nicolae Ciornescu (1903-1957)Fecior de nvtori, Nicolae Ciornescu s-a nscut n Bucureti la 28 martie 1903. Vrednicul institutor, tatl matematicianului, a fost ntemeietorul primei coli de surdo-mui din Romnia. Viitorul matematician a urmat coala primar n satul Moroeni. Clasa I de liceu a urmat-o la liceul Mnstirea Dealu, clasele II VII la Mihai Viteazu iar clasa a VII-a la liceul Spiru Haret din Bucureti. Dup bacalaureat s-a nscris la Universitatea din Bucureti unde i-a luat licena n matematici n anul 1925 i licena n tiine fizico-chimice n acelai an. n urma struinelor lui Gh. ieica pleac la Paris i-i ia din nou licena n tiine la Sorbona, cu certificate privind calculul diferenial i integral, analiz superioar i mecanic raional. n ianuarie 1929 trece i doctoratul n matematici tot la Sorbona.

Se ntoarce n ar i este numit confereniar la matematici generale pentru anul preparator, la coala Politehnic din Bucureti unde este titularizat definitiv la 1 mai 1933 i a predat aici pn n 1941. Prin ieirea la pensie a lui D.Pompeiu, N. Ciornescu este trecut profesor suplinitor la catedra de geometrie analitic, pn n 1943 cnd a trecut la catedra de analiz. n 1944 l gsim funcionnd ca rector al Politehnicii Bucureti.

n viaa de toate zilele Ciornescu a combtut nepregtirea, impostura, perfidia, uscciunea sufleteasc. Spontan n creaia matematic, a fost tot att de spontan i n zvrlirea glumei, creia nu i se putea imputa ns nici cea mai mic urm de rutate. A fost un matematician cu mult fantezie strlucitoare i cu umor sntos, plin de verv muctoare, care la conferinele profesorilor Politehnicii, nu numai c descreea frunile dar se i rdea din toat inima.

A scris lucrri de popularizare a tiinei, printre care Astronomia pentru toi, care este un exemplu tipic. A fost membru la Gazeta matematic i la Societatea romn de tiine, secia de matematici i membru al Academiei de tiine din Romnia. A decedat la 2 aprilie 1957.

Opera sa matematic cuprinde peste 120 de memorii, lucrri didactice, monografii i diverse n publicaii strine i din ar.Curioziti numericeNUMERE URIAE

Miliardul nseamn cifra 1 urmat de 9 zerouri, trilionul cifra 1 urmat de 12 zerouri(1012); cvadrilionul (1015); cvintilionul(1018); sextilionul(1024) .a.m.d.

Numrul care reprezint vrsta Universului este 1040; tot aty msoar i raportul ntre nucleul atomului si raza Galaxiei noastre, precum i raportul ntre fora electrostatic si fora gravitaiei n atom.

n ntreg Universul nu sunt dect 1088 particule! Un googol este 10100; n lumea care ne nconjoar, n ntregul Univers nu exist nimic a crui cantitate s se poat exprima prin numrul 10100.

Cel mai mare numr acceptat din punct de vedere lexicografic este entilionul (10303).

Ce nseamna un miliard

Actualmente triesc pe Pmnt cca 6,5 miliarde de oameni. Creierul uman poseda cca 12 miliarde de neuroni i nregistreaz1 milion de miliarde de bii (1015); un creier artificial nu poate nregistra mai mult de 5 TB.

S-au scurs cam 1 miliard de minute de la nceputul erei noastre(anul naterii mntuitorului Hristos). n vrst de 32 de ani orice fiin a trait 1 doar un miliard de secunde, deci durata medie a vieii omeneti este este de cca 2 miliarde de secunde. n 55 de ani de via, un om respir de un numr de ori egal cu 0,5 miliarde. n 75 de ani de via, inima unui om bate de 3 miliarde de ori i pompeaz astfel cca 200 milioane litri recirculat.

1 miliard de igri aezate cap la cap nsumeaz 7 500 km. O carte cu 1 miliard de pagini ar avea 500 km grosime, masa de 1500 tone i pentru a o citi ar fi nevoie de cam 30 000 de ani!

De la Pmnt la Luna

Dac cei 20 000 de pai pe care i face n medie fiecare om n fiecare zi ar fi parcui pe un drum drept, ntr-o via de 70 de ani s-ar totaliza 500 de milioane de pai, ceea ce reprezint aproximativ 348 000 km, adic distana de la Pmnt la Lun. Curiozitti de-ale matematicienilor

Cu sigurant si matematicienii au curiozittile lor. De exemplu, Newton dezlega probleme n vis. Descartes, celibatar ca si Newton, ca s mediteze, sustinea c trebuie neaprat s-si bage capul ntr-o canapea. Gauss stia s calculeze nainte de a vorbi. Leibnitz, ca s mediteze, trebue s stea orizontal, dar de scris scria oricum si oricnd; pn si n trsur, n deplasrile pe care le fcea, scria matematici, filozofie, istorie sau drept. Si Leibnitz a fost celibatar.

lagrange avea pulsul neregulat cnd scria. Cauchy, Euler si Hermite erau bigoti. Henri Poincar, ca s mediteze cu succes, se plimba n camera sa, n jurul mesei de scris, ore ntregi.

T. F. de Lagny (1660 - 1734), un matematician mai putin cunoscut, era pe patul de moarte. La un moment dat cei din jur nu mai stiau de-i viu sau mort. Atunci unul ntreab tare: "Ct face de 12 ori 12?" - "O sute patruzeci si patru", rspunde muribundul. Apoi si ddu sfrsitul obstesc.

Tycho Brahe, astronom, precedentul lui Kepler, rdea de cei ce se speriau de eclipse. Si, totusi, dac pleca de acas si ntlnea pe drum un mort sau o bab, se-torcea ndrt acas si nu mai pleca pn a doua zi. Gelbert, care a ajuns pap sub numele de Sylvestru al II-lea, a profesat n tinerete matematica n scoli renumite. Hermes, un matematician german, a calculat timp de 10 ani latura poligonului de 65 537 de laturi, dat de sirul lui Fermat : 2 2 n + 1, pentru cazul n = 4 si a dus acest calcul la bun sfrsit. Lucrarea se pstreaz si astzi la seminarul matematic din Gttingen si nseamn rbdare, nu glum. Ghicirea unui numar

Cerei cuiva s scrie pe o bucat de hartie un numr oarecare, format din patru cifre cuprinse intre 0 si 9, in ordine consecutiv. Apoi, s scrie acelai numr in ordine inversa. Se vor obtine asadar 2 numere formate din cata patru cifre. In final sa se scada numarul mai mic din numarul mai mare.

Asta-i tot pentru a deveni vrajitor . Adica nu-i tocmai totul pentru ca mai aveti nevoie de ceva. Rugati deci pe cel ce a facut operatia amintita sa va comunice ziua si luna nasterii (nu si anul, intrucat femeile ... va pot induce in eroare!). Acum intr-adevar sunteti in posesia datelor necesare. Ca atare, luati un creion si o hartie si... printr-o simpla inmultire spuneti rezultatul scaderii amintite mai sus. Ce inmultire am facut?

Raspuns:

Inmultirea de care am vorbit in legatura cu scaderea celor 2 numere ... nu este de fapt nici o inmultire sau - daca vreti - o inmultire cu 1! Am introdus-o in "scenariu" tocami pentru a justifica, macar de ochii lumii, pretentia de "vrajitor" si pentru a abate pe moment atentia de la faptul ca cele 2 numere formate din aceleasi cifre consecutive, scazute unul din celalat inversat dau totdeauna ca rezultat 3087 . Asa ca dvs cunoasteti dinainte acest rezultat! Dintr-un zar Oricine se va mira cum dumneavoastr, stnd cu spatele, puteti "ghici" rezultatul unei operatii aritmetice, fr a dispune dect de foarte putine elemente n acest scop.

Iat, bunoar, ntorcndu-v cu spatele, rugati pe cineva s arunce pe mas trei zaruri si s totalizeze apoi punctele de pe fetele de sus ale acestora. Dup aceea cereti s ridice un zar oarecare si s adune la suma precedent numrul punctelor de pe fata de jos a acestui zar. n sfrsit, s arunce din nou zarul pe cere-l are n mn, iar la suma obtinut anterior s adauge si numrul de puncte de pe fata de sus a zarului.

Cu toate c nu ati asistat la nici una din operatiile efectuate mai sus veti putea, privind n final cele trei zaruri si totaliznd numrul punctelor de pe fetele de sus ale acestora, s aflati suma obtinut de partenerul dumneavoastr. Datorit cror elemente puteti "ghici" aceast sum?

Raspuns:

Pentru a ghici suma rezultat este suficient s cunoasteti c numrul punctelor de pe fetele opuse ale unui zar este egal cu 7 (1 + 6, 2 + 5, 3 + 4). Ce cunoasteti si ce nu cunoasteti despre cele trei zaruri aflate pe mas? Cunoasteti: suma punctelor de pe cele trei fete de sus ale zarurilor aflate n pozitie final. S presupunem c acestea ar fi 4+3+6=13 puncte.

Nu cunoasteti: numrul initial al punctelor de pe fata de sus a zarului care a fost apoi aruncat din nou si nici numrul punctelor de pe fata de jos a aceluiasi zar. Dar nici n-aveti nevoie s le cunoasteti, ntruct stiti de la bun nceput c suma lor nu poate fi dect 7. ntr-un cuvnt, nu aveti altceva de fcut dect s adugati cifra 7 la suma 13 pe care o totalizeaz fetele de sus ale zarurilor. Asta-i tot.

S revenim la exemplul de mai sus, n care zarurile totalizau n final 4+3+6=13 puncte si s considerm c a fost aruncat din nou zarul care are acum 4 puncte pe fata de sus. Putem presupune n continuare c initial zarurile ar fi totalizat 2+3+6=11 puncte. Prin urmare, pe fata de jos a zarului cu 2 puncte, erau 5 puncte, suma total fiind n acest caz 11+5=16 puncte. Adugnd la aceast sum nc 4 puncte de pe fata de sus a zarului aruncat pentru a doua oar, vom obtine 20 de puncte. La acelasi rezultat ajungeti si dv. dac adugati 7 la suma pe care o totalizeaz fetele de sus ale zarurilor.

Cti ani ai? - Nu stiu cati ani ai, nu te intreb, nu ma uit in actele tale, dar pot afla ziua, luna si anul in care te-ai nascut. - Cum? - UIte, ia o hartie, un creion si fa calculele pe care ti le spun eu, fara sa mi le arati. - De acord. - Scrie cifra care reprezinta ziua ta de nastere si inmulteste-o cu 20. Daca ai terminat, Spune-mi care este cifra ta preferata. - Stiu eu?! Sa zicem 9. - Atunci aduna la produsul obtinut 99. Acum inmulteste rezultatul cu 5. La cele obtinute, aduna numarul ce reprezinta luna in care te-ai nascut. De piulda pentru ianuarie 1, pentru februarie 2, pentru martie 3, etc. Acum ai o suma pe care te rog sa o imnultesti din nou cu 20, iar la produs aduna iarasi 99. Rezultatul il inmultesti din nou cu 5 si, in sfarsit, adauga numarul format din ultimele 2 cifre ale anului nasterii. Esti gata? Ai calculat bine? Acum verifica daca numarul obtinut ofera vreun indiciu asupra datei tale de nastere. - Nu ofera nici un indiciu. - Atunci spune-mi acel numar. - 331 051. - E clar, te-ai nascut la 28 octombrie 1956. - Exact. Cum ai aflat? Intr-adevar, cum a facut aceasta scamatorie? Cum a dedus data nasterii? Raspunzand poate gasiti si o formula aplicabila oricarei persoane, indiferent chiar de cifra pe care acesta o prefera.

Raspuns:

Referindu-ne la exemplul din problema, data de 28 octombrie 1956 se mai poate scrie 281056. Daca scriem pe scurt toate operatiile, vom avea (notand cu Z - ziua, L - luna, A - anul): {[(Z x 20 + 99) x 5 + L] x 20 + 99} x 5 + A = 331051, adica numarul obtinut in final. Scazand din el 281056, ne da 49995, numar divizibil cu ... 99. Impartindu-l la 99 face 505. Dar 99 l-am obtinut inmultind cifra preferata (in cazul nostru 9) cu 11. Deci 49995 = 9 x 11 x 505 sau 9 x 5555. Asa stand lucrurile, putand gasi formula generala in care notam cu N numarul preferat: {[(Z x 20 + 11N) x 5 + L] x 5 + L} x 20 + 11N x 5 + A

Efectuand calculele (desfacand parantezele), ajungem la o formula mai restransa: 10 000Z + 100L + A + 5555N Intr-adevar, daca scriem data asa cum am aratat mai sus, de pilda, 281056, observam ca acest numar este format din 10 000 x 28 + 100 x 10 + 56. Si acum, sa luam un alt exemplu. Data nasterii: 3 iulie, 1929, numarul preferat de respectiva persoana: 6. In ordine, calculele vor fi urmatoarele:

3 x 20 = 60

60 + 66 = 126

126 x 5 = 630

630 + 7 = 637

637 x 20 = 12 740

12 740 + 66 = 12 806

12 806 x 5 = 64 030

64 030 + 29 = 64 059

Toate aceste calcule le face cel al carui varsta vreti sa o aflati. Dupa ce va spune numarul (in cazul nostru: 64 059), dvs scadeti din el 5555 x 6 = 33 330 si veti obtine: 30 729 sau 3.07.29, adica 3 iulie 1929. Banda lui Mobius O banda (o panglica) Mobius, se poate confectiona in felul urmator: luati 2 coli de hartie de scris, pe care le taiati in doua de-a lungul si le lipiti cap la cap. In felul acesta obtineti o banda de cca 80-100 cm. Rasuciti cu o jumatate de rotatie unul din cele 2 capete ramase libere si lipiti-l de celalalt. Acum, panglica da hartie a devenit banda Mobius.

Aceasta banda a capatat o serie de insusiri neobisnuite. De pilda, cu un creion trageti o linie de-a lungul ei si continuati acesta linie pana ajungeti la punctul de pornire. Veti vedea ca, desi n-ati intors banda pe cealalta parte si nici n-ati ridicat creionul, linia se continua pe "ambele" fete ale hartiei - dovada ca, de fapt, aceasta nu are decat o singura parte.

Daca veti taia panglica Mobius de-a lungul unei linii ce trece prin mijlocul ei, veti obtine nu doua benzi ci una singura, de fapt o alta fasie de doua ori mai lunga. In schimb taind banda Mobius la o treime de la marginea hartiei si continuand taietura si spre marginea cealalta (tot la o distanta de o treime de limita ei) veti constata ca obtineti 2 panglici, una mai lunga si alta mai scurta prinse intre ele ca inelele unui lant. Daca vreti sa va convingeti ca intr-adevar, aceste insusiri ale benzi Mobius sunt neobisnuite, ca ele se datoreaza faptului ca acesta panglica are o singura fata, confectionati-va si un "martor" adica o fasie de hartie pe care o lipiti la capete fara sa o rasuciti. Veti remarca faptul ca pentru a trage o linie cu creionul pe ambele fete, este nevoie sa intoarceti banda si sa ridicati creionul; ca taind-o pe linia de mijloc obtineti 2 benzi la fel de mari, iar daca taietura o faceti la o treime - trei benzi de aceleasi dimensiuni. Puteti de asemeni sa incercati sa rotiti o banda de hartie de un numar impar de ori si apoi sa-i lipiti capetele si sa incercati aceleasi experimente. Scarile lui Pentrose

O figura imposibila in care scarile in forma de patrat par sa coboare la infinit. Artistul danez M. C. Escher a inclus aceste scari intr-un celebru desen de al sau "Urcand si Coborand". De asemenea Uma Thurman in filmul " The Avengers" merge pe astlfel de scari ajungand in final de unde a pornit.

Ce ptrat strmb! ar exclama unii la prima vedere. Si totusi, dac ar arunca o nou privire asupra lui ar vedea ct este el de drept.

Desi liniile orizontale par curbe, ele sunt ... paralele

Daca v apropiati foarte mult de monitor, cele trei ptrate desenate par a nu avea laturile drepte, nu? Ei bine, ele sunt ptrate n toat regula. Nu m credeti? Deprtati-v un pic.

Aceasta fat care st n fata oglinzii d impresia unui schelet, nu? uuhh, spooky! Magia numerelor 3 x 37 = 111 si 1 + 1 + 1 = 3 6 x 37 = 222 si 2 + 2 + 2 = 6 9 x 37 = 333 si 3 + 3 + 3 = 9 12 x 37 = 444 si 4 + 4 + 4 = 12 15 x 37 = 555 si 5 + 5 + 5 = 15 18 x 37 = 666 si 6 + 6 + 6 = 18 21 x 37 = 777 si 7 + 7 + 7 = 21 24 x 37 = 888 si 8 + 8 + 8 = 24 27 x 37 = 999 si 9 + 9 + 9 = 27 3 x 37 = 111 si 1 + 1 + 1 = 3 6 x 37 = 222 si 2 + 2 + 2 = 6 9 x 37 = 333 si 3 + 3 + 3 = 9 12 x 37 = 444 si 4 + 4 + 4 = 12 15 x 37 = 555 si 5 + 5 + 5 = 15 18 x 37 = 666 si 6 + 6 + 6 = 18 21 x 37 = 777 si 7 + 7 + 7 = 21 24 x 37 = 888 si 8 + 8 + 8 = 24 27 x 37 = 999 si 9 + 9 + 9 = 27

1 x 1 = 1 11 x 11 = 121 111 x 111 = 12321 1111 x 1111 = 1234321 11111 x 11111 = 123454321 111111 x 111111 = 12345654321 1111111 x 1111111 = 1234567654321 11111111 x 11111111 = 123456787654321 111111111 x 111111111 = 12345678987654321 1 x 9 + 2 = 11 12 x 9 + 3 = 111 123 x 9 + 4 = 1111 1234 x 9 + 5 = 11111 12345 x 9 + 6 = 111111 123456 x 9 + 7 = 1111111 1234567 x 9 + 8 = 11111111 12345678 x 9 + 9 = 111111111 123456789 x 9 +10 = 1111111111

9 x 9 + 7 = 88 98 x 9 + 6 = 888 987 x 9 + 5 = 8888 9876 x 9 + 4 = 88888 98765 x 9 + 3 = 888888 987654 x 9 + 2 = 8888888 9876543 x 9 + 1 = 88888888 98765432 x 9 + 0 = 888888888 1 x 8 + 1 = 9 12 x 8 + 2 = 98 123 x 8 + 3 = 987 1234 x 8 + 4 = 9876 12345 x 8 + 5 = 98765 123456 x 8 + 6 = 987654 1234567 x 8 + 7 = 9876543 12345678 x 8 + 8 = 98765432 123456789 x 8 + 9 = 987654321

7 x 7 = 49 67 x 67 = 4489 667 x 667 = 444889 6667 x 6667 = 44448889 66667 x 66667 = 4444488889 666667 x 666667 = 444444888889 6666667 x 6666667 = 44444448888889 etc 4 x 4 = 16 34 x 34 = 1156 334 x 334 = 111556 3334 x 3334 = 11115556 33334 x 33334 = 1111155556 etc

De asemnenea :

1 x 9 + 2 = 11 21 x 9 + 33 = 222 321 x 9 + 444 = 3 333 4 321 x 9 + 5 555 = 44 444 54 321 x 9 + 66 666 = 555 555 654 321 x 9 + 777 777 = 6 666 666 7 654 321 x 9 + 8 888 888 = 77 777 777 87 654 321 x 9 + 99 999 999 = 888 888 888 9 x 9 = 81 99 x 99 = 9 801 999 x 999 = 998 001 9 999 x 9 999 = 99 980 001 99 999 x 99 999 = 9 999 800 001

Cuburi curioase : Identitti curioase :

1 0013 = 1 003 003 001 2 0023 = 8 024 024 008 3 0033 = 27 081 081 027 4 0043 = 64 192 192 064 5 0053 = 125 375 375 125 6 0063 = 216 648 648 216 7 0073 = 344 030 029 343 8 0083 = 513 537 536 512 9 0093 = 731 189 187 729 32 + 192 + 222 = 62 + 172 + 232 34 + 194 + 224 = 64 + 174 + 234 36 + 196 + 226 = 106 + 156 + 236

92 + 6252 + 1 4442 = 492 + 4002 + 1 5212 91/2 + 6251/2 + 1 4441/2 = 491/2 + 4001/2 + 1 5211/2

51 + 12 + 66 = 35 + 74 + 20 512 + 122 + 662 = 352 + 742 + 202

De asemnenea putem scrie: Apoi :

1 + 2 + 3 + ..... + 10 = 55 1 + 2 + 3 + ..... + 100 = 5 050 1 + 2 + 3 + ..... + 1000 = 500 500 ................................ 1 + 2 + 3 + ..... + 10k = 500...500...0 12 + 22 + 32 + ..... + 102 = 385 12 + 22 + 32 + ..... + 1002 = 338 350 12 + 222 + 32 + ..... + 10002 = 333 833 500 ................................ 12 + 22 + 32 + ..... + (10k)2 = 33...3833...3500...0

Puteri consecutive formate din aceleasi cifre :

29 700 1572 = 882 099 325 824 649 29 700 158 2 = 882 099 385 224 964

Sectiuni de figuri

Orice figuri de forme diferite dar de arii egale pot fi sectionate intr-un numar finit de sectiuni si recompuse dintr-una intr-alta. Acesta este teorema lui Wallace-Bolyai

HYPERLINK "http://mathworld.wolfram.com/Wallace-Bolyai-GerweinTheorem.html"

. De exemplu transformarea unui triunghi in patrat se face astfel (problema Haberdasher):

Laczkovich (1988) a aratat ca un cerc poate fi de asemenea transformat intr-un patrat intr-un numar finit de sectiuni (aprox 1050). Mai mult, orice forma cu marginile curbe "line" (smooth) poate fi transformata intr-un patrat. Situatia devine considerabil mai dificila in cazul in care trecem de la 2D la 3D. Astfel un cub poate fi sectionat in n3 cuburi, unde n este orice intreg. In 1900 Dehn a demonstrat ca nu orice prisma poate fi sectionata in tetrahedroane. Cateva disectii mai interesante ale unor figuri cu n laturi (n = 3, 4, 5, 6 si 7) sunt date in continuare: Puterea magic a cifrelor

Regina Anne (1665-1714) a Marii Britanii a trit mai mult dect toti cei 17 copii ai si; n Australia sunt de 10 ori mai multe oi dect oameni; Chiar n acest secund, 70% dintre oferii americani depesc limita de vitez; n timp ce oamenii au doar patru tipuri de snge, cinii se pot luda cu cinci , iar pisicile cu ase Pe 29 martie 1848 cascada Niagara a fost n "stand-by" timp de 30 de ore din cauza unei imense buci de ghea care a blocat rul Niagara; Americanii mnnc zilnic apte hectare de pizza; n fiecare automobil se gsesc circa 915 metri de cablu electric; Sud-coreenii sacrific anual cam 1.000.000 de cini pentru a gti diverse feluri de mncare; Cea mai mare variie de temperatur din toate timpurile se nregistreaz la Verhoiansk, n Siberia, unde iarna sunt - 68 de grade celsius, iar vara se ating + 37 de grade; 90% din creier este grsime; Cea mai mare companie privat din lume are 1,6 milioane de angajai. Este vorba de firma care administreaz cile ferate indiene; O pisic are 32 de muchi n fiecare ureche; n 10 minute un uragan elibereaz mai mult energie dect toate armele nuclare existente luate la un loc; Oamenirea arde 74 de milioane de barili de petrol n fiecare zi. Un sfert din aceast cantitate este folosit n America; Alfabetul hawaiian are 12 litere; Circa 100 de milioane de psri mor n fiecare an din cauz c se lovesc de zgrie-nori sau intr n alte "capcane" ale oamenilor. 80.000 de ore (aproximativ 12% ) din viat i le petreci la serviciu; Insectele consum n fiecare zi circa 10% din rezervele de hran ale lumii; Italienii consum n dou zile tot atta cafea ct consum britanicii ntr-un an; Cea mai mare colectie de creiere umane puse "la murat" - 8 000 de bucti - se afl la spitalul psihiatric Runwell din Essex, Marea Britanie O singur ceac de expresso "nghite" 24 000 de boabe de cafea;Poate fi construit un patrat din douazeci si sapte de chibrituri?

Raspunsul este "da". Solutia o constituie cuvantul "patrat", scris cu ajutorul a 27 de bete de chibrit.

Fractii Cu ajutorul a sase bete de chibrit a fost realizata o fractie subunitara. Deplasati un singur bat pentru a obtine o fractie cu valoarea 1.

O solutie ingenioasa63 = 64 = 65 (demonstratie cu arii)

63 = 64 = 65. Pare imposibil dar asa este. Poate aritmetic e mai greu de demonstrat insa lucrul asta se poate face foarte usor pe cale geometrica. Pentru aceasta demonstratie am ales un patrat de latura 8 (patratele) care, dupa cunostiintele mele, are aria egala cu 8 x 8 = 64.

Acest patrat l-am impartit in patru parti distincte dupa cum se poate vedea in figura alaturata. S-au format astfel 2 triunghuri si 2 trapeze dreptunghice pe care le-am colorat diferit pentru a va fi dvs mai usor sa urmariti firul demonstratiei. De asemeni am notat pe fiecare figura si dimensiunile acesteia. Recombinand apoi aceste piese (si bineinteles pastrand dimensiunile), ar fi trebuit sa obtin o noua figura de aceeasi arie 64 . M-am inselat insa.

Alaturat aveti 2 moduri in care am recombinat cele 4 figuri. Observati ca au aceleasi dimensiuni (am micsorat un pic dimensiunea patratelului de baza - din considerente de asezare in pagina, insa fiecarei figuri componente i-am acordat aceleasi numar de patratele) si totusi figurile rezultate au arii diferite. In primul caz am obtinut o figura (un dreptunghi) cu aria 5 x 13 = 65 iar in al doilea caz o figura cu aria 5 x 5 + 1 x 13 + 5 x 5 = 63. Va las pe dvs, ca in continuare sa gasiti raspunsul la aceasta egalitate .... inegala. Proportia divin (segmentul de aur) Dac facem raportul a dou numere consecutive de rang ct mai mare din seria Fibonacci obtinem mereu acelasi numr (cu att mai precis cu ct rangul numerelor din serie este mai mare): 1.618033989 . Se pare c ntreaga natur este construit dup acest raport, si, mai mult, se pare c acest numr ne caracterizeaz pe noi, oamenii, cum nu o face vreun altul. Sunt multe domeniile n care l ntlnim, printre care si

natur scrisul de mn art design istorie

arhitectur

stomatologie

medicin matematic Interesant, nu? Este ntr-adevr uimitor s-ti dai seama ce perfect este natura, ce usor se poate crea frumosul. In continuare am s v prezint motivele pentru care natura a ales tocmai aceast proportie ca s-si dovedeasc miestria.

De ce natura prefer folosirea phi-ului att de des?

Rspunsul const n packing (mpachetare) - adic aranjarea obiectelor ntr-o form ct mai optim. Dac ni s-ar cere ca s indicm cea mai optim metod de a mpacheta lucrurile, am spune c rspunsul depinde de forma obietelor. Astfel ...

... obiectele ptrate s-ar mpacheta mai bine ntr-o form dreptunghiular, si

obiectele rotunde mai bine ntr-un aranjament hexazecimal ...

Si totusi de ce nu foloseste natura astfel de aranjamente pentru a mpacheta mai bine lucrurile? La urma urmei semintele plantelor (de ex) sunt aproximativ rotunde si s-ar putea grupa conform unui aranjament hexagonal. Desi simetria hexagonal este cea mai bun pentru aranjarea semintelor, totusi ea nu este bun pentru aranjarea frunzelor pe tulpini sau petalelor pe florile plantelor (care sunt circulare deoarece cercul este forma geometric cu raportul arie / perimetru cel mai mare).

Se pare c natura foloseste acelasi tipar pentru a aranja si frunzele si semintele si petalele unei flori/plante din motive (aparent) doar de ea stiute. In plus se pare c acest tipar si mentine eficienta si pe msur ce planta creste - ceea ce este un lucru absolut remarcabil. Deci cum reusesc plantele s rezolve aceast dificil problem de packing? Legile lui Murphy in matematica Oamenilor de tiin care dispreuiesc constrngerile cercetrii organizate le place s spun c un adevrat cercettor nu are nevoie dect de un creion, o foaie de hrtie i un creier. Dar ei spun asta la recepii academice, nu la alocri de bugete. Dac vrei s faci un produs mbuntit, trebuie s fii deja angajat n producerea unuia inferior. fura idei de la cineva este plagiat. A le fura de la mai muli este cercetare.

A fura idei de la cineva este plagiat. A le fura de la mai muli este cercetare.

Cele mai interesante rezultate tiinifice se obin o singur dat. Atta timp ct teoremele matematice snt legate de realitate, nu snt sigure; atta timp ct snt sigure, nu snt legate de realitate. n orice problem cu n ecuaii, vor fi mereu n+1 necunoscute.

Toate marile descoperiri au fost fcute din greeal. Cu ct este mai mare descoperirea, cu att dureaz mai mult pn se face greeala.Poria de matematic

Doreti s-i mbunteti cunotinele n matematic? Bacul i bate la u? Sau pur i simplu vrei s exersezi mai mult? Vino n fiecare miercuri la orele 1400 n sala 4, etajul II, aripa veche a Liceului Teoretic Callatis la Cercul de matematic organizat de doamna profesoara Ghiulnar Bechir. Te ateptm cu propuneri n legtur

cu exerciii de matematic.

ISSN 2067-466X

Ediia 2,aprilie 2010

Liceul Teoretic Callatis, MAngalia

23