referat - mathematical modeling and numerical analysis,2011_modelare matematica si calcul numeric

7/23/2019 Referat - Mathematical Modeling and Numerical Analysis,2011_Modelare Matematica Si Calcul Numeric

http://slidepdf.com/reader/full/referat-mathematical-modeling-and-numerical-analysis2011modelare-matematica 1/33

UNIVERSITATEA TEHNICA DE CONSTRUCTII BUCURESTI

REFERAT

LA

Modelare matematica si calcul numeric

INDRUMATOR DOCTORAT INDRUMATOR DISCIPLINA

Prof. Dr. Ing. Mircea Degeratu Prof. Dr. Ing. Virgil Petrescu

DOCTORAND

Ing. Tudor Baracu

2011



1

Cuprins

Introducere

Ecuatiile aflate la baza curgerii fluidelor

Metoda diferentelor finite in studii de mecanica fluidelor

Metoda volumelor finite

Metoda elementelor finite

Metoda spectrala

Criterii de stabilitate a solutiilor numerice

Metode de rezolvare a sistemelor de ecuatii

Etape ale analizei de mecanica fluidelor computationala



2

Introducere

In momentul actual cercetarile asupra curgerii fluidelor cat si a fenomenelor d

difusie si transfer de caldura bazate pe tehnicile computationale sunt la apogeu in special

pentru faptul ca la ora actuala este la nivel mondial un bogat material de cercetare si mul

noi directii deschise.

Se stie ca ecuatiile ce caracterizeaza un fenomen fizic continuu pe un domeniu da

sunt foarte complexe, si majoritatea lor mare nu se pot rezolva analitic.

Ca urmare acest fapt a dus la dezvoltarea tehnicilor studiului in mediu discret, i

sprijinul carora vine puternic dezvoltarea din domeniul tehnologiei IT.

Introduction

In present times the research of fluid flow as of the diffusion phenomena and heattransfer based on computational technics are at the top level especially as in the world is

gathered a rich bibliography of research and developed many new ways to be followed.

It is known that equations that describe an continuous physical phenomenon on a

given environment are very complex, and the most of them cannot be solved by an

analytical form.

Because of this given it had gone to development of technics of studies in a discret

domain, in help for it being in coming the development from the IT technology.



3

Ecuatiile aflate la baza curgerii fluidelor

Ecuatia conservarii masei

∫

+

∮

= 0 (1)

Ecuatia de mai sus se explica prin faptul ca orice variatie tranzitorie a masei unui cor

(termenul 1) poate fi datorita unui flux masic introdus sau luat unui corp prin suprafata

ce il delimiteaza (termenul 2).

In forma diferentiala are forma:

+ ∇ ∙ ( ∙ ) = 0 (2)

Care desfasurata inseamna: + ∙ ∇ + ∇ ∙ = 0 (3)

In forma de operator diferential al conservarii masei avem forma:

( ) = ( ) + ∙ ∇ (4)

Aplicand operatorul diferential asupra densitatii vom avea:

+ ∇ ∙ = 0 (5)

Desi (2) si (5) sunt echivalente matematic totusi daca se discretizeaza numeric intr

ele va aparea o diferenta. Ecuatia (2) pastreaza principiul conservarii la discretizare in tim

ce ecuatia (5) e considerata intr-o forma cvasi-liniara sau non-conservatoare.

Pastrarea formei conservative si dupa discretizare este foarte importanta intrucat i

situatie contrara insumarea fluxurilor pe celulele de mesh ar duce la rezultate eronate car

ar indica faptul ca masa nu se conserva.

Mai trebuie subliniata o nuanta a modului de actiune al operatorului ∇ :

∇ ∙ = +

+



4

∙ ∇ = ( ) + ( ) + ( )

Pentru fluid incompresibil:

∇ ∙ = 0

Conservarea impulsului sau ecuatia miscarii

Pentru vascozitate constanta a fluidului (cazul fluidului Newtonian) sunt valabile ecuatii

Navier – Stokes:

+ ∙ ∇ + ∇ ∙ = ∇ + ∆ +1

3 ∇ ∇ ∙ +

De remarcat ca viscozitatea este frecarea interna a straturilor de fluid unul fata de celalalt.

Daca fluidul este ideal atunci frecarile interne din acesta sunt nule si in consecinta

tensiunile tangentiale din acesta sunt nule. In acest caz ecuatiile Navier – Stokes s

particularizeaza la ecuatia Euler de miscare a fluidului:

+ ∙ ∇ = ∇ +

Termenul ∙ ∇ este neliniar chiar si pentru cugeri incompresibile. Este o proprieta

importanta deoarece acest termen este responsabil in mod particular pentru aparit

turbulentei.

∙ ∇ = ∇ 2 × ∇ ×

Ecuatia conservarii energiei

Pentru un fluid energia totala a acestuia este suma dintre energia sa interna si energ

cinetica.

= + + 2



5

Metoda diferentelor finite in studii de mecanica fluidelor

Se stie ca in utilizarea metodei diferentelor finite majoritatea expunerilor tind s

prezinte aceasta metoda considerand gridul uniform, fiind situatia cea mai simpla din pun

de vedere matematic. Trebuie insa subliniat faptul ca modelele geometrice complexe dej

cer si un aparat matematic mai complex, in consecinta un tip de grid mai elaborat, m

flexibil pe geometria corpului modelat.

Conditii ce trebuie sa le indeplineasca o analiza numerica pentru a fi considerate valida:

• Consistenta – discretizarea ecuatiilor diferentiale cu derivate partiale trebuie sa f

facuta in sensul tinderii la zero a meshului (deci eroarea de truncare trebuie sa f

redusa cat mai mult)

• Stabilitate – erorile generate in rezolvarea ecuatiilor discretizate nu trebuie sa s

amplifice

• Convergenta – Solutia numerica trebuie sa fie in preajma solutiei exacte a ecuati

diferentiale sis a convearga spree a pe masura ce meshul tinde la zero

• Conservare - Legile de conservare aflate la baza trebuie sa fie respectate si la niv

de domeniu discret (surse artificiale de valori sau gropi trebuie sa fie evitate – d

exemplu la analiza solidului rigid trebuie evitati concentratorii artificiali de tensiuni

• Marginire – cantitati cum ar fi masa, densitatea, temperature trebuie sa apara stri

positive in orice fel de rezultate

• Repetabilitate – modelul construit si analizat intr-un loc sa dea aceleasi rezultate c

un model construit cu aceleasi conditii initiale in alt loc



6

In elaborarea metodei diferentelor finite se pleaca de la desfasurarea functiei in ser

Taylor, anume:

() = (0) +1

1!

( 0) +1

2!

( 0) +1

3!

3 3 ( 0)3 +1

4!

4 4 ( 0)4 +⋯

Sunt trei concepte care se aplica in diferentiere, in functie de conjunctura studiului care s

urmeaza sa se faca, anume:

• diferentierea “inainte”

= +1 ∆ + (∆)

• diferentierea “centrala” (din punct de vedere pur matematic cea mai riguroasa)

= +1 −12 ∆ + (∆)

• diferentierea “inapoi” = −1∆ + (∆)

i,j,k i+1,j,k

i,j,k

i,j,k+1 i,j+1,k

i-1,j,k

i,j-1,k



7

Dupa cum se vede, apare termenul (∆) care se cheama “eroare de truncare”

apare datorita faptului ca in exprimarea cu diferente finite a unei functii sau diferential

acesteia se face in limitele unei erori acceptate ca urmare a faptului ca termenii de gra

superior ai seriei Taylor sunt neglijati. Se observa ca prin diferentierea centrala eroarea d

truncare este cea mai mica dintre cele trei variante, anume porneste abia de la

∆ , fiin

(∆).

Oricare din cele trei metode folosite da rezultate asemanatoare, problema alegerii une

dintre ele este doar de convenienta sau functie de anumite rigori ce le impune modelu

studiat.

Trebuie sa prezentam mai pe larg cum se pleaca de la seria Taylor pentru a se ajunge l

formulele de diferentiere:

( + ℎ) ≈ () + ′(

)

1! ℎ + ′′(

)

2! ℎ ( ℎ) ≈ () ′()

1! ℎ +

′′()

2! ℎ → ′() =

(

+

ℎ)

(

ℎ)

2ℎ

′′() = ( + ℎ) 2 ∙ () + ( ℎ)ℎ

Se obtin astfel diferentele:

• Derivata partiala de ordin 1 centrala in nodul (i,j,k)

,

,

= +1,

,

−1,

,

2 ∙ ∆ ; ,

,

= ,

+1,

,

−1,

2 ∙ ∆ ; ,

,

= ,

,

+1 ,

,

−12 ∙ ∆

• Derivarea de ordin 2 in mod central in nodul (i,j,k)

,, = +1,, 2 ∙ ,, + −1,,∆

∂f i,j,k∂y = ,+1, 2 ∙ ,, + f i,j−1,k∆

∂f i,j,k∂z = ,,+1 2 ∙ ,, + f i,j,k−1∆



8

La diferentiala de ordin 2 eroarea de truncare este de ordin (∆). Grafic, cele tr

metode sunt reprezentate mai jos:

Pentru derivate partiale mixte folosim expandarea:

( + ℎ, + ) = (, ) + 1

1! ℎ +

1

1! +

12!

ℎ + 12!

2 ℎ + 12!

+⋯

Prin prelucrari succesive se obtine in final relatia:

, =

+1,+1 +1,−1 −1,+1 + −1,−14 ∆ ∆ + [(∆), (∆)]



9

Metoda volumelor finite

Din punct de vedere istoric metoda volumelor finite a fost introdusa in analiz

numerica a dinamicii fluidelor in mod independent de catre Mc Donald (1971) si de catr

MacCormac si Paully (1972) pentru solutia bidimensionala si dependenta de timp

ecuatiilor Euler si care a fost extinsa la nivel tri-dimensional de csatre Rizzi si Inouy

(1973).

Datorita generalitatii ei, metoda volumelor finite poate aborda orice tip de mesh

structurat sau nestructurat.

In timp ce metoda diferentelor finite se bazeaza pe discretizarea ecuatiilor d

conservare in forma diferentiala ce stau la baza unui fenomen, metoda volumelor finite s

bazeaza pe discretizarea formei integrale a ecuatiilor de conservare.

Sa luam in considerare ecuatia de conservare de mai jos:

Ω Ω+ = Ω Ω +

Pentru a discretiza aceasta ecuatie integrala, la fel ca si in metoda diferentelor finite v

trebui sa discretizam spatiul fizic in retele discrete de celule.

Doua tipuri de meshuri vor corespunde tipurilor structurat si nestructurat de mesh.



10

In figura de mai sus avem reprezentate:

a) celula centrala in mesh structurat cu volum finit

b) celula muchie in mesh structurat cu volum finit

c) celula centrala in mesh nestructurat cu volum finit

d) celula muchie in mesh nestructurat cu volum finit

Meshurile nestructurate sunt acelea formate din elemente triunghiulare (2D) sa

quadrilatere (2D) cat si piramidale (3D) sau hexaedrice (3D). Ele nu pot fi identificate pri

axe de coordonate (i,j), ci vor fi numerotate individual intr-o anumita ordine fieca

element de volum. Ca urmare a acestui fapt, desi vor fi mai utile in studiul ecuatiilor, totu

folosirea de mesh nestructurat va cere mai multa memorie de computer si mai mai mu

timp de procesare.

In timp ce meshurile nestructurate sunt recomandate pentru geometrii complexe, meshuristructurate in schimb sunt recomandate pentru geometrii simple.



11

Metoda elementelor finite

Se stie ca o diferenta semnificativa intre metoda elementelor finite si metod

diferentelor finite este faptul ca in cazul MEF forma ecuatiei matematice specific

fenomenului studiat ramane recognoscibila atat la nivelul elementului finit in urm

discretizarii cat si la nivelul ansamblului.

Daca metoda diferentelor finite porneste de la o ecuatie diferentiala, in urm

diferentierii pe noduri se obtine o relatie de recurenta generala in care se pierd

semnificatia relatiei diferentiale, totul se reduce doar la rezolvarea unui sistem de ecuat

banal dupa ce au fost stabilite bineinteles si conditiile de frontiera.

La baza studiului cu element finit se afla la scara cea mai larga de folosire aparatu

matematic elaborat de Boris - - Grigoryevich Galerkin (1871 – 1945) metoda Galerkin.

Un domeniu de studiu D este discretizat in n elemente finite (subdomenii). Ecuati

generala ce sta la baza intregului domeniu studiat va fi folosita ca aplicare si la nivelu

fiecarui element finit parte a intregului.

Fiecare element finit va avea o ecuatie matriceala aferenta rezultata din ecuatia diferential

ce sta la baza fenomenului studiat.

Ulterior intregul domeniu D va avea o matrice globala rezultata din asamblarea matricelo

fiecarui element finit. Astfel, de la ecuatia adaptata generalizat la nivelul fiecarui elemen

finit obtinandu-se o ecuatie matriceala pentru fiecare, se ajunge la o ecuatie matricea

globala a intregului domeniu D.

De exemplu, pentru un domeniu D unidimensional, in urma discretizarii, fiecar

element finit va avea o ecuatie in care va interveni o functie N de interpolare intre noduri

elementului finit.

() = () ∙ + () ∙ In care () = ∙ + este functie liniara de x.

De asemenea intervine o functie de pondere .



12

Ecuatia unidimensionala a caldurii fara surse de caldura va avea forma:

∙ ∙ + ∙ = 0

⎝ ⎠⎝

⎠

=

⎝⎠

Matriceala elementara are forma:

111 11

11

1 ∙ 1 = 11

1

11 11 = ∙ 1 11 1



13

Ecuatia matriceala globala va capata forma:

⎝

⎛111 11 0 0 … 0 011 1 + 11 1 0 … 0 0

0

1

0 …

⋮ ⋮0 0 0 ⋱ 0 0 0⋮ ⋮ … 0 11−1 1−1 0

0 0 … 0 1−1 −1 + 11 10 0 … 0 0 1 ⎠

⎞

∙⎝

13⋮−−1 ⎠

=

⎝

13⋮−−1 ⎠

Evident, fiecare matrice a elementului finit corespunzator va fi pozitionata i

matricea globala corespunzator locatiei legaturilor acestuia de ansamblu (de exempl

elementul 2 are nodurile cu temperaturile si 3 prin care se leaga de ansamblu, ia

zona ramasa goala din jurul matricei elementului finit in cadrul matricei globale este zon

fara legaturi, deci termenii sunt nuli.

Matricea emulata a matricei elementului 2 la dimensiunea matricei globale este:

⎝

0 0 0 0 … 0 0

0

11

1 0 … 0 0

0 1 0 … ⋮ ⋮0 0 0 ⋱ 0 0 0⋮ ⋮ … 0 0 0 0

0 0 … 0 0 ⋱ 0

0 0 … 0 0 0 0⎠

Ecuatia matriceala elementara in forma prezentata mai sus este rezultatul prelucrarecuatiei caldurii prin utilizarea unor functii de interpolare.



14

Metoda spectrala

In metoda spectrala se face aproximarea functiei pe baza unei serii truncate (finite)

unor functii ortogonale.

De exemplu seriile Fourier sunt folosite pentru probleme ce implica periodicitatPentru problem ce implica valori de granite polinoamele Cebyshev sau Legendre sun

folosite ca functii de baza.

Aproximarea poate fi scrisa in forma de mai jos:

() = ()

=0

In care sunt valori ce vor fi determinate.

Consideram conditiile de granita:

= pentru < < () = 0() = 0

Metoda Galerkin in cazul de fata consta in anularea reziduului = in sens d

“formulare slaba”:

(,) = ∫ = 0 pentru = 0 …

Unde w este functia de pondere asociata cu ortogonalitatea functiilor de baza, i

valorile satisfac conditiile de granite. Aceste asocieri sunt valide doar prin serii Fouri

unde conditiile de granite sunt inlocuite de periodicitate, iar pe de alta parte pentr

rezolvarea problemelor de granite nu se pot folosi polinoame Cebyshev sau Legendre dec

daca metoda Galerkin este modificata de la forma ei in metoda “tau”.

Metoda “tau” consta in considerarea doar a primelor n-1 ecuatii ale sistemulu(,) care este deci pentru i=0…n-2 si adaugarea conditiilor de granita:

⎩ () = 0 () = 0



15

Metoda colocatiei este de asemenea o metoda spectral ace consta in anulare

reziduului pentru un set de puncte ∈ ], [. Atunci conditiile de granite sun

adaugate:

= 0, = 0 … 1

(

) = 0

(

) = 0

Punctele de colocare x j sunt in general extremele polinoamelor Cebyshev

Legendre de grad n. Aceasta alegere este dictate in principal de convergenta aproximari

De fapt metoda colocatiei se bazeaza pe cautarea solutiei problemei ca polinom de gradul

care satisfice exact ecuatia diferentiala in punctele date x j unde aceste polinoame ia

valorile

. Astfel expandarea seriei truncate poate fi reinterpretata ca un polinom d

interpolare Lagrange:

() = ()()=0

unde = vor fi usor determinate. Prin diferentierea lui () vom scr

derivatele in orice punct al termenilor la toate punctele de colocare. Obtinand un system

de ecuatii pentru determinarea valorilor () mai degraba decat a .

Aceasta strategie pentru metoda colocatiei este larg folosita in aplicatii.

Principalul interes in metoda spectrala este gradul ei inalt de acuratete. Se poate arata c

eroarea dintre functia data u(x) si aproximanta ei () este:

‖ ‖ ≤

Unde este numarul de derivate continui ale u(x).

Este interesant de observat ca pentru un numar de puncte sufficient de ma

gradul de precizie este reglementat de regularitatea solutiei in sine

special, deci pentru o funcţie infinit derivabil eroare este mai mic oric

putere de 1/n (deci precizie exponentiala). Acest lucru este complet diferit fata de metod

diferentelor finite sau metoda elementului finit in care daca p este numarul de noduri

schemei de mesh eroarea este de ordinul 1/n p si care este un numar finit.



16

Criterii de stabilitate a solutiilor numerice

Stabilitatea solutiei numerice are la baza faptul ca fenomenul studiat este intr-u

mediu continuu de evolutie si caracterizat prin ecuatii continui, dar de fapt rezultatele sun

in format discret, o abatere care trebuie tinuta totusi sub control.

In acest sens, au fost elaborate criterii de stabilitate care in general pentru a mentin

solutiile numerice in control leaga anumite caracteristici de discretizare ale uno

coordonate care in principiu sunt independente una de alta.

Aceste criterii ne feresc de situatii hilare cum ar fi de exemplu in anumite locatii s

existe cate un element finit in care ∆ ≫ ∆ sau invers.

Sa privim mai jos, si doar din intuitie ne putem da seama ca un element finit d

genul celui prezentat mai jos este foarte suspect de mari erori.

Dar in coordonate spatiale x, y, z inca ne mai putem da seama intuitiv ca anumi

elemente finite sunt suspecte de erori, cand apar si coordonate temporare va fi greu d

intuit acest lucru, de aceea aceste criterii trebuie formulate pur algebric.

Aceste criterii nu sunt doar pentru a anula anumite erori locale, ci pur si simplu ero

care tind sa se propage mai departe in mesh, si care tind sa se amplifice la scara intregulu

model determinand rezultate de neconceput.

Vom prezenta mai jos conditia de stabilitate a solutiilor von Neumann care este ce

mai relevanta. Conceptul conditiei de stabilitate von Neumann are in vedere toat

componentele ale seriei Fourier la evolutia in timp sa fie procesate printr-un rezolvan

iterative.

Pornim de la forma Cranck-Nickolson:+1 = ∆ +1 + (1 2 ∆) + ∆ −1

1

3 2



17

in care ∆ = ∙∆(∆) este modulul Fourier si care defineste raportul dintre ra

caldurii conduse si rata caldurii stocate. Valori mari ale acestuia inseamna mediu c

conductie buna si cu stocare mica de caldura, valori mici inseamna conductie slaba dar c

un potential mare de stocare de caldura.

Substituind component generala Fourier

=

∆

in relatia de mai su

obtinem:

+1 ∆ = ∆ (+1) ∆ + (1 2 ∆) ∆ + ∆ (−1) ∆

Se obtine:

+1

= (1 2 ∆) + ∆ ∆ + ∆ ∆

= 1 2 ∆ + 2 ∆ ∆ = 1 4 ∆ ∆2

Aceasta ultima relatie predictioneaza cresterea fiecarei componente k a seriei Fourier.

Daca toate componentele sunt in decalaj, atunci pentru ca solutia sa fie stabile va trebui s

fie satisfacuta relatia:

+1

≤1

Deci in consecinta

1 4 ∆ ∆2 ≤ 1

adica |1 4 ∆| ≤ 1 sau 1 4 ∆ ≤ 1 daca 1 4 ∆ > 01 + 4 ∆ ≤ 1 daca 1 4 ∆ ≤ 0

deci ∆ ≥ 0 ∆ ≤ 1 sau 0 ≤ ∆ ≤ 1 rezultand astfel ∆(∆) ≤ 1



18

Astfel, conditia Courant de stabilitate ce trebuie indeplinita este:

∆ ≤ (∆)2

Ecuatia de transfer de caldura in regim tranzitoriu, tridimensional si fara surse de caldura

∙ + + = 0

,, ∙ T,,u +T,,u +

T,,u = 0

are ca echivalent de exprimare in diferente finite expresia

,,+1 ,, ∆+1,, + −1,, + ,+1, + i,j−1,k + ,,+1 + i,j,k−1 6 ∙ i,j,k = 0

In general este impusa conditia de stabilitate a solutiei:

∙ ∆ ∙ 1

(∆) +1

(∆) +1

(∆) ≤ 1

2



19

Metode de rezolvare a sistemelor de ecuatii

Evident, in urma discretizarii domeniului analizat, vor rezulta cu atat m

multemecuatii de rezolvat cu cat numarul de noduri este mai mare, deci cu cat discretizare

este mai fina.

Problema se pune de a rezolva foarte repede aceste sisteme de ecuatii care necesit

resurse computationale destul de ridicate. In acest sens sunt de evidentiat cateva metode.

Aceste metode sunt clasificate astfel:

• metode exacte

o metoda Cramer – din puct de vedere strict mathematic este ideala intruc

rezultatele sunt exacte, nu exista erori de metoda, doar erori de computar

numerica primara. Dezavantaj: necesita resurse de calcul uriase, mai ales ceste vorba de mii de ecuatii de rezolvat intr-un system.

o Metoda de eliminare Gauss – este de asemenea o metoda exacta care d

asemenea nu da erori de metoda ci doar de computatie, se bazeaza pe o seri

de pasi succesivi de rezolvare a sistemului de ecuatii. Dezavantaj: din pun

de vedere computational este mai rapida decat metoda Cramer pentru sistem

de multe ecuatii intrucat prin faptul ca are niste pasi succesivi se apropie d

ideologia computatiei, anume iteratia. Totusi nu e satisfacatoare pe deplin i

privinta resurselor computationale cerute si a timpului efectiv de rezolvare sistemelor de ecuatii. Aceasta metoda are si o derivata a ei cum ar fi metod

Gauss cu strategie de pivotare, dar surplusul de rapiditate care il ofera nu est

mare

o Metoda Choleski – este bazata pe descompunerea matricei coeficientilo

sistemului de ecuatii in doua matrici triunghiulare respective triunghiul

superioara si triunghiular inferioara

• Metode iterative

o

Metoda Jacobi – se numeste si “metoda deplasarilor simultane” pentru cinitial se porneste de la un set de valori initiale date arbitrar necunoscutelor

la fiecare noua iteratie se preiau valorile adaptate ale necunoscutelor rezultat

din iteratia precedenta. Ciclul de iteratii inceteaza cand este atinsa o relatie d

convergenta. Metoda este satisfacator de rapida, dar are in acelasi tim

dezavantajul ca nu se poate aprecia timpul de rezolvare al sistemului, anum

cand va fi atinsa relatia de convergenta.



20

o Metoda Gauss-Seidel se bazeaza la fel ca si metoda Jaciobi pe pornirea de l

un set de valori initiale arbitrare ale necunoscutelor, si la fiecare noua iterat

se preiau valorile adaptate ale necunoscutelor rezultate din iteratia preceden

la care se adauga un termen de “relaxare” cuprins intre 1 si 2 care va relaxa l

zero reziduul ecuatiei din iteratia curenta, si are rolul de a accelera gasire

solutiei. Este o metoda iterative mai rapida decat Jacobi. Are si aceast

metoda un dezavantaj in sensul ca nu se poate stabili initial o valoare optim pentru termenul de relaxare incat numarul de iteratii sa fie minim. Aceas

metoda este cea mai larg folosita in rezolvarea prin iteratii a sistemelor d

ecuatii.



21

Tehnici de grid

Trebuie evidentiat de asemenea ideea folosirii unui grid neuniform, in care doua ochiu

vecine sau din puncte diferite ale gridului sa nu aiba acelasi pas de tranzitie intre noduri.

Oricum, indiferent de situatie, este recomandat ca fiecare element din grid sa fie cat m

ortogonal posibil si de asemenea raporturile relative intre dimensiunile laturilor sa fie ca

mai apropiate de 1.

Constrangerile care pot impune ca gridul sa fie neuniform pot fi de doua feluri, anume:

• constrangeri geometrice in care datorita unor forme geometrice foarte complica

(colturi, suprafete neliniare, discontinuitati)• constrangeri ale distributiei fenomenului – in sensul ca este recomandat ca gridu

prin forma lui sa cloneze aproximativ forma campurilor de distributie a marimilo

studiate. Acest lucru este recomandat pentru a obtine rezultate de mare acurate

pentru fenomenul studiat.

In exemplul prezentat mai sus de grid neuniform, profilul de viteze se suprapune c

gridul in sensul ca in zona stratului limita in care viteza are scadere accentuata pe masur

apropierii de perete, in consecinta si gridul este mai dens.

Avem formula lui Prandtl pentru grosimea stratului limita laminar:



22

~ ∞ =

Este de asemenea stiut ca raportul intre gradientii vitezelor pe cele doua directii este d

asemenea functie de Re:

/ = ~

Astfel pentru a echilibra variatiile intre noduri pe ambele directii, avand consecinta un

acurateti mai bune a rezultatelor, gridul se va construi deci in zona stratului limita

nivelul fiecarei celule cu un raport ∆/∆ luat dupa relatia:∆

∆~

1

In figura de mai sus este prezentat un exemplu unidimensional de variatie a dimensiunii d

baza a gridului.

Atunci cand trebuie sa fie modelata o granita de geometrie neliniara, aceasta va

aproximata cu un model de scara, treapta cu treapta meshatura suprapunandu-se prinodurile ei pe curba ce trebuie urmata.



23

Cand tot modelul este imersat intr-o meshatura carteziana, atunci la nivel de granit

este elaborata o metoda numerica de partitionare a marimii pe granita pe partea interioar

si pe partea exterioara a acesteia.



24

In cazul meshaturilor carteziene (uniforme) are loc intersectie intre laturile celulelo

de mesh cu granita domeniului studiat, rezultand forme arbitrare de celule de mesh. Acest

celule se vor numi celule de taietura (cut-cells). Acest lucru va cere aplicarea metod

volumului finit de discretizare pe celulele de taietura.

Griduri ce se adapteaza pe forma corpului

Depinzand de orientarea gridului si de zonele “mai importante” care se doresstudiate, gridurile pot fi de tip H, C, O, I, etc.

In cazul meshaturii tip H gridul urmareste o traiectorie curbilinie, in ansamblul sa

definind o topologie asemanatoare literei H.



25

La gridurile de tip C topologia meshaturii urmeaza in ansamblul sau forma literei C

Se foloseste in special la modelare palete, aripi portante.

Meshatura de tip O este folosita de asemenea pentru modelare palete si aripi de portanta.

Meshatura tip I este foarte utila pentru modelare sectiuni ale palelor de turbine, und

geometria este foarte complexa si in care la anumite distante specifice toate curbe

suprafetelor converg tangent la o dreapta.



26

Meshaturile multibloc sunt combinatii ale celor standard (H, C, O, I, etc. Ca exemplu est

prezentata mai jos meshatura ce contine combinatia C-H.

Uneori la intersectia intre doua suprafete meshaturile acestora nu se intalnesc pract

in noduri comune. In acele cazuri este necesar un procedeu riguros de interpolari care s

faca trecerea fara probleme de convergenta de la o suprafata la alta.



27

Unii denumesc astfel de noduri de interfata noduri “atarnate” intrucat nu s

interconecteaza direct cu celelalte noduri de dincolo de zona de granita. Acest lucru poa

determina erori in cel mai fericit caz doar in zona respectiva, dar in general blocheaz

rezultatele pentru intregul model.

Unul din avantajele meshurilor nestructurate este posibilitatea adaptarii meshului

nivel local (rafinare, reorientare) pentru a mari acuratetea rezultatelor fie pe ansamblu, f

in zona in cauza.

Cele mai multe meshaturi nestructurate au la baza urmatoarele tipuri de elemente finite:

• elemente triunghiulare (2D) sau tetraedrale (3D) – recomandate in general pentr

situatii in care avem raporturi echilibrate ∆/∆. Daca in schimb aceste raportu

cresc la valori de peste 1000 acuratetea rezultatelor incepe sa scada semnificativ. I



28

aceste situatii meshatura triunghiulara este bine sa fie inlocuita cu meshatur

quadrilatera. In zone proxime peretelui nu se recomanda astfel de elemen

triunghiulare sau tetraedrice, intrucat dau erori mari.

• elemente hibride ca combinatie de elemente tetraedrale, piramidale si prismatice

• elemente quadrilatere si hexaedrice. La elementele quadrilatere raportul celule-latu

este 1:6 in 3D si de 1:4 in 2D.

Exemplu de meshatura in care in apropierea peretelui este folosita meshatura quadrilateral

In apropierea peretelui categoric sunt recomandate elementele quadrilatere sa

hexaedrice in locul celor triunghiulare sau tetraedrice. Acest lucru este determinat de faptuca elementele quadrilatere permit intr-o anumita masura raporturi inegale intr

dimensiunile elementului pe directiile principale.

Practic in apropierea peretelui dimensiunea perpendiculara pe perete trebuie sa f

foarte mica, iar cea paralela cu peretele este admis sa fie mai mare de cateva ordine.



29

Exemple de aplicatii de mecanica fluidelor computationala:



30



31

Etape ale analizei de mecanica fluidelor computationala

• Fixarea problemei – adunare cat mai multe informatii despre curgere

• Modelul matematic – stabilire ecuatii cu derivate partiale, conditii initiale, de grani

si de limita

• Generare model – noduri, cellule, instanturi de timp

• Discretizare spatiala

• Discretizare a timpului – relevarea modelului algebraic linear At=b

• Rezolvantul iterativ – valori ale functiilor discrete

• Utilizare soft de mecanica fluidelor computationala – implementarea tuturo

conditiilor modelului de cercetat

• Rularea simularii – relevare parametrii, criteria de convergenta

• Postprocesare – vizualizare si analiza date

• Verificarea – validare model si ajustari



Bibliografie

Blumenfeld, Maty - Introducere in metoda elementelor finite (ET 1995)

Bratianu Constantin - Metode numerice (ET 1996)

Bratianu Constantin - Metode cu elemente finite in transferul de caldura (Icemenerg 1989

Blumenfeld Maty - Metoda elementelor finite (IPB 1992)

Berbente C., etc - Metode numerice (ET 1998)

Calbureanu M - Metode numerice in transferul de caldura (2004)

Cook R D - Finite Element Modeling For Stress Analysis - Wiley 1995

Hoffman, K. - Computational fluid dynamics (4th edition)

Hatton D V - Mcgraw Hill-Fundamental Of Finite Element Analysis (2004)

Lelea Dorin - Metode numerice avansate in transferul de caldura (2007)

Pascu, Adrian - Metoda elementului finit (MEF)

Reddy - An Introduction to Nonlinear Finite Element Analysis

referat - mathematical modeling and numerical analysis,2011_modelare matematica si calcul numeric

Documents