PROBLEME- SUBIECT .I. 1.Mulimi de numere.Exerciii tipice pentru bacalaureat

1. S se calculeze a 2 + b 2 , tiind c numerele a i b au suma egal cu 4 i produsul egal cu 3.2.

3. Se consider numrul a = log 2 3. S se arate c log 2 18 = 2a + 1. 1 4. S se calculeze log 2 3 log 2 9. 2 1 8 3 5. S se calculeze 3 . 27 2 3 6. S se calculeze log 2 3 log 2 . 2 1 2 9 7. S se verifice egalitatea lg + lg + ... + lg = 1. 2 3 10 log 3 5 + log 3 6 log 3 10. 8. S se calculeze 9. S se compare numerele 2 2 i log 2 32. 10. S arate c numrul (3 2 ) log 2 8 este natural. 11. S se calculeze log 5 25 log 3 9. 12. S arate c log 2 4 + log 3 9 < 36 . 13. S se calculeze log 6 3 + log 6 10 log 6 5. 27 12 + 2 3 este natural. 2 3 9 15. S se calculeze log 3 + log 3 + ... + log 3 . 1 2 8 3 1 16. S se calculeze log 5 25. 2 17. S se arate c log 2 5 + log 2 12 log 2 30 = 1. log 5 18 log 5 2 = 2. 18. S se verifice c log 5 3 1 19. S se arate c log 2 3 8 = 0. 4 14. S arate c numrul3

S se determine a 2008-a zecimal a numrului 0,(285714).

20. S se determine valorile naturale ale lui n pentru care expresia E (n) = 10 3n este bine definit. 8! 9! 21. S se demonstreze c numrul este natural. 3!5! 2!7! 3 3 22. S se calculeze 9 3 . 3 23. S se arate c log 2 14 + log 2 3 log 2 6 = log 2 7. 1

24. S se ordoneze cresctor numerele a = 2 i b =

1 . 3+ 2

25. S se arate c log 3 24 = 3a + 1 , unde a = log 3 2 .

2.Funcii.Se consider funcia f : [0;1] R, f ( x) = x 2 . S se determine mulimea valorilor funciei f. Se consider funcia f : R R, f ( x ) = x 3. S se determine f (4) f (3) ... f (3) f (4). Se consider funcia f : R R, f ( x) = 2 x + 1. S se calculeze f (2) + f (1) + f (0) + f (1). Fie funcia f : R R, f ( x) = mx 2 8 x 3, unde m este un numr real nenul. S se determine m tiind c valoarea maxim a funciei f este egal cu 5. 5. Fie funciile f : R R, f ( x) = x + 3 i g : R R, g ( x ) = 2 x 1. S determine soluia real a ecuaiei 2 f ( x) + 3 g ( x ) = 5. 6. Fie funciile f , g : R R, f ( x) = x 2 x + 1 i g ( x) = x + 4. S se calculeze coordonatele punctulului de intersecie al graficelor funciilor f i g. 7. Fie funcia f : R R, f ( x) = 3 4 x . S se determine soluiile reale ale inecuaiei f ( x) 1 4 x. 8. Se consider funcia f : R R, f ( x) = 2 x + 1. S se determine punctul care aparine graficului funciei f i are abscisa egal cu ordonata. 9. Fie funcia f : R R, f ( x) = mx 2 mx + 2, unde m este un numr real nenul. S se determine numrul real nenul m tiind c valoarea minim a funciei este egal cu 1. f : R R, f ( x) = 2 x 1. S determine soluiile reale ale ecuaiei 10. Se consider funcia 2 f ( x) + 2 f ( x) 3 = 0. 11. Se consider funcia f : R R, f ( x) = ax + b. S se determine numerele reale a i b tiind c 3 f ( x) + 2 = 3 x + 5, pentru x R. 12. S se determine m R , tiind c reprezentarea grafic a funciei f : R R, f ( x) = x 2 mx + m 1 este tangent axei Ox. 13. Se consider funcia f : R R, f ( x) = x 2 11x + 30. S se calculeze f (0) f (1) ... f (6). 14. Fie funcia f : R R, f ( x) = x 2 + 5 x + m + 6 . S se determine valorile numrului real m tiind c f ( x) 0 , pentru x R. 15. Fie funcia f : [0;2] R, f ( x) = 4 x + 3 . S se determine mulimea valorilor funciei f. 16. S se determine m R \ {1} , tiind c abscisa punctului de minim al graficului funciei f : R R, f ( x) = (m 1) x 2 (m + 2) x + 1 este egal cu 2. 17. S se calculeze distana dintre punctele de intersecie ale reprezentrii grafice a funcei f : R R, f ( x) = x 2 + 2 x + 8 cu axa Ox. 18. Se consider funcia f : R R, f ( x) = x 2 6 x + 5. S se determine punctul de intersecie al dreptei de ecuaie y = 4 cu reprezentarea grafic a funciei f. 19. Se consider funcia f : R R, f ( x) = 2 + x . S se calculeze f (1) + f ( 2) + ... + f (20) . 20. Se consider funcia f : R R, f ( x) = x + 3 . S se calculeze f ( 2) + f (2 2 ) + ... + f ( 2 7 ) . 21. S se demonstreze c parabola funciei f : R R, f ( x) = x 2 2mx + m 2 + 1 este situat deasupra axei Ox, oricare ar fi m R . 1. 2. 3. 4.

2

2012 ;2 aparine 22. Se consider funcia f : R R, f ( x) = 2011 x 2010 . S se verifice dac punctul A 2011 graficului funciei f. 23. S se determine coordonatele vrfului parabolei asociate funciei f : R R, f ( x ) = x 2 + 4 x 5 . 24. =Se consider funcia f : R R, f ( x ) = x 2 3 x + 1. S se determine numerele reale m pentru care punctul A( m;1) aparine graficului funciei f. 25. =S se determine funcia de gradul al II lea al crei grafic conine punctele A(1;3), B(0;5) i C (1;11). 26. S se determine valoarea maxim a funciei f : [1;1] R, f ( x) = 2 x + 3. 27. S se determine punctele de intersecie ale graficelor funciilor f , g : R R, f ( x) = x 2 3 x 1 i g ( x ) = x + 4. 28. S se determine funcia f : R R, f ( x) = ax + b al crei grafic trece prin punctele A( 2;7) i B (1;2).

3. Metode de numrare. 1. S se calculeze C + P3 . 4 4 2. S se calculeze C5 + A5 .2 3 2 3. S se rezolve ecuaia C n = 28 , n N . 4. S se determine numrul tuturor submulimilor de 2 elemente ce se pot forma cu elemente din mulimea {1,2,3,4,5}. 5. Se consider 10 puncte, oricare 3 necoliniare. Cte drepte trec prin cel puin 2 puncte din cele 10. 6. S se calculeze numrul submulimilor mulimii {1,2,3,4}. care au un numr par nenul de elemente. 1 1 7. S se determine numrul natural n tiind c An + C n = 10 . ( n 3)! = 6. 8. S se determine numrul natural n tiind c ( n 5)! 9. S se determine cte numere de cte trei cifre distincte se pot forma cu elemntele mulimii {1,2,3,4}. 10. S se determine cte numere de dou cifre se pot forma cu elemntele mulimii {1,2,3,4}. n +1 11. S se rezolve ecuaia C n+ 2 = 2 , n N .

0 1 2 3 4 12. S se calculeze C 4 C 4 + C 4 C 4 + C 4 . 2 2 13. S se calculeze C5 A4 + 6.2 14. S se calculeze A5 P3 . 2 15. S se rezolve ecuaia C x = 21 , x N . 16. Se consider mulimea A = {1,2,3,4}. S se determine cte numere formate din 4 cifre distincte se pot forma cu elemente ale mulimii A. 17. Se consider mulimea A = {1,2,3,4,5}. S se determine cte numere formate din 3 cifre distincte se pot forma cu elemente ale mulimii A. 18. S se calculeze numrul submulimilor cu 2 elemente ale unei mulimi cu 6 elemente. 2 19. S se rezolve ecuaia An = 12 , n N . 5 5 4 20. S se calculeze C 7 C 6 C6 . 2 2006 21. S se calculeze C 2008 C 2008 . 2 998 22. S se calculeze C1000 C1000 .

3

2 2 1 23. S se calculeze C 2008 C2007 C 2007 . 24. S se calculeze 0!+1!+2!+3!. 1 25. S se arate c C5 + 1 = 3!. 2 4 26. S se calculeze C 6 C 6 .

2 3 27. S se calculeze C 4 + C 4 . 1 3 5 4 28. S se verifice c C5 + C5 + C5 = 25 3 29. S se calculeze C8 C8 .

1 P2 + C 4 . 1 A3 2!+3! . 31. S se calculeze 1 C8

30. S se calculeze

1 2 32. S se calculeze 2C3 A3 .

2 3 33. S se calculeze C 4 + C 4 .0 1 34. S se determine valorile naturale ale numrului n astfel nct C n + C n = 8 . 4.Probabiliti. 1. Se consider toate numerele naturale de cte trei cifre scrise cu elemente din mulimea {1;2} . S calculeze probabilitatea ca, alegnd un astfel de numr, acesta s fie divizibil cu 3. 2. S calculeze probabilitatea ca, alegnd un numr din mulimea 3 1, 3 2 , 3 3 ,..., 3 30 , acesta s fie numr raional. 3. S calculeze probabilitatea ca, alegnd un numr din mulimea 2 , 3 , 4 ,..., 10 , acesta s fie numr raional. 4. S calculeze probabilitatea ca, alegnd un numr din mulimea 2 , 3 , 4 ,..., 11 , acesta s fie numr iraional. 5. S calculeze probabilitatea ca un element al mulimii {0;1;2;3;4;5} acesta s verifice inegalitatea n!< 50 . 2 2 3 6. S calculeze probabilitatea ca, alegnd unul dintre numerele C 4 ,C5 i C 4 acesta s fie divizibil cu 3. 7. S calculeze probabilitatea ca, alegnd un element al mulimii {1;2;3;4;5} acesta s verifice inegalitatea n 2 2 n. 8. S calculeze probabilitatea ca, alegnd un element al mulimii {1;2;3;4} acesta s verifice inegalitatea n! n 2 . 1 3 9. S calculeze probabilitatea ca, alegnd unul dintre numerele P3 , A3 i C 4 acesta s fie divizibil cu 3. 10. S calculeze probabilitatea ca, alegnd un element al mulimii {3;4;5;6} acesta s verifice inegalitatea n( n 1) 20. 11. S se calculeze probabilitatea ca alegnd un element n al mulimii A = {1,2,3,4} , acesta s verifice inegalitatea n!< 5 . 12. S se calculeze probabilitatea ca alegnd un element n al mulimii {11,12,..., 20} acesta s fie numr prim. 13. S se calculeze probabilitatea ca alegnd un numr natural de dou cifre acesta s fie cub perfect.

{

}

{

}

{

}

1. Firma F1 are un capital iniial de 10 000 lei i n anul 2007 a realizat un profit de 5000 lei. Exprimai n raport cu capitalul iniial procentul pe care-l reprezint profitul firmei. 4

2. S se calculeze TVA-ul pentru un produs, tiind c preul de vnzare al produsului este de 238 lei (procentul TVA-ul este de 19%). 3. Dup o reducere cu 10% un produs cost 99 lei. S se determine preul produsului nainte de reducere. 4. Dup dou scumpiri succesive cu 10%, respectiv 20% preul unui produs este de 660 lei. S se determine preul iniial al produsului.

5.Progresii.Exerciii tipice pentru bacalaureat 1. S se determine valorile reale pozitive ale numrului x, tiind c lg x ,3 i lg x sunt trei termeni 2

consecutivi ai unei progresii aritmetice. 2. S se determine al zecelea termen al irului 1, 7, 13, 19, ... . 3. S se calculeze suma primilor 5 termeni ai unei progresii aritmetice (a n ) n1 , tiind c a1 = 1 i a2 = 3. 4. S se demonstreze c pentru orice x R numerele 3 x 1,3 x +1 i 5 3 x + 1 sunt termeni consecutivi ntr-o progresie aritmetic. 5. S se calculeze suma 1+5+9+13+...+25. 1 6. S se determine al noulea termen al unei progresii geometrice, tiind c raia este egal cu i primul 3 termen este 243. 1 1 1 1 7. S se calculeze suma 1 + + 2 + 3 + 4 . 3 3 3 3 8. S se determine numrul real x, tiind c 2 x 1 , 4 x i 2 x +1 + 3 sunt trei termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. 9. S se determine numrul real x, tiind c x 3 , 4, x + 3 sunt trei termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. 10. S se calculeze suma 1+3+5+...+21. 11. Se consider progresia aritmetic (an ) n1 n care a3 = 5 i a6 = 11 . S se calculeze a9 . 12. S se calculeze suma 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + .. + 2 7. 13. Se consider progresia aritmetic (an ) n1 n care a1 = 1 i a5 = 13 . S se calculeze a2008 . 14. S se determine raia unei progresii aritmetice (an ) n1 , tiind c a10 a 2 = 16 . 15. Se consider progresia aritmetic (an ) n1 n care a1 = 2 i a 2 = 4 . S se calculeze suma primilor 10 termeni ai progresiei. 16. Se consider progresia geometic (bn ) n1 n care b1 = 2 i b2 = 6 . S se calculeze b5 . 17. S se determine numrul real x, tiind c irul 1,2 x + 1,9,13,... este progresie aritmetic. 18. Se consider progresia aritmetic (an ) n1 n care a1 = 6 i a 2 = 5 . S se calculeze a7 . 19. Se consider progresia aritmetic (an ) n1 n care a2 = 5 i r = 3 . S se calculeze a8 . 20. Se consider progresia geometric (bn ) n1 n care b1 = 1 i b2 = 3 . S se calculeze b4 . 21. Se consider progresia aritmetic (an ) n1 n care a1 = 7 i a 2 = 37 . S se calculeze suma primilor 10 termeni ai progresiei. 22. Se consider progresia aritmetic (an ) n1 n care a1 = 3 i a3 = 7 . S se calculeze suma primilor 10 termeni ai progresiei. 23. S se calculeze suma 1 + 11 + 21 + 31 +...+ 111. 5

24. S se determine numrul real x tiind c numerele x+1, 2x 3 i x 3 sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. 25. S se determine numrul real pozitiv x tiind c irul 1, x, x+2, 8, ... este progresie geometric. 26. S se determine suma primilor 6 termeni ai progresiei aritmetice (an ) n1 , n care a1 = 2 i a 2 = 5. 27. S se determine numrul real x tiind c numerele 5 x, x +7 i 3x +11 sunt termenii consecutivi ai unei progresii geometrice. 1 28. S se arate c numerele log 2 2, C3 i 5 sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. 29. S se determine suma primilor trei termeni ai unei progresii geometrice, tiind c suma primilor doi termeni ai progresiei este egal cu 8, iar diferena dintre al doilea termen i primul termen este egal cu 4. 30. S se calculeze al cincilea termen al unei progresii aritmetice tiind c primul termen al progresiei este 7 i al doilea termen este 9. 31. S se determine raia progresiei geometrice (bn ) n1 tiind c b1 = 3 i b2 b1 = 3. 32. S se demonstreze c irul cu termenul general an = 2n + 3, verific relaia a n+1 a n = 2, pentru orice n N * . 33. S se arate c numerele 1, log 3 9 i 3 64 sunt termeni consecutivi dintr-o progresie geometric. 34. S se determine numrul real x, tiind c numerele x 1, 2x 2 i x + 3 sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. 35. S se determine numrul real x, tiind c numerele x 1, x+1 i 2x + 5 sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice. 36. S se determine produsul primilor trei termeni consecutivi ai unei progresii geometrice (bn ) n1 tiind c primul termen este egal cu 1 i raia este q= 2. 6.Ecuaia de gradul al II lea. Exerciii tipice pentru bacalaureat 1 1 + , tiind c x1 i x2 sunt soluiei ecuaiei x 2 x 2 = 0. 1. S se calculeze x1 x2 2. S se calculeze x1 + x2 + x1 x2 tiind c x1 i x2 sunt soluiei ecuaiei x 2 2 x 2 = 0. 3. S se determine m R , tiind c x R | x 2 (m + 2) x + m + 1 = 0 = {1} . 4. S se demonstreze c dac x1 este soluie a ecuaiei x 2 2008 x + 1 = 0 , atunci x1 +1 = 2008 . x1

{

}

5. S se demonstreze c, dac a R * , atunci ecuaia ax 2 (2a + 1) x + a + 1 = 0 are dou soluii reale distincte. 6. S se demonstreze c pentru orice a real, ecuaia de gradul al doilea (1 + cos a) x 2 ( 2 sin a) x + 1 cos a = 0 admite soluii reale egale. 7. S se determine o ecuaie de gradul al II lea ale crei soluii x1 i x2 verific simultan relaiile x1 + x2 = 2 i x1 x2 = 3. 8. S se demonstreze c ecuaia x 2 2 x + 1 + a 2 = 0 nu admite soluii reale, oricare ar fi a R * . 9. S se determine m R , tiind c soluiile x1 , x2 ale ecuaiei x 2 ( 2m + 1) x + 3m = 0 verific realia x1 + x2 + x1 x2 = 11 . 2 10. Se consider ecuaia x 2 + 3 x 5 = 0 cu soluiile x1 i x2 . S se calculeze x12 + x2 . 11. Se consider ecuaia x 2 + mx + 2 = 0 cu soluiile x1 i x2 . S se determine valorile reale ale lui m pentru care ( x1 + x2 ) 2 2 x1 x2 = 5 . 12. S se formeze o ecuaie de gradul al doilea, tiind c aceasta are soluiile x1 = 2 i x2 = 3 . 6

13. Se consider ecuaia x 2 x + m = 0 cu soluiile x1 i x2 .S se determine numrul m pentru care 1 1 3 + = . x1 + 1 x2 + 1 4 14. S se determine valoriele reale ale numrului m pentru care x=5 este soluie a ecuaiei m 2 ( x 1) = x 3m + 2. 15. S se determine m R astfel nct x 2 (m 3) x + m 3 > 0, pentru orice x real. 16. S se determine valorile reale ale parametrului m tiind c soluiile x1 i x2 ale ecuaiei x 2 + (m 1) x + 3 = 0 verific egalitatea x1 = 3 x2 . 17. S se calculeze valoarea expresiei E ( x) = x 2 4 x 1 pentru x = 2 + 5. 18. S se determine valorile reale ale parametrului m astfel nct ecuaia x 2 + mx + 9 = 0 sadmit dou soluii egale. 2 19. S se arate c soluiile x1 i x2 ale ecuaiei x 2 x 1 = 0 verific relaia x12 + x2 = x1 + x2 + 2. 1 1 + . 20. tiind c x1 i x2 sunt soluiile ecuaiei x 2 2008 x + 1 = 0, s se calculeze x1 x2 21. S se determine valorile reale ale numrului m tiind c soluiile x1 i x2 ale ecuaiei x 2 mx m 6 = 0 verific relaia 4( x1 + x2 ) + x1 x2 = 0. 22. S se demonstreze c pentru orice m R ecuaia x 2 + mx m 2 1 = 0 are dou soluii reale distincte. 23. Ecuaia x 2 + px p = 0, cu p R, are soluiile x1 i x2 . S se verifice dac expresia x1 + x2 x1 x2 este constant. 24. Se consider ecuaia de gradul al II lea x 2 x + m = 0 . S se determine m R astfel nct ecuaia s admit soluii de semne contrare. 25. S se arate c produsul soluiilor ecuaiei mx 2 2008 x m = 0 este constant, m R * . 26. S se determine numrul real m astfel nct soluiile ecuaiei x 2 mx 1 = 0 s fie numere reale opuse. 27. S se determine parametrul real m astfel nct soluiile ecuaiei x 2 3 x + m = 0 s fie inverse una alteia. 28. S se determine m R * astfel nct soluiile ecuaiei x 2 3 x + m = 0 s aib semne opuse. 7. Ecuaii iraionale. Exerciii tipice pentru bacalureat 1. S se determine soluiile reale ale ecuaiei 2 + x = x. 2. S se determine soluiile reale ale ecuaiei x + 1 = 5 x. 3. S se rezolve n R ecuaia x 5 = 2. 4. S se determine soluiile reale ale ecuaiei 5. S se determine soluiile reale ale ecuaiei 6. S se rezolve ecuaia x + 1 = x 1. 7. S se rezolve ecuaia 9. S se rezolve ecuaia 10. S se rezolve ecuaia 11. S se rezolve ecuaia

x 2 x 2 = 2. 7 x = 1.

x2 x 2 = x 2 . x2 4 + x 2 = 0 .

8. S se rezolve ecuaia 5 x 2 = 2.

x2 +1 = 0 . 3x + 4 = 2 x .7

12. S se rezolve ecuaia 13. S se rezolve ecuaia

3

x3 + x + 1 = xx 2 + 2 x 3 = 2 3.

14. S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia

x 1 = x 2 x 2. 15. S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia x 1 2 = 0. 16. S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia 3 1 x = 28. Ecuaii exponeniale Exerciii tipice pentru bacalaureat

1 1. S se determine soluiile reale ale ecuaiei 3 = . 3 x x +3 2. S se determine soluiile reale ale ecuaiei 2 + 2 = 36 . 3. S se determine soluiile reale ale ecuaiei 4 x 3 2 x + 2 = 0. 4. S se rezolve ecuaia 2 x +3 2 x = 28. 1 x 5. S se determine soluiile reale ale ecuaiei 125 = . 5 x 1 6. S se determine soluiile reale ale ecuaiei 2 + 2 x = 12 . 7. S se rezolve n R ecuaia 2 x 14 2 x = 5. 2 8. S se rezolve n R ecuaia 4 x + 2 = 2 x +5 . 9. S se rezolve ecuaia 9 x 4 3 x + 3 = 0 . 2 10. S se rezolve ecuaia 2 x +3 x 2 = 8. 11. S se rezolve ecuaia 2 x 1 = 4 . 2 12. S se rezolve ecuaia 2 x + x +1 = 8. 13. S se rezolve ecuaia 31x = 9. 5 x x 14. S se rezolve ecuaia 2 + 2 = . 2 x x +1 15. S se rezolve ecuaia 3 + 2 3 = 7. 1 4x 16. S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia x = . 2 8 x 2 3 17. S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia x = . 2 3 18. S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia 3 x 5 x = 15. 1 19. S se rezolve ecuaia x = 4. 2 20. S se rezolve ecuaia (3 + 2 2 ) x = (1 + 2 ) 2 . 21. S se rezolve ecuaia 32 x + 2 3 x 3 = 0. 22. S se rezolve ecuaia 2 log 2 x = 4. 1 23. S se rezolve ecuaia x = 9. 3x2

x

8

9.Ecuaii logaritmice. Exerciii tipice pentru bacalureat 1. S se determine soluiile reale ale ecuaiei 2. S se determine soluiile reale ale ecuaiei 3. S se determine soluiile reale ale ecuaiei 4. S se determine soluiile reale ale ecuaiei log 5 (3 x + 4) = 2.

log 2 ( x + 2) + log 2 x = 3. log 2 ( x + 2) log 2 ( x 5) = 3. log 3 ( x 2 6) = log 3 (2 x 3).

2 5. S se determine soluiile reale ale ecuaiei log 3 ( x 4 x + 4) = 2. 6. S se determine soluiile reale ale ecuaiei log 2 ( x 3) = 0. 7. S se rezolve ecuaia log 2 (2 x + 5) = log 2 ( x 2 + 3 x + 3). 2 8. S se rezolve ecuaia log 3 ( x 1) = 1.

9. S se rezolve ecuaia log 2 ( x 2 4) = log 2 ( x 2 3 x + 2). 10. S se determine soluiile reale ale ecuaiei log 2 ( x 2 x 2) = 2. 11. S se rezolve n mulimea numerelor reale pozitive ecuaia log 2 x 2 = 2. 12. S se rezolve ecuaia log 2 x + 1 = 1. 13. S se determine soluiile reale ale ecuaiei log 5 (3 x + 1) = 1 + log 5 ( x 1). 14. S se rezolve reale ecuaia log 2 ( x 2 x 2) log 2 (2 x 4) = 1. 15. S se rezolve n mulimea numerelor reale eucaia log 4 ( 2 x +1 1) = 0. 16. S se rezolve n mulimea numerelor reale ecuaia log 2 3 x = 1. 17. S se rezolve ecuaia lg 2 x 4 lg x + 3 = 0.

10.Inecuaii.Exerciii tipice pentru bacalureat 1. S se calculeze suma soluiile ntregi ale inecuaiei x 2 5 x + 5 1. 2. S se determine soluiile ntregi ale inecuaiei ( x 1) 2 + x 7 < 0. 2x + 3 1. 3. S se determine soluiile reale ale inecuaiei 2 x + x +1 4. S se determine mulimea valorilor reale pentru care 4 3x + 2 4 . 5. S se determine elementele mulimii A = { x N || 2 x 1 | 1} . 6. S se arate c ( x 1)( x 2) > x 3, x R . 7. S se rezolve inecuaia (2 x 1) 2 9. 8. S se determine soluiile reale ale inecuaiei x 2 9 0 . 9. S se rezolve n mulimea numerelor reale inecuaia (2 x 1)( x + 1) x + 11. 10. S se determine soluiile reale ale inecuaiei x 2 5 x + 6 0. 11. S se determine valorile reale ale lui x pentru care x( x 1) x + 15. 12. S se determine mulimea valorilor lui x pentru care 4 < 3 x + 2 < 4. 13. S se determine m R astfel nct x 2 (m 3) x + m 3 > 0, pentru orice x real. 14. S se rezolve inecuaia ( x 2 1)( x + 1) 0. 9

11.Vectori n plan.Exerciii tipice pentru bacalaureat 1. Fie punctele A( 2;1) i B (1;3). S se determine numerele reale a i b astfel nct AB = ai +bj . 2. n reperul cartezian xOy se consider punctele A(4;8) i B(6;3). S se determine coordonatele vectorului 3. S ase determine numrul real a tiind c vectorii u = 2i + aj i v = 3i + (a 2) j sunt coliniari. 4. n reperul cartezian ( O, i , j ) se consider vectorii u = 3i + 2 j i v = 5i j . S se determine coordonatele vectorului 5u + 3v . . 5. Se consider triunghiul echilateral ABC nscris ntr-un cerc de centru O. S se arate c OA + OB + OC = 0 . 6. n reperul cartezian xOy se consider vectorii OA(2;3) i OB(1,2) . S se determine numerele reale i pentru care vectorul 3OA 5OB are coordonatele ( ; ) . AB 7. Dac AB + 2CB = 0 , s se determine valoarea raportului . BC 8. n reperul cartezian xOy se consider vectorii OA(2;1) i OB(1,2) . S se determine coordonatele vectorului OM , unde M este mijlocul segmentului AB. 9. Fie ABC un triunghi echilateral nscris ntr-un cerc de centru O. S se calculeze AB + AC 3 AO . 10. S se determine numrul real m pentru care vectorii v = 2i + 3 j i w = i + mj sunt coliniari. 11. Se consider triunghiul echilateral ABC de cnetru O. Dac punctul M este mijlocul segmentului BC, s se determine numrul real a astfel nct AO = a AM . 12. S se arate c, dac AB = 2 AC , atunci C este mijlocul segmentului AB. 13. S se demonstreze c n hexagonul regulat ABCDEF, are loc relaia

OA +OB .

A D = 2( AB + AF) .

14. Se consider patrulaterul ABCD n care DC + BC = AC S se demonstreze c ABCD este paralelogram. 15. Se consider ptratul ABCD, de centru O. S se calculeze OA + OB + OC + OD . 16. Se consider paralelogramul ABCD. S se calculeze AB + CD. 17. Se consider punctele distincte A, B i C. S se demonstreze c dac AB + AC =2 AM , atunci M este mijlocul segmentului BC. 18. Fie punctele distincte A, B, C, D nu toate coliniare. tiind c AB + CD = 0 , s se demonstreze c patrulaterul ABCD este paralelogram

12.TRIGONOMETRIEExerciii tipice pentru bacalaureat 1. Se consider triunghiul ABC avnd aria egal cu 15. S se calculeze sin A tiind c AB=6 i AC=10. 2. Se consider triunghiul ABC cu AB=4, AC= 7 i BC= 3 . S se calculeze cos B. 3. S se calculeze aria triunghiul ABC tiind c AC=2, m(BAC ) = 30 0 i AB=4. 4. S se calculeze aria triunghiul ABC tiind c AB = AC = 2 , m(A) = 30 0. 5. S se afle raza cercului circumcris triunghiul ABC tiind c AB=3 i m(C ) = 30 0.

10

6. Fie triunghiul dreptunghic ABC i D mijlocul ipotenuzei BC. S se calculeze lungimea laturii AB tiind c AC=6 i AD=5. 7. Se consider triunghiul ABC cu AB=1, AC=2 i BC= 5 . S se calculeze cos B. 8. Se consider triunghiul ABC cu AB=5, AC=6 i BC=7. S se calculeze cos A. 9. S se calculeze aria triunghiul ABC tiind c AB= 2 3 , AC= 3 i m(BAC ) = 60 0 . 10. S se calculeze lungimea laturii BC a triunghiului ABC tiind c AB=6, AC=10 i m(BAC ) = 60 0 . 11. S se afle raza cercului circumcris triunghiul ABC tiind c BC=8 i m(A) = 45 0. 12. Se consider triunghiul ABC de arie egal cu 6, cu AB=3 i BC=8. S se calculeze sin B. 13. Se consider triunghiul ABC de arie egal cu 7. S se calculeze lungimea laturii AB tiind c AC=2 i c m(A) = 30 0. 14. S se calculeze perimetrul triunghiului ABC, tiind c AB=2, BC=4 i m(B ) = 60 0 . 15. S se calculeze perimetrul triunghiului ABC, tiind c AB=5, AC=4 i m(A) = 60 0 . 16. S se calculeze sin 135 0 . 17. S se calculeze sin 2 100 0 + cos 2 80 0 . 18. S se calculeze sin 2 130 0 + cos 2 50 0 . 19. S se calculeze lungimea nimii din A n triunghiul ABC tiind c AB=3, AC=4 i BC=5. 3 20. Raza cercului cirmumscris triunghiului ABC este , iar BC=3. S se calculeze sinA. 2 2 0 2 0 21. S se calculeze sin 135 + cos 45 . 22. S se determine numrul real x pentru care x, x+7 i x+8 sunt lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic. 23. S se calculeze aria triunghiului ABC tiind c AB=6, AC=8 i BC=10. 24. S se calculeze sinA, tiind c n triunghiul ABC se cunosc AB=4, BC=2 i m(C ) = 60 0 . 25. S se calculeze sin 120 0 . 26. S se calculeze aria triunghiului ABC tiind c AB= 3 , AC=6 i m( A) = 120 0 . 0 0 27. S se calculeze sin 170 sin 10 . 28. MN=3, MP=5 i m(M ) = 60 0. S se calculeze lungimea laturii NP. 29. Un triunghi dreptunghic are ipotenuza de lungime 6. S se determine lungimea medianei corespunztoare ipotenuzei. 30. S se calculeze sin 2 80 0 + sin 2 10 0 . 31. triunghiului. 32. S se calculeze tg 2 30 0 + ctg 2 45 0 . 33. S se calculeze cos 10 0 + cos 20 0 + cos 160 0 + cos 170 0 . 3 34. S se calculeze cos x, tiind c sin x = i x (0 0 ;90 0 ) . 5

13.ECUAIA DREPTEI N PLAN

1. S se determine ecuaia dreptei ce trece prin punctele A( 2;1) i B (1;2). 2. S se determine numrul real a tiind c dreptele 2 x y + 3 = 0 i ax + 2 y + 5 = 0 sunt paralele. 3. Se consider punctele A(1, a), B (2,1), C (3,2) i D(1,2). S se determine numrul real a tiind c dreptele AB i CD sunt paralele. 4. S se determine ecuaia dreptei care conine punctul A(1;1) i este paralel cu dreapta 4 x + 2 y + 5 = 0. 11

5. S se determine ecuaia dreptei care conine punctul A(2;3) i este perpendiculara cu dreapta x + 2 y + 5 = 0. 6. S se calculeze aria triunghiului ABC determinat de punctele A(1;2), B(1;1), C (3;5) n reperul cartezian xOy. 7. S se determine ecuaia dreptei care conine punctele A(2;3) i B (3;2). 8. S se calculeze aria triunghiului echilateral ABC tiind c A(1;1) i B(3;2). 9. S se calculeze lungimea segmentului AB, determinat de puntele A(2;3) i B(5;1) , n reperul cartezian xOy. 10. S se determine coordonatele punctului C tiind c el este simetricul punctului A(5;4) fa de punctul B( 2;1 ). 11. S se deermine numrul real a, tiind c lungimea segmentului determinat de punctele A(1;2) i B (4 a;4 + a ) este egal cu 5. 12. S se determine distana dintre punctele A(3;1) i B(1;2) . 13. S se determine coordonatele mijlocului segmentului AB, tiind c A(5;4) i B(3;6) . 14. n reperul cartezian xOy se consider punctele A(1;2) , B(5;2) i C (3;1) . S se calculeze perimetrul triunghiului ABC. 15. n reperul cartezian xOy se consider punctele A(5;1) i B(3;1) . S se determine coordonatele simetricului A fa de punctul B. 16. S se determine numrul real pozitiv a astfel nct distana dintre punctele A( 2;1) i B (1; a ) s fie egal cu 5. 17. n reperul cartezian xOy se consider punctele A(1;2) , B(1;2) i C (2;1) . S se calculeze distana de la punctul C la mijlocul segmentului AB. 18. n reperul cartezian xOy se consider punctul A(m 2 ; m) i dreapta de ecuaie d : x + y + m = 0 . S se determine valorile reale ale lui m pentru care punctul A se afl pe dreapta d. 19. S se determine m R pentru care punctele A(2;4), B(3;3) i C(m;5) sunt coliniare. 20. S se determine m R pentru care distana dintre punctele A(2, m) i B(m,2) este egal 4 2 . 21. S se determine lungimea nlimii din O n triunghiul MON, unde M(4;0), N(0;3) i O(0;0). 22. S se determine ecuaia dreptei care trece prin punctul A(3;0) i intersecteaz axa Oy n punctul de ordonat 4. 23. S se determine valorile reale ale lui m astfel nct punctele A(1;3), B(2;5) i C(3;m) s fie coliniare. 24. S se determine coordonatele punctului B, tiind c punctul C(3;5) este mijlocul segmentului AB i c A(2;4). 25. Se consider n reperul cartezian xOy punctele A(3;2), B(2;3) i M mijlocul segmentului AB. S se determine lungimea segmentului OM.

12