Curs 11. Ce înţelegeţi prin proprietăţi topologice?

Proprietetile topologice sunt proprietatile care decurg exclusive din modul de interconectare a laturilor unui circuit fara a fi afectate de natura fizica a elementelor de circuit.

2. Enumeraţi modalităţile de exprimare a topologiei unui circuit.Se exprima:

grafic: prin graful liniar orientat (GLO) analitic prin teoremele lui Kirchoff TKI, TKV

3. Definiţi calea (bucla, ochiul) într-un GLO.Calea este o succesiune de laturi formata intre doua noduri terminale aca cele doua noduri terminale au incidente

cate o singura latura a caii, iar celelalte noduri ale caii au incidente cate doua laturi. Cu alte cuvinte, o cale este o succesiune de laturi fara a trece de doua ori prin acelasi nod.

Bucla este o cale inchisa pe ea insasi; toate nodurile buclei au incidente cate doua si numai doua laturi.Ochiul este o bucla in interiorul careia nu sunt reprezentate alte noduri ale grafului.

4. Definiţi GLO izomorfDoua GLO sunt izomorfe daca reprezinta aceleasi proprietati topologice, dar cu o alta asezare a elementelor in

plan.

5. Definiţi o secţiune într-un GLO.Sectiunea unui graf conex este formata dintr-un numar minim de laturi, a caror inlaturare separa graful topologic in

doua si numai doua parti conexe.

6. Explicaţi structura matricii de incidenţă (a buclelor fundamentale, a secţiunilor fundamentale).Matricea de incidenta descrie incidenta laturilor la noduri. Matricea completa de incidenta (N) contine referiri la

toate cele n noduri ale circuitului si se defineste prin:

N=[a ij] unde: aij = 1 daca latura j este incidenta nodului i si sensul sau iese din nod; aij = -1 daca latura j este incidenta nodului i si sensul sau intra in nod; aij = 0 daca latura j nu este incidenta nodului i.

Matricea completa de incidenta este de dimensiuni n * l si are pe fiecare coloana (corespunzatoare unei laturi) numai doua elemente nenule: un +1 in linia corespunzatoare nodului din care iese latura si un -1 in linia corespunzatoare nodului in care latura intra.

Matricea de incidenta (Ni) asociata unui graf conex se obtine eliminand o linie (oarecare) din matricea completa de incidenta.

Matricea sectiunilor descrie apartenenta laturilor la sectiuni. Pentru moment vom considera alegerea arbitrara a unui sens pentru fiecare sectiune. Matricea completa a sectiunilor este matricea:

Q=[q ij] unde elementele matricii sunt: qij = 1 daca latura j face parte din sectiunea i si sensul coincide cu sensul sectiunii; qij = -1 daca latura j face parte din sectiunea i si sensul sau este invers sensului sectiunii; qij =0 daca latura j nu face parte din sectiunea i.

Numim sectiune fundamentala o sectiune care contine o singura ramura si, in rest, coarde. Aceasta ramura: (1) va individualiza sectiunea deoarece nu apare in nici o alta sectiune fundamentala, (2) va da numele (numarul) sectiunii si (3) va preciza sensul de referinta al sectiunii.

Matricea sectiunilor fundamentale este matricea care descrie apartenenta laturilor la sectiunile fundamentale,

conform relatiei Q=[q ij]Matricea buclelor este o matrice de forma:

B=[bij ] unde elementele matricii sunt: bij = 1 daca latura j face parte din bucla i si sensul sau coincide cu sensul buclei;

bij = -1 daca latura j face parte din bucla i si sensul sau este invers sensului buclei; bij = 0 daca latura j nu face parte din bucla i.

Matrica completa a buclelor contine referiri la toate buclele ce pot fi identificate in graf. Numin bucla fundamentala o bucla care contine o singura coarda si , in rest, ramuri. Aceasta coarda: (1) va indidualiza bucla deoarece nu apare nici o alta bucla fundamentala, (2) va da numele (numarul) buclei si (3) va preciza sensul de referinta al buclei.

Matricea buclelor fundamentale este matricea care descrie apartenenta laturilor la buclele fundamentale, conform

relatiei B=[bij ]7. Definiţi circuitele duale.

Doua circuite sunt duale atunci cand comportamentul in curent al unuia este identic cu comportamentul in tensiune al celuilalt.

8. Ce condiţie trebuie să îndeplinească GLO al unui circuit pentru a exista topologia duală?Un GLO este planar daca el poate fi reprezentat in plan fara ca laturile sa se intersecteze.Pentru ca un GLO sa admita dual, este necesar ca el sa fie planar. In caz contrar, intersectia de laturi presupusa

inevitabila de lipsa de planaritate face imposibila definirea clara a ochiurilor.

9. Enunţaţi etapele pentru obţinerea topologiei duale.Un GLO este planar daca el poate fi reprezentat in plan fara ca laturile sa se intersecteze.

Etapele pentru obtinerea topologiei duale:1. Se constuieste GLO al circuitului dat, cu precizarea arborelui sau;2. In fiecare ochi al sau se plaseaza nod al dualului (acestea se numeroteaza arbitrar);3. Se amplaseaza un nod suplimentar, in extariorul grafului dat (acesta este nodul presupus eliminat la formarea

matricii de incidenta);4. Se unesc nodurile duale prin laturi duale astfel ca fiecare latura data sa fie intersectata de duala sa si numai de ea;5. Se orienteaza arbitrar una din laturile duale si se precizeaza sensurile celorlalte laturi duale asfel ca toate

intersectiile sa fie orientate la fel.

10. Cum se orientează laturile grafului dual?Se orienteaza laturile lui G* astfel: pentru laturile de legatura cu nodul de referinta daca latura l intersectata are

orientarea buclei fundamentale, atunci latura l* pleaca din nodul G*, in caz contrar, orientarea este inversa; pentru laturile ce leaga nodurile independente, orientarea laturii este dictata de nodul din care se pleaca.

11. Care este elementul dual unui condensator? Demonstraţi.

u=L didt

iI

=CI du

I

dt CI

=LDefinitia dualitatii presupune schimbarea intre ele a simbolurilor u ↔ i.

12. Ce condiţii trebuie să îndeplinească un circuit pentru a putea fi caracterizat prin funcţii de circuit?Funcţiile de circuit (f.d.c) se definesc în vederea caracterizării „la borne” a circuitelor electrice liniare, invariante şi

cu parametri concentraţi.

13. Arătaţi cum se defineşte f.d.c. pornind de la ecuaţia diferenţială.Sa presupunem un circuit linear invariant cu parametrii concentrati, cu o intrare si o iesire. Consideram ecuatiia

diferentiala:

ce descrie functionarea circuitului dat.Pentru definirea functiei de circuit consideram conditiile initiale nule si aplicam transformata Laplace ecuatiei de

mai sus:

Functia de circuit – H(s) – este egala cu raportul imaginilor Laplace ale raspunsului si excitatiei care a produs acel

raspuns: H ( s )=

Y ( s )X (s )

14. Arătaţi legătura între f.d.c. şi funcţia pondere.Functia de circuit este imaginea Laplace a functiei pondere.

H ( s )=L {y ( t )}L {x ( t )}

=L {h (t )}L{δ ( t )}

=L {h( t )} deoarece L {δ ( t )}=1

Curs 21. Arătaţi cum se determină ordinul unui circuit când se cunoaşte structura sa.

Ordinul unui circuit este egal cu numarul de elemente reactive, din care se scade cate o unitate pentru fiecare bucla-C liniar independenta si pentru fiecare sectiune-L liniar independenta.

Numim bucla-C o bucla formata numai din condensatoare, eventual si surse ideale de tensiune. Numim sectiune-L o sectiune formata numai din bobine, eventual si surse ideale de curent.

2. Ce înţelegeţi prin separabilitatea blocurilor funcţionale?Un bloc este separabil atunci cand el se comporta identic cand functioneaza in gol, sau conectat pe sarcina.

3. Dacă două blocuri nu sunt separabile, cum pot fi, totuşi, separate?Daca blocurile nu sunt separabile, ele pot fi separate daca se reproduce la iesirea celui din amonte sarcina

exercitata de cel din aval.

4. Definiţi GF.Graful de fluenta este o reprezentare simplificata a schemei-bloc a unui sistem.Graful de fluenţă (de semnal) este format din:

o mulţime de puncte în plan (numite noduri) asociate unor mărimi fizice o mulţime de arce orientate (numite laturi) care leagă nodurile. fiecărei laturi i se asociază transmitanţa tkj cu semnificaţia:

a) latura este orientată de la nodul j la nodul k b) mărimea din origine aduce o contribuţie la formarea mărimii din extremitate c) mărimea din extremitate este egală cu suma contribuţiilor transmise prin laturile convergente nodului:

5. Definiţi latura (nodul, calea,...) pentru un GF.Latura = un arc ce leaga doua noduri.Nod = punct asociat unei marimi fizice.Nod sursa = are incidente numai laturi divergente.Nod sarcina = are incidente numai laturi convergente.Nod intermediar = are incidente si laturi divergente si laturi convergente.Calea = o succesiune de laturi orientate in acelasi sens fara a trece de doua ori prin acelasi nod.Bucla = o cale inchisa pe ea insasi.Bucla proprie a unui nod = o bucla cu o singura latura.

6. Deduceţi matricea de conexiuni.In general, un sistem de ecuatiialgebrice lineare se srie matriceal: A∙Y=B∙X unde:

este vectorul necunoscutelor (răspunsurilor)

T1 2 mm 1 x x x X

k kj jj

x t x

n m

n 1 0 n 1 0n m

d y(t) dy(t) d x(t) dx(t)a a a y(t) b b b x(t)

dt dtdt dt

n mn 1 0 m 1 0a s a s a Y(s) b s b s b X(s)

1y

2y

ny

111 a

221 a

nn1 a

12a 1na 11b 12b 1mb

21b 22b 2mb

n1b n2b nmb

21a 2na

n1a n2a

1y

2y

ny

1x

2x

mx

1y 2y ny 1x 2x mx

este vectorul excitaţiilor

sunt matricile coeficienţilor

Ecuatia se scrie succesiv

Matricea se numeste matrice de conexiuni a grafului de fluenta.

7. Arătaţi cum se construieşte un graf pornind de la matricea de conexiuni.

Construcţia GF 1) Se amplasează câte un nod pentru fiecare coloană a matricii de conexiune2) Pentru fiecare element nenul, se duce o latură de la nodul asociat coloanei la nodul asociat liniei3) Pe latura grafului se notează, ca transmitanţă, valoarea elementului nenul

8. Enumeraţi diferenţele între GLO şi GF.Intre GLO si GF exista urmatoarele diferente:

1. Nodurile in graful de fluenta corespund unor marimi fizice, pe cand la GLO ele corespund unor puncte din spatiu situate la intresectia conductoarelor de legatura.

2. Sensul unei laturi in graful de fluenta indica marimea din stanga ecuatiei, pe cand in GLO el indica doar semnul + sau – al cutenrului care parcurge latura respectiva.

9. Definiţi transmitanţele globale.In GF care are numai noduri sursa si noduri sarcina se numeste ireductibil. Transmitantele unui graf ireductibil sunt transmitantele globale ale grafului.

10. Enunţaţi regula lui Mason.Regula lui Mason permite determinarea transmitanţei globale de la un nod sursă la un nod oarecare (sarcină sau intermediar) prin relaţia

unde: este determinantul GF

P1m este transmitanţa buclei m (produsul transmitanţelor laturilor care o compun); P2m este transmitanţa perechii m de bucle neadiacente (care nu au nici un nod comun); P3m este transmitanţa tripletului m de bucle neadiacente două câte două; Tk este transmitanţa căii k de la nodul sursă la nodul considerat (produsul transmitanţelor laturilor care compun

calea). Δk este determinantul sub-grafului neadiacent căii (se obţine din graful dat eliminând toate nodurile căii

respective).

11. Definiţi tripletul de bucle neadiacente.Trei bucle care nu au nici un nod in comun.

12. Definiţi determinantul minor al unei căi.Determinantul minor al unei cai este determinantul sub-grafului neadiacent căii (se obţine din graful dat eliminând toate nodurile căii respective).

n Y 1 A Y B X n

YY 1 A B

X n T 1 A B

ij k kk

1T T

1m 2m 3m

m m m

1 P P P

T1 2 nn 1 y y y Y

n n ; n m A B

kjE

g,kjI

kjYkjI

jV

kVk1Y

1V

k0Yk0I

k1I

nVknY

knI

k0 k k1 1 k kj j k kj kj g,kj kn n kY V Y V V Y V V Y E I Y V V

k k0 k1 kj knY Y Y Y Y Notaţie: = admitanţa proprie a nodului.

kj kjk1 knk 1 j kj g,kj n

k k k k k

Y YY Y1V V V E I V

Y Y Y Y Y

jV

kV

k1

k

Y

Y1V

nV

kj

k

Y

Y

kn

k

Y

Y

kjE g,kjI

kj

k

Y

Y

k

1

Y

k0 kjj

I ITKI:

13. Deduceţi metoda de eliminare a unui nod (eliminare a unei laturi etc).Eliminarea unui nodAceasta transfigurare este echivalenta eliminarii prin substitutie a variabilei corespunzatoare nodului eliminat. Eliminarea unui nod se face prin refacerea tuturor cailor care trec prin nodul considerat. Prin cale intelegem un drum de doua laturi, avad la mijloc nodul de eliminat.Eliminarea unei laturiEliminarea unei laturi este un procedeu partial de eliminare a nodului din originea laturii considerate. Eliminarea unei bucle propriiPentru ca eliminarea unei bucle proprii sa fie posibila, ea trebuie sa aiba o transmitanta diferita de unitate; in caz contrat variabila avand bucla proprie nu poate fi explicitata din acea ecuatie si trebuie realizate alte transfigurari menite sa modifice transmitanta buclei proprii. Eliminarea unei bucle proprii conduce la modificarea transmitantelor laturilor convergente in nodul buclei, si anume la impartirea acestora la transmitanta buclei proprii.

14. Ce înţelegeţi printr-o bază (în sensul analizei circuitelor).Un circuit cu l laturi prezintă 2l necunoscute (l curenţi şi l tensiuni de latură). Pentru analiză este nevoie de 2l ecuaţii (l cu TKV, TKI şi l cu Ohm). În aceste condiţii spunem că lucrăm într-o „bază” de 2l tensiuni şi curenţiMărimile din „bază” se determină din sisteme de ecuaţii; alte mărimi pot fi determinate prin relaţii algebrice

15. Arătaţi de ce tensiunile de ramură (curenţii de coarde) pot forma o bază.Tensiunile de ramură pot forma o bază, deoarece - tensiunile de coardă se pot determina în funcţie de cele de ramură prin sumă algebrică pe bucle; - curenţii se pot determina în funcţie de tensiuni, prin legea lui Ohm. Curenţii de coardă pot forma o bază, deoarece - curenţii de ramură se pot determina în funcţie de cei de coarda prin sumă algebrică pe secţiuni; - tensiunile se pot determina în funcţie de curenţi, prin legea lui Ohm.

16. Enumeraţi etapele întocmirii GF în baza potenţiale la noduri. Fiecărui nod (k) al circuitului i se asociază un potenţial (Vk).

1) Admitanţa proprie a unui nod este suma admitanţelor tuturor laturilor incidente nodului respectiv , inclusiv eventuala legătură la masă. 2) Între două noduri ale grafului se duce o latură a grafului dacă şi numai dacă: 2.a) între cele două noduri ale circuitului există cel puţin o latură care le leagă direct şi 2.b) potenţialul din extremitatea laturii nu este fixat (de exemplu de o sursă de tensiune, sau pentru că acel potenţial este considerat „dat”, ca excitaţie). 3) Operaţiunile prezentate în slide-ul precedent se repetă pentru fiecare nod.

gZ sZgI diport1U 2U

1I 2IgZ

sZE diport1U 2U

1I 2I

1U

1I

2U

2I

11z 22z

12z 21z

1U

1I

2U

2I

11z 22z

12z 21z

gY

EgY

sY

1U

1I

2U

2I

11z 22z

12z 21z

gY

gI

1

sY

1D 11U 1

2U

11I

12I

2D 21U 2

2U

21I

22I1U

1I

2U

2I

1 11 1

1U2U

11U

11I

12U

12I

111z

21U

21I

22U

22I

121z 1

12z 122z 2

11z

221z 2

12z 222z

1 111

1I 2I

1 2 Z Z Z

gY

EgY

sZ

1U

1I

2U

2I

11h 22h12h

21h

gZ

sZE diport1U 2U

1I 2I

17. Reprezentaţi prin GF formalismul impedanţă (admitanţă, ...) pentru un diport.Diportul conectat între o sursă şi o sarcină:

Formalismul impedanţă:

Condiţii rezultate din conectarea circuitelor exterioare:

18. Reprezentaţi prin GF conexiunea serie (paralel, ...) a doi diporţi.Diporţi echivalenţi: Conexiunea serie (serie-serie):

Condiţiile de interconectare

19. Determinaţi amplificarea în tensiune intrare-ieşire a unui diport în condiţii de lucru, utilizând GF şi formalismul hibrid.Determinarea unor funcţii de circuit în condiţii de lucru: Fie diportul caracterizat prin formalismul hibrid:

Etape pregătitoareIdentificarea buclelor: Există o pereche de bucle neadiacente:Determinantul grafului este:

Amplificarea în tensiune de la sursă:

1 2 3 121 P P P P 11 g 22 s 11 22 12 21 g s1 h Y h Z h h h h Y Z

Pentru evitarea dublei determinări, este necesar un formalism în care sursele să fie curenţii.

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

U z I z I

U z I z I

Amplificarea în tensiune de la intrare:

20. Determinaţi impedanţa de intrare a unui diport în condiţii de lucru, utilizând GF şi formalismul hibrid.

Curs 31. Explicaţi ce înţelegeţi prin stabilitatea unui sistem.

Stabilitatea este acea proprietate a unui sistem de a raspunde cu un raspuns marginit la o excitatie marginita.

2. Ce implicaţii are stabilitatea unui SALI asupra funcţie pondere şi asupra f.d.s.?Sistemul este stabil dacă funcţia pondere tinde, cu timpul, la zero: Pentru ca sistemul să fie stabil, toţi polii f.d.s. trebuie să fie situaţi strict în semiplanul stâng.

3. Explicaţi de ce poziţia polilor f.d.s. în semiplanul stâng asigură stabilitatea SALI.Ca transformată Laplace inversă a f.d.s., funcţia pondere este o sumă de moduri de oscilaţie:

unde: sunt polii f.d.s.Pentru ca sistemul să fie stabil, toate modurile de oscilaţie trebuie să tindă la zero.

4. Ce efect au zerourile f.d.s. asupra comportamentului SALI?Stabilitatea unui SALI depinde numai de poziţia polilor, nu şi de zerouri.

Zerourile au efect asupra calităţii răspunsului (creşte oscilanţa), dar nu afectează stabilitatea.

5. Definiţi polinomul Hurwitz.Un polinom care are toate zerourile în semiplanul stâng se numeşte polinom Hurwitz . Un polinom care are toate zerourile strict în semiplanul stâng se numeşte polinom strict Hurwitz

6. Enunţaţi criteriul de stabilitate Routh (Hurwitz, ...).Criteriul Routh se bazează pe un tablou construit cu ajutorul coeficienţilor polinomului de la numitorul functiei de sistem.1) Pe prima linie se aşează coeficienţii în ordine descrescătoare a gradelor, din doi în doi, începând cu primul. 2) Pe a doua linie se aşează ceilalţi coeficienţi. 3) Următoarele linii conţin elemente calculate după algoritmul:

Criteriul Routh afirmă că sistemul este stabil dacă elementele primei coloane a tabloului Routh sunt strict pozitive.

2vu

1

UA

U 2

1

U E

U E

tlim h t 0

k k kp t t j tk k

k k

h t C e C e e k k kp j

k 1,1 k 2,j 1 k 2,1 k 1,j 1k,j

k 1,1

2ve

UA

E 21 g sh Y Z

21 g s

11 g 22 s 11 22 12 21 g s

h Y Z

1 h Y h Z h h h h Y Z

x y

r

1

F s

R s1

0x0x,

F s

R s

x y

r

D D s

reD

imD

2 0

Csintzextz

j

Criteriul Routh-Hurwitz (sau, numai Hurwitz) apelează la un determinant format cu coeficienţii polinomului caracteristic.Determinantul are forma:

Criteriul Hurwitz afirmă că sistemul este stabil dacă an şi toţi minorii principali sunt strict pozitivi. Criteriul Mihailov : Un polinom Qn(s) este strict Mihailov dacă hodograful Qn(jω) efectuează o rotire monotonă de (n*pi)/2 în sens pozitiv, în jurul originii, atunci când frecvenţa variază de la zero la infinit.

7. În ce condiţii, din simpla inspectare a polinomului caracteristic, se poate afirma că un sistem este instabil?Un sistem este instabil daca polinomul caracteristic are cel putin un coeficient negativ.CURS 41. Definiţi raportul (diferenţa) la întoarcere (relaţie şi explicaţii).Pentru introducerea unor aprecieri cantitative privind reacţia, evidenţiem bucla de reacţie: 1) Considerăm sistemul autonom. 2) Introducem un nod suplimentar x0 undeva în buclă. 3) Despicăm nodul separând partea sursă de cea sarcină. 4) Dacă se aplică o excitaţie x0 , se va obţine, în aceeaşi secţiune, răspunsul buclei deschise xI

0 .

Raportul la întoarcere este funcţia de transfer a buclei deschise, cu semn schimbat :

Diferenţa la întoarcere este:

2. Scrieţi expresiile pe care le cunoaşteţi ale f.d.s. globale a unui sistem cu reacţie simplu.F.d.s. globală se poate scrie

D(s) – diferenta la intoarcereT(s) – raportul la intoarcere

3. Cărei funcţii i se aplică criteriile de stabilitate (algebrice, Mihailov, Nyquist)?Criteriile de stabilitate algebrice (Routh si Hurwitz) si Mihailov se aplica functiei D(s) (diferenta la intoarcere), iar criteriul Nyquist se aplica functiei T(s) (raportul la intoarcere).

4. Exprimaţi principiul variaţiei argumentului pentru o funcţie raţională de s.Principiul variaţiei argumentului pentru o funcţie raţională:

1 2 m

1 2 n

s z s z s zD s K

s p s p s p

zk pkj j szk

pk

D s e A s e

z,int p,int z,int p,intn n 2

0

0

xT s F s R s

x

,

E

1C

2C

3C1L

2L

3L

gI

Se considera in planul complex s un contur inchis C. Cand punctul curent S parcurge in sens pozitiv (trigonometric) curba C, punctul D(s) parcurge curba hodografului functiei D. In planul complex s au fost reprezentate: un zero Zint in interiorul curbei C si un zero Zext in exteriorul curbei.

La pargurgerea trigonometric a curbei C, punctele critice situate in exteriorul conturului inchis nu contribuie la modificarea argumentului functiei D(s), pe cand zeroul din interiorul curbei conduce la variatia argulenrului cu ΔФ = 2п, iar polul din interiorul curbei cu ΔФ = -2п. O veriatie a fazie cu 2п este echivalenta cu inconjurarea originii in sens trigonometric.

Cu alte cuvinte, hodograful D ocoleste originea in sens pozitiv de ori. Unde nz int si np int sunt numarul de zerouri, respectiv poli din interiorul curbei C.

5. Definiţi hodograful Nyquist.Dacă sistemul este stabil, hodograful D(s) înconjoară originea de np,d ori în sens pozitiv . Când D(s) înconjoară originea, T(s) = D(s) – 1 înconjoară punctul (-1, j0), numit punct critic. Hodograful T(s) asociat conturului Nyquist se numeşte hodograf Nyquist.

6. Enunţaţi criteriul de stabilitate Nyquist pentru un sistem stabil (instabil) în buclă deschisă.Criteriul Nyquist : Pentru ca sistemul având amplificarea în buclă deschisăT(s) să fie stabil, hodograful Nyquist trebuie să înconjoare punctul critic (-1, j0) de exact np,d ori, în sens pozitiv, unde np,d este numărul de poli în dreapta ai lui T(s).

Daca np,d = 0Sistemul cu bucla deschisă este stabil. La închiderea buclei de reacţie, sistemul rămâne stabil dacă hodograful Nyquist nu înconjoară punctul critic.

Daca np,d ≠ 0Sistemul cu bucla deschisă este instabil, având np,d poli în dreapta.La închiderea buclei de reacţie, sistemul devine stabil dacă hodograful Nyquist înconjoară punctul critic de exact np,d ori, în sens pozitiv.

7. Explicaţi ce semnificaţie are trecerea hodografului Nyquist prin punctul critic.Trecerea hodografului Nyquist prin punctul critic inseamna ca sistemul este la limita stabilitatii.CURS 51. Definiţi variabilele de stare (starea, spaţiul stărilor, traiectoria de stare).

Variabilele de stare sunt mărimile a căror cunoaştere la un moment dat este necesară şi suficientă pentru a determina evoluţia ulterioară a unui sistem dat, sub excitaţii date.

Starea unui sistem reprezintă ansamblul valorilor variabilelor de stare la un moment dat. Spaţiul stărilor este un spaţiu n-dimensional în care coordonatele sunt variabilele de stare. Evoluţia stării în timp are loc după o traiectorie de stare în spaţiul stărilor.

2. Explicaţi de ce o buclă-C (secţiune-L) reduce numărul de condiţii iniţiale ce pot fi impuse.

Cu TKV se poate scrie o relaţie de genul :Nu se pot impune arbitrar toate tensiunile pe condensatoare. Se pot impune numai două condiţii iniţiale. Rezulta ca o buclă-C reduce cu o unitate numărul de variabile de stare.

Cu TKI se poate scrie o relaţie de genul : Nu se pot impune arbitrar toţi curenţii prin bobine. Se pot impune numai două condiţii iniţiale. Rezulta ca o secţiune-L reduce cu o unitate numărul de variabile de stare.

z,int p,intn n

C1 C2 C3u u u E

L1 L2 L3 gi i i I

e B yC

D

xd

dtx

A

3. Ce înţelegeţi prin degenerarea unui circuit, în sensul spaţiului stărilor?Un circuit care prezintă bucle-C sau secţiuni-L este considerat, din punctul de vedere al spaţiului stărilor,

degenerat.

4. Definiţi ordinul unui circuit în report cu eventualele degenerări.Un circuit care prezintă bucle-C sau secţiuni-L este considerat, din punctul de vedere al spaţiului stărilor,

degenerat. Ordinul circuitului este egal cu numărul de elemente reactive din care se scade câte o unitate:

pentru fiecare buclă-C liniar independentă şi pentru fiecare secţiune-L liniar independentă.

5. Definiţi arborele normal.Numim arbore normal arborele care conţine:

toate sursele ideale de tensiune; numărul maxim de condensatoare; numărul minim de bobine; nicio sursă ideală de curent.

6. Cum se determină elementele reactive care introduc variabile de stare?Nu s-ar putea amplasa toate condensatoarele pe ramuri doar în prezenţa unei bucle-C; atunci, unul dintre

condensatoare va trebui plasat pe coardă. Acela va fi condensatorul a cărui tensiune nu este variabilă de stare! Nu s-ar putea amplasa toate bobinele pe coarde numai în prezenţa unei secţiuni-L; atunci, una dintre bobine va fi

amplasată pe ramură. Aceea va fi bobina al cărui curent nu este variabilă de stare!

7. Scrieţi forma normală (degenerată) a ecuaţiilor de stare.Sistemul de ecuaţii se aduce la forma (normală):

ecuatia de evolutie (a starii)

ecuatia iesiriiunde:

este vectorul de stare este vectorul excitatiei

este vectorul iesirii

este matricea de evolutie libera este matricea de aplicatie a excitatiei

este matricea de iesire este matricea de transmisie directa

Sistemul este degenerat

8. Reprezentaţi modelul de stare în absenţa degenerărilor.

dt t t

dtt t t

x x e

y x e

A B

C D T1 2 nt x x xx T1 2 mt e e ee

T1 2 kt y y yy n nA n mB k nC k mD

1 2

1 2

d dt t t t

dt dtd

t t t tdt

x x e e

y x e e

A B B

C D D

dt t t

dtt t t

x x e

y x e

A B

C D

Control al starii Observarea starii

9. Arătaţi cum se ajunge de la o ecuaţie diferenţială de ordin superior la ecuaţiile de stare.

Se noteaza:

Se poate scrie sistemul:

10. În ce condiţii degenerarea unui circuit se manifestă în forma ecuaţiilor de stare? Degenerarea se manifestă prin prezenţa derivatei excitaţiei în ecuaţia finală. Suntem obligaţi să derivăm o ecuaţie de tensiuni pe o buclă-C, sau una de curenţi pe o secţiune-L. Tensiunea (curentul) unei surse va fi derivată dacă sursa este prezentă în bucla-C (secţiunea-L) respectivă. Degenerarea se manifestă, oricum, prin reducerea ordinului circuitului faţă de numărul de elemente reactive.

11. Enumeraţi etapele analizei unui circuit în spaţiul stărilor. Dacă ecuaţia de evoluţie este în formă degenerată, ea şi ecuaţia ieşirii se aduc la forma normală, printr-o schimbare

de variabilă. Fiind date: matricile care definesc formalismul de stare şi condiţiile iniţiale, se determină soluţia: evoluţia stării în

timp. Se înlocuieşte expresia stării în ecuaţia de ieşire şi se determină răspunsul sistemului.

12. Arătaţi cum se aduc la forma normală ecuaţiile de stare degenerate.Aducerea ecuaţiei de evoluţie la forma normală

Se face schimbarea de variabilă:

Notam se obtine

1 2 1 2d

t t t t tdt

y x e e eC CB D D

1 2 1 2; B B AB D D CB

1 1

1 2

dt t t

dtd

t t t tdt

x x e

y x e e

A B

C D D

12

23

n 1n

nn

n 1 n 1 2 0 1 n 1 0n

dxx

dtdx

xdt

dxx

dt

dx d e dea x a x a x b b b e

dt dtdt

1 2

1 2

d dt t t t

dt dtd

t t t tdt

x x e e

y x e e

A B B

C D D

1 2t t t x x eB

n n 1 n

n 1 1 0 n 1 0n n 1 n

d y d y dy d e dea a a y b b b e

dt dtdt dt dt

13. Definiţi matricea de tranziţie.Exponenţiala matricială poate fi definită prin seria de puteri:

Exponentiala matriceala este denumita si matrice de tranzitie.

14. Definiţi exponenţiala matricială şi arătaţi care sunt proprietăţile sale.Exponenţiala matricială poate fi definită prin seria de puteri:

Valoarea în origine este unitară:

Derivata este:

15. Scrieţi expresia soluţiei ecuaţiei de stare.

Solutia este:

Primul termen al relatiei este solutia de regim liber, iar al doilea termen este solutia de regim fortat.

16. Care este legătura între modurile de oscilaţie şi matricea de evoluţie liberă?Valoriile proprii reprezinta pentru circuitul considerat frecventele complexe ale modurilor de oscilatie.

17. Care este legătura între modurile de oscilaţie şi matricea de tranziţie?

Unde asteriscul marchează matricea adjunctă – transpusa cu complemenţii algebrici. Primul factor al fiecarui terman reprezinta matrici de ponderare: elementele lor arata cu ce pondere intra modul de oscilatie in formarea elementului respectiv al rezultatului(matricea de tranzitie).Observatie f(x) = ex

Matricea de tranzitie are ca elemente componente sume ponderate ale modurilor de oscilatie.

18. Ce este polinomul de interpolare Lagrange-Sylvester?Dacă f = f(λ) este o funcţie scalară dată, polinomul de interpolare este un polinom Qn-1(λ) care îndeplineşte condiţiile:

19. Definiţi direcţiile proprii ale unei matrici de evoluţie liberă.Curbele care contin conditiile initiale pentru care raspunsul liber contine un singur mod de oscilatie se numesc directii proprii. Curs 61. Ce este o “poarta”? Ce elemente pot determina gruparea terminalelor in porti?Poarta este o grupare de terminale avand suma algebrica a curentilor nula. Gruparea in porti poate fi determinata de – structura interna

- conexiunile externe

2. Cate ecuatii definesc un circuit n – port? Justificati. Un circuit n – port are definite 2n marimi ( n tensiuni si n curenti ). Pentru determinarea acestpora sunt necesare 2n

relatii Prin conectarea unui circuit exterior la o poarta se impune o relatie intre tensiunea si curentul la poarta respectiva. Conectand n ciuruite la cele n porti se impun, deci n relatii. Pe de alta parte, daca la toate portile unui circuit sunt conectate circuite exterioare, circuitul este determinat. Cum circuitele exterioare furnizeaza n relatii, ramane ca n – portul sa furnizeze restul de n relatii. Un circuit n –

port este caracterizat prin n relatii intre tensiunile si curentii de la portile sale.

3. Ce pot fi elementele unei matrici hibride?

2 nt 2 n

ne t t t2! n!

1A A AA

2 nt 2 n

ne t t t2! n!

1A A AA

tn

t 0e

1A

t t tde e e

dt A A AA A

t

tt0

0

t e e d x x eAA B

n

i ni

ii 1

f t f tP'

*

1 AA

n 1 i iQ f ; i 1, 2, ,n

Elementele unei matrici hibride sunt functii de circuit si pot fi admitante, impedante sau amplificari in curent si in tensiune.

4. Cum se face normarea dupa rezistenta?Se alege arbitrar o rezistenta de normare R0.

- parametrii normatiRezistentele si inductantele se impart la rezistenta de referinta, capacitatiile se inmultesc cu rezistenta de referinta.

5. Ce efect are normarea dupa rezistenta asupra comportamentului selectiv in frecventa? Justificati.Comportamentul selectiv in frecventa nu este afectat de normarea dupa rezistenta, atata timp cat in relatia de normare: apare aceeasi frecventa la numarator si la numitor.

Intr-adevar frecventa de rezonanta nu este afectata

1

√l i ci

= 1

√LiC i

6. Ce etape se parcurg pentru definirea formalismului de repartitie? (fara relatii)Etapele parcurse pentru definirea formalismului de repartitiie:

Normarea dupa rezistenta – se alege o rezistenta de normare R0 si se normeaza dupa ea. Multiportul marit – la fiecare poarta se inseriaza o rezistenta unitara

- tensiunile pe rezistentele unitare vor fi numeric egale cu curentii prin acestea

7. Cum se exprima puterea transferata multiportului in functie de vectorii unda directa si unda inversa?

Puterea efectiv transferată multiportului este egală cu puterea pe care „încearcă” să o transmită vectorul a(t), minus puterea „reflectată” prin vectorul b(t)8. In ce conditii se poate produce reflexia/refractia undelor electrice intre doi diporti in lant?Reflexia/refractia undelor electrice intre doi diporti in lant se produce in cazul in care lant de diporti nu este adaptat.Un lanţ de diporţi este adaptat dacă, în orice secţiune a sa, impedanţa echivalentă amonte este egală cu impedanţa echivalentă aval.

9. Cand spunem ca intr-o sectiune este indeplinita conditia de adaptare?Conditia de adaptare este indeplinita intr-o sectiune cand Zs = Zi ( Zs impedanta sursei, Zi impedanta de intrare) si unda reflectata este nula.

10. Care este semnificatia elementelor diagonale ale formalismului de repartitie?Elementele diagonale ale formalismului de repartitie sunt factori de reflexie la portile respective si permit determinarea undei reflectate cand se cunoaste unda directa.

11. Exprimati formalismul de repartitie in functie de formalismul de impedanta.

12. Arătaţi asemănările şi deosebirile între matricea admitanţă (în scurtcircuit) şi matricea admitanţă nedefinită.Ambele matrici sunt patrate si au ca elemente admitante complexe.

i i i0

i i i

R L cR

r C

l

2 2a bp t t t p t p t a b

s s sU Z I s s s s s A B Z A B

s s s s Z 1 B Z 1 A

1s

s s ss

BS Z 1 Z 1

A

i i i0

i i i

R L cR

r C

l

1

2 R

1V

2V

iG G

sG G

Y1

2

1 2

s G G Y 1

1 2

s GY 1

1

In cazul matricii admitanta nedefinita intervin potentialele terminalelor si nu tensiunile la porti ca in cazul formalismului admitanta. Matricea admitanta nedefinita caracterizeaza circuitul vazut ca multipol, iar formalismul admitanta vede circuitul ca multiport.

13. Cum se determină matricea admitanţă nedefinită pentru un uniport având impedanţa de intrare Z?

14. Cum se reflectă în matricea admitanţă nedefinită conectarea unui terminal la masă (conectarea a două terminale etc.)? Conectarea unui terminal la masa

o Se elimina coloana asociata potentialului nulo Se elimina si linia asiciata terminalului de referinta: curentul sau este egal cu suma cu semn schimbat a

celorlalti curenti Conectarea a doua terminale

o Coloanele asociate se inlocuiesc cu o singura coloana egala cu suma celor douao Liniile asociate se inlocuiesc cu o singura linie egala cu suma celor doua

Suprimarea unui grup de terminaleo Se suprimă conexiunile la exterior. Terminalele devin noduri interne. o Curenţii sunt nuli, iar potenţialele nu mai interesează.

Curs 7

1. Arătaţi prin câţi parametri complecşi poate fi caracterizat un diport simetric asimetric).Un diport este caracterizat prin patru parametrii complecsi. Un diport pasiv este reciproc ceea ce impune o relatie intre parametri deci raman trei parametri complecsi. Conditia de simetrie mai reduce un parametru.Un diport asimetric pasiv poate fi caracterizat de 3 parametri complecsi.Un diort simetric pasi poate fi caracterizat de 2 parametri complecsi.

2. Ce înţelegeţi prin „formalism de reprezentare”?Un circuit n – port este caracterizat prin n relatii intre tensiunile si curentii de la portile sale.Cele n telatii inseamna exprimarea a n marimi la porti ( cate una la fiecare poarta, numite marimi depentende) in functie de perechile lor (marimi independente). In functii de gruparea marimilor la borne in dependente si independente se definesc diferite formalisme de reprezentare, caracterizate prin diferite formalisme de reprezentare, caracterizate prin diferite seturi de parametri.

3. Definiţi impedanţa caracteristică. Ce fel de circuite pot fi caracterizate cu ea?Impedanta caracteristica este impedanta Zc care conectata la o poarta face ca impedanta de intrare la cealalta poarta sa fie egala cu Zc

Impedanta caracteristica caracterizeaza diportii pasivi simertici.

4. Cum se pot defini impedanţa caracteristică şi constanta de transfer în funcţie de mărimi măsurabile la borne?

Zsc impedanta de intrare cand cealalta poarta este in scurt

Z0 imped de intrare cand cealalta poarta este in gol

Matricea admitanţă în scurtcircuit:

Adăugăm o coloană egală cu sumacelorlalte cu semn schimbat:

şi o linie egală cu suma celorlaltecu semn schimbat:

c sc 0

sc

0

Z Z Z

Zth

Z

DEg

Zg

Zs

U1

U2

I1

I2

s cZ Z

I1 10 1sc

I2 20 2sc

Z Z Z

Z Z Z

5. Definiţi constanta de transfer pe impedanţa caracteristică.Constanta de transfer pe impedanta caracteristica este marimea complexa θ definita prin relatia

θ= a+ jb = ln U 1

U 2

=lnI 1

−I 2 unde tensiunile si curentii sunt cei care se stabilesc atunci cand diportul este conectat pe impedanta sa caracateristica

6. Ce reprezintă părţile reală, respectiv imaginară ale constantei de transfer?

Partea reala a constantei de transfer este atenuarea (reala) :

a=ln|U 1|

|U 2| [Np]Partea imaginara reprezinta defazajul intrarii fata de iesire (opusul defazajului clasic al iesirii fata de intrare)

7. Definiţi impedanţele imagine. Ce fel de circuite pot fi caracterizate cu ele?Impedantele imagine sunt doi parametri complecsi (ZI1 , ZI2) ai diportului asfel incat:

Daca impedanta de sarcina este ZI2 impedanta de intrare a diportului este egala cu ZI1

Dacaimpedanta interna a sursei este ZI1 ,impedanta de iesire a diportului este egala cu ZI2 Impedantele imagine caracteristice diportii pasivi asimetrici.

8. În ce cazuri impedanţele caracteristice sau cele imagine sunt realizabile fizic?In cazul diportilor rezistivi, impedantele imagine sau cele caracteristice sunt si ele rezistente deci realizabile.In cazul diportilor care contin si/sau numa elemente reactive, impedantele de mers in gol respectiv in scurtcircuit sunt complexe, dependente de frecventa. In aceste conditii impedanta caracteristica este, in general, complexa si este foarte putin probabil sa se gaseasca o impedanta realizabila fizic, a carei dependente de frecventa sa corespunda.

9. Cum se pot defini impedanţele imagine şi constanta de transfer pe imagini în funcţie de mărimi măsurabile la borne?

thθ=√Z1 SC

Z 1O

=√Z2 SC

Z 2 O

10. Definiţi constanta de transfer pe impedanţele imagine.Constanta de transfer pe imagini este constanta θI definita prin

11. Arătaţi de ce modul de lucru iterativ nu prezintă interes practic.Modul de lucru iterativ nu prezinta interes practic deoarece:

Nu poate conserva adaptarea intr-o sectiune adaptata Nu poate realiza adaptarea intr-o sectiune neadoptata Va inlocui o sectiune neadaptata cu doua sectiuno neadaptate.

Curs 81. Exprimaţi viteza undei EM şi impedanţa de undă în funcţie de constantele de material.

Viteza undei EM în mediu dielectric:

I 1 1 1

2 2 2

P U Ie

P U I

I21 1P

2 2

U Ig e

U I

I Ig s1 1

V I2 s 2 g

Z ZU Ig e ; g e

U Z I Z

2) la ieşire: s I22

s I2

2 Z Zk

Z Z

egal cu 1 dacă: I2 sZ Z

1) la intrare: I1 g

1I1 g

2 Z Zk

Z Z

egal cu 1 dacă: I1 gZ Z

3) de interacţiune: Ig I1 2s I2

12g I1 s I2

Z Z Z Zk 1 e

Z Z Z Z

egal cu 1 dacă: I1 gZ Z sau: I2 sZ Z

2. Definiţi regimul de linie lungă.Daca dimensiunile geometrice ale circuitului sunt comparabile sau mai mari decat lungimea de unda circuitul este in regim de linie lunga

3. Scrieţi expresia factorilor de reflexie şi de refracţie în funcţie de impedanţele amonte şi aval.Factorul de reflexie/refractie;

ZS – impedanta avalZg – impedanta amonte

4. Scrieţi expresia undelor directe de tensiune şi de curent şi motivaţi.

Unda directa se propaga ca si cum intregul lant ar fi adaptat. Abia la intalnirea sectiunii neadaptate unda constata neadaptarea si prin unda reflectata, informeaza lantul din amonte.

5. Definiţi atenuările complexe în putere, în tensiune şi în curent şi arătaţi ce relaţii există între ele.Atenuarea complexa in putere este

Atenuarile complexe in tensiune, respectiv in curent sunt:

6. Definiţi factorii de neadaptare la intrare, la ieşire şi de interacţiune în cazul unui diport neadaptat.Factorii de neadaptare sunt:

Impedanţa de undă a mediului dielectric: 0 r rc 0

0 r r

Z Z

s g g srU rI

g s g s

Z Z Z ZK ; K

Z Z Z Z

gstU tI

g s g s

2Z2ZK ; K

Z Z Z Z

g g ii i

g g

E E UU ; I

2 2Z Z

7. Enunţaţi condiţiile ca un lanţ de diporţi să lucreze adaptat.Un lant de diporti este adaptat daca, in orice sectiune a sa, impedanta echivalenta amonte este egala cu impedanta echivalenta aval.

8. Arătaţi care sunt condiţiile de proiectare prin prisma adaptării atunci când se inserează un diport într-o secţiune adaptată.Un diport simetric inserat intr-o sectiune adaptata poate mentine conditia de adaptare daca este proiectat astfel incat parametrul sau impedanta caracteristica sa fie egal cu valoarea comuna a impendatelor echivalente aval si amonte.Un diport asimetric intodus intr-o sectiune adaptata nu poatae mentine condiata de adaptare.

9. Arătaţi care sunt condiţiile de proiectare prin prisma adaptării atunci când se inserează un diport într-o secţiune neadaptată.Un diport asimetric inserat intr-o sectiune neadaptata poate realiza conditia de adaptare daca este proiectat sa lucreze in modul de lucru pe imagini

10. Comparaţi diporţii lucrând pe: impedanţa caracteristică, pe impedanţele imagine şi pe impedanţele iterative din punctul de vedere al realizării/menţinerii adaptării.Un diport simetric, proiectat în modul de lucru pe impedanţa caracteristică poate conserva adaptarea într-o secţiune adaptatăUn diport simetric, proiectat in modul de lucru pe impedante imagine poate realiza adaptarea intr-o sectiune neadaptata.Un diport asimetric, proiectat in modul de lucru pe impedante iterative, nu poate:

Nici conserva adaptarea intr-o sectiune adaptata Nici realiza adatarea intr-o sectiune neadaptata Va inlocui o sectiune neadaptata cu doua sectiuni neadaptate

Curs 91.Cum se poate realiza adaptarea unui diport cu altă funcţie principală decat cea de adaptare? La proiectarea unui diport cu o funcţie principală oarecare (amplificator, filtru, ...), apar două situaţii:a) răman grade de libertate disponibile;se impun condiţii suplimentare privind adaptarea; diportul realizează simultan şi funcţia principală şiadaptarea.b) nu răman grade de libertate disponibilese inserează diporţi „specializaţi”, a căror funcţie principală este adaptarea (circuite de adaptare, sauadaptori).2. De ce adaptorii se realizează numai cu elemente reactive?Nu prezinta pierderi prin efectul Joule; nu consuma putere activa.3. Definiţi transformatorul ideal şi explicaţi efectul fiecărei condiţii.Transformatorul ideal: este un transformator perfect (cu factor de cuplaj unitar, deci cu flux de pierderinul); admite salturi ale curenţilor, cu condiţia ca acestea să se compenseze.rezistenţa infăşurărilor este nulă; nu prezintă pierderi prin efect Joule, nu consumă putere activăinductanţele infăşurărilor tind la zero, astfel incat raportul lor este constant şi egal cu pătratul raportuluide transformare; nu este selectiv in frecvenţă, nu impune un regim tranzitoriu.4. Arătaţi că un trafo ideal adaptat in primar este adaptat şi in secundar.Raportul de transformare: U1/U2 = (I2/I1)n

5. Ce efect are relaxarea condiţiei ca trafo ideal să aibă inductanţele tinzand la zero?Transformatorul va fi selectivin frecventa si va impune regim tranzitoriu.6. Care sunt etapele in proiectarea unui adaptor in Г?Se inserează un diport LC in Γ, sau in Γ-inversat cu inductanţa spre sarcină.Se transfigurează circuitul RsXL echivalenţa serie – paralel a uniporţilor RL (RC) ,la o anumită frecvenţă(frecvenţa de lucru).Se impun condiţiile: egalitatea rezistenţelor ;compensarea reactanţelor7.Deduceţi relaţiile de dimensionare ale adaptorului in Г pentru Rg>Rs (Rg<Rs).

8. Scrieţi relaţiile de dimensionare a adaptorului in T (in П) şi explicaţi.

Pentru cuplaj suficient, sunt tot patru variante de adaptori.Pentru cuplaj critic, răman două variante – diporţi degeneraţi.

9. Unde intervine frecvenţa de lucru in proiectarea adaptorilor?Avand reactantele XC, XL calculate, folosind frecventa de lucru, se calculeaza capacitatea si inductanta.

Curs 101. Exprimaţi factorul de cuplaj al unui circuit de adaptare in funcţie de defazajul realizat.

3.Arătaţi (schiţaţi) tipurile de comportament selectiv al adaptorilor şi relaţia acestora cu defazajul realizat.

4. Care este principiul de proiectare a circuitelor de adaptare care realizează rejecţia unor frecvenţe?PRINCIPIUL rejecţiei unor frecvenţe se bazează pe fenomenul de rezonanţă LC : Una sau mai multedintre reactanţele adaptorului se inlocuiesc cu circuite LC serie sau paralel.Circuitele rezonante vor fi proiectate astfel ca să satisfacă, simultan, condiţiile:a) La frecvenţa de lucru să prezinte o reactanţă echivalentă egală cu cea rezultată din proiectareaadaptorului.b) La frecvenţa de rezonanţă să asigure un zero de transmisie.5. Ce opţiuni avem pentru a realiza rejecţia unei frecvenţe mai mici (mai mare) decat frecvenţa delucru?In faza de proiectare se cunoaşte frecvenţa de lucru şi se urmăreşte rejecţia altor frecvenţe.

a) pentru rejecţia unei frecvenţe mai mici decat cea de lucru:

b) pentru rejecţia unei frecvenţe mai mari decat cea de lucru:

Practic,a) o reactanţă longitudinală se divide (arbitrar) intr-o sumă de reactanţe, fiecare fiind, apoi, inlocuită cuun circuit LC – derivaţie;b) o susceptanţă transversală se divide (arbitrar) intr-o sumă de susceptanţe, fiecare fiind, apoi,inlocuită cu un circuit LC – serie.7. Explicaţi cum se proiectează un diport care realizează adaptarea intre două impedanţe complexe.Dacă impedanţele externe sunt complexe, s-ar putea porni de la relaţiile generale.Această abordare ar fi utilă dacă s-ar putea realiza adaptarea la orice frecvenţă.