radum.webnode.com · Şef lucrări dr. ing. radu mircea morariu-gligor mecanicĂ 2015 – 2016

Şef lucrări dr. ing. Radu Mircea MORARIU-GLIGOR MECANICĂ 2015 – 2016 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1

Capitolul IV. Statica solidului rigid

IV.1. Echilibrul solidului rigid liber

Un solid rigid liber este un solid rigid care poate ocupa orice poziţie în spaţiu, nefiind supus la nicio restricţie de natură geometrică. Dacă un solid rigid liber se află în echilibru sub acţiunea unui sistem de forţe active (efectiv aplicate), poziţia lui de echilibru este determinată exclusiv de sistemul de forţe ce acţionează asupra lui.

După cum se cunoaşte, un plan aparţinând unui rigid defineşte univoc poziţia şi orientarea acestuia, iar trei puncte necoliniare definesc un plan. Rezultă că acestea pot fi utilizate pentru definirea poziţiei şi orientării rigidului.

Se consideră trei puncte necoliniare în masa rigidului, iA de coordonate ),,( iii zyx , unde )31( i . Între aceste

coordonate există relaţii de legătură de forma : jijijiji AAzzyyxx 222 )()()( unde )31( ji .

Ele exprimă invariabilitatea distanţei dintre perechile de câte două puncte. Deoarece între cele nouă coordonate carteziene ale punctelor există trei relaţii de legătură, rezultă că mai rămân independente şase, deci solidul rigid liber prezintă şase g.d.l. Acestea sunt translaţiile şi rotaţiile în lungul şi în jurul axelor unui sistem cartezian de referinţă.

Condiţia necesară şi suficientă ca un solid rigid liber supus acţiunii unui sistem de forţe

oarecare )1( niFi să fie în echilibru este ca, într-un punct arbitrar din spaţiu, torsorul

sistemului de forţe să fie nul:

0

0

OM

R.

Prin scalarizare se obţine un sistem de şase ecuaţii cu şase necunoscute cu ajutorul căruia poate fi studiat echilibrul solidului rigid liber:

n

i

ixiiyiz

n

i

iziixiy

n

i

iyiizix

n

i

izz

n

i

iyy

n

i

ixx

FyFxM

FxFzM

FzFyM

FR

FR

FR

1

1

1

1

1

1

0)(

0)(

0)(

0

0

0

.

Problemele staticii solidului rigid liber pot fi de natură: - directă – în care se cunoaşte sistemul de forţe ce solicită rigidul şi se urmăreşte determinarea poziţiei sale de echilibru; - inversă – în care se cunoaşte poziţia de echilibru a rigidului şi se urmăreşte determinarea sistemului de forţe ce acţionează

asupra lui pentru a-l menţine în această poziţie; - mixtă – în care se conosc parţial caracteristici legate atât de sistemul de forţe cât şi de poziţia de echilibru şi se urmăreşte

determinarea celorlalte necunoscute privind atât sistemul de forţe cât şi poziţia de echilibru. Aceste probleme în general sunt static determinate (deci pot fi rezolvate) dacă numărul necunoscutelor scalare ce

intervin nu depăşeşte: şase – în cazul unui sistem spaţial de forţe, respectiv trei – în cazul unui sistem plan de forţe (conform celor prezentate la reducerea unui sistem de forţe coplanare).

Dacă planul forţelor este, de ex., xOy atunci sistemul ecuaţiilor scalare de echilibru se reduce la

0

0

0

z

y

x

M

R

R

adică pentru studiul echilibrului rigidelor bidimensionale solicitate de forţe situate în planul acestora sunt disponibile două ecuaţii de proiecţii şi una de momente în raport cu axa perpendiculară pe planul forţelor.

y

x

xvvy

vz

x

y

z

O


2

IV.2. Echilibrul solidului rigid supus la legături ideale În realitate poziţia şi orientarea unui rigid este determinată de:

- sistemul de forţe active (date) ce acţionează asupra lui; - caracteristicile geometrice şi mecanice ale corpului; - existenţa anumitor restricţii numite legături, existente independent de sistemul de forţe dat.

Ca şi în cazul punctului material şi în cazul rigidului legătura reprezintă o restricţie de natură geometrică ce limitează libertatea de mişcare a acestuia şi care prezintă două aspecte:

- unul geometric constând în reducerea numărului g.d.l.; - unul fizic manifestat prin interacţiunea mecanică între corpurile în contact. Cu toate că în realitate zona de contact între corpuri este bidimensională în general, pentru simplificarea modelării

contactul se aproximează cu unul punctiform numit punct teoretic de contact. La el se raportează toate elementele torsorului forţelor de legătură.

În urma acestor aproximări, în mecanică există următoarele tipuri de legături ale rigidului:

• simpla rezemare într-un punct;

• articulaţia sferică (spaţială);

• articulaţia cilindrică (plană);

• încastrarea spaţială şi plană;

• legătura prin fir. Studiul echilibrului solidului rigid supus la legături are la bază aceeaşi axiomă a legăturilor, astfel că rigidul devine liber,

asupra lui acţionând două sisteme de forţe: - un sistem al forţelor active (date); - un sistem al forţelor de legătură introduse ca echivalent mecanic al legăturilor suprimate. Reducând cele două sisteme de forţe în raport cu un punct arbitrar ales, rezultă:

- un torsor al forţelor date format din vectorii 0,MR ;

- un torsor al forţelor de legătură format din vectorii LML 0, .

Astfel ecuaţiile vectoriale de echilibru sunt:

0

0

00LMM

LR.

Prin scalarizare se obţine un sistem de şase ecuaţii cu şase necunoscute cu ajutorul căruia poate fi studiat echilibrul solidului rigid supus la legături:

0

0

0

0)(

0)(

0)(

Lzz

Lyy

Lxx

zz

yy

xx

MM

MM

MM

WLR

VLR

HLR

.

Observaţie : Problemele de acest tip sunt static determinate dacă numărul necunoscutelor scalare ce intervin în rezolvare este: - ≤ 6 – pentru un rigid tridimensional solicitat de un sistem spaţial de forţe; - ≤ 3 – pentru un rigid bidimensional solicitat de un sistem de forţe situate în planul său. Dacă acest plan este, de ex., planul xOy, atunci sistemul ecuaţiilor scalare de echilibru se reduce la

0

0

0

Lzz

y

x

MM

VR

HR

.


3

IV.3. Legăturile rigidului

a) Simpla rezemare într-un punct (reazemul simplu) Se consideră o sferă rigidă (S) obligată să rămană permanent

pe suprafaţa )( ideală, fixă si indeformabilă în timp. În punctul

teoretic de contact se consideră un sistem de referinţă Oxyz cu axa Oz normală la suprafaţă.

Asupra rigidului acţionează un sistem de forţe active

)1( niFi care în raport cu punctul teoretic de contact se reduc

la un torsor de componente zyxzyx MMMRRR ,,,,, . Ţinând

seama de legătura impusă, acest sistem al forţelor date imprimă

rigidului următoarele mobilităţi: pe axa Ox: 0,0 xxv ; pe axa

Oy: 0,0 yyv ; pe axa Oz: 0,0 zzv .

Rezultă că echivalentul mecanic al legăturii este o forţă de legătură NW , situată după normala la suprafaţă în punctul

O care împiedică translaţia rigidului în lungul acestei axe. D.p.d.v. mecanic această legătură introduce o singură necunoscută şi anume modulul forţei de legătură.

Reazemul simplu suprimând rigidului o singură mobilitate, rezultă că acesta prezintă cinci g.d.l. Acestea sunt cele două translaţii după axele care definesc planul tangent la suprafaţă în punctul teoretic de contact şi rotatiile după cele trei axe ale sistemului de referinţă considerat. Simbolizarea în aplicaţii şi echivalentul mecanic al legăturii sunt prezentate în figură. b) Articulaţia sferică (spaţială)

Conform acestui tip de legătură, un punct O al unui rigid (S) se află permanent fix într-o poziţie bine definită în spaţiu. Acest punct reprezintă centrul articulaţiei sferice. Ca şi în cazul anterior, se consideră că asupra rigidului acţionează un sistem de forţe date care se reduce în raport cu centrul O al articulaţiei la un torsor de componente zyxzyx MMMRRR ,,,,,

Legătura permite ca mobilităţi simple rotaţiile zyx ,, după

axele sistemului de referinţă considerat, deci rigidul prezintă trei g.d.l. Necunoscutele introduse sunt trei, reprezentate de componentele WVH ,,

ale forţei de legătură.

c) Articulaţia cilindrică (plană) Conform acestui tip de legătură un punct O al rigidului se consideră

permanent fix în planul de acţiune al forţelor date. Sistemul de forţe active fiind deci un sistem de forţe coplanare, situate de exemplu în planul xOy, reducerea lui în raport cu centrul articulaţiei conduce la un torsor format din trei componente zyx MRR ,, .

Legătura permite rigidului o singură mobilitate simplă z , celelalte fiind

anulate. Rigidul prezintă deci un singur g.d.l. Necunoscutele introduse sunt două, reprezentate de componentele VH , ale forţei

de legătură.

d) Încastrarea Conform acestui tip de legătură, un mare număr de puncte ale unui rigid

sunt imobilizate într-o poziţie bine definită în spaţiu. Legătura suprimă rigidului toate mobilităţile simple, deci rigidul nu prezintă nici

un g.d.l. În cazul general al încastrării spaţiale, necunoscutele introduse sunt şase şi anume toate elementele torsorului forţelor de legătură. Dacă rigidul este o placă solicitată de un sistem de forţe situate în planul său (de ex. xOy), încastrarea este plană şi necunoscutele introduse sunt trei: componentele H şi V ale reacţiunii precum

şi un moment de legătură. Simbolizarea în aplicaţii şi echivalentul mecanic al legăturii sunt prezentate în figură.

M M

x

x

Rx

x

yy

Ry

y

z

O

RMz

z

z

iF

F1

W- echivalent

mecanic:x

O y

- simbolizare

Fn

z

Nxv vy

W N


4

IV.4. Echilibrul cu frecare al solidului rigid Experimental se constată că oricărei mişcări sau tendinţe de mişcare relativă între două corpuri în contact se opune o

forţă de rezistenţă numită forţă de frecare. Se consideră un solid rigid (S), simplu rezemat în O şi supus

acţiunii unui sistem de forţe exterioare )1( pjF j . Datorită

deformaţiei şi rugozităţii corpurilor în zona de contact, în realitate contactul se realizează într-o infinitate de puncte ale unei mici suprafeţe create în jurul punctului teoretic de contact O. Aplicând axioma legăturilor, fiecare legătură geometrică punctiformă se suprimă şi se înlocuieşte cu o forţă de legătură )1( nini , de

modul şi direcţie necunoscute.

Reducând sistemul forţelor exterioare jF şi a forţelor de legătură in în raport cu punctul teoretic de contact O, rezultă:

- un torsor al forţelor exterioare 0,MR ;

- un torsor al forţelor de legătură LML 0, .

Prin descompunerea acestora după normala la suprafaţă şi după o direcţie din planul tangent la suprafaţă în O se obţin componentele:

- pentru sistemul forţelor active tntn MMRR ,,, ;

- pentru sistemul forţelor de legătură rp MMTN ,,, .

Ecuaţiile vectoriale pentru echilibrul rigidului sunt:

0

0

00LMM

RL.

Scalar se pot scrie relaţiile:

rt

pn

t

n

MM

MM

TR

NR

.

Interpretarea acestora este următoarea: - componenta nR a sistemului de forţe active tinde să deplaseze solidul rigid în direcţia normalei la suprafaţa de contact,

deplasare împiedicată de componenta N a sistemului forţelor de legătură numită reacţiunea normală. Aceasta are direcţia

normală la suprafaţă şi sensul contrar mişcării simple suprimate;

- componenta tR a sistemului de forţe active are tendinţa de a deplasa corpul în planul tangent la suprafaţă, deplasare

care se numeşte alunecare şi care este împiedicată de componenta T a sistemului forţelor de legătură numită forţa de frecare de alunecare;

- componenta nM a sistemului forţelor active reprezintă un cuplu ce are tendinţa de a roti rigidul în jurul normalei la

suprafaţă în punctul de contact, rotaţie care se numeşte pivotare şi care este împiedicată de componenta pM a sistemului

forţelor de legătură numită moment al frecării de pivotare;

- componenta tM a sistemului forţelor active reprezintă un cuplu ce are tendinţa de a roti rigidul în jurul unei axe cuprinse

în planul tangent la suprafaţă, rotaţie care poartă numele de rostogolire şi care este împiedicată de componenta rM a sistemului

forţelor de legătură numită moment al frecării de rostogolire.

O O

O

S

L

M

N

O

Mn

Rt

nR

Mt

T M

Mp

r

R

MO

L

ML

O

RMO

L

SS

in

F1

jFFp


5

IV.4.1. Frecarea de rostogolire (cazul roţii trase) Frecarea de rostogolire

reprezintă un fenomen fizic real ce se manifestă printr-un moment rezistent numit moment al frecării de rostogolire. Roata se poate rostogoli în două situaţii: - sub acţiunea unei forţe orizontale F ce acţionează asupra axului roţii – cazul roţii trase;

- sub acţiunea unui moment M având ca suport axul roţii – cazul roţii motoare.

Se consideră un disc de rază r ce se rostogoleşte pe un plan orizontal aspru caracterizat de un coeficient al frecării de

alunecare . Asupra lui acţionează un sistem de forţe exterioare format din greutatea G şi din forţa motoare F .

Datorită deformaţiei şi rugozităţii suprafeţei, în realitate contactul are loc pe o mică suprafaţă situată în jurul punctului teoretic de contact A. În baza axiomei legăturilor, fiecare legătură geometrică punctiformă se suprimă şi se înlocuieşte cu o reacţiune normală in ni 1 şi o forţă de frecare it ni 1 , ale căror rezultante sunt:

- reacţiunea normală N acţionând la o distanţă e de punctul A. Suntem obligaţi să admitem existenţa distanţei e

deoarece în caz contrar roata s-ar rostogoli la o valoare oricât de mică a forţei F , lucru contrazis de practică;

- o forţă de frecare T al cărui suport se poate considera că trece tangent la suprafaţă prin punctul A. Introducând în A două forţe egale şi direct opuse de modul N, se observă că sistemul forţelor de legătură este mecanic

echivalent cu:

- forţele N şi T aplicate în A;

- un moment al frecării de rostogolire eNMr .

Ecuaţiile scalare de echilibru vor fi deci:

NT

rFM

GN

TF

r

0

0

0

.

Interpretarea lor este următoarea:

- forţa motoare F are tendinţa de a deplasa roata prin alunecare pe planul orizontal, deplasare anulată de forţa de

frecare de alunecare T ;

- greutatea G are tendinţa de a deplasa roata după direcţia normală la suprafaţă în A, deplasare anulată de reacţiunea

normală N ;

- cuplul de mărime rF are tendinţa de a roti roata în jurul axei normale la planul său în A, rotaţie numită rostogolire şi

care este anulată de momentul frecării de rostogolire rM .

Deoarece echilibrul nu are loc decât pentru valori limitate ale forţei F (crescând forţa motoare echilibrul se rupe la un moment dat), rezultă că momentul frecării de rostolire rM este limitat. Conform ecuaţiilor scalare de echilibru se poate scrie:

eGeNMr

Având în vedere că greutate G este bine definită, rezultă că de fapt distanţa e este limitată. Valoarea maximă a acestei distanţe se notează

se max

şi poartă numele de coeficient al frecării de rostogolire. Expresia momentului frecării de rostogolire va fi deci:

NsMr

Între coefificientul frecării de rostogolire s şi coeficientul frecării de alunecare există o relaţie de legătură ce poate fi stabilită

plecând de la cea de a treia ecuaţie din sistemul ecuaţiilor scalare de echilibru, după cum urmează:

rFMr

rNrTNs

rs .

Pentru ca roata să rămână în echilibru este necesar ca rMrF .

r

O

ti

ni

A

F

G

T

Ne

r

O

A

F

G

TN

eN

-N

r

O

A

F

G

T MrN


6

Problemă rezolvată : Se consideră sistemul format dintr-un disc de greutate Q şi rază r şi o bară de lungime l, având greutatea G. Cilindrul este rezemat cu frecare pe o suprafaţă orizontală (în punctul A), iar bara este articulată în punctul O cu cilindrul şi este rezemată fără frecare în punctul B, de un perete vertical, faţă de care se află la unghiul α. Se cere să se determine coeficientul de frecare la alunecare μ, respectiv coeficientul de frecare la rostogolire s, din punctul B, astfel încât sistemul să fie în echilibru. Se neglijează frecarea din articulaţia O.

r

O

AQ

H0

Mr

G

C

B

ar

O

AQ

G

C

B

aV0

NA

TA

O H0

V0

NB

a) b) c)

Soluție: Se separă corpurile şi se înlocuiesc legăturile cu forţele de legătură. În punctul A se introduc forţa de frecare la alunecare

T şi momentul frecării de rostogolire Mr care se opun tendinţelor de alunecare şi rostogolire (fig.37b). În punctul O se introduc reacţiunile H0, respectiv V0, iar în punctul B se introduce reacţiunea normală NB (fig.37c).Se

scriu ecuaţiile de echilibru pentru fiecare corp în parte, astfel:

- pentru disc:

Ar

AA

r

A

A

NsM

NT

rHM

VQN

HT

0

0

0

0

0

0

pentru bară:

0cossin2

0

0

0

0

aa lNl

G

GV

NH

B

B

Din ecuaţia de momente scrisă pentru bară rezultă: atgGNB 2

1. Din primele două ecuaţii scrise pentru bară, rezultă:

atgGNHGV B 2

1, 00 . Înlocuind expresia lui V0 în a doua ecuaţie scrisă pentru disc, rezultă: GQNA

Înlocuind expresia lui H0 în ecuaţia de momente scrisă pentru disc şi înlocuind în ultima relaţie termenii, rezultă:

02

1 rtgGGQs a sau

r

GQ

tgGs

a

2

1

În mod asemănător, înlocuind termenii în a patra ecuaţie scrisă pentru disc, rezultă:

GQtgG a2

1 sau

GQ

tgG

a

2

1

Relaţiile deduse pentru s şi μ respectă relaţia de legătură între coeficientul frecării de rostogolire şi coeficientul frecării de alunecare:

rs


7

IV.4.2. Frecarea de pivotare Frecarea de pivotare reprezintă un fenomen fizic real manifestat printr-un

moment rezistent numit moment al frecării de pivotare. Se consideră un arbore vertical, de secţiune transversală inelară, care se

reazemă într-un lagăr. Suprafaţa inelară de contact poartă numele de suprafaţă de pivotare. Asupra arborelui acţionează un sistem de forţe exterioare care, în raport cu

punctele axei de simetrie se reduce la un torsor minimal nn MR , . În baza axiomei

legăturilor, fiecare contact (legătură) punctiform al suprafeţei de pivotare se suprimă şi

se înlocuieşte cu o reacţiune normală in ni 1 şi o forţă de frecare de alunecare

it ni 1 . Acest sistem al forţelor de legătură se reduce în raport cu punctele axei

de simetrie la un torsor format din:

- reacţiunea normală N care anulează efectul componentei nR a torsorului forţelor

active;

- momentul frecării de pivotare pM care anulează efectul componentei nM a

torsorului forţelor active. Cu notaţiile din figură, reacţiunea normală pe elementul de arie dA va fi:

dApdN

unde: - p reprezintă presiunea creată de forţele exterioare pe unitatea de suprafaţă

22 rR

N

A

Rp n

;

- dA reprezintă elementul de arie

dddA .

Forţa de frecare elementară, tangentă la cercul de rază şi dirijată în sens contrar tendinţei de rotaţie imprimate de

momentul forţelor active nM va avea valoarea (considerând un coeficient de frecare de alunecare constant în toate punctele

de contact): dApdNdT .

Momentul de frecare elementar datorat forţei de frecare elementară va fi: dTdM p .

Momentul frecării de pivotare pentru întreaga suprafaţă de contact se obţine prin integrare:

23

332

0

22 rRpddpddpdApdMM

A A

R

r

pp .

Înlocuind p rezultă:

NrR

rRM p

22

33

3

2 ,

unde se introduce notaţia :

22

33

3

2

rR

rRk

.

Acest coeficient k poartă numele de coeficient al frecării de pivotare şi se observă că depinde atât de forma pivotului (prin cele două raze) cât şi de natura suprafeţelor în contact (prin coeficientul frecării de alunecare .

Expresia momentului frecării de pivotare va fi deci: NkM p .

Pentru ca arborele să rămână în echilibru este necesar ca pn MM .

p

R

Mn

N

Mp

Mp

r

R

dd

dT


8

Problemă rezolvată: Se cere să se deducă expresia momentului frecării de pivotare în cazul unui disc de frână, asupra căruia acţionează de două plăcuţe de frână. Plăcuţele de frână acţionează cu o forţă P asupra discului, datorită presiunii uniforme p cu care se acţionează asupra plăcuţelor.

Soluție:

Se deduce expresia forţei de apăsare, astfel:

22

0

22

0 22ieie

R

RRR

pdRR

pddrrpApP

e

i

Se deduce expresia momentului frecării de pivotare, astfel:

0

332

3

222

e

i

R

Rie RR

pddrrpdArpM

33

22

2

3

2ie

ie

RRRR

PM

22

33

3

4

ie

ie

RR

RRPM

Se observă că momentul frecării de pivotare nu depinde de unghiul β, ci doar de dimensiunile plăcuţei (prin razele Re, respectiv Ri) şi de valoarea forţei P cu care plăcuţele acţionează asupra discului.

IV.4.3. Frecarea în articulaţii Frecarea în articulaţii reprezintă un fenomen fizic complex, caracterizat în acelaşi

timp prin rostogolire şi alunecare (cazul lagărului cu joc) sau numai prin alunecare (cazul lagărului fără joc). Se va prezenta în continuare cazul lagărului cu joc.

Se consideră un fus (1) de rază r introdus într-un lagăr radial (2). Teoretic, contactul are loc în toate punctele aparţinând generatoarei ce trece prin A. Pentru simplificare s-a considerat cazul unei articulaţii cilindrice plane. Asupra fusului acţionează un sistem de forţe exterioare situat întegral în planul discului, având ca echivalent mecanic un torsor format din:

- rezultanta R situată în planul discului sub unghiul a faţă de normala principală ;

- momentul rezultant OM orientat după axa perpendiculară în O pe planul discului. Acţiunii

momentului OM se opune momentul de frecare din lagăr fM . Suprimând legătura din A, elementele mecanic echivalente sunt

N , T şi rM . Ecuaţiile scalare de echilibru în raport cu sistemul de referinţă ( , ) considerat, sunt:

NsM

NT

rRMM

RT

RN

r

Or

a

a

a

0sin

0sin

0cos

.

Conform acestora rezultă: a tg

şi

NsrRMO asin ,

sau

aa cossin

r

srRMO .

O

A

M0

2

1

r

R

a

Mr

N

T

RiRe


9

Având în vedere că 21

sin

a

şi

21

1cos

a

, se obţine: rRr

s

MO

21

,

unde se introduce notaţia : 21

r

s

Coeficientul .poartă numele coeficient complex al frecării din articulaţie şi se observă că ţine seama atât de

dimensiunea fusului (prin raza r) cât şi de cele două tipuri de frecări (prin coeficienţii şi s).

Conform principiului acţiunii şi reacţiunii momentul de frecare din articulaţie fM este egal şi direct opus lui OM .

Expresia lui va fi deci:

RrM f

Analog, în cazul echilibrului, rezultanta forţelor exterioare R este anulată de forţa de legătură L a cărei expresie este:

- 22 VHL în cazul articulaţiei cilindrice;

- 222 WVHL în cazul articulaţiei sferice.

Astfel, momentul de frecare din articulaţie poate fi pus sub forma:

- 22 VHrM f - pentru articulaţia cilindrică,

- 222 WVHrM f - pentru articulaţia sferică.

Pentru ca fusul să rămână în echilibru este necesar ca fO MM .

Observaţie : Se precizează faptul că fenomenele de frecare ce se produc într-un lagăr sunt mult mai complexe. Cele prezentate mai sus se referă doar la frecarea uscată. Cazul în care între fus şi lagăr se introduce un lubrifiant poate fi tratat numai cu ecuaţiile de mişcare ale fluidelor vâscoase.

Problemă rezolvată: Se consideră un corp cu masa de 50 kg, suspendat de un capăt al unui cablu trecut peste o roată de diametru D = 120 mm. Roata este sprijină pe două lagăre prin intermediul unui ax cu diametrul d = 15 mm. Coeficientul de frecare

statică între arbore şi lagăr este 4,0s (fig.41a). Să se determine valorile minime ale tensiunii din capătul liber al cablului

pentru cazul în care se doreşte ridicarea corpului, respectiv coborârea acestuia. Se consideră că nu există alunecare între cablu şi roată.

50 kg T 50 kg T

P1P2

rf

fs

R50 kg T

P1P2

rf

fs

R

62,77 57,23 62,7757,23

a) b) c)

Rezolvare: Forţa de greutate a corpului se notează cu G şi are valoarea: NsmkgG 490/8,950 2 .

Când corpul se află în echilibru, valoarea forţei aplicate în capătul liber al cablului va fi egală cu cea a forţei de greutate,

adică NT 490 , punctul de contact dintre arbore şi lagăr fiind P1. Creşterea forţei aplicate în capătul liber al cablului, va face

ca roata să se rotească (în sensul acelor de ceasornic), astfel că punctul de contact se deplasează în jurul arborelui, deven ind P2 (fig.41b).

Valoarea unghiului de frecare se determină astfel: 8,214,0tantan 11ss f

Distanţa 𝑟𝑓 măsurată pe orizontală va avea valoarea:


10

mmdd

r sf 77,237,05,78,21sin2

sin2

f

Scriind ecuaţia de momente în raport cu punctul 𝑃2 se obţine:

077,26077,260 mmTmmG

de unde rezultă că: Nmm

mmGT 43,537

23,57

77,62490

77,260

77,260

Când corpul coboară, discul se deplasează în sens invers acelor de ceasornic, punctul de contact se deplasează spre stânga.

În acest caz, ecuaţia de mom. în raport cu puntul P2 este:

077,26077,260 mmTmmG

de unde rezultă că:

Nmm

mmGT 75,446

77,62

23,57490

77,260

77,260

Diferenţa dintre valoarea forţei necesare ridicării corpului şi cea necesară coborârii este de 90,68 N.

IV.4.4. Frecarea firelor

Un caz des întâlnit în practică îl reprezintă situaţia în care un fir este trecut peste un tambur (disc fix), fiind în contact cu

acesta sub un unghi β. Asupra firului acţionează la capetele acestuia forţele 1T , respectiv 2T , de valori diferite. Diferenţa dintre

cele două forţe se datorează frecării dintre fir şi disc, coeficientul de frecare la alunecare fiind μ.

Când tendinţa de mişcare este în sensul acelor de ceasornic (fig.32a), 12 TT , respectiv dacă tendinţa de mişcare

este în sens invers acelor de ceasornic 21 TT .

Studiul forţelor se realizează în ipoteza că firul este perfect flexibil, inextensibil, iar greutatea acestuia este neglijabilă.

T2T1

d2

d2

dN

dS

x

y

dF = dN

T

T + dT

d2

d2

a) b)

În figura a este ilustrat un fir trecut peste un tambur şi se notează cu β unghiul sub care se află în contact cureaua şi roata. Forţa de frecare dintre curea şi roată are o variază atât ca valoare, cât şi ca direcţie. Din acest motiv, în studiul forţelor se consideră un element de curea, de lungime 𝑑𝑠 (figura b).

Valoarea forţei de frecare este: dNdF

Această forţă se opune mişcării de alunecare a curelei şi creşte valoarea tensiunii din curea dT .

Aplicând ecuaţiile de echilibru corespunzătoare celor două direcţii Ox, respectiv Oy (fig.32b), rezultă:

02

sin2

sin:

02

cos2

cos:

dT

ddTTdNOy

ddTTdN

dTOx

Ţinând cont de faptul că pentru valori infinitezimale ale unghiului d sunt valabile relaţiile: 12

cos,22

sin

ddd

, iar produsul a doi termeni cu valori infinitezimale dT şi 2

d poate fi neglijat, rezultă că ecuaţiile de mai sus pot fi scrise astfel:


11

dTTdN

dTdN

Eliminând dN din cele două relaţii, rezultă: dT

dT

Integrând această ecuaţie între limitele )0(2 T și )(1 T , se obţine:

0

1

2

dT

dTT

T

adică: 2

1lnT

T de unde rezultă: eTT 21

unde: 21, TT reprezintă tensiunile din ramurile curelei, μ reprezintă coeficientul de frecare dintre curea şi roata de curea, β

reprezintă unghiul de contact dintre curea şi roata de curea (în radiani).

Trebuie remarcat faptul că 1T nu depinde de diametrul tamburului, ci de unghiul β de contact dintre fir şi tambur.

Dacă se consideră ambele sensuri de mişcare, rezultă: eTT 12 relaţii care reprezintă relaţiile lui Euler pentru

frecarea firelor.

Firul va rămâne în echilibru dacă se îndeplinesc condiţiile: eT

Te

1

2

Problemă rezolvată: În figură, un corp cu masa de 50 kg este suspendat prin intermediul unei curele late, trecute peste un tambur fix. Se cere să se determine valorile limită (minimă şi maximă) ale forţei P cu care trebuie să se acţioneze asupra celuilalt

capăt al curelei, astfel încât corpul să nu se deplaseze pe verticală. Coeficientul de frecare dintre curea şi tambur este: 25,0

.

P

50 kg

Soluție: Forţa de greutate a corpului se notează cu G şi are valoarea:

NsmkgG 490/8,950 2 .

Relaţia de legătură între forţele din ramurile curelei este eTT 21 . Baza logaritmului natural este 718,2e .

Unghiul de contact dintre curea şi tambur este de 90° ( 2/ ).

Pentru deplasarea iminentă în sus a corpului, se consideră max1 PT şi GT 2 .

Aplicând relaţia rezultă:

NeGP 2,725480,1490718,2490 2/25,0max

Pentru deplasarea iminentă în jos a corpului, se consideră GT 1 şi min2 PT .

Aplicând relaţia rezultă:

NeGP 1,331480,1/490718,2/490/ 2/25,0min


12

IV.4.5. Rigiditatea firelor Se consideră un disc de rază R articulat cilindric în centrul său de masă O,

având raza r a fusului din articulaţie şi coeficientul complex al frecării din articulaţie .

Pe periferia discului este înfăşurat un cablu care în realitate nu este perfect flexibil. Datorită acestui fapt el opune o rezistenţă la încovoiere numită rigiditate funiculară, manifestată prin aceea că în zonele si unde cablul se înfăşoară şi se

desfăsoară de pe scripete, curbura variază continuu până la valoarea zero şi nu

brusc cum ar fi posibil în cazul unei flexibilităţi perfecte. Ca urmare, cablul se apropie de axa de rotaţie cu distanta în zona unde se aplică forţa motoare şi se departează

cu distanta în zona unde acţionează forţa rezistentă .

Ecuaţiile scalare de echilibru ale scripetelui sunt:

,

de unde rezultă forţa motoare

.

Deoarece sunt foarte mici, se poate scrie:

.

Introducând notaţiile şi , rezultă:

.

Această relaţie se utilizează în studiul echilibrului sistemelor de scripeţi. Coeficientul pune în evidenţă atât

rigiditatea funiculară cât şi frecarea din articulaţie şi se determină mai precis pe cale experimentală. Valorile lui se pot lua în funcţie de diametrul d al cablului:

- pentru funii de cânepă;

- pentru cabluri de oţel.

1BB 1AA

R1

1e 1T

2e 2T

0

0

2211

21

rNeRTeRT

TTN

21

21 T

reR

reRT

ree ,, 21

221

21

211

21

21 T

R

r

R

eeT

reR

reeT

R

ee 21 R

rk

21

21 TkT

1k

206,002,0 d

209,006,0 d

2r

R

e1e2

T1T2

A1

A

B1

B

N

O

M f


13

IV.6. Echilibrul solidului rigid În cazul solidului rigid, deoarece forţele care acţionează asupra lui nu sunt, în general, concurente, condiţia pentru echilibrul acestuia este torsorul sistemului de forţe ceacţionează asupra lui să fie nul. Etapele care se pargurg pentru rezolvarea problemelor de echilibru al solidului rigid sunt următoarele:

a) se întocmeşte schema mecanică în care se marchează forţele exterioare (dacă s.r. este liber) şi de legătură (dacă s.r. este supus la legături);

b) se alege convenabil sistemul de referinţă; c) se scriu ecuaţiile scalare de echilibru; d) se identifică necunoscutele problemei; e) se rezolvă sistemul de ecuaţii şi se obţin mărimile căutate.

Exemplul nr. 1 : Într-un vas semisferic luciu, de rază R, este aşezată o bară omogenă AB de lungime 2l şi greutate G. Să se determine unghiul şi reacţiunile din A şi D în poziţia de echilibru.

Asupra barei acţioneză:

1) un sistem de forţe exterioare format din greutatea G ;

2) un sistem al forţelor de legătură format din reacţiunile normale în punctele A şi D.

Condiţiile vectoriale de echilibru sunt:

0LR ; 0 LOO MM .

Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceaste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente:

0coscos2

0cossin

0sincos

lGRN

NGN

GN

D

DA

A

.

Din ecuaţiile (1) şi (3) se obţin

tgGNA ; R

lGN D

2

care, introduse în ecuaţia (2), conduc la

02

coscos

sin 2

R

lGGG

.

Deoarece 2

0 , se obţine ecuaţia de gradul doi

02

1cos

4cos 2

R

l

cu soluţiile

2

1

88cos

2

2,1

R

l

R

l

Convine numai soluţia cu (+)

2

1

88arccos

2

R

l

R

l .

Condiţia 2

0 conduce la

RlR 2 .

G

2R

A

BO

G

2

R

A

BO

2 R cos

cos

C

NA

ND

D

G

2

R

A

BO

2 R cos

cos

C

NA

ND

D

DG

2R

A

BO

G

2

R

A

BO

2 R cos

cos

C

NA

ND

D

G

2

R

A

BO

2 R cos

cos

C

NA

ND

D

D


14

Exemplul nr. 2 : Ce forţă orizontală F trebuie aplicată tangent cilindrului din figură pentru a putea fi rostogolit peste pragul de înălţime h? Care este valoarea minimă a coeficientului de frecare necesar pentru ca rostogolirea să fie posibilă? Cilindrul are greutatea G şi raza R.

Asupra cilindrului acţioneză:

1) un sistem de forţe exterioare format din greutatea G şi din forţa orizontală F ;

2) un sistem al forţelor de legătură format din reacţiunea normală N şi din forţa de

frecare de alunecare T , în punctul de contact cu pragul. Obs.1 Trebuie observat faptul că reazemul cilindrului pe planul orizontal este o legătură falsă,

deoarece în momentul în care se produce rostogolirea, deci forţa de frecare cu pragul îşi produce efectul, contactul cu planul orizontal încetează.


0LR ; 0 LOO MM .

Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceaste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente. Acestora se adaugă condiţia de echilibru cu frecare la limita de alunecare, în punctul de contact cu pragul:

NT

RFRT

NGF

TGF

aaaa

0

0cossin

0sincos

În acest sistem de patru ecuaţii necunoscutele sunt mărimea forţei orizontale F şi a coeficientului de frecare de alunecare , care fac posibilă rostogolirea peste prag. Din a treia ecuaţie rezultă

FT care introdusă în prima conduce la

a

a

sin

cos1TG .

Înlocuind în a doua ecuaţie se oţine relaţia

NT

a

a

cos1

sin ,

de unde

a

a

cos1

sin

sau

2

a tg .

Conform figurii

R

hhR

R

hRR 2222

sin

a ; R

hRacos

şi rezultă condiţia pentru a fi posibilă rostogolirea peste prag sub forma

hR

h

2 sau

2

a tg .

Forţa F care face posibilă rostogolitea este :

hR

hGGTF

2cos1

sin

a

a.

Obs.2 Coeficientul frecării de alunecare poate fi obţinut direct observând că,

pentru echilibru, rezultanta forţelor de legătură L trebuie să treacă prin B (cele trei forţe

GLF ,, să fie concurente):

2

a tgtg

N

T .

hR

B

N

G

F

T

L

a

O

A

D

h

B

N

G

F

T

a

O

A

D

h

B

G

F

O

A

D

R

hR

B

N

G

F

T

L

a

O

A

D

R-h

R

h

B

N

G

F

T

a

O

A

D

R-h

R

hR

B

N

G

F

T

L

a

O

A

D

h

B

N

G

F

T

a

O

A

D

h

B

G

F

O

A

D

R

hR

B

N

G

F

T

L

a

O

A

D

R-h

R

h

B

N

G

F

T

a

O

A

D

R-h

R

hR

B

N

G

F

T

L

a

O

A

D

hB

N

G

F

T

a

O

A

D

h

B

G

F

O

A

D

R

hR

B

N

G

F

T

L

a

O

A

D

R-h

R

h

B

N

G

F

T

a

O

A

D

R-h

R


15

Exemplul nr. 3: Ce forţă orizontală F trebuie aplicată tangent cilindrului din figură pentru a putea fi rostogolit peste pragul de înălţime h? Care este valoarea minimă a coeficientului de frecare necesar pentru ca rostogolirea să fie posibilă? Cilindrul are greutatea G şi raza

R. Asupra cilindrului acţioneză:

1) un sistem de forţe exterioare format din greutatea G şi din forţa orizontală F ;

2) un sistem al forţelor de legătură format din reacţiunea normală N şi din forţa de

frecare de alunecare T , în punctual de contact cu pragul. Obs.1 Trebuie observat faptul că reazemul cilindrului pe planul orizontal este o legătură falsă,

deoarece în momentul în care se produce rostogolirea, deci forţa de frecare cu pragul îşi produce efectul, contactul cu planul orizontal încetează.


0LR ; 0 LOO MM .

Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente. Acestora se adaugă condiţia de echilibru cu frecare la limita de alunecare, în punctul de contact cu pragul:

NT

RFRT

TNG

TNF

aaaa

0

0sincos

0cossin

În acest sistem de patru ecuaţii necunoscutele sunt mărimea forţei orizontale F şi a coeficientului de frecare de alunecare , care fac posibilă rostogolirea peste prag. Din a treia ecuaţie rezultă

FT care introdusă în prima şi în ultima conduce la

NNF aa cossin ,

de unde aa cossin

adică

2cos1

sin a

a

a tg

.

Conform figurii

R

hhR

R

hRR 2222

sin

a ; R

hRacos

şi rezultă condiţia pentru a fi posibilă rostogolirea peste prag sub forma

2

a tg sau

hR

h

2 .

Din a doua ecuaţie rezultă mărimea forţei F:

aa

cossin GTF

Obs.2 Coeficientul frecării de alunecare poate fi obţinut direct observând că, pentru

echilibru, rezultanta forţelor de legătură L trebuie să treacă prin A (cele trei forţe

GLF ,, să fie concurente):

2

a tgtg

N

T .

hR

hR

hR

A


16

Exemplul nr. 4: Bara cotită OAB, articulată plan în O şi simplu rezemată în C, este încărcată ca în figură. Să se determine reacţiunile în O şi C. Asupra barei acţioneză:

1) un sistem de forţe şi momente exterioare format din forţele P

şi P2 şi din momentul aPM D ;

2) un sistem al forţelor de legătură format din reacţiunea normală

N şi din componentele H şi V ale reacţiunii din articulaţia O.


0LR ; 0 LOO MM .


0322

02

0

aPaNaPaPM

NPPV

PH

D

.

Rezultă

PH ; PV 3

2; PN

3

7.

Obs. Semnul (-) al componentei orizontale a reacţiunii din O arată faptul că, în realitate, orientarea acesteia este opusă celei considerate iniţial. Reacţiunea din O este:

22 VHR lO ; PR lO 3

13.

Exemplul nr. 5 : Un corp omogen de greutate P, format dintr-o semisferă de rază R şi un con de înălţime h, având baza comună cu semisfera, se reazemă fără frecare pe un perete vertical şi este legat printr-un fir de lungime l de un punct D al planului. Punctul A de fixare a firului pe corp se găseşte pe cercul de bază comun al semisferei şi conului. Să se determine:

a) poziţia centrului de greutate al corpului; b) relaţia dintre unghiul a format de axa de simetrie a corpului cu orizontala şi unghiul

format de fir cu planul vertical;

c) ecuaţia din care se poate calcula valoarea unghiului corespunzător poziţiei de

echilibru; d) reacţiunea peretelui şi tensiunea din fir.

a) Pentru calculul poziţiei centrului de greutate se alege, convenabil, un sistem de referinţă propriu Oxyz şi se utilizează relaţia corespunzătoare unui mediu discontinuu, tridimensional şi omogen, care admite două axe de simetrie,

2

1

2

1

ii

iii

C

V

Vz

z ,

în care:

hz C 4

11

; hRV 21

3

1 ; Rz C

8

32

; 32

3

2RV .

a

a

N

P

S

C

D

P

A

R

h

C

R

h

z1

z2

z

C

a

a

N

P

S

C

1C

2C

a

a

N

P

S

C

D

P

A

R

h

C

R

h

z1

z2

z

C

a

a

N

P

S

C

1C

2C

MD

P 2PP

a a a a

a

O

B

D E C

AMD

P 2PP

a a a a

a

B

D E C

A

H

N

V

MD

P 2PP

a a a a

a

B

D E C

A

H

N

V

P 2PP

a a a a

a

O

B

D E C

AMD

P 2PP

a a a a

a

B

D E C

A

H

N

V

MD

P 2PP

a a a a

a

B

D E C

A

H

N

V

M =p aD


17

Rezultă : 32

32

3

2

3

1

3

2

8

3

3

1

4

1

RhR

RRhRh

z C

Rh

Rhz C

2

3

4

122

.

b) Se consideră o secţiune după planul definit de fir şi de axa corpului. Conform figurii, se poate scrie relaţia:

a sinsin RlR .

Rezultă relaţia căutată

a sin1sin R

l.

c), d) Asupra corpului acţioneză:

1) forţa exterioară (de greutate) P ;

2) un sistem al forţelor de legătură format din reacţiunea normală N şi din tensiunea

din fir S .


0LR ; 0 LOO MM .

Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente:

0sincos

0cos

0sin

aa

RSzP

SP

SN

C

.

Rezultă din primele două ecuaţii:

cos

PS ; tgPN .

Din a treia ecuaţie se obţine

0cossincossincos

cos aaa

a RP

zP C

în care de înlocuiesc

a sin1sin R

l şi

2

sin11cos

a

R

l

şi rezultă ecuaţia din care se poate calcula valoarea unghiului corespunzător poziţiei de echilibru

sin2sin

sin

lRl

lR

R

ztg

C.

Exemplul nr. 6 : Se dă o placă compusă omogenă, de greutate G, situată într-un plan vertical, ale cărei dimensiuni sunt prezentate în figură. Placa este articulată plan în colţul A şi suspendată în colţul O de un arc cu constanta elastică k. Placa se află în echilibru cu faţa OA orizontală, când lungimea arcului în stare deformată este l. Să se determine:

a) coordonatele centrului de greutate al plăcii; b) reacţiunile din legături;

c) lungimea 0l a arcului nedeformat;

d) valorile reacţiunilor din legături şi lungimea iniţială 0l a arcului, dacă: NG 1000 , mNk /5000 , ml 20,0 .

a) Pentru calculul coordonatelor centrului de greutate se alege, convenabil, un sistem de referinţă Oxy şi se utilizează relaţiile corespunzătoare unui mediu discontinuu, bidimensional şi omogen:

a

a

N

P

S

C

D

P

A

R

h

C

R

h

z1

z2

zC

a

a

N

P

S

C

1C

2C

a

a

N

P

S

C

D

P

A

R

h

C

R

h

z1

z2

zC

a

a

N

P

S

C

1C

2C

A A

aa

R

O

A

k4r

2r

rAO

4r

2r

r

A

O4r

2r

rA

O

0

V

H

S

G

C

x

4r

2r

rA

O

V

H

S

G

C

x

1C

2C3C

C

2r

r

2r

4r

y

2r

r

2r

4r

x


18

3

1

3

1

ii

iii

C

A

Ax

x ;

3

1

3

1

ii

iii

C

A

Ay

y ,

unde iii Ayx ,, reprezintă coordonatele, respectiv aria figurii geometrice

simplă şi regulată i, componentă a figurii geometrice compuse, în raport cu acelaşi sistem de referinţă. Se va întocmi tabelul centralizator cu mărimile de calcul:

ix iy iA

3

242

rr

3

24 r 4

22

r

rr 43

12 r2

3

1 2

24 rr

r2

3

4 r 2

2r

Rezultă:

24

224

3

42

3

82

222

222

321

332211

rrr

rrrrrr

rr

AAA

AxAxAxxC

;

24

23

44

3

2

3

8

222

222

321

332211

rrr

rrrrr

r

AAA

AyAyAyy C

;

rxC

83

162

;

ry C

83

28

.

b) Asupra corpului acţioneză:

1) un sistem al forţelor exterioare G (de greutate) şi S (elastică);

2) un sistem al forţelor de legătură format din componentele H şi V ale reacţiunii din articulaţia A


0LR ; 0 LOO MM .

Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente:

06

0

0

rVxG

GSV

H

C

.

Rezultă:

0H ;

GGr

xV

C

89

8

3

1

6 ;

GS

89

8

3

2

.

c) Alungirea arcului este

89

8

3

2

k

G

k

Sl ,

iar lungimea arcului nedeformat era:

89

8

3

20

k

gllll .

d) Se obţin valorile: NGV 413413,0 ; NGS 587587,0 ; ml 117,05000

587 ; ml 083,0117,020,00 .

k4r

2r

rAO

4r

2r

r

A

O4r

2r

rA

O

0

V

H

S

G

C

x

4r

2r

rA

O

V

H

S

G

C

x

1C

2C3C

C

2r

r

2r

4r

y

2r

r

2r

4r

x

k4r

2r

rAO

4r2r

r

A

O4r

2r

rA

O

0

V

H

S

G

C

x

4r2r

rA

O

V

H

S

G

C

x

1C

2C3C

C

2r

r

2r

4r

y

2r

r

2r

4r

x

k4r

2r

rAO

4r

2r

r

A

O4r

2r

rA

O

0

V

H

S

G

C

x

4r

2r

rA

O

V

H

S

G

C

x

1C

2C3C

C

2r

r

2r

4r

y

2r

r

2r

4r

x

k4r

2r

rAO

4r

2r

r

A

O4r

2r

rA

O

0

V

H

S

G

C

x

4r

2r

rA

O

V

H

S

G

C

x

1C

2C3C

C

2r

r

2r

4r

y

2r

r

2r

4r

x

k4r

2r

rAO

4r

2r

r

A

O4r

2r

rA

O

0

V

H

S

G

C

x

4r

2r

rA

O

V

H

S

G

C

x

1C

2C3C

C

2r

r

2r

4r

y

2r

r

2r

4r

x


19

Exemplul nr. 7: O bară omogenă AB de lungime 2a şi greutate G se sprijină pe un plan orizontal şi pe un semicilindru de rază R, coeficientul frecării de alunecare fiind în ambele puncte de contact.

Să se determine valoarea maximă a unghiului a pentru care bara mai este

în echilibru. Asupra barei acţioneză:

1) forţa exterioară de greutate G ;

2) un sistem al forţelor de legătură format din reacţiunile normale AN , CN şi

din forţele de frecare de alunecare AT , CT în punctele de contact A şi C.


0LR ; 0 LOO MM .

Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceaste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente, la care se adaugă condiţiile de echilibru cu frecare de alunecare:

CC

AA

C

ACC

ACC

NT

NT

ctgRNaG

NGTN

TTN

aa

aa

aa

0cos

0sincos

0cossin

.

Rezultă din a treia ecuaţie

asinR

aGNC .

Adunând primele două ecuaţii se obţine: GNC a sin1 2 , de unde : 21

sin

a

a

R

Exemplul nr. 8: O masă simetrică şi omogenă, de greutate G, este formată dintr-un disc de rază R aşezat pe un suport cu trei picioare ale căror capete formează un triunghi echilateral de latură a. Pe marginea mesei, în punctul D, se află greutatea Q. Să se determine:

a) presiunea picioarelor mesei pe podea; b) valoarea greutăţii Q la care aceasta va răsturna masa.

Asupra mesei acţioneză:

1) un sistem de forţe exterioare format din greutatea mesei G şi din greutatea Q ;

2) un sistem al forţelor de legătură format din reacţiunile normale AN ,

BN şi CN din punctele de contact cu podeaua.


0LR ; 0 LOO MM .

Datorită particularităţii sistemului spaţial de forţe ce acţionează asupra rigidului, ecuaţiile scalare de echilibru sunt: ➢ o ecuaţie de proiecţii pe axa Oz; ➢ două ecuaţii de momente în jurul axelor Ox şi Oy.

02

3

3

1

2

3

2

3

3

1

022

0

aGaNaRQ

aN

aN

QGNNN

B

CA

CBA

.

Rezultă: a)

AB

C

D

Q

G

A

B

C

D

Q

a/2 a/2

NC

NB

NA

a

G

A

B

C

D

Q

a/2 a/2

NC

NB

NA

R

RR

B

a

R

)

A

C2a

)

A

C

a

R

G

TA

NA

TC

NC

a

A

C

a

R

G

TA

NA

TC

NC

a

B

a

R

)

A

C2a

)

A

C

a

R

G

TA

NA

TC

NC

a

A

Ca

R

G

TA

NA

TC

NC

a

AB

C

D

Q

a

G

A

B

C

D

Q

a/2 a/2

NC

NB

NA

R

R

R

a3/2

a/2 a/2

A C

B

D

a3/

2

G

A

B

C

D

Q

a/2 a/2

NC

NB

NA

R

a3/

2

1/3

a3/2


20

a

RQQGNN CA

23;

a

RQQGN B

3.

b) Dacă 0BN masa se răstoarnă, deci evenimentul se produce dacă

aR

aGQ

3

.

Exemplul nr. 9: O grindă cu consolă, articulată cilindric în A şi simplu rezemată în B, are dimensiunile şi încărcăturile prezentate în figură. Neglijând greutatea proprie a grinzii şi frecările, să se determine:

a) reacţiunile din legături; b) valoarea încărcăturii uniform repartizate p pentru care poziţia reazemului

din B trebuie inversată. a) Asupra grinzii acţioneză:

1) un sistem de forţe exterioare format din F , F3 şi sarcina uniform

repartizată p pe care, pentru simplificare, o înlocuim cu sarcina

concentrată P presupusă aplicată la mijlocul distanţei a. Evident că

apP ;

2) un sistem al forţelor de legătură format din NVH ,, .


0LR ; 0 LOO MM .

Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceaste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente, după cum urmează:

032

5sin3

0sin3

0cos3

aNaPaFaF

NPFFV

FH

a

aa

.

În acest sistem de trei ecuaţii necunoscutele sunt componentele reacţiunilor din legături NVH ,, . Rezultă, în ordine

acos3 FH ; apFN

6

5sin

3

1a ; apFV

6

1sin4

3

2a

b) În momentul de cumpănă în care apare nevoia de inversare a reazemului din B, reacţiunea normală N se anulează şi schema

mecanică se modifică corespunzător. Ecuaţia de monente din sistemul de mai sus devine:

02

5sin3 aPaFaF a ,

de unde rezultă: Faa

Pp

5

)1sin3(2 a.

Obs.

✓ Sensul componentelor VH , ale reacţiunii din articulaţie,

adoptat în schema mecanică este indiferent, acesta rezultând din ecuaţiile scalare de echilibru;

✓ Sensul reacţiunii normale N este bine definit, el fiind contrar mişcării simple suprimate.

Exemplul nr. 10: O placă omogenă de greutate G având forma şi dimensiunile prezentate în figură, este articulată cilindric în A şi suspendată în B prin intermediul unui resort de constantă elastică k având înălţimea h în stare deformată. Pentru poziţia de echilibru din figură, să se determine:

a) reacţiunile din legături; b) lungimea arcului nedeformat l.

AB

a a a a

A

a a a a

B

A

a a a a

B

2a

a

h3a

O A

k

a

A

O

1C

2C 3C

C

2a

a

2a

3a

x

2a3a

y

3a

A

V

H

G

C

x

2a

aO

h

k

Fe

3a

A

V

H

G

C

x

2a

aO

h

k

Fe

2a

a

2a

3a


21

Asupra plăcii acţioneză:

1) un sistem de forţe exterioare (date) format din greutatea G şi

forţa elastică eF ;

2) un sistem al forţelor de legătură format din componentele

VH , ale articulaţiei din O.


0LR ; 0 LOO MM .

Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceaste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una

de momente, după cum urmează:

05

0

0

aFxG

FVG

H

eC

e .

În acest sistem de trei ecuaţii necunoscutele sunt componentele VH , ale reacţiunii din articulaţie şi lungimea arcului

nedeformat l. Aceasta din urmă poate fi evidenţiată cunoscând că forţa elastică este proporţională cu deformaţia, factorul de proporţionalitate find constanta elastică. Prin urmare, notând mărimea deformaţiei arcului cu

lhy ,

forţa elastică va fi lhkykFe .

După înlocuiri, rezultă în ordine:

0H ; ka

xGhl

C

5;

a

xGV

C

51 .

Pentru calculul abscisei Cx a centrului de greutate se apelează la cunoştinţele privind determinarea coordonatelor

centrului de greutate. Deoarece avem de a face cu un mediu discontinuu, bidimensional şi omogen, se utilizează formula

În continuare, se va întocmi tabelul centralizator cu mărimile de calcul care intervin:

ix iA

3

243

aa

4

22

a

a2 2

23 aa

a3 2

2a

42

23

4

)2(

23

2

232

4

2

3

243

22

22

321

332211

aaaa

aa

aaa

aaa

AAA

AxAxAxxC

6

952

3

axC .

n

ii

n

iii

C

A

Ax

x

1

1

.

2a

a

h3a

O A

k

a

A

O

1C

2C 3C

C

2a

a

2a

3a

x

2a3a

y

3a

A

V

H

G

C

x

2a

aO

h

k

Fe

3a

A

V

H

G

C

x

2a

aO

h

k

Fe

2a

a

2a

3a

2a

a

h3a

O A

k

a

A

O

1C

2C 3C

C

2a

a

2a

3a

x

2a3a

y

3a

A

V

H

G

C

x

2a

aO

h

k

Fe

3a

A

V

H

G

C

x

2a

aO

h

k

Fe

2a

a

2a

3a

2a

a

h3a

O A

k

a

A

O

1C

2C 3C

C

2a

a

2a

3a

x

2a3a

y

3a

A

V

H

G

C

x

2a

aO

h

k

Fe

3a

A

V

H

G

C

x

2a

aO

h

k

Fe

2a

a

2a

3a

2a

a

h3a

O A

k

a

A

O

1C

2C 3C

C

2a

a

2a

3a

x

2a3a

y

3a

A

V

H

G

C

x

2a

aO

h

k

Fe

3a

A

V

H

G

C

x

2a

aO

h

k

Fe

2a

a

2a

3a

2a

a

h3a

O A

k

a

A

O

1C

2C 3C

C

2a

a

2a

3a

x

2a3a

y

3a

A

V

H

G

C

x

2a

aO

h

k

Fe

3a

A

V

H

G

C

x

2a

aO

h

k

Fe

2a

a

2a

3a


22

Exemplul nr. 11: O scară simetrică şi omogenă de lungime l şi greutate G se reazemă în A pe

un perete vertical cu coeficient de frecare 1 şi în B pe o podea orizontală cu coeficient de frecare

2 . Pe scară urcă un om de greutate Q.

Să se determine unghiul a pentru echilibru în funcţie de deplasarea d a omului pe scară.

Asupra scării acţioneză:

1) un sistem de forţe exterioare format din greutatea scării G şi din greutatea omului Q ;

2) un sistem al forţelor de legătură format din reacţiunile normale în punctele de reazem

BA NN , şi din forţele de frecare de alunecare BA TT , .


0LR ; 0 LOO MM .

Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceaste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente. Acestora se adaugă condiţiile de echilibru cu frecare la limita de alunecare, în punctele de contact:

BB

AA

AB

AB

BA

NT

NT

dlQl

GlNlN

QGTN

TN

2

1

0coscos2

sincos

0

0

aaaa

În acest sistem de cinci ecuaţii necunoscuta este una singură şi anume mărimea unghiului a pentru poziţia de echilibru. Din a treia ecuaţie, împărţin cu acos , rezultă

lN

dlQl

GlN

tgA

B

2a .

În continuare, prin substituţii succesive, se obţine:

dlQ

lGl

QG

lQGtg

21

1

212

21

a .

Exemplul nr. 12: Supapa de siguranţă a unui cazan cu abur are diametrul d şi este acţionată prin intermediul pârghiei omogene de lungime l şi greutate G. Să se determine valoarea greutăţii Q necesară pentru menţinerea unei presiuni p în interiorul cazanului şi reacţiunea din articulaţia A. Asupra pârghiei acţioneză:

1) un sistem de forţe exterioare (date) F , G , Q unde 2

2

dpF ;

2) un sistem al forţelor de legătură format din componentele H şi V ale reacţiunii din artculaţia A.


0 LR ; 0 LOO MM .


02

0

0

lQl

GaF

QGFV

H

.

Rezultă

24

2 lGp

l

daQ

; 0H ;

21

4

2 lGp

l

daV

.

A

d/2

G

NB

Q

TB

TA

NA

B

C

a

O

A

d

Q

Ba

)1

)2

A

d/2

G

NB

Q

TB

TA

NA

B

C

a

O

A

d/2

G

NB

Q

TB

TA

NA

B

C

a

O

A

d

Q

Ba

)1

)2

A

d/2

G

NB

Q

TB

TA

NA

B

C

a

O

B

d

a

Q

AC

G Q

a /2

F

A C B

H

V G Q

a /2

F

A C B

H

V

B

d

a

Q

AC

GP Q

a /2

F GP Q

a /2

F

A C B A C B


23

Exemplul nr. 13: Pe grinda de lungime l, simplu rezemată la capetele A şi B acţionează

cuplurile 1M şi

2M .

Neglijând greutatea proprie a grinzii, să se determine reacţiunile din reazeme. Asupra grinzii acţioneză:

1) un sistem de momente exterioare (date) 1M şi

2M ;

2) un sistem al forţelor de legătură format din reacţiunile normale în punctele de

reazem 21 , VV .


0 LR ; 0 L

OO MM .

Datorită particularităţii sistemului de forţe şi momente, aceaste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu două ecuaţii scalare:

0

0

122

21

MMlV

VV.

Rezultă : l

MMVV 12

21

dacă 12 MM ,

Respectiv : l

MMVV 21

12

dacă 21 MM .

Obs. Dacă 21 MM , reacţiunile în reazeme sunt nule. Este cazul grinzii

din figura alăturată. Exemplul nr. 14 : Arborele unei cutii de viteze este încărcat cu sistemul de forţe şi are dimensiunile prezentate în figură. Neglijând greutatea proprie a elementelor componente şi frecările, să se determine reacţiunile din lagărele A şi B. Asupra arborelui acţioneză:

1) un sistem de forţe exterioare

format din componentele 1rF , 1tF ,

1aF , 2rF , 2tF ale forţelor din

angrenaje;

2) un sistem al forţelor de legătură format din componentele AH ,

AV , AW

, BH ,

BV ale reacţiunilor din cele două lagăre.


0LR ; 0 LOO MM .

Arborele fiind supus acţiunii unui sistem spaţial de forţe, aceaste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu şase ecuaţii scalare:

0cossin

0

0sincos

0sincos

0

0cossin

2211

21

221

221

1

221

cbaHbaFbaFrFaF

RFrF

cbaWbaFbaFaF

WWFFF

VF

HHFFF

Btrar

tt

Btrt

BAtrt

Aa

BAtrr

aa

aa

aa

aa

.

Rezultă, în ordine:

cba

baFbaFrFaFH trar

B

aa cossin 2211 ;

B

M1 M2

A

B

M1 M2

A

V1 V2

a a

FF

a a

FF

B

M1 M2

A

V1 V2

B

M1 M2

A

B

M1 M2

A

V1 V2

a a

FF

a a

FF

B

M1 M2

A

V1 V2

B

M1 M2

A

B

M1 M2

A

V1 V2

a a

FF

a a

FF

B

M1 M2

A

V1 V2

V

H

A

ab

c

W

R

r

HB

A

A

A

WB

Fr1Ft1

Fa1

Fr2

Ft2

B

A

ab

c

R

r

Fr1Ft1

Fa1

Fr2Ft2

B

V

H

A

ab

c

W

R

r

HB

A

A

A

WB

Fr1Ft1

Fa1

Fr2

Ft2

B

a

a a

V

H

A

ab

c

W

R

r

HB

A

A

A

WB

Fr1Ft1

Fa1

Fr2

Ft2

B

A

ab

c

R

r

Fr1Ft1

Fa1

Fr2Ft2

B

V

H

A

ab

c

W

R

r

HB

A

A

A

WB

Fr1Ft1

Fa1

Fr2

Ft2

B

a

a a


24

BtrrA HFFFH aa cossin 221 ; 1aA FV ;

cba

baFbaFaFW trt

B

aa sincos 221 ;

BtrtA WFFFW aa sincos 221 ;

Reacţiunile din cele două lagăre sunt

222AAAA WVHR ;

22BBB VHR .

Exemplul nr. 15: Axul cu dimensiunile din figură este lăgăruit cilindric în punctele A şi B. Să se determine forţa P necesară ridicării sarcinii Q şi reacţiunile din lagăre, pentru poziţia din figură. Condiţiile vectoriale de echilibru sunt:

0LR ; 0 LOO MM .

Axul fiind supus acţiunii unui sistem spaţial de forţe, ecuaţiile scalare de echilibru sunt:

0

0

0

0

0

dcH

aPRQ

dcWcQbP

PWW

HH

B

B

BA

BA

.

Rezultă: a

RQP

;

0 AB HH ; dc

cQbPWB

; P

dc

cQbPWA

.

Exemplul nr. 16: Grinda încastrată având dimensiunile din figură, este încărcată cu forţa P.

Să se determine reacţiunile din legătură.


0LR ; 0 LOO MM .

Rigidul fiind supus acţiunii unui sistem spaţial de forţe, aceaste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu şase ecuaţii scalare:

0

0

02

0

0

0

zL

yL

xL

M

aPM

bPM

PW

V

H

.

Rezultă reacţiunile:

0H ; 0V ; PW ; bPM xL 2 ; aPM yL .

R

A

BWA

HA

WB

HB

P

bc

d

a

R

A

B

Q

P

bc

d

a

Q

R

A

BWA

HA

WB

HB

P

bc

d

a

Q

R

A

BWA

HA

WB

HB

P

bc

d

a

RA

B

Q

P

bc

d

a

Q

R

A

BWA

HA

WB

HB

P

bc

d

a

Q

2a

2b

P

2a

2b

P

a

a

V

H

W

Mx

My

Mz

LL

L

2a

2b

P

aV

H

W

Mx

My

Mz

LL

L

2a

2b

P

2a

2b

P

a

a

V

H

W

Mx

My

Mz

LL

L

2a

2b

P

aV

H

W

Mx

My

Mz

LL

L


25

Exemplul nr. 17: Grinda încastrată având dimensiunile din figură, este încărcată cu forţele P şi F. Să se determine reacţiunile din legătură. Condiţiile vectoriale de echilibru sunt:

0LR ; 0 LOO MM .

Rigidul fiind supus acţiunii unui sistem spaţial de forţe, aceaste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu şase ecuaţii scalare:

0

0

0

0

0

0

aFM

aPM

cFbPM

PW

FV

H

zL

yL

xL

.


0H ; FV ; PW ; bPcFM xL ; aPM yL ; aFM zL .

Exemplul nr. 18: Cuţitul unui strung este solicitat de forţele xF , yF ,

zF care acţionează ca în figură.

Să se determine forţele de legătură din încastrarea în portcuţit. -------------------------------------------------------- Condiţiile vectoriale de echilibru sunt:

0LR ; 0 LOO MM .

Cuţitul fiind supus acţiunii unui sistem spaţial de forţe, aceaste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu şase ecuaţii scalare:

02

022

02

0

0

0

lFcb

FM

dh

Fcb

FM

dh

FlFM

FW

FV

FH

xyzL

xzyL

yzxL

z

y

x

.


xFH ; yFV ; zFW ;

d

hFlFM yzxL

2;

d

hFc

bFM xzyL

22; lFc

bFM xyzL

2.

a

2b

a

2b

b

P

cF

V

H

W

Mx

My

Mz

L

L

L

P

cF

a

2b

b

P

cF

V

H

W

Mx

My

Mz

L

L

L

b

a

2b

a

2b

b

P

cF

V

H

W

Mx

My

Mz

L

L

L

P

cF

a

2b

b

P

cF

V

H

W

Mx

My

Mz

L

L

L

b

h

bFy

Fz

Fx

c

d

h

b

Fy

Fz

Fx

c

d V

H

W

Mx

My

Mz

L

L

L

h

b

Fy

Fz

Fx

c

d V

H

W

Mx

My

Mz

L

L

L

h

bFy

Fz

Fx

c

d

h

b

Fy

Fz

Fx

cd V

H

W

Mx

My

Mz

L

L

L

h

b

Fy

Fz

Fx

c

d V

H

W

Mx

My

Mz

L

L

L


26

IV.7. Echilibrul sistemelor de solide rigide În cazul sistemelor, asupra rigidelor acţionează trei categorii de forţe:

o un sistem al forţelor exterioare; o un sistem al forţelor de legătură exterioară a sistemului de corpuri; o un sistem al forţelor de legătură interioară, între elementele sistemului, care, conform principiului acţiunii şi reacţiunii,

sunt egale şi direct opuse. Pentru rezolvarea problemelor de echilibru a sistemelor de corpuri se utilizează, de regulă, teorema echilibrului părţilor, etapele care se pargurg fiind următoarele:

a) se izolează corpurile după care procedura continuă ca la echilibrul rigidului, adică se impune condiţia de torsor nul pentru fiecare parte componentă a sistemului;

b) se întocmesc schemele mecanice în care se marchează forţele exterioare, de legătură exterioară şi de legătură interioară;

c) se alege convenabil sistemul de referinţă, independent pentru fiecare; d) se scriu ecuaţiile scalare de echilibru pentru fiecare corp; e) se identifică necunoscutele problemei; f) se rezolvă sistemul de ecuaţii şi se obţin mărimile căutate.

Exemplul nr. 1 : Se consideră sistemul de corpuri din figură alcătuit din discul (1) de greutate P şi rază R, articulat plan cu bara (2) de greutate P şi lungime l, simplu rezemată pe un perete vertical luciu. Neglijând frecările din O şi B, să se determine coeficienţii frecării de alunecare şi de

rostogolire s dintre discul (1) şi planul orizontal, astfel încât echilibrul să se producă în configuraţia din schiţă. Asupra corpurilor izolate acţionează:

1) un sistem de forţe exterioare (date) format din greutăţile P şi G ;

2) un sistem al forţelor de legătură exterioară a sistemului de

corpuri, format din componentele ,T N şi rM

reprezentând echivalentul mecanic al reazemului cu frecare de alunecare şi de rostogolire dintre disc şi planul orizontal,

precum şi din reacţiunea normală BN reprezentând

echivalentul mecanic al reazemului fără frecare din B; 3) un sistem al forţelor de legătură interioară, dintre elementele

sistemului, format din componentele H şi V ale reacţiunii

din articulaţia O. În continuare, se impun condiţiile vectoriale de echilibru pentru fiecare din corpurile care compun sistemul:

0LR ; 0 LOO MM .

Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu câte trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente. Acestora se adaugă condiţia de echilibru cu frecare la limita de alunecare şi de rostogolire, în punctul A. Se obţin astfel ecuaţiile:

- pentru disc:

NsM

NT

MRT

PVN

HT

r

r

0

0

0

- pentru bară:

0sin2

cos

0

0

aal

GlN

GV

NH

B

B

;

Rezultă succesiv necunoscutele problemei şi s:

atgGNHT B 2

1 ; GV ; GPN ; atgGR

M r 2

;

a tgGP

G

2;

atg

GP

GRs

2.

Obs. : Sensul componentelor VH , ale reacţiunii din articulaţie, adoptat în schema mecanică este indiferent, acesta rezultând

din ecuaţiile scalare de echilibru; Sensul reacţiunii normale N este bine definit, el fiind contrar mişcării simple suprimate.

G

PR

s)

a

B

A

2

1

GP R

a

B

A2

1

N

TM r

HV

C

NB

V

H

cosa

/2 sina

GP R

a

B

A2

1

N

TM r

HV

NB

V

H

cosa

/2 sina

G

PR

s)

a

B

A

2

1

GP R

a

B

A2

1

N

TM r

HV

C

NB

V

H

cosa

/2 sina

GP R

a

B

A2

1

N

TM r

HV

NB

V

H

cosa

/2 sina


27

Exemplul nr. 2 : Se consideră sistemul mecanic din figură la cere se cunosc dimensiunile geometrice şi greutăţile G şi Q. Există frecare de alunecare între troliu şi sabot, de coeficient . Se neglijează greutăţile

sabotului şi a barei OC de lungime l, precum şi frecarea dintre fir şi scripetele mic din D. Să se determine forţa P care menţine sistemul în echilibru, reacţiunile din punctele A, B, E, O, C şi tensiunea din fir. Asupra corpurilor izolate acţionează:

1) un sistem de forţe exterioare (date) format din forţa de apăsare

P şi din greutăţile G şi Q ;

2) un sistem al forţelor de legătură exterioară a sistemului de corpuri, format din reacţiunile normale AN şi

BN şi din

componentele CH , CV şi CM reprezentând echivalentul mecanic al încastrării plane din C;

3) un sistem al forţelor de legătură interioară, dintre elementele sistemului, format din componentele H , V ale reacţiunii

din articulaţia O precum şi din reacţiunea normală N şi forţa de frecare de alunecare ,T introduse ca echivalent

mecanic al reazemului cu frecare dintre sabot şi troliu. Obs.1 În cazul legăturilor interioare cu frecare, sensul forţei de frecare se judecă mai întâi pe piesa cu tendinţă evidentă de

mişcare (în cazul de faţă pe troliu). În continuare, se impun condiţiile vectoriale de echilibru pentru fiecare din corpurile care compun sistemul:

0LR ; 0 LOO MM .

Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu câte trei ecuaţii

scalare, două de proiecţii şi una de momente. Acestora se adaugă condiţia de echilibru cu frecare la limita de alunecare şi de rostogolire, în punctul A. Se obţin astfel ecuaţiile: - pentru sabot: - pentru troliu: - pentru bară:

NT

aNbaT

TNN

NP

B

BA

0

0

0

;

0

0sin

0cos

rQRT

GTQV

QHN

a

a

;

0

0

0

CC

C

C

MlV

VV

HH

.

Rezultă succesiv necunoscutele problemei AN ,

BN , N , ,T H , V , CH , CV , CM :

R

rQT ; PN ;

R

rQP

; a

ba

R

rQN B

; G

R

rQVV C

asin ;

R

rQHH C

acos ;

G

R

rQlM C asin .

22 VHR lO ; 22CClC VHR .

Obs.2 Deoarece, conform enunţului, se neglijează fenomenele mai profunde (frecarea şi rigiditatea firului) care au loc în scripetele mic din D, tensiunea în ambele ramuri ale firului este egală cu greutatea atârnată la capătul lui.

A B

OP

a b

R

r

) G

D

Q

a2

31

CE

A

B

P

a b

r G

a

RT

NNB

NA

N

T

H

V

H

VQ

VC

MC

HC

3

21

A

B

P

a br G

a

RT

NNB

NA

N

T

H

V

H

VQ

VC

MC

HC

3

21

C

C

E E

E E


28

Exemplul nr. 3 : Se consideră sistemul din figură, format din bara AB de greutate neglijabilă, prevăzută cu un sabot de frână şi un troliu de greutate G articulat în O. Asupra barei acţionează în B o forţă verticală P, iar asupra troliului acţionează, prin intermediul unui fir trecut peste un scripete mic, greutatea Q. Coeficientul de frecare dintre sabot şi troliu este .

Să se determine: a) valoarea minimă a forţei P, necesară pentru păstrarea echilibrului sistemului; b) reacţiunile din O şi A;

Aplicaţie numerică: ma 1,0 , mb 4,0 , me 06,0 , kNG 8,1 ,

kNQ 15 , 25,0

Asupra corpurilor izolate acţionează:

1) un sistem de forţe exterioare (date) format din forţa de apăsare P şi din

greutăţile G şi Q ;

2) un sistem al forţelor de legătură exterioară a sistemului de corpuri, format

din AH , AV şi H , V reprezentând componentele reacţiunilor din A şi O;

3) un sistem al forţelor de legătură interioară, dintre elementele sistemului,

format din reacţiunea normală N şi forţa de frecare de alunecare ,T introduse ca

echivalent mecanic al reazemului cu frecare dintre sabot şi troliu. Obs.1 În cazul legăturilor interioare cu frecare, sensul forţei de frecare se judecă mai întâi pe piesa cu tendinţă evidentă de mişcare (în cazul de faţă pe troliu). În continuare, se impun condiţiile vectoriale de echilibru pentru fiecare din corpurile care compun sistemul:

0LR ; 0 LOO MM .

Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu câte trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente. Acestora se adaugă condiţia de echilibru cu frecare la limita de alunecare în punctul

C. Se obţin astfel ecuaţiile:

- pentru sabot:

NT

baPeTaN

PNV

HT

A

A

0

0

0

min

min - pentru troliu:

02

0

0

RQRT

GNV

QTH

; .

Rezultă succesiv

QT 2

1; QN

2

1;

kNe

a

ba

QP 9,6

2min

;

kNQTH A 5,72

1 ; kNkNNPV A 1,2315

25,02

19,6min

;

kNTQH 5,22 ; kNGNV 8,31 .

Q

O

2R

G

2

R

e

Pa b

1

AB

C

O

2R

G

2

R

e

Pa b

1

A

B

H

V

A

A

N

TC

N

T C

Q

V

HO

2R

G

2

R

e

Pa b

1

A

B

H

V

A

A

N

TC

N

T C

Q

V

H

Q

O

2R

G

2

R

e

Pa b

1

AB

C

O

2R

G

2

R

e

Pa b

1

A

B

H

V

A

A

N

TC

N

T C

Q

V

HO

2R

G

2

R

e

Pa b

1

A

B

H

V

A

A

N

TC

N

T C

Q

V

H


29

Exemplul nr. 4 : Se consideră frâna cu sabot din schiţă la care se cunoaşte coeficientul frecării de alunecare dintre sabot şi şaiba de frânare a troliului, precum şi dimensiunile

geometrice. Se neglijează greutăţile troliului şi pârghiei şi frecarea din articulaţiile O şi 1O

Se cere determinarea forţei minime P cu care trebuie acţionată pârghia OA pentru blocarea căderii greutăţii Q şi reacţiunile din articulaţii. Asupra corpurilor izolate acţionează:

1) un sistem de forţe exterioare

(date) format din forţa de apăsare P şi din

greutatea Q ;

2) un sistem al forţelor de legătură exterioară a sistemului de corpuri, format

din H , V şi 1H , 1V reprezentând componentele reacţiunilor din O şi 1O ;

3) un sistem al forţelor de legătură interioară, dintre elementele sistemului,

format din reacţiunea normală N şi forţa de frecare de alunecare ,T introduse ca

echivalent mecanic al reazemului cu frecare dintre sabot şi troliu. Obs.1 În cazul legăturilor interioare cu frecare, sensul forţei de frecare se judecă mai întâi pe piesa cu tendinţă evidentă de mişcare (în cazul de faţă pe troliu). În continuare, se impun condiţiile vectoriale de echilibru pentru fiecare din corpurile care compun sistemul:

0LR ; 0 LOO MM .

Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu câte trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente. Acestora se adaugă condiţia de echilibru cu frecare la limita de alunecare în punctul

C. Se obţin astfel ecuaţiile:

- pentru sabot:

NT

baPhTaN

PNV

HT

0

0

0

min

min - pentru troliu:

0

0

0

1

1

RTrQ

QNV

TH

.

Rezultă succesiv

R

rQT ;

R

rQN

;

h

a

R

r

ba

QP

min ;

TH ; NPV min ; 22 VHR lO ;

TH 1 ; QNV 1 ; 21

211

VHR lO .

Q

O

R

2

r

h

Pa b

1

OA

B

O

R

2

r

h

Pa b

1

O

A

H

V

N

T B

N

TB

Q

VH

1

11

1

O

R

2

r

h

Pa b

1

O

A

H

V

N

T B

N

TB

Q

VH

1

11

Q

O

R

2

r

h

Pa b

1

OA

B

O

R

2

r

h

Pa b

1

O

A

H

V

N

T B

N

TB

Q

VH

1

11

1

O

R

2

r

h

Pa b

1

O

A

H

V

N

T B

N

TB

Q

VH

1

11


30

Exemplul nr. 5 : Se consideră sistemul de bare omogene din figură de lungimi OA=2l, DE=l şi greutăţi 2G, respectivG. Bara DE este articulată fără frecare în E cu bara OA, iar în D cu culisa de greutate Q, care se poate deplasa fără frecare pe o tijă aşezată pe verticala articulaţiei O. De culisă este legat un

arc cu constanta elastică k, care este nedeformat în poziţia sistemului cu 0a . La capătul A al barei

OA acţionează forţa orizontală P. Să se determine:

a) ecuaţia pentru calculul unghiului a care corespunde poziţiei de echilibru a sistemului;

b) forţele de legătură în poziţia de echilibru, considerând unghiul a cunoscut.

În absenţa forţei orizontale P, capătul A coincide cu 0D iar unghiul 0a .


1) un sistem de forţe exterioare (date) format din forţa de apăsare P , din greutatăţile Q , G

şi G2 , precum şi din forţa elastică eF ;

2) un sistem al forţelor de legătură exterioară a sistemului de corpuri, format din reacţiunea

normală N şi din componentele H şi V ale reacţiunii din O;

3) un sistem al forţelor de legătură interioară, dintre elementele sistemului, format din

componentele DH , DV , respectiv EH , EV ale reacţiunilor din D şi E.

În continuare, se impun condiţiile vectoriale de echilibru pentru fiecare din corpurile care compun sistemul:

0LR ; 0 LOO MM .

Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu câte trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente. Se obţin astfel ecuaţiile:

- pentru culisa din D:

0

0

De

D

VQF

NH - pentru bara DE:

0sinsin2

cos

0

0

aaa lVl

GlH

VGV

HH

ED

ED

DE

- pentru bara OA:

0cos2sin2cos

02

0

aaa lPlGVlH

GVV

HHP

EE

E

E

.

Rezultă succesiv necunoscutele problemei: - ecuaţia pentru calculul unghiului a

022

72cos14

PtgGQlk aa ;

- reacţiunile din legături în poziţia de echilibru H , V , EH , N , DH , EV , DV

PtgG

QlkH

aa

2cos12 ; acos123 lkQGV ;

aa tgG

QlkHNH DE

2cos12 ;

GQlkVE acos12 ; acos12 lkQVD .

P

1

2

3

O

AD

E

k

3

D

P

2

O

A

E

VE

HE

HE

VE V

H

N

HD

VD

HD

VD

a

a

GQ

Fe

2G

1

3

D

P

2

O

A

E

VE

HE

HE

VE V

H

N

HD

VD

HD

VD

a

GQ

Fe

2G

1

P

O

A

D

E

k

a2 c

osa2

D0

P

1

2

3

O

AD

E

k

3

D

P

2

O

A

E

VE

HE

HE

VE V

H

N

HD

VD

HD

VD

a

a

GQ

Fe

2G

1

3

D

P

2

O

A

E

VE

HE

HE

VE V

H

N

HD

VD

HD

VD

a

GQ

Fe

2G

1

P

O

A

D

E

k

a2 c

osa2

D0

P

1

2

3

O

AD

E

k

3

D

P

2

O

A

E

VE

HE

HE

VE V

H

N

HD

VD

HD

VD

a

a

GQ

Fe

2G

1

3

D

P

2

O

A

E

VE

HE

HE

VE V

H

N

HD

VD

HD

VD

a

GQ

Fe

2G

1

P

O

A

D

E

k

a2 c

osa2

D0

a

a


31

Exemplul nr. 6 : Se consideră sistemul de corpuri omogene (1), (2) şi resortul elestic din figură, situat în planul vertical. Corpul (1) este o camă de greutate G, articulată plan în punctul fix O şi compusă dintr-o placă semicirculară de rază r şi o placă dreptunghiulară de dimensiuni 2rx4r. Corpul (2) este o placă semicirculară de rază R şi greutate Q. Corpul (1) se sprijină fără frecare în punctul A pe corpul(2). Placa (2) este aşezată pe un plan orizontal fix şi aspru, coeficientul frecării de alunecare fiind . În centrul de masă al plăcii (2) este fixat capătul unui resort elastic orizontal, de

constantă elastică k. În configuraţia iniţială a sistemului mecanic, definită de distanţa

0d , resortul este nedeformat. Parametrul geometric ce defineşte configuraţia de

echilibru este unghiul a pe care axa de simetrie a plăcii (1) îl formează cu orizontala.

Să se determine:

a) expresia deformaţiei d a resortului elastic în funcţie de

unghiul a ;

b) centrele de masă 1C şi

2C ale corpurilor (1) şi (2);

c) ecuaţia din care se poate calcula unghiul a din condiţia de

echilibru static a sistemului mecanic; d) reacţiunile din legăturile O şi A, respective dintre placa (2)

şi planul orizontal; e) Distanţa dintre suportul greutăţii Q şi suportul reacţiunii

normale cu care planul orizontal acţionează asupra plăcii (2).

a) Cu notaţiile din figură se poate scrie relaţia

asin0 ddRrR

din care rezultă

0sin

dRrR

d

a

.

b) Se ataşează corpului(1) sistemul de referinţă Oxy, convenabil ales şi se utilizează relaţia

pentru calculul coordonatelor centrului de greutate în cazul mediului discontinuu, plan, bidimensional şi omogen, care admite o axă de simetrie

în care:

rxC 211

; 211 8 rA ;

3

412

rxC ;

2

2

12r

A

.

Rezultă

28

23

482

22

22

1r

r

rrrr

xC

;

rxC

163

92

.

Pentru corpul (2) se alege sistemul de referinţă ca în figură şi se utilizează relaţia de calcul pentru sectorul de cerc

a

asin

3

2 Ry C .

Rezultă

2

2sin

3

22 a

Ry C ;

3

42

Ry C .

c) Asupra corpurilor izolate acţionează:

1) un sistem de forţe exterioare (date) format din forţa elastică eF şi din greutatăţile Q , şi G ;

1C 2Ck

r

4r

A

G

21

d0d

aR

Q

)

4r A

dd+

a

A

R

O

1OO 1O

r

R

1C 2C

r2r

R2r

11C

12C

1OO

y2

x11

x12

x1

2CA

2

Q

1C

4r

G

1

a

A

A

1OOH

VN

T

a

RNA

NA

Fe2CA

2

Q

1C

4r

G

1

a

A

A

1OOH

VN

T

a

RNA

NA

Fe

1C 2Ck

r

4r

A

G

21

d0d

a

R

Q

)

4r A

dd+

a

A

R

O

1OO 1O

r

R

1C 2C

r

2r

R

2r

11C

12C

1OO

y2

x11

x12

x1

2CA

2

Q

1C

4r

G

1

a

A

A

1OOH

VN

T

a

RNA

NA

Fe2CA

2

Q

1C

4r

G

1

a

A

A

1OOH

VN

T

a

RNA

NA

Fe

1C 2Ck

r

4r

A

G

21

d0d

a

R

Q

)

4r A

dd+

a

A

R

O

1OO 1O

r

R

1C 2C

r

2r

R

2r

11C

12C

1OO

y2

x11

x12

x1

2CA

2

Q

1C

4r

G

1

a

A

A

1OOH

VN

T

a

RNA

NA

Fe2CA

2

Q

1C

4r

G

1

a

A

A

1OOH

VN

T

a

RNA

NA

Fe

1C 2Ck

r

4r

A

G

21

d0d

a

R

Q

)

4r A

dd+

a

A

R

O

1OO 1O

r

R

1C 2C

r

2r

R

2r

11C

12C

1OO

y2

x11

x12

x1

2CA

2

Q

1C

4r

G

1

a

A

A

1OOH

VN

T

a

RNA

NA

Fe2CA

2

Q

1C

4r

G

1

a

A

A

1OOH

VN

T

a

RNA

NA

Fe

2

1

2

1

ii

iii

C

A

Ax

x

1C 2Ck

r

4r

A

G

21

d0d

a

R

Q

)

4r A

dd +

a

A

R

O

1OO 1O

r

R

1C 2C

r

2r

R

2r

11C

12C

1OO

y2

x11

x12

x1

2CA

2

Q

1C

4r

G

1

a

A

A

1OOH

VN

T

a

RNA

NA

Fe2CA

2

Q

1C

4r

G

1

a

A

A

1OOH

VN

T

a

RNA

NA

Fe

0


32

2) un sistem al forţelor de legătură exterioară a sistemului de corpuri, format din componentele H şi V ale reacţiunii din

O, din reacţiunea normală N şi din forţa de frecare de alunecare T dintre corpul (2) şi planul orizontal;

3) un sistem al forţelor de legătură interioară, dintre elementele sistemului, format din reacţiunea normală AN dintre cele

două corpuri. În continuare, se impun condiţiile vectoriale de echilibru pentru fiecare din corpurile care compun sistemul:

0LR ; 0 LOO MM .

Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu câte trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente. Acestora se adaugă condiţia de echilibru cu frecare, la limita de alunecare, dintre corpul (2) şi planul orizontal. Se obţin astfel ecuaţiile:

- pentru corpul (1):

0

0cos

0sin

1OCGctgrRN

NGV

NH

A

A

A

a

a

a

- pentru corpul (2):

NT

aNR

F

NQN

FTN

e

A

eA

a

a

03

4

0cos

0sin

Din a treia ecuaţie

a

a ctgrR

rG

ctgrR

OCGN A

163

92

1.

Pe de altă parte,

a

aa

a

a

a sin

sincos

sin

sin

sin

00

dRrR

kNQdRrR

kNFT

N

Ae

A ,

de unde

aa

a

cossin

sin0

dRrR

kQ

N A .

Egalând cele două expresii obţinute pentru AN , se găseşte ecuaţia pentru determinarea unghiului a :

aa

a

a

cossin

sin163

920

dRrR

kQ

ctgrR

rG

.

d) După determinarea unghiului a se calculează reacţiunea AN cu una din cele două relaţii de mai sus şi apoi:

asin ANH ; acos ANGV ; acos ANQN ; NT .

e) Din penultima ecuaţie rezultă

N

Rdk

a

3

4

;

a

a

cos

3

4

sin0

ANQ

RdR

rRk

a .


33

Exemplul nr. 7 : Se consideră frâna cu bandă din schiţă. În condiţiile neglijării greutăţilor elementelor din sistem şi a frecărilor din articulaţii, să se determine forţa minimă P necesară blocării greutăţii Q. Se dau: R, r, AC=BC=a, CD=b şi coeficientul frecării de alunecare dintre

bandă şi troliu. Asupra corpurilor izolate acţionează:

1) un sistem de forţe exterioare (date) format din forţa de apăsare P şi din

greutatea Q ;

2) un sistem al forţelor de legătură exterioară a sistemului de corpuri, format din H , V şi CH , CV reprezentând

componentele reacţiunilor din O şi C; 3) un sistem al forţelor de legătură interioară, dintre

elementele sistemului, format din tensiunile 1S şi 2S din

ramurile curelei. În continuare, se impun condiţiile vectoriale de echilibru pentru fiecare din corpurile care compun sistemul:

0LR ; 0 LOO MM .

Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu câte trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente. Acestora se adaugă condiţia de echilibru cu frecare dintre bandă şi troliu. Se obţin

astfel ecuaţiile:

- pentru troliu:

2

3

21

12

2

1

0

0

0

eSS

RSRSrQ

QSV

SH

- pentru pârghie:

0

0

0

21

2

1

bPaSaS

PSV

SH

C

C

Rezultă succesiv:

1

1

2

32

eR

rQS ; ;

12

3

2

3

1

e

e

R

rQS ;

1

1

2

3

2

3

e

e

b

a

R

rQP ;

1SH ; QV ; 22 VHR lO ;

1SH C ; 2SPVC ; 22CClC VHR .

O

R

2

r

1

A

Q

B C

P

D

M1

M2

O

R

2

r

1

A

BC

P

D

M1

M2

Q

S1

S2

S1

S2

H

V

C

C

V

H

a b

a

O

R

2

r

1

A

BC

P

D

M1

M2

Q

S1

S2

S1

S2

H

V

C

C

V

H

a b

a

O

R

2

r

1

A

Q

B C

P

D

M1

M2

O

R

2

r

1

A

BC

P

D

M1

M2

Q

S1

S2

S1

S2

H

V

C

C

V

H

a b

aO

R

2

r

1

A

BC

P

D

M1

M2

Q

S1

S2

S1

S2

H

V

C

C

V

H

a b

a


34

Exemplul nr. 8 : Să se determine forţa minimă de întindere aplicată unei benzi

transportoare având rolele de rază r şi acţionată de un cuplu de moment OM .

Coeficientul frecării de alunecare dintre bandă şi role este . Se neglijează

greutate benzii şi frecările din cele două lagăre. Se izolează rola condusă. Asupra acesteia acţionează:

1) un sistem de forţe şi momente exterioare (date) format din forţa de

întindere F şi din momentul rezistent OM , egal şi de sens contrar cu momentul motor aplicat

roţii conducătoare; 2) un sistem al forţelor de legătură interioară, dintre elementele sistemului, format din tensiunile

1S şi 2S din ramurile curelei.

În continuare, se impun condiţiile vectoriale de echilibru pentru roata condusă:

0LR ; 0 LOO MM .

Luând în considerare frecarea dintre bandă şi rolă, ecuaţiile scalare de echilibru sunt:

0

0

21

21

21

OM

eSS

rSrS

SSF

.

Rezultă

1

12

er

MS

O;

11

e

e

r

MS

O;

1

1

e

e

r

MF

O

Exemplul nr. 9 : Se dă palanul diferenţial din figură alcătuit din doi scripeţi, unul fix şi altul mobil. Sripetele fix este format din două roţi de lanţ de raze R şi r, solidare pe acelaşi ax.

Scripetele mobil este o roată de lanţ de rază 1R . În acest caz firul este un lanţ înfăşurat

continuu ca în figură.

Se cere relaţia dintre forţa motoare mF şi forţa rezistentă rF , în condiţiile

neglijării frecărilor. Din ecuaţiile de momente în raport cu centrele celor doi scripeţi şi din ecuaţia de

proiecţii pe verticală pentru scripetele mobil

0

0

0

21

1112

21

r

m

FSS

RSRS

RSrSRF

rezultă

rFSS 2

121 ;

rm FR

rRF

2.

FMOO1O

rolaconducatoare

rolacondusa

FO1

rolacondusa

MO

S2

S1

r

FO1

rolacondusa

MO

S2

S1

r

FMOO1O

rolaconducatoare

rolacondusa

FO1

rolacondusa

MO

S2

S1

r

FO1

rolacondusa

MO

S2

S1

r

O

R

r

Fr

R

r

Fr

Fm

Fm

S1

S2

R 1R 1

R

r

Fr

Fm

S1

S2

R 1

O

R

r

Fr

R

r

Fr

Fm

Fm

S1

S2

R 1R 1

R

r

Fr

Fm

S1

S2

R 1


35

Exemplul nr. 10 : Să se determine relaţia dintre forţa motoare mF şi forţa rezistentă rF în cazul

palanului exponenţial din figură, dacă se ţine seama de frecările din lagăre şi de rigiditatea firelor. Izolând fiecare scripete, se pot scrie relaţiile:

1SkFm ; 11 SkS ; 112 SSS ; 22 SkS ;

223 SSS ; 33 SkS ;

33 SSFr ;

mr F

k

kS

k

kS

k

kS

k

kF

4

3

13

3

22

2

3

1111.

Generalizând pentru n scripeţi mobili rezultă

rn

n

m Fk

kF

1

1

.

Dacă se neglijează frecările şi rigiditatea firelor, 1k şi relaţia devine

rnm FF 2

10.

Randamentul sistemului de scripeţi este dat de raportul m

m

F

F 0

.

Exemplul nr. 11 : Să se determine

relaţia dintre forţa motoare mF şi forţa

rezistentă rF în cazul palanului factorial din

figură, când se ţine seama de frecările din lagăre şi de rigiditatea firelor. Considerând că în fiecare muflă se află câte n scripeţi, se pot scrie relaţiile:

1SkFm ; 21 SkS ;............ nn SkS 212 .

Rezultă

k

FS

m1 ;

22k

FS

m ;............

n

mn

k

FS

22 .

Presupunând tensiunile din fire aproximativ verticale,

nmnrkkk

FSSSF222211

...........11

.......... .

Paranteza reprezintă o progresie geometrică şi, însumând după formula cunoscută

n

n

q

qa

1

11 , unde 1a şi q reprezintă

primul termen, respectiv raţia progresiei, rezultă

m

n

r F

k

k

kF

1

1

11

12

;

rn

n

m Fk

kkF

1

1

2

2

.

Pentru 1k (frecări şi rigidităţi nule) se aplică regula lui l’Hospital

rn

nn

km F

kn

kkknF

12

212

1 2

12lim ; rm F

nF

2

10.

Randamentul sistemului de scripeţi este dat de raportul m

m

F

F 0

.

SAU

Fm

Fr

Fr

Fm

Fm

Fr

mufl

a in

feri

oar

am

ufl

a su

per

ioar

a

S1

S3

S4

S6

S2

S5

S3

S1

S4

S2

Fm

Fr

S1

S3

S4

S6

S2

S5

S3

S1

S4

S2

SAU

Fm

Fr

Fr

Fm

Fm

Fr

mufl

a in

feri

oar

am

ufl

a su

per

ioar

a

S1

S3

S4

S6

S2

S5

S3

S1

S4

S2

Fm

Fr

S1

S3

S4

S6

S2

S5

S3

S1

S4

S2

Fr

Fm

Fr

Fm

S3

S1

S2

S1

S2

S3

Fr

Fm

S3

S1

S2

S1

S2

S3

Fr

Fm

Fr

Fm

S3

S1

S2

S1

S2

S3

Fr

Fm

S3

S1

S2

S1

S2

S3


36

Exemplul nr. 12 : Se consideră sistemul de corpuri plane omogene alcătuit din manivela OA de lungime r şi greutate G, biela AB de lungime l şi greutate P şi din discul de rază R şi greutate Q. Discul se sprijină pe o cale de rulare aspră nerigidă, paralelă cu direcţia orizontală OB. Articulaţiile plane din O, A şi B sunt fără frecare. Se notează unghiurile şi ca în figură.

Să se determine: a) relaţia dintre unghiurile şi , ţinând seama că sistemul mecanic are un

singur grad de libertate; b) expresiile reacţiunilor din legăturile O,A,B şi D corespunzătoare unei configuraţii de echilibru definită de unghiurile şi

(discul nu alunecă şi nu se rostogoleşte). Se presupune că ,0 ;

c) valorile minime ale coeficienţilor de frecare la alunecare şi la rostogolire s pentru ca sistemul să rămână în echilibru

în condiţiile: PQ , 2

PG , 3 rl , 90 , mR 05,0 .

a) Din relaţiile

sinsin lrAA ;

sinsin l

r.

b) Asupra corpurilor izolate acţionează:

1) un sistem de forţe exterioare (date) format din greutăţile G , P şi Q ;

2) un sistem al forţelor de legătură exterioară a sistemului de corpuri, format din componentele H şi V ale reacţiunii din

O, precum şi reacţiunea normală N , forţa de frecare de alunecare T şi momentul frecării de rostogolire rM

reprezentând echivalentul mecanic al reazemului cu frecare din D;

3) un sistem al forţelor de legătură interioară, dintre elementele sistemului, format din componentele AH , AV şi BH ,

BV ale reacţiunilor din articulaţia A, respectiv B.


0LR ; 0 LOO MM .

Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu câte trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente. Acestora se adaugă condiţiile de echilibru cu frecare de alunecare şi de rostogolire din D. Se obţin astfel ecuaţiile:

3

2

!

;

0cos2

cossin

0

0

r

GrVrH

GVV

HH

AA

A

A

6

5

4

;

0cos2

sincos

0

0

l

PlHlV

PVV

HH

AB

AB

BA

O

1

N

T

2

3

R

B

A

C2

B

D

r

s)

B M r

Q R

VB

HB

VB

HB

HA

VA

A

O

AHA

VA

r

V

H

C1

G

P

1

2

3

N

T

C2

B

D

B M r

Q R

VB

HB

VB

HB

HA

VA

A

O

AHA

VAr

V

H

C1

G

P

1

2

3

O

B

A

r

A

O B

A =r 3

r

D

O

1

N

T

2

3

R

B

A

C2

B

D

r

s)

B M r

Q R

VB

HB

VB

HB

HA

VA

A

O

AHA

VA

r

V

H

C1

G

P

1

2

3

N

T

C2

B

D

B M r

Q R

VB

HB

VB

HB

HA

VA

A

O

AHA

VA

r

V

H

C1

G

P

1

2

3

O

B

A

r

A

O B

A =r 3

r

D

O

1

N

T

2

3

R

B

A

C2

B

D

r

s)

B M r

Q R

VB

HB

VB

HB

HA

VA

A

O

AHA

VA

r

V

H

C1

G

P

1

2

3

N

T

C2

B

D

B M r

Q R

VB

HB

VB

HB

HA

VA

A

O

AHA

VA

r

V

H

C1

G

P

1

2

3

O

B

A

r

A

O B

A =r 3

r

D

O

1

N

T

2

3

R

B

A

C2

B

D

r

s)

B M r

Q R

VB

HB

VB

HB

HA

VA

A

O

AHA

VA

r

V

H

C1

G

P

1

2

3

N

T

C2

B

D

B M r

Q R

VB

HB

VB

HB

HA

VA

A

O

AHA

VA

r

V

H

C1

G

P

1

2

3

O

B

A

r

A

O B

A =r 3

r

D

O

1

N

T

2

3

R

B

A

C2

B

D

r

s)

B M r

Q R

VB

HB

VB

HB

HA

VA

A

O

AHA

VA

r

V

H

C1

G

P

1

2

3

N

T

C2

B

D

B M r

Q R

VB

HB

VB

HB

HA

VA

A

O

AHA

VA

r

V

H

C1

G

P

1

2

3

O

B

A

r

A

O B

A =r 3

r

D


37

NsM

NT

rTM

VQN

TH

r

r

B

B

0

0

0

.

11

10

9

8

7

Din (5) se obţine PVV BA

cu care (3) şi (6) devin

cos

cos

sin

sin

cos2

cossin

cos2

coscossin

PVH

GPVH

BA

BA

.

Rezultă

sin

sincos

22

GPPV B ;

sin

sincos

22

GPPV A ;

sin

coscos

2

GPHHTH BA ;

sin

sincos

22

GPPGV ;

sin

sincos

22

GPPQN ;

sin

coscos

2

GPRM r ;

sincossin2

coscos

GPPQ

GP;

coscossin2

coscos

GPPQ

GPRs ;

22 VHR lO ; 22AAlA VHR ;

22BBlB VHR ;

22 NTR lD .

c) Dacă

2OAAB şi 90OAB ,

rezultă că 60 şi 30

pentru care

9

3

2

1

2

1

2

33

2

3

2

1

2

3

min

PP

P

; 192,0min ;

9

305,0min s ; mmms 6,90096.0min .

O

1

N

T

2

3

R

B

A

C2

B

D

r

s)

B M r

Q R

VB

HB

VB

HB

HA

VA

A

O

AHA

VA

r

V

H

C1

G

P

1

2

3

N

T

C2

B

D

B M r

Q R

VB

HB

VB

HB

HA

VA

A

O

AHA

VA

r

V

H

C1

G

P

1

2

3

O

B

A

r

A

O B

A =r 3

r

D


38

Exemplul nr. 13 : Se consideră mecanismul bielă-manivelă OAB din figură,

alcătuit din bare omogene. Se cunosc: rOA , lAB şi excentricitarea

e. Greutăţile elementelor mecanismului sunt G – pentru manivelă, P – pentru bielă şi Q – pentru culisor. Se neglijează frecările din cuple. Pentru o configuraţie a mecanismului dată de unghiul , să se

determine: a) relaţia dintre unghiurile şi ;

b) expresia forţei F care echilibrează momentul motor 0M , în funcţie

de unghiurile şi ;

c) reacţiunile din O, A, B şi reacţiunea ghidajului asupra culisorului. Din relaţia

erl sinsin l

e

l

r sinsin .


1) un sistem de forţe exterioare (date) format din greutăţile G , P , Q şi forţa F ;

2) un sistem al forţelor de legătură exterioară a sistemului de corpuri, format din componentele OH şi OV ale reacţiunii

din O, precum şi reacţiunea normală N ;




0LR ; 0 LOO MM .

Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu câte trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente.

Se obţin astfel ecuaţiile:

0sincoscos2

0

0

rHrVr

GM

GVV

HH

AAO

AO

OA

;

3

2

1

0coscos2

sin

0

0

lVl

PlH

PVV

HH

AA

BA

AB

;

6

5

4

0

0

QVN

HF

B

B .

8

7

Din (1), (4) şi (7) rezultă : FHHH BOA ,

iar din (6)

tgFP

V A 2

.

Înlocuind în (3), rezultă

O

B

A

r

e

MO

3

21

B

A

2

Ar

MO

1

HO

VOHA

VA

G

HA

VA

PVB

F

HBVB

HB

N

Q

F

3

B

B

A

2

Ar

MO

1

HO

VOHA

VA

G

HA

VA

PVB

F

HB

VB

HB

N

Q

F

3

B

O

B

A

r

e

MO

3

21

B

A

2

Ar

MO

1

HO

VOHA

VA

G

HA

VA

PVB

F

HBVB

HB

N

Q

F

3

B

B

A

2

Ar

MO

1

HO

VOHA

VA

G

HA

VA

PVB

F

HB

VB

HB

N

Q

F

3

B

O

B

A

r

e

MO

3

21

B

A

2

Ar

MO

1

HO

VOHA

VA

G

HA

VA

PVB

F

HBVB

HB

N

Q

F

3

B

B

A

2

Ar

MO

1

HO

VOHA

VA

G

HA

VA

PVB

F

HB

VB

HB

N

Q

F

3

B

O

B

A

r

e

MO

3

21

B

A

2

Ar

MO

1

HO

VOHA

VA

G

HA

VA

PVB

F

HBVB

HB

N

Q

F

3

B

B

A

2

Ar

MO

1

HO

VOHA

VA

G

HA

VA

PVB

F

HB

VB

HB

N

Q

F

3

B

F


39

cossin

cos2

tg

PG

r

M

F

O

.

Din (5) şi (2) se găsesc

tgFP

V B 2

; tgFP

GVO 2

.

Astfel,

22OOlO VHR ;

22AAlA VHR ;

22BBlB VHR .

Din (8) rezultă

QtgFP

N 2

.

Exemplul nr. 14 : Sistemul mecanic din figură, situat în planul vertical, este compus din corpul (1), bara (2), culisa (3) şi resortul elastic (4). Corpul (1), articulat cilindric în punctul fix O, este un corp omogen de greutate 3G, constituit din semisfera plină de rază R şi din conul circular drept, plin, de înălţime 4R. Bara omogenă (2), de lungime 4R şi greutate G, este articulată cilindric în punctele A şi B. Culisa (3), de greutate Q, se poate deplasa pe ghidajul vertical Oy, contactul fiind cu frecare de alunecare de coeficient . Arcul elastic (4) are constanta de

elasticitate k şi, în poziţia iniţială a sistemului mecanic definită prin unghiul 0a , este nedeformat.

Poziţia de echilibru a sistemului mecanic este dată de unghiul a , necunoscut.

Se cer:

a) relaţia dintre unghiul a şi deformaţia y a resortului elastic;

b) centrul de masă pentru corpul volumetric (1); c) ecuaţia din care se poate determina unghiul a în configuraţia de echilibru;

d) reacţiunile din legăturile O, A şi B. a) aa cos8cos8 0 RRBBOy ;

aa coscos8 0 Ry .

b) Pentru calculul poziţiei centrului de greutate se alege, convenabil, un sistem de referinţă propriu 111 zyOx şi se

utilizează relaţia corespunzătoare unui mediu discontinuu, tridimensional şi omogen, care admite două axe de simetrie,

2

1

2

1

ii

iii

C

V

Vz

z ,

în care:

RRz C 44

111 ; 32

13

44

3

1RRRV ;

Rz C 8

321 ; 3

23

2RV .

Rezultă

33

33

1

3

2

3

4

3

2

8

3

3

4

RR

RRRR

OCz C

Rz C 24

131 .

c) Asupra corpurilor izolate acţionează:

1) un sistem de forţe exterioare (date) format din greutăţile G , G3 , Q şi forţa elastică eF ;

2) un sistem al forţelor de legătură exterioară a sistemului de corpuri, format din componentele OH şi OV ale reacţiunii

din O, precum şi reacţiunea normală BN respectiv forţa de frecare de alunecare BT , introduse ca echivalent mecanic

al reazemului cu frecare de alunecare din B;

R

4R

z1

z2

z

C

1C

2C

3

B

k

4R

4R

R

y

a

a0

2

1

0B

11

1

4

0A A

R

a

4R

3G

a

HO

VO

C

HA

VA

HA

VAHB

VB

G

VB

HBNB

Q

Fe

TB

R

a

4R

3G

a

HO

VO

C

HA

VA

HA

VAHB

VB

G

VB

HBNB

Q

Fe

TB

1

3

2

1

3

2

A

B

A

B

A

B

A

B

R

4R

z1

z2

z

C

1C

2C

3

B

k

4R

4R

R

y

a

a0

2

1

0B

11

1

4

0A A

R

a

4R

3G

a

HO

VO

C

HA

VA

HA

VAHB

VB

G

VB

HBNB

Q

Fe

TB

R

a

4R

3G

a

HO

VO

C

HA

VA

HA

VAHB

VB

G

VB

HBNB

Q

Fe

TB

1

3

2

1

3

2

A

B

A

B

A

B

A

B


40




0LR ; 0 LOO MM .

Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu câte trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente. Acestora se adaugă condiţia de echilibru cu frecare, la limita de alunecare, al culisorului din B. Se obţin astfel ecuaţiile:

0sin3sin4cos4

03

0

aaa OCGRVRH

GVV

HH

AA

AO

AO

;

3

2

1

0cos4sin4sin2

4

0

0

aaa RHRVR

G

GVV

HH

BB

BA

BA

;

6

5

4

BB

BBe

BB

NT

QTVF

NH

0

0

.

9

8

7

Forţa elastică este

aa coscos8 0 RkykFe .

Din (8), tinând seama de (9) şi (7), se obţine

BeB HFQV

care, înlocuită în (6), conduce la

eB FQ

GN

2cossin

sin

aa

a.

Exprimând BN şi din ecuaţia (3), având în vedere (4), (7) şi (5), se obţine

e

Ce FQ

G

R

zGFQG

2cossin

sin

4

3

cossin

sin 1

aa

a

aa

a,

e

Ce FQ

G

R

zGFQG

24

3

cossin

cossin 1

aa

aa.

Urmează, din (1), (4), (7) şi din (8), (5), (2) ţinând seama de (9),

BBAO NHHH ;

eeB FQ

GFQV

2cossin

sin

aa

a;

eeA FQ

GFQGV

2cossin

sin

aa

a;

eeO FQ

GFQGV

2cossin

sin4

aa

a.

22OOlO VHR ;

22AAlA VHR ;

22BBlB VHR ; BB NT .

R

4R

z1

z2

z

C

1C

2C

3

B

k

4R

4R

R

y

a

a0

2

1

0B

11

1

4

0A A

R

a

4R

3G

a

HO

VO

C

HA

VA

HA

VAHB

VB

G

VB

HBNB

Q

Fe

TB

1

3

2

A

B

A

B

R

a

4R

3G

a

HO

VO

C

HA

VA

HA

VAHB

VB

G

VB

HBNB

Q

Fe

TB

1

3

2

A

B

A

B


41

Exemplul nr. 15 : O bară de lungime l şi greutate G, articulată cilindric în A, se reazemă în B pe un semicilindru orizontal de rază R şi greutate neglijabilă, cu coeficient de frecare . Semicilindrul se reazemă, la rândul său, pe planul orizontal

cu coeficient de frecare 1 .

Să se determine unghiul a pentru echilibrul sistemului.


1) un sistem de forţe exterioare format din greutatea G a

barei; 2) un sistem al forţelor de legătură exterioară sistemului

de corpuri format din componentele H , V ale articulaţiei din A,

precum şi din echivalentul mecanic al reazemului cu frecare dintre

semicilindru şi planul orizontal ,T N ;

Obs.1 În situaţiile în care legătura de tip reazem simplu nu defineşte un punct teoretic de contact, poziţia reacţiunii normale nu este cunoscută iniţial. În astfel de cazuri ea va fi poziţionată undeva, de exemplu la o distanţă oarecare x, care va rezulta din ecuaţiile scalare de echilibru. De regulă, se vor evita poziţiile particulare (de exemplu centrul semicilindrului) deoarece acestea conduc la erori de rezultat.

3) un sistem al forţelor de legătură interioară, dintre elementele sistemului, format din BT şi

BN reprezentând echivalentul

mecanic al reazemului cu frecare din B. Obs.2 În cazul legăturilor interioare cu frecare, sensul forţei de frecare se judecă mai întâi pe piesa cu tendinţă evidentă de

mişcare (în cazul de faţă pe semicilindru). În continuare, se impun condiţiile vectoriale de echilibru pentru fiecare din corpurile care compun sistemul:

0LR ; 0 LOO MM .

Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceaste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu câte trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente. Acestora se adaugă condiţiile de echilibru cu frecare la limita de alunecare, în punctele sau în zonele de contact. Rezultă astfel ecuaţiile: - pentru bară: - pentru semicilindru:

BB

B

BB

BB

NT

ctgRNl

G

NTGV

NTH

aa

aa

aa

0cos2

0cossin

0sincos

;

NT

xNRT

NTN

NTT

B

BB

BB

1

0

0cossin

0sincos

aa

aa

.

Împreună, ele formează un sistem de opt ecuaţii cu o singură necunoscută, mărimea unghiului a pentru echilibrul sistemului.

Rezultă, după substituţii succesive:

1

1

1

a

tg .

Obs.3 Penultima ecuaţie adevereşte faptul că distanţa 0x , în cazul de faţă fiind negativă.

Exemplul nr. 16: Se consideră sistemul de corpuri din figură la care se cunosc :greutăţile P şi

G, razele a, r, R, lungimea l şi coeficientul frecării de alunecare .

Pentru poziţia de echilibru din figură să se determine:

a) reacţiunile din 21 ,, OOO ;

b) valoarea minimă a forţei Q necesară pentru echilibrul sistemului.


A

B

1

R

r

R

a

O

O

O1

2

A

B B

x

R

R


42

3) un sistem de forţe exterioare format din greutăţile P , G şi din

forţa de apăsare Q ;

4) un sistem al forţelor de legătură exterioară sistemului de corpuri

format din componentele H , V , 1H , 1V , 2H ,

2V ale reacţiunilor

din articulaţiile 21 ,, OOO ;

5) un sistem al forţelor de legătură interioară, între elementele sistemului, format din echivalentul mecanic al reazemului cu frecare

dintre troliu şi bară ,T N , precum şi din tensiunea în fir S .

Obs. În cazul legăturilor interioare cu frecare, sensul forţei de frecare se judecă mai întâi pe piesa cu tendinţă evidentă de mişcare (în cazul de faţă pe troliu).


0LR ; 0 LOO MM .

Deoarece toate forţele sunt aşezate în acelaşi plan, aceste ecuaţii vectoriale sunt echivalente cu câte trei ecuaţii scalare, două de proiecţii şi una de momente. Acestora se adaugă condiţia de echilibru cu frecare la limita de alunecare, în punctul de reazem. Rezultă astfel ecuaţiile: - pentru placă: - pentru troliu: - pentru bară:

0

0

0

CxPaS

PSV

H

;

NT

RTrS

TSGV

NH

0

0

0

1

1

;

02

0

0

2

2

lNlQ

TV

NHQ

.

Împreună, ele formează un sistem de zece ecuaţii cu şapte necunoscute: H , V , 1H , 1V , 2H ,

2V şi forţa de apăsare Q .

Aparent necunocuta Cx se obţine apelând cunoştinţele de la capitolul privind

determinarea coordonatelor centrului de greutate, cu relaţia:

ix iA

2

a 2a

3

4 aa 2

4

1a

22

22

21

2211

4

1

4

1

3

4

2

aa

aa

aaa

AA

AxAxxC

4

310

3

axC

Din cele zece ecuaţii rezultă în ordine, după substituţii succesive:

0H ; a

xPS

C ;

a

xPV

C1 ;

R

r

a

xPT

C

;

R

r

a

xPH

C

11 ;

R

r

a

xPGV

C11 ;

R

r

a

xPQ

C

2

1;

R

r

a

xPH

C

2

32 ;

R

r

a

xPV

C

2

a

O

r

R

O1

O2

1

1

2

2

xC

2

1

2

1

i

i

i

ii

C

A

Ax

x

a

a

a

a

a

a


43

Exerciţiul nr. 17 : Să se arate ce cuplu se aplică pe axa 2O a roţii unei

biciclete, când se apasă pedala cu forţa P.

Se presupun cunoscute razele 1R şi 2R ale roţilor, precum şi

lungimea l a pedalei. Se izolează corpurile şi se introduc forţele şi momentele exterioare

(date) şi de legătură interioară sistemului. În continuare, se impun condiţiile vectoriale de echilibru pentru fiecare din corpurile care compun sistemul.

Forţa P aplicată pedalei crează în ramura activă din lanţ forţa

1P care poate fi calculată din ecuaţia de momente în raport cu 1O :

011 lPRP .

Rezultă

11

R

lPP .

Cuplul aplicat pe axa 2O a roţii va fi

212 RPM ,

adică

lR

RPM

1

22 .

Exemplul nr. 18 : O greutate G este ridicată cu ajutorul unui cablu înfăşurat pe un scripete de

rază 1R Coaxial cu scripetele şi solidar cu el este fixată o roată dinţată de rază 2R care

angrenează cu pinionul de rază 3R , acţionat de un motor.

Să se determine cuplul M pe care trebuie să-l dezvolte motorul la axul pinionului pentru a pune în mişcare greutatea G, dacă se neglijează frecările. Se izolează corpurile şi se introduc forţele şi momentele exterioare (date) şi de

legătură interioară sistemului. În continuare, se impun condiţiile vectoriale de echilibru pentru fiecare din corpurile care compun sistemul: - pentru troliu:

021 RFRG ; 2

1

R

RGF ;

- pentru pinion:

03 RFM 32

1 RR

RGM .

RR

P1 P1

R2R1

O1 O2

O1 O2

P

P

21RR

P1 P1

O1 O2

P

21

RR

P1 P1

R2R1

O1 O2

O1 O2

P

P

21RR

P1 P1

O1 O2

P

21

O

M

G

R3

R1R2

MR3

R1R2

FF

G

MR3

R1R2

FF

G

O

M

G

R3

R1R2

MR3

R1R2

FF

G

MR3

R1R2

FF

G

radum.webnode.com · Şef lucrări dr. ing. radu mircea morariu-gligor mecanicĂ 2015 – 2016

Documents