documentq4

Metoda elementelor finite - analiza static liniar Elemente finite bidimensionale

141

5.4 Elementul patrulater stare plan de tensiune QUADSPT

5.4.1 Introducere

Elementul patrulater izoparametric stare plan de tensiune este destinat analizei strii plane de tensiune. Este elementul izoparametric cu formularea cea mai simpl. Elementul este utilizat pentru modelarea structurilor plane ncrcate n planul n care este definit geometria elementului.

Ca urmare a conveniilor de notaie fcute, caracteristicile elementului finit QUADSPT sunt:

Caracteristica Variabila program Valoare variabil

numrul de noduri ale elementului finit nnod 4

numrul gradelor de libertate nodal pentru fiecare nod ndof 2

dimensiunea matricei de rigiditate a elementului finit

kdim 8

5.4.2. Descrierea elementului finit QUADSPT

Elementul finit QUADSPT care va fi implementat n acest exemplu este un element patrulater, de ordinul nti. Elementul este definit din punct de vedere geometric prin coordonatele nodale care sunt concentrate n vectorii:

{ } { }4321T

xxxxx = , { } { }4321T

yyyyy = . (5.37)

Elementul este raport unui sistem de coordonate global OXY, respectiv unui sistem de coordonate natural O , ca n figurile alturate:

1

GG

x1

y1

x4

y4

x3

y3

x2

y2

OOXX

( =1, =1 ) ( =1, =1 )

( =1, =1 )

( =1, =1 )

YY

2

3

4

4

3

21

tl

tj

tk

ti

Nod1i

Nod 2

Nod 4

Nod 3

Suprafaa median


142

Elementul are patru noduri, cu cte dou grade de libertate de translaie pe fiecare nod, convenional notate ( ) ( ){ }y,xvy,xu , n raport cu sistemul de coordonate global, respectiv

( ) ( ){ } ,v,u , n raport cu sistemul de coordonate local. Deplasrile nodale sunt concentrate n vectorul deplasrilor nodale:

{ } { }44332211T

vuvuvuvud = . (5.38)

u2u(x,y)

u3

u4y

x

v2

v1

v3

v4

i

i k

lk

P

j

j

P

v(x,y)u1

Modelarea geometriei i deplasrilor elementului liniar se va face cu funcii de interpolare Lagrange de ordinul nti de forma:

( ) ( ) ( ) 4,3,2,1i ,114

1,N iii =++= . (5.39)

Derivatele funciilor de interpolare sunt:

( ) ( )

( ) ( )4,3,2,1i ,

14

1,N

14

1,N

ii,i

ii,i

=

+=

+=

. (5.40)

Funciile deplasare ale unui punct oarecare al structurii ( ) ( ){ }y,xvy,xu sunt exprimate n raport cu sistemul de coordonate local n funcie de vectorul deplasrilor nodale cu ajutorul matricei funciilor de interpolare [ ]N :

( )( )

{ }dN0N0N0N0

0N0N0N0N

,v

,u

4321

4321

=

. (5.41)

Deformaiile specifice sunt cele prezentate n cazul elementului triunghiular stare plan de

tensiune { } { }xyyxT = , care se exprim n funcie de funciile deplasare ( ) ( ){ }y,xvy,xu cu relaia matriceal:

{ }d

y

vx

vy

ux

u

0110

1000

0001

xy

y

x

=

. (5.42)


143

Vectorul derivatelor funciilor deplasare n raport cu variabilele sistemului de coordonate global se calculeaz n raport cu derivatele locale cu relaia:

=

v

v

u

u

JJ00

JJ00

00JJ

00JJ

y

vx

vy

ux

u

*

22

*

21

*

12

*

11

*

22

*

21

*

12

*

11

, (5.43)

n care se regsete matricea jacobian. Matricea jacobian [ ]J se calculeaz exprimnd coordonatele globale ( )y,x n funcie de coordonatele nodale prin intermediul funciilor de interpolare:

=

=

44

33

22

11

,4,3,2,1

,4,3,2,1

,,

,,

2221

1211

yx

yx

yx

yx

NNNN

NNNN

yx

yx

JJ

JJ. (5.44)

Daca se noteaz cu

2221

1211

JJ

JJ elementele matricei jacobian, matricea jacobian invers va fi

*

22

*

21

*

12

*

11

JJ

JJ i se calculeaz cu relaia:

[ ]

=

1121

1222

21122211

1

JJ

JJ

JJJJ

1J . (5.45)

Prin nlocuire, se obine matricea [ ]B de legtur ntre vectorul deformaiilor specifice i vectorul deplasrilor nodale: { } [ ] { }dB = :

{ }

{ }d

N0N0N0N0

N0N0N0N0

0N0N0N0N

0N0N0N0N

JJ00

JJ00

00JJ

00JJ

0110

1000

0001

,4,3,2,1

,4,3,2,1

,4,3,2,1

,4,3,2,1

*

22

*

21

*

12

*

11

*

22

*

21

*

12

*

11

=

. (5.46)

Matricea [ ]B este de forma [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ]432183 BBBBB = n care partiiile sunt:

[ ]4,3,2,1i1i2i

2i

1i

i

BB

B0

0B

B

=

= , (5.47)

iar coeficienii se calculeaz cu relaia:


144

+=

+=

,i

*

22,i

*

212i

,i

*

12,i

*

111i

NJNJB

NJNJB . (5.48)

Matricea de rigiditate a elementului finit se determin prin integrarea produsului matriceal

[ ] [ ] [ ]BDB T . Produsul matriceal care se va integra pe domeniul [ ] [ ]1,11,1 va fi:

( )[ ] ( )[ ] [ ] ( )[ ] ( )( )= ,Jdet,BD,B, T , (5.49) n care determinantul jacobianului se calculeaz cu relaia ( ) 21122211 JJJJJdet = . Matricea [ ]K are dimensiunea 88 i valoarea se determin prin integrare numeric folosind metoda Gauss:

[ ] ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )2222121221211111

1

1

1

1

,qq,qq,qq,qq

dd,K

+++=

== , (5.50)

n care ponderile 21 q,q i coordonatele punctelor Gauss 21, sunt:

896265773502691.0

1qq

21

21

==

==. (5.51)

5.4.3 Program MATLAB pentru calculul strii plane de tensiune modelate cu elemente QUADSPT

5.4.3.a Programul principal

Programul principal este asemntor celorlalte programe prezentate. Specific este apelul subrutinelor initquadspt care iniializeaz datele problemei, quadspt care calculeaz matricea de rigiditate a elementului finit i compttens_quadspt, care calculeaz deformaiile specifice i tensiunile care se dezvolt n elementul finit. Identificatorul elementului patrulater stare plan de tensiune este 12elemID = .

% ************************************************ % program principal analiza cu elemente finite % ************************************************ % % notatii generale: % - nrnd = numar noduri structura % - nrel = numar elemente structura % - nnod = numar noduri element finit % - ndof = numar grade de libertate nodala % - elem = matricea de definire a unui element finit ielem % structura unei linii a matricei de definirea a % elementului finit este: % - elem(ielem,1) = tipul elementului finit % - elem(ielem,2...nnod+1) = nodurile elementului finit % - elem(ielem,nnod+2) = identificatorul proprietatii sectionale % - elem(ielem,nnod+3) = identificatorul proprietatii de material % - kdim = numar grade de libertate pe element % - id = matricea gradelor de libertate nodala a structurii % - loadmat = matricea incarcarilor nodale % - kelem = matricea de rigiditate a unui element % - ksys = matricea de rigiditate a structurii % - v = vectorul incarcarilor structurii


145

% - dep = vectorul deplasarilor nodale % - depmat = matricea deplasarilor nodale % % initializeaza problema clear all % citeste datele structurii initquadspt % prelucreaza matricea gradelor de libertate nodala id prelid % prelucreaza matricea incarcarii loadmat % i genereaza vectorul incarcarilor nodale v prelload % pentru fiecare element al structurii for ielem=1:nrel % extrage identificatorul tipului de element finit care este prelucrat elemID=elem(ielem,1) % n functie de tipul elementului finit switch elemID % genereaza matricea de rigiditate a elementului finit case 12 % pentru elementul patrulater izoparametric stare plana de tensiune quadspt end % i asambleaza n matricea de rigiditate a structurii asamb end % calculeaza vectorul deplasarilor nodale dep=ksys\v; % prelucreaza vectorul deplasarilor nodale % i genereaza matricea deplasarilor nodale preldep depmat=depmat/2 % pentru fiecare element al structurii for ielem=1:nrel % extrage identificatorul tipului de element finit care este prelucrat elemID=elem(ielem,1) % n functie de tipul elementului finit switch elemID % genereaza matricea de rigiditate a elementului finit case 12 % pentru elementul patrulater izoparametric stare plana de tensiune comptens_quadspt end end

5.4.3.b Calculul matricei de rigiditate

Pentru calculul matricei de rigiditate se extrage caracteristicile elementului finit: grosimea elementului care se presupune constant pe toat suprafaa elementului care este memorat n variabila tcrt. Valoarea tcrt este extras din vectorul tvect cu ajutorul identificatorului proprietilor secionale propid. Caracteristicile de material sunt modulul de elasticitatate longitudinal ex extras din vectorul exvect, i coeficientul lui Poisson nuxy extras din vectorul nuxyvect.

Matricea constitutiv matd coincide cu cea calculat pentru elementul finit triunghiular stare plan de tensiune.


146

Nodurile elementului finit sunt memorate n vectorul nod, fiind preluate din matricea de definire a elementelor elem. Coordonatele nodurilor sunt memorate n variabilele xelem i yelem. Coordonatele centrului de greutate pentru elementul finit sunt calculate i memorate n variabilele xc, yc. Coordonatele nodurilor elementului finit n raport cu sistemul de coordonate local sunt calculate cu relaiile:

=

=

ycyelemyl

xcxelemxl.

Matricea de rigiditate kelem este calculat prn integrarea funciei (5.49) conform relaiei (5.50) prin parcurgerea ciclurilor dup contoarele igauss i jgauss. n corpul acestor dou bucle sunt calculate funciile de interpolare ni, derivatele funciilor de interpolare n raport cu sistemul de coodonate local nix i niy, matricea jacobian jac, determinantul matricei jacobian detjac i matricea invers jacobian ijac. Matricea de legtur matb dintre deplasri i deformaii este calculat cu relaia (5.74).

% ************************************************ % procedura QuadSPT % calcul matrice de rigiditate pentru elementului % patrulater stare plana de tensiune % ************************************************ % % extrage identificatorul de sectiune a elementului finit propid=elem(ielem,6); % extrage proprietatea sectional a elementului TRIANGSPT tcrt=tvect(propid); % % extrage identificatorul de material al elementului finit matid=elem(ielem,7); % extrage caracteristicile de material ale elementului finit din % vectorul modulelelor de elasticitate longitudinala a structurii ex=exvect(matid); % i din vectorul coeficientilor Poisson nuxy=nuxyvect(matid); % % Calculeaza matricea constitutiva D matd=ex/(1-nuxy*nuxy)*[1 nuxy 0 nuxy 1 0 0 0 (1-nuxy)/2]; % % extrage nodurile elementului finit nod=elem(ielem,2:nnod+1); % extrage coordonatele nodurilor elementului finit for inod=1:nnod xelem(inod)=x(nod(inod)); yelem(inod)=y(nod(inod)); end % % calculeaza coorodnatele centrului de greutate al elementului finit xc=mean(xelem); yc=mean(xelem); % calculeaza coordonatele nodurilor n raport cu centrul % de greutate al elementului finit xl=xelem-xc; yl=yelem-yc; %


147

% defineste parametrii de control ai integrarii Gauss % numarul de puncte Gauss ngauss=2; % coordonatele punctelor Gauss qgauss=[-0.577350269 0.577350269]; % ponderea punctelor Gauss wgauss=[1 1]; % % initializeaza matricea de rigiditate cu zero kelem=zeros(kdim,kdim); % calculeaza matricea de rigiditate prin integrare Gauss % dupa prima directie for igauss=1:ngauss % i dupa a doua directie de integrare for jgauss=1:ngauss % extrage coorodonatele punctelor Gauss xi=qgauss(igauss); eta=qgauss(jgauss); % i ponderile acestor puncte wi=wgauss(igauss); wj=wgauss(jgauss); % calculeaza functiile de forma n fiecare nod ni=[0.25*(1-xi)*(1-eta) 0.25*(1+xi)*(1-eta) 0.25*(1+xi)*(1+eta) 0.25*(1-xi)*(1+eta)]; % i derivatele functiilor de forma % la prima directie nix=[-0.25*(1-eta) 0.25*(1-eta) 0.25*(1+eta) -0.25*(1+eta)]; % i la a doua directie niy=[-0.25*(1-xi) -0.25*(1+xi) 0.25*(1+xi) 0.25*(1-xi)]; % calculeaza matricea jacobian jac=[nix'*xl' nix'*yl' niy'*xl' niy'*yl']; % i determinantul matricei jacobian detjac=det(jac); % dupa care calculeaza i matricea inversa a jacobianului ijac=inv(jac); % % initializeaza matricea de transformare B cu zero matb=zeros(3,8); % calculeaza componentele matricei de transformare B % i genereaza matricea B i1=1; for i=1:4 i2=i1+1; a=ijac(1,1)*nix(i)+ijac(1,2)*niy(i); b=ijac(2,1)*nix(i)+ijac(2,2)*niy(i); matb(1,i1)=a; matb(2,i2)=b;


148

matb(3,i1)=b; matb(3,i2)=a; i1=i2+1; end % prin integrare calculeaza matricea de rigiditate kelem=kelem+wi*wj*matb'*matd*matb*detjac*tcrt; end end

5.4.3.c Calculul deformaiilor specifice i tensiunilor

Vectorul deformaiilor specifice { } se calculeaz folosind relaia { } [ ] { }dB = n care vectorul deplasrilor nodale { }d , notat n program depnod, s-a determinat prin rezolvarea sistemului de ecuaii asociat structurii. Deformaiile specifice se calculeaz cu ajutorul matricei [ ]B notat matb. Matricea [ ]B este evaluat n n punctele Gauss. Vectorul tensiunilor tensnod, se determin cu relaia { } [ ] { }= D . Dac se ine cont de notaiile din program, deformaiile specifice defnod sunt calculate cu relaia:

{ } [ ] { }dmatBdefnod = , (5.51) iar tensiunile sunt calculate cu relaia:

{ } [ ] { }defnodmatDtensnod = . (5.52) Tensiunile principale se calculeaza cu relaiile:

( )

2

42

1

2

212,1

2

xy

2

yx

yx

2,1

=

++

= (5.53)

iar directiile principale sunt:

xy

xy22tg

= . (5.54)

% ************************************************ % procedura CompTensQuadSPT % calcul tensiuni, deformatii specifice pentru % elementul patrulater stare plana de tensiune % ************************************************ % % % notatii n corpul procedurii: % - defnod = vectorul deformatiilor specifice % - tensnod = vectorul tensiunilor nodale % % recalculeaza matricea de rigiditate a elementului finit % triunghiular stare plana de tensiune pentru elementul curent ielem quadspt % % genereaza vectorul deplasarilor nodale % pentru elementul finit curent d(1,1)=depmat(nod(1),1); d(2,1)=depmat(nod(1),2); d(3,1)=depmat(nod(2),1); d(4,1)=depmat(nod(2),2);


149

d(5,1)=depmat(nod(3),1); d(6,1)=depmat(nod(3),2); d(7,1)=depmat(nod(4),1); d(8,1)=depmat(nod(4),2); % % calculeaza indicele coloanei curente n care % se memoreaza tensiunile i deformatiile specifice indelem=4*(ielem-1)+1; % coordonatele naturale ale punctelor de colt sunt memorate n vectorul coordnat=[-1 1]; % % parcurge nodurile elementului finit % pe prima directie for inod=1:nnod % i dupa a doua directie for jnod=1:nnod % extrage coordonatele nodurilor elementului finit xi=coordnat(inod); eta=coordnat(jnod); % calculeaza functiile de forma n fiecare nod ni=[0.25*(1-xi)*(1-eta) 0.25*(1+xi)*(1-eta) 0.25*(1+xi)*(1+eta) 0.25*(1-xi)*(1+eta)]; % i derivatele functiilor de forma % la prima directie nix=[-0.25*(1-eta) 0.25*(1-eta) 0.25*(1+eta) -0.25*(1+eta)]; % i la a doua directie niy=[-0.25*(1-xi) -0.25*(1+xi) 0.25*(1+xi) 0.25*(1-xi)]; % calculeaza matricea jacobian jac=[nix'*xl' nix'*yl' niy'*xl' niy'*yl']; % i determinantul matricei jacobian detjac=det(jac); % dupa care calculeaza i matricea inversa a jacobianului ijac=inv(jac); % calculeaza componentele matricei de transformare B for i=1:4 a(i)=ijac(1,1)*nix(i)+ijac(1,2)*niy(i); b(i)=ijac(2,1)*nix(i)+ijac(2,2)*niy(i); end % initializeaza matricea de transformare B cu zero matb=zeros(3,8); % i calculeaza matricea B i1=1; for i=1:4 i2=i1+1; matb(1,i1)=a(i); matb(2,i2)=b(i); matb(3,i1)=b(i);


150

matb(3,i2)=a(i); i1=i2+1; end % % calculeaza vectorul fortelor nodale defnod(:,indelem)=matb*d; % % calculeaza vectorul eforturilor nodale tensnod(:,indelem)=matd*defnod(:,indelem); % incrementeaza indicele coloanei curente indelem=indelem+1; end end

5.4.4. Testarea elementului finit QUADSPT

Exemplul 5.2

Se cere s se calculeze deplasrile i tensiunile care se dezvolt ntr-o plac plan dreptunghiular ncrcat cu un sistem de dou fore de sensuri opuse, ca n figura alturat.

Placa este ncastrat pe fa opus celei ncrcate. Grosimea plcii se presupune constant t=2 mm, iar materialul izotrop cu modulul de elasticitate longitudinal Ex=2E5 Mpa i coeficientul lui lui Poisson xy=0.3.

% ************************************************ % procedura InitQuadSPT % initializare problema de test pentru elementul % patrulater stare plana de tensiune % ************************************************ % % definire caracteristici element finit % numar noduri pe element finit nnod=4; % numar grade de libertate nodala ndof=2; % calculeaza dimensiunea matricei de rigiditate


151

kdim=nnod*ndof; % definire numar noduri structura nrnd=15; % definire numar elemente structura nrel=8; % definire coordonate nodale % coordonatele x ale nodurilor structurii x=[0 50 100 150 200 0 50 100 150 200 0 50 100 150 200]; % coordonatele y ale nodurilor structurii y=[0 0 0 0 0 50 50 50 50 50 100 100 100 100 100]; % matricea gradelor de libertate nodala id=[1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0]; % matricea de definire a elementelor din structura elem=[11 1 2 7 6 1 1 11 2 3 8 7 1 1 11 3 4 9 8 1 1 11 4 5 10 9 1 1 11 6 7 12 11 1 1 11 7 8 13 12 1 1 11 8 9 14 13 1 1 11 9 10 15 14 1 1]; % matricea incarcarilor nodale loadmat=[0 0 0 0 0 0 0 0 -100 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 100 0]; % vectorul carateristilor de material % modul de elasticitate lonitudinala Ex exvect=[2E5]; nuxyvect=[0.3]; % vectorul grosimilor sectionale


152

tvect=[2]; Prin rularea programul scris n Matlab s-au obint urmtoarele deplasri,

Nod Ux Uy 1 0 0

2 -6.521225191773729e-004 -3.853573472793811e-004

3 -1.324325407097944e-003 -1.362812780512528e-003

4 -1.992886106183244e-003 -3.023385110707535e-003

5 -2.662087016101592e-003 -5.350452274475095e-003

6 0 0

7 2.274914010470463e-019 -2.667651718979982e-004

8 4.289810493868593e-019 -1.265757664940175e-003

9 8.290421992786104e-019 -2.922396848026361e-003

10 1.876500430138848e-018 -5.250302806543639e-003

11 0 0

12 6.521225191773735e-004 -3.853573472793812e-004

13 1.324325407097945e-003 -1.362812780512529e-003

14 1.992886106183246e-003 -3.023385110707536e-003

15 2.662087016101592e-003 -5.350452274475093e-003

respective tensiuni n punctele Gauss ale elemntului finit: Element 1 Nod 1 Nod 6 Nod 2 Nod 7

Sxx -2.8665e+000 9.9996e-016 -2.7101e+000 1.5639e-001

Syy -8.5994e-001 2.9999e-016 -3.3866e-001 5.2128e-001

Sxy -5.9286e-001 -4.1041e-001 4.1041e-001 5.9286e-001

Element 2 Nod 2 Nod 7 Nod 8 Nod 3

Sxx -2.7984e+000 1.5639e-001 -2.8268e+000 1.2798e-001

Syy -3.6514e-001 5.2128e-001 -4.5981e-001 4.2662e-001

Sxy -5.0051e-001 -5.3365e-001 5.3365e-001 5.0051e-001


Sxx -2.8107e+000 1.2798e-001 -2.8056e+000 1.3317e-001

Syy -4.5500e-001 4.2662e-001 -4.3771e-001 4.4390e-001

Sxy -5.1730e-001 -5.1125e-001 5.1125e-001 5.1730e-001


Sxx -2.8084e+000 1.3317e-001 -2.8095e+000 1.3207e-001

Syy -4.3856e-001 4.4390e-001 -4.4225e-001 4.4022e-001

Sxy -5.1412e-001 -5.1542e-001 5.1542e-001 5.1412e-001


Sxx 9.9996e-016 2.8665e+000 -1.5639e-001 2.7101e+000

Syy 2.9999e-016 8.5994e-001 -5.2128e-001 3.3866e-001

Sxy -4.1041e-001 -5.9286e-001 5.9286e-001 4.1041e-001


Sxx -1.5639e-001 2.7984e+000 -1.2798e-001 2.8268e+000

Syy -5.2128e-001 3.6514e-001 -4.2662e-001 4.5981e-001

Sxy -5.3365e-001 -5.0051e-001 5.0051e-001 5.3365e-001


Sxx -1.2798e-001 2.8107e+000 -1.3317e-001 2.8056e+000

Syy -4.2662e-001 4.5500e-001 -4.4390e-001 4.3771e-001

Sxy -5.1125e-001 -5.1730e-001 5.1730e-001 5.1125e-001


Sxx -1.3317e-001 2.8084e+000 -1.3207e-001 2.8095e+000

Syy -4.4390e-001 4.3856e-001 -4.4022e-001 4.4225e-001

Sxy -5.1542e-001 -5.1412e-001 5.1412e-001 5.1542e-001

Aceeai problem a fost rulat n programul NISA, i s-au obinut urmtoarele identice cu cele obinute n MATLAB. Rezultatele din NISA sunt prezentate alturat:

Meto

da e

lem

ente

lor

finite -

analiz

a s

tatic

lin

iar

E

lem

ente

fin

ite b

idim

ensi

onale

153

****** DISPLACEMENT SOLUTION ******

NODE UX UY UZ ROTX ROTY ROTZ

1 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

2 -6.52123E-04 -3.85357E-04 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

3 -1.32433E-03 -1.36281E-03 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

4 -1.99289E-03 -3.02339E-03 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

5 -2.66209E-03 -5.35045E-03 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

6 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

7 -3.27338E-19 -2.66765E-04 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

8 -6.55075E-19 -1.26576E-03 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

9 -9.09105E-19 -2.92240E-03 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

10 -1.02388E-18 -5.25030E-03 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

11 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

12 6.52123E-04 -3.85357E-04 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

13 1.32433E-03 -1.36281E-03 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

14 1.99289E-03 -3.02339E-03 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

15 2.66209E-03 -5.35045E-03 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

E L E M E N T S T R E S S C A L C U L A T I O N

LOAD CASE ID NO. 1

ELEMENT NO. 1 PLANE STRESS NKTP= 1 NORDR= 1, NODES 1 2 7 6

ELEMENT 1 -----------------GLOBAL STRESSES------------------

NODE POINT SXX SYY SXY

1 -2.866473E+00 -8.599418E-01 -5.928575E-01

2 -2.710087E+00 -3.386575E-01 4.104080E-01

7 1.563853E-01 5.212843E-01 5.928575E-01

6 -1.332268E-15 -5.689893E-16 -4.104080E-01




2 -2.798353E+00 -3.651371E-01 -5.005122E-01

3 -2.826753E+00 -4.598055E-01 5.336461E-01

8 1.279848E-01 4.266159E-01 5.005122E-01

7 1.563853E-01 5.212843E-01 -5.336461E-01




3 -2.810744E+00 -4.550026E-01 -5.173030E-01

4 -2.805557E+00 -4.377141E-01 5.112520E-01

9 1.331713E-01 4.439045E-01 5.173030E-01

8 1.279848E-01 4.266159E-01 -5.112520E-01




4 -2.808371E+00 -4.385583E-01 -5.141247E-01

5 -2.809477E+00 -4.422453E-01 5.154152E-01

Meto

da e

lem

ente

lor

finite -

analiz

a s

tatic

lin

iar

E

lem

ente

fin

ite b

idim

ensi

onale

154




6 -1.665335E-15 -2.914335E-16 -4.104080E-01

7 -1.563853E-01 -5.212843E-01 5.928575E-01

12 2.710087E+00 3.386575E-01 4.104080E-01

11 2.866473E+00 8.599418E-01 -5.928575E-01




7 -1.563853E-01 -5.212843E-01 -5.336461E-01

8 -1.279848E-01 -4.266159E-01 5.005122E-01

13 2.826753E+00 4.598055E-01 5.336461E-01

12 2.798353E+00 3.651371E-01 -5.005122E-01




8 -1.279848E-01 -4.266159E-01 -5.112520E-01

9 -1.331713E-01 -4.439045E-01 5.173030E-01

14 2.805557E+00 4.377141E-01 5.112520E-01

13 2.810744E+00 4.550026E-01 -5.173030E-01




9 -1.331713E-01 -4.439045E-01 -5.154152E-01

10 -1.320652E-01 -4.402174E-01 5.141247E-01

15 2.809477E+00 4.422453E-01 5.154152E-01

14 2.808371E+00 4.385583E-01 -5.141247E-01


5 - 155

5.5 Elementul patrulater stare plan de deformaie QUADSPD

5.5.1 Introducere

Elementul patrulater izoparametric stare plan de deformaie este un element asemntor elementului triunghiular stare plan de deformaie, dar ntr-o formulare izoparametric identic cu cel care modeleaz starea plan de tensiune. Prezentarea grafic a elementului este fcut n figura alturat:

x

x

x1y1 y2 y3

x2

x3

x4

y4

O

yy

z

nod 1

nod 3

nod 4

nod 2

zi

Ca urmare a conveniilor de notaie fcute caracteristicile elementului finit QUADSPD sunt:



numrul gradelor de libertate nodal pentru fiecare nod ndof 2

dimensiunea matricei de rigiditate a elementului finit kdim 8

5.5.2. Descrierea elementului finit QUADSPD

Elementul finit QUADSPD care va fi implementat n acest exemplu este un element patrulater, de ordinul nti. Elementul este definit geometric prin coordonatele nodale definite n vectorii:

{ } { }4321T

xxxxx = , { } { }4321T

yyyyy = . (5.37)

Elementul are patru noduri, cu cte dou grade de libertate de translaie pe fiecare nod, convenional notate ( ) ( ){ }y,xvy,xu , n raport cu sistemul de coordonate global, respectiv

( ) ( ){ } ,v,u n raport cu sistemul de coordonate local. Deplasrile nodale sunt concentrate n vectorul deplasrilor nodale:

{ } { }44332211T

vuvuvuvud = . (5.38)


5 - 156

5.5.3 Program MATLAB pentru calculul strii plane de tensiune modelate cu elemente QUADSPD


Programul principal asociaz cele dou elemente izoparametrice ntr-un singur program care apeleaz subrutina quad. n corpul subrutinei quad este selectat tipul matricei de rigiditate prin identificatorul elemID:

% ************************************************ % program principal analiza cu elemente finite % ************************************************ % % notatii generale: % - nrnd = numar noduri structura % - nrel = numar elemente structura % - nnod = numar noduri element finit % - ndof = numar grade de libertate nodala % - elem = matricea de definire a unui element finit ielem % structura unei linii a matricei de definirea a % elementului finit este: % - elem(ielem,1) = tipul elementului finit % - elem(ielem,2...nnod+1) = nodurile elementului finit % - elem(ielem,nnod+2) = identificatorul proprietatii sectionale % - elem(ielem,nnod+3) = identificatorul proprietatii de material % - kdim = numar grade de libertate pe element % - id = matricea gradelor de libertate nodala a structurii % - loadmat = matricea incarcarilor nodale % - kelem = matricea de rigiditate a unui element % - ksys = matricea de rigiditate a structurii % - v = vectorul incarcarilor structurii % - dep = vectorul deplasarilor nodale % - depmat = matricea deplasarilor nodale % % initializeaza problema clear all % citeste datele structurii initquadspd % prelucreaza matricea gradelor de libertate nodala id prelid % prelucreaza matricea incarcarii loadmat % si genereaza vectorul incarcarilor nodale v prelload % pentru fiecare element al structurii for ielem=1:nrel % extrage identificatorul tipului de element finit care este prelucrat elemID=elem(ielem,1) % in functie de tipul elementului finit switch elemID case {12, 13} % pentru elementul patrulater stare plana de tensiune % sau stare plana de deformatie quad end % si asambleaza in matricea de rigiditate a structurii asamb


5 - 157

end % calculeaza vectorul deplasarilor nodale dep=ksys\v; % prelucreaza vectorul deplasarilor nodale % si genereaza matricea deplasarilor nodale preldep % pentru fiecare element al structurii for ielem=1:nrel % extrage identificatorul tipului de element finit care este prelucrat elemID=elem(ielem,1) % in functie de tipul elementului finit switch elemID case {12, 13} % pentru elementul patrulater stare plana de tensiune % sau stare plana de deformatie comptens_quad end end


Subrutina care va fi prezentat permite calculul matricei de rigiditate att pentru elementul stare plan de tensiune, ct i pentru elementul stare plan de deformaie. Selecia parcurgerii subrutinei se face cu identificactorul elemID. n cazul elementului stare plan de deformaie, grosimea elementului este iniializat cu unitatea.

Variabilele de lucru din corpul subrutinei coincid cu cele descrise la elementul stare plan de tensiune.

% ************************************************ % procedura Quad % calcul matrice de rigiditate pentru elementului % patrulater stare plana de tensiune si pentru elementul % patrulater stare plana de deformatie % ************************************************ % % extrage identificatorul de material al elementului finit matid=elem(ielem,7); % extrage caracteristicile de material ale elementului finit din % vectorul modulelelor de elasticitate longitudinala a structurii ex=exvect(matid); % si din vectorul coeficientilor Poisson nuxy=nuxyvect(matid); % % identifica tipul elementului finit elemID=elem(ielem,1) % in functie de tipul elementului finit switch elemID case 12 % pentru elementul patrulater stare plana de tensiune % calculeaza matricea constitutiva D matd=ex/(1-nuxy*nuxy)*[1 nuxy 0 nuxy 1 0 0 0 (1-nuxy)/2]; % % extrage identificatorul de sectiune al elementului finit propid=elem(ielem,5);


5 - 158

% extrage proprietatea sectional a elementului TRIANGSPT tcrt=tvect(propid); case 13 % pentru elementul triunghiular stare plana de deformatie % Calculeaza matricea constitutiva D matd=ex/(1+nuxy)/(1-2*nuxy)*[(1-nuxy) nuxy 0 nuxy (1-nuxy) 0 0 0 (1-2*nuxy)/2]; % considera grosimea elementului unitara tcrt=1; end % % extrage nodurile elementului finit nod=elem(ielem,2:nnod+1); % extrage coordonatele nodurilor elementului finit for inod=1:nnod xelem(inod)=x(nod(inod)); yelem(inod)=y(nod(inod)); end % % calculeaza coorodnatele centrului de greutate al elementului finit xc=mean(xelem); yc=mean(xelem); % calculeaza coordonatele nodurilor in raport cu centrul % de greutate al elementului finit xl=xelem-xc; yl=yelem-yc; % % defineste parametrii de control ai integrarii Gauss % numarul de puncte Gauss ngauss=2; % coordonatele punctelor Gauss qgauss=[-0.577350269 0.577350269]; % ponderea punctelor Gauss wgauss=[1 1]; % % initializeaza matricea de rigiditate cu zero kelem=zeros(kdim,kdim); % calculeaza matricea de rigiditate prin integrare Gauss % dupa prima directie for igauss=1:ngauss % si dupa a doua directie de integrare for jgauss=1:ngauss % extrage coorodonatele punctelor Gauss xi=qgauss(igauss); eta=qgauss(jgauss); % si ponderile acestor puncte wi=wgauss(igauss); wj=wgauss(jgauss); % calculeaza functiile de forma in fiecare nod ni=[0.25*(1-xi)*(1-eta) 0.25*(1+xi)*(1-eta) 0.25*(1+xi)*(1+eta) 0.25*(1-xi)*(1+eta)]; % si derivatele functiilor de forma % la prima directie


5 - 159

nix=[-0.25*(1-eta) 0.25*(1-eta) 0.25*(1+eta) -0.25*(1+eta)]; % si la a doua directie niy=[-0.25*(1-xi) -0.25*(1+xi) 0.25*(1+xi) 0.25*(1-xi)]; % calculeaza matricea jacobian jac=[nix'*xl' nix'*yl' niy'*xl' niy'*yl']; % si determinantul matricei jacobian detjac=det(jac); % dupa care calculeaza si matricea inversa a jacobianului ijac=inv(jac); % % initializeaza matricea de transformare B cu zero matb=zeros(3,8); % calculeaza componentele matricei de transformare B % si genereaza matricea B i1=1; for i=1:4 i2=i1+1; a=ijac(1,1)*nix(i)+ijac(1,2)*niy(i); b=ijac(2,1)*nix(i)+ijac(2,2)*niy(i); matb(1,i1)=a; matb(2,i2)=b; matb(3,i1)=b; matb(3,i2)=a; i1=i2+1; end % prin integrare calculeaza matricea de rigiditate kelem=kelem+wi*wj*matb'*matd*matb*detjac*tcrt; end end


Ca i n cazul generrii matricei de rigiditate, pentru calculul tensiunilor i deformaiilor este apelat o subrutin comun strii plane de tensiune, respectiv, strii plane de deformaie. n cazul elementului stare plan de deormaie, este calculat i componenta z .

% ************************************************ % procedura CompTensQuad % calcul tensiuni, deformatii specifice pentru % elementul patrulater stare plana de tensiune % si pentru elementul patrulater stare plana de % deformatie % ************************************************ % % % notatii in corpul procedurii: % - defnod = vectorul deformatiilor specifice % - tensnod = vectorul tensiunilor nodale % % recalculeaza matricea de rigiditate a elementului finit


5 - 160

% patrulater stare plana de tensiune sau stare plana de deformatie % pentru elementul curent ielem quad % % genereaza vectorul deplasarilor nodale % pentru elementul finit curent d(1,1)=depmat(nod(1),1); d(2,1)=depmat(nod(1),2); d(3,1)=depmat(nod(2),1); d(4,1)=depmat(nod(2),2); d(5,1)=depmat(nod(3),1); d(6,1)=depmat(nod(3),2); d(7,1)=depmat(nod(4),1); d(8,1)=depmat(nod(4),2); % % calculeaza indicele coloanei curente in care % se memoreaza tensiunile si deformatiile specifice indelem=4*(ielem-1)+1; % defineste parametrii de control ai integrarii Gauss % numarul de puncte Gauss ngauss=2; % coordonatele naturale ale punctelor de colt sunt memorate in vectorul qgauss=[-0.577350269 0.577350269]; % % parcurge nodurile elementului finit % pe prima directie for igauss=1:ngauss % si dupa a doua directie for jgauss=1:ngauss % extrage coordonatele nodurilor elementului finit xi=qgauss(igauss); eta=qgauss(jgauss); % calculeaza functiile de forma in fiecare nod ni=[0.25*(1-xi)*(1-eta) 0.25*(1+xi)*(1-eta) 0.25*(1+xi)*(1+eta) 0.25*(1-xi)*(1+eta)]; % si derivatele functiilor de forma % la prima directie nix=[-0.25*(1-eta) 0.25*(1-eta) 0.25*(1+eta) -0.25*(1+eta)]; % si la a doua directie niy=[-0.25*(1-xi) -0.25*(1+xi) 0.25*(1+xi) 0.25*(1-xi)]; % calculeaza matricea jacobian jac=[nix'*xl' nix'*yl' niy'*xl' niy'*yl']; % si determinantul matricei jacobian detjac=det(jac); % dupa care calculeaza si matricea inversa a jacobianului ijac=inv(jac); % calculeaza componentele matricei de transformare B


5 - 161

for i=1:4 a(i)=ijac(1,1)*nix(i)+ijac(1,2)*niy(i); b(i)=ijac(2,1)*nix(i)+ijac(2,2)*niy(i); end % initializeaza matricea de transformare B cu zero matb=zeros(3,8); % si calculeaza matricea B i1=1; for i=1:4 i2=i1+1; matb(1,i1)=a(i); matb(2,i2)=b(i); matb(3,i1)=b(i); matb(3,i2)=a(i); i1=i2+1; end % % calculeaza vectorul fortelor nodale defnod(:,indelem)=matb*d; % % calculeaza vectorul eforturilor nodale tensnod(:,indelem)=matd*defnod(:,indelem); % identifica tipul elementului finit elemID=elem(ielem,1) % daca este element finit stare plana de deformatie % calculeaza tensiunile transversale Szz if elemID==13 szz(1,indelem)=nuxy*(tensnod(1,indelem)+tensnod(2,indelem)); end % incrementeaza indicele coloanei curente indelem=indelem+1; end end

5.3.4. Testarea elementului finit QUADSPD

Exemplul 5.5

Problema test pentru verificarea elementului stare plan de deformaie coincide ca definire geometric cu cea prezentat la elementul triunghiular stare plan de deformaie. Subrutina care iniializeaz datele de aanaliz, i modelul grafic sunt prezentate n continuare.

% ************************************************ % procedura InitQuadSPD % initializare problema de test pentru elementul % patrulater stare plana de deformatie % ************************************************ % % definire caracteristici element finit % numar noduri pe element finit nnod=4; % numar grade de libertate nodala ndof=2; % calculeaza dimensiunea matricei de rigiditate kdim=nnod*ndof; % definire numar noduri structura


5 - 162

nrnd=15; % definire numar elemente structura nrel=8; % definire coordonate nodale % coordonatele x ale nodurilor structurii x=[0 50 100 0 43.75 87.5 0 37.5 75 0 37.5 75 0 37.5 75]; % coordonatele y ale nodurilor structurii y=[0 0 0 25 25 25 50 50 50 75 75 75 100 100 100]; % matricea gradelor de libertate nodala id=[1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]; % matricea de definire a elementelor din structura elem=[13 1 2 5 4 1 1 13 2 3 6 5 1 1 13 4 5 8 7 1 1 13 5 6 9 8 1 1 13 7 8 11 10 1 1 13 8 9 12 11 1 1 13 10 11 14 13 1 1 13 11 12 15 14 1 1]; % matricea incarcarilor nodale loadmat=[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -2000 0 0 0 0 0 -2000 0 0 0 0 0 -2000 0 0 0 0 0 -1000 0]; % vectorul carateristilor de material % modul de elasticitate lonitudinala Ex exvect=[2E5]; nuxyvect=[0.3];


5 - 163

Prin rularea programul scris n Matlab s-au obint urmtoarele deplasri,

Nod Ux Uy 1 0 0

2 0 0

3 0 0

4 -2.9489e-002 -2.2048e-002

5 -2.4350e-002 8.7125e-004

6 -3.7578e-002 1.7334e-002

7 -6.1828e-002 -3.6414e-002

8 -6.0628e-002 -2.4306e-003

9 -7.1390e-002 2.7805e-002

10 -9.6589e-002 -4.2089e-002

11 -9.8496e-002 -1.7348e-003

12 -1.0942e-001 3.8488e-002

13 -1.2787e-001 -4.2984e-002

14 -1.3116e-001 6.6467e-005

15 -1.4139e-001 4.3308e-002

respectiv, tensiuni n punctele Gauss ale elementului finit:

Sxx -7.2795e+001 -5.2755e+001 -1.0064e+001 1.4998e+001

Syy -1.8129e+002 -1.6920e+002 -3.4922e+001 -1.1113e+001

Sxy -7.9649e+001 -5.6177e+001 -7.0273e+001 -4.6051e+001

Szz -7.6227e+001 -6.6588e+001 -1.3496e+001 1.1654e+000

Sxx 7.1153e+000 -3.2173e+001 5.2174e+001 1.6493e+001

Syy 4.6050e+001 4.3629e+001 1.5119e+002 1.5718e+002

Sxy -7.9366e+001 -6.6757e+001 -1.0350e+002 -9.2826e+001

Szz 1.5950e+001 3.4367e+000 6.1009e+001 5.2103e+001

Sxx -2.4559e+001 -3.6446e+001 1.4837e+001 6.6115e+000

Syy -1.0935e+002 -1.1189e+002 -1.7427e+001 -1.1424e+001

Sxy -5.5863e+001 -3.9149e+001 -6.1731e+001 -4.5563e+001

Szz -4.0172e+001 -4.4501e+001 -7.7705e-001 -1.4437e+000

Sxx -6.6481e+001 -5.5464e+001 -2.2176e+001 -7.0413e+000

Syy -1.5423e+000 1.9637e+001 1.0183e+002 1.3262e+002


5 - 164

Sxy -8.1872e+001 -6.2646e+001 -8.0818e+001 -6.1493e+001

Szz -2.0407e+001 -1.0748e+001 2.3897e+001 3.7674e+001

Sxx -1.6075e+001 -2.8955e+001 9.0202e-001 -1.1977e+001

Syy -4.4947e+001 -5.0466e+001 -5.3328e+000 -1.0852e+001

Sxy -3.6506e+001 -2.8960e+001 -4.2025e+001 -3.4480e+001

Szz -1.8307e+001 -2.3826e+001 -1.3292e+000 -6.8488e+000

Sxx -6.4568e+001 -6.5258e+001 -3.7956e+001 -3.8645e+001

Syy -3.0008e+000 -3.2964e+000 5.9096e+001 5.8800e+001

Sxy -5.0273e+001 -3.8446e+001 -5.0569e+001 -3.8741e+001

Szz -2.0271e+001 -2.0566e+001 6.3420e+000 6.0464e+000

Sxx -1.7283e+001 -2.3006e+001 -1.0099e+001 -1.5822e+001

Syy -1.0264e+001 -1.2717e+001 6.4984e+000 4.0459e+000

Sxy -1.3214e+001 -1.0021e+001 -1.5667e+001 -1.2474e+001

Szz -8.2643e+000 -1.0717e+001 -1.0802e+000 -3.5327e+000

Sxx -6.6136e+001 -6.3213e+001 -5.8092e+001 -5.5169e+001

Syy -6.9009e+000 -5.6482e+000 1.1867e+001 1.3119e+001

Sxy -1.6236e+001 -1.2661e+001 -1.4984e+001 -1.1409e+001

Szz -2.1911e+001 -2.0658e+001 -1.3868e+001 -1.2615e+001

Aceeai problem a fost rulat n programul NISA, i s-au obinut urmtoarele identice cu cele obinute n MATLAB. Rezultatele din NISA sunt prezentate n continuare:

Meto

da e

lem

ente

lor

finite -

analiz

a s

tatic

lin

iar

E

lem

ente

fin

ite b

idim

ensi

onale

5 - 165



1 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

2 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

3 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

4 -2.94887E-02 -2.20483E-02 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

5 -2.43504E-02 8.71247E-04 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

6 -3.75781E-02 1.73342E-02 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

7 -6.18282E-02 -3.64138E-02 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

8 -6.06277E-02 -2.43063E-03 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

9 -7.13901E-02 2.78050E-02 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

10 -9.65890E-02 -4.20892E-02 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

11 -9.84956E-02 -1.73480E-03 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

12 -1.09424E-01 3.84880E-02 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

13 -1.27875E-01 -4.29840E-02 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

14 -1.31162E-01 6.64666E-05 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

15 -1.41385E-01 4.33077E-02 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

ELEMENT 1 -------------------------GLOBAL STRESSES--------------------------- ------COORDINATES--------

GAUSS PT. SXX SYY SXY SZZ X Y

CENTER -3.058802E+01 -9.947874E+01 -6.349666E+01 -3.902003E+01 2.34375E+01 1.25000E+01

1 -7.279490E+01 -1.812938E+02 -7.964908E+01 -7.622660E+01 1.02871E+01 5.28312E+00

2 -1.006426E+01 -3.492228E+01 -7.027350E+01 -1.349596E+01 3.83921E+01 5.28312E+00

3 -5.275493E+01 -1.692037E+02 -5.617725E+01 -6.658759E+01 9.52458E+00 1.97169E+01

4 1.499801E+01 -1.111348E+01 -4.605104E+01 1.165361E+00 3.55462E+01 1.97169E+01



CENTER 1.162377E+01 9.947874E+01 -8.583668E+01 3.333075E+01 7.03125E+01 1.25000E+01

1 7.115296E+00 4.605040E+01 -7.936555E+01 1.594971E+01 5.89663E+01 5.28312E+00

2 5.217441E+01 1.511883E+02 -1.035016E+02 6.100883E+01 8.70713E+01 5.28312E+00

3 -3.217342E+01 4.362918E+01 -6.675746E+01 3.436729E+00 5.45954E+01 1.97169E+01

4 1.649320E+01 1.571846E+02 -9.282590E+01 5.210335E+01 8.06170E+01 1.97169E+01



CENTER -9.665678E+00 -6.256098E+01 -5.094183E+01 -2.166800E+01 2.03125E+01 3.75000E+01

1 -2.455856E+01 -1.093490E+02 -5.586294E+01 -4.017227E+01 8.96635E+00 3.02831E+01

2 1.483666E+01 -1.742682E+01 -6.173144E+01 -7.770468E-01 3.34629E+01 3.02831E+01

3 -3.644554E+01 -1.118904E+02 -3.914931E+01 -4.450079E+01 8.20380E+00 4.47169E+01

4 6.611511E+00 -1.142396E+01 -4.556330E+01 -1.443736E+00 3.06170E+01 4.47169E+01

Meto

da e

lem

ente

lor

finite -

analiz

a s

tatic

lin

iar

E

lem

ente

fin

ite b

idim

ensi

onale

5 - 166



CENTER -3.808092E+01 6.256098E+01 -7.213509E+01 7.344018E+00 6.09375E+01 3.75000E+01

1 -6.648076E+01 -1.542255E+00 -8.187208E+01 -2.040690E+01 5.13956E+01 3.02831E+01

2 -2.217637E+01 1.018346E+02 -8.081760E+01 2.389748E+01 7.58921E+01 3.02831E+01

3 -5.546382E+01 1.963679E+01 -6.264553E+01 -1.074811E+01 4.70246E+01 4.47169E+01

4 -7.041288E+00 1.326227E+02 -6.149303E+01 3.767442E+01 6.94378E+01 4.47169E+01



CENTER -1.402625E+01 -2.789960E+01 -3.549264E+01 -1.257776E+01 1.87500E+01 6.25000E+01

1 -1.607544E+01 -4.494683E+01 -3.650560E+01 -1.830668E+01 7.92468E+00 5.52831E+01

2 9.020206E-01 -5.332763E+00 -4.202521E+01 -1.329223E+00 2.95753E+01 5.52831E+01

3 -2.895453E+01 -5.046644E+01 -2.896006E+01 -2.382629E+01 7.92468E+00 6.97169E+01

4 -1.197707E+01 -1.085237E+01 -3.447968E+01 -6.848834E+00 2.95753E+01 6.97169E+01



CENTER -5.160680E+01 2.789960E+01 -4.450736E+01 -7.112159E+00 5.62500E+01 6.25000E+01

1 -6.456823E+01 -3.000750E+00 -5.027348E+01 -2.027069E+01 4.54247E+01 5.52831E+01

2 -3.795551E+01 5.909560E+01 -5.056913E+01 6.342028E+00 6.70753E+01 5.52831E+01

3 -6.525808E+01 -3.296401E+00 -3.844560E+01 -2.056635E+01 4.54247E+01 6.97169E+01

4 -3.864536E+01 5.879995E+01 -3.874125E+01 6.046378E+00 6.70753E+01 6.97169E+01



CENTER -1.655238E+01 -3.109282E+00 -1.284418E+01 -5.898500E+00 1.87500E+01 8.75000E+01

1 -1.728319E+01 -1.026448E+01 -1.321441E+01 -8.264303E+00 7.92468E+00 8.02831E+01

2 -1.009910E+01 6.498403E+00 -1.566689E+01 -1.080210E+00 2.95753E+01 8.02831E+01

3 -2.300566E+01 -1.271697E+01 -1.002148E+01 -1.071679E+01 7.92468E+00 9.47169E+01

4 -1.582157E+01 4.045916E+00 -1.247396E+01 -3.532697E+00 2.95753E+01 9.47169E+01



CENTER -6.065250E+01 3.109282E+00 -1.382248E+01 -1.726296E+01 5.62500E+01 8.75000E+01

1 -6.613561E+01 -6.900868E+00 -1.623622E+01 -2.191094E+01 4.54247E+01 8.02831E+01

2 -5.809235E+01 1.186673E+01 -1.498352E+01 -1.386769E+01 6.70753E+01 8.02831E+01

3 -6.321264E+01 -5.648168E+00 -1.266144E+01 -2.065824E+01 4.54247E+01 9.47169E+01

4 -5.516939E+01 1.311943E+01 -1.140874E+01 -1.261499E+01 6.70753E+01 9.47169E+01


167

5.6 Elementul patrulater axial simetric QUADAXIAL

5.6.1 Introducere

Elementul patrulater izoparametric axial simetric este destinat analizei strii de tensiune care se dezvolt n structurile axial simetrice. Este un element izoparametric utilizat pentru modelarea structurilor axial simetrice ncrcate axial simetric.

x=r

x=r

r1

r2

r3

r4

O

y

y

z

nod 1

Axa de revoluie

Direcia radial

Direcia tangenial

nod 3

nod 4

nod 2

zi

Ca urmare a conveniilor de notaie fcute caracteristicile elementului finit QUADAXIAL sunt:



numrul gradelor de libertate nodal pentru fiecare nod

ndof 2

dimensiunea matricei de rigiditate a elementului finit kdim 8

5.6.2. Descrierea elementului finit QUADAXIAL

Vectorul deformaiilor specifice are patru componente { } { }ryyrT = , iar vectorul tensiunilor are componentele { } { }ryyrT = . Deplasrile se exprim prin vectorul funciilor deplasare ( ) ( ){ }y,rvy,ru , n funcie de vectorul deplasrilor nodale { } { }332211

Tvuvuvud = . Modelarea geometriei i deplasrilor

elementului liniar se va face cu funcii de interpolare Lagrange de ordinul nti de forma:

( ) ( ) ( ) 4,3,2,1i ,114

1,N iii =++= .

Matricea constitutiv [ ]D se calculeaz cu relaia:


168

[ ]( ) ( )

+

=

2

21000

01

01

01

211

ED .

Matricea de rigiditate se va calcula cu relaia:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

==1

1

1

1

T

V

TddBDBdVBDBK ,

n care elementul de volum dV se calculeaz ca fiind:

= ddr2dV .

Spre deosebire de elementul triunghiular, n cazul elementului izoparametric axial simetric, raza curnet se calculeaz prin interpolarea n punctul curent de integrare, la fiecare pas de integrare Gauss.

x=r

rPG4

rPG3

rPG1

rC

rPG2

y

C

nod 1

nod 3

nod 4

nod 2

5.6.3 Program MATLAB pentru calculul strii plane de tensiune modelate cu elemente QUADAXIAL


Programul principal este:

% ************************************************ % program principal analiza cu elemente finite % ************************************************ % % notatii generale: % - nrnd = numar noduri structura % - nrel = numar elemente structura % - nnod = numar noduri element finit % - ndof = numar grade de libertate nodala % - elem = matricea de definire a unui element finit ielem % structura unei linii a matricei de definirea a % elementului finit este: % - elem(ielem,1) = tipul elementului finit


169

% - elem(ielem,2...nnod+1) = nodurile elementului finit % - elem(ielem,nnod+2) = identificatorul proprietatii sectionale % - elem(ielem,nnod+3) = identificatorul proprietatii de material % - kdim = numar grade de libertate pe element % - id = matricea gradelor de libertate nodala a structurii % - loadmat = matricea incarcarilor nodale % - kelem = matricea de rigiditate a unui element % - ksys = matricea de rigiditate a structurii % - v = vectorul incarcarilor structurii % - dep = vectorul deplasarilor nodale % - depmat = matricea deplasarilor nodale % % initializeaza problema clear all % citeste datele structurii initquadaxial % prelucreaza matricea gradelor de libertate nodala id prelid % prelucreaza matricea incarcarii loadmat % si genereaza vectorul incarcarilor nodale v prelload % pentru fiecare element al structurii for ielem=1:nrel % extrage identificatorul tipului de element finit care este prelucrat elemID=elem(ielem,1) % in functie de tipul elementului finit switch elemID % genereaza matricea de rigiditate a elementului finit case 14 % pentru elementul patrulater izoparametric axial simetric quadaxial end % si asambleaza in matricea de rigiditate a structurii asamb end % calculeaza vectorul deplasarilor nodale dep=ksys\v; % prelucreaza vectorul deplasarilor nodale % si genereaza matricea deplasarilor nodale preldep % pentru fiecare element al structurii for ielem=1:nrel % extrage identificatorul tipului de element finit care este prelucrat elemID=elem(ielem,1) % in functie de tipul elementului finit switch elemID case 14 % pentru elementul patrulater izoparametric axial simetric comptens_quadaxial end end


Matricea de rigiditate este calculat prin implementarea relaiilor prezentate anterior.


170

% ************************************************ % procedura QuadAxial % calcul matrice de rigiditate pentru elementului % patrulater axial simetric % ************************************************ % % extrage identificatorul de material al elementului finit matid=elem(ielem,7); % extrage caracteristicile de material ale elementului finit din % vectorul modulelelor de elasticitate longitudinala a structurii ex=exvect(matid); % si din vectorul coeficientilor Poisson nuxy=nuxyvect(matid); % % pentru elementul patrulater axial simetric % calculeaza matricea constitutiva D matd=ex/(1+nuxy)/(1-2*nuxy)*[1-nuxy nuxy nuxy 0 nuxy 1-nuxy nuxy 0 nuxy nuxy 1-nuxy 0 0 0 0 (1-2*nuxy)/2]; % % extrage nodurile elementului finit nod=elem(ielem,2:nnod+1); % extrage coordonatele nodurilor elementului finit for inod=1:nnod xelem(inod)=x(nod(inod)); yelem(inod)=y(nod(inod)); end % % calculeaza coorodnatele centrului de greutate al elementului finit xc=mean(xelem); yc=mean(xelem); % calculeaza coordonatele nodurilor in raport cu centrul % de greutate al elementului finit xl=xelem-xc; yl=yelem-yc; % % defineste parametrii de control ai integrarii Gauss % numarul de puncte Gauss ngauss=2; % coordonatele punctelor Gauss qgauss=[-0.577350269 0.577350269]; % ponderea punctelor Gauss wgauss=[1 1]; % % initializeaza matricea de rigiditate cu zero kelem=zeros(kdim,kdim); % calculeaza matricea de rigiditate prin integrare Gauss % dupa prima directie for igauss=1:ngauss % si dupa a doua directie de integrare for jgauss=1:ngauss % extrage coorodonatele punctelor Gauss xi=qgauss(igauss); eta=qgauss(jgauss); % si ponderile acestor puncte


171

wi=wgauss(igauss); wj=wgauss(jgauss); % calculeaza functiile de forma in fiecare nod ni=[0.25*(1-xi)*(1-eta) 0.25*(1+xi)*(1-eta) 0.25*(1+xi)*(1+eta) 0.25*(1-xi)*(1+eta)]; % calculeaza raza punctului curent de integrare r=xc+ni'*xl'; % si derivatele functiilor de forma % la prima directie nix=[-0.25*(1-eta) 0.25*(1-eta) 0.25*(1+eta) -0.25*(1+eta)]; % si la a doua directie niy=[-0.25*(1-xi) -0.25*(1+xi) 0.25*(1+xi) 0.25*(1-xi)]; % calculeaza matricea jacobian jac=[nix'*xl' nix'*yl' niy'*xl' niy'*yl']; % si determinantul matricei jacobian detjac=det(jac); % dupa care calculeaza si matricea inversa a jacobianului ijac=inv(jac); % % initializeaza matricea de transformare B cu zero matb=zeros(4,8); % calculeaza componentele matricei de transformare B % si genereaza matricea B i1=1; for i=1:4 i2=i1+1; a=ijac(1,1)*nix(i)+ijac(1,2)*niy(i); b=ijac(2,1)*nix(i)+ijac(2,2)*niy(i); matb(1,i1)=a; matb(2,i1)=ni(i)/r; matb(3,i2)=b; matb(4,i1)=b; matb(4,i2)=a; i1=i2+1; end % prin integrare calculeaza matricea de rigiditate kelem=kelem+wi*wj*2*pi*r*matb'*matd*matb*detjac; end end


Tensiunile i deformaiile specifice sunt calculate ca i n cazul elementului stare plan de deformaie, innd cont de specificul vectorului deformaiilor specifice, al tensiunilor i al matricei constitutive:

% ************************************************


172

% procedura CompTensQuadAxial % calcul tensiuni, deformatii specifice pentru % elementul patrulater axial simetric % ************************************************ % % % notatii in corpul procedurii: % - defnod = vectorul deformatiilor specifice % - tensnod = vectorul tensiunilor nodale % % recalculeaza matricea de rigiditate a elementului finit % patrulater stare plana de tensiune sau stare plana de deformatie % pentru elementul curent ielem quadaxial % % genereaza vectorul deplasarilor nodale % pentru elementul finit curent d(1,1)=depmat(nod(1),1); d(2,1)=depmat(nod(1),2); d(3,1)=depmat(nod(2),1); d(4,1)=depmat(nod(2),2); d(5,1)=depmat(nod(3),1); d(6,1)=depmat(nod(3),2); d(7,1)=depmat(nod(4),1); d(8,1)=depmat(nod(4),2); % % calculeaza indicele coloanei curente in care % se memoreaza tensiunile si deformatiile specifice indelem=4*(ielem-1)+1; % defineste parametrii de control ai integrarii Gauss % numarul de puncte Gauss ngauss=2; % coordonatele naturale ale punctelor de colt sunt memorate in vectorul qgauss=[-0.577350269 0.577350269]; % % parcurge nodurile elementului finit % pe prima directie for igauss=1:ngauss % si dupa a doua directie for jgauss=1:ngauss % extrage coordonatele nodurilor elementului finit xi=qgauss(igauss); eta=qgauss(jgauss); % calculeaza functiile de forma in fiecare nod ni=[0.25*(1-xi)*(1-eta) 0.25*(1+xi)*(1-eta) 0.25*(1+xi)*(1+eta) 0.25*(1-xi)*(1+eta)]; % calculeaza raza punctului curent de integrare r=xc+ni'*xl'; % si derivatele functiilor de forma % la prima directie nix=[-0.25*(1-eta) 0.25*(1-eta) 0.25*(1+eta) -0.25*(1+eta)]; % si la a doua directie


173

niy=[-0.25*(1-xi) -0.25*(1+xi) 0.25*(1+xi) 0.25*(1-xi)]; % calculeaza matricea jacobian jac=[nix'*xl' nix'*yl' niy'*xl' niy'*yl']; % si determinantul matricei jacobian detjac=det(jac); % dupa care calculeaza si matricea inversa a jacobianului ijac=inv(jac); % % initializeaza matricea de transformare B cu zero matb=zeros(4,8); % calculeaza componentele matricei de transformare B % si genereaza matricea B i1=1; for i=1:4 i2=i1+1; a=ijac(1,1)*nix(i)+ijac(1,2)*niy(i); b=ijac(2,1)*nix(i)+ijac(2,2)*niy(i); matb(1,i1)=a; matb(2,i1)=ni(i)/r; matb(3,i2)=b; matb(4,i1)=b; matb(4,i2)=a; i1=i2+1; end % % calculeaza vectorul fortelor nodale defnod(:,indelem)=matb*d; % % calculeaza vectorul eforturilor nodale tensnod(:,indelem)=matd*defnod(:,indelem); % identifica tipul elementului finit elemID=elem(ielem,1) % daca este element finit stare plana de deformatie % calculeaza tensiunile transversale Szz if elemID==13 szz(1,indelem)=nuxy*(tensnod(1,indelem)+tensnod(2,indelem)); end % incrementeaza indicele coloanei curente indelem=indelem+1; end end

5.6.4. Testarea elementului finit QUADAXIAL

Exemplul 5.6

Testarea implementrii elementului stare plan de tensiune s-a fcut cu ajutorul modelului descris n continuare:

% ************************************************ % procedura InitQuadAxial % initializare problema de test pentru elementul


174

% patrulater axial simetric % ************************************************ % % definire caracteristici element finit % numar noduri pe element finit nnod=4; % numar grade de libertate nodala ndof=2; % calculeaza dimensiunea matricei de rigiditate kdim=nnod*ndof; % definire numar noduri structura nrnd=15; % definire numar elemente structura nrel=8; % definire coordonate nodale % coordonatele x ale nodurilor structurii x=[20 30 40 20 30 40 20 30 40 20 30 40 20 30 40]; % coordonatele y ale nodurilor structurii y=[0 0 0 10 10 10 20 20 20 30 30 30 40 40 40]; % matricea gradelor de libertate nodala id=[0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1]; % matricea de definire a elementelor din structura elem=[14 1 2 5 4 1 1 14 2 3 6 5 1 1 14 4 5 8 7 1 1 14 5 6 9 8 1 1 14 7 8 11 10 1 1 14 8 9 12 11 1 1 14 10 11 14 13 1 1 14 11 12 15 14 1 1]; % matricea incarcarilor nodale loadmat=[10000 0 0 0 0 0 20000 0 0 0 0 0 20000 0 0 0 0 0 20000 0 0 0


175

0 0 10000 0 0 0 0 0]; % vectorul carateristilor de material % modul de elasticitate lonitudinala Ex exvect=[2E5]; nuxyvect=[0.3];

Deplasrile nodale sunt:

Nod 1 2.925341499059559e-003 0

Nod 2 2.183900399108118e-003 0

Nod 3 1.876473601568708e-003 0

Nod 4 2.925341499059559e-003 -4.704680446112882e-019

Nod 5 2.183900399108118e-003 -2.790891683147141e-019

Nod 6 1.876473601568707e-003 -1.872979411651464e-020

Nod 7 2.925341499059560e-003 -8.445161469752630e-019

Nod 8 2.183900399108118e-003 -5.333646897137251e-019

Nod 9 1.876473601568708e-003 1.718283706587136e-019

Nod 10 2.925341499059559e-003 -1.001886804395403e-018

Nod 11 2.183900399108117e-003 -4.486805402413266e-019

Nod 12 1.876473601568706e-003 4.407843205184449e-019

Nod 13 2.925341499059557e-003 0

Nod 14 2.183900399108115e-003 0

Nod 15 1.876473601568706e-003 0

Tensiunile nodale calculate n Matlab sunt:

Columns 1 through 3

-5.515315830043075e+000 -5.515315830043090e+000 -1.027743687899732e+001


176

2.515355024022982e+001 2.515355024022982e+001 1.404193445933658e+001

5.891470323056015e+000 5.891470323056008e+000 1.129349274101770e+000

2.849785687468497e-015 2.854203448936614e-015 -2.362724757173351e-015

Columns 4 through 6

-1.027743687899734e+001 -6.634343248140090e-001 -6.634343248140072e-001

1.404193445933657e+001 1.421746337232680e+001 1.421746337232680e+001

1.129349274101763e+000 4.066208714253833e+000 4.066208714253833e+000

-1.315804906776865e-015 -3.716327732970295e-015 -2.476849222189630e-015

Columns 7 through 9

-2.364191842297670e+000 -2.364191842297667e+000 -5.515315830043103e+000

1.024902916486493e+001 1.024902916486492e+001 2.515355024022981e+001

2.365451196770175e+000 2.365451196770176e+000 5.891470323056004e+000

-2.152574599577741e-015 -1.955598177725445e-015 5.542833441652908e-015

Columns 10 through 12

-5.515315830043101e+000 -1.027743687899735e+001 -1.027743687899735e+001

2.515355024022982e+001 1.404193445933656e+001 1.404193445933656e+001

5.891470323056006e+000 1.129349274101757e+000 1.129349274101757e+000

9.534446120029629e-016 3.303229970110590e-016 3.038448789859702e-015


-6.634343248140101e-001 -6.634343248140066e-001 -2.364191842297668e+000

1.421746337232680e+001 1.421746337232680e+001 1.024902916486492e+001

4.066208714253833e+000 4.066208714253834e+000 2.365451196770178e+000

2.952028957212141e-015 3.235780526134792e-015 1.909526868283771e-015


-2.364191842297665e+000 -5.515315830043098e+000 -5.515315830043099e+000

1.024902916486493e+001 2.515355024022982e+001 2.515355024022981e+001

2.365451196770180e+000 5.891470323056013e+000 5.891470323056011e+000

4.278282615063163e-015 -4.626369501377270e-015 -2.261838171347576e-015


-1.027743687899735e+001 -1.027743687899735e+001 -6.634343248140112e-001

1.404193445933656e+001 1.404193445933656e+001 1.421746337232680e+001

1.129349274101766e+000 1.129349274101764e+000 4.066208714253838e+000

-3.583867412448900e-015 -1.219336082419206e-015 -1.355639910018542e-015


-6.634343248140201e-001 -2.364191842297672e+000 -2.364191842297681e+000

1.421746337232679e+001 1.024902916486492e+001 1.024902916486491e+001

4.066208714253834e+000 2.365451196770180e+000 2.365451196770174e+000

-1.447983852464548e-015 -5.525648265732021e-015 -4.054239074785472e-015


-5.515315830043082e+000 -5.515315830043082e+000 -1.027743687899734e+001

2.515355024022983e+001 2.515355024022982e+001 1.404193445933656e+001

5.891470323056042e+000 5.891470323056036e+000 1.129349274101780e+000

-1.042502088928370e-014 -1.042502088928370e-014 -8.340016711426957e-015


-1.027743687899734e+001 -6.634343248140256e-001 -6.634343248140168e-001

1.404193445933655e+001 1.421746337232678e+001 1.421746337232678e+001

1.129349274101777e+000 4.066208714253832e+000 4.066208714253834e+000

-9.382518800355326e-015 -6.255012533570217e-015 -1.042502088928370e-014


-2.364191842297692e+000 -2.364191842297683e+000

1.024902916486490e+001 1.024902916486490e+001

2.365451196770157e+000 2.365451196770161e+000

-2.606255222320924e-015 -5.212510444641848e-015

care coincid cu cele calculate n NISA:

Meto

da e

lem

ente

lor

finite -

analiz

a s

tatic

lin

iar

E

lem

ente

fin

ite b

idim

ensi

onale

177



1 2.92534E-03 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

2 2.18390E-03 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

3 1.87647E-03 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

4 2.92534E-03 4.42636E-19 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

5 2.18390E-03 2.00542E-19 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

6 1.87647E-03 -3.21747E-19 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

7 2.92534E-03 6.53782E-20 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

8 2.18390E-03 1.79331E-19 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

9 1.87647E-03 -1.48116E-19 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

10 2.92534E-03 -4.84590E-19 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

11 2.18390E-03 1.48041E-20 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

12 1.87647E-03 8.48692E-20 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

13 2.92534E-03 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

14 2.18390E-03 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

15 1.87647E-03 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00 0.00000E+00

E L E M E N T S T R E S S C A L C U L A T I O N



1 -5.515316E+00 5.891470E+00 5.535474E-15 2.515355E+01 2.21132E+01 2.11325E+00

2 -1.027744E+01 1.129349E+00 1.365466E-15 1.404193E+01 2.78868E+01 2.11325E+00

3 -5.515316E+00 5.891470E+00 5.654662E-15 2.515355E+01 2.21132E+01 7.88675E+00

4 -1.027744E+01 1.129349E+00 4.421518E-16 1.404193E+01 2.78868E+01 7.88675E+00



1 -6.634343E-01 4.066209E+00 1.759008E-15 1.421746E+01 3.21132E+01 2.11325E+00

2 -2.364192E+00 2.365451E+00 2.280259E-15 1.024903E+01 3.78868E+01 2.11325E+00

3 -6.634343E-01 4.066209E+00 -1.216634E-15 1.421746E+01 3.21132E+01 7.88675E+00

4 -2.364192E+00 2.365451E+00 -1.741316E-16 1.024903E+01 3.78868E+01 7.88675E+00



1 -5.515316E+00 5.891470E+00 1.031874E-14 2.515355E+01 2.21132E+01 1.21132E+01

2 -1.027744E+01 1.129349E+00 1.553125E-14 1.404193E+01 2.78868E+01 1.21132E+01

3 -5.515316E+00 5.891470E+00 1.628340E-14 2.515355E+01 2.21132E+01 1.78868E+01

4 -1.027744E+01 1.129349E+00 1.419840E-14 1.404193E+01 2.78868E+01 1.78868E+01

Meto

da e

lem

ente

lor

finite -

analiz

a s

tatic

lin

iar

E

lem

ente

fin

ite b

idim

ensi

onale

178



1 -6.634343E-01 4.066209E+00 1.013350E-14 1.421746E+01 3.21132E+01 1.21132E+01

2 -2.364192E+00 2.365451E+00 7.527249E-15 1.024903E+01 3.78868E+01 1.21132E+01

3 -6.634343E-01 4.066209E+00 1.350707E-14 1.421746E+01 3.21132E+01 1.78868E+01

4 -2.364192E+00 2.365451E+00 7.773312E-15 1.024903E+01 3.78868E+01 1.78868E+01



1 -5.515316E+00 5.891470E+00 -5.467275E-15 2.515355E+01 2.21132E+01 2.21132E+01

2 -1.027744E+01 1.129349E+00 -4.424773E-15 1.404193E+01 2.78868E+01 2.21132E+01

3 -5.515316E+00 5.891470E+00 -3.315135E-15 2.515355E+01 2.21132E+01 2.78868E+01

4 -1.027744E+01 1.129349E+00 -4.357637E-15 1.404193E+01 2.78868E+01 2.78868E+01



1 -6.634343E-01 4.066209E+00 -1.044909E-14 1.421746E+01 3.21132E+01 2.21132E+01

2 -2.364192E+00 2.365451E+00 -6.279078E-15 1.024903E+01 3.78868E+01 2.21132E+01

3 -6.634343E-01 4.066209E+00 -8.429829E-15 1.421746E+01 3.21132E+01 2.78868E+01

4 -2.364192E+00 2.365451E+00 -5.823574E-15 1.024903E+01 3.78868E+01 2.78868E+01



1 -5.515316E+00 5.891470E+00 2.085004E-15 2.515355E+01 2.21132E+01 3.21132E+01

2 -1.027744E+01 1.129349E+00 3.127506E-15 1.404193E+01 2.78868E+01 3.21132E+01

3 -5.515316E+00 5.891470E+00 2.085004E-15 2.515355E+01 2.21132E+01 3.78868E+01

4 -1.027744E+01 1.129349E+00 1.042502E-15 1.404193E+01 2.78868E+01 3.78868E+01



1 -6.634343E-01 4.066209E+00 0.000000E+00 1.421746E+01 3.21132E+01 3.21132E+01

2 -2.364192E+00 2.365451E+00 0.000000E+00 1.024903E+01 3.78868E+01 3.21132E+01

3 -6.634343E-01 4.066209E+00 0.000000E+00 1.421746E+01 3.21132E+01 3.78868E+01

4 -2.364192E+00 2.365451E+00 0.000000E+00 1.024903E+01 3.78868E+01 3.78868E+01


5 - 179

5.4 Elementul patrulater stare plan de tensiune QUADSPT .................................................... 141 5.4.1 Introducere ..................................................................................................................... 141

5.4.2. Descrierea elementului finit QUADSPT ........................................................................ 141

5.4.3 Program MATLAB pentru calculul strii plane de tensiune modelate cu elemente

QUADSPT .............................................................................................................................. 144

5.4.3.a Programul principal ..................................................................................................... 144

5.4.3.b Calculul matricei de rigiditate ...................................................................................... 145

5.4.3.c Calculul deformaiilor specifice i tensiunilor .............................................................. 148

5.4.4. Testarea elementului finit QUADSPT ............................................................................ 150

5.5 Elementul patrulater stare plan de deformaie QUADSPD ............................................... 155

5.5.1 Introducere ..................................................................................................................... 155

5.5.2. Descrierea elementului finit QUADSPD ........................................................................ 155


QUADSPD ............................................................................................................................. 156




5.3.4. Testarea elementului finit QUADSPD ........................................................................... 161

5.6 Elementul patrulater axial simetric QUADAXIAL ............................................................ 167

5.6.1 Introducere ..................................................................................................................... 167

5.6.2. Descrierea elementului finit QUADAXIAL ................................................................... 167


QUADAXIAL ........................................................................................................................ 168




5.6.4. Testarea elementului finit QUADAXIAL ...................................................................... 173

documentq4

Documents