proiectarea optimalĂ

Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice

PROIECTAREA OPTIMALĂ

A DISPOZITIVELOR

ELECTROMAGNETICE

Conf.dr.ing.ec. Claudia PĂCURAR

CURS 9

PODE

e-mail: [email protected]

Proiectarea optimală a dispozitivelor electromagnetice2/49

PARTEA III



Obiectivul cursului

Structura cursului

METODE DE ANALIZĂ A SENSIBILITĂŢII

Rezolvarea problemelor de optimizare a formei utilizând metode de

căutare de tip determinist

Exemple de aplicare a metodei

Exemplul 1

Exemplul 2

Exemplul 3

a vizează rezolvarea unor probleme de câmp electromagnetic printr-o metodă

numerică şi în mod particular în cazul utilizării MEF.



Exemple de aplicare a metodei

Exemplul nr. 1

Se consideră un circuit magnetic având structura reprezentată în figura următoare.

Se consideră, ipoteza simplificatoare prin care se neglijează a treia dimensiune.

Astfel, problema de câmp magnetic devine bidimensională.

J



Ţinând cont de simetria problemei, pentru simplificare, vom considera o structură

care se reduce la modelul de bază reprezentat în figura următoare.

J

Zona de interes

m

M NA = 0

A = 0

A

n = 0

Circuitul magnetic (1)

Circuitul magnetic (2)

Q P

A = 0

⚫ ⚫⚫⚫⚫⚫⚫⚫

p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 p8

Interfata de optimizat

12

Modelul de bază definit parametric



Se reţine zona de interes localizată în vecinătatea întrefierului. Problema care se

cere a fi rezolvată este aceea de a găsi “forma optimă a interfeţei tălpii polare” care

asigură obţinerea unei distribuţii constante a inducţiei magnetice. Pentru rezolvarea

problemei numerice de câmp magnetic staţionar prin metoda elementelor finite sunt

impuse condiţiile de frontieră aferente de tip Dirichlet (pe frontiera MN, NP şi PQ)

respectiv de tip Neumann (pe frontiera MQ).

Se presupun cunoscute următoarele date iniţiale de proiectare:

➢ mediul feromagnetic este liniar. Permeabilitatea magnetică relativă are valoarea:

r = 2.000;

➢ densitatea de curent: J = 3,750 A/mm2;

➢ toate dimensiunile geometrice ale modelului de bază (m);

➢ vectorul iniţial al parametrilor de proiectare asociat, conform figurii anterioare.

Parametrizarea adoptată asigură deplasarea celor 8 noduri de control numai

după direcţia Oy:

{p0}={0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2}T (m).



Se cere:

a determinarea formei tălpii polare 12 care asigură o distribuţie uniformă a

inducţiei magnetice în zona de interes m situată în întrefier. Valoarea

impusă a inducţiei este Bfix = 0,4 T.

În formularea problemei de optimizare nu sunt impuse restricţii asupra limitelor de

variaţie a parametrilor de proiectare.

Funcţia obiectiv este de forma exprimată în ecuaţia

în care numărul punctelor de testare este q = 24 şi are valoarea iniţială:

2

1

minimul funcţiei : ,

supus restricţiilo

1({ }) (

,

)2

r

=

−

=

=

i

qe e

l fix

l

i

f p B

p i

B

p pmin max

i1, 2,...,n .

f({p0}) = 0,06595160

iar gradientul acestuia:

0({ }) 4,754f p =



Problema de optimizare fără restricţii a fost rezolvată utilizând metoda gradienţilor

conjugaţi Fletcher-Reeves. Metoda a fost prezentată în detaliu în cursurile anterioare.

În tabelul următor sunt prezentate valorile inducţiilor magnetice la nivelul elementelor

finite situate în zona de interes m (s-a reţinut numai o treime din numărul acestora,

adică 8 elemente):

Valoarea iniţială (T) 0,433 0,471 0,489 0,498 0,501 0,503 0,503 0,504

Valoarea impusă (T) 0,400 0,400 0,400 0,400 0,400 0,400 0,400 0,400

Valoarea finală (T) 0,390 0,405 0,406 0,403 0,400 0,399 0,399 0,399

Eroarea relativă (%) 2,59 1,22 1,40 0,73 0,02 0,31 0,28 0,04

Criteriul de terminare a procesului de optimizare constă în satisfacerea condiţiei:

({ }) -4f .10 q

p



După niter = 40 iteraţii de optimizare, condiţia anterioară este satisfăcută, iar valoarea

finală a funcţiei obiectiv devine:

({ )}f =40

p 0,00017828 .

Vectorul parametrilor de proiectare, pentru care este satisfăcută condiţia:

are valoarea:

{ } { }T= (m).40

p 0,2052 n0,1867 n0,1870 n0,1889 n0,1855 0,1853n 0,1858 0,1875

({ }) -4f .10 q

p

Rezultatele obţinute sunt salvate într-un fişier de date de ieşire, şi sunt prelucrate

ulterior.

Graficele de variaţie a funcţiei obiectiv, a sensibilităţii funcţiei obiectiv în raport cu

fiecare parametru, etc., obţinute în urma procesului de optimizare sunt reprezentate

utilizând programul GNUPLOT.



Variaţia inducţiei

magnetice în întrefier

În figura sunt prezentate graficele de

variaţie a inducţiilor magnetice

corespunzător celor trei valori distincte:

iniţiale, impuse şi respectiv obţinute în

urma optimizării (prezentate în tabelul

anterior). Soluţia este calculată cu o

eroare relativă cuprinsă între 0,02 % şi

2,59 %. Eroarea este sub 1% în dreptul

axei NP şi creşte la periferia acesteia

până la valoarea maximă.



Forma interfeţei (iniţială

şi finală)

În această figură este prezentată forma

iniţială a interfeţei căutate 12 şi respectiv

cea obţinută după 40 de iteraţii de

optimizare. “Vârful” care apare în

structura finală este evident nefezabil din

punct de vedere practic. El poate fi evitat

dacă se adoptă o strategie de repartiţie

neechidistantă a nodurilor de control pe

interfaţa căutată, respectiv un număr mai

mare de noduri de control situate în zona

“critică”, alături de o parametrizare pe

ambele direcţii (aşa cum se va adopta în

exemplele următoare).



Spectrele câmpului magnetic corespunzătoare valorii iniţiale a parametrilor de

proiectare:

{p0}={0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2}T (m).

şi respectiv celei finale

obţinute în urma procesului de optimizare, sunt prezentate în figura următoare (cazul

a şi respectiv b)

{ } { }T= (m).40

p 0,2052 n0,1867 n0,1870 n0,1889 n0,1855 0,1853n 0,1858 0,1875



Spectrul câmpului magnetic pentru structura iniţială



Spectrul câmpului magnetic pentru structura optimă



Variaţia funcţiei obiectiv pe durata

procesului de optimizare

Variaţia gradientului funcţiei obiectiv pe

durata procesului de optimizare

Referitor la variaţia funcţiei obiectiv se constată că, prin condiţia impusă de terminare

a căutării de minim valoarea funcţiei obiectiv scade de aproximativ 370 de ori, în timp

ce modulul gradientului funcţiei obiectiv scade de aproximativ 50.000 de ori.



Variaţia pasului de căutare pe durata


Pasul de căutare a soluţiei optime

pe “direcţia de căutare” este obţinut

printr-o metodă de interpolare

pătratică, conform celor prezentate

în cursurile anterioare. Variaţia

acestui pas în raport cu iteraţia

curentă este reprezentată în figură.

La prima iteraţie pasul de căutare

este fixat de către utilizator, dar apoi

se ajustează în mod automat. Acesta

este motivul pentru care, pe măsură

ce valoarea gradientului funcţiei

obiectiv scade, pasul de deplasare

pe direcţia de căutare creşte.



Sunt prezentate în continuare variaţiile sensibilităţii funcţiei obiectiv în raport cu

fiecare din cei 8 parametrii de proiectare adoptaţi funcţie de numărul iteraţiei curente.

În acest fel se poate evalua influenţa fiecărui parametru în parte în raport cu funcţia

obiectiv adoptată.

Sensibilitatea funcţiei obiectiv faţă de

variabila nr. 1 pe parcursul optimizării





Exemplul nr. 2

Se consideră un generator sincron cu poli aparenţi - caz idealizat (prezentat în figură).

Adoptăm ipoteza simplificatoare, uzuală în analiza maşinilor electrice prin care se

neglijează dimensiunea finită a lăţimii generatorului. Astfel, problema de câmp devine

bidimensională.

bp

S

S

p

Notaţiile utilizate au următoarele semnificaţii:

➢ bp lăţimea tălpii polare (m);

➢ întrefierul (m);

➢ pasul polar (m);

➢ s pasul dintre crestăturile statorului (m);

➢ p solenaţia bobinei polare (Asp);

➢ s solenaţia înfăşurării statorice (Asp).



În cazul întrefierului de valoare constantă, pe lăţimea tălpii polare, curba câmpului de

excitaţie are formă trapezoidală. Pentru obţinerea unei curbe de câmp cât mai

apropiate de sinusoidă se adoptă un întrefier variabil care se realizează prin forma

tălpii polare. În proiectarea generatoarelor sincrone, se recomandă ca valoarea

coeficientului de acoperire a tălpii polare, i = bp/, să fie în intervalul [0,67 … 0,8].

Forma tălpii polare se obţine în acest caz prin metode aproximative, ca de exemplu

metoda trasării prin puncte.

Determinarea exactă a formei tălpii polare, care să asigure o distribuţie sinusoidală a

inducţiei magnetice în întrefier, la periferia interioară a circuitului statoric, reprezintă o

problemă inversă electromagnetică tipică, care face parte din categoria problemelor

de optimizare a formei.

Se studiază, clasa de probleme în care câmpul magnetic staţionar se consideră plan-

paralel, cu domeniul de existenta conţinut în planul xOy şi delimitat de frontiera

(prenetat în figura următoare). Domeniul de analiză a fost redus la jumătate faţă de

structura iniţială adoptată, datorită proprietăţilor de simetrie ale câmpului magnetic

staţionar în raport cu:

➢ axa geometrică polară (NP);

➢ axa geometrică interpolară (MQ).



A = 0

A = 0

z

y

x

p1 p2 p3 ……… p8

Zona de

interes mstator

M N

p9

….

p13

J

A

n= 0

rotor

A = 0

Q P

Interfata de

optimizat 12

Modelul de bază definit parametric



Condiţiile impuse pe frontiera domeniului de analiză , sunt de tip:

❖ Dirichlet omogen (A = 0) pe latura MN, deoarece se admite că inducţia

magnetică în afara maşinii este nulă, respectiv pe NP şi PQ din simetria

problemei;

❖ Neumann omogen (A/n = 0) pe latura QM, datorită ortogonalităţii

liniilor de câmp magnetic pe axa geometrică interpolară.

Un număr de 13 variabile de proiectare, grupate în vectorul {p}, au fost selectate în

vederea formulării problemei de optimizare a formei tălpii polare:

{ } { , ,......., } .Tp p p=p1 2 13

Variabilele de proiectare sunt asociate coordonatelor carteziene ale nodurilor de

control plasate pe interfaţa tălpii polare (figura anterioară).

Nodurile de control se pot deplasa după direcţia axei Oy (npx = 1, 2,…, 8) respectiv

Ox (npy = 9, 10, .., 13).




➢ mediul feromagnetic este liniar. Permeabilitatea magnetică relativă are

valoarea: r = 1.000;

➢ densitatea de curent: J = 4,200 A/mm2;

➢ vectorul iniţial al parametrilor de proiectare, asociat conform figurii:

T} { } {0

= (m).p 0,38; 0,39; 0,4; 0,4; 0,4; 0,4; 0,4; 0,4; 0,1; 0,1; 0,1; 0,1; 0,1

Se cere:

➢ determinarea formei tălpii polare care asigură distribuţia sinusoidală a

inducţiei magnetice în zona întrefierului. Valoarea maximă a inducţiei este în

dreptul axei polare Bfix = 0,4 T.

În formularea problemei de optimizare nu sunt impuse restricţii asupra limitelor de

variaţie a parametrilor de proiectare. Funcţia obiectiv, de forma

2

1

minimul funcţiei : ,

supus restricţiilo

1({ }) (

,

)2

r

=

−

=

=

i

qe e

l fix

l

i

f p B

p i

B

p pmin max

i1, 2,...,n .



are valoarea iniţială:

({ }) ,0

f = 0 7078126p

iar gradientul funcţiei obiectiv:

({ }) ,f = 4 2 0

p

Problema de optimizare fără restricţii a fost rezolvată utilizând metoda gradienţilor

conjugaţi (Fletcher-Reeves). Metoda a fost prezentată în detaliu în cursurile anterioare.

În tabelul următor sunt prezentate valorile inducţiilor magnetice la nivelul elementelor

finite situate în zona de interes (am reţinut numai jumătate din numărul acestora, adică

10 elemente).

Valoarea iniţială (T) .033 .159 .241 .325 .390 .420 .430 .433 .434 .434

Valoarea impusă (T) .000 .113 .166 .216 .262 .302 .337 .364 .396 .400

Valoarea finală (T) .025 .113 .164 .215 .261 .302 .337 .364 .396 .400

Eroarea relativă (%) - 0.55 1.53 0.79 0.43 0.06 0.17 0.08 0.01 0.01




({ }) -4f 10 q

p

După q = 20 iteraţii de optimizare, această condiţie este satisfăcută, iar valoarea

finală a funcţiei obiectiv este:

({ )} ,f = 0 00077597 20

p

Se constată că, în urma procesului de optimizare, funcţia obiectiv scade de

aproximativ 1.000 de ori, iar cea gradientului de 10.000 de ori aşa cum se poate

observa în următoarele figuri.





Variaţia gradientului funcţiei obiectiv pe

durata procesului de optimizare



Vectorul parametrilor de proiectare, pentru care este satisfăcută condiţia are

valoarea:

{ } { }T= .359,.369,.379,.386,.389,.392,.395,.395,.122,.109,.105,.102,.101 (m).20

p

În figură sunt trasate graficele de variaţie a

inducţiilor magnetice corespunzătoare

celor trei valori distincte: iniţială, impusă şi

obţinută în urma procesului de optimizare

(conform tabelului anterior). Soluţia este

obţinută cu o eroare relativă cuprinsă între

0,01% şi 1,53%. Eroarea este sub 1% în

dreptul tălpii polare şi creşte sensibil la

periferia ei, fiind maximă în vecinătatea

axei interpolare.

Variaţia inducţiei magnetice în întrefier



Deasupra tălpii polare, valorile fixate ale inducţiilor magnetice sunt atinse, cu o

eroare minimă, doar după câteva iteraţii (10 - 15 iteraţii) aşa după cum rezultă şi din

variaţia sensibilităţii (în următoarele figuri). Pentru micşorarea în continuare a erorii

relative, în vecinătatea axei geometrice interpolare, timpul de calcul creşte în mod

considerabil. Scăderea este evident influenţată doar de parametrii pj = 1, respectiv

pj = 9, 10, 11, 12 şi 13 (corespunzător variabilelor după axa Oy).

Sensibilitatea funcţiei obiectiv Sensibilitatea funcţiei obiectiv



Sensibilitatea funcţiei obiectiv Sensibilitatea funcţiei obiectiv



Forma iniţială a tălpii polare (pe care sunt marcate şi cele 13 noduri de control) şi

respectiv cea finală (obţinută în urma procesului de optimizare) este prezentată în

figura următoare.

Forma tălpii polare (iniţială şi finală)



Se constată că, prin parametrizarea adoptată (un număr mai mare de noduri în

vecinătatea “zonei critice” ) şi respectiv prin posibilitatea deplasării nodurilor de

control după ambele direcţii, forma optimizată obţinută asigură o structură

“realizabilă practic”, spre deosebire de cazul 1. Spectrul câmpului magnetic,

corespunzător celor două valori distincte ale parametrilor de proiectare, este dat în

figurile următoare (forma iniţială) şi respectiv (forma finală) care rezultă în urma

procesului de optimizare.

Spectrul câmpului magnetic pentru structura iniţială şi cea optimă



Pentru a putea evalua influenţa fiecărui parametru de proiectare în asigurarea

distribuţiei sinusoidale a inducţiei magnetice, în figurile următoare sunt date o parte

dintre cele 13 componente ale gradientului funcţiei obiectiv (sensibilitatea de ordinul

I), respectiv cele corespunzătoare variabilelor 2, 3 situate pe interfaţa orizontală şi

respectiv variabilele 9 şi 13 de pe cea verticală. Au fost reţinute în mod intenţionat

doar aceste grafice deoarece, din studiul lor se poate observa că, sensibilitatea

funcţiei obiectiv în raport cu variabilele de proiectare pj = 1, 3,..,8 (interfaţa orizontală)

devine neglijabilă după aproximativ 15 iteraţii. Cele mai mari valori corespund

parametrului pj = 12 şi 13 aşa cum se poate observa în aceste figuri.

Sensibilitatea funcţiei obiectiv



Evoluţia pasului de căutare în spaţiul unidimensional, utilizând metoda de interpolare

pătratică este prezentată în figura următoare. Pentru fiecare pas de căutare în parte

sunt necesare aşa cum s-a arătat trei analize numerice de câmp prin MEF

Variaţia pasului de căutare



Un "zoom" al reţelei de discretizare, corespunzător zonei elementului de proiectare,

pentru care s-a aplicat metoda de parametrizare prezentată în cursurile anterioare este

dată în figura următoare. Trebuie menţionat faptul că, la nivelul fiecărui element finit

este controlată valoarea ariei şi a unghiurilor interne, pentru evitarea distorsiunilor

“exagerate”, care pot genera erori mari de calcul.

“Zoom” al reţelei de discretizare



Exemplul nr. 3


➢ mediul feromagnetic este

considerat neliniar;

➢ densitatea de curent: J= 1,600

A/mm2;

➢ vectorul iniţial al parametrilor

de proiectare, asociat

conform figurii, are valoarea:

0{ {} }T

= .38, .395 , .4 , .4 , .4, .4, .4 , .4, .1 , .1 , .1 , .1, .1 (m).p

A = 0

A = 0

z

y

x

p1 p2 p3 ……… p8

Zona de

interes mstator

M N

p9

….

p13

J

A

n= 0

rotor

A = 0

Q P

Interfata de

optimizat 12



În formularea problemei de optimizare sunt impuse restricţii asupra limitelor de

variaţie a parametrilor de proiectare:

j

j

0.30m 0.45m , j = 1, 2,...,8. p

0.05m 0.15m , j = 9, 10,...,13 .p

Se cere:

➢ determinarea formei tălpii polare care asigură distribuţia sinusoidală a

inducţiei magnetice în zona întrefierului. Valoarea maximă a inducţiei se

impune în dreptul axei polare Bfix = 0,4 T.

În aceste condiţii funcţia obiectiv, respectiv gradientul ei au valorile iniţiale:

({ })

({ })

f = 0.2946111 ,

f = 27 .

0

0

p

p



Problema de optimizare cu restricţii a fost rezolvată utilizând metoda funcţiei de

penalizare exterioară, iar minimul pseudo-funcţiei obiectiv adusă la forma:

G r B B r g

unde g p p p p p p

l

e

fix

e

l

q

j

j

n

j j j j j j j

({ }, ) ( ) [ ( ({ }), ]

: ({ }) ( ) .

p p

p

= − +

= − + +

= =

1

20

0

2

1

2

1

2

max

min max minmax

se determină printr-o metodă de gradient simplă (prezentată în detaliu în cursurile

anterioare).

În tabelul următor sunt prezentate valorile inducţiilor magnetice în zona de interes.

Valoarea iniţiala (T) .029 .141 .213 .287 .373 .383 .385 .386 .386 .386

Valoarea impusă (T) .000 .113 .166 .216 .302 .337 .364 .384 .396 .400

Valoarea finală (T) .024 .112 .163 .215 .303 .336 .364 .384 .396 .400

Eroarea relativă (%) - 1.00 2.19 0.35 0.10 0.07 0.05 0.14 0.07 0.01




cu o eroare absolută egală cu 1,3*10-3. După q = 100 iteraţii de optimizare, condiţia

este îndeplinită, iar funcţia obiectiv are valoarea:

({ }) -4f 10 q

p

({ })f = 0.00129554 .100

p

Vectorul parametrilor de proiectare corespunzător acestei situaţii devine:

{ } { }T= .368, .378, .386, .391, .395 , .398, .401, .401, .116,.104 , .103 , .101, .098 (m).100

p

Evoluţiile funcţiei obiectiv şi respectiv a gradientului ei, pe durata procesului de

optimizare sunt prezentate în figurile următoare:





Variaţia gradientului funcţiei obiectiv

pe durata procesului de optimizare



Inducţiile magnetice în întrefierul

maşinii (valoarea iniţială, impusă şi

respectiv cea finală) sunt reprezentate în

figură. Şi în acest caz, eroarea relativă

maximă apare în dreptul axei geometrice

interpolare. În restul zonei de interes

abaterea relativă a valorii calculate faţă

de cea impusă este cuprinsă între 0,01%

şi respectiv 2,19%.

Variaţia inducţiei magnetice în întrefier



Forma iniţială a tălpii polare şi cea rezultată în urma procesului de optimizare sunt

reprezentate în figura:



Mediul feromagnetic fiind presupus neliniar, analiza numerică de câmp (la fiecare

iteraţie de optimizare) presupune o rezolvare în mod iterativ cu două cicluri accelerate

prin relaxare. Metoda simplă de gradient, adoptată în găsirea minimului cu restricţii

converge foarte lent. În cazul utilizării altor metode de tip gradient au fost sesizate

fenomene de instabilitate. Deşi convergenţa este redusă, soluţia găsită asigură

satisfacerea condiţiilor impuse. Componentele gradientului funcţiei obiectiv în raport

cu o parte dintre parametrii de proiectare sunt prezentate în figurile următoare.




faţă de variabila nr. 2


faţă de variabila nr. 3



Sensibilitatea funcţiei obiectiv faţă

de variabila nr. 10

Sensibilitatea funcţiei obiectiv faţă

de variabila nr. 11



Din nou se poate constata faptul că, chiar după 100 de iteraţii de optimizare

sensibilitatea de ordinul întâi în raport cu parametrii localizaţi pe interfaţa verticală

are valori mai mari comparativ cu ceilalţi parametrii. Timpul de calcul creşte în mod

considerabil în acest caz (aproximativ 3 ore de rulare) pe o staţie grafică de tip HP

9000.

Din compararea celor trei exemple prezentate, se constată importanţa adoptării unei

metode adecvate de optimizare. Algoritmul prezentat şi programul de calcul elaborat

în acest scop au fost testate pe un număr mare de exemple, cu diferite tehnici de

optimizare, parametrizare, condiţii iniţiale, etc. Comparativ cu alte rezultate

comunicate în literatura de specialitate (pe cazuri similare), cele obţinute prin

metoda propusă demonstrează eficienţa soluţiilor adoptate.



Concluzii

Diferite metode de analiză a sensibilităţii, în ipoteza rezolvării problemei de câmp

electromagnetic prin MEF sunt prezentate şi analizate. Metoda diferenţelor finite,

deşi are avantajul de a fi foarte uşor de implementat, a pierdut teren în competiţia cu

celelalte metode de calcul. Acest lucru se datorează pe de-o parte, preciziei de

evaluare a componentelor gradientului (puternic influenţate de valoarea pasului de

discretizare) şi respectiv a timpului de calcul foarte ridicat. A doua metodă de calcul,

cea analitică şi semi-analitică are avantajul de a furniza informaţia de sensibilitate

atât în raport cu un parametru electro-fizic cât şi geometric, dar necesită accesul la

nivelul programului de calcul prin MEF, ceea ce reprezintă un dezavantaj important al

metodei. Acest dezavantaj implică elaborarea unor programe proprii de analiză în

care se pot implementa derivatele matricelor locale ale coeficienţilor şi a termenilor

liberi din MEF. De dată mult mai recentă este metoda continuă, care poate fi aplicată

însă numai în cazul unor variabile de natură geometrică, respectiv în probleme de

optimizare a formei unor interfeţe de separaţie. Principalul avantaj al metodei rezidă

din faptul că, nu este necesar accesul la nivelul programului sursă de analiză prin

MEF. Poate fi aplicată atât la rezolvarea problemelor de câmp liniare cât şi neliniare.



Vă mulţumesc!!!


proiectarea optimalĂ

Documents