proiectarea elementelor de otel-carte roz

3

CUPRINS PREFAŢĂ 5

1. CARACTERISTICI DE CALCUL ALE SECŢIUNILOR

7

2. COEFICIENŢI PARŢIALI DE SIGURANŢĂ. CLASIFICAREA SECŢIUNILOR

16

3. ELEMENTE SOLICITATE LA EFORTURI AXIALE. BARE DREPTE SOLICITATE LA ÎNTINDERE

30

4. ELEMENTE COMPRIMATE CENTRIC. BARE CU SECŢIUNE UNITARĂ

42

5. ELEMENTE COMPRIMATE CENTRIC. BARE CU SECŢIUNE COMPUSĂ

74

6. STABILITATEA PLĂCILOR PLANE

84

7. LUNGIMI DE FLAMBAJ

114

8. ELEMENTE SOLICITATE LA TORSIUNE

125

9. GRINZI PLANE CU INIMĂ PLINĂ. ALCĂTUIRE ŞI CALCUL DE REZISTENŢĂ

137

10. STABILITATEA LOCALĂ A GRINZILOR CU INIMĂ PLINĂ

158

11. STABILITATEA GENERALĂ A GRINZILOR CU INIMĂ PLINĂ

180

12. VERIFICAREA LA OBOSEALĂ

189

13. ELEMENTE SOLICITATE LA COMPRESIUNE ŞI ÎNCOVOIERE

198

14. CONFORMAREA CONSTRUCTIVĂ A GRINZILOR CU INIMĂ PLINĂ

225

15. GRINZI CU ZĂBRELE. BAZELE PROIECTĂRII

237

16. STABILITATEA GENERALĂ A GRINZILOR PRINCIPALE

249

17. PLATELAJE ORTOTROPE

263

18. GRINZI CU SECŢIUNE COMPUSĂ OŢEL-BETON

287

19. ELEMENTE REALIZATE DIN PROFILE TUBULARE UMPLUTE CU BETON

309

20. ÎMBINAREA ELEMENTELOR METALICE 322

21. CONSOLIDAREA ELEMENTELOR METALICE 352

22. GRINZI CU INIMA DIN TABLĂ CUTATĂ SAU ONDULATĂ 374

23. CABLURI PENTRU STRUCTURI 381

BIBLIOGRAFIE 393

4

CONTENT PREFACE 6

1. DESIGN CARACTERISTICS OF SECTIONS

7

2. SAFETY FACTORS. CROSS-SECTION CLASSES. STEEL CHARACTERISTICS

16

3. MEMBERS SUBJECTED TO AXIAL FORCES. TENSION MEMBERS

30

4. COMPRESSION MEMBERS. UNIFORM MEMBERS IN COMPRESSION

42

5. COMPRESSION MEMBERS. UNIFORM BUILT-UP MEMBERS

74

6. PLATE BUCKLING

84

7. BUCKLING LENGTHS

114

8. MEMBERS SUBJECTED TO TORSION

125

9. STEEL PLATE GIRDERS

137

10. SHEAR BUCKLING REISTANCE OF WEB

158

11. TORSIONAL - FLEXURAL BUCKLING OF PLATE GIRDERS

180

12. FATIGUE VERIFICATIONS

189

13. UNIFORM MEMBERS IN BENDING AND AXIAL COMPRESSION

198

14. CONSTRUCTIVE CONFORMATION OF PLATE GIRDERS

225

15. TRUSS GIRDERS

237

16 GENERAL STABILITY OF TRUSSES

249

17. ORTHOTROPHIC DECKS

263

18. COMPOSITE STEEL - CONCRETE GIRDERS

287

19. CONCRETE – FILLED STEEL TUBULAR HOLLOW SECTION

309

20. DESIGN OF JOINTS 322

21. STEEL MEMBERS CONSOLIDATION 352

22. PLATE GIRDERS WITH CORRUGATED WEBS 374

23. CABLES FOR STRUCTURES 381

REFERENCES 393

5

PREFAŢǍ Structurată pe 23 module de calcul specific, cu scopul de a permite o cât mai bună sistematizare a materialului tehnic prezentat, lucrarea Proiectarea elementelor din oţel, urmăreşte să prezinte noţiunile fundamentale privind calculul elementelor constitutive ale structurilor de construcţii şi poduri metalice, având la bază normele europene de proiectare EN 1993-1, EN 1993-2, EN 1994-1 şi EN 1994-2.

Lucrarea permite asimilarea normelor europene de proiectare a construcţiilor din oţel şi a celor compuse oţel-beton, preluate şi de ţara noastră sub forma SR EN ..., de către studenţii Facultăţii de Construcţii şi de către inginerii specialişti din domeniu.

Modulele de calcul teoretic sunt însoţite de exemple numerice rezolvate de autori, care facilitează înţelegerea metodologiei de aplicare a bazei teoretice de calcul prezentată în euronorme.

Exprimăm mulţumiri anticipate tuturor celor care vor aduce observaţii şi propuneri de îmbunătăţire a materialului editat sub această formă combinată de teorie şi aplicaţii.

Apreciem că lucrarea răspunde cerinţelor necesare unei lucrări specifice de calitate pentru învăţământul tehnic de construcţii.

Autorii

6

PREFACE Structured on 23 specific design modules, to offer a good systematization of the technical material, the book Design of steel members, has the main scope to present the fundamental notions regarding the design of the steel constructions and bridges according to the European codes EN 1993-1, EN 1993-2, EN 1994-1 and EN 1994-2. The work facilitates the understanding of the application methodology of the European norms by the students of the Civil Engineering Faculty and engineers who work in the design field of the steel structures. The theoretical design modules are accompanied by working examples solved by authors to respond better to the objective undertaken by the book. We would like to express thanks in anticipation to all those who might contribute to the improvement of the material by making both theory and working examples observations and suggestions. It is belief that the present work meets requirements of a typical technical-constructions education standard.

Authors

7

1. CARACTERISTICI DE CALCUL ALE SECŢIUNILOR 1.1. Aspecte generale

În primele module ale lucrării se vor prezenta caracteristicile geometrico - sectoriale ale secţiunii barelor cu pereţi subţiri (BPS), prezentate detaliat la disciplina de Rezistenţa materialelor, precum şi caracteristici legate de calculul elementelor de construcţii şi poduri metalice în conformitate cu normativul SR EN 1993 (EC 3).

Se apreciază că celelalte caracteristici de calcul ale secţiunii (arie brută, arie netă, moment static, moment de inerţie, modul de rezistenţă) sunt bine cunoscute de la disciplinele de Mecanica construcţiilor, acestea având o utilizare „curentă” în activitatea de dimensionare şi verificare a structurilor.

O atenţie deosebită în practica de proiectare trebuie acordată sistemului de axe în care se lucrează, acesta nefiind unitar în cadrul disciplinelor de specialitate, normative şi standarde de proiectare, programe de calcul etc., tabelul 1.1. În lucrare se va utiliza sistemul de axe EN 1993.

Tabelul 1.1

Material tehnic

Rezistenţa materialelor; EC3, Tabele cu

europrofile

Tabele de produse

laminate (neactualizate)

Sistem de axe

Observaţie: În calculele de stabilitate (ex. flambaj prin încovoiere-răsucire, flambaj lateral), în cazul secţiunilor monosimetrice, axele principale se aleg în mod uzual ca în figura 1.1.

Fig.1.1

1.2. Caracteristici geometrico - sectoriale ale BPS Coordonata (aria) sectorială la BPS cu secţiune deschisă Coordonata (aria) sectorială a unui punct curent S(s), care se determină în raport cu un pol

( )PP z,yP , se notează cu ( )sPω şi se defineşte prin integrala:

8

( ) ∫ ⋅=ωs

sPp

Q

dsrs [ ]2L (1.1)

unde Pr este distanţa de la punctul P la tangenta dusă în punctul curent M al axei mediane a BPS (produsul 0dsrP >⋅ dacă raza vectoare Pr parcurge arcul ds în sens orar), fig. 1.2.

Fiecărui punct de pe axa mediană a BPS, S(y,z), îi corespunde o valoare proprie pentru ( )sPω , de aceea aria sectorială ( )sPω poate fi privită ca o coordonată a punctului respectiv. Ea

reprezintă dublul ariei delimitate de raza polară origine PQ, raza polară PS a punctului considerat, şi porţiunea QMS din axa mediană a BPS.

Fig. 1.2. Coordonata sectorială

la BPS profil deschis

Coordonata sectorială depinde de poziţia polului ( )PP z,yP şi de poziţia punctului origine

( )QsQ , de măsurare a ariei sectoriale. Punctul ( )QsQ se numeşte punct sectorial nul

( )( )0sQP =ω . Reprezentând grafic legea de variaţie a ariei sectoriale funcţie de arcul s, se obţine diagrama sectorială Pω . Coordonata sectorială principală ( )sω , este aria sectorială care se determină faţă de acel pol

( )cc z,yC şi acel punct sectorial nul ( )00 z,yO care satisfac condiţiile:

∫ =⋅⋅ωa

0

0dAy ; ∫ =⋅⋅ωa

0

0dAz ; ∫ =⋅ωa

0

0dA (1.2)

Polul ( )cc z,yC care satisface primele două condiţii (1.2) se numeşte pol principal şi

coincide cu centrul de încovoiere al secţiunii, iar punctul sectorial nul ( )00 z,yO care satisface ultima condiţie (1.2) se numeşte punct sectorial nul principal.

Dacă se cunoaşte diagrama coordonatelor sectoriale Pω determinate faţă de polul arbitrar ( )PP z,yP şi punctul sectorial nul arbitrar ( )QsQ , se poate preciza poziţia polului principal ( )cc z,yC , cu ajutorul relaţiilor:

∫∫ ⋅⋅ω+=A

Py

Pc dAzI1yy (1.3.a)

∫∫ ⋅⋅ω−=A

Pz

Pc dAyI1zz (1.3.b)

Coordonata sectorială a punctului sectorial ( )0sO faţă de un punct sectorial nul arbitrar, se determină din relaţia:

( ) ( )∫ ⋅ω=ωa

0

QSQO dssA1s (1.4)

9

Coordonata (aria) sectorială la BPS cu secţiune închisă Aria sectorială pentru BPS profil închis o singură dată are expresia:

r

rP

s

sPP a

s

gds

gds

0 Ω−ω=Ω−ω=ω

∫

∫ (1.5)

unde: Pω - aria sectorială corespunzătoare tubului deschis, figura 1.3;

∫=s

sr

0gdss - lungimea redusă a arcului s;

∫=gdsar - lungimea redusă a conturului axei mediane a BPS profil închis;

∫ ⋅=Ω dsr - dublul ariei delimitată de axa mediană a BPS.

Fig. 1.3. Coordonata sectorială la BPS profil închis

Aria sectorială generalizată principală ω este acea arie sectorială generalizată care satisface condiţiile: ∫ =⋅⋅ω 0dAy

∫ =⋅⋅ω 0dAz (1.6)

∫ =⋅ω 0dA

Polul principal ( )cc z,yC coincide cu centrul de încovoiere şi are coordonatele:

∫ ⋅⋅ω+= dAzI1yy Py

Pc (1.7.a)

∫ ⋅⋅ω−= dAyI1zz Pz

Pc (1.7.b)

Condiţia ∫ ⋅ω dA precizează poziţia punctului sectorial nul principal ( )00 z,yO . Observaţii: Pentru simplificarea calculelor în vederea determinării poziţiei polului principal C se recomandă să fie avute în vedere următoarele:

• sistemul de axe coordonate Gyz este central principal; • dacă secţiunea admite o axă de simetrie, punctul sectorial nul Q se ia la intersecţia acesteia cu axa

mediană a profilului, acesta fiind chiar punctul sectorial principal O; • pentru determinarea coordonatelor polului principal C, poate fi folosită regula de integrare

Vereşceaghin, atunci când axa mediană este poligonală (în această situaţie diagramele pω , y şi z sunt liniar variabile);

• dacă axa mediană a BPS admite o axă de simetrie polul principal C se află pe această axă;

10

• la secţiunile BPS a căror axă mediană este alcătuită din segmente concurente, polul principal C se află în punctul de intersecţie al acestor segmente;

• la profilele care au simetrie polară, centrul de încovoiere-răsucire coincide cu centrul de simetrie polară, care este şi centrul de greutate al secţiunii;

• în cazul secţiunilor BPS care au două axe de simetrie, centrul de răsucire coincide cu centrul de greutate al secţiunii barei;

• în cazul secţiunilor închise se urmează aceeaşi cale ca în cazul BPS profil deschis, cu observaţia că în locul coordonatelor ω se utilizează coordonatele generalizate ω .

În figura 1.4. se prezintă poziţia polului principal C pentru câteva secţiuni de BPS.

Fig. 1.4. Poziţia polului principal C

Momentul static sectorial Momentul static sectorial ωS , al porţiunii de secţiune cuprinsă între punctele ( )0sO şi ( )sS se defineşte ca fiind:

∫ ⋅ω=ω

s

s0

dAS [ ]4L - pentru secţiuni deschise (1.8.a)

∫ ⋅ω=ω

s

s0

dAS [ ]4L - pentru secţiuni închise (1.8.b)

Momentul static sectorial RSω , al porţiunii de secţiune cuprinsă între punctul ( )0sR = , care este originea de măsurare a arcelor şi punctul curent ( )sS de pe axa mediană a BPS, este:

∫ ⋅ω=ω

s

0

R dAS - pentru BPS profil deschis (1.9.a)

∫ ⋅ω=ω

s

0

R dAS - pentru BPS profil închis (1.9.b)

Punctele de maxim ale diagramei RSω sunt puncte de nul sectorial.

11

Momentul de inerţie dirijat Momentul de inerţie dirijat, dI , este prin definiţie:

∫=A

2d dArI [ ]4L (1.10)

Momentul de inerţie sectorial Momentul de inerţie sectorial ωI şi

ωI sunt definite prin relaţiile:

∫ ⋅ω=ωA

2 dAI [ ]6L - la BPS profil deschis (1.11.a)

∫ ⋅ω=ωA

2dAI [ ]6L - la BPS profil închis (1.11.b)

Momentul de inerţie dirijat şi momentul de inerţie sectorial sunt caracteristici geometrice ale întregii secţiunii, calculul lor poate fi făcut utilizând regula de integrare Vereşceaghin pentru secţiunile cu axa mediană poligonală. Momentul de inerţie echivalent (convenţional) BPS profil deschis:

Momentul de inerţie echivalent (convenţional) la răsucire liberă a BPS profil deschis, tI , se calculează cu relaţia:

dsg31I

a

0

3t ∫= (1.12)

În cazul profilelor deschise alcătuite din mai multe dreptunghiuri înguste, momentul de inerţie convenţional la răsucire liberă este egal cu suma momentelor de inerţie convenţionale ale porţiunilor componente.

Dacă pe porţiuni, grosimea “g” este constantă, expresia pentru tI este:

∑=

⋅=n

1j

3jjt ga

31I (1.13)

Pentru profilele laminate formula de calcul pentru tI este de forma:

∑=

⋅=n

1j

3jjt ga

3cI (1.14)

unde c este un coeficient ce depinde de forma secţiunii transversale a profilului şi ţine seama de efectele racordării dintre dreptunghiurile elementelor separate, tabelul 1.2.

Tabelul 1.2

Tipul secţiunii C Profil I laminat 1,20 Profil U laminat 1,12 Profil cornier, grinzi I sudate fără rigidizări 1,00 Grinzi I sudate cu rigidizări dese 1,50 Grinzi I nituite 0,50

12

BPS profil închis:

Momentul de inerţie echivalent (convenţional) la răsucire liberă a BPS profil închis, rI , se calculează cu relaţia:

∫Ω

+=

gds

II2

tr (1.15)

unde: dsr ⋅=Ω ∫ - este dublul ariei delimitate de axa mediană a BPS profil închis;

dsg31I 3

t ⋅= ∫

1.3. Exemple de calcul E.1. Exemplu numeric 1 Să se calculeze caracteristicile geometrico – sectoriale ale secţiunii din figura E1.1. Cu sistemul de axe din figura E1.1 rezultă: Iy= 9005.6 cm4; Iz=706.25 cm4; A=60 cm2.

Deoarece secţiunea are o axă de simetrie, centrul de răsucire se va afla pe această axă; se va calcula numai abscisa yc.

Se alege polul P, la intersecţia

axei de simetrie y-y cu axa mediană a profilului şi se trasează diagramele coordonatelor sectoriale Pω şi a ordonatelor z, figura E1.2.

. cm 5.1575,1015-

;cm 5.1575.1015 ;023

P

22P

3P

1P

−=⋅=ω

=⋅=ω=ω=ω

Fig. E1.1

Se calculează abscisa centrului de răsucire, integrând cu regula Vereşceaghin diagramele

Pω şi z.

Rezultă: cm 88.66,9005

5,1155,105,157212

75.2yc −=⋅⋅⋅⋅⋅

−−= .

Se trasează diagrama ω faţă de punctul C, figura E1.3, calculând:

242

231 cm55.955.101595.61;cm95.611513.4 =⋅+−=ω−=ω−=⋅=ω−=ω

- momentul de inerţie convenţional al BPS, contur închis, care se consideră de secţiune inelară deschisă.

13

Fig. E1.2

Se calculează momentul de inerţie sectorial, ωI , integrând diagrama ω cu ea însăşi:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅=ω 5.155.95

3237.655.95

215.195.61

3213.495.61

21195.61

321595.61

212I

Se obţine: 6cm385112I =ω

Momentul de inerţie convenţional la

ărăsucire liberă It este:

( ) 433t cm 5.325.1102130

31I =⋅⋅+⋅=

Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale sunt centralizate în tabelul E1.1.

Fig. E1.3

Tabelul E1.1

Ag Py yC Iy Iz It Iω iy iz i02 U.M. cm2 cm cm cm4 cm4 cm4 cm6 cm cm cm2 60 2.75 6.88 9005.6 706.25 32.5 112 385 12.25 3.43 209.2

E.2. Exemplu numeric 2

Să se calculeze caracteristicile geometrico – sectoriale ale secţiunii din figura E2.1. Cu sistemul de axe din figura E2.1, rezultă: Iy=2.642 610⋅ cm4; Iz=3.953 610⋅ cm4; A=Ag=928 cm2.

14

Fig. E2.1

Fig. E2.2

Deoarece secţiunea are o axă de

simetrie, centrul de răsucire se va afla pe această axă; se va calcula numai abscisa zc.

Se alege polul P, la intersecţia axei de simetrie z-z cu axa mediană a profilului şi se trasează diagramele coordonatelor sectoriale Pω şi a ordonatelor y, figura E2.2.

26

P

25P

24P

cm 61255,122208575

;cm 110255,122208575

;cm 85755,12270

=⋅−=ω

=⋅+=ω

=⋅=ω

Se calculează abscisa centrului de răsucire, integrând cu regula Vereşceaghin diagramele Pω şi y şi rezultă:

( ) ( )[ ]

cm 8.1088,575110953.3

906125211025506125110252640370

25,12285752.12

51z 6c

−=−−=

=⋅

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ⋅⋅++⋅+⋅⋅+⋅

⋅⋅

−−=

Se trasează diagrama ω faţă de punctul C, figura E2.3 şi se calculează momentul de inerţie sectorial, ωI , integrând diagrama ω cu ea însăşi.

15

Fig. E2.3

Se obţine:

( ) ( )[ ] .cm 10223.1813592381352923813592326403

37.644529

38.5740462,1

3100578022I

610

222

⋅=⎭⎬⎫⋅+⋅+⋅+⋅⋅+

⎪⎩

⎪⎨⎧

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅+

⋅+

⋅⋅⋅=ω

Momentul de inerţie convenţional la răsucire liberă It este:

( ) .cm 392 134022.11202220031I 4333

t =⋅⋅+⋅⋅+⋅=

Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale brute sunt centralizate în tabelul E2.1.

Tabelul E2.1 Ag Pz Cz Iz Iy It Iω iy iz i02

U.M. cm2 cm cm x 106 cm4

x 106 cm4 cm4 x 1010

cm6 cm Cm cm2

928 51 108.8 3.953 2.642 1392 1.223 53.36 65.26 18 944

16

2. COEFICIENŢI PARŢIALI DE SIGURANŢĂ. CLASIFICAREA SECŢIUNILOR. OŢELURI

2.1. Coeficienţi parţiali de siguranţă Coeficienţii parţiali de siguranţă utilizaţi în euronorme sunt prezentaţi în tabelul 20.1, § 20. Pentru calculul elementelor, coeficienţii au următoarele valori:

00.10M =γ ; 10.11M =γ (pentru clădiri, 00.11M =γ );

25.12M =γ

2.2. Clasificarea secţiunilor transversale Scopul clasificării secţiunilor transversale este acela de a identifica în ce măsură rezistenţa lor şi capacitatea de rotire sunt limitate de apariţia pierderii stabilităţii locale.

Sunt definite patru clase de secţiuni transversale [27]; [28]; [29:]; [30]; [32]: Secţiuni transversale Clasa 1 – sunt cele care permit formarea articulaţiilor plastice, care pot atinge, fără reducerea rezistenţei, capacitatea de rotire cerută de modelul de calcul plastic. Secţiuni transversale Clasa 2 – sunt cele care permit dezvoltarea momentului de încovoiere plastic al secţiunii, dar care posedă o capacitate de rotire limitată din cauza pierderii stabilităţii locale. Secţiuni transversale Clasa 3 – permit dezvoltarea numai a momentului de încovoiere elastic al secţiunii, dar pentru care pierderea stabilităţii locale poate împiedica dezvoltarea momentului plastic. Secţiuni transversale Clasa 4 – sunt cele pentru care pierderea stabilităţii locale se produce în unul sau mai mulţi pereţi ai secţiunii transversale, înainte de a atinge limita de curgere. Pentru secţiunile Clasa 4, pot fi utilizate lăţimile eficace pentru a lua în considerare reducerea de rezistenţă din efectele pierderii locale a stabilităţii. Stabilirea clasei secţiunii transversale depinde de raportul lăţime pe grosime a pereţilor supuşi la compresiune. Prin pereţi supuşi la compresiune se înţelege fiecare perete al secţiunii transversale, parţial sau total comprimat, sub efectul grupării de încărcări considerate. Pereţii comprimaţi ai unei secţiuni transversale (inimă sau talpă) pot fi în general de clase diferite, clasa unei secţiuni transversale fiind definită prin clasa cea mai mare a pereţilor săi comprimaţi. De asemenea clasa secţiunii transversale poate fi diferită pentru solicitarea de compresiune axială sau pentru solicitarea de încovoiere.

17

Fig.2.1

Valorile limită ale supleţilor pereţilor comprimaţi sunt prezentate în tabelele 2.1. Toate clasele de secţiuni pot fi verificate în raport cu rezistenţa lor elastică, cu condiţia utilizării pentru Clasa 4 a caracteristicilor secţiunii transversale eficace.

Fig. 2.2. Modificarea clasei secţiunii prin rigidizarea inimii

18

Tabelul 2.1.a INIMI (pereţi perpendiculari pe axa de încovoiere) şi TĂLPI (pereţi interiori paraleli cu axa de încovoiere)

CLASA Încovoiere Compresiune Încovoiere şi compresiune

Distribuţia

tensiunilor

(semnul “+” pt compresiune)

1 ε≤ 72t/c ε≤ 33t/c

pentru :5,0>α )113/(396t/c −αε≤

pentru :5,0≤α αε≤ /36t/c

2 ε≤ 83t/c ε≤ 38t/c

pentru :5,0>α )113/(456t/c −αε≤

pentru :5,0≤α αε≤ /5,41t/c

Distribuţia

tensiunilor


3 ε≤ 124t/c ε≤ 42t/c

pentru :1−>ψ )33,067,0/(42t/c ψ+ε≤

pentru :1−≤ψ

)()1(62t/c ψ−ψ−ε≤

fy (N/mm2) 235 275 355 420 460 yf/235=ε

ε 1 0,92 0,81 0,75 0,71

19

Tabelul 2.1.b

TĂLPI ÎN CONSOLĂ:

Talpa încovoiată şi comprimată

CLASA

Talpa comprimată

margine comprimată margine întinsă

Distribuţia tensiunilor


1

ε≤ 9t/c αε

≤9t/c

αα

ε≤

9t/c

2 ε≤ 10t/c α

ε≤

10t/c αα

ε≤

10t/c

Distribuţia tensiunilor


3 ε≤ 14t/c f σε≤ k21t/c f , σk - coeficient de voalare

fy (N/mm2) 235 275 355 420 460 yf/235=ε

ε 1 0,92 0,81 0,75 0,71

2.3. Caracteristici ale secţiunilor eficace Calculul caracteristicilor secţiunilor eficace ale secţiunilor transversale de clasa 4 se bazează pe lăţimile eficace ale pereţilor comprimaţi. Lăţimile eficace ale pereţilor comprimaţi sunt definite în tabelul 2.2.a pentru pereţii interiori ai secţiunii şi în tabelul 2.2.b pentru pereţii în consolă (Eurocode 3). Coeficientul de reducere ρ se determină astfel:

20

- pereţi interiori ai secţiunii:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥ψ+>λ−≤λ

Ψ+−λ

≤λ−

=ρ0)3(unde,673.0pentru1

)3(055,0673.0pentru1

p2p

p

p

(2.1.a)

- pereţi comprimaţi în consolă:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>λ−≤λ

−λ

≤λ−

=ρ748.0pentru1

188,0748.0pentru1

p2p

p

p

(2.1.b)

unde: σ

−

⋅ε⋅=

σ=λ

k4,28

t/bf p

cr

yp ;

yf235

=ε

σk - coeficientul de voalare, tabelul 2.2.a şi tabelul 2.2.b. bp (notată şi cu b ) - lăţimea peretelui considerat, definită conform tabelelor pentru stabilirea clasei secţiunii transversale. Un calcul foarte exact ţine cont şi de grosimea cordoanelor de sudură, în cazul secţiunilor alcătuite sudat. În cazul pereţilor prevăzuţi cu rigidizări marginale, calculul se bazează pe ipoteza că rigidizarea lucrează ca o grindă pe mediu elastic, iar acest mediu elastic are o rigiditate tip resort care depinde de rigiditatea la încovoiere a pereţilor plani adiacenţi şi de condiţiile de margine ale peretelui respectiv. Axa neutră (trecând prin centrul de greutate) a secţiunii eficace se va decala cu o distanţă „e” faţă de cea a secţiunii brute şi se va ţine cont de momentul suplimentar NeNM ⋅=Δ , dacă secţiunea este supusă la efort axial (fig. 2.3). În practică această deplasare a axei neutre se poate neglija, ceea ce permite o evaluare mai rapidă a capacităţii portante, doar sub solicitarea de compresiune centrică, conducând la o uşoară supraestimare a capacităţii elementului.

Fig.2.3

21

Tabelul 2.2.a

PEREŢI INTERIORI COMPRIMAŢI Distribuţia tensiunilor

(semnul “+” pt. compresiune) Lăţimea eficace

beff

eff2e

eff1e

peff

b5,0bb5,0b

bb: 1ψ

⋅=

⋅=

⋅ρ=+=

1eeff2e

eff1e

peff

bbb5

b2b

bb:0ψ1

−=ψ−

⋅=

⋅ρ=≥>

eff2e

eff1e

pceff

b6,0bb4,0b

1b

bb

:0ψ

⋅=

⋅=ψ−

⋅ρ=⋅ρ=

<

12 / σσ=ψ +1 1> ψ >0 0 0> ψ >-1 -1 -1 > ψ > -3 Coeficientul de voalare

σk 4,0

ψ+05,12,8 7,81 278,929,681,7 ψ+ψ− 23,9 2)1(98,5 ψ−

Alternativ, pentru 11 −≥ψ≥ :

)1(])1(112,0)1[(16k 5,022 ψ++ψ−+ψ+

=σ

22

Tabelul 2.2.b

PEREŢI COMPRIMAŢI ÎN CONSOLĂ Distribuţia tensiunilor

(semnul “+” pt compresiune) Lăţimea eficace

beff

peff bb: 0ψ1

⋅ρ=≥>

ψ−⋅ρ=⋅ρ=

<

1b

bb

:0ψ

pceff

12 / σσ=ψ +1 0 -1 11 −≥ψ≥+ Coeficientul de

voalare σk 0.43 0.57 0.85 207.021.057.0 ψ+ψ−

peff bb: 0ψ1

⋅ρ=≥>

ψ−⋅ρ=⋅ρ=

<

1b

bb

:0ψ

pceff

12 / σσ=ψ +1 01 >ψ> 0 10 −>ψ> -1 Coeficientul de

voalare σk 0.43 34.0578.0

+ψ 1.70 21.17570.1 ψ+ψ− 23.8

23

2.4. Caracteristici şi calităţi de oţeluri pentru construcţii

Valorile nominale ale limitei de curgere fy şi ale rezistenţei ultime de rupere fu pentru

elemente structurale din oţel laminat la cald, conform EN1993 -1-1:2003, respectiv SR EN 1993-1-1:2006, sunt date în tabelul 2.3.

Tabelul 2.3 Grosimile nominale ale elementului t(mm)

mm40t ≤ mm80tmm40 ≤< Standard şi marcă de oţel

fy [N/mm2] fu [N/mm2] fy

[N/mm2] fu [N/mm2]

EN 10025-2 S 235 235 360 215 360 S 275 275 430 255 410 S 355 355 510 335 470 S 450 450 550 410 550 EN 10025-3 S 275 N/NL 275 390 255 370 S 355 N/NL 355 490 335 470 S 420 N/NL 420 520 390 520 S 460 N/NL 460 540 430 540 EN 10025-4 S 275 M/ML 275 370 255 360 S 355 M/ML 355 470 335 450 S 420 M/ML 420 520 390 500 S 460 M/ML 460 540 430 530 EN 10025-5 S 235 W 235 360 215 340 S 355 W 355 510 335 490 EN 10025-6 S 460 Q/QL/QL1 460 570 440 550 EN 10210-1 S 235 H 235 360 215 340 S 275 H 275 430 255 410 S 355 H 355 510 335 490 S 275 NH/NLH 275 390 255 370 S 355 NH/NLH 355 490 335 470 S 420 NH/NLH 420 540 390 520 S 460 NH/NLH 460 560 430 550

2.5. Exemple numerice E.1. Exemplu numeric 1

Să se evalueze aria efectivă a secţiunii din figura E1.1, a unei bare solicitată la compresiune axială. Bara este alcătuită din oţel S 235 (a se vedea şi exemplul 1.3 - E2).

24

66

46z

46y

2g

cm10223.1I

cm10953.3I

cm10642.2I

cm928A

⋅=ω

⋅=

⋅=

=

Fig. E1.1

Secţiunea transversală eficace Aria eficace a tălpilor Talpa superioară Talpa superioară se descompune în două elemente rezemate pe o singură latură (consolele) şi placa interioară dintre inimile secţiunii, rezemată pe două laturi.

Consolele sunt supuse la compresiune uniformă, figura E1.2 (schema dee calcul):

Fig. E1.2

4Clasa147.14t/c ⇒ε>= ; 11

212 +=

σσ

=ψ⇒σ=σ

Coeficientul de voalare pentru talpa profilului este 43.0k =σ

748.079.043.014.28

2/4.29k4.28

t/bpp >=

⋅⋅=

⋅ε⋅=λ

σ

Rezultă: 96.0188.02p

p =λ

−λ=ρ

Lăţimea eficace a tălpii cm 0.284.2996.0bb peff =⋅=⋅ρ= .

Fig. E1.3

Porţiunea de talpă dintre inimi, figura E1.3, placă rezemată pe două laturi, comprimată uniform:

4Clasa424.69t/c ⇒ε>= ;

11

212 +=

σσ

=ψ⇒σ=σ

Coeficientul de voalare pentru talpa profilului este 4k =σ

673.022.1414.28

2/8.138k4.28

t/bpp >=

⋅⋅=

⋅ε⋅=λ

σ

25

Pentru 1=Ψ rezultă 67.022.11

22.122,01122,01

pp

=⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

λ⋅

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

λ−=ρ

−−

Lăţimea eficace a tălpii: cm 938.13867.0bb peff =⋅=⋅ρ= , cm 5.462/bbb eff2.eff1.eff === . Talpa inferioară

Fiecare talpă individuală este alcătuită din două console (plăci rezemate pe o singură latură), figura E1.4 (schema de calcul), comprimate uniform.

Fig. E1.4

11

212 +=

σσ

=ψ⇒σ=σ

1Clasa947.6t/c ⇒ε<= ( 1=ρ )

Talpa este integral activă (efectivă)

Aria eficace a inimii Inima profilului este un element rezemat pe două laturi, supus la compresiune uniformă,

figura E1.5 (schema de calcul).

Fig. E1.5

11

212 +=

σσ

=ψ⇒σ=σ ; 4k =σ

4Clasa42100t/c ⇒ε>=

673.076.1414.28

2.1/120k4.28

t/bpp >=

⋅⋅=

⋅ε⋅=λ

σ

Pentru 1=Ψ rezultă 50.076.11

76.122,01122,01

pp

=⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

λ⋅

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

λ−=ρ

−−

cm6012050.0heff =⋅= ; cm 302/hhh eff2.eff1.eff ===

Secţiunea eficace a profilului este prezentată în figura E1.6.

26

Rezultă aria secţiunii eficace:

( )2

eff

eff

cm 8.686A

2.130234027.752A

=

⋅⋅+⋅+⋅=

Fig. E1.6

E.2. Exemplu numeric 2 Să se stabilească clasa secţiunii şi aria efectivă, pentru secţiunea din figura E2.1, bara fiind solicitată la compresiune axială. Elementul este alcătuit din oţel S 355. Observaţie: Punctul „S” (shear) este echivalent cu punctul „C” (centrul de încovoiere - răsucire din literatura tehnică română).

Oţel: S 355; 2y mm/N355f =

81.0f/235 y ==ε 2

g cm174A = 45

y cm10179.1I ⋅= 44

z cm10145.2I ⋅= 66

w cm1093.8I ⋅= 3

t.el.y cm2885W = 3

c.el.y cm5321W = Fig. E2.1

Clasa secţiunii. Secţiunea efectivă Talpa superioară Talpa comprimată este alcătuită din două plăci în consolă, solicitate la compresiune uniformă, figura E2.2 (schema de calcul):

43.0k;1 ==ψ σ Fig. E2.2

27

( ) 4clasa34.111467.13

182/8500

tc

⇒=ε>=−

=

748.091.043.081.04.28

18/246k4.28

t/bpp >=

⋅⋅=

⋅ε⋅=λ

σ

mm21424687.0bb87.0188.0

peff2p

p =⋅=⋅ρ=⇒=λ

−λ=ρ

Talpa inferioară Talpa inferioară comprimată este alcătuită din două plăci în consolă, solicitate la compresiune uniformă, figura E2.3 (schema de calcul):

43.0k;1 ==ψ σ Fig. E2.3

( ) 4clasa34.111417.1212

2/8300tc

⇒=ε>=−

=

748.081.043.081.04.28

12/146k4.28

t/bpp >=

⋅⋅=

⋅ε⋅=λ

σ

mm13914695.0bb95.0188.0

peff2p

p =⋅=⋅ρ=⇒=λ

−λ=ρ

Inima Inima este o placă rezemată pe două laturi, solicitată la compresiune uniformă, figura E2.4:

4k;1 ==ψ σ Fig. E2.4

M

4clasa02.3442758

600tc

⇒=ε⋅>==

673.063.1481.04.28

8/600k4.28

t/bpp >=

⋅⋅=

⋅ε⋅=λ

σ

mm31860053.0bb53.0)3(055.0

peff2p

p =⋅=⋅ρ=⇒=λ

ψ+−λ=ρ

mm1592/bbbb effe2e1e ====

28

Secţiunea transversală a barei este Clasa 4. Secţiunea efectivă a barei pentru solicitarea de compresiune este prezentată în figura E2.5. 2

eff cm24.138A = Fig. E2.5

E.3. Exemplu numeric 3 Să se stabilească clasa secţiunii şi caracteristicile efective, pentru secţiunea din figura E3.1 (identică cu cea din exemplul E2), bara fiind solicitată în acest caz la încovoiere pură. Elementul este alcătuit din oţel S 355.

Fig. E3.1

Oţel: S 355; 2y mm/N355f =

81.0f/235 y ==ε 2

g cm174A = 45

y cm10179.1I ⋅= 44

z cm10145.2I ⋅= 66

w cm1093.8I ⋅= 3

t.el.y cm2885W = 3

c.el.y cm5321W =

Clasa secţiunii. Secţiunea efectivă Talpa superioară Talpa comprimată este alcătuită din două plăci în consolă, solicitate la compresiune uniformă, figura E3.2 (schema de calcul).

43.0k;1

==ψ

σ

Fig. E3.2

29

( ) 4clasa34.111467.13

182/8500

tc

⇒=ε>=−

=

748.091.043.081.04.28

18/246k4.28

t/bpp >=

⋅⋅=

⋅ε⋅=λ

σ

mm21424687.0bb87.0188.0

peff2p

p =⋅=⋅ρ=⇒=λ

−λ=ρ

Inima Inima este o placă rezemată pe două laturi, solicitată la încovoiere, figura E3.1.

197.197.1202398

zz

1111

22 −<−=Ψ⇒σ⋅−=σ−=σ−=σ 5.034.0

600202

<==α ;

Observaţie: t.el.y

c.el.y

WW

≈Ψ

1Clasa7.85/36758

600tc

⇒=αε<==

Secţiunea transversală a barei este Clasa 4 = max [clasă talpă; clasă inimă].

Secţiunea efectivă pentru solicitarea de încovoiere este prezentată în fig. E3.3.

2eff cm5.162A =

45eff.y cm10123.1I ⋅=

44eff.z cm10513.1I ⋅=

6w cm391.8I =

3t.eff.y cm2854W =

Fig. E3.3

d

Observaţie: În cazul în care secţiunea transversală ar fi dublu simetrică, figura E3.4, am avea:

1−=Ψ

44.100124758

600tc23.6783 =ε⋅<==<=ε⋅

Inima Clasa 3 Fig. E3.4

30

3. ELEMENTE SOLICITATE LA EFORTURI AXIALE. BARE DREPTE SOLICITATE LA ÎNTINDERE

3.1. Aspecte generale

Modul de alcătuire al barelor drepte solicitate la eforturi axiale depinde de tipul construcţiei din care acestea fac parte, de mărimea efortului axial la care sunt supuse şi de natura acestuia, respectiv întindere sau compresiune. Barele drepte solicitate la eforturi axiale intră de regulă în alcătuirea grinzilor cu zăbrele, dar pot fi întâlnite şi ca elemente independente, motiv pentru care sunt tratate într-un capitol distinct. Barele cu solicitări reduse se alcătuiesc din unul sau mai multe profile laminate, iar cele mai puternic solicitate se realizează de secţiune compusă, din profile laminate U sau I, solidarizate între ele continuu sau discontinuu. De asemenea pot fi utilizate bare alcătuite din platbande îmbinate între ele prin sudură sau nituire. Barele solicitate la eforturi axiale au cel puţin o axă de simetrie, aflată în planul de simetrie al structurii şi care este totodată şi plan al acţiunii încărcărilor exterioare. În figura 3.1 sunt prezentate câteva tipuri de secţiuni de bare solicitate la eforturi axiale.

Fig. 3.1. Secţiuni de bare solicitate la eforturi axiale

31

3.2. Solidarizarea elementelor componente ale secţiunii transversale Barele solicitate la eforturi axiale (întindere sau compresiune) pot fi de secţiune unitară sau

compusă. În categoria secţiunilor unitare intră şi barele cu secţiune compusă, ale căror ramuri sunt

apropiate la distanţa unui guseu (utilizate mai ales ca elemente ale contravântuirilor). Barele de secţiune compusă pot fi realizate în una din variantele: • bare din elemente alipite; • bare din elemente puţin depărtate; • bare din elemente mult depărtate. Elementele componente ale secţiunilor barelor compuse se solidarizează astfel încât să li

se asigure o comportare de ansamblu apropiată celor de secţiune unitară. În cazul barelor de secţiune compusă, distanţele între nituri, şuruburi sau piesele de

solidarizare discontinuă trebuie să respecte anumite valori limită, date în tabelul 3.1. La alcătuirea barelor solicitate axial, trebuie avute în vedere următoarele recomandări şi prescripţii normative:

• Nu se admit secţiuni compuse la care ambele axe principale ale secţiunii transversale sunt imateriale (nu taie materialul ramurilor);

• La barele alcătuite din elemente puţin depărtate, intervalul dintre elemente trebuie să permită accesul în vederea întreţinerii (curăţire şi vopsire) a pieselor componente, figura 3.2.

• Dacă distanţa “tg”, figura 3.3, a barelor compuse îndeplineşte condiţiile mm15tg ≥ şi 6/htg ≥ , spaţiile dintre feţele învecinate ale pieselor se lasă libere, în caz contrar acest

spaţiu se umple cu o furură continuă. Solidarizarea elementelor componente ale secţiunii se face cu plăcuţe (fururi) nituite sau

sudate. • În lungul barei distanţa între fururi se ia diferit pentru barele întinse şi cele comprimate,

aceasta depinzând de raza de giraţie, 1i , a unui element independent în raport cu axa

1z , paralelă cu axa principală z, imaterială a întregii secţiuni (tabelul 3.1); • Se recomandă ca pe lungimea unei bare comprimate, compusă din elemente puţin

depărtate, să se prevadă cel puţin două fururi cu rol de solidarizare; • Barele compuse din elemente mult depărtate se solidarizează cu plăcuţe, zăbreluţe sau

diafragme. În cazul solidarizării cu plăcuţe a elementelor barelor compuse, numărul plăcuţelor trebuie să fie par (numărul de intervale dintre plăcuţe să fie impar);

Fig. 3.2. Condiţii pentru realizarea întreţinerii

32

Tabelul 3.1

33

• În cazul solidarizării cu zăbreluţe, cele mai utilizate moduri de zăbrelire sunt cele date în

figura 3.4.

Fig. 3.3. Spaţiu între profile

Fig. 3.4. Moduri curente de zăbrelire

• Solidarizările se amplasează, în principiu, în toate nodurile comprimate, în special în

dreptul reazemelor, a antretoazelor şi în punctele de aplicare a unor sarcini locale. Solidarizările se realizează din diafragme transversale fixate de pereţi, fie cu corniere, în cazul alcătuirii secţiunilor prin nituire, figura 3.5, fie prin sudare, în cazul secţiunilor alcătuite sudat, figura 3.6.

• Diafragmele nu se sudează direct de pereţii chesoanelor, ci prin intermediul unor

plăcuţe intermediare. În acest mod se evită executarea cordoanelor transversale efortului principal în lungul barei, care ar conduce la o suprapunere periculoasă a eforturilor din bară cu cele produse de sudură.

Secţiunile unitare cele mai des folosite sunt următoarele: - secţiuni dublu T; - secţiuni cheson deschise, π; - secţiuni cheson închise. Pentru barele comprimate ale grinzilor cu zăbrele principale se folosesc în special secţiuni

cheson deschis sau închis. În acest caz, solidarizările barelor comprimate îndeplinesc următoarele funcţiuni:

- leagă pereţii chesonului, obligând conlucrarea lor; - stabilizează pereţii împotriva voalării, având deci rolul de rigidizări; - împiedică deformarea pereţilor în cazul unor acţiuni locale.

34

Fig. 3.5. Diafragme la bare alcătuite nituit

Fig. 3.6. Diafragme la bare alcătuite sudat

35

În figura 3.7 se prezintă bare cu secţiune compusă, realizate din două ramuri, solidarizate între ele cu plăcuţe sau zăbreluţe.

Fig. 3.7. Bare cu secţiune compusă

36

Solidarizarea barelor compuse în dreptul guseelor Pentru ca barele cu secţiune compusă să se comporte ca o secţiune unitară, acestea se solidarizează în dreptul guseului. Solidarizarea se realizează atât în interiorul guseelor, cât şi imediat în afară. Solidarizările se pot realiza din plăcuţe sau cupoane de profile laminate, figura 3.8.

Fig. 3.8. Solidarizarea barelor compuse în dreptul guseelor

37

3.3. Compensatori de pierdere de secţiune În cazul prinderii barelor în noduri cu nituri sau şuruburi se produce slăbirea secţiunii barei

în zona de prindere datorită găurilor care trebuie practicate. Pentru ca bara să aibă aria netă egală cu aria din restul lungimii ei, în dreptul îmbinărilor se

realizează “compensatori de pierdere a secţiunii”. Compensatorii constau în înlocuirea elementelor curente ale barelor cu altele mai groase

sau mai late, sau cu ajutorul unor elemente suprapuse, astfel încât aria netă a secţiunii în dreptul slăbirilor să fie cel puţin egală cu aria brută a secţiunii curente.

În figurile 3.9, 3.10, 3.11 şi 3.12 se prezintă soluţii se rezolvare a prinderii barelor în noduri cu compensatori de pierdere de secţiune.

Fig. 3.9. Compensator realizat prin mărirea grosimii platbandelor (varianta I)

Fig. 3.10. Compensator realizat prin mărirea grosimii platbandelor (varianta II)

Fig. 3.11. Compensator realizat prin mărirea lăţimii platbandelor

38

Fig. 3.12. Compensator cu eclise de adaos

Observaţie: Problema compensării pierderii de secţiune se pune în cazul barelor solicitate la eforturi de întindere. În cazul barelor comprimate unde dimensionarea s-a făcut îndeosebi din condiţia de stabilitate, capacitatea portantă a barei nu se reduce prin găurile practicate la capete.

3.4. Calculul barelor solicitate la întindere axială 3.4.1. Predimensionarea barelor

Mărimea şi forma secţiunii transversale a barelor întinse se stabileşte funcţie de: - forţa axială maximă de întindere, în cea mai defavorabilă grupare de acţiuni; - calitatea oţelului; - considerente de natură constructivă. Aria brută necesară a secţiunii transversale a barei, bA , se determină cu relaţia:

y

Ednec.b f

NA

⋅α= (3.1)

unde: - α este un coeficient care ţine cont de slăbirea secţiunii transversale:

1=α - la construcţii sudate; 90.0...85.0=α - la construcţii nituite sau îmbinate cu şuruburi.

Observaţie: În cazul în care se prevăd compensatori de pierdere de secţiune se va lua α=1.

3.4.2. Calculul barelor solicitate la întindere axială

Rezistenţa secţiunii transversale

Pentru elementele structurale solicitate la întindere axială, valoarea de calcul a forţei (efortului) de întindere NEd trebuie să satisfacă pentru fiecare secţiune transversală condiţia:

Rd.tEd NN ≤ (3.2.a)

sau: 1NN

Rd.t

Ed ≤ (3.2.b)

unde Rd.tN este rezistenţa de calcul a secţiunii transversale la întindere, care se ia astfel:

39

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

γ

⋅=

γ⋅⋅

=

γ

⋅=

=

0M

ynetRd.net

2M

unetRd.u

0M

yRd.pl

Rd.t

fAN

fA9,0N

fAN

minN

Rd.netN se evaluează în cazul îmbinărilor la care se folosesc şuruburi de înaltă rezistenţă pretensionate cu strângere controlată, la care lunecarea nu trebuie să se producă în starea limită ultimă.

În cazul în care se cere o comportare ductilă, rezistenţa de proiectare plastică, Rd.plN

trebuie să fie mai mică decât rezistenţa ultimă de calcul a secţiunii nete, Rd.uN , respectiv: Rd.plN ≤ Rd.uN (3.3) Această cerinţă va fi satisfăcută dacă este îndeplinită condiţia:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

γ

γ⋅

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡≥⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

o

2

M

M

u

ynet

ff

AA

9.0 (3.4)

Verificarea la oboseală Conform metodologiei prezentate în SR EN 1993-1-9 (verificarea la oboseală se prezintă în modulelele de calcul a grinzilor cu inimă plină). Verificarea condiţiei de rigiditate Barele solicitate la întindere axială trebuie să îndeplinească condiţia unei rigidităţi minime, respectiv zvelteţea λ să nu depăşească pe cea admisă:

amin

max iL

λ≤=λ (3.5)

În tabelul 3.2. sunt date valorile admisibile recomandate în literatura tehnică română, aλ , în cazul grinzilor cu zăbrele. Tabelul 3.2

Tip bară aλ Tălpi întinse Diagonale întinse Montanţii întinşi care fac parte din structura de rezistenţă

150

Montanţii întinşi care nu fac parte din structura de rezistenţă Diagonalele contravântuirilor Riglele întinse ale contravântuirilor

200

În general elementele solicitate la întindere sunt supuse, în acelaşi timp, şi la solicitări de încovoiere produse de greutatea proprie sau din efectul excentricităţilor, precum şi unor efecte dinamice produse de acţiunea vântului sau a încărcărilor variabile (mobile) din convoaie.

- rezistenţa de calcul în domeniul plastic a secţiunii transversale brute

- rezistenţa de calcul ultimă a secţiunii transversale nete, considerând slăbirile date de găurile îmbinărilor

- rezistenţa plastică de calcul a secţiunii nete, considerând slăbirile date de găurile îmbinărilor, pentru îmbinări proiectate să reziste la lunecare, în starea limită ultimă

40

Normele americane prevăd ca limite superioare a zvelteţii elementelor întinse valorile prezentate în tabelul 3.3.

Tabelul 3.3

maxλ Caz AISC AASHTO

Structuri principale 240 200 Structuri secundare 300 240 Sarcini alternante - 140

3.4.3. Calculul ariei nete Aria netă a secţiunii transversale este egală cu aria brută din care se scad slăbirile datorate găurilor sau a altor goluri. Dacă găurile de fixare sunt dispuse în zig - zag, aria totală a slăbirilor se consideră cea mai mare valoare dintre:

• aria slăbirilor pentru găuri care nu sunt dispuse în zig-zag (linia de cedare (2) din figura 3.13);

• ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− ∑ p4

sndt2

0 - pentru linia de cedare (1), figura 3.13.

Fig.3.13. Găuri în zig-zag şi linii de rupere critice

- s – pasul în zig-zag, respectiv interaxul între două găuri consecutive, măsurat paralel cu axa barei; - p – interaxul măsurat perpendicular pe axa barei; - t – grosimea piesei; - n – numărul găurilor situate pe linie diagonală sau în zig-zag; - d0 – diametrul găurii.

3.5. Exemplu numeric Să se evalueze efortul capabil al unei bare solicitată la întindere axială, cunoscând următoarele date de calcul:

- secţiunea transversală a barei: 2 X UE 240, figura E.1; - oţel S 235; - prinderea barei la capete realizată cu şuruburi M24; - sunt prevăzuţi compensatori de pierdere de secţiune din tablă de 8 x 180 mm.

Aria secţiunii barei în dreptul găurilor de prindere este: b

2comp.netw0bnet Acm20.3840.1056.05.2260.30Atd2AA >=+⋅⋅−=+−=

unde aria netă a compensatorului de pierdere de secţiune este:

( ) ( ) 2c0ccomp.net cm4.108.05.2218td2hA =⋅⋅−=⋅−=

41

Deoarece aria secţiunii barei în dreptul găurilor, datorită compensatorului, este mai mare decât aria brută a profilului laminat UE 240, în calcule se va opera cu aria brută a profilului laminat.

Fig. E.1

Se evaluează efortul capabil al unei ramuri a barei: Rezistenţa de calcul a barei solicitată la întindere axială:

daN91071daN31579

25.136006.309.0fA9.0

daN910710.123506.30fA

.minN

2M

unet

0M

y

Rd.t =

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=⋅⋅

=γ

⋅⋅

=⋅

=γ

⋅

=

Pentru întreaga secţiune a barei (cele două ramuri UE 240), rezistenţa secţiunii la întindere axială va fi: kN2.1438NN Rd.tt ==

Aria netă

42

4. ELEMENTE COMPRIMATE CENTRIC. BARE CU SECŢIUNE UNITARǍ

4.1. Flambajul prin încovoiere, răsucire şi încovoiere–răsucire 4.1.1. Bare cu pereţi subţiri (BPS) profil deschis Barele cu pereţi subţiri solicitate la compresiune centrică pot să-şi piardă stabilitatea prin încovoiere, prin răsucire sau prin flambaj cuplat încovoiere-răsucire. V.Z. Vlasov (1940) sistematizează transcrierea matematică a fenomenului de flambaj prin încovoiere - răsucire utilizând noţiunile din teoria elasticităţii, iar ulterior I.N. Goodier (1941) aduce simplificări calculului alegând origine centrul de răsucire al secţiunii transversale a BPS. Ipotezele de calcul considerate de Goodier au fost următoarele:

• ipoteza nedeformabilităţii secţiunii transversale a BPS; • secţiunea transversală a BPS este constantă pe lungime; • forţa de compresiune aplicată centric are caracter static; • se neglijează efectul deformaţiilor specifice liniare din acţiunea forţei axiale şi efectul

deformaţiilor specifice unghiulare din răsucirea împiedicată, astfel încât poziţia centrului de răsucire poate fi considerată ca o proprietate geometrică a secţiunii barei;

• deformaţiile sunt mici în raport cu dimensiunile secţiunii transversale a barei; • materialul este omogen, izotrop şi respectă legea lui Hooke; • bara este lipsită de imperfecţiuni geometrice şi structurale. Ecuaţiile diferenţiale în u, v şi ϕ care permit determinarea sarcinii critice crN , în cazul

flambajului prin încovoiere-răsucire sunt:

0zNuNdx

udEI c2

2

z =ϕ⋅⋅+⋅+ (4.1.a)

0yNvNdx

vdEI c2

2

y =ϕ⋅⋅−⋅+ (4.1.b)

0dx

udzdx

vdyNdxdN

AI

GIdxdEI 2

2

c2

2

c2

20

t4

4=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

ϕ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

ϕω (4.1.c)

unde (fig. 4.1): u, v - deplasările centrului de încovoiere răsucire; ϕ - unghiul de răsucire al secţiunii transversale a BPS profil deschis; 0I - momentul de inerţie polar în raport cu centrul de răsucire C :

( ) AizyAIII 20

2c

2czy0 ⋅=+++=

Observaţie: În anumite materiale se folosesc notaţiile: Ic – pentru I0 ; ic – pentru i0. În EC punctul C se notează cu S (shear), respectiv scsc zz;yy ⇒⇒ . În cazul particular al BPS profil deschis a cărei secţiune transversală are două axe de simetrie (G=C, respectiv 0zy cc == ), cele trei ecuaţii diferenţiale (4.1.a, b, c) se simplifică sub forma (4.2.a,b,c):

43

Fig. 4.1

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=ϕ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

ϕ

=⋅+

=⋅+

ω 0dxdN

AI

GIdxdEI

0vNdx

vdEI

0uNdx

udEI

2

20

t4

4

2

2

y

2

2

z

(4.2.a,b,c)

Primele două ecuaţii (4.2.a şi 4.2.b) conduc la determinarea forţelor critice Euler, faţă de cele două axe şi plane principale de inerţie:

2fy

y2

cr.yl

EIN

π= ; 2

fz

z2

cr.zlEIN π

= (4.3.a, b)

Observaţie: Se mai folosesc notaţiile EC: fyy.cr lpentruL − ; fzz.cr lpentruL −

Cu înlocuirea AiI 200 ⋅= , ecuaţia (4.2.c) devine:

( ) 0dxdiNGI

EI1

dxd

2

220t4

4=

ϕ⋅−−

ϕ

ω (4.4)

Soluţia acestei ecuaţii este de forma:

ω

⋅π⋅=ϕ

flxsinC (4.5)

unde: ωfl - lungimea de flambaj (lungimea critică) a barei pentru flambajul prin răsucire. Înlocuind soluţia (4.5) în ecuaţia (4.4) se obţine sarcina critică ωN :

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+

π=

ω

ωω t2

f

2

20

GIEI

i1N (4.6)

Forţa critică ωN este forţa critică de pierdere a stabilităţii prin răsucire (torsiune) şi se notează în normele Eurocod cu simbolul T.crN . Forţa critică T.crN se poate pune sub forma utilizată în euronorme:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π+== ω

ω 2T.cr

2

t0

gT.cr

LEI

GIIA

NN (4.7)

Analog expresiei lungimii de flambaj a barei în cazul flambajului prin încovoiere ( llf ⋅μ= ), lungimea de flambaj în cazul flambajului prin răsucire al BPS poate fi scrisă sub forma: ⋅μ= ωωfl (4.8.a) sau:

LkL wT.cr ⋅= (notaţia euronorme) (4.8.b) unde: ωμ (sau kw) - coeficient care ţine seama de influenţa legăturilor la răsucire a capetelor barei, tabelul 4.1.

44

Tabelul 4.1

Nr. Legăturile barei la capete ωμ (sau kw) 1 Reazeme articulate de tip furcă, cu posibilităţi de deplanare la capete 1 2 Bară încastrată la capete 0.5

Bara îşi pierde stabilitatea prin răsucire dacă:

cr.yT.cr NNN <=ω şi cr.zT.cr NNN <=ω În relaţia (4.6) de determinare a lui ωN , termenii din paranteză reprezintă:

2f

2EI

ω

ωπ

tGI - rigiditatea la răsucire cu deplanare liberă.

În general, barele solicitate la compresiune prezintă o rigiditate la răsucire cu deplanare împiedicată mare şi în consecinţă T.crNN =ω este mai mare decât cr.yN şi cr.zN .

Barele cu secţiunea în cruce (care au ωI =0) îşi pot pierde stabilitatea prin răsucire, dacă sunt îndeplinite condiţiile: ωN < cr.yN ; ωN < cr.zN .

În acest caz se obţine:

t0

g20

tT.cr GI

IA

iGINN ===ω (4.9)

Revenind la cazul general al flambajului prin încovoiere-răsucire al BPS profil deschis, pentru cazul === ωfzfyf (bara este liberă să se deplaneze la capete şi să se rotească în jurul axelor y şi z dar nu se poate roti în jurul axei x , şi de asemenea la capete nu preia moment încovoietor după direcţiile y şi z), pentru x=0 şi x= sunt îndeplinite condiţiile: 0vu =ϕ==

0dxd

dxvd

dxud

2

2

2

2

2

2=

ϕ==

Ecuaţiile diferenţiale (4.1.a,b,c) admit soluţii generale de forma:

xsinCu 1⋅π

⋅= ; xsinCv 2⋅π

⋅= ; xsinC3⋅π

⋅=ϕ ; (4.10)

Prin înlocuirea acestor soluţii în ecuaţiile diferenţiale (4.1), sistemul de ecuaţii se poate pune sub forma: ( ) 1cr.z CNN ⋅− + 3c CzN ⋅⋅ = 0 ( ) 2cr.y CNN ⋅− – 3c CyN ⋅⋅ = 0 (4.11)

1c CzN ⋅⋅ – 2c CyN ⋅⋅ + ( ) 320 CNNi ⋅− ω = 0

Pentru ca sistemul de ecuaţii omogene (4.11) să admită pentru constantele 1C , 2C şi 3C şi alte soluţii decât soluţia banală este necesar ca determinantul acestuia să se anuleze:

( )

( )( )

0NNiyNzNyNNN0zN0NN

20cc

ccr.y

ccr.z

=

−⋅−⋅

⋅−−⋅−

ω

(4.12)

Se obţine ecuaţia cubică în N: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0NNyNNNzNNNNNNNiNf cr.z

2c

2cr.y

2c

2cr.zcr.y

20 =−⋅−−⋅−−−−= ω (4.13)

- rigiditatea BPS profil deschis la răsucire cu deplanare împiedicată;

45

Semnul funcţiei ( ) 0Nf = , admiţând cr.zcr.y NN < este dat în tabelul 4.2.

Tabelul 4.2 N 0 cr.yN cr.zN N > cr.zN

( )Nf – + – +

Ecuaţia ( ) 0Nf = are trei rădăcini reale pozitive şi se poate demonstra că în toate cazurile una din rădăcini este mai mică decât ( )ωN;N;Nmin cr.zcr.y , iar alta este mai mare decât

( )ωN;N;Nmax cr.zcr.y .

Fig. 4.2

În cazul barei a cărei secţiune are o singură axă de simetrie (axa y-y), figura 4.2, determinantul nul (4.12) devine:

( ) 0NNiyNyNNN

20c

ccr.y =−⋅−

⋅−−

ω (4.14)

Se obţine ecuaţia de gradul 2 în N:

( ) ( ) 0yNNNNNi 2c

2cr.y

20 =⋅−−− ω (4.15)

Rezultă forţa critică pentru flambajul prin încovoiere-răsucire:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ +−+−+

+== T.cry.cr

0

zy2T.cry.crT.cry.cr

zy

0TF.crmin NN

I)II(

4)NN()NN()II(2

INN (4.16)

unde: ω= NN T.cr ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π+= ω

2T.cr

2

t0

g

LEI

GIIA

; axa y-y - axa de simetrie

g20

2cgzy0 AiyAIII ⋅=⋅++= ; Ag – aria brută a secţiunii

În cazul secţiunilor dublu T, sistemul de axe care se adoptă este cel prezentat în figurile 4.3 şi 4.4 (axa z-z – axa de simetrie), iar forţa de compresiune critică pentru flambajul prin răsucire sau prin încovoiere-răsucire este:

( )( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ +−+−+

+=

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π+=

=

ω

T.crz.cr0

zy2T.crz.crT.crz.cr

zy

0TF.cr

2T.cr

2

t0

gT.cr

cr

NNI

II4)NN()NN(

II2I

N

rasucireprinflambajL

EIGI

IA

N

.minN (4.17)

Pentru secţiunile dublu simetrice, figura 4.3, avem egalitatea: ω== NNN TF.crT.cr


⎞⎜⎜⎝

⎛ π+= ω

2T.cr

2

t0

g

LEI

GIIA

; axa z-z - axa minimă de simetrie ;

g20zy

2cgzy0 AiIIzAIII ⋅=+=⋅++= ; Ag – aria brută a secţiunii; 0zc =

46

Fig.4.3

Fig.4.4

Observaţie: Este utilizată de asemenea notaţia wI pentru ωI - momentul de inerţie sectorial. Centrul de încovoiere-răsucire C este notat cu S (shear) în euronorme.

Efortul unitar critic la care se produce pierderea stabilităţii barei prin răsucire sau prin încovoiere-răsucire este: [ ]TFTk ;min σσ=σ (4.18)

unde: g

T.crT A

N=σ ;

g

TF.crTF A

N=σ (4.19)

4.1.2. Bare cu pereţi subţiri (BPS) profil închis

Pentru BPS profil închis având o axă de simetrie (axa z-z), figura 4.5 ecuaţia diferenţială a

încovoierii păstrează aceiaşi formă cu cea pentru BPS cu secţiunea deschisă, dar se modifică ecuaţia diferenţială a răsucirii împiedicate.

Fig. 4.5. BPS secţiune

închisă

În cazul BPS contur închis o singură dată, sistemul de

ecuaţii diferenţiale, servind determinării sarcinii critice Ncr devine:

( )⎩⎨⎧

=−+⋅⋅=⋅⋅+−

ω 0CNNi CzN 0CzN C)NN(

22d1c

2c1cr.z (4.20)

unde ωN este sarcina critică corespunzătoare flambajului prin răsucire a BPS secţiune închisă o singură dată (simplu conexă) şi se calculează cu relaţia:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π⋅+ν

ν⋅+π

=ω

ω

ω

2

2

d

2d

r2

2

I GI E

i

I GEI

N (4.21)

ν este coeficientul strâmbării liniei mediane, dat de relaţia lui Ebner:

d

rII1−=ν ;

AI

i d2d =

47

Pentru ca C1 şi C2 să admită şi alte soluţii decât soluţia banală trebuie ca determinantul sistemului 4.20 să se anuleze:

( ) 0NNizN

zNNN2dc

ccr.z =−⋅⋅−

ω (4.22)

sau: ( ) ( ) 0zNNNNNi 2

c2

cr.z2d =⋅−−− ω (4.23)

Din această ecuaţie se determină valorile N1 şi N2, respectiv [ ]21cr N;NminN = , reprezentând sarcina critică pentru flambajul prin încovoiere – răsucire a BPS profil închis, la care secţiunea transversală are o axă de simetrie (axa z-z). Datorită rigidităţii mari la răsucire, barele cu pereţi subţiri de secţiune închisă sunt mai puţin susceptibile de a-şi pierde stabilitatea prin încovoiere – răsucire, de cele mai multe ori fenomenul flambajului prin încovoiere este cel determinant.

4.2. Rezistenţa elementelor comprimate cu secţiune unitară (elemente uniforme)

4.2.1. Rezistenţa secţiunii transversale

Valoarea de calcul a forţei de compresiune, EdN , trebuie să satisfacă pentru fiecare

secţiune transversală condiţia:

0.1NN

Rd.c

Ed ≤ (4.24)

Rezistenţa de calcul la compresiune axială a unei secţiuni transversale uniforme, Rd.cN , se determină astfel:

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−γ

σ⋅

−γ

⋅

−γ

⋅

=

italimtensiunipentruA

4clasaletransversatiunisecfA

3,2,1claseleletransversatiunisecfA

N

0M

lim

0M

yeff

0M

y

Rd.c (4.25)

Tensiunea limită a celei mai „slabe” părţi a secţiunii transversale se determină cu relaţia:

0M

yxlim

fγ

⋅ρ=σ (4.26)

unde: xρ - factor de reducere care depinde de zvelteţea plăcilor componente, pλ , pentru a lua în considerare fenomenul de voalare (se va trata la stabilitatea plăcilor).

În cazul secţiunilor nesimetrice de Clasa 4 se va ţine seama de momentul încovoietor

suplimentar EdMΔ datorat excentricităţii axei centrului de greutate al secţiunii efective (active), figura 4.6, unde valoarea momentului încovoietor adiţional este:

NEdEd eNM ⋅=Δ (4.27) Pentru elementele structurale solicitate la compresiune axială nu este nevoie să se ţină

seama de slăbirile produse de găurile pentru mijloacele de îmbinare (nituri, şuruburi), cu excepţia găurilor sau degajărilor de dimensiuni mari.

48

Fig. 4.6

4.2.2. Rezistenţa la flambaj

Verificarea la flambaj a unui element comprimat axial, cu secţiune uniformă, se face cu

relaţia:

0.1NN

Rd.b

Ed ≤ (4.28)

În cazul secţiunilor nesimetrice de Clasa 4 se va ţine seama de momentul încovoietor suplimentar EdMΔ .

Rezistenţa de calcul (capacitatea portantă sau efortul capabil) la flambaj a unui element comprimat este dată de relaţia:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−γ

⋅⋅χ

−γ

⋅⋅χ

=

4ClasatiunisecfA

3sau2,1ClasatiunisecfA

N

1M

yeff

1M

y

Rd.b (4.29)

Pentru elemente cu secţiune transversală constantă (elemente uniforme), solicitate la compresiune axială constantă, valoarea coeficientului de reducere χ se determină în funcţie de

coeficientul de zvelteţe redus λ , cu relaţia:

22

1

λ−φ+φ=χ ; 1≤χ (4.30)

în care:

( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ λ+−λα+=φ

22,015,0 ; α - factor de imperfecţiune, tabelul 4.3.

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⋅

⋅

=λ

cr

yeff

cr

y

NfA

NfA

(4.31)

Tabelul 4.3

Curba de flambaj a0 a b c d

Factor de imperfecţiune α 0,13 0,21 0,34 0,49 0,76

- secţiuni Clase1, 2 şi 3

- secţiuni Clasa 4

49

În figura 4.7 este prezentat graficul χ−λ , corespunzător curbelor de flambaj, iar în tabelul 4.4.a, se prezintă încadrarea secţiunilor transversale în curbele de flambaj.

În tabelul 4.4.b se prezintă valoarea coeficienţilor de reducere pentru curbele de flambaj.

Pentru zvelteţe 04.0NN

pentrusau2.0cr

Ed ≤≤λ efectul flambajului poate fi neglijat.

Fig. 4.7

Flambajul prin încovoiere

În cazul flambajului prin încovoiere, coeficientul de zvelteţe redus (zvelteţea redusă) λ devine:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

λ=

⋅

λ=

⋅

=λ

1

eff

cr

cr

yeff

1

cr

cr

y

AA

iL

NfA

1i

LN

fA

(4.32)

unde: - Lcr – lungimea de flambaj în planul de flambaj considerat; - i – raza de giraţie a secţiunii în raport cu axa considerată, calculată cu aria

brută;

- ε⋅=π=λ 9.93fE

y1 ;

yf235

=ε

Cu notaţia: ⎩⎨⎧

−−

=β4ClasaA/A

3,2,1Clase1

effA , λ se poate pune sub forma:

Acr

y

cr

yA

NfA

NfA

β⋅⋅

=⋅⋅β

=λ ; (A=Ag) (4.33.a)

unde:

- Clase secţiuni 1, 2 şi 3

- secţiune Clasa 4

50

- ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ ⋅⋅π==

⋅⋅π=== 2

zf

z2

z.ecr.z2yf

y2

y.ecr.ycrIENN ;

IENNminN

- y.ecr.y NN = - forţa critică elastică (Euler) în raport cu axa y-y; - z.ecr.z NN = - forţa critică elastică (Euler) în raport cu axa z-z.

sau: Ak

y

cr

yA fN

fAβ⋅

σ=

⋅⋅β=λ (4.33.b)

unde: ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=σ=σ=σ=σ

AN

; A

Nmin z.e

z.ey.e

y.ecrk ; A = Ag – aria brută (gross area).

Tabelul 4.4.a

51

Tabelul 4.4.b

52

Flambajul prin răsucire sau prin încovoiere – răsucire În acest caz coeficientul de zvelteţe redus (zvelteţea redusă) =λ Tλ se calculează cu

relaţia:

Ak

y

cr

yAT

fN

fAβ⋅

σ=

⋅⋅β=λ ; (A=Ag;

ANcr

crk =σ=σ ) (4.34)

crN se determină corespunzător flambajului prin răsucire pură sau prin încovoiere-răsucire.

Pentru secţiuni monosimetrice se va lua: [ ]TF.crT.crcr N;NminN = (4.35.a) respectiv: [ ]TFTk ;min σσ=σ (4.35.b) Pentru secţiuni monosimetrice (z-z – axa de simetrie) se utilizează relaţia (4.17) pentru

determinarea forţei critice:

( )( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ +−+−+

+=

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π+=

=

ω

T.crz.cr0

zy2T.crz.crT.crz.cr

zy

0TF.cr

2T.cr

2

t0

gT.cr

cr

NNI

II4)NN()NN(

II2I

N

rasucireprinflambajL

EIGI

IA

N

.minN

g20

2cgzy0 AizAIII ⋅=⋅++= ; Ag – aria brută a secţiunii.

Pentru secţiunile dublu simetrice, avem egalitatea: ω== NNN TF.crT.cr


⎞⎜⎜⎝

⎛ π+= ω

2T.cr

2

t0

g

LEI

GIIA

Pentru secţiuni fără simetrie, Ncr se obţine din ecuaţia (4.13): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0NNyNNNzNNNNNNNiNf cr.z

2c

2cr.y

2c

2cr.zcr.y

20 =−⋅−−⋅−−−−= ω

Observaţii:

Problema pierderii stabilităţii barelor comprimate prin fenomenul de flambaj prin încovoiere – răsucire simultană este complexă şi implică un volum de calcul mai ridicat, comparativ cu verificarea la flambaj prin încovoiere simplă.

În calcule intervin caracteristicile geometrico – sectoriale ale secţiunii, care se determină prin stabilirea în prealabil a centrului de încovoiere răsucire şi trasarea diagramelor coordonatelor sectoriale

ω sau ϖ . În cazul BPS profil deschis, pierderea stabilităţii generale se poate produce prin încovoiere–răsucire, în cazul în care forţele critice corespunzătoare acestui mod sunt inferioare valoric celor corespunzătoare forţelor critice Euler. În cazul secţiunilor nesimetrice, forţa critică de pierdere a stabilităţii este inferioară valorilor Ny.cr, Nz.cr, Nω, adică Ncr < min [Ny.cr, Nz.cr, Nω], astfel încât pierderea stabilităţii se produce întotdeauna prin fenomenul de încovoiere – răsucire simultană. Dacă secţiunea transversală a barei este alcătuită din segmente concurente (secţiuni în cruce, T, L etc.), centrul de încovoiere – răsucire C se află la intersecţia axelor mediane ale acestora, iar momentul de inerţie sectorial este nul, 0I =ω (dacă se neglijează grosimea pereţilor). În acest caz forţa critică de pierdere a stabilităţii poate avea valoare foarte mică şi în consecinţă efortul capabil al barelor comprimate, cu astfel de secţiuni, este foarte redus. În cazul BPS profil închis (cheson), datorită valorii mari a forţei critice N ϖ , pierderea stabilităţii barei comprimate se produce în general prin încovoiere, însă se recomandă ca, şi în acest caz, să se efectueze verificarea la pierderea stabilităţii prin încovoiere – răsucire, ţinând seama de condiţiile reale de rezemare la capete a barei.

53

Evaluarea capacităţii portante la compresiune centrică a barei în conformitate cu EC 3 se face ţinând seama de secţiunea eficace a barei şi într-o evaluare mai exactă şi de momentul încovoietor rezultat prin deplasarea axei neutre faţă de secţiunea brută. În tabelul 4.5 este sintetizat modul de evaluare a forţei de compresiune critică. Tabelul 4.5

54

4.2.3. Verificarea condiţiei de rigiditate Satisfacerea condiţiei de rigiditate constă în verificarea inegalităţii: aλ≤λ (4.36) unde, pentru barele cu secţiune unitară:

( )zy ;max λλ=λ

aλ - coeficientul de zvelteţe admisibil al barei comprimate, dat în funcţie de felul elementului verificat, tabelul 4.6 (literatura tehnică română).

Tabelul 4.6 Element aλ

1 - Tălpi comprimate - Diagonalele finale ale grinzilor fără montanţi finali 100

2 - Diagonale şi montanţi 120

4.3. Exemple numerice E.1. Exemplu numeric 1

Să se determine efortul axial critic al unei bare comprimate centric, cu lungimea de 3,00 m,

având secţiunea nesimetrică, prezentată în figura E1.1. Bara este realizată din oţel S 235 şi se consideră că rezemarea la capete corespunde

condiţiilor: 1zy =μ=μ=μ ω .

Cu sistemul de axe din figura E1.1, rezultă:

Iy’= 4 957 cm4 Iz’= 532 cm4 A= 50 cm2

Faţă de axele centrale principale, momentele de inerţie sunt:

Iy= 5 168 cm4

Iz= 321 cm4

Fig. E1.1

Deoarece secţiunea este alcătuită din două segmente concurente, centrul de răsucire se va

afla la intersecţia axelor mediane ale acestora. Coordonatele centrului de răsucire sunt: yC =4,03 cm şi zC =8,34 cm. Momentul de inerţie sectorial, ωI =0 (neglijând grosimea pereţilor). Se determină forţele critice de pierdere a stabilităţii:

2fy

y2

cr.yEI

Nπ

= ; 2fz

z2

cr.zEIN π

= ; ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

π=

ω

ωω t2

f

2

20

GIEIi1N

55

Rezultă: kN95.5141N;kN48.738N;kN36.88911N cr.zcr.y === ω . în care s-au utilizat valorile:

( ) ( ) 433t

22c

2czy2

0 cm 67,3621013031I ;cm 58,195

AzyAII

i =⋅+⋅==+++

= .

Secţiunea barei fiind nesimetrică, forţele critice de pierdere a stabilităţii se obţin rezolvând ecuaţia de gradul III în N: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0NNyNNNzNNNNNNNiNf cr.z

2c

2cr.y

2c

2cr.zcr.y

20 =−⋅−−⋅−−−−= ω

Se obţin forţele critice N1, N2 şi N3, având valorile: N1= 59 880 daN, N2= 279 600 daN şi N3= 1 416 000 daN.

Prin urmare, rezultă: Ncr =min [N1, N2, N3] = N1 = 59 880 daN < min [Ny.cr, Nz.cr, ωN ] = Nz.cr =73 848 daN.

Se observă faptul că : Nz.cr < N 2 < Ny.cr şi N3>max [Ny.cr, Nz.cr, ωN ] Efortul unitar critic va fi:

21cr daN/cm 197 1

50880 59

AN

===σ .

Bara îşi pierde stabilitatea la flambaj prin încovoiere - răsucire.


Să se analizeze stabilitatea barei comprimată centric, cu lungimea de 3,00 m, având secţiunea monosimetrică, figura E2.1 ( prezentată în exemplul 1.3 - E1).

Bara este realizată din oţel S 235 şi se consideră că rezemarea la capete corespunde condiţiilor: 1zy =μ=μ=μ ω .

Iy= 9005.6 cm4; Iz=706.25 cm4; A=60 cm2 Se determină forţele critice de pierdere a stabilităţii:

2fy

y2

cr.yEI

Nπ

= ; 2fz

z2

cr.zEIN π

= ; ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

π=

ω

ωω t2

f

2

20

GIEIi1N

( ) 433t

22czy2

0 cm 5.325.110213031I ;cm 2.209

AyAII

i =⋅⋅+⋅==⋅++

=

Fig. E2.1

Rezultă: kN492.412N kN; 6.43621N kN; 739.0702N z.crcr.y === ω

Secţiunea barei fiind monosimetrică, forţele critice se obţin rezolvând ecuaţia de gradul II în N: ( ) ( ) 0yNNNNNi 2

c2

cr.y20 =⋅−−− ω

Se obţin forţele critice N1 şi N2 : N1= 241 945 daN = Ncr.TF. ; N2= 2 775 130 daN Evaluarea capacităţii portante a barei Secţiunea transversală eficace

56

Aria eficace a tălpilor Tălpile profilului sunt elemente rezemate pe o singură latură (pereţi comprimaţi în consolă), supuse la compresiune uniformă, figura E2.2.

Fig. E2.2

11

212 +=

σσ

=ψ⇒σ=σ ; 43.0k =σ

1Clasa967.6t/c ⇒ε<= ( 1=ρ )

Întreaga secţiune a tălpii este activă (efectivă).

Aria eficace a inimii Inima profilului este un element rezemat pe două laturi (perete interior), supus la

compresiune uniformă, figura E2.3.

Fig. E2.3

11

212 +=

σσ

=ψ⇒σ=σ ; 4k =σ

1Clasa335.28t/c ⇒ε<= ( 1=ρ ) Întreaga inimă este activă.

Prin urmare secţiunea transversală a profilului este de Clasa 1 şi se operează cu aria brută ( gA ).

Evaluarea capacităţii portante a elementului supus la compresiune axială Rezistenţa la flambaj prin încovoiere Barele cu secţiuni monosimetrice având yz II < , supuse la compresiune centrică îşi pot pierde stabilitatea prin flambaj din încovoiere sau flambaj prin încovoiere-răsucire. Rezistenţa la flambaj prin încovoiere este:

1M

yF

Rd.b1fAN

γ⋅⋅⋅χ= - pentru secţiuni Clasa 1

Coeficientul parţial de siguranţă pentru determinarea rezistenţei la flambaj este 10.11M =γ . Coeficientul de reducere la flambaj prin încovoiere se va calcula folosind 49.0=α (coeficientul imperfecţiunilor pentru curba „c” de flambaj).

1cr

y

NfA

λλ

=⋅

=λ - secţiuni Clasa 1; 8743.3

300iLg

≅==λ

Lungimea efectivă de flambaj este considerată în mod conservativ ca fiind egală cu lungimea elementului, 300L = cm.

[ ] 43.3i;imini yzg == cm; 942350

101.2fE 6

y1 ≈

⋅π=π=λ

Zvelteţea relativă redusă a elementului pentru flambaj prin încovoiere rezultă:

57

93.09487

==λ ; curba „c” de flambaj, 49.0=α

( ) ( )[ ] 12.193.02.093.049.015.02,015.0 22=+−+=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ λ+−λα+=φ

157.093.012.112.1

112222

<=−+

=λ−φ+φ

=χ

Rezultă: kN730.64daN 640 7310.1123506057.0NF

Rd.b ==⋅⋅⋅=

Rezistenţa la flambaj prin încovoiere-răsucire Elementele cu secţiuni monosimetrice îşi pot pierde stabilitatea prin flambaj prin încovoiere - răsucire. Rezistenţa la flambaj prin încovoiere răsucire se determină cu relaţiile:

3;2;1Clasetiunisecpentru1fAN1M

yTFT

Rd.b −γ

⋅⋅⋅χ=

4Clasatiunisecpentru1fAN1M

yeffTFT

Rd.b −γ

⋅⋅⋅χ=

Diferenţa fată de cazul flambajului prin încovoiere apare la calculul coeficientului de reducere Tχ .

Ak

yT

fβ⋅

σ=λ ; [ ]TFTk ;min σσ=σ

Tensiunea critică pentru flambaj prin răsucire:

154460

241249AN

L

IEIG

iA1

g2

T

w2

T20g

T ===⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ⋅⋅π+⋅

⋅=σ ω daN/cm2

Tensiunea critică pentru flambaj prin încovoiere – răsucire:

032460

945241A

N

g

TF.crTF ===σ daN/cm2

Rezultă: [ ] [ ] 2TFTk cm/daN03240324;1544min;min ==σσ=σ

Zvelteţea relativă redusă a elementului pentru flambaj prin încovoiere–răsucire, φ , pentru curba „c” de flambaj ( 49.0=α ) şi coeficientul de reducere Tχ vor fi:

76.0140312350

T =⋅=λ ; ( )[ ] 93.076.02.076.049.015.0 2 =+−+=φ

168.076.093.093.0

122T <=

−+=χ

Rezistenţa la flambaj prin încovoiere răsucire:

164871.1

123506068.0NFTRd.b =⋅⋅⋅= daN

Rezistenţa de calcul a elementului supus la compresiune centrică va fi:

[ ] [ ] 0647316487;06473minN;NminN FTRd.b

FRd.bRd.b === daN

În concluzie cedarea se produce prin flambaj prin încovoiere după axa de inerţie minimă z – z .

58

a) b)


Să se analizeze stabilitatea la compresiune a unui tronson de arc, făcând parte din structura de rezistenţă a unui pod pe arce calea sus (fig. E3.1.a), tronsonul având lungimea de 12,00 m şi secţiunea transversală monosimetrică, prezentată în figura E3.1.b. (exemplele numerice 1.3- E2 şi 2.4 –E1).

Structura este realizată din oţel S235 şi se consideră condiţiile de rezemare la capete corespunzătoare pentru: 1zy =μ=μ=μ ω .

Fig. E3.1

Se determină forţele critice de pierdere a stabilităţii:

2yf

y2

cr.yEI

Nπ

= ; 2zf

z2

cr.zEIN π

= ; ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+

π=

ω

ωω t2

f

2

20

GIEIi1N

Rezultă: daN, 109.35 N daN; 100.38N daN; 108.56N 66y.cr

6cr.z ⋅=⋅=⋅= ω

unde s-au utilizat valorile:

( ) 4333t

22czy2

0 cm 392 134022,11202220031I ;cm 944 18

AzAII

i =⋅⋅+⋅⋅+⋅==⋅++

= .

Rezolvând ecuaţia de gradul II în N: ( ) ( ) 0zNNNNNi 2

c2

cr.z20 =⋅−−− ω ,

se obţin forţele critice N1 şi N2 şi în continuare tensiunea critică 1σ , respectiv: N1= 8.43 610⋅ daN = Ncr.TF < Ny.cr (bara îşi pierde stabilitatea prin încovoiere – răsucire), N2= 168 610⋅ daN

TF.cr2

61

1 daN/cm 084 9928

108.43AN

σ==⋅

==σ

Secţiunea transversală eficace Secţiunea eficace (efectivă) a barei a fost evaluată în exemplul numeric 2.4.1. S-a obţinut secţiunea eficace din figura E3.2 (fig. E1.6 din exemplul 2.4 - E1).

Evaluarea capacităţii portante a elementului supus la compresiune axială Rezistenţa la flambaj prin încovoiere Rezistenţa la flambaj prin încovoiere (secţiune clasa 4) este:

59

1M

yeffF

Rd.b1fAN

γ⋅⋅⋅χ= ; 10.11M =γ

( )2

eff

eff

cm 8.686A

2,130234027.752A

=

⋅⋅+⋅+⋅=

Fig. E3.2

Coeficientul de reducere la flambaj prin încovoiere se va calcula folosind 49.0=α (coeficientul imperfecţiunilor pentru curba „c” de flambaj).

A1cr

yA

NfA

β⋅λλ

=⋅⋅β

=λ ; 49.2236.53

1200iLg

===λ

Lungimea efectivă de flambaj este considerată în mod conservativ ca fiind egală cu lungimea elementului, 1200L = cm. [ ] 36.53i;i mini yzg == cm

942350

101.2fE 6

y1 =

⋅π=π=λ ; 74.0

9288.686

AA

g

effA ===β


206.074.094

49,22==λ ;

( ) ( )[ ] 52.0206.02.0206.049.015.02.015.0 22=+−+=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ λ+−λα+=φ

Coeficientul de reducere:

0.1206.052.052.0

112222

=−+

=λ−φ+φ

=χ

Rezultă: daN 10467 11.1

123508.6861N 3FRd.b ⋅=⋅⋅⋅= .

Rezistenţa la flambaj prin încovoiere-răsucire

Rezistenţa la flambaj prin încovoiere răsucire se determină cu relaţia:

1M

yeffTFT

Rd.b1fAN

γ⋅⋅⋅χ= - pentru secţiuni Clasa 4

Ak

yT

fβ⋅

σ=λ ; [ ]FTTk ;min σσ=σ

unde: - tensiunea critică pentru flambaj prin răsucire este:

60

075 10928

1035.9AN

LIEIG

iA1 6

g2

T

w2

T20g

T =⋅

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅⋅π+⋅

⋅=σ ω daN/cm2

- tensiunea critică pentru flambaj prin încovoiere – răsucire este:

084 9A

N

g

TF.crTF ==σ daN/cm2

Rezultă: [ ] [ ] 084 9084 9 ;075 10min;min TFTk ==σσ=σ daN/cm2 Zvelteţea relativă redusă a elementului pentru flambaj prin încovoiere – răsucire, φ şi coeficientul de reducere Tχ vor fi:

44.074.090842350

T =⋅=λ ; ( )[ ] 64.044.02.044.034.015.0 2 =+−+=φ

190.044.064.064.0

122T <=

−+=χ

Rezistenţa la flambaj prin încovoiere răsucire: 3FT

Rd.b 101286 11.1

123508.66890,0N ⋅=⋅⋅⋅= daN

Rezistenţa de calcul a elementului supus la compresiune centrică va fi: [ ] [ ] 333FT

Rd.bF

Rd.bRd.b 10286 110286 1;10467 1minN;NminN ⋅=⋅⋅== daN În concluzie cedarea se produce prin flambaj prin încovoiere – răsucire, aşa cum s-a prezentat anterior.


Să se evalueze efortul capabil al tălpii superioare a unei grinzi cu zăbrele care face parte

din structura de rezistenţă a unui pod rutier, pe structură cu grindă centrală de rigidizare. Grinda cu zăbrele are panourile cu lungimea l=15,00 m, iar secţiunea tălpii superioare este un cheson închis, având dimensiunile prezentate în figura E4.1. Structura este realizată din oţel S235.

Fig. E4.1

Secţiunea tălpii fiind o BPS profil închis cu două axe de simetrie, centrul de încovoiere – răsucire C coincide cu centrul de greutate G.

Cu notaţiile din figura E4.1, caracteristicile geometrico – sectoriale şi de rezistenţă ale

secţiunii sunt următoarele:

46y cm 10878.1I ⋅= , 46

z cm 10802.5I ⋅= ; 2

m cm 585 391955.1012A2 =⋅⋅=⋅=Ω ;

∫ =⋅

+⋅

= 66.36621002

5,12002

gds ;

61

( ) 433t cm 33.983210025.12002

31I =⋅⋅+⋅⋅= ;

4692

tr cm 1025.466.3661056,133.983

gds

II ⋅=⋅

+=Ω

+=

∫;

( ) 462222d cm 1036.55.975.101275.501955.12gdsrdArI ⋅=⋅⋅+⋅⋅=⋅== ∫ ∑∫ .

Diagrama r este prezentată în figura E4.2.

Fig. E4.2

21.01036.51025.41

II1

;cm 1036.51000

1036.5AIi

6

6

d

r

236

d2d

=⋅⋅

−=−=ν

⋅=⋅

==

Momentul de inerţie sectorial se poate calcula direct cu relaţia:

( )( )

( )121

21

22htbt

htbt24htbthbI +

+

−=ϖ .

Rezultă: ( )( )

( ) 692

222cm1055.125.1015.1195

5.15.1012195245.15.10121955.101195I ⋅=⋅+⋅

⋅+⋅

⋅−⋅=ϖ

Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale brute sunt prezentate în tabelul E4.1.

Tabelul E4.1 Ag Iy Iz iy iz

U.M. cm2 x 106 cm4

x 106 cm4 cm cm

1000 1.878 5.802 43.33 76.2

Se calculează forţele critice de pierdere a stabilităţii şi se obţine: daN; 10373 53N daN; 10208 17N 3

z.cr3

cr.y ⋅=⋅=

kN. 10432.6

15001036.5 10808.01055.1101.221.01036.5

21.01025.410808.01500

1055.1101,2

lI GI E

i

I Gl

EI

N 6

2

2

66

963

662

962

2

2

d

2d

r2

2

⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

+⋅

⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅π

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π⋅+ν

ν⋅+π

=ω

ω

ω

Aşa cum era de aşteptat pentru secţiuni închise, a rezultat >ϖN max [ cr.zcr.y N,N ], prin urmare pierderea stabilităţii barei are loc prin flambaj din încovoiere . Secţiunea transversală eficace Aria eficace a tălpilor Tălpile profilului sunt elemente rezemate pe două laturi, supuse la compresiune uniformă, figura E4.3.

62

Fig. E4.3

11

212 +=

σσ

=ψ⇒σ=σ

Coeficientul de voalare pentru talpa profilului este: 4k =σ 4Clasa42128t/c ⇒ε>=

673.027.2414.28

5.1/193k4.28

t/bpp >=

⋅⋅=

⋅ε⋅=λ

σ

; 4.027.21

27.222.01122,01

pp

=⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

λ⋅

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

λ−=ρ

−−

Lăţimea eficace a tălpii: cm 781934,0beff ≈⋅= ; cm 392/bbb eff2.eff1.eff === . Aria eficace a inimilor

Inimile profilului sunt elemente rezemate pe două laturi, supuse la compresiune uniformă, figura E4.4.

Fig. E4.4


11

212 +=

σσ

=ψ⇒σ=σ ; 4k =σ

673.088.0414.28

2/100k4.28

t/bpp >=

⋅⋅=

⋅ε⋅=λ

σ

Rezultă: 85.088.01

88.022.01122.01

pp

=⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

λ⋅

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

λ−=ρ

−−

cm 8510085.0heff =⋅= cm 5.422/hhh eff2.eff1.eff === .

Secţiunea eficace este prezentată în figura E4.5.

Rezultă:

2

eff cm 595A = ;

595.01000595

A ==β

Fig. E4.5

63

Rezistenţa la flambaj prin încovoiere Rezistenţa la flambaj prin încovoiere (secţiune Clasa 4) este:

1M

yeffF

Rd.b1fAN

γ⋅⋅⋅χ= ; coeficientul parţial de siguranţă: 10.11M =γ .

Coeficientul de reducere la flambaj prin încovoiere se va calcula folosind 49,0=α (coeficientul imperfecţiunilor pentru curba „c” de flambaj).

A1cr

yA

NfA

β⋅λλ

=⋅⋅β

=λ ; 62.3433.43

1500iLg

===λ

Lungimea efectivă de flambaj este considerată în mod conservativ ca fiind egală cu lungimea elementului, 1500L = cm.

[ ] 33.43i;i mini yzg == cm; 942350

101.2fE 6

y1 =

⋅π=π=λ ; 595.0A =β


28.0595.094

62.34==λ ; ( ) ( )[ ] 56.028.02.028.049.015.02,015.0 22

=+−+=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ λ+−λα+=φ

198.028.056.056.0

112222

<=−+

=λ−φ+φ

=χ

Rezultă efortul capabil al barei la flambaj prin încovoiere faţă de axa y-y:

kN45012daN 10245 11.1

1235059598.0N 3FRd.b =⋅=⋅⋅⋅= .

E.5. Exemplu numeric 5 Să se evalueze capacitatea portantă (rezistenţa) la compresiune axială a barei având secţiunea transversală din figura E5.1 şi secţiunea eficace prezentată în figura E5.2 (calculată în ex. numeric 2.5 - E2). Se cunosc lungimile critice (de flambaj): m0.8L y.cr = ; m0.4LL T.crz.cr == .

Fig. E5.1

Fig. E5.2

Secţiunea este clasa 4 ⇒ se operează cu effA .

64

Date de calcul:

Oţel: S 355 2

y mm/N355f =

81.0f/235 y ==ε 2

g cm174A = 2

eff cm24.138A =

45y cm10179.1I ⋅=

44z cm10145.2I ⋅=

66w cm1093.8I ⋅=

cm26iy = cm1.11iz =

Rezistenţa la flambaj

Rezistenţa la flambaj prin încovoiere

Axa y – y:

36.006.76

17424.138

26800A

A

iL

1

eff

y

y.cry ==

λ=λ 93.0y =χ⇒ (curba „b”); 06.769.931 =ε⋅=λ

Axa z – z:

42.006.76

17424.138

1.11400A

A

iL

1

eff

z

z.crz ==

λ=λ 82.0z =χ⇒ (curba „c”); 82.0];[min zy =χχ=χ

Rezistenţa la flambaj prin încovoiere:

kN6583101.1

355024.13882.0fAN 2

1M

yeffminFRd.b =

⋅⋅=

γ

⋅⋅χ= −

Rezistenţa la flambaj prin încovoiere - răsucire

kN7871210)400

1093.8101.272.1241081.0(1071.1

174N 22

6626

5T.cr =⋅⋅⋅⋅⋅π

+⋅⋅⋅

= −

452szy0 cm1071.1zAIII ⋅=⋅++= ; 4333

T cm72.124)2.1308.0608.150(31I =⋅+⋅+⋅=

( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅⋅

⋅

⋅−+−+

⋅⋅

⋅= 7871275827

1071.11039.1478712758277871275827

1039.121071.1N

5

52

5

5

TF.cr

kN32611N TF.cr =

Efortul axial critic: ⎩⎨⎧

=

===

kN32611NkN78712N

.minkN32611NTF.cr

T.crcr

75.066.010132.1355024.138

T6T =χ⇒=⋅

⋅=λ (curba „c”)

Rezultă: kN3463101.1

355024.13875.0N 2TFRd.b =

⋅⋅= −

Având în vedere faptul că FRd.b

TFRd.b NN < , rezultă că bara îşi pierde stabilitatea prin

încovoiere răsucire, iar rezistenţa barei la compresiune centrică este: kN3463N Rd.b = Observaţie: La calculul rezistenţei barei la compresiune s-a neglijat momentul încovoietor produs de forţa axială, rezultat prin deplasarea centrului de greutate a secţiunii efective faţă de poziţia iniţială (secţiunea brută), această deplasare fiind foarte mică (1 mm).

65

4.4. Analiză numerică privind influenţa formei secţiunii Se analizează influenţa formei secţiunii transversale asupra forţei critice de pierdere a stabilităţii, a modului de flambaj şi asupra capacităţii portante la flambaj a unei bare realizată în următoarele variante constructive:

• Cazul 1: Secţiune nesimetrică, cu tălpile opuse faţă de inimă; • Cazul 2: Secţiune tip U, nesimetrică; • Cazul 3: Secţiune tip U, monosimetrică; • Cazul 4: Secţiune dublu T, monosimetrică; • Cazul 5: Secţiune dublu T, dublusimetrică; • Cazul 6: Secţiune tip cruce.

În toate cazurile aria secţiunii transversale are aceeaşi valoare şi se păstrează constantă dimensiunea inimii, respectiv:

22w

2 cm50mm10x500A;cm140A ==== . Se cunosc următoarele date de proiectare:

• secţiunea transversală a barei; • material: oţel S 355: 81.0;mm/N355f 2

y =ε= ; • lungimile de flambaj (critice): L= 8.00 m; 5.0;1 zy =μ=μ=μ ω ; m0.8LL yy.cr =⋅μ= ; m0.4L)(LL z.crz.cr =⋅μμ== ωω .

Cazul 1: Secţiune nesimetrică, cu tălpile opuse faţă de inimă, figura E.1

Fig. E.1

Determinarea forţei critice de flambaj

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅+

⋅⋅⋅π=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

π=

=⋅⋅π

=π

=

=⋅⋅⋅π

=π

=

=

−

ω

ωω

−

−

kN29391011910807.0400

10552.4101.223.737

1GIL

EIi1N

kN435810400

6518101.2L

EIN

kN3412510800

10833.7101.2L

EIN

N

262

662

t2.cr

2

2o

22

62

2z.cr

z2

z.cr

22

462

2y.cr

y2

y.cr

.teorcr

unde: ( ) ( ) ( ) 2

2242s

2szy2

o cm23.737140

1.104.5140106518.0833.7A

zyAIIi =

++⋅+=

+++=

66

Pentru secţiuni fără simetrie, Ncr se obţine din ecuaţia: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0NNyNNNzNNNNNNNiNf z.cr

2s

2y.cr

2s

2z.cry.cr

20 =−⋅−−⋅−−−−= ω

Rezultă: [ ] [ ] kN407669527;61913;4076.minN;N;N.minN 321cr ===

Secţiunea transversală eficace Talpa superioară

Talpa superioară este un element rezemat pe o singură latură supus la compresiune uniformă, figura E.2.a.

Fig. E.2. Scheme de calcul (evaluare) a clasei secţiunii

4Clasa34.11145.14t/c ⇒=ε>= ; 11

212 +=

σσ

=ψ⇒σ=σ

Coeficientul de voalare pentru talpa profilului este 43.0k =σ .

748.096.043.081.04.28

20/290k4.28

t/bpp >=

⋅⋅=

⋅ε⋅=λ

σ

⇒ 84.0188.02p

p =λ

−λ=ρ .

Lăţimea eficace a tălpii mm 24429084.0bb peff =⋅=⋅ρ= . Talpa inferioară Talpa inferioară este un element rezemat pe o singură latură supus la compresiune uniformă, figura E.2.b.

4Clasa34.111467.12t/c ⇒=ε>= ; 11

212 +=

σσ

=ψ⇒σ=σ

Coeficientul de voalare pentru talpa profilului este 43.0k =σ .

748.084.043.081.04.28

15/190k4.28

t/bpp >=

⋅⋅=

⋅ε⋅=λ

σ

⇒ 92.0188.02p

p =λ

−λ=ρ

Lăţimea eficace a tălpii: mm 17519092.0bb peff =⋅=⋅ρ= .

Aria eficace a inimii Inima profilului este un element rezemat pe două laturi, supus la compresiune uniformă,

figura E.3.


11

212 +=

σσ

=ψ⇒σ=σ ; 4k =σ

673.009.1481.04.28

10/500k4.28

t/bpp >=

⋅⋅=

⋅ε⋅=λ

σ Fig. E.3

67

Pentru 1=Ψ

rezultă: 73.022.02p

p =λ

−λ=ρ

mm36550073.0heff =⋅= ; mm 1822/heff = Secţiunea efectivă (eficace) este prezentată în figura E.4.

Fig. E.4

Capacitatea portantă a barei (rezistenţa la flambaj)

Coeficientul de zvelteţe redus: 798.0106407

3550115N

fA2

cr

yeffFT =

⋅⋅

=⋅

=λ=λ

Coeficientul de reducere: Secţiunea se încadrează în curba „d” de flambaj 58.0=χ⇒

Rezistenţa la flambaj: kN1532101.1355011558.0

fAN 2

1M

yeffRd.b =

⋅=

γ

⋅χ= −

Cazul 2: Secţiune tip U, nesimetrică, figura E.5

Fig. E.5

Determinarea forţei critice de flambaj Similar cazului 1 se obţin forţele critice de flambaj: kN94421N y.cr = ; kN85412N z.cr = ; kN0576NN T.cr ==ω

Ncr se obţine din ecuaţia: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0NNyNNNzNNNNNNNiNf z.cr

2s

2y.cr

2s

2z.cry.cr

20 =−⋅−−⋅−−−−= ω

68

Rezultă:

[ ][ ] kN348525439;15513;3485.min

N;N;N.minN 321cr

==

==

Secţiunea efectivă (eficace) este prezentată în figura E.6.

Fig. E.6



3550115N

fA2

cr

yeffFT =

⋅⋅

=⋅

=λ=λ


Rezistenţa la flambaj: kN9671101.1355011553.0

fAN 2

1M

yeffRd.b =

⋅=

γ

⋅χ= −

Cazul 3: Secţiune tip U, monosimetrică, figura E.7

Fig. E.7

Determinarea forţei critice de flambaj Forţele critice de flambaj: kN68222N y.cr = ; kN48317N z.cr = ; kN3618NN T.cr ==ω Secţiunea barei fiind monosimetrică (simetrică în raport cu axa y-y), forţa critică pentru flambajul prin încovoiere-răsucire se determină cu relaţia:

69

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ +−+−+

+= T.cry.cr

0

zy2T.cry.crT.cry.cr

zy

0TF.cr NN

I)II(

4)NN()NN()II(2

IN = 6 988 kN

Având în vedere rezultatele obţinute rezultă că, flambajul barei se produce prin fenomenul cuplat încovoiere-răsucire, pentru kN9886NN TF.crcr == .

Secţiunea transversală eficace Secţiunea efectivă (eficace) este prezentată în figura E.8.

Fig. E.8



35506.97N

fA2

cr

yeffFT =

⋅⋅

=⋅

=λ=λ


Rezistenţa la flambaj: kN0162101.135506.9764.0

fAN 2

1M

yeffRd.b =

⋅=

γ

⋅χ= −

Cazul 4: Secţiune dublu T, monosimetrică, figura E.9

Fig. E.9

Determinarea forţei critice de flambaj Forţele critice de flambaj: kN50121N y.cr = ; kN1237N z.cr = ; kN9985NN T.cr ==ω

70

Secţiunea barei fiind monosimetrică (simetrică faţa de axa z-z), forţa critică pentru flambajul prin încovoiere-răsucire se determină cu relaţia:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ +−+−+

+= T.crz.cr

0

zy2T.crz.crT.crz.cr

zy

0TF.cr NN

I)II(

4)NN()NN()II(2

IN =4 520 kN

Având în vedere rezultatele obţinute rezultă că, flambajul barei se produce prin fenomenul cuplat încovoiere-răsucire, pentru: kN5204NN TF.crcr == Secţiunea efectivă (eficace) este prezentată în figura E.10.

Fig. E.10


Coeficientul de zvelteţe redus: 996.010452035504.126

NfA

2cr

yeffFT =

⋅⋅

=⋅

=λ=λ

Secţiunea se încadrează în curba „c” de flambaj ( mm40tf < ; axa z-z) 54.0=χ⇒


fAN 2

1M

yeffRd.b =

⋅=

γ

⋅χ= −

Cazul 5: Secţiune dublu T, dublusimetrică, figura E.11

Fig. E.11

Determinarea forţei critice de flambaj Forţele critice de flambaj: kN68222N y.cr = ; kN7408N z.cr = ; kN78011NN T.cr ==ω

71

Având în vedere rezultatele obţinute rezultă că, flambajul barei se produce prin încovoiere faţă de axa z-z, pentru kN7408NN z.crcr == .

Secţiunea transversală eficace Tălpile: Clasa 3; Inima: Clasa 4. Secţiunea efectivă (eficace) este prezentată în figura E.12.

Fig. E.12 Capacitatea portantă a barei (rezistenţa la flambaj)

Coeficientul de zvelteţe redus: 716.010874035504.126

NfA

2cr

yeffFT =

⋅⋅

=⋅

=λ=λ

Secţiunea se încadrează în curba „c” de flambaj ( mm40tf < ; axa z-z) 71.0=χ⇒


fAN 2

1M

yeffRd.b =

⋅=

γ

⋅χ= −

Cazul 6: Secţiune tip cruce, figura E.13

Fig. E.13

72

Determinarea forţei critice de flambaj Forţele critice de flambaj: kN3743N y.cr = ; kN6733N z.cr = ; kN4812NN T.cr ==ω Având în vedere rezultatele obţinute rezultă că, flambajul barei se produce prin răsucire, pentru kN4812NNN T.crcr === ω .

Secţiunea transversală eficace Secţiunea efectivă (eficace) este prezentată în figura E.14.

Fig. E.14



35505.86N

fA2

cr

yeffFT =

⋅⋅

=⋅

=λ=λ



fAN 2

1M

yeffRd.b =

⋅=

γ

⋅χ= −

Concluzii Rezultatele numerice ale analizei pentru valorile effA , crN şi Rd.bN sunt centralizate în tabelul E.4. Tabelul E.4

CAZUL ]cm[A 2eff ]kN[Ncr ]kN[N Rd.b

1 115 6 407 2 153 2 115 5 348 1 967 3 97.6 6 988 2 016 4 126.4 4 520 2 203 5 126.4 8 740 2 896 6 86.5 2 481 1 145

Parametrii legaţi de gradul de eficienţă ai unei secţiuni, comparativ cu secţiunea având eficienţa maximă (cazul 5) sunt prezentaţi în tabelul E.5.

73

Tabelul E.5

CAZUL ]5[cazmax.cr

]i[cazcr N/N ]5[caz

max.Rd.b]i[caz

Rd.b N/N MOD DE FLAMBAJ

1

0.73 0.74 încovoiere-răsucire

2


3


4


5

1 1 încovoiere

6

0.28 0.40 răsucire

Se constată următoarele:

• În cazurile 1, 2, 3 şi 4 pierderea stabilităţii se produce prin flambaj cuplat încovoiere-răsucire, în cazul 5 prin flambaj din încovoiere, iar în cazul 6 are loc flambaj prin răsucire;

• Capacitatea portantă maximă a barei se obţine pentru secţiunea T dublu-simetrică (Cazul

5), iar capacitatea portantă minimă este obţinută în cazul barei cu secţiune cruce (Cazul 6).

74

5. ELEMENTE COMPRIMATE CENTRIC. BARE CU SECŢIUNE COMPUSǍ


În conformitate cu normativul Eurocode 3 (care are la bază metoda stărilor limită),

verificarea stabilităţii barelor comprimate cu secţiune compusă se face la flambaj prin încovoiere după cele doua axe principale de inerţie ale secţiunii compuse şi de asemenea se verifică ramurile componente pe distanţa dintre elementele de solidarizare, flambajul prin încovoiere-răsucire fiind nespecific acestor elemente, datorită rigidităţii mari la răsucire a secţiunii.

Coeficienţii de reducere χ , conform EC 3, depind de următorii parametri: - marca oţelului, caracterizată prin limita de curgere fy; - coeficienţii de zvelteţe reduşi λ ai barei, depinzând de legăturile barei la capete şi

caracteristicile secţiunii; - forma secţiunii transversale a barei prin încadrarea acesteia în curba de flambaj ”c”,

conform EC3 (respectiv factorul de imperfecţiune α = 0,49). În figurile 5.1 şi 5.2 sunt prezentate elementele geometrice şi sistemul de axe, în

conformitate cu EC3, pentru bara cu secţiune compusă solidarizată cu plăcuţe, respectiv bara cu secţiune compusă solidarizată cu zăbreluţe.

Barele compuse cu secţiune uniformă, solicitate la compresiune centrică şi articulate la extremităţi se consideră ca un stâlp având o imperfecţiune în arc 500/Leo = .

Fig. 5.1. Bara cu secţiune compusă solidarizată cu plăcuţe

Fig. 5.2. Bara cu secţiune compusă solidarizată cu zăbreluţe

5.2. Verificarea stabilităţii barei comprimate 5.2.1. Verificarea la flambaj faţǎ de axa materialǎ

Rezistenţa de calcul (forţa capabilǎ) la flambaj a barei comprimate cu secţiune alcătuită,

prin solidarizarea ramurilor cu plăcuţe sau cu zăbreluţe, faţǎ de axa materialǎ y-y este datǎ de relaţia:

75

1

d MyAy

yyR.b

1fANγ

⋅⋅β⋅χ=− (5.1.a)

sau:

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

−γ

⋅⋅χ

−γ

⋅⋅χ

=−

4ClasatiunisecfA


N

1M

yeffy

1M

yy

yyRd.b (5.1.b)

unde: χy - coeficientul de reducere, funcţie de coeficientul de zvelteţe redus yλ :

A1

yy β

λ

λ=λ ;

y

y.cry i

L=λ ;

AAeff

A =β ; ε⋅=π=λ 9.93fEy

1 ; yf

235=ε

Coeficientul de reducere yχ se poate extrage din tabel, pentru curba de flambaj ”c” sau se poate calcula analitic, astfel:

2y

2y1

λ−φ+φ=χ ; ( )[ ]2

yy 2.015.0 λ+−λα+=φ ; α = 0.49 (curba ”c” )

5.2.2. Verificarea la flambaj faţǎ de axa imaterialǎ

Verificarea la flambaj în plan paralel cu planul plăcuţelor se face asemănător cu verificarea faţǎ de axa materialǎ, înlocuind coeficientul de reducere yχ cu zχ , calculat după cum urmează:

χz = f ( A1

zz β

λλ

=λ ) (5.2)

z

z.crz i

L=λ ;

ch

effz A2

Ii⋅

= ; λ1=93.9·ε

Momentul de inerţie efectiv faţǎ de axa imaterialǎ se calculează în funcţie de modul de solidarizare al barei, după cum urmează: Solidarizare cu plăcuţe:

chch20eff I2Ah5.0I ⋅μ+⋅⋅= (5.3)

unde μ este un factor de eficacitate:

μ =

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥λ

<λ<λ

−

≤λ

150 pentru 0

15075 pentru 75

2

75 pentru 1

în care: 0

z.cri

L=λ ;

ch

10 A2

Ii⋅

= ; chch201 I2Ah5.0I ⋅+⋅⋅= ( valoarea Ieff pentru μ=1)

Solidarizare cu zăbreluţe: Momentul de inerţie efectiv al secţiunii compuse solidarizată cu zăbreluţe, având două componente principale (ramuri), se va lua: ch

20eff Ah5.0I ⋅⋅= (5.4)

76

5.2.3. Verificarea unei ramuri (componente) la jumătatea lungimii barei

Forţa de compresiune într-o ramurǎ a secţiunii (component principal), la mijlocul lungimii

barei, se calculează cu relaţia:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅+=

eff

ch0EdEdEd.ch I

AhMN5.0N (5.5.a)

sau: eff

ch0EdEdEd.ch I2

AhMN5.0N +⋅= (5.5.b)

Pentru secţiuni solidarizate cu zăbreluţe relaţia (5.5.b) devine:

0

EdEdEd.ch h

MN5.0N +⋅= (5.6)

în care:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

+⋅=

v

Ed

cr

Ed

1Ed0Ed

Ed

SN

NN

1

MeNM ;

2eff

2

crLEI

Nπ

= ; 500Le0 =

- MEd – momentul încovoietor de calcul la mijlocul elementului considerând efectele de ordinul II; - 1

EdM – momentul încovoietor maxim de ordinul I, la mijlocul elementului; - Sv – rigiditatea la forfecare a unui panou rigidizat cu plăcuţe sau cu zăbreluţe.

Solidarizare cu plăcuţe: În cazul solidarizării cu plăcuţe, rigiditatea la forfecare a unui panou se calculează cu relaţia:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+

⋅⋅=

ah

nII2

1a

IE24S

0

b

ch2

chv dar 2

ch2

va

IE2S

⋅π≤ (5.7)

- lungimea de flambaj a unei ramuri (componente) în planul plăcuţelor este egalǎ cu

distanţa între axele plăcuţelor, a, respectiv: lfz.1=a; - Ib – momentul de inerţie a unei plăcuţe.

Solidarizare cu zăbreluţe:

Valorile rigidităţii la forfecare a panourilor solidarizate cu zăbreluţe, Sv, pentru diferite sisteme de solidarizare sunt date în tabelul 5.1. Efortul capabil al unei ramuri se va calcula în funcţie de coeficientul de reducere χz1:

χz1 = f ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛β

λλ

=λ A1

1z1z ;

1z

ch

1z

f1z i

Lil

1z ==λ ; λ1=93,9·ε ; ch

ch1z A

Ii =

Lungimea de flambaj chL se va lua conform figurii 5.3. Rezultă:

1M

ychA1zRdbf1fAN

γ⋅⋅⋅β⋅χ=⋅ (5.8)

77

Tabelul 5.1

Sistem de zăbrelire

Sv 3

20d

d2haAEn

⋅

⋅⋅⋅⋅ 3

20d

dhaAEn ⋅⋅⋅⋅

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⋅

⋅+

⋅⋅⋅⋅

3v

30d3

20d

dAhA

1d

haAEn

n – numărul planurilor de zăbrelire Ad ; Av – se referă la un singur plan de zăbrelire

Fig. 5.3

78

5.2.4. Verificarea elementelor de rigidizare Plăcuţe de solidarizare Plăcuţele, îmbinările acestora de componentele principale şi chiar componentele principale

ale secţiunilor compuse trebuie verificate pentru momentele încovoietoare şi forţele tăietoare din panoul de capăt, figura 5.4, în care forţa tăietoare interioară VEd, se va lua:

LM

V EdEd

⋅π= (5.9)

Pentru această verificare, forţa axială în fiecare ramură se poate lua 0,5⋅NEd. Rezultă forţa tăietoare din plăcuţă:

0

Edb haV

21V = (5.10)

Fig. 5.4

Zăbreluţe de solidarizare

Forţele în zăbreluţele adiacente capetelor elementului (barei) se obţin din forţa de forfecare interioară VEd , relaţia 5.9.

Efortul maxim de compresiune în zăbreluţe va fi:

ϕ

=⋅

=cosV

n1

hdV

n1N Ed

0

Edd (5.11)

- n - numărul planurilor de zăbrelire (obişnuit n=2). Observaţii legate de calculul barei comprimate

• normativul EC 3 analizează stabilitatea barei comprimate cu secţiune compusǎ din punct de vedere al flambajului prin încovoiere, cel prin încovoiere – răsucire nefiind caracteristic acestor elemente;

79

• flambajul barei în ansamblu se produce în planul de rigiditate minimǎ, definit prin evaluarea zvelteţei maxime faţǎ de axele principale de inerţie ale secţiunii, respectiv:

( )( )effzymax I,max λλ=λ • la calculul efortului în ramura secţiunii compuse, la mijlocul lungimii barei, normativul

EC 3 ia în considerare o imperfecţiune geometricǎ a barei prin considerarea unei săgeţi iniţiale 500/le0 = ; • la calculul capacităţii portante a barei, normativul EC 3 ia în considerare aria efectivǎ a

secţiunii Aeff pentru secţiuni Casa 4.

5.3. Bare compuse din elemente puţin depărtate În cazul barelor comprimate compuse ale căror ramuri sunt în contact sau sunt puţin depărtate şi legate prin fururi, figura 5.5, sau ale căror ramuri sunt corniere dispuse în cruce şi legate prin perechi de plăcuţe, dispuse de asemenea în cruce, figura 5.6, trebuie efectuată verificarea la flambaj ca pentru o bară cu secţiune unitară, neglijând efectul rigidităţii la forfecare (Sv = ∞ ), cu condiţia respectării distanţei maxime dintre plăcuţe, conform tabelului 5.2.

Fig. 5.5

Fig. 5.6

Tabelul 5.2

Tip de bară compusă Distanţa maximă între elementele de legătură *)

Ramuri legate cu şuruburi sau cordoane de sudură 15 imin Ramuri legate prin perechi de plăcuţe 70 imin *) - distanţa între centrele plăcuţelor de solidarizare Imin - raza de giraţie minimă a unei ramuri sau cornier

În cazul cornierelor cu aripi inegale, figura 5.7, flambajul după axa y-y poate fi verificat considerând:

15.1i

i 0y =

unde i0 este raza de giraţie a barei comprimate.

Fig. 5.7

80

5.4. Exemplu de calcul

Se verifică diagonala comprimată a unei grinzi cu zăbrele, solicitată la un efort axial N=1400 kN, elementul fiind realizat din oţel S 235. În figura E.1 sunt prezentate datele principale referitoare la alcătuirea barei comprimate, pentru cele două variante de solidarizare.

Fig. E.1

Date preliminare:

41y cm60.9005I = cm 25.12iy = 4

1z cm 25.706I = cm 43.3i 1z =

2ch cm 60A = cm 28.46y =λ m 67.5l9.0l yf =⋅= m 30.6ll zf ==

Verificarea stabilităţii barei comprimate

81

Încadrarea secţiunii transversale în clasa secţiunii

- tǎlpi ε⋅<== 966.65.1

10tb =>Clasa 1

⇒ secţiune Clasa 1

- inimǎ ε⋅<== 335.281

5.28tdw

=> Clasa 1

Rezultǎ: AAeff = şi 1A/AeffA ==β

Verificarea la flambaj faţǎ de axa materialǎ

Rezistenţa de calcul (forţa capabilǎ) la flambaj a barei comprimate cu secţiune alcătuită, prin solidarizarea ramurilor cu plăcuţe sau cu zăbreluţe, faţǎ de axa materialǎ y-y, este datǎ de relaţia:

EdM

yAyyy

R.b NdaN3452151.1

12350120184.01fAN1

d>=⋅⋅⋅=

γ⋅⋅β⋅χ=−

unde: 84.0y =χ (curba „c”) - coeficientul de reducere, funcţie de coeficientul de zvelteţe redus yλ :

49.019.9328.46

A1

yy ==β

λ

λ=λ ; ε⋅=π=λ 9.93

fE

y1 =93.9

Verificarea la flambaj faţǎ de axa imaterialǎ A. Solidarizare cu plăcuţe:

Verificarea la flambaj în plan paralel cu planul plăcuţelor se face asemănător cu verificarea faţǎ de axa materialǎ, înlocuind coeficientul de reducere yχ cu zχ , calculat după cum urmează:

χz = f ( A1

zz β

λλ

=λ )

yz

z 95.3605.17

630iL

λ<===λ ⇒ flambajul se produce faţă de axa materială

0ch

effz icm05.17

60234879

A2I

i ==⋅

==

Momentul de inerţie efectiv faţǎ de axa imaterialǎ:

42

chch20eff cm8793425.70612604.335.0I2Ah5,0I =⋅⋅+⋅⋅=⋅μ+⋅⋅=

unde: 75pentru1 ≤λ=μ ; 95.36iL0

==λ ; cm05.17A2I

ich

10 == ;

4chch

201 cm87934I2Ah5.0I =⋅+⋅⋅= , ( valoarea Ieff pentru μ=1).

Verificarea unei ramuri (componente) la jumătatea lungimii barei

Forţa de compresiune într-o ramurǎ a secţiunii (component principal), la mijlocul lungimii barei, se calculează cu relaţia:

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

82

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅+=

eff

ch0EdEdEd.ch I

AhMN5.0N

sau: daN63375879342

604.330811960001405.0I2

AhMN5.0N

eff

ch0EdEdEd.ch =

⋅⋅⋅

+⋅=+⋅=

în care: cmdaN081196

1097.5000140

1082.10001401

26.1000140

SN

NN

1

MeNM

66v

Ed

cr

Ed

1Ed0Ed

Ed ⋅=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

⋅−

⋅−

⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

+⋅= ;

daN1082.1630

34879101.2LEI

N 62

62

2eff

2

cr ⋅=⋅⋅π

=π

= ;

cm26.1500630

500Le0 ===

- MEd – momentul încovoietor de calcul la mijlocul elementului considerând efectele de ordinul II; - 1

EdM = 0 – momentul încovoietor maxim de ordinul I, la mijlocul elementului; - Sv – rigiditatea la forfecare a unui panou rigidizat cu plăcuţe sau cu zăbreluţe.

În cazul solidarizării cu plăcuţe, rigiditatea la forfecare a unui panou se calculează cu relaţia:

daN1008.6

704.33

1728225.7062170

25.706101.224

ah

InI21a

IE24S 6

2

6

0

b

ch2

chv ⋅=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

⋅⋅

+

⋅⋅⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

⋅⋅

+

⋅⋅=

Se verifică condiţia: daN1097.570

25.706101.22a

IE2S 6

2

62

2ch

2

v ⋅=⋅⋅π

=⋅π

≤

Condiţia nefiind îndeplinită se va lua: daN1097.5S 6v ⋅=

- lungimea de flambaj a unei ramuri (componente) în planul plăcuţelor este egalǎ cu distanţa între axele plăcuţelor, a, respectiv: lfz.1=a;

- Ib – momentul de inerţie a unei plăcuţe. Efortul capabil al unei ramuri se va calcula în funcţie de coeficientul de reducere χz1:

χz1 = f 96.022.019.9341.20

A1

1z1z =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==β

λλ

=λ

în care: 41.2043.3

70ia

il

1z1z

f1z

1z ====λ ; λ1=93,9·ε ; cm43.3AI

ich

ch1z == .

Rezultă:

daN63375NdaN0551231.1

1235060196.01fAN Ed.ch1M

ychA1zRdbf =>=⋅⋅⋅=γ

⋅⋅⋅β⋅χ=⋅

Verificarea elementelor de rigidizare Plăcuţele şi îmbinările acestora de componentele principale trebuie verificate pentru

momentele încovoietoare şi forţele tăietoare din panoul de capăt, în care forţa tăietoare interioară

VEd, se va lua: daN978630

234196LM

V EdEd =

⋅π=

⋅π= .

83

Pentru această verificare, forţa axială în fiecare ramură se poate lua 0,5⋅NEd.

Rezultă forţa tăietoare din plăcuţă: daN0251haV

21V

0Edb ==

B. Solidarizare cu zăbreluţe: Verificarea la flambaj în plan paralel cu planul zăbreluţelor se face asemănător cu verificarea faţǎ de axa materialǎ, înlocuind coeficientul de reducere yχ cu zχ :

χz = χz ( A1

zz β

λλ

=λ ); 28.467.377.16

630iL

yz

z =λ<===λ (flambaj faţă de axa materială)

unde: cm7.1660246733

A2I

ich

effz =

⋅== .

Momentul de inerţie efectiv al secţiunii compuse solidarizată cu zăbreluţe, având două componente principale (ramuri), se va lua: 42

ch20eff cm46733604.335.0Ah5.0I =⋅⋅=⋅⋅=

Verificarea unei ramuri (componente) la jumătatea lungimii barei

Forţa de compresiune într-o ramurǎ a secţiunii (component principal), la mijlocul lungimii barei, se calculează cu relaţia:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅+=

eff

ch0EdEdEd.ch I

AhMN5.0N , sau: eff

ch0EdEdEd.ch I2

AhMN5.0N⋅

⋅⋅+⋅=

Pentru secţiuni solidarizate cu zăbreluţe relaţia de sus devine:

daN055123NdaN876754.33

2641960001405.0h

MN5.0N Rd.bf

0

EdEdEd.ch =<=+⋅=+⋅=

în care: cmdaN264196

1060.6000140

1075.10001401

26.1000140

SN

NN

1

MeNM

66v

Ed

cr

Ed

1Ed0Ed

Ed ⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅−

⋅−

⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

+⋅=

unde: daN1075.1630

46733101.2LEI

N 62

62

2eff

2

cr ⋅=⋅⋅π

=π

= ; cm26.1500Le0 ==

- MEd – momentul încovoietor de calcul la mijlocul elementului considerând efectele de ordinul II; - 0M1

Ed = – momentul încovoietor maxim de ordinul I, la mijlocul elementului; - Sv – rigiditatea la forfecare a unui panou rigidizat cu plăcuţe sau cu zăbreluţe.

Valoarea rigidităţii la forfecare a panourilor solidarizate cu zăbreluţe, Sv, pentru acest caz este:

daN1060.66.77

4.33704.9101.22d

haAEnS 6

3

26

3

20d

V ⋅=⋅⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅⋅

=

Verificarea elementelor de rigidizare

Forţele în zăbreluţele adiacente capetelor barei se obţin din forţa tăietoare interioară VEd.

Efortul maxim de compresiune în zăbreluţe va fi:

daN1025cosV

n1

hdV

n1N Ed

0

Edd =

ϕ=

⋅= ; n = 2 - numărul planurilor de zăbrelire.

84

6. STABILITATEA PLĂCILOR PLANE

6.1. Voalarea plăcilor dreptunghiulare uniform comprimate după o direcţie

Majoritatea elementelor componente ale barelor metalice sunt alcătuite din table subţiri, care sub acţiunea tensiunilor σ şi τ îşi pot pierde stabilitatea locală. Fenomenul de pierdere locală a stabilităţii tablelor subţiri sub acţiunea eforturilor care acţionează în planul lor median, este cunoscut sub denumirea de voalare. Modificarea prin voalare a formei tablelor are influenţă asupra rezistenţei şi stabilităţii întregului element din care acestea fac parte. Voalarea plăcilor plane se manifestă prin deplasări datorate trecerii dintr-o formă plană de echilibru în una spaţială de echilibru, figura 6.1.

Fig. 6.1. Voalarea tablelor din alcătuirea barelor comprimate O tablă subţire cu raport mare între lungimea l şi lăţimea h (fig. 6.1), supusă acţiunilor

tensiunilor de compresiune zσ în lungul laturii lungi, îşi poate pierde stabilitatea locală prin deplasări de forma unor unde caracterizate prin zone nodale care nu se deformează. Distanţa între două zone nodale învecinate este denumită semiundă de voalare. Fenomenul de voalare poate avea loc fie în domeniul elastic, fie în domeniul elasto-plastic. Deformaţiile elastice din cauza voalării sunt reversibile (se anulează odată cu încetarea acţiunii tensiunilor), iar dacă fenomenul se dezvoltă peste limita de proporţionalitate, o parte din aceste deformaţii se menţin ca deformaţii remanente.

6.2. Rezistenţa critică de voalare Relaţiile de calcul se stabilesc în ipoteza că fenomenul se produce în domeniul elastic (oţelul fiind considerat un material omogen şi izotrop), relaţii care pot fi considerate satisfăcătoare,

85

deoarece prin dimensionarea elementelor li se asigură comportarea în domeniul elastic (metoda rezistenţelor admisibile). Calculul se efectuează pornind de la ecuaţia diferenţială fundamentală a suprafeţei mediane deformate a plăcii voalate, având săgeţi u mici în raport cu grosimea g, fig. 6.2.

2

2

z

2

yz2

2

y4

4

22

4

4

4

zuN

zyuN2

yuN

zu

zyu2

yuD

∂

∂+

∂∂∂

+∂

∂=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂∂

∂+

∂

∂ (6.1)

unde:

( )2

3

112EgD

μ−= - rigiditatea cilindrică la

încovoiere a unei fâşii de tablă cu lăţime unitară; gN yy ⋅σ= gN zz ⋅σ= gN yzyz ⋅τ= Fig. 6.2. Tensiuni de membrană

în plăci plane

Luând în considerare efortul de membrană 0z <σ , iar 0zyyzy =τ=τ=σ , ecuaţia

diferenţială (6.1) devine:

0z

uNz

uzyu2

yuD 2

2

z4

4

22

4

4

4=

∂

∂+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂∂

∂+

∂

∂ (6.2.a)

sau în formă restrânsă:

( ) 0z

uNy,zuD 2

2

z2 =

∂

∂+Δ⋅ (6.2.b)

Pentru cr.zz σ=σ pe lângă forma nedeformată de echilibru, există şi o formă deformată de echilibru instabil. Dacă se consideră condiţiile de simplă rezemare pe contur a plăcii, de-a lungul laturilor y = 0 şi y = b, figura 6.3. soluţia ecuaţiei diferenţiale (6.2) a plăcii deformate este:

( )b

ynsina

zmsinuy,zu m⋅π

⋅⋅π

⋅= (6.3)

unde: mu - săgeata maximă a unei semiunde;

m - numărul de semiunde pe direcţia z; n - numărul de semiunde pe direcţia y.

Fig. 6.3. Voalarea plăcilor uniform comprimate

86

Înlocuind soluţia (6.3) în ecuaţia diferenţială omogenă (6.2), după simplificările corespunzătoare, se obţine:

2

2

2

2

2

2

22

cr.zbn

am

maDN ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+π= ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

cmdaN , unde m,n=1,2... (6.4)

Deoarece interesează valoarea minimă cr.zN , în relaţia (6.4) se introduce n=1 (pentru că intervine numai la numărător), iar valoarea lui m se obţine din condiţia de minim pentru cr.zN . Introducând variabila continuă m în locul variabilei discrete m, din condiţia:

0md

dNz = rezultă: bam =

Dacă raportul a/b reprezintă un număr întreg rezultă: α== mm iar dacă α este un număr fracţionar, variabila α=m trebuie interpretată ca: 1mmm +<α=< (6.5) unde m şi m+1 reprezintă cele două numere întregi consecutive între care se găseşte α, iar cr.zN

este cea mai mică valoare dintre mcr.zN şi 1m

cr.zN + :

[ ]1mcr.z

mcr.zcr.z N;NminN += (6.6)

Din punct de vedere practic rezultă două situaţii:

• Situaţia 1ba

<=α (plăci scurte)

În acest caz din relaţia (6.5) rezultă m=0 şi m+1=1. Se introduce în relaţia (6.4) m=n=1 şi se obţine:

( )222

22

2

2

2

2

cr.z 1a

Dba1

aDN α+

π=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

π= (6.7.a)

Dacă 0ba 2 ≅α→<< şi se obţine:

2

2

cr.za

DN π= (6.7.b)

• Situaţia 1ba

>=α (plăci lungi)

În acest caz în relaţia (6.4) se consideră n=1 şi m oarecare şi rezultă:

2

22

2

2

cr.zb

Dkba

m1

abm

bDN π

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

π= σ (6.8)

unde:

22

mm

ba

m1

abmk ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ α

+α

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=σ (6.9)

Pentru ==αba număr întreg, din relaţia (6.9) rezultă α=m şi k=4, indiferent de valoarea

1≥α .

Pentru ==αba număr fracţionar k are valori foarte puţin mai mari decât 4, cea mai mare

valoare k=4.5 se obţine pentru 2=α . Punctele de intersecţie a două curbe corespunzătoare lui m şi m+1 se găsesc pentru

( )1mm +=α , figura 6.4.

87

Fig. 6.4. Diagrama α−σk

Pentru calculul practic se poate lua k=4 şi rezultă:

2

2

cr.zb

D4N π= (6.10.a)

respectiv: 2

2

cr.zbg

D4⋅

⋅π=σ (6.10.b)

Din cele arătate rezultă că pentru α<1 (plăci scurte) placa voalează cu câte o semiundă atât pe direcţia comprimată, cât şi perpendicular pe această direcţie (m=n=1). În cazul plăcilor lungi, tensiunea critică, crσ , nu depinde de lungimea plăcii, ci numai de lăţimea acesteia. Placa voalează cu o semiundă perpendiculară pe direcţia compresiunii şi cu m semiunde în direcţia compresiunii, realizându-se o serie de linii nodale (cu deplasări u=0), astfel încât se obţin bombări pe un contur pătrat de latură b, atunci când α este un număr întreg şi apropiate de un pătrat pentru α număr fracţionar. 6.3. Recomandări de proiectare Din cele arătate anterior, se constată că pentru plăci comprimate în lung, stabilitatea la voalare este mai mare la plăcile lungi decât la plăcile scurte. Apare deci avantajoasă rigidizarea plăcilor cu nervuri dispuse paralel cu efortul de compresiune, acest caz conferind plăcii o rezistenţă critică la voalare de trei ori mai mare decât în cazul rigidizării cu nervuri normale pe direcţia de solicitare, figura 6.5.

Dacă se notează raportul gbs = , denumit supleţea tablei, tensiunea critică se poate scrie

sub forma:

σ⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==σ k

s100190

gN 2

cr.zcr (6.11)

unde: 2

mmk ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ α

+α

=σ .

88

Fig. 6.5. Rigidizarea barelor comprimate

În tabelul 6.1 se dau valorile minime ale lui σk , respectiv ( )mink σ pentru alte condiţii de rezemare, decât simpla rezemare pe contur a plăcii.

Tabelul 6.1

Caz ( )minkσ Caz ( )minkσ

3.08

7.00

5.41

1.28

5.41

0.425

Barele cu pereţi subţiri trebuie astfel proiectate la compresiune centrică, încât să fie

prevenite fenomenele de voalare a tablelor înainte ca ele să cedeze prin flambaj general. Evitarea voalării poate fi asigurată prin limitarea supleţei s a pereţilor.

89

În ipoteza unui material liniar elastic-ideal plastic, la barele la care nu apare fenomenul de flambaj, condiţia de a nu se produce voalarea tablelor înaintea plastifierii secţiunii acestora, este

ycr.z f≤σ . Rezultă supleţea limită a tablelor care compun secţiunea barei comprimate centric:

( )

y

4min

lim f10190k

s⋅⋅

= σ (6.12)

Astfel, pentru o bară comprimată centric, cu secţiune dublu T, figura 6.6, realizată din oţel S235 ( 2350fy = 2cmdaN ) supleţile limită a elementelor componente vor fi următoarele:

• tălpi:

18tcsf

lim ≅= pentru ( ) 425.0k min =σ

• inimă:

50th

sw

wlim == pentru ( ) 08.3k min =σ

Fig. 6.6. Bară dublu T comprimată

Datorită imperfecţiunilor geometrice şi structurale (deformaţii iniţiale şi tensiuni remanente), valorile rezistenţelor critice şi ale coeficienţilor σk sunt mai mici decât cele de calcul, ca urmare şi supleţea limită lims dată de norme, este mai mică. Deoarece nivelul de solicitare efectivă al barelor comprimate, AN=σ , scade pe măsură ce zvelteţea barelor creşte, supleţea tablelor componente trebuie luată diferenţiat funcţie de zvelteţea λ a barelor.

În paragraful referitor la platelajele metalice ortotrope sunt prezentate o serie de relaţii pentru dimensiunile tablelor care intră în alcătuirea acestor platelaje, prin care se limitează supleţea tablelor la anumite valori.

Astfel de relaţii sunt date în literatura tehnică şi în normative, pentru tablele care intră în alcătuirea diferitelor elemente, proiectate pentru anumite tipuri de solicitări (încovoiere, răsucire, încovoiere şi compresiune şi alte tipuri de solicitări compuse).

În cazul în care tablele sunt solidarizate cu rigidizări – longitudinale, transversale sau longitudinale şi transversale, supleţea tablelor poate fi mult mai mare comparativ cu cea a tablelor nerigidizate.

Potrivit concepţiei de calcul a lui Bleich, valorile maxime ale supleţelor tablelor pentru barele solicitate la compresiune centrică sunt cele date în tabelul 6.2.

Podul Milford Haven: Eveniment catastrofal cauzat de pierderea stabilităţii diafragmei de reazem (1970).

90

Tabelul 6.2

Valorile limită ale supleţei s=b/t a tablelor din alcătuirea barelor comprimate

Caz λ s=b/t λ s=b/t

A ≤45 ≤ λ⋅6.0 B ≤ 25.75.52 θ⋅− ≤ ( )λθ⋅− 21.07.0

C ≤ 21560 θ⋅− ≤ ( )λθ⋅− 22.08.0

D 22

ab155.105.25 θ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−≤ λ

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

θ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−≤ 2

2

ab2.014.034.0

E

≤75

≤1

2cc3015 +

>75

≤ λ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

1

2cc4.02.0

Notă: în cazul D: a = distanţa între eventualele rigidizări transversale;bgct

⋅⋅

=θ

6.4. Stabilitatea plăcilor plane conform EC 3-1-5 Plăci rigidizate longitudinal În cazul plăcilor prevăzute cu rigidizări longitudinale se va evalua:

- aria efectivă a subpanourilor în vederea verificării la flambaj local; - aria efectivă a întregii plăci rigidizate în vederea verificării la flambaj general. Aria efectivă a fiecărui subpanou se determină cu ajutorul coeficientului de reducere care ia

în considerare voalarea plăcilor plane, iar placa cu rigidizări se verifică la flambaj general prin modelarea acesteia cu o placă ortotropă echivalentă şi se va evalua un coeficient de reducere ρ pentru flambajul general al plăcii.

Aria efectivă a zonei comprimate pentru placa rigidizată (fig. 6.7) se determină cu relaţia: ∑+ρ= tbAA eff.edgeloc.eff.cceff.c (6.13)

unde aria efectivă a rigidizărilor şi subpanourilor - loc.eff.cA , se calculează cu relaţia: ∑ρ+=

cloc.cloceff.slloc.eff.c tbAA (6.14)

91

unde: - ∑

c – se aplică componentelor plăcii rigidizate, cu excepţia părţilor eff.edgeb ;

- Asl.eff – suma ariilor efective a rigidizărilor longitudinale; - bc.loc – lăţimea plăcii fiecărui subpanou;

- locρ – factorul de reducere pentru fiecare subpanou.

Fig. 6.7

Pentru determinarea factorului de reducere cρ , referitor la pierderea stabilităţii generale

(flambaj general) a plăcii rigidizate longitudinal, se are în vedere un factor de reducere care este mai mare decât factorul de reducere pentru voalarea plăcilor.

Factorul de reducere cρ , se va determina prin interpolare între factorul de reducere ρ , pentru voalarea plăcilor şi factorul de reducere cχ , referitor la flambajul stâlpului.

Dacă efectul „shear lag” este relevant, aria efectivă eff.cA a zonei comprimate se va înlocui

cu *eff.cA , prin care se ţine seama, pe lângă voalare, şi de acest efect. Comportarea tip placă Zvelteţea relativă a plăcii, pλ , pentru placa echivalentă se determină cu relaţia:

p.cr

yc.Ap

fσ

β=λ (6.15)

unde: - c

loc.eff.cc.A A

A=β (figura 6.7)

- Ac – aria brută a zonei comprimate a plăcii rigidizate, cu excepţia subpanourilor marginale.

Tensiunea elastică critică de voalare a plăcii ortotrope echivalente - p.crσ , se determină cu relaţia:

Ep.p.cr k σ⋅=σ σ (6.16) unde:

- [ ]MPabt000190

b)1(12Et 2

22

22

E ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

μ−

π=σ

- −σ p.k coeficientul de voalare a plăcii ortotrope; - b (sau hw în cazul inimilor), conform fig. 6.8; - t – grosimea plăcii.

92

Plăci rigidizate cu cel puţin trei rigidizări longitudinale Pentru plăci rigidizate cu cel puţin trei rigidizări longitudinale, egal distanţate, coeficientul de

voalare globală se poate aproxima cu relaţiile:

( )( ) ( )

( )( ) ( )⎪

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

γ>α−δ++ψ

γ+

γ≤α−δ++ψα

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −γ+α+

=σ

4

42

22

p.

:pentru11

14

:pentru11

112

k (6.17)

unde:

5.01

2 ≥σσ

=ψ ; p

slII

=γ ; p

sl

AA∑=δ ; 5.0

ba

≥=α

în care (figura 6.8 şi tabelul 6.3):

slI - momentul de inerţie al întregii plăci rigidizate;

( ) 92.10bt

112btI

3

2

3

p =μ−

= - momentul de inerţie al plăcii;

∑ slA - suma ariilor brute a rigidizărilor longitudinale; Ap=b t - aria brută a plăcii;

1σ - tensiunea maximă la marginea plăcii;

2σ - tensiunea minimă la marginea plăcii. Tabelul 6.3

Lăţimea pentru aria brută

Lăţimea pentru aria eficace

Condiţia Pentru iΨ

inf.1b 11

1 b53

ψ−ψ−

eff,11

1 b53

ψ−ψ−

0p,cr

1,sl,cr1 >

σ

σ=ψ

sup.2b 22

b5

2ψ−

eff,22

b5

2ψ−

01,sl,cr

22 >

σσ

=ψ

inf.2b 22

2 b53

ψ−ψ−

eff,22

2 b53

ψ−ψ−

02 >ψ

sup.3b c.3b4.0 eff.3.cb4.0 02

33 <

σσ

=ψ

În funcţie de coeficientul de zvelteţe pλ , rezultă coeficientul de reducere ρ pentru placa

ortotropă echivalentă:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥ψ+>λ−≤λ

Ψ+−λ

≤λ−

=ρ0)3(unde,673.0pentru1

)3(055,0673.0pentru1

p2p

p

p

(6.18)

93

Fig. 6.8

Plăci rigidizate cu o rigidizare în zona comprimată În cazul plăcilor rigidizate cu o singură rigidizare longitudinală în zona comprimată, procedeul de calcul al tensiunii critice poate fi simplificat, considerând o bară fictivă pe mediu elastic pentru a lua în considerare efectul plăcii în direcţie perpendiculară pe bară. Efortul unitar critic de flambaj al rigidizării se determină cu relaţia:

( )⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

<−υ−π

+π

≥−=σ

c22

211.sl

22

23

21.sl

1.sl2

c21

31.sl

1.slsl.cr

aa:pentrubbA14

abtEaA

IE

aa:pentrubb

btIA

E05.1

(6.19.a)

Se obţine:

1.s.cr1.s

c

1

c1.p.cr b

bbb

σ==σ (6.19.b)

unde:

- 43

22

211.sl

cbt

bbI33.4a =

94

- Asl.1; Isl.1 – calculate cu o arie brută, considerând o conlucrare cu plăcile adiacente rigidizării (fig. 6.9), după cum urmează:

Dacă panoul este comprimat în întregime, zonele de conlucrare se vor lua (fig. 6.9.a):

22

11

1 b5

2respectiv,b53

ψ−ψ−ψ− - spre zona cu tensiune maximă

Dacă efortul îşi schimbă semnul în panoul secundar (subpanou), se consideră o zonă egală cu 0.4 din lăţimea bc a porţiunii comprimate a panoului secundar (fig.6.9.b).

Fig. 6.9

Plăci rigidizate cu două rigidizări în zona comprimată În cazul plăcilor prevăzute cu două rigidizări longitudinale se aplică procedeul utilizat pentru placa cu o singură rigidizare longitudinală, considerând următoarele cazuri:

- flambajul pe rând a fiecărei rigidizări, în timp ce cealaltă rigidizare funcţionează ca un reazem rigid;

- flambajul simultan al celor două rigidizări prin considerarea unei rigidizări înlocuitoare a celor două, conform figurii 6.10.

Pentru fiecare situaţie se calculează p.crσ , considerând:

*2

*1

*

*22

*11

bbBb

bb;bb

+==

==

Fig. 6.10

Poziţia rigidizării înlocuitoare se stabileşte conform procedurii prezentate grafic în figura 6.11 (a se vedea şi lucrarea [11]).

95

Fig. 6.11 Efortul unitar critic de placă va fi: );;.(min inloc.p.cr2.p.cr1.p.crp.cr σσσ=σ (6.19.c) Comportarea tip stâlp Efortul unitar critic elastic de flambaj de tip stâlp se va lua:

( )

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−π

=σ

−υ−

π=σ

=σ

rigidizateplaciaA

IE

tenerigidizaplacia112

tE

21.sl

1.sl2

sl.cr

22

22

c.cr

c.cr (6.20.a)

Efortul critic sl.crσ se va calcula pentru rigidizarea cea mai apropiată de margine cu efort

maxim de compresiune. Pentru plăci rigidizate, efortul critic din dreptul rigidizării se va extrapola la marginea plăcii

(similar efortului critic de placă), cu relaţia:

1.s.cr1.s

c

1

c1.c.cr b

bbb

σ==σ (pentru rigidizarea 1) (6.20.b)

Zvelteţea relativă a stâlpului se evaluează cu relaţia:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−σ

β

−σ

=λ

rigidizateplacif

tenerigidizaplacif

c.cr

yc.A

c.cr

y

c (6.21)

Pentru rigidizarea 1: 1.sl

eff.1.slc.A A

A=β ; 1.c.crc.cr σ=σ .

Factorul de reducere cχ se obţine conform flambajului barei drepte comprimate centric,

considerând un factor de imperfecţiune α astfel:

96

⎪⎩

⎪⎨⎧

−+α=α

−=α

rigidizateplacie/i09.0

tenerigidizaplaci21.0

'c

(6.22)

unde: - )e;e(maxe 21= - conform fig. 6.8;

- ⎩⎨⎧

−−

=α)ccurba(deschiserigidizari49.0

)bcurba(inchiserigidizari34.0' ;

- 1.sl

1.slAIi = (pentru rigidizarea 1).

Interacţiunea între flambajul tip placă şi flambajul tip stâlp Factorul global de reducere cρ se va obţine prin interpolare între cχ şi ρ cu ajutorul relaţiei: ( ) ( ) ccc 2 χ+ξ−ξχ−ρ=ρ (6.23)

unde: 10;1c.cr

p.cr ≤ξ≤−σ

σ=ξ

6.5. Exemple numerice E.1.Exemplu numeric 1 Să se evalueze capacitatea portantă la compresiune axială a unei plăci metalice realizată în trei variante constructive (cu subvariante privind numărul de rigidizări):

• placă simplu rezemată pe contur, fără rigidizări; • placă prevăzută cu rigidizări transversale; • placă prevăzută cu rigidizări transversale şi/sau o rigidizare longitudinală.

Se cunosc următoarele date de proiectare:

- dimensiunile plăcii: axbxg=2400x600x8 mm, figura E1.1;

Fig. E1.1

- oţel S275 ( )MPa275mm/N275f 2y == ;

- rigidizările au o rigiditate suficientă pentru a constitui linii nodale. I. Analize numerice 1. Cazul 1: Placa comprimată centric, fără rigidizări (fig. E1.1) Efortul unitar critic, forţa critică teoretică

97

4kZ46002400

ba

=⇒∈===α σ

)MPa(mm/N83.134

8600)3.01(12

0002104

gb)1(12

Ekbg

Dk 22

2

2

22

2

2

2

cr =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⋅π=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛μ−

⋅π=

⋅

⋅π=σ σσ

kN2.64710860083.134)gb(N 3crcr =⋅⋅⋅=⋅⋅σ= −

Prin urmare, conform teoriei clasice de pierdere a stabilităţii plăcilor plane, capacitatea portantă a plăcii comprimate este foarte mare, kN2.647Ncr = , când se atinge aşa numitul „punct de bifurcare a echilibrului”. În realitate datorită prezenţei imperfecţiunilor iniţiale şi a tensiunilor reziduale (ex. tensiunile din laminare), forţa critică reală de pierdere a stabilităţii este mai redusă. Observaţie: Pentru plăci lungi ( )1b/a ≥=α , forţa critică de pierdere a stabilităţii pe unitatea de lăţime, se poate determina de asemenea cu relaţia:

2

2cr.z

bDkN π

= σ [F/L], unde: 2

mmk ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ α

+α

=σ

( ) mmN10846.9cmdaN10846.992.10

8.0101.2112EgD 64

36

2

3⋅⋅=⋅⋅=

⋅⋅=

μ−=

2cr.zcr2

62cr.z mm/N8.134

864.1078

gN

;mm/N64.1078600

10846.94N ===σ=⋅⋅π

=

kN2.6471060064.1078bNN 3cr.zcr =⋅⋅=⋅= −

Forţa capabilă (capacitatea portantă) a plăcii Conform EC3-1.1 şi EC3-1.5, avem:

673.043.183.134

275k4,28

g/bf

cr

yp >==

⋅ε⋅=

σ=λ

σ

−

59.043.1

22.043.122,0)3(055,022

p

p2p

p =−

=λ

−λ=

λ

Ψ+−λ=ρ ; mm35460059.0bbeff =⋅=⋅ρ= .

Rezultă capacitatea portantă a plăcii comprimate:

kN8.778100.1

2758354fAN 3

0M

yeffRd.c =

⋅⋅=

γ

⋅= −

Se observă capacitatea portantă sporită a plăcii faţă de valoarea forţei teoretice critice, rezultată din efectul comportării postcritice. În figura E1.2 se prezintă placa comprimată atunci când eforturile unitare ating valoarea critică crσ şi placa trece din poziţia plană de echilibru în poziţia deformată.

98

Fig. E1.2

2. Cazul 2: Placa comprimată centric cu rigidizări transversale Placa cu 3 rigidizări transversale, fig. E1.3

Fig. E1.3

În cazul în care se dispun trei rigidizări transversale echidistante rezultă un raport între laturile unui panou a*/b=1, astfel că efortul unitar critic rămâne acelaşi ca în cazul plăcii nerigidizate (k=4). Forma deformată a plăcii este de asemenea identică cu cea a plăcii nerigidizate. Prin urmare în cazul plăcii rigidizate cu 3 rigidizări rezultă (ca şi în cazul 1): kN8.778N;kN2.647N;mm/N83.134 Rd.ccr

2cr ===σ

Placa cu 2 rigidizări transversale, fig. E1.4 În acest caz raportul laturilor unui panou este:

⇒<===α 233.1600800

b3/a* pe distanţa dintre două rigidizări transversale

consecutive se produce o singură semiundă de voalare, figura E1.4. Se obţin următoarele valori numerice:

34.434

43

mmk

22

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ α

+α

=σ

2cr.zcr2

62

cr.z mm/N3.1468

3.1170g

N;mm/N3.1170

60010846.934.4N ===σ=

⋅⋅π=

kN2.702106003.1170bNN 3cr.zcr =⋅⋅=⋅= − .

99

Fig. E1.4

Forţa capabilă (capacitatea portantă) a plăcii

673.037.13.146

275f

cr

yp >==

σ=λ

−; 61.0

37.122.037.122,0

22p

p =−

=λ

−λ=ρ

mm36660061.0bbeff =⋅=⋅ρ= Rezultă capacitatea portantă a plăcii comprimate:

kN2.805100.1

2758366fAN 3

0M

yeffRd.c =

⋅⋅=

γ

⋅= −

Prin urmare capacitatea portantă a plăcii rigidizată cu 2 rigidizări transversale este mai ridicată decât în cazul plăcii rigidizate cu 3 rigidizări transversale. Placa cu rigidizări transversale dese Se analizează cazul în care sunt prevăzute 7 rigidizări transversale. În acest caz raportul laturilor unui panou este:

⇒===α 5.0600300

b8/a* panoul este de tip placă scurtă, numărul semiundelor de voalare

va fi m=8, figura E1.5.

Fig. E1.5 Se obţin următoarele valori numerice:

25.684

48

mmk

22

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ α

+α

=σ

100

2cr.zcr2

62

cr.z mm/N7.2108

4.1685g

N;mm/N4.1685

60010846.925.6N ===σ=

⋅⋅π=

kN2.1011106004.1685bNN 3cr.zcr =⋅⋅=⋅= − .

Forţa capabilă (capacitatea portantă) a plăcii

673.014.17.210

275f

cr

yp >==

σ=λ

−; 71.0

14.122.014.122,0

22p

p =−

=λ

−λ=ρ

mm42660071.0bbeff =⋅=⋅ρ= Rezultă capacitatea portantă a plăcii comprimate:

kN2.937100.1

2758426fAN 3

0M

yeffRd.c =

⋅⋅=

γ

⋅= −

Aşa cum era de aşteptat, capacitatea portantă a plăcii rigidizată cu rigidizări transversale dese este mai ridicată decât în cazul plăcii rigidizate cu 2 sau 3 rigidizări transversale. 3. Cazul 3: Placa comprimată centric cu rigidizări transversale şi o rigidizare longitudinală centrală (fig. E1.6)

Fig. E1.6

În acest caz rezultă:

4kZ2300600

2/ba*

* =⇒∈===α σ

)MPa(mm/N3.539

8300)3.01(12

0002104

g2/b)1(12

Ek)2/b(g

Dk 22

2

2

22

2

2

2

cr =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⋅π=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛μ−

⋅π=

⋅

⋅π=σ σσ

Deoarece ycr f>σ , rezultă că se va produce intrarea în curgere a materialului înainte de voalarea plăcii.

673.071.03.539

275f

cr

yp >==

σ=λ

−; 97.0

71.022.071.022,0

22p

p =−

=λ

−λ=ρ

mm29130097.0)2/b(beff =⋅=⋅ρ= Capacitatea portantă pentru întreaga placă va fi:

kN4.1280100.1

27582912fAN 3

0M

yeffRd.c =

⋅⋅⋅=

γ

⋅= −

101

Observaţie: Aceiaşi rezistenţă la compresiune a plăcii se obţine şi în cazul în care nu se dispun rigidizări transversale. II. Centralizarea rezultatelor. Comentarii În tabelul E1.1 sunt prezentate sintetic rezultatele obţinute privind capacitatea portantă (rezistenţa) la compresiune axială a plăcii dreptunghiulare simplu rezemate pe contur, în varianta nerigidizată, comparativ cu variante în care sunt prevăzute rigidizări transversale şi/sau o rigidizare longitudinală centrală. În urma analizei efectuate se pot formula următoarele concluzii:

• eficienţa rigidizărilor transversale este în general redusă sau nulă în cazul în care acestea subîmpart placa în panouri cu raport între laturi care rezultă un număr întreg;

• rigidizările transversale dese nu sunt o soluţie constructivă eficientă deoarece sporul de rezistentă obţinut este anulat sau chiar depăşit de costul suplimentar al rigidizărilor;

• rigidizările longitudinale sporesc semnificativ capacitatea portantă a plăcii comprimate, nefiind în general justificată şi prevederea unor rigidizări transversale;

• rigidizarea longitudinală continuă poate fi luată în considerare la evaluarea capacităţii portante a plăcii, sporind valoarea acesteia.

Tabelul E1.1

TIP SCHEMA PLACĂ ]kN[N Rd.c .nerigRd.c

Rd.c

NN

1

778.8 1

2

778.8 1

3

805.2 1.03

4

937.2 1.20

5

1280.4 1.64

6

1280.4 1.64

102

E.2. Exemplu numeric 2 Să se evalueze rezistenţa de calcul la compresiune axială a barei cu secţiunea uniformă din figura E2.1, ţinând cont de pierderea stabilităţii generale a barei şi de stabilitatea locală a plăcilor constitutive rigidizate cu nervuri (rigidizări) longitudinale. Date de proiectare

Secţiune transversală

Fig. E2.1

Oţel: S 355 m0.15LLLL Tz.cry.cr ==== Caracteristicile secţiunii brute:

cm9.58iicm10817.1I

cm10822.3II

cm1100A

zy

66

46zy

2

==

⋅=

⋅==

=

ω

Baza de calcul Rezistenţa de calcul la flambaj a elementului comprimat este dată de relaţia:

1M

yeffRd.b

fAN

γ⋅χ=

Având în vedere faptul că secţiunea transversală a barei este realizată din plăci plane rigidizate, pentru calculul ariei efective se însumează ariile efective ale pereţilor rigidizaţi, în acest caz cei patru pereţi rigidizaţi fiecare cu câte o nervură longitudinală: ∑= eff.ceff AA

Aria efectivă a zonei comprimate pentru placa rigidizată (fig. E2.2) se determină cu relaţia: ∑+ρ= tbAA eff.edgeloc.eff.cceff.c

unde aria efectivă a rigidizărilor şi subpanourilor - loc.eff.cA , se calculează cu relaţia:

∑ρ+=c

loc.cloceff.slloc.eff.c tbAA

Fig. E2.2

103

Pentru determinarea factorului de reducere cρ , referitor la pierderea stabilităţii generale (flambaj general) a plăcii rigidizate longitudinal, se are în vedere un factor de reducere care este mai mare decât factorul de reducere pentru voalarea plăcilor.

Factorul de reducere cρ , se va determina prin interpolare între factorul de reducere ρ , pentru voalarea plăcilor şi factorul de reducere cχ , referitor la flambajul stâlpului, cu ajutorul relaţiei:

( ) ( ) ccc 2 χ+ξ−ξχ−ρ=ρ

unde: 10;1c.cr

p.cr ≤ξ≤−σ

σ=ξ

Aplicaţia numerică Aria efectivă a unui panou rigidizat Plăcile adiacente rigidizării

Placa este uniform comprimată rezemată pe două laturi ( 4k;1 ==ψ σ ): Coeficientul de zvelteţe redus:

673.0072.1481.04.28

15/740k4.28

t/bpp >=

⋅=

⋅ε⋅=λ

σ


74.0072.1

22.0072.122.022

p

ploc =

−=

λ

−λ=ρ

Lăţimea efectivă de placă: mm2742/bbbmm54874074.0bb effeff.1eff.edgeploceff ===⇒=⋅=⋅ρ= ;

Rigidizarea

Placa este uniform comprimată rezemată pe o latură ( 43.0k;1 ==ψ σ ): Coeficientul de zvelteţe redus:

748.0828.043.081.04.28

20/250k4.28

t/bpp >=

⋅=

⋅ε⋅=λ

σ


93.0828.0

188.0828.0188.022

p

ploc =

−=

λ

−λ=ρ

Lăţimea efectivă de placă: mm23225093.0bb ploceff =⋅=⋅ρ=

Secţiunea efectivă a panoului (peretelui) rigidizat este prezentată în figura E2.3.

Fig. E2.3

Aria efectivă:

2

cloc.cloceff.slloc.eff.c

cm6.131

)4.2722(5.12.232

tbAA

=

=⋅++⋅=

=ρ+= ∑

104

Factorul global de reducere Comportarea tip placă

Zvelteţea relativă a plăcii, pλ , pentru placa ortotropă echivalentă se determină cu relaţia:

p.cr

yc.Ap

fσ

β=λ

unde: - 80.0164

6.131A

A

c

loc.eff.cc.A ===β

- 2c cm164252)

22.1928.56(5.1A =⋅++=

În cazul plăcilor rigidizate cu o singură rigidizare longitudinală în zona comprimată, efortul unitar critic de flambaj al rigidizării se determină cu relaţia:

( )⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

<−υ−π

+π

≥−⋅

=σ

c22

211.sl

22

23

21.sl

1.sl2

c21

31.sl

1.slsl.cr

aa:pentrubbA14

batEaAIE

aa:pentrubb

btIA

E05.1

unde: - 43

22

211.sl

cbt

bbI33.4a =

- Asl.1; Isl.1 – calculate cu o arie brută, considerând o conlucrare cu plăcile adiacente rigidizării. Dacă panoul este comprimat în întregime, zonele de conlucrare se vor lua:

b5

2;b53

ψ−ψ−ψ− - spre zona cu tensiune maximă

Cu dimensiunile geometrice din figura E2.4 se obţin următoarele rezultate numerice:

Fig. E2.4

mm750bb 21 ==

cm3.7icm8727I

cm164A4

1.sl

21.sl

=

=

=

cm662acm1500a

cm6621505.1

7575872733.4a

c

43

22

c

=>=

=⋅

⋅⋅=

Rezultă:

236

sl.crp.cr cm/daN50247575

1505.18727164

101.205.1=

⋅⋅⋅⋅⋅

=σ=σ

94.075.0

22.075.0673.075.05024

355080.02p =

−=ρ⇒>=

⋅=λ

105

Comportarea tip stâlp

Efortul unitar critic elastic de flambaj de tip stâlp în cazul plăcilor rigidizate se va lua:

22

62

21.sl

1.sl2

c.cr cm/daN4901500164

8727101.2aAIE

=⋅

⋅⋅π=

⋅

π=σ

Fig. E2.5


41.2490

355080.0f

c.cr

yc.Ac =

⋅=

σ

β=λ

unde: 80.0A

A

1.sl

eff.1.slc.A ==β (figura E2.5)

loc.eff.c

2eff.1.sl Acm6.131A ==

Factorul de reducere cχ se obţine conform flambajului barei drepte comprimate centric,

considerând un factor de imperfecţiune α :

6.01.9/3.7

09.049.0e/i09.0' =+=+α=α

unde: - )e;e(maxe 21= - conform fig. E2.5;

- 49.0' =α - pentru rigidizări deschise. Pentru elemente cu secţiune transversală constantă (elemente uniforme), solicitate la

compresiune axială constantă, valoarea coeficientului de reducere cχ se determină în funcţie de coeficientul de zvelteţe redus cλ , cu relaţia:

136.041.206.406.4

11222

c2

c =−+

=λ−φ+φ

=χ

în care: ( ) 06.4]41.2)2.041.2(6.01[5.02,015,0 22cc =+−+=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ λ+−λα+=φ

Factorul de reducere, cρ

Coeficientul ξ : 1125.91490

50241c.cr

p.cr =ξ⇒>=−=−σ

σ=ξ

( ) ( ) ρ==+−⋅⋅−=χ+ξ−ξχ−ρ=ρ 94.0136.0)12(1)136.094.0(2 ccc Aria efectivă a zonei comprimate pentru placa rigidizată va fi:

2eff.edgeloc.eff.cceff.c cm2064.2725.16.13194.0tbAA =⋅⋅+⋅=⋅+ρ= ∑

Aria efectivă a întregii secţiuni: 2

eff.ceff cm8242064AA =⋅== ∑ Rezistenţa la flambaj a barei comprimate centric Coeficientul de zvelteţe redus al întregii secţiuni este:

106

29.075.006.7647.25

A1

==βλλ

=λ

unde: ;47.259.58

1500i

Lcr ===λ 06.769.93fE

y1 =ε⋅=π=λ ; 75.0

1100824

AA eff

A ===β .

Se obţine: 886.029.0557.0557.0

112222

=−+

=λ−φ+φ

=χ

în care: ( ) 557.0]29.0)2.029.0(34.01[5.02,015,0 22=+−+=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ λ+−λα+=φ

Rezistenţa la flambaj a barei comprimate centric va fi:

kN56123101.1

3550824886.0f

AN 2

1M

yeffRd.b =⋅⋅⋅=

γ⋅χ= −

Analiză comparativă Se analizează comparativ rezistenţa la compresiune axială a elementului cu secţiune cheson analizat anterior şi un element cu secţiune cheson la care pereţii sunt nerigidizaţi, figura E2.6. Aria brută a celor două secţiuni este aproximativ identică, în cel de-al doilea caz aria rigidizărilor longitudinale fiind transferată pereţilor, prin majorarea grosimii acestora (de la 15 mm la 18 mm).

2cm1080A =

46zy cm10123.4II ⋅==

cm8.61ii zy == Fig. E2.6

Aria efectivă a secţiunii Se evaluează clasa secţiunii pentru pereţi.

Placa peretelui este uniform comprimată, rezemată pe două laturi ( 4k;1 ==ψ σ ).

4Clasa02.34423.8318

1500t

btc p ⇒=ε⋅>===

Coeficientul de zvelteţe redus:

673.081.1481.04.28

3.83k4.28

t/bpp >=

⋅=

⋅ε⋅=λ

σ


485.081.1

22.081.122.022

p

p =−

=λ

−λ=ρ

Lăţimea efectivă de placă: mm3642/bbbmm7281500485.0bb effeff.1eff.edgeploceff ===⇒=⋅=⋅ρ=

107

Secţiunea efectivă este prezentată în figura E2.7.

2eff cm524A =

485.0A

A effA ==β

Fig. E2.7

Rezistenţa la flambaj a barei comprimate centric fără rigidizări longitudinale Coeficientul de zvelteţe redus al întregii secţiuni este:

22.0485.006.76

8.61/1500A

1==β

λλ

=λ , unde: 06.769.93fE

y1 =ε⋅=π=λ

Se obţine: 99.022.053.053.0

112222

=−+

=λ−φ+φ

=χ

în care: ( ) 53.0]22.0)2.022.0(34.01[5.02,015,0 22=+−+=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ λ+−λα+=φ


kN74216101.1

355052499.0f

AN 2

1M

yeffRd.b =⋅=

γ⋅χ= −

Se obţine gradul de eficienţă relativ la solicitarea de compresiune axială al chesonului rigidizat comparativ cu cel al chesonului nerigidizat:

%2828.17421646021

N

NE

.nerigchesonRd.b

.rigchesonRd.b ====


Să se evalueze rezistenţa de calcul la compresiune axială a barei cu secţiunea uniformă din figura E3.1, ţinând cont de pierderea stabilităţii generale a barei şi de stabilitatea locală a plăcilor constitutive rigidizate cu nervuri (rigidizări) longitudinale. Date de proiectare

- secţiune transversală, figura E3.1; Oţel: S 355 Lungimi de flambaj:

m30L y.cr = m70L z.cr =

Diafragme interioare amplasate la distanţa de 10 m.

Caracteristicile secţiunii brute: A = 1580 cm2

46y cm10541.2I ⋅=

46z cm10486.9I ⋅=

cm1.40iy = cm5.77iz =

108

Fig. E3.1

Baza de calcul Rezistenţa de calcul la flambaj a elementului comprimat este dată de relaţia:

1M

yeffRd.b

fAN

γ⋅χ=

Având în vedere faptul că secţiunea transversală a barei este realizată din plăci plane – cele lungi rigidizate, iar cele scurte nerigidizate, pentru calculul ariei efective se însumează ariile efective ale celor patru pereţi: ∑= eff.ceff AA

Aria efectivă a zonei comprimate pentru placa rigidizată se determină cu relaţia: edges.eff.cloc.eff.cceff.edgeloc.eff.cceff.c AAtbAA +ρ=⋅+ρ= ∑

Factorul de reducere cρ , se va determina prin interpolare între factorul de reducere ρ , pentru voalarea plăcilor şi factorul de reducere cχ , referitor la flambajul stâlpului, cu ajutorul relaţiei:

( ) ( ) ccc 2 χ+ξ−ξχ−ρ=ρ

unde: 10;1c.cr

p.cr ≤ξ≤−σ

σ=ξ

Aplicaţia numerică Aria efectivă a unui panou rigidizat (fig. E3.2)

Fig. E3.2

109

Plăcile adiacente rigidizărilor

Placa adiacentă unei rigidizări este uniform comprimată, rezemată pe două laturi:

12Clasaesteplaca78.30383015450

tc73.2633 loc =ρ⇒⇒=ε⋅<==<=ε⋅

Rigidizările Placa rigidizării este uniform comprimată rezemată pe o latură:

2Clasaestearigidizare1.8105.720

150tc29.79 ⇒=ε⋅<==<=ε⋅

Panoul rigidizat cu cele trei nervuri longitudinale este Clasa 2 Secţiunea efectivă a panoului (peretelui) rigidizat este identică cu secţiunea brută, prin

urmare:

∑ =⋅⋅+⋅+⋅⋅=+==c

2cslcloc.eff.c cm5.3015.1)23453(2153tbAAA

2edges.cedges.eff.c cm5.885.15.29x2AA =⋅==

]cm[5.885.301AAA 2cedges.eff.cloc.eff.cceff.c +⋅ρ=+ρ=

Factorul global de reducere, cρ Comportarea tip placă


p.cr

yc.Ap

fσ

β=λ , unde: 0.1

AA

c

loc.eff.cc.A ==β

Pentru plăci rigidizate cu cel puţin trei rigidizări longitudinale, egal distanţate, coeficientul de voalare globală se poate aproxima cu relaţiile:

( )( ) ( )

( )( ) ( )⎪

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

γ>αδ++ψ

γ+

γ≤αδ++ψα

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −γ+α+

=σ

4

42

22

p.

:pentru11

14

:pentru11

112

k

unde: 5.01

2 ≥σσ

=ψ ; p

sl

II

=γ ; p

sl

AA∑=δ ; 5.0

ba

≥=α

în care:

slI - momentul de inerţie al întregii plăci rigidizate;

( ) 92.10bt

112btI

3

2

3

p =μ−

= - momentul de inerţie al plăcii;

∑ slA - suma ariilor brute a rigidizărilor longitudinale; Ap=b t – aria brută a plăcii;

1σ - tensiunea maximă la marginea plăcii;

2σ - tensiunea minimă la marginea plăcii.

Cu secţiunea prezentată în figura E3.3 se obţin următoarele rezultate numerice:

110

Fig. E3.3

376.5186

1000ba;1 ===α=ψ , unde a = distanţa dintre diafragme

433

p cm48.5792.10

5.118692.10tbI =

⋅=

⋅= ; 84.110

48.576371

II

p

sl ===γ

322.027990

5.11862153

AA

p

sl ==⋅

⋅⋅==δ ∑ ; 24.384.110376.5 44 ==γ>=α

( )

( ) ( ) 44.17)322.01()11()84.1101(4

1114

k p. =++

+=

δ++ψγ+

=σ

Efortul critic de voalare elastică a plăcii ortotrope echivalente va fi:

22

6Ep.p.cr cm/daN2155

186015109.144.17k =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅=σ⋅=σ σ

Se obţine:

65.028.1

22.028.1673.028.1215535501f

2p.cr

yc.Ap =

−=ρ⇒>=

⋅=

σ

β=λ

Comportarea tip stâlp

Efortul unitar critic elastic de flambaj de tip stâlp în cazul plăcilor rigidizate se va lua:

22

62

21.sl

1.sl2

c.cr cm/daN41410005.100

2008101.2aAIE

=⋅

⋅⋅π=

⋅

π=σ

Fig. E3.4


93.241435501f

c.cr

yc.Ac =

⋅=

σ

β=λ

unde: 0.1A

A

1.sl

eff.1.slc.A ==β (figura E3.4)

cm5.4i

cm2008I 41.sl

=

=

1.sl2

eff.1.sl Acm50.100A ==

Factorul de reducere cχ se obţine conform flambajului barei drepte comprimate centric, considerând un factor de imperfecţiune α :

61.08.5/5.4

09.049.0e/i09.0' =+=+α=α

111

unde: - )e;e(maxe 21= - conform fig. E3.4;

- 49.0' =α - pentru rigidizări deschise. Pentru elemente cu secţiune transversală constantă (elemente uniforme), solicitate la

compresiune axială constantă, valoarea coeficientului de reducere cχ se determină în funcţie de coeficientul de zvelteţe redus cλ , cu relaţia:

1.093.262.562.5

11222

c2

c ≅−+

=λ−φ+φ

=χ

în care: ( ) 62.5]93.2)2.093.2(61.01[5.02.015.0 22cc =+−+=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ λ+−λα+=φ


Coeficientul ξ : 112.41414

21551c.cr

p.cr =ξ⇒>=−=−σ

σ=ξ

( ) ( ) ρ==+−⋅⋅−=χ+ξ−ξχ−ρ=ρ 65.01.0)12(1)1.065.0(2 ccc

Se obţine aria efectivă a peretelui rigidizat: 2

edges.eff.cloc.eff.cceff.c cm5.2845.885.30165.0AAA =+⋅=+ρ= Aria efectivă a pereţilor nerigidizaţi (1000 x 40)

Clasa secţiunii pereţilor nerigidizaţi:

1Clasa73.26332540

1000tc

⇒=ε⋅<==

2ceff.c cm4004100AA =⋅==

Aria efectivă a întregii secţiuni: 2

eff.ceff cm1369)4005.284(2AA =+== ∑ Rezistenţa la flambaj a barei comprimate centric Coeficientul de zvelteţe maxim al întregii secţiuni:

3.903.90

5.777000

iL

8.741.40

3000i

L

max

z

z.crz

y

y.cry

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

===λ

===λ=λ

Coeficientul de zvelteţe redus al întregii secţiuni este:

11.187.006.763.90

A1

==βλλ

=λ

unde: 06.769.93fE

y1 =ε⋅=π=λ ; 87.0

15801369

AAeff

A ===β

Se obţine: 53.011.127.127.1

112222

=−+

=λ−φ+φ

=χ

112

în care: ( ) 27.1]11.1)2.011.1(34.01[5.02,015.0 22=+−+=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ λ+−λα+=φ


kN41623101.1

3550136953.0f

AN 2

1M

yeffRd.b =⋅=

γ⋅χ= −

Analiză comparativă Se analizează comparativ rezistenţa la compresiune axială a elementului cu secţiune cheson analizat anterior şi un element cu secţiune cheson la care pereţii sunt nerigidizaţi, figura E3.5. Aria brută a celor două secţiuni este identică, în cel de-al doilea caz aria rigidizărilor longitudinale fiind transferată pereţilor, prin majorarea grosimii acestora.

2cm1580A = 46

y cm10696.2I ⋅= 46

z cm10693.9I ⋅= cm3.41iy = cm3.78iz =

Fig. E3.5

Aria efectivă a secţiunii Se evaluează clasa secţiunii pentru pereţii orizontali.

Placa este uniform comprimată rezemată pe două laturi ( 4k;1 ==ψ σ ).

4Clasa02.34429320

1860t

btc p ⇒=ε⋅>===

Coeficientul de zvelteţe redus:

673.002.2481.04.28

93k4.28

t/bpp >=

⋅=

⋅ε⋅=λ

σ

Coeficientul de reducere: 44.002.2

22.002.222.022

p

p =−

=λ

−λ=ρ

Lăţimea efectivă de placă: mm4092/bbbmm818186044.0bb effeff.1eff.edgeploceff ===⇒=⋅=⋅ρ= . Pereţii verticali sunt Clasa 1. Secţiunea efectivă este prezentată în figura E3.6.

113

2eff cm2.1163A =

74.0A

AeffA ==β

Fig. E3.6

Rezistenţa la flambaj a barei comprimate centric fără rigidizări Coeficientul de zvelteţe maxim al întregii secţiuni:

4.894.89

3.787000

iL

6.723.41

3000i

L

max

z

z.crz

y

y.cry

=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

===λ

===λ

=λ

Coeficientul de zvelteţe redus al întregii secţiuni este:

01.174.006.764.89

A1

==βλλ

=λ , unde: 06.769.93fE

y1 =ε⋅=π=λ

Se obţine: 59.001.1148.1148.1

112222

=−+

=λ−φ+φ

=χ

în care:

( ) 148.1]01.1)2.001.1(34.01[5.02.015.0 22=+−+=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ λ+−λα+=φ


kN14822101.1

35502.116359.0f

AN 2

1M

yeffRd.b =⋅⋅=

γ⋅χ= −

Se obţine gradul de eficienţă relativ la solicitarea de compresiune axială al chesonului

rigidizat comparativ cu cel al chesonului nerigidizat:

%6057.11482241623

N

NE .nerigcheson

Rd.b

.rigchesonRd.b ≈===

114

7. LUNGIMI DE FLAMBAJ 7.1. Determinarea lungimilor de flambaj Lungimea de flambaj are o semnificaţie univocă numai în cazul barelor izolate, cu secţiunea transversală constantă în lungul barei şi cu încărcări axiale aplicate numai la capete. În acest caz este valabilă interpretarea geometrică cunoscută, respectiv distanţa dintre două puncte de inflexiune consecutive ale deformatei echilibrului indiferent, fig.7.1.

Fig. 7.1. Lungimea de flambaj pentru bara ideală

Lungimea de flambaj ( sau lungimea critică) poate fi exprimată sub forma: ⋅μ=fl (7.1.a) sau: LkLcr ⋅= (7.1.b) unde μ (sau k) este un coeficient al lungimii de flambaj cu care se înmulţeşte lungimea teoretică a barei, (sau L). Determinarea lungimilor de flambaj care intervin în calculul de stabilitate al barei comprimate se face în funcţie de situaţia concretă a barei în structură, legăturile barei la capete, modul de încărcare a acesteia, variaţia secţiunii barei în lungul axei.

Pentru cazurile curent întâlnite în practica de proiectare a structurilor de poduri metalice de cale ferată şi şosea, determinarea lungimilor de flambaj este prezentată în tabelele care urmează. Pentru calculul barelor solicitate la eforturi axiale cu diagrame N variabile, lungimea de flambaj a barei înlocuitoare se stabileşte cu relaţiile din tabelul 7.1. În cazul grinzilor cu zăbrele ale podurilor metalice de cale ferată şi de şosea, lungimile de flambaj ale barelor se stabilesc conform tabelului 7.2.

Podul St. Laurenţiu

Podul Firth of Forth

115

Tabelul 7.1

Nr. Schema de încărcare Legătura la capete Lungimea de

flambaj f

1

Articulat la ambele capete Încastrat la ambele capete

18.3NN

18.211

0+⋅

72.7NN

93.011

0+⋅

2

Articulat la ambele capete Încastrat la ambele capete.

09.2NN

09.111

0+⋅

40.5NN

35.011

0+⋅

18.3

NN

18.212 1

0+⋅

3

Încastrat la un capăt şi liber la celălalt

09.2NN

09.112 1

0+⋅

4

Articulat la ambele capete Încastrat la ambele capete Articulat în punctul 1 şi încastrat în punctul 0 Articulat în punctul 0 şi încastrat în punctul 1

88.1NN

88.011

0+⋅

72.7NN

93.011

0+⋅

09.3NN

51.011

0+⋅

42.5NN

65.111

0+⋅

116

(a) Podul peste fluviul St. Laurenţiu la Quebec

(b) Podul de la Firth of Forth Tabelul 7.2

Lungimea de flambaj fl ( l = lungimea teoretică a barei ) Nr. BARA COMPRIMATĂ

În planul grinzii

În planul normal pe planul grinzii

0 1 2 3

1

Tălpile şi diagonalele finale ale grinzii cu zăbrele fără montanţi finali

- în cazul în care nodurile de care se prinde bara sunt nedeplasabile în direcţie normală pe planul grinzii

2

Talpa comprimată prinsă în noduri nedeplasabile (a,b), supusă unui efort variabil

/2

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+

2

1NN

25.075.0

- unde 21 NN < ; - 21 N,N se iau cu semnul lor

117

0 1 2 3

- dacă bara este legată în noduri nedeplasabile de gusee neîntărite pe direcţia barei şi bara nu poate fi considerată ca făcând parte dintr-un cadru închis

08.0 ⋅

- dacă bara este încastrată la un capăt şi articulată la celălalt capăt (bara legată de gusee întărite prin antretoaze sau ranforţi, iar bara face parte dintr-un cadru închis)

Cazul A

3

Diagonale şi montanţi

Caz A

Caz B

07.0 ⋅ - dacă bara este încastrată la ambele capete

Cazul B

4 Montanţii semicadrelor

vh2 ⋅

vh - distanţa între centrul de greutate al tălpii comprimate şi centrul de greutate al ranfortului antretoazei

5

Montanţii grinzilor sistem K, legaţi în noduri nedeplasabile având la cele două jumătăţi eforturi de mărimi diferite

Dis

tanţ

ele

între

cen

trele

de

greu

tate

ale

nitu

rilor

, şur

ubur

ilor s

au c

usăt

urilo

r de

sudu

ră s

ervi

nd p

rinde

rii b

arel

or în

nod

uri.

OB

S.: D

acă

bara

se

inte

rsec

tează

cu o

altă

bară,

pun

ctul

de

inte

rsecţie

poa

te fi

con

side

rat c

a ne

depl

asab

il, d

acă

la n

odul

de

inte

rsecţie

cel

e do

uă b

are

sunt

lega

te în

tre e

le c

u ce

l puţ

in ¼

din

num

ărul

nitu

rilor

de

prin

dere

la n

od a

bar

ei c

ompr

imat

e sa

u cu

o îm

bina

re s

udată

de a

ceiaşi

cap

acita

te d

e re

zist

enţă

.

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+

2

1NN

25.075.0

- unde 21 NN < ; - 21 N,N se iau cu semnul lor - ⋅≥ 5.0f

118

Lungimea de flambaj a barelor comprimate care se intersectează cu o bară întinsă sau comprimată se ia după cum urmează: • lungimea de flambaj în planul grinzii se ia egală cu lungimea teoretică; • pentru flambaj în direcţie perpendiculară pe planul grinzii, lungimea de flambaj se consideră

conform tabelului 7.3. Tabelul 7.3

Nr TIPUL DE INTERSECŢIE Lungimea de flambaj f normal pe planul grinzii

1

⋅≥

⋅

⋅+

⋅⋅

⋅−⋅= 5.0

II

1

NN

431

31

31

1

1

f

2

⋅≥

⋅

⋅+

⋅⋅

+⋅ 5.0

II

1

NN

1

31

31

1

1

1

31

31

1

1

5.0

II

1

NN

1⋅≥

⋅

⋅+

⋅⋅

+

⋅

3

bara comprimată continuă

1

12

NN

121

⋅⋅

⋅π

+⋅

bară comprimată articulată 1f 5.0 ⋅=

când ( ) ≥⋅ IE

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅⋅

+π

⋅π

⋅≥

1

12

12

31

NN

12N

4

⋅≥⋅⋅

⋅−⋅ 5.0NN

75.011

1

5

⋅= 5.0f

când 1NN

1

1 ≤⋅

⋅

sau când se îndeplineşte condiţia:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅⋅

π⋅

⋅⋅≥⋅ 1

NN

4N3

IE1

12

211

1

119

7.2. Determinarea lungimilor de flambaj conform EC 3 În conformitate cu normativul EC 3-2 (SR EN 1993-2-2007), lungimea de flambaj a elementelor comprimate se calculează cu relaţia:

Lk ⋅β= (7.2)

A. GRINZI CU ZĂBRELE Diagonale şi montanţi având capetele fixate În cazul în care nu se ţine cont de rigidităţile relative ale barelor şi de natura îmbinărilor, coeficienţii lungimilor de flambaj β se consideră astfel:

⎩⎨⎧

=βnormal. plan in flambaj pentru - 1.0

grinzii; planul in flambaj pentru - 9.0 (7.3)

Elemente verticale făcând parte din cadre (fig. 7.2)

Fig. 7.2. Elemente verticale care fac parte dintr-un cadru

Coeficientul lungimii de flambaj β se poate determina utilizând diagramele din tabelul 7.4. Metodologia permite să se ţină seama dacă forţa aplicată este stabilizatoare sau destabilizatoare în raport cu cadrul analizat. Punctul în care forţa este aplicată este definit prin înălţimea rh , aşa cum se prezintă în figura 7.3, în cazul fixării articulate la bază a cadrului. Sunt uzuale două situaţii: (a). Acţiunile rămân verticale, dar se pot translata simultan cu structura (cazul uzual). În acest caz ∞=rh şi 0h/h r = ; (b). Acţiunile sunt îndreptate în direcţia bazei cadrului, în acest caz avem 1h/h r = . Situaţia este caracteristică cazului în care forţele provin din acţiune unor cabluri fixate în nodurile superioare ale cadrului şi ancorate la nivelul bazei cadrului.

120

Fig. 7.3

B. A R C E Forţele critice de flambaj

Forţa critică de flambaj în planul arcului, Ncr, este dată de relaţia:

Fig. 7.4

( )2y

2

crs

IEN

⋅β

⋅⋅π= (7.4)

unde: s - este jumătate din lungimea arcului; yIE ⋅ - rigiditatea la încovoiere în plan a arcului (fig. 7.4); β - coeficientul lungimii de flambaj.

Forţa critică de flambaj în plan normal arcului, Ncr, este dată de relaţia:

( )2

z2

crIEN

⋅β

⋅⋅π= (7.5)

unde: - este deschiderea arcului; zIE ⋅ - rigiditatea la încovoiere în plan normal arcului (fig. 7.4); β - coeficientul lungimii de flambaj.

121

Tabelul 7.4

122

Coeficienţii lungimilor de flambaj Flambajul arcelor în planul lor se consideră împiedicat dacă este îndeplimit criteriul:

KEI12

EAy

>⋅ (7.6)

Factorul K este dat în tabelul 7.5. 2/

Tabelul 7.5

f/ℓ 0,05 0,075 0,10 0,15 0,20

35 23 17 10 8

K 319 97 42 13 6

În planul arcului coeficienţii lungimii de flambaj β pentru reazeme rigide sunt daţi în tabelul 7.6, iar pentru arce cu tirant întins şi montanţi, coeficienţii β se iau conform figurii 7.5.

Fig. 7.5

123

Tabelul 7.6

124

În plan normal pe planul arcului În cazul arcelor simplu rezemate necontravântuite, coeficientul lungimii de flambaj se calculează cu relaţia: 21 β⋅β=β (7.7) Coeficienţii 1β şi 2β se iau din tabelul 7.7 şi tabelul 7.8. Tabelul 7.7

Coeficienţii 1β 1 /f 0.05 0.10 0.20 0.30 0.40 2 zI - constant 0.50 0.54 0.65 0.82 1.07

3 B

0.zz cos

II

α= 0.50 0.52 0.59 0.71 0.86

Tabelul 7.8

Încărcarea 2β Observaţii 1 continuă 1

2 prin tiranţi qq35.01 H−

3

prin montanţi (pod cale sus) q

q45.01 st+

q – încărcarea totală qH – încărcarea transmisă prin tiranţi

stq – încărcarea transmisă prin montant

Flambajul în afara planului al arcelor cu contravîntuiri şi cadre de capăt Flambajul în afara planului poate fi verificat printr-un control al stabilităţii cadrelor de capăt efectuat în conformitate cu Elemente verticale făcând parte din cadre. Factorul β pentru flambaj poate fi obţinut din tabelul 7.4, utilizând geometria din figura 7.6.

h

h H αk

h h r

tablierul podului

Fig. 7.6 – Flambajul cadrelor arcelor

Valoarea hr din tabelul 7.4 poate fi considerată egală cu valoare medie a tuturor lungimilor

pendulelor, k

H sin1hα

.

125

8. ELEMENTE SOLICITATE LA TORSIUNE 8.1. Aspecte generale

Elementele asupra cărora se aplică direct momente de răsucire şi elementele supuse acţiunii unor forţe care nu trec prin axa centrelor de răsucire sunt elemente solicitate la răsucire.

În elementele structurilor de poduri, solicitarea de răsucire apare ca o solicitare suplimentară, alături de solicitările de bază – încovoiere, eforturi axiale şi forţă tăietoare, efectul acesteia fiind cel de introducere în element sau structură a unor eforturi unitare, preponderent tangenţiale, τ , precum şi a unor eforturi unitare normale σ (în cazul răsucirii împiedicate). Funcţie de situaţia – dacă secţiunile transversale ale barelor solicitate la răsucire se pot sau nu deplana liber, se întâlnesc două categorii de solicitare la răsucire:

• răsucire liberă Din această solicitare în element apar doar eforturi unitare tangenţiale τ . • răsucire împiedicată În element apar şi eforturi suplimentare: - eforturi unitare normale, ωσ ; - eforturi unitare tangenţiale, ωτ . Elementele şi structurile de poduri metalice, fie că sunt alcătuite cu secţiune deschisă, fie

că sunt cu secţiune închisă, au grosimea “g” a pereţilor mică în raport cu celelalte dimensiuni ale secţiunii transversale şi se încadrează în categoria barelor cu pereţi subţiri (BPS). 8.2. Răsucirea liberă a BPS Teoria elementară la răsucire a BPS presupune acceptarea unor ipoteze simplificatoare, după cum urmează:

- BPS au o formă cilindrică, respectiv aria secţiunii transversale a barei este constantă în lungul axei barei;

- încărcarea BPS se realizează numai prin secţiuni transversale; ca urmare, încărcările pe extradosul şi intradosul barelor, precum şi de-a lungul marginilor sunt nule;

- materialul este continuu omogen, izotrop şi perfect elastic; - secţiunea transversală a barei este nedeformabilă (secţiunea transversală se roteşte ca

un disc rigid, fără să se modifica forma secţiunii); - ipoteza de perete subţire, conform căreia variaţia tensiunilor pe grosimea peretelui BPS

este mică. Răsucirea liberă a BPS cu secţiune deschisă

Valoarea maximă a tensiunii tτ se obţine în punctul în care grosimea peretelui BPS este

maximă şi este dată de relaţia:

t

maxEdmax.t I

gT ⋅±=τ (8.1)

Tensiunile τ din răsucire liberă au o distribuţie liniară pe grosimea peretelui secţiunii, figura 8.1.

126

Observaţie: Se utilizează notaţia T pentru momentul de torsiune (M în literatura tehnică română). Fig. 8.1. Distribuţia tensiunilor tangenţiale τ pe grosimea peretelui BPS

tI - momentul de inerţie echivalent (convenţional) la răsucire liberă calculat cu relaţia:

dsg31I

a

0

3t ∫= (8.2)

Răsucirea liberă a BPS cu secţiunea închisă Efortul unitar tangenţial maxim din răsucire liberă a BPS cu profil închis este dat de relaţia:

r

minEd

min

Edmax.Ed I

gTg

T ⋅+

Ω⋅=τ (8.3)

unde: dsr ⋅=Ω ∫ - dublul ariei delimitate de axa mediană a BPS profil închis

∫Ω

+=

gds

II2

tr - momentul de inerţie convenţional al BPS, contur închis, care se consideră de secţiune inelară deschisă

dsg31I 3

t ⋅= ∫ - momentul de inerţie convenţional la răsucire liberă a BPS profil închis

Expresia (8.3) se poate pune sub forma:

τΔ+τ=τ rmax.Ed (8.4) Termenul al doilea τΔ , din relaţia (8.4) nu poate fi neglijat decât în cazul peretelui foarte subţire, iar relaţia (8.3) devine:

Ω⋅

≅τmin

Edmax.Ed g

T (8.5)

În figura 8.2 este prezentată pentru comparaţie distribuţia tensiunilor tangenţiale în cazul tubului deschis şi al tubului închis de aceleaşi dimensiuni ale secţiunii transversale. Se defineşte ca flux de forfecare al tensiunilor tangenţiale, Φ :

Ω

=⋅τ=Φ Edr

Tg (8.6)

Se poate aprecia gradul de eficienţă la solicitarea de răsucire liberă a unei secţiuni închise, în comparaţie cu o secţiune deschisă cu aceleaşi dimensiuni, punând condiţia ca eforturile tangenţiale maxime să fie egale în cele două situaţii (la limită amax τ=τ , unde conform EC 3:

0Mya /)3/f( γ=τ ), astfel:

- pentru tubul deschis: at

dEd

max.t IgT

τ=⋅

=τ 0My /)3/f( γ=

127

- pentru tubul închis: ar

iEdmax.Ed I

gg

1T τ=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

Ω⋅=τ 0My /)3/f( γ=

Se obţine: dEd

r

tdEd

iEd TE

Ig

g1

Ig

TT ⋅=⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+Ω⋅

= (8.7)

Fig. 8.2. Distribuţia tensiunilor tangenţiale din răsucire liberă:

a) tub deschis; b ) tub închis

Factorul 1

Ig

g1

Ig

E

r

t >>+

Ω⋅

= arată gradul de eficienţă al tubului închis, comparativ cu

acelaşi tub, de secţiune deschisă. Verificarea BPS solicitate la răsucire liberă Verificarea capacităţii portante de rezistenţă se face cu relaţiile:

at

maxEdmax.t I

gTτ≤

⋅=τ 0My /)3/f( γ= - pentru secţiuni deschise (8.8.a)

ar

minEd

min

Edmax.Ed I

gTg

Tτ≤

⋅+

Ω⋅=τ 0My /)3/f( γ= - pentru secţiuni închise (8.8.b)

Verificarea condiţiei de rigiditate

Deformaţiile unghiulare maxime ϕ nu trebuie să depăşească unghiul de răsucire admis aϕ : ( ) aL, ϕ≤θϕ (8.9)

unde deformaţia unghiulară specifică, θ , este:

t

EdIG

T⋅

=θ - pentru secţiuni deschise (8.10.a)

r

EdIG

T⋅

=θ - pentru secţiuni închise (8.10.b)

128

8.3. Răsucirea împiedicată a BPS BPS profil deschis Momentul EdT pe secţiune este realizat din suma: ω+= TTT tEd (8.11) unde: tT - componenta cu variaţie liniară tτ a tensiunilor tangenţiale: 'GIT tt ϕ⋅=

ωT - momentul fluxului de forfecare g⋅τω , denumit şi moment de încovoiere-răsucire:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⋅−ϕ−= ωω

d

''

IGT

'''EIT

Verificarea de rezistenţă se face cu relaţiile:

at

maxtmax,t I

gTτ≤

⋅=τ 0My /)3/f( γ= (8.12.a)

a

R

IgST

τ≤⋅⋅

=τω

ωωω 0My /)3/f( γ= (8.12.b)

amax,t τ≤τ+τ ω 0My /)3/f( γ= (8.12.c)

amaxmax

IB

σ≤ω⋅

=σω

ω 0My /f γ= (8.13)

unde B este bimomentul de încovoiere-răsucire:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⋅−ϕ−= ω

d

'

IGT

''EIB

Eforturile unitare de comparaţie sunt conform EC 3: 0Mya /)3/f( γ=τ ; 0Mya /f γ=σ BPS profil închis În cazul BPS profil închis supuse la răsucire împiedicată momentul EdT este dat de suma: ω+= TTT rEd (8.14) Relaţiile pentru verificările de rezistenţă sunt:

amin

*R

2

t

min

minrmax Ig

ST

gdsI

gg1T τ≤

⋅

⋅−

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

Ω+

+⋅Ω

=τω

ωω

∫

0My /)3/f( γ= (8.15.a)

amaxmax

max. IB

σ≤ω⋅

=σω

ω 0My /f γ= (8.15.b)

unde: ∫ ω⋅Ω

−= ωωω dS1SS R*R

129

În literatura de specialitate sunt date expresiile de calcul pentru unghiul de răsucire ϕ şi a bimomentului B din răsucirea împiedicată a BPS, profil deschis sau profil închis pentru diferite cazuri de încărcare şi de rezemare.

8.4. Bare cu pereţi subţiri având un perete cu zăbrele Există situaţii când unul din pereţii secţiunii tubulare este o grindă cu zăbrele, figura 8.3, geometria de zăbrelire fiind variată. O situaţie similară se poate crea în cazul lucrărilor de consolidare, din necesitatea de a spori capacitatea portantă a unor bare din structură, sau a structurii în ansamblul ei. În vederea calculului la răsucire acest perete poate fi înlocuit cu un perete continuu de grosime echivalentă, echg .

Grosimea echivalentă a peretelui poate fi calculată punând condiţia de egalitate între energia de deformaţie pentru panoul cu zăbrele, EL şi energia de deformaţie, τL , pentru panoul echivalent continuu cu grosimea echivδ : τ= LLE (8.16) Fig. 8.3. Secţiune tubulară având un panou cu zăbrele

Se utilizează modelul mecanic prezentat în figura 8.4, separând grinda cu zăbrele de restul BPS.

Fig. 8.4. Model mecanic pentru determinarea grosimii echivalente de perete

Conform dualităţii eforturilor unitare tangenţiale τ , fluxul Φ al eforturilor unitare tangenţiale

rτ , acţionează şi în lungul muchiilor barei, astfel încât în dreptul nodurilor de prindere a diagonalelor în tălpi apar forţe concentrate care dau eforturi axiale N. Se face ipoteza variaţiei liniare de la zero la is NN −= , a eforturilor axiale N pe lungimea fiecărui panou de lungime λ , unde:

λ⋅Φ=−= is NN (8.17) Cunoscând rezultanta T a eforturilor unitare tangenţiale rτ pe peretele cu zăbrele: hT ⋅Φ= (8.18)

rezultă efortul D din diagonala grinzii cu zăbrele:

dsin

TD ⋅Φ±=α

±= (8.19)

130

Expresia energiei de deformaţie EL pentru un panou cu zăbrele de lungime λ , poate fi scrisă sub forma: EiEsEdE LLLL ++= (8.20) unde:

d

32

Ed AE2d

2dDL

⋅⋅⋅Φ

=Δ⋅

= - energia de deformaţie a diagonalei

s

32s

Es AE62N

31L

⋅⋅λ⋅Φ

=λΔ⋅

= - energia de deformaţie a tălpii superioare

i

32i

Ei AE62N

31L

⋅⋅λ⋅Φ

=λΔ⋅

= - energia de deformaţie a tălpii inferioare

isd A,A,A - sunt respectiv aria diagonalei, aria tălpii superioare, aria tălpii inferioare

Energia de deformaţie pentru panoul echivalent continuu τL , este:

dsG2

dAG2

dA2

L echiv

2h

0 echivA

2r

A0r ⋅δ⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛δ

Φ⋅λ

=⋅τ⋅λ

=⋅γ⋅τλ

= ∫∫∫∫∫τ

Rezultă:

λ⋅δ

⋅⋅

Φ=τ

echiv

2 hG2

L (8.21)

Efectuând înlocuirile în egalitatea (8.16), se poate calcula valoarea grosimii echivalente echivδ a panoului cu zăbrele:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

λ+

⋅λ⋅=δ

is

3

d

3echiv

A1

A1

3Ad

hGE (8.22)

Pentru alte moduri de zăbrelire decât cel analizat, în tabelul 8.1 sunt prezentate relaţiile de determinare a grosimii echivalente de perete.

Tabelul 8.1

Schema de zăbrelire a peretelui liber Grosimea echivalentă a peretelui, echivδ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

λ+

⋅λ⋅

is

3

d

3

A1

A1

3Ad

hGE

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

λ++

⋅λ⋅

is

3

m

3

d

3

A1

A1

12A4h

Ad2

hGE

131

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

λ++

⋅λ⋅

is

3

m

3

d

3

A1

A1

12Ah

Ad

hGE

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

λ+

⋅λ⋅

is

3

d

3

A1

A1

12A2d

hGE

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

λ+

⋅λ⋅

isP I1

I1

4Ih

h12

GE

Notaţii: λ - mărimea panoului grinzii cu zăbrele sau cu plăcuţe; h - înălţimea peretelui cu zăbrele sau cu plăcuţe; d - lungimea diagonalei grinzii cu zăbrele; As; Is - aria şi momentul de inerţie al tălpii superioare; Ai; Ii - aria şi momentul de inerţie al tălpii inferioare; Ad; Am - aria secţiunii diagonalei şi montantului grinzii cu zăbrele; IP - momentul de inerţie al secţiunii plăcuţei; E - modulul de elasticitate; G - modulul de elasticitate transversal: )]1(2[/EG μ+=

8.5. Comportarea la răsucire a tablierelor

de poduri cu secţiune casetată În cazul torsiunii pure a barelor, conform ipotezei lui De Saint-Venant, momentele de torsiune produc în secţiunile transversale numai eforturi unitare, tangenţiale. La BPS acţionate de sarcini transversale se mai produc importante eforturi locale de încovoiere, precum şi eforturi suplimentare din torsiunea împiedicată şi datorită distorsionării secţiunii transversale. La o bară dreaptă de secţiune constantă cu profil deschis, încărcată într-un plan care trece prin axa centrelor de greutate, se produc deformaţii şi torsiuni ca în figura 8.5.a, datorită momentului dat de eforturile tangenţiale care se dezvoltă în secţiune. Pentru a nu se produce răsucirea barei, ea ar trebui încărcată excentric, figura 8.5.b, astfel încât efectul de răsucire să se anuleze, iar bara să se deplaseze numai după planul încărcării, situaţie care are loc dacă planul încărcării conţine centrul de răsucire. Dacă ne imaginăm o bară alcătuită din două profile U alipite, figura 8.6, încărcate cu o sarcină care nu trece prin cele două centre de torsiune, apare tendinţa de răsucire, provocând întindere la partea de sus şi compresiune la partea de jos, în zona punctelor de contact.

132

Fig. 8.5. Deformaţii şi tensiuni la bara dreaptă

m

Evident că la o secţiune simetrică

încărcată simetric nu se produc răsuciri, centrul de răsucire fiind pe axa de simetrie .

Fig. 8.6. Efectul tensiunilor tangenţiale la o secţiune 2U

O bară în formă de H, încărcată simetric, se deformează fără răsucire, centrul de greutate fiind şi centrul de răsucire; dacă se îngroaşă una din inimi, centrul de răsucire se deplasează spre ea, astfel încât pentru a evita răsucirea, încărcarea trebuie făcută prin C.R.( S – shear), figura 8.7.

Fig. 8.7. Secţiune H

Două profile U aşezate faţă în faţă, figura 8.8, încărcate în dreptul

inimilor, au tendinţa să se apropie la partea de sus şi să se depărteze la partea de jos.

Dacă profilele sunt legate (de exemplu sudate) apar eforturi de compresiune, respectiv de întindere în cele două solidarizări. Fig. 8.8. Secţiune cheson din 2U

O secţiune casetată de tablier poate fi privită ca fiind alcătuită din două profile, figura 8.9, pe liniile longitudinale de contact luând naştere eforturi de compresiune (la talpa superioară), respectiv de întindere (la talpa inferioară).

Fig. 8.9. Secţiune casetată de tablier

133

În cazurile reale, secţiunile casetate de poduri nu sunt acţionate numai de încărcări simetrice şi aplicate numai în dreptul nodurilor, ci în general, de mai multe forţe aplicate pe toată lăţimea tablierului. În acest caz calculul comportă determinarea eforturilor locale transversale (diagrama b din fig. 8.10), apoi a eforturilor de încovoiere generală longitudinală din încărcarea cu reacţiunile plăcii pe inimi, 1R şi 2R ,care se pot descompune într-o încărcare simetrică cu forţele

2R , care produc încovoiere pură şi o încărcare antisimetrică cu 21 RRP −= , care produce încovoiere şi torsiune. În cazul unei forţe P aplicată excentric, aceasta poate fi descompusă într-o acţiune simetrică (P/2) şi o acţiune antisimetrică, figura 8.11. Acţiunea simetrică produce încovoiere pură, iar acţiunea antisimetrică este echivalentă cu un moment de torsiune exterior:

b2PTt

ext ⋅=

La rândul său, cuplul de forţe care produc torsiunea se poate descompune în perechi de cupluri ca în figura 8.12. În cazul “b” se obţine un flux constant şi continuu de tensiuni tangenţiale care conduce la rotirea secţiunii, iar solicitarea “c” produce deformarea profilului transversal, ca a unui cadru acţionat pe diagonală de două forţe egale şi opuse care se echilibrează, fără să apară moment de torsiune.

Fig. 8.11. Descompunerea acţiunii aplicate excentric

Fig. 8.10. Descompunerea încărcărilor

pe o secţiune casetată

134

8.6. Calculul elementelor solicitate la torsiune conform EC 3 Elementele solicitate la torsiune (T - momentul de torsiune, notat cu simbolul M în literatura tehnică română), trebuie să verifice în fiecare secţiune condiţia:

0.1TT

Rd

Ed ≤ (8.23)

unde: - EdT - momentul de torsiune de calcul ; - RdT - rezistenţa de calcul la torsiune a secţiunii (momentul rezistent de calcul la torsiune). Momentul de torsiune total EdT , în orice secţiune transversală, va fi dat de suma a două efecte interne: Ed.wEd.tEd TTT += (8.24) unde: - Ed.tT - momentul de torsiune St. Venant;

- Ed.wT - momentul de torsiune împiedicată.

Momentele de torsiune Ed.tT şi Ed.wT din secţiunile transversale se determină din momentul

EdT printr-o analiză elastică, luând în considerare caracteristicile secţiunii elementului, condiţiile de rezemare la capete şi distribuţia acţiunilor în lungul barei. Se vor lua în considerare următoarele tensiuni din torsiune: - Ed.tτ - efortul unitar tangenţial (tensiunea) din torsiunea St. Venant Ed.tT ; - Ed.wσ - efortul unitar normal din bimomentul BEd; - Ed.wτ - efortul unitar tangenţial din momentul de torsiune împiedicată Ed.wT .

Fig. 8.12. Descompunerea cuplului antisimetric

135

Pentru verificarea elastică se va utiliza criteriul de curgere pentru punctele critice ale secţiunii transversale dat de relaţia:

0.1/f

3/f/f/f/f

2

0My

Ed

0My

Ed.z

0My

Ed.x2

0My

Ed.z2

0My

Ed.x ≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

γτ

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

γσ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

γσ

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

γσ

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

γσ (8.25)

În cazul elementelor cu secţiune tubulară, pentru simplificarea calculelor, se poate neglija efectul torsiunii împiedicate, iar în cazul secţiunilor de tip I şi H se poate neglija efectul torsiunii St. Venant. Dacă elementul este solicitat simultan la torsiune şi forfecare, rezistenţa plastică de forfecare se va reduce de la Rd.plV la Rd.T.plV , cu relaţiile:

( )

( ) ( )

( )⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

γ

τ−

−⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

γ

τ−

γ

τ−

−γ

τ−

=

tubularetiunisecV/3/f

1

C;U:tiunisecV/3/f/3/f25.1

1

H;I:tiunisecV/3/f25.1

1

V

Rd.pl0My

Ed.t

Rd.pl0My

Ed.w

0My

Ed.t

Rd.pl0My

Ed.t

Rd.T.pl (8.26)

Relaţia de verificare devine:

1V

V

Rd.T.pl

Ed ≤ (8.27)

8.7. Exemplu numeric Să se analizeze comparativ capacitatea portantă (rezistenţa) la răsucire liberă a două secţiuni cvasiidentice din punct de vedere al dimensiunilor:

a) – secţiune cheson deschisă (figura E.1.a); b) – secţiune cheson închisă (figura E.1.b).

Fig. E.1

136

Observaţie: Se utilizează notaţia T (torsion) pentru momentul de torsiune (conform EC 3), echivalentă cu notaţia M din literatura tehnică română. Răsucirea liberă a BPS cu secţiune deschisă

Valoarea maximă a tensiunii tτ se obţine în punctul în care grosimea peretelui BPS este

maximă şi este dată de relaţia:

Ed.t3

Ed.tt

maxEd.tmax.t T10769.5T

67.3462

IgT

⋅⋅±=±=⋅

±=τ −

unde: ( )∑∫=

=⋅+⋅⋅=⋅==n

1j

4333jj

a

0

3t cm67.3462601402

31ga

31dsg

31I

Punând condiţia: 0M

ydeschisRd

0M

yamax.t

13

f335.173T1

3

fγ

⋅=⇒γ

=τ=τ

Răsucirea liberă a BPS cu secţiunea închisă Efortul unitar tangenţial maxim din răsucire liberă a BPS cu profil închis este dat de relaţia:

Ed.t4

r

minEd.t

min

Ed.tmax.Ed T10189.2

IgT

gT

⋅⋅=⋅

+Ω⋅

=τ −

Semnificaţia termenilor este prezentată în tabelul E.1: Tabelul E.1

dsr ⋅=Ω ∫ dublul ariei delimitate de axa mediană a BPS profil închis

∫Ω

+=

gds

II2

tr momentul de inerţie convenţional la răsucire liberă a BPS profil închis

dsg31I 3

t ⋅= ∫ momentul de inerţie convenţional al BPS, contur închis, care se consideră de secţiune inelară deschisă

2

m cm704442562A2dsr =⋅⋅=⋅=⋅=Ω ∫

42

r cm401158

140

2602

704467.346I =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+=

Punând condiţia: 0M

yinchisRd

0M

yamax.t

13

f30.4568T1

3

fγ

⋅=⇒γ

=τ=τ

Gradul de eficienţă la solicitarea de răsucire liberă a secţiunii închise, în comparaţie cu secţiunea deschisă, cu aceleaşi dimensiuni este dat de relaţia:

deschisRd

deschisRd

deschisRd

r

min

min

t

max

inchisRd T35.26TET

Ig

g1

Ig

T ⋅=⋅=⋅

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+Ω⋅

=

137

9. GRINZI PLANE CU INIMǍ PLINǍ. ALCǍTUIRE ŞI CALCUL DE REZISTENŢǍ

9.1. Aspecte generale. Secţiuni transversale Grinzile cu inimă plină se folosesc în mod curent în practica proiectării şi execuţiei podurilor metalice, având în vedere o serie de avantaje ale acestora:

- execuţie simplă şi rapidă; - posibilitatea utilizării sudării automate; - înălţime de construcţie relativ redusă; - posibilitatea realizării unor îmbinări de montaj simple şi în număr redus; - întreţinere simplă, prin suprafaţa redusă de control şi vopsire; - posibilitatea realizării unor soluţii estetice. Alături de solicitarea principală de încovoiere, în grinzi apar şi solicitări de forfecare şi

torsiune, la alcătuirea grinzilor trebuind să fie urmărite câteva principii de bază: - grinzile metalice se realizează în general de secţiune transversală dublu T, asigurându-

se o rigiditate mare la încovoiere; - inima grinzilor se alege de grosime mai mică decât cea a tălpilor, aportul acesteia la

asigurarea rezistenţei de ansamblu a elementului fiind mai redus; - pentru simplitatea execuţiei se recomandă ca grinzile cu inimă plină să se execute cu

înălţimea constantă a inimii pe toată lungimea lor, adaptarea secţiunii la variaţia solicitării de încovoiere urmând să se realizeze prin modificarea dimensiunilor tălpilor (lăţime, grosime, număr de platbande). Acest principiu nu se aplică, în general, la grinzile principale de poduri, unde datorită deschiderilor mari se recurge şi la variaţia înălţimii inimii pe lungime.

Alcătuirea secţiunii transversale a grinzilor depinde de următorii factori: - mărimea solicitărilor; - condiţiile tehnologice de exploatare şi întreţinere; - metoda de asamblare. Grinzile pot fi realizate în una din următoarele variante: - grinzi din profile laminate (I, U, T, L, grinzi cu goluri sau combinaţii între acestea ); - grinzi cu secţiune compusă solidarizate nituit; - grinzi cu secţiune compusă solidarizate sudat. La rândul lor grinzile cu secţiune compusă solidarizate nituit sau sudat pot fi realizate cu un

singur perete sau cu doi pereţi – cu talpa inferioară separabilă (câte una pentru fiecare inimă) sau cu secţiunea complet închisă. În figurile 9.1.şi 9.2. sunt prezentate secţiuni compuse de grinzi cu inimă plină, asamblate nituit şi sudat.

Fig. 9.1. Secţiuni transversale de grinzi nituite

138

Fig. 9.2.Secţiuni transversale de grinzi sudate

9.2. Predimensionarea secţiunii grinzii Cu notaţiile din figura 9.3. predimensionarea grinzilor cu inimă plină se face astfel:

Fig. 9.3. Elemente geometrice

Înălţimea grinzii h

Înălţimea grinzii se alege pe baza următoarelor criterii: • În raport cu deschiderea grinzii, funcţia pe care o îndeplineşte în

structură şi schema statică În funcţie de acest criteriu se recomandă rapoartele h/L din tabelul 9.1.

Tabelul 9.1 Destinaţia

podului Elementul podului Sistemul static Raportul h/L

profil laminat 1/8 ÷ 1/12 Lonjeron secţiune

compusă 1/7 ÷ 1/10

pod deschis 1/6

Poduri de şosea sau C.F.

Antretoază pod închis

Simplu rezemat

1/8 Simplu rezemată 1/10 ÷ 1/16 Poduri de

şosea Grindă principală Continuă 1/12 ÷ 1/30 Simplu rezemată 1/10 Poduri de C.F. Grindă principală Continuă 1/12

• Criteriul economic, conform căruia consumul de oţel din grindă să fie minim:

139

3woptim W5,1h λ⋅⋅= unde:

W

W

W th

=λ (9.1)

Pentru valori obişnuite 150100w ÷=λ rezultă:

3optim W6h ⋅≅ (9.2)

Înălţimea grinzii se poate aprecia şi cu relaţia:

W

tW1.1hoptim ⋅= (9.3)

• Criteriul de deformaţie Pentru grinzi simplu rezemate cu moment de inerţie constant, săgeata este :

hE24Lf5

IE48LM5 2

yd

b

2max

⋅⋅

⋅⋅=

⋅⋅⋅⋅

=δ (9.4)

Punând condiţia la limită aff = şi înlocuind WfM ydmax ⋅= ; hI2W b⋅

= rezultă h:

LfL

Ef

245h

a

yd ⋅⋅⋅= (9.5)

Pentru o anumită marcă de oţel şi o săgeată relativă admisibilă L/aδ se obţine valoarea înălţimii grinzii. Observaţii: - Pentru grinzi simplu rezemate cu moment de inerţie variabil săgeată se poate

calcula cu relaţia :b

2max

IE48LM5,5

⋅⋅⋅⋅

=δ

- Înălţimea inimii hw se va alege multiplu de 50 mm pentru h<1000 mm şi multiplu de 100 mm pentru h>1000 mm.

Grosimea inimii

• din condiţia ca inima să preia forţa tăietoare maximă rezultă:

)3/f(h

Vtydw

maxw

⋅≥ (9.6)

• din condiţia de zvelteţe a inimii

200100th

w

w ÷= (9.7)

• relaţii semiempirice:

mm)8]m[h2(t w +⋅= (9.8.a) mm])m[h37(tw ⋅+= (9.8.b)

]cm[h07,0tw ⋅= (9.8.c)

yd

w fh577,0Vt

⋅⋅≥ (9.8.d)

Observaţie: Grosimi obişnuite tw = 8; 10; 12; 15 mm.

Dimensiunile tălpilor Cunoscând dimensiunile inimii, se pot determina dimensiunile tălpilor, din condiţia de rezistenţă la încovoiere a secţiunii grinzii. Momentul de inerţie necesar al grinzii este:

140

2h

fMI

yd

maxnec = ;

2

f

3ww

necwnectalpi 2hA2

12htIIII ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅≅

⋅−=−=

Rezultă: 2wnec

f h)II(2A −⋅

≅ (9.9)

Cunoscând aria necesară a tălpii se determină dimensiunile b şi tf ale acesteia ţinând cont de următoarele condiţii:

h

51

31b ;

f235t15c

t)32(t ;mm2tt

yf

wfwf

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ÷≅⋅⋅≤

⋅÷≤+≥

Observaţii: - b, tf – să fie cuprinse în sortimentul de tablă laminată;

- obişnuit: 12 mm < t < 30(40) mm. 9.3. Verificarea secţiunii grinzilor cu inimă plină

Rezistenţa secţiunilor transversale Încovoiere plană pură Momentul încovoietor de calcul trebuie să satisfacă condiţia:

0.1MM

Rd.c

Ed ≤ (9.10)

Mc.Rd – momentul de rezistenţă de calcul (rezistenţa de calcul la încovoiere) se determină astfel:

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−γ

σ

−γ

−γ

−γ

=

italimtensiunipentruW

4clasatiunisecfW

3clasatiunisecfW

2si1clasetiunisecfW

M

0M

limmin.el

0M

ymin.eff

0M

ymin.el

0M

ypl

Rd.c (9.11)

1Mycydcitlim /ff γ⋅ρ=⋅ρ=σ - este efortul limită al celei mai slabe părţi a secţiunii transversale supuse la compresiune (a se vedea Stabilitatea plăcilor plane). La calculul caracteristicilor secţiunii (W), se pot neglija găurile practicate în talpa întinsă pentru realizarea îmbinărilor, dacă este îndeplinită condiţia:

0M

yf

2M

unet.f fAf9.0Aγ

≥γ

(9.12)

Încovoiere plană cu forfecare (moment încovoietor şi forţă tăietoare) Prezenţa forţei tăietoare reduce momentul încovoietor rezistent al secţiunii, însă pentru valori mici ale acesteia, respectiv sub 50% din valoarea rezistenţei plastice la forfecare, această reducere este nesemnificativă şi se neglijează.

141

Dacă:

0M

yvRd.plRd.plEd

)3/f(AV:undeV5.0V

γ=⋅≥ (9.13)

momentul încovoietor rezistent de calcul se va micşora prin evaluarea acestuia cu un efort unitar de calcul redus pe zona ariei de forfecare, la valoarea: y

'y f)1(f ρ−= (9.14)

unde: 2

Rd.pl

Ed 1V

V2⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=ρ (9.15)

Pentru secţiuni dublu T simetrice solicitate la încovoiere plană cu forfecare, momentul plastic rezistent al secţiunii se poate evalua cu relaţia:

0M

yw

2w

pl

Rd.V

ft4AW

Mγ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ρ−

= dar: Rd.cRd.V MM ≤ (9.16)

Moment încovoietor cu forţă axială Secţiuni transversale din Clasele 1 şi 2 Pentru secţiunile transversale din clasele 1 sau 2, criteriul de verificare la încovoiere cu forţă axială (în absenţa forţei tăietoare sau când Rd.plEd V5.0V ≤ ) este: Rd.NEd MM ≤ (9.17) unde: MN.Rd – momentul încovoietor rezistent de calcul, în prezenţa forţei axiale.

Pentru o tolă fără găuri pentru mijloace de îmbinare, MN.Rd este dat de relaţia:

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

2

Rd.pl

EdRd.plRd.N N

N1MM (9.18)

şi criteriul (9.17) devine: 0.1NN

MM

2

Rd.pl

Ed

Rd.pl

Ed ≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ (9.19)

Pentru secţiuni dublu simetrice de tip I şi H, se poate neglija efectul forţei axiale asupra momentului plastic rezistent în raport cu axa y-y dacă sunt satisfăcute simultan condiţiile:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

γ

≤

0M

yww

Rd.pl

Ed fth5.0

N25.0N (9.20)

Pentru secţiuni dublu simetrice de tip I şi H laminate, respectiv I şi H cu tălpi egale, alcătuite sudat, fără găuri pentru mijloace de îmbinare, se pot folosi următoarele aproximări:

Rd.y.plRd.y.NRd.y.plRd.y.N MMdara5.01

n1MM ≤−−

= (9.21.a)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

−

≤

=an:pentru

a1an1M

an:pentruM

M 2

Rd.z.pl

Rd.z.pl

Rd.z.N (9.21.b)

unde: Rd.pl

EdNNn = ; 5.0adar

Abt2Aa f ≤

−=

142

În cazul ţevilor rectangulare laminate şi în cazul secţiunilor casetate dreptunghiulare sudate, cu tălpi şi respectiv inimi identice, se pot folosi aproximările:

Rd.y.plRd.y.Nw

Rd.y.plRd.y.N MMdara5.01

n1MM ≤−

−= (9.22.a)

Rd.z.plRd.z.Nf

Rd.z.plRd.z.N MMdara5.01

n1MM ≤−−

= (9.22.b)

unde:

( )( )⎩⎨⎧

−−−−

=sudatchesonpentruA/bt2A

gularetanrectevipentruA/bt2Aa

fw 5.0aw ≤ (9.23.a)

( )( )⎩⎨⎧

−−−−

=sudatchesonpentruA/ht2A

gularetanrectevipentruA/ht2Aa

wf 5.0af ≤ (9.23.b)

Secţiuni transversale Clasa 3 Se verifică condiţia:

0M

y

0M

limEd.x

fγ

≤γσ

≤σ (9.24)

unde eforturile unitare normale Ed.xσ se evaluează din momentul încovoietor şi forţa axială, iar

limσ se determină prin metoda tensiunilor reduse. Secţiuni transversale Clasa 4 În absenţa forţei tăietoare, efortul unitar longitudinal maxim Ed.xσ , calculat cu secţiunea efectivă, din acţiunea momentului încovoietor şi a forţei axiale, trebuie să verifice condiţia:

0M

yEd.x

fγ

≤σ (9.25)

Se va verifica următorul criteriu:

1/fWeNM

/fWeNM

/fAN

0Mymin.z.eff

NzEdEd.z

0Mymin.y.eff

NyEdEd.y

0Myeff

Ed ≤γ

++

γ

++

γ (9.26)

unde:

- Aeff – aria efectivă a secţiunii transversale, calculată numai pentru acţiunea forţei de compresiune;

- Weff.min – modulul de rezistenţă efectiv, calculat pentru secţiunea solicitată numai la încovoiere;

- eN – deplasarea centrului de greutate a secţiunii din acţiunea efortului de compresiune. Moment încovoietor, forţă tăietoare si forţă axială Dacă: Rd.plEd V5.0V ⋅> , (9.27) rezistenţa secţiunii transversale se determină considerând, pe aria de forfecare, un efort de calcul redus la valoarea: y

'y f)1(f ρ−= (9.28)

143

Rezistenţa secţiunii la forfecare Forţa tăietoare de calcul trebuie să satisfacă în fiecare secţiune transversală relaţia:

0.1VV

Rd.c

Ed ≤ (9.29)

unde Rd.cV este rezistenţa de calcul la forfecare, care se consideră astfel:

( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

−γ

=

=)elasticcalculin(forfecarelaelasticacalculderezistenta

)plasticcalculin(

forfecarelaplasticacalculderezistenta3/fA

V

V0M

yvRd.pl

Rd.c (9.30)

Aria de forfecare se consideră astfel, figura 9.4: - wwfwf tht)r2t(bt2A η≥++− - secţiuni laminate I şi H – încărcare paralelă cu inima; - fwf t)rt(bt2A ++− - secţiuni U laminate – încărcare paralelă cu inima; - ( )fbtA9.0 − - secţiuni T laminate – încărcare paralelă cu inima; - ( )∑η wwth - secţiuni sudate I, H şi casetate – încărcare paralelă cu inima;

- −A ( )∑ wwth - secţiuni sudate I, H şi casetate – încărcare paralelă cu tălpile; - )hb(/Ah + - secţiuni tubulare rectangulare – încărcare paralelă cu inimile; - )hb(/Ab + - secţiuni tubulare rectangulare – încărcare paralelă cu tălpile; - π/A2 - secţiuni circulare. Valoarea η se poate considera acoperitor egală cu 1.0 (a se vedea calculul la stabilitate locală a inimii grinzilor). Pentru verificarea rezistenţei de calcul elastice la forfecare se aplică relaţia:

0.1)3/(f 0My

Ed ≤γ

τ (9.31)

Efortul tangenţial Edτ se obţine din relaţia Juravski:

tISVEd

Ed ⋅=τ (9.32)

Pentru secţiuni I şi H, efortul unitar tangenţial în inimă se poate evalua cu relaţia:

6.0A/ApentruAV

wfw

EdEd ≥=τ (9.33)

Verificarea în stadiul elastic este acoperitoare şi exclude plastifieri parţiale din forfecare. Pentru inimă fără rigidizări transversale intermediare se va verifica rezistenţa la voalare dacă este îndeplinită condiţia :

ηε

> 72th

w

w

144

Fig. 9.4 Rezistenţa la acţiunea forţelor concentrate conform EC 3

Dacǎ grinda cu inima plină este solicitată simultan la o forţă concentrată transversală, care

acţionează asupra tălpii comprimate şi la un moment încovoietor, rezistenţa secţiunii se verifică cu relaţia:

4.18.0 21 ≤η+η⋅ (9.34)

unde: 1fW

Mf ydeff

Ed

yd

Ed.x1 ≤=

σ=η ; 1

tLfF

f weffywd

dE.z

ywd

dE.z2 ≤=

σ=η (9.35.a, b)

în care: MEd – momentul încovoietor de proiectare; Weff – modulul de rezistenţă efectiv; Fz.Ed – forţa transversală de proiectare; fyd = 1My /f γ – limita de curgere de proiectare a oţelului; ly – lungimea încărcată efectiv (eficace);

Leff – lungimea efectivă (eficace) pentru rezistenţa la forţă transversală. Lungimea efectivă (eficace) pentru rezistenţa la forţă transversală se determină cu relaţia:

Leff = yF ⋅χ (9.36)

145

unde: 15,0F

F ≤λ

=χ ; cr

ywwyF

Fft

=λ ; w

3w

Fcr htEk9.0F ⋅= (9.37.a, b, c)

Coeficientul kF este funcţie de tipul de aplicare a încărcării, astfel:

2

wF a

h26k ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅+= - pentru forţe aplicate printr-o talpă şi preluate prin rezistenţa

la forfecare a inimii, figura 9.5.a;

2

wF a

h25.3k ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅+= - pentru forţe aplicate printr-o talpă şi transferate prin inimă

la cealaltă talpă, figura 9.5.b.

Fig. 9.5. Încărcări locale

concentrate

Lungimea încărcată efectiv (eficace), y , se calculează cu relaţia: ( )21fy mm1t2s +++= < a (9.38)

unde: wyw

fyf1 tf

bfm = ;

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≤λ

>λ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

=

5,0 dacã 0

5,0 dacã th02,0

m

F

F

2

w

w

2 (9.39.a, b)

Verificarea efortului unitar echivalent conform EC 3 În cazul grinzilor cu inimă plină, se verifică efortul unitar echivalent la nivelul legăturii dintre talpa superioară şi inimă, unde se cumulează efectul eforturilor unitare normale longitudinale

xσ (din M), ale eforturilor normale verticale, din acţiunea forţei concentrate, zσ , şi ale eforturilor unitare tangenţiale produse de forţa tăietoare, τ . Pentru verificarea elastică se va utiliza criteriul de curgere dat de relaţia:

0.1

/f3

/f/f/f/f

2

0My

Ed

0My

Ed.z

0My

Ed.x

2

0My

Ed.z

2

0My

Ed.x ≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

γτ

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

γσ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

γσ

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

γσ

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

γσ

(9.40)

Efortul unitar normal longitudinal xσ :

2

hI

M wEdEd.x ⋅=σ (9.41)

Efortul unitar normal vertical zσ : Calculul se efectuează în conformitate cu EC 3-1-5, pct.3.2.3, efortul unitar zσ , având distribuţia prezentată în figura 9.6 , fiind dat de relaţia :

146

( )l.stweff

Ed.zEd.z atb

F+

=σ (9.42)

unde: - 2

eeeff ns

z1sb ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= ;

w

l.stt

a878.01636.0n += ; fse t2ss +=

- ast.l = aria rigidizărilor / distanţa dintre rigidizări.

Fig. 9.6

Efortul unitar tangenţial:

w

EdEd A

V≈τ (9.43)

Rezistenţa la flambaj vertical

al tălpii comprimate în planul inimii

Sub acţiunea încărcărilor exterioare se produce încovoierea grinzii, iar rezultanta eforturilor unitare în tălpi produce un efort unitar de compresiune σn , uniform distribuit pe laturile inimii, figura 9.7.

Deplasarea bruscă a tălpii comprimate

către inimǎ este cunoscută sub denumirea de flambaj vertical, fenomenul fiind important în ceea ce priveşte siguranţa în exploatare a grinzilor cu inimă plină.

Fig. 9.7

147

Datorită necunoaşterii precise a rigidităţii mediului de rezemare alcătuit din inima deformată, o analiză exactă a acestei probleme nu este practic posibilă, însă o valoare aproximativă a rezistenţei inimii se poate obţine presupunând că ea lucrează ca un stâlp dublu articulat de lungime hw. Forţa critică de flambaj vertical

Dacă se consideră o porţiune de grindă de lungime dx, figura 9.7, forţa radială de

compresiune care apare după deformarea grinzii din încovoiere, va fi:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ρ

⋅σ⋅=dx

21A2R ff (9.44)

Înlocuind : w

th

21 ε=

ρ şi σt = fy , se obţine:

dxtAE

Af2hE

dxAf2R w

w

f2y

w

f2y ⋅

⋅

⋅⋅=

⋅

⋅⋅⋅= (9.45)

Flambajul vertical al grinzii nu se va produce dacă forţa de compresiune R este mai mică decât forţa de compresiune critică a „barei comprimate” de lungime hw şi secţiune tw ×dx , respectiv:

( )dxt

th112

EdxtAE

Af2w2

w

w2

2

ww

f2y ⋅

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅μ−

π=⋅

⋅

⋅⋅ (9.46)

Se obţine condiţia de a nu se produce flambajul vertical al inimii, exprimată în zvelteţea limită admisă:

f

w

yw

wAA

fEk

ths ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅≤= (9.47)

unde: ( ) 67,0124

k 2

2=

μ−π

= , pentru μ = 0.3

Observaţie: Pentru cazurile obişnuite această condiţie nu este restrictivă, valoarea s rezultând mare.

Flambajul vertical în conformitate cu normativul EC 3:1-5

Pentru a preveni flambajul tălpii comprimate în planul inimii, raportul hw/tw al inimii trebuie

să satisfacă criteriul:

fc

w

yfw

wAA

fEk

th

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≤ (9.48)

unde: Aw – aria inimii; Afc – aria tălpii comprimate; fyf – limita de curgere a oţelului din talpă. Valoarea coeficientului k se consideră astfel: - k = 0,3 - dacă se foloseşte procedeul articulaţiilor plastice (tălpi clasa 1); - k = 0,4 - dacă se foloseşte momentul plastic rezistent (tălpi clasa 2); - k = 0,55 - dacă se foloseşte momentul elastic rezistent (tălpi clasa 3 sau 4). Dacă grinda este curbă în elevaţie, cu talpa comprimată pe faţa concavă, supleţea inimii

rezultă din relaţia:

148

yf

w

fc

w

yf

w

w

fr3Eh1

AA

fEk

th

⋅⋅⋅

+

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

≤ , r este raza de curbură a tălpii comprimate. (9.49)

Observaţii: Flambajul vertical al grinzilor cu inimă plină, respectiv flambajul tălpii comprimate în planul inimii, este un

fenomen de care trebuie să se ţină cont în cazul grinzilor cu inimă plină fără rigidizări transversale şi longitudinale. Condiţiile privind limitarea supleţii inimii nu sunt însă severe nici atunci când se ţine cont de influenţa tensiunilor reziduale din sudare, daca la talpa superioară (comprimată) a grinzii, nu se aplică încărcări concentrate. În cazul încărcărilor cu forţe concentrate, condiţia de neproducere a flambajului vertical este deosebit de severă, motiv pentru care se recomandă ca cel puţin în dreptul zonelor de aplicare ale acestora, grinda să fie prevăzută cu rigidizări transversale. 9.4. Verificarea condiţiei de rigiditate Calculul deformaţiei verticale În cazul grinzilor drepte, cu secţiunea constantă, pentru încărcări curente, săgeata maximă se calculează cu relaţiile stabilite la “Rezistenţa materialelor”. În cazul unor scheme statice nedeterminate (grinzi continue) şi la grinzile cu secţiune variabilă, săgeata se calculează cu metoda grinzilor conjugate sau cu metoda Mohr-Maxwell; se recomandă metoda Mohr-Maxwell, după care, deformaţia maximă se determină cu relaţia:

dxI

ImM

IE1 L

0

c

c∫ ⋅⋅

⋅=δ (9.50)

în care: M – momentul încovoietor produs de încărcarea reală de pe grindă; m – momentul încovoietor produs de o încărcare unitară fictivă 1P = , aplicată în

punctul în care se calculează săgeata şi după direcţia săgeţii; cI – momentul de inerţie de referinţă ( minI sau maxI ).

Pentru simplificarea calculului de integrare a suprafeţelor se folosesc relaţiile Vereşceaghin.

În cazul grinzilor drepte simplu rezemate, cu secţiune variabilă, săgeata se poate calcula în mod aproximativ cu relaţiile de la grinda cu secţiune constantă, majorând valorile cu 10 %.

În cazul grinzilor continue, cu secţiune constantă, încărcate oarecum (cu forţe concentrate sau distribuite), săgeata maximă la mijlocul unui panou se determină cu relaţia:

r0max δ−δ=δ (9.51)

unde: 0δ - săgeata unei grinzi simplu rezemate, cu deschiderea egală cu deschiderea panoului

unde se verifică săgeata, încărcată astfel încât MAX0 =δ ;

rδ - săgeata aceleiaşi grinzi simplu rezemate, solicitată de momentele negative de pe reazemele alăturate, calculate în aceleaşi ipoteze de încărcare.

În lipsa unui calcul exact, săgeata maximă pentru o grindă cu secţiune constantă, maxδ , poate fi calculată cu relaţia acoperitoare:

b

2

med.rmax

max IE8LM

2.1M

⋅⋅⋅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=δ (9.52)

unde (fig. 9.8): maxM - momentul încovoietor maxim pe grinda simplu rezemată de deschidere L;

149

2

MMM d.rst.rmed.r

+= - media aritmetică a momentelor încovoietoare de pe cele

două reazeme adiacente deschiderii L.

Fig. 9.8. Momente încovoietoare pentru calculul săgeţii

Deformaţii limită – norme române

Deoarece euronormele nu prezintă detaliat săgeţile limită pentru diferite elemente constitutive ale suprastructurii, se consideră utilă prezentarea şi a normelor române.

Verificarea rigidităţii grinzilor încovoiate se face în secţiunea unde deformaţiile sunt maxime, considerând că grinda lucrează în domeniul elastic.

La calculul deformaţiilor se iau în calcul numai acţiunile normate, fără a fi multiplicate cu coeficienţi dinamici ψ .

Condiţia de rigiditate este asigurată dacă este îndeplinită condiţia: amax δ≤δ (9.53)

unde: maxδ - săgeata maximă a grinzii, calculată cu secţiunea brută; aδ - săgeata admisibilă a elementului, tabelul 9.2 şi tabelul 9.3.

Tabelul 9.2 PODURI METALICE DE CALE FERATǍ

150

Tabelul 9.3 PODURI METALICE DE ŞOSEA

Nr. crt. Elementul de construcţie Săgeata admisibilă aδ1. Grinzile trotuarului L/300

L/500 2.

Grinzile căii sub acţiunea: a) autovehiculelor cu şenile b) autocamioanelor L/600

L/600 3.

Grinzi principale cu inimă plină sub acţiunea: a) vehiculelor cu şenile b) autocamioanelor L/700

4. Poduri combinate L/500 5. Sisteme suspendate (suma săgeţilor) L/600 6. Sisteme suspendate combinate (suma săgeţilor) L/600

7. Deformaţia în plan orizontal a suprastructurii podurilor de şosea şi cale ferată

L/5000

Stări limită de serviciu – euronorme In conformitate cu EN 1990. Anexa A2, se vor efectua verificări privind:

- starea de serviciu privind deformaţia şi vibraţia podurilor rutiere; - vibraţia pasarelei sub traficul pietonal; - starea de serviciu privind deformaţia şi vibraţia podurilor feroviare:

• acceleraţia verticală a tablierului; • răsucirea tablierului; • deformaţia orizontală; • deformaţia verticală:

600L

max =δ (9.54)

Din condiţia de confort de circulaţie ”foarte bun”, săgeata verticală maximă, pentru elementele în lungul căii, este dată în EN 1990 - Anexa A2, pentru grinzi cu 3 sau mai mult de 3 deschideri simplu rezemate (figura 9.9). Deformaţia verticală δ se calculează din acţiunea convoiului LM 71, pentru 1i =γ , luând în considerare coeficientul dinamic Φ .

Fig. 9.9

Raportul δ/L admisibil, în funcţie de viteză, rezultat din figura 9.8, se multiplică cu 0.9 pentru grinzi continue şi cu 0.7 pentru o grindă simplu rezemată sau 2 grinzi simplu rezemate succesive .

151

9.5. Exemple numerice E1. Rezistenţa la încovoiere Se determină rezistenţa la încovoiere a unei grinzi cu inimă plină în următoarele variante de calcul şi alcături constructive:

• grinda considerată, la evaluarea rezistenţei la încovoiere, ca fiind fără rigidizări; • grinda prevăzută cu rigidizări transversale şi o rigidizare longitudinală. Alcătuirea constructivă a grinzii (cu rigidizări) este prezentată în figurile E1.1 şi E1.2.

Fig. E1.1

Fig. E1.2

Caracteristicile de calcul ale secţiunii brute sunt prezentate în figura E1.3.

Fig. E1.3

152

Rezistenţa de calcul la încovoiere a grinzii

A. Grinda fară rigidizări Clasa secţiunii:

Talpa comprimată: 3.781.0995.630

2/)10400(tcf

=⋅=ε⋅<=−

= ⇒ talpa Clasa 1

Inima : 44.10081.012412415010

1500tcw

=⋅=ε⋅>== ⇒ inima Clasa 4

Clasa secţiunii =max. [clasa inimii; clasa tălpii comprimate] = 4.

Secţiunea eficace a inimii

Inima grinzii este un element rezemat pe două laturi, solicitat la încovoiere, figura E1.4.

Fig. E1.4

Pentru: ψ = 01

2 <σσ , avem: beff = pc bb ⋅ρ=⋅ρ / ( )ψ−1 ; be1=0.4· beff; be2=0.6· beff

În acest caz: ψ = - 1 ; kσ =23.9.

Rezultă : 673.033.1k4,28

t/bpp >=

⋅ε⋅=λ

σ

−; =ρ 163.0

)3(055,02p

p <=λ

Ψ+−λ

Se obţine: beff=0.63 xּ750 = 473 mm; be1=190 mm; be2=283 mm.

Secţiunea eficace a grinzii şi distribuţia eforturilor unitare este prezentată în figura E1.5.

Fig. E1.5

Rezultă momentul de rezistenţă de calcul (rezistenţa de calcul la încovoiere):

153

kNm1287100.1

355010008.2fWM 4

4

0M

ymin.effRd.c =⋅

⋅⋅=

γ= −

B. Grinda rigidizată Grinda prevăzută cu rigidizare longitudinală (considerată perfect rigidă) Rigidizarea longitudinală s-a dispus înspre mijlocul zonei inactive, respectiv la 300 mm sub talpa comprimată, fig. E1.6, la o distanţă de 0.20·b. Prin dispunerea rigidizării longitudinale înălţimea inimii este divizată în două subpanouri având laturile mm300b1 = (subpanoul 1) şi mm1200b2 = (subpanoul 2), figura E1.6.a.

Fig. E1.6

Clasa secţiunii Subpanoul 1:

Subpanoul superior de inimă este o placă comprimată neuniform, rezemată pe două laturi, figura E1.7 )5.01( 1 >=α .

73.26)113/(3962910290

tc

1w

=−αε⋅>==

78.30)113/(456tc

1w

=−αε⋅< ⇒Clasa 2

Panoul superior de inimă este integral activ (eficace).

Fig. E1.7

Subpanoul 2:

11910

1190tcw

== ; 167.1450750;5.038.0

1190450

22 −<−=−=Ψ<==α

173)1(621195.88/5.41 222 =Ψ−Ψ−ε⋅<<=αε⋅ ⇒ subpanoul Clasa 3.

154

Rezultă momentul capabil al secţiunii rigidizate (rezistenţa la încovoiere):

mkN2758100.1

355010331.2fWM 4

4

0M

ypl.elplelRd.c ⋅=

⋅⋅=

γ

⋅= −−

unde: 322

el.wwpl.wpl.wffpl.el cm31023

6901120130153340

6htdAdAW =

⋅+⋅⋅+⋅⋅==+⋅+⋅=

Influenţa rigidizării longitudinale asupra rezistenţei la încovoiere a secţiunii Rigidizarea longitudinală se realizează din două platbande dispuse pe o parte şi pe alta a inimii, cu dimensiunile de 100x15 mm, figura E1.8.

Fig. E1.8

Având în vedere faptul că inima din cele două panouri adiacente rigidizării longitudinale este integral activă (efectivă), se evaluează clasa secţiunii platbandelor rigidizării longitudinale:

1Clasa29.7967.615

100tc

⇒=ε<==

Secţiunea şi caracteristicile de calcul ale rigidizării longitudinale (platbandele şi zonele aferente din inimă) sunt prezentate în figura E1.9 (rigidizarea este integral activă).

Fig. E1.9

Se evaluează caracteristicile de calcul ale rigidizării ca bară comprimată rezemată elastic pe inima grinzii.

155

Comportarea tip placă:

- lungimea teoretică de flambaj:

43

22

21s

cbtbbI33.4a = cm200acm433

150112030116033.4 4

3

22=>=

⋅⋅⋅

=

- tensiunea critică de flambaj pentru caa < :

( )2

22

236

2

62

22

21s

22

23

2s

s2

s.cr

cm/daN9744120304.649.352001501101.2

2004.641160101.2

bbA14abtE

aAIE

=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

+⋅

⋅⋅π=

=υ−π

+π

=σ

- tensiunea critică pentru comportarea tip placă: 2

s.cr1.st

cp.cr cm/daN240169744

450750

bb

==σ=σ

- coeficientul de zvelteţe redus:

p.cr

yc.Ap

fσ

⋅β=λ 1673.047.0

1624035501

=ρ⇒<=⋅

= (curba c)

Comportare tip stâlp

- efortul unitar critic elastic:

22

62

2s

s2

1.c.cr cm/daN93242004.64

1160101.2aA

EI=

⋅⋅π

=π

=σ

21.c.cr

1.st

cc.cr cm/daN540159324

450750

bb

==σ=σ

- zvelteţea relativă a stâlpului:

c.cr

yc.Ac

fσ

⋅β=λ 85.048.0

5401535501

c =χ⇒=⋅

= (curba c)

- factorul global de reducere cρ :

( ) ( ) 86.02 ccc =χ+ξ−ξχ−ρ=ρ ; 1045.015401524016

c.cr

p.cr <=−=σ

σ=ξ

Se obţine tensiunea limită în dreptul rigidizării:

2ydc cm/daN277510.1/355086.0f =⋅=⋅ρ yf78.0 ⋅=

Rezistenţa la încovoiere se poate determina trasând diagrama eforturilor unitare în starea limită, figura E1.10. Modulul de rezistenţă elasto-plastic, corespunzător diagramei (2) - figura E1.10:

322

)2.(el.ww)2(pl.w

)2(pl.wff

)2(pl.el cm87522

64.11517.13213.17153340

6ht

dAdAW =⋅

+⋅⋅+⋅⋅==+⋅+⋅=

Rezistenţa la încovoiere a grinzii va fi:

mkN1208100.1

3550102875.2fWM 4

4

0M

y)2(pl.elr

Rd.c ⋅=⋅⋅

=γ

⋅= −

156

Fig. E1.10

E2. Rezistenţa la acţinea forţei concentrate

Se verifică rezistenţa în stadiul limită ultim pentru inima unei grinzi metalice având secţiunea transversală dată în figura E2.1. Grinda este solicitată la o forţă concentrată FEd=150 kN şi un moment încovoietor MEd=540 kNm.

Material: Oţel S 235: 2

y mm/N235f = Caracteristicile secţiunii:

Iy = 132 283 cm4

3g cm3575WW ==

Fig. E2.1

Clasa secţiunii transversale:

talpa: 995.42090

tcf

=ε<== ⇒Clasa 1

inima: 72727010700

td

w=ε<== ⇒Clasa 1

Clasa secţiuni = min [Clasatălpii comprimate; Clasa inimii]⇒ secţiune Clasa 1

Secţiunea transversală fiind încadrată în Clasa 1, rezistenţa secţiunii se determină luând în considerare caracteristicile secţiunii brute.

Se calculează termenii care intervin în relaţiile de calcul:

157

2

wF a

h26k ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+= 53.7

807026

2=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

w

3w

Fcr ht

Ek9,0F ⋅= daN 310 203701101.253.79.0

36 =⋅⋅⋅⋅=

wyw

fyf1 tf

bfm = 20

123520235

=⋅⋅

= ; 981

7002.0th02.0m

22

w

w2 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

( )21fy mm1t2s +++= ( ) cm57982012210 =++⋅+=

cr

ywwyF

Fftl

=λ 81.0310 2032350157

=⋅⋅

= ; F

F5,0

λ=χ 62.0

81.05,0

==

Rezultă lungimea efectiva de rezistenţă: Leff = yF ⋅χ cm 355762.0 =⋅=

Se calculează η1 la nivelul de legătură talpă - inimă şi η2:

1z)/f(I

Mf ws

0Myeff.y

Ed

yd

xEd1 ≤

γ=

σ=η ; 161.035

)0.1/2350(283 13210540 4

1 <=⋅⋅

=η

1tL)/f(

Ff weff1My

dE

yd

dzE2 ≤

γ=

σ=η ; 120.0

135)1.1/2350(15000

2 <=⋅⋅

=η

Se verifică relaţia privind rezistenţa inimii solicitată la încovoiere şi forţă concentrată: 4.169.020.061.08.08.0 21 <=+⋅=η+η⋅

Pierderea stabilităţii locale a inimii şi tălpii sub efectul combinat - forţe concentrate, încovoiere şi forfecare

158

10. STABILITATEA LOCALǍ A GRINZILOR CU INIMǍ PLINǍ

10.1. Verificarea stabilităţii locale a inimii în conformitate cu normativul EC 3 În figura 10.1 sunt prezentate grinzi cu inimă plină, alcătuite sudat sau nituit, prevăzute cu rigidizări transversale, respectiv rigidizări transversale şi longitudinale.

Fig. 10.1. Rigidizarea inimilor Rezistenţa la voalare din forfecare Plăcile (tolele) pentru care:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−ηε

−ηε

>

τ rigidizateinimik31

tenerigidizainimi72

th

w

w (10.1)

se vor verifica la voalare din forfecare, iar grinzile vor fi prevăzute cu rigidizări transversale pe reazeme.

Parametrii care intervin în relaţii sunt:

yf

235=ε ;

⎩⎨⎧

>−−

=η,460S:otel00.1

460S...235S:otel20.1 ; τk - coeficientul de voalare din forfecare.

159

Coeficientul de voalare din forfecare Pentru inimi prevăzute numai cu rigidizări transversale, fără rigidizări longitudinale sau, având mai mult de două rigidizări longitudinale, coeficientul de voalare din forfecare se determină cu relaţia:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

<−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

≥−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

=

τ

τ

τ

1hapentruk

ah34.500.4

1hapentruk

ah00.434.5

k

wst

2w

wst

2w

(10.2)

unde: 3w

sl4

3

w3

sl2

wst h

It1.2:putinceldar

htI

ah9k ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=τ (10.3)

- a – distanţa între rigidizările transversale (fig. 10.2); - Isl – momentul de inerţie al rigidizării longitudinale în raport cu axa z-z ( fig. 10.2).

Pentru inimi prevăzute cu două sau mai multe rigidizări longitudinale, egal sau inegal

distanţate, Isl este suma momentelor de inerţie ale rigidizărilor. Relaţia (10.2) se aplică şi pentru inimi prevăzute cu una sau două rigidizări longitudinale, dacă este îndeplinită condiţia 3h/a w ≥=α ; dacă 3<α , coeficientul de voalare din forfecare se calculează relaţia:

3w

3sl

2w

3sl

htI2.2ht

I18.03.61.4k +

α

++=τ (10.4)

Fig. 10.2 Rezistenţa de proiectare la voalare Pentru inimi rigidizate sau nerigidizate, figura 10.3, rezistenţa de calcul la voalare din forfecare se calculează cu relaţia:

1M

wywRd.bfRd.bwRd.b 3

thfVVV

γ

η≤+= (10.5)

160

Fig. 10.3

Contribuţia inimii Contribuţia inimii în valoarea rezistenţei la voalare din forfecare se evaluează cu relaţia:

1M

wywwRd.bw 3

thfV

γ

χ= (10.6)

Pentru inimi prevăzute cu rigidizări transversale numai la reazeme şi pentru inimi prevăzute cu rigidizări transversale sau cu rigidizări longitudinale, sau de ambele tipuri, factorul wχ , care defineşte contribuţia inimii în rezistenţa la voalare (grosimea efectivă pentru forfecare), se obţine din tabelul 10.1 sau din graficul din figura 10.4. Tabelul 10.1

Montant de reazem rigid Montant de reazem nerigid η<λ /83.0w η η

08.1/83.0 w <λ≤η w/83.0 λ w/83.0 λ 08.1w ≥λ ( )w7.0/37.1 λ+ w/83.0 λ

Fig. 10.4 Parametrul de zvelteţe wλ se determină cu relaţia:

cr

yww

f76.0

τ=λ (10.7)

161

unde: Ecr k σ⋅=τ τ (10.8) Zvelteţea wλ poate fi calculată cu relaţiile explicite:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−ε

−ε

=λ

τkt4.37h

reazeme pe numai letransversa rigidizarit4.86

h

w

w

w

w

w (10.9)

unde τk se va lua corespunzător panoului de inimă pentru care se obţine valoarea minimă (panou delimitat de două rigidizări transversale rigide consecutive şi tălpi). Pentru inimi prevăzute şi cu rigidizări longitudinale se verifică condiţia:

i

wiwiwkt4.37

h

τε=λ≥λ (10.10)

unde hwi şi ikτ se referă la subpanoul cu cel mai mare coeficient wλ , iar ikτ se calculează cu relaţiile (10.2), considerând stkτ = 0. Prin urmare, pentru panori prevăzute şi cu rigidizări longitudinale, se va opera cu zvelteţea relativă: =λ MAX.w max.[ wiw ; λλ ]. Contribuţia tălpilor Dacă tălpile nu sunt complet utilizate pentru preluarea momentului încovoietor (MEd < Mf Rd), se poate lua în considerare şi contribuţia tălpilor în rezistenţa de voalare din forfecare, utilizând relaţia:

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

γ=

2

Rd.f

Ed

1M

yf2ff

Rd.bf MM1

cftb

V (10.11)

unde: - bf şi tf se iau pentru talpa cu secţiune minimă;

- ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+=

yw2w

yf2ff

fht

ftb6.125.0ac

- 0M

k.fRd.f

MMγ

= - momentul rezistent al tălpilor;

- ( ) yf2eff.2f1eff.1fk.f fhAhAM ⋅+⋅= - A f1.eff , A f2.eff - ariile efective ale tălpilor; - h1 , h2 - distanţele de la centrele de greutate a tălpilor la centrul de greutate a secţiunii grinzii. Atunci când grinda este solicitată în plus şi la o forţă axială NEd, valoarea momentului Mf.Rd

se reduce cu factorul:

( )⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

γ

+−

0M

yf2f1f

EdfAA

N1 (10.12)

Relaţia de verificare la voalare din forfecare este:

0.1VV

Rd.b

Ed3 ≤=η (10.13)

rigidizări transversale pe reazeme şi rigidizări intermediare transversale şi / sau longitudinale

162

10.2. Interacţiunea (SR EN 1993-1-5, § 7.1) 10.2.1.Interacţiunea dintre forţa de forfecare, momentul încovoietor şi forţa axială Dacă este îndeplinită condiţia:

5.0V

V

Rd.bw

Ed3 ≤=η ,

nu este necesară reducerea momentului încovoietor capabil şi a forţei axiale capabile pentru luarea în considerare a efectelor de forfecare. Dacă condiţia nu este îndeplinită, efectele combinate de încovoiere şi forfecare din inima grinzii trebuie să satisfacă condiţia:

( )Rd.pl

Rd.f

Rd.pl

Ed1

23

Rd.pl

Rd.f1 M

MMM:pentru0.112

MM1 ≥=η≤−η⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+η (10.14)

De asemenea trebuie respectate condiţiile:

1/fW

eNM/fA

N

0Myy.eff

NyEdEd.y

0Myeff

Ed1 ≤

γ

++

γ=η (10.15.a)

0.1VV

Rd.b

Ed3 ≤=η (10.15.b)

10.2.2. Interacţiunea dintre forţa transversală, momentul încovoietor şi forţa axială

Dacǎ grinda cu inima plină este solicitată simultan la o forţă concentrată transversală, care

acţionează asupra tălpii comprimate şi la un moment încovoietor, rezistenţa secţiunii se verifică cu relaţia: 4,18,0 21 ≤η+η (10.16)

unde: 1tLf

F

weffywd

dE2 ≤=η

10.3. Rigidizări 10.3.1. Rigidizări transversale Pentru verificarea la flambaj a rigidizărilor, la calculul ariei se consideră secţiunea brută plus o lăţime egală cu t15ε de fiecare parte a rigidizării, figura 10.5, dar care să nu depăşească lăţimea de placă aferentă.

Fig. 10.5

163

Rigidizările transversale trebuie să asigure reazeme rigide pentru panourile de inimă prevăzute cu sau fără rigidizări longitudinale. Rigidizările transversale trebuie analizate ca şi grinzi simplu rezemate, cu o imperfecţiune iniţială w0 (fig. 10.6), unde: w0 = s/300, unde s = min. (a1, a2, b)

- a1; a2 – lungimile panourilor adiacente rigidizării; - b – distanţa dintre centrele de greutate a tălpilor sau deschiderea rigidizării

transversale.

Fig. 10.6

Utilizând o analiză elastică de ordinul II, rigidizările transversale trebuie să verifice următoarele criterii privind stările limită ultime:

C1 - tensiunile maxime să nu depăşească 1My /f γ ; C2 - săgeata suplimentară să nu depăşească b/300. În absenţa unei forţe axiale sau a unor încărcări transversale concentrate, condiţiile

anterioare se consideră satisfăcute dacă momentul de inerţie al rigidizării transversale îndeplineşte condiţia:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛π

σ≥ u

b300w1b

EI 0

4m

st (10.17)

unde:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

σσ

=σ21

Ed

p.cr

c.crm a

1a1

bN ; 0.1b300f

eEu

1M

y

max2

≥

γ

π= (10.18.a, b)

- emax – distanţa maximă de la o fibră extremă a secţiunii rigidizării la centrul de greutate al secţiunii rigidizării;

- NEd – forţa de compresiune maximă a panourilor adiacente rigidizării;

- p.crc.cr ;σσ – definite la stabilitatea plăcilor; 10p.cr

c.cr <σσ

< .

Observaţie: Se poate considera acoperitor: 1/ p.crc.cr =σσ .

Atunci când forţa de compresiune NEd nu este constantă pe înălţimea panoului de inimă, cum este în cazul grinzilor cu inimă plină, este importantă rezultanta eforturilor de compresiune pe zona comprimată a grinzii, care pentru simplitate, se extinde pe toată înălţimea panoului. ca încărcare uniform distribuită. Dacă în panourile adiacente rigidizării forţa de compresiune este diferită se operează cu cea maximă. Săgeata rigidizării transversale se poate evalua considerând o încărcare transversală a acesteia cu o forţă concentrată s

Rd.btransv N02.0N ⋅= , figura 10.7 [3].

164

Fig. 10.7

În această ipoteză se obţine condiţia:

300b

bIE3bbNw

st

22

21.transv

el <⋅⋅⋅

= (10.19)

Pentru simplificare, în absenţa forţelor axiale, se consideră că sunt îndeplinite criteriile C1 şi

C2 utilizând o analiză elastică de ordinul I, luând în considerare o încărcare laterală uniform distribuită q, pe lungimea b a rigidizării, având valoarea:

( )el0m ww4

q +σπ

= (10.20)

unde: - wel – deformaţia elastică determinată prin calcul iterativ, sau poate fi luată cu valoarea

maximă - b/300. Pentru a evita flambajul prin răsucire a rigidizărilor cu secţiune deschisă se vor verifica condiţiile prevăzute de EN 1993-1-5 § 9.2:

Ef

3.5II y

p

T ≥ (10.21.a)

Dacă este considerată rigiditatea răsucirii împiedicate se verifică (10.21.a) sau criteriul: ycr f⋅θ≥σ (10.21.b) în care: - TI - momentul de inerţie convenţional la răsucire (St. Venant) al rigidizării fără inimă:

3tb2I3ss

T = (pentru rigidizări simple)

- pI - momentul de inerţie polar al rigidizării fără inimă faţă de marginea fixată pe inimă:

3

tb212

tb3

tb2I s3s

3slss

3s

p⋅

≈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅+

⋅= (pentru rigidizări simple)

Relaţia (10.21.a) devine:

⇒≥⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≈

Ef

3.5bt

II y

2

sl

sl

p

T ⎩⎨⎧

−−

=⋅

≤355S5.10235S13

f3.5E

tb

ys

s

- crσ - tensiunea critică elastică pentru flambaj prin torsiune, fără luarea în considerare a rotirii datorită plăcii:

2

s

s6

p

T

p

T

p

Tcr b

t10807.0II

6.2E

II

)1(2E

IIG ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅≈=

ν+==σ - secţiuni din platbande;

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

π=σ ω

T2f

2

pcr GIEI

I1 - secţiuni deschise relativ rigide la torsiune (L, T).

Lungimea de flambaj a rigidizării transversale se va lua de cel puţin 0.75·hw. - θ - parametru care asigură un comportament de Clasa 3 a rigidizării.

165

EC3-1-5 recomandă 6=θ , fără să fie făcute precizări referitoare la tipul secţiunii rigidizării. Alte lucrări (ex. [11]) recomandă 2=θ , pentru rigidizările cu secţiune deschisă şi 6=θ pentru rigidizările rigide la torsiune (secţiuni T, L).

Momentul de inerţie a rigidizărilor transversale care constituie reazeme rigide pentru panourile adiacente, trebuie să verifice condiţiile:

2h/a:pentrua/th5.1I w233

wst <−≥ (10.22.a)

2h/a:pentruth75.0I w3

wst ≥−≥ (10.22.b) Rigidizările transversale se verifică la flambaj (curba „c” de flambaj), pentru o forţă axială

egală cu valoarea:

( )1Mwwyw2w

EdEd 3/thf1VN γλ

−= (10.23)

Forţa tăietoare se calculează la distanţa de 0.5·hw măsurată de la marginea panoului la care forţa tăietoare este maximă.

În cazul aplicării unor încărcări transversale, rigidizarea se verifică la compresiune axială,

dacă are secţiune simetrică, sau la compresiune cu încovoiere pentru secţiuni nesimetrice (rigidizări dispuse numai pe o parte a inimii).

Lungimea de flambaj a rigidizării se va considera minimum 0.75·hw.

Verificarea rigidizării din acţiunea forţei longitudinale şi a forţei transversale verticale concentrată

În cazul acţiunii simultane a unei forţe verticale şi a forţelor longitudinale direct aplicate sau rezultate din acţiunea momentului încovoietor se va adăuga o forţă de compresiune suplimentară, figura 10.8, stabilită cu relaţia [11]:

2

2m

Ed.stbN

π

σ=Δ (10.24)

Fig. 10.8

În acest caz săgeţile rigidizării vor fi date de relaţiile:

st.cr

Ed.st00

NN

1

1wwwf∑−

=+= ; 1

NN

1ww

Ed.st

st.cr0

−=

∑ (10.25.a;b)

Efortul unitar maxim în secţiunea rigidizării va fi cel corespunzător solicitării de compresiune şi încovoiere:

maxst

Ed.st

st

Ed.stmax e

IfN

AN ∑ ⋅

+=σ (10.26)

Relaţiile (10.25) şi (10.26) sunt aplicabile pentru rigidizări simetrice (pe ambele părţi).

166

Relaţiile de verificare C1 şi C2 vor fi:

300

bw ≤ ; 1M

ymax

fγ

≤σ (10.27.a;b)

10.3.2. Rigidizări longitudinale În absenţa unor încărcări axiale longitudinale ale grinzii, rigidizarea longitudinală se verifică la compresiunea rezultată din acţiunea momentului încovoietor, figura 10.9. Condiţiile (10.21), referitoare la rigidizările transversale se aplică, de asemenea şi pentru rigidizările longitudinale. Rigidizările longitudinale discontinue care nu trec prin deschideri practicate în rigidizările transversale sau nu sunt prinse de părţile laterale ale acestor rigidizări, vor fi:

- folosite numai pentru inimi; - neglijate în analiza globală; - neglijate în calculul eforturilor; - considerate în calculul lăţimilor eficace a panourilor secundare ale inimii;

- considerate în calculul tensiunii elastice critice.

Fig. 10.9 10.3.3. Montantul rigid de capăt Montanţii de reazem se pot realiza în două variante din punct de vedere al funcţiunii structurale, respectiv:

• montanţi rigizi; • montanţi nerigizi.

Montanţii rigizi se alcătuiesc şi se dimensionează astfel încât să poată prelua reacţiunea verticală a grinzii şi să asigure ancorarea rezultantei tensiunilor de întindere din panoul de capăt al inimii, ca efect al formării câmpului diagonal întins. Montanţii nerigizi preiau numai reacţiunea verticală a grinzii, pentru preluarea tensiunilor din efectul de câmp fiind necesară în general reducerea deschiderii primului panou de inimă. În figura 10.10 sunt prezentate schematic cele două tipuri de montanţi – rigizi şi nerigizi. Constructiv, montantul rigid se poate realiza prin dispunerea unor rigidizări suplimentare la distanţa „e” din axul de rezemare sau utilizând un profil laminat. Pentru realizarea unei ancorări corespunzătoare a câmpului diagonal întins se recomandă ca distanţa „e” să îndeplinească condiţia: wh1.0e ⋅> (10.28) Aria rigidizărilor, Ae , se determină din condiţia de rezistenţă la încovoiere a grinzii scurte dublu T, produsă de componenta orizontală a tensiunii de întindere din câmpul diagonal.

167

Fig. 10.10

Componenta orizontală a tensiunilor de întindere din inimă poate fi aproximată din condiţia:

wy

h 43.0f λ

=σ (10.29)

Zvelteţea redusă a inimii este dată de relaţia [11]:

τ⋅ε⋅⋅

=τ

=τ⋅

=λkt4.37

hf76.0

3

f

w

w

cr

y

cr

yw (10.30)

în care: 2w

2w

2

2

crht

)1(12Ekμ−

π=τ τ ;

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

<−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

≥−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

=τ

1hapentru

ah34.500.4

1hapentru

ah00.434.5

k

w

2w

w

2w

Prin înlocuiri succesive se obţine [11]:

w

2wy

w

2w

ywhh hktf

1.16h

kt4.37f43.0tq ττ ⋅ε⋅⋅

=⋅ε⋅⋅

⋅=⋅σ= (10.31.a)

yw

2wMAX

h fht49q = - pentru: 34.9k;1 MAX ==ε τ (10.31.b)

Deoarece hq variază pe înălţimea inimii grinzii, se admite o valoare medie echivalentă, figura 10.11, dată de relaţia [11]:

yw

2w

eq.h fht32q = (10.32)

Fig. 10.11

168

Pentru: 8

hqM

2weq.h

max⋅

= , din condiţia: ymax

max fW

M≤=σ , se obţin condiţiile recomandate

de EN 1993-1-5:

e

th4A2ww

e⋅

≥ - pentru: eAW e ⋅≈ (10.33.a)

2wwr th4W > - pentru montantul rigid din profile (10.33.b)

10.4. Exemple de calcul E1. Montant de reazem Se verifică montantul de reazem, rigidizarea de capăt şi panoul marginal la voalare din forfecare, a unei grinzi principale cu inimă plină de pod metalic.

Se cunosc următoarele date: - alcătuirea constructivă şi date geometrice, conform figurii E1.1;

- reacţiunea maximă din reazem: VEd=1812 kN; - oţel S355 KM.

Fig. E1.1

Aplicare numerică Rigidizarea de capăt Se verifică condiţia:

e

th4A2ww

e⋅

≥ ; 2e cm40220A =⋅= ; 2

22ww cm45.35

262.11604

eth4

=⋅⋅

=⋅

Condiţia este îndeplinită. Montantul de reazem Montantul de reazem are secţiunea transversală prezentată în figura E1.2, prin considerarea unei conlucrări cu inima grinzii egală cu wt15 ⋅ε⋅ , egală cu 1/2 faţă de conlucrarea din cazul rigidizărilor transversale curente, având în vedere solicitarea complexă şi importanţa structurală deosebită a montantului de reazem.

169

Fig. E1.2

Platbandele montantului aşezare de o parte şi de alta a inimii se încadrează în Clasa 3 de secţiuni:

34.1114920/180t/c1.810 r =ε⋅<==<=ε⋅ prin urmare întreaga secţiune a montantului este eficientă.

Se obţine:

99.0)dcurba(21.09.931

79.91601

ih1

iL

1r

w

1r

11cr =χ⇒=

ε⋅=

λ=

λ=λ

−

Rezistenţa montantului la compresiune cu flambaj este:

kN1812V.kN286010)1.1/355052.8999.0(1fAN Ed2

1MyRd.b =>=⋅⋅⋅=γ

⋅⋅χ= −

Verificarea panoului de inimă la voalare din forfecare

178,01600/1250h/a w <== 2

wa

h34.500.4k ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+=⇒ τ

74.121250160034.500.4k

2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=τ ; 7.7474.12

2.181.031k31133

121600

th

w

w =⋅⋅=ηε

>≈= τ

Este necesară verificarea la voalare din forfecare. Rezistenţa de proiectare la voalare:

222

w

w22

32

E mm/N69.101600

12000190ht000190

b)1(12Et

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

μ−

π=σ

2Ecr N/mm 13669.1074.12k =⋅=σ⋅=τ τ

Parametrul de zvelteţe wλ se determină cu relaţia pentru montant rigid:

08.123.113635576.0

f76.0

cr

yww >==

τ=λ ⇒ ( ) 71.07.0/37.1 ww =λ+=χ

Se obţine: kN 2540101.13

12160035571.03

thfV 3

1M

wwywwRd.bw =⋅

⋅

⋅⋅⋅=

γ

χ= −

Rezultă: Rd.bfRd.bwRd.bmax.Ed VVVkN 812 1V +=<=

E2. Verificarea rigidizărilor inimii Se verifică rigidizarea longitudinală şi rigidizările transversale ale unei grinzi cu inimă plină. Se cunosc următoarele date de proiectare:

- alcătuirea constructivă a grinzii prezentată în figura E2.1 şi figura E2.2; - se vor analiza două cazuri de încărcare, prezentate în figura E2.3.

170

Fig. E2.1

Fig. E2.2

Fig. E2.3

171

Evaluarea solicitărilor de calcul Momente încovoietoare maxime pentru cel două cazuri de încărcare sunt evaluate în Tabelul E2.1. Forţele tăietoare la distanţa de 0.5·hw de la reazem au valorile din Tabelul E2.2.

Rigidizarea transversală se va verifica la o forţă tăietoare kN2718VEd = şi la o forţă concentrată transversală kN13509005.1QN EdEd.st =⋅== . Tabelul E2.1 Cazul 1 Cazul 2

• m/kN5.3g = ; m/kN450p = Încărcarea de calcul va fi:

• m/kN6804505.15.335.1

pgq QGEd

=⋅+⋅=

=⋅γ+⋅γ=

Momentul încovoietor de calcul (maxim):

• kNm88568

96808

LqM22

EdEd =

⋅=

⋅=

• m/kN5.3g = ; kN900Q = Momentul încovoietor de calcul (maxim):

• kNm798690055.1

895.335.1

)2Q5.3Q2(8

LgM

2

EdEd

2Ed

Ed

=⋅⋅+⋅⋅

=

=⋅−⋅+⋅

=

Tabelul E2.2 Cazul 1 Cazul 2

kN25505.15.06802

9680

)h5.0(q2

LqV wEdEd

Ed

=⋅⋅−⋅

=

=−⋅

=

kN2718

5.15.05.335.19005.122

95.335.1

)h5.0(gQ22

LgV wEdEdEd

Ed

=

=⋅⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅

=

=⋅−+⋅

=

Rigidizarea longitudinală Se realizează din oţel S355. Rigidizarea longitudinală s-a dispus înspre mijlocul zonei inactive, respectiv la 300 mm sub talpa comprimată, figura 9, la o distanţă de 0.20·b. Prin dispunerea rigidizării longitudinale panoul inimii este divizat în două subpanouri având laturile mm300b1 = (subpanoul 1) şi mm1200b2 = (subpanoul 2), figura 9.a. Rigidizarea longitudinală se realizează din două platbande dispuse pe o parte şi pe alta a inimii, cu dimensiunile de 100x15 mm, figura E2.4.

Fig. E2.4

172

Rigidizarea solicitată la compresiune din încovoierea generală a grinzii Având în vedere faptul că inima din cele două panouri adiacente rigidizării longitudinale este integral activă (efectivă), se evaluează clasa secţiunii platbandelor rigidizării longitudinale:

1Clasa29.7967.615

100tc

⇒=ε<==

Secţiunea şi caracteristicile de calcul ale rigidizării longitudinale (platbandele şi zonele aferente din inimă) sunt prezentate în figura E2.5.

Pentru calculul rezistenţei la încovoierea a grinzii se adoptă un calcul simplificat, luând în considerare rezemarea rigidizării pe mediu elastic (inima grinzii), respectiv „comportare tip placă”, fără considerarea interacţiunii placă-stâlp ( pentru calculul „exact” a se vedea exemplul 9.5-E1).

Fig. E2.5

Se obţin următoarele rezultate:

• lungimea teoretică de flambaj:

43

22

21s

cbtbbI

33.4a = cm200acm433 =>=

• forţa critică de flambaj pentru caa < :

( ) kN6280bb14

abtEa

IEN 22

21

22

23

2s

2

s.cr ==υ−π

+π

=

• coeficientul de zvelteţe redus:

s.cr

ysc

NfA ⋅

=λ 78.060.0 =χ⇒= (curba c)

• efortul axial capabil al rigidizării longitudinale (rezistenţa la compresiune cu flambaj):

kN6211A)f71.0(fA

N sy1M

yssRd.b =⋅⋅=

γ

⋅⋅χ=

Pentru a nu se produce flambajul rigidizării longitudinale din acţiunea momentului încovoietor, rezistenţa la încovoiere a grinzii se evaluează cu ajutorul diagramei (2) din figura E2.6, stabilită prin luarea în considerare a claselor secţiunii celor două subpanouri adiacente rigidizării. Se obţine:

322

el.wwpl.wpl.wffpl.el cm37622

68.12612.11516.11153340

6htdAdAW =

⋅+⋅⋅+⋅⋅==+⋅+⋅=

Rezistenţa la încovoiere a grinzii va fi:

mkN9437100.1

3550102376.2fWM 4

4

0M

ypl.elrRd.c ⋅=

⋅⋅=

γ

⋅= −

173

Având în vedere faptul că în ambele variante de încărcare a grinzii este respectată condiţia r

Rd.cEd MM < , în rigidizarea longitudinală nu se va depăşi rezistenţa la compresiune.

Fig. E2.6 Condiţiile prevăzute de EN 1993-1-5 §9.2 (8);(9):

Ef

3.5II y

p

T ≥ (a); ycr f⋅θ≥σ (b)

Relaţia (a) devine: ⇒≥⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≈

Ef

3.5bt

II y

2

sl

sl

p

T ⎩⎨⎧

−−

=⋅

≤355S5.10235S13

f3.5E

tb

ys

s

- crσ - tensiunea critică elastică pentru flambaj prin torsiune, fără luarea în considerare a rotirii datorită plăcii:

2

s

s6

p

T

p

T

p

Tcr b

t10807.0II

6.2E

II

)1(2E

IIG ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅≈=

ν+==σ - secţiuni din platbande;

- θ - parametru care asigură un comportament de Clasa 3 a rigidizării. EC3-1-5 recomandă 6=θ , fără să fie făcute precizări referitoare la tipul secţiunii rigidizării. Alte lucrări recomandă 2=θ , pentru rigidizările cu secţiune deschisă şi 6=θ pentru rigidizările rigide la torsiune (secţiuni T, L). În cazul analizat se consideră 2=θ şi se obţine :

5.1066.615

100tb

s

s <== ⇒ condiţia (a) din EC3-1-5 este îndeplinită;

y2

26

cr f11.5cm/daN158181001510807.0 ⋅==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅≈σ ⇒ 25 >≈θ .

Rigidizările transversale Se realizează din oţel S235. Se verifică prima rigidizare de la reazem, unde forţa tăietoare este maximă. Secţiunea de calcul a rigidizării este prezentată în figura E2.7.

174

Fig. E2.7

Verificarea condiţiilor C1 şi C2 Se consideră acoperitor: 1/ p.crc.cr =σσ .

În acest caz se consideră că forţa de compresiune longitudinală este egală cu rezistenţa la compresiune a rigidizării longitudinale: kN6211NN s

Rd.bEd == Se obţin următoarele valori numerice:

22

m cm/daN6.12200

1150

1150

101621=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⋅≈σ ; 0.14

1.1/15030023505.18101.2u

62≥≈

⋅⋅⋅⋅π

=

44

60

4m

ref cm1564150300

3001501150

101.26.12u

b300w1b

EI =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

π⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛π

σ=

Condiţia refst II ≥ este îndeplinită. Săgeata rigidizării transversale considerând o încărcare transversală a acesteia cu o forţă concentrată s

Rd.btransv N02.0N ⋅= , figura E2.8 [3].

Fig. E2.8

În această ipoteză se obţine:

mm07.0101506334101.231203010162102.0

bIE3bbNw 6

222

st

22

21.transv

el =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅

=

mm5300bmm07.0wel =<=

Verificarea condiţiilor prevăzute de EN 1993-1-5 (§9.2 (8);(9))

175

Se consideră: 2=θ : ⇒Ef

3.5II y

p

T ≥ (a); ycr f2 ⋅≥σ (b)

În cazul rigidizărilor transversale se obţine:

131215

180tb

s

s <== ⇒ condiţia (a) din EC3-1-5 este îndeplinită;

yy2

26

cr f2f38.2cm/daN60451801510807.0 ⋅>⋅==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅≈σ

Pentru panoul de reazem avem 21h/a w <= . 43233

w4

st cm22511505.1a/th5.1cm6334I =⋅⋅=≥=

Verificarea rigidizării transversale din acţiunea forţei tăietoare prin dezvoltarea câmpurilor diagonale cu tensiuni de întindere

Din acţiunea câmpului diagonal din panourile adiacente rigidizării se dezvoltă o forţa de compresiune rezultantă în rigidizare a cărei valoare de calcul se obţine din relaţia:

( )

kN165310)1.13/(1150355062.112718

3/thf1VNN

22

1Mwwyw2w

Edten.stEd

=⋅⋅⋅⋅−=

=γλ

−==

−

Deoarece forţa de compresiune rezultată din acţiunea câmpului diagonal este mai mare decât forţa transversală concentrată, respectiv EdEd.stten.st QNN => , pentru verificarea rigidizării la compresiune se va utiliza forţa ten.stEd NN = .

unde: 62.134.981.0104.37

1500kt4.37

h

w

ww =⋅⋅⋅

=ε

=λτ

; 34.9a

h00.434.5k2

w =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=τ

Secţiunea efectivă a rigidizării:

3Clasa14141215180

tc1010st

⇒=ε⋅<==<=ε⋅ ⇒secţiunea este activă integral.

Rezistenţa rigidizării la compresiune cu flambaj pentru wcr h8.0L ⋅≈ este:

kN1707101.123509.790.1

fAN 2

1M

yststRd.b =

⋅=

γ

⋅χ= − > kN1653NEd =

2.014.019.93

19.81508.01

iL

1

cr <=⋅

⋅=

λ=λ 1=χ⇒

Verificarea rigidizării din acţiunea forţei longitudinale şi a forţei transversale verticale concentrată

Având în vedere acţiunea simultană a forţei verticale şi a forţelor longitudinale rezultate din acţiunea momentului încovoietor, se va adăuga forţa de compresiune suplimentară Ed.stNΔ .

Relaţiile de verificare C1 şi C2 vor fi: 300bw ≤ ;

1M

ymax

fγ

≤σ

Se obţin următoarele rezultate numerice:

kN288101506.12bN 22

2

2

2m

Ed.st =π⋅

=π

σ=Δ −

kN16382881350NNN Ed.stEd.stEd.st =+=Δ+=∑

176

daN109.2)1508.0(6334101.2

LIEN 6

2

62

2cr

st2

st.cr ⋅=⋅

⋅⋅π=

⋅π=

cm5.0300

bcm03.01

101638109.21

300150

1N

N1ww

2

6

Ed.st

st.cr0 =≤=

−⋅⋅

=−

=

∑

22

22

maxst

Ed.st

st

Ed.stmax

cm/daN21361.1

2350cm/daN19435.186334

53.01016389.79101350

eI

fNA

N

=<=⋅⋅

+⋅

=

=⋅

+=σ ∑

Condiţiile prevăzute sunt îndeplinite. E3. Verificarea stabilităţii locale a inimii Se verifică stabilitatea locală a inimii unei grinzi plane. Alcătuirea constructivă a grinzii este prezentată în figurile E3.1 şi E3.2.

Fig. E3.1

Fig. E3.2

• Schema de încărcare a grinzii este prezentată în figura E3.3.

Momentul încovoietor de calcul (maxim):

kNm548460055.18

95.335.1)2Q5.3Q2(8

LgM2

EdEd

2Ed

Ed =⋅⋅+⋅⋅

=⋅−⋅+⋅

=

177

Forţa tăietoare la distanţa de 0.5·hw de la reazem, respectiv la 0.5·hw de la prima rigidizare:

kN18185.15.05.335.16005.122

95.335.1)h5.0(gQ22

LgV wEdEdEd

1.Ed =⋅⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅

=⋅−+⋅

=

kN9115.335.125.26005.12

95.335.1g25.2QQ22

LgV EdEdEdEd

2.Ed =⋅⋅⋅−⋅+⋅⋅

=⋅−−+⋅

=

Fig. E3.3

Rigidizarea longitudinală

Secţiunea şi caracteristicile de calcul ale rigidizării longitudinale (platbandele şi zonele aferente din inimă) sunt prezentate în figura E3.4.

Fig. E3.4 Rigidizările transversale Secţiunea de calcul a rigidizării este prezentată în figura E3.5.

178

Fig. E3.5

PANOUL 1

9.6334.92.181.031k31150

th

w

w ==ηε

>= τ ⇒este necesară verificarea la voalare

unde: 34.9a

h00.434.5k2

w =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=τ

Contribuţia inimii în valoarea rezistenţei la voalare din forfecare se evaluează cu relaţia:

kN1649101.13

1150355059.03

thfV 2

1M

wywwRd.bw =

⋅⋅⋅⋅

=γ

χ= − < VEd.1=1818 kN

unde: 62.134.981.0104.37

1500kt4.37

h

w

ww =⋅⋅⋅

=ε

=λτ

>1.08 ⇒ wχ = ( )w7.0/37.1 λ+ = 0.59

Deoarece contribuţia tălpilor este redusă (25.6 kN) se impune reconformarea constructivă a grinzii, fiind posibile cel puţin următoarele soluţii:

• A - majorarea grosimii inimii în panourile 1 şi eventual 2 (dacă nici acesta nu corespunde verificării la voalare);

• B - introducerea unei rigidizări transversale suplimentare; • C - introducerea unei rigidizări longitudinale suplimentare; • D - introducerea unei rigidizări înclinate.

Soluţiile prezentate sunt transpuse grafic în figura E3.6. Se apreciază ca fiind deosebit de eficientă soluţia D, cu toate că este mai puţin utilizată. Soluţia cu rigidizarea aşezată pe direcţia diagonalei descendente (întinse), se demonstrează că nu este eficientă deoarece voalarea panoului de inimă se produce pe direcţia diagonalei comprimate. Se adoptă Soluţia C pentru a păstra o formă constructivă unitară a grinzii şi rezultă:

3w

3s

2w

3s

htI2.2ht

I18.03.61.4k +

α

++=τ =15.53 (pentru )31<=α

26.153.1581.0104.37

1500kt4.37

h

w

ww =⋅⋅⋅

=ε

=λτ

Pentru panouri rigidizate longitudinal se verifică condiţia 5.3(5) din EC3-1-1:

4.19.781.04.37

120k4.37

h

i

wiwiw =⋅

=ε

=λ≥λτ

(pentru subpanoul superior wiλ este mai mic)

unde:

9.7150120434.5k

2

i =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=τ . Condiţia nu este îndeplinită.

179

Fig. E3.6 Prin urmare, se va opera cu 08.14.1w >=λ ⇒ wχ = ( )w7.0/37.1 λ+ = 0.65 Rezultă:

1.Ed2

1M

wywwRd.bw VkN181710

1.131150355065.0

3

thfV ≈=

⋅

⋅⋅⋅=

γ

χ= −

Condiţia de verificare este îndeplinită (la Rd.bwV se adaugă Rd.bfV ). PANOUL 2

3w

3s

2w

3s

htI2.2ht

I18.03.61.4k +

α

++=τ =12.3 (pentru )333.1150/200 <==α

41.13.1281.0104.37

1500kt4.37

h

w

ww =⋅⋅⋅

=ε

=λτ

Se verifică condiţia:

52.178.681.04.37

120k4.37

h

i

wiwiw =

⋅=

ε=λ≥λ

τ

. Condiţia nu este îndeplinită.

unde: 78.6200120434.5k

2

i =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=τ

Prin urmare, se va opera cu 08.152.1w >=λ ⇒ wχ = ( )w7.0/37.1 λ+ = 0.62 Rezultă:

kN1733101.13

1150355062.03

thfV 2

1M

wywwRd.bw =

⋅

⋅⋅⋅=

γ

χ= − > VEd.2 = 911 kN

Condiţia de verificare este îndeplinită.

180

11. STABILITATEA GENERALǍ A GRINZILOR CU INIMǍ PLINǍ


Grinzile solicitate la încovoiere simplă au rigidităţi mult diferite după cele două axe

principale ( zy II >> ), ca urmare sunt expuse pericolului flambajului lateral al tălpii comprimate (pierderea stabilităţii generale sau flambaj prin încovoiere), fenomen asemănător cu flambajul prin încovoiere - răsucire al barelor comprimate, figura 11.1.

Fig. 11.1. Flambajul lateral al grinzii dublu T În cazul în care talpa comprimată a grinzii nu este fixată împotriva flambajului lateral, prin elemente ale structurii din care acesta face parte, se impune verificarea grinzii la pierderea stabilităţii generale, chiar şi în situaţia în care eforturile unitare din încovoiere sunt mult inferioare celor limită.

Modelul matematic de calcul la flambaj lateral are la bază următoarele ipoteze: • deformaţiile grinzii în planul de rigiditate minimă nu sunt însoţite de deformarea secţiunii

transversale a barei (secţiunea se roteşte ca un disc rigid în jurul centrului de răsucire C);

• se admite că în starea deformată a grinzii, încărcările rămân paralele cu direcţia iniţială. În studiul flambajului lateral al grinzilor cu inimă plină intervin următorii parametri (figura 11.2): - schema de încărcare a grinzii, caracterizată prin coeficienţii C1, C2 şi C3; - nivelul de aplicare al sarcinilor pe înălţimea secţiunii transversale a barei, precizat prin

coordonata za, a punctului A în care se aplică încărcarea; - forma secţiunii transversale a barei (prin curba de flambaj) şi caracteristicile de rezistentă

ale secţiunii (A, Iy, Iz, Iω, It); - condiţiile de rezemare faţă de cele două plane principale de inerţie, prin coeficienţii k, kw; - marca oţelului caracterizată prin limita de curgere fy.

181

Fig. 11.2. Sistemul de axe şi de notare a caracteristicilor de calcul

11.2. Flambajul lateral (deversarea elementelor încovoiate) conform normativului EN 1993

Rezistenţa la flambaj Grinzile cu inimă plină, fără legături de fixare laterală, solicitate la încovoiere plană, se verifică la flambaj lateral prin torsiune cu relaţia:

0.1MM

Rd.b

Ed ≤ (11.1)

Mb.Rd – momentul rezistent la flambaj lateral se determină cu relaţia:

1M

yyLTRd.b

fWM

γχ= (11.2)

unde:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−

−

−

=

4Clasa:tiunisecW

3Clasa:tiunisecW

2si1Clasa:tiunisecW

W

y.eff

y.el

y.pl

y (11.3)

- LTχ - factorul de reducere pentru flambaj lateral. Curbe de flambaj Pentru grinzi cu secţiune constantă, coeficientul de reducere LTχ se determină în funcţie de coeficientul de zvelteţe LTλ , cu relaţia:

1dar1LT2

LT2LTLT

LT ≤χλ−Φ+Φ

=χ (11.4)

unde: ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ λ+−λα+=Φ

2LTLTLTLT 2.015.0

182

- LTα - factor de imperfecţiune; cr

yyLT

MfW

=λ

- Mcr – momentul elastic critic pentru flambaj lateral. Factorul de imperfecţiune LTα , corespunzător curbei de flambaj are valorile recomandate

în tabelul 11.1. Tabelul 11.1

Curba de flambaj a b c d Factorul de imperfecţiune LTα 0.21 0.34 0.49 0.76

Încadrarea secţiunilor în curbele de flambaj lateral corespunzătoare se va face conform

recomandărilor din tabelul 11.2. Tabelul 11.2

Secţiune transversală Limite Curba de flambaj 2b/h ≤ a Profile laminate dublu T 2b/h > b 2b/h ≤ c Secţiuni sudate dublu T 2b/h > d

Alte secţiuni - d

Pentru coeficienţi de zvelteţe 4,00.LTLT =λ≤λ sau 2

0.LTcr

Ed

MM

λ≤ (SR EN 1993-1-1:2005,

§6.3.2.2), efectele flambajului lateral pot fi neglijate.

Determinarea momentului critic de flambaj lateral Pentru un element cu secţiunea transversală constantă în lung, momentul încovoietor

elastic critic de pierdere a stabilităţii generale (flambajul lateral), cu notaţiile din figura 11.2, este dat de relaţia [46]:

( )

( ) ( ) ( )⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−−+

π+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛π= j3g2

2j3g2

z2

t2

z

w2

w2z

2

1cr zCzCzCzCEI

GIkLII

kk

kLEI

CM (11.5)

unde: - C1,C2 şi C3 sunt coeficienţii funcţie de modul de încărcare a grinzilor (diagrama M) şi

condiţiile de rezemare, tabelul 11.3;

- ( ) dAzyzI21zz

A

22

ysj ⋅+−= ∫

Cu notaţiile din figura 11.2, jz , se poate calcula cu relaţiile:

( )( )⎩

⎨⎧

<β−−β⋅

>β−−β⋅=

5.0pentru12h5.05.0pentru12h4.0

zffs

ffsj unde:

ft3ftfc

3fc

fc3fc

ftbtb

tb+

=β

Se adoptă următoarea convenţie pentru semnul pozitiv, fig.11.3:

- z - pozitiv de la centrul de greutate spre talpa comprimată; - az - pozitiv când forţa are efect destabilizator; - gz - pozitiv când forţa acţionează din punctul de aplicare spre centrul de forfecare;

- jz - pozitiv atunci când talpa cu momentul zI mai mare este în zona comprimată.

183

Fig.11.3

Verificarea lungimii stabile a unui tronson de bară Verificarea stabilităţii generale a unui tronson de bară supusă la încovoiere, între două legături transversale, se poate efectua verificând dacă lungimea acestuia este mai mică decât lungimea stabilă.

Pentru tronsoanele barelor cu secţiune uniformă de tip I sau H pentru care ε≤ 40th

f,

supuse la un moment de încovoiere variabil liniar şi fără compresiune axială semnificativă, lungimea stabilă se poate determina astfel:

⎩⎨⎧

≤ψ≤−−⋅εψ⋅−

≤ψ≤−⋅ε⋅=

625.01:pentrui)4060(1625.0:pentrui35

Lz

zstabila (11.6)

în care: - ψ – raportul momentelor încovoietoare de la extremităţile tronsonului de bară; - iz – raza de giraţie a secţiunii formate de talpa comprimată a grinzii plus 1/3 din partea comprimată a inimii, în raport cu axa slabă a secţiunii. Pentru secţiuni transversale de Clasa 4 se va lua:

c.w.efff.eff

f.effz

A31A

Ii

+= (11.7)

unde: - Ieff.f – momentul de inerţie a tălpii comprimate eficace, în raport cu axa slabă a secţiunii; - Aeff.f – aria eficace a tălpii comprimate; - Aeff.w.c – aria eficace a părţii comprimate a inimii.

184

Tabelul 11.3

Coeficienţi C1, C2 şi C3 Condiţii de încărcare Diagrama M Valoarea k C1 C2 C3

Ψ=+

1 1,0 0,7 0,5

1,000 1,000 1,000

- 1,000 1,113 1,144

Ψ =

3/4 1,0

0,7 0,5

1,141 1,270 1,305

- 0,998 1,565 2,283

Ψ=+

1/2 1,0

0,7 0,5

1,323 1,473 1,514

- 0,992 1,556 2,271

Ψ=+

1/4 1,0

0,7 0,5

1,563 1,739 1,788

- 0,997 1,531 2,235

Ψ=0

1,0 0,7 0,5

1,879 2,092 2,150

- 0,939 1,473 2,150

Ψ=

-1/4

1,0 0,7 0,5

2,281 2,538 2,609

- 0,855 1,340 1,957

Ψ=

-1/2

1,0 0,7 0,5

2,704 3,009 3,093

- 0,676 1,059 1,546

Ψ=

-3/4

1,0 0,7 0,5

2,927 3,258 3,348

- 0,366 0,575 0,837

Ψ=

-1 1,0

0,7 0,5

2,752 3,063 3,149

- 0,000 0,000 0,000

1,0 0,5

1,132 0,972

0,459 0,304

0,525 0,980

1,0 0,5

1,285 0,712

1,562 0,652

0,753 1,070

1,0 0,5

1,365 1,070

0,553 0,432

1,730 3,050

1,0 0,5

1,565 0,938

1,267 0,715

2,640 4,800

1,0 0,5

1,046 1,010

0,430 0,410

1,120 1,890

185

11.3. Exemplu numeric Exemplu de evaluare a stărilor limită ultime

Se evaluează stările limită ultime pentru o grindă metalică cu inimă plină, secţiune dublu T alcătuită sudat.

Se cunosc: - material S 235 ; - schema statică, încărcarea şi secţiunea grinzii ( fig. E.1 ).

f x f350 x 15

p

z

hw x tw1200 x 8

4 000

y

2 0004 000

12 0004 000

Fig. E.1

Calculul grinzilor cu inimă plină la stări limită în conformitate cu normativul Eurocode 3

presupune efectuarea următoarelor verificări de rezistenţă:

• rezistenţa secţiunii transversale la încovoiere; • rezistenţa secţiunii transversale la forţă tăietoare; • rezistenţa la flambaj lateral (deversare); • rezistenţa la voalare din forfecare; • rezistenţa la flambaj vertical al tălpii comprimate; • rezistenţa la acţiunea forţelor locale concentrate.

Clasa secţiunii. Caracteristicile secţiunii eficace (efective)

Stabilirea clasei secţiunii

Fig. E.2

Talpa comprimată, figura E.2:

3Clasatalpa14144.1115/171t/c1010

⇒=ε⋅<==<=ε⋅

Inima: ε⋅>== 1241508.0

120td

w ⇒ clasa 4

Clasa secţiunii = max. { clasa tălpii; clasa inimii} = 4

Secţiunea eficace a inimii Inima grinzii este un element rezemat pe două laturi (perete interior), solicitat la încovoiere,

figura E.3.

186

bp=hw=1200bc=bp/2 bt=bp/2

be1 be2

σ1

t=tw

=8

2σcompresiune+

+

−

Fig. E.3

Pentru Ψ = 01

2 <σσ

avem: beff= pc bb ⋅ρ=⋅ρ / ( )ψ−1 ; be1=0.4 beff; be2=0.6 beff În acest caz: ψ = - 1 kσ =23.9.

Rezultă : 08.19.2314.28

8/1200k4.28

t/bpp =

⋅⋅=

⋅ε=λ

σ

; 673.008.1p >=λ

Se obţine:

84.008.1

)13(05.008.1)3(055.022

p

p =−−

=λ

Ψ+−λ=ρ

Lăţimi efective: beff = 0.84ּ 60 = 50.4 cm; be1=20.2 cm; be2=30.2 cm Secţiunea eficace a grinzii şi distribuţia eforturilor

unitare este prezentată în figura E.4. Caracteristicile de calcul ale secţiunii brute şi eficace sunt centralizate în tabelul E.1.

Fig. E.4

Tabelul E.1

Caracteristica EC 3 Ag Aeff Iy Iy eff Iz Iz eff

U.M. cm2 cm2 cm4 cm4 cm4 cm4 Valoarea 201 193.34 502 730 492 910 10 724 10 723

Caracteristica EC 3 Wy Wy eff Iω It Wpl.y

U.M. cm3 cm3 cm6 cm4 cm3 Valoarea 8 174 7 838 39.58·106 100 9 259

Evaluarea rezistenţelor secţiunii

Rezistenţa secţiunii transversale la încovoiere monoaxială Rezistenţa de calcul (capacitatea portantă) a secţiunii transversale la încovoiere

monoaxială, pentru secţiuni de clasa 4, este:

Mc.Rd = 4

0Myeffy 101842

1.0123507838 1fW ⋅=⋅=

γ⋅⋅ daN·cm = 1 842 kNּm

187

Rezistenţa secţiunii transversale la forţă tăietoare Valoarea de calcul a rezistenţei plastice la forfecare, Rd.plV , este:

=⋅⋅⋅

=γ

⋅⋅⋅η

= −2

0M

ywRd.pl 10

0.11

32350962.11

3

fAV 1563 kN

Rezistenţa la flambaj lateral (deversare)

Pentru secţiuni I dublu simetrice, momentul critic elastic este:

( )( ) ( ) ( )

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−+

π+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛π= g2

2g2

z2

t2

z

w2

w2z

2

1cr zCzCEI

GIkLII

kk

kL

EICM = 6 166 kN·m

în care: ( )2

z2

kLEIπ =

2

62

40010724101.2 ⋅⋅⋅π =138.94·104 daN

C1=1.132; C2=0.459; k=kw=1; L=1200/3=400 cm

54.010616623507838M/fW

4cryy.effLT =⋅

⋅=⋅=λ ⇒ ( ) 74.0LTLT =λχ - curba d (h/b>2)

Rezistenţa de calcul la deversare (capacitatea portantă la încovoiere având în vedere

pierderea stabilităţii prin încovoiere laterală şi răsucire) va fi:

1MyeffyLTRd.b /fWM γ⋅⋅χ= = (0.74·7838·2350/1.1)10-4 =1239 kN·m Rezistenţa la voalare din forfecare

2.1;1 =η=ε ; 2.67k311508

1200td

w=

ηε

>== τ ;

=τk( )2d/a

434,5 + = ( )2120/200

434,5 + = 6.77;

Se calculează coeficientul de zvelteţe relativă a inimii:

54.177.614.37

8.0120

k4,37t/df

76.03/f w

cr

yw

cr

yww =

⋅⋅=

⋅ε⋅=

τ=

τ=λ

τ

−

Deoarece w−λ =1.54 > 1.08, rezultă: 60.0

7.037.1

ww =

λ+=χ

Forţa tăietoare care poate fi preluată de inimă (contribuţia inimii), fără a se produce fenomenul de voalare este:

daN045711.13

96235060.03

thfV

1M

wywwRd.bw =

⋅

⋅⋅=

γ

χ=

crτ = 22

2

2i

2cm/daN709

12008100

66.19501250

dt100

)9501250( =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

α+

Rezistenţa la flambaj vertical al tălpii comprimate în planul inimii Pentru ca fenomenul de flambaj vertical al tălpii comprimate în planul inimii să nu se poată

produce se verifică condiţia:

188

fc

w

yfw

wAA

fEk

th

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≤ ; k = 0,55 – pentru talpă comprimată clasa 3 sau 4.

w

wth

= 1508.0

120= ;

fc

w

yf AA

fEk ⋅⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

355.11208.0

2350101.255.0

6

⋅⋅

⋅⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ⋅ = 665

Condiţia de rezistenţă este îndeplinită Rezistenţa la acţiunea forţelor locale concentrate Această verificare nu este necesar să fie efectuată deoarece nu se aplică încărcări

concentrate la talpa comprimată.

Grindă cu inimă plină cu secţiune variabilă (înălţimea inimii constantă, talpa superioară de secţiune variabilă)

Deformaţii iniţiale ale unei plăci rigidizate:

a) – deformaţia iniţială a rigidizării; b) – deformaţia iniţială locală a plăcii c) – imperfecţiuni locale ale rigidizării d) – deformaţia iniţială totală

189

12. VERIFICAREA LA OBOSEALĂ

Verificarea unei suprastructuri la starea limită de oboseală constă în asigurarea unui nivel de probabilitate acceptabil pentru ca ruperea prin oboseală să nu se producă sau, pentru ca să nu fie nevoie de reparaţii pentru remedierea unor degradări din oboseală pe toată durata de viaţă impusă. În cazul podurilor rutiere (conform SR EN 1993-2, punctul 9.2.2 şi SR EN 1994-2, punctul 6.8.4), pentru verificările la oboseală se foloseşte Modelul de încărcare la oboseală 3, figura 12.1.

Fig. 12.1

Modelul este alcătuit din 4 osii, încărcarea pe fiecare osie fiind 120 kN. Atunci când este relevant, trebuie luate în considerare două vehicule pe aceeaşi bandă de circulaţie, cel de-al doilea vehicul având încărcarea pe fiecare osie de 36 kN, iar distanţa între două vehicule, măsurată între centrele lor nu este mai mică de 40 m.

D este distanţa de la rostul de dilataţie

Amplificarea dinamică este inclusă în model. În zona rosturilor de dilataţie se va considera un coeficient suplimentar de amplificare dinamică fatϕΔ , conform figurii 12.2. Fig.12.2

Pentru verificarea podurilor de cale ferată la oboseală se folosesc valorile caracteristice ale

modelului de încărcare LM 71 (EN 1991-2), incluzând coeficientul dinamic 2φ , în concordanţă cu datele referitoare la trafic specificate de autorităţile competente. Verificarea la oboseală se efectuează pentru toate elementele structurale componente ale podului.

Verificările la oboseală trebuie făcute funcţie de natura traficului pe linia pe care este

amplasat podul (trafic standard, predominant greu, trafic mixt etc.). În general traficul mixt este reprezentativ pentru traficul real.

190

Tonajul anual din trafic se consideră 25⋅106 tone pe fiecare linie, iar durata de viaţă normală a structurii de 100 de ani.

Conform EN 1993-1-9:2003 şi EN 1993-2, trebuie verificate următoarele condiţii: 1 Ecartul de eforturi unitare:

3/f5.1

f5.1

y

y

⋅≤τΔ

⋅≤σΔ (12.1)

2. Rapoartele între valorile de calcul ale ecarturilor de tensiuni şi valorile ecarturilor de tensiuni pentru oboseală:

0.1

/

0.1/

MfC

2.EFf

MfC

2.EFf

≤γτΔτΔγ

≤γσΔσΔγ

(12.2)

3. Efectul combinat al eforturilor unitare normale şi al eforturilor tangenţiale (stare de tensiune plană):

0.1//

5

MfC

2.EFf3

MfC

2.EFf ≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛γτΔτΔγ

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛γσΔσΔγ (12.3)

În aceste relaţii: - CC, τΔσΔ - valorile de referinţă ale rezistenţei la oboseală la 2⋅106 cicluri de solicitare pentru detaliul constructiv relevant, date în EN 1993 -1-9, funcţie de categoria detaliului constructiv (grupa de crestare), fig.12.3;

a) curbele N−σΔ

Fig.12.3

191

b) curbele N−τΔ

Fig.12.3 (continuare)

- ecarturile echivalente de eforturi unitare pentru 2×106 cicluri de solicitare (vătămările datorate spectrului ecarturilor de eforturi unitare produse de un ecart echivalent pentru 2×106 cicluri de solicitare) : P22E σΔ⋅Φ⋅λ=σΔ (12.4.a) P22E τΔ⋅Φ⋅λ=τΔ (12.4.b) - λ - factor de echivalenţă a vătămărilor. Factori echivalenţi pentru poduri de cale ferată Factorul de echivalenţă al vătămărilor pentru poduri CF cu deschiderea de până la 100 m este: 4.1max4321 =λ<λ⋅λ⋅λ⋅λ=λ (12.5) - 1λ - factor stabilit funcţie de schema statică, care ţine cont de vătămarea produsă de trafic - Tabelul 9.3 şi Tabelul 9.4 – EN 1993 –2. Observaţie: La determinarea factorului 1λ intervine lungimea critică a liniei de influenţă, Li ,(a se vedea Tabelul 9.4 din EC3-2), care diferă pentru moment încovoietor şi forfecare. - 2λ - factor care ţine seama de volumul traficului - Tabelul 9.5 – EN 1993 - 2 ; 12 =λ - pentru un tonaj anual din trafic de 25×106 tone; - 3λ - factor funcţie de durata de viaţă normată a podului - Tabelul 9.6 – EN 1993-2; 13 =λ - pentru o durată de viaţă de 100 ani; - 4λ - factor care ia în considerare existenţa mai multor linii de cale ferată pe pod - Tabelul 9.7- EN 1993 - 2 ; 4λ = 1 - pentru o linie CF;

- ecarturile de tensiuni:

192

minPmaxPP σ−σ=σΔ (12.6.a)

minPmaxPP τ−τ=τΔ (12.6.b)

- 2φ - coeficientul dinamic , conform EN 1991-2:

82.02.0L

44.12 +

−=φ

φ

(12.7)

- φL - lungimea determinantă a elementului structural verificat, conform EN 1991-2

- Ffγ - coeficient parţial de siguranţă pentru acţiunile de oboseală. Dacă în proiect nu este specificat altfel, Ffγ =1;

- Mfγ - coeficient parţial de siguranţă pentru rezistenţa la oboseală, conform EN 1993-1-9 – Tabelul 12.1. Tabelul 12.1 Coeficientul fMγ

Consecinţa cedării Metoda de evaluare redusă importantă Vătămare tolerată 1.00 1.15 Siguranţă de viaţă 1.15 1.35

Pentru cazurile uzuale de proiectare coeficienţii 321 ,, λλλ sunt prezentaţi în tabelele 12.2.a; b; c. Tabelul 12.2.a Coeficientul 1λ

Tabelul 12.2.b Coeficientul 2λ

Trafic pe an [106t] 5 10 15 20 25 30 35 40 50

2λ 0.72 0.83 0.90 0.96 1.00 1.04 1.07 1.10 1.15 Tabelul 12.2.c Coeficientul 3λ

Durata de viaţă [ani] 50 60 70 80 90 100 120

3λ 0.87 0.90 0.93 0.96 0.98 1.00 1.04 Pentru cazurile uzuale de proiectare, lungimea determinantă φL este dată în tabelul 12.3.

193

Tabelul 12.3 CAZ ELEMENTUL STRUCTURAL LUNGIMEA DETERMINANTĂ φL

Platelaj metalic - calea închisă în cuvă de balast (platelaj ortotrop – tensiuni locale) Platelaj cu rigidizări transversale şi nervuri (rigidizări) longitudinale continue 1.1. Tola (pentru ambele direcţii) - 3 × distanţa antretoaze 1.2. Rigidizări longitudinale - 3 × distanţa antretoaze 1 1.3. Antretoaze (rigidizări transversale) - 2 × lungime antretoază Platelaj prevăzut numai cu rigidizări transversale 2.1. Tola (pentru ambele direcţii) - 2 × distanţa antretoaze + 3 m 2 2.2. Antretoaze - 2 × distanţa antretoaze + 3 m

Grinzile căii – calea deschisă (pentru tensiuni locale şi transversale) – se recomandă 3Φ 3.1. Lonjeron: - ca element al reţelei de grinzi - 3 × distanţa antretoaze - simplu rezemat - distanţa antretoaze + 3 m 3 3.2. Antretoaze - 2 × lungime antretoază

Platelaj din beton cu calea în cuvă de balast

4 A se vedea tabelul 6.2 din EC 1- 2

Grinzi principale 5.1. Grinzi simplu rezemate - deschiderea grinzii

5 5.2. Grinzi continue peste n reazeme mLkL ⋅=Φ ; ∑= im L

n1L

n 2 3 4 5≥ k 1.2 1.3 1.4 1.5

Factori echivalenţi pentru poduri rutiere Factorul echivalent corespunzător vătămării λ pentru podurile de şosea a căror deschidere nu depăşeşte 80 m se obţine astfel:

λ = λ 1 × λ 2 × λ 3 × λ 4 dar maxλ≤λ (12.8)

în care: λ 1 - factor care ţine seama de efectul vătămării din trafic şi depinde de lungimea sau

suprafaţa de influenţă; λ 2 - factor care ţine seama de volumul traficului; λ 3 - factor care ţine seama de durata de viaţă proiectată a podului;

λ 4 - factor care ţine seama de traficul de pe alte benzi; λ max - valoarea maximă a factorului λ - ţinând seama de limita de oboseală. Factorul λ 1 Pentru stabilirea factorului λ 1, lungimea critică a liniei sau a suprafeţei de influenţă se consideră după cum urmează: a) pentru momente:

- pentru o deschidere simplu rezemată, lungimea deschiderii Li; - pentru grinzi continue, pentru secţiuni din mijlocul deschiderii, a se vedea figura 12.4,

lungimea deschiderii Li luată în considerare; - pentru grinzi continue, pentru secţiuni pe reazem, a se vedea figura 12.4, media a două

deschideri Li şi Lj adiacente acelui reazem;

194

- pentru antretoaze care susţin lonjeroni, suma a două deschideri adiacente a lonjeronilor susţinuţi de antretoază.

Fig. 12.4

b) pentru forfecare, pentru o deschidere simplu rezemată şi pentru grinzi continue:

- pentru secţiune pe reazem, a se vedea figura 12.4, deschiderea Li luată în considerare; - pentru secţiune din mijlocul deschiderii, a se vedea figura 12.4, 0,4 x deschiderea Li luată în

considerare. c) pentru reacţiuni:

- pentru reazemul de capăt, deschiderea Li luată în considerare; - pentru reazeme intermediare, suma a două deschideri adiacente Li + Lj.

d) pentru poduri în arc:

- pentru tiranţi, de două ori lungimea tiranţilor; - pentru arc, jumătate din deschiderea arcului.

Se recomandă utilizarea factorilor λ1 din figura 12.5.

Factorul λ 2 se calculează cu relaţia:

5/1

0

Obs

0

1m2 N

NQQ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=λ (12.9)

în care:

1mQ este greutatea medie brută (kN) a camioanelor de pe banda lentă obţinută cu relaţia:

5/1

i

5ii

1m n

QnQ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

∑∑ ; Q0 = 480 kN ; N0 = 0.5 x 106 ;

NObs este numărul total de camioane pe an, pe banda lentă; Qi este greutatea brută a camionului i de pe banda lentă, precizată de autoritatea competentă, în kN; ni este numărul camioanelor cu greutatea brută Qi de pe banda lentă precizată de autoritatea competentă. Pentru valori indicate ale Qm1 şi NObs , λ2 poate fi obţinut din tabelul 12.4.

Tabelul 12.4. Valori - λ 2 NObs Qm1 0 25×106 0.50×106 0.75×106 1.00×106 1.25×106 1.50×106 1.75×106 2.00×106

200 0.362 0.417 0.452 0.479 0.500 0.519 0.535 0.550 300 0.544 0.625 0.678 0.712 0.751 0.779 0.803 0.825 400 0.725 0.833 0.904 0.957 1.001 1.038 1.071 1.100 500 0.907 1.042 1.130 1.197 1.251 1.298 1.338 1.374 600 1.088 1.250 1.356 1.436 1.501 1.557 1.606 1.649

195

λ 1 pentru momente la poduri de şosea

la mijlocul deschiderii pe reazem

Lungimea deschiderii L [m] Lungimea deschiderii L [m]

Fig. 12.5 Factorul λ 3 se calculează cu relaţia:

5/1

Ld3 100

t⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=λ (12.10)în

care tLd este durata de viaţă proiectată a podului în ani, tabelul 12.5.

Tabelul 12.5. Valori - λ 3 Durata de viaţă proiectată în ani 50 60 70 80 90 100 120

Factorul λ3 0,871 0,903 0,931 0,956 0,979 1,00 1,037 Durata de viaţă proiectată a podului se recomandată este: tLd = 100 de ani. Factorul λ 4 se determină cu relaţia:

5/15

1m1

mkk

1

k5

1m1

3m3

1

35

1m1

2m2

1

24 Q

QNN

QQ

NN

QQ

NN1

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ηη

++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ηη

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ηη

+=λ (12.11)

în care: k - numărul benzilor cu trafic greu;

Nj - numărul camioanelor pe an, de pe banda j; Qmj - greutatea medie brută a camioanelor de pe banda j;

ηj - valoarea liniei de influenţă a efortului secţional care produce ecartul de efort unitar în mijlocul benzii, care se introduce în ecuaţia (12.11) cu semn pozitiv.

Factorul λmax se obţine din spectrul eforturilor unitare corespunzătoare. Se recomandă utilizarea factorilor λmax din figura 12.6.

196

Valori λmax

Fig. 12.6 Exemplu numeric Să se efectueze verificarea la oboseală la antretoaza unui pod metalic de cale ferată, pentru prinderea cu suduri în K a tălpilor de inimă, în zona centrală (zona de rezemare a lonjeronilor). Sunt cunoscute secţiunea antretoazei şi solicitările din acţiunile produse de modelul de încărcare LM 71 (figura E.1):

SECŢIUNE: Tălpi: bf×tf = 300×25 mm Inima: hw×tw = 1000×20 mm

Fig. E.1

SOLICITĂRI: MEd=157 268 daN⋅m TEd=86 207 daN

daNm64268MM maxP71LM == daN10437VV maxP71LM ==

Se vor verifica următoarele condiţii:

1. Ecartul de eforturi unitare: 3/f5.1;f5.1 yy ⋅≤τΔ⋅≤σΔ 3. Rapoartele între valorile de calcul ale ecarturilor de tensiuni şi valorile ecarturilor de tensiuni pentru oboseală:

0.1/

;0.1/ MfC

2.EFf

MfC

2.EFf ≤γτΔτΔγ

≤γσΔσΔγ

4. Efectul combinat al eforturilor unitare normale şi al eforturilor tangenţiale:

0.1//

5

MfC

2.EFf3

MfC

2.EFf ≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛γτΔτΔγ

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛γσΔσΔγ

197

Factorul de echivalenţă al vătămărilor pentru poduri CF cu deschiderea de până la 100 m este: 4.193.011193.0 max4321 =λ<=⋅⋅⋅=λ⋅λ⋅λ⋅λ=λ - 93.01 =λ - Tabelul 9.4–EC3 – Part 2, pentru Li = 2×5.0 m (deschiderea lonjeronilor); - 00.12 =λ - Tabelul 9.5-EC3-Part 2, pentru un tonaj anual din trafic de 25×106 tone; - 00.13 =λ - Tabelul 9.6-EC3-Part 2, pentru o durată de viaţă de 100 ani; - 00.14 =λ - Tabelul 9.7-EC3-Part 2, pentru o linie CF; Coeficientul dinamic care se ia în considerare pentru verificarea la oboseală este:

28.182.02.0L

44.12 =+

−=Φ

Φ

Momentul încovoietor şi forţa tăietoare pentru calculul eforturilor unitare maxime, pentru calculul la oboseală (fără considerarea coeficienţilor acţiunilor) sunt: daNm64268MM maxP71LM == daN10437VV maxP71LM == Se obţin eforturile unitare, normale şi tangenţiale, maxime şi minime:

22wmaxPmaxP mm/N2.61cm/daN61250

71756064268

2h

IM

==⋅==σ ; 0minP =σ

22

w

maxPmaxP mm/N7.12cm/daN127

2717560384437104

tISV

==⋅

⋅=

⋅⋅

=τ ; 0minP =τ

unde momentul static al tălpii faţă de axa neutră: S=30⋅2.5⋅51.25=3844 cm3. Ecarturile de tensiuni: 2

y2

minPmaxPP mm/N5.3522355.1f5.1mm/N2.61 =⋅=⋅<=σ−σ=σΔ

2y

2minPmaxPP mm/N5.2033/f5.1mm/N7.12 =⋅<=τ−τ=τΔ

Ecarturile echivalente de eforturi unitare pentru 2×106 cicluri de solicitare: 2

P22E mm/N8.722.6128.193.0 =⋅⋅=σΔ⋅Φ⋅λ=σΔ

2P22E mm/N157.1228.193.0 =⋅⋅=τΔ⋅Φ⋅λ=τΔ

Se obţine:

0.122.015.1/80

151/

;0.175.015.1/1128.721

/ MfC

2.EFf

MfC

2.EFf <=⋅

=γτΔτΔγ

<=⋅

=γσΔσΔγ

Conform încadrării detaliului constructiv de îmbinare - Tabelul 8.2 şi Tabelul 8.5 din EC3-1-9 s-au utilizat valorile: 2

C2

C mm/N80;mm/N112 =τΔ=σΔ

Se verifică efectul combinat al eforturilor unitare normale şi al eforturilor tangenţiale (pentru starea de tensiune plană):

0.142.022.075.0//

535

MfC

2.EFf3

MfC

2.EFf <=+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛γτΔτΔγ

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛γσΔσΔγ

198

13. ELEMENTE SOLICITATE LA COMPRESIUNE ŞI ÎNCOVOIERE

Elementele solicitate la forţă axială cu încovoiere sunt frecvent întâlnite în structurile podurilor metalice, fie datorită aplicării excentrice a forţelor axiale, fie atunci când la forţele axiale se adaugă încărcări transversale care produc momente încovoietoare. De asemenea la calculul grinzilor cu zăbrele, într-un calcul exact (în care se are în vedere rigiditatea efectivă a barelor concurente în noduri), barele sunt solicitate la forţe axiale cu încovoiere. După mărimea diferitelor solicitări şi modul lor de aplicare, barele pot fi într-o situaţie mai apropiată de barele solicitate axial sau de barele încovoiate. Secţiunea barelor se dezvoltă în raport cu axa faţă de care acţionează momentul încovoietor, această dezvoltare fiind cu atât mai mare cu cât aportul încovoierii este mai important în solicitarea de ansamblu a barei. 13.1. Baza de calcul În conformitate cu EN 1993-1-1, barele cu secţiune uniformă dublu-simetrică, supuse la compresiune axială şi încovoiere trebuie să îndeplinească următoarele condiţii:

1M

MMk

MMM

kN

N

1M

Rk.z

Ed.zEd.zyz

1M

Rk.yLT

Rd.yEd.yyy

1M

Rky

Ed ≤

γ

Δ++

γχ

Δ++

γ

χ (13.1.a)

1M

MMk

MMM

kN

N

1M

Rk.z

Ed.zEd.zzz

1M

Rk.yLT

Rd.yEd.yzy

1M

Rkz

Ed ≤

γ

Δ++

γχ

Δ++

γχ

(13.1.b)

în care: - −Ed.zEd.yEd M,M,N valorile de calcul ale efortului de compresiune şi ale momentelor maxime în bară în raport cu axele y-y şi respectiv z-z; - −ΔΔ Ed.zEd.y M,M momentele rezultate din decalarea axei neutre, pentru secţiunile de clasa 4; - −χχ zy , factori de reducere pentru flambajul prin încovoiere; - −χLT factor de reducere pentru flambajul prin încovoiere-răsucire (flambaj lateral sau deversare ); - −zzzyyzyy k,k,k,k factori de interacţiune. Rezistenţele caracteristice: EdNEdyRkyiRk NeM;fWM;fAN ⋅=Δ⋅=⋅= , se vor evalua în funcţie de clasa secţiunii transversale a elementului, tabelul 13.1. Pentru evaluarea termenilor şi coeficienţilor care intervin în relaţiile de verificare la stabilitate a barei solicitată la compresiune cu încovoiere, se are în vedere una din metodele prezentate în SR EN 1993-1-1:2006, respectiv tabelele din Anexa A (metoda alternativă 1) sau Anexa B (metoda alternativă 2).

199

Tabelul 13.1

CLASA 1 2 3 4

iA A A A effA

yW y.plW y.plW y.elW y.effW

zW z.plW z.plW z.elW z.effW

Ed.yMΔ 0 0 0 Edy.N Ne ⋅

Ed.zMΔ 0 0 0 Edz.N Ne ⋅

În cazul secţiunilor uniforme monosimetrice în relaţiile (13.1.a,b), coeficienţii de reducere

yχ şi zχ se vor înlocui cu [43]: ( )TFzymin ,,.min χχχ=χ (13.2) Coeficientul de reducere TFχ se determină în funcţie de zvelteţea relativă a barei la

flambajul prin încovoiere răsucire, TFλ :

cr

yITF

NfA

=λ ; unde: ⎪⎩

⎪⎨⎧

−

−=

4clasatiunisecA

3;2;1clasatiunisecAA

eff

gI (13.3)

unde:

( )( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ +−+−+

+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π+=

=

T.crz.cr0

zy2T.crz.crT.crz.cr

zy

0TF.cr

2T.cr

w2

t0

gT.cr

cr

NNI

II4)NN()NN(

II2I

N

LEIGI

IA

N

.minN

2szy0 zAIII ⋅++=

În conformitate cu SR EN 1993-2, § 6.3.3, în locul relaţiei (13.1.a), se poate utiliza o relaţie de verificare simplificată:

9.0M

MMC

NN

1M

Rk.y

Rd.yEd.y0.mi

1M

Rky

Ed ≤

γ

Δ++

γ

χ (13.4)

unde: - NEd – valoarea de calcul a forţei de compresiune; - My.Rd – valoarea de calcul a momentului maxim după axa y-y, obţinut printr-un calcul de

ordinul 1, fără a lua în calcul imperfecţiunile; - Cmi.0 – factorul de moment echivalent, conform Anexei A din SR EN 1993-1-1.

Pod hobanat peste fluviul

Chang Jiang (Yangtze), China

Winnepeg Bridge

200

Metoda1 - Factori de interacţiune (Anexa A din SR EN 1993 - 1-1) Tabel A.1.1

201

Tabel A.1.2

202

Tabelul A.2

Pod în Peterborough – Anglia: Pod pe grinzi curbe realizat din oţel rezistent la coroziune (oţel patinabil).

203

Metoda 2- Factori de interacţiune (Anexa B din SR EN 1993 - 1-1)

Elemente care nu sunt sensibile la deformaţiile din răsucire

Tabelul B.1

204

Elemente sensibile la deformaţiile din răsucire Tabelul B.2

205

Tabelul B.3

13.2. Exemple de calcul E.1. Exemplu numeric 1: Bara cu secţiune uniformă dublusimetrică Să se verifice capacitatea portantă, în conformitate cu EN 1993, a unei bare drepte cu secţiune uniformă, dublu T bisimetrică, solicitată la compresiune cu încovoiere, cunoscând următoatele date de proiectare:

206


Fig. E1.1

Oţel S355 ( 81.0;mm/N355f 2y =ε= )

Solicitări: - kN1200NEd = - mkN500M y.Ed ⋅= (constant pe L) - kN400VEd = Lungimi:

- L=12.0 m - m0.12Ll y.crfy == - m0.4LLl LT.crz.crfz ===

Secţiunea brută

- 2cm200A =

- 4y cm817378I =

- 3y.el cm2857W =

- 3y.pl cm1208W =

- 4z cm0049I =

- 3z.el cm3.600W =

- 3z.pl cm916W =

- 67w cm10341.2)I(I ⋅=ω

Caracteristicile secţiunii Clasa secţiunii

166.013550200

10120021AfN2 2

y

Ed −>−=−⋅

⋅⋅=−=ψ

4Clasainima2.7533.067.0

422.123tc

w⇒=

ψ+ε⋅

>=

Clasa secţiunii este 4 ⇒ calculul se bazează pe rezistenţa secţiunii efective. Fig. E1.2

Secţiunea efectivă (eficace) Conform EN 1993-1-1. § 6.2.9.3(2) aria efectivă a secţiunii transversale a barei se determină numai sub acţiunea efortului de compresiune, iar modulul de rezistenţă efectiv se determină numai din solicitarea de încovoiere. Având în vedere această precizare rezultă că trebuie determinată separat clasa secţiunii pentru a calcula aria efectivă, respectiv pentru a calcula momentul de inerţie şi modulul de rezistenţă. Clasificarea secţiunii pentru compresiune. Aria efectivă Talpa comprimată Talpa comprimată este o placă (perete) în consolă solicitată la compresiune uniformă: 43.0k;1 ==ψ σ

207

( )[ ] ( )[ ]⇒=ε⋅<=

⋅+−=

⋅+−= 29.7995.6

202/5228300

t2/a22tb

tc

f

wwf

ftalpa Clasa 1

Talpa este clasa 1 feff.f AA =⇒ Inima Este perete interior solicitat la compresiune uniformă, figura E1.3: 4k;1 ==ψ σ

⇒=ε>=⋅−

=⋅−

= 34422.1238

5221000t

a22htc

w

ww

winima Clasa 4

Pentru solicitarea de compresiune – secţiune Clasa 4

Zvelteţea inimii: 673.068.2481.04.28

8/986k4.28

t/c wp >=

⋅⋅=

⋅ε⋅=λ

σ

Factorul de reducere: ( ) ( ) 134.0

68.213055.068.23055.0

22p

p <=+−

=λ

ψ+−λ=ρ

−⊕ ecompresiun

Lăţimea efectivă a inimii:

mm33698634.0cbeff =⋅=⋅ρ=mm168b5.0bb eff2e1e =⋅==

Fig. E1.3

În figura E1.4 este prezentată secţiunea efectivă, luând în considerare numai solicitarea de compresiune centrică. Se obţine: 2

eff cm148658.0200A =⋅−= Fig. E1.4

Clasificarea secţiunii pentru încovoiere. Modulul de rezistenţă efectiv Talpa: Talpa comprimată este Clasa 1 feff.f AA =⇒ Inima: Este perete interior solicitat la încovoiere, figura E1.5:

9.23k;1 =−=ψ σ ; ⇒=ε⋅>= 44.1001242.123tc

winima Clasa 4

Pentru solicitarea de încovoiere – secţiune Clasa 4

208

Zvelteţea inimii: 673.01.19.2381.04.28

8/986k4.28

t/c wp >=

⋅⋅=

⋅ε⋅=λ

σ


1.113055.01.13055.0

22p

p <=−−

=λ

ψ+−λ=ρ

−⊕ ecompresiun

Fig. E1.5


mm40449382.0bb ceff =⋅=⋅ρ= mm162b4.0b eff1e =⋅= mm242b6.0b eff2e =⋅=

În figura E1.6 este prezentată secţiunea efectivă, luând în considerare numai solicitarea de încovoiere. Se obţine: 45

y.eff cm1066.3I ⋅= 3

y.eff cm9736W = Fig.E1.6

Verificarea secţiunii la încovoiere cu efort axial Se va verifica criteriul - EN1993-1-5 (§4.6):

1/fWeNM

/fWeNM

/fAN

0Mymin.z.eff

NzEdEd.z

0Mymin.y.eff

NyEdEd.y

0Myeff

Ed1 ≤

γ+

+γ

++

γ=η

unde: - Aeff – aria efectivă a secţiunii, calculată numai pentru acţiunea forţei de compresiune;

- Weff.min – modulul de rezistenţă efectiv, calculat pentru secţiunea solicitată numai la încovoiere;

- eN – deplasarea centrului de greutate a secţiunii din acţiunea efortului de compresiune.

În acest caz:

143.00.1/35506973

105000.1/3550148

000120/fWeNM

/fAN 4

0Mymin.y.eff

NyEdEd.y

0Myeff

Ed1 <=

⋅⋅

+⋅

=γ

++

γ=η

209

Verificarea la voalare din forfecare

Inimi nerigidizate:

⇒==ηε

>== 6.482.181.07272125

81000

th

w

w este necesară verificarea

la voalare din forfecare Pentru inimi nerigidizate, rezistenţa de calcul la voalare din forfecare se calculează cu relaţia - EN 1993-1-5 (§5):

1M

wywRd.bfRd.bwRd.b

3

thfVVV

γ

η≤+=

Contribuţia inimii în valoarea rezistenţei la voalare din forfecare se evaluează cu relaţia:

kN820101.13

8.0100355055.03

thfV 2

1M

wywwRd.bw =⋅

⋅

⋅⋅⋅=

γ

χ= −

unde:

55.0786.17.0

37.17.0

37.1w

w =+

=λ+

=χ (montant de reazem rigid)

08.1786.181.084.86

1000t4.86

hf76.0

w

w

cr

yw >=

⋅⋅=

ε⋅⋅=

τ=λ (rigidizări transversale pe reazeme)

Contribuţia tălpilor se neglijează ( 0V Rd.bf = ). Se obţine:

5.049.0820400

VV

rd.bw

Ed3 <===η

Deoarece 5.03 <η , nu se ia în considerare efectul forţei tăietoare asupra rezistenţei la încovoiere a elementului. Verificarea la flambaj În conformitate cu EN 1993-1-1(§ 6.3.3), barele supuse la compresiune axială şi încovoiere, cu secţiune uniformă bisimetrică, trebuie să îndeplinească următoarele condiţii:

1M

MMk

MMM

kN

N

1M

Rk.z

Ed.zEd.zyz

1M

Rk.yLT

Rd.yEd.yyy

1M

Rky

Ed ≤

γ

Δ++

γχ

Δ++

γχ

1M

MMk

MMM

kN

N

1M

Rk.z

Ed.zEd.zzz

1M

Rk.yLT

Rd.yEd.yzy

1M

Rkz

Ed ≤

γ

Δ++

γχ

Δ++

γχ

în care: −Ed.zEd.yEd M,M,N valorile de calcul ale efortului de compresiune şi ale momentelor maxime în bară în raport cu axele y-y şi respectiv z-z; −ΔΔ Ed.zEd.y M,M momentele rezultate din decalarea axei neutre (secţiuni de Clasa 4); −χχ zy , factori de reducere pentru flambajul prin încovoiere; −χLT factor de reducere pentru flambajul lateral (deversare); −zzzyyzyy k,k,k,k factori de interacţiune. În acest caz, secţiunea fiind dublu simetrică avem:

210

0MM0ee Rd.zRd.yNzNy =Δ=Δ⇒== ; 0M Ed.z = Relaţiile de verificare devin:

1M

Mk

NN

1M

Rk.yLT

Ed.yyy

1M

Rky

Ed ≤

γχ

+

γχ

1M

Mk

NN

1M

Rk.yLT

Ed.yzy

1M

Rkz

Ed ≤

γχ

+

γχ

Factorii yyk şi zyk se vor evalua conform cu Anexa A din EN 1993-1-1. Flambajul faţă de axa y-y

kN1045.5101200

10788.3101.2L

EIN 42

2

562

2y.cr

y2y.cr ⋅=⋅

⋅⋅⋅π=π= −

96.031.01045.5

3550148N

fAy6

y.cr

yeffy =χ⇒=

⋅

⋅==λ (curba „b”, 40t f < )

Se obţine:

kN5854101.1355014896.0

fANN 2

1M

yeffy

1M

RkyRd.by =⋅

⋅=

γχ=

γχ= −

Flambajul faţă de axa z-z

kN10166.110400

0049101.2LEI

N 422

62

2z.cr

z2z.cr ⋅=⋅

⋅⋅π=π= −

74.067.010166.1

3550148N

fAz6

z.cr

yeffz =χ⇒=

⋅

⋅==λ (curba „c”)

Se obţine: kN5353101.1355014874.0

fANN 2

1M

yeffz

1M

RkzRd.bz =⋅

⋅=

γχ=

γχ= −

Flambajul lateral Momentul critic pentru secţiunea dublu simetrică şi C2=0 ( m0.4L LT.cr = ):

kNm6086109004101.2

17710807.04009004

10341.2400

9004101.21

EIGIL

II

LEICM

462

627

2

62

z2

t2

LT.cr

z

w2

LT.cr

z2

1cr

=⋅⋅⋅π

⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅π⋅=

=π

+π

=

−

unde: 1C1 = - pentru M constant ( )1+=ψ

Coeficientul de zvelteţe la flambaj lateral:

69.0638.010608635506973

MfW

LT4cr

yy.effLT =χ⇒=

⋅

⋅==λ (curba „d” - 76.0LT =α )

211

Se obţine: kNm1553101.13550697369.0

fWMM 4

1M

yy.effLT

1M

Rk.yLTRd.b =⋅

⋅=

γχ=

γχ= −

Coeficienţii yyμ şi zyμ (Anexa A – EN 1993-1-1)

LT.mmy

y.cr

Ed

yLT.mmyyy CC022.1

NN

1CCk ⋅=

−

μ= ; LT.mmy

y.cr

Ed

zLT.mmyzy CC1

NN

1CCk ⋅=

−

μ=

unde:

1

1045.5120097.01

1045.512001

NN

1

NN

1

4

4

y.cr

Edy

y.cr

Ed

y =

⋅−

⋅−

=χ−

−

=μ ; 98.0

10166.1120080.01

10166.112001

NN

1

NN

1

4

4

z.cr

Edz

z.cr

Ed

z =

⋅−

⋅−

=χ−

−=μ

Se verifică relaţia care delimitează susceptibilitatea la flambaj prin torsiune:

19.01064.1

1200110166.1

1200112.0

NN

1NN

1C2.0

444

4TF.cr

Ed

z.cr

Ed1lim.00

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅−=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=λ≤λ

unde: - 62.0LT0 =λ=λ - zvelteţea redusă pentru flambaj prin deversare datorat momentului de încovoiere uniform. Pentru secţiune dublu simetrică T.crTF.cr NN = :

daN1064.1400

10341.2101.217710807.01087.3

200

LEI

GIIANN

62

7626

5

2LT

w2

t0

T.crTF.cr

⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅⋅⋅π+⋅⋅

⋅=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π+==

45zy0 cm10878.3III ⋅=+= ; ( ) 433

t cm1778.0100230231I =⋅+⋅⋅=

Pentru 19.062.0 lim.00 =λ>=λ (elementul susceptibil la flambaj prin torsiune):

( ) 1a1

aC1CC

LTy

LTy0.my0.mymy =

ε+

ε−+=

unde: 88.06973148

10120010500

WA

NM

2

4

y.eff

eff

Ed

Ed.yy =

⋅

⋅==ε ; 1

II

1ay

tLT ≈−=

Pentru 1y =ψ (moment uniform), factorul de moment uniform echivalent este:

( ) 1NN

33.036.021.079.0Cy.cr

Edyy0.my =−ψ+ψ⋅+=

Se calculează:

109.1

1064.112001

10166.112001

11

NN

1NN

1

aCC

44

2

T.cr

Ed

z.cr

Ed

LT2myLT.m >=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅−

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

212

Se obţine: 09.1k;11.1k zyyy == Verificarea la flambaj

Relaţiile de verificare la flambaj ale barei solicitată la compresiune cu încovoiere devin:

162.0155350011.1

45851200

MM

kN

N

1M

Rk.yLT

Ed.yyy

1M

Rky

Ed <=+=

γχ

+

γχ

169.0155350009.1

35351200

MM

kN

N

1M

Rk.yLT

Ed.yzy

1M

Rkz

Ed <=+=

γχ

+

γχ

E.2. Exemplu numeric 2: Bara cu secţiune uniformă monosimetrică Să se verifice la stabilitate (flambaj), în conformitate cu EN 1993, bara dreaptă cu secţiune uniformă, dublu T monosimetrică, solicitată la compresiune cu încovoiere, cunoscând următoarele date de proiectare:


Fig. E2.1

Oţel: S355 ( 81.0;mm/N355f 2y =ε= )

Solicitări: - kN700NEd = - mkN400M y.Ed ⋅= (constant pe L) Lungimi:

- L= 9.0 m - m0.9Ll y.crfy == - m0.3LLl LT.crz.crfz ===

Secţiunea brută

- 2cm132A =

- 45y cm10493.1I ⋅=

- 3c.y.el cm8574W =

- 3t.y.el cm8472W =

- 3y.pl cm8553W =

- 4z cm3015I =

- cm4.17zs −=

- 66 cm10525.4I ⋅=ω

Clasa secţiunii. Caracteristicile secţiunii

Fig. E2.2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=ψ⇒

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⋅ψ=−

=+

t.y.elc.y.ely

Ed

yt.y.el

EdEd

yc.y.el

EdEd

W1

W1

fM

1f

WM

AN

fWM

AN

=0.37

4Clasainima4333.067.0

42132tc

w⇒=

ψ+ε⋅

>=

213

Clasa secţiunii este 4 ⇒ calculul se bazează pe rezistenţa secţiunii efective Secţiunea efectivă (eficace) Conform EN 1993-1-1. § 6.2.9.3(2) aria efectivă a secţiunii transversale a barei se determină numai sub acţiunea efortului de compresiune, iar modulul de rezistenţă efectiv se determină numai din solicitarea de încovoiere. Având în vedere această precizare rezultă că trebuie determinată separat clasa secţiunii pentru a calcula aria efectivă, respectiv pentru a calcula momentul de inerţie şi modulul de rezistenţă. Clasificarea secţiunii pentru compresiune. Aria efectivă Talpa comprimată Talpa comprimată este o placă (perete) în consolă solicitată la compresiune uniformă: 43.0k;1 ==ψ σ .

( )[ ] ( )[ ]⇒=ε⋅<=

⋅+−=

⋅+−= 29.7914.7

202/3226300

t2/a22tb

tc

f

wwf

ftalpa Clasa 1

Talpa este clasa 1 feff.f AA =⇒ Inima Este perete interior solicitat la compresiune uniformă , figura E2.3: 4k;1 ==ψ σ

⇒=ε>=⋅−

=⋅−

= 34421326

322800t

a22htc

w

ww

winima Clasa 4

Pentru solicitarea de compresiune – secţiune Clasa 4

Zvelteţea: 673.087.2481.04.28

6/792k4.28

t/c wp >=

⋅⋅=

⋅ε⋅=λ

σ


87.213055.087.23055.0

22p

p <=+−

=λ

ψ+−λ=ρ

Fig. E2.3


mm25379232.0cbeff =⋅=⋅ρ= mm127b5.0bb eff2e1e =⋅==

214

În figura E2.4 este prezentată secţiunea efectivă, luând în considerare numai solicitarea de compresiune centrică. Se obţine: 2

eff cm1008.536.0132A =⋅−= Fig. E2.4

Clasificarea secţiunii pentru încovoiere. Modulul de rezistenţă efectiv Talpa: Talpa este clasa 1 feff.f AA =⇒ Inima: Este perete interior solicitat la încovoiere, figura E2.5:

−⊕ ecompresiun

36.0792283

==α

80.1283509

zz

1

2 ===ψ

Fig. E2.5

⇒=ψ−ψ−ε<=<=αε 189)1(62132tc93/5.41w

inima Clasa 3

Pentru solicitarea de încovoiere - secţiune Clasa 3

Secţiunea fiind clasa 3 se va utiliza modulul de rezistenţă elastic.

215

Deoarece 1=ρ (Clasa 3), pentru solicitarea de încovoiere (fără efort axial) întreaga secţiune este efectivă. Verificarea la flambaj Barele supuse la compresiune axială şi încovoiere, cu secţiune uniformă monosimetrică, trebuie să îndeplinească următoarele condiţii [43]:

1M

MMk

MMM

kN

N

1M

Rk.z

Ed.zEd.zyz

1M

Rk.yLT

Rd.yEd.yyy

1M

Rkmin

Ed ≤

γ

Δ++

γχ

Δ++

γχ

1M

MMk

MMM

kN

N

1M

Rk.z

Ed.zEd.zzz

1M

Rk.yLT

Rd.yEd.yzy

1M

Rkmin

Ed ≤

γ

Δ++

γχ

Δ++

γχ

în care: −Ed.zEd.yEd M,M,N valorile de calcul ale efortului de compresiune şi ale momentelor maxime în bară în raport cu axele y-y şi respectiv z-z; −ΔΔ Ed.zEd.y M,M momentele rezultate din decalarea axei neutre (secţiuni de clasa 4); [ ]TFzymin ;;.min χχχ=χ factor de reducere pentru flambaj;

−χ LT factor de reducere pentru flambajul prin încovoiere-răsucire (flambaj lateral sau deversare ); −zzzyyzyy k,k,k,k factori de interacţiune. În acest caz (secţiune clasa 4 - pentru solicitarea de compresiune şi clasa 3 - pentru solicitarea de încovoiere; 0M Ed.z = ) relaţiile de verificare devin:

1fWNeM

kfA

N

1M

yc.y.elLT

Edy.NEd.yyy

1M

yeffmin

Ed ≤

γ

⋅χ

⋅++

γχ

1fWNeM

kfA

N

1M

yc.y.elLT

Edy.NEd.yzy

1M

yeffmin

Ed ≤

γ

⋅χ

⋅++

γχ

Factorii yyk şi zyk se vor evalua conform cu Anexa A din EN 1993-1-1. Flambajul faţă de axa y-y

kN1082.310900

10493.1101.2L

EIN 42

2

562

2y.cr

y2y.cr ⋅=⋅

⋅⋅⋅π=π= −

96.030.01082.3

3550100N

fAy6

y.cr

yeffy =χ⇒=

⋅

⋅==λ (curba „b”, 40t f < )

216


kN1022.110300

5301101.2LEI

N 422

62

2z.cr

z2z.cr ⋅=⋅

⋅⋅π=π= −

82.054.01022.1

3550100N

fAz6

z.cr

yeffz =χ⇒=

⋅


Flambajul prin încovoiere-răsucire

Coeficientul de reducere TFχ se determină în funcţie de zvelteţea relativă a barei la flambajul prin încovoiere răsucire, LTλ :

cr

yiTF

NfA ⋅

=λ ; unde: ⎪⎩

⎪⎨⎧

−

−=

4clasatiunisecA

3;2;1clasatiunisecAA

eff

gi

( )( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ +−+−+

+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ π+=

=

T.crz.cr0

zy2T.crz.crT.crz.cr

zy

0TF.cr

2T.cr

w2

t0

gT.cr

cr

NNI

II4)NN()NN(

II2I

N

LEI

GIIA

N

.minN

unde: 2

szy0 zAIII ⋅++=

În acest caz avem: 4525

0 cm10946.14.17132530110493.1I ⋅=⋅++⋅=

( ) 4333t cm28.972306.0802.120

31I =⋅+⋅+⋅=

daN1076.0300

10525.4101.228.971081.010946.1

132N 62

6626

5T.cr ⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅⋅⋅⋅π+⋅⋅

⋅=

( )[

( ) daN10625.01076.022.110946.110546.141076.01022.1

1076.01022.110546.12

10946.1N

6125

5266

665

5

TF.cr

⋅=⎥⎥⎦

⎤⋅⋅⋅

⋅

⋅−⋅+⋅−

−⋅+⋅⋅⋅

⋅=

⎪⎩

⎪⎨⎧

⋅=

⋅==⋅=

daN10625.0N

daN10760.0N.mindaN10625.0N

6TF.cr

6T.cr6

cr

59.075.010625.0

3550100TF6TF =χ⇒=

⋅

⋅=λ (curba „d”; 2b/h c > )

Rezultă: [ ] 59.059.0;82.0;96.0.minmin ==χ

217

Deplasarea centrului de greutate a secţiunii efective faţă de secţiunea brută, datorită forţei axiale, figura E2.6:

cm6.3e y.N = Fig. E2.6

Flambajul lateral (a se vedea modulul Stabilitatea generală a grinzilor cu inimă plină)

Pentru un element cu secţiunea transversală constantă în lungul acesteia, momentul încovoietor elastic critic de pierdere a stabilităţii generale (flambajul lateral), cu notaţiile din figura E2.7, este dat de relaţia [46]:

( )

( ) ( ) ( )⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−−+

π+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛π= j3g2

2j3g2

z2

t2

z

w2

w2z

2

1cr zCzCzCzCEI

GIkLII

kk

kL

EICM

Fig. E2.7

Se adoptă următoarea convenţie pentru semnul pozitiv:

- z - pozitiv de la centrul de greutate spre talpa comprimată; - az - pozitiv când forţa are efect destabilizator; - gz - pozitiv când forţa acţionează din punctul de aplicare spre centrul de forfecare;

- jz - pozitiv atunci când talpa cu momentul zI mai mare este în zona comprimată. Coeficienţii C1,C2 şi C3 se determină în funcţie de modul de încărcare a grinzilor (diagrama M) şi condiţiile de rezemare (Tabel).

218

Fig. E2.8

Parametrul jz are semnificaţia:

( ) dAzyzI21zz

A

22

ysj ⋅+−= ∫

Cu notaţiile din figura E2.8, jz , se poate calcula astfel:

( )( )⎩

⎨⎧

<β−−β⋅⋅

>β−−β⋅⋅=

5.0pentru12h5.05.0pentru12h4.0

zffs

ffsj

unde: ft

3ftfc

3fc

fc3fc

ftbtb

tb+

=β

Pentru 1=ψ (moment încovoietor constant în lungul barei) rezultă 1CC 31 == şi C2=0. Cu: cm6.81h;cm4.17z ss == :

5.085.02.120230

23033

3

f >=⋅+⋅

⋅=β ; ( ) 848.22185.026.814.0z j =−⋅⋅=

Momentul critic pentru secţiunea monosimetrică ( m0.3L LT.cr = ):

=⋅++⋅⋅π

⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅π⋅= −42

62

626

2

62

cr 10)848.22848.225301101.2

3.9710807.03005301

10525.4(300

5301101.21M

mkN4227 ⋅= Coeficientul de zvelteţe la flambaj lateral:

79.047.01022.74

33504857M

fWLT6

cr

yc.y.elLT =χ⇒=

⋅

⋅=

⋅=λ (curba „d” - 76.0LT =α )

Coeficienţii yyμ şi zyμ (Anexa A – EN 1993-1-1)

LT.mmy

y.cr

Ed

yLT.mmyyy CC102.1

NN

1CCk ⋅=

−

μ=

LT.mmy

y.cr

Ed

zLT.mmyzy CC01.1

NN

1CCk ⋅=

−

μ=

unde: 1

1082.370096.01

1082.37001

NN

1

NN

1

4

4

y.cr

Edy

y.cr

Ed

y =

⋅−

⋅−

=χ−

−

=μ

219

025.1

1022.1120082.01

1022.17001

NN1

NN1

4

4

z.cr

Edz

z.cr

Ed

z =

⋅−

⋅−

=χ−

−=μ

Se verifică relaţia care delimitează susceptibilitatea la flambaj prin torsiune:

19.010629.0

70011022.1

700112.0

NN

1NN

1C2.0

444

4TF.cr

Ed

z.cr

Ed1lim.00

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅−=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=λ≤λ

unde: - 48.0LT0 =λ=λ - zvelteţea redusă pentru flambaj prin deversare datorat momentului de încovoiere uniform; Pentru 19.048.0 lim.00 =λ>=λ (elementul susceptibil la flambaj prin torsiune):

( ) 1a1

aC1CC

LTy

LTy0.my0.mymy =

ε+

ε−+=

unde:

y.el

eff

Ed

Ed.yy W

AN

M=ε ; 1

II

1ay

tLT ≈−=

Pentru 1y =ψ (moment uniform), factorul de moment uniform echivalent este:

( ) 1NN

33.036.021.079.0Cy.cr

Edyy0.my =−ψ+ψ⋅+=

Se calculează LT.mC :

108.1

1076.07001

1022.17001

11

NN

1NN

1

aCC

44

2

T.cr

Ed

z.cr

Ed

LT2myLT.m >=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅−

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

Se obţine: 10.1kk zyyy == Verificarea la flambaj Relaţiile de verificare la flambaj ale barei solicitate la compresiune cu încovoiere se pot pune sub forma unitară:

1fWNeM

]k;k[maxfA

N

1M

yc.y.elLT

Edy.NEd.yzyyy

1M

yeffmin

Ed ≤

γ

⋅χ

⋅++

γχ

Numeric rezultă:

176.0

1.13550467079.0

6.3107001040010.1

1.1355010059.0

10700 242<=

⋅⋅⋅+⋅

+⋅

⋅

220

E.3. Exemplu numeric 3: Stâlp metalic Să se verifice capacitatea portantă, în conformitate cu EN 1993, a unui stâlp metalic cu secţiune uniformă, dublu T bisimetrică, solicitat la compresiune cu încovoiere, cunoscând datele de proiectare de mai jos. Stâlpul face parte din structura unei hale metalice. Se va utiliza metoda alternativă 2 pentru calculul factorilor de interacţiune (Anexa B - SR EN 1993-1-1). Pentru clădiri se va lua 00.11M =γ . Solicitări maxime Solicitările maxime ale stâlpului se obţin din combinaţia de acţiuni (gruparea):

Z50.1G35.1ZG QmaxG +=γ+γ , la care se adaugă efectul forţelor orizontale rezultate din efectul imperfecţiunii globale, Heq . Aceste solicitări sunt: MEd = 582.5 kNm; NEd =184.37 kN; VEd = 97 kN Secţiune transversală. Caracteristici de calcul (figura E3.1) Lungimea de flambaj a stâlpului în planul cadrului, Lcr.y, s-a determinat dintr-o analiză globală şi a rezultat: m2.190.62.3L;2.3 y.cr =⋅==μ Lungimea de flambaj în raport cu axa z-z este: Lcr.z = Lcr. T = 2.0 m (distanţa dintre riglele de perete).

Oţel: S 235 2cm140A =

44y cm10491.9I ⋅=

3el.y cm2966W =

3pl.y cm3380W =

cm26iy = 4

z cm2672I = cm4.4iz =

66 cm10562.2I ⋅=ω L=6.0 m

Fig. E3.1

Clasa secţiunii transversale Secţiunea este solicitată la compresiune şi încovoiere. Talpa comprimată

⇒=ε⋅<=−

=−

= 9975.420

2/)10200(t

2/)tb(tc

f

wf

ftalpa este Clasa 1

Inima Din figura E3.2 se obţine:

189.012350140

1037.18421AfN2 2

y

Ed −>−=−⋅

⋅⋅=−=ψ

221

Verificăm relaţiile:

ψ+

ε≤

33.067.042

tc

w , respectiv: ⇒=

⋅−<= 112

89.033.067.04260

10600 Clasa inimii ≤ 3

1fA

N2

fW

MA

N

fW

MA

N

y

Ed

yEdEd

yEdEd

−=ψ⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⋅ψ=+

=+

Fig. E3.2

Se consideră distribuţia tensiunilor din figura E3.3 pentru a stabili dacă clasa secţiunii este 1 sau 2.

Din condiţia:

[ ] ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=α⇒=−α 1

fAN

5.0Nft)12(cyw

EdEdyw

unde: ww tcA ⋅≈

Fig. E3.3

Se obţine:

5.057.01235060

1037.1845.01fA

N5.0

2

yw

Ed >=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⋅⋅

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=α

⇒=−αε

<= 8.61113

39660tc

winima este Clasa 1 pentru solicitarea de compresiune cu

încovoiere. Clasa secţiunii stâlpului = max. (clasa tălpii comprimate; clasa inimii)= Clasa 1. Se va opera cu aria brută şi modulul de rezistenţă plastic. Verificarea secţiunii la încovoiere cu efort axial Se va verifica criteriul - EN1993-1-5 (§4.6):

1/fW

eNM/fW

eNM/fA

N

0Myeff.z

NzEdEd.z

0Myeff.y

NyEdEd.y

0Myeff

Ed1 ≤

γ+

+γ

++

γ=η

unde: - Aeff – aria efectivă a secţiunii transversale, calculată numai pentru acţiunea forţei de

compresiune;

222

- Weff.– modulul de rezistenţă efectiv, calculat pentru secţiunea solicitată numai la încovoiere;

- eN – deplasarea centrului de greutate a secţiunii din acţiunea efortului de compresiune. În acest caz, ţinând cont de clasa secţiunii pentru solicitarea de compresiune şi încovoiere - Clasa 1, relaţia de verificare devine:

179.00.1/23503380

105.5820.1/2350140

43718/fW

M/Af

N 4

0Mypl.y

Ed.y

0My

Ed1 <=

⋅⋅

+⋅

=γ

+γ

=η

Verificarea la voalare din forfecare Inimi nerigidizate:

60

2.10.17272

6010600

th

w

w

==ηε

==⇒nu este necesară verificarea la voalare din forfecare

Verificarea la forfecare Se verifică relaţia: 1

VV

Rd.c

Ed < ;

( )

kN877.97610)3/235072(3/fA

VV 2

Mo

yvRd.plRd.c =⋅⋅=

γ== −

unde: 2wwv cm721602.1)th(A =⋅⋅=η=

Rezultă: 1099.01286

97VV

Rd.c

Ed <<==

Deoarece Rd.plEd V5.0V ⋅< , efectul forţei tăietoare asupra momentului de rezistenţă se neglijează. Verificarea la flambaj În conformitate cu EN 1993-1-1(§ 6.3.3), barele supuse la compresiune axială şi încovoiere, cu secţiune uniformă bisimetrică, trebuie să îndeplinească următoarele condiţii:

1M

MMk

MMM

kN

N

1M

Rk.z

Ed.zEd.zyz

1M

Rk.yLT

Rd.yEd.yyy

1M

Rky

Ed ≤

γ

Δ++

γχ

Δ++

γχ

1M

MMk

MMM

kN

N

1M

Rk.z

Ed.zEd.zzz

1M

Rk.yLT

Rd.yEd.yzy

1M

Rkz

Ed ≤

γ

Δ++

γχ

Δ++

γχ

în care: Ed.zEd.yEd M,M,N - valorile de calcul ale efortului de compresiune şi ale momentelor maxime în bară în raport cu axele y-y şi respectiv z-z; Ed.zEd.y M,M ΔΔ - momentele rezultate din decalarea axei neutre, pentru secţiunile de clasa 4; zy , χχ - factori de reducere pentru flambajul prin încovoiere; LTχ - factor de reducere pentru flambajul lateral (deversare );

223

zzzyyzyy k,k,k,k - factori de interacţiune.

În acest caz avem: 0MM0ee Rd.zRd.yNzNy =Δ=Δ⇒== ; 0M Ed.z =

Relaţiile de verificare devin:

1M

Mk

NN

1M

Rk.yLT

Ed.yyy

1M

Rky

Ed ≤

γχ

+

γχ

; 1M

Mk

NN

1M

Rk.yLT

Ed.yzy

1M

Rkz

Ed ≤

γχ

+

γχ

Factorii yyk şi zyk se vor evalua conform cu Anexa B din EN 1993-1-1. Flambajul faţă de axa y-y

kN5336101920

10491.9101.2L

EIN 2

2

462

2y.cr

y2y.cr =⋅

⋅⋅⋅π=π= −

Rezultă: 82.078.06005332350140

NfA

yy.cr

yy =χ⇒=

⋅=

⋅=λ (curba „b”, 40t f < )

Se obţine: kN2698100.1235014082.0

fANN 2

1M

yeffy

1M

RkyRd.by =⋅

⋅=

γχ=

γχ= −


kN8501310200

2672101.2LEIN 2

2

62

2z.cr

z2z.cr =⋅

⋅⋅π=π= −

- Lcr.z =2.0 m – distanţa dintre rigle perete;

- 84.049.010850.13

2350140N

fAz5

z.cr

yz =χ⇒=

⋅


Se obţine: kN2764100.1235014084.0

fANN 2

1M

yeffz

1M

RkzRd.bz =⋅

⋅=

γχ=

γχ= −

Flambajul lateral Momentul critic pentru secţiunea dublu simetrică ( m0.2L LT.cr = ):

kNm5072102672101.2

7.12610807.02002672

10562.2200

2672101.214.1

EIGIL

II

LEI

CM

462

626

2

62

z2

t2

LT.cr

z

w2

LT.cr

z2

1cr

=⋅⋅⋅π

⋅⋅⋅+

⋅⋅⋅π⋅=

=π

+π

=

−

unde: 14.1C1 = - pentru M variabil pe distanţa dintre două rigle.

Coeficientul de zvelteţe la flambaj lateral:

85.040.010507223503380

MfW

LT4cr

ypl.yLT =χ⇒=

⋅

⋅=

⋅=λ (curba „d” - 76.0LT =α )

224

Se obţine: kNm675100.12350338085.0

fWMM 4

1M

ypl.yLT

1M

Rk.yLTRd.b =⋅

⋅=

γχ=

γχ= −

Coeficienţii kyy şi kzy (Anexa B – EN 1993-1-1)

( ) ( ) 93.02698

37.1842.062.019.0/N

N2.01Ck

1MRky

Edymyyy =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −+=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

γχ−λ+=

unde: 9.0Cmy = (Anexa B- SR EN 1993-1-1- Tabelul B.3 - cadre cu noduri deplasabile)

( ) 99.02764

37.184)25.06.0(

49.01.01/N

N25.0C

1.01k1MRkz

Ed

mLT

zzy =

−⋅

−=γχ−

λ−=

Verificarea la flambaj Relaţiile de verificare la flambaj ale barei solicitate la compresiune cu încovoiere devin:

187.0675

5.58293.02269

37.184M

Mk

NN

1M

Rk.yLT

Ed.yyy

1M

Rky

Ed <=+=

γχ

+

γχ

192.0675

5.58299.02764

37.184M

Mk

NN

1M

Rk.yLT

Ed.yzy

1M

Rkz

Ed <=+=

γχ

+

γχ

Observaţii Verificarea stabilităţii generale a barei solicitate la compresiune cu încovoiere, în conformitate cu Eurocode 3, are în vedere următoarele aspecte:

- pierderea stabilităţii prin încovoiere pentru secţiunile dublu simetrice prin coeficienţii de reducere yχ şi zχ ;

- pierderea stabilităţii prin încovoiere sau prin încovoiere-răsucire, în cazul secţiunilor monosimetrice, prin coeficientul de reducere [43]:

[ ]TFzymin ;;.min χχχ=χ

- flambajul lateral al tălpii comprimate, prin coeficientul de reducere LTχ ; - caracteristicile secţiunii efective, în cazul secţiunilor Clasa 4; - momentele încovoietoare suplimentare datorate deplasării centrului de greutate al secţiunii, sub

acţiunea efortului de compresiune; - factori de interacţiune între solicitări.

225

14. CONFORMAREA CONSTRUCTIVǍ A GRINZILOR CU INIMǍ PLINǍ

14.1. Adaptarea secţiunii grinzii la variaţia solicitărilor Pentru folosirea eficientă a materialului se recomandă adaptarea secţiunii grinzii la variaţia solicitărilor, respectiv a momentului încovoietor, având în vedere solicitarea de bază a grinzii, cea de încovoiere. Variaţia secţiunii grinzii pe lungimea L a acesteia se poate realiza în următoarele soluţii constructive:

- modificarea înălţimii inimii grinzii; - modificarea numărului de platbande din tălpi; - modificarea grosimii platbandelor tălpilor; - modificarea lăţimii platbandelor tălpilor; - combinaţii între soluţiile anterioare. În figura 14.1 sunt prezentate modalităţi de realizare a variaţiei secţiunii grinzii, pentru grinzi

simplu rezemate (prin modificarea înălţimii secţiunii) şi pentru grinzi continue (prin modificarea numărului de platbande şi a înălţimii grinzii) [2].

Fig. 14.1. Adaptarea secţiunii grinzii la variaţia momentului încovoietor

Pentru adaptarea secţiunii grinzii la variaţia momentului încovoietor se determină mai întâi înfăşurătoarea momentelor maxime.

Pentru grinzile simplu rezemate se admite că înfăşurătoarea momentelor maxime are un palier central de 0.12· L şi două ramuri parabolice de câte 0.44· L, figura 14.2, având ecuaţia [4]:

)( ( )xL88.0x

L88.0M4M 2

maxx −⋅⋅⋅

⋅

⋅= (14.1)

226

Fig. 14.2. Diagrama de momente încovoietoare

Rezultă punctul teoretic de variaţie a secţiunii grinzii, în care momentul încovoietor are valoarea xM [4]:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⋅⋅=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⋅⋅=

max

x

max

xWW11L44.0

MM11L44.0x (14.2)

în care: x - distanţa de la reazem la punctul teoretic de schimbare a secţiunii;

xW - modulul de rezistenţă al secţiunii reduse. Dacă variaţia secţiunii grinzii se realizează prin modificarea numărului de platbande care

intră în alcătuirea tălpilor, se pot determina analitic lungimile necesare ale platbandelor. Întreruperea unei platbande este posibilă în secţiunea în care momentul capabil al secţiunii

reduse este mai mare decât momentul încovoietor efectiv. Dacă pentru preluarea momentului maxim sunt necesare n platbande ( nmax MM ≅ ), atunci întreruperea unei platbande este posibilă în secţiunea în care 1nx MM −≤ .

Scriind:

( )

( )xL88,0xL88,0

M4M 2n

1n −⋅⋅⋅⋅

⋅=−

rezultă: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⋅⋅=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⋅⋅= −−

n

1n

n

1nW

W11L44.0M

M11L44.0x

şi deci lungimea necesară a platbandei va fi:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⋅⋅−=⋅−= −

n

1npn W

W11L88,0Lx2LL

În consecinţă lungimea platbandelor va fi:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⋅−= −

n

1npn W

W1188.01LL

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⋅−= −

−n

2n1n.p W

W1188.01LL

în care: nW - modulul de rezistenţă al secţiunii întregi, cu un număr de n platbande;

in2n1n W,...,W,W −−− - modulele de rezistenţă ale secţiunilor din care s-au scos 1,2,…,i platbande.

Platbandele se prelungesc faţă de punctele teoretice cu o lungime stabilită astfel: • grinzi nituite [2]:

227

- să permită dispunerea a cel puţin două perechi de nituri, dintre care o pereche poate fi prevăzută chiar în punctul teoretic, figura 14.3.a;

- niturile dintre extremităţile a două platbande consecutive trebuie să asigure încărcarea totală cu efort a platbandei pe care o prind, figura 14.3.b:

nNnN nit.Rdplatbanda.Rd ⇒⋅≤

• grinzi sudate:

- cusăturile de sudură laterale şi frontale, de la extremitatea unei platbande şi până la punctul teoretic de întrerupere a platbandei următoare, trebuie să asigure încărcarea platbandei pe care o fixează;

- dacă sudura se prelucrează ca în figura 14.4, platbanda poate fi întreruptă în punctul teoretic [47].

În figura 14.5 sunt prezentate detalii constructive pentru realizarea variaţiei secţiunii grinzilor sudate [2]; [38]. Grinzile principale cu inimă plină cu deschiderea L>20 m se execută cu o contrasăgeată

csf (fig. 14.6), stabilită cu relaţia: Pgcs f25,0ff ⋅+= (14.3)

în care: gf - săgeata din încărcare proprie; Pf - săgeata din încărcare utilă.

Fig. 14.4. Prelucrarea sudurii la capătul platbandei

Fig. 14.3. Prinderea nituită a platbandelor la capete

228

Fig. 14.5. Variaţia secţiunii grinzilor sudate

21Lfxx4y ⋅⋅⋅=

Fig. 14.6. Contrasăgeata grinzilor principale

14.2. Rigidizările inimii

Alcătuirea constructivă a rigidizărilor Pentru a se evita pierderea stabilităţii locale a inimii, realizată din tablă cu grosime relativ

mică (utilizarea unor grosimi mari creşte foarte mult consumul de oţel şi nu se justifică), se dispun rigidizări care micşorează dimensiunile panourilor de inimă expuse pericolului de pierdere a stabilităţii (voalare).

Funcţie de înălţimea grinzii şi mărimea solicitărilor pot exista următoarele situaţii de rigidizare a inimii (fig. 14.7):

- rigidizări transversale verticale; - rigidizări transversale verticale şi rigidizări longitudinale; - rigidizări transversale verticale, rigidizări longitudinale şi rigidizări transversale verticale

scurte. Rigidizările verticale se plasează în dreptul reazemelor, în dreptul antretoazelor (în cazul grinzilor principale), în dreptul rezemării lonjeronilor (în cazul antretoazelor) sau în alte secţiuni în care se transmit forţe concentrate mari.

229

Panourile delimitate de rigidizări, a căror mărime rezultă din condiţia verificărilor la voalare, pot să fie identice pe lungimea grinzii, sau pot să difere, funcţie de mărimea şi natura eforturilor (momente încovoietoare şi forţă tăietoare). Rigidizările orizontale se prevăd în zona comprimată a inimii, iar rigidizările scurte se prevăd în cazul existenţei unor solicitări aplicate direct pe talpa grinzii (de exemplu în cazul grinzilor principale când traversele sunt aşezate direct pe talpa acestora).

Fig. 14.7. Rigidizările inimii

Rigidizări la grinzile nituite Rigidizările grinzilor alcătuite nituit se execută de obicei din corniere amplasate pe ambele părţi ale inimii.

Uneori, din motive estetice (în cazul grinzilor principale), acestea se aşează numai pe faţa interioară a tablierului în scopul de a realiza în exterior o faţă netedă a inimii. Se recomandă [2]:

( ) ic h30/140b ⋅+≥ (14.4) Fig. 14.8

Cornierele rigidizărilor transversale se dezvoltă pe toată înălţimea inimii; între inima grinzii

şi aripa cornierei paralelă cu aceasta se interpune o furură de grosimea aripii cornierei tălpii şi cu lăţimea bc+10mm (pentru a fi găurită la mijloc), figura 14.8.

În figura 14.9 sunt prezentate soluţii de realizare a rigidizărilor transversale alcătuite din corniere.

Fig. 14.9. Rigidizări din corniere

230

Cornierele rigidizărilor transversale de la grinzile principale se păsuiesc la talpa inferioară, la podurile cu calea jos, respectiv la talpa superioară, la podurile cu calea sus, iar rigidizările de reazem se păsuiesc la ambele capete.

Rigidizările orizontale, plasate în zona comprimată a inimii se întrerup în dreptul rigidizărilor verticale (acestea considerându-se elemente mai importante), iar rigidizările scurte se opresc în dreptul rigidizărilor orizontale.

Rigidizările de reazem se alcătuiesc cu secţiuni mai puternice, capabile să preia reacţiunea grinzii, două soluţii fiind arătate în figura 14.10.

Fig.14.10. Rigidizări de reazem

Rigidizări la grinzi sudate Există o mare varietate de soluţii care pot fi adoptate pentru realizarea secţiunii rigidizărilor sudate, faţă de inimă acestea putând fi dispuse pe ambele părţi sau numai pe o parte, figura 14.11. Soluţia cea mai simplă este cea care utilizează platbande sudate normal pe inimă, dispuse pe o singură parte sau pe ambele părţi. În cazul soluţiei de rigidizări pe ambele feţe ale inimii, pentru a evita formarea unor structuri defavorabile în materialul de bază prin gruparea a 4 cordoane de sudură pe o zonă restrânsă a inimii, se recomandă decalarea acestora sau interpunerea unei plăci la una din ele.

Fig. 14.11. Rigidizări sudate

În vederea introducerii unor eforturi reziduale cât mai mici din sudură, se recomandă folosirea cordoanelor de grosime minimă (a=4mm); cusăturile se execută concave sau se prelucrează, pentru a asigura o racordare continuă.

Rigidizările orizontale se întrerup în dreptul intersecţiei cu cele verticale, de care se

sudează cu cordon de colţ (fig. 14.12.a) sau sunt continue (se întrerup cele verticale) în cazul în

231

care rigidizarea orizontală este şi piesă de înnădire a inimii şi dacă se ia în considerare la determinarea caracteristicilor secţiunii transversale a grinzii (fig. 14.12.b).

Fig. 14.12. Intersecţia rigidizărilor

Sudarea rigidizărilor transversale de tălpi se admite numai dacă talpa este supusă la eforturi oscilante de compresiune şi dacă prin această sudare nu rezultă reduceri ale rezistenţei admisibile la oboseală. Pentru legătura între rigidizările verticale şi talpa întinsă există mai multe soluţii, două din ele fiind prezentate în figura 14.13.

Fig. 14.13. Rigidizări la talpa întinsă

O altă soluţie constă în oprirea rigidizărilor verticale

la o anumită distanţă faţă de talpa întinsă, stabilită din condiţia de rezistenţă admisibilă la oboseală, figura 14.14.

Fig. 14.14 Rigidizare întreruptă

14.3. Îmbinarea grinzilor cu inimă plină

14.3.1. Aspecte generale Grinzile cu inimă plină au dimensiuni în secţiunea transversală care, în general, nu depăşesc gabaritul de transport pe cale ferată. În ceea ce priveşte lungimea, aceasta poate depăşi posibilităţile de transport (cazul grinzilor principale), fapt care impune împărţirea grinzii în tronsoane care să se înscrie în gabaritele de transport pe cale ferată sau şosea. Alte cauze care pot impune împărţirea grinzii în tronsoane sunt capacitatea mijloacelor de ridicat şi de manipulat, spaţiul disponibil pentru manipulare, condiţii tehnologice etc.

232

De asemenea în cazul în care grinda sau tronsonul are dimensiuni mai mari decât produsele laminate din care se alcătuiesc, se impune realizarea unor îmbinări de atelier pe lungimea acestora, care trebuie proiectate şi realizate corespunzător.

Prin urmare, după locul unde se execută, se disting două tipuri de îmbinări: - îmbinări de şantier sau de montaj, prin care se îmbină tronsoanele între ele, adică toate

elementele componente ale grinzii; - îmbinări de uzină sau atelier, prin care pe secţiunea transversală se îmbină unele

elemente ale grinzii. În funcţie de soluţia de realizare a îmbinării, acestea pot fi: - îmbinări nituite; - îmbinări cu şuruburi:

• şuruburi obişnuite; • şuruburi de înaltă rezistenţă pretensionate.

- îmbinări cu sudură. La stabilirea poziţiei îmbinărilor trebuie avute în vedere următoarele considerente:: • numărul îmbinărilor să fie minim, pentru a evita consumul suplimentar de material şi

manoperă pentru realizarea acestora; • dacă elementul se realizează din mai multe tronsoane, acestea trebuie să fie cât mai

multe identice, pentru a simplifica construcţia şi montajul; • îmbinările de atelier se vor stabili funcţie de lungimile reale de livrare a sortimentelor de

laminate (acestea diferă de la un laminat la altul, sau în cadrul aceluiaşi produs sunt funcţie de mărimea secţiunii);

• îmbinările se vor plasa în zone cu solicitări cât mai reduse, având în vedere faptul că ele conduc în general la o reducere a secţiunii active, de care trebuie să se ţină seama.

Pe lângă respectarea acestor principii, trebuie avute în vedere următoare condiţii: • condiţia capacităţii portante: în zona îmbinării elementul să prezinte cel puţin

capacitatea portantă ca şi restul barei; • condiţia de simetrie a elementelor de îmbinare: centrul de greutate al elementelor de

îmbinare să coincidă sau să fie cât mai apropiat cu cel al grinzii; • în cazul îmbinărilor de şantier, toate părţile componente ale secţiunii trebuie acoperite

cu eclise, astfel încât să se asigure o trecere cât mai directă a eforturilor de la un tronson la celălalt;

• condiţia constructivă şi economică: îmbinările să fie cât mai simple din punct de vedere constructiv, uşor de realizat, să fie cât mai scurte.

14.3.2. Îmbinarea grinzilor nituite

Îmbinarea platbandelor tălpilor Îmbinarea platbandelor tălpilor se realizează cu eclise, fiind posibile două variante [2]: Îmbinarea directă, care constă în acoperirea rostului de întrerupere a fiecărei platbande cu

o eclisă nituită de o parte şi de alta a rostului cu un număr de nituri rezultat din calcul, figura 14.15. Din condiţia de egalitate a capacităţii portante a platbandei şi niturilor de îmbinare rezultă numărul niturilor din îmbinare.

Fig. 14.15. Îmbinare directă a platbandelor

233

Îmbinarea rezultă simetrică, se execută uşor, însă are dezavantajul că rezultă un număr mare de nituri în îmbinare şi o lungime mare a ecliselor.

Îmbinarea indirectă, figura 14.16. În acest caz platbanda “i” din stânga rostului serveşte ca eclisă pentru platbanda “i-1” din

dreapta rostului, cu excepţia platbandei exterioare peste care se aşează o eclisă suplimentară. Din condiţia de capacitate portantă rezultă:

( ),...A,AMAXA 2p1pe =

Fig. 14.16. Îmbinarea indirectă a platbandelor

Îmbinarea cornierelor tălpilor Îmbinarea cornierelor tălpilor se poate face cu corniere sau cu eclise, figura 14.17, care să

îndeplinească condiţia de arie echivalentă.

Fig. 14.17. Îmbinarea cornierelor tălpilor

Îmbinarea inimii Îmbinările transversale ale inimii se realizează cu două eclise care trebuie să se extindă pe toată înălţimea inimii şi să îndeplinească condiţiile: - ie WW ≥ ; - mm8te ≥ ;

- numărul minim de şiruri verticale este 2 (de o parte şi de alta a îmbinării). În figura 14.18 sunt prezentate soluţii de realizare a îmbinărilor.

234

Fig. 14.18. Îmbinare grinzi nituite: a) – îmbinare decalată inimă-tălpi: 1 – îmbinare inimă; 2 – îmbinare tălpi;

b) – îmbinare inimă

14.3.3. Îmbinarea grinzilor alcătuite sudat Secţiunile grinzilor cu inimă plină alcătuite sudat fiind mult mai simple în comparaţie cu a

celor asamblate nituit, rezolvarea îmbinărilor se realizează de asemenea mai simplu. Îmbinările grinzilor sudate se pot realiza în una din următoarele variante: - îmbinări nituite (mai rar utilizate); - îmbinări cu şuruburi obişnuite; - îmbinări cu şuruburi de înaltă rezistenţă pretensionate (SIRP); - îmbinări sudate. Îmbinările cu nituri şi şuruburi sunt utilizate pentru îmbinările de montaj, unde nu se poate

conta pe o calitate corespunzătoare a sudurii (în cazul în care ar fi utilizată ca mijloc de îmbinare), iar îmbinările sudate sunt utilizate pentru îmbinările de atelier (uzină).

În figura 14.19 este prezentată o îmbinare cu şuruburi a unei grinzi alcătuite sudat.

235

Fig. 14.19. Îmbinare cu şuruburi

În cazul îmbinărilor cu nituri sau şuruburi obişnuite, pentru compensarea slăbirilor secţiunii prin găuri, se pot utiliza “compensatori” de pierdere care se sudează de elementele secţiunii. În cazul îmbinărilor sudate, cu sudură cap la cap, muchiile sudate se prelucrează (şanfrenare), funcţie de grosimea tablelor (X, Y, la tălpi, ½ Y inimii).

Îmbinarea tălpilor faţă de cea a inimii se decalează, iar pentru compensarea rezistenţelor admisibile dintre sudură şi talpa întinsă cordonul poate fi înclinat cu 45°, figura 14.20.

Fig. 14.20. Îmbinarea sudată a grinzilor

Pentru ca îmbinările sudate să prezinte o rezistenţă egală cu cea a materialului de bază se pot prevedea eclise sudate cu sudură de colţ, figura 14.21.

Fig. 14.21. Îmbinarea sudată cu adăugare de eclise

În cazul îmbinărilor de montaj, pentru a compensa deformaţiile produse la sudare, se pot

adopta soluţiile din figura 14.22.

Fig. 14.22. Îmbinări de montaj sudate

236

Calculul elementelor de solidarizare Niturile de gât ale tălpii superioare, în cazul grinzilor nituite, respectiv cordoanele de sudură de colţ, în cazul grinzilor sudate, trebuie să poată prelua efortul de lunecare produs de forţa tăietoare, precum şi efortul provenit din aplicarea directă pe talpă a sarcinilor concentrate (dacă este cazul). Verificarea niturilor de gât, figura 14.23.

Fig. 14.23. Solicitarea niturilor de gât

Efortul maxim care solicită nitul va fi:

22

b

yn d

PISV

eR ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅Φ

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅⋅= (14.5)

Din condiţia Rd.vn FR ≤ rezultă distanţa maximă dintre nituri emax.

unde: - Sy – momentul static al tălpii (platbandă şi corniere) faţă de axa grinzii; - Ib – momentul de inerţie brut al întregii secţiuni a grinzii; - Φ – coeficientul dinamic. Verificarea sudurii de prindere a tălpilor de inimă, figura 14.24.

Fig. 14.24. Solicitarea sudurilor de solidarizare Eforturile unitare normale şi tangenţiale se evaluează cu relaţiile:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=σ

2h

IM w

yII ;

da4P2

w ⋅⋅⋅Φ⋅

=τ=σ ⊥⊥ ; yw

f.yII Ia2

SV⋅

⋅=τ (14.6.a,b,c)

Se verifică eforturile unitare cu relaţiile:

2Mw

u2II

22 f)(3

γ⋅β≤τ+τ+σ ⊥⊥ ;

2M

uf9.0γ

≤σ⊥ (14.7.a,b)

237

15. GRINZI CU ZĂBRELE. BAZELE PROIECTǍRII 15.1. Aspecte generale Grinzile cu zăbrele au cunoscut o evoluţie îndelungată, acestea fiind realizate în ordine cronologică din lemn, fontă, oţel pudlat, iar din a doua jumătate a secolului XIX din oţel. Podurile executate pe grinzi principale cu zăbrele s-au dovedit viabile în exploatare, având o comportare bună la fenomenul de oboseală. O etapă importantă în dezvoltarea grinzilor cu zăbrele o constituie introducerea sudurii ca mijloc de solidarizare şi îmbinare, care a făcut posibilă eliminarea numărului mare de nituri necesar înainte, în acest mod execuţia devenind mult mai eficientă. În ceea ce priveşte schemele statice adoptate şi geometria de zăbrelire, modificările pe parcursul timpului nu au fost deosebite, însă în ceea ce priveşte perfecţionarea metodelor de calcul, acestea au avut o evoluţie pronunţată. O lungă perioadă de timp (peste 100 ani) s-au dezvoltat continuu metodele grafice pentru determinarea eforturilor în bare, pentru ca odată cu introducerea calculatoarelor electronice, calculul să devină automatizat, fiind astfel posibilă analiza comportării spaţiale a elementelor de rezistenţă. Domeniul de folosire a grinzilor principale cu zăbrele se înscrie în cel al deschiderilor mijlocii şi mari, ele fiind mai economice comparativ cu grinzile cu inimă plină, pentru deschideri mai mari de cca. 33 m. În comparaţie cu grinzile cu inimă plină, grinzile cu zăbrele se caracterizează prin faptul că secţiunile elementelor (barelor) sunt folosite mult mai eficient din punct de vedere a utilizării materialului la capacitatea sa portantă. Astfel la barele întinse, teoretic întreaga secţiune poate fi solicitată la efortul ydf , iar la barele comprimate la efortul ydf⋅χ , figura 15.1.a, spre deosebire de grinzile cu inimă plină unde numai în fibrele extreme se atinge efortul ydf , figura 15.1.b. Nu în ultimul rând criteriul privind estetica podului (podurile fiind lucrări de artă), poate condiţiona adoptarea soluţiei de tablier pe grinzi cu zăbrele.

Fig. 15.1. Eforturi unitare în: a) barele grinzilor cu zăbrele;

b) grinda cu inimă plină

15.2. Sisteme constructive Din punct de vedere mecanic, grinzile cu zăbrele se definesc ca structuri realizate din bare, legate între ele prin articulaţii, astfel încât să formeze sisteme indeformabile geometric. Ipotezele simplificatoare care stau la baza calculului grinzilor cu zăbrele sunt următoarele:

- acţiunile sunt aplicate numai la noduri; - axele barelor care converg într-un nod sunt concurente; - barele se consideră legate în noduri prin articulaţii perfecte.

238

În aceste ipoteze, în barele grinzilor cu zăbrele apar numai eforturi axiale (numite principale). În realitate, alcătuirea nodurilor conduce la realizarea unor noduri semirigide sau chiar rigide, fiind împiedicată rotirea liberă a barelor, astfel că în bare apar momente încovoietoare, care duc la apariţia unor eforturi unitare suplimentare.

Alcătuirea structurilor articulate presupune asigurarea indeformabilităţii geometrice proprii şi legarea lor de teren.

Pentru o structură plană, figura geometrică primară indeformabilă este triunghiul (3 bare +3 noduri), iar condiţia de indeformabilitate proprie şi de legare cu terenul este:

n2rb ⋅=+ (15.1) unde: b – numărul de bare; r = 3 – numărul de legături cu terenul; n – numărul de noduri. Condiţia (15.1) este necesară, dar nu întotdeauna suficientă, deoarece legăturile trebuiesc astfel distribuite, încât să nu se creeze un mecanism local. 15.2.1. Forma şi dimensiunile grinzilor cu zăbrele Forma şi dimensiunile grinzilor cu zăbrele se stabilesc în funcţie de următorii factori de bază [2]:

• Poziţia căii Atunci când calea este la nivelul unei tălpi (cale sus sau cale jos) talpa de la acest nivel se

execută dreaptă ca şi calea; poziţia intermediară a căii este mai rar întâlnită în practică. • Consumul minim de oţel Eforturile în tălpile grinzilor cu zăbrele sunt direct proporţionale cu momentele încovoietoare

şi invers proporţionale cu distanţa dintre tălpi. Din acest punct de vedere este raţională soluţia de grinzi cu înălţimea variabilă (rezultând secţiuni constante pentru tălpi). Mărind însă distanţa între tălpi, cresc lungimile zăbrelelor, care implică un consum suplimentar de material, mai ales la barele comprimate dimensionate la stabilitate. Înălţimile optime se pot determina, în consecinţă, numai printr-un calcul de optimizare al consumului minim de oţel pentru întreaga structură.

Matematic problema se rezolvă exprimând greutatea grinzii cu zăbrele, în funcţie de parametrul variabil H – înălţimea grinzii:

( )HfG = (15.2) Din condiţia 0dH/dG = , se obţine înălţimea optimă a grinzii. După N. Streleţki rezultă:

1n7,0nLkHopt +⋅⋅⋅= (15.3)

unde: L – deschiderea grinzii [m]; n – numărul de panouri; k – coeficient care ţine seama de modul de zăbrelire al grinzii:

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

montanti. si deschise diagonale cu sistem 0,58montanti; cu alternante diagonale cu împãrtirede sistem 0,71

simplã; arãtriunghiul împãrtirede sistem k

sistem de împărţire triunghiulară simplă • Criteriul rigidităţii O condiţie necesară pentru funcţionarea corespunzătoare a tablierelor metalice este cea

referitoare la îndeplinirea condiţiei de rigiditate, respectiv de săgeată admisibilă sub acţiunile utile. Expresia săgeţii unei grinzi cu zăbrele, cu ajutorul formulei lui Mohr, este:

∑⋅

⋅⋅=δ

n

1 i

iiiAE

lNn (15.4)

239

unde: in - efortul în bara “i” produs de o forţă egală cu unitatea, aplicată în

punctul unde se determină săgeata; iN - efortul în bara “i” a grinzii din acţiunile pentru care se calculează δ ;

iA - aria barei “i”;

il - lungimea barei “i”. Din condiţia ca în bare să se atingă efortul aσ simultan cu atingerea săgeţii

admisibile, aδ=δ , rezultă înălţimea sH a grinzii. • Criteriul static Se va alege schema statică cea mai adecvată pentru structura de rezistenţă a podului,

ţinând seama de mărimea şi numărul deschiderilor. • Consumul de manoperă Din acest punct de vedere sunt mai eficiente grinzile cu zăbrele cu tălpi paralele, unde

consumul de manoperă este mai redus comparativ cu grinzile la care tălpile sunt poligonale. • Criteriul estetic Acest criteriu poate influenţa semnificativ forma care se alege pentru grinda cu zăbrele, în

momentul actual dominând în general o arhitectură simplă.

15.2.2. Sistemul de împărţire interioară a grinzilor Barele din interiorul sistemului, numite zăbrele (diagonale, montanţi, orizontale), asigură

indeformabilitatea structurii, iar geometria după care se distribuie ţine cont de următorii factori: • Greutatea minimă a barelor Această condiţie se realizează printr-un număr de bare (şi implicit număr de noduri) minim

în sistem. • Poziţia căii pe pod Se ţine cont de faptul ca încărcările căii să se transmită în noduri. • Înclinarea diagonalelor faţă de tălpi Efortul din diagonale (la grinzi cu tălpi paralele) este direct proporţional cu forţa tăietoare

din panoul respectiv şi invers proporţională cu unghiul de înclinare faţă de orizontală. Se acceptă, în general, soluţia de menţinere a aceluiaşi unghi de înclinare şi schimbare a

secţiunii barei, asigurând o împărţire a grinzii în panouri egale, soluţie care corespunde şi din punct de vedere estetic. Un consum minim de oţel pentru zăbrele conduce la unghiuri de înclinare a diagonalelor cu orizontala cu valori 5035 −=α , unghiurile optime din punct de vedere a execuţiei fiind de 45 .

• Stabilitatea barelor comprimate Pentru înălţimi mari ale grinzii, diagonalele devin lungi, iar la cele comprimate apare

problema flambajului. Pentru reducerea lungimii de flambaj în planul grinzii se pot introduce bare suplimentare în sistem, secţiunea barelor dezvoltându-se mai mult în plan normal pe planul grinzii.

De asemenea la talpa superioară comprimată, la podurile cu cale jos deschise, pentru împiedicarea pierderii stabilităţii în planul normal pe planul grinzii se pot introduce montanţi “falşi”, care împreună cu antretoaza formează semicadre rigide.

În figurile 15.2...15.7 se prezintă sisteme de zăbrelire interioară a grinzilor principale de poduri.

Fig. 15.2. Sistem cu diagonale alternante

240

Fig. 15.3. Sistem cu diagonale alternante subdivizate

Fig. 15.4. Sistem de subîmpărţire în K

Fig. 15.5. Sistem cu diagonale alternante şi montanţi

Fig. 15.6. Sistem de zăbrelire pentru tablier cale sus

241

Fig. 15.7. Sistem cu subîmpărţire multiplă

15.3. Alcătuirea barelor grinzilor cu zăbrele 15.3.1. Principii de alcătuire a secţiunilor Dimensiunile secţiunilor transversale ale barelor depind de următorii factori:

- valoarea efortului axial; - semnul efortului; - modul de alcătuire a secţiunii:

• cu un perete; • cu doi pereţi;

- metoda de îmbinare folosită: • cu nituri sau şuruburi; • îmbinare sudată.

În alegerea secţiunilor transversale ale barelor se pleacă de la secţiunea tălpii comprimate. Stabilind dimensiunile secţiunii transversale a tălpii, înălţimea h şi lăţimea b, acestea se menţin constante în lungul grinzii, adaptarea secţiunii la variaţia eforturilor se face prin variaţia grosimii platbandelor la secţiunile sudate. Fiind bară comprimată, materialul se distribuie cât mai departe de centrul de greutate al secţiunii, dar se are în vedere şi faptul că prin aceasta creşte consumul de material pentru elementele de legătură (solidarizări, diafragme), iar pe de altă parte, dezvoltând secţiunea pe înălţime iau naştere eforturi suplimentare în bare, datorită prinderii rigide în noduri.

În literatura tehnică există relaţii prin care se determină cele două dimensiuni – h şi b pentru talpa comprimată, dimensiuni ce se adoptă şi pentru talpa întinsă.

Cu notaţiile din figura 15.8, dimensiunile h şi b se stabilesc astfel:

Fig. 15.8. Dimensiunile tălpii comprimate

• relaţiile lui SCHAPER:

( ) ( ) ( ) 400/mLmLcmh 2−= (15.5.a) ( ) ( ) ( )mL1,0cmhcmb ⋅−= , L<50 m (15.5.b) ( ) ( ) ( )mL2,0cmhcmb ⋅−= , L>50 m (15.5.c)

• relaţiile HARTMANN:

242

( ) ( )mL4,020cmb ⋅+= (15.6.a) ( ) ( ) ( )mL1,0cmbcmh ⋅+= (15.6.b)

• relaţiile lui SCHULTZ:

( ) ( )( )mL320mL320cmh

+⋅

= (15.7.a)

( ) ( ) ( ) ( )mL2,0...1,0cmhcmb ⋅−= (15.7.b) Observaţie: Înălţimea h se limitează la 1/10 din lungimea teoretică a barei.

După stabilirea dimensiunilor principale ale secţiunii transversale a tălpilor comprimate (h şi

b), se aleg elementele secţiunii care să satisfacă condiţiile constructive privind grosimea minimă a platbandelor şi dimensiunile minime ale profilelor laminate care se pot utiliza, încheind etapa de predimensionare. În continuare se verifică condiţiile care trebuie satisfăcute de bară şi anume:

• condiţia de rezistenţă; • condiţia de stabilitate a barelor comprimate; • condiţia de stabilitate a pereţilor la barele comprimate; • condiţia de oboseală; • condiţiile constructive (acces pentru întreţinere). În funcţie de mărimea solicitărilor, secţiunile tălpilor se pot executa cu un perete sau cu doi

pereţi. La alcătuirea secţiunii barelor trebuie avute în vedere anumite reguli şi recomandări, astfel: - secţiunile cu doi pereţi se alcătuiesc din două ramuri amplasate simetric faţă de planul

de simetrie al grinzii; - secţiunile orizontale şi înclinate vor avea un element continuu, amplasat astfel încât să

protejeze celelalte componente de acţiunea apei etc.; - se vor evita secţiuni în formă de jgheab; - materialul din secţiune va fi repartizat preponderent în cei doi pereţi paraleli cu guseele,

pentru o scurgere cât mai directă a eforturilor; - numărul elementelor componente ale unei secţiuni să fie minim, iar sortimentul de

laminate să fie cât mai redus; - nu se admit bare compuse la care ambele axe ale secţiunii să fie imateriale (să nu

intersecteze materialul); - să se respecte condiţia prin care să fie posibilă întreţinerea barelor (curăţare, vopsire).

15.3.2. Secţiunea barelor

În figurile 15.9...15.12 sunt prezentate secţiuni de bare utilizate la grinzile cu zăbrele de poduri metalice [2].

Fig. 15.9. Secţiunile barelor alcătuite nituit, cu un perete

243

Fig. 15.10. Secţiunile barelor alcătuite nituit, cu doi pereţi

Fig. 15.11. Secţiunile barelor sudate, cu un perete

244

Fig. 15.12. Secţiunile barelor sudate, cu doi pereţi

15.4. Prinderea barelor în noduri Aşa cum s-a arătat la punctul 15.2, una din regulile de bază în alcătuirea grinzilor cu zăbrele, este centrarea tuturor barelor în nod. Pentru zăbrele centrarea nu reprezintă nici o dificultate, însă tălpile având secţiunea variabilă, centrarea se execută după excentricitatea medie conform relaţiei:

ne

e i∑= (15.8)

Barele se prind în noduri cu nituri, şuruburi sau sudat. Câteva precizări privind rezolvarea constructivă a prinderii barelor în noduri vor fi prezentate în continuare:

• zăbrelele se introduc cât mai aproape de nodul teoretic; • prinderea zăbrelelor direct de elementele tălpii este posibilă când eforturile în ele sunt

mici şi în consecinţă numărul elementelor de prindere este redus; • prinderea zăbrelelor în nod prin intermediul guseelor se face atunci când acestea

transmit eforturi mari, iar prinderea poate fi: - prindere prin suprapunere directă; - prindere prin suprapunere şi eclisă; - prindere cu eclisă şi furură.

În figura 15.13 se prezintă două detalii de prindere prin suprapunere directă, niturile lucrând

la forfecare simplă şi presiune pe gaură.

245

Fig. 15.13. Prinderi prin suprapunere directă a barei

În figura 15.14 se prezintă un detaliu de prindere prin suprapunere şi eclisă, niturile

1n lucrează la dublă forfecare, iar niturile 2n la forfecare simplă.

Fig. 15.14. Prinderea prin suprapunere şi eclisă

Un exemplu de prindere cu eclisă şi furură este prezentat în figura 15.15, unde niturile

1n lucrează la dublă forfecare, iar grupul de nituri 2n , care transferă jumătate din efortul din profil lucrează la forfecare simplă.

Fig. 15.15. Prindere cu eclisă şi furură

Prinderea secţiunilor casetate în noduri Prinderea zăbrelelor cu secţiune casetată în nodurile grinzilor cu zăbrele cu perete dublu se face prin suprapunere introducând secţiunea casetată între cele două gusee. Pentru a putea realiza prinderea capetele barelor casetate se prelucrează, existând două posibilităţi:

246

• Transformarea secţiunii casetate, în dreptul guseului într-o secţiune dublu T, figura

15.16; • Prinderea secţiunilor casetate prin orificii practicate în pereţii normali pe planurile

guseelor, figura 15.17.

Fig. 15.16. Prinderea secţiunii casetate în nod (varianta I)

Fig. 15.17. Prinderea secţiunii casetate în nod (varianta II)

Prinderea tălpilor grinzilor cu zăbrele în noduri Tălpile grinzilor cu zăbrele, trecând continuu prin noduri, dimensionarea prinderii (rezultată din echilibrul forţelor concurente în nodul “m”) se face la diferenţa eforturilor din cele două tălpi adiacente nodului, figura 15.18, adică la efortul: m1mm SSR −= + (15.11)

Fig. 15.18. Echilibrul forţelor în nodul “m”

247

15.5. Guseele grinzilor cu zăbrele Guseele sunt elemente constructive prin care se realizează prinderea barelor în noduri, având rolul de a echilibra eforturile transmise de barele concurente în nod. Dimensiunile în plan ale guseelor vor fi minime, având în vedere economia de material şi manoperă şi faptul că dimensiunile mari ale guseelor măresc rigiditatea nodului şi în consecinţă cresc eforturile suplimentare din bare. Guseele sunt elemente solicitate complex, un efect defavorabil fiind fenomenul de oboseală, deoarece guseul este zonă de variaţie a secţiunii, unde apar concentrări mari de eforturi. Dimensiunile guseului se stabilesc astfel încât să permită prinderea barelor concurente în nod, iar eforturile în guseu să nu le depăşească pe cele admise. Studiile efectuate au arătat că distribuţia efortului în guseu sub acţiunea unei forţe concentrate se face sub un unghi de aproximativ 30 , în acest mod determinându-se şi secţiunea de verificare a guseului, figura 15.19.

Fig. 15.19. Distribuţia eforturilor în guseu

Pentru stabilirea grosimii guseului se recomandă valorile din tabelul 15.1. Tabelul 15.1

Efortul axial de calcul maxim, din diagonală sau montantul

cel mai solicitat în KN 60-100 100-150 150-250 250-350 >350

Nituri 6-8 8-10 10-12 12-14 14-20 Grosimea guseului în mm la

îmbinări cu: Sudură 6 6-8 8-10 10-12 12-18

În cazul grinzilor sudate guseele se plasează în planul inimii tălpilor, intercalând guseele în acest plan sau executând guseele în prelungirea inimilor, figura 15.20.

Fig. 15.20. Guseul grinzilor sudate.

În cazul grinzilor nituite, guseul poate fi plasat în raport cu elementele secţiunii transversale ale tălpilor în următoarele poziţii, figura 15.21:

- suprapuse în interiorul secţiunii; - suprapuse în exteriorul secţiunii; - în planul elementelor verticale ale secţiunii.

248

Fig. 15.21. Poziţia guseelor faţă de elementele secţiunii tălpii

249

16. STABILITATEA GENERALĂ A GRINZILOR PRINCIPALE REZEMATE ELASTIC


În cazul podurilor pe grinzi principale cu zăbrele, deschise, la care talpa superioară nu este

fixată în plan orizontal de o contravântuire care să reducă lungimea de flambaj, intervine problema flambajului general al tălpii comprimate, respectiv stabilitatea generală a grinzii cu zăbrele.

Problema flambajului general al tălpii comprimate la poduri pe grinzi cu zăbrele, calea jos, deschise, este deosebit de importantă pentru siguranţa în exploatare, consecinţele legate de pierderea stabilităţii fiind deosebit de grave sau chiar catastrofale (de-a lungul timpului fiind înregistrate mai multe accidente de această natură).

Problema stabilităţii generale a grinzilor principale se pune şi în cazul tablierelor la care grinzile sunt realizate în varianta de grinzi cu inimă plină, însă în acest caz pericolul de pierdere a stabilităţii tălpii comprimate nu este atât de mare ca în cazul grinzilor principale cu zăbrele. Se recomandă însă, să fie efectuată verificarea stabilităţii generale indiferent de modul de alcătuire a grinzilor principale.

16.2. Baze de calcul. Grinda pe mediu elastic 16.2.1. Modelarea tălpii superioare

Se consideră grinda cu zăbrele având talpa superioară de secţiune constantă, solicitată la o forţă de compresiune constantă, talpa fiind prinsă la capete în semicadre transversale suficient de rigide pentru a realiza fixarea acesteia în sens transversal. În acest caz semicadrele intermediare sunt echivalente unor reazeme elastice, iar semicadrele de capăt unor reazeme rigide, figura 16.1.

Fig. 16.1. Grindă principală cu zăbrele. Schema statică a tălpii superioare

Rigiditatea minimă a reazemelor laterale elastice pentru care nodurile încep să se comporte ca şi cum ar fi nedeplasabile este:

250

⋅

=KNk cr

min [ ]LF (16.1)

unde:

2z

2

crEIN π

= - sarcina critică Euler a barei articulată - simplu rezemată

de lungime mL= ; K - factor numeric care depinde de numărul m al panourilor,

tabelul 16.1 şi figura 16.1, ( 250.0K → pentru m > 11). Tabelul 16.1

m 2 3 4 5 6 7 8 9 K 0.500 0.333 0.293 0.276 0.268 0.263 0.258 0.255

Dacă o semiundă a tălpii comprimate flambate este mai mare decât lungimea a panoului, poate fi făcută o simplificare prin înlocuirea şirului de reazeme elastice aflate la distanţa cu un mediu elastic continuu echivalent (fig. 16.2), având modulul de elasticitate k, denumit rigiditatea liniară a mediului elastic (coeficient de pat):

0kk = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡2L

F (16.2)

Fig. 16.2. Grinda pe mediu elastic

Pentru determinarea valorilor lui k0 şi k se scrie relaţia dintre o forţă H aplicată la capătul superior al unui montant şi deplasarea δ care s-ar produce dacă talpa superioară ar fi înlăturată, figura 16.3:

a

a20

m

3v

EI2bHh

EI3Hh

+=δ (16.3)

unde: mI - momentul de inerţie al montantului; aI - momentul de inerţie al antretoazei.

Mărimea forţei 0HH = care produce o deplasare 1=δ , este 00 kH = şi reprezintă rigiditatea reazemului elastic, calculată cu relaţia:

a

a20

m

3v

0

I2bh

I3h

Ek+

= ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡LF (16.4)

Modulul de elasticitate k (rigiditatea liniară) a mediului elastic va fi:

a

a20

m

3v

0

I2bh

I3h

1Ekk

+

⋅== ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡2L

F (16.5)

251

H1 – rigiditatea cadrului curent H2 – rigiditatea cadrului de capăt

Fig. 16.3. Rigiditatea semicadrelor transversale: a) grinzi principale cu inimă plină

b) grinzi principale cu zăbrele 16.2.2. Bara comprimată pe mediu elastic

Se consideră bara dreaptă solicită la compresiune centrică de forţele P aplicate la capete,

aflată pe un mediu elastic având rigiditatea liniară (coeficientul de pat) k, figura 16.4.

Fig. 16.4. Rigiditatea mediului elastic După pierderea formei de echilibru drepte, asupra barei va acţiona şi reacţiunea mediului elastic de intensitate uk ⋅ , unde u reprezintă săgeata fibrei medii deformate.

Pentru determinarea valorii critice a forţei de compresiune poate fi folosită metoda energetică. Expresia generală a axei deformate a barei articulată la capete este dată de seria trigonometrică:

∑=

⋅π⋅=

n

1ii L

xisinau (16.6)

Dacă: UΔ - energia potenţială de deformaţie a barei;

VΔ - lucrul mecanic efectuat de forţa de compresiune P, există următoarele stări energetice ale sistemului:

- sistem stabil - dacă UΔ > VΔ - sistem instabil - dacă UΔ < VΔ

Valoarea sarcinii critice crN se determină din condiţia UΔ = VΔ , pentru care echilibrul sistemului devine instabil.

Energia potenţială de deformaţie a barei UΔ este:

252

∫∫ ⋅+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=Δ+Δ=Δ

L

0

22L

02

2z

21 dxu2kdx

dxud

2EIUUU (16.7)

unde: 1UΔ - energia potenţială de deformaţie din încovoierea barei; 2UΔ - energia potenţială a deformaţiilor rezemării elastice. Lucrul mecanic efectuat de forţa de compresiune N este:

dxdxdu

2NLNV

2L

0∫ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=Δ⋅=Δ (16.8)

Efectuând calculele matematice se obţine expresia sarcinii critice crN :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

π+

π=

z42

42

2z

2

cr EInLkn

LEIN (16.9.a)

sau ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ γ

+= 22

Ecr nnNN (16.9.b)

unde: 2z

2

E LEIN π

= şi z

4

4

EILk

π=γ ,

iar n este un număr întreg şi reprezintă numărul semiundelor în care poate fi împărţită bara care flambează. Pentru determinarea numărului n de semiunde care face ca crN să fie minim se consideră următoarele cazuri: 1. 0k = - bara nu reazemă pe mediu elastic; În relaţiile (19.9) se ia n=1 şi se obţine sarcina critică Euler a barei articulat – simplu rezemată la capete.

2z

2

Ecr LEINN π

== (16.10)

2. 0k > , k foarte mic – bara reazemă pe un mediu elastic foarte flexibil; În relaţiile (16.9) se ia n=1, deci bara flambează fără a avea punct de inflexiune.

3. k creşte şi se ajunge la situaţia 1ncr

2ncr NN == < .

Pentru această valoare a rigidităţii liniare a mediului elastic, bara are un punct de inflexiune la mijloc. Valoarea minimă a rigidităţii k pentru care are loc trecerea de la n=1 la n=2 se obţine din condiţia:

z

4

4

z4

4

EI4Lk4

EILk1

π+=

π+ sau

441 γ

+=γ+

Rezultă: 4EI

kL

z4

4=

π=γ (16.11)

Pentru cazul k mai mic decât valoarea dată de relaţia (16.11) axa deformată a barei flambate nu prezintă nici un punct de inflexiune (n=1), iar pentru k mai mare decât valoarea dată de (16.11), apare un punct de inflexiune la mijlocul barei (n=2). 4. k creşte - bara flambează cu un număr n>2 semiunde. Se poate determina valoarea k pentru cazul când numărul semiundelor trece de la n la n+1, punând condiţia: 1n

crncr NN +=

253

respectiv: ( )( ) z

42

42

z42

42

EI1nLk1n

EInLkn

π+++=

π+

Se obţine: ( )22

z4

41nn

EILk

+=π

sau ( )22 1nn +=γ (16.12.a)

respectiv: ( )1nnEIkL

z2

2+=

π sau ( )1nn +=γ (16.12.b)

În figura 16.5 se reprezintă încărcarea critică crN , în funcţie de z

2

2

EIkL

π=γ .

Fig. 16.5. Încărcarea critică crN , în funcţie de γ

Pentru a obţine valoarea n pentru care Ncr devine minim în relaţia (16.9.b) se introduce variabila continuă n în loc de n şi se pune condiţia:

0nd

dNcr = ⇒ γ=4

n sau γ=2

n

Rezultă:

E2z

2

cr N2LEIN ⋅γ=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

γγ

+γπ

= sau zcr kEI2N = (16.13.a)

Pentru calculul practic al forţei critice de pierdere a stabilităţii se determină mărimea

adimensională z

4

4

EIkL

π=γ şi apoi valoarea întreagă 4n γ≅ .

Tabelul 16.2 γ γ n

0…4 0…2 1 4…36 2…6 2

36…144 6…12 3 144…400 12…20 4

Se obţine astfel:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ γ

+= 22

Ecr nnNN , Zn∈ (16.13.b)

Aşa cum rezultă şi din graficul din figura 16.5, valorile n funcţie de γ sunt cele prezentate în tabelul 16.2.

254

16.3. Stabilitatea generală a tălpii comprimate în conformitate cu normativul EN 1993-2

Determinarea forţei critice de flambaj

În cazul în care forţa de compresiune din talpa superioară, EdN , este constantă pe deschiderea grinzii, determinarea forţei critice de pierdere a stabilităţii, în conformitate cu normativul EN 1993-2 se face utilizând teoria barei comprimate pe reazeme elastice, cu relaţia:

Ecrit NmN ⋅= , (16.14)

unde: - 2z

2

ELEIN π

= ; γ⋅π

=2

2m 1≥ ; z

4

EILc ⋅

=γ ; dCc = ;

- L şi sunt deschiderea grinzii şi distanţa dintre semicadrele transversale; - dC este rigiditatea reazemului elastic. O legătură laterală a unei tălpi comprimate poate fi considerată rigidă dacă rigiditatea sa satisface relaţia:

LN4C E

d > (16.15)

Conform EN 1993-2:2005, tabelul D.3, rezistenţa (rigiditatea) transversală a unui semicadru, definită ca forţa transversală care aplicată în centrul de greutate al tălpii comprimate îi imprimă acesteia o deplasare egală cu unitatea (fig. 16.6), se calculează cu relaţia:

Fig.16.6

q

vq23

v

vd

I2Ibh

3h

IEC

⋅+

⋅= (16.16)

Numărul de semiunde, n, cu care flambează talpa comprimată, rezultă din condiţia:

( ) ( )1nnEI

Lc1n1nz

4

2 +≤⋅

π≤− (16.17)

de unde: 1EI

Lc1n 4z

4≥

⋅π

≅ ; Zn ∈ (16.18)

Deoarece numărul de semiunde aparţine mulţimii numerelor întregi, rezultă că şi

2

z

4

22n2

EILc22m ⋅=

⋅⋅

π=γ⋅

π= , trebuie să fie un număr întreg.

În cazul grinzilor cu inimă plină efectele fenomenului de flambaj lateral al tălpii comprimate pot fi ignorate în cazul în care este îndeplinită una din condiţiile:

4,00.LTLT =λ≤λ sau 2

0.LTcrit

Ed

MM

λ≤ ,

în care: ( )

crit

ywceffLT

Nf3/AA ⋅+

=λ ,

unde: effA - este aria tălpii comprimate;

255

wcA - este aria zonei comprimate din inimă. În cazul secţiunilor de clasă 4, această arie trebuie luată ca arie efectivă.

Cazul când forţa de compresiune EdN nu este constantă pe deschiderea tălpii comprimate a grinzii: În EN 1993-2:2005, se propune următoarea procedură de calcul pentru talpa inferioară comprimată, în cazul grinzilor continue cu semicadre transversale rigide situate la distanţa L: Coeficientul m se alege ca valoare minimă obţinută din următoarele formule:

)50350/()23()1(44,01m 5,1 μ⋅−γ⋅Φ⋅++Φ⋅μ++=

[ ] 5.05,1 )100/05,0(195,0)1(44,01m γ⋅Φ⋅μ+++Φ⋅μ++= în care: 12 V/V=μ , figura 16.7 )1/()M/M1(2 12 μ+−=Φ , pentru 0M2 > ; când diagrama de moment încovoietor îşi schimbă semnul se ia acoperitor 0M2 = . Verificarea pierderii stabilităţii se face la distanţa kL25,0 ⋅ de reazemul cu momentul încovoietor maxim, ţinând cont că verificarea rezistenţei secţiunii transversale este făcută de asemenea în secţiunea cu moment încovoietor maxim, unde m/LLk = .

Fig. 16.7

Pentru elementele comprimate, efectul imperfecţiunilor iniţiale şi efectele de ordinul II, pot fi luate în considerare prin aplicarea unei forţe laterale suplimentare, FEd , în dreptul conexiunii tălpii cu resortul, unde:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅≥−

⋅⋅

⋅≤

= 2,1 pentru-

NN

1

180

N

2,1 pentru - 100N

Fk

crit

Ed

Ed

k

kEd

Ed (16.19)

în care: EdN - forţa de compresiune maximă din talpă;

crit

k NEI

⋅π= ; - este distanţa între reazemele elastice.

16.4. Verificarea tălpii comprimate la flambaj prin încovoiere – răsucire

Rezistenţa de calcul (capacitatea portantă sau efortul capabil) la flambaj a unui element comprimat se determină cu relaţia:

256

1M

yFTRd.b1fAN

γ⋅⋅⋅χ= (16.20)

unde: ⎪⎩

⎪⎨⎧

−

−=

4ClasatiunisecA

3;2;1ClasatiunisecAA

eff

g

Pentru elemente cu secţiune transversală constantă (elemente uniforme), solicitate la compresiune axială constantă, valoarea coeficientului de reducere FTχ se determină în funcţie de

coeficientul de zvelteţe redus FTλ , cu relaţia:

2

FT2

FTFTFT

1

λ−φ+φ=χ ; 1FT ≤χ (16.21)

în care: ( )[ ]2

FTFTFT 2,015,0 λ+−λα+=φ ; α - factor de imperfecţiune;

cr

yFT N

fA ⋅=λ - coeficientul de zvelteţe redus al barei.

Observaţii legate de flambajul general

Problema flambajului general al tălpii comprimate la podurile pe grinzi cu zăbrele cu calea jos deschise şi cea a flambajului lateral al tălpii superioare la podurile pe grinzi cu inimă plină cale jos sunt deosebit de importante pentru siguranţa în exploatare a unor astfel de structuri metalice, consecinţele legate de pierderea stabilităţii fiind deosebit de grave sau chiar catastrofale.

De-a lungul timpului s-au înregistrat mai multe accidente de această natură, datorate neacoperirii prin calcul a acestui fenomen sau tratării lui superficiale.

Pierderea stabilităţii generale este mult mai periculoasă în cazul podurilor pe grinzi cu zăbrele deschise, deoarece înălţimea mare a acestora conduce la crearea unor rigidităţi transversale reduse a semicadrelor alcătuite din montanţi şi antretoaze (reazeme intermediare cu elasticitate ridicată).

În cazul podurilor pe grinzi principale cu inimă plină situaţia este mai puţin “periculoasă”, deoarece în acest caz înălţimea “montanţilor” este mult mai mică, iar ranforţii contribuie la o mărire importantă a rigidităţii semicadrelor transversale. Cu toate acestea se recomandă şi pentru astfel de structuri verificarea stabilităţii generale a grinzilor principale, respectiv al flambajului lateral al tălpii comprimate.

În toate cazurile, semicadrele finale trebuie să fie suficient de rigide pentru a realiza fixarea tălpii în sens transversal, reazemele elastice fiind doar semicadrele intermediare.

Metoda energetică preluată de EC 3/2 are dezavantajul că nu ţine cont de variaţia secţiunii tălpii superioare şi de variaţia efortului de compresiune în aceasta, comparaţia făcându-se cu efortul maxim.

16.5. Exemple de calcul E.1. Exemplu numeric 1 Să se analizeze stabilitatea tălpii comprimate a grinzilor principale ale unui tablier metalic de cale ferată cunoscând următoarele date de proiectare:

• secţiunea transversală a tablierului este prezentată în figura E1.1; • momentul încovoietor maxim: MEd = 13 725 kN⋅m; • caracteristici de calcul pentru calculul stabilităţii generale, figura E1.2.

Aplicare numerică Având în vedere faptul că prinderea antretoazelor de grinzile principale se realizează prin dezvoltarea unor ranforţi puternici (pe toată înălţimea grinzilor), aceşti ranforţi contribuie la asigurarea stabilităţii generale a grinzii, funcţionând ca nişte reazeme elastice.

257

Fig. E1.1

Fig. E1.2

- distanţa dintre antretoaze d = 5.00 m - mm1600h = - mm1100hv =

- 45q cm10649.3I ⋅=

- mm5000bq =

- 4v cm68057I =

Observaţie: - h ; VI şi vh - valori medii

Considerând pentru început că semicadrele formate de antretoazele cu ranforţi la prinderea de grinzile principale şi rigidizările verticale împreună cu zona activă aferentă din inima grinzii principale, constituie o rezemare cvasi-rigidă a tălpii comprimate, se verifică stabilitatea tălpii prin compararea lungimii stabile a unui tronson de bară supusă la încovoiere cu distanţa dintre semicadrele transversale (distanţa dintre antretoaze).

⎩⎨⎧

≤ψ≤−−⋅εψ⋅−≤ψ≤−⋅ε⋅

=625.01:pentrui)4060(

1625.0:pentrui35L

z

zstabila

în care: - ψ – raportul momentelor încovoietoare de la extremităţile tronsonului de bară;

258

- iz – raza de giraţie a secţiunii formate de talpa comprimată a grinzii plus 1/3 din partea comprimată a inimii, în raport cu axa slabă a secţiunii.

Observaţie: Această verificare în cazul grinzilor principale este doar orientativă şi ne ajută să apreciem dacă,

eventual, rigiditatea tălpii comprimate ar fi mult în afara limitelor necesare. În cazul grinzii principale, pentru panourile centrale, figura E1.3, avem:

Fig. E1.3

cm500dcm5387.1692.035i35L zstabila =>=⋅⋅=⋅ε⋅= unde:

4333

ww3ff

z cm6626812

2.14312653

12t)6/h(

12bt

I =⋅

+⋅

=⋅

+⋅

=

2wwff cm6.2462.143365t)6/h(tbA =⋅+⋅=+=

cm7.166.246

68662AI

i zz ===

Calculul exact privind pierderea stabilităţii generale presupune să fie luate în considerare: rigiditatea efectivă a acestor ranforţi, eforturile din talpa superioară şi secţiunea grinzii pe fiecare panou. Verificarea se poate face asimilând talpa superioară a grinzii principale cu talpa superioară a unei grinzi cu zăbrele (EN 1993-2:2005 punctul 6.3.4).

Secţiunea transversală a grinzii principale se încadrează în clasa 4 de secţiuni. În cazul secţiunilor de clasă 4, wcA (aria zonei comprimate din inimă) trebuie luată ca arie efectivă (eficace), figura E1.4. Înălţimea efectivă a inimii, în zona comprimată, este: mm3076601390hwc =−= , respectiv:

2433/hwc = mm. Fig. E1.4

m

Se observă faptul că zona din inimă care conlucrează cu talpa comprimată nu include parte din zona inactivă a inimii.

Astfel, la verificarea stabilităţii generale a tălpii comprimate se va lua în considerare secţiunea alcătuită din talpa superioară (comprimată) a grinzii şi o porţiune egală cu 243 mm din inimă, figura E1.5. 66068Iz = cm4; 242A = cm2

Fig. E1.5

259

Secţiunea montantului fiind variabilă, se va utiliza o secţiune medie care este echivalată cu cea a unui profil laminat HE400B care are Iy=57680 cm4. De asemenea lungimea (înălţimea) montantului fiind variabilă prin conformarea grinzii, se va opera cu o lungime medie. Se obţine:

cm/daN23183

900364268057500160

3110

68057101.2

I2

Ibh

3h

IEC

23

6

q

vq23

v

vd =

⋅⋅⋅

+

⋅⋅=

⋅⋅+

⋅=

2d cm/daN5.166500

23183Cc === ; 53593

66068101.230005.166

EIcL

6

4

z

4=

⋅⋅

⋅==γ

Numărul de semiunde, n, cu care flambează talpa comprimată:

157.59353511EI

Lc1n 444z

4>=

π=γ

π=

⋅π

≅

Deoarece Zn∈ ⇒ 6n = , bara are 5 puncte de inflexiune. Având în vedere faptul că grinda principală este fixată prin 5 semicadre transversale, rezultă că acestea constituie reazeme rigide pentru talpa superioară a grinzii principale (fig. E1.6).

Fig. E1.6. Bara cu cinci puncte de inflexiune (6 semiunde)

Acest lucru era de aşteptat ca urmare a verificării lungimii stabile de bară, care a rezultat mai mare decât distanţa dintre semicadre, ceea ce confirmă faptul că, în cazul tablierelor pe grinzi principale cu inimă plină, problema stabilităţii tălpii comprimate este mai puţin ”periculoasă” comparativ cu cazul grinzilor principale cu zăbrele. Rezultă forţa critică de pierdere a stabilităţii, în cazul în care forţa de compresiune din talpa superioară, EdN , ar fi constantă pe deschiderea grinzii:

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=π

=

=⋅=γ⋅π

=

daN957157LEI

N

72n22m

2z

2

E

22

⇒ =⋅= Ecrit NmN 113 729 kN

Verificarea tălpii comprimate la flambaj

( )

26,01014.1

3350224N

f3/AA7

crit

ywcfFT =

⋅

⋅=

⋅+=λ ⇒ 96,0FT =χ

549610)1.1/335022496.0(/fAN 21MyFTRd.b =⋅⋅⋅=γ⋅⋅χ= − kN

Efortul de compresiune în talpă EdN

Efortul unitar normal în centrul tălpii comprimate este:

260

232513610023.81071613z

IM

6

4

eff

Ed =⋅⋅

⋅=⋅=σ daN/cm2 ; 5208102242325AN 2

Ed =⋅⋅=⋅σ= − kN

unde: z - distanţa de la centrul de greutate al întregii secţiuni efective la centrul de greutate al tălpii comprimate împreună cu zona de conlucrare.

Rezultă: 80,065495208

NN

Rd,b

Ed ==

E.2. Exemplu numeric 2 Se verifică talpa comprimată a unui pod metalic pe grinzi principale cu zăbrele, cunoscând următoarele date de proiectare:

- efortul axial maxim în talpa comprimată: kN6212SS IIIIIIII −== −− - grinzile sunt realizate din oţel S355ML/NL – EN 10025 – 4:2004; - schema geometrică a tablierului, figura E2.1.

Fig. E2.1

Fig. E2.2

- caracteristicile geometrice şi de rezistenţă care intervin în calculul de verificare a stabilităţii sunt prezentate în figura E2.2.

cm470b

cm1065.3II

cm320h

cm9035II

cm450h

q

45.antrq

V

4.mont.yV

≈

⋅==

≈

==

=

261

Verificarea tălpii comprimate Talpa superioară şi diagonala finală sunt realizate cu secţiune alcătuită sudat de tip cheson semi-închis, pentru a oferi o rigiditate sporită la compresiune, figura E2.3.

cm6.13i

cm5.11icm10186.2I

cm10561.1I

cm118A

z

y

44z

44y

=

=

⋅=

⋅=

=

Fig. E2.3

Clasa secţiunii Platbanda superioară - panoul central:

⇒=ε⋅<== 8.30383010300

tc Clasa 2

- console platbandă superioară:

⇒=ε⋅<== 3.7941040

tc Clasa 1

Consolele inferioare

⇒=ε⋅<== 34.111491090

tc Clasa 3

Pereţii verticali: Clasa 2 Clasa secţiunii fiind egală cu 3, se va opera cu aria brută. Flambaj în planul grinzii (axa y-y) În planul grinzii cu zăbrele lungimea de flambaj este: cm4005008.08.0L JIy.cr =⋅=⋅= −

8.345.11

400i

L

y

y.cry ===λ ; 9.046.0

768.34

1

y =χ⇒==λ

λ=λ (curba b)

kN2621NkN3427101.135501189.0

fAN Ed

2

1M

yRd.c =>=

⋅=

γ

⋅χ= −

Stabilitatea generală a tălpii Rezistenţa (rigiditatea) transversală a unui semicadru:

cm/daN1568

1065.329035470450

3320

9035101.2

I2Ibh

3h

IEC

5

23

6

q

vq23

v

vd =

⋅⋅

⋅⋅+

⋅⋅=

⋅⋅+

⋅=

262

2d cm/daN1.3500

1568Cc === ; 1080

10186.2101.220001.3

EIcL

46

4

z

4=

⋅⋅⋅

⋅==γ

Numărul de semiunde, n, cu care flambează talpa comprimată:

182.1108011EI

Lc1n 444z

4>=

π=γ

π=

⋅π

≅

Deoarece Zn ∈ ⇒ 2n = , bara are un punct de inflexiune la mijlocul deschiderii. Având în vedere faptul că talpa superioară a grinzii principale este fixată prin 3 semicadre transversale intermediare, rezultă deformata tălpii comprimate prezentată în figura E2.4.

Fig. E2.4. Bara deformată

Rezultă forţa critică de pierdere a stabilităţii:

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=π

=

=⋅=γ⋅π

=

kN1132LEIN

8n22m

2z

2

E

22

⇒ =⋅= Ecrit NmN 9056 kN

Verificarea tălpii comprimate la flambaj în plan orizontal

68,06009053550118

NfA

crit

yFT =

⋅=

⋅=λ ⇒ 8,0FT =χ

047310)1.1/35501188.0(/fAN 21MyFTRd.b =⋅⋅⋅=γ⋅⋅χ= − kN > kN6212NEd =

Observaţii:

Comportarea tălpii comprimate a grinzii principale este influenţată de rigiditatea semicadrelor transversale. Numărul de semiunde (numărul de puncte de inflexiune) depinde direct de modulul de elasticitate (rigiditatea liniară) a mediului elastic. Rigiditatea semicadrelor transversale se calculează după EN 1993-2:2005, înlocuind şirul de reazeme elastice aflate la distanţa cu un mediu elastic continuu echivalent.

Se obţine rigiditatea liniară a mediului elastic, raportând rigiditatea semicadrelor transversale la distanţa dintre ele. Cu cât rigiditatea semicadrelor este mai mare, şi cu cât acestea sunt mai apropiate, cu atât n (numărul de semiunde) este mai mare iar talpa comprimată este mai puţin supusă pericolului pierderii stabilităţii generale.

Procedura de calcul prezentată în EN 1993-2:2005, nu reflectă în totalitate comportarea reală a tălpii comprimate la grinzile principale de poduri, deoarece nu ţine seama de:

• variaţia secţiunii tălpii comprimate; • variaţia efortului de compresiune din talpă; • caracteristicile fiecărui panou.

263

17. PLATELAJE ORTOTROPE 17.1. Aspecte generale Platelajul ortotrop este realizat dintr-o tablă (tolă) de oţel de grosime redusă (12...20 mm), rigidizată pe două direcţii – longitudinală, cu nervuri dese (lonjeroni) şi transversală, cu rigidizări transversale mai puternice (antretoaze). Datorită dimensiunilor diferite ale lonjeronilor şi antretoazelor, precum şi a distanţelor diferite între lonjeroni şi antretoaze (relativ mici între nervurile longitudinale comparativ cu cele dintre rigidizările transversale), se realizează o rigiditate la încovoiere a platelajului, inegală pe cele două direcţii perpendiculare, respectiv rezultă o anizotropie structurală ortogonală sau ortotropie ( yx EIEI ≠ ).

Fig. 17.1. Plăci cu anizotropie: a) structurală; b) naturală

În figura 17.1. se prezintă comparativ anizotropia plăcilor metalice ortotrope şi cea a plăcilor cu anizotropie naturală (de exemplu lemnul), în ultimul caz materialul având atât modulul de elasticitate cât şi coeficientul contracţiei transversale diferiţi pe cele două direcţii.

Platelajele ortotrope încep să fie utilizate pe scară largă în construcţia podurilor de cale ferată şi de şosea îndeosebi după introducerea sudurii ca mijloc de îmbinare a elementelor de oţel, în strânsă corelare cu experienţa acumulată în activitatea de proiectare şi execuţie a structurilor de poduri şi a perfecţionării mijloacelor de calcul (introducerea calculului automatizat), respectiv ca perioadă de timp, după cel de-al II-lea război mondial. În construcţiile podurilor, structurile portante au început să primească o formă spaţială, acelaşi element cumulând simultan mai multe funcţiuni, acesta fiind aflat într-o pronunţată relaţie de interacţiune cu celelalte elemente (nu neapărat numai cu cele imediat învecinate). Structurile spaţiale cu platelaje uşoare de tip placă ortotropă oferă o serie de avantaje comparativ cu structurile “clasice”, dintre care merită a fi menţionate următoarele:

- avantajul de ordin economic; - consum mai redus de oţel; - consum mai redus de manoperă; - se pretează realizării uzinate, putându-se realiza ansamble şi subansamble de

dimensiuni mari (restricţionate numai de condiţiile de transport şi de montaj); - se exploatează în mod judicios rezerva de capacitate portantă a structurii, fără

periclitarea siguranţei în exploatare; - rigiditatea mult mai mare la acelaşi consum de material; - uşurarea montajului; - aspect estetic etc. Platelajele ortotrope pot intra în componenţa structurilor de poduri, practic pentru toate

tipurile de suprastructuri: poduri pe grinzi principale cu inimă plină sau cu zăbrele, poduri pe cadre sau arce, poduri hobanate şi poduri suspendate. În cazul podurilor în arc, hobanate şi suspendate platelajul ortotrop face parte din grinda de rigidizare a acestora.

264

În acest capitol se analizează în special platelajele ortotrope care fac parte din suprastructurile podurilor pe grinzi principale cu inimă plină sau casetate, acestea fiind cele mai des utilizate.

17.2. Alcătuirea constructivă a platelajelor ortotrope În funcţie de modul de alcătuire al nervurilor longitudinale şi transversale, în directă

legătură cu rigiditatea la încovoiere şi torsiune a acestora, plăcile ortotrope pot fi clasificate în trei categorii, astfel [9]:

- plăci ortotrope cu nervuri longitudinale flexibile la torsiune; - plăci ortotrope cu nervuri longitudinale rigide şi antretoaze flexibile; - plăci ortotrope cu nervuri şi antretoaze rigide la torsiune.

17.2.1. Plăci ortotrope cu nervuri longitudinale flexibile Nervurile longitudinale se realizează ca nervuri flexibile la torsiune atunci când distanţele

dintre antretoaze sunt relativ mici (cca. 1800 mm). Aceste nervuri pot fi realizate din platbande, profile cu bulb, profile laminate (L, T) sau profile T alcătuite sudat. Nervurile trec continuu prin fantele practicate în inimile antretoazelor şi se sudează de acestea cu două sau mai multe cordoane de sudură, figura 17.2.

Fig. 17.2. Platelaje cu nervuri flexibile

Sudarea cu patru cordoane de sudură (figura 17.2.a.) prezintă unele dificultăţi deoarece, datorită toleranţelor de execuţie a fantelor din inimile antretoazelor, nervurile pot să nu păsuiască şi în plus, sudurile pot cauza tensiuni reziduale mari, conducând la apariţia unor fisuri sub sarcină.

Din aceste cauze se preferă soluţiile de prindere a nervurilor longitudinale cu două cordoane de sudură de inimile antretoazelor, prelucrate ca în figura 17.2.b,c.

În figura 17.3. se prezintă ansamblul tolă-nervuri de rigidizare longitudinale din platbande şi nervuri transversale având secţiuni T alcătuite sudat. Fig. 17.3. Ansamblul tolă rigidizări

17.2.2. Plăci ortotrope cu nervuri longitudinale

rigide şi antretoaze flexibile la torsiune Nervurile rigide la torsiune se realizează cu secţiune casetată (talpa superioară fiind tola platelajului), în mod obişnuit din tablă ambutisată sau ½ ţeavă, figura 17.4.

265

Fig. 17.4. Nervuri rigide la torsiune

Datorită rigidităţii mari la torsiune a acestor nervuri, grosimea tablei din care sunt realizate este redusă, iar distanţa dintre antretoaze creşte la a = (12…30)b, unde “b” este distanţa între nervurile longitudinale.

Nervurile pot trece continuu prin inimile antretoazelor (figura 17.5.a), sau pot fi întrerupte în dreptul acestora (figura 17.5.b).

Fig. 17.5. Nervuri longitudinale: a) continue, b) discontinue În figura 17.6. se prezintă tehnologia de fabricaţie a unui platelaj cu nervuri rigide care traversează inimile antretoazelor (continue), în care se observă realizarea unei contrasăgeţi a tolei, înaintea sudării nervurilor, care să compenseze deformaţiile din sudare.

Fig. 17.6. Fazele tehnologice de execuţie a unui platelaj cu nervuri rigide

17.2.3. Plăci ortotrope cu nervuri longitudinale şi transversale rigide la torsiune

Aceste platelaje sunt evident cele mai rigide, iar faptul că şi antretoazele sunt rigide la torsiune, permite mărirea distanţei dintre ele a = (20…40)b. La acest tip de platelaj antretoazele sunt continue, nervurile longitudinale fiind întrerupte în dreptul acestora.

266

Platelajul cu ambele nervuri rigide permite realizarea celei mai mici înălţimi de construcţie, fiind utilizat atunci când condiţiile date impun acest lucru.

17.3. Rosturi de şantier Îmbinărilor de şantier ale suprastructurilor cu platelaj ortotrop, trebuie să li se acorde o analiză detaliată, având în vedere importanţa deosebită a acestora. Tablierul metalic se execută în uzină sau pe şantier sub formă de subansambluri complet sudate, de dimensiuni gabaritice (dacă sunt transportate cu mijloace CF sau auto) şi cu greutăţi care să nu depăşească capacitatea utilajelor de ridicare. Subansamblurile sunt asamblate la şantier pentru realizarea suprastructurii podului prin rosturile de montaj.

Rosturile de montaj (de şantier) transversale sau transversale şi longitudinale se pot realiza prin sudură, atunci când montajul suprastructurii se face prin lansare sau subansamblele se asamblează în tronsoane mari sudate, continuizarea acestor tronsoane realizându-se cu nituri sau şuruburi de înaltă rezistenţă pretensionate, figura 17.7 [9].

Fig. 17.7. Rosturi de montaj ale unei suprastructuri cu platelaj ortotrop

Un rost de şantier transversal presupune continuizarea tolei platelajului, a lonjeronilor şi a grinzilor principale.

Rostul de montaj se amplasează aproximativ la sfertul deschiderii lonjeronilor (secţiunea de moment încovoietor minim).

În figura 17.8. se prezintă îmbinarea sudată a lonjeronilor cu secţiune deschisă; fiecare lonjeron se completează cu câte un cupon (platbandă) de cca. 500 mm lungime, lungimea exactă obţinându-se prin măsurare la faţa locului, pentru a compensa toleranţele de execuţie.

În cazul lonjeronilor cu secţiunea închisă rostul de montaj se poate realiza în următoarele variante [9]:

• se decalează secţiunea de înnădire a tablei platelajului de cea a lonjeronilor, introducând un tronson de înnădire pentru lonjeroni de cca. 500 mm (ca şi în cazul lonjeronilor simpli), figura 17.9;

• se decalează secţiunea de înnădire a tablei platelajului de cea a lonjeronilor prin introducerea unui cupon de tablă de cca. 500 mm pentru îmbinarea tablei platelajului, figura 17.10.

267

Fig. 17.8. Rost de şantier transversal: a) înainte de montaj; b)după montaj

Fig. 17.9. Rost de şantier transversal sudat prin cupon de înnădire a lonjeronilor închişi: a)înainte de montaj; b) după montaj

Fig. 17.10. Rost de şantier transversal sudat prin cupon de înnădire a tablei platelajului

268

17.4. Bazele de calcul ale platelajului ortotrop Ecuaţia platelajului ortotrop solicitat la încovoiere se obţine din ecuaţia unei plăci cu anizotropie naturală solicitată la încărcări normale la planul median al plăcii (ecuaţia stabilită de M.T. Huber):

( )y,xpywD

yxwH2

xwD 4

4

y22

4

4

4

x =∂

∂+

∂∂

∂+

∂

∂ (17.1)

în care: w - săgeata plăcii încovoiate; p(x,y) - încărcarea normală pe planul median al plăcii;

( )yx

3x

x 112tED

μμ−⋅

= - rigiditatea la încovoiere în direcţia x;

( )yx

3y

y 112tE

Dμμ−

⋅= - rigiditatea la încovoiere în direcţia y;

xyyyxx D4DDH2 +μ+μ= - rigiditatea la torsiune a plăcii; 12

tGD

3xy

xy⋅

=

Fig. 17.11. Placa ortotropă şi placa “netedă” echivalentă

Din ecuaţia plăcii cu anizotropie naturală (17.1) se determină ecuaţia plăcii cu anizotropie tehnică, prin modificarea expresiilor rigidităţilor utilizând metoda netezirii. Această metodă constă în înlocuirea plăcii nervurate cu o placă “netedă”, echivalentă din punct de vedere al rigidităţilor la încovoiere şi torsiune, fig. 17.11.

Expresiile rigidităţilor din ecuaţia (17.1) pentru placa cu anizotropie tehnică sunt:

xD - rigiditatea la încovoiere a plăcii în direcţia x:

( )yx

3effn

x 112Et

bb1

bEID

μμ−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+= (17.2.a)

în care: nI - momentul de inerţie al unei nervuri longitudinale, inclusiv porţiunea de tolă

aferentă, în raport cu axa proprie 0x , figura 17.12.

Fig. 17.12. Caracteristicile de calcul ale nervurii pentru calculul In

269

b/beff - coeficientul lăţimii active de tolă pe lăţimea dintre nervuri;

yx ,μμ - coeficienţii de contracţie transversală ai plăcii ortotrope determinaţi cu relaţiile:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+

⋅=μ

taAta3.0

ax ; ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+

⋅=μ

tbAtb3.0

ny

nA - aria nervurii de rigidizare longitudinale, fără tola de acoperire aferentă (fig. 17.13);

aA - aria nervurii transversale (antretoaza), inclusiv porţiunea activă din tolă, figura 17.14.

Fig. 17.13. Caracteristici ale nervurii pentru calculul Itn , An

Fig. 17.14. Caracteristicile de

calcul ale antretoazei

yD - rigiditatea la încovoiere a plăcii în direcţia y:

( )yx

3effa

y 112Et

aa1

aEID

μμ−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+= (17.2.b)

aI - momentul de inerţie al antretoazei în raport cu axa proprie 0x , având lăţimea tălpii superioare corespunzătoare lăţimii active (efective) de placă effa , figura 17.14.

H - rigiditatea la torsiune a plăcii ortotrope:

( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+++μ+μ=

aI

bI

2G

6GtDD

21H tatn

3

xyyx ; ( )μ+=

12EG (17.2.c)

tnI - momentul de inerţie la torsiune al nervurii longitudinale (fără placă);

taI - momentul de inerţie la torsiune al antretoazei, cu considerarea lăţimii active de placă.

Rezolvarea ecuaţiei (17.1) cu coeficienţii daţi de relaţiile 17.2.a.b.c, constă în determinarea funcţiei w(x, y) care să satisfacă această ecuaţie şi condiţiile la limită. În funcţie de aceasta se pot calcula solicitările în fiecare secţiune:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂μ+

∂

∂−= 2

2

y2

2

xxyw

xwDM ; ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂μ+

∂

∂−= 2

2

x2

2

yyxw

ywDM ;

yxwDM

2

xyxy ∂∂∂

−= (17.3.a, b, c)

( )2

3

xyxy3

3

xxyxwDD

xwDT

∂∂

∂μ+−

∂

∂−= ; ( )

yxwDD

ywDTy 2

3

yxxy3

3

y∂∂

∂μ+−

∂

∂−= (17.3.d,e)

Rezolvarea ecuaţiei diferenţiale este în general o problemă dificilă, motiv pentru care se utilizează soluţii aproximative folosind următoarele metode:

- metoda seriilor Fourier simple; - metoda seriilor Fourier duble; - metoda diferenţelor finite; - metoda elementelor finite;

270

Metode simple de calcul a plăcilor ortotrope Pe lângă metodele cunoscute pentru rezolvarea ecuaţiei diferenţiale a plăcii cu anizotropie

structurală (dificile de aplicat din punct de vedere practic) s-au dezvoltat metode mai simple, cu ajutorul cărora se pot obţine rezultate acceptabile, dintre care menţionăm:

- metoda reţelelor de grinzi; - metoda Pelikan-Esslinger; - metoda Fisher.

17.5. Predimensionarea platelajelor ortotrope În etapa de predimensionare a platelajului ortotrop se adoptă grosimea plăcii (tolei),

dimensiunile lonjeronilor şi antretoazelor şi distanţele între acestea, precum şi lăţimea de conlucrare a tolei platelajului cu lonjeronii şi antretoazele.

Grosimea tablei platelajului

Grosimea tablei (tolei) platelajului se determină din condiţia ca săgeata acesteia sub acţiunea încărcărilor utile, să nu depăşească 3001 din deschidere (distanţa între lonjeroni), figura 17.15:

Fig. 17.15. Săgeata tablei platelajului

Considerând că săgeata δ a plăcii

continue reprezintă cca. 1/6 din săgeata 0δ a plăcii considerate simplu rezemată, se obţine:

pl

4

0 EI384pb5

61

61

⋅=δ=δ (17.4)

Rezultă grosimea t a plăcii:

3Epb2t ⋅⋅≥ (17.5)

unde: 11 ba

Pp⋅

=

12t1I3

pl⋅

=

Se recomandă de asemenea să fie îndeplinite condiţiile:

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

≥

≥

⋅⋅≥

mm12t

25bt

E2pb5.2t 3

(17.6)

Distanţa între rigidizările longitudinale Cunoscând grosimea t a tolei platelajului, distanţa între rigidizările longitudinale ib (figura 17.16), trebuie să respecte condiţiile:

- încărcarea uniform distribuită pe suprafaţa de repartiţie a încărcării P produsă de roata vehiculului;

- momentul de inerţie al plăcii.

271

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⋅≤

−≤

−≤

y

i

i

f235t1.9

t'b

355Sdintolepentru60t

b

235Sdintolepentru70t

b

(17.7)

Fig.17.16. Distanţa între rigidizările (nervurile)

longitudinale

Secţiunea rigidizărilor longitudinale Secţiunile rigidizărilor longitudinale trebuie să respecte următoarele condiţii de zvelteţe:

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

≤σ≤

>σ≤

ymaxy

r

ymaxy

r

f5.0:dacaf

23520c

f5.0:dacaf

23512c

(17.8)

unde: maxσ - efortul unitar normal maxim de compresiune din tola rigidizării,

în secţiunea acestei rigidizări;

t12b

t5.1hc

r

rr ⋅

+⋅

= - pentru rigidizări din tablă (figura 17.17.a);

t12b

i56.0t35.1hc

ryr

rr ⋅

+⋅+⋅

=

ryi - raza de giraţie a secţiunii rigidizării (fără lăţimea activă de tolă)

faţă de axa verticală 1y .

Fig. 17.17. Rigidizări longitudinale

m

Fig. 17.18. Rigidizări longitudinale

cu margine liberă

Pentru rigidizările cu o margine liberă

(figura 17.18) se verifică condiţia:

yf23515

't'b

≤ (17.9)

- pentru rigidizări cu secţiune T sau casetată (figura 17.17.b,c);

272

17.6. Calculul grinzilor cu inimă plină având talpa comprimată placa ortotropă Suprastructurile cu platelaj ortotrop au o rigiditate mare la torsiune (mai ales secţiunile

închise), motiv pentru care este necesar să se ia în considerare la determinarea stării de eforturi, pe lângă momentul încovoietor şi forţa tăietoare şi momentul de torsiune.

Momentul de torsiune este produs atât de aplicarea excentrică a încărcărilor verticale, cât şi de forţele orizontale transversale care solicită suprastructura (acţiunea vântului, forţa de şerpuire, acţiunile seismice).

Considerând secţiunea transversală a unei suprastructuri de pod rutier în soluţia de grindă casetată, figura 17.19, încărcată cu un sistem de acţiuni verticale (convoaie), acesta se reduce în raport cu centrul de încovoiere răsucire la o rezultantă verticală si la un moment de răsucire:

⎪⎩

⎪⎨⎧

⋅=

=

∑∑

ePM

PR

it

i (17.10)

Fig. 17.19. Încărcarea excentrică a unui

tablier cu secţiunea casetată

Deoarece situaţiile de încărcare a suprastructurii cu momente de torsiune concentrate tM

au o mare diversitate, pentru generalizarea calculului la torsiune se înlocuiesc încărcările concentrate (ale fiecărui şir longitudinal de roţi) cu o încărcare uniform distribuită echivalentă ip , rezultând astfel un moment de torsiune uniform distribuit în lungul suprastructurii:

∑ ⋅= iit epm (17.11) Expresia generală a eforturilor unitare normale pe secţiunea tablierului vor fi cele

corespunzătoare pentru solicitarea de încovoiere oblică cu torsiune împiedicată, astfel: - pentru secţiuni deschise:

ω

ω⋅++=σ

IBy

IMz

IM

z

z

y

yx (17.12.a)

ω

ωω

⋅⋅

+⋅

+⋅

⋅+

⋅

⋅=τ

ItSM

ItM

ItST

ItST R

t

t

z

zy

y

yz (17.12.b)

- pentru secţiuni închise:

ω

ω⋅++=σ

IBy

IMz

IM

z

z

y

yx (17.13.a)

ω

ωω

⋅

⋅−

⋅Ω+

⋅

⋅+

⋅

⋅=τ

ItSM

tM

ItST

ItST *R

r

z

zy

y

yz (17.13.b)

Observaţii: • Eforturile se calculează pentru poziţia cea mai defavorabilă a încărcărilor, iar pe

secţiune în punctele unde iau valorile maxime. • Pentru simplificarea calculului caracteristicilor geometrice ale secţiunii transversale a

platelajelor ortotrope, nervurile longitudinale pot fi înlocuite prin modificarea grosimii tablei platelajului t, cu o grosime echivalentă :

platelaj

nechiv B

Att +=

273

• Pentru tablierele având secţiunea transversală deschisă, figura 17.20, se poate renunţa la calculul prin care se iau în considerare momentele de torsiune, admiţând o repartiţie transversală a acestor încărcări la grinda principală după regula pârghiei.

Fig. 17.20. Repartiţia încărcărilor excentrice

pe tablier la grinda principală

Secţiunea transversală a grinzii principale se consideră formată din inima şi talpa inferioară activă, la care se adaugă platelajul ortotrop aferent, corespunzător lăţimii de conlucrare. 17.7. Lăţimea activă a tălpilor grinzilor metalice

în conformitate cu normativul EN 1993-1-5 (efectul shear lag)

Aspecte generale

Grinzile podurilor de şosea se caracterizează prin prezenţa unei tălpi superioare late – în cazul podurilor secţiune deschisă, sau printr-o lăţime mare a ambelor tălpi în cazul grinzilor cu secţiuni casetate. În cazul grinzilor metalice cu platelaj ortotrop, tola rigidizată a platelajului conlucrează cu inimile grinzilor principale şi de asemenea tola conlucrează cu nervurile longitudinale şi transversale (antretoaze) la preluarea solicitărilor din încovoiere. În cazul tălpilor late, tensiunile din încovoiere nu se mai repartizează uniform pe lăţimea acestora, fiind maxime în dreptul inimilor şi minime la mijlocul distanţei dintre inimi (respectiv rigidizări longitudinale şi transversale daca ne referim la conlucrarea acestora cu tola). Pentru simplificarea calculelor de rezistenţă şi stabilitate (stări limită de serviciu şi oboseală) se înlocuieşte lăţimea reală a plăcii (solicitată neuniform) printr-o lăţime redusă (solicitată uniform) denumită lăţime activă (efectivă) la încovoiere, fiind îndeplinită condiţia:

( ) maxeff

b

0x bdyy σ⋅=σ∫ (17.14)

unde: 0eff bb ⋅β= ; β - coeficient care dă gradul de participare (conlucrare) a tălpii. În literatura tehnică de specialitate există un număr foarte mare de metode şi propuneri de calcul a lăţimii active de placă, în acest paragraf fiind prezentată metodologia de calcul propusă în normativul EN 1993-1-5. Lăţimea efectivă pentru stări limită de serviciu şi oboseală În conformitate cu normativul EN 1993-1-5, lăţimea activă de placă, respectiv coeficienţii β, se determină cu ajutorul relaţiilor prezentate în tabelul 17.1, în care:

e

00L

bk

⋅α= (17.15)

tb

A1

0

sl0 ⋅

+=α (17.16)

Asl – aria rigidizărilor (nervurilor) longitudinale din lăţimea b;

274

t – grosimea tolei (tălpii) Le – lungimile efective, evaluate ca fiind distanţa între două puncte consecutive unde

momentul încovoietor este zero.

Tabelul 17.1 Zona pentru verificare Valorile β k

β = 1.0 ≤ 0.02

21 k4.611

⋅+=β=β 0.02 – 0.70

Diagrame de moment pozitiv

k9.51

1 ⋅=β=β > 0.70

22

k6.1k2500

1k0.61

1

⋅+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅−⋅+

=β=β 0.02 – 0.70

Diagrame de moment negativ

k6.81

2 ⋅=β=β > 0.70

Capăt liber 1010 dar;k25.055.0 β<ββ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=β Toate valorile k

Consolă 2β=β - în dreptul consolei şi la capătul liber Toate valorile k În cazul în care nici o deschidere nu este mai mare de 1,5 din deschiderea adiacentă şi nici

o consolă nu este mai mare decât jumătate din deschiderea adiacentă, lungimile efective Le se pot determina din figura 17.21.

Fig. 17.21. Variaţia factorului β

Distribuţia tensiunilor longitudinale din placă datorită fenomenului „shear lag” se obţine din figura 17.22.

275

( )( ) ( ) ( )4

0212

12

b/y1y

20,025,1:20,0

−σ−σ+σ=σ

σ−β=σ>β

( ) ( )411

2

b/y1y

0:20,0

−σ=σ

=σ≤β

σ1 este calculat cu lăţimea eficace a tălpii beff

Fig. 17.22. Distribuţia eforturilor unitare pe talpă

Efectul shear lag în tălpi pentru starea limită ultimă În conformitate cu SR EN 1993-1-5. §3.3, la starea limită ultimă efectele de shear lag se pot determina după cum urmează: a) efecte shear lag elastice determinate ca şi pentru stările limită de serviciu şi oboseală; b) efecte combinate de shear lag şi de voalare a plăcii; c) efecte shear lag elasto-plastice permiţând deformaţii plastice limitate. Dacă nu există alte specificaţii, se recomandă metoda c). Efectele combinate ale voalării plăcii împreună cu cel de shear lag (metoda b) se pot lua în considerare prin folosirea lui Aeff indicate în formula: ulteff,ceff AA β⋅= (17.17)

în care: Ac,eff - este aria eficacep a tălpii comprimate datorită voalării plăcii ;

βult - este factorul lăţimii eficaces pentru efectul de shear lag la starea limită ultimă, care poate fi luat egal cu β determinat cu α0 înlocuit de

f0

eff,c*0 tb

A=α

tf - este grosimea tălpii. Efectele shear lag elasto-plastice care permit deformaţii plastice limitate (metoda c) se pot lua în considerare folosind Aeff după cum urmează:

β⋅≥β⋅= κeff,ceff,ceff AAA (17.18)

Relaţiile pot fi aplicate şi pentru tălpile întinse, în care caz Ac,eff se înlocuieşte cu aria brută a tălpii întinse.

276

17.8. Exemple numerice E1. Lăţimea activă de placă (efectul shear lag) Se evaluează lăţimea activă (efectivă) de placă ortotropă, aceasta constituind talpa superioară a grinzii metalice pentru un pod de şosea cu trei deschideri. Schema statică a grinzii continue este prezentată în figura E1.1 [10].

Secţiunea transversală a tablierului este cea prezentată în figura E1.2, un cheson deschis pe două grinzi principale cu platelaj metalic ortotrop.

Fig. E1.1

Fig. E1.2 Aplicare numerică • Se evaluează coeficienţii α0 pentru zona în consolă – I şi centrală – II (dintre grinzile

principale) ale platelajului, tola cu grosimea de 15 mm fiind rigidizată cu nervuri longitudinale de 200x10 mm, figura E1.3 :

Fig. E1.3

277

• Se calculează lungimile efective Le, figura E1.4, pentru grinda continuă cu trei deschideri:

Fig. E1.4

• Se evaluează coeficienţii k şi β, respectiv lăţimile efective de placă, tabelul E1.1: Tabelul E1.1

Deschideri marginale (40 m) Parametru Consolă (I) Câmp (II)

k 0,040 0,095 β1 0,99 1,00

beff [cm] 119 270 Deschidere centrală (60 m) Parametru

Consolă (I) Câmp (II) k 0,033 0,076 β1 0,99 0,96

beff [cm] 119 259 Reazeme intermediare Parametru

Consolă (I) Câmp (II) k 0,055 0,128 β2 0,77 0,56

beff [cm] 92 151

Diagrama coeficienţilor β pentru zona câmp (II) este prezentată în figura E1.5.

Fig. E1.5

m

278

Distribuţia tensiunilor pe reazemul intermediar este prezentată în figura E1.6.

2min1max ; σ=σσ=σ Fig. E1.6

( ) maxmax

Imin 45,020,056,025,1 σ⋅=σ⋅−⋅=σ ; ( ) maxmax

IImin 71,020,077,025,1 σ⋅=σ⋅−⋅=σ

( ) max

4

maxmin

4

minmaxx 45,0by155,0

by1 σ⋅+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⋅σ⋅=σ+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⋅σ−σ=σ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⋅⋅σ=σ 45,0by155,0

4

maxx

Observaţii referitoare la lăţimea activă de placă Evaluarea lăţimii active (efective) de placă în cazul grinzilor metalice cu tălpi late, în conformitate cu normativul EN 1993-1-5, se face prin determinarea coeficienţilor β, calculând în prealabil coeficienţii k şi α0, funcţie de lăţimea reală a plăcii (b0), aria rigidizărilor (nervurilor longitudinale) şi lungimea efectivă Le (prin care se ţine cont de schema statică şi diagrama de momente încovoietoare pe grindă). Coeficienţii β sunt cu atât mai mici cu cât lăţimea tălpilor, b0, este mai mare şi lungimea efectivă, Le, este mai mică. În cazul grinzilor continue lungimea efectivă este mică în dreptul reazemelor intermediare [Le =0,25(L1+L2)], prin urmare în această zonă conlucrarea inimilor cu platelajul ortotrop se manifestă pe o lăţime de placă mult mai mică comparativ cu zona dintre reazeme (câmpuri). Exemplul de calcul prezentat în acest paragraf arată că, în acest caz, lăţimea activă în zona reazemelor intermediare se apropie de 50% din lăţimea efectivă a platelajului, iar nervurile longitudinale reduc coeficienţii β cu 10-15%. E2. Verificarea unui platelaj ortotrop Se analizează comportarea la compresiune cu forfecare din răsucire a panoului din vecinătatea reazemului intermediar al unui platelaj ortotrop. Din punct de vedere structural panoul analizat este talpa comprimată a unei grinzi metalice de tip cheson din suprastructura unui pod metalic rutier. Observaţii:

1. Placa ortotropă analizată nu este încărcată normal pe suprafaţa mediană; 2. Din punct de vedere al stabilităţii globale a platelajului ortotrop, eforturile unitare tangenţiale din

acţiunea forţei tăietoare nu sunt relevante. Se cunosc următoarele date de proiectare:

• grinda continuă cu două deschideri egale, L=100 m, figura E2.1;

279

Fig. E2.1

• elementele geometrice ale panoului din platelajul ortotrop analizat, figura E2.2 [11]; • eforturile unitare normale din încovoiere, eforturile unitare tangenţiale din torsiune şi

eforturile unitare tangenţiale din forţa tăietoare, evaluate cu secţiunea brută: - 2

Ed mm/N220=σ - în dreptul rigidizării transversale 1;

- 2Ed mm/N150=σ - în dreptul rigidizării transversale 2;

- 2tEd mm/N130=τ - în dreptul rigidizării transversale 1;

- 2tEd mm/N110=τ - în dreptul rigidizării transversale 2;

- 2vEd mm/N50=τ - în dreptul inimilor grinzi;

• material: S355: 2y mm/N355f = ; 81.0=ε ;

• coeficienţi de siguranţă: 10.1;0.1 1M0M =γ=γ .

Fig. E2.2

280

Rezolvare: Pentru calculul plăcii ortotrope comprimate se consideră panourile de rigidizare şi cele ale plăcilor adiacente aferente, prezentate în figura E2.3 [11].

Fig. E2.3

Calculul ariilor efective ale (sub)panourilor Panoul 1

673.0815.0481.04.28

12/450k4.28

t/b11p >=⋅⋅

=⋅ε⋅

=λσ

1896.0815.0

)13(055.0815.0)3(055.022

1p

1p1 <=

+−=

λ

Ψ+−λ=ρ

2111.eff11eff.1 cm38.482.145896.0AA;mm403450896.0bb =⋅⋅=⋅ρ==⋅=⋅ρ=

Panoul 2

1673.0543.0481.04.28

12/300k4.28

t/b2

22p =ρ⇒<=⋅⋅

=⋅ε⋅

=λσ

222.eff cm362.130AA =⋅==

Panoul 3

673.0043.1481.04.28

6/288k4.28

t/b s33p >=

⋅⋅=

⋅ε⋅=λ

σ

1756.0043.1

)13(055.0043.1)3(055.022

3p

3.p3 <=

+−=

λ

Ψ+−λ=ρ

2333.eff33eff.3 cm06.136.08.28756.0AA;mm218288756.0bb =⋅⋅=⋅ρ==⋅=⋅ρ=

Panoul 4

1673.0489.0481.04.28

6/135k4.28

t/b4

s44p =ρ⇒<=

⋅⋅=

⋅ε⋅=λ

σ

281

244.eff cm1.86.05.13AA =⋅==

Placa rigidizată Secţiunile transversale relevante ale plăcii rigidizate sunt prezentate în figura E2.4.

Fig. E2.4

Comportarea (flambajul) tip placă

5.0952.0420400

ba;1 >===α=ψ , unde: a = distanţa dintre rigidizările transversale; b=B.

433

p cm46.6692.10

2.142092.10tbI =

⋅=

⋅= ; 1.873

46.6602558

II

II

p

z

p

s ====γ ∑

417.02.1420

425A

A

p

sl =⋅

⋅==δ ∑ ; 44.51.873952.0 44 ==γ<=α

( )( ) ( )

( )( ) ( )

9.681417.0111952.0

11.873952.012

11

112k 2

22

2

22

p. =++

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −++

=δ++ψα

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −γ+α+

=σ

Efortul critic de voalare elastică a plăcii ortotrope echivalente va fi:

282

22

6Ep.p.cr cm/daN57610

4202.1109.19.681k =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅=σ⋅=σ σ


p.cr

yc.Ap

fσ

β=λ , unde: 895.0

6606.590

AA

c

loc.eff.cc.A ===β

Se obţine: 1673.0548.057610

3550895.0p =ρ⇒<=

⋅=λ

Comportarea (flambajul) tip stâlp

Efortul unitar critic elastic de flambaj de tip stâlp în cazul plăcii rigidizate, figura E2.5, va fi:

22

62

21.sl

1.sl2

c.cr cm/daN10611400132

31711101.2aAIE

=⋅

⋅⋅π=

⋅

π=σ (nu este necesară extrapolare la

marginea plăcii deoarece 1=ψ 1.sc bb =⇒ )


54.01061135509.0f

c.cr

yc.Ac =

⋅=

σ

β=λ ; unde: 9.0

1327.118

AA

1.sl

eff.1.slc.A ===β (figura E2.6)

cm26.9132

31711AIi

1.s

1.s === ; cm4.11)e;e(maxe 21 ==

Fig. E2.5

Fig. E2.6

Factorul de reducere cχ se obţine conform flambajului barei drepte comprimate centric, considerând un factor de imperfecţiune α :

45.04.11/26.9

09.034.0e/i09.0' =+=+α=α ; ( 34.0' =α - pentru rigidizări închise).

Pentru elemente cu secţiune transversală constantă (elemente uniforme), solicitate la compresiune axială constantă, valoarea coeficientului de reducere cχ se determină în funcţie de coeficientul de zvelteţe redus cλ , cu relaţia:

283

84.054.072.072.0

11222

c2

c =−+

=λ−φ+φ

=χ

în care: ( ) 72.0]54.0)2.054.0(45.01[5.02.015.0 22cc =+−+=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ λ+−λα+=φ


Coeficientul ξ : 0105.0111106105761

c.cr

p.cr =ξ⇒<−=−=−σ

σ=ξ

( ) ( ) 84.02 ccc =χ+ξ−ξχ−ρ=ρ

Se obţine aria efectivă a peretelui rigidizat: 2

edges.eff.cloc.eff.cceff.c cm5.5442.145896.06.59084.0AAA =⋅⋅+⋅=+ρ=

Efectul shear lag Efectul shear lag poate fi neglijat dacă este îndeplinită condiţia:

50Lb e

0 ≤ .

În acest caz avem:

mm100050

L225.050Lcm2100

2Bb e

0 =⋅

=>== ⇒ efectul shear lag nu poate fi neglijat.

Se calculează:

35.12.1210

4251tb

A1

f0

s0 =

⋅⋅

+=⋅

+=α ∑ ; 02.0057.05000

21035.1L

bke

00 >=⋅

=α

=

766.0057.06.1

057.025001057.00.61

1

k6.1k2500

1k0.61

122

2 =⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅−⋅+

=⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅−⋅+

=β=β

2057.0keff.ceff cm3.536766.05.544AA =⋅=β⋅=⇒ > 2

eff.c cm1.417766.05.544A =⋅=β⋅ Verificarea la compresiune a platelajului ortotrop Se verifică condiţia:

0.1)/f(A

A)/f(A

N

0Myeff

Ed

0Myeff

Ed1 ≤

γ⋅σ

=γ

=η

În acest caz:

1825.00.1/35503.536

71422001 <=

⋅⋅

=η ⇒ condiţia de rezistenţă este îndeplinită.

Verificarea la voalare din eforturi unitare tangenţiale Placa ortotropă este solicitată la eforturi unitare tangenţiale produse de momentul de torsiune exterior, tensiuni care pot cauza pierderea stabilităţii plăcii rigidizate, prin voalare generală

284

a panoului rigidizat, sau prin voalarea unui subpanou component (în funcţie de mărimea zvelteţii relative a acestora). Observaţie: Eforturile unitare produse de forţa tăietoare sunt preluate de inimile grinzii cheson; inimile nu fac obiectul verificării în acest exemplu de calcul. Verificarea la voalare din acţiunea eforturilor unitare tangenţiale se face cu relaţia:

0.1

3

f

1M

yww

Ed3 ≤

⋅γχ

τ=η

Pentru plăci prevăzute cu mai mult de două rigidizări longitudinale, coeficientul de voalare din forfecare se determină cu relaţia:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

<−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

≥−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

=

τ

τ

τ

1hapentruk

ah34.500.4

1hapentruk

ah00.434.5

k

ws

2w

ws

2w

unde: 3w

s4

3

w3s

2w

s hI

t1.2:putinceldar

htI

ah9k ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=τ

- a – distanţa între rigidizările transversale; - sI – momentul de inerţie al rigidizării longitudinale (sau suma momentelor de inerţie

ale rigidizărilor) în raport cu axa z-z .

În cazul analizat placa este prevăzută cu 5 rigidizări longitudinale, fiecare rigidizare având caracteristicile geometrice prezentate în figura E2.7 . Pentru placa rigidizată, relaţiile de calcul specifice inimii grinzilor se modifică astfel:

4*

ss

fw

w

cm717105II

cm420Bhhcm2.1tt

⋅=→

==→

=→

∑

Fig. E2.7

285

Placa rigidizată în ansamblu cm420Bh;cm400a f ===

8.8h

It1.2250

4202.1717105

4004209

ht

Iah9k 3

f

*s4

3

3

24

3

f3

*s

2f

s. =⋅>=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅⋅

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∑∑

τ

26025040042034.54k

ah34.500.4k

2

s

2f =+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+= ττ

72.026081.04.37

2.1/420k4.37

t/hff =⋅⋅

=⋅ε⋅

=λτ

Subpanoul 1 0k;mm450bhh s.111f1w ==== τ (panoul nerigidizat)

39.5400450.434.5

ah0.434.5k

221f

1 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=τ

53.039.581.04.37

2.1/45k4.37

t/h

1

1f1f =⋅⋅

=⋅ε⋅

=λτ

Subpanoul 2 0k;mm300bhh s.122f2w ==== τ (panoul nerigidizat)

36.5400300.434.5

ah0.434.5k

222f

2 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=τ

35.036.581.04.37

2.1/30k4.37

t/h

2

2f2f =⋅⋅

=⋅ε⋅

=λτ

Coeficientul de zvelteţe relativă se va considera:

[ ] 15.172.083.083.069.0

2.183.083.072.0;;.max

)f(w)f(w2f1ff)f(w ==

λ=χ⇒==

η>=λλλ=λ

Relaţia de verificare la voalare din acţiunea eforturilor unitare tangenţiale devine:

0.161.0

31.1355015.1

1300

3

f

1M

)f(yw)f(w

Ed3 <=

⋅

=

⋅γχ

τ=η

Interacţiunea M-V-N În conformitate cu EN 1993-1-5. 7.1(5), talpa unei grinzi cheson se verifică cu relaţia de interacţiune:

286

( ) 1122

31 ≤−η+η Parametrii 1η şi 3η se evaluează astfel: - 1η - în secţiunea transversală situată la distanţa de wh5.0 ⋅ faţă de rigidizarea verticală;

- 3η - cu efortul mediu de forfecare, dar cel puţin 0.5· maxτ . Considerând mm4000ahw == , se obţine: 2*

Ed2*

Ed mm/N120;mm/N185 =τ=σ

68.00.1/35505.544

7141850)/f(A

A)/f(A

N

0Myeff.c

*Ed

0Myeff

*Ed

1 =⋅

⋅=

γ⋅σ

=γ

=η

56.0

31.1355015.1

1200

3

f

1M

)f(yw)f(w

*Ed

3 =

⋅

=

⋅γχ

τ=η

Se obţine:

( ) ( ) 169.0156.0268.012 2231 <=−⋅+=−η+η

Observaţie: În cazul în care placa ortotropă este talpa superioară a unei grinzi de pod, încărcările normale pe placă produc eforturi unitare de încovoiere pe cele două direcţii care modifică starea de eforturi unitare globală şi influenţează de asemenea, stabilitatea generală a platelajului ortotrop. În acest caz, verificările de rezistenţă şi de stabilitate sunt mult mai complexe şi nu au facut obiectul acestei analize.

287

18. GRINZI CU SECŢIUNE COMPUSĂ OŢEL-BETON

18.1. Aspecte generale Pentru realizarea vitezelor mari de circulaţie pe poduri, o cerinţă primordială este asigurarea calităţii suprafeţei de rulare. În domeniul traficului feroviar, această cerinţă este posibilă prin schimbarea soluţiei tradiţionale de realizare a căii de tip “deschis” la care suprastructura căii ferate (traverse, şine) reazemă direct pe elementele de rezistenţă ale suprastructurii podului, cu cea de tip “închis” la care suprastructura căii ferate reazemă pe un strat de balast susţinut de o cuvă. Această soluţie este posibilă prin adoptarea structurilor compuse oţel – beton, în cazul podurilor de deschideri mici şi mijlocii.

În cazul podurilor de şosea, care sunt supuse într-o măsură mult mai mică fenomenului de

oboseală, se remarcă tendinţa de utilizare pe scară din ce în ce mai largă a oţelurilor de înaltă rezistenţă, care permit reduceri importante ale încărcărilor permanente prin reducerea greutăţii proprii şi creşterea raportului rezistenţă / greutate specifică. Un factor esenţial de evoluţie a pieţei podurilor metalice rutiere este acela al generalizării adoptării soluţiei podurilor compuse oţel - beton. În literatura tehnică, noţiunea de „conlucrare” e utilizată atât pentru desemnarea conlucrării platelajului şi a contravântuirilor cu grinzile principale precum şi pentru desemnarea conlucrării plăcii de beton armat cu elementele de rezistenţă din oţel prin intermediul elementelor de legătură formate din conectori – elemente fixate solidar prin sudură de grinzile de oţel şi înglobaţi în betonul platelajului. Elementele de conlucrare precum şi prinderile lor trebuie să aibă capacitatea de rezistenţă de a asigura preluarea şi transmiterea integrală a eforturilor care apar din conlucrare, precum şi a eforturilor ce le revin datorită rolului acestora.

Având în vedere faptul că structurile compuse oţel-beton sunt alcătuite din două materiale

cu o comportare mult diferită, rezultă că pentru proiectarea unei structuri de acest tip trebuie cunoscută cât mai bine comportarea mecanică a celor două materiale separate, şi în plus, trebuie cunoscută comportarea solidară a acestora, respectiv conlucrarea structurală dintre oţel şi beton.

Avantajele tehnico – economice ale acestor elemente compuse rezultă însăşi din modul de

grupare a materialelor în secţiunea transversală. Astfel, dala de beton (armat sau precomprimat) care are rolul de preluare a încărcărilor prin

efectul de placă este situată în zona eforturilor unitare de compresiune pe care betonul le preia în condiţiile cele mai bune, iar secţiunea de oţel este amplasată în zona cu eforturi unitare de întindere sau compresiuni mici, reducându-se astfel mult pericolul pierderii stabilităţii şi asigurându-se o utilizare maximă a caracteristicilor mecanice ale oţelului. De asemenea, dala de beton repartizează şi reduce încărcările la oboseală, ranforsează piesele metalice, adăposteşte şi protejează structura metalică, reduce şi amortizează şocurile şi vibraţiile; simplitatea detaliilor constructive la structura metalică facilitează operaţiile de supraveghere şi întreţinere curentă a lucrării.

În figura 18.1 sunt prezentate câteva secţiuni transversale caracteristice acestor tipuri de

structuri:

288

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

Fig. 18.1. Secţiuni transversale de poduri cu structură compusă oţel-beton

18.2. Bazele calculului grinzilor cu secţiune compusă oţel-beton Stări limită. Secţiuni critice

Stările limită dincolo de care structura nu mai satisface cerinţele de performanţă proiectate

sunt clasificate în următoarele: • stări limită ultime asociate cu colapsul sau cu alte forme de cedare structurală; • stări limită de serviciu (ale exploatării normale) care corespund stărilor dincolo de

care nu mai sunt îndeplinite anumite criterii de exploatare. În general, sub diverse combinaţii ale acţiunilor, în stadiul limită ultim, o grindă mixtă oţel-

beton trebuie să fie verificată la:

289

• asigurarea rezistenţei secţiunii transversale critice; • asigurarea stabilităţii generale şi locale:

- rezistenţa la flambaj lateral prin torsiune; - rezistenţa la flambaj la forţă tăietoare şi la forţe transversale aplicate inimii;

• asigurarea conlucrării între grinda metalică şi placa de beton armat prin intermediul conectorilor - rezistenţa la lunecare longitudinală.

Secţiunile transversale critice sunt: • secţiunile de moment încovoietor maxim pozitiv; • secţiunile de reazem; • secţiunile supuse la forţe sau reacţiuni concentrate; • puncte în care are loc o modificare bruscă a secţiunii (alta decât cea datorată

fisurării betonului). O astfel de secţiune se consideră critică dacă raportul între momentul capabil maxim şi cel minim este mai mare de 1,2.

În analiza şi calculul la starea limită ultimă a grinzilor mixte se ţine seama de capacitatea de rotire a secţiunii, prin încadrarea grinzii metalice în una din cele 4 clase de secţiuni, având în vedere comportarea specifică a grinzii mixte (clasa secţiunii poate fi diferită în câmp faţă de reazeme). În cazul secţiunilor din clasa 4 de secţiuni, se va ţine seama de secţiunea efectivă de oţel, conform SR EN 1993-1-5.

Dala de beton (armat sau precomprimat) îndeplineşte următoarele roluri, în cazul podurilor cu secţiune compusă oţel – beton cale sus, pe grinzi cu inimă plină, figura 18.2:

• face parte din talpa superioară a grinzilor metalice (2); • face parte din tălpile superioare ale antretoazelor, când între acestea şi dală este

realizată conlucrarea (3); • fixează talpa comprimată a grinzii metalice (4); • acţionează ca o diafragmă pentru a transmite încărcările orizontale la reazeme (5); • contribuie la repartiţia transversală a încărcărilor între grinzile principale (6).

Fig. 18.2

Lăţimea activă de dală Lăţimea de conlucrare a dalei cu grinda metalică este în general diferită de lăţimea reală a acesteia (distanţa între grinzile metalice), mai ales când lăţimea reală este mare, deoarece eforturile unitare de compresiune în dală sunt variabile, fiind maxime în dreptul grinzii metalice şi descrescând spre mijlocul distanţei între grinzi.

290

Fig. 18.3. Lăţimea de conlucrare a dalei

Lăţimea de conlucrare a dalei se defineşte ca fiind lăţimea pe care volumul de eforturi unitare de compresiune, considerate distribuite uniform şi egale cu efortul maxim în dală în dreptul grinzii metalice, este egal cu volumul eforturilor unitare de compresiune, variabile, acţionând pe lăţimea reală a dalei, figura 18.3 (aria ACDEF este egală cu aria GHJK).

Pentru simplificarea calculelor de rezistenţă şi stabilitate (stări limită de exploatare şi

oboseală) se înlocuieşte lăţimea reală a dalei (solicitată neuniform) printr-o lăţime redusă (solicitată uniform) denumită lăţime activă (efectivă) la încovoiere. Lăţimea activă de dală (SR EN 1994-2:2006)

În câmp şi pe reazemele intermediare: ∑+= ei0eff bbb . (18.1)

Pe reazemele finale: ∑ ⋅β+= eii0eff bbb , (18.2) unde: - 0b este distanţa între axele conectorilor marginali;

- 8

Lb e

ei = , dar nu mai mare decât ib , în care ib este distanţa de la conectorul

marginal până la un punct situat la jumătatea distanţei dintre două inimi adiacente, măsurată pe linia mediană a tălpii de beton, cu excepţia că lângă o latură liberă, distanţa ib este până la latura liberă;

- 0,1)bL

025,055,0(i

ei ≤+=β ; eL se ia conform figurii 18.4.

Fig. 18.4

Legendă: 1) eff,11e b pentru L85,0L = 2) eff,221e b pentru )LL(25,0L += 3) eff,12e b pentru L70,0L = 4) eff,23e b pentru L 2L =

291

Determinarea coeficientului de echivalenţă Pentru determinarea caracteristicilor secţionale ale secţiunilor compuse, se foloseşte metoda secţiunii transformate, în care secţiunea transversală neomogenă oţel-beton se echivalează cu o secţiune omogenă prin transformarea secţiunii betonului din dală într-o secţiune echivalentă de oţel. Această transformare se realizează prin intermediul coeficientului de echivalenţă, care reprezintă raportul între modulul de elasticitate al oţelului şi al betonului, funcţie de natura încărcărilor ce acţionează asupra structurii compuse considerate. Încărcări de scurtă durată

cm

a0 E

En = (18.3)

unde: aE este modulul de elasticitate al oţelului din grinda metalică; Ecm - modulul de elasticitate secant al betonului din dală.

Încărcări permanente şi temporare de lungă durată

Coeficientul de echivalenţă pentru încărcări de lungă durată se calculează cu formula:

))t,t(1(nn 0L0L ϕ⋅ψ+⋅= (18.4) în care: Lψ este egal cu 1,1 pentru încărcări permanente; )t,t( 0ϕ - coeficientul curgerii lente, [6]. Etapele de construcţie Analizele globale pe structură vor fi efectuate separat, pentru acţiunile preluate numai de elementele structurale din oţel şi pentru cele preluate de secţiunea compusă oţel-beton - în acest caz folosind coeficientul de echivalenţă corespunzător, pentru încărcări de lungă sau de scurtă durată. Se prezintă în cele ce urmează câteva procedee de execuţie a grinzilor compuse oţel-beton pentru poduri.

Grinzi simplu rezemate, la care toate încărcările sunt preluate de elementul compus oţel-beton, figura 18.5.

Sunt realizate la elementele compuse prefabricate, care au grinda de oţel rezemată continuu în timpul turnării dalei de beton armat, sau la elementele compuse monolite care au grinda metalică prevăzută cu reazeme provizorii foarte dese. La aceste grinzi, toate încărcările (de scurtă durată şi de lungă durată), sunt preluate de secţiunea compusă.

Fig. 18.5

292

Grinzi simplu rezemate, la care greutatea proprie a grinzii de oţel şi greutatea dalei

de beton armat sunt preluate numai de grinda de oţel.

La aceste grinzi, se deosebesc două sau trei faze de lucru, funcţie de modul de execuţie. 1. Dacă nu se prevăd reazeme provizorii, figura 18.6.a, până la asigurarea conlucrării dalei de beton cu grinda de oţel, încărcările 1g , provenite din: greutatea grinzii de oţel, a dalei de beton şi a cofrajelor, sunt preluate numai de grinda de oţel. În faza a doua de lucru, figura 18.6.b, încărcările din greutatea moartă 2g şi încărcările utile u sunt preluate de elementul compus.

Fig.18.6

Acest tip de grinzi compuse are eficienţă minimă, deoarece în grinda de oţel apar eforturi unitare apreciabile, momentul ei de inerţie fiind mult mai mic decât acela al secţiunii compuse. Soluţia este recomandată doar când nu este posibilă introducerea reazemelor provizorii (viaducte peste văi adânci, poduri peste râuri navigabile etc.). 2. Introducând unul sau două reazeme provizorii pentru grinda de oţel, figura 18.7, se obţine o reducere semnificativă a eforturilor unitare în aceasta din încărcările pe care le preia singură. În prima fază, figura 18.7.a, încărcările 1g , provenite din: greutatea grinzii de oţel, a dalei de beton şi a cofrajelor, sunt preluate de grinda de oţel continuă. În faza a doua, figura 18.7.b, după asigurarea conlucrării, se elimină reazemele intermediare, iar grinda compusă preia încărcările concentrate egale şi de semn contrar cu recţiunile reazemelor provizorii. În faza a treia, figura 18.7.c, grinda compusă preia greutatea moartă 2g şi încărcările utile u . Reazemele intermediare se pot înlătura atunci când betonul atinge 75% din rezistenţa cubică. Soluţia presupune acordarea unei atenţii deosebite pierderii stabilităţii tălpii comprimate a grinzii metalice pe reazemele intermediare, în faza turnării dalei de beton armat.

293

Fig. 18.7

Clasificarea secţiunilor transversale ale grinzilor Sistemul de clasificare al secţiunilor definit în SR EN 1993-1-1 se aplică secţiunilor transversale ale grinzilor compuse oţel beton. Secţiunea transversală se clasifică în conformitate cu cea mai puţin favorabilă clasă a elementelor din oţel solicitate la compresiune. Clasa secţiunilor compuse oţel-beton depinde de semnul momentului încovoietor în acea secţiune. O talpă comprimată din oţel, care este împiedicată să flambeze printr-o legătură efectivă cu o talpă din beton, prin intermediul conectorilor, poate fi considerată în clasa 1. Calculul momentului rezistent (capabil) Momentul capabil elastic

Analiza elastică a grinzilor mixte se bazează pe următoarele ipoteze:

• legătura dintre grinda metalică şi dala de beton este continuă şi nu există lunecare la interfaţa de contact oţel-beton;

• secţiunile plane rămân plane şi după deformare; • oţelul şi betonul se consideră materiale elastice.

Pe baza acestor ipoteze, secţiunea mixtă se poate considera ca fiind formată dintr-un material omogen echivalent în oţel.

Aria echivalentă în oţel, A1 se calculează cu relaţia:

n

hbAAA ceff

sa1⋅

++= (18.5)

în care: Aa - aria grinzii metalice;

294

As = Asi+Ass - aria armăturii flexibile ( se poate neglija dacă placa de beton este în zona comprimată a grinzii );

beff - lăţimea activă din placa de beton, cu rol de talpă a grinzii mixte. n - coeficientul de echivalenţă (funcţie de tipul încărcării). Calculul se poate efectua fie evaluând momentul capabil elastic (Mel.Rd) fie determinând şi

verificând tensiunile pe înălţimea secţiunii.

Calculul şi verificarea tensiunilor normale La secţiunile mixte betonul întins nu se ia în considerare la evaluarea rezistenţei secţiunii

mixte. A. Secţiunea mixtă în zona de moment pozitiv În calcul se neglijează armătura flexibilă din beton. În funcţie de poziţia axei neutre se pot analiza două situaţii:

a. axa neutră în grinda metalică, z > hc , figura 18.8; b. axa neutră în dala de beton armat, z < hc , figura 18.9.

Axa neutră în grinda metalică (fig. 18.8) Aria echivalentă în oţel a întregii secţiuni se calculează cu relaţia:

n

hbA

nA

AA ceffa

ca1

⋅+=+= (18.6)

Poziţia centrului de greutate al secţiunii echivalente în raport cu fibra superioară a plăcii, y, se obţine din relaţia:

( )

n/AA2

hn

hbhhzA

zca

cceffcacaa

+

⋅+++

= (18.7)

Momentul de inerţie al secţiunii echivalente în raport cu axa care trece prin centrul de greutate este:

( )2

cceff2cacaa

ca1 2

hz

nhb

zhhzAnI

II ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅+−++++= (18.8)

în care Ia şi Ic sunt momentele de inerţie ale grinzii metalice, respectiv ale dalei de beton în raport cu axele proprii de greutate.

Fig. 18.8. Axa neutră în grinda metalică

295

Tensiunile pe înălţimea secţiunii sunt: - în oţel:

( ) ay1

ai /fzhIM

γ≤−=σ (18.9.a)

( )[ ] aycac1

as /fhhzIM

γ≤+−=σ (18.9.b)

- în beton:

cck1

cs /f85.0zIn

Mγ≤=σ (18.9.c)

Axa neutră în dala de beton (fig. 18.9) Dacă valorile lui z calculate cu relaţia (8.7) rezultă mai mici decât hc, poziţia axei neutre se

determină cu relaţia:

( ) ccacaa

eff

effa h1hhz

nAb2

1b

nAz ≤⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−++

⋅+= (18.10)

Aria secţiunii transversale echivalentă în oţel este:

n

zbA

nA

AA effa

ca1

⋅+=+= (18.11)

Momentul de inerţie al secţiunii echivalente va fi:

( )n3zb

zhhzAII3

eff2cacaaa1 +−+++= (18.12)

Fig. 18.9. Axa neutră în placa de beton

B. Secţiunea mixtă în zona de moment negativ (fig. 18.10)

Dala de beton fiind în acest caz în zona întinsă, nu se va lua în considerare în calculul caracteristicilor de rezistenţă. Aria echivalentă în oţel a secţiunii active se va evalua cu relaţia : sssiasa2 AAAAAA ++=+= (18.13) Poziţia axei neutre se determină cu relaţia: ( )[ ] 2isissscacaa A/dAdAhhzAz ++++= (18.14) Momentul de inerţie al secţiunii echivalente va fi: ( ) ( ) ( )2isi

2sss

2cacaaa2 dzAdzAzhhzAII −+−+−+++= (18.15)

296

Fig. 18.10. Secţiunea mixtă în zona de moment negativ

Tensiunile pe înălţimea grinzii vor fi: - în oţel:

( ) ay2

ai /fzhIM

γ≤−=σ (18.16.a)

( )[ ] aycac2

as /fhhzIM

γ≤+−=σ (18.16.b)

- în armătura de la partea superioară:

( ) ssks2

ss /fdzIM

γ≤−=σ (18.16.c)

Momentul capabil elastic

Momentele capabile elastice se determină punând condiţia ca eforturile unitare normale pe înălţimea secţiunii grinzii mixte să fie egale cu cele limită admise, respectiv: 0.85fck/γc în beton, fy/γa în oţel şi fsk/γs în armătură.

Momentul capabil elastic pozitiv

Momentul capabil elastic pozitiv se determină din relaţia: [ ]cc

Rd.elai

Rd.elRd.el M;MminM =+ (18.17) unde:

ai

1

a

yaiRd.el z

IfM

γ= (18.18.a)

cs

1

c

ckccRd.el z

Inf85.0M ⋅

γ= (18.18.b)

Momentul capabil elastic negativ Momentul capabil elastic pozitiv se determină cu relaţia: [ ];M;MminM ss

Rd.elai

Rd.elRd.el =− (18.19) unde:

297

ai

2

a

yaiRd.el z

IfM

γ= (18.20.a)

ss

2

s

skssRd.el z

IfM

γ= (18.20.b)

Momentul rezistent plastic Pentru evaluarea momentelor plastice se consideră următoarele ipoteze:

• interacţiune totală între grinda metalică şi placa de beton; • întreaga secţiune a grinzii metalice se plastifică (atât zona întinsă, cât şi zona

comprimată), tensiunile în oţel fiind egale cu rezistenţa de calcul la curgere fyd (egală cu fy/γa), din întindere sau compresiune;

• tensiunile în betonul comprimat au valoarea limită 0.85 fcd = 0.85 fck/γc, constant pe toată înălţimea zonei comprimate ;

• în armătura flexibilă din dala de beton armat solicitată la întindere, tensiunile vor fi fsk/γs . Armătura flexibilă din dala comprimată se poate neglija.

Notă: Calculul în domeniul plastic se poate aplica pentru secţiuni transversale Clasa 1 ş Clasa 2.

Noţiunile de „conectare totală” şi de „conectare parţială” se aplică doar grinzilor la care

capacitatea de rezistenţă la încovoiere a secţiunilor critice se determină utilizând calculul plastic. O deschidere a unei grinzi, sau a unei console, are o conectare totală atunci când majorarea numărului de conectori nu conduce la mărirea rezistenţei la încovoiere a elementului. În figura 18.11 se prezintă distribuţiile caracteristice ale eforturilor unitare în domeniul plastic, în cazul unei grinzi compuse, cu conectare totală, supusă la moment încovoietor pozitiv, respectiv negativ.

Fig. 18.11 Pentru secţiuni din oţel structural S420 sau S460, atunci când înălţimea zonei comprimate a plăcii este cuprinsă între 15% şi 40% din înălţimea totală a elementului, momentul capabil de calcul RdM se consideră β Rd,plM , unde coeficientul de reducere β este indicat în figura 18.12.

Fig. 18.12

298

Momentul rezistent plastic pentru o secţiune supusă la moment încovoietor pozitiv

Axa neutră se determină cu relaţia:

cckeff

aya1 /f85.0b

/fAz

γ⋅

γ⋅= (18.21)

Axa neutră în dala de beton (figura 18.13)

Dacă z1< hc , axa neutră se află în dala de beton.

Fig. 18.13. Axa neutră în dala de beton

Rezultanta tensiunilor de compresiune din beton, Nc este egală cu rezultanta tensiunilor de întindere din oţel, Na: cckefff,c /f85.0zbN γ⋅⋅= (18.22.a) ayaa /fAN γ⋅= (18.22.b)

Momentul rezistent plastic se determină cu relaţia:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

γ=+

2zh

fAM s

a

yaRd,pl (18.23)

Axa neutră în grinda metalică (figura 8.14)

Dacă z1 determinat cu relaţia (18.21) rezultă mai mare decât hc , axa neutră plastică se

află în grindă şi se determină cu relaţia:

z=hic+ts+hac+hc (18.24) Înălţimea inimii din zona comprimată, hic se obţine din ecuaţia de proiecţie:

ayi

aytscckceffayaic /ft2

/fA2/f85.0hb/fAh

γ

γ−γ−γ= (18.25)

299

Fig. 18.14. Axa neutră în grinda metalică

Rezultantele blocurilor de tensiuni sunt:

cckcefff,c /f85.0hbN γ= (18.26.a) ayat,a /fAN γ= (18.26.b)

ay'ac,a /fA2N γ= (18.26.c)

Aria zonei comprimate, A’a , rezultată din ecuaţia de proiecţie este:

ay

ackceffaya'a /f2

/f85.0hb/fAA

γ

γ−γ= (18.27)

Valoarea momentului rezistent plastic se poate evalua cu relaţia:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

γ−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

γ=+

2h

hf

A22

hh

fAM c'

sa

y'a

cs

a

yaRd.pl (18.28)

Momentul rezistent plastic pentru o secţiune

supusă la moment încovoietor negativ (figura 18.15)

În acest caz dala de beton se află în zona întinsă; betonul fiind fisurat nu se va lua în calcul. Rezultantele eforturilor sunt:

sskss /fAN γ= (18.29.a) ayac,a /fAN γ= (18.29.b)

ay"at,a /fA2N γ= (18.29.c)

Aria zonei întinse a grinzii metalice se poate calcula cu relaţia:

ay

ssksaya"a /f2

/fA/fAA

γ

γ−γ= (18.30)

Valoarea momentului rezistent plastic va fi:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

γ−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

γ=−

2h

hf

A22

hh

fAM c'

sa

y"a

cs

a

yaRd.pl (18.31)

300

Fig. 18.15. Secţiune compusă supusă la moment negativ

Momentul capabil neliniar la încovoiere În cazul în care momentul capabil la încovoiere al secţiunii compuse se determină printr-un

calcul neliniar, trebuie să se ia în considerare relaţiile efort unitar – deformaţii specifice ale materialelor: SR EN 1992-1, punctul 3.1.7 pentru betonul comprimat, SR EN 1992-1, punctul 3.2.7 pentru armătură, respectiv SR EN 1993-1-1, punctul 5.4.3(4) pentru oţelul structural).

Pentru secţiunile de clasă 1 şi 2 cu placă de beton comprimată, momentul capabil neliniar la încovoiere se determină funcţie de forţa de compresiune din beton cN , utilizând relaţiile (18.32), (18.33), (18.34) şi figura 18.16

Fig. 18.16: 1. execuţie cu sprijiniri, 2. execuţie fără sprijiniri

f,c

cEd,aRd,elEd,aRd N

N)MM(MM ⋅−+= pentru el,cc NN ≤ (18.32)

el,cf,c

el,ccEd,elRd,plEd,elRd NN

NN)MM(MM

−

−⋅−+= pentru f,ccel,c NNN ≤≤ (18.33)

unde: Ed,cEd,aRd,el MkMM ⋅+= (18.34) în care: Ed,aM - momentul încovoietor de calcul aplicat secţiunii de oţel;

301

Ed,cM - momentul încovoietor aplicat secţiunii compuse; K - factorul pentru atingerea efortului unitar limită, conform SR EN 1994-1;2; el,cN - forţa de compresiune în placa de beton, corespunzătoare momentului Rd,elM .

Calculul la acţiunea forţei tăietoare

Forţa tăietoare verticală capabilă plastică

Forţa tăietoare verticală capabilă plastică Rd,plV se ia egală cu forţa tăietoare capabilă a

secţiunii de oţel Rd,a,plV , considerând că întreaga forţă tăietoare este preluată de inima profilului metalic (calculul secţiunii mixte la acţiunea forţei tăietoare se face după prevederile din SR EN 1993-2), cu excepţia cazului în care se determină valoarea contribuţiei la forţă tăietoare a componentei de beton armat.

Forţa tăietoare capabilă la flambaj

Forţa tăietoare capabilă la flambaj Rd,bV a inimii de oţel se determină conform SR EN

1993-1-5, punctul 5.

Încovoierea cu forţă tăietoare Este necesar să se ţină seama de influenţa forţei tăietoare asupra momentului capabil

rezistent al grinzii, având în vedere faptul că în dreptul reazemelor intermediare (în cazul grinzilor continue) forţa tăietoare are, în general, valori ridicate, astfel încât inima grinzii metalice nu mai are capacitatea de a participa şi la preluarea momentului încovoietor.

Forţa tăietoare capabilă RdV este indicată de valoarea minimă între Rd,plV şi Rd,bV . În cazul în care forţa tăietoare verticală EdV depăşeşte RdV5.0 , se ţine seama de influenţa forţei tăietoare asupra momentului capabil.

Pentru secţiuni de clasă 1 sau 2, momentul încovoietor rezistent de calcul se va micşora prin evaluarea acestuia cu un efort unitar de calcul redus pe zona ariei de forfecare (figura 18.17), la valoarea: yd

'yd f)1(f ρ−= (18.35)

2

Rd

Ed 1VV2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=ρ

Fig. 18.17

Conectori. Conectarea la lunecare Elementele de legătură sunt solicitate de forţele de lunecare care apar între dală şi grinda metalică, produse de încărcările ce solicită secţiunea compusă oţel-beton. Conectorii de lunecare trebuie să aibă o suficientă capacitate de deformaţie pentru a asigura orice redistribuire a forţelor de lunecare. Conectorii de lunecare ductili sunt conectorii cu suficientă capacitate de deformare care să justifice comportarea ideal plastică a conexiunii în structura considerată.

302

Eficacitatea maximă a grinzilor cu secţiune compusă oţel - beton se obţine atunci când nu există lunecare pe suprafaţa de contact dintre cele două elemente componente – betonul şi componenta metalică. Conlucrarea dintre dală şi grindă se realizează prin aderenţa ce se naşte între cele două elemente în contact (dala de beton şi talpa superioară a grinzii de oţel), pe de o parte, iar pe de altă parte, prin intermediul elementelor de legătură speciale dispuse între cele două materiale componente ale grinzii compuse. La structurile compuse de poduri nu se ţine cont de aderenţa dintre beton şi grinda metalică, deoarece această aderenţă se distruge prin acţiunea dinamică a convoaielor. Astfel, conectorii sunt elemente strict necesare pentru împiedicarea lunecării dintre dala de beton şi structura metalică, făcând ca acestea să conlucreze ca un tot unitar.

Elementele de legătură sunt solicitate de forţele de lunecare ce apar la suprafaţa de contact beton – oţel. Forţele de lunecare sunt influenţate de: acţiunile de scurtă şi de lungă durată, curgerea lentă a betonului, contracţia betonului, diferenţa de temperatură între beton şi oţel.

Pentru prevenirea ridicării dalei de beton, conexiunea va fi dimensionată să reziste la forţa nominală ultimă de tracţiune, perpendicular pe planul grinzii metalice, sau, cel puţin 0,1 din forţa de calcul la forfecare a conectorilor.

Rezistenţa caracteristică (capacitatea portantă caracteristică) a unui conector este egală cu forţa maximă aplicată în direcţia considerată (în cele mai multe cazuri paralelă cu interfaţa oţel-beton) care poate fi suportată de conector până la rupere.

Rezistenţa de calcul (capacitatea portanta de calcul) se obţine din relaţia:

vRkRd /PP γ= (18.36)

unde vγ este coeficientul parţial de siguranţă pentru rezistenţa conectorilor, egal cu 1,25 (sau mai mare, în cazul conectorilor neductili).

La alegerea materialului pentru realizarea conectorilor se va ţine cont de comportamentul cerut pentru aceştia si de metoda de fixare pe elementul de oţel.

În principiu, conectorii ductili sunt definiţi ca fiind conectorii care prezintă o capacitate de deformare suficientă pentru a justifica ipoteza unui comportament plastic ideal al conexiunii. Practic, conectorii care posedă o capacitate de deformare, în valoare caracteristică superioară sau egală cu 6 mm, pot fi consideraţi ca fiind ductili, figura 18.18.

Fig. 18.18

Încercările experimentale arată ca aceasta condiţie este îndeplinită de către conectorii de tip gujon cu cap (tije cilindrice verticale, sudate la bază si prevăzute la partea superioară cu un cap) în condiţiile în care aceştia prezintă o lungime totală de cel puţin 4 ori mai mare decât grosimea tijei, a cărei diametru trebuie sa fie cuprins intre 16 si 22 mm. În EC 4 se definesc conectorii neductili ca fiind cei care nu îndeplinesc condiţiile specificate pentru conectorii ductili, considerând că rezistenţa de calcul la forfecare a unui conector este atinsă înainte ca acesta să aibă posibilitatea să se deformeze suficient. În practică, conectorii de tip tacheţi (din oţel lat, pătrat sau cornier), figura 18.19, pot fi consideraţi ca fiind neductili (rigizi), singura posibilitate de deformare provenind din strivirea betonului cu care tachetul se află în contact. Conectorii de tip gujon pot fi consideraţi ca fiind neductili în măsura în care nu sunt respectate prevederile constructive specificate.

303

Fig. 18.19. Conectori neductili

Pentru conectorii ductili trebuie respectate următoarele condiţii: fu / fy ≥ 1,2 ; alungirea la rupere, măsurată pe o lungime între repere de 5,65 0A ,

( 0A reprezentând aria iniţială a secţiunii transversale) nu trebuie să fie mai mică de 12%.

Cei mai utilizaţi conectori ductili sunt conectorii gujon (dorn), figura 18.20. Dornul este unul din cele mai simple elemente de legătură, care permite fixarea prin sudură

automată, figura 8.20. Datorită bunei comportări în exploatare dar mai ales pentru simplitatea montării lor, care

asigură o mare productivitate, conectorii tip dorn s-au dovedit a fi elementele de legătură preferate în ultimele decenii. Dornul constă dintr-o tijă metalică cilindrică, prevăzută cu un cap care joacă rolul de element de ancorare iar la capătul opus prelucrată sub formă de con (pentru a asigura o sudură penetrată).

Fig. 18.20. Conectori dorn

Conectorii dorn tip Nelson sunt cei mai utilizaţi conectori dorn; aceştia au caracteristicile mecanice şi geometrice (pentru cele mai utilizate tipuri de conectori dorn) prezentate în tabelul 18.1. Forţa de lunecare capabilă de calcul

Forţa de lunecare capabilă de calcul a unui dorn cu cap sudat automat, în conformitate cu EN 14555, se determină ca valoare minimă între:

v

2u

Rd4/df8,0

Pγ

⋅π⋅⋅= (18.37.a)

v

cmck2

RdEfd29,0

Pγ

⋅⋅α⋅= (18.37.b)

304

în care:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=α 1

dh

2,0 sc pentru 4d/h3 sc ≤≤ (18.38.a)

1=α pentru 4d/hsc > (18.38.b) unde: vγ este coeficient parţial de siguranţă. Valoarea indicată în anexa naţională este 1,25; d este diametrul tijei dornului, cuprins între 16 şi 25 mm; fu este rezistenţa la întindere ultimă a dornului (nu mai mare de 500 N/mm2); fck este rezistenţa caracteristică cilindrică a betonului la vârsta considerată; hsc=l2 este înălţimea totală a dornului.

Tabelul 18.1

Oţel Limita de curgere fy [N/mm2]

Rezistenţa ultimă de rupere fu

[N/mm2] fu/fy

Alungirea la rupere [%]

S235 J2G3 min 350 min 450 1,28>1,2 min 15

Dimensiuni [mm]

φ l2 d1 d2 d3 k h 16 50, 75, 100, 125 15,87 31,7 21,0 8,0 7,0 19 75, 80, 100, 125, 150 19,05 31,7 24,0 10,0 9,0 22 90, 100, 125,150,175 22,22 34,9 28,0 10,0 10,0 25 100, 125, 150, 175 25,40 40,9 30,5 12,7 10,0

Numărul elementelor de legătură se determină raportând forţa de lunecare longitudinală totală de la interfaţa oţel-beton, la forţa de lunecare capabilă de calcul a unui dorn.

Rd

ba

PL

n −∑= ; baechiv

bamed

ba IST

L −

−

− ⋅⋅

= (18.39.a, b)

unde: - S – momentul static al dalei echivalate în oţel faţă de centrul de greutate al întregii secţiunii echivalente; - ba− - lungimea pentru care se calculează numărul de conectori;

- bamedT − - forţa tăietoare medie pe lungimea a-b.

Observaţie: Forţa tăietoare se evaluează pe faze de încărcare, respectiv tip de încărcare şi corespunzător se calculează momentul static şi forţa de lunecare, lunecarea totală fiind egală cu suma lunecărilor parţiale.

305

Fazele tehnologice pentru sudarea electrică a conectorilor tip gujon sunt prezentate în figura 18.21.

Fig. 18.21. Sudarea conectorilor

Oţelul beton

Pentru oţelul din care se confecţionează armatura flexibilă se respectă prevederile din EC 2, punctul 3.2. Comportarea armăturilor depinde de următoarele proprietăţi:

limita de curgere caracteristică (fyk sau f0,2k); limita de curgere maximă, reală (fy,max); rezistenţa la rupere (ft); ductilitate ( ukε şi ft/fyk); capacitatea de îndoire; caracteristicile de aderenţă (fR); dimensiunile secţiunii şi toleranţe; rezistenţa la oboseală; sudabilitate; rezistenţa sudurii pentru plase sudate şi carcase.

Tipul de armatură este indicat prin valoarea limitei de elasticitate caracteristică fsk [N/mm2], tabelul 18.2.

Tabelul 18.2

Armătura S 220 S 420 S 500

fsk [N/mm2] 220 420 500

Valoarea maximă a limitei de curgere a armăturilor, prevăzută în EC 2 este: fyk,max = 600 MPa. Limita de curgere reală, fymax, nu trebuie să depăşească 1,3fyk. Armăturile trebuie să aibă o comportare la îndoire stabilită prin standarde de produs şi de încercări, şi prin cerinţele cuprinse în tabelul 18.3. Armătura trebuie sa aibă o ductilitate adecvată, definită ca raport între rezistenţa la rupere şi limita de curgere (ft/fy)k şi alungirea la forţă maximă, ukε , tabelul 18.3.

În tabelul 18.4 sunt exemplificate caracteristicile de suprafaţă şi o comparaţie a proprietăţilor câtorva tipuri de armături (S500, clasele de rezistenţă A, B, C).

306

Tabelul 18.3 Caracteristici/produs Bare şi sârme Plase sudate Clasa de rezistenţă A B C A B C

Fractil[%]

Limita de curgere caracteristică (fyk sau f0,2k), [MPa]

400 - 600 5

k=(ft/fy)k ≥1,05 ≥1,08 ≥1,15 <1,35 ≥1,05 ≥1,08 ≥1,15

<1,35 10

Alungirea la forţă maximă ukε [%] ≥2,5 ≥5,0 ≥7,5 ≥2,5 ≥5,0 ≥7,5 10

Rezistenţa la oboseală pt N=2·106 cicluri de solicitare, cu o limită maximă mai mică decât 0,6·fy

150 100 10

Rezistenţa la forfecare - 0,3 A fyk, unde A este aria sârmei Minim

Factor de profil (aderenţă)

fR

Diametru bare, mm 5-6 6,5-12 >12

0,035 0,04 0,056

min. 5

Tabelul 18.4

Armătura fyk sau f0,2k [MPa] k=(ft/fy)k ukε [%]

S500A

500 1,05 2,5

S500B

500 1,08 5

S500C

500 >1,15 ≤ 1,30 7,5

Proprietăţile privind sudabilitatea armăturilor, metodele de sudare şi exemple de aplicare,

conform EN 10080, sunt date în tabelul 18.5. Pentru modulul de elasticitate longitudinal Es, conform EC 4, punctul 3.2.2, se poate lua

simplificat valoarea pentru oţelul structural, adică 210 kN/mm², diferită de cea prevăzuta în EC 2, de 200 kN/mm².

Valoarea coeficientului de dilatare termică liniară αT, poate fi luată simplificat de 12 x 10-6/°C. Valoarea medie a densităţii materialului se consideră egală cu 7850 kg/m3. Proiectarea se face utilizând aria nominală a secţiunii transversale a armăturii.

307

Tabelul 18.5

Cazul de încărcare Metoda de sudare Bare întinse1) Bare comprimate1)

Sudare cap la cap prin topire intermediară

Îmbinare cap la cap

Sudare cu arc electric cu electrod învelit şi sudare cu arc electric cu sârmă tubulară fără gaz protector

Îmbinare cap la cap pentru Ø ≥ 20 mm, prin suprapunere, prin încrucişare3), cu armăturile din alte elemente

Sudare cu arc electric în mediu de gaz protector cu electrod fuzibil

Îmbinare cu eclise, prin suprapunere, prin încrucişare3), cu armăturile din alte elemente

Sudare prin frecare -

Îmbinare cap la cap pentru Ø ≥ 20 mm

Predominant static

Sudare electrică prin presiune în puncte

Îmbinare cap la cap cu armăturile din alte elemente

Sudare cap la cap prin topire intermediară

Îmbinare prin suprapunere2),4) Îmbinare prin încrucişare2),4)

Sudare cu arc electric cu electrod învelit -

Îmbinare cap la cap pentru Ø ≥ 14 mm

Nepredominant static

Sudare cu arc electric în mediu de gaz protector cu electrod fuzibil

- Îmbinare cap la cap pentru Ø ≥ 14 mm

1) bare având acelaşi diametru nominal 2) raport admis pentru diametre diferite ≥ 0,57 3) pentru îmbinări de rezistenţă Ø ≤ 16 mm 4) pentru îmbinări în zona reazemelor Ø ≤ 28 mm

Betonul

Cu toate că betonul este un material puternic eterogen, se acceptă ipoteza privind comportarea mecanică corespunzătoare unui material omogen. Rezistenţele betonului, funcţie de clasa acestuia, sunt date în tabelul 18.6. Conform EC 4-2, pentru structurile compuse se recomandă beton cu clasa cuprinsă între C20/25 şi C60/75. În notarea clasei de beton (de exemplu C30/37) primul număr reprezintă rezistenţa pe cilindru în MPa, iar al doilea număr reprezintă rezistenţa pe cub corespunzătoare.

Semnificaţia notaţiilor folosite in tabelul 18.6 este:

fck - rezistenţa caracteristică a betonului la compresiune pe cilindrii Ø150xH300 mm, determinată la 28 zile; fck, cube - rezistenţa caracteristică a betonului la compresiune pe cuburi cu latura de 150 mm, determinată la 28 zile; fcm - rezistenţa medie a betonului la compresiune, determinată la 28 zile; fctm - rezistenţa medie la tracţiune; fctk 0,05 - rezistenţa caracteristică la tracţiune cu risc de 5%; fctk 0,95 - rezistenţa caracteristică la tracţiune cu risc de 95%;

308

Tabelul 18.6

Clase de rezistenţă pentru beton 20/25 25/30 30/37 35/45 40/50 45/55 50/60 55/67 60/75

1 fck (MPa) 20 25 30 35 40 45 50 55 60

2 fck, cube (MPa) 25 30 37 45 50 55 60 67 75

3 fcm (MPa) 28 33 38 43 48 53 58 63 68

4 fctm (MPa) 2,2 2,6 2,9 3,2 3,5 3,8 4,1 4,2 4,4

5 fctk;0,05 (MPa) 1,5 1,8 2,0 2,2 2,5 2,7 2,9 3,0 3,1

6 fctk;0,95 (MPa) 2,9 3,3 3,8 4,2 4,6 4,9 5,3 5,5 5,7

7 Ecm (GPa) 30 31 32 34 35 36 37 38 39

8 clε (‰) 2,0 2,1 2,2 2,25 2,3 2,4 2,45 2,5 2,6

9 culε (‰) 3,5 3,2 3,0

10 2cε (‰) 2,0 2,2 2,3

11 2cuε (‰) 3,5 3,1 2,9 12 n 2,0 1,75 1,6 13 3cε (‰) 1,75 1,8 1,9

14 3cuε (‰) 3,5 3,1 2,9

M

Poduri compuse oţel-beton în faza de execuţie-montaj

309

19. ELEMENTE REALIZATE DIN PROFILE TUBULARE UMPLUTE CU BETON

19.1. Introducere

Combinarea oţelului şi a betonului într-un sistem structural unitar sub formă constructivă de elemente cu secţiune mixtă realizate din profile metalice tubulare umplute cu beton, are o largă aplicare actuală în domeniul construcţiilor civile, industriale şi în cel al podurilor de cale ferată şi de şosea.

Elementele cu secţiune mixtă oţel-beton, solicitate preponderent la compresiune, se pot realiza în următoarele variante constructive, figura 19.1:

• Elemente din profile metalice înglobate integral în beton (fig.19.1: a, b, c); • Elemente din profile metalice înglobate parţial în beton (fig. 19.1: d, e) ; • Elemente din profile metalice tubulare umplute cu beton (fig.19.1: f, g, h, i).

Fig.19.1

Elementele realizate din profile metalice tubulare, rectangulare sau circulare, umplute cu beton, se pot utiliza atunci când trebuie să preia sarcini deosebit de importante, cum ar fi în următoarele cazuri:

- piloni pentru poduri hobanate şi suspendate, figura 19.2;

Fig.19.2

310

- arce cu deschidere mare, figura 19.3;

Fig.19.3. Arce cu secţiune compusă

- piloţi de fundaţii, figura 19.4;

b)

A - radier; B - armătură; C - bare sudate; D - conectori

Fig. 19.4. a) fundaţie pod pe piloţi; b); c) radiere pe piloţi

Avantajele elementelor cu secţiune compusă

Principalele avantaje asociate utilizării elementelor cu secţiune compusă oţel-beton sunt următoarele:

- capacitate portantă ridicată obţinută cu o secţiune transversală redusă, cu consecinţe economice favorabile privind consumul de materiale; - îmbinări simple cu alte elemente, de tipul celor utilizate la structurile integral metalice; - posibilitatea dezvoltării unor deformaţii plastice, respectiv comportarea ductilă a

structurii; - reducerea riscului de pierdere a stabilităţii locale (voalare) a pereţilor metalici; - fabricare simplă şi durată redusă de execuţie.

311

În cazul elementelor realizate din profile metalice tubulare umplute cu beton, se adaugă câteva avantaje suplimentare faţă de cele menţionate şi anume:

- oţelul este amplasat în secţiune în zonele favorabile din punct de vedere a comportării mecanice a elementului, respectiv spre exteriorul secţiunii, acolo unde şi eforturile unitare sunt maxime;

- betonul lucrează cu rezistenţă sporită datorită efectului de fretare (confinare) oferit de structura tubulară de oţel;

- tubul de oţel îndeplineşte funcţiunea de cofraj la turnarea betonului; - oţelul nu corodează în interiorul tubului, fiind protejat de beton;

- în cazul pilonilor de poduri, betonul din interiorul tubului metalic măreşte rigiditatea acestuia la acţiunea plutitorilor sau la lovirea accidentală de către vehicule. 19.2. Calculul elementelor din profile metalice umplute cu beton 19.2.1. Aspecte generale. Ipoteze de calcul In cazul elementelor compuse (compozite) comprimate se verifică în fiecare secţiune capacităţile de:

• rezistenţa elementului; • rezistenţa la flambaj local (voalare); • transferul încărcărilor; • rezistenţa la lunecare între componentele de oţel şi beton.

Calculul prezentat în EC 4 se aplică elementelor compozite comprimate din oţel de marcă S 235 până la S 420 şi beton de densitate normală şi clasă de rezistenţă C 20/25 până la C 50/60. Eurocode 4 propune două metode de dimensionare a elementelor cu secţiune compusă oţel – beton solicitate la compresiune: Metoda generală, care presupune includerea în calcule a efectelor de ordinul II, a imperfecţiunilor geometrice, a tensiunilor reziduale, a comportamentului neliniar al materialelor şi a diminuării rigidităţii datorită zonelor plastifiate şi fisurate. Metoda generală include domeniul elementelor cu secţiuni nesimetrice şi neuniforme pe lungimea stâlpului. Această metodă nu are aplicabilitate curentă în practica de proiectare şi nu este dezvoltată nici în EC 4. Metoda simplificată, detaliată în EC 4, care permite o dimensionare relativ rapidă a elementelor cu secţiune compusă, şi se aplică luând în considerare curbele de flambaj pentru stâlpii metalici, cuprinse în EC 3.

Metoda simplificată se aplică la elementele având secţiunea transversală dublu simetrică şi constantă pe lungimea elementului, cu componenta metalică realizată din profile laminate sau secţiuni realizate prin asamblare sudată.

Metoda simplificată nu se aplică dacă elementul de oţel este realizat din două sau mai multe secţiuni neconectate. În acest capitol se prezintă metoda simplificată de calcul a elementelor cu secţiune compusă realizate din profile tubulare umplute cu beton, solicitate la compresiune axială şi la compresiune excentrică ( compresiune cu încovoiere monoaxială ). Calculul elementelor realizate din profile metalice tubulare umplute cu beton şi a celor cu secţiune casetată compusă oţel-beton, în conformitate cu normativul EC 4 are la bază următoarele ipotezele de calcul:

- există o interacţiune completă între oţel şi beton; - sunt luate în considerare imperfecţiunile geometrice şi structurale; - secţiunile plane rămân plane şi după deformare; - relaţiile tensiuni-deformaţii ale celor două materiale trebuie considerate cele

corespunzătoare analizei efectuate.

312

De asemenea trebuie îndeplinite condiţiile pentru a nu se produce voalarea locală a pereţilor metalici şi trebuie asigurată conlucrarea între oţel şi beton. În figura 19.5 se prezintă sistemul de axe şi principalele caracteristici geometrice ale secţiunilor transversale, pentru elementele realizate din tuburi metalice umplute cu beton.

Fig. 19.5

19.2.2. Calculul elementelor cu secţiune compusă tubulară

Compresiune axială Capacitatea portantă a elementelor compuse solicitate la compresiune axială se verifică cu

relaţia: Rd.plEd NN ⋅χ≤ (19.1)

unde: Npl.Rd – rezistenţa plastică la compresiune a secţiunii mixte: sdscdcydaRd.pl fAfAfAN ++= (19.2.a)

sau: s

sks

c

ckc

a

yaRd.pl

fA

fA

fAN

γ+

γ+

γ= (19.2.b)

cu: - Aa; Ac; As – ariile secţiunilor transversale ale oţelului, betonului şi armăturii; - fyd; fcd; fsd – rezistenţele de calcul ale oţelului, betonului şi armăturii - fy; fck; fsk – rezistenţele caracteristice ale oţelului, betonului şi armăturii; - γa ; γc ; γs – coeficienţii parţiali de siguranţă în metoda stărilor limită. Coeficientul de reducere (flambaj), χ , se determină în funcţie de coeficientul de zvelteţe

adimensional −λ şi de curba de flambaj corespunzătoare.

Rigiditatea elastică a secţiunii mixte: ( ) ssccmaae IEIE6.0IEEI ++= (19.3)

Ia ; Ic ; Is – momentele de inerţie pentru planul de încovoiere considerat al oţelului, betonului şi armăturii. Ea ; Es – modulele de elasticitate pentru oţel şi armătură; Ecm – modulul de elasticitate secant al betonului. Zvelteţea adimensională se determină cu relaţia:

cr

Rk.pl

NN

=λ−

(19.4)

unde: Rd.plRk.pl NN = - calculat pentru 1sca =γ=γ=γ :

sksckcyaRk.pl fAfAfAN ++= ; ( )2

e2

crlEI

Nπ

= (19.5.a, b)

În cazul profilelor metalice circulare (ţevi) umplute cu beton, dacă sunt îndeplinite condiţiile:

313

10desau5.0

_<<λ ;

Ed

max.EdN

Me = (19.6)

capacitatea portantă plastică la compresiune se evaluează, ţinând cont de efectul de confinare a betonului datorită tubului metalic, cu relaţia:

ssks

ck

yc

c

ckc

ayaaRd.pl

1fAff

dt1

fA1fAN

γ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛η+

γ+

γη= (19.7)

unde:

( )d

e101 aoaoa η−+η=η cu: 12325.0_

ao ≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λ+=η (19.8.a)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −η=η

de101coc cu: 0175.189.4

2__

co ≥λ+λ−=η (19.8.b)

Dacă ca

_;valorile,

10desau5.0 ηη>>λ se iau 1, respectiv 0.

Influenţa încărcării de lungă durată (contracţia şi curgerea lentă a betonului ) asupra capacităţii portante se ia în considerare reducând valoarea modulului de elasticitate al betonului Ecm la Ec ,evaluat cu relaţia:

tEdEd.G

cmc )N/N(11EE

ϕ+= (19.9)

Ed.GN - fracţiunea permanentă din încărcare totală NEd

ϕt - coeficientul de curgere lentă (conform EC 2): ( )Ed0

oEqp0t,t M

M∞ϕ=ϕ

- M0Eqp – momentul de ordinul I din încărcarea cvasi-permanentă; - M0Ed - momentul de ordinul I de calcul.

Rd.pl

yda

Rd.pl

aya

NfA

N/fA ⋅

=γ⋅

=δ - indicele de contribuţie a oţelului (19.10)

Compresiune cu încovoiere ( compresiune excentrică )

Analog elementelor integral metalice, se defineşte o relaţie de interacţiune M-N şi în cazul

elementelor cu secţiune compusă. Curba de interacţiune, figura 19.6, se determină considerând diferite poziţii ale axei neutre

în secţiunea transversală şi calculând efectele eforturilor interne, conform figurii 19.7. Punctele caracteristice ale curbei de interacţiune, M-N au coordonatele în funcţie de forţele

axiale şi momentele încovoietoare Npl.Rd ; Npm.Rd ; Mpl.Rd ; Mmax.Rd .

Fig. 19.6

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

⋅=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

γ⋅==

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

Rd.maxD

Rd.pmD

Rd.plc

c

ckcRd.pmC

Rd.plB

B

A

Rd.plA

MM

N5.0N:D

MM

fANN

:C

MM0N

:B

0M

NN:A

314

Fig.19.7

Pentru calculul coordonatelor punctelor A, B, C, D se folosesc relaţiile:

s

skps

c

ckpc

a

ypaRd.max

fW

f21W

fWM

γ+

γ+

γ= (19.11.a)

Rd.nRd.maxRd.pl MMM −= (19.11.b)

s

skn.ps

c

ckn.pc

a

yn.paRd.n

fW

f21W

fWM

γ+

γ+

γ= (19.11.c)

unde: Wpa ; Wpc ; Wps – modulele de rezistenţă ale oţelului, betonului şi armăturii din întreaga

secţiune transversală a elementului;

315

Wpa.n ; Wpc.n ; Wps.n – modulele de rezistenţă ale oţelului, betonului şi armăturii din porţiunea de înălţime 2 hn a secţiunii transversale a elementului.

Prezenţa forţei tăietoare VEd poate modifica capacitatea portantă la încovoiere a secţiunii, atunci când VEd > 0.5 Vpl.a.Rd .

Poziţia axei neutre se poate determina din figura 19.8, făcând diferenţa diagramelor C-B din figura 19.7, cu relaţiile:

Fig. 19.8

secţiuni rectangulare:

)ff2(t4bf2N

hcdydcd

Rd.pmn −+

= (19.12.a)

secţiuni circulare:

)ff2(t4df2N

hcdydcd

Rd.pmn −+

= (19.12.b)

În cazul ţevilor circulare umplute cu beton, dacă sunt îndeplinite condiţiile de confinare:

10desau5.0

_<<λ

în relaţiile (19.11.a,b,c) şi Npm.Rd, rezistenţa de calcul a betonului c

ckcd

ff

γ= , se înlocuieşte cu

valoarea majorată prin efectul de confinare:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛η+

γ ck

yc

c

ck

ff

dt1

f (19.13)

Efectele de ordinul II asupra unui element izolat pot fi luate în considerare aplicând un coeficient de corecţie k celui mai mare moment de calcul, determinat prin calcul de ordinul I, unde:

eff.cr

Ed

NN

1k

−

β= (19.14)

in care, tabelul 19.1: β = 0.66+0.44 r ≥ 0.44; β = 1 – dacă există încărcări transversale pe lungimea elementului; r – raportul momentelor de la extremităţile stâlpului.

Tabelul 19.1 Diagrama de moment Factorul de moment Observaţii

Momente încovoietoare de ordinul I din imperfecţiuni sau

din încărcări laterale 0.1=β

MEd este momentul încovoietor maxim pe lungimea

elementului, ignorând efectele de ordinul II

Momente de capăt: r44.066.0 +=β ,

44.0≥β

MEd şi r⋅MEd sunt momentele la capete din analiza globală de

ordinul I sau II

Pentru determinarea eforturilor în calculul de ordinul II, rigiditatea la încovoiere a stâlpului se va evalua cu relaţia:

316

( ) )IEIE5.0IE(9.0EI ssccmaaII.eff ++= (19.15)

Capacitatea portantă la compresiune excentrică

Pentru determinarea capacităţii portante la compresiune cu încovoiere se utilizează încărcarea de flambaj şi se trasează curba de interacţiune χ−μ , a secţiunii transversale, figura 19.9.

Fig. 19.9

Pentru trasarea curbei de interacţiune intervin următorii parametri:

• ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λχ=χ−

- coeficientul de flambaj

pentru cazul de compresiune centrică;

Pentru elemente cu secţiune

transversală constantă (elemente uniforme), solicitate la compresiune axială constantă, valoarea coeficientului de reducere χ se determină în funcţie de coeficientul de

zvelteţe redus λ , (în conformitate cu normativul EC 3), cu relaţia:

22

1

λ−φ+φ=χ ; 1≤χ (19.16)

în care: ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ λ+−λα+=φ

22,015,0 ; α - factor de imperfecţiune, tabelul 19.2.

Tabelul 19.2 Curba de flambaj a b c

Factor de imperfecţiune 0,21 0,34 0,49 Încadrarea secţiunii în curba de flambaj corespunzătoare este prezentată în tabelul 19.3.

Tabelul 19.3

Secţiune Axa de flambaj Curba de flambaj Imperfecţiune geometrică

Oricare a

%3s ≤ρ L/300

Oricare b

%6%3 s ≤ρ< L/200

y-y; z-z b L/200

317

• Rd.pl

Edd N

N=χ ;

Rd.pl

Rd.pmpm N

N=χ ;

pm

dd 1

1χ−χ−

=μ (19.17.a;b;c)

Observaţie: Pentru pmd χ<χ , se va lua 1d =μ

Relaţia de verificare la încovoiere a elementului cu secţiune compusă este:

MRd.pld

Ed

Rd.N.pl

Ed

MM

MM

α≤μ

= (19.18)

în care: • MEd – valoarea maximă a momentelor de la extremităţi şi de pe lungimea elementului,

incluzând dacă este cazul imperfecţiunile şi efectele de ordinul II;

• ⎩⎨⎧

−−

=α460S;420Sotel8.0355S;235Sotel9.0

M

În final condiţiile de verificare la compresiune excentrică a elementului sunt:

1NN

Rd.pl

Ed <⋅χ

; MRd.pld

Ed

MM

α≤μ

(19.19.a,b)

19.2.3. Limitele aplicării metodei simplificate

• secţiunea transversală să fie uniformă şi să prezinte dublă simetrie;

• 9.0N

/fA2.0

Rd.pl

aya ≤γ⋅

=δ≤ (19.20.a)

• 2_

≤λ (19.20.b) • %6A/A

css <=δ (19.20.c) Pentru a nu se produce voalarea peretelui metalic, trebuie îndeplinite condiţiile:

y

2

f235;90

td

=εε≤ - ţevi circulare (19.20.d)

yf235;52

th

=εε⋅≤ - tuburi rectangulare (19.20.e)

19.3. Acţiunea forţei tăietoare Se admite, în modul simplificat de calcul, că forţa tăietoare de calcul VEd, este preluată

numai de partea metalică a secţiunii elementului, dacă nu este depăşită capacitatea de rezistenţă a acesteia.

Rezistenţa la forfecare a secţiunii metalice a elementului se calculează cu relaţia: 3/fAV ydvRd.pl ⋅= (19.21)

Av – aria de forfecare a oţelului structural, determinată astfel:

• profile rectangulare:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−+

−+=

bcuparalelVhb

bA

hcuparalelVhb

hAA

a

a

v

• profile circulare: π

⋅= a

vA2

A

318

• secţiuni alcătuite sudat: ⎩⎨⎧

−−

=bcuparalelVbt2hcuparalelVht2

A2

1v

Influenţa forţei tăietoare asupra capacităţii de rezistenţă la încovoiere cu forţă axială a

stâlpului se ia în considerare dacă este îndeplinită condiţia: Rd.a.plEd V5.0V ⋅> (19.22)

În acest caz efortul de calcul pe zona ariei de forfecare se va reduce la valoarea: yd

ryd f)1(f ρ−= (19.23)

unde: 2

Rd.pl

Ed 1V

V2⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=ρ

Diagramele din figura 19.7 B şi C, respectiv din fig. 19.8, devin cele prezentate în fig. 19.10. Din ecuaţia de proiecţie pe orizontală rezultă mărimea zonei neutre, dată de valorile:

)ff2(t4bf2

Nh

cdydr

cd

Rd.pmn

r

−+= - secţiuni rectangulare (19.24.a)

)ff2(t4df2

Nh

cdydr

cd

Rd.pmn

r

−+= - secţiuni circulare (19.24.b)

Aceste valori sunt mai mari decât valorile obţinute din relaţiile (19.12.a,b), prin urmare forţa tăietoare sporeşte zona inactivă a secţiunii cu valoarea:

)hh(b2A rnn −=Δ (19.25)

Momentul plastic rezistent se va reduce la valoarea:

Rd.plr

Rd.nRd.maxr

Rd.pl MMMM <−= (19.26)

Fig. 19.10

19.4. Exemplu numeric Se verifică, în conformitate cu EC 4, elementul cu secţiune compusă oţel-beton, figura E.1, realizat în varianta constructivă de ţeavă circulară umplută cu beton [18].

319

Date de proiectare

Secţiunea elementului şi solicitările de calcul:

Fig. E.1

Caracteristicile componentelor secţiunii

Profil metalic: Ţeavă circulară 325 × 8 mm - oţel S 355

- fy =355 N/mm2 - Ea = 210 000 N/mm2 - γa =1.1

- Aa =79.7 cm2 - Ia =10 014 cm4 - Wpa = 804.08 cm3

Beton: Clasa C 25/30 fck = 25 N/mm2 Ecm = 30 500 N/mm2 γc =1.5; 2

c cm750A =

44

S

4c

c cm14543606164

9.30I64d

I =−⋅π

=−π

=

33

ps

3c

pc cm746417169.30W

6d

W =−=−=

Armătura: Otel S 500 ( PC 52 ) 8 φ 20: As=25.12 cm2 ; γs=1.15 Es=210 000 N/mm2 6061)eA2eA(2I 2

2s1s21s1ss =⋅+⋅= cm4

=psW 171)eA2eA(2 2s1s1s1s =⋅+⋅ cm3

Verificarea condiţiilor de aplicare a metodei de calcul

Se calculează Npl.Rd : daN66449115.1

500012.255.1

2507501.1

35507.79N Rd.pl =++=

Aafy / γa=79.7⋅3550 / 1.1= 257 214 daN

• 0.2<δ=2572/4916=0.52<0.9; 2957.0_

<=λ • As = 25.12 cm2< 0.06⋅Ac=45 cm2 • d / t = 325/8 = 40.625< max(d/t)= 90 (235/355)=59.6

Verificarea elementului

Rigiditatea elastică a elementului:

320

( ) ( )

26

666ye

cmdaN1029832

1016061.21014543305.06.010014101.2EIEI

⋅⋅=

=⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅==

Se calculează Npl.Rk : daN035596500012.2525075035507.79N Rk.pl =⋅+⋅+⋅= Forţa critică de cedare :

( )

daN54865010007.0

1029832N2

62

cr =⋅

⋅⋅π=

Zvelteţea adimensională _λ :

2957.0548650035596_

<==λ ; ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ λ+−λα+=φ

22,015,0 =1.03; α =0.21 - curba a

22

1

λ−φ+φ=χ =0.708

Deoarece 5.0_

>λ nu se ţine cont de efectul de confinare a betonului.

Verificarea la compresiune centrică:

172.09174708.0

5002NN

Rd.pl

Ed <=⋅

=⋅χ

Compresiune cu încovoiere

Deoarece 68.1)1/(8.0957.0_

=δ−<=λ se poate neglija influenţa încărcării de lungă durată.

Pentru verificarea efectelor de ordinul II se calculează factorul de amplificare a momentului încovoietor de ordinul I:

r = 0; 66.0r44.066.0 =+=β

eff.cr

Ed

NN

1k

−

β= = 19.1

561625001

66.0=

−; daN600561

7001027883

lEI

N2

62

2II.eff

2

eff.cr =⋅π

=π

=

266II.eff cmdaN102788310)16061.243145305.05.0100141.2(9.0EI ⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅=

mkN11910019.1MkM EdEd ⋅=⋅=⋅= Curba de interacţiune

Capacitatea portantă a betonului:

daN0001255.1

250750f

ANc

ckcRd.pm =⋅=

γ⋅=

Poziţia axei neutre (neglijând contribuţia armăturii din axa neutră) :

cm04.4)16732272(8.041675.322

000125)ff2(t4df2

Nh

cdydcd

Rd.pmn =

−⋅⋅+⋅⋅=

−+=

Modulele de rezistenţă plastice pentru porţiunea de înălţime 2 hn din secţiune: - oţel:

322nn.pa cm1.2604.48.02ht2W =⋅⋅=⋅=

- beton: 322

ncn.pc cm3.50404.49.30hdW =⋅=⋅=

321

- armătură: Wps.n=0 - nu există armătură pe zona 2 hn. Momentele capabile caracteristice :

kNm43.37310)15.1

50001715.1

25047465.01.1

3550804(M 4Rd.max =+⋅+= −

kNm6.1210)5.1

2503.5045.01.1

35501.26(M 4Rd.n =⋅+= −

mkN8.36063.1243.373M Rd.pl ⋅=−=

Coordonatele punctelor curbei de interacţiune, în N [kN] şi M [kN⋅m] sunt următoarele: A ( 4 917; 0 ); B (0; 360.8); C (1252.5; 360.8 ); D (626.25; 373.43 ). Curba de interacţiune este trasată în fig. E.2. Fig. E.2

Pentru a efectua verificarea la compresiune excentrică se calculează coeficienţii adimensionali:

508.091745002

NN

Rd.pl

Sdd ===χ ;

255.04917

5.1252NN

Rd.pl

Rd.pmpm ===χ ;

66.0255.01508.01

11

pm

dd =

−−

=χ−χ−

=μ

Diagrama χ−μ este prezentată în figura E.3.

Fig. E.3

Valoarea momentului capabil al elementului este: mkN3.2148.36066.09.0MM Rd.pldMcap ⋅=⋅⋅=⋅μ⋅α= > mkN119MkM EdEd ⋅=⋅= Prin urmare sunt verificate condiţiile:

172.0NN

Rd.pl

Ed <=⋅χ

; 9.050.0M

MM

Rd.pld

Ed =α<=⋅μ

322

20. ÎMBINAREA ELEMENTELOR METALICE 20.1. Îmbinări cu nituri şi şuruburi Date generale Proiectarea îmbinărilor cu nituri şi şuruburi se realizează în conformitate cu normativul EN 1993-1-8: 2005, respectiv norma română echivalentă SR EN 1993-1-8: 2006. Coeficienţii parţiali de siguranţă Mγ sunt prezentaţi în tabelul 20.1.

Tabelul 20.1

VERIFICARE Coeficient parţial de siguranţă Mγ

Valoare

Mγ

0Mγ 1.00

1Mγ 1.10 Rezistenţa elementelor şi a secţiunilor

2Mγ 1.25 Rezistenţa şuruburilor Rezistenţa niturilor Rezistenţa bolţurilor Rezistenţa sudurilor Rezistenţa plăcilor la presiune pe gaură

2Mγ

1.25

Rezistenţa la lunecare - la starea limită ultimă (categoria C) - la starea limită de exploatare(categoria B)

3Mγ

ser.3Mγ 1.25 1.10

Rezistenţa la presiune pe gaură a şuruburilor injectate 4Mγ 1.00 Rezistenţa nodurilor grinzilor cu zăbrele din ţevi 5Mγ 1.00

Rezistenţa bolţurilor la starea limită a exploatării normale ser.6Mγ 1.00 Pretensionarea şuruburilor de înaltă rezistenţă 7Mγ 1.10 În tabelul 20.2 sunt prezentate valorile nominale pentru limita de curgere ybf şi rezistenţa la rupere ubf a şuruburilor. Pentru îmbinări cu şuruburi pretensionate se vor folosi numai şuruburi clasa (grupa) 8.8 şi clasa 10.9.

Tabelul 20.2 Clasa şurub 4.6 4.8 5.6 5.8 6.8 8.8 10.9

ybf (N/mm2) 240 320 300 400 480 640 900

ubf (N/mm2) 400 400 500 500 600 800 1000

Observaţie: În conformitate cu unele materiale tehnice mai recente, în categoria şuruburilor pretensionate a fost inclusă şi clasa 12.9. În tabelul 20.3 sunt prezentate ariile nete (în zona filetului) şi ariile brute ale şuruburilor.

323

Tabelul 20.3 Diametrul şurubului la filet [mm] Şuruburi brute şi păsuite

M12 M14 M16 M18 M20 M22 M24 M27 Diametrul găurii [mm] 13 15 17 19 21 23 25 28

Netă 0,762 0,989 1,44 1,65 2,25 2,82 3,24 4,27 Şurub brut 1,13 1,54 2,01 2,54 3,14 3,80 4,52 5,73 Aria

[cm2]

Brută (zona nefile-tată)

Şurub păsuit 1,33 1,77 2,27 2,84 3,46 4,15 4,91 6,16

SIRP M16 M20 M22 M24 M27 M30 Aria netă [cm2] 1,57 2,45 3,02 3,50 4,59 5,61

Categorii de îmbinări cu şuruburi Îmbinări solicitate la forfecare Îmbinările cu şuruburi solicitate la forfecare sunt proiectate în unul din următoarele moduri: Categoria A: Îmbinări care lucrează la forfecare În această categorie se utilizează şuruburi din grupele de calitate 4.6 până la 10.9 inclusiv. Nu este necesară pretensionarea şuruburilor sau condiţii speciale pentru pregătirea suprafeţelor de contact. Categoria B: Îmbinări rezistente la lunecare în starea limită a exploatării normale În această categorie se utilizează şuruburi pretensionate. Lunecarea nu trebuie să se producă în starea limită de exploatare normală. Forţa de forfecare de calcul la starea limită de exploatare normală nu trebuie să depăşească rezistenţa de calcul la lunecare. Forţa de forfecare ultimă de calcul nu trebuie să depăşească rezistenţa de calcul la forfecare şi nici forţa capabilă la presiune pe gaură. Categoria C: Îmbinări rezistente la lunecare la starea limită ultimă În această categorie se utilizează şuruburi la care lunecarea nu trebuie să se producă la starea limită ultimă. Forţa de forfecare de calcul ultimă nu trebuie să depăşească rezistenţa de calcul la lunecare şi nici rezistenţa la presiune pe gaură. Pentru îmbinările care sunt supuse la întindere, se verifică suplimentar rezistenţa plastică de calcul în secţiunea netă la găurile pentru şuruburi Nnet,Rd , la starea limită ultimă. Îmbinări solicitate la întindere Îmbinările cu şuruburi solicitate la întindere se calculează în unul din următoarele moduri: Categoria D: nepretensionate În această categorie se utilizează şuruburi din grupele de calitate 4.6 până la 10.9 inclusiv. Nu este necesară pretensionarea şuruburilor. Această categorie nu trebuie utilizată pentru îmbinările care sunt supuse frecvent unor variaţii ale forţei de întindere.

324

Categoria E: pretensionate În această categorie se utilizează şuruburile din clasele de calitate 8.8 şi 10.9 cu strângere controlată conform Standarde de referinţă: Grupa 7. Verificările de calcul pentru îmbinări sunt prezentate în tabelul 20.4.

Tabelul 20.4 Categ-oria Precizări Criterii Observaţii

ÎMBINĂRI SOLICITATE LA FORFECARE

A lucrează la forfecare Rd.vEd.v FF ≤

Rd.bEd.v FF ≤ Nu este necesară pretensionarea. Se pot utiliza grupele de şuruburi 4.6 – 10.9.

B lunecare împiedicată la starea limită de exploatare normală

ser.Rd.sser.Ed.v FF ≤

Rd.vEd.v FF ≤

Rd.bEd.v FF ≤ Utilizate şuruburi pretensionate grupele 8.8 şi 10.9.

C lunecare împiedicată la starea limită ultimă

Rd.vEd.v FF ≤

Rd.bEd.v FF ≤

Rd.netEd.v NF ≤

Utilizate şuruburi pretensionate grupele 8.8 şi 10.9. Se verifică Nnet.Rd.

ÎMBINĂRI SOLICITATE LA ÎNTINDERE

D nepretensionate Rd.tEd.t FF ≤

Rd.pEd.t BF ≤ Nu este necesară pretensionarea. Se pot utiliza grupele de şuruburi 4.6 – 10.9.

E pretensionate Rd.tEd.t FF ≤

Rd.pEd.t BF ≤ Utilizate şuruburi pretensionate grupele 8.8 şi 10.9.

Poziţionarea găurilor pentru şuruburi şi nituri Distanţele minime şi maxime între găuri şi distanţele de la centrul găurii până la marginea piesei pe direcţia efortului şi perpendicular pe direcţia efortului pentru şuruburi şi nituri sunt prezentate în tabelul 20.5. Notarea distanţelor este prezentată în figura 20.1.

325

Fig. 20.1

Tabelul 20.5 Maxime

Structuri executate din oţeluri cf. EN 10025, cu excepţia EN 10025-5

Structuri din oţel cf. EN 10025-5

Distanţe Minime Oţeluri supuse condiţiilor

atmosferice sau altor factori corozivi

Oţeluri nesupuse condiţiilor

atmosferice sau altor factori corozivi

Oţel neprotejat

1e od2.1 )d5.1( o

mm40t4 + Cea mai mare

valoare dintre 8t sau 125 mm

2e od2.1 )d5.1( o

mm40t4 + Cea mai mare

valoare dintre 8t sau 125 mm

3e od5.1

4e od5.1

1p od2.2 )d5.2( o

Cea mai mică valoare dintre

14t sau 200 mm


14t sau 200 mm


14t sau 175 mm

0.1p Cea mai mică valoare dintre

14t sau 200 mm

i.1p Cea mai mică valoare dintre

28t sau 400 mm

2p od4.2 )d5.2( o


14t sau 200 mm


14t sau 200 mm


14t sau 175 mm Notă: 1. Valorile din paranteză se referă la elemente solicitate la oboseală 2. t – grosimea cea mai mică a elementelor exterioare îmbinate Rezistenţele de calcul a dispozitivelor de fixare individuale Rezistenţele de calcul a dispozitivelor de fixare individuale (şuruburi şi nituri) sunt prezentate în tabelul 20.6. Pentru îmbinările cu un singur plan de forfecare şi un singur rând de şuruburi, şuruburile vor fi prevăzute cu şaibe atât sub piuliţă cât şi sub capul şurubului. Forţa capabilă la presiune pe gaură pentru fiecare şurub este limitată la: 2MuRd.b /tdf5.1F γ= (20.1) La îmbinările cu nituri sau cu şuruburi solicitate la forfecare care sunt prevăzute cu plăci de compensare cu o grosime totală tp mai mare decât o treime din diametrul nominal d, figura 20.2, forţa capabilă la forfecare Fv.Rd se va multiplica cu un factor de reducere pβ , calculat cu relaţia:

1;t3d8

d9p

pp ≤β

+=β (20.2)

326

Tabelul 20.6 Mod de cedare Şuruburi Nituri

Forţa capabilă la forfecare

pentru un plan de forfecare

2M

ubvRd.v

AfF

γα

=

unde:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

−=

=

nefiletatazonaprintreceforfecaredeplanuldacasurubuluitijeiabrutaariaA

filetatazonaprintreceforfecaredeplanuldacafiletatazonainnetaariaA

Ab

s

⎩⎨⎧

−−

=α9.10,8.6,8.5,8.4grupelepentru5.0

8.8,6.5,6.4grupelepentru6.0v

2M

0urRd.v

Af6.0F

γ=

Pentru oţel S235:

fur=400 N/mm2

Forţa capabilă la presiune pe gaură

2M

ub1Rd.b

tdfkF

γα

=

unde:

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ −

−⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ −

=

erioareintsuruburipentru5.2

7.1dp4.1

.min

ineargmdesuruburipentru5.2

7.1de8.2

.min

k

0

2

0

2

1

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−−

−

=α

=α

0.1

ff

erioareintsuruburipentru41

d3p

capatdesuruburipentrud3e

.min

u

ub

0

1

0

1

d

b

Forţa capabilă la întindere

2M

sub2Rd.t

AfkF

γ=

unde: ⎩⎨⎧

−−

=suruburicelelalte90.0

inecatcapcusuruburi63.0k2

2M

0urRd.t

Af6.0F

γ=

Rezistenţa de calcul la forfecare prin străpungere

2MupmRd.p /ftd6.0B γπ= Nu este necesară verificarea

Forfecare şi întindere

combinate 1

F4.1F

FF

Rd.t

Ed.t

Rd.v

Ed.v ≤⋅

+

327

Pentru îmbinări cu două planuri de forfecare la care plăcile de compensare sunt dispuse pe ambele părţi ale îmbinării, tp se ia ca şi grosimea celei mai subţiri plăci de compensare.

Fig. 20.2

La îmbinările la care distanţa Lj dintre centrele dispozitivelor de fixare de capăt, măsurată pe direcţia de transmitere a forţei, este mai mare de 15d, figura 20.3, forţa capabilă la forfecare Fv.Rd se reduce prin multiplicare cu un factor de reducere Lfβ , calculat cu relaţia:

d200

d15L1 j

Lf−

−=β ; 0.175.0 Lj ≤β≤ (20.3)

Fig. 20.3

Îmbinări pretensionate cu şuruburi din grupa 8.8 sau 10.9 Pentru Categoria C: Îmbinări rezistente la lunecare la starea limită ultimă, se utilizează şuruburi din clasele de calitate (grupele) 8.8 şi 10.9, iar lunecarea nu trebuie să se producă la starea limită ultimă. Forţa de forfecare de calcul ultimă nu trebuie să depăşească rezistenţa de calcul la lunecare şi rezistenţa la presiune pe gaură. Pentru îmbinările solicitate la întindere se verifică suplimentar rezistenţa plastică de calcul în secţiunea netă la găurile pentru şuruburi Rd.netN , la starea limită ultimă. Rezistenţa de calcul la lunecare Rezistenţa de calcul la lunecare a unui şurub pretensionat din grupa 8.8 sau 10.9 se determină cu relaţia:

C.p3M

sRd.s F

nkF

γμ

= (20.4)

unde: - sk – conform tabel 20.7; - n – numărul suprafeţelor de frecare; - μ – coeficient de frecare obţinut prin încercări specifice sau conform tabel 20.8; - C.pF – forţa de pretensionare de calcul: subC.p Af7.0F = (20.5)

328

Tabelul 20.7 Descriere ks

Şuruburi utilizate în găuri normale 1.0 Şuruburi utilizate în găuri mari sau în găuri ovalizate scurte cu axa ovalizării perpendiculară pe direcţia de transmitere a forţei

0.85

Şuruburi utilizate în găuri ovalizate lungi cu axa ovalizării perpendiculară pe direcţia de transmitere a forţei

0.70

Şuruburi utilizate în găuri ovalizate scurte cu axa ovalizării paralelă cu direcţia de transmitere a forţei 0.76

Şuruburi utilizate în găuri ovalizate lungi cu axa ovalizării paralelă cu direcţia de transmitere a forţei 0.63

Tabelul 20.8 Clasa

suprafeţei de frecare

Factorul (coeficientul) de frecare μ

A 0.5 B 0.4 C 0.3 D 0.2


2M

ub1Rd.b

tdfkF

γα

= (20.6)

Rezistenţa plastică de calcul în secţiunea netă

2M

unetRd.u.net

fA9.0N

γ= (20.7)

Tracţiune combinată cu forfecare Dacă o îmbinare pretensionată este supusă unui efort de întindere de calcul, Ft,Ed sau Ft,Ed,serv, suplimentar efortului de forfecare de calcul Fv,Ed sau Fv,Ed,serv, care are tendinţa să producă lunecare, rezistenţa de calcul la lunecare a unui şurub se determină astfel: - pentru îmbinări din categoria B:

)F8.0F(nk

F ser.Ed.tC.pser.3M

sser.Rd.s −

γμ

= (20.8)

- pentru îmbinări din categoria C:

)F8.0F(nk

F Ed.tC.p3M

sRd.s −

γμ

= (20.9)

Dacă într-o îmbinare forţa de contact în zona comprimată contra balansează forţa de tracţiune aplicată în zona întinsă, nu este necesară reducerea rezistenţei la lunecare a îmbinării. Slăbirea secţiunii dată de găurile dispozitivelor de prindere Calculul ariei nete Aria netă a secţiunii transversale este egală cu aria brută din care se scad slăbirile datorate găurilor sau a altor goluri. Dacă găurile de fixare sunt dispuse în zig - zag, aria totală a slăbirilor se consideră cea mai mare valoare dintre:

• Aria slăbirilor pentru găuri care nu sunt dispuse în zig-zag (linia de cedare (2) din figura 20.4);

• ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅ ∑ p4

sndt2

0 - pentru linia de cedare (1)

în care (figura 20.4): - s – pasul în zig-zag, respectiv interaxul între două găuri consecutive, măsurat paralel cu

axa barei; - p – interaxul măsurat perpendicular pe axa barei; - t – grosimea piesei; - n – numărul găurilor situate pe linie diagonală sau în zig-zag;

329

- d0 – diametrul găurii.

Fig.20.4. Găuri în zig-zag şi linii de rupere critice

Calculul ruperii în bloc Ruperea în bloc constă în cedarea la forfecare de-a lungul unui rând de şuruburi în suprafaţa de forfecare a grupului de găuri, însoţită de ruperea la întindere de-a lungul liniei de găuri în suprafaţa întinsă a grupului de şuruburi. Ruperea în bloc este exemplificată în figura 20.5.

1. forţă de tracţiune mică 2. forţă de forfecare mare 3. forţă de forfecare mică 4. forţă de tracţiune mare

Fig.20.5

Pentru un grup simetric de şuruburi solicitat la o încărcare centrică, rezistenţa la rupere în bloc este dată de relaţia: 0Mnvy2MntuRd.1.eff /A)3/f(/AfV γ+γ= (20.10) Pentru un grup de şuruburi solicitat la o încărcare excentrică, rezistenţa la rupere în bloc este dată de relaţia: 0Mnvy2MntuRd.1.eff /A)3/f(/Af5.0V γ+γ⋅= (20.11) unde: - Ant – aria netă solicitată la întindere - Anv – aria netă solicitată la forfecare. 20.2. Îmbinări sudate Tipuri de suduri Suduri de colţ Sudurile de colţ se folosesc la asamblarea pieselor a căror feţe supuse îmbinării formează între ele unghiuri cuprinse între 60° şi 120°. Sunt admise şi unghiuri mai mici de 60°, dar în astfel de cazuri sudura se consideră sudură cap la cap cu pătrundere parţială.

330

La capete sau la marginile pieselor, extremităţile sudurilor de colţ se întorc în jurul colţurilor, fără a fi întrerupte şi având aceiaşi grosime, pe o lungime egală cu cel puţin de două ori mărimea catetei secţiunii transversale a sudurii, cu excepţia cazurilor în care accesul sau configuraţia îmbinării nu permite acest lucru. Întoarcerile de la capete sunt indicate pe desene. Suduri de colţ întrerupte Sudurile de colţ întrerupte nu se folosesc în medii corosive. La o sudură de colţ întreruptă, întreruperile (L1 sau L2) dintre capetele oricăror lungimi de sudură de colţ Lw trebuie să satisfacă condiţiile din figura 20.6.

Cea mai mică dintre Lwe ≥ 0,75 b şi 0,75 b1 Pentru barele cu secţiune compusă supuse la întindere: Cea mai mică dintre: L1 ≤ 16 t şi 16 t1 ; 200 mm Pentru barele cu secţiune compusă comprimate sau solicitate la forfecare: Cea mai mică dintre: L2 ≤ 12 t şi 12 t1 ; 0,25 b ; 200 mm Fig. 20.6

Suduri în crestătură Sudurile în crestătură cuprind sudurile de colţ executate în găuri circulare sau alungite care se folosesc pentru a transmite forţe tăietoare sau pentru a preveni flambarea sau depărtarea pieselor suprapuse. Diametrul găurii circulare sau lăţimea găurii alungite, la sudurile în crestătură, nu trebuie să fie mai mici decât de patru ori grosimea piesei în care este efectuată crestătura. Suduri cap la cap O sudură cap la cap cu pătrundere totală este definită ca o sudură care asigură pătrunderea şi topirea completă a materialelor de bază şi de adaus, pe toată grosimea îmbinării. O sudură cap la cap, cu pătrundere parţială, este definită ca o sudură care asigură o pătrundere în îmbinare mai mică decât grosimea totală a materialului de bază. Suduri în gaură Sudurile în gaură pot fi folosite: - pentru a transmite forţe tăietoare; - pentru a preveni flambarea sau depărtarea pieselor suprapuse; - pentru a asigura asamblarea părţilor componente ale unor bare cu secţiuni compuse.

331

Diametrele găurilor circulare sau lăţimile găurilor alungite, la sudurile în gaură, sunt cu cel puţin 8 mm mai mari decât grosimile pieselor în care sunt efectuate. Capetele găurilor alungite sunt semicirculare sau au colţuri rotunjite cu o rază cel puţin egală cu grosimea piesei în care sunt efectuate, exceptând acele capete care se extind până la marginea piesei respective. Grosimea sudurilor în gaură, în piese de până la 16 mm grosime, este egală cu grosimea materialului de bază. Grosimea sudurilor în gaură, în piese din material de bază cu grosimi de peste 16 mm, trebuie să fie de cel puţin jumătate din grosimea materialului de bază, dar nu mai puţin de 16 mm. Suduri între feţe rotunjite

Pentru barele cu secţiune circulară plină, grosimea de calcul a sudurilor din lungul marginilor rotunjite şi suprafeţe plane cu care acestea sunt în contact, este definită în figura 20.7.

Fig. 20.7

Suduri cu eclise În cazul îmbinărilor sudate realizate cu eclise, acestea sunt păsuite faţă de marginea piesei înainte de sudare. Când două piese, asamblate prin sudură, sunt separate de eclise cu o grosime mai mică decât distanţa la baza rostului sudurii necesare pentru transmiterea efortului, lungimea sudurii se măreşte pe partea necesară, cu o valoare egală cu grosimea eclisei. Rezistenţa de calcul a sudurilor de colţ Lungimea sudurilor Lungimea efectivă a unei suduri de colţ ℓeff se consideră egală cu lungimea pe care sudura are o grosime constantă. În acest sens ea poate fi luată egală cu lungimea reală a sudurii, din care se scade de două ori grosimea sudurii a. Dacă se asigură o grosime constantă pe toată lungimea sudurii, inclusiv începutul şi sfârşitul acesteia, nu este necesară reducerea lungimii reale a sudurii. O sudură de colţ cu o lungime efectivă mai mică decât 30 mm sau mai mică de 6 ori grosimea acesteia, nu poate fi considerată sudură de rezistenţă. Grosimea sudurilor de colţ Grosimea reală efectivă a unei suduri de colţ a, se ia egală cu înălţimea celui mai mare triunghi (cu laturi egale sau inegale) care poate fi înscris în secţiunea transversală a sudurii, măsurată perpendicular pe latura exterioară a acestuia, figura 20.8. Grosimea reală efectivă a unei suduri de colţ nu se ia mai mică de 3 mm. La determinarea rezistenţei de calcul a unei suduri în colţ cu pătrundere adâncă, se ia în considerare şi grosimea ei suplimentară, figura 20.9, cu condiţia ca, prin încercări preliminare, să se dovedească că pătrunderea prevăzută poate fi efectiv realizată. Rezistenţa de calcul a sudurilor de colţ se determină fie prin metoda direcţională, fie prin metoda simplificată.

332

Fig. 20.8

Fig. 20.9

Metoda direcţională În această metodă forţele transmise pe unitatea de lungime a sudurii de colţ sunt descompuse în componente paralele şi componente perpendiculare în raport cu axa sudurii. Aria de calcul a sudurii, Aw, trebuie luată egală cu: Aw = Σ a x ℓeff Se acceptă o distribuţie uniformă a tensiunilor pe secţiunea ariei sudurii, care conduce la tensiuni normale şi tensiuni tangenţiale, conform figurii 20.10, după cum urmează:

- ⊥σ - tensiuni normale, perpendiculare pe aria de calcul a sudurii;

- IIσ - tensiuni normale, paralele cu axa sudurii;

- ⊥τ - tensiuni tangenţiale (în planul sudurii), perpendiculare pe axa sudurii; - IIτ - tensiuni tangenţiale (în planul sudurii), paralele cu axa sudurii. Fig. 20. 10

Tensiunile normale paralele cu axa sudurii, σ||, nu se iau în considerare la verificarea rezistenţei de calcul a sudurilor de colţ. Rezistenta de calcul a unei suduri de colţ trebuie să satisfacă următoarele două condiţii:

2Mw

u2II

22 f)(3

γ⋅β≤τ+τ+σ ⊥⊥ ;

2M

uf9.0γ

≤σ⊥ (20.12.a, b)

unde: - fu este valoarea nominală a rezistenţei de rupere la tracţiune a materialului piesei mai slabe din îmbinare; - βw este coeficientul de corelare, conform tabelului 20.9. Tabelul 20.9

333

Metoda simplificată de determinare a rezistenţei sudurilor de colţ Alternativ cu metoda direcţională, rezistenţa de calcul a sudurilor de colţ, poate fi considerată corespunzătoare, dacă în orice punct din lungul sudurii, rezultanta tuturor eforturilor transmise pe unitatea de lungime a acesteia, satisface următoarea condiţie: Rd.wEd.w FF ≤ (20.13) unde: Fw.Ed - este forţa de calcul pe unitatea de lungime a sudurii; Fw.Rd - este forţa capabilă a sudurii, pe unitatea de lungime. Independent de orientarea planului ariei de calcul a sudurii faţă de forţa aplicată, forţa capabilă pe unitatea de lungime Fw,Rd trebuie determinată cu ajutorul relaţiei: afF d.wvRd.w = (20.14) unde : fvw,d - este forţa de calcul la forfecare a sudurii. Rezistenţa de calcul la forfecare a sudurii fvw,d se determină cu relaţia:

2Mw

ud.vw

3f

fγ⋅β

= (20.15)

unde: fu şi βw sunt cele definite anterior. Rezistenţa de calcul a sudurilor cap la cap Suduri cap la cap cu pătrundere completă Rezistenţa de calcul a sudurilor cap la cap cu pătrundere completă se ia egală cu rezistenţa de calcul a celei mai slabe piese îmbinate, cu condiţia ca sudura să fie făcută cu materiale consumabile corespunzătoare, care să asigure obţinerea epruvetelor de tracţiune realizate din metalul depus prin sudare, cu o limită minimă de curgere şi o rezistenţă minimă de rupere, cel puţin egale cu cele ale materialului de bază. Suduri cap la cap cu pătrundere parţială Rezistenţa de calcul a unei suduri cap la cap cu pătrundere parţială se determină folosind metoda pentru suduri cap la cap cu pătrundere adâncă. Grosimea unei suduri cap la cap cu pătrundere parţială nu se ia mai mare decât adâncimea pătrunderii care poate fi realizată în mod efectiv pe toată lungimea sudurii. Îmbinări cap la cap în T Rezistenţa de calcul a unei îmbinări cap la cap în T, constând dintr-o pereche de suduri cap la cap bilaterale, cu pătrundere parţială, completate cu suduri în colţ suprapuse, poate fi determinată ca la o sudură cap la cap, dacă grosimea nominală totală a ariei de sudură, exclusiv porţiunea nesudată, nu este mai mică decât grosimea t a inimii ansamblului îmbinării în T, cu condiţia ca porţiunea nesudată să nu fie mai mare decât t/5 sau 3 mm. Rezistenţa de calcul a îmbinărilor cap la cap în T care nu îndeplinesc condiţiile specificate trebuie determinate folosind metoda pentru sudurile în colţ sau pentru sudurile în colţ cu pătrundere adâncă, în funcţie de adâncimea pătrunderii. Grosimea sudurii se determină conform prevederilor pentru sudurile de colţ şi pentru sudurile cap la cap cu pătrundere parţială. Rezistenţa de calcul a sudurilor în gaură Forţa capabilă Fw,Rd a sudurilor în gaură, se ia astfel:

334

wd.vwRd.w AfF = (20.16) unde: fvw,d - este rezistenţa de calcul la forfecare a sudurilor; Aw - este aria de calcul a sudurii şi şi se ia egală cu aria găurii. Distribuţia eforturilor Distribuţia eforturilor într-o îmbinare sudată poate fi calculată pe baza ipotezei comportării ei elastice sau plastice. Tensiunile remanente şi tensiunile care nu provin din transmiterea unor eforturi, nu se iau în considerare la verificarea rezistenţei sudurilor. Îmbinările sudate se calculează astfel încât să aibă o capacitate de deformare corespunzătoare. Cu toate acestea, nu se poate conta pe ductilitatea sudurilor. La îmbinările la care se pot forma articulaţii plastice, sudurile se calculează astfel încât să li se asigure în final o rezistenţă de calcul cel puţin egală cu a celei mai slabe piese din îmbinare. Îmbinări lungi La îmbinările prin suprapunere rezistenţa de calcul a unei suduri în colţ se reduce prin multiplicare cu un coeficient de reducere βLw pentru a ţine seama de efectele neuniformităţii distribuţiei tensiunilor pe lungimea ei. În general, la îmbinările mai lungi de 150a coeficientul de reducere βLw se ia egal cu βLw.1, determinat de relaţia: βLw.1 = (1,2 – 0,2Lj) /150a, dar βLw.1 ≤ 1,0 (20.17) unde: Lj - este lungimea totală a suprapunerii în direcţia de transfer a efortului. Pentru suduri în colţ mai lungi de 1,7 m, care prind elemente de rigidizare transversale în bare cu inimă plină, coeficientul de reducere βLw se ia egal cu βLw.2 calculat cu relaţia: βLw.2 = 1,1 – Lw / 17 , dar βLw.2 ≤ 1,0 şi βLw.2 ≥ 0,6 (20.18) unde: Lw - este lungimea sudurii (în metri).

20.3. Exemple numerice 20.3.1. Îmbinări cu şuruburi şi nituri E1. Elemente solicitate la întindere îmbinate cu şuruburi Se verifică rezistenţa îmbinării din figura E1-1, cunoscând următoarele date de proiectare: - kN130NEd = ; oţel S 355 )mm/N510f( 2

u = ;

- şuruburi M 16, grupa 5.6 )mm/N500f( 2ub = , nepretensionate;

- factorul de siguranţă: 25.12M =γ .

Fig. E1-1

335

Rezolvare: Baza teoretică Îmbinarea se încadrează în Categoria A: Îmbinări care lucrează la forfecare. Rezistenţa (forţa capabilă) la forfecare a şurubului pentru un plan de forfecare:

2M

ubvRd.v

AfF

γα

=

unde: ⎩⎨⎧

−=

−==

nefiletatazonaprintreceforfecaredeplanuldacasurubuluitijeiabrutaariaAfiletatazonaprintreceforfecaredeplanuldacafiletatazonainnetaariaA

Ab

s

⎩⎨⎧

−−

=α9.10,8.6,8.5,8.4grupelepentru5.0

8.8,6.5,6.4grupelepentru6.0v

Rezistenţa (forţa capabilă) la presiune pe gaură:

2M

ub1Rd.b

tdfkF

γα

=

unde:

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

−⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧−

=

erioareint

suruburipentru5.2

7.1dp

4.1.min

ineargm

desuruburipentru5.2

7.1de

8.2.min

k

0

2

0

2

1

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−

−

=α

=α

0.1

ff

erioareint

suruburipentru41

d3p

capatde

suruburipentrud3e

.min

u

ub

0

1

0

1

d

b

Aplicare numerică Se obţin următoarele valori numerice:

kN23.48N2304825.1

4165006.0

F

2

Rd.v ==

⋅π⋅⋅

=

kN144.48N1444825.1

51651059.05.2F Rd.b ==⋅⋅⋅⋅

=

unde:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ =−

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ =−

=

5.25.2

83.27.117554.1

.min

5.25.2

24.37.117308.2

.min

k1

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−⋅

=⋅=α

=α

0.1

98.0510500

73.041

17350

59.0173

30

.min

d

b

Se verifică condiţia:

]F;F.[minF Rd.bRd.vEd.v < ; kN144.48]F;F.[minkN5.324

1304

FF Rd.bRd.v

EdEd.v =<===

336

E2. Îmbinare cu şuruburi de înaltă rezistenţă pretensionate Să se evalueze rezistenţa îmbinării din figura E2-1 (capacitatea portantă), cunoscând următoarele date de proiectare: - Oţel S 235 ( )mm/N360f 2

u = ;

- şuruburi pretensionate M 20 ( )mm245A 2s = grupa 10.9 )mm/N1000f( 2

ub = ; - găuri Ø 22 mm; - lunecarea împiedicată la starea limită ultimă (îmbinare categoria C); - coeficientul de frecare dintre piese 5.0=μ (prelucrare prin sablare, clasa suprafeţei A).

Fig. E2-1

Rezolvare: Baza teoretică Conform SR EN 1993-1-8:2006 § 3.4.1 pentru Categoria C: Îmbinări rezistente la lunecare la starea limită ultimă, se utilizează şuruburi din clasele de calitate (grupele) 8.8 şi 10.9, iar lunecarea nu trebuie să se producă la starea limită ultimă. Forţa de forfecare de calcul ultimă nu trebuie să depăşească rezistenţa de calcul la lunecare şi rezistenţa la presiune pe gaură. Pentru îmbinările solicitate la întindere se verifică suplimentar rezistenţa plastică de calcul în secţiunea netă la găurile pentru şuruburi Rd.netN , la starea limită ultimă. Rezistenţa de calcul la lunecare Conform SR EN 1993-1-8:2006 § 3.9.1, rezistenţa de calcul la lunecare a unui şurub pretensionat din grupa 8.8 sau 10.9 se determină cu relaţia:

C.p3M

sRd.s F

nkF

γμ

=

unde: - sk – conform tabel 20.7; - n – numărul suprafeţelor de frecare; - μ – coeficient de frecare obţinut fie prin încercări specifice sau conform tabel 20.8; - C.pF – forţa de pretensionare de calcul:

subC.p Af7.0F = Forţa capabilă la presiune pe gaură

2M

ub1Rd.b

tdfkF

γα

=

337


2M

unetRd.u.net

fA9.0N

γ=

Aplicare numerică Rezistenţa de calcul la lunecare

kN2.1375.17125.1

5.020.1Fnk

F C.p3M

sRd.s =

⋅⋅=

γμ

=

unde: kN5.171N105.17124510007.0Af7.0F 3subC.p =⋅=⋅⋅==


2M

ub1Rd.b

tdfkF

γα

= kN104.175N10417525.1

162036076.05.2==

⋅⋅⋅⋅=

unde:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ =−

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ =−

=

5.25.2

75.27.122704.1

.min

5.25.2

3.57.122558.2

.min

k1

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−⋅

=⋅=α

=α

0.1

78.2360

1000

81.041

22370

76.0223

50

.min

d

b


kN564N01956425.1

360)222180(169.0fA

9.0N2M

unetRd.u.net ≈=

⋅⋅−⋅=

γ=

Rezistenţa îmbinării Rezistenţa dispozitivelor de fixare(şuruburi de înaltă rezistenţă pretensionate)

kN8.548kN2.137x4]F;F[.minxnF Rd.bRd.sbtot.Rd.b === unde nb = 4- numărul şuruburilor din îmbinare. Rezistenţa plastică de calcul în secţiunea netă

kN564N Rd.u.net ≈ Rezistenţa de calcul a îmbinării va fi:

kN8.548]N;F.[minF Rd.u.nettot.Rd.bRd == E3. Îmbinări lungi cu şuruburi Să se evalueze rezistenţa îmbinării cu şuruburi din figura E3-1, cunoscând următoarele date de proiectare: - Oţel S 235 ( )mm/N360f 2

u = ;

- şuruburi nepretensionate M 16 grupa 5.6 )mm/N500f( 2ub = , în găuri Ø 17 mm;

- lunecarea preluată în zona nefiletată.

338

Fig. E3-1

Rezolvare: Baza teoretică Conform SR EN 1993-1-8:2006 § 3.8, la îmbinările la care distanţa Lj dintre centrele dispozitivelor de fixare de capăt, măsurată pe direcţia de transmitere a forţei, este mai mare de 15d, figura E3-2, forţa capabilă la forfecare Fv.Rd se reduce prin multiplicare cu un factor de reducere Lfβ , calculat cu relaţia:

d200

d15L1 j

Lf−

−=β ; 0.175.0 Lj ≤β≤

Fig. E3-2


987.016200

16152801d200

d15L1 j

Lf =⋅

⋅−−=

−−=β

Rezistenţa la forfecare

kN63.47N6284725.1

4165006.0

987.0F

2

Rd.v ≅=

⋅π⋅⋅

=

Rezistenţa la presiune pe gaură

Rd.vRd.b FkN475.135N47513525.1

121636098.05.2F >==⋅⋅⋅⋅

=

339

unde:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ =−

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ =−

=

5.25.2

06.47.117704.1

.min

5.25.2

36.77.117558.2

.min

k1

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−⋅

=⋅=α

=α

0.1

39.1360500

12.141

17370

98.0173

50

.min

d

b

Rezistenţa (capacitatea portantă) a dispozitivelor de fixare (pentru 10 şuruburi) este:

kN3.476kN63.47x10Fx10F Rd.vtot.Rd.b === Rezistenţa plastică de calcul în secţiunea netă

kN1.4541025.1

36012)172180(9.0fA

9.0N 3

2M

unetRd.u.net =

⋅⋅⋅−=

γ= −

Se obţine rezistenţa îmbinării: kN1.454]N;F.[minF Rd.u.nettot.Rd.bRd == E4. Îmbinare solicitată la forfecare cu plăci de compensare Să se evalueze rezistenţa îmbinării din figura E4-1 (capacitatea portantă), cunoscând următoarele date de proiectare: - oţel S 355 )mm/N510f( 2

u = ;

- şuruburi M 16, grupa 8.8 )mm/N800f( 2ub = , nepretensionate, în găuriØ17 mm;

- factorul de siguranţă: 25.12M =γ .

Fig. E4-1

Rezolvare: Baza teoretică Conform SR EN 1993-1-8:2006 § 3.6.1, la îmbinările cu nituri sau cu şuruburi solicitate la forfecare care sunt prevăzute cu plăci de compensare cu o grosime totală tp mai mare decât o treime din diametrul nominal d, figura E4-2, forţa capabilă la forfecare Fv.Rd se va multiplica cu un factor de reducere pβ , calculat cu relaţia:

1;t3d8

d9p

pp ≤β

+=β

340

Pentru îmbinări cu două planuri de forfecare la care plăcile de compensare sunt dispuse pe ambele părţi ale îmbinării, tp se ia ca şi grosimea celei mai subţiri plăci de compensare.

Fig. E4-2



191.0103168

169t3d8

d9

pp <=

⋅+⋅⋅

=+

=β

Pentru un şurub cu două secţiuni de forfecare se obţine:

kN45.140N44714025.1

4168006.0

291.0F

2

Rd.v ≅=

⋅π⋅⋅

⋅=

Rezistenţa la presiune pe gaură: Rd.vRd.b FkN94.159N93615925.1

101651098.05.2F >≅=⋅⋅⋅⋅

=

unde:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ =−

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ =−

=

5.25.2

06.47.117704.1

.min

5.25.2

54.67.117508.2

.min

k1

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−⋅

=⋅=α

=α

0.1

57.1510800

12.141

17370

98.0173

50

.min

d

b

Rezistenţa (capacitatea portantă) a dispozitivelor de fixare (pentru 4 şuruburi) este: kN8.561kN45.140x4Fx4F Rd.vtot.Rd.b ===


kN4.4991025.1

51010)172170(9.0fA

9.0N 3

2M

unetRd.u.net =

⋅⋅⋅−=

γ= −

Se obţine rezistenţa îmbinării: kN4.499]N;F.[minF Rd.u.nettot.Rd.bRd == E5. Prinderi articulate. Calculul ruperii în bloc Să se verifice prinderea grinzii din figura E5-1, cunoscând următoarele date de proiectare: - oţel S 275 ( 2

u mm/N430f = ); - reacţiunea verticală de calcul: kN110VEd = ;

341

- şuruburi de prindere M20 (As = 245 mm2) - grupa 8.8 ( 2ub mm/N800f = );

- găuri Ø 21 mm;

Fig. E5-1

Rezolvare Baza teoretică Conform SR EN 1993-1-8:2006 § 3.10.2, ruperea în bloc constă în cedarea la forfecare de-a lungul unui rând de şuruburi în suprafaţa de forfecare a grupului de găuri, însoţită de ruperea la întindere de-a lungul liniei de găuri în suprafaţa întinsă a grupului de şuruburi. Ruperea în bloc este exemplificată în figura E5-2.

5. forţă de tracţiune mică 6. forţă de forfecare mare 7. forţă de forfecare mică 8. forţă de tracţiune mare

Fig.E5-2

Pentru un grup simetric de şuruburi solicitat la o încărcare centrică, rezistenţa la rupere în bloc este dată de relaţia: 0Mnvy2MntuRd.1.eff /A)3/f(/AfV γ+γ= Pentru un grup de şuruburi solicitat la o încărcare excentrică, rezistenţa la rupere în bloc este dată de relaţia: 0Mnvy2MntuRd.1.eff /A)3/f(/Af5.0V γ+γ⋅= unde: - Ant – aria netă solicitată la întindere - Anv – aria netă solicitată la forfecare. Aplicare numerică Se obţin următoarele valori numerice:

342

Rezistenţa la forfecare Pentru două şuruburi cu o secţiuni de forfecare fiecare, în zona filetată, se obţine:

kN2.1881025.1

2458006.012F 3Rd.v ≅

⋅⋅⋅= −

Rezistenţa la presiune pe gaură pentru placa de prindere Rezistenţa la presiune pe gaură a plăcii de prindere cu grosimea de 12 mm, pentru două găuri va fi:

kN1.2621025.1

1220430635.05.22F 3Rd.b ≅

⋅⋅⋅⋅= −

unde: 5.25.2

97.47.121508.2

.mink1 =⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ =−

= ;

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−⋅

=⋅=α

=α

0.1

86.1430800

702.041

21360

635.0213

40

.min

d

b

Rezistenţa (capacitatea portantă) a dispozitivelor de fixare (pentru 2 şuruburi) este: { } EdRd.bRd.vRd VkN2.188F;F.minF >==

Rezistenţa la presiune pe gaură pentru inima profilului laminat

Ed3

Rd.b VkN9.1521025.1

6.520430794.05.22F >≅⋅⋅⋅⋅

= −

unde: t = 5.6 mm;

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−⋅

=⋅+

=α

=α

0.1

86.1430800

702.041

21360

794.02131040

.min

d

b

Verificarea la rupere în bloc Pentru grupul de şuruburi solicitat la încărcare excentrică, rezistenţa la rupere în bloc, figura E5-3, va fi:

kN7.15610]0.1/)215.16050(6.53

430)215.050(6.54305.0[

/A)3/f(/Af5.0V

3

0Mnvy2MntuRd.1.eff

=⋅⋅−++⋅−⋅⋅=

=γ+γ⋅=

−

Fig. E5-3

343

E6. Îmbinări cu şuruburi solicitate la întindere Să se verifice îmbinarea din figura E6-1, cunoscând următoarele date de proiectare: - solicitările din îmbinare:

• kNm110MEd = • kN100VEd =

- oţel S 235 ( )mm/N360f 2u = ;

- şuruburi nepretensionate M20- grupa 5.6 )mm/N500f( 2ub = ; 2

s mm245A = .

Fig. E6-1

Rezolvare Baza teoretică Conform SR EN 1993-1-8:2006 § 3.6.1, forţa capabilă la întindere a unui şurub este dată de relaţia:

2M

sub2Rd.t

AfkF

γ= , unde:

⎩⎨⎧

−−

=suruburicelelalte90.0

inecatcapcusuruburi63.0k 2

În cazul solicitării combinate la întindere şi forfecare se va verifica relaţia de interacţiune:

1F4.1

FFF

Rd.t

Ed.t

Rd.v

Ed.v ≤⋅

+

Aplicare numerică Rezistenţa la întindere Din ecuaţia de echilibru (moment faţă de punctul de rotire, considerat ca fiind centrul tălpii comprimate, în cazul unei prinderi rigide), se obţine efortul maxim de întindere în perechea de şuruburi de la partea superioară, figura E6-2:

344

kN2.88FkN5.68)048.0388.0493.0(2

493.0110z2zM

F Rd.t2222i

1EdEd.t =<=

++

⋅=

⋅=

∑

unde:

kN2.881025.1

2455009.0AfkF 3

2M

sub2Rd.t =

⋅⋅=

γ= −

Fig. E6-2

Rezistenţa la forfecare Rezistenţa la forfecare simplă pentru cele 6 şuruburi din îmbinare, planul de forfecare fiind în zona nefiletată, va fi:

2M

ubvRd.v

Af6F

γα

= kN100VkN2.4521025.1

4205006.0

6 Ed3

2

=>≅

⋅π⋅⋅

= −

Întindere şi forfecare combinată: 1776.02.884.1

5.682.452

100F4.1

FFF

Rd.t

Ed.t

Rd.v

Ed.v <=⋅

+=⋅

+

Rezistenţa la presiune pe gaură pentru placa de prindere(de capăt) Rezistenţa la presiune pe gaură a plăcii de prindere cu grosimea de 30 mm, pentru şase găuri va fi:

kN100VkN16461025.1

3020360635.05.26F Ed3

Rd.b =>>≅⋅⋅⋅⋅

= −

unde: 5.25.2

63.37.121408.2

.mink1 =⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ =−

= ;

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−⋅

=⋅=α

=α

0.1

39.1360500

417.141

213105

635.0213

40

.min

d

b

E7. Îmbinări cu şuruburi la grinzile cu inimă plină Să se proiecteze îmbinarea de montaj a grinzii principale a unui pod de cale ferată [6], cunoscând următoarele date de proiectare:

- dimensiunile grinzii şi poziţia îmbinării de montaj, figura E7-1;

345

46w cm10103.3I ⋅=

46f cm10335.9I ⋅=

46 cm1044.12I ⋅=

SECŢIUNI: La mijloc:

tălpi: b×t = 700×32 mm inimă: hw×tw = 3000×16 mm

La reazeme: tălpi: b×t = 500×32 mm

inimă: hw×tw = 2 000×16 mm La îmbinare:

tălpi: b×t = 700×32 mm inimă: hw×tw = 2855×16 mm

Fig. E7-1

- acţiuni pentru o grindă principală:

o acţiuni permanente: m/kN103g5.0g Gg.Ed =⋅γ⋅= o acţiuni din convoi (încărcare echivalentă): m/kN90q5.0q m31QM.Ed =⋅Φ⋅γ⋅= o acţiunea indirectă a vântului: m/kN5pp ind.wwind.w.Ed =⋅γ= TOTAL : m/kN200pEd ≈

- oţel: S 355 ( 2u mm/N510f = );

- şuruburi de montaj: M 27 - grupa 10.9 ( 2ub mm/N1000f = ), pretensionate.

Rezolvare Baza teoretică Solicitările – momentul încovoietor MEd şi forţa tăietoare VEd , din secţiunea de îmbinare se repartizează la tălpi şi la inimă astfel:

Tălpi: 0V;II

MM f.Edf

Edf.Ed ==

346

Inimă: Edw.Edw

Edw.Ed VV;I

IMM ==

unde: - If – momentul de inerţie al tălpilor - Iw – momentul de inerţie al inimii - I – momentul de inerţie al întregii secţiuni.

Momentul încovoietor preluat de tălpi se transformă într-un cuplu de două forţe axiale (întindere şi compresiune) – NEd.f, pentru care se calculează dispozitivele de îmbinare, eclise şi şuruburi, unde:

h

MN f.Ed

f.Ed = ; h – distanţa dintre centrele de greutate a tălpilor.

Recomandare: Se recomandă ca îmbinarea să fie dimensionată la efortul capabil al tălpii, astfel încât îmbinarea să poată prelua o încărcare apropiată de cea care poate fi preluată de secţiunea grinzii, respectiv la un efort axial egal cu rezistenţa plastică a tălpii în secţiunea netă evaluat cu relaţia:

2M

unetRd.u.net

fA9.0N

γ⋅

=

Momentul încovoietor care revine inimii este preluat de elementele de îmbinare prin forţe proporţionale cu distanţa faţă de centrul îmbinării, şuruburile extreme, cele mai solicitate, vor fi acţionate de o forţă rezultată din ecuaţia de echilibru de valoare:

∑⋅⋅

=2i

1w.EdM.1

zm2z

MN

unde: m – numărul de şiruri verticale de şuruburi de o parte şi de alta a rostului. Forţa tăietoare se repartizează uniform la elementele de îmbinare:

b

EdV n

VN =

unde: nb – numărul de şuruburi de fiecare parte a rostului de îmbinare. Eclisele de îmbinare Eclisele din îmbinare trebuie să îndeplinească următoarele condiţii de rezistenţă:

- eclisele pentru îmbinarea tălpilor: ∑ ≥ net.fnet.e AA - eclisele pentru îmbinarea inimii: net.wnet.e WW ≥ şi net.wnet.e AA ≥

Aplicare numerică Solicitările de calcul din îmbinare

kNm36419)xL(2

xpM Ed

4.9x =−⋅

==

kN1120x2LpV Ed4.9x =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −==

Repartizarea solicitărilor la elementele secţiunii

Tălpi: 0V;kNm531141044.1210335.936419

II

MM f.Ed6

6f

Edf.Ed ==⋅

⋅==

Inimă: kN1120VV;kNm83341044.1210103.336419

II

MM Edw.Ed6

6w

Edw.Ed ===⋅

⋅−=

347

Îmbinarea tălpilor Eclise: 4 eclise 320 x 20 mm, figura E7-2.

Fig. E7-2

2

net.f2

net.e mm23215)288700(32Amm64016)284320(204A =⋅−=>=⋅−⋅=

Şuruburi: IP M27 – grupa 10.9; 2s cm59.4A =

Îmbinarea se calculează la efortul axial capabil al tălpii:

kN5033887.2

14531h

MkN559310

25.1510)288700(329.0

fA9.0N f.Ed3

2M

unetRd.u.net ==>=

⋅⋅−=

γ⋅

= −

Rezistenţa de calcul la lunecare a unui şurub Conform SR EN 1993-1-8:2006 § 3.9.1, rezistenţa de calcul la lunecare a unui şurub pretensionat M 27 din grupa 10.9 va fi:

kN2573.32125.1

5.020.1Fnk

F C.p3M

sRd.s =

⋅⋅=

γμ

=

unde: - sk – conform tabel ; - n – numărul suprafeţelor de frecare (egal cu 2); - μ – coeficient de frecare obţinut fie prin încercări specifice sau conform tabel; - C.pF – forţa de pretensionare de calcul:

kN3.3211045910007.0Af7.0F 3subC.p =⋅⋅⋅== −

Rezultă numărul de şuruburi pentru îmbinarea unei tălpi:

suruburi24aleg8.21257

5593F

Nn

Rd.s

Rd.u.netf.b ⇒===

Forţa capabilă la presiune pe gaură (pentru talpa grinzii)

2M

ub1Rd.b

tdfkF

γα

= Rd.s3 FkN93.38510

25.13227510476.03.2

>=⋅⋅⋅⋅

= −

unde:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ =−

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ =−

=

3.25.2

3.27.128804.1

.min

3.25.2

3.27.128408.2

.min

k1

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−⋅

=⋅=α

=α

0.1

96.1510

1000

702.041

28380

476.0283

40

.min

d

b

348

Îmbinarea inimii Rezolvarea constructivă a îmbinării este prezentată în figura E7-3. Eclisele de îmbinare a inimii îndeplinesc condiţiile: net.wnet.e WW ≥ şi net.wnet.e AA ≥

unde: 2net.e mm40040)28252720(102A =⋅−⋅= ;

2net.w mm48034)28252855(16A =⋅−=

Efortul maxim la care sunt solicitate şuruburile din poziţiile exterioare ale ecliselor este obţinut din efortul produs de momentul încovoietor MEd.w şi forţa tăietoare VEd.w.

kN257FkN2044.2278.202NNN Rd.s222

V2

M.1R =<=+=+=

unde: kN78.2026507822

132104833zm2

zMN 2

2i

1w.EdM.1 =

⋅⋅⋅=

⋅⋅=

∑

kN4.2250

1120nV

Nb

EdV === ; 50nb = şuruburi de fiecare parte a rostului

Fig. E7-3

349

20.3.2. Îmbinări sudate E1. Elemente solicitate la întindere îmbinate cu sudură Să se verifice rezistenţa îmbinării cu sudură prezentată în figura E1-1, cunoscând următoarele date de proiectare: - oţel: S460N ( 2

u mm/N540f = ); - efortul axial: kN300FEd = .

Fig.E1-1

Baza teoretică Se verifică:

• condiţiile constructive: ⎩⎨⎧

⋅≥

ww a6

mm40

• condiţiile de rezistenţă:

2Mw

u2II

22 f)(3

γ⋅β≤τ+τ+σ ⊥⊥ (1.a);

2M

uf9.0γ

≤σ⊥ (1.b)

Aplicare numerică Condiţiile constructive sunt îndeplinite. Deoarece: ⇒>=⋅= mm170mm4503150a150 w îmbinarea este de tip scurtă. Sudurile longitudinale

0=τ=σ ⊥⊥ . Din relaţia (1.a) se obţine Rd.IIτ : 2Mw

uRd.II

3f

γβ=τ

Forţa care poate fi preluată de cordoanele de sudură longitudinale va fi:

kN2541025.113

54017032AF 3Rd.IIII.wRd.w.II =

⋅⋅⋅⋅=τ⋅= −

Sudura frontală (figura E1-2)

2wσ

=τ=σ ⊥⊥

0Rd.II =τ

Fig. E1-2

350

Relaţia (1.a) devine: 2Mw

u2

w2

w f2

32 γβ

≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ σ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ σ

Efortul unitar de calcul pentru sudura frontală va fi:

2Mw

uRd.w

2f

γβ=σ

Forţa care poate fi preluată de cordonul de sudură frontal este:

kN3.731025.112

540803AF 3Rd.w.wRd.w. =

⋅⋅⋅=σ⋅= −

⊥⊥

Rezistenţa de calcul (capacitatea portantă) a îmbinării sudate va fi: kN3.3273.73254FFF Rd.w.Rd.w.IIRd.w =+=+= ⊥ Observaţie: Rezistenţa sudurii poate fi verificată simplificat cu relaţia:

kN300FkN3141025.113

)801702(35403

LafF Ed

3

2Mw

wwuRd.w =>=

⋅⋅

+⋅⋅=

γ⋅β⋅

⋅⋅= −

E2. Consolă sudată Să se verifice prinderea cu suduri de colţ a unei console realizată dintr-o placă dreptunghiulară, figura E2-1, cunoscând următoarele date de proiectare:

- forţa verticală la care este acţionată consola: VEd=250kN - excentricitatea forţei verticale: e=60 mm - oţel: S 235 (fu=360 N/mm2).

Fig. E2-1

Rezolvare Baza teoretică Se verifică:

• condiţiile constructive: ⎩⎨⎧

⋅≥

ww a6

mm40

• condiţiile de rezistenţă:

2Mw

u2II

22 f)(3

γ⋅β≤τ+τ+σ ⊥⊥ (1.a);

2M

uf9.0γ

≤σ⊥ (1.b)

351

Aplicare numerică Condiţiile constructive sunt îndeplinite. Deoarece: ⇒>=⋅= mm300mm4503150a150 w îmbinarea este de tip scurtă. Eforturile unitare în cordoanele de sudură sunt următoarele (figura E2-2):

Fig. E2-2

23

w

EdII mm/N104

3004210250

La2V

=⋅⋅⋅

=⋅⋅

=τ ; 2w mm/N4.882

1252

==σ

=σ=τ ⊥⊥

unde: 22

3

2w

Ed

w.elw mm/N125

630042

6010250

6La

2

eVW

M=

⋅⋅

⋅⋅=

⋅

⋅==σ

Se verifică condiţiile de rezistenţă:

2

2Mw

u

22222II

22

mm/N36025.18.0

360fmm/N4.252)1044.88(34.88)(3

=⋅

=γ⋅β

≤

≤=++=τ+τ+σ ⊥⊥ DA

2

2M

u2 mm/N25925.1

3609.0f

9.0mm/N4.88 ==γ

≤=σ⊥ DA

352

21. CONSOLIDAREA ELEMENTELOR METALICE Problematica întreţinerii, reabilitării şi consolidării structurilor de poduri şi construcţii metalice este prezentată pe larg în lucrarea Poduri metalice. Întreţinere şi reabilitare, în acest modul fiind prezentate cele mai uzuale metode de consolidare a barelor comprimate şi a grinzilor metalice cu inimă plină, respectiv: - consolidarea barelor comprimate prin sporirea secţiunii; - consolidarea grinzilor prin sporirea secţiunii tălpilor; - consolidarea grinzilor cu tiranţi rigizi. 21.1 Consolidarea barelor comprimate În cazul barelor solicitate la compresiune axială, lucrările de consolidare pot avea ca scop principal următoarele:

- mărirea capacităţii portante a barei; - reducerea nivelului de solicitare (micşorarea eforturilor unitare normale); - mărirea rigidităţii barei (reducerea coeficienţilor de zvelteţe a barei); - împiedicarea voalării tablelor care intră în alcătuirea secţiunii transversale a barei.

Reducerea eforturilor unitare normale este în interdependenţă cu mărirea rigidităţii barei, deoarece prin micşorarea coeficienţilor de zvelteţe a barei, creşte coeficientul de reducere (flambaj) şi creşte implicit capacitatea portantă a barei. La realizarea consolidării trebuie avute în vedere şi aspectele constructive, respectiv posibilităţile reale de realizare a consolidării, să nu fie favorizată depunerea de praf şi staţionarea apei, posibilităţile de întreţinere (curăţire, vopsire) etc. În figura 21.1 sunt prezentate condiţii pentru realizarea întreţinerii şi posibilitatea execuţiei constructive a elementelor.

Fig. 21.1. Condiţii pentru realizarea întreţinerii şi respectarea condiţiilor

constructive de execuţie

În figura 21.2 sunt prezentate câteva posibilităţi de consolidare, prin sporirea secţiunilor,

pentru barele grinzilor cu zăbrele, realizate în soluţie de asamblare nituită. În cazul barelor cu secţiune alcătuită din elemente mult depărtate solidarizate cu plăcuţe sau cu zăbreluţe, sporirea capacităţii portante a barei se poate realiza şi prin modificări aduse elementelor de solidarizare, cum ar fi:

- mărirea numărului de plăcuţe; - mărirea rigidităţii plăcuţelor;

353

- introducerea unor zăbreluţe de solidarizare suplimentare (schimbarea schemei de solidarizare).

Prin aceste modificări se poate micşora coeficientul de zvelteţe al barei în raport cu axa imaterială.

a) talpa superioară; b) talpa inferioară; c) zăbrele; d) contravântuiri

Fig. 21.2. Consolidarea barelor grinzilor cu zăbrele prin sporirea secţiunilor

Baza de calcul pentru consolidarea barei comprimate prin sporirea secţiunii Consolidările care se realizează prin sporirea secţiunii iniţiale a elementelor sunt des utilizate atunci când se urmăreşte creşterea capacităţii portante a elementelor sau a structurii de rezistenţă în ansamblu, sau pot fi aplicate în urma unor uzuri fizice importante (coroziune, lovituri etc.). Piesele noi care se adaugă pentru a mări caracteristicile de rezistenţă ale secţiunii se vor amplasa în funcţie de secţiunea de bază a elementului care urmează să fie consolidat. În cazul barelor solicitate la eforturi axiale materialul de adaos se amplasează, pe cât posibil, simetric faţă de axe pentru a nu se modifica axa iniţială a barei prin introducerea unor excentricităţi în noduri (în cazul grinzilor cu zăbrele) sau modificarea axei neutre.

Pentru proiectarea consolidării unei bare comprimate prin sporirea secţiunii, se porneşte de la relaţia de verificare la stabilitate a barei comprimate centric:

0.1NN

Rd.b

Ed ≤ (21.1)

Rezistenţa de calcul (capacitatea portantă sau efortul capabil) la flambaj a unui element comprimat este dată de relaţia:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−γ

⋅⋅χ

−γ

⋅⋅χ

=

4ClasatiunisecfA


N

1M

yeffmin

1M

ymin

Rd.b (21.2)

Relaţia de verificare a barei consolidate, prin adăugarea unor piese cu aria Ac , în situaţia în care, în momentul consolidării barei, structura este încărcată numai cu sarcinile permanente va fi:

1NN

N

Nc

Rd.b

P.Edn

Rd.b

g.Ed ≤+ (21.3)

în care:

354

- g.EdN - efortul axial în bară, înainte de efectuarea consolidării (în general din acţiunile permanente); - P.EdN - efortul axial care se adaugă în bară după efectuarea consolidării (din acţiunile utile), afectate, dacă este cazul, de coeficientul dinamic; - n

Rd.bN - rezistenţa de calcul la flambaj (capacitatea portantă) a barei având secţiunea iniţială, neconsolidată; - c

Rd.bN - rezistenţa de calcul (capacitatea portantă) la flambaj a barei având secţiunea consolidată cu elemente de adaos. Prin adăugarea unor elemente la secţiunea iniţială, în general se micşorează clasa secţiunii barei şi se modifică în sens favorabil caracteristicile de rezistenţă ale secţiunii barei.

Rezistenţele de calcul ale barei se evaluează cu relaţiile:

Bara iniţială cu aria secţiunii oA :

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−γ

⋅⋅χ

−γ

⋅⋅χ

=

4ClasatiunesecfA

3sau2,1ClasatiunesecfA

N

1M

yeff.oeff.n

min

1M

yonmin

nRd.b (21.4)

Bara consolidată cu elementele de adaos de arie cA :

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−γ

⋅+⋅χ

−γ

⋅+⋅χ

=

4Clasatiunesecf)AA(

3sau2,1Clasatiunesecf)AA(

N

1M

yeffc.oeff.c

min

1M

ycocmin

cRd.b (21.5)

Coeficientul de reducere χ se determină în funcţie de coeficientul de zvelteţe redus λ , corespunzător curbei de flambaj a secţiunii, pentru modul de pierdere a stabilităţii considerat. Prin urmare se poate scrie relaţia generală de evaluare a coeficientului de reducere:

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

β⋅=λ−χ=χ

flambajdecurbaNAf

Acr

y (21.6)

unde: ⎩⎨⎧

−−

=β4ClasaA/A

3,2,1Clase1

effA

Se observă faptul că, în cazul secţiunilor Clasa 4, aria efectivă (eficace) intervine în valoarea λ (prin Aβ ) şi implicit în valoarea coeficientului de reducere χ , iar în al doilea rând în calculul Rd.bN unde se operează cu effA . Pentru evaluarea forţei critice de flambaj crN se operează cu caracteristicile secţiunii brute. În cazul barelor solicitate la compresiune, eficienţa consolidării depinde evident de modul în care este distribuit materialul de adaos în raport cu secţiunea iniţială a barei. Astfel, eficienţa materialului adăugat (de arie Ac) este cu atât mai mare, cu cât se obţine un coeficient de reducere χ mai mare. Aceasta înseamnă ca în urma consolidării să rezulte raze de giraţie ale secţiunii solidarizate cât mai mari, care să conducă la reducerea zvelteţilor în raport cu axele principale ale secţiunii.

355

21.2. Consolidarea grinzilor prin sporirea secţiunii tălpilor

Prin adăugarea unor elemente de consolidare la una sau la ambele tălpi ale grinzii (grinda

aflându-se încărcată numai cu sarcinile permanente), se obţine creşterea momentului de inerţie faţă de axa principală y-y şi implicit vor scădea eforturile unitare şi deformaţiile sub acţiunea încărcărilor utile.

În figura 21.3 sunt prezentate câteva posibilităţi de sporire a capacităţii portante a grinzilor prin modificarea secţiunii tălpilor.

Fig. 21.3. Sporirea secţiunii grinzilor cu inimă plină Starea de eforturi în grinda cu inimă plină consolidată este prezentată pentru varianta de

consolidare constând din adăugarea unui element secţiune T alcătuit sudat, la talpa inferioară a grinzii, figura 21.4.

Faza I: grinda neconsolidată, încărcată cu sarcinile permanente: s

eff,y

Eggs z

IM

=σ ; ieff,y

Eggi z

IM

=σ (21.7.a; b)

unde: gGEg MM ⋅γ=

Fig. 21.4. Starea de eforturi în grinda consolidată

356

Faza II: grinda consolidată, încărcată cu sarcinile verticale din convoi: Peste eforturile unitare corespunzătoare la Faza I se adaugă eforturile:

's

c,eff,'y

EPPs z

IM

=σ (21.8.a)

'i

c,eff,'y

EPPi z

IM

=σ (21.8.b)

unde: - c,eff,'yI - momentul de inerţie efectiv al secţiunii consolidate;

• pentru poduri feroviare: P3QEP MM ⋅φ⋅γ= ; 71LMP MCM ⋅= , C fiind coeficientul creşterii încărcărilor utile.

• pentru poduri rutiere: PQEP MM ⋅γ= ; 1LMP MCM ⋅=

Starea de eforturi în fibrele extreme ale secţiunii grinzii şi în elementul adăugat la talpa inferioară (element de consolidare - c) va fi următoarea:

0M

y's

c,eff,'y

EPs

eff,y

Egs

fz

IMz

IM

γ≤+=σ (compresiune) (21.9.a)

0M

y'i

c,eff,'y

EPi

eff,y

Egi

fz

IMz

IM

γ≤+=σ (întindere) (21.9.b)

0M

yc

c,eff,'y

EPc

fz

IM

γ≤=σ (întindere) (21.9.c)

Observaţie: Datorită modificării secţiunii tălpilor, se modifică şi poziţia centrului de greutate al grinzii. Spre exemplu, adăugarea unui element de consolidare la talpa inferioară, face ca centrul de greutate să se deplaseze în sensul axei z, ceea ce implică o reîncadrare a inimii grinzii în clase de secţiuni şi o reevaluare a secţiunii efective ( 1/ 12 −≠σσ=ψ ). Deformaţia elastică

Prin modificarea rigidităţii grinzii se obţin de asemenea efecte favorabile legate de săgeata elastică a grinzii.

Pentru o grinda cu secţiune variabilă săgeata se poate calcula suficient de exact cu relaţia:

y

2max

m

2max

EILM

485.5

EILM

485

≅=δ (21.10)

unde: LI

I iim

∑ ⋅= - este momentul de inerţie mediu ponderat al grinzii;

yI este momentul de inerţie al grinzii la jumătatea deschiderii acesteia. Rezultă următoarele valori pentru săgeţi: - grinda neconsolidată:

( )

y

2P3g

EILMM

485.5 ⋅⋅φ+

=δ (21.11.a)

- grinda consolidată:

357

2cy

P3

y

g LIM

IM

E485.5

⋅⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ⋅φ+=δ (21.11.b)

unde cyI reprezintă momentul de inerţie maxim al secţiunii consolidate.

Deformaţia elastică din convoiul feroviar LM71 Grinda principală se realizează în general cu o contrasăgeată egală cu săgeata din încărcările permanente plus 25% din săgeata produsă de încărcarea utilă. Deformaţia elastică (săgeata) produsă de încărcarea utilă se determină din acţiunile normate produse de convoiul LM 71 (afectate de coeficientul dinamic). Momentul încovoietor pentru calculul săgeţii va fi: P3f MM ⋅Φ= Se obţine deformaţia elastică a grinzii δ , care se compară cu săgeata admisibilă aδ :

600L

IE48LM5.5

acy

2f =δ≤⋅

⋅⋅=δ (21.12)

Săgeata admisibilă, în conformitate cu EN 1990 – Anexa A2/2005 este L/600. Din condiţia de confort de circulaţie ”foarte bun”, săgeata verticală maximă, pentru

elementele în lungul căii, este dată în figura 21.5 (EN 1990 - Anexa A2), pentru grinzi cu 3 sau mai mult de 3 deschideri simplu rezemate. Deformaţia verticală δ se calculează din acţiunea convoiului LM 71, pentru 1i =γ , luând în considerare coeficientul dinamic Φ . Raportul δ/L admisibil, în funcţie de viteză, rezultat din figura 21.5, se multiplică cu 0.9 pentru grinzi continue şi cu 0.7 pentru o grindă simplu rezemată sau 2 grinzi simplu rezemate succesive .

Fig.21. 5

21.2. Consolidarea grinzilor cu tiranţi rigizi

Consolidarea prin majorarea secţiunii tălpilor se poate realiza relativ simplu în cazul grinzilor sudate; la grinzile nituite adăugarea unei platbande suplimentare la talpă presupune scoaterea niturilor de cap existente şi apoi renituirea pachetului cu platbandă adăugată, operaţie deosebit de laborioasă.

358

Consolidarea cu tiranţi constă în adăugarea, pe zonele unde secţiunea iniţială este insuficientă, a unor elemente formate din bare drepte rigide, aceste elemente nefiind legate solidar (continuu) cu secţiunea de bază a grinzii.

Tiranţii pot fi realizaţi din profile laminate (L, U, oţel rotund), figura 21.6, sau pot avea secţiuni alcătuite sudat.

Fig. 21.6. Tiranţi din profile laminate. Fixarea de talpa

întinsă pe zona dintre ancoraje

Tiranţii rigizi pot fi rectilinii orizontali sau pot avea un traseu poligonal, fiind distanţaţi de

talpa grinzii prin montanţi (sistem macaz), figura 21.7.

Fig. 21.7. Grinzi consolidate cu tiranţi rigizi

Tiranţii introduşi în sistemul tablierului pot fi tiranţi simpli, fără un efort iniţial, sau tiranţi

pretensionaţi, având un efort iniţial de întindere. Pretensionarea tiranţilor, realizată mecanic sau termic, măreşte eficienţa acestora prin

faptul ca se reduc eforturile unitare din încărcările permanente. Pretensionarea tiranţilor, în cazul în care aceştia au un traseu poligonal (sistem macaz) se poate realiza relativ simplu prin introducerea unor prese în dreptul montanţilor, Calculul consolidării cu tirant rectiliniu a grinzilor cu inimă plină

Soluţia cea mai simplă de consolidare este cea cu tirant drept, aşezat sub talpa întinsă a

grinzii, fixat la capete în blocuri de ancoraj, aflate la o anumită distanţă de capetele grinzii.

În figura 21.8 este prezentat

un detaliu al blocului de ancoraj pentru o grindă cu inimă plină, consolidată cu tirant rigid.

Fig. 21.8. Grindă cu inimă plină consolidată cu tirant rigid

(blocul de ancoraj)

359

Starea de eforturi în grindă se poate urmări în schemele din figura 21.9, pe etapele de realizare a consolidării.

Fig. 21.9. Starea de eforturi în grinda consolidată cu tirant

Faza I: grinda neconsolidată, încărcată cu sarcinile permanente Eforturile unitare normale vor fi: - în talpa superioară:

seff,y

Eggs z

IM

+=σ (21.13.a)

- în talpa inferioară:

ieff,y

Eggi z

IM

−=σ (21.13.b)

unde: gGEg MM ⋅γ=

Faza II: tirantul se tensionează cu efortul Nt

Faţă de faza I se adaugă eforturile unitare:

seff,y

tt

br

tNs z

IeN

AN

t⋅

−+=σ (21.14.a)

ieff,y

tt

br

tNi z

IeN

AN

t⋅

++=σ (21.14.b)

360

Faza III: se încarcă grinda cu sarcinile utile (convoi) În această fază grinda, iniţial simplu rezemată, devine static nedeterminată (n=1), efortul din tirant creşte de la Nt la Nt+X, unde X este efortul de autotensionare. Starea de eforturi unitare în grindă şi în tirant, ţinând cont de eforturile unitare din fazele anterioare şi de efectul dinamic al încărcărilor utile va fi:

- în talpa superioară: ( )[ ]

0M

ys

eff,y

ttEPEg

br

ts

fz

IeXNMM

AXN

γ≤

+−++

++=σ (21.15.a)

- în talpa inferioară: ( )[ ]

0M

yi

eff,y

ttEPEg

br

ti

fz

IeXNMM

AXN

γ≤

+−+−

++=σ (21.15.b)

- în tirant:

0M

y

t

tt

fA

XNγ

≤+

=σ (întindere) (21.15.c)

unde: - eff,yI - momentul de inerţie efectiv al secţiunii;

• pentru poduri feroviare: P3QEP MM ⋅φ⋅γ= ;

71LMP MCM ⋅= , C fiind coeficientul creşterii încărcărilor utile. • pentru poduri rutiere: PQEP MM ⋅γ= ; 1LMP MCM ⋅=

În cazul în care tirantul este nepretensionat, în relaţiile (21.15.a,b,c) se va lua Nt=0 şi relaţiile vor avea forma simplificată:

( )

0M

ys

eff,y

tEPEg

brs

fz

IXeMM

AX

γ≤

−+++=σ (21.16.a)

( )

0M

yi

eff,y

tEPEg

bri

fz

IXeMM

AX

γ≤

−+−+=σ (21.16.b)

0M

y

tt

fAX

γ≤=σ (întindere) (21.16.c)

Determinarea efortului de autotensionare în tirant

Efortul X de autotensionare din tirant se poate determina aplicând metoda forţelor pentru rezolvarea ecuaţiei de condiţie a sistemului static nedeterminat, figura 21.10.

XP111X Δ=Δ+δ (21.17) unde:

tttbr,y

2t

0 tt

2

0 br,y

2

11 AE1

EIedx

AEndx

EIm tt

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+=δ ∫∫

Ω−==Δ ∫br,y

t

0 br,y

PP1 EI

edx

EImMt

; XEAbr

tX −=Δ

361

Fig. 21.10. Determinarea efortului de autotensionare din tirant

Se obţine:

tttbrbr,y

2t

br,y

t

AE1

EA1

EIe

EIe

X

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

Ω

= (21.18.a)

unde: MEP - diagrama de moment încovoietor din convoiul de calcul, în

sistemul static determinat; m, n - diagramele de moment încovoietor şi forţă axială din X=1, pe

sistemul static determinat; Ω - aria diagramei de moment încovoietor din încărcările cu convoiul de calcul, în

sistemul static determinat pe porţiunea de grindă aferentă tirantului. Dacă tirantul este realizat ca element rigid Et=E, iar relaţia (21.12.a) devine:

ttbrbr,y

2t

br,y

t

A1

A1

Ie

Ie

X

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

Ω

= (21.18.b)

În cazul grinzilor cu secţiune variabilă, în relaţiile de calcul se pot introduce pentru momentul de inerţie şi aria grinzii, valorile medii ponderate ale acestora calculate cu relaţiile:

362

LI

I iim

∑ ⋅= ;

LA

A iim

∑ ⋅= (21.19)

Efectul tirantului asupra săgeţii

Săgeata grinzii se determină în funcţie de momentul încovoietor maxim pe grindă şi din efectul de reducere datorat tirantului:

( )

t2

m

P3g LEI48

MM5δ−

⋅φ+=δ (21.20)

în care: ( )22

m

ttotalt

L

0 m

tt c4L

EI8eX

dxEI

mM−==δ ∫ ; XNX t

totalt +=

Săgeata tδ produsă de momentul încovoietor negativ

ttotaltt eXM = se obţine prin metoda

Mohr-Maxwell, figura 21.11.

Fig. 21.11. Calculul săgeţii din efectul tirantului

21.4. Exemple numerice E1. Exemplu numeric 1 Se verifică starea de eforturi unitare normale pe secţiunea unei grinzi principale a unui tablier de pod metalic, în urma consolidării grinzilor prin adăugarea sudată a câte unui element T la talpa inferioară, pe zona centrală a deschiderii. Se cunosc următoarele date de proiectare:

• Date referitoare la caracteristicile grinzilor principale - elevaţie, figura E1.1:

Fig. E1.1

- material, solicitări maxime, secţiunea şi caracteristicile de rezistenţă, figura E1.2:

363

OŢEL: S355 ML SECŢIUNE: La mijloc:

tălpi: bf×tf = 650×30 mm inimă: hw×tw = 2600×12 mm

La reazeme:

tălpi: bf×tf = 400×30 mm inimă: hw×tw = 1600×12 mm

SOLICITĂRI: MEd = 21 500 kN⋅m din care: MEg = 4 400 kN·m MEP = 17 100 kN·m

Fig. E1.2

• Date referitoare la soluţia de consolidare propusă, figura E1.3

Fig. E1.3

Analiza soluţiei de consolidare Grinda neconsolidată Se verifică eforturile unitare din încovoiere pentru grinda neconsolidată, evaluând caracteristicile secţiunii efective.

364

Secţiunea eficace a grinzii şi distribuţia eforturilor unitare este prezentată în figura E1.4.

Fig. E1.4

Se obţin eforturile unitare normale din încovoiere în fibrele extreme ale secţiunii:

2

0M

y26

4

seff,y

Edns cm/daN3550

fcm/daN3805142

10023.81021500z

IM

=γ

>=⋅⋅

==σ

2

0M

y26

4

ieff,y

Edni cm/daN3550

fcm/daN3323124

10023.81021500z

IM

=γ

<=⋅⋅

==σ

Grinda consolidată Se reevaluează secţiunea activă a inimii, luând în considerare distribuţia eforturilor unitare din figura E1.5.

Se obţine:

60.0−=ψ

1.1578.929.681.7k 2 =Ψ⋅+Ψ⋅−=σ

673.042.21.1581.04.28

12/2600k4,28

t/bpp >=

⋅=

⋅ε⋅=λ

σ

=ρ 139.042.2

)60.03(055.042.2)3(055,022

p

p <=−−

=λ

Ψ+−λ

Se obţine secţiunea efectivă a inimii: beff=0.39 xּ1623 = 633 mm; be1=253 mm; be2=380 cm.

Fig. E1.5

365

Secţiunea eficace a grinzii şi caracteristicile de calcul sunt prezentate în figura E1.6.

Fig. E1.6

Eforturi unitare Faza I: grinda neconsolidată, încărcată cu sarcinile permanente, figura E1.7:

26

4

seff,y

Eggs cm/daN779142

10023.8104400z

IM

=⋅

⋅==σ

26

4

ieff,y

Eggi cm/daN680124

10023.8104400z

IM

=⋅

⋅==σ

Fig. E1.7

Faza II: grinda consolidată, încărcată cu sarcinile verticale din convoi, figura E1.8:

Peste eforturile unitare corespunzătoare la

Faza I se adaugă eforturile:

27

4's

c,eff,'y

EPPs cm/daN2730179

10121.11017100z

IM

=⋅

⋅==σ

27

4'i

c,eff,'y

EPPi cm/daN132787

10121.11017100z

IM

=⋅

⋅==σ

Fig. E1.8

366

Starea de eforturi finală în fibrele extreme ale secţiunii grinzii şi în elementul adăugat la talpa inferioară (element de consolidare - c) este prezentată în figura E1.9.

Fig. E1.9

Se obţine:

2

0M

y2's

c,eff,'y

EPs

eff,y

Egs cm/daN3550

fcm/daN35092730779z

IM

zIM

=γ

≤=+=+=σ

2'i

c,eff,'y

EPi

eff,y

Egi cm/daN20071327680z

IM

zIM

=+=+=σ

0M

y27

4

cc,eff,'y

EPc

fcm/daN19776.129

10121.11017100z

IM

γ≤=

⋅

⋅==σ

Concluzie Prin adăugarea unui element la talpa inferioară a grinzii se obţine o reducere a eforturilor

unitare normale din încovoiere, astfel:

- la talpa superioară:

%8.71003805

35093805100ns

sns

s =⋅−

=⋅σ

σ−σ=σΔ

- la talpa inferioară:

%401003323

20073323100ni

ini

i =⋅−

=⋅σ

σ−σ=σΔ

O soluţie pentru sporirea substanţială a capacităţii portante a grinzii constă în dispunerea

suplimentară a unor rigidizări longitudinale, prin care să fie coborâtă clasa secţiunii (inimii) la cel mult Clasa 3. Aceste rigidizări pot fi luate în considerare la calculul caracteristicilor secţiunii. E2. Exemplu numeric 2 Se verifică starea de eforturi uitare normale pe secţiunea grinzii din exemplul E1, în urma consolidării prin pretensionare exterioară cu un tirant rigid dispus rectiliniu la talpa inferioară a grinzii.

367

Soluţia de consolidare propusă, costă în dispunerea unui tirant rigid, nepretensionat în faza iniţială, sub talpa inferioară a grinzilor principale, realizat din câte două profile laminate 2 UPN 380, figura E2.1.

2

t cm8.1604.80x2A == Fig. E2.1

Analiza soluţiei de consolidare Grinda neconsolidată

2y

26

4

seff,y

Edns cm/daN3550fcm/daN3805142

10023.81021500z

IM

=>=⋅

⋅+==σ

2y

26

4

ieff,y

Edni cm/daN3550fcm/daN3323124

10023.81021500z

IM

=<=⋅

⋅−==σ

Grinda consolidată

Faza I: grinda neconsolidată, încărcată cu sarcinile permanente Eforturile unitare normale vor fi: - în talpa superioară:

26

4

seff,y

Eggs cm/daN779142

10023.8104400z

IM

+=⋅

⋅+=+=σ


26

4

ieff,y

Eggi cm/daN680124

10023.8104400z

IM

−=⋅

⋅−=−=σ

Faza II: tirantul nu se tensionează

Faza III: se încarcă grinda cu sarcinile utile (convoi) În această fază grinda, iniţial simplu rezemată, devine static nedeterminată (n=1), în tirant apare efortul de autotensionare X.

368

kN65722600

8.1601

7021

1065.7173

1053.365.7

173

A1

A1

Ie

Ie

X

6

2

9

ttbrbr,y

2t

br,y

t

=

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

⋅

⋅=

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

Ω

=

Aria 292

321 cmkN1053.3mkN678352SSS ⋅⋅=⋅=++=Ω , se determină cu ajutorul diagramei din figura E2.2. unde: - momentul încovoietor la distanţa c de la reazeme, determinat din ecuaţia parabolei:

mkN7894Lx

Lx88.0

1936.0M

MM2

2EP

2x1 ⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−== =

- momentul de inerţie brut mediu al secţiunii grinzii, aproximat la valoarea: 466

ymed

br.y cm1065.710502.89.0I9.0I ⋅=⋅⋅=⋅≈ - ariile parţiale: 2

t11 mkN514124264789MS ⋅=⋅=⋅= ( ) 2

1EP2 mkN320446.312311L12.0MMS ⋅=⋅=⋅⋅−=

( ) ( ) 21EP3 mkN8441834.2212311

32c2L88.0MM

32S ⋅=⋅=−−=

Fig. E2.2

Starea de eforturi unitare în grinda consolidată şi în tirant va fi următoarea: - în talpa superioară: -

( )

( ) 26

5445

seff,y

tEPEg

brs

cm/daN337014210023.8

17310657.21017100104400702

10657.2

zI

XeMMAX

=⋅

⋅⋅−⋅+⋅+

⋅=

=−+

++=σ


369

( )

( ) 26

5445

ieff,y

tEPEg

bri

cm/daN108812410023.8

17310657.21017100104400702

10657.2

zI

XeMMAX

−=⋅

⋅⋅−⋅+⋅−

⋅=

=−+

−+=σ

- în tirant: -

2

tt cm/daN1652

8.160700265

AX

===σ

Prin consolidarea cu tirant se obţine o reducere a eforturilor unitare normale din încovoiere,

astfel:

- la talpa superioară:

%4.111003805

33703805100ns

sns

s =⋅−

=⋅σ

σ−σ=σΔ

- la talpa inferioară:

%2.671003323

10883323100ni

ini

i =⋅−

=⋅σ

σ−σ=σΔ

Consolidări prin pretensionare exterioară

E3. Exemplu numeric 3 Să se analizeze soluţia de consolidare a unei bare metalice comprimate axial, prin sporul de încărcare utilă care poate fi preluat de bară în urma consolidării acesteia prin mărirea secţiunii iniţiale cu elemente de adaos sudate. Se cunosc următoarele date de proiectare:

• material: oţel S 355: 81.0;mm/N355f 2y =ε= ;

• secţiunea transversală a barei, lungimi de flambaj (critice), solicitări de calcul, figura E3.1;

370

Lungimi de flambaj: L= 8.00 m

5.0;1 zy =μ=μ=μ ω m0.8LL yy.cr =⋅μ=

m0.4L)(LL z.crz.cr =⋅μμ== ωω Solicitări de calcul:

kN5000NEd = din care:

kN4200N

kN800N

P.Ed

g.Ed

=−

=−

Fig. E3.1

• bara se va consolida prin adăugarea unor elemente sudate la secţiunea iniţială, rezultând o

secţiune de tip cruce, cu două axe de simetrie, având dimensiunile geometrice şi caracteristicile de rezistenţă prezentate în figura E3.2.

Fig. E3.2

Aplicare numerică Bara neconsolidată Clasa secţiunii. Secţiunea efectivă Tălpile: Tălpile sunt alcătuite din câte două plăci în consolă, solicitate la compresiune uniformă,

43.0k;1 ==ψ σ .

371

( ) 1Clasa29.7925.720

2/10300tcf

⇒=ε<=−

=

Inima: Inima este o placă rezemată pe două laturi, solicitată la compresiune uniformă, figura E3.3.

4k;1 ==ψ σ

4Clasa02.34425010500

tcw

⇒=ε⋅>==

Secţiunea transversală a barei este Clasa 4. Fig. E3.3

Rezultă:

673.0086.1481.04.28

10/500k4.28

t/bpp >=

⋅⋅=

⋅ε⋅=λ

σ

mm367500734.0bb734.022.0peff2

p

p =⋅=⋅ρ=⇒=λ

−λ=ρ

mm1842/bb effe == Secţiunea efectivă a barei, pentru solicitarea de compresiune, este prezentată în figura E3.4. 2

eff cm80.156A = Fig. E3.4

Rezistenţa la flambaj Bara comprimată are secţiune dublu simetrică, iar flambajul acesteia se poate produce prin încovoiere sau prin răsucire, forţele critice de flambaj fiind următoarele:

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅+

⋅⋅⋅π=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

π==

=⋅⋅π

=π

=

=⋅⋅⋅π

=π

=

=

−

ω

ωω

−

−

kN708151017710807.0400

10082.6101.2592

1

GIL

EIi1NN

kN6521110400

9004101.2L

EIN

kN6282910800

10158.9101.2L

EIN

N

262

662

t2.cr

2

2o

T.cr

22

62

2z.cr

z2

z.cr

22

462

2y.cr

y2

y.cr

cr

unde: ( ) 24

o

zy2o cm592

170109004.0158.9

AII

i =+

=+

= ; ( ) 433t cm1772302150

31I =⋅⋅+⋅=

372

Având în vedere valorile obţinute pentru forţele critice, rezultă că pierderea stabilităţii barei se poate produce fie prin încovoiere în raport cu axa z, fie prin răsucire. În continuare, luând în considerare faptul că, atât pentru flambaj în raport cu axa z, cât şi la flambaj prin răsucire, secţiunea se încadrează în curba c, rezultă că flambajul se produce prin încovoiere în raport cu axa z (deoarece ω=< NNN T.crz.cr ). Se calculează în continuare coeficientul de zvelteţe redus (cu una din cele 3 relaţii), în funcţie de care rezultă coeficientul de reducere eff.n

minχ=χ :

z.cr

yeff.oA

z.cr

yoz

NfA

NfA

=β=λ 73.069.006.76

1708.156

3.7400A

A

iL

1

o

eff.o

z

z.cr =χ⇒==λ

= (curba c)

unde: 06.769.931 =ε⋅=λ Rezistenţa barei la compresiune cu flambaj (capacitatea portantă) va fi:

kN3694101.135508.15673.0

fAN 2

1M

yeff.onRd.b =

⋅=

γ

⋅χ= −

Deoarece:

135.136945000

NNn

Rd.b

Ed >== , bara nu verifică condiţia de rezistenţă (compresiune cu flambaj).

Efortul axial pe care îl poate prelua bara neconsolidată, rezultat numai din acţiuni utile, are valoarea: kN2004NkN89428006943NNN P.Edg.Ed

nrd.b

n.capP.Ed =>=−=−=

Bara consolidată Clasa secţiunii Inima: Inima este divizată prin consolidare în două subpanouri solicitate la compresiune uniformă.

1Clasa73.26335.2410245

t*c

w⇒=ε⋅<==

Prin urmare secţiunea consolidată este Clasa 1 şi se va opera cu aria brută. Rezistenţa la flambaj Bara comprimată consolidată are secţiune dublu simetrică, flambajul acesteia se poate produce prin încovoiere sau prin răsucire, forţele critice de flambaj fiind următoarele:

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅+

⋅⋅⋅π=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

π==

=⋅⋅⋅π

=π

=

=⋅⋅⋅π

=π

=

=

−

ω

ωω

−

−

kN560231029710807.0400

10313.7101.24.503

1

GIL

EIi1NN

kN9686610400

10175.5101.2L

EIN

kN4923010800

10425.9101.2L

EIN

N

262

662

ct2

.cr

c2

2c.o

ccT.cr

22

462

2z.cr

cz

2c

z.cr

22

462

2y.cr

cy

2c

y.cr

ccr

373

unde:

( ) 24

co

cz

cy2

o cm4.503290

10175.5425.9AAII

i =+

=+

+= ;

( ) 43333ct cm297220212022302150

31I =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅=

Având în vedere valorile obţinute pentru forţele critice, rezultă că pierderea stabilităţii barei se va produce prin răsucirea secţiunii barei. Se calculează în continuare coeficientul de zvelteţe redus, în funcţie de care rezultă coeficientul de reducere c

minT χ=χ :

67.066.01056023

3550290N

f)AA(T2

T.cr

ycoT =χ⇒=

⋅

⋅=

+=λ (curba d)

Rezistenţa barei la compresiune cu flambaj prin răsucire(capacitatea portantă) va fi:

kN6271101.1355029067.0

f)AA(N 2

1M

yc.ocRd.b =

⋅=

γ

⋅+χ= −

Calculul rezervei de capacitate portantă a barei Având în vedere relaţia de verificare a barei consolidate:

1NN

N

Nc

Rd.b

P.Edn

Rd.b

g.Ed ≤+

Se obţine efortul axial maxim pe care îl poate prelua bara consolidată, produs de acţiunile utile, aceasta având un efort iniţial de compresiune produs de acţiunile permanente:

kN9134369480016271

N

N1NN n

Rd.b

g.EdcRd.b

cP.Ed =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

Din punct de vedere practic, bara poate prelua un efort axial suplimentar din acţiuni utile, faţă de efortul axial iniţial (pentru care bara era subdimensionată), având valoarea: kN71342004913NNN o

P.Edc

P.Ed.lsup

P.Ed =−=−= Dacă analizăm capacitatea portantă în raport cu secţiunea neconsolidată, cu referire la efortul de compresiune produs de acţiunile utile, avem situaţia: kN019228944913NNN cap.o

P.Edc

P.Ed*.lsup

P.Ed =−=−=

374

22. GRINZI CU INIMA DIN TABLĂ CUTATĂ SAU DIN TABLĂ ONDULATĂ


Grinzile cu inimile realizate din tablă cutată sau din tablă ondulată sunt elemente structurale introduse relativ recent în domeniul construcţiilor şi podurilor metalice, cu scopul de reducere a consumului de oţel şi implicit a preţului de cost al structurii. În figura 22.1 sunt prezentate elementele constitutive ale unei grinzi cu inima realizată din tablă cutată sau din tablă ondulată.

Fig. 22.1

375

Studii referitoare la comportarea mecanică a acestor elemente au fost efectuate în Europa (ex. Suedia, Germania) şi în Japonia, unde de altfel, au şi fost utilizate pentru prima dată. Cercetările experimentale şi studiile efectuate au arătat faptul că, aceste grinzi au o rezistenţă la oboseală cu aproximativ 50% mai mare, iar greutatea proprie este cu 30-60 % mai redusă, corespunzător aceleaşi capacităţi portante, comparativ cu grinzile având inimi plane [11]. De asemenea aceste grinzi oferă un aspect estetic avantajos comparativ cu grinzile plane rigidizate, ceea ce poate fi un considerent important pentru arhitectura anumitor structuri aparente. Dimensiuni uzuale [11]: Grinzile (utilizate în Germania), pentru clădiri au dimensiunile inimilor situate în domeniul:

260...150th;mm5...2t

w

ww ==

Grinzile pentru poduri metalice (utilizate în Franţa):

375...220th;mm5t

w

ww ==

În Austria se utilizează tablă profilată pentru inimi cu dimensiunile cutei, respectiv a ondulei prezentate în figura 22.2. Grosimea şi lăţimea (înălţimea inimii): mm1500h;mm3...2t ww ≤= .

Fig. 22.2 În Suedia dimensiunile uzuale ale inimii sunt: mm3000h;mm2t ww ≤≥ . În domeniul construcţiilor civile inima este sudată de tălpi pe o singură parte, având în vedere grosimea redusă a tablei cutate sau ondulate, dar în cazul podurilor se recomandă sudarea inimii de tălpi, pe ambele părţi, pentru o comportare mai bună la oboseală şi pentru reducerea fenomenului de coroziune.

22.2. Starea limită ultimă Rezistenţa la moment încovoietor Având în vedere faptul că inima grinzii este din tablă cutată sau ondulată, aceasta nu poate prelua eforturi unitare longitudinale, prin urmare, ipoteza admisă în EN 1993-1-5 este aceea că inima nu contribuie la preluarea momentului încovoietor. Momentul încovoietor capabil al grinzii (rezistenţa la încovoiere) se evaluează, prin urmare, considerând numai aportul tălpilor, prin cuplul din eforturile axiale rezultate în acestea, respectiv de compresiune şi de întindere. Rezistenţa tălpii comprimate este influenţată (micşorată) de flambajul lateral, în cazul în care această talpă nu este fixată la distanţe corespunzătoare pentru împiedicarea acestui fenomen (a se vedea EN 1993-1-1. § 6.3). Există totuşi o influenţă pozitivă a inimii relativ la flambajul lateral al grinzii, prin faptul că, forma profilată a inimii (cutată sau ondulată), conferă o rigiditate laterală sporită tălpii comprimate, comparativ cu grinda având inima plană, dar o estimare cantitativă nu este transpusă în norme. Dacă forţa tăietoare este importantă, aceasta influenţează de asemenea momentul încovoietor care poate fi preluat de grindă, prin reducerea eforturilor axiale capabile ale celor două tălpi datorită încovoierii laterale (practic, prin reducerea rezistenţei de curgere a oţelului cu o valoare, în general, nesemnificativă).

376

Modelul de calcul pentru evaluarea momentului încovoietor transversal (lateral) este prezentat în figura 22.3 ([11] şi Anexa D din EN 1993-1-5), considerând un flux de forfecare constant al inimii cu valoarea wh/V .

Fig. 22.3

Momentul încovoietor maxim transversal se obţine la intersecţia porţiunii înclinate a inimii cu axa tălpii şi are valoarea [11]:

)aa2(h4aVM 41

w

3max.z +

⋅⋅

= (22.1)

Factorul de reducere a rezistenţei tălpilor datorită momentului încovoietor transversal se evaluează cu relaţia dată în EN 1993-1-5 – Anexa D şi în lucrarea [11]:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−

−⋅γ

⋅⋅−=

γ

σ⋅−

=

ondulatatabladininimipentru0.1

cutateplacipentrutb)/f(

M64.01f

)M(4.01f f

2f0Myf

max.z

0M

yf

zx

T (22.2)

Valoarea momentului încovoietor capabil se evaluează cu relaţia:

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+γ

⋅⋅χ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+γ

⋅⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+γ

⋅⋅

=

2tth

ftb2

tthftb

2tth

ftb

.minM

21w

1M

yf11

21w

0M

r.yf22

21w

0M

r.yf11

Rd (22.3)

unde: • Tyfr.yf fff ⋅= ; • χ - factorul de reducere pentru flambajul lateral (flambaj prin răsucire şi prin încovoiere-

răsucire), stabilit conform EN 1993-1-1. § 6.3. Dacă talpa comprimată este de Clasa 4 se va utiliza aria eficace. Aria eficacep a tălpii comprimate se determină conform 4.4(1) din EN 1993-1-5, folosind valoarea parametrului de zvelteţe pλ , definit în 4.4(2):

σ

−

⋅ε⋅=

σ=λ

k4.28t/bf

cr

yp (22.4)

Pentru tălpi în consolă, coeficientul de reducere pentru determinarea lăţimii efective (eficace), respectiv lăţimea eficace a tălpii este:

377

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>λ−≤λ

−λ

≤λ−

=ρ748.0pentru1

188.0748.0pentru1

p2p

p

p

; bbeff ⋅ρ= (22.5.a; b)

Pentru coeficientul de flambaj σk se consideră cea mai defavorabilă valoare din:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=σ

60.0

ab43.0k

2

(22.6)

în care, figura 22.4: • b – lăţimea cea mai mare de consolă între sudură şi marginea liberă, pentru tabla cutată; • b = 2/b1 – pentru tablă ondulată [11]; • 441 awa2aa +=⋅+= .

Fig. 22.4

Rezistenţa la forfecare Rezistenţa capabilă la forfecare VRd se determină cu relaţia:

ww1M

ywcRd th

3

fV

γχ= (22.7)

Coeficientul de reducere cχ se determină luând în considerare cea mai mică valoare dintre cea obţinută ca urmare a voalării locale, .cχ şi cea corespunzătoare voalării globale, g.cχ , a tablei profilate din care este alcătuită inima grinzii.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≤λ+

=χ

≤λ+

=χ

=χ1

5.05.1

19.0

15.1

.min

g.cg.c

.c.c

c (22.8)

în care:

• 3

f

.cr

yw.c

τ=λ

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

−

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

υ−

π⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=τ

cutateplacipentru]a;a[.maxa;at

E83.4

]11[deosebiteondulateplacipentruincercariprin

ondulateplacipentrus

t)1(12

Ethsa

34.5

21max

2

max

w

2w

2

2

ww

3

.cr

378

Observaţie: În cazul plăcilor ondulate, voalarea locală este puţin probabil să se producă [11].

• 4 3zx2

wwg.cr

g.cr

ywg.cr DD

ht4.32;

3

f⋅=τ

τ=λ

unde [11]; [30] :

( )

( )⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−++

υ−

⋅

−υ−

⋅

=

cutateplaciaaaa

112tE

ondulateplacisw

112tE

D

21

412

3w

2

3w

x ;

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−++

−=

cutateplaciaaaa3

12aEt

ondulateplaciw

EI

D

41

2123w

z

z

zI - momentul de inerţie al unei semiunde de lungime w, fig. 22.1.

22.3. Exemplu numeric Se evaluează momentul încovoietor şi forţa tăietoare capabile ale unei grinzi metalice realizată în soluţia constructivă de grindă cu inima din tablă cutată. Se cunosc următoarele date:

• Grinda este alcătuită din oţel S235; • Alcătuirea constructivă (dimensiunile elementelor constitutive) şi schema de încărcare a

grinzii sunt cele prezentate în figura E.1; • Grinda este fixată lateral la distanţe de 4.5 m, echivalente unor reazeme de tip furcă (care

nu permit rotire în jurul axe longitudinale x-x); • Încărcările de calcul: m/kN3p;kN1100Q EdEd == .

Fig. E.1

379

Rezolvare Rezistenţa la moment încovoietor Momentul încovoietor de calcul:

kNm49574

1811008183

4LQ

8LqM

2Ed

2Ed

Ed =⋅

+⋅

=⋅

+⋅

=

Rezistenţa grinzii la încovoiere se evaluează pentru panourile, situate de o parte şi de alta a mijlocului deschiderii grinzii, unde solicitările M sunt maxime, dar şi forţa tăietoare are valoare ridicată, pentru schema statică şi de încărcare dată. Momentul încovoietor maxim transversal are valoarea:

cmdaN61313)5142(2004

61011005.0)aa2(h4aVM

2

41w

3max.z ⋅=+⋅

⋅⋅⋅⋅

=+⋅⋅

=

97.05.250)0.1/2350(

6131364.01tb)/f(

M64.01f 2f

2f0Myf

max.zT =

⋅

⋅⋅−=

⋅γ

⋅⋅−=

2Tyfr.yf mm/N22897.0235fff =⋅=⋅=

Clasa secţiunii tălpii comprimate

⇒=ε<===<=ε 14141125278

tb

tc1010

ffTalpa - Clasa 3 (integral activă)

Determinarea coeficientului de reducere χ

3fwfy

433

ffz cm5.10125.2025.250

2thA2W;cm08352

12505.22

12bt2I =⋅⋅=

+==

⋅==

433fft cm8.5205.250

32tb

312I =⋅=⋅= ; 68cm103.5I ⋅=ω

( )2z

2

kLEIπ = 2

62

45008352101.2 ⋅⋅⋅π =532.5·104 daN

C1=1.3; C2=0 (în panoul central - diagramă M pozitivă, 5.0≈ψ ) k=kw=1; L=450 cm (distanţa între reazemele laterale).

Momentului critic elastic:

( )( )

cmdaN1070103105.532

8.5201081.008352103.5105.5323.1

EIGIkL

II

kk

kLEICM

44

684

z2

t2

z

w2

w2z

2

1cr

⋅⋅=⋅

⋅⋅+

⋅⋅⋅

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

π+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛π=

06.0101037023505.1012M/fW 4cryyLT =⋅

⋅=⋅=λ ⇒ ( ) 1LTLT =λχ=χ - curba d (h/b>2)

Grinda nu este periclitată fenomenului de flambaj lateral

380

Momentului încovoietor capabil

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=⋅⋅⋅

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+γ

⋅⋅χ

=⋅⋅⋅

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+γ

⋅⋅

=−

−

kNm4085105.2021.123505.2500.1

2tth

ftb

kNm7705105.2020.1

22805.2502

tthftb

.minM421

w1M

yf

421w

0M

r.yf

Rd

Prin urmare: kNm4085MRd = Verificarea grinzii la încovoiere:

192.054084957

MM

Rd

Ed <==


22

62

max

w.cr cm/daN2808

1404101.283.4

atE83.4 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=τ

40.038280

23503

f

.cr

yw.c ==

τ=λ

( ) daNcm727107814050140

)3.01(124.0101.2

aaaa

112tED 2

36

21

412

3w

x =++

−

⋅⋅=

++

υ−

⋅=

daNcm1035.96550140

78140312

64.0101.2aaaa3

12aEtD 4

26

41

2123w

z ⋅=+

+⋅⋅⋅⋅=

++

=

24 342

4 3zx2

wwg.cr cm/daN5693)1035.965(10727

2004.04.32DD

ht4.32

=⋅⋅⋅

=⋅=τ

62.033569

23503

f

g.cr

ywg.cr ==

τ=λ

Coeficientul de reducere cχ :

88.0134.1

62.05.05.1

5.05.1

188.040.09.0

15.19.0

15.1

.min c

g.cg.c

.c.c

c =χ⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>=+

=λ+

=χ

<=+

=λ+

=χ

=χ

Rezistenţa capabilă la forfecare VRd:

kN868104.020031.1

235088.0th3

fV 2

ww1M

ywcRd =⋅⋅=

γχ= −

Verificarea rezistenţei grinzii la forfecare:

166.0868577

868)1831100(5.0

VV

Rd

max.Ed <==⋅+⋅

=

381

23. CABLURI PENTRU STRUCTURI

23.1. Aspecte generale Firele sunt corpuri la care una dintre dimensiuni – lungimea, este predominantă în raport cu celelalte două, şi care au proprietatea importantă de a-şi putea modifica forma sub acţiunea încărcărilor. Proprietăţile caracteristice ale firelor sunt următoarele:

• inextensibilitatea: sub acţiunea unui sistem de forţe un fir nu-şi modifică lungimea; • flexibilitatea: proprietatea firelor de a-şi modifica forma sub acţiunea încărcărilor.

În majoritatea aplicaţiilor tehnice firele se pot considera perfect flexibile şi inextensibile. În cazul cablurilor portante utilizate la structura podurilor suspendate, trebuie luată în considerare extensibilitatea firelor (cablurilor). Forma de echilibru a unui fir acţionat de sarcini concentrate este o linie poligonală, iar forma de echilibru a unui fir acţionat de sarcini cu o variaţie continuă poartă denumirea de curbă funiculară. Pentru preluarea încărcării verticale în punctele de fixare a cablului apar reacţiuni verticale şi orizontale (împingeri). Mărimea acestor reacţiuni depinde de săgeata firului, cu cât săgeata este mai mică, cu atât reacţiunea orizontală este mai mare, figura 23.1.

Fig. 23.1 Capacitatea de adaptare a firului, care îi permite să-şi modifice forma în funcţie de modul de distribuire a încărcărilor, face posibilă utilizarea cablurilor pentru preluarea unei mari varietăţi de încărcări, dar constituie în acelaşi timp şi un dezavantaj, deoarece pot deveni instabile sub acţiunea încărcărilor variabile (care îşi modifică poziţia). În cazul podurilor suspendate pe cabluri, unde încărcările sunt mobile, trebuie să se asigure o formă cvasi-constantă a cablului, aceste cabluri trebuind să fie stabilizate sau rigidizate, astfel încât variaţia formei cablului să fie cât mai redusă. Stabilizarea cablurilor la un pod suspendat se realizează în două moduri:

• suspendarea tablierului de cabluri prin intermediul unor tiranţi de suspendare relativ deşi, astfel încât cablurile să fie încărcate cât mai uniform;

• realizarea unui tablier relativ rigid, astfel încât acesta să nu se deformeze excesiv sub acţiunea sarcinilor mobile care se deplasează pe pod şi, să transmită încărcările la un număr cât mai mare de tiranţi.

Deoarece cablurile trebuie să aibă săgeată pentru a putea prelua încărcări, acestea se fixează pe piloni cu o înălţime uneori foarte mare faţă de cota tablierului.

382

În figura 23.2 sunt prezentate diferite tipuri de cabluri din oţel utilizate la podurile suspendate moderne.

Fig. 23.2. Alcătuirea cablurilor din toroane a) Cablu alcătuit din şase toroane cu miez de cânepă b) Cablu învelit cu: 1. mantie de răşină epoxidică; 2. înveliş ţesătură; 3. Strat de polietilenă c) Cablu având miez din fire de oţel rotunde, în exterior fire profilate d) Toroane alcătuite din 7, 19, 37 fire

23.2. Statica firului Deoarece firele sunt considerate corpuri perfect flexibile şi torsionabile, acestea nu pot prelua momente încovoietoare şi momente de torsiune (răsucire). De asemenea rezistenţa la forfecare a firului este mică şi se poate neglija, ca urmare singurul efort în secţiunea firului va fi efortul axial de întindere denumit efortul în fir sau tensiunea în fir. Poligoane şi curbe funiculare Fir încărcat cu o forţe concentrate Pentru firele acţionate de forţe concentrate, calculul analitic pentru determinarea formei de echilibru (poligonul funicular) şi a eforturilor este dificil. În cazul unui fir suspendat la ambele extremităţi şi acţionat de forţe concentrate paralele, egale şi echidistante (cazul podurilor suspendate), figura 23.3, vârfurile poligonului funicular se vor înscrie pe o parabolă a cărei ecuaţie este:

Fig.23.3

x1ax

2Ktgxy 21 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+α⋅= − (23.1)

unde: HPK = ; H – constantă care reprezintă

proiecţia pe orizontală a eforturilor pe diferite porţiuni ale firului.

383

Dacă se cunoaşte forma poligonului funicular, se pot determina tensiunile în fir prin ecuaţii de proiecţie pe două direcţii sau grafic, prin descompunerea unei forţe după două direcţii impuse, figura 23.4. Poligonul funicular se determină simplu dacă trebuie să satisfacă trei condiţii geometrice (de exemplu, să treacă prin trei puncte precizate).

Fig. 23.4

Fir încărcat cu o sarcină distribuită Se consideră cazul general al unui fir încărcat cu o sarcină distribuită )x(pp = , acţionând pe direcţia axei Oy , figura 23.5. Forma de echilibru a firului este curba funiculară, iar efortul din fir va fi orientat după direcţia tangentei în punctul curent a curbei funiculare.

Fig. 23.5

Condiţia de echilibru a elementului din figura 23.5.b se exprimă prin următoarele ecuaţii scalare de echilibru:

0dsdxT

dxd

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ (23.2.a)

pdsdyT

dxd

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ (23.2.b)

384

Din relaţia (23.2.a) rezultă prin integrare:

.constHdsdxT == (23.3)

Prin urmare, componenta tensiunii din fir pe direcţia normalei pe încărcare este o constantă H şi reprezintă tensiunea minimă în fir, în punctul cel mai de jos al curbei de echilibru, unde tangenta este orizontală. Din relaţia (23.2.b) , prin calcule matematice se obţine:

pdx

ydH 2

2= sau

Hp

dxyd2

2= (23.4)

Ecuaţia (23.4) reprezintă ecuaţia diferenţială a curbei funiculare în cazul încărcării firului cu sarcini coplanare continue. Fir încărcat cu o sarcină uniform distribuită În cazul firului supus acţiunii unei sarcini uniform distribuite pe orizontală, stabilirea ecuaţiei curbei funiculare poate fi făcută fie prin studiul echilibrului firului considerat ca un sistem de puncte materiale, fie prin integrarea ecuaţiei diferenţiale. Utilizând condiţiile generale de echilibru ale firelor, se poate determina forma de echilibru şi tensiunile la capetele A şi B ale unui fir obligat să treacă prin punctele A(0, 0), B(2 , 0) şi C( ,f), figura 23.6.

Fig. 23.6

Ecuaţiile de echilibru sunt următoarele:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

==

==⇒

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

∑∑

f8pL

f2pH

2pLpV

0M

0Y22

C

i (23.5)

Pentru determinarea formei de echilibru (ecuaţia curbei funiculare), se secţionează firul într-un punct curent de coordonate (x, y) şi se scrie ecuaţia de echilibru. Se obţine ecuaţia formei de echilibru, o parabolă de gradul II:

)xL(xL

f4xfxf2y 22

2 −=−= (23.6)

Forma de echilibru a firului se poate determina de asemenea utilizând ecuaţia curbei

funiculare: Hp

dxyd2

2= .

Cu sistemul de axe din figura 23.7, prin două integrări succesive şi punând condiţia ca parabola să treacă prin punctele A(- , f), B( , f) şi O(0. 0), rezultă pentru forma de echilibru a firului expresia:

2xH2

py = (23.7)

385

Înlocuind: f8

pLf2

pH22

== , ecuaţia curbei funiculare se poate pune sub forma:

22

22 x

Lf4xfy == (23.8)

Fig. 23.7

Tensiunea T într-un punct oarecare a firului va fi:

2

2

22/

2xf21

f2py1

f2p

dxdsHT ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=+== (23.9)

În punctele de suspendare A şi B, tensiunile în fir au valorile:

22

B;Af21

f2pT ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+= (23.10)

Lungimea arcului OM de parabolă se calculează cu formula analitică:

∫ ∫∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+≈⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=+==

x

0

x

02

22

22/

x

0OM x

y321xdxxf21dxy1dsL (23.11)

Lungimea cablului se poate determina cu relaţia:

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

22

0 Lf

38LL

H2pLarcsh

pH

H2pLL

2LL (23.12)

Săgeata cablului se obţine pentru =x :

H8

pLf2

= (23.13)

Fir încărcat cu o sarcină uniform distribuită pe lungimea curbei funiculare Se consideră cazul unui fir suspendat aflat sub încărcarea produsă de greutatea proprie, uniform distribuită pe lungimea arcului, q, figura 23.8. Greutatea firului pe unitate orizontală din deschidere, creşte spre punctele de rezemare, deoarece creşte înclinarea faţă de orizontală a firului (la o unitate xΔ corespunde o lungime sΔ mai mare spre capete).

Se poate scrie dxpdsq ⋅=⋅ , iar ecuaţia curbei funiculare Hp

dxyd2

2= devine:

dxds

Hq

dxyd2

2= (23.14)

386

Având în vedere egalităţile: 2222 )dx/dy(1dxds;dydxds +=+= , după efectuarea operaţiilor matematice se obţine ecuaţia curbei funiculare numită catenoidă sau lănţişor, care are forma:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+=⋅=

−ax

ax

ee2a

axchay (23.15)

unde: .constqHa ==

Fig. 23.8

Efortul într-un punct curent al firului se obţine din relaţia:

yqaxchqa

dxdy1Htg1H

cosHT

22 ⋅=⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=α+=

α= (23.16)

Prin urmare, efortul (tensiunea) din fir este proporţional cu ordonata catenoidei y, fiind egal cu greutatea unui segment de fir a cărui lungime este egală cu ordonata punctului curent. Tensiunea minimă aqHT ⋅== se obţine în punctul cel mai de jos al curbei, iar tensiunile maxime se obţin în punctele de suspensie A şi B. Lungimea cablului se determină cu relaţia:

q/H2/Lsh

qH2

a2Lsha2L0 == (23.17)

Săgeata cablului:

++=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= 3

432

H384Lq

H8qL1

a2Lchaf (23.18)

O comparaţie referitoare la săgeata şi lungimea cablului, între parabolă şi lănţişor (catenoidă) este prezentată în figura 23.9 [38]. Se constată faptul că lănţişorul (curba catenoidă) poate fi înlocuită printr-o parabolă atunci când săgeata cablului este mică raportată la deschidere (cazul podurilor sau acoperişurilor hobanate).

387

Fig. 23.9

Modulul de elasticitate al cablului Modulul de elasticitate de calcul al cablului depinde de starea de tensiune la care este solicitat acesta, iar diagrama ε−σ este neliniară la prima încărcare, figura 23.10. Ulterior cablul este solicitat la încărcări repetate, qσ , rezultate din trafic, în cazul podurilor, care se suprapun eforturilor din încărcările permanente şi a celor din pretensionare, gσ . Urmare a celor prezentate anterior, sunt relevante următoarele valori pentru modulele de elasticitate ale cablului:

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−ε

σ=

−ε

σ=

−ε

σ=

=

totalaacomportarepentruE

traficdinincarcareapentruE

incarcareprimapentruE

E

A

gA

q

qq

g

gg

cablu (23.19)

388

Se constată faptul că valoarea Eq rămâne aproape constantă, în timp ce valoarea Eg descreşte cu creşterea gσ în suma eforturilor qg σ+σ şi, în raport opus, se modifică EA.

Fig. 23.10. Diagrama ε−σ pentru diferite situaţii de calcul [38]

Influenţa săgeţii asupra modulului de elasticitate Dacă se consideră un cablu a cărui capăt de fixare B ajunge în poziţia B’, figura 23.11, se pot scrie următoarele relaţii:

f8

pLH;f8

pLH2

0

2

0 == (23.20.a)

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Δ++Δ+=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+22

0LL

f381LL

Lf

381L (23.20.b)

Se obţine deplasarea punctului B cu valoarea:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=Δ 22

0

33

H1

H1

24LpL (23.21)

Fig. 23.11

Modulul de elasticitate produs de modificarea săgeţii, figura 23.12, va fi dat de relaţia:

389

22

3

f L12

L/LA/H

ddE

γσ

=ΔΔ

=εσ

= (23.22)

γ - greutatea specifică a oţelului.

Fig. 23.12

Modulul de elasticitate echivalent având în vedere atât deformaţia elastică cât şi deformaţia din săgeată va fi:

( ) E12

L1

E

EE

E

3

2

f

fecablu

σγ

+

=σ

+σ

σ=

ε+εσ

= (23.23)

Prin urmare, valoarea modulului de elasticitate depinde de nivelul de solicitare al cablului. Aşa cum rezultă din figura 23.13, cablurile scurte solicitate la eforturi importante se comportă asemănător cu oţelul compact, în timp ce cablurile cu lungime mare, solicitate la eforturi scăzute, sunt mai puţin rigide. Acesta este motivul pentru care aceste cabluri trebuie pretensionate, în caz contrar deformaţiile rezultate ar fi foarte importante.

Fig. 23.13

23.3. Exemplu numeric E. Pasarelă suspendată Să se efectueze calculul simplificat (de ordinul I) pentru o pasarelă pietonală suspendată, cunoscând următoarele date de proiectare:

• Schema de alcătuire constructivă, figura E.1;

390

Fig. E.1

• Dimensiuni geometrice şi încărcare, figura E.2;

Fig. E.2

Fixarea cablurilor pe pilon

Fixarea continuă a cablurilor pe piloni se realizează cu ajutorul unor dispozitive speciale fixate în vârful pilonului, figura E.3.

Fig. E.3

Reazem tip a În cazul podurilor mici, cum este cazul pasarelelor pietonale suspendate sau a traversărilor unor conducte, cablul poate trece peste role (scripeţi) fără frecare, figura E.3.a, ceea ce înseamnă că eforturile în cablu sunt egale de o parte şi de alta a pilonului ( CA TT = ). Unghiul de înclinare al cablului de ancorare β este în general este fix şi diferă de unghiul de înclinare α al cablului de suspendare portant ( α≠β ). În acest caz, în dreptul pilonului apare o forţă orizontală rezultantă dată de relaţia:

391

)cos(cosTcosTcosTH CACT β−α=β−α= (E.1) Dacă pilonul este încastrat la bază, forţa orizontală HT produce un moment încovoietor la baza pilonului: PTT hHM ⋅= (E.2) Forţa de compresiune în pilon, din încărcarea deschiderii centrale, va fi: )sin(sinTN CT β+α= (E.3)

Reazem tip b În sistemul de rezemare prezentat în figura E.3.b, cablul este fixat în dispozitive tip ”şea”, fixate pe cilindrii care permit deplasarea orizontală. Datorită deplasării orizontale libere, în dreptul rezemării nu apare forţă orizontală, reazemul luând poziţia astfel încât să avem îndeplinită condiţia: α=β cosTcosT CA (E.4) Pentru o valoare β impusă, se obţine valoarea necesară de echilibru pentru TA. Momentul încovoietor la baza pilonului este zero, deoarece nu avem forţă orizontală. Observaţie: Pentru poduri cu deschidere mare se folosesc dispozitive de rezemare complexe care pot permite deplasarea şi rotirea cablului în vârful pilonului, prezentate în lucrările de Structuri de poduri. În cazul analizat se consideră reazeme în dreptul pilonului de tip a. Rezolvare: Tensiunile în cablurile portante, în vârfurile pilonilor vor fi identice cu tensiunile maxime în cabluri date de relaţia (23.10):

22 f21f2

pT ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

Având în vedere faptul că pasarela are două cabluri portante, dispuse de o parte şi de alta a platelajului, încărcarea aferentă unui singur cablu va fi 0.5 din încărcarea totală pe pasarelă. Se obţine efortul în cablu:

kN4.27015

52152

1510TT22

C =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

+⋅

⋅==

Unghiul de înclinare al cablului de suspendare cu orizontala se obţine din relaţia:

7.33)667.0(arctg30

54arctgLf4arctg

Lf4x2arctg

dxdyarctg

x2

x==

⋅====α

==

Momentul încovoietor la baza pilonului va fi: mkN6.3321026.33hHM PTT ⋅=⋅=⋅= unde: kN26.33)707.083.0(4.270)45cos7.33(cos4.270)cos(cosTH CT =−=−⋅=β−α== Forţa axială în pilon (numai efectul deschiderii centrale): kN340)707.055.0(4.270)45sin7.33(sin4.270)sin(sinTN CT ≈+=+=β+α=

392

Pentru alegerea cablului se poate utiliza Tabelul E.1, rezultând un cablu OSS 24, cu diametrul nominal d= 24 mm şi o capacitate portantă de 330 kN. Tabelul E.1

Pasarelă suspendată (Madrid – Spania)

393

BIBLIOGRAFIE

1. BIA, C., ILLE, V., SOARE, M. V.: Rezistenţa materialelor şi teoria elasticităţii. E.D.P. Bucureşti. 1983

2. BONDARIUC, V., BĂNCILĂ, R., BOLDUŞ, D.: Poduri metalice. Vol. I, II, Universitatea Politehnica Timişoara. 1997

3. BJÖRN ÅKESSON: Plate Buckling in Bridges and other Structures. Taylor & Francis. London. 2007

4. BUCĂ I., OPRAN O., MUHLBACHER, R., POPA, N.: Poduri metalice. Exemple de proiectare. E.D.P. Bucureşti. 1981

5. GARDNER, L., NETHERCOT, D. A.:Designers’ Guide to EN 1993-1-1. Thomas Telford. 2005

6. GUŢIU, Şt.: Poduri. Structuri compuse oţel beton. UT PRESS. 2012 7. HANGAN, S., IORDĂNESCU, M., GHERMĂNESCU - KUNST, M.: Mecanica Construcţiilor.

E.D.P., Bucureşti. 1995 8. HENRY, C. R., MURPHY, C. J. : Designers’ Guide to EN 1993-1-2. Thomas Telford. 2007 9. JANTEA, C., VARLAM, F.: Poduri metalice. Alcătuire şi calcul. Casa Editorială “Demiurg”,

Iaşi. 1996 10. JANTEA, C., VARLAM, F., COMISU, C.: Poduri metalice. Suprastructuri cu platelaj

ortotrop. Exemplu de calcul. Casa de Editură Venus. Iaşi. 2000 11. JOHANSSON, B., MAQUOI,R., SEDLACEK,G., MÜLLER,C., BEG,D.: Commentary and

worked examples to EN 1993-1-5 „Plated structural elements” (programme of CEN/TC 250). 2007

12. MATEESCU, D., CARABA, I.: Construcţii metalice. Calculul şi proiectarea elementelor din oţel. ED. Tehnică. 1980

13. MAZILU, P., ŢOPA, N., IEREMIA, M.: Teoria şi calculul plăcilor ortotrope. E.T. Bucureşti. 1983

14. MEGSON T.H.G.: Structural and Stress Analysis. Chapter 5-Cables. 2005 15. MOGA,P., GUŢIU,ŞT., MOGA,C.: Elemente metalice comprimate. U.T.PRESS. 2012 16. MOGA,P., ILIESCU,M.,GUŢIU,ŞT.,MOGA,C.: Oţelul structural pentru construcţii.

U.T.PRESS. 2012 17. MOGA, P. GUŢIU Şt., MOGA.C.: Proiectarea elementelor din oţel. Teorie şi aplicaţii.

U.T.PRESS. 2012 18. MOGA, C.: Elemente compuse oţel-beton. U.T.PRESS. 2010 19. MOGA, P.: Poduri. Suprastructuri metalice şi compuse oţel-beton. U.T.PRESS. 2011 20. MOGA, P.: Grinzi metalice zvelte. UT PRES. 2012 21. MOGA, P., GUŢIU Şt.: Poduri metalice. Întreţinere şi reabilitare. U.T.PRESS. 2010 22. TRAHAIR,NS., BRADFORD, MA., GARDNER,L.: The behaviour and design of steel

structures to EC3. Taylor & Francis. London. Fourth edition. 2008 23. *** SR 1911-98. Poduri metalice de cale ferată. Prescripţii de proiectare 24. *** Steel Box Girder Bridges. AASHTO, Vol. 97. 1974 25. *** Inquiry into the Basis of Design and Method of Erection of Steel Box Girder

Bridges. Part I, II, III, IV. London. 1974 26. *** EUROCODE 1. Actions on structures. EN 1991 27. *** EUROCODE 3. Part 1. Design of Steel Structures. EN 1993: 2003 28. *** EUROCODE 3. Part 2. Steel Bridges. EN 1993-2: 2005 29. *** SR EN 1993-1-1/2006. Eurocod 3: Proiectarea structurilor de oţel.

Partea 1-1: Reguli generale şi reguli pentru clădiri 30. *** SR EN 1993-1-5/2006. Eurocod 3: Proiectarea structurilor de oţel.

Partea 1-5: Elemente din plăci plane solicitate în planul lor 31. *** SR EN 1993-1-9/2006. Eurocod 3: Proiectarea structurilor de oţel.

Partea 1-9: Oboseala

394

32. *** SR EN 1993-2/2007. Eurocod 3: Proiectarea structurilor de oţel. Partea 2: Poduri de oţel

33. *** SR EN 1994-2/2006. Eurocod 4 : Proiectarea structurilor compozite de oţel şi beton. Partea 2 : Reguli generale şi reguli pentru poduri

34. *** SR EN 1994-1- 1/2006. Eurocod 4 : Partea 1-1 : Reguli generale şi reguli pentru clădiri

35. *** Seminar on EUROCODE 3. Design of Steel Structures. Tempus 4502-92. Timişoara. 1993

36. *** Seminar on EUROCODE 3. Part 1.3. Cold formed gauge members and sheeting. Tempus 4502-94. Timişoara. 1995

37. *** EUROCODE 3. Exemple de calcul. Tempus Phare Project 01198. 1997 38. *** Europen Steel Design Education Programme. ESDEP. Course WG1…WG18, The

ESDEP Society, 39. *** SSEDTA: Structural Steelwork Eurocodes Development of A Trans-national

Approach 40. *** Leonardo da Vinci Pilot Project CZ/02/B/F/PP-134007, Development of skills facilitating

implementation of Eurocodes. HANDBOOK 1. Basis of Structural Design 41. *** Verificarea la stabilitate a elementelor din oţel în conformitate cu SR EN 1993-1.1.

Recomandări de calcul, comentarii si exemple de aplicare. Contract nr. 424/08.12.2009. Timişoara. 2010

42. *** SN003a-EN-EU – NCCI: 2006: Elastic critical moment for lateral torsional buckling. www.access-steel.com

43. ***ACCESS STEEL. NCCI: Mono-symmetrical uniform members under bending and axial compression. SNO30a-EN-EU. 2006

44. ***Design for Construction. SCI Publication. Berkshire. 1997 45. ***Redaelli Engineering. 2001-2006

SITE - uri WEB

1. http://www.ctre.iastate.edu 2. http://www.sections.arcelor.com 3. http://www.setra.equipement.gouv.fr 4. http://intra.setra.i2 5. http://www.ukcares.com 6. http://www.nelson-europe.de 7. http://www.europrofil.lu 8. http://www.rimutaka-incline-railway.org.nz 9. http://www.bangor.ac.uk 10. http://www.kuleuven.be 11. http://www.esdep.org 12. http://en.structurae.de/structures 13. http://www.steelbiz.org 14. http://www.istructe.org 15. http://www.techniques-ingenieur.fr 16. http://ocw.mit.edu 17. http://www.aisc.org 18. http://www.access-steel.com

http://www.ctre.iastate.edu/

http://www.arcelor.com/

http://www.setra.equipement.gouv.fr/

http://intra.setra.i2/

http://www.ukcares.com/

http://www.nelson-europe.de/

http://www.europrofil.lu/

http://www.rimutaka-incline-railway.org.nz/

http://www.bangor.ac.uk/

http://www.kuleuven.be/

http://www.esdep.org/

http://www.steelbiz.org/

http://www.aisc.org/

http://www.access-steel.com/

proiectarea elementelor de otel-carte roz

Documents