proiect attila borbely

7/25/2019 Proiect Attila Borbely

1/29

ELEMENTE SI PRINCIPII

INGINERIE

Sef lucrari dr. ing. Alin-Iulian DOLAN

Facultatea din Oradea

Masterat de inginerie electricaSisteme avansate in inginerie electrica

Student: Attila Borbely


2/29

PROBLEME DE OPTIMIZARE

OPTIMIZAREA gasirea celei mai bune solutii ale unei probleme,constand in minimizarea (maximizarea) uneifunctii f(x)pe o multime fezabila S:

f (x) min (max),xS

Restrictiile care permit variabilelor de a lua anumite valori si de a exclude alte valori(ex: limitarea pierderilor)

2

Componentele uzuale unei probleme de optimizare

Functia obiectiv este functia care se doreste a fi minimizata (maximizata)(ex: forta intr-o anumita regiune)

Variabilele care afecteaza valoarea functiei obiectiv(ex: geometria si materialul)


3/29

Procesul de proiectare a sistemelor

3


4/29

Obtinerea de caracteristici prin limitarea dimensiunilor (obtinerea clasei de

precizie impuse pentru transformatoarele de curent integrate intransformatoarele de putere)

Ecranarea optimala a campului electric in echipamentele de IT (obtinereaminimului intensitatii campului electric in domeniul considerat)

Optimizare partiala functie monobiectiv, dependenta de parametrii tehnici aidispozitivului

Probleme de optimizare in inginerie electrica

Probleme de optimizare in camerele de stingere ale aparatelor de IT(obtinerea unei viteze optimale a arcului electric)

Obtinerea de configuratii optimale pentru barele de alimentare

Optimizarea caracteristicilor fortei la electromagneti

Proiectare optimala functie multiobiectiv (volum, masa, cost, consum deenergie, etc.)

4


5/29

Abordarea cu modele primare utilizeaza modelul primar direct in

procedura de optimizare

Abordarea problemelor de optimizare

Abordarea cu modele secundare utilizeaza modelele secundare (modele de

de suprafete de raspuns) in procedura de

optimizare

5


6/29

TEHNICI DE OPTIMIZARE

Criterii de optimalitate(metode indirecte) Tehnici de cautare(metode directe)

Probleme cu restrictii Probleme fara restrictii

Probleme de programare liniara (PL) functia obiectiv si restrictiile sunt liniare

Probleme de programare neliniara (PN)

functia obiectiv si restrictiile sunt neliniare

6


7/29

MINIM GLOBAL / LOCAL

Definitie: Fie x* S intr-o problema PN

O functief(x) den variabile areminim global(absolut) in punctulx*

f(x*) f(x),x S (f(x*) < f(x) minim global strict )

OPTIMIZARE CONCEPTE DE BAZA

Definitie: FieN = {x S, ||x -x*||


8/29


9/29

MATRICEA HESSIANA (HESSIANUL)

Definitie: Fie o functie f(x) de doua ori continua si diferentiabila in punctulx*

Matricea Hessiana a functiei f(x) este:

matricea hessiana este intotdeauna o matricesimetrica joaca un rol important in conditiile

de suficienta pentru optimizare9


10/29

FORME PATRATICE. MATRICE DEFINITE

Definitie: Oforma patratica este o functie neliniara avand numai termeni de ordin 2:

undeP = [pij],P M

n x nse numestematricea formei patratice F (x)

Notand aij = (pij +pji)/2, i,j siA = [aij] , (A = matrice simetrica)

Definitie: Daca forma patraticaF(x) > 0,x 0 F(x) =pozitiv definita (PD)

Definitie: O matrice simetricaA este PD, ND, PSD, NSD, IND daca forma patraticaasociata lui A este, respectiv, PD, ND, PSD, NSD, IND 10

(F(x) < 0) (negativ) (ND)

Definitie: Daca forma patraticaF(x) 0,x 0 si cel putin unx 0 a.i.F(x) = 0 F(x) =pozitiv semidefinita (PSD)(F(x)0)

(negativ) (NSD)

Definitie: DacaF(x) > 0 pentru unii vectori siF(x) < 0 pentru alti vectori F(x) =indefinita (IND)


11/29

Verificarea valorilor proprii : Fieivalorile proprii ale matriceiA

F(x) este PD (ND) i > 0 (i < 0)

F(x) este PSD (NSD) i 0 (i 0) si cel putin o valoare propriei = 0 F(x) este IND daca unele valorii > 0 si alte valorii < 0

METODE DE VERIFICARE A DEFINIRII / SEMIDEFINIRII

11

Verificarea minorilor principali : FieMk al k-lea minor principal al matriceiA A este PD (ND) Mk > 0 (Mk < 0)

A este PSD (NSD) Mk 0 (Mk 0) si cel putin un minor principalMk = 0

A este IND daca nu se satisfac primele doua conditii


12/29

PROBLEME DE OPTIMIZARE FARA RESTRICTII

Conditii necesare si suficiente pentru extremum

Conditii necesare : DacaF(x) are un extremum local (minim, maxim) inx*

sau

Conditii necesare de ordinul 2: DacaF(x) are minim (maxim) local inx*

este PSD (NSD) sau PD (ND) inx*

12

Definitie: Solutia x* senumestepunct stationar

OBS: Un punct stationareste doar candidat pentrupunct optimal


13/29

Conditii suficiente de ordinul 2: Daca hessianulH(x*) este PD (ND) inx* x* este un minim (maxim) local pentru functiaf(x*)

OBS: Daca H(x*) este PSD (NSD) atunci este posibil cax* sa nu fie extremum local

Teorema: Daca in punctul stationarx* al functiei f(x), primelen-1 derivate se anuleazasi f(n)(x*) 0 f(x*) are:

13

un punc e n ex une, acan = mpar

un extremum, dacan = par. El va fi un minim (maxim) daca f(n)(x*)0)


14/29

PROBLEME DE OPTIMIZARE CU RESTRICTII

Definitie: Un punctx* care satisface restrictiilehi(x*) = 0, i = 1, 2, ,p se numestepunct regular daca gradientii tuturor restrictiilor in punctulx* sunt liniar dependenti

Restrictii egalitate. Conditii necesare. Multiplicatorii lui Lagrange

ex un punc regu ar care es eextremum local si f(x),hi(x*) = 0, i = 1, 2, ,p, diferentiabile intr-o vecinatate a luix*

i* R (multiplicatorii lui Lagrange) astfel incat:

14

Functia lui Lagrange


15/29

Restrictii inegalitate

Teorema (conditiile Fritz-John): Fiex* un minim local si f(x),gi(x*) = 0,i = 1, 2, ,m, diferentiabile intr-o vecinatate a luix*


si cel putin unul0* 0

(conditii de relaxare)

Numai muliplicatorii Lagrange cecorespund restrictiilor satifacute caegalitati sunt nenuli. Astfel de restrictiise numescactive

I= {i = 1, 2, ,m:gi(x*) = 0} 15


16/29

Definitie: Un punctx* care satisfacegi(x*) = 0,i Ise numestepunct regular almultimii fezabile {xRn:gi(x) 0,i = 1, 2, ,m}

gi(x*),iI sunt functii liniar dependente

Teorema (conditiile Kuhn-Tucker): Fiex* un punct regular adica un minimlocal si f(x),gi(x*) = 0, i = 1, 2, ,m, diferentiabile intr-o vecinatate a luix*


Definitie: O multimeKse numestecon

xK, 0 xK

K este generat de vectorii x(1),x(2), ,x(m)

16


17/29

Restrictii mixte. Conditiile Kuhn-Tucker

Teorema (conditiile KT): Fiex* un punct fezabil si f(x),gi(x),i = 1, 2, ,m,

diferentiabile,hi(x),i = 1, 2, ,p, continuu diferentiabile inx* siI= {i :gi(x*) = 0}

Daca gi(x*),iIsihi(x*),i = 1, 2, ,p sunt liniar independente six* = minim local

i*,i = 1, 2, ,m,i*,i = 1, 2, ,p, (multiplicatorii lui Lagrange) astfel incat:

17

Functia lui Lagrange


18/29

1) Teorema (conditiile KT cu variabile slabe): Fiex* solutie locala a PN siconditiile teoremei precedente satisfacute.

Se definestefunctia Lagrange (lagrangeanul) sub forma:

Daca gi(x*),iIsihi(x*),i = 1, 2, ,p sunt liniar independente six* = minim local

variabilele slabe s (m-vector) simultiplicatorii lagrange (m-vector), (p-vector),

Forme echivalente ale conditiilor Kuhn-Tucker

a.i. lagrangeanul este stationar in raport cuxi

,i

,i

si

:

18


19/29

2)Impunerea conditiilor de nenegativitate

Conditiile Kuhn-Tucker:

19

Problema demaximizare:


20/29

Teorema (conditie necesara de ordinul II)

Fiex* care satisface conditiileKTpentru PN si:

hessianul in punctul de interes al functiei Lagrange. Fieddirectiile fezabile nenule cesatisfac:

Dacax* este punct de minim local

este hessianul lagrangeanului functie dex

Teorema (conditie suficienta de ordinul II)

Fiex* care satisface conditiileKTpentru PN,2L definit analog si directiileda.i.

Fie pentru aceste restrictii cu

Daca x* este un punct de minim local izolat(nu exista nici un alt punct de minim local in vecinatatea luix*) 20


21/29

Fie PN

Daca functiaf(x) este continua pe o multime fezabila inchisa si marginita teorema Weirstrass garanteaza existenta minimului global

Pentru PN trebuie verificat daca toate punctele care satisfac restrictiile (egalitati si

PROGRAMARE CONVEXA

21

inegalitati) formeaza o multime inchisa si marginita in n

Apoi se formuleaza conditiileKTpentru PN si se gasesc solutiile

Se evalueazaf (x) in toate puncteleKTsi se selecteaza o solutie care da cea maimica valoare a functieif(x)

OBS: ConditiileKT = conditii necesare pot exista puncteKTcare nu suntpentru minimul local minime globale volum mare de calcule

Daca PN esteconvexa orice minim local = minim global

conditiileKT = conditii suficiente


22/29

Definitie: O multimeS se numesteconvexa x(1),x(2) S:

x(1) + (1-)x(2) S, 0 1, adica intregul segment de dreapta dintrex(1)six(2) este inS

Definitie: O functief(x) definita pe o multime convexaS se numesteconvexa (concava)

22

x ,x S, f[x + (1-)x ]f(x ) + (1-)f[x ] 0 1

()

Inegalitati stricte

convexitatestricta

(concavitate)


23/29

Teorema: O functief(x) den variabile,x Rn este convexa pe o multime convexaS hessianul Heste PD sau PSDxS

Teorema: Multimea S= {x Rngi(x) 0,i = 1, ,m sihi(x) = 0,i = 1, ,p } esteconvexa dacagi(x) sunt convexe sihi(x) sunt liniare,hi(x) =ai

Tx + bi

Definitie: Dacaf(x),gi(x),i = 1, ,m sunt convexe sihi(x),i = 1, ,p, sunt liniare, problema PN se numesteproblema de programare convexa (PC)

Teorema: Dacax* este minim local pentru pentru o functie convexaf(x) definita pe o

23

mu me convexa x es e m n m g o a

Definitie: Se spune ca este satisfacutaconditia Slater Rn astfel incatgi( ) < 0,gi(x) neliniare,i = 1, ,mx x

Teorema: Fief(x) sigi(x) < 0,i = 1, ,m, diferentiabile si conditia Slater satisfacuta.

x* este solutie a PC conditiile Kuhn-Tucker sunt satisfacute inx*

CONCLUZIE: Dacaf(x) = convexa si multimea fezabilaS = convexa in problema PNconditiile Kuhn-Tucker =conditii necesare si suficiente pentru minimul global


24/29

Model de tip circuit magnetic (proiectare optimala) optimizarea electromagnetului unui contactor de curent continuu

Exemple de optimizare in inginerie electrica

1. X1

= A

2. X2 = A1/A

3. X3 = A2/A224. X4 = A3/A34

Variabile de proiectare:

. 5 4 2

Restrictii: geometrice, restrictii pentru bobine,densitatea de flux magnetic in miez,energia cinetica la atingerea contactelor

discretizarea spatiului de proiectare

dupa 5 directii

retea de discretizare 5-dimensionala

24


25/29

Model de tip circuit magnetic (proiectare optimala) optimizarea formei polului unui electromagnet de curent continuu


Coordonatele (xi,yi) ale frontiereipolare (punctele de contur)

Variabile de proiectare: Restrictii: densitate de flux magneticconstant B = 0.1T pe zona polara ajugului, limitele coordonatelorxuxi xo,yu yiyo

25


26/29

Model de tip camp electric ecranarea campului electric intransformatoarele de curent


ecranarea campului electric intransformatoarele de tensiune

(optimizare partiala)

Variabile: inaltimea si diametrul ecranului

Functia obiectiv: intensitatea campuluielectric pe suprafata exterioara aizolatorului min

Variabile: pozitia si raza ecranelor

Functia obiectiv: intensitatea campuluielectric min

26


27/29

Model de tip camp magnetic optimizarea caracteristicii fortei unui electromagnet cu disc feromagnetic in bobina



Variabile: pozitia si geometria discului

Restrictii: caracteristici electrice si mecanice date

Functia obiectiv: forta initiala F0 max

27


28/29

Model de tip mecanic optimizarea miezurilor magnetice la transformatoare



Variabile: latimile treptelor miezului

a1, , a6

Functia obiectiv: diferentaSdintre ariacercului Sc de diametru Dc si ariaocupata de miez St min

28


29/29

Metoda celor mai mici patrate model de ajustare neliniara



Functia de ajustare: t(x) =a xn +b

29

Variabile: coeficientii a, b, n ai functiei deajustare

Functia obiectiv: suma patratelordiferentelor dintre curba reala sifunctia de ajustare min

proiect attila borbely

Documents