programa scolara la matematica - revizuita (cl. v-viii)

Programa şcolară a fost aprobată prin Ordinul Ministrului EducaŃiei, Cercetării şi Tineretului cu nr. 4875/22.07.2008

MINISTERUL EDUCA łIEI, CERCET ĂRII ŞI TINERETULUI

PROGRAMĂ ŞCOLARĂ REVIZUITĂ

M A T E M A T I C Ă

CLASELE a V-a, a VI-a, a VII-a, a VIII-a

Bucureşti, 2008

Matematica – Clasele a V-a, a VI-a, a VII-a, a VIII-a 2

NOTĂ DE PREZENTARE

Prezentul document conŃine programele şcolare revizuite de MATEMATICĂ pentru clasele a V-a –

a VIII-a şi se adresează profesorilor care predau această disciplină în gimnaziu. Programa şcolară este parte componentă a curriculumului naŃional. Aceasta reprezintă documentul

şcolar de tip reglator – instrument de lucru al profesorului – care stabileşte, pentru fiecare disciplină oferta educaŃională care urmează să fie realizată în bugetul de timp alocat pentru un parcurs şcolar determinat, în conformitate cu statutul şi locul disciplinei în planul-cadru de învăŃământ.

Programele şcolare pentru învăŃământul gimnazial au următoarele componente: • notă de prezentare • obiective-cadru • obiective de referinŃă şi exemple de activităŃi de învăŃare • conŃinuturi ale învăŃării • standarde curriculare de performanŃă.

Programele şcolare pentru învăŃământul gimnazial subliniază importanŃa rolului reglator al obiectivelor pe cele două niveluri de generalitate: obiective-cadru şi obiective de referinŃă. Celelalte componente au ca principal scop realizarea obiectivelor de către elevi.

Nota de prezentare a programei şcolare descrie parcursul disciplinei de studiu, argumentează structura didactică adoptată şi sintetizează o serie de recomandări considerate semnificative din punct de vedere al finalităŃilor studierii disciplinei respective.

Obiectivele-cadru sunt obiective cu un grad ridicat de generalitate şi complexitate. Ele se referă la formarea unor capacităŃi şi atitudini generate de specificul disciplinei şi urmărite de-a lungul mai multor ani de studiu. Obiectivele-cadru au o structură comună pentru toate disciplinele aparŃinând unei arii curriculare şi au rolul de a asigura coerenŃa în cadrul acesteia.

Obiectivele de referinŃă sunt obiective care specifică rezultatele aşteptate ale învăŃării la finalul unui an de studiu şi urmăresc progresul în formarea de capacităŃi şi achiziŃia de cunoştinŃe ale elevului de la un an de studiu la altul.

Exemplele de activităŃi de învăŃare propun modalităŃi de organizare a activităŃii în clasă. Pentru realizarea obiectivelor propuse pot fi organizate diferite tipuri de activităŃi de învăŃare. Programa şcolară oferă cel puŃin un exemplu de astfel de activităŃi pentru fiecare obiectiv de referinŃă în parte. Exemplele de activităŃi de învăŃare sunt construite astfel încât să pornească de la experienŃa concretă a elevului şi să se integreze unor strategii didactice adecvate contextelor variate de învăŃare.

ConŃinuturile învăŃării sunt mijloace prin care se urmăreşte atingerea obiectivelor-cadru şi de referinŃă propuse. UnităŃile de conŃinut sunt organizate tematic.

Standardele curriculare de performanŃă sunt criterii de evaluare a calităŃii procesului de învăŃare şi reprezintă enunŃuri sintetice în măsură să indice gradul în care vor fi atinse de către elevi obiectivele disciplinei de studiu, la sfârşitul învăŃământul gimnazial; în mod concret, standardele curriculare de performanŃă constituie specificări de performanŃă vizând cunoştinŃele, deprinderile şi comportamentele dobândite de elevi prin studiul disciplinei. Standardele curriculare de performanŃă sunt standarde naŃionale şi reprezintă, pentru toŃi elevii, un sistem de referinŃă comun şi echivalent.

Revizuirea programelor şcolare pentru învăŃământul gimnazial a vizat descongestionarea acestora, luând în considerare dinamica elaborării, aplicării şi revizuirii curriculumului naŃional.

În acest context, procesul de revizuire realizat în anul 2008 a pornit de la premisa menŃinerii în vigoare a planurilor-cadru de învăŃământ, aprobate prin Ordinul ministrului educaŃiei nr. 3638/ 11.04.2001, şi a avut în vedere următoarele aspecte:

- dezvoltarea unor strategii didactice pornind de la obiective şi asigurarea continuităŃii şi a progresului de la o clasă la alta, urmărind centrarea pe elev, ca subiect al activităŃii instructiv-educative;

- asigurarea corelaŃiei între obiectivele de referinŃă şi conŃinuturile învăŃării (stabilirea conŃinuturilor învăŃării, prin raportare la obiectivele de referinŃă, Ńinând seamă de nevoile de învăŃare, de nivelul de vârstă al elevului şi de timpul de studiu de care dispune acesta);

- asigurarea coerenŃei la nivelul disciplinei şi a corelării la nivel de arie curriculară; - eliminarea unor aspecte care plasau demersul didactic la un nivel prea teoretic şi accentuarea

caracterului practic-aplicativ al acestuia; - adaptează ansamblul obiectivelor de referinŃă şi al exemplelor de activităŃi de învăŃare la

schimbările din structura învăŃământului obligatoriu, prin reformulări şi prin adăugarea unor precizări de conŃinut care să asigure premisele pentru ameliorarea calităŃii actului didactic.


Studiul matematicii în învăŃământul obligatoriu îşi propune să asigure pentru toŃi elevii formarea

competenŃelor de bază în rezolvarea de probleme implicând calculul algebric şi raŃionamentul geometric. ÎnvăŃarea matematicii în gimnaziu urmăreşte conştientizarea naturii matematicii ca o activitate de

rezolvare a problemelor, bazată pe un corpus de cunoştinŃe şi de proceduri, dar şi ca o disciplină dinamică, strâns legată de societate prin relevanŃa sa în cotidian şi prin rolul său în ştiinŃele naturii, în ştiinŃele economice, în tehnologii şi în ştiinŃele sociale.

Sensul major al referinŃelor actuale în predarea-învăŃarea matematicii este mutarea accentului de pe predarea de informaŃii care, în esenŃă, au rămas aceleaşi din vechile programe, pe formarea de capacităŃi. Astfel, este util ca în procesul didactic să avem în vedere:

- construirea unei varietăŃi de contexte problematice, în măsură să genereze deschideri către domenii ale matematicii;

- folosirea de strategii diferite în rezolvarea de probleme; - organizarea unor activităŃi variate de învăŃare pentru elevi, în grup şi individual, în funcŃie de

nivelul şi de ritmul propriu de dezvoltare al fiecăruia; - construirea unor secvenŃe de învăŃare care să permită activităŃi de explorare/investigare la

nivelul noŃiunilor de bază studiate.

Programele şcolare sunt construite astfel încât să nu îngrădească, prin concepŃie sau mod de redactare, libertatea profesorului de a alege succesiunea temelor şi metodele pe care le consideră cele mai adecvate. Criteriul de asigurare a calităŃii actului de predare-învăŃare este reprezentat de realizarea obiectivelor de referinŃă, la sfârşitul fiecărui an, precum şi de atingerea standardelor curriculare, la sfârşitul învăŃământului gimnazial.

Proiectarea activităŃii didactice, elaborarea manualelor şcolare alternative este bine să fie precedate de lectura integrală a programei şcolare şi de urmărirea logicii interne a acesteia. În cadrul programei, fiecărui obiectiv-cadru îi sunt asociate obiective de referinŃă; atingerea obiectivelor de referinŃă se realizează cu ajutorul conŃinuturilor. Profesorul poate opta pentru utilizarea activităŃilor de învăŃare recomandate prin programă sau poate propune alte activităŃi adecvate colectivului de elevi şi condiŃiilor concrete din clasă. Strategiile de lucru propuse trebuie să Ńină seama de experienŃa elevilor la această vârstă şi să permită valorizarea pozitivă a acesteia.


OBIECTIVE CADRU

1. Cunoaşterea şi înŃelegerea conceptelor, a terminologiei şi a procedurilor de calcul

specifice matematicii

2. Dezvoltarea capacităŃilor de explorare/investigare şi de rezolvare de probleme

3. Dezvoltarea capacităŃii de a comunica, utilizând limbajul matematic

4. Dezvoltarea interesului şi a motivaŃiei pentru studiul şi aplicarea matematicii în

contexte variate

Matematica – Clasele a V-a, a VI-a, a VII-a, a VIII-a

5

CLASA A V-A OBIECTIVE DE REFERIN łĂ ŞI EXEMPLE DE ACTIVIT ĂłI DE ÎNV ĂłARE

1. Cunoaşterea şi înŃelegerea conceptelor, a terminologiei şi a procedurilor de calcul specifice matematicii Obiective de referinŃă Exemple de activităŃi de învăŃare La sfârşitul clasei a V-a,

elevul va fi capabil: Pe parcursul clasei a V-a, se recomandă următoarele activităŃi:

1.1 să utilizeze limbajul matematic în scrierea, citirea, compararea şi reprezentarea pe axa numerelor a numerelor naturale, fracŃionare şi zecimale

- ExerciŃii de scriere şi de citire a numerelor naturale în sistemul de numeraŃie zecimal - Determinarea unui număr natural pe baza unor condiŃii impuse cifrelor sale - ExerciŃii de reprezentare a numerelor naturale pe axa numerelor - ExerciŃii de scriere şi de citire a unei fracŃii ordinare - ExerciŃii de reprezentare pe axa numerelor a fracŃiilor ordinare - ExerciŃii de comparare a fracŃiilor ordinare prin aducere la acelaşi numitor sau la acelaşi numărător - ExerciŃii de citire şi de scriere a fracŃiilor zecimale finite (cu un număr finit de zecimale nenule) - ExerciŃii de comparare a două fracŃii zecimale finite (folosind eventual aproximarea acestora) - ExerciŃii de ordonare a mai multor fracŃii zecimale finite - ExerciŃii de reprezentare pe axa numerelor a fracŃiilor zecimale finite folosind aproximarea acestora - ExerciŃii de comparare şi de ordonare a fracŃiilor zecimale (media aritmetică a două numere este cuprinsă între cele două numere)

1.2 să efectueze operaŃii cu numere naturale, cu fracŃii ordinare, cu fracŃii zecimale, utilizând proprietăŃile operaŃiilor

- ExerciŃii de adunare/scădere a numerelor naturale - ExerciŃii de evidenŃiere şi de aplicare a proprietăŃilor adunării numerelor naturale - ExerciŃii de înmulŃire a numerelor naturale - ExerciŃii de evidenŃiere şi de aplicare a proprietăŃilor înmulŃirii numerelor naturale - ExerciŃii de utilizare a distributivităŃii înmulŃirii fa Ńă de adunarea/scăderea numerelor naturale - ExerciŃii de respectare a ordinii efectuării operaŃiilor - ExerciŃii de respectare a ordinii efectuării operaŃiilor în paranteze rotunde şi/sau pătrate - Utilizarea algoritmului împărŃirii, cu restul egal cu zero, în cazul în care deîmpărŃitul şi împărŃitorul au una sau mai multe cifre - Utilizarea algoritmului împărŃirii, cu restul diferit de zero, în cazul în care deîmpărŃitul şi împărŃitorul au una sau mai multe cifre - ExerciŃii şi probleme de aplicare a împărŃirii cu rest - ExerciŃii de calcul a unor expresii numerice care conŃin paranteze (rotunde, pătrate şi acolade), cu respectarea ordinii efectuării operaŃiilor - ExerciŃii de scriere a unui număr natural ca produs de două sau de mai multe numere naturale şi deducerea relaŃiei de divizibilitate

- ExerciŃii de determinare a fracŃiei b

a

( , 0a b b< ≠ ) din numărul

natural n, multiplu al numărului b (utilizând metoda reducerii la unitate sau formula de calcul ( : )n b a⋅ ) - ExerciŃii de simplificare a fracŃiilor prin determinarea unuia sau a mai multor divizori comuni ai numărătorului şi numitorului (nu se va stabili neapărat cel mai mare divizor comun) - ExerciŃii de amplificare a fracŃiilor - ExerciŃii de definire a unui număr raŃional ca mulŃimea fracŃiilor echivalente cu o fracŃie dată - ExerciŃii de transformare a unei fracŃii zecimale cu un număr finit de zecimale într-o fracŃie ordinară


6

- ExerciŃii de adunare şi de scădere a fracŃiilor zecimale finite - Utilizarea proprietăŃilor adunării în exerciŃii cu fracŃii zecimale finite - ExerciŃii de aplicare a algoritmului de înmulŃire a unei fracŃii zecimale finite cu 10, 100, 1000, ... - ExerciŃii de aplicare a algoritmului de înmulŃire a unei fracŃii zecimale finite cu un număr natural - ExerciŃii de aplicare a algoritmului de înmulŃire a două fracŃii zecimale finite - Utilizarea proprietăŃilor înmulŃirii fracŃiilor zecimale finite în calcule aritmetice - ExerciŃii de calcul a puterilor cu exponent natural a unei fracŃii zecimale finite - Calculul unor expresii fără paranteze cu fracŃii zecimale finite - Calculul unor expresii cu paranteze cu fracŃii zecimale finite - ExerciŃii de aplicare a algoritmului de împărŃire a două numere naturale, având ca rezultat o fracŃie zecimală finită - ExerciŃii de aplicare a algoritmului de împărŃire a două numere naturale, având ca rezultat o fracŃie zecimale periodică - ExerciŃii de transformare a fracŃiilor ordinare în fracŃii zecimale (finite sau periodice) - ExerciŃii de împărŃire a unei fracŃii zecimale la 10, 100, 1000,... - ExerciŃii de aplicare a algoritmului de împărŃire a unei fracŃii zecimale la un număr natural - ExerciŃii de aplicare a algoritmului de împărŃire a două fracŃii zecimale finite - ExerciŃii care să evidenŃieze avantajele folosirii proprietăŃilor operaŃiilor cu fracŃii zecimale - Scrierea unui procent sub forma unei fracŃii ordinare sau a unei fracŃii zecimale - ExerciŃii de determinare a mediei aritmetice a două sau a mai multor numere naturale sau fracŃii zecimale finite

1.3 să folosească aproximări ale numerelor naturale, fracŃionare şi zecimale pentru a estima sau a verifica validitatea unor calcule

- Identificarea pe baza estimării a rezultatelor unor calcule dintr-o listă de răspunsuri - ExerciŃii de aproximare prin lipsă sau prin adaos a fracŃiilor zecimale

1. 4 să utilizeze elemente de logică şi de teoria mulŃimilor pentru a justifica etape în rezolvarea unor probleme

- Caracterizarea noŃiunii de divizor folosind împărŃirea cu rest - ExerciŃii de stabilire a apartenenŃei unui element la o mulŃime; utilizarea simbolului de apartenenŃă - ExerciŃii de stabilire a incluziunii şi respectiv a egalităŃii între două mulŃimi; utilizarea simbolurilor matematice de incluziune şi de egalitate - ExerciŃii de identificare şi reprezentare a submulŃimilor unei mulŃimi date (evidenŃiindu-se, ca submulŃimi, mulŃimea vidă şi mulŃimea însăşi) - ExerciŃii de identificare şi de scriere a unor submulŃimi ale unei mulŃimi date de numere naturale (exemple: submulŃimea multiplilor unui număr natural dat; submulŃimea divizorilor unui număr natural dat; submulŃimea soluŃiilor unor ecuaŃii sau inecuaŃii)

1.5 să utilizeze ecuaŃii de tipul: x a b± = ; a x b± = ; x a b⋅ = ( 0a ≠ , a divizor al lui b);

:x a b= ( 0a ≠ ); :a x b= ( 0x ≠ ,

b divizor al lui a) şi inecuaŃii de tipul: x a b± ≤ ( , ≥ <, > ); x a b⋅ ≤ ( , ≥ <, > ), unde a este

- Determinarea unui termen al adunării/scăderii dintr-o egalitate sau o inegalitate prin încercări, prin proba operaŃiei respective sau prin metoda mersului invers - Introducerea noŃiunilor de ecuaŃie şi de inecuaŃie pornind de la următoarele tipuri de relaŃii: x a b± = ; a x b± = ; x a b⋅ = , cu

0a ≠ , a divizor al lui b; :x a b= , cu 0a ≠ ; :a x b= , cu 0x ≠ , b divizor al lui a; x a b± ≤ (respectiv , ≥ <, > ); x a b⋅ ≤ (respectiv


7

divizor al lui b; :x a b≤ ( , ≥ <, > ), cu 0a ≠ ,

unde a şi b sunt numere naturale sau fracŃii zecimale finite, în rezolvarea sau compunerea unor probleme

, ≥ <, > ), cu a divizor al lui b; :x a b≤ (respectiv , ≥ <, > ), cu 0a ≠

- Formularea unor probleme pe baza unor scheme, modele sau reguli şi soluŃionarea acestora prin utilizarea unor tehnici variate - Rezolvarea şi verificarea soluŃiilor unor ecuaŃii de tipurile: x a b± = ; a x b± = ; x a b⋅ = ( 0a ≠ ); :x a b= ( 0a ≠ ) ;

:a x b= ( 0x ≠ ), unde a şi b sunt numere naturale sau fracŃii zecimale finite

1.6 să recunoască figuri şi corpuri geometrice; să deseneze figurile şi să construiască din diferite materiale corpuri cunoscute

- Observarea unor segmente pe modele fizice/desene - ExerciŃii de descriere şi de identificare a unor elemente ale figurilor geometrice: laturi, unghiuri sau diagonale - ExerciŃii de descriere şi de identificare a cubului/ paralelipipedului dreptunghic; recunoaşterea cubului ca un paralelipiped dreptunghic particular - ExerciŃii de evidenŃiere a elementelor cubului /paralelipipedului dreptunghic: vârfuri, muchii, feŃe; caracterizarea feŃelor cubului/paralelipipedului dreptunghic - ExerciŃii de desfăşurare a paralelipipedului dreptunghic şi a cubului ( modele din carton)

1.7 să folosească simetria şi translaŃia pentru a construi modele geometrice

- Analiza unor exemple de simetrie şi translaŃie din cotidian - Analiza unor exemple de figuri cu sau fără axă de simetrie; exerciŃii de desenare a unor figuri pe o reŃea de pătrate

1.8 să efectueze transformări între multiplii şi submultiplii principalelor unităŃi din sistemul internaŃional de măsuri (pentru lungime, arie, volum, masă, timp, unităŃi monetare); să estimeze măsuri ale unor obiecte din mediul înconjurător

- ActivităŃi care să pună în evidenŃă necesitatea unui etalon comun pentru efectuarea unor măsurători - ExerciŃii de măsurare sau de estimare a lungimilor unor segmente (care să reprezinte laturi ale unor figuri geometrice plane), prin alegerea celei mai potrivite unităŃi de măsură pentru un context dat - ExerciŃii de comparare a lungimilor unor segmente - ExerciŃii de transformare a unităŃilor standard de măsură pentru lungime - ExerciŃii de calculare a perimetrului unor figuri geometrice - ExerciŃii de transformare a unităŃilor standard de măsură pentru arie - ActivităŃi care evidenŃiază exprimarea, ca rezultat al unei măsurări, a volumului corpurilor în unităŃi standard (metrul cub, cu multipli şi submultipli) sau unităŃi nestandard, pornind de la măsura (volumul) cubului de muchie 1 - Determinarea volumului unui cub sau a unui paralelipiped dreptunghic utilizând reŃeaua de cuburi de muchie 1 şi deducerea formulei de calcul - ExerciŃii de determinare şi de estimare a capacităŃii (unor vase) - ExerciŃii de transformare a unităŃilor standard de măsură a volumului/capacităŃii - ExerciŃii de măsurare şi de estimare a masei (corpurilor fizice) în unităŃi standard - ExerciŃii în care intervin transformări ale unităŃilor de măsură pentru masă - ExerciŃii în care intervin transformări ale unităŃilor de măsură pentru timp - ExerciŃii în care intervin transformări monetare

1.9 să înregistreze, să clasifice şi să prezinte date sub formă de tabele şi diagrame

- Colectarea unor date, reprezentarea acestora în tabele, prelucrarea şi interpretarea lor - ExerciŃii de descriere a mulŃimilor (prin enumerarea elementelor sau prin enunŃarea proprietăŃii comune a elementelor) şi de reprezentare a acestora (prin scrierea simbolică matematică sau prin utilizarea diagramelor Venn-Euler)


8

2. Dezvoltarea capacităŃii de explorare/investigare şi de rezolvare a problemelor

Obiective de referinŃă Exemple de activităŃi de învăŃare La sfârşitul clasei a V-a, elevul

va fi capabil: Pe parcursul clasei a V-a, se recomandă următoarele activităŃi

2.1 să exploreze modalităŃi de

descompunere a numerelor naturale folosind operaŃiile studiate şi modalităŃi de efectuare a operaŃiilor cu fracŃii ordinare/zecimale

- ExerciŃii de identificare a numărului de unităŃi, zeci, sute, mii etc. ale unui număr natural - ExerciŃii de scriere a numerelor naturale care să evidenŃieze cifrele unităŃilor, zecilor, miilor... (reprezentări de tipul 762 7 100 6 10 2= ⋅ + ⋅ + ) - ExerciŃii de scriere a unui număr natural în formă convenŃională

(de tipul ab = 10a +b) - Calculul puterii cu exponent natural a unui număr natural prin înmulŃire repetată - ExerciŃii de scriere a unui număr natural folosind puterile lui 10 - ExerciŃii de calcul cu puteri (fără a enunŃa regulile de calcul cu puteri) - ExerciŃii de utilizare a factorului comun - ExerciŃii de identificare a divizorului şi a multiplului folosind produsul a două numere naturale; utilizarea notaŃiei a b

- ExerciŃii de reprezentare a unei fracŃii (subunitare) ca o “sumă” de părŃi egale ale unităŃii, cu evidenŃierea semnificaŃiei numărătorului şi a numitorului - Utilizarea unor reprezentări grafice variate pentru ilustrarea fracŃiilor echiunitare, subunitare, supraunitare - ExerciŃii de scriere a fracŃiilor echiunitare, subunitare şi supraunitare în forme echivalente - ExerciŃii de scoatere a întregilor dintr-o fracŃie supraunitară şi respectiv de introducere a întregilor în fracŃie - Verificarea echivalenŃei a două fracŃii prin diferite reprezentări grafice - ExerciŃii de scriere ca fracŃie zecimală a unei fracŃii ordinare cu numitorul o putere a lui 10 - ExerciŃii de reprezentare ca fracŃie zecimală a unei fracŃii ordinare cu numitorul un produs de puteri ale lui 2 şi 5 - ExerciŃii de transformare a fracŃiilor periodice în fracŃii ordinare - ExerciŃii de scriere a unei fracŃii zecimale finite ca: - o sumă dintre un număr natural şi un număr zecimal subunitar - un produs dintre un număr zecimal şi o putere a lui 10 - un cât dintre un număr zecimal şi o putere a lui 10 - Scrierea unei fracŃii zecimale subunitare, cu două zecimale nenule, sub formă de procent: p%, unde p este număr natural

2.2 să investigheze valoarea de adevăr a unei afirmaŃii prin construirea unor exemple sau prin aplicarea unor metode de calcul

- Verificarea prin împărŃire a divizibilităŃii numerelor naturale cu 10, 5 sau 2 - Aplicarea criteriilor de divizibilitate cu 10, 5 şi 2 în exerciŃii şi probleme - Rezolvarea unor ecuaŃii şi inecuaŃii prin încercări sau folosind proprietăŃi ale operaŃiilor cu numere naturale, metoda balanŃei (utilizarea intuitivă a proprietăŃilor inegalităŃii) sau metoda mersului invers - Verificarea corectitudinii rezolvării unei ecuaŃii prin înlocuirea soluŃiei în ecuaŃie - Deducerea unor consecinŃe ce decurg dintr-un set de ipoteze sau dintr-o estimare - ExerciŃii de utilizare a simbolurilor specifice operaŃiilor de reuniune şi de intersecŃie a mulŃimilor


9

- Determinarea unor mulŃimi care verifică anumite condiŃii legate de apartenenŃă, incluziune, reuniune sau intersecŃie - ExerciŃii de utilizare a termenilor ,,şi”, ,,sau”, ,,nu” în contexte uzuale sau matematice - ExerciŃii de identificare dintr-o listă de fracŃii a fracŃiilor echivalente cu o fracŃie dată şi verificarea echivalenŃei

2.3 să descopere, să recunoască, să asocieze şi să completeze succesiuni de numere asociate după reguli date sau identificate prin observare

- ExerciŃii de ordonare crescătoare sau descrescătoare a unor numere naturale - Rezolvarea unor probleme prin metode aritmetice - Reprezentarea numerelor naturale ca mulŃimea N - Reprezentarea numerelor naturale nenule ca mulŃimea N* - Reprezentarea numerelor naturale ca şir, cu identificarea regulii sale de formare şi cu evidenŃierea caracterului său infinit - ExerciŃii de identificare/recunoaştere a mulŃimilor finite, respectiv infinite - Utilizarea, în contexte variate, a unor mulŃimi infinite de numere naturale (mulŃimea multiplilor unui număr natural - în particular, mulŃimea numerelor pare; mulŃimea numerelor impare; mulŃimea termenilor unui şir care respectă o regulă dată)

2.4 să recunoască veridicitatea unor rezultate obŃinute prin măsurare sau calcul; să interpreteze date obŃinute prin măsurare sau calcul

- Estimarea rezultatului unui calcul prin rotunjirea convenabilă a factorilor sau a termenilor - Caracterizarea împărŃirii cu rest prin relaŃia dintre deîmpărŃit, împărŃitor, cât şi rest şi prin compararea restului cu împărŃitorul; utilizarea acestei caracterizări ca probă a operaŃiei - ExerciŃii de verificare (folosind diferite reprezentări) a echivalenŃei fracŃiilor obŃinute prin amplificare sau prin simplificare - Compararea lungimilor unor segmente exprimate în unităŃi standard de măsură diferite - Compararea ariilor unor suprafeŃe exprimate în unităŃi de măsură standard diferite - Compararea maselor (unor corpuri fizice) exprimate în unităŃi de măsură standard diferite - Compararea volumelor (unor corpuri fizice) exprimate în unităŃi de măsură standard diferite

2.5 să construiască probleme pornind de la un enunŃ parŃial sau de la un model (grafic sau formulă)

- Formularea unei probleme pornind de la o ecuaŃie dată - Formularea unei probleme pornind de la un enunŃ parŃial, discutând diferite variante de dezvoltare a formulării date

2.6

să utilizeze instrumente geometrice (riglă, echer) pentru a desena figuri geometrice

- ExerciŃii de descriere şi identificare a unghiurilor, triunghiurilor şi patrulaterelor - ExerciŃii de desenare, cu ajutorul instrumentelor geometrice, a unghiurilor, triunghiurilor şi patrulaterelor

2.7 Să măsoare mărimi utilizând instrumente de măsură adecvate

- ActivităŃi care evidenŃiază exprimarea, ca rezultat al unei măsurări, a lungimii segmentelor în unităŃile standard (metrul cu multiplii şi submultiplii lui) sau unităŃi nestandard - ActivităŃi care evidenŃiază exprimarea, ca rezultat al unei măsurări, a ariei suprafeŃelor în unităŃile standard (metrul pătrat cu multiplii şi submultiplii lui) sau unităŃi nestandard, pornind de la măsura (aria) pătratului de latură 1 - ExerciŃii de măsurare şi de estimare a timpului

3. Dezvoltarea capacităŃii de a comunica utilizând limbajul matematic Obiective de referinŃă

La sfârşitul clasei a V-a, elevul va fi capabil:

Exemple de activităŃi de învăŃare Pe parcursul clasei aV-a, se recomandă următoarele activităŃi

3.1 să identifice informaŃiile esenŃiale dintr-un enunŃ

- ExerciŃii de comparare a două numere naturale folosind simbolurile de egalitate şi de inegalitate: =,, , ,≥ ≤ < >


10

matematic prezentat în diferite forme

- Utilizarea exprimărilor ,,cuprinse între”, ,,cel mult egal”, ,,cel puŃin egal “ în contexte variate - ExerciŃii de transcriere a unei situaŃii problemă în limbaj matematic înlocuind numerele necunoscute cu simboluri - Analiza textului unei probleme în vederea identificării operaŃiilor aritmetice utilizate în rezolvare - ExerciŃii de estimare a rezultatelor unor calcule

3.2 să prezinte clar, corect şi concis, oral sau în scris, metodele şi/sau operaŃiile utilizate în rezolvarea unei probleme

- Rezolvarea unor probleme de numărare bazate pe scrierea, citirea, compararea şi ordonarea numerelor naturale - Redactarea rezolvării problemelor, cu argumentarea etapelor de rezolvare - Rezolvarea unor probleme cu text cu ajutorul ecuaŃiilor sau al inecuaŃiilor - Rezolvarea aritmetică a unor probleme care necesită determinarea unei fracŃii (subunitare) dintr-un număr natural, cu rezultat număr natural - Rezolvarea de probleme care implică adunarea şi scăderea fracŃiilor zecimale - Rezolvarea de probleme practice utilizând operaŃia de înmulŃire a fracŃiilor zecimale finite - Deretminarea unui procent dintr-o fracŃie zecimală finită - Rezolvarea unor probleme în care apar procente - ExerciŃii de argumentare a demersului de rezolvare a unei probleme

3.3 să-şi asume diverse roluri de învăŃare în cadrul unui grup

- Formulare de probleme pentru colegi - Rezolvarea unor probleme propuse de colegi.

4. Dezvoltarea interesului şi a motivaŃiei pentru studiul şi aplicarea matematicii în contexte variate Obiective de referinŃă Exemple de activităŃi de învăŃare La sfârşitul clasei a V-a, elevul

va fi capabil: Pe parcursul clasei a V-a, se recomandă următoarele activităŃi:

4.1 să-şi formeze obişnuinŃa de a

exprima printr-un enunŃ matematic anumite probleme practice

- ExerciŃii de recunoaştere a unei reguli de formare a unor succesiuni de numere naturale şi completarea acestora cu termeni potriviŃi - Rezolvări de probleme utilizând ecuaŃii sau inecuaŃii - Transpunerea informaŃiilor dintr-o problemă în limbajul matematic al ecuaŃiilor (obŃinute prin înlocuirea cu simboluri a numerelor necunoscute) şi rezolvarea acestora, cu interpretarea rezultatului - Rezolvarea de probleme în care se utilizează media aritmetică - Determinarea ariei unei suprafeŃe pătrate sau dreptunghiulare utilizând reŃeaua de pătrate de latură 1 şi deducerea formulei de calcul - ExerciŃii de măsurare şi de estimare a ariilor unor suprafeŃe plane din mediul înconjurător - Compararea capacitaŃii (unor vase) exprimate în unităŃi de măsură standard diferite - Rezolvarea de probleme care necesită transformări monetare

4.2 să manifeste perseverenŃă în rezolvarea şi utilizarea unor metode variate în rezolvarea unei probleme; să participe cu idei noi la găsirea soluŃiei

- Rezolvarea unor probleme utilizând operaŃiile de adunare sau de scădere a numerelor naturale - Utilizarea mai multor metode diferite în rezolvarea unei probleme


11

CLASA a V-a ConŃinuturi ale învăŃării

1. Numere naturale • Scrierea şi citirea numerelor naturale în sistemul de numeraŃie zecimal; şirul numerelor naturale.

Reprezentarea numerelor naturale pe axă. Compararea, aproximarea şi ordonarea numerelor naturale; probleme de estimare

• Adunarea numerelor naturale; proprietăŃi. Scăderea numerelor naturale

• ÎnmulŃirea numerelor naturale; proprietăŃi. Factor comun. Ordinea efectuării operaŃiilor; utilizarea parantezelor: rotunde, pătrate şi acolade

• Ridicarea la putere cu exponent natural a unui număr natural; compararea puterilor care au aceeaşi bază sau acelaşi exponent

• ÎmpărŃirea, cu rest zero, a numerelor naturale când împărŃitorul are mai mult de o cifră

• ÎmpărŃirea cu rest a numerelor naturale

• Ordinea efectuării operaŃiilor

• NoŃiunea de divizor; noŃiunea de multiplu. Divizibilitatea cu 10, 2, 5

• Media aritmetică a două numere naturale

• EcuaŃii şi inecuaŃii în mulŃimea numerelor naturale

• Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuaŃiilor şi al inecuaŃiilor şi probleme de organizare a datelor

2. MulŃimi

• MulŃimi: descriere şi notaŃii; element, relaŃia dintre element şi mulŃime (relaŃia de apartenenŃă)

• RelaŃia între două mulŃimi (relaŃia de incluziune); submulŃime

• MulŃimile N şi N*

• OperaŃii cu mulŃimi: intersecŃie, reuniune, diferenŃă

• Exemple de mulŃimi finite; exemple de mulŃimi infinite

3. Numere raŃionale mai mari sau egale cu 0, +�

FracŃii ordinare • FracŃii echiunitare, subunitare, supraunitare • Aflarea unei fracŃii dintr-un număr natural; procent

• FracŃii echivalente. Amplificarea şi simplificarea fracŃiilor

• Reprezentarea pe axa numerelor a unei fracŃii ordinare

FracŃii zecimale

• Scrierea fracŃiilor ordinare cu numitori puteri ale lui 10 sub formă de fracŃii zecimale. Transformarea unei fracŃii zecimale, cu un număr finit de zecimale nenule, într-o fracŃie ordinară

• Aproximări la ordinul zecimilor/sutimilor. Compararea, ordonarea şi reprezentarea pe axa numerelor a fracŃiilor zecimale.

• Adunarea şi scăderea fracŃiilor zecimale care au un număr finit de zecimale nenule

• ÎnmulŃirea fracŃiilor zecimale care au un număr finit de zecimale nenule

• Ridicarea la putere cu exponent natural a unei fracŃii zecimale care are un număr finit de zecimale nenule

• Ordinea efectuării operaŃiilor cu fracŃii zecimale finite

• ÎmpărŃirea a două numere naturale cu rezultat fracŃie zecimală. Transformarea unei fracŃii ordinare într-o fracŃie zecimală. Periodicitate

• ÎmpărŃirea unei fracŃii zecimale finite la un număr natural nenul. ÎmpărŃirea unui număr natural la o fracŃie zecimală finită. ÎmpărŃirea a două fracŃii zecimale finite


12

• Transformarea unei fracŃii zecimale într-o fracŃie ordinară.

• Ordinea efectuării operaŃiilor

• Media aritmetică a două fracŃii zecimale finite

• EcuaŃii şi inecuaŃii; probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuaŃiilor 4. Elemente de geometrie şi unităŃi de măsură

• Dreapta, segmentul de dreaptă, măsurarea unui segment de dreaptă

• Unghiul, triunghiul, patrulaterul, cercul: prezentare prin descriere şi desen; recunoaşterea elementelor lor: laturi, unghiuri, diagonale, centru şi raza cercului

• Simetria, axa de simetrie şi translaŃia: prezentare intuitivă, exemplificare în triunghi, cerc, patrulater

• Cubul, paralelipipedul dreptunghic: prezentare prin desen şi desfăşurare; recunoaşterea elementelor lor: vârfuri, muchii, feŃe

• UnităŃi de măsură pentru lungime; perimetre; transformări

• UnităŃi de măsură pentru arie; aria pătratului şi a dreptunghiului; transformări

• UnităŃi de măsură pentru volum; volumul cubului şi al paralelipipedului dreptunghic; transformări

• UnităŃi de măsură pentru capacitate; transformări

• UnităŃi de măsură pentru masă; transformări • UnităŃi de măsură pentru timp; transformări • UnităŃi monetare; transformări


CLASA A VI-A OBIECTIVE DE REFERINłĂ ŞI EXEMPLE DE ACTIVITĂłI DE ÎNVĂłARE

1. Cunoaşterea şi înŃelegerea conceptelor, a terminologiei şi a procedurilor de calcul specifice matematicii Obiective de referinŃă Exemple de activităŃi de învăŃare La sfârşitul clasei a VI-a

elevul va fi capabil: Pe parcursul clasei a VI-a se recomandă următoarele activităŃi:

1.1 să scrie, să citească, să compare şi să reprezinte pe axa numerelor, numere naturale, întregi şi raŃionale pozitive

- ExerciŃii de scriere şi de citire a unui număr raŃional pozitiv (reprezentat printr-o fracŃie ordinară sau printr-o fracŃie zecimală) - ExerciŃii de scriere a fracŃiilor ordinare supraunitare prin scoaterea întregilor din fracŃie, evidenŃiind partea întreagă şi partea fracŃionară - ExerciŃii de introducere a întregilor în fracŃie - ExerciŃii de comparare a unor numere raŃionale pozitive reprezentate prin fracŃii ordinare sau prin fracŃii zecimale - ExerciŃii de scriere a inversului unui număr raŃional pozitiv reprezentat printr-o fracŃie ordinară sau printr-o fracŃie zecimală - ExerciŃii de reprezentare a numerelor întregi pe axa numerelor - ExerciŃii de poziŃionare pe axa numerelor a opusului unui număr întreg - ExerciŃii de utilizare a terminologiei adecvate pentru numere întregi (semn, opus, modul/valoare absolută) - Compararea numerelor întregi reprezentate pe axa numerelor - ExerciŃii de ordonare a numerelor întregi - ExerciŃii de comparare şi de ordonare a unor numere întregi deduse din situaŃii cotidiene - Utilizarea regulii de comparare a valorii absolute a numerelor întregi în efectuarea calculelor - ExerciŃii de comparare a puterilor numerelor întregi (cu exponent natural)

1.2 să efectueze calcule cu numere naturale, întregi şi raŃionale pozitive utilizând reguli de calcul şi proprietăŃi ale operaŃiilor în contexte variate

- Efectuarea de înmulŃiri şi de împărŃiri cu numere naturale utilizând reguli de calcul cu puteri - ExerciŃii de utilizare a descompunerii numerelor naturale, scrise ca produse de puteri de numere prime, în efectuarea unor înmulŃiri şi/sau împărŃiri - ExerciŃii de scriere a mulŃimii divizorilor unui număr natural cu ajutorul descompunerii în produse de puteri de numere prime - ExerciŃii de observare a proprietăŃii c.m.m.d.c. (orice divizor comun este divizor al c.m.m.d.c.) - ExerciŃii de observare a proprietăŃii c.m.m.m.c. (orice multiplu comun este multiplu al c.m.m.m.c.) - ExerciŃii de determinare a c.m.m.m.c. utilizând descompunerea numerelor naturale în produse de puteri de numere prime - ExerciŃii de adunare a numerelor raŃionale pozitive reprezentate prin fracŃii ordinare sau prinfracŃii zecimale - ExerciŃii de utilizare în calcule a proprietăŃilor adunării numerelor raŃionale pozitive - ExerciŃii de scădere a numerelor raŃionale pozitive reprezentate prin fracŃii ordinare sau prin fracŃii zecimale - Determinarea unui termen necunoscut dintr-o adunare sau scădere de numere raŃionale pozitive utilizând proba operaŃiei - ExerciŃii de înmulŃire a numerelor raŃionale pozitive reprezentate prin fracŃii ordinare şi/sau prin fracŃii zecimale - Utilizarea în calcule a proprietăŃilor înmulŃirii numerelor raŃionale pozitive - Determinarea unei fracŃii dintr-un număr raŃional pozitiv - ExerciŃii care evidenŃiază convenŃia de notare cu exponent pentru simplificarea scrierii unei înmulŃiri de numere raŃionale pozitive cu factori egali


- ExerciŃii de ridicare a unui număr raŃional pozitiv la o putere cu exponent natural (pentru numere reprezentate prin fracŃii ordinare sau prin fracŃii zecimale) - ExerciŃii de efectuare a împărŃirii unui număr raŃional pozitiv la un număr raŃional pozitiv scrise sub formă de fracŃii ordinare sau zecimale - ExerciŃii de recunoaştere şi de aplicare a proprietăŃii de distributivitate a înmulŃirii faŃă de adunarea şi de scăderea numerelor raŃionale pozitive; exersarea scoaterii factorului comun - ExerciŃii în care intervin operaŃii cu numere raŃionale pozitive scrise sub diverse forme (fracŃii ordinare, fracŃii zecimale finite sau fracŃii zecimale periodice), urmărind respectarea ordinii efectuării operaŃiilor şi utilizarea corectă a tuturor tipurilor de paranteze - ExerciŃii de calcul a mediei aritmetice ponderate - ExerciŃii de calcul a valorii raportului dintre două mărimi de acelaşi fel, măsurate cu aceeaşi unitate de măsură - ExerciŃii de determinare a p% dintr-un număr raŃional mai mare sau egal cu 0; estimarea unor rezultate - Aplicarea proprietăŃii fundamentale a proporŃiei - ExerciŃii de determinare a unui termen necunoscut dintr-o proporŃie dată - Utilizarea proprietăŃii fundamentale a proporŃiilor şi a comutativităŃii înmulŃirii pentru obŃinerea unor proporŃii derivate cu aceeaşi termeni - Verificarea proprietăŃii fundamentale a proporŃiilor în cazul proporŃiilor derivate cu alŃi termeni - ExerciŃii de determinare a valorii absolute a unui număr întreg - ExerciŃii de adunare a numerelor întregi (inclusiv eliminarea parantezelor) - ExerciŃii de evidenŃiere a proprietăŃilor adunării numerelor întregi în diferite contexte - ExerciŃii de scădere a numerelor întregi; exerciŃii de scriere a opusului unei sume de numere întregi - Determinarea unui termen necunoscut dintr-o adunare sau scădere utilizând proba operaŃiei - ExerciŃii de înmulŃire a numerelor întregi utilizând regula semnelor - ExerciŃii de evidenŃiere a avantajelor utilizării proprietăŃilor înmulŃirii numerelor întregi în calcule - Determinarea unor factori sau termeni necunoscuŃi utilizând proba împărŃirii - ExerciŃii de împărŃire a numerelor întregi cu deîmpărŃitul multiplu al împărŃitorului utilizând regula semnelor - ExerciŃii de ridicare a unui număr întreg la o putere cu exponent număr natural; evidenŃierea rolului parităŃii exponentului în stabilirea semnului puterii unui număr întreg - ExerciŃii de aplicare a regulilor de calcul cu puteri ale unui număr întreg cu exponent număr natural - ExerciŃii de calcul cu numere întregi, urmărind respectarea ordinii efectuării operaŃiilor şi utilizarea tuturor tipurilor de paranteze

1.3 să aproximeze numere raŃionale pozitive, pentru a verifica validitatea unor calcule

- ExerciŃii de estimare a rezultatului, înainte de efectuarea calculelor, a unor operaŃii cu numere raŃionale pozitive


1.4 să utilizeze elemente de logică, de teoria mulŃimilor şi de divizibilitate, pentru a determina numere sau pentru a justifica valoarea de adevăr a unor enunŃuri

- Utilizarea împărŃirii ca modalitate de verificare a relaŃiei de divizibilitate pe perechi de numere naturale - Identificarea mulŃimii divizorilor şi a mulŃimii multiplilor unui număr natural prin utilizarea împărŃirii exacte şi a înmulŃirii - Identificarea numerelor naturale care se divid cu 2, 5, 10, 3 sau 9 utilizând criteriile de divizibilitate - ExerciŃii de aplicare a criteriilor de divizibilitate pentru determinarea cifrelor necunoscute ale unui număr natural divizibil cu 2, 5, 10, 3 sau 9 - ExerciŃii de determinare a c.m.m.d.c. a două sau mai multe numere naturale prin efectuarea intersecŃiei între mulŃimile divizorilor lor - ExerciŃii de determinare a c.m.m.d.c. utilizând descompunerea numerelor naturale în produse de puteri de numere prime - ExerciŃii de determinare a c.m.m.m.c. a două sau mai multe numere naturale prin efectuarea intersecŃiei între mulŃimile multiplilor lor - ExerciŃii de recunoaştere a celui mai mare sau a celui mai mic număr întreg dintr-o mulŃime de numere întregi date - Utilizarea legăturii între împărŃirea numerelor întregi când deîmpărŃitul este multiplu al împărŃitorului şi divizibilitatea numerelor întregi - Utilizarea relaŃiei dintre mulŃimea divizorilor naturali şi mulŃimea divizorilor întregi ai unui număr întreg - Utilizarea relaŃiei între înmulŃire şi ridicare la putere

1.5 să utilizeze ecuaŃii de tipul: x a b± = ; x a b⋅ = ; :x a b= ( 0)a ≠ ; ax b c± = , unde a,b şi c sunt numere raŃionale mai mari sau egale cu 0 sau numere întregi care permit efectuarea operaŃiilor şi inecuaŃii de tipul: x a b+ ≤ , x a b⋅ ≤ , :x a b≤ , unde a şi b sunt numere raŃionale pozitive sau întregi, care permit efectuarea calculelor, pentru a rezolva probleme

- ExerciŃii de rezolvare a unor ecuaŃii de tipul: x a b± = ; x a b⋅ = ; : ( 0)x a b a= ≠ ax b c± = , unde a, b, c sunt numere raŃionale pozitive

care permit efectuarea operaŃiilor - ExerciŃii de rezolvare a unor ecuaŃii de tipul: x a b± = ; x a b⋅ = (unde b este un multiplu al lui a); :x a b= ; ax b c± = , unde a,b,c sunt numere întregi care permit efectuarea operaŃiilor

- ExerciŃii de rezolvare a unor ecuaŃii de tipul x a= , unde a este

număr întreg - ExerciŃii de rezolvare a unor inecuaŃii de tipul x a b+ ≤ , x a b⋅ ≤ ,

:x a b≤ , unde a şi b sunt numere raŃionale pozitive sau întregi, care permit efectuarea calculelor, - Rezolvarea unor probleme cu ajutorul ecuaŃiilor sau inecuaŃiilor; interpretarea rezultatelor obŃinute în contextul problemei date

1.6 să recunoască, să descrie şi să numească figuri geometrice plane în configuraŃii geometrice simple

- ExerciŃi de recunoaştere în desen a unghiului nul şi a unghiului alungit - Exemplificarea unghiurilor drepte pe corpuri geometrice sau pe desfăşurări ale acestora - ExerciŃii de identificare, de numire şi de desenare a unor unghiuri prezentate prin descriere, prin notaŃii sau prin imagine - ExerciŃii de utilizare a instrumentelor geometrice (riglă şi compas) pentru construirea mediatoarei unui segment - ExerciŃii de utilizare a instrumentelor geometrice (riglă şi echer) pentru construirea prin translaŃie a dreptelor paralele - ExerciŃii de transformare a gradelor sexagesimale în minute şi de transformare a minutelor în grade sexagesimale - DiferenŃa măsurilor a două unghiuri ale căror măsuri sunt exprimate în grade sexagesimale şi minute; exerciŃii de calcul a complementului şi a suplementului unui unghi - ExerciŃii de reprezentare prin desen a unor unghiuri adiacente; exemple şi contraexemple - ExerciŃii de identificare a unghiurilor adiacente dintr-o configuraŃie geometrică - ExerciŃii în care se aplică congruenŃa unghiurilor opuse la vârf


- ExerciŃii de identificare, de numire şi de reprezentare a triunghiurilor; utilizarea terminologiei: laturi, unghiuri, vârf opus unei laturi, latură opusă unui vârf - ExerciŃii de clasificare a triunghiurilor după anumite criterii date sau alese - ExerciŃii de desenare a înălŃimilor unui triunghi (pentru fiecare tip de triunghi) şi constatarea concurenŃei lor - ExerciŃii de stabilire a coliniarităŃii unor puncte şi a concurenŃei unor drepte - Utilizarea terminologiei specifice pentru triunghiul dreptunghic: catetă, ipotenuză - Demonstrarea proprietăŃii punctelor de pe mediatoarea unui segment (sunt egal depărtate de capetele segmentului) - ExerciŃii de stabilire a coliniarităŃii unor puncte şi a concurenŃei unor drepte - Demonstrarea proprietăŃii punctelor de pe bisectoarea unui unghi (sunt egal depărtate de laturile unghiului) - ExerciŃii de identificare a unghiurilor formate de două drepte cu o secantă - ExerciŃii de măsurare şi comparare a unghiurilor formate de două drepte paralele tăiate de o secantă - ExerciŃii de determinare a măsurilor unghiurilor formate de două drepte paralele tăiate de o secantă - Rezolvarea de probleme folosind criteriile de paralelism - ExerciŃii de identificare, de numire şi de reprezentare a unghiului exterior unui triunghi - ExerciŃii de reprezentare prin desen a mijlocului unui segment şi a medianelor într-un triunghi folosind instrumente geometrice - ExerciŃii de reprezentare prin desen a unor elemente ale unui triunghi isoscel/echilateral referitoare la unghiuri, la liniile importante şi la simetrii - ExerciŃii de reprezentare prin desen a unor elemente ale unui triunghi dreptunghic referitoare la unghiuri şi la linii importante - ExerciŃii de construcŃie a unghiurilor congruente cu ajutorul raportorului - ExerciŃii de identificare, de numire şi de reprezentare a unghiurilor drepte, ascuŃite sau obtuze în configuraŃii geometrice date - Suma măsurilor a două sau a mai multor unghiuri ale căror măsuri sunt exprimate în grade şi minute sexagesimale - ExerciŃii de desenare a unghiurilor opuse la vârf şi a unghiurilor formate în jurul unui punct prezentate prin descriere, prin notaŃii sau prin imagine - ExerciŃii de reprezentare prin desen a mijlocului unui segment, a mediatoarei unui segment şi a mediatoarelor laturilor unui triunghi - ExerciŃii de identificare, de numire şi de reprezentare a dreptelor paralele pe corpuri geometrice sau pe desfăşurări ale acestora

1.7 să utilizeze proprietăŃi simple ale figurilor geometrice în contexte uzuale sau matematice

- ExerciŃii de identificare, de numire şi de reprezentare a punctelor, dreptelor, planelor, semiplanelor, semidreptelor, segmentelor - ExerciŃii de identificare a figurilor plane pe corpuri geometrice (vârfuri, muchii, feŃe etc.) sau pe desfăşurări ale acestora - ExerciŃii de identificare, de numire şi de reprezentare a dreptelor concurente sau paralele - ExerciŃii de utilizare a instrumentelor geometrice pentru trasarea a două drepte paralele (riglă, echer) - ExerciŃii de identificare a dreptelor concurente sau paralele pe corpuri geometrice sau pe desfăşurări ale acestora - ExerciŃii de stabilire a coliniarităŃii unor puncte pe baza lungimilor segmentelor determinate de acestea


- ExerciŃii de verificare că două unghiuri sunt suplementare; exerciŃii de verificare că două unghiuri sunt complementare - ExerciŃii de stabilire a coliniarităŃii unor puncte pe baza proprietăŃii unghiurilor opuse la vârf - Probleme în care se foloseşte suma măsurilor unghiurilor formate în jurul unui punct - Verificarea intuitivă a congruenŃei unor triunghiuri prin suprapuneri sau folosind translaŃii, rotaŃii şi simetrii (fără a se defini translaŃia, rotaŃia sau simetria) - Verificarea intuitivă a congruenŃei triunghiurilor dreptunghice prin suprapuneri sau folosind translaŃii, rotaŃii sau simetrii (fără a se defini translaŃia, rotaŃia sau simetria) - Rezolvarea de probleme folosind metoda triunghiurilor dreptunghice congruente şi redactarea rezolvării problemei date - ExerciŃii de stabilire a elementelor respectiv congruente în cazul a două triunghi congruente (se va menŃiona corespondenŃa dintre cazurile de construcŃie a triunghiurilor şi cazurile de congruenŃă a acestora) - ExerciŃii de identificare, de numire şi de reprezentare a dreptelor perpendiculare, a oblicelor în configuraŃii geometrice - Demonstrarea proprietăŃii punctelor egal depărtate de capetele unui segment (se află pe mediatoarea segmentului) şi justificarea concurenŃei mediatoarelor laturilor unui triunghi - Demonstrarea proprietăŃii punctelor egal depărtate de laturile unui unghi (se află pe bisectoarea unghiului) şi justificarea concurenŃei bisectoarelor unghiurilor unui triunghi - ExerciŃii de determinare a măsurilor unghiurilor unui triunghi în condiŃii date - ExerciŃii de verificare prin desen a concurenŃei medianelor într-un triunghi - Folosirea proprietăŃilor de simetrie ale unui triunghi echilateral în rezolvarea de probleme - ExerciŃii de localizare a centrului unui triunghi echilateral utilizând liniile importante din triunghi

1.8 să înregistreze, să prelucreze şi să prezinte date sub formă de tabele şi diagrame statistice; să calculeze probabilitatea unor evenimente aleatoare egal probabile

- ExerciŃii de colectare a unor date şi înregistrarea lor - ExerciŃii de reprezentare a datelor în grafice prin tabele sau diagrame statistice simple - Exemple de interpretare a unor grafice date prin tabele sau diagrame statistice simple reprezentând situaŃii practice

1.9 să înregistreze, să prelucreze şi să prezinte date sub formă de tabele şi diagrame statistice; să calculeze probabilitatea unor evenimente aleatoare egal probabile

- Clasificarea unor obiecte după anumite criterii, date sau alese - Reprezentarea datelor prin grafice cu bare şi grafice circulare - Studiul unor evenimente aleatoare (într-un câmp finit de evenimente elementare egal probabile): realizarea unui experiment, înregistrarea şi interpretarea datelor, calculul frecvenŃei, calculul probabilităŃii de realizare utilizând raportul: nr.cazuri favorabile/nr. cazuri posibile.

2. Dezvoltarea capacităŃii de explorare/investigare şi de rezolvare de probleme Obiective de referinŃă Exemple de activităŃi de învăŃare La sfârşitul clasei a VI-a


2.1 să exploreze modalităŃi de compunere, de descompunere sau de scriere a numerelor naturale, întregi şi raŃionale, folosind metode variate de lucru

- ExerciŃii de scriere a mulŃimii divizorilor şi mulŃimii multiplilor unui număr natural - Identificarea numerelor prime prin scrierea mulŃimii divizorilor - ExerciŃii de sortare a numerelor naturale în numere prime şi numere compuse utilizând diferite metode; cazul special al numerelor 0 şi 1 - ExerciŃii care să evidenŃieze faptul că 2 este unicul număr prim par


- ExerciŃii de utilizare a noŃiunii de paritate în exerciŃii cu numere prime - ExerciŃii de scriere a unui număr natural ca produs de puteri de numere prime utilizând criteriile de divizibilitate şi împărŃirea - ExerciŃii de aplicare a proprietăŃilor operaŃiilor cu puteri (înmulŃirea, împărŃirea şi ridicarea la putere a numerelor naturale scrise ca puteri de numere prime) - ExerciŃii de recunoaştere a numerelor prime între ele prin diferite procedee, în contexte variate - ExerciŃii de verificare (folosind diferite reprezentări) a echivalenŃei fracŃiilor obŃinute prin amplificare sau simplificare - ExerciŃii de determinare a fracŃiei ireductibile echivalente cu o fracŃie ordinară dată utilizând c.m.m.d.c. al numărătorului şi al numitorului - ExerciŃii de transformare a fracŃiilor zecimale finite în fracŃii ordinare - ExerciŃii de transformare a fracŃiilor zecimale periodice în fracŃii ordinare - ExerciŃii de identificare a fracŃiilor echivalente cu o fracŃie dată - ExerciŃii de aducere a fracŃiilor la acelaşi numitor (determinarea numitorului comun prin observare sau prin determinarea c.m.m.m.c.) - ExerciŃii de transformare a unui raport oarecare într-un raport procentual prin diferite procedee - Exemple de rapoarte egale şi alcătuirea de proporŃii utilizând amplificarea sau simplificarea fracŃiilor - ExerciŃii de scriere a unui număr întreg ca sumă de două sau mai multe numere întregi - ExerciŃii de scriere a unui număr întreg ca produs de două sau mai multe numere întregi; evidenŃierea faptului că un număr întreg se scrie ca produs de două numere întregi într-un număr finit de moduri - ExerciŃii de scriere a multiplilor unui număr întreg - ExerciŃii de scriere a mulŃimii divizorilor întregi ai unui număr întreg - ExerciŃii de scriere a puterilor numerelor naturale în forme echivalente (aceeaşi bază şi exponenŃi diferiŃi sau acelaşi exponent şi baze diferite)

2.2 să investigheze valoarea de adevăr a unei afirmaŃii utilizând metode diferite, inclusiv prin construirea unor exemple sau contraexemple

- Justificare a divizibilităŃii unui număr natural cu 2, 5, 10, 3 sau 9 pe baza criteriilor de divizibilitate - Clasificarea numerelor naturale în numere pare şi numere impare folosind criteriul de divizibilitate cu 2 - Determinarea unor numere naturale care verifică anumite condiŃii prin aplicarea criteriilor de divizibilitate - Utilizarea unor exemple semnificative pentru deducerea unor proprietăŃii ale relaŃiei de divizibilitate - ExerciŃii de verificare a corectitudinii unor calcule folosind: ultima cifră, criterii de divizibilitate etc. - Identificarea unor numere naturale care verifică condiŃii date (ultima cifră, criterii de divizibilitate etc.) - Verificarea prin exemple a proprietăŃii [ ]( , ) ,a b a b a b= ⋅ , unde a, b

sunt numere naturale şi observarea modalităŃii de calcul a c.m.m.m.c. pentru numere prime între ele şi utilizarea acesteia pentru determinarea unor numere în condiŃii date - ExerciŃii de recunoaştere a semnificaŃiei unor ponderi diferite în calculul mediei ponderate - Utilizarea proprietăŃii fundamentale a unei proporŃii pentru a construi rapoarte egale - Exersarea regulilor de generare a unor proporŃii derivate cu alŃi termeni - Identificarea rezultatului plauzibil dintr-o listă de răspunsuri posibile - ExerciŃii de poziŃionare a unor paranteze sau a unor operaŃii pentru


obŃinerea unor rezultate date - ExerciŃii de verificare a validităŃii unor propoziŃii cu o variabilă date sub forma unor inegalităŃi pentru diferite valori întregi ale variabilei - Rezolvarea unor inecuaŃii reductibile la inecuaŃii de tipul x a≤ ( ,≥ <, > ), unde x aparŃine unei submulŃimi date a lui +� (prin încercări,

dând valori dintr-o mulŃime dată de numere întregi) - ExerciŃii de identificare şi reprezentare a unor puncte coliniare - ExerciŃii de recunoaştere şi de reprezentare a poziŃiei unui punct faŃă de o dreaptă - ExerciŃii de stabilire a numărului minim/maxim de drepte determinate de un număr dat de puncte - ExerciŃii de verificare a validităŃii unor afirmaŃii pe cazuri particulare - ExerciŃii de recunoaştere şi reprezentare a poziŃiei unui punct faŃă de un unghi - Identificarea unor consecinŃe posibile ce decurg dintr-un set de ipoteze (utilizând întrebări deschise de tipul "Ce s-ar întâmpla dacă modificăm ipoteza?", situaŃia descrisă putând fi una din cotidian, o situaŃie matematică, un experiment etc.)

2.3 să descopere, să recunoască, să completeze succesiuni de numere asociate după reguli date sau deduse prin observare şi prin comparare

- ExerciŃii de alcătuire şi completare a unor şiruri de numere raŃionale pozitive pornind de la reguli de tip aditiv sau multiplicativ - ExerciŃii de alcătuire şi de completare a unor şiruri de numere întregi pornind de la reguli de tip aditiv sau multiplicativ - ExerciŃii de alcătuire a unor şiruri de puteri pornind de la o regulă dată

2.4 să analizeze veridicitatea unor rezultate obŃinute prin măsurare sau prin calcul

- ExerciŃii de interpretare a valorii raportului dintre două mărimi de acelaşi fel, măsurate cu aceeaşi unitate de măsură - Abordarea unor situaŃii-problemă legate de segmente congruente, mijlocul unui segment şi simetricul unui punct faŃă de un punct cu transpunerea acestora din limbaj curent în limbaj matematic - ExerciŃii de identificare a unghiurilor congruente dintr-o configuraŃie dată - ExerciŃii de stabilire a coliniarităŃii unor puncte şi a concurenŃei unor drepte

2.5 să construiască probleme pornind de la un model (grafic, exerciŃiu sau formulă)

- Formularea unor probleme pe baza unei reguli date (una din ecuaŃiile studiate) sau a unui exerciŃiu - Formularea unor probleme pornind de la o schemă dată - Identificarea şi notarea prescurtată a ipotezei şi a concluziei unei probleme de geometrie - Sesizarea elementelor relevante dintr-o figură geometrică - ExerciŃii de construcŃie a simetricului unui punct faŃă de o dreaptă

2.6 să utilizeze instrumente geometrice (riglă, echer, compas, raportor) pentru a desena figuri plane descrise în contexte matematice

- ExerciŃii de utilizare a instrumentelor geometrice pentru a desena puncte, drepte, plane, semiplane, segmente de dreaptă; notaŃii; descriere - ExerciŃii de folosire a instrumentelor geometrice (riglă negradată, compas) pentru construirea a două segmente congruente - ExerciŃii de reprezentare prin desen a mijlocului unui segment cu ajutorul riglei negradate şi a compasului - ExerciŃii de utilizare a raportorului pentru determinarea măsurii unui unghi şi pentru construirea unui unghi de o măsură dată - ExerciŃii de desenare a unghiurilor drepte, ascuŃite sau obtuze folosind instrumentele geometrice (raportor, echer) - ExerciŃii de construcŃie a două unghiuri adiacente; exerciŃii de construcŃie a două unghiuri complementare; exerciŃii de construcŃie a două unghiuri suplementare - ExerciŃii de stabilire a coliniarităŃii unor puncte utilizând măsura unghiului alungit - Calcularea măsurii unghiului format de bisectoarea unui unghi cu una


dintre laturile unghiului - ExerciŃii de utilizare a instrumentelor geometrice pentru construirea şi măsurarea unghiurilor opuse la vârf şi a unghiurilor formate în jurul unui punct - ExerciŃii de desenare a diferitelor tipuri de triunghiuri prezentate prin descriere, prin notaŃii sau prin imagine, utilizând instrumente geometrice (riglă, raportor, compas, echer) - ExerciŃii de calculare a unor distanŃe şi a unor lungimi de segmente pentru a determina perimetrul unui triunghi - Utilizarea instrumentelor geometrice (riglă, compas, echer) pentru construcŃia triunghiurilor în cazurile LUL, ULU, LLL (se va avea în vedere construcŃia triunghiului isoscel, echilateral şi a celui dreptunghic în condiŃii date) (se va menŃiona faptul că fiecare caz de construcŃie a unui triunghi reprezintă condiŃii suficiente pentru determinarea triunghiului) - ExerciŃii de utilizare a instrumentelor geometrice (riglă, raportor, echer) pentru construirea dreptelor perpendiculare şi a distanŃei de la un punct la o dreaptă - ExerciŃii de reprezentare prin desen a distanŃei de la un punct la o dreaptă şi a înălŃimii într-un triunghi prezentate prin descriere, prin notaŃii sau prin imagini - ExerciŃii de utilizare a instrumentelor geometrice (riglă şi compas) pentru construirea bisectoarei unui unghi - ExerciŃii de reprezentare prin desen a unor elemente ale unui triunghi echilateral referitoare la unghiuri, la liniile importante şi la simetrii

2.7 să măsoare, să calculeze lungimi şi unghiuri utilizând metode adecvate sau să compare figuri geometrice; să estimeze distanŃe în figuri geometrice

- ExerciŃii de estimare a unor distanŃe şi a unor lungimi de segmente în cazurile: măsurare directă, măsuri rezultate din calcul prin estimarea măsurilor segmentelor componente - ExerciŃii de comparare a unor mărimi de acelaşi fel, măsurate cu aceeaşi unitate de măsură - Verificarea rezultatului unui calcul, folosind modalităŃi diferite de rezolvare: estimări, măsurători, comparări - ExerciŃii de estimare a ariei unui triunghi folosind reŃele de pătrate - Exemple de măsurare a măsurilor unghiurilor unui triunghi şi de estimare a sumei acestora - ExerciŃii de utilizare a sumei măsurilor unghiurilor unui triunghi - ExerciŃii de măsurare a unghiurilor exterioare unui triunghi şi de comparare a măsurilor lor cu suma măsurilor unghiurilor interioare triunghiului neadiacente lor - ExerciŃii de comparare prin măsurare a lungimii segmentelor determinate de centrul de greutate pe medianele unui triunghi - ExerciŃii de intuire şi demonstrare a proprietăŃilor de simetrie ale unui triunghi isoscel în rezolvarea de probleme - Determinarea măsurilor unghiurilor unui triunghi echilateral - ExerciŃii de comparare prin măsurare a lungimi medianei triunghiului dreptunghic cu lungimea ipotenuzei - Intuirea şi demonstrarea proprietăŃii medianei corespunzătoare ipotenuzei într-un triunghi dreptunghic

3. Dezvoltarea capacităŃii de a comunica utilizând limbajul matematic Obiective de referinŃă Exemple de activităŃi de învăŃare La sfârşitul clasei a VI-a


3.1 să diferenŃieze informaŃiile dintr-un enunŃ matematic după natura lor

- Recunoaşterea unor contexte diferite de utilizare a celor două tipuri de medii - Rezolvarea unor probleme cu ajutorul ecuaŃiilor - Analiza unor situaŃii practice pentru caracterizarea mărimilor direct proporŃionale - Exprimarea relaŃiei de proporŃionalitate directă între mărimi sub


forma unei proporŃii - Analiza unor situaŃii practice pentru caracterizarea mărimilor invers proporŃionale - Exprimarea relaŃiei de proporŃionalitate inversă între mărimi sub forma unei proporŃii sau a unei egalităŃi de produse - ExerciŃii de calculare a probabilităŃii realizării unui eveniment - ExerciŃii de utilizare a termenilor: noŃiune primară, definiŃie - ExerciŃii de utilizare a termenilor: definiŃie, axiomă - ExerciŃii de folosire a instrumentelor de măsură (riglă, raportor, compas, echer) pentru construirea bisectoarei unui unghi - Sesizarea elementelor relevante pentru rezolvarea unei probleme, extrase din ipoteză sau din construcŃia geometrică (latură comună, unghiuri opuse la vârf etc.) - ExerciŃii de stabilire a congruenŃei unor triunghiuri pe baza criteriilor de congruenŃă pentru rezolvarea de probleme - ExerciŃii de stabilire a congruenŃei unor triunghiuri dreptunghice pe baza criteriilor de congruenŃă ale triunghiurilor dreptunghice - ExerciŃii de stabilire a simetriei unui punct faŃă de o dreaptă în contextul unor figuri geometrice dintr-o configuraŃie plană sau spaŃială, pe baza unor proprietăŃi precizate - Sesizarea elementelor relevante dintr-o figură geometrică pentru deducerea criteriilor de paralelism - Identificarea măsurii unghiului exterior al unui triunghi în funcŃie de măsurile unghiurilor triunghiului - Sesizarea elementelor relevante dintr-o figură geometrică în legătură cu un triunghi isoscel - Sesizarea elementelor relevante dintr-o figură geometrică în legătură cu un triunghi echilateral - Sesizarea prin măsurare a legăturii dintre lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic cu un unghi având măsura de300; aplicarea teoremei unghiului de 300 - Identificarea unor proprietăŃi ale triunghiului dreptunghic isoscel - Abordarea unor situaŃii-problemă în care apar triunghiuri dreptunghice şi transpunerea acestor situaŃii-problemă din limbaj curent în limbaj matematic

3.2 să prezinte într-o manieră clară, corectă şi concisă, succesiunea etapelor din rezolvarea unei probleme, folosind terminologia şi notaŃiile adecvate

- ExerciŃii de utilizare a simbolurilor matematice şi a terminologiei adecvate noŃiunilor de divizor şi de multiplu - Rezolvarea unor probleme practice în care apar procente; estimarea unor rezultate - Rezolvarea unor probleme practice cu mărimi direct proporŃionale utilizând regula de trei simplă; estimarea unor rezultate - Rezolvarea unor probleme practice cu mărimi invers proporŃionale utilizând regula de trei simplă; estimarea unor rezultate - Desenarea unei figuri geometrice potrivite enunŃului problemei - Identificarea şi notarea matematică prescurtată a ipotezei şi a concluziei problemei (în care se foloseşte metoda triunghiurilor congruente) - Abordarea unor situaŃii-problemă care implică aplicarea metodei triunghiurilor congruente şi transpunerea acestora din limbaj curent în limbaj matematic - Argumentarea demersului de rezolvare a unei probleme în care apar triunghiuri dreptunghice

3.3 să discute corectitudinea unui demers matematic, argumen-tându-şi opiniile

- ExerciŃii de identificare a mediei aritmetice ponderate ca un caz general al mediei aritmetice - Verificarea corectitudinii rezolvării ecuaŃiei prin înlocuirea soluŃiei sau rezolvarea exerciŃiului prin metoda mersului invers - Verificarea corectitudinii rezolvării unor ecuaŃii prin înlocuirea soluŃiilor şi rezolvarea exerciŃiului


- Identificarea şi transpunerea unor situaŃii-practice în limbaj matematic adecvat 4. Dezvoltarea interesului şi a motivaŃiei pentru studiul şi aplicarea matematicii în contexte variate

Obiective de referinŃă Exemple de activităŃi de învăŃare La sfârşitul clasei a VI-a


4.1 să-şi formeze obişnuinŃa de a exprima în limbaj matematic anumite probleme practice

- ExerciŃii de identificare şi rezolvare a unor probleme practice care conduc la utilizarea mediei aritmetice ponderate - ExerciŃii de transpunere a unor situaŃii-problemă în limbaj matematic - Rezolvarea de probleme cu conŃinut practic care conduc la utilizarea c.m.m.d.c. şi a c.m.m.m.c. - Identificarea unor situaŃii practice în care se utilizează procente - Identificarea unor situaŃii problemă care pot fi transpuse în limbaj matematic adecvat - Rezolvarea unor probleme ce presupun împărŃirea unui număr în două părŃi direct proporŃionale cu două numere date; estimarea unor rezultate - Rezolvarea unor probleme ce presupun împărŃirea unui număr în două părŃi invers proporŃionale cu două numere date; estimarea unor rezultate - Colectarea unor informaŃii semnificative din lectura unor date reprezentate în tabele sau diagrame statistice simple - Identificarea şi analiza unor situaŃii practice în care se utilizează numere întregi negative - Transcrierea unor enunŃuri matematice sub forma de ipoteză şi concluzie - Utilizarea notaŃiei specifice pentru a descrie apartenenŃa unui punct la o dreaptă sau a altor situaŃii geometrice - Identificarea şi notarea prescurtată a ipotezei şi a concluziei unei probleme în vederea rezolvării ei - Utilizarea termenilor „teoremă directă” şi „teoremă reciprocă” şi exerciŃii de formulare a propoziŃiilor reciproce pentru o propoziŃie dată

4.2 să manifeste perseverenŃă în rezolvarea unei probleme; să propună soluŃii sau metode alternative de rezolvare

- ExerciŃii de determinare a unui număr când se cunoaşte p% din el; estimarea unor rezultate - Utilizarea mai multor metode în rezolvarea unei probleme - Abordarea unor situaŃii-problemă şi transpunerea acestora din limbaj curent în limbaj matematic - Utilizarea unor metode variate în rezolvarea unei probleme


CLASA A VI-A CONłINUTURI

ALGEBRĂ

1. Mul Ńimea numerelor naturale � OperaŃii cu numere naturale; reguli de calcul cu puteri

� Divizor, multiplu. Criteriile de divizibilitate cu 10, 2, 5, 3, 9

� Numere prime şi numere compuse

� Descompunerea numerelor naturale în produs de puteri de numere prime

� ProprietăŃi ale relaŃiei de divizibilitate în � : a a , a∀ ∈� ; a b şi b a a b⇒ = , ,a b∀ ∈� ; a b

şi b c⇒ a c , , ,a b c∀ ∈� ; a b a k b⇒ ⋅ , , ,a b k∀ ∈� ; şi a ( )a b c a b c⇒ ± , , ,a b c∀ ∈�

� Divizori comuni a două sau mai multor numere naturale; c.m.m.d.c.; numere prime între ele

� Multipli comuni a două sau mai multor numere naturale; c.m.m.m.c.; relaŃia dintre c.m.m.d.c. şi c.m.m.m.c.

� Probleme simple care se rezolvă folosind divizibilitatea

2. Mul Ńimea numerelor raŃionale pozitive. � FracŃii echivalente; fracŃie ireductibilă; noŃiunea de număr raŃional; forme de scriere a unui număr

raŃional; ⊂� �

� Adunarea numerelor raŃionale pozitive; scăderea numerelor raŃionale pozitive

� ÎnmulŃirea numerelor raŃionale pozitive

� Ridicarea la putere cu exponent natural a unui număr raŃional pozitiv; reguli de calcul cu puteri

� ÎmpărŃirea numerelor raŃionale pozitive

� Ordinea efectuării operaŃiilor cu numere raŃionale pozitive

� Media aritmetică ponderată a unor numere raŃionale pozitive

� EcuaŃii în mulŃimea numerelor raŃionale pozitive

� Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuaŃiilor

3. Rapoarte şi propor Ńii � Rapoarte; procente; probleme în care intervin procente

� ProporŃii; proprietatea fundamentală a proporŃiilor, aflarea unui termen necunoscut dintr-o proporŃie

� ProporŃii derivate

� Mărimi direct proporŃionale; regula de trei simplă

� Mărimi invers proporŃionale; regula de trei simplă

� Elemente de organizare a datelor; reprezentarea datelor prin grafice; probabilităŃi

4. Numere întregi � MulŃimea numerelor întregi � ; opusul unui număr întreg; reprezentarea pe axa numerelor;

valoare absolută (modulul); compararea şi ordonarea numerelor întregi

� Adunarea numerelor întregi; proprietăŃi

� Scăderea numerelor întregi

� ÎnmulŃirea numerelor întregi; proprietăŃi; mulŃimea multiplilor unui număr întreg

� ÎmpărŃirea numerelor întregi când deîmpărŃitul este multiplu al împărŃitorului; mulŃimea divizorilor unui număr întreg

� Puterea unui număr întreg cu exponent număr natural; reguli de calcul cu puteri

� Ordinea efectuării operaŃiilor şi folosirea parantezelor

� EcuaŃii în � ; inecuaŃii în � � Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuaŃiilor


GEOMETRIE 1. Dreapta � Punct, dreaptă, plan, semiplan, semidreaptă, segment (descriere, reprezentare, notaŃii)

� PoziŃiile relative ale unui punct faŃă de o dreaptă; puncte coliniare; “prin două puncte distincte trece o dreaptă şi numai una”

� PoziŃiile relative a două drepte: drepte concurente, drepte paralele

� DistanŃa dintre două puncte; lungimea unui segment

� Segmente congruente; mijlocul unui segment; simetricul unui punct faŃă de un punct; construcŃia unui segment congruent cu un segment dat

2. Unghiuri � DefiniŃie, notaŃii, elemente; interiorul unui unghi, exteriorul unui unghi; unghi nul, unghi cu

laturile în prelungire

� Măsurarea unghiurilor cu raportorul; unghiuri congruente; unghi drept, unghi ascuŃit, unghi obtuz

� Calcule cu măsuri de unghiuri exprimate în grade şi minute sexagesimale. Unghiuri suplementare, unghiuri complementare

� Unghiuri adiacente; bisectoarea unui unghi

� Unghiuri opuse la vârf, congruenŃa lor; unghiuri formate în jurul unui punct, suma măsurilor lor

3. CongruenŃa triunghiurilor

� Triunghi: definiŃie, elemente; clasificarea triunghiurilor; perimetrul triunghiului

� ConstrucŃia triunghiurilor: cazurile LUL, ULU, LLL. CongruenŃa triunghiurilor oarecare: criterii de congruenŃă a triunghiurilor: LUL, ULU, LLL

� Metoda triunghiurilor congruente (introducerea noŃiunilor de: axiomă, teoremă directă, ipoteză, concluzie, demonstraŃie, teoremă reciprocă)

4. Perpendicularitate � Drepte perpendiculare (definiŃie, notaŃie, construcŃie cu echerul); oblice; distanŃa de la un punct la

o dreaptă. ÎnălŃimea în triunghi (definiŃie, desen). ConcurenŃa înălŃimilor într-un triunghi (fără demonstraŃie)

� Criteriile de congruenŃă ale triunghiurilor dreptunghice: IC, IU, CC, CU

� Aria triunghiului (intuitiv pe reŃele de pătrate)

� Mediatoarea unui segment; proprietatea punctelor de pe mediatoarea unui segment; construcŃia mediatoarei unui segment cu rigla şi compasul; concurenŃa mediatoarelor laturilor unui triunghi; simetria faŃă de o dreaptă

� Proprietatea punctelor de pe bisectoarea unui unghi; construcŃia bisectoarei unui unghi cu rigla şi compasul; concurenŃa bisectoarelor unghiurilor unui triunghi

5. Paralelism

� Drepte paralele (definiŃie, notaŃie); construirea dreptelor paralele (prin translaŃie); axioma paralelelor

� Criterii de paralelism (unghiuri formate de două drepte paralele cu o secantă)

6. ProprietăŃi ale triunghiurilor � Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi; unghi exterior unui triunghi, teorema unghiului

exterior

� Mediana în triunghi; concurenŃa medianelor unui triunghi (fără demonstraŃie)

� ProprietăŃi ale triunghiului isoscel (unghiuri, linii importante, simetrie) � ProprietăŃi ale triunghiului echilateral (unghiuri, linii importante, simetrie) � ProprietăŃi ale triunghiului dreptunghic (cateta opusă unghiului de 30o , mediana corespunzătoare

ipotenuzei – teoreme directe şi reciproce)


CLASA A VII-A

OBIECTIVE DE REFERIN łĂ ŞI EXEMPLE DE ACTIVIT ĂłI DE ÎNV ĂłARE

1. Cunoaşterea şi înŃelegerea conceptelor, a terminologiei si a procedurilor de calcul specifice matematicii

Obiective de referinŃă Exemple de activităŃi de învăŃare

La sfârşitul clasei a VII-a elevul va fi capabil:

Pe parcursul clasei a VII-a se recomandă următoarele activităŃi:

1.1 să scrie, să citească, să compare şi să reprezinte pe axă numere reale

- ExerciŃii de recunoaştere a numerelor naturale, întregi sau raŃionale dintr-o mulŃime de numere date - ExerciŃii de reprezentare a numerelor raŃionale pe axă - Compararea şi ordonarea numerelor utilizând valoare absolută, aproximări sau încadrarea unui număr raŃional între doi întregi consecutivi - ExerciŃii de determinare a opusului şi inversului unui număr raŃional - ExerciŃii de comparare şi ordonare a două numere raŃionale sub forma de fracŃii ordinare, prin aducerea la acelaşi numitor sau la acelaşi numărător - ExerciŃii de comparare şi ordonare a două numere raŃionale sub formă de fracŃii zecimale, prin analiza şi compararea cifrelor corespunzătoare la acelaşi ordin de mărime - ExerciŃii de comparare şi ordonare a mai multor numere raŃionale sau a expresiilor formate din numere raŃionale - Identificarea pătratelor perfecte dintr-un şir de numere date - Recunoaşterea unui număr iraŃional dintr-o mulŃime de numere date - Sortarea unor numere naturale, întregi raŃionale şi iraŃionale date funcŃie de mulŃimea căreia aparŃin - ExerciŃii de reprezentare a numerelor reale pe axă, cu aplicaŃii în compararea numerelor, modulul - ExerciŃii de comparare a mediilor aritmetică şi geometrică pe exemple concrete

1.2 să efectueze calcule cu numere reale, utilizând reguli de calcul şi proprietăŃi ale operaŃiilor

- Utilizarea regulilor de calcul cu numere raŃionale de acelaşi semn sau de semne contrare în contexte variate - Utilizarea de proprietăŃi ale operaŃiilor cu numere raŃionale pentru raŃionalizarea sau simplificarea calculelor - ExerciŃii de calcul (adunări, scăderi, înmulŃiri, împărŃiri) cu numere raŃionale având aceeaşi formă de scriere (zecimală sau ordinară) sau având forme diferite de scriere - ExerciŃii cu puteri cu exponent număr întreg care necesită utilizarea regulilor de calcul cu puteri - Respectarea regulilor privind ordinea efectuării operaŃiilor într-un calcul cu/fără paranteze - ExerciŃii de determinare a rădăcinii pătrate dintr-un număr natural pătrat perfect utilizând scrierea sub formă de putere cu exponent 2

- ExerciŃii care utilizează regulile de calcul , :a b a b⋅

- ExerciŃii de calcul cu numere reale de forma ba (introducerea factorilor sub radical, scoaterea factorilor de sub radical, înmulŃire, ridicare la putere, împărŃire, adunare şi scădere, amplificare şi simplificare, raŃionalizarea numitorului) - ExerciŃii de comparare şi ordonare a numerelor reale scrise în forme variate





- Utilizarea algoritmului de extragere a rădăcinii pătrate dintr-un număr raŃional pozitiv cu rezultat număr raŃional - Efectuarea de calcule care necesită utilizarea algoritmului de extragere a rădăcinii pătrate - Calculul valorii absolute a unor sume/diferenŃe de numere iraŃionale - ExerciŃii de determinare a mediei geometrice a două numere raŃionale pozitive sau reale pozitive - Exersarea operaŃiilor cu numere reale reprezentate prin litere: adunare, scădere, înmulŃire, împărŃire, ridicarea la putere cu exponent întreg - ExerciŃii de utilizare a regulilor de calcul cu puteri - ObŃinerea unor inegalităŃi echivalente prin operare în ambii membri (adunare, scădere, înmulŃire sau împărŃire): 1) ,a a a≤ ∀ ∈� ; 2)a b≤ şi b a a b≤ ⇒ = , ,a b∀ ∈� ; 3) a b≤ şi b c≤ a c⇒ ≤ , , ,a b c∀ ∈� ; 4) a b≤ şi c a c b c∈ ⇒ ± ≤ ±� ; 5)a b≤ şi 0c ac bc> ⇒ ≤ şi : :a c b c≤ , ,a b∀ ∈� ; 6) a b≤ şi

0c ac bc< ⇒ ≥ şi : :a c b c≥ , ,a b∀ ∈�

1.3 să aproximeze numere reale, pentru a verifica validitatea unor calcule.

- ExerciŃii de aproximare a numerelor raŃionale în vederea reprezentării lor pe axa numerelor sau ordonare - ExerciŃii de aproximare a unor calcule cu eroare dată prin lipsă sau prin adaos - Utilizarea estimărilor în încadrarea într-un ordin de mărime a soluŃiei ecuaŃiei ax+b=0, cu a ∗∈� , b∈� - Identificarea tipului de rotunjire în relaŃie cu numărul de zecimale a rezultatului - ExerciŃii de aproximare a numerelor iraŃionale în scopul comparării şi/sau ordonării acestora - Determinarea practică a unei aproximări a numărului π

1.4 să utilizeze elemente de logică şi elemente de teoria mulŃimilor pentru a determina numere reale sau a stabili valoarea de adevăr a unor enunŃuri.

- ExerciŃii de scriere a produsului cartezian prin enumerarea elementelor sale - EvidenŃierea relaŃiei între cardinalele mulŃimilor implicate în produsul cartezian şi cardinalul acestuia - Identificarea unor reprezentanŃi ai unor mulŃimi date - Utilizarea ecuaŃiei x2 = a, unde a +∈� în rezolvarea unor probleme - ExerciŃii de utilizare a proprietăŃilor relaŃiei de egalitate în mulŃimea numerelor reale - Aducerea la o formă mai simplă a unor egalităŃi utilizând proprietăŃile relaŃiei de egalitate - Utilizarea simetriei şi tranzitivităŃii egalităŃii în contexte variate - ExerciŃii de utilizare a proprietăŃilor relaŃiei de inegalitate în mulŃimea numerelor reale

1.5 să utilizeze elemente de calcul numeric sau algebric pentru simplificarea unor calcule, rezolvarea unor ecuaŃii sau inecuaŃii

- ExerciŃii de aplicare a proprietăŃilor relaŃiei de egalitate: 1) ,a a a= ∀ ∈� ; 2)a b b a= ⇒ = , ,a b∀ ∈� ; 3) a b= şi b c a c= ⇒ = , , ,a b c∀ ∈� ; 4) a b= şi c a c b c∈ ⇒ ± = ±� şi

ac bc= , ,a b∀ ∈� ; 5) a b= şi : :c a c b c∗∈ ⇒ =� , ,a b∀ ∈� ; 6)a b= şi c d a c b d= ⇒ ± = ± şi ac bd= , , , ,a b c d∀ ∈� ; 7) a b= şi c d= ⇒ : :a c b d= , (∀ 0, 0c d≠ ≠ ) ,a b∀ ∈�

- Rezolvarea ecuaŃiei ax+b=0, cu a ∗∈� , b∈� - Rezolvarea unor ecuaŃii reductibile la acestea





- ExerciŃii de simplificare a unor rapoarte de numere reale care necesită raŃionalizare, descompunere în factori şi simplificare - Utilizarea de raŃionalizări sau introducerea/scoaterea factorilor de sub radical pentru a compara/ordona numere iraŃionale - Identificarea termenilor asemenea dintr-o expresie algebrică şi operarea folosind proprietatea de distributivitate - Aducerea la o formă mai simplă/echivalentă a unor numere în a căror scriere intervin fracŃii, paranteze, radicali - Deducerea formulelor de calcul prescurtat - ExerciŃii de utilizare a formulelor de calcul prescurtat (a±b)2 = a2 ± 2ab + b2; (a-b)(a+b) = a2 - b2 , unde ,a b∈� - Efectuarea de calcule care presupun dezvoltarea sau restrângere formulelor de calcul prescurtat în contexte variate - ExerciŃii de descompunere în factori utilizând: scoaterea unui factor comun, formule de calcul prescurtat (a±b)2 = a2 ± 2ab + b2; (a-b)(a+b) = a2 - b2 , unde ,a b∈� - Efectuarea de calcule care presupun dezvoltarea sau restrângere formulelor de calcul prescurtat în contexte variate - Utilizarea formulei de calcul prescurtat a2-b2= (a-b)(a+b) - Rezolvarea de ecuaŃii reductibile la ecuaŃia x2 = a, unde a +∈� - Rezolvarea ecuaŃiei ax+b=0, cu ,a b∈� - Rezolvarea ecuaŃiilor reductibile la ecuaŃia ax+b=0, cu

,a b∈� inclusiv cu utilizarea formulelor de calcul prescurtat - Aducerea la o formă mai simplă a unor inegalităŃi utilizând proprietăŃile relaŃiei de inegalitate - Rezolvarea inecuaŃiei ax+b>0, (<, ≤, ≥), ,a b∈� cu x în � - Rezolvarea inecuaŃiilor reductibile la inecuaŃia ax+b>0, (<, ≤, ≥), ,a b∈� cu x în �

1.6 să recunoască şi să descrie figurile geometrice plane în diverse configuraŃii, să utilizeze localizări şi poziŃii relative în rezolvarea de probleme

- ExerciŃii de reprezentare într-un sistem de axe perpendiculare a unor puncte având coordonate reale - ExerciŃii de identificare a centrelor/axelor de simetrie pentru patrulaterele studiate - ExerciŃii de identificare a elementelor unui cerc pe configuraŃii date - Calcularea lungimii cercului şi ariei discului

1.7 să utilizeze proprietăŃi calitative şi metrice ale figurilor geometrice în rezolvarea unor probleme

- ExerciŃii de identificare a coordonatelor unui punct reprezentat într-un sistem de axe perpendiculare - ExerciŃii de determinare a unor mulŃimi finite A şi B atunci când se dă reprezentarea geometrică a produsului cartezian - Rezolvare de probleme utilizând metoda triunghiurilor congruente, proprietăŃile triunghiurilor isoscel, echilateral, dreptunghic şi suma măsurilor unghiurilor unui triunghi - Utilizarea triunghiurilor particulare pentru a compune patrulatere convexe - Demonstrarea proprietăŃilor paralelogramului - Utilizarea condiŃiilor suficiente pentru a deduce natura unui patrulater - ExerciŃii de stabilire a unor paralelograme particulare pe baza unor proprietăŃi precizate - Demonstrarea proprietăŃilor paralelogramelor particulare utilizând metode variate - Rezolvarea de probleme utilizând proprietăŃile





paralelogramelor particulare: dreptunghi, romb şi pătrat - ExerciŃii de stabilire a naturii unor figuri geometrice pe baza unor proprietăŃi precizate - Rezolvarea de probleme utilizând proprietăŃile trapezului isoscel - Calcularea ariei triunghiului şi a patrulaterelor studiate cu ajutorul formulelor - ExerciŃii cu rapoarte şi proporŃii formate cu lungimi de segmente - Stabilirea paralelismului unor drepte utilizând reciproca teoremei lui Thales - Utilizarea definiŃiei şi a proprietăŃilor liniei mijlocii într-un triunghi - Utilizarea concurenŃei medianelor într-un triunghi în rezolvarea de probleme - Utilizarea condiŃiilor teoremei reciproce a liniei mijlocii pentru a demonstra paralelismul unor drepte - Utilizarea definiŃiei şi proprietăŃilor liniei mijlocii în trapez - ExerciŃii de identificare a liniei mijlocii în trapez pe baza definiŃiei/proprietăŃilor acesteia - Stabilirea relaŃiei de asemănare între două triunghiuri date utilizând definiŃia - Stabilirea relaŃiei de asemănare între două triunghiuri utilizând criterii de asemănare - ExerciŃii de identificare a proiecŃiei unui segment pe o dreaptă în diferite configuraŃii geometrice - Utilizarea teoremei lui Pitagora, teoremei înălŃimii, teoremei catetei în probleme - Utilizarea reciprocei teoremei lui Pitagora pentru stabilirea perpendicularităŃii a două drepte sau a naturii unui triunghi - Rezolvarea de probleme care implică proprietăŃile arcelor şi coardelor, diametrul perpendicular pe coardă - Rezolvarea unor probleme folosind proprietăŃile elementare ale tangentelor duse dintr-un punct exterior la un cerc

1.8 să utilizeze elemente de organizare a datelor, de statistică şi de probabilităŃi în rezolvarea unor probleme date

- Reprezentarea unor date prin tabele, diagrame sau grafice - Alegerea modului adecvat de reprezentare a unor date - Analiza unor criterii de sortare a elementelor unei mulŃimi: criterii care împart mulŃimea în clase; criterii care determină submulŃimi nedisjuncte (fără a folosi această terminologie) - Analiza şi rezolvarea unor probleme de numărare cu caracter combinatorial - Reprezentarea unor date în tabele cu una şi cu două intrări; reperarea unei informaŃii dintr-un tabel sau listă; interpretarea unei informaŃii extrase dintr-un tabel (sau dintr-o listă) - ExerciŃii de transpunere a unei relaŃii dintr-o formă de descriere în alta (text, formulă, diagramă) - Construirea unor diagrame; interpretarea unor diagrame - Analiza unor seturi de date pentru a determina un mod mai potrivit de reprezentare grafică - Reprezentări prin grafice circulare şi grafice cu bare - Analiza unor exemple de evenimente întâmplătoare din domenii diferite ale matematicii (divizibilitate, geometrie etc) - Calculul probabilităŃii unor evenimente

1.9 să utilizeze simetria, - ConstrucŃia imaginii unei figuri prin translaŃie, rotaŃie, simetrie





translaŃia, rotaŃia, localizări şi poziŃii relative în rezolvarea de probleme

(intuitiv, fără a defini transformările ca funcŃii) - Folosirea reŃelelor de pătrate pentru a recunoaşte imaginea unei figuri prin una din transformările de mai sus - Justificarea proprietăŃilor unor configuraŃii geometrice, pe baza simetriei - Analiza şi construcŃia unor figuri cu simetrie axială sau centrală - Identificarea axei (centrului) de simetrie al unei figuri (intuitiv sau/şi prin demonstraŃie)

2. Dezvoltarea capacităŃii de explorare/investigare şi rezolvare de probleme

Obiective de referinŃă Exemple de activităŃi de învăŃare La sfârşitul clasei a VII-a

elevul va fi capabil: Pe parcursul clasei a VII-a se recomandă următoarele activităŃi:

2.1 să exploreze modalităŃi de compunere sau de descompunere a numere-lor reale folosind operaŃiile studiate şi să identifice modalităŃi eficiente de organizare a unui calcul prin scrierea numerelor în forme variate

- ExerciŃii de scriere a unui număr raŃional în forme echivalente: fracŃii ordinare şi fracŃii zecimale - Utilizarea transformărilor în forme variate de scriere a numerelor raŃionale pentru a arăta echivalenŃa acestora - Scrierea unor numere naturale pătrate perfecte sub formă de puteri cu exponent par şi apoi transformarea în puteri având exponentul egal cu 2 - ExerciŃii de încadrare a numerelor iraŃionale între doi întregi consecutivi - Identificarea formei convenabile de scriere a unui număr real funcŃie de un context dat

2.2 să investigheze valoarea de adevăr a unor enunŃuri; să selecteze informaŃii relevante, în mulŃimea datelor de care dispune,.să formuleze cât mai multe consecinŃe posibile, care decurg dintr-un set de ipoteze date

- Verificarea pentru un număr dat a proprietăŃii acestuia de a fi soluŃie a unei ecuaŃii date - Identificarea în ecuaŃii a rolului necunoscutei şi cel al coeficienŃilor prin formularea de exerciŃii care să aibă ca date cunoscute sau coeficienŃii sau soluŃia - Utilizarea unor exemple relevante pentru observarea relaŃiei între putere cu exponent 2 şi rădăcina pătrată a unui număr natural pătrat perfect - Identificarea rezultatului plauzibil dintr-o listă de răspunsuri posibile - Verificarea pentru un număr dat a proprietăŃii acestuia de a fi soluŃie a unei ecuaŃii date prin alegerea convenabilă a metodei de lucru ( rezolvare sau prin înlocuire) - Verificarea proprietăŃii de a fi soluŃie a unui număr prin apartenenŃa sa la mulŃimea de definiŃie (exerciŃii de verificare a valorii de adevăr a unor propoziŃii) - Verificarea pentru un număr dat a proprietăŃii acestuia de a fi soluŃie a unei inecuaŃii date - ExerciŃii de verificare a validităŃii unor afirmaŃii pe cazuri particulare sau prin construirea unor exemple şi/sau contraexemple - Identificarea unor consecinŃe posibile ce decurg dintr-un set de ipoteze, întrebări deschise de tipul „ce s-ar întâmpla dacă modificăm ipoteza?” - ExerciŃii de verificare a validităŃii unor afirmaŃii pe cazuri particulare sau prin construirea unor exemple şi/sau contraexemple - ExerciŃii de identificare a simetriei trapezului isoscel şi caracterizarea tipului de simetrie




2.3 să identifice reguli de formare a unor şiruri de numere

- ExerciŃii de completare a unor şiruri de numere, întocmite după o regulă aditivă, multiplicativă, de tipul an=a/n etc. - Identificarea regulii de formare a unui şir de numere şi exprimarea ei (în cuvinte sau printr-o formulă, desen etc.) - Alcătuirea unor şiruri, pornind de la o regulă dată

2.4 să analizeze veridicitatea unor rezultate obŃinute prin procedee diverse (măsura-re, calcul, raŃionament)

- Verificarea corectitudinii rezolvării prin înlocuirea soluŃiei şi rezolvarea exerciŃiului prin metoda mersului invers - Identificarea mulŃimii soluŃiilor unor inecuaŃii de forma ax+b>0, (≥,<, ≤) unde a şi b sunt numere reale, dintr-o listă de răspunsuri posibile - Identificarea unor consecinŃe posibile ce decurg dintr-un set de ipoteze, întrebări deschise de tipul „ce s-ar întâmpla dacă modificăm ipoteza?” - Descompunerea unei figuri date în figuri ale căror arii pot fi calculate direct

2.5 să construiască probleme pornind de la un model (grafic sau formulă)

- Formularea unor probleme pe baza unei reguli date (una din ecuaŃiile studiate) sau a unui exerciŃiu - Formularea de probleme pornind de la un set de informaŃii cu caracter cotidian sau ştiinŃific, fizic, economic

2.6 să utilizeze instrumente geometrice (riglă, compas, echer, raportor) pentru a construi diferite configu-raŃii geometrice

- ExerciŃii de utilizare a instrumentelor geometrice pentru a reprezenta prin desen relaŃiile dintre elementele unor figuri geometrice: congruenŃă, paralelism, concurenŃă - ConstrucŃia cu ajutorul instrumentelor geometrice a unor patrulatere respectând condiŃii date - ExerciŃii de desenare a paralelogramului utilizând definiŃia sau proprietăŃi ale acestuia - ExerciŃii de desenare, folosind instrumente geometrice, a unor configuraŃii în ipoteze date - Transpunerea în desen a unor perechi de triunghiuri care satisfac un criteriu de asemănare şi identificare laturilor proporŃionale şi a unghiurilor egale - Folosirea instrumentelor geometrice pentru a reprezenta proiecŃia unui punct/segment pe o dreaptă - Utilizarea instrumentelor geometrice pentru a reprezenta prin desen cercul şi elementele sale - ConstrucŃii de arce congruente utilizând unghiuri la centru - ConstrucŃii de arce/coarde congruente utilizând metode variate - ExerciŃii de desenare folosind instrumente geometrice a unor configuraŃii care verifică ipoteze date - PoziŃionarea unei drepte faŃă de un cerc în raport cu numărul de puncte de intersecŃie dintre dreaptă şi cerc - EvidenŃierea concurenŃei bisectoarelor unui triunghi circumscris unui cerc - Utilizarea instrumentelor geometrice pentru construcŃia triunghiului echilateral, pătratului şi hexagonului regulat

2.7 să determine, folosind metode adecvate (măsurare şi/sau calcul), lungimi de segmente, măsuri de unghiuri şi arii; să estimeze lungimi, măsuri de unghiuri şi arii

- Calculul distanŃei între două puncte din plan - Calculul ariilor şi perimetrelor unor triunghiuri determinate de 2 puncte de pe axele de coordonate şi un vârf în originea sistemului de axe - Caracterizarea poziŃiei în plan a unor puncte în funcŃie de natura coordonatelor lor - Reprezentarea unor numere reale pe axă, folosind rigla şi compasul - Calcularea elementelor patrulaterelor utilizând proprietăŃi ale




triunghiurilor studiate - Determinarea măsurilor unghiurilor unui patrulater convex - Justificarea proprietăŃilor patrulaterelor pe baza simetriei - ExerciŃii de alegere a celei mai potrivite unităŃi de măsură pentru un anumit context dat - ExerciŃii de stabilire a proporŃionalităŃii lungimilor unor segmente ce reprezintă laturi ale unui triunghi - Determinarea lungimii unor segmente prin utilizarea teoremei paralelelor echidistante, a teoremei lui Thales şi a proporŃiilor derivate - ExerciŃii de împărŃire a unui segment în părŃi proporŃionale cu numere date - Utilizarea poziŃiei particulare a centrului de greutate a unui triunghi pentru a determina lungimi ale unor segmente în configuraŃii geometrice variate - Calculul unor lungimi de segmente determinate de diagonale unui trapez pe linia mijlocie - Determinarea unor lungimi de segmente şi a unor măsuri de unghiuri, utilizând asemănarea triunghiurilor şi proprietăŃile şirului de rapoarte egale - Calculul unor lungimi de segmente în triunghi utilizând teorema fundamentală a asemănării - Determinarea unor lungimi de segmente şi a unor măsuri de unghiuri, utilizând asemănarea triunghiurilor - Calculul de perimetre şi de arii a două triunghiuri asemenea, prin utilizarea raportului de asemănare - Calculul unor lungimi de segmente utilizând teorema înălŃimii şi teorema catetei - Calculul unor lungimi de segmente utilizând teorema lui Pitagora - Calculul sinusului, cosinusului, tangentei şi cotangentei pentru unghiurile ascuŃite ale unui triunghi dreptunghic - Determinarea valorilor pentru sinus, cosinus, tangenta şi cotangenta unghiurilor de 30o , 45o , 60o - Utilizarea valorilor pentru sinus, cosinus, tangenta şi cotangenta unghiurilor de 30o , 45o , 60o pentru determinarea unor lungimi de segmente într-un triunghi dreptunghic - Utilizarea tabelelor trigonometrice în rezolvarea de probleme practice - Calculul ariei unui triunghi folosind noŃiuni de trigonometrie - Determinarea elementelor unui triunghi dreptunghic utilizând relaŃiile metrice şi trigonometrice studiate - Exercitii de calcul a unor lungimi de segmente, măsuri de unghiuri, perimetre, arii ale unor configuraŃii - Calcularea lungimii cercului şi ariei discului - Calculul lungimilor unor arce de cerc şi aria sectorului de cerc folosind regula de trei simplă - Calculul unor măsuri de unghiuri şi arce de cerc; triunghi înscris în cerc - Calcul unor lungimi de segmente şi a măsurilor de unghiuri şi de arce - AplicaŃii de determinare a perimetrului triunghiului circumscris unui cerc - ExerciŃii de determinare a măsurii unghiurilor unui poligon




regulat - ExerciŃii de calcul al elementelor (latură, apotemă, arie, perimetru) în poligoane regulate: triunghi echilateral, pătrat, hexagon regulat

2.8 să utilizeze instrumente geometrice (riglă, compas, echer, raportor) pentru a reprezenta diferite configu-raŃii geometrice

- ExerciŃii de desenare folosind instrumente geometrice a unor configuraŃii care satisfac ipoteze date - ExerciŃii de utilizare a instrumentelor geometrice adecvate pentru a reprezenta prin desen figuri geometrice - ExerciŃii de utilizare a instrumentelor geometrice pentru a reprezenta prin desen relaŃii între elementele unor figuri sau configuraŃii geometrice(congruenŃă, paralelism, perpendicularitate)

3. Dezvoltarea capacităŃii de a comunica utilizând limbajul matematic



3.1 să identifice şi să structureze etapele unui raŃionament matematic, prezentat în diverse forme

- ExerciŃii de rezolvare a unor probleme cu conŃinut practic, utilizând proprietăŃile operaŃiilor studiate - Verificarea proprietăŃii de „a fi soluŃie” pentru elemente dintr-o mulŃime prin alegerea convenabilă a metodei de lucru ( rezolvare sau prin înlocuire) - ExerciŃii de identificare a ipotezei şi a concluziei într-un enunt matematic cu punerea în evidenŃă a rolului ipotezei şi a concluziei - Transpunerea în desen a unei configuraŃii geometrice descrise matematic - Aplicarea teoremei fundamentale a asemănării în variate contexte

3.2 să prezinte în mod coerent soluŃia unei probleme, utilizând modalităŃi variate de exprimare (cuvinte, simboluri matematice, diagrame, tabele, construcŃiidin diverse materiale)

- Rezolvarea de probleme care utilizează ecuaŃiei ax+b=0, cu a∈Q*, b∈Q sau ecuaŃii reductibile la acestea - ExerciŃii de identificare a ecuaŃiilor echivalente - Rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuaŃiilor, inecuaŃiilor - Redactarea rezolvării de probleme - Rezolvarea de probleme utilizând proprietăŃile paralelogramului - Utilizarea unor relaŃii între latura poligonului regulat şi raza cercului circumscris acestuia în contexte geometrice variate

3.3 să argumenteze logic în cadrul unui grup sau individual idei şi metode matematice, să utilizeze diferite surse de informaŃie în verificarea şi susŃinerea opiniilor

- Discutarea în grup a metodelor de rezolvare în vederea optimizării acestora din punct de vedere al paşilor de parcurs şi din punct de vedere al volumului de calcule implicat - Discutarea şi argumentarea metodei de descompunere aleasă în rezolvarea exerciŃiilor - Discutarea, analiza şi compararea unor metode diferite de rezolvare a unei probleme - Identificarea şi analizarea unor metode alternative de rezolvare a problemelor de geometrie utilizând proprietăŃi ale triunghiului - Argumentarea alegerii între teorema fundamentală a asemănării şi teorema lui Thales pentru rezolvarea de probleme specifice - Analiza prin activităŃi de grup sau individuale a unei situaŃii problemă sau a unor probleme practice ce necesită aplicarea criteriilor de asemănare - Compararea diferitelor metode utilizate în rezolvarea de probleme - Analiza prin activităŃi de grup sau individuale a metodelor matematice adecvate pentru rezolvarea unor situaŃii problemă/probleme practice


4. Dezvoltarea interesului şi a motivaŃiei pentru studiul şi aplicarea matematicii în contexte variate Obiective de referinŃă Exemple de activităŃi de învăŃare



4.1 să identifice utilizări ale unor concepte şi metode matematice studiate, în rezolvarea unor situaŃii-problemă sau probleme practice

- Rezolvarea de probleme în care apar medii (aritmetică, ponderată sau geometrică) - Transcrierea datelor unei probleme în limbaj matematic - Rezolvarea unor probleme simple de geometrie pornind de la reprezentarea punctelor într-un sistem de axe perpendiculare - Observarea diferenŃei dintre condiŃiile necesare şi suficiente în contexte geometrice variate - Utilizarea unor metode diferite de calculare a ariei unui triunghi şi/sau a unui patrulater - Rezolvarea de probleme cu conŃinut practic - Calculul lungimilor unor arce de cerc şi aria sectorului de cerc folosind regula de trei simplă

4.2 să manifeste perseverenŃă şi interes pentru găsirea de soluŃii noi în rezolvarea unei probleme.

- Verificarea proprietăŃii de „a fi soluŃie” a unui număr prin apartenenŃa sa la mulŃimea de definiŃie - Calculul ariilor unor suprafeŃe folosind decupări, pavaje şi reŃele

4.3 să manifeste interes pentru folosirea tehnologiei informaŃiei în studiul matematicii.

- Utilizarea calculatorului de buzunar pentru efectuarea sau verificarea unor calcule cu numere reale - Utilizarea algoritmului de extragere a rădăcinii pătrate şi verificarea rezultatului cu ajutorul calculatorului de buzunar, punând în evidenŃă eroarea datorată rotunjirilor


CONłINUTURI

CLASA A VII-A ALGEBRĂ

1. Mul Ńimea numerelor raŃionale

• MulŃimea numerelor raŃionale � ; reprezentarea numerelor raŃionale pe axa numerelor, opusul unui număr raŃional; valoarea absolută (modulul); ⊂ ⊂� � �

• OperaŃii cu numere raŃionale, proprietăŃi

• Compararea şi ordonarea numerelor raŃionale

• Ordinea efectuării operaŃiilor şi folosirea parantezelor

• EcuaŃia de forma ax+b=0, cu ,a ∗∈� b∈�

• Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuaŃiilor

2. Mul Ńimea numerelor reale

• Rădăcina pătrată a unui număr natural pătrat perfect

• Algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate dintr-un număr natural; aproximări

• Exemple de numere iraŃionale; mulŃimea numerelor reale � ; modulul unui număr real: definiŃie, proprietăŃi; compararea şi ordonarea numerelor reale; reprezentarea numerelor reale pe axa numerelor prin aproximări; ⊂ ⊂ ⊂� � � �

• Reguli de calcul cu radicali: scoaterea factorilor de sub radical, introducerea factorilor sub radical,

,a b ab⋅ = unde 0, 0a b≥ ≥ şi : : ,a b a b= unde 0, 0a b≥ >

• OperaŃii cu numere reale (adunare, scădere, înmulŃire, împărŃire, ridicare la putere, raŃionalizarea

numitorului de forma a b )

• Media geometrică a două numere reale pozitive

3. Calcul algebric

• Calcule cu numere reale reprezentate prin litere: adunare/scădere, înmulŃire, împărŃire, ridicare la putere, reducerea termenilor asemenea

• Formule de calcul prescurtat 2 2 2( ) 2a b a ab b± = ± + ; 2 2( )( )a b a b a b− + = − , unde ,a b∈�

• Descompuneri în factori utilizând reguli de calcul în �

• EcuaŃia de forma x2 = a, unde a∈ +�

4. EcuaŃii şi inecuaŃii

• ProprietăŃi ale relaŃiei de egalitate în mulŃimea numerelor reale

• EcuaŃii de forma ax+b=0, a,b∈ � ; mulŃimea soluŃiilor unei ecuaŃii; ecuaŃii echivalente

• ProprietăŃi ale relaŃiei de inegalitate „≤ ” pe mulŃimea numerelor reale

• InecuaŃii de forma ax+b>0, (<, ≤, ≥), a, b ∈ � cu x în �

• Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuaŃiilor şi inecuaŃiilor

5. Elemente de organizare a datelor

• Produsul cartezian a două mulŃimi nevide. Reprezentarea într-un sistem de axe perpendiculare (ortogonale) a unor perechi de numere întregi

• Reprezentarea punctelor în plan cu ajutorul sistemului de axe ortogonale; distanŃa dintre două puncte din plan

• Reprezentarea şi interpretarea unor dependenŃe funcŃionale prin tabele, diagrame şi grafice

• Probabilitatea realizării unor evenimente


GEOMETRIE

1. Patrulatere

• Patrulater convex (definiŃie, desen)

• Suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex

• Paralelogram; proprietăŃi

• Paralelograme particulare: dreptunghi, romb şi pătrat; proprietăŃi

• Trapez, clasificare; trapez isoscel, proprietăŃi

• Arii (triunghiuri, patrulatere)

2. Asemănarea triunghiurilor

• Segmente proporŃionale

• Teorema paralelelor echidistante. ÎmpărŃirea unui segment în părŃi proporŃionale cu numere (segmente) date. Teorema lui Thales. Teorema reciprocă a teoremei lui Thales

• Linia mijlocie în triunghi; proprietăŃi. Centrul de greutate al unui triunghi

• Linia mijlocie în trapez; proprietăŃi

• Triunghiuri asemenea

• Criterii de asemănare a triunghiurilor

• Teorema fundamentală a asemănării

3. RelaŃii metrice în triunghiul dreptunghic

• ProiecŃii ortogonale pe o dreaptă

• Teorema înălŃimii

• Teorema catetei

• Teorema lui Pitagora; teorema reciprocă a teoremei lui Pitagora

• NoŃiuni de trigonometrie în triunghiul dreptunghic: sinusul, cosinusul, tangenta şi cotangenta unui unghi ascuŃit

• Rezolvarea triunghiului dreptunghic

4. Cercul

• Cercul: definiŃie; elemente în cerc: centru, rază, coardă, diametru, arc; interior, exterior; discul

• Unghi la centru; măsura arcelor; arce congruente

• Coarde şi arce în cerc (la arce congruente corespund coarde congruente, şi reciproc; proprietatea diametrului perpendicular pe o coardă; proprietatea arcelor cuprinse între coarde paralele; proprietatea coardelor egal depărtate de centru)

• Unghi înscris în cerc; triunghi înscris în cerc

• PoziŃiile relative ale unei drepte faŃă de un cerc; tangente dintr-un punct exterior la un cerc; triunghi circumscris unui cerc

• Poligoane regulate: definiŃie, desen

• Calculul elementelor (latură, apotemă, arie, perimetru) în următoarele poligoane regulate: triunghi echilateral, pătrat, hexagon regulat

• Lungimea cercului şi aria discului


CLASA A VIII-A

OBIECTIVE DE REFERIN łĂ ŞI EXEMPLE DE ACTIVIT ĂłI DE ÎNV ĂłARE

1. Cunoaşterea şi înŃelegerea conceptelor, a terminologiei si a procedurilor de calcul specifice matematicii


La sfârşitul clasei a VIII-a, elevul va fi capabil:

Pe parcursul clasei a VIII-a, se recomandă următoarele activităŃi:

1.1 să scrie, să citească, să compare şi să reprezinte numere reale pe axa numerelor; să descrie relaŃii dintre mulŃimile de numere studiate

- ExerciŃii de recunoaştere dintr-o mulŃime dată a numerelor întregi, raŃionale, iraŃionale scrise în diferite forme - Exemple de determinare a naturii unui număr zecimal (raŃional sau iraŃional) fiind dată o regulă de succesiune a zecimalelor (ex. 0,1010010001…..) - ExerciŃii de comparare şi de ordonare a numerelor reale - ExerciŃii de poziŃionare a unor numere din\� � între doi întregi consecutivi - ExerciŃii de reprezentare pe axa numerelor a intervalelor de numere reale - ExerciŃii de reprezentare a unor intervale de numere reale folosind proprietăŃile modulului - Reprezentarea pe axa numerelor a mulŃimii soluŃiilor unei inecuaŃii de forma ax+b>0, (≥,<, ≤) unde a şi b sunt numere reale

1.2 să efectueze calcule cu numere reale utilizând proprietăŃi ale operaŃiilor

- ExerciŃii de utilizare a proprietăŃilor modulului unui număr real - Calcule (adunări, scăderi, înmulŃiri, împărŃiri, ridicări la putere cu exponent număr întreg) cu numere reale, ordinea efectuării operaŃiilor - ExerciŃii de extragere a rădăcinii pătrate dintr-un număr natural - ExerciŃii care să pună în evidenŃă avantajele folosirii unor proprietăŃi ale operaŃiilor cu numere reale - Calcule cu radicali (introducerea factorilor sub radical, scoaterea factorilor de sub radical, înmulŃirea, ridicarea la putere, împărŃirea) - Calcule urmărind respectarea semnificaŃiei parantezelor şi a ordinii efectuării operaŃiilor în � - Calculul valorii unei expresii algebrice prin atribuirea de valori numerice literelor (variabilelor) - Aplicarea unor formule (calculul mediilor: aritmetică, aritmetică ponderată, geometrică) în contexte practice - ExerciŃii de calcul a pătratului sumei de doi sau de trei termeni - ExerciŃii de calcul a produsului dintre suma şi diferenŃa a două numere - Corelarea modului de efectuare a operaŃiilor cu rapoarte de numere reale reprezentate prin litere cu operaŃiile cu fracŃii ordinare - Identificarea ecuaŃiilor de forma ax2+bx+c=0, unde a,b,c∈ � , a≠0, care admit soluŃii reale prin calcularea expresiei

2 4b ac∆ = −





1.3 să aproximeze numere reale şi soluŃii ale unor ecuaŃii sau sisteme de ecuaŃii, pentru a verifica validitatea unor calcule

- Rotunjirea unui număr real până la cea mai apropiată zece, sută ... sau zecime, sutime,… - ExerciŃii de reprezentare a numerelor reale pe axa numerelor recurgând, acolo unde este cazul, la aproximări sau folosind relaŃii metrice în triunghiul dreptunghic

1.4 să aplice în rezolvarea problemelor elemente de logică şi elemente de teoria mulŃimilor

- ExerciŃii de verificare a apartenenŃei unui punct la graficul unei funcŃii - ExerciŃii de stabilire a apartenenŃei unui număr real la o mulŃime de numere reale

1.5 să identifice funcŃii de tipul :f A→ � , unde A = � sau

A este o mulŃime finită, ( )f x ax b= + , ( ,a b∈� ) şi

să le reprezinte grafic

- ExerciŃii de reprezentare grafică a funcŃiei : ,f →� �

( ) , ,f x ax b a b= + ∈� într-un sistem de axe perpendiculare

- ExerciŃii de determinare a unei funcŃii de forma : ,f →� �

( ) , ,f x ax b a b= + ∈� în condiŃii date

- ExerciŃii de reprezentare grafică a funcŃiilor de forma:

: ,f A → � ( ) , ,f x ax b a b= + ∈� , unde A = � sau A

este o mulŃime finită - Formularea şi rezolvarea unor probleme de determinare a

unor funcŃii de tipul : ,f A → � ( ) , ,f x ax b a b= + ∈� ,

pornind de la reprezentarea grafică - Reprezentarea grafică a dreptei soluŃiilor ecuaŃiei ax+by+c=0, unde a, b, c sunt numere reale 0a ≠ , 0b ≠

1.6 să utilizeze elemente de calcul algebric şi formule de calcul pentru simplificarea unor calcule şi pentru rezolvarea unor ecuaŃii, inecuaŃii şi sisteme de ecuaŃii

- ExerciŃii de calcul (adunări, scăderi, înmulŃiri, împărŃiri, ridicări la putere cu exponent număr întreg) cu numere reale reprezentate prin litere - Calcule urmărind respectarea semnificaŃiei parantezelor şi a ordinii efectuării operaŃiilor cu numere reale reprezentate prin litere - ExerciŃii de calcul a unor expresii algebrice; utilizarea unor

convenŃii de notaŃii (de exemplu ( ) 2 3 5E a a a= − + )

- ExerciŃii de amplificare şi de simplificare a unui raport de numere reale reprezentate prin litere - ExerciŃii de calcul (adunări, scăderi, înmulŃiri, împărŃiri) cu rapoarte de numere reale reprezentate prin litere - Rezolvarea ecuaŃiei de forma ax+b=0, unde a şi b sunt numere reale - Explicitarea mulŃimii soluŃiilor unei ecuaŃii de forma ax+by+c=0, unde a, b, c sunt numere reale - ExerciŃii de rezolvare a sistemelor de ecuaŃii de forma

a x b y c

a x b y c1 1 1

2 2 2

0

0

+ + =+ + =

- Rezolvarea ecuaŃiei 2 0, , , , 0ax bx c a b c a+ + = ∈ ≠� folosind formula de rezolvare - Rezolvări de ecuaŃii reductibile la ecuaŃii de forma

2 0, , , , 0ax bx c a b c a+ + = ∈ ≠�

- Rezolvarea inecuaŃiilor de forma ax+b>0, (≥,<, ≤) în � , � sau� , unde a şi b sunt numere reale - Rezolvări de inecuaŃii reductibile la inecuaŃii de forma ax+b>0, (≥,<, ≤) unde a şi b sunt numere reale




Pe parcursul clasei a VIII-a, se recomandă următoarele activităŃi: - Rezolvarea unor probleme cu ajutorul ecuaŃiilor sau a sistemelor de ecuaŃii

1.7. să recunoască şi să descrie proprietăŃi simple ale corpurilor geometrice; să utilizeze localizări şi poziŃii spaŃiale relative în rezolvarea de probleme

- ExerciŃii de reprezentare grafică a unor funcŃii definite pe mulŃimi finite, într-un sistem de axe perpendiculare xOy - ExerciŃii de aproximare a soluŃiei unui sistem de ecuaŃii de

forma a x b y c

a x b y c1 1 1

2 2 2

0

0

+ + =+ + =

, folosind reprezentarea grafică

- ExerciŃii de clasificare şi comparare a piramidelor după: numărul de muchii, feŃe, vârfuri - ExerciŃii de clasificare şi comparare a prismelor după: numărul de muchii, feŃe, vârfuri - ExerciŃii de identificare a corpurilor geometrice studiate dintr-un set de corpuri geometrice date - ActivităŃi de recunoaştere a corpurilor geometrice studiate în cotidian (în sala de clasă, mediul înconjurător etc.) - ExerciŃii de identificare a unor drepte concurente în corpurile geometrice studiate (tetraedru, cub) sau în cotidian - ExerciŃii de identificare a unor drepte paralele în corpurile geometrice studiate (tetraedru, cub) sau în cotidian - ExerciŃii de identificare a unor drepte necoplanare în corpurile geometrice studiate (tetraedru, cub) sau în cotidian - ExerciŃii de recunoaştere a poziŃiilor relative ale unei drepte faŃă de un plan în corpurile geometrice studiate şi în cotidian: dreaptă inclusă în plan, dreapta paralelă cu un plan, dreapta care „înŃeapă” planul - ExerciŃii ce pun în evidenŃă perpendicularitatea unei drepte pe un plan - ExerciŃii de identificare a distanŃei de la un punct la un plan în corpurile geometrice studiate (tetraedru, cub) - ExerciŃii de recunoaştere a poziŃiilor relative a două plane în corpurile geometrice studiate şi în cotidian: plane secante, plane paralele, plane care coincid - ExerciŃii ce pun în evidenŃă poziŃiile relative a două plane - ExerciŃii de identificare a proiecŃiilor pe un plan a punctelor, dreptelor şi segmentelor în corpurile geometrice studiate - EvidenŃierea unor asemănări şi a unor deosebiri între unghiul a două drepte în plan şi unghiul a două drepte în spaŃiu - ExerciŃii de recunoaştere în configuraŃii spaŃiale şi în corpurile geometrice studiate a unghiului dintre o dreaptă şi un plan - ExerciŃii de identificare a unghiului plan corespunzător unghiului diedru în diverse configuraŃii spaŃiale, inclusiv în corpurile studiate - ExerciŃii de identificare, diferenŃiere şi de numire a corpurilor geometrice (cub, paralelipiped dreptunghic, prisma dreaptă cu baza: triunghi echilateral, pătrat, hexagon regulat) - ExerciŃii de identificare a elementelor corpurilor geometrice pe configuraŃia spaŃială şi pe desfăşurare (diagonale, vârfuri, muchii, feŃe)

1.8 să utilizeze proprietăŃi calitative şi metrice ale corpurilor geometrice în rezolvarea unor probleme

- ExerciŃii de recunoaştere a două unghiuri cu laturile respectiv paralele în diverse configuraŃii spaŃiale, inclusiv în corpurile studiate - Rezolvarea de exerciŃii cu conŃinut practic legate de proiecŃii




Pe parcursul clasei a VIII-a, se recomandă următoarele activităŃi: de puncte, drepte, segmente pe plan - ExerciŃii de determinare a unor elemente ale corpurilor geometrice când cunoaştem aria laterală, aria totală, volumul sau alte elemente

1.9 să utilizeze localizarea figurilor geometrice în plan şi în spaŃiu, precum şi elemente de transformări geometrice

- ExerciŃii de identificare a coordonatelor unui punct într-un sistem de axe ortogonale; exerciŃii de reprezentare a unui punct într-un sistem de axe perpendiculare, cunoscând coordonatele - ConstrucŃia imaginii unei figuri prin translaŃie, rotaŃie, simetrie (intuitiv, fără a defini transformările ca funcŃii) - Folosirea reŃelelor de pătrate pentru a recunoaşte imaginea unei figuri printr-una dintre transformările de mai sus - Justificarea proprietăŃilor unor configuraŃii geometrice, pe baza simetriei

1.10 să utilizeze în situaŃii practice metode adecvate de calcul pentru lungimi, unghiuri, arii şi volume, precum şi transformări ale unităŃilor de măsură

- Rezolvarea unor probleme în care intervin operaŃii cu măsuri, utilizând multiplii şi submultiplii unităŃilor principale din sistemul internaŃional de măsuri (pentru lungime, arie, volum, masă, timp); utilizarea transformărilor - ExerciŃii de alegere a celei mai potrivite unităŃi de măsură pentru un anumit context dat; exerciŃii de estimare a unor măsuri - Măsurarea ariilor folosind reŃele de pătrate; exerciŃii de măsurare a unghiurilor cu ajutorul raportorului; exerciŃii de citire şi interpretare a rezultatului măsurării cu diverse aparate - Calculul ariilor şi volumelor, folosind decupări, descompuneri, pavaje, reŃele, formule, raportul ariilor, raportul volumelor - Calculul ariilor laterale şi totale ale unor poliedre (paralelipiped dreptunghic, cub, prismă triunghiulară regulată, prismă patrulateră regulată, piramidă triunghiulară regulată, piramidă patrulateră regulată), pe desfăşurări date

1.11 să utilizeze elemente de organizare a datelor, de statistică şi de probabilităŃi

- ExerciŃii de clasificare a unor obiecte concrete sau matematice (după criterii date; formularea unor criterii de realizare a unei clasificări - Analiza şi rezolvarea unor probleme de numărare cu caracter combinatorial - ExerciŃii de înregistrare a rezultatelor unor observaŃii prin desene şi tabele; extragerea unor date din tabele, liste, diagrame etc. şi interpretarea lor; reprezentarea unor relaŃii prin diagrame; - Construirea unor diagrame statistice (de tipul grafice cu bare, grafice circulare etc.); interpretarea unor diagrame; analiza unor seturi de date pentru a determina un mod mai potrivit de reprezentare grafică - Analiza unor exemple de evenimente aleatoare legate de domenii diferite ale matematicii; exerciŃii de apreciere a şansei de producere a unor evenimente în raport cu altele; compararea şanselor de realizare a două evenimente ale căror probabilităŃi sunt cunoscute - Calculul probabilităŃii unui eveniment utilizând raportul: nr. cazuri favorabile/ nr. cazuri posibile

2. Dezvoltarea capacităŃii de explorare/investigare şi de rezolvare a problemelor




2.1 să exploreze modalităŃi de scriere a numerelor reale şi să

- Scrierea unui număr raŃional în forme echivalente prin: amplificare şi simplificare; transformare din fracŃii ordinare în





identifice modalităŃi eficiente de organizare a unui calcul

fracŃii zecimale şi invers; scrierea unui număr pozitiv ca radical din pătratul său - Scrierea unor numere iraŃionale în forme echivalente utilizând introducerea şi scoaterea unor factori de sub radical - Utilizarea aproximării prin lipsă sau prin adaos pentru a compara două numere reale - ExerciŃii de amplificare a unor rapoarte cu numitorul de

forma a b ; a b± , ,a b ∗∈� pentru raŃionalizarea numitorului - ExerciŃii de descompunere a unui număr real în sumă, produs, diferenŃă, cât sau puteri de numere reale - ExerciŃii de decompunere a unor sume în produs utilizând diferite metode - Corelarea formulelor de calcul prescurtat cu modalităŃile de descompunere în factori

2.2 să identifice reguli de formare a unor şiruri şi formule de definire a unor funcŃii

- ExerciŃii de completare a unor şiruri, de identificare a regulii de formare a unui şir de numere, alcătuirea unui şir pornind de la o regulă dată, găsirea unor reguli de alcătuire a şirurilor - Analiza şi construirea unor exemple de dependenŃă funcŃională din viaŃa cotidiană sau din alte discipline de studiu (de exemplu din fizică) - Analiza şi construcŃia unor exemple de funcŃii definite prin: diagrame, tabele, formule - ExerciŃii de identificare a coordonatelor unui punct în sistemul de axe perpendiculare xOy şi exerciŃii de reprezentare a unui punct într-un sistem de axe perpendiculare, cunoscând coordonatele punctului - ExerciŃii de determinare a coordonatelor unui punct care aparŃine graficului unei funcŃii - ExerciŃii de determinare a coordonatelor punctelor de intersecŃie ale graficului unei funcŃii de forma

: ,f →� � ( ) , ,f x ax b a b= + ∈� cu axele de coordonate

- ExerciŃii de determinare a coordonatelor punctului de intersecŃiei a două grafice de funcŃii

2.3 să analizeze veridicitatea unor rezultate obŃinute prin procedee diverse (măsurare, calcul, raŃionament)

- ExerciŃii de estimare a rezultatului unor operaŃii cu numere reale înainte de efectuarea calculelor - ExerciŃii de determinare a minimului şi/sau maximului unei expresii algebrice în evaluarea şi interpretarea rezultatelor - ExerciŃii de restrângere a unei expresii algebrice utilizând formulele de calcul prescurtat - ExerciŃii de identificare a rezultatului plauzibil dintr-o listă de răspunsuri posibile - ExerciŃii de lectură a graficului unei funcŃii pentru determinarea domeniului de definiŃie, a domeniului de valori sau de verificare a apartenenŃei unui punct la grafic - ExerciŃii de verificare a coliniarităŃii a trei sau a mai multor puncte, cunoscând coordonatele lor - Lectura unor grafice pentru determinarea domeniului de definiŃie; observarea corelaŃiei dintre natura domeniului de definiŃie şi reprezentarea grafică - Analiza coliniarităŃii punctelor ale căror coordonate sunt soluŃiile ecuaŃiei ax+by+c=0, unde a,b,c sunt numere reale - ExerciŃii de verificare a validităŃii unor afirmaŃii legate de




Pe parcursul clasei a VIII-a, se recomandă următoarele activităŃi: distanŃe în spaŃiu prin construirea unor exemple şi contraexemple - ExerciŃii de verificare a validităŃii unor afirmaŃii legate de perpendicularitatea a două plane prin exemple şi contraexemple

2.4 să construiască probleme, pornind de la un model dat (grafic sau formulă)

- Crearea de probleme cu text pe baza unor modele, scheme sau reguli date - ActivităŃi practice de construire a unor piramide din diferite materiale (carton, beŃişoare etc.) - ActivităŃi practice de construire a unor prisme din diferite materiale (carton, beŃişoare etc.) - Formularea unor probleme de calcul a măsurii unghiului dintre o dreaptă şi un plan - Modelarea prin intermediul truselor geometrice şi a materialului didactic confecŃionat a teoremei celor trei perpendiculare

2.5 să utilizeze instrumente geometrice pentru a desena corpuri geometrice sau configuraŃii spaŃiale

- ExerciŃii de desenare, notare, citire a dreptelor şi a planelor - ExerciŃii de reprezentare în spaŃiu a unor figuri geometrice plane (triunghi isoscel, echilateral, dreptunghic; dreptunghi; pătrat; hexagon regulat) - Folosirea instrumentelor geometrice pentru a desena diferite corpuri geometrice - ExerciŃii de desfăşurare în plan a piramidei şi caracterizarea figurilor plane care compun desfăşurarea - ExerciŃii de desfăşurare în plan a prismei - Desfăşurarea unor prisme şi caracterizarea figurilor plane care compun desfăşurarea - Reprezentarea prin desen a unor unghiuri formate de două drepte în spaŃiu - ExerciŃii de reprezentare şi de notare a unei drepte perpendiculare pe un plan - ExerciŃii de identificare şi de construire a înălŃimii unei piramide - ExerciŃii de desenare şi de notare a poziŃiilor relative a două plane - ExerciŃii de identificare şi de construire a înălŃimii unei prisme - ExerciŃii de reprezentare prin desen a proiecŃiilor de puncte, drepte, segmente de dreaptă pe plan - Reprezentarea geometrică a unghiului dintre dreaptă şi plan în diverse situaŃii: dreaptă inclusă în plan, paralelă cu planul, secantă la plan (perpendiculară, neperpendiculară pe plan) - Reprezentarea geometrică a unghiului dintre două plane - Desenarea corpurilor geometrice cu respectarea unor cerinŃe de reprezentare - ExerciŃii de determinare a ariei totale şi a volumului corpurilor geometrice prin aplicarea directă a formulelor de calcul - Desenarea corpurilor geometrice evidenŃiind trunchiul obŃinut prin secŃionarea piramidei cu un plan paralel cu baza





2.6 să determine, folosind metode adecvate (măsurare şi/sau calcul), lungimi de segmente, măsuri de unghiuri, arii şi volume

- ExerciŃii de determinare a ariei şi a perimetrului triunghiului, măsurilor unghiurilor figurilor geometrice determinate de grafice ale unor funcŃii de forma :f →� � ,

( ) , ,f x ax b a b ∗= + ∈� şi axele sistemului de coordonate

- ExerciŃii de identificare, determinare şi de calcul a lungimii proiecŃiei unui segment pe un plan în corpurile geometrice studiate - ExerciŃii de determinare şi de calcul a măsurii unghiului dintre o dreaptă şi un plan - ExerciŃii de calcul a unor distanŃe în spaŃiu - Calcularea măsurii unghiului dintre două plane în diverse configuraŃii spaŃiale, inclusiv în corpurile geometrice studiate - Calculul unor distanŃe şi măsuri de unghiuri pe feŃele sau în interiorul corpurilor (distanŃa de la un vârf la o muchie sau o diagonală a bazei, distanŃa de la un vârf al bazei la o faŃă laterală, distanŃa de la centrul bazei la o muchie sau o faŃă laterală, unghiul dintre o muchie şi o faŃă laterală sau bază, unghiul dintre două feŃe ale piramidei, unghiul dintre două muchii)


3.3 să discute în cadrul unui grup avantajele şi dezavantajele utilizării unei metode de rezolvare sau a unei modalităŃi de prezentare a unui demers matematic

- Discutarea în grup a metodei de rezolvare a unei probleme - Găsirea, în grup, a unor metode alternative de rezolvare - Elaborarea unor referate sau proiecte, care presupun utilizarea unor surse suplimentare de informaŃie

4. Dezvoltarea interesului şi a motivaŃiei pentru studiul şi aplicarea matematicii în contexte variate




4.1 să identifice utilizări ale unor concepte şi metode matematice

- Brainstorming: care dintre metodele matematice studiate sunt utilizate în alte domenii ştiinŃifice





3.1 să extragă informaŃii cu caracter matematic dintr-un set de date şi să exprime adecvat semnificaŃia acestora

- ExerciŃii de folosire a noŃiunilor referitoare la numere reale (semn, modul, opus, parte întreagă, parte zecimală) şi a noŃiunii de interval ( mărginit, nemărginit, închis, deschis, extremităŃi) - ExerciŃii de determinare a condiŃiilor de existenŃă a unui raport de numere reale reprezentat prin litere - ExerciŃii de identificare a elementelor ce definesc o funcŃie (domeniul de definiŃie, mulŃimea valorilor funcŃiei, legea de corespondenŃă) şi determinarea valorilor unei funcŃii definită pe o mulŃime finită (imaginea funcŃiei) - Identificarea numărului real dintr-o mulŃime dată care verifică o ecuaŃie - Recunoaşterea ecuaŃiilor de forma ax+by+c=0, unde a, b, c sunt numere reale, dintr-o mulŃime de egalităŃi (cu identificarea coeficienŃilor, a necunoscutelor şi a termenului liber) - Identificarea a două sau mai multor perechi ordonate de numere reale, dintr-o mulŃime dată, care verifică o ecuaŃie

- Recunoaşterea ecuaŃiilor de forma 2 0,ax bx c+ + =

, , , 0a b c a∈ ≠� (cu precizarea coeficienŃilor ecuaŃiei) - Identificarea unor numere reale dintr-o mulŃime dată care

sunt soluŃii ale unei ecuaŃii de forma 2 0,ax bx c+ + =

, , , 0a b c a∈ ≠�

- ExerciŃii de transcriere a unor situaŃii-problemă în limbaj matematic, înlocuind necunoscutele cu litere - Identificarea, reprezentarea şi notarea unor figuri geometrice plane/unor corpuri geometrice - ExerciŃii ce pun în evidenŃă distanŃa dintre două plane paralele - ExerciŃii de recunoaştere a figurilor geometrice obŃinute în urma secŃionării unei piramide sau prisme cu un plan paralel cu baza

3.2 să prezinte în mod coerent soluŃia unei probleme, corelând diverse modalităŃi de exprimare (cuvinte, simboluri matematice, diagrame, tabele, grafice, construcŃii din diverse materiale)

- Corelarea informaŃiilor prin realizarea unor diagrame care să reprezinte incluziunea dintre mulŃimi - Redactarea rezolvării unei probleme date - Argumentarea demersului de rezolvare a unei probleme


studiate, în diferite domenii. - Activitate-proiect: concepte şi metode matematice necesare într-un domeniu practic de activitate

4.2 să manifeste perseverenŃă şi gândire creativă în rezolvarea unei probleme

- Rezolvarea aceleiaşi probleme, atât prin metode algebrice, cât si prin metode aritmetice şi alegerea variantei optime de lucru - Determinarea mai multor soluŃii pentru o problemă dată

4.3 să manifeste interes pentru folosirea tehnologiei informaŃiei în studiul matematicii

- Calcule folosind atât calculatorul cât şi algoritmii învăŃaŃi pentru a obŃine aproximări diferite ale rezultatului unui calcul; evidenŃierea erorii datorate rotunjirilor - Utilizarea computerului în optimizarea activităŃii la clasă


CONłINUTURI

CLASA A VIII-A

ALGEBRĂ

1. Numere reale • ⊂ ⊂ ⊂� � � � . Reprezentare numerelor reale pe axa numerelor prin aproximări. Modulul unui număr real. Intervale de numere reale

• OperaŃii cu numere reale; raŃionalizarea numitorului de forma a b sau a b± , ,a b ∗∈�

• Calcule cu numere reale reprezentate prin litere; formule de calcul prescurtat:

( )a b a ab b± = ± +2 2 22 ; 22 ba)ba)(ba( −=−+ ;

2 2 2 2( ) 2 2 2a b c a b c ab bc ac+ + = + + + + +

• Descompuneri în factori (factor comun, grupare de termeni, formule de calcul)

• Rapoarte de numere reale reprezentate prin litere; operaŃii cu acestea (adunare, scădere, înmulŃire, împărŃire, ridicare la putere)

2. FuncŃii • NoŃiunea de funcŃie • FuncŃii definite pe mulŃimi finite exprimate cu ajutorul unor diagrame, tabele, formule; graficul unei

funcŃii, reprezentarea geometrică a graficului

• FuncŃii de tipul : ,f A → � ( ) , , ,f x ax b a b= + ∈� unde A = � sau o mulŃime finită; reprezentarea

geometrică a graficului funcŃiei f ; interpretare geometrică

3. EcuaŃii, inecuaŃii şi sisteme de ecuaŃii • EcuaŃii de forma ax+b=0, unde a şi b sunt numere reale • EcuaŃii de forma ax+by+c=0, unde a, b, c sunt numere reale, 0a ≠ , 0b ≠

• Sisteme de ecuaŃii de forma

a x b y c

a x b y c1 1 1

2 2 2

0

0

+ + =+ + =

, unde a1, b1, c1, a2, b2, c2 sunt numere reale; rezolvare prin metoda substituŃiei şi/sau

prin metoda reducerii; interpretare geometrică

• EcuaŃia de forma ax2+bx+c=0, unde a, b, c ∈R, a≠0

• InecuaŃii de forma ax+b>0, (≥,<, ≤) unde a şi b sunt numere reale

• Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuaŃiilor, inecuaŃiilor şi a sistemelor de ecuaŃii

GEOMETRIE

1. RelaŃii între puncte, drepte şi plane • Puncte, drepte, plane: convenŃii de desen şi de notaŃie

• Determinarea dreptei; determinarea planului

• Piramida: descriere şi reprezentare; tetraedrul

• Prisma: descriere şi reprezentare; paralelipipedul dreptunghic; cubul

• PoziŃii relative a două drepte în spaŃiu; relaŃia de paralelism în spaŃiu

• Unghiuri cu laturile respectiv paralele (fără demonstraŃie); unghiul a două drepte în spaŃiu; drepte perpendiculare

• PoziŃii relative ale unei drepte faŃă de un plan; dreapta perpendiculară pe un plan; distanŃa de la un punct la un plan (descriere şi reprezentare); înălŃimea piramidei (descriere şi reprezentare)

• PoziŃii relative a două plane; plane paralele; distanŃa dintre două plane paralele (descriere şi reprezentare); înălŃimea prismei (descriere şi reprezentare); secŃiuni paralele cu baza în corpurile geometrice studiate


• Trunchiul de piramidă: descriere şi reprezentare

2. ProiecŃii ortogonale pe un plan • ProiecŃii de puncte, de segmente de dreaptă şi de drepte pe un plan

• Unghiul dintre o dreaptă şi un plan; lungimea proiecŃiei unui segment

• Teorema celor trei perpendiculare; calculul distanŃei de la un punct la o dreaptă; calculul distanŃei de la un punct la un plan; calculul distanŃei dintre două plane paralele

• Unghi diedru; unghi plan corespunzător diedrului; unghiul dintre două plane; plane perpendiculare

3. Calcul de arii şi volume

• Paralelipipedul dreptunghic, cubul: descriere, desfăşurare, aria laterală, aria totală şi volum

• Prisma dreaptă cu baza: triunghi echilateral, pătrat, dreptunghi, hexagon regulat: descriere, desfăşurare, aria laterală, aria totală şi volum

• Piramida triunghiulară regulată, tetraedrul regulat, piramida patrulateră regulată, piramida hexagonală regulată: descriere, desfăşurare, aria laterală, aria totală şi volum • Trunchiul de piramidă triunghiulară regulată, trunchiul de piramidă patrulateră regulată: descriere, desfăşurare, aria laterală, aria totală, volum

• Cilindrul circular drept, conul circular drept, trunchiul de con circular drept: descriere, desfăşurare, secŃiuni paralele cu baza şi secŃiuni axiale; aria laterală, aria totală şi volumul.

• Sfera: descriere, aria, volumul


STANDARDE CURRICULARE DE PERFORMAN łĂ

OBIECTIVE CADRU STANDARDE

1. Cunoaşterea şi înŃelegerea conceptelor, a terminologiei şi a procedurilor de calcul specifice matematicii

S.1. Scrierea, citirea, compararea şi reprezentarea pe axă a numerelor reale

S.2. Efectuarea operaŃiilor cu numere reale (eventual reprezentate prin litere)

S.3. Utilizarea estimărilor şi a aproximărilor de numere şi de măsuri (pentru lungimi, unghiuri, arii şi volume) pentru a aprecia validitatea unor calcule

S.4. Utilizarea unor elemente de logică matematică şi de teoria mulŃimilor pentru a stabili valoarea de adevăr a unor enunŃuri.

Utilizarea relaŃiilor, funcŃiilor, şirurilor în rezolvarea problemelor şi pentru caracterizarea unor situaŃii concrete

S.5. Rezolvarea de ecuaŃii şi inecuaŃii şi efectuarea de calcule algebrice, utilizând algoritmi, formule şi metode specifice

S.6. Utilizarea unor proprietăŃi metrice ale figurilor şi corpurilor geometrice în probleme cu conŃinut practic

S.7. Stabilirea şi utilizarea proprietăŃilor calitative ale figurilor şi corpurilor geometrice în probleme de demonstraŃie şi de calcul

S.8. Utilizarea localizării figurilor geometrice şi a unor elemente de transformări geometrice

S.9. Înregistrarea, prelucrarea şi prezentarea datelor utilizând elemente de statistică şi probabilităŃi

2. Dezvoltarea capacităŃilor de explorare/investigare şi rezolvare de probleme

S.10. Identificarea unei situaŃii-problemă şi organizarea eficientă a modului de rezolvare a acesteia

S.11. Utilizarea unor modalităŃi diferite de scriere a numerelor reale pentru organizarea eficientă a unui calcul

S.12. Utilizarea unor reprezentări şi metode variate pentru clarificarea şi justificarea unor enunŃuri

S.13. Identificarea şi colectarea dintr-un set de date a informaŃiilor relevante pentru rezolvarea unor probleme sau pentru crearea unor probleme

S.14. Utilizarea instrumentelor geometrice pentru reprezentarea unor configuraŃii geometrice în contexte variate


S.15. ÎnŃelegerea semnificaŃiei globale a informaŃiilor cu caracter matematic extrase din diferite surse documentare

S.16. Expunerea coerentă, orală sau scrisă, a propriilor demersuri de rezolvare a unei probleme corelând diverse modalităŃi de exprimare (cuvinte, simboluri matematice, diagrame, tabele, grafice, construcŃii din diverse materiale)

S.17. Angajarea de discuŃii în cadrul unui grup privind avantajele şi dezavantajele utilizării unei metode de rezolvare sau a unei modalităŃi de prezentare a unui demers matematic

programa scolara la matematica - revizuita (cl. v-viii)

Documents