Prof. Ana Nicoleta Avramescu

Colegiul Tehnic Matei Corvin Hunedoara

2011

Procente

Procentul este un mod de exprimare pentru

fracţii care au numitorul egal cu 100 .

Se va spune că p/100 este în procente p%.

Raportul procentual a două numere este

raportul lor exprimat în procente. Fie a şi b două

numere reale nenule.

Atunci raportul procentual al acestor numere

este a/b %.

Exerciţii:

1. Să se determine:a) 12% din 24 ore;b) 8,5% din 1000 lei;c) 35% din 2010t;d) 125% din 38 kg.

2. În anul 2010 o localitate avea 23642 locuitori. 3,8% din aceştiaau o emigrat în 2010. Câţi locuitori au rămas în aceastălocalitate?

4. Construcţia unei case a costat 45200 €, dintre care 40% s-auplătit pentru lucru, iar restul pentru material. Cât a costatmaterialul?

5. Greutatea smântânii reprezintă 21% din greutatea laptelui,untul reprezintă 23% din greutatea smântânii. Cât lapte estenecesar pentru a se obţine 15 kg de unt?

6. La lecţia de matematică din clasa lipsesc 6 elevi ceea cereprezintă 8,5% din numărul total al elevilor din acea clasă.Câţi elevi sunt în clasă?

Dobânzi

Suma de bani primită după plasarea unuicapital (a unei sume de bani) într-o bancă,sau dat (dată) cu împrumut se numeştedobândă.

Raportul procentual dintre dobândă si capitalulplasat (împrumutat) se numeşte ratadobânzii.

Capitalul iniţial reprezintă suma depusă sauîmprumutată pentru care se calculeazădobânda.

Exemplu:

Dacă un capital de 1 000 000 lei

plasat pentru un an produce o

dobândă de 390 000 lei, atunci rata

anuală a dobânzii este 39%.

Acesteia îi corespunde o rată

lunară a dobânzii de 39/12 % ,

adică 3,25%.

De reţinut:

1. Dobânda este suma cu care se măreşte capitalul

iniţial într-un anumit interval de timp.

2. Dobânda este direct proporţională cu capitalul

plasat, dar depinde şi de durata plasamentului

(timpul de plasament).

3. Relaţia dintre dobândă, timpul de plasament şi

rata dobânzii depinde de tipul de plasament ales.

Există plasamente cu dobândă simplă şi

plasamente cu dobândă compusă.

Dobânda simplă

Dobânda simplă este dobânda care se

calculează numai asupra capitalului iniţial –

o singură dată.

Dacă un capital este plasat cu dobândă

simplă, dobânda este direct proporţională

cu timpul de plasament şi cu rata dobânzii.

Modalitate de calcul a dobânzii simple

Fie S capitalul iniţial, plasat cu dobânda simplă pe operioadă de n ani, cu rata anuală a dobânzii d.Dobânda corespunzătoare fiecărui an de plasamenteste: D = Sd.După un an capitalul S produce o dobândă:D1 = D = Sd, iar suma obţinută va fi:

S1 = S + D1 = S + Sd = S(1+d).După 2 ani, dobânda va fi:

D2 = 2D = 2Sd,iar suma disponibilă va fi:

S2 = S+ D2 = S + 2Sd = S(1+2d).După n - ani, dobânda va fi:

Dn = nD = nSd, iar suma disponibilă va fi:

Sn = S + Dn = S + nSd = S(1+nd).

Problemă:

Un capital S = 1000 u.m. (unităţi monetare) produce după un an de zile o dobândă de D1 = 360 u.m.

a) Care este rata anuală?

b) Care este rata lunară?

Rezolvare:

a) Rata anuală : d =360/1000=36/100=36% .

b) Deoarece anul are 12 luni, rata lunară va fi: d/12=36% /12= 3%.

De reţinut:

a) dobânda simplă este dobânda calculatăpentru suma plasată S, care rămânenemodificată pe perioada plasamentului.

b) D = Sd - dobânda calculată pentru 1 an;

c) D = Snd – dobânda calculată pentru n ani;

d) D =Sdm/360 - dobânda calculată pentru mzile.

Observaţie: Un an bancar durează 360 zile.

Dobânda compusă

Dobânda compusă este dobânda

calculată pe o perioadă de timp

pentru suma dintre capitalul iniţial

plasat şi dobânda simplă a perioadei

anterioare.

Dobânda compusă mai e numită şi

„dobândă la dobândă”.

Fie S capitalul iniţial, plasat cu dobânda compusă pe o perioadă de

n ani, cu rata anuală a dobânzii d.

După 1 an dobânda obţinută este D1 = Sd. Această dobândă se

adună la capitalul iniţial S.

Astfel suma S1 = S+D1 = S+Sd = S(1+d) devine capitalul care va

produce dobândă în al doilea an.

După 2 ani obţinem:

D2= S1d=Sd(1+d),

care se adaugă la capitalul existent S1 astfel încât suma S2 :

S2 = S1 + D2 = S(1+d) + Sd(1+d) = S(1+d)2

devine capitalul care va produce dobândă în al treilea an.

După n ani, dobânda obţinută va fi: Dn = Sd(1+d)n-1

iar suma totală disponibilă va fi : Sn = S(1+d)n

Concluzie: pentru n 1 plasamentul cu dobândă compusă este mai

avantajos decât cel cu dobândă simplă (la aceeaşi rată a dobânzii).

Modalitate de calcul a dobânzii compuse

Problemă:Un fermier a plasat suma de 15.000 lei la obancă pe o perioadă de 3 luni, considerând undepozit pentru care banca acordă dobândăcompusă. Să se determine valoareadepozitului după cele 3 luni, ştiind că rataanuală a dobânzii este de 54%.

Rezolvare:Rata lunară este de 54/12%=4,5%.Avem:

S=1,5104 lei, n=3 luni, d=4,5/100 .Atunci suma obţinută după cele 3 luni este:17117,5 lei

Credite

Creditul este o sumă de bani luată cu împrumut pentru operioadă de timp, care urmează a fi restituită, însoţităde o dobândă.

Acţiunea de acordare a unui credit se numeşte creditare.

Creditorul este cel (banca, persoana fizică etc.) careacordă împrumutul, debitorul este cel (firma, persoanafizică etc.) care primeşte împrumutul.

Restituirea creditului se numeşte rambursare.

Termenul până la care trebuie rambursat creditul senumeşte scadenţă.

De reţinut:Rambursarea unui credit însoţit de dobândă se poateface într-o singură tranşă sau eşalonat.

Creditul poate fi comercial sau bancar, public sauprivat, pentru producţie sau pentru consum.

În funcţie de perioada de rambursare (scadenţă),există:

credite pe termen scurt (cu rambursarea în celmult un an);

credite de termen mijlociu (cu rambursarea în 1-5ani);

credite de termen lung (cu rambursarea în maimult de 5 ani) .

Rambursarea creditului într-o singură tranşăRambursarea creditului într-o singură tranşă se poate facepentru creditele pe termen scurt sau mijlociu.Fie S valoarea creditului şi d rata anuală a dobânzii.Atunci:a) pentru un credit pe termen scurt dobânda secalculează de regulă după formula dobânzii simple:

D =Sdm/360 , unde m numărul de zile pînă la scadenţă.Suma totală datorită la scadenţă este

Sm =S + D = S ( 1+dm/360).b)pentru un credit pe termen mediu, dobânda secalculează de regulă după formula dobânzii compuse.Astfel, dacă scadenţa este la n ani (1≤n≤5 ) după acordareacreditului, dobânda datorată este: Dn = Sd(1+d)n-1,iar suma totală (finală) care trebuie plătită este

Sn = S(1+d)n

Problema 1:

Maria (debitorul) a împrumutat 300 lei de laRadu(creditorul), cu scadenţa la 120 zile. Cesumă trebuie să-i ramburseze Maria lui Raduîn final, dacă rata anuală a dobânzii este de10%?

Rezolvare:

Avem:

S = 300 lei, m = 120 zile, d=10/100 .

Suma totală (finală) datorată este

S120 = S(1+120 d/360)=300(1+12/360)

S120 = 310 (lei)

Problema 2:

Un agent economic primeşte de la o bancă un credit

de 5000000 lei pentru un termen de 3 ani cu rata

anuală a dobânzii de 12%. Să se calculeze dobânda

şi suma totală datorată dacă rambursarea creditului

şi plata dobânzii se face la sfârşitul celor doi ani.

Rezolvare:

Avem :

S = 5106, n = 2, d =12/100 .

Dobânda datorată este:D2=Sd(1+d) = 5106 12/100•(1+12/100)=61051,12

D2= 672 000 (lei).

Suma totală datorată este:

S2 = S+D2 = 5 672 000(lei)

Rambursarea creditului în tranşe egale

Pentru credite pe termen mijlociu sau lung

rambursarea creditului se poate face în

tranşe egale astfel:

“în fiecare an se plăteşte aceeaşi tranşă din

credit, plus dobânda la creditul nerambursat

(în regim de dobândă simplă).”

AmortizăriCapitalul este totalitatea bunurilor rezultate din procesul deproducţie anterioare, care sînt folosite pentru crearea altor bunurimateriale şi servicii, destinate vânzării, cu scopul obţinerii de profit.Capitalul fix este acea parte a capitalului tehnic (mijloace deproducţie) alcătuit din clădiri, construcţii, maşini, utilaje, instalaţii,echipamente de producţie etc. care se consumă şi se înlocuiesctreptat.Pe parcursul utilizării lui, capitalul fix se depreciază, uzura fiindfizică şi morală.Amortizarea capitalului fix este expresia bănească a acelei părţi dinvaloarea capitalului fix, care se include în costul producţiei fabricate, înprocesul de recuperare totală a valorii capitalului fix.Timpul necesar recuperării integrale a valorii capitalului fix se numeştetermen de amortizare.Amortizarea anuală reprezintă partea din valoarea capitalului fixrecuperată într-un an.Fie valoarea capitalului fix V, iar amortizarea anuală A. Dacă timpulnecesar recuperării integrale a valorii V este de T ani, atunci

A= V/T

Rata anuală a amortizării este r = A/V x 100 %

Noţiunea de cost de producţieCostul de producţie (CT) reprezintă totalitatea cheltuielilor efectuate

de o firmă pentru realizarea de produse sau servicii.

Raportul dintre costul total şi mărimea producţiei se numeşte cost total

mediu sau cost unitar. Se notează CTm şi avem CTm=CT/Q , unde cu

Q este notată mărimea producţiei.

Raportul dintre costul variabil şi mărimea producţiei se numeşte cost

variabil mediu.

Se notează CVm. Avem CVm=CV/Q .

Profitul este diferenţa dintre preţul de vânzare al unui produs şi costurile

sale totale de producţie (CT) sau dintre încasări (venituri - VT) şi

cheltuieli. Se notează P.

Avem: P = VT - CT sau P = pQ - CT,

unde P = profitul, VT = venituri totale, CT = costul total (costul

producţiei), p = preţul unitar (preţul unui produs), Q = producţia (număr

de produse vândute).

Raportul procentual dintre profit şi cost se numeşte rata profitului.

Se notează Rp. Avem Rp =Px100% /CT .

De reţinut:

cheltuielile sunt mai mici decât veniturile,

atunci avem profit.

cheltuielile sunt mai mari decât veniturile,

atunci avem pierderi.

cheltuielile sunt egale cu veniturile, atunci

avem punct mort al activităţii.

Problemă:

Un producător îşi poate vinde producţia la preţulde 110 u.m. pe produs. Costurile fixe sunt de7500 u.m., iar costurile variabile de 60 u.m. peunitatea de produs. Câte unităţi de produstrebuie să vândă producătorul pentru a obţineprofit?

Rezolvare:

Fie n numărul de produse vândute. Pentru aobţine profit, veniturile trebuie să fie mai maridecît cheltuielile, adică 110n 7500 + 60n

n 150.

Concluzie: Producătorul trebuie să vândă mai multde 150 de produse.

Taxa pe valoare adăugatăFie un produs având valoarea V0. O firmă a procurat acest produs,

l-a prelucrat sau l-a îmbunătăţit şi astfel valoarea produsului

creşte.

Apoi firma îl vinde la valoarea V1 V0. Diferenţa V1 – V0 se

numeşte valoarea adăugată.

Taxa pe valoare adăugată (TVA) este un impozit, care se aplică

asupra operaţiilor de vânzare-cumpărare (de transfer al bunurilor şi

prestări servicii).

Valoarea TVA (în folosul bugetului de stat ) rezultă din aplicarea

unei cote (exprimată printr-un raport procentual) asupra valorii

adăugate.

În România cota unică de TVA este de 24%.

Dacă un produs a fost cumpărat, prelucrat, pe rând, de firmele F1,

F2, F3 ..., Fn la preţul de cumpărare PCn şi preţul de vânzare PVn,

atunci valoarea adăugată an este:

an = PVn – PCn, n 1.

Problemă:Elevii clasei a X-a au confecţionat în scopuri caritabile 1350 de jucării. Încasările au fost de 450 u.m., cu rata profitului de 25%. Succesul acţiunii i-a determinat să mărească profitul cu 20% şi să scadă costurile cu 10%.a) Ce profit au avut elevii iniţial?b) Cum s-a modificat rata profitului după diminuarea costurilor?c) Care a fost costul unitar iniţial?

Răspuns: a) Rp= P/C · 100% ,adică 25/100= (V-C) /CDeci 100V=120C, de unde C= 45000/125 =360 ( u. m.)

b) Noile costuri sunt de: 360·85/100=306 (u.m.),

iar profitul de 90·120/100=108 (u.m.). Deci rata profitului în acest caz este Rp₁=108 •100% /306 = 35,29 %

c) Costul iniţial al unei jucării: p=1350/450 =3(u.m.)

BugetulBugetul este un tabel (balanţa) de corelare între venituri şicheltuieli, detaliate pe surse de venituri şi obiective decheltuieli (destinaţie) prevăzute pentru o anumită perioadăde timp.

Tipuri de buget:

bugetul de stat – este anual şi este alcătuit din bugetuladministraţiei centrale de stat şi din bugetele locale.Bugetul de stat se aprobă de către parlament. Fiecareinstituţie îşi aprobă anual un buget, pe care îl realizează peparcursul anului financiar (bancar). bugetul de familie – corelează veniturile şi cheltuielileunei familii pentru o perioadă de timp (lună, trimestru,semestru, an etc.) bugetul personal este necesar pentru formarea şiutilizarea resurselor financiare proprii ale unei persoane.

Problemă:Părinţii doresc să-i procure Mariei un calculator de ziua ei (în luna mai).Bugetul familiei pe luna în curs (ianuarie) este:Veniturile familiei:1.Salariu tata - 3 200 lei2.Salariu mama - 2 900 lei3.Pensia bunica – 1 100 lei Total: 7 200 leiCheltuielile familiei:1.Întreţinere casa - 600 lei2.Transport - 400 lei3.Nota telefonică - 300 lei4.Abonament TV - 300 lei5.Alimente - 2 800 lei6.Taxe comunale -1 200 lei7.Alte cheltuieli - 500 leiTotal: 6 100 lei.

Ce economii lunare (în lei) trebuie sa facă părinţii, cu condiţia că situaţia financiarălunară privind veniturile şi cheltuielile în lunile ianuarie-aprilie nu se modifică, ca săpoată procura în luna mai calculatorul care costă 6800 lei? Cu câte procente lunarar trebui sa fie micşorate cheltuielile pentru a achita în mai această sumă?

Rezolvare:Rezerva de bani în fiecare lună este de: 7200-6100=1100 (lei). În cele 4 luni(ianuarie-aprilie) va fi acumulată suma : 4x1100=4400 (lei). Economia necesară vafi de: 6800-4400 =2800 (lei). Adică economia lunară va fi de 2800:4=700(lei). Deaici rezultă că cheltuielile ar trebui micşorate lunar cu 11,5%.

Exerciţii şi probleme1) Un capital S = 1000 lei produce după 1 an de zile o dobîndă D =220 lei. Care este rata dobânzii?

2) O persoană depune la o bancă suma de 2 milioane lei, în plasament cu dobândă simplă, cu o rată

anuală a dobânzii de 42%. Ce sumă va avea persoana în bancă după 3 ani?

3) Să se calculeze dobânda obţinută după 5 luni prin plasarea sumei de 3,2 mii lei în regim de dobândă

simplă, ştiind că rata anuală a dobânzii este 48%.

4) Pentru a-şi procura un calculator electronic Maria a luat un credit de 10000 lei cu rata anuală a

dobânzii de 12%. Rambursarea creditului şi plata dobânzii se va face printr-o singură tranşă cu

scadenţa 1 an. Care va fi suma totală la rambursarea creditului?

5) Un debitor a luat un credit de 250 000 lei, cu rata anuală a dobânzii de 16%, cu rambursarea creditului

şi plata dobânzii printr-o singură tranşă, după: a) 120 zile de la acordarea creditului; b) 2 ani de la

acordarea creditului. Să se calculeze dobânda şi suma totală datorată de acest creditor.

6) Un agent economic primeşte un credit de 2,8 milioane lei, cu rata anuală a dobânzii 16%, rambursabil

în şase tranşe anuale egale. Să se calculeze dobânda totală plătită.

7) Pentru un credit rambursabil în opt tranşe egale, cu rata anuală a dobânzii 18%, în al patrulea an se

plăteşte suma de 15 000 €. Să se calculeze valoarea creditului şi sumele anuale de plată.

8) Valoarea unei instalaţii este de 12 milioane lei, iar amortizarea anuală este de 3 milioane lei. Să se

calculeze: a) termenul de amortizare; b) rata anuală a amortizării.

9) O firmă trebuie să decidă dacă este avantajos să cumpere un utilaj care costă 600 000u.m. utilajul are

o amortizare de 100 000 lei pe timpul a 10 ani de viaţă productivă. Dacă rata inflaţiei este de 9% pe

perioada de 10 ani, este avantajoasă achiziţia?

10) Elaboraţi bugetul personal pentru luna în curs. Determinaţi bugetul familial pentru anul în curs.

11) În bugetul anual al unei familii, pentru cheltuieli de transport s-au planificat iniţial 8% din venituri. S-au

economisit 3% din aceste cheltuieli şi economiile familiei s-au majorat cu 600 lei. Să se afle suma

planificată pentru produse alimentare, dacă ea reprezintă 45% din venituri.

12) Din venitul anual al unei familii cheltuielile pentru întreţinerea casei reprezintă 12%, iar pentru

transport 6%. Dacă cheltuielile pentru întreţinerea casei s-ar reduce cu 20%, iar pentru transport – cu

2%, atunci economiile familiei ar creşte cu 340 lei. Să se afle venitul anual al familiei.