problrezolvateviigeomsemii semestru ii

8/13/2019 Problrezolvateviigeomsemii Semestru II

1/45

PROBLEME REZOLVATE

GEOMETRIESEMESTRUL II

CLASA a VII-a

Profesor TIT CUPRIAN

.


2/45

.

ASEMNAREA

TRIUNGHIURILOR

Realizat de prof. TI T CUPRIAN


3/45

.

PROBLEMA 1Fie triunghiul ABC, AB = 12cm, BC = 18cm, AC = 15cm, MN =

12cm, MN||BC, M[AB] si N[AC]. Aflati lungimile segmentelorAM si AN.

Rezolvare:A

B C

M N

Daca MN||BC atunci AMN ABC si rezulta:

BC

MN

AC

AN

AB

AM

Inlocuim in sirul de

rapoarte lungimile

segmentelor:

3

2

18

12

1512

ANAM

AM = 122:3 = 8cmAN = 152:3 = 10cm



4/45

.

PROBLEMA 2Fie ABCD un trapez cu bazele AB = 12cm si CD = 6cm. Diagonalele

ACBD={O}; daca BD = 15cm, aflati lungimile segmentelor BO siOD.

Rezolvare:

A B

CD

O

ODC OBA (cazul U.U.)

AB

CD

AO

OC

BO

OD

Daca notam OD =x, atunci BO = 15x.

Inlocuim in sirul de rapoarte

lungimile segmentelor:

21

126

15 AOOC

xx

2x= 15x 3x = 15 x= 15:3 = 5cm.Asadar OD = 5cm si BO = 155 = 10cm.Realizat de prof. TI T CUPRIAN


5/45

PROBLEMA 3Fie ABCD un trapez cu bazele AB = 6cm si CD = 5cm; AD = 2cm;

BCAD={O}. Se cere sa aflati lungimea lui AO.Rezolvare:

A B

CD

O

5

6

2

Daca DC||AB atunci ODC OAB si rezulta:

AB

DC

OB

OC

OA

OD

Daca notam OD =x, atunci OA = 2 +x

x

x+2

6

5

2

OB

OC

x

x

Inlocuim in sirul de rapoarte lungimile segmentelor:

6x= 5x+ 10x= 10OD = 10cm si

AO = 10 + 2 = 12cm. .Realizat de prof. TI T CUPRIAN


6/45

PROBLEMA 4Fie ABC cu AB = 15cm; MN||BC, M[AB], N[AC]. Aflatilungimea segmentului AM astfel incat aria AMN sa fie 44,(4)% din

aria ABC.Rezolvare:

A

B C

M N

Daca MN||BC atunci AMN ABC si rezulta:;)1(2i

A

A

ABC

AMN

unde i este raportul de asemanare;

Notam AM = x;x 15

x

AB

AMiAvem

Din relatia (1) rezulta:

22515100

)4(,44 22

xx

100100

9

400225

2

x

.101002

x .Realizat de prof. TI T CUPRIAN


7/45

PROBLEMA 5Fie ABCD un dreptunghi cu AB = 20cm si BC = 15cm. BE este

perpendiculara pe AC, E[CD]. Aflati lungimea segmentului [CE].Rezolvare:

A B

CD E

20

1

5

In conditiile in care unghiul BACunghiul CBE (sunt unghiuri culaturile respectiv perpendiculare, si triunghiurile ABC si BCE sunt dreptunghice

atunci avem: ABC BCE din care rezulta:

BEAC

CEBC

BCAB Inlocuim in sirul

de rapoarte egale

lungimilesegmentelor:

CE

15

15

20

.25,12

20

1515

CE

.Realizat de prof. TI T CUPRIAN


8/45

PROBLEMA 6Fie ABC un triunghi dreptunghic in A; daca AB = 30cm,

AC = 40cm, BC = 50cm sa se afle lungimea lui AD, unde ADBC.Rezolvare: A

B C

30 40

50D

Daca ADBC si BAAC atunci


9/45

PROBLEMA 7Fie ABC dreptunghic in A, AB = 10cm, AC = 24cm si BC = 26cm.

In mijlocul O a lui BC se ridica o perpendiculara pe aceasta care taie

pe AC in N. Aflati lungimea lui ON.Rezolvare: A

B CO

N

10 24

26

ONC ABC

comununghiesteC

cedreptunghisunt

OB = OC = BC/2 = 26:2 = 13cm.

13 AC

OC

AB

ON

24

13

10

ON

12

65

24

130

24

1310 2(

ON



10/45

PROBLEMA 8Fie triunghiul ABC dreptunghic in A cu AB = 8cm; ADBC,D[BC]. Daca BD = 4cm sa se afle lungimile laturilor BC, AC si AC.Rezolvare: A

B CD

4 cm

ABD BCAAC

AD

AB

BD

BC

AB

8

48

BC

.164

88

BC

16 cm

CD = 164 = 12cm.

12 cm

ADC ABC ACDCBCACABAD AC

ACAD 12

168 AC2= 192

AC = 192AC= 83.

ABD ACD AD

BD

DC

AD

AC

AB ADAD 412388 .34

3

312

3

12

38

128

AD

cm34



11/45

PROBLEMA 9Avem triunghiul isoscel ABC, AB = AC, AD = 8cm si BC = 12 cm.

Aflati raza cercului circumscris triunghiului prin metoda asemanarii

triunghiurilor.Rezolvare: A

B C

O

D

E

.

6 cm

8cm

ABD BDE lareperpendicurespectivlaturilecuDBEBAD cedreptunghisuntiletriunghiur

DE

BD

BD

AD

DE

6

6

8 .5,4

8

36cmDE

AE = AD + DE = 8 + 4,5 = 12,5

R= AE:2 = 12,5:2 = 6,25 cm.


12/45.

RELAIIMETRICE



13/45

PROBLEMA 1Fie triunghiul ABC dreptunghic in A in care AB = 10cm si AD =

53cm, ADBC. Aflati lungimea lui BD, BC si AC.Rezolvare:

A

B CD

53c

m

1) Aplicam teorema lui Pitagora in ABD pentru a afla BD:

BD2= AB2AD2BD2= 10075 = 25 BD = 25 = 5cm.

5cm

2) Aplicam teorema catetei (pentru cateta AB)pentru a afla BC:

AB2= BDBC 100 = 5BC BC = 100:5 = 20cm.

20cm

3) Pentru a afla lungimea lui AC aplicam

teorema lui Pitagora in ABC:

AC2= BC2AB2AC2= 400100 = 300AC = 100 = 103cm.

Pentru consolidarea tehnicii de rezolvare a unui triunghi

dreptunghic, incercati sa rezolvati problema aplicand si teorema

inaltimii..Realizat de prof. TI T CUPRIAN


14/45

Fie ABCD un patrat de latura AB = 10cm; punctul E se afla in

interiorul patratului astfel incat AEB sa fie echilateral. Aflati

lungimea lui [EC].Rezolvare:

PROBLEMA 2

A B

CD

E

Construim perpendiculara FG pe AB ce trece prin E.

F

G

In EGB avem: BE=10cm, BG=5cm.

10

5

GE2= BE2BG2GE2= 100-25=75

.3575 cmGE

53 FE = GFGE = 10 - 53cm.In CEF: CE2= FE2+ FC2

310020053510 222 CE.32103100200 cmCE



15/45

Fie ABCD un paralelogram cu AB = 10cm, AD = 25cm si DE = 4cmunde DEAB, Aflati lungimile celor doua diagonale.Rezolvare:

PROBLEMA 3

A B

CD

E10

4

In ADE aflam pe AE:

AE2= AD2DE2= 2016 = 4.

AE = 4 = 2cm.

2

BE = ABAE = 102 = 8cm.

8

In BDE aflam pe BD:

BD2= BE2+ AD2= 64 + 16 = 80.

BD = 80 = 45cm.Coboram o perpendiculara din C pe dreapta AB:

F

BF = AE = 2cm.

2

CF = DE = 4cm.

4

In ACF avem: AC2= AF2+ CF2 = 122+ 42= 144+16=160.

.104160 cmAC



16/45


17/45

Fie triunghiul isoscel ABC, AB=AC=10cm, BC=12cm. Aflati raza

cercului circumscris triunghiului ABC.

Rezolvare:

PROBLEMA 5

A

B C

O

D

Daca BC = 12cm, atunci BD = BC:2 = 6cm.

6cm

Notam AO=OB= x(raza cercului circumscris).

x

In ADC: AD2=AC2-CD2=100-

36=64; AD=64=8cm.Rezulta ca OD=AD-AO=8-x.

8-x

Aplicam teorema lui Pitagora in

OBD:OB2= BD2+ OD2

x2= 62+ (8-x)216x= 100 cmx 25,6

16

100

Gasiti si o alta metoda de rezolvare!



18/45

Fie ABCD un trapez dreptunghic, cu bazele AB=a, CD=b, astfel incat se poate

inscrie un semicerc. Cum se poate calcula media aritmetica, media geometrica si

media armonica cu ajutorul acestei probleme, urmariti rezolvarea.

Rezolvare:

PROBLEMA 6

AB

CD

O

Pentru ca acest trapez sa fie circumscris unui semicerc trebuie

indeplinita conditia: BC=AB+CD=a+b. Urmariti figura.

N

a

b

a

b

M

1) Sa calculam linia mijlocie OM (media

aritmetica):

2) Sa calculam ON=raza semicercului (media

geometrica):AD2=BC2(ABCD)2=(a+b)2(ab)2=4ab.

.24 ababAD

22

baCDABOM

3) Sa calculam lungimea segmentului NP(mediaarmonica):

P

.abON

E

NPOCEBBC

NO

CE

NP

ba

ab

ab

NP

2

.22

ba

ab

ba

ababNP



19/45

PROBLEMA 7Fie ABC un triunghi isoscel cu AB = AC = 10cm si BC = 16cm. Se cere sa se

calculeze raza cercului circumscris triunghiului ABC.

Rezolvare: A

B CD

O

Prelungim pe AD pana taie cercul in E.

E

Unind E cu C se formeaza triunghiul ACE

dreptunghic in C.

Aplicam teorema lui Pitagora in ADC:

10

8

AD2= AC2CD2= 10064 = 36AD = 36 = 6cm.6

Aplicam teorema catetei in ACE:

AC2= ADAE 100 = 6AEAE = 100:6 = 16,(6) cm.Raza=AO=AE:2=8,(3)cm.



20/45

PROBLEMA 8Fie ABCD un patrat cu latura de 12cm. Fie punctele EAB si FAD astfel incattriunghiul CEF sa fie echilateral. Aflati lungimea lui BE.

Rezolvare:

A

.

B

CD

E

F

12cmNotam pe BE = x.

x

Atunci AE = AF = 12x.

12-x

12-x

Aplicam teorema lui Pitagora in BEC

CE2= BC2+ BE2= 144 + x2

Aplicam teorema lui Pitagora in AFE

FE2= AE2+ AF2= 2(12 x)2

Dar FE = CE, asadar 2(12x)2= 144 + x2x248x + 144 = 0

31224xPentru a finaliza aceasta problema este necesar a se cunoaste rezolvarea ecuatiei de gradul II.



21/45

PROBLEMA 9Fie ABCD un trapez isoscel cu diagonalele perpendiculare, bazele AB = 16cm si

CD = 8cm. Sa se calculeze perimetrul trapezului si lungimile diagonalelor.

Rezolvare:

A B

CD

16

8

O

Daca trapezul este isoscel atunci sitriunghiurile AOB si COD sunt isoscele.

.282

16

2

ABAO

.242

8

2 CD

OC

.212 OCAOACAplicam teorema lui Pitagora in BOC

28

24

BC2= BO2+ OC2= 128 + 32 = 160

.104160 cmBC

.1082410428162 cmBCCDABPABCD



22/45.

FUNCTII

TRIGONOMETRICE



23/45

Fie un triunghi cu lungimile a doua laturi asi bsi masura unghiului

cuprins intre ele egala cu . Sa se afle lungimea celei de-a treialaturi.Rezolvare:

PROBLEMA 1

a

b

Construim inaltimea pe latura de lungime b.O notam cu h.

h

In triunghiul din stanga avem:

h= asin si x= acos

x y

c

Inseamna ca y = bx= b - acosAplicam teorema lui Pitagora in triunghiul

din dreapta:c2= h2+ y2= (asin)2+ (b - acos)2c2= a2sin2 + b22abcos + a2cos2c2= a2(sin2 + cos2)+b22abcos

Dar sin2 + cos2 = 1, asadar

( Teorema lui Pitagora generalizata sau teorema cosinusului ).

c2= a2 + b22abcosRealizat de prof. TI T CUPRIAN


24/45

PROBLEMA 2Fie triunghiul ABC cu masura unghiului B de 600, masura unghiului A de 750si

AB = 8cm. Se cere sa se afle perimetrul si aria triunghiului.

Rezolvare: A

B C

600 450

m(


25/45

PROBLEMA 3Trapezul ABCD cu baza mica CD = 3cm are AD = 4cm si masura unghiului A de

600iar masura unghiului B de 300. Se cere sa aflati perimetrul si aria trapezului.

Rezolvare:

A B

CD 3cm

8cm

600 300

E F

AE = ADcos60 = 40,5 = 2cm.DE = CF = ADsin60 = 43/2 = 23cm.

BC = CF:sin30 = 23/0,5 = 43cm.BF = BCcos30=433/2=6cm.

EF = CD = 3cm.

.34182363434 cmEAFEBFCBDCADPABCD

.314

2

32311

2

2cmDECDAB

AABCD


PROBLEMA 4


26/45

PROBLEMA 4Fie triunghiul ABC cu AB =c= 7cm, BC = a= 9cm si AC = b= 8cm. Sa se afle

sinA, sinB si sinC.

Rezolvare:


A

B C9cm

Folosim urmatoarea formula de calcul a ariei unui triunghi:

cpbpappA Unde p= semiperimetrul triunghiului.

p= (a+b+c):2 = (7+8+9):2 = 12

51291281271212 AFolosim alta formula de

calcul a ariei unui triunghi:

2sinAACABA

753

8751222sin

ACABAA

Analog vom calcula la fel si

sin Bsau sin C.

Se poate aplica in continuare si

teorema sinusului : C

c

B

b

A

a

sinsinsin

.

PROBLEMA 5


27/45

PROBLEMA 5Printr-un anume procedeu calculati tg150

Rezolvare:


Luam un triunghi dreptunghic cu un unghi de 300si construim

bisectoarea acestui unghi; stabilim, de exemplu, lungimea lui

BC = 2 si apoi urmariti pasii de rezolvare:A

B C

300

D

bisectoarea

150

Daca BC =2, atunci: AC = 2BC = 4.

AB = ACcos300= 43/2 = 23.Aplicam teorema bisectoarei:

232

432

DCBD

ACAB

DC

AC

BD

AB

63432

32

32

ABBD

.

3232

634150

AB

BDtg

Calculati singuri si sin150si sin750.

PROBLEMA 6


28/45


PROBLEMA 6Fara a utiliza tabele trigonometrice, calculati sin750.

Rezolvare: Construim un triunghi cu unghiurile de 750, 450si 600.

A

B

C

7 50

450600

D

Notam BD = 1

1

Rezulta: AB = 2; AD = 3; CD = 3; AC = 6.

2 3

3

6Aria triunghiului ABC:

2

33

2

331

2

ADBCAABC

Dar aria ABC cu formula sinusului este:

2

75sin62

2

75sin 00

ACABAABC

Asadar avem:

2

33

2

75sin62 0

4

26

12

2363

62

1863

62

3375sin 0

.

PROBLEMA 7


29/45


PROBLEMA 7Deduceti urmatoarea formula in trigonometrie: sin2+ cos2= 1.Rezolvare:

A

B C

Scriem teorema lui Pitagora:AB2+ AC2= BC2

Impartim relatia de mai sus

prin BC2si obtinem:

.1

22

BCAC

BCAB

.cossin BC

ACsi

BC

ABDar Atunci rezulta:

.1cossin 22

.


30/45

CERCUL SI

POLIGOANEREGULATE

.

PROBLEMA 1


31/45

PROBLEMA 1Fie un cerc de raza 6cm. Aflati lungimea cercului, aria cercului,

lungimea arcului de cerc si aria sectorului de cerc de = 600.Rezolvare:

.

O

A

Lungimea cercului:

L = 2R = 26 = 12cm.Aria cercului:

A = R2= 62= 36cm2.Lungimea arcului de cerc:

600

.2

180

606

180 0

0

0 cm

RLAB

B

Aria

sectorului de

cerc:.6

360

6036

360

2

0

0

0

2

cmR

Asc

PROBLEMA 2


32/45

PROBLEMA 2Intr-un cerc este inscris triunghiul MNP cu m(


33/45

PROBLEMA 3Perimetrul unui triunghi ABC este de 60 cm, iar latura [BC] are lungimea de 20

cm. Sa se calculeze lungimea segmentului AM, unde M este punctul de tangenta al

laturii [AB] cu cercul inscris in triunghi.

Rezolvare:

.

A

BC

M

N

P

Daca cercul este inscris in triunghiul ABC atunci avem:

AM = AP = x; BM = BN = y; CN= CP = z.

x x

y

y z

z

Perimetrul = x+y+y+z+z+x=2(x+y+z)=60

Rezulta ca x+y+z= 30

Dar y+z= BC = 20cm.

Rezulta ca x = AM = 10 cm.

R E I N E I !


34/45

R E I N E I !Pentru triunghiul echilateral este

specific numarul: 3

R

l

3Rl

Pentru un patrat este specific

numarul: 2

R

l

2Rl

Pentru hexagonul regulat este

specific numarul:11

R

l

.1 RRl

.

PROBLEMA 4


35/45

PROBLEMA 4Sa se afle latura, apotema si aria unui triunghi echilateral daca raza

cercului circumscris triunghiului este de 6 cm.

Rezolvare:

.

A

BC

O

D

R

R a

l

AO = OB = R(raza cercului)

AC = l = latura triunghiului

OD = a= apotema triunghiului

.363 cmRl

.3

2

6

2

cmR

a

22

3274

3363

4

33cm

RA

22

3274

3108

4

3cm

lA sau

PROBLEMA 5


36/45

PROBLEMA 5Sa se afle apotema, aria triunghiului si raza cercului circumscris

acestuia daca latura triunghiului este de 6 cm.Rezolvare:

.

A

BC

O

D

R

Ra

l

AO = OB = R(raza cercului)

AC = l = latura triunghiului

OD = a= apotema triunghiului

.3636

63 cmla

2

2

394

336

4

3cm

lA

.32

3

36

3

6

3

cml

R

PROBLEMA 6


37/45

PROBLEMA 6Daca raza cercului circumscris unui patrat este de 8 cm, aflati

latura, apotema si aria patratului.

Rezolvare:

.

O

A B

CDE

l

Ra

l= R2 = 82 cm..24

2

28

2

8

2

cmR

a

.128642822 222 cmRA

PROBLEMA 7


38/45

PROBLEMA 7Daca latura unui patrat este de 8 cmaflati apotema, aria patratului

si raza cercului circumscris acestuia.

Rezolvare:

.

O

A B

CDE

l

Ra

a= l/2 = 8/2 = 4 cm.

A = l2= 82= 64 cm2.

.242

28

2

8

2cm

lR

PROBLEMA 8


39/45

PROBLEMA 8Daca raza cercului circumscris unui hexagon regulat este de 4 cm,

aflati latura, apotema si aria hexagonului regulat.

Rezolvare:

.

A B

C

DE

FO

R

a l

l = R= 4 cm.

.322

34

2

3cm

Ra

.3242

348

2

343

2

33 222

cmR

A

PROBLEMA 9


40/45

PROBLEMA 9Daca latura unui hexagon regulat este de 6 cm, aflati apotema si aria

hexagonului si raza cercului circumscris acestuia.

Rezolvare:

.

A B

C

DE

FO

R

a l

.332

36

2

3cm

la

.3542

3108

2

363

2

33 222

cml

A

R = l= 6 cm.

CUM CONSTRUIM UN TRIUNGHI


41/45


ECHILATERAL INSCRIS INTR-UN CERC

.

O

1. Construim un cerc;

2. Construim diametrul AP;

A

P

3. Construim o coarda

perpendiculara pe mijlocul razei

OP;

MBC

4. Unim punctele A cu B si A cu

C;

5. Daca nu avem nevoie de

diametrul AP si de punctul M, le

stergem.



42/45


ECHILATERAL INSCRIS INTR-UN CERC

.

O

1. Construim un cerc;2. Luam un punct pe cerc;

3. Cu varful compasului in

punctul A, trasam un arc de cerc

(de aceeasi raza cu a cercului)obtinand punctul B;

A

B

4. Acelasi lucru continuam din B

s.a.m.d., obtinand punctele C, D,

E, F.C

D

E

F

5. Unim punctele A, C si E.


constructiile ajutatoare, le

stergem.

CUM CONSTRUIM UN PATRAT INSCRIS


43/45

CUM CONSTRUIM UN PATRAT INSCRIS

INTR-UN CERC

1. Construim un cerc;

O

2. Construim un diametru;

3. Construim un alt diametru

perpendicular pe primul;

A C

B

D

4. Unim consecutiv

punctele A, B, C, D.

CUM CONSTRUIM UN HEXAGON


44/45


REGULAT INSCRIS INTR-UN CERC

.

O

1. Construim un cerc;2. Construim diametrul AP;

A

P



OP;

MB C



OA;

ND E

5. Unim consecutiv punctele A, E,C, P, B, D;



stergem.



45/45


REGULAT INSCRIS INTR-UN CERC

O

1. Construim un cerc;2. Luam un punct pe cerc;

3. Cu varful compasului in

punctul A, trasam un arc de cerc

(de aceeasi raza cu a cercului)obtinand punctul B;

A

B

4. Acelasi lucru continuam din B

s.a.m.d., obtinand punctele C, D,

E, F.C

D

E

F

5. Unim consecutiv punctele A, B,

C, D, E, F, A.



problrezolvateviigeomsemii semestru ii

Documents