probleme · web viewdacă notăm produsul numerelor cu p, am demonstrat că: q.e.d. 2..să se arate...

Axioma supliment mathematic nr.29

ARHIVA OLIMPIADELOR ŞI CONCURSURILOR ŞCOLAREIoana Crăciun, Ploieşti

CLASA A V-A1. Sǎ se compare numerele a = 22008 şi b = 31255 .

E. Blǎjuţ, Bacǎu

Rezolvare:Numǎrul se poate scrie sub forma a = 28∙ 251 = (28 )251 = 256251 , iar numǎrul b se scrie sub forma b = 35∙ 251 = (35 )251 = 243251 şi prin urmare a > b.

2. Fie mulţimea .a) Calculaţi numărul elementelor mulţimii A;b) Determinaţi numărul submulţimilor lui A, submulţimi

formate din 40 de elemente, care au suma elementelor egală cu multiplu de 7.

Prof. Constantin Bărăscu, Râmnicu-VâlceaRezolvare:

a)Elementele lui A sunt de forma .

b) Suma elementelor din

o submulţime care să verifice condiţiile de la punctul b) se obţine din A prin eliminarea unui element de forma

(am ţinut cont de cardinale), deci câte elemente de forma are A, atâtea submulţimi cu proprietatea cerută putem găsi!

Dar elementele care trebuiesc eliminate sunt când există 6 submulţimi cu proprietatea cerută!

3. Determinaţi numărul cuprins între 1200 şi 1600 care împărţit pe rând la 21, 24, 28 şi

29


36 dă de fiecare dată restul 18.Maria şi Anton Negrilă

Rezolvare:1200 < x < 1600; x = m21,24,28,36 + 18 [21, 24, 28, 36] = 23 32 7 = 504Între 1200 şi 1600 este un singur multiplu de 504, adică 1512. x = 1512 + 18 = 1530

4. a) Suma a trei numere naturale este 2000. Justificaţi faptul că produsul lor este divizibil cu 2. b) Suma a cinci numere naturale este 1999. Ştiind că suma

primelor trei numere este 888, justificaţi că produsul celor cinci numere se divide cu 4.

Nicolae AngelescuRezolvare:a) Cel puţin un termen al sumei este par, căci altfel suma ar fi număr

impar ( 2000), deci abc este par, adică 2 | abc.b) a + b + c = 888, număr par; deci cel puţin un termen este par.d + e = 1111, număr impar; deci cel puţin un termen este par.Produsul P = abcd având doi factori numere pare, se divide cu 4.5. Se consideră numărul .

a) Arătaţi că numărul n se divide cu 111.b) Determinaţi n, dacă prin împărţire la 110 dă restul 26.

Dragoş Moldoveanu, SinaiaRezolvare:a) n = 111(a + b + c) 111b) n = 110c + 26 = 111c – c + 26; n fiind multiplu de 111 26 – c este m111. Dar 26 – c < 111 26 – c = 0 c = 26. Deci n = 110 26 + 26 = 26 111 = 2886 sau: n = 111(a + b + c) = 110(a + b + c) + (a + b + c); restul este a + b + c = 26.

Clasa a VI-a

1. Suma a 11 numere naturale distincte este 70. Demonstraţi că produsul numerelor se divide cu 420.

Constantin Bărăscu, Râmnicu-VâlceaRezolvare:Dacă unul din numere este 0 atunci produsul se divide cu 420.Dacă toate numerele sunt nenule vom demonstra că cel puţin unul din numere se divide cu 3.Presupunem că orice număr nu se divide cu 3, deci suma numerelor ar fi cel puţin:

(F).Rezultă că cel puţin un număr este multiplu de 3. Demonstrăm că cel puţin un număr se divide cu 4. Presupunem prin absurd că orice număr nu se divide cu 4 deci suma numerelor ar fi cel puţin: (F).

30


Rezultă că cel puţin un număr este multiplu de 4. Demonstrăm că cel puţin un număr este multiplu de 5.În caz contrar suma minimă este:

(F).Demonstrăm că cel puţin un număr este multiplu de 7.Analog, în caz contrar suma minimă este: (F).

Dacă notăm produsul numerelor cu P, am demonstrat că: q.e.d.

2..Să se arate că numerele şi dau acelaşi rest prin împărţire la .

OLM Hunedoara, 2008Rezolvare:

dau acelaşi rest prin împărţire la .

3. În triunghiul echilateral ABC avem ADBC, D(BC), DEAC, E(AC), DEAB={M} şi P punctul de intersecţie al bisectoarelor unghiurilor MBD şi AEM. Arătaţi că:

a) ;

b) distanţa de la P la EM este egală cu distanţa de la A la BC.Gheorghe Achim

Rezolvare:a) AD fiind înălţime în echilateral, este şi bisectoare. În drept. ADC cu m ( DAC) = 300,

. Analog, în DEC,

.

b) m ( BDM) = m ( CDE) = 300 (opuse la vârf). În drept. AEM, m ( M) = 300. Deci BDM este isoscel şi atunci bisectoarea BN este şi înălţime. Deci PN = d(P, EM); AD = d(A, BC). BND CED (I.U.) ND = DE; NE = 2DE = AD (1) (din drept. AED cu un unghi de 300). În drept. PNE,

m ( PEN) = 900:2 = 450 PN = NE (2).Din (1) şi (2) rezultă PN = AD.

31


4. Determinaţi numerele raţionale x, y, z invers proporţionale cu

numerele 2, 3 şi respectiv 6 ştiind că .

Petre Năchilă, PloieştiRezolvare:

5. Determinaţi numerele naturale care au numai 4 divizori naturali a căror sumă este 32.

Petre NăchilăRezolvare:Dacă numărul cerut este A = anbm unde a şi b sunt numere prime, atunci numărul divizorilor este (n+1)(m+1) = 4 = 14 = 22.Deci n = 0 şi m = 3 sau m = 1 şi n = 1. Deci A este cubul unui număr prim sau produs de două numere prime. Calculând suma divizorilor pentru A{23, 33, 23, 25, 27, 211, 35, 37}, convine doar A = 21.

Clasa a VII-a1. În triunghiul ABC, şi sunt bisectoare care se intersectează în punctul I. Dacă aria (ABD)=aria(ACE), atunci

.Ion Ghica, Râmnicu-Vâlcea

Rezolvare:

(1)

(2)

Ştim că (3)

.

Relaţia (3) devine: (4)

.

32

A

B C

DE

I


Bisectoarele şi se intersectează în I este bisectoarea unghiului A.

(1) ^ (2) ^ (4) este

isoscel de vârf A este şi înălţime . q.e.d.

2. Se dă paralelogramul ABCD. Dreapta d intersectează dreptele AB, BC, CD şi DA, respectiv în punctele M, N, P şi Q.

a) Arătaţi că

b) Dacă O este centrul de simetrie al paralelogramului şi QM=MP=PN, aflaţi cât la sută din aria paralelogramului ABCD reprezintă aria triunghiului DOM.

OLM Sibiu, 2008Rezolvare:

a). Din teorema lui Thales rezultă: QMQP

QAQD

PQPN

PDPC

PNMN

NCBN

MNMQ

MBMA

,,, ;

b). [AM] este linie mijlocie în triunghiul PDQ, deci AM= .2

DP Analog, PC= .

2MB

CumAB=CD .2, aDPMBaPCAM Fie BD '''' ; ODPOBMOOMP este mijlocul lui [BD], deci

.'OO

DOPDOM AA (proprietatea medianei).

Fie h=d(AB,CD). Avem: .66

34

2 ABCDDOPDOM

AahahAA

Procentul este 16,(6)%.

3. Se dă triunghiul ABC, în care măsurile unghiurilor A, B şi C sunt direct proporţionale respectiv cu numerele 3, 2 şi 1.

a) Arătaţi că BC=2AB. b) Dacă O este mijlocul laturii [BC], găsiţi poziţia punctului E(AC), astfel încât suma BE+EO să ia valoare minimă.

OLM Sibiu, 2008Rezolvare:a). ABBCCmBmAm 230;60;90 000

(Teorema unghiului de 300).

33


b). Fie Q simetricul lui O faţă de AC, .EQEOPACOQ BE+EO=minim QEB ,, sunt coliniare E este intersecţia lui BQ

cu AC.Deoarece triunghiul BCD este echilateral, [BQ] este mediană, E este centrul de greutate al

triunghiului BCD (D este simetricul lui B faţă de AC).3

ACAE .

4. În triunghiul dreptunghic ABC, m(A) = 90, bisectoarea din B intersectează înălţimea AD (DBC) în E şi cateta AC în F. Bisectoarea unghiului DAC intersectează BC în P. Demonstraţi că patrulaterul AEPF este romb.

Concursul ,, Stefan Dirtu’’, 2008Rezolvare: {M} = APBF, ABC DAC DBE EAM BDE AME m(AME) = 90; AM înălţime şi bisectoare AEF isoscel ME MF (1); BM înălţime şi bisectoare BAP isoscel MA MF (2); (1) şi (2) AEPF paralelogram; AP bisectoare AEPF romb;5. Arătaţi că dacă şi numai dacă

.Concursul National Pitagora,2008

Rezolvare Relaţia este echivalentă cu:

(1)

(2)

Din (1) şi (2) .Clasa a VIII-a1. a) Fie a,b,c Q* astfel încât a + b + c = 0 . Demonstraţi că

Q .

b) Calculaţi S = + + … +

OLM Arges,2008Rezolvare:

a) Din a + b + c =0 = 0 + +ab2

= 0

+ + = + + + + +ab2

= ( + + )

34


= Q

b) În relaţia de la punctul a) se consideră a = 1 , b = k – 1 ,c = - k , cu a + b + c = 0

= = 1 + -

În această relaţie se consideră k = 2,3 ,…,2008 şi se obţine :

S = 1 + - + 1 + - + 1 + - + … + 1 + -

= =2007 + 1 - = .

2. Pe planul triunghiului isoscel ABC ( [AB] [AC] ) se duce perpendiculara în G (centrul de greutate ) şi se ia pe acesta un punct D . Fie punctul N [AB] astfel încât

= ; prin N se duce un plan // (DBC) care intersectează

DG în Q .

a) Stabiliţi valoarea raportului .

b) Determinaţi m( ( , (ABC))) ştiind că DG = ,

unde M este mijlocul lui [BC].

Codeci Daniel.Pitesti, OLM Arges,2008

Rezolvare: a) Fie mediana AM a ABC , AM = {R} , AC = {P}. Din

= = , din // (DBC) NP // BC şi QR //DM

= = = = =

= =

b) m( ( , (ABC))) = m( ((DBC),(ABC))) = m( DMA)

Din DG = [DG] [GM] DGM dreptunghic isoscel m(

DMG) = 45

35


3. Dacă p, q sunt numere prime distincte, iar astfel încât , atunci .

Amelia Pavelescu, Râmnicu-VâlceaRezolvare: Fie (*) Din (*) avem succesiv:

.Dacă am avea , din egalitatea anterioară s-ar obţine

,

ceea ce ar contrazice faptul că .Deci , adică .Înmulţind egalitatea (*) cu x şi ţinând seama de egalitatea anterioară, avem

succesiv:

sau .Admitem că , cazul tratându-se analog.

.4. În ABC, considerăm mediana AM şi înălţimea AN astfel încât BAN ≡ NAM ≡ MAC. De aceeaşi parte a planului (ABC) ducem PA(ABC) şi QC(ABC). Dacă AN = 5 cm, PB = 10 cm, QC = 5 cm, calculaţi: a) perimetrul ABC; b) d(P;AC) şi d(Q;AM); c) perimetrul PAQ.

Concursul,, Ştefan Dîrţu’’, 2007Rezolvare:

a) PABC = cm; b) cm; d(Q,AM) = QR =

cm; c) cm;

5. Demonstraţi că .

OLM Sibiu, 2008Rezolvare:

a) Notând

36


01121 2

tt

tt

Rezolvarea unei probleme date la O.I.M de Dănoiu Adriana,

Rm. Vâlcea

Să se calculeze suma ; .

(O.I.M.-Anglia)

Vom demonstra pentru început că .

Soluţie.Fie ; , .

Distingem două cazuri: ; .

I. (1) şi (2).

Avem: (3);

(4).

Din (3) deducem: .

II. (5) şi (6).

Avem: (7);

.

Aşadar: ,

Revenind la problemă avem S =

37


.

38

probleme · web viewdacă notăm produsul numerelor cu p, am demonstrat că: q.e.d. 2..să se arate...

Documents