probleme trigonometrie

7/24/2019 Probleme trigonometrie

http://slidepdf.com/reader/full/probleme-trigonometrie 1/31

Vom deduce valorile sin2x, cos2x, tg2x, apoi ca aplicatie valorile sin3x,cos3x.

sin2x = 2sinx×cosx , (') x I R

a.i. cosx ¹ , cos2x

!vem urmatoarele "ormule#

Demonstratie

sin2x = sin(x$x) = sinx×cosx $ sinx×cosx = 2sinx×cosx

(am aplicat "ormula sin(a$%) = sina×cos% $ sin%×cosa, inlocuind a = % = x )

cos2x = cos(x$x) = cosx×cosx & sinx×sinx = cos2x sin2x

(am aplicat "ormula cos(a$%) = cosa×cos% & sin%×sina, inlocuind a = % = x )

cos2x = cos2x sin2x = cos2x (&cos2x) = 2×cos2x & sau

cos2x = cos2x sin2x = sin2x sin2x = 2 sin2x

tg2x = tg(x$x) =

(am aplicat "ormula tg(a$%) = )

Aplicatii



sin3x = sinx×(3 & sin2x) , (') x I R

cos3x = cosx×(cos2x 3) , (') x I

Vom deduce prima "ormula, pentru cea de&a doua procedandu&se analog.

sin3x = sin(2x$x) = sin2x×cosx $ sinx×cos2x = 2sinx×cos2x $ sinx( 2sin2x) = 2sinx×( sin2x) $ sinx 2sin3x = 3sinx sin3x = sinx×(3 sin2x).

*in "ormula cos2x = 2sin2x, deducem , (') x I R,

iar din "ormula cos 2x = 2cos2x , decucem , (') x I R.

!ceste doua ultime "ormule se mai numesc "ormule de liniari+are siele sunt utile in aplicatii intrucat permit trecerea de la patrate de "unctiitrigonometrice la "unctii trigonometrice la puterea intai, insa avandargumentul du%lu.

In multe aplicatii sunt utile si "ormulele#

care sunt deduse imediat din "ormullele ceexprima sin3x, respectiv cos3x.

2. Probleme rezolvate

) *emonstrati identitatile trigonometrice#

a) (cos a $ cos %)2 $ (sin a $ sin %)2 =



c) (cos a & cos %)2 $ (sin a & sin %)2 =

%) (cos a $ cos 2a)×(2cos a ) = cos 3a $

Rezolvare

Vom veri"ica %), a) si c) veri"icandu&se analog.

(cos a & cos %)2 $ (sin a & sin %)2 = cos2a $ cos2% 2cos a×cos % $ sin2a $sin2% 2sin a×sin % =

= 2 2(cos a×cos % $ sina×sin %) = 2 & 2cos(a&%) = 2 cos(a&%)- =

2) *emonstrati ca#

Rezolvare#

olosim "ormula



3) /a se arate ca#

cos0×cos00×cos2×cos1 = , demonstrand mai intai

×cos a×cos(0

& a)×cos(0

$ a) = cos 3aRezolvare :

×cos a×cos(0 & a)×cos(0 $ a)=×cos a×(cos0×cos a $sin0×sin a)×( cos0×cos a & sin0×sin a)=

In identitatea veri"icata inlocuim a = 0 si a = si o%tinem#

cos0×cos×cos00 = cos cos×cos2×cos1 =cos

Inmultind mem%ru cu mem%ru cele doua egalitati o%tinem re+ultatul dorit.

) *emonstrati ca

Re+olvare#

Impartim prin

4vident alegem numai solutia po+itiva, intrucat



) *emonstrati identitatea#

Re+olvare#

5em%rul stang se scrie ast"el#

1) 6alculati valoarea produsului 7 = cosx×cos2x×cos22x×8.cos2nx.

Re+olvare#

6alculam

Observatie

Retineti modalitatea de calcul a acestui produs de cosinusuri in careargumentele "ormea+a o progresie geometrica. 7entru calculul sau, a "ostnecesar un 9%o%arnac: acesta "iind sinx, cu care am inmultit egalitatea,"actorii din mem%rul drept 9consumandu&se: doi cate doi pe %a+a "ormulei

sin a×cosa= ×sin2a

) a) *emonstrati identitatea trigonometrica



%) *educeti valoarea produsului#

Rezolvare#

3. Probleme propuse

) *emonstrati identitatile trigonometrice#

a) sin 0x = 2sin x×cosx sin

x c)

%) cos 0x = 2cos x×cos x cos x

2) /a se arate ca#

a) e) sin(a $ %)×sin c $ sin(% c)×sin a = sin(a $ c)×sin %

%) cos2 (x $ ;) cos2(x ;) $ sin 2x×sin 2; = ") sin(a $ %)×cosc cos(% c)×sin a = cos(a $ c)×sin %

c) sin2(x $ ;) $ sin2(x ;)-×cos2(x $ ;) $ cos2(x ;)- = cos2 2x×cos2 2;

d) ( $ tgx)

2

$ ( $ ctgx)

2

= × g) (sin 2a $ sin a)

2

$(cos 2a $ cos a)2 = ×cos2 a

3) *emonstrati identitatile#



) *emonstrati ca#

a) cos2 2x $ cos2 (x ;) & 2×cos(x ;)×cos(x $ ;)×cos 2x = sin2 x $ sin2 ; $2sin x×sin ;×cos(x $ ;) , (') x, ; I R

%) cos x < , (') x I (, p)

c) sin(x $ ;)×sin(; $ +)×sin(+ $ x) sin 2x×sin 2;×sin 2+, (') x, ;, +, I , -

) 6alculati#

0) 6alculati produsul#

4xprimarea "unctiilor trigonometrice in "unctie de tangenta arcului pe >umatate

unctiile trigonometrice sin, cos, tg, ctg se exprima rational in"unctie de tangenta semiung?iului dupa urmatoarele "ormule#



, cos

*emonstram primele doua egalitati#

7ro%leme re+olvate

) *eterminati imaginea "unctiei " # R @ R, "(x) = a sin x $ % cos x A a, % I R.

R. Botam si atunci "unctia " in varia%ila t este "(t) = .

Botam "(t) = ; si o%tinem 2at $ % %t2 = ; $ ; t2 sau (%$;)×t2 2at % $ ; =, care este o ecuatie de gradul al doilea in varia%ila t. Intrucat t I R seimpune conditia * C sau a2 (;2 %2) C .

*eci

2) *aca tg a = 2, calculati sin a si cos a.

R. 6alculam si



!nalog pentru cos a.

5. Transformarea sumei !iferentei" !e functii trigonometrice in pro!us.

!u loc urmatoarele identitati#

*emonstratie#

sin(a$%) = sin a×cos % $ sin %×cos a sin(a&%) = sin a×cos % sin %×cos a

Botam a$% = x A a&% = ; , re+ulta .

!dunam primele egalitati mem%ru cu mem%ru si

o%tinem#

7entru ; @ &; re+ulta, tinand cont de imparitatea

sinusului#

7entru celelalte doua identitati "olosim#

cos(a$%) = cos a×cos % sin a×sin % cos(a&%) = cos a×cos % $ sin a×sin%

si cu aceleasi notatii, adunand si sca+and egalitatile mem%ru cu mem%ruo%tinem re+ultatele anuntate.



D%servatie

*educeti "ormulele#

#. Transformarea pro!uselor !e functii trigonometrice in sume.

!u loc urmatoarele identitati#

olosind "ormulele deduse anterior si calculand mem%rul drept, sau"olosind "ormulele ce dau "unctiile trigonometrice ale sumei sau di"erentei(tot calcul in mem%rul drept) o%tinem re+ultatele anuntate.

1. 7ro%leme re+olvate

) 6alculati

R.

2) *emonstrati identitatile#



Rezolvare

a)

%)

c)

3) /impli"icati "ractiile#



A

R.

) *emonstrati ca#

a) , (') x, ; I , p- %)(') x, ; I , pE2-

Rezolvare:

a) Inegalitatea propusa este ec?ivalenta cu

, am%ii "actori "iind po+itivi, deci inegalitatease veri"ica.

!nalog se veri"ica si cea de&a doua.

!ceste inegalitati sunt de tip Fensen pentru "unctiile sinus si cosinus,restrictionate la ,p-, respectiv , pE2-.

) *emonstrati ca#



9n: radicali (') n I BG

R. Botam , n IBG

x=

*emonstram prin inductie ca

7(n) # xn = , n I BG

D%servam ca , (') n I B, n C 2.

7() este o propo+itie adevarata.

7resupunem 7(H) adevarata ( ) si demonstram ca 7(H$) esteadevarata, deci ca

. *ar

inand cont ca xH J , o%tinem , deci 7(H$) este adevarata.

0) 6alculati urmatoarele sume#

a) / = sin x $ sin 2x $ 8.$ sin

nxA c) /3 =

%) /2 = cos x $ cos 2x $ 8.$ cos nxA

Rezolvare:



D%servam in ca+ul primelor doua sume ca argumentele "unctiilor trigonometrice (sinus si cosinus) "ormea+a o progresie aritmetica de ratie r = x.

7entru a le calcula, inmultim am%ii mem%ri cu (in general cu ).

6alculam /, pentru ca /2 se calculea+a in mod asemanator.

c) Vom demonstra mai intai identitatea# (G)

5em%rul drept se scrie succesiv #

6on"orm (G), /3 = (ctg x ctg 2x) $ (ctg 2x ctg22x) $8..$(ctg2n&x ctg2nx)= ctg x ctg2nx.

1) demonstrati ca daca a $ %$ c = , atunci

Rezolvare:

, deci sin a = cos(%$c) si inegalitatea se scrie#



care este evidenta.

8.Probleme propuse

) 6alculati, scriind re+ultatul su% "orma de produs# a) sin $ sin 1A

%) cos 1

$ cos.

2) Veri"icati identitatile#

3) /a se preci+e+e semnul numerelor#

a) sin $ sin A %) cos 2 $ cos

A c))

a) *aca x = ;$+, sa se arate ca# tg x $ ctg ; $ ctg + = tgx×ctg;×ctg+

%) *aca x$;$+ = p, sa se arate ca# tg x $ tg ; $ tg + = tg x×tg ;×tg+



c) *aca x$;$+= 2p , sa se arate ca# sin x $ sin ; $ sin + =

) *emonstrati ca#

cos2x cos2; cos2+ $ 2cosx×cos;×cos+ =

(') x, ;, + I R.

0) 6alculati produsul#

1) 6alculati urmatoarele sume#

a) /= %) /2 = cos x $ cos 3x $ cos x$ 8.$cos(2n&)x.

) *emonstrati identitatile#

a) %)

sin2×sin×sin0×sin =

$olutii probleme2.3



4xpresia devine

Inegalitatea de demonsrat este#



care este adevarata.

$olutii probleme propuse2.5



$olutii probleme propuse2.%

) a) 4xpresia este egala cu

%) 4xpresia devine# , etc8

2) 5em%rul stang al egalitatii este#

3) a) tg×tgK= tg×ctg = =J tg2×tg = tg2×ctg2 = =J tg×tg0 = tg×tg = =J tg =

%) 5em%rul stang este# , iar mem%rul drept este#

$olutii probleme propuse3.3

) sin = sin( 3) = sin×cos3

sin3×cos = , analog celelalte.

2) sin = sin(K $ ) = cos(K K ) = cos, etc8



3) a) sin(a$%)×sin(a&%)= (sina×cos% $ sin%×cosa)(sina×cos% & sin%×cosa)=sin2a×cos2% sin2%×cos2a = =sin2a(&sin2%) sin2%(&sin2a) = sin2a sin2a×sin2% sin2% $ sin2a×sin2% = sin2a sin2%

%) !nalog cu a)

a $ % este in cadranul II, deci a$% =

a, %, g sunt in cadranul I si toate mai mici decat pE (>usti"icati)

*eoarece tg(a$%$g) J , re+ulta ca a$%$g I (, pE2) sau a$%$g I (p, 3pE2),ultima incadrare ne"iind posi%ila. Ramane a$%$g = pE



) 5em%rul drept al egalitatii se scrie succesiv#

(In demonstratie am "olosit , care se pre+intamai tar+iu, dar care se poate deduce si cu "ormulele utili+ate pana la acestmoment)

K) cosx×sin(;&+) = cox(sin;×cos+ & sin+×cos;) = cosx×sin;×cos+ &cosx×sin+×cos;

cos;×sin(+&x) = cos;×sin+×cosx & cos;×sinx×cos+

cos+×sin(x&;) = co+×sinx×cos; & cos+×sin;×cosx 7rin adunare seo%tine .



) a) 5em%rul stang este#

%) 5em%rul stang este#

c) 5em%rul stang este#

d) 5em%rul stang este#

) /e poate "olosi si gasim

$olutii probleme propuse3

) a) sin 0x = 2sin x×cos x sin x L sin(x $ x) = 2sin x×cos x sin

x L sin x×cosx $ sinx×cos x & 2sin x×cos x = &sin x L sin x×cos x =sin x×cos x $ sin x L sin x×cos x sin x×cos x =

= sin x L sin(x x) = sin x, evident.

%) !nalog cu a).



c) 5em%rul stang se scrie succesiv#

2) a)

5em%rul stang va "i#

%) cos2(x $ ;) cos2(x ;) $ sin 2x×sin 2;=

c) 5em%rul stang este#



d)

e) sin(a $ %)×sin c $ sin(% c)×sin a = sin a×cos %×sin c $sin %×cos a×sin c$ sin %×cos c×sin a sin c×cos %×sin a = sin %(sin a×cos c $ sin c×cos a) =sin %×sin (a$c).

") !nalog ca e)

g) (sin 2a $ sin a)2 $ (cos 2a $ cos a)2 = sin2 2a $ cos2 2a $ sin2 a $cos2 a $ 2(sin a.sin 2a $ cos a×cos 2a) = 2 $ 2cos(a 2a) = 2 $2cos 2a = 2($cos 2a) = ×cos2 a.

3) a)



%)

c) Ve+i exercitiul re+olvat nr. 1

d) 7 = cos 2×cos ×cos 0×cos

e) , ") se "ac calcule in mem%rul stang.

g)

) a) 5em%rul stang se scrie ast"el#

cos2 2x 2cos 2x×cos(x&;)×cos(x$;) $ cos2 (x&;)×cos2(x$;) $ cos2 (x&;) cos2 (x&;)×cos2(x$;)=



= cos2x cos(x&;)×cos(x$;)-2 $ cos2 (x&;)×sin2(x$;) = cos 2x (cosx×cos ; $ sin x×sin;)×(cos x×cos; sin x×sin ;)-2 $ cos2(x&;)×sin2(x$;)=(cos 2x cos2 x×cos2 ; $ sin2 x×sin2 ;)2$ cos2(x&;)×sin2(x$;)= (cos2 x cos2x× cos2; $ sin2x×sin2; sin2 x)2$ cos2(x&;)×sin2 (x$;) = (cos2 x×sin2;

& sin2 x×cos2 ;)2 $ cos2 (x&;)×sin2 (x$;) = (sin x×cos ; sin ;×cos x)2×(sinx×cos ; $ sin ;×cos x)2$

$ cos2(x&;)×sin2(x$;) = sin2 (x&;)×sin2 (x$;) $ cos2 (x&;)×sin2 (x$;) =sin2 (x$;).

5em%rul drept este#

sin2 x $ 2sin x×sin ;×cos (x$;) $ sin2 ;×cos2 (x$;) sin2 ;×cos2 (x$;) $sin2 ; =

= sin x $ sin ;×cos(x$;)-2 $ sin2 ;×sin2 (x$;) = (sin x $ sin ;×cos ; sin2 ;×sin x)2 $ sin2;×sin2(x$;)= (sin x×cos2 ; $ sin ;×cos x×cos ;)2 $sin2 ;×sin2 (x$;) = cos2 +(sin x×cos ;

$ sin ;×cos x)2 $ sin2 ;×sin2 (x$;) = cos2 ;×sin2 (x$;) $ sin2 ;×sin2 (x$;) =sin2 (x$;).

%) Inegalitatea este ec?ivalenta cu#

care este adevarata in conditiile pro%lemei

) Ve+i exercitiul re+olvat nr.

0) , api se

procedea+a ca la exercitiul re+olvat nr. 0. /e gaseste

$olutii probleme propuse%



) a) sin $ sin1 =

%) !nalog a)

2) a)

%)

3)



)



) 5em%rul stang este#

0)



1) a) /e cauta o descompunere a termenului general de tipul "(H) "(H$).

In acest sens, veri"icam identitatea#

sumand egalitatea,

o%tinem #

%) Ve+i exercitiul re+olvat nr. 0)



) a) /e poate aplica metoda de la 1 %), adica se poate inmulti egalitatea

cu , etc8.

%) 7 = sin2

×sin

×sin0

×sin

=

probleme trigonometrie

Documents