1

PROBLEME: OSCILAŢII MECANICE

1. O pendulă bate secunda (Tₒ=2s). Câte oscilaţii complete face această pendulă într-o oră?

2. Perioada de oscilaţie a unui copil care se dă în leagăn este Tₒ=3s. Câte oscilaţii complete efectuează

copilul într-un minut? Care este frecvenţa de oscilaţie a copilului din leagăn?

3. De câte ori trebuie să se reducă lungimea unui pendul gravitaţional pentru ca frecvenţa de oscilaţie

să se dubleze?

4. Un corp de masă m₁=1kg, prins de un resort elastic ideal oscilează armonic. Ce masă m₂ trebuie să

aibă un corp astfel încât, aşezat peste primul, ansamblul format din cele două corpuri să oscileze cu

o perioadă de două ori mai mare decât perioada cu care oscila corpul m₁ singur? Cum variază

frecvenţa de oscilaţie după adăugarea corpului de masă m₂?

5. Un om depărtează din poziţia de echilibru cu un unghi mic o minge de

dimensiuni neglijabile, legată de tavanul unei săli de sport prin

intermediul unui fir ideal de lungime 4ml şi o eliberează fără a-i

imprima o viteză iniţială. De câte ori revine într-un minut mingea în

poziţia din care a eliberat-o omul? Se va considera că 2.g

6. Legea de mişcare a unui oscilator liniar armonic este y=10 sin(2πt + 𝜋

6 )(cm). Se cer:

a. Amplitudinea de oscilaţie

b. Pulsaţia, perioada şi frecvenţa

c. Dependenţele de timp ale vitezei şi acceleraţiei

d. Reprezentarea grafică a legii de mişcare y=f(t)

7. Un pendul gravitaţional efectuează 30 de oscilaţii complete într-un minut. Care este lungimea

pendulului? (g π²)

8. În timpul oscilaţiilor unui pendul gravitaţional de lungime l=1m acceleraţia maximă este

max 0,1a g . Care este viteza maximă din timpul oscilaţiilor?

9. Ce energie trebuie să i se imprime unui corp prins de un resort orizontal de constantă elastică

10 N/mk pentru a efectua oscilaţii liniare armonice cu amplitudinea A=1m?

10. În graficele de mai jos sunt reprezentate dependenţele de timp ale elongaţiilor unor oscilatori liniari

armonici. Pentru fiecare din cele trei situaţii să se determine:

a. Amplitudinea de oscilaţie

b. Perioada de oscilaţie

c. Legea de mişcare y=f(t)

d. Dependenţa de timp a vitezei şi să se reprezinte grafic această dependenţă

2

11. În tabelul de mai jos sunt trecute elongaţiile unui oscilator liniar armonic la diferite momente de

timp.

(m)y 0 2 2 4 2 2 0 2 2 4 2 2 0 2 2 4 2 2 0 2 2 4 2 2 0

(s)t 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8

Se cer:

a. Amplitudinea oscilatorului

b. Perioada şi pulsaţia

c. Legea de mişcare y=f(t)

12. În tabelul de mai jos sunt trecute vitezele unui oscilator liniar armonic la diferite momente de timp.

(m/s)v 2 2 0 2 2 2 0 2 2 2 0 2 2 2 0 2 2

(s)t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Se cer:

a. Viteza maximă a oscilatorului

b. Perioada şi pulsaţia

c. Legea vitezei v=f(t)

13. Pulsul unei persoane este de 90 bătăi/min. Să se determine:

a. Frecvenţa de oscilaţie a inimii exprimată în hertzi

b. Pulsaţia oscilaţiilor inimii

c. Perioada de oscilaţie a inimii

14. Un pendul bate secunda(Tₒ=2s). Din cauza dilatării lungimea pendulului a crescut cu 10,25%. Care

este noua perioadă de oscilaţie? Cu câte procente a crescut această perioadă?

15. Care este perioada de oscilaţie a unui pendul gravitaţional pe Lună, dacă pe Pământ el oscilează cu

perioada Tₒ=1s. Acceleraţia gravitaţională pe Lună este de 6 ori mai mică decât pe Pământ.

( 6 2, 45)

16. Cu câte procente este mai mare perioada de oscilaţie a unui pendul simplu pe vârful Everest decât

la nivelul mării? Acceleraţia gravitaţională pe vârful Everest este de 1,0028 mai mică decât la

nivelul mării.

-4

-2

0

2

4

0 1 2 3

Y(m

)

t(s) -2

-1

0

1

2

0 1 2 3

Y(m

)

t(s) -5

0

5

0 2 4 6

Y(m

)

t(s)

3

17. În cazul general, perioada reală de oscilaţie a unui corp legat de un resort are expresia:

32 ,

rmm

Tk

unde m este masa corpului suspendat de resort, rm este masa resortului, iar k este

constanta elastică a resortului. Să se determine cu câte procente diferă perioada calculată fără a lua

în calcul masa resortului decât perioada în cazul în care se ţine cont de masa resortului pentru

situaţiile:

a. 0,05rm

m

b. 1rm

m

Dacă perioada de oscilaţie calculată fără a ţine cont de masa resortului este de 10 s, să se determine

perioada reală de oscilaţie pentru ambele situaţii. Concluzie.

18. De un resort elastic ideal, a cărui constantă elastică este necunoscută, se agaţă diferite mase şi se

măsoară perioada de oscilaţie, după care se trasează graficul de mai jos, în care pe axa absciselor

sunt trecute masele agăţate de resort şi pe axa ordonatelor pătratul perioadelor corespunzătoare.

Care este expresia pantei acestui grafic? Să se determine constanta elastică a resortului, măsurând

panta graficului.

19. De un resort de constantă elastică k=100N/m este atârnat în echilibru un taler. Pe taler se aşază uşor

un corp de masă m=1kg. Care va fi amplitudinea de oscilaţie?

20. Un resort elastic ideal, de constantă elastică k=4 N/m se află pe o masă orizontală netedă. Un capăt

al resortului este fixat, iar celălalt capăt este prins de un corp de masă m=1kg. I se imprimă corpului

viteza v=0,2 m/s în sensul comprimării resortului.

a. Care va fi amplitudinea de oscilaţie?

b. Care este legea de mişcare x=f(t)?

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6 8 10

m(k

g)

T²(s²)

4

21. Se dă sistemul din figura alaturată. Corpul de masă m este

deplasat spre dreapta pe o distanţă xₒ=4 cm şi apoi este eliberat.

Se cunosc k=100 N/m, m=1kg.

a. Care este viteza maximă atinsă de corp?

b. Să se scrie dependenţele de timp ale elongaţiei şi vitezei

şi să se reprezinte grafic.

22. De un resort vertical, nedeformat se agaţă un corp de masă m=1kg

şi i se dă drumul fără a i se imprima o viteză. Să se scrie legea de

mişcare y=f(t). Se cunoaşte constanta elastică a resortului

k=100 N/m.

23. Un corp de masă m=1kg, prins de un resort elastic de constantă

elastică k=10N/m este deplasat din poziţia de echilibru, ca în figură. După cât timp corpul revine în

poziţia de echilibru?

24. Trei resorturi de lungimi nedeformate egale, dar de

constante elatice diferite se află în echilibru pe o

suprafaţă orizontală netedă, ca în figură. Fiecare din

cele trei resorturi are un capăt fixat şi la celălalt capăt

are prins un corp care poate aluneca fără frecare pe

suprafaţa orizontală. Se depărtează de poziţia de

echilibru cele trei corpuri, ca în figură, după care sunt

eliberate simultan, fără a li se imprima o viteză iniţială.

Între constantele elastice ale resorturilor şi masele corpurilor prinse la capetele lor există relaţiile:

2 13 ,k k1

3 ,4

kk 2 12 ,m m

13 .

2

mm În ce ordine revin corpurile în poziţia de echilibru?

25. Trei pendule gravitaţionale, de lungimi diferite 2 1 3l l l sunt deviate

cu acelaşi unghi 06 din poziţia de echilibru, după cum se vede în figură. În ce ordine revin în poziţia de echilibru pendulele şi care este

relaţia între vitezele lor?

26. Un pendul gravitaţional este prins de un perete vertical. Se îndepartează pendulul

de perete cu un unghi f. mic α(

5

27. Un corp de masă m=2kg, prins de un resort elastic ca în figura

alăturată, este deplasat din poziţia de echilibru pe distanţa A=1m şi

eliberat. Corpul parcurge distanţa înapoi spre poziţia de echilibru

în acelaşi timp în care ar fi parcurs-o dacă se deplasa cu viteza

constantă v=1 m/s. Care este constanta elastică a resortului? Ce

viteză are corpul în momentul trecerii prin poziţia de echilibru?

28. Un corp de masă m=5 kg se îndreaptă cu viteza m

0, 2s

v

spre un resort ideal de constantă elastică N

20 ,m

k după cum

este ilustrat în figura alăturată. Să se determine:

a. Comprimarea maximă a resortului.

b. Cât timp corpul şi resortul se află în contact.

29. Se dă sistemul din figura alăturată. Iniţial, corpul de masă

m=1kg este în echilibru, resortul de constantă elastică k=1 N/m

nefiind deformat. La distanţa d=1m de aceasta poziţie a corpului

se află un perete.

a. Ce viteză maximă i se poate imprima corpului astfel încât acesta să nu ciocnească peretele?

b. Dacă în poziţia iniţială i se imprimă corpului de masă m o viteză v=2m/s spre dreapta, după

cât timp va avea loc prima ciocnire între corp şi perete?

30. Corpul din figură oscilează liniar armonic. Cunoscând: lungimea

nedeformată a resortului l₀=1m, k=1000N/m, energia potenţiala

elastică maximă E=5J, să se determine lungimea maximă a resortului

în timpul oscliaţiilor. Se neglijează frecarile.

31. Pe o suprafaţă orizontală netedă se află un resort de constantă

elastică N

50 ,m

k comprimat cu 10cm,l de care este prins

un corp de masă m=2 kg, iniţial blocat, ca în figură. Se eliberează uşor corpul de masă m. Se cer:

a. Amplitudinea de oscilaţie

b. Viteza maximă atinsă de corp

c. Energia cinetică maximă a corpului

d. Să se reprezinte grafic dependenţa de timp a elongaţiei.

32. Un corp de masă m=1kg, suspendat de un resort ideal vertical suficient de lung de constantă

elastică k=100 N/m oscilează liniar armonic. Alungirea maximă a resortului în timpul oscilaţiilor

este max 40cm.l Să se afle amplitudinea. (g=10 m/s²)

33. Un corp de masă m=1kg este suspendat de un resort ideal vertical suficient de lung de constantă

elastică k=100 N/m. Se alungeşte resortul cu 50cm,l după care este eliberat uşor. Se cer:

a. Amplitudinea de oscilaţie

b. Viteza maximă atinsă de corp în timpul oscilaţiilor

c. Energia cinetică maximă a corpului.

6

34. Un corp de masă m=0,4kg este prins de un resort ideal vertical de constantă elastică k=40 N/m şi

efectuează oscilaţii armonice cu amplitudinea 5cm.A Cunoscând lungimea resortului în stare

nedeformată, 0 20cm,l să se determine lungimile maximă şi minimă ale resortului în timpul

oscilaţiilor.

35. Un corp de masă m=1kg se află pe o masă orizontală netedă şi este prins de un resort elastic de

constantă elastică k=4 N/m, care are celălalt capăt fixat. Resortul se rupe dacă forţa elastică atinge

valoarea 4N.rF Ce viteză maximă i se poate imprima corpului în poziţia de echilibru astfel încât

resortul să reziste?

36. Un om de masă m=82kg face bungee jumping, fiind legat de o coardă elastică care are constanta

elastică k=40N/m. Momentul iniţial tₒ=0 se alege când omul se află în poziţia extremă inferioară.

Se neglijează frecările.

a. De câte ori trece omul prin poziţia extremă inferioară în timpul t=3 min? Dar prin poziţia de

echilibru?

b. Cunoscând amplitudinea de oscilaţie A=15m, care este viteza maximă atinsă în timpul

oscilaţiilor?(exprimată în km/h) Dar acceleraţia maximă?

c. Să se scrie legile y=f(t) şi v=f(t)

d. Care este energia cinetică maximă pe care o are omul?

37. Un corp de masă m=2 kg oscilează liniar armonic pe direcţie verticală, fiind prins de un resort ideal

de constantă elastică k=10 N/m. Amplitudinea de oscilaţie este A=1m. Pentru momentul când

corpul se află în poziţia extremă inferioară se cer: energia potenţială a oscilaţiilor şi energia

potenţială elastică înmagazinată în resort.

38. Un pendul matematic se află într-un ascensor care coboară accelerat cu acceleraţia a=7,5 m/s².

Lungimea pendulului este de 2,5m. Care este pulsaţia oscilaţiilor?

39. Un pendul matematic de lungime l=2m se află într-o cutie care este trasă în

sus cu o forţă constantă F=20N, ca în figura alăturată. Masa cutiei împreună

cu cea a pendulului este m=1 kg. Care este perioada de oscilaţie a

pendulului? Se va considera g=10m/s².

40. Un pendul matematic se află într-un ascensor. Dacă ascensorul este în

repaus, perioada de oscilaţie a pendulului este Tₒ. Ce valoare trebuie să aibă

acceleraţia ascensorului şi în ce sens trebuie să fie orientată(sus/jos) pentru ca perioada să scadă de

două ori? (g=10 m/s²).

41. Un cilindru de lemn, pluteşte în echilibru în apa dintr-un

vas suficient de larg. Cilindrul este scufundat în apă pe

distanţa y şi apoi este eliberat uşor. Ştiind că forţa rezultantă

care acţionează asupra cilindrului este de forma:

,rezF k y unde 0 ,mg

kL

în care 0 este densitatea apei,

este densitatea lemnului din care este confecţionat

7

cilindrul, m este masa cilindrului, L este lungimea cilindrului, iar g este acceleraţia gravitaţională,

să se scrie expresiile pentru:

a. Pulsaţia oscilaţiilor

b. Perioada oscilaţiilor

c. Frecvenţa oscilaţiilor

42. Un corp de mici dimensiuni este prins prin intermediul unui fir de tavanul

unui vas în care se află apă. Densitatea corpului este mai mare decât

densitatea apei. Asupra corpului, acţionează în permanenţă, vertical de jos în

sus, forţa arhimedică din partea apei, care are valoarea: 0,6 .AF G

Cunoscând lungimea pendulului: 0,4m,l să se determine perioada

oscilaţiilor corpului.

43. Un corp de mici dimensiuni este prins prin intermediul unui fir de fundul unui

vas în care se află apă. Densitatea corpului este mai mică decât densitatea

apei. Asupra corpului, acţionează în permanenţă, vertical de jos în sus, forţa

arhimedică din partea apei, care are valoarea: 1,25 .AF G Cunoscând

lungimea pendulului: 1m,l să se determine perioada oscilaţiilor corpului.

44. Un pendul gravitaţional se află într-o maşină care se deplasează orizontal pe o şosea cu acceleraţia

constantă 0,75 .a g Cunoscând lungimea pendulului 5cm,l să se afle perioada de oscilaţie a

pendulului.

45. Să se afle perioada de oscilaţie a corpului din figura, ştiind

că în poziţia de echilibru cele două resorturi identice sunt

nedeformate. Se cunosc: m=1kg, k=50N/m. Se neglijează

frecarile.

46. Un corp de masă m oscilează liniar armonic cu perioada T pe o masă netedă, fiind prins de un resort

de constantă elastică k=20 N/m. Ce constantă elastică k’ trebuie să aibă un resort, care, prins de

cealaltă parte a corpului de masă m să determine înjumătăţirea perioadei de oscilaţie? (T’=T/2)

47. Un corp de masă m este aşezat pe 4 resorturi ideale identice, fiecare

de constantă elastică k, după cum se vede în figura alăturată.

Greutatea corpului este distribuită uniform pe cele 4 resorturi. Se

deplasează corpul din poziţia de echilibru pe direcţie verticală şi apoi

este eliberat. Să se demonstreze că mişcarea corpului este una

oscilatorie armonică şi să se determine expresia pulsaţiei acestei

mişcări oscilatorii.

8

48. Peste corpul de masă M din figura alăturată, aflat iniţial în echilibru, se

aşază fără şoc un corp de masă m. Să se afle viteza maximă a celor doua

corpuri. Se cunosc: k=100 N/m, m=1kg, M=5,25 kg.

49. Un pendul gravitaţional cu lungimea de 1m este scos din poziţia de echilibru cu un unghi mai mic

de 6° şi apoi este eliberat. Când pendulul ajunge în poziţie verticală atinge un cui aflat la 75cm de

punctul de suspensie, mişcarea continuând. În cât timp se realizează o oscilaţie completă?

50. Două corpuri confecţionate din materiale diferite, având masele

1 2şim m se află pe o suprafaţă orizontală şi sunt legate prin

intermediul unui resort suficient de lung de constantă elastică k.

Coeficientul de frecare dintre corpul de masă 2m şi suprafaţa

orizontală are valoarea , în timp ce coeficientul de frecare dintre suprafaţa orizontală şi corpul de

masă 1m se poate neglija. Ce viteză minimă trebuie să i se imprime corpului de masă 1m pentru a

determina deplasarea corpului de masă 2 ?m

51. O sanie intră de pe o porţiune netedă pe asfalt, cu viteza 2 m/s. Cunoscând lungimea saniei,

1,25ml şi coeficientul de frecare dintre sanie şi asfalt 0,5 , să se determine pe ce distanţă

intră sania pe asfalt.

52. Un corp de masă m=1kg şi dimensiuni neglijabile efectuează oscilaţii în plan vertical, fiind prins de

un fir ideal (pendul gravitaţional). Firul se rupe dacă tensiune din el atinge valoarea 11N.rT Care

poate fi amplitudinea unghiulară maximă pentru ca firul să reziste? (Se va considera 210m/s )g

53. Să se scrie expresiile perioadelor de oscilaţie pentru cele două situaţii

reprezentate în figură. În care din cele două cazuri perioada este mai mare?

54. Un corp oscilează vertical cu perioada Tₒ=2s, fiind prins de un resort ideal. Care va fi noua

perioadă de oscilaţie dacă jumătatea superioară a resortului se blochează?

55. În sistemul din figură pendulul gravitaţional este deplasat cu un unghi

α=0,1( rad). Se cunosc lungimea pendulului l=10 m, masa corpurilor

m=1 kg şi constanta elastică k=16 N/m. Care este comprimarea

maximă a resortului?

9

56. În sistemul din figură corpul de masă m=1kg este deplasat din

poziţia de echilibru pe distanţa A=5cm. Cunoscând constanta

elastică a resortului k=1N/m, lungimea pendulului l=10 cm, masa

pendulului m=1kg, acceleraţia gravitaţională g=10 m/s², să se afle

cu ce unghi maxim se depărtează pendulul în urma ciocnirii.

57. Să se afle amplitudinea rezultantă din compunerea oscilaţiilor 1 4sin12 (cm)y t şi

1 8sin 12 (cm)3

y t

.

58. Să se afle amplitudinea rezultantă din compunerea oscilaţiilor 1 5sin 8 (cm)

12y t

şi

2

56sin 8 (cm).

12y t

59. Să se afle amplitudinea şi faza iniţială a oscilaţiei rezultate din compunerea oscilaţiilor

1 4sin 2 (cm)y t şi 2 3sin 2 (cm).2

y t

60. Să se afle ampltudinea şi faza iniţială a oscilaţiei rezultate din compunerea oscilaţiilor

1 4sin 2 (cm)3

y t

şi 2 6sin 2 (cm).

2y t

61. Să se determine defazajul dintre două oscilaţii paralele de pulsaţii egale, dacă la momentul iniţial

unul din oscilatori este în poziţia de echilibru, iar cel de-al doilea se află în poziţia de elongaţie

maximă. Dacă amplitudinea primului oscilator este 1,A iar a celui de-al doilea 2 ,A să se scrie

expresia amplitudinii rezultante din compunerea celor două oscilaţii.

62. Să se reprezinte grafic, în acelaşi sistem de coordonate dependenţele de timp ale elongaţiilor celor

două oscilaţii paralele: 1 3sin 2 (cm)

2y t

şi 2 4sin 2 (cm)y t şi dependenţa de timp a

elongaţiei oscilaţiei rezultată din compunerea celor două.

63. Să se determine perioada bătăilor şi perioada oscilaţiilor rezultate din compunerea oscilaţiilor

paralele: 1 1 sin 41y A t şi 2 2 sin 40 .y A t

64. Să se determine perioada bătăilor şi perioada oscilaţiilor rezultate din compunerea oscilaţiilor

paralele: 1 4sin 20y t şi 2 4sin 20,5 .3

y t

65. Să se afle între ce limite variază amplitudinea oscilaţiei rezultate din compunerea oscilaţiilor

paralele: 1 7sin80y t şi 2 7sin81 .y t

10

66. Să se determine ecuaţia traiectoriei unui punct material y f x , supus simultan oscilaţiilor

perpendiculare: sin2

x A t

şi sin .y A t

67. Utilizând un tabel de valori ca cel de mai jos, să se traseze grafic traiectoria y f x obţinută din

compunerea oscilaţiilor perpendiculare: 4sinx t şi 2 sin .2

y t

t 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

x

y

RĂSPUNSURI

1. N=1800

2. N=20, 0,33Hz

3. 124

ll (lungimea trebuie să scadă de 4 ori)

4. 2 3kgm

5. N=15

6.

a. 10cmA

b. 12 s , 1s, 1HzT

c.

2

m0,2 cos 2

6 s

m4sin 2

6 s

v t

a t

7. 1ml

8. maxm

0,314s

v

9. 5JE

10.

a. 1 2 32m, 1m, 4mA A A

b. 1 2 31s, 0,5s, 2sT T T

c. 1 2 32sin2 t, sin 4 t+ , 4sin t+

2 6y y y

11

d. 1 2 34 cos2 t, 4 cos 4 t+ , 4 cos t+

2 6v v v

11.

a. 4mA

b. 14s; s2

T

c. 4sin m2

y t

12.

a. maxm

2s

v

b. 18s; s4

T

c. m

2cos4 s

v t

13.

a. 1,5Hz

b. 1 13 s 9,42s

c. 0,66sT

14. 0

0

2,1s ; 5%T

TT

15. L 2,45sT

16. 0

0,14%T

T

17.

a. r

0

0,83%; 10,083sT

TT

b. r

0

15,47%; 11,547sT

TT

18. N

100m

k

19. 10cmA

20.

a. 10cmA

b. 10sin2 cmx t

21.

a. maxm

0, 4s

v

12

b.

4sin 10 cm2

m0,4cos 10

2 s

x t

v t

22. 10sin 10 cm2

y t

23. 0,5s4

Tt

24. 2,1,3

25. 3 1 22,1,3; v v v

26. 1 20,157s ; 0,314st t

27. maxN m

5 ; 1,58m s

k v

28.

a. max 10cml

b. s 1,57s2

t

29.

a. maxm

1s

v

b. s6

t

30. max 1,1ml

31.

a. 10cmA

b. maxm

0,5s

v

c. maxc

0, 25JE

d. 10sin 5 cm2

x t

32. 30cmA

33.

a. 40cmA

b. maxm

4s

v

c. maxc

8JE

34. max min35cm; 25cml l

13

35. maxm

2s

v

36.

a. i e20; 40N N

b. max max 2km m

37,71 ; 7,31h s

v a

c.

15sin 0,7 m2

m10,47cos 0,7

2 s

y t

v t

d. maxc

4500 JE

37. 5J ; 45Josc resp p

E E

38. 11s

39. 2sT

40. 2m

30 în suss

a

41.

a. 0g

L

b. 0

2L

Tg

c. 01

2

g

L

42. 2sT

43. 4sT

44. 0,4sT

45. s 0,628s5

T

46. N

' 60m

k

47. 4k

m

48. maxm

0, 4s

v

49. 1,5sT

50. 2min1

m gv

km

14

51. 1md

52. max 0,316rad

53.

1 21 2

1 2 1 2

1 2

2 ; 2m k km

T Tk k k k

T T

54. 2 s 1,41sT

55. max 0,25m 25cml

56. max 0,05rad

57. rez 112 cmA

58. rez 91cmA

59. rez 05cm; arctg 0,75A

60. rez 04

93,56 cm; arctg3

A

61. 2 2rez 1 2;2

A A A

62. 5sin 2 t+arcsin 0,6 cmy

63. b4

2 s; s81

T T

64. b8

4 s; s81

T T

65. 0,14A

66. 2 2 2x y A

67.

t 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

x 0 4 0 -4 0 4 0 -4 0

y 0 1 2 1 0 -1 - 2 -1 0