Probleme de matematică distractivă

Ludmila Novac

Dr. conf. univ.

29 martie 2020

Cuprins

• Probleme de geometrie distractivă

• Constante

• Şirul Fibonacci

• Triunghiul lui Pascal

• Fractali, triunghiul lui Sierpinski

• Pătrate magice

2,,

Numere egale 64=65=63

Găsiți unde este eroarea

Întrebare: Oare aceste suprafețe au arii egale?? De ce ?

Care este explicația?

Geometrie distractivă

Întrebare: Dacă linia frântă ADEFB o înlocuiește pe

AGHJEKLMB și continuam să o divizăm în segmente mai mici

până la infinit rezultă oare că lungimea liniei frânte dintr-un număr

infinit de segmente, construite după același principiu, va fi egala

cu lungimea segmentului AB? De ce ? Care este explicația?

Geometrie distractivă

Întrebare: Aceeași idee ca și în exemplul precedent, dar

operăm cu lungimea arcelor de circumferință AMB care este

substituită cu ANMOB, pe care o divizăm la infinit în arce de

circumferință cu raze mai mici. Oare lungimea ei va fi egală

cu Segmentul AB – diametrul circumferiței mari? De ce ?

Care este explicația?

• Suma magică 1+2+3+4+5+6+7+8=36,

3+6=9.

• Suma lui 9 cu orice alt număr ne va da în final acelaşi număr: 9+x=x (9+8=17; 1+7=8).

• Credeţi că este absolut întâmplător sau este magie? Sau există reguli și legităţi?

«Numărul magic 9»

Suma unghiurilor într-un poligon convex înscris în

circumferinţă este 9

• Triunghi: 60°+60°+60°=180°, suma cifrelor 1+8+0=9.

• În pătrat : 90°+90°+90°+90°=360°, 3+6+0=9.

• În pentagon: 5*108°=540°, 5+4+0=9,

• În hexagon: 6*120°=720°, 7+2+0=9, etc.

• Generalizați! Este adevărat?? • De ce ? Magie sau legitate ??

180*

90*

45*

22,5*

Magie sau legitate ???

Suma cifrelor unghiurilor este 9 pentru arcele 360, 180, 90, 45 grade, etc

1) 360° (grade în cerc): suma cifrelor este 3+6+0=9; 2) Pentru 360°/2 =180°: suma cifrelor este 1+8+0=9; 3) Pentru 180°/2=90° : suma cifrelor 9+0=9, 4) Pentru 90°/2=45°: 4+5=9, 5) 45°/2=22,5°: suma cifrelor 2+2+5=9, 6) 22,5° /2=11,25°: suma cifrelor: 1+1+2+5=9, … şi aşa mai departe.

Ceasul celor trei cifre de 9

http://gandirelogica.blogspot.com/2012/01/magia-matematicii-2.html

Ceasul celor trei cifre de 9

http://gandirelogica.blogspot.com/2012/01/magia-matematicii-2.html

Reprezentarea diferitelor numere

http://gandirelogica.blogspot.com/2011/12/reprezentarea-diferitelor-numere-cu.html

Magia Matematicii

• Vedeți și :

• Reprezentarea lui 6 • Numere digitale perfect invariante

• Inversul numerelor digitale perfect invariante

• Putere crescândă / Putere descrescândă

• Numere Armstrong

• http://gandirelogica.blogspot.com/2012/03/numere-narcisiste.html

• http://gandirelogica.blogspot.com/2012/01/magia-matematicii-2.html

• http://gandirelogica.blogspot.com/2012/05/magia-matematicii-3.html

Constanta

•L. Euler (1748)

d

C 2r

A

Constanta

• https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2a/Pi-unrolled-720.gif

L. Euler (1748)

constantă matematică a cărei valoare este raportul dintre circumferinţa şi

diametrul oricărui cerc într-un spaţiu euclidian

Constanta

Constanta

• Arhimede

• a determinat acurateţea acestei abordări comparând perimetrul poligonului

circumscris cu diametrul unui poligon regulat cu acelaşi număr de

laturi înscris în cerc. Folosind un poligon cu 96 de laturi, el a calculat că:

• F. Lindemman (1882)

3201.032

7

13

71

103

http://ro.math.wikia.com/wiki/Num%C4%83rul_pi

https://ro.wikipedia.org/wiki/Pi

Constanta (Pi)

32

?? ....14,3

https://ro.wikipedia.org/wiki/Pi

http://ro.math.wikia.com/wiki/Num%C4%83rul_pi

3.14159265358979323846264338327950288…

O mica istorie a determinării cat mai multor

zecimale a numărului Pi:

• 2000 I.Hr. – Egiptenii socoteau numărul pi ca fiind 16² / 9² sau 256/81, sau 3.16 cu o exactitate de o singura zecimala.

• 250 I. Hr. – Filozoful grec Arhimede a fost primul care a estimat cat mai riguros numărul pi. El a realizat ca amploarea acestuia poate fi limitata înscriind cercuri in poligoane regulate si calculând perimetrele externe si interne a acestor poligoane. Folosind 96 astfel de poligoane, el a demonstrat ca 3 10/71 < ∏ < 3 10/70, adică 3.14185 – o exactitate de 3 zecimale.

• Secolul al 16-lea – Ludolph van Ceulen din Germania a calculat numărul pi cu o exactitate de 35 de zecimale dar a murit înainte de a fi publicata descoperirea. Aşa ca, aceasta a fost inscripţionată pe piatra lui funerara.

• 1706 – Astronomul englez John Machin a descoperit o formula complicata pentru aflarea cat mai exacta a numărului pi, si a calculat cu exactitate primele 100 de zecimale.

• 1873 – Matematicianul englez William Shanks s-a chinuit timp de 15 ani pentru calcularea a 707 zecimale dar din pacate a făcut o greşeală la a 528-a zecimala, rezultând ca celelalte zecimale sa fie greşite la rândul lor.

• 2004 – Yasumasa Kanada din Tokyo a calculat cu ajutorul unui computer un număr de 1.24 trilioane de zecimale a numărului pi.

•http://gandirelogica.blogspot.com/2011/05/numarul-pi.html

Aproximarea numărului Pi

Rezultate obţinute în timp

Ziua numărului Pi

Ziua matematicii

https://ro.wikipedia.org/wiki/Pi

http://ro.math.wikia.com/wiki/Num%C4%83rul_pi

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B8_

(%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE)

În urmă cu 25 de ani ziua de

14 martie a fost declarată de către

Camera Reprezentanţilor din Statele

Unite drept "Ziua numărului Pi"

("The Pi Day"), deoarece această dată

din calendar se scrie "3/14". Ziua

numărului Pi este celebrată în special în

ţările anglo-saxone, dar a început de

curând să fie sărbătorită şi în alte state.

https://en.wikipedia.org/wiki/Pi

Пи (число)

A0,…A4,…A10

• A4: 210 x 297

• A5: 148 x 210

• A6: 105 x 148

• A7: 74 x 105

https://www.papersizes.org/a-paper-sizes.htm

??2

= 1.414213562373095 ....

aproximativ = lungimea / lățime

De ce ?? Cum explicați geometric??

Constanta

??2

Dimensiunea formatelor A0,…A4,…, A10

Size Width x Height (mm) Width x Height (in)

4A0 1682 x 2378 mm 66.2 x 93.6 in

2A0 1189 x 1682 mm 46.8 x 66.2 in

A0 841 x 1189 mm 33.1 x 46.8 in

A1 594 x 841 mm 23.4 x 33.1 in

A2 420 x 594 mm 16.5 x 23.4 in

A3 297 x 420 mm 11.7 x 16.5 in

A4 210 x 297 mm 8.3 x 11.7 in

A5 148 x 210 mm 5.8 x 8.3 in

A6 105 x 148 mm 4.1 x 5.8 in

A7 74 x 105 mm 2.9 x 4.1 in

A8 52 x 74 mm 2.0 x 2.9 in

A9 37 x 52 mm 1.5 x 2.0 in

A10 26 x 37 mm 1.0 x 1.5 in

https://www.papersizes.org/a-paper-sizes.htm

Constanta

Secţiunea de aur

Secţiunea de aur

Secţiunea de aur

??

....61,1

a

ba

b

a

,2

51,012

Constanta

...61803398,0/1

...61803398,2

...61803398,1

2

??

Aproximarea Constantei

...619047,121

34

...61764,134

55

...6178775,189

144

)18(618,155

89

https://ro.wikipedia.org/wiki/Sec%C8%9Biunea_de_aur

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,

233, 377, ...

Este demn de menţionat faptul că

prima însumare

(Fibonacci) progresia generează

apropierea

raportului de aur (PHI):

3 / 2 = 1.5000

5 / 3 = 1.666 ...

8 / 5 = 1.6000

13 / 8 = 1.6250

21/13 = 1.6154 ...

34/21 = 1.6190 ...

55/34 = 1.6176 ...

89/55 = 1.61818 ...

144 / 89 = 1.618 ....

http://secretele-lui-gogu.blogspot.com/2012/02/numere-magice.html

Aproximarea Constantei Fi

https://ro.wikipedia.org/wiki/Sec%C8%9Biunea_de_aur

Aproximarea Constantei Pi prin Fi

http://pi-by-phi-quadrature.blogspot.com/

Constanta Fi

• În literatura matematică de specialitate secţiunea de aur mai are ca simbol şi litera grecească τ (tau), luată de la cuvântul grecesc τομη, to-mi, care înseamnă "tăietură" sau "secţiune".

• Abia la începutul secolului XX matematicianul american Mark Barr i-a dat raportului numele de Φ (phi), provenind de la prima literă din numele celebrului sculptor Phidias, care a trăit aproximativ între 480-432 î.Hr. Cele mai mari realizări ale lui Phidias au fost statuile "Athena Partenos" din Atena şi Statuia lui Zeus din Olympia.

Constanta Fi

• Secţiunea de aur • https://ro.wikipedia.org/wiki/Sec%C8%9Biunea_de_aur

• Golden ratio • https://en.wikipedia.org/wiki/Golden_ratio

• Золотое сечение • https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D1%82%D0%B

E%D0%B5_%D1%81%D0%B5%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5

Leonardo Fibonacci. Şirul Fibonacci

Leonardo Pisano Bogollo, (c. 1170 - c. 1250) cunoscut şi sub numele

de Leonardo din Pisa, Leonardo Pisano, Leonardo Bonacci, Leonardo

Fibonacci, sau pur şi simplu Fibonacci, a fost un matematician italian

considerat drept „cel mai talentat matematician din Occidentul Evului Mediu”

Şirul Fibonacci

De asemenea, raportul dintre un număr al şirului şi

cel aflat cu două poziţii după el este aproximativ

0,382. De exemplu: 55/144 ≈ 0,382.

https://ro.wikipedia.org/wiki/Numerele_Fibonacci

https://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_number

Reprezentarea geometrica a Şirul Fibonacci

Reprezentarea geometrica a Şirul Fibonacci

Aplicaţie a constantei Fi • Un model pentru structura floretelor din pălăria unei floarea-soarelui a fost

propus de Helmut Vogel [1979]. Aceasta are forma:

unde n este numărul indicelui floretului și c este un factor de scalare

constant; floretele stau astfel pe spirala lui Fermat. Unghiul de divergență,

aproximativ 137,51 °, este unghiul de aur, împărțind cercul în raportul de

aur. Deoarece acest raport este irațional, niciun floret nu are un vecin la

exact același unghi față de centru, astfel încât floriile acoperă eficient

suprafața. https://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_number

Şirul lui Fibonacci

https://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_number#/media/File:SunflowerModel.svg

Şirul lui Fibonacci

în natură

https://www.youtube.com/watch?v=Y8ivF5GqzKo https://matematicasiteologie.wordpress.com/2012/09/19/sirul-lui-fibonacci-una-din-cheile-de-acces-la-

codul-sursa-al-creatiei-lui-dumnezeu/

https://www.pinterest.com/pin/42995371421195153/

https://livelearnevolve.com/nature-by-numbers

https://www.slideshare.net/evacantatormac/aplicatii-ale-matematicii

https://thraxusares.wordpre

ss.com/2015/02/18/numerel

e-lui-fibonacci-si-proportia-

de-aur/

https://www.youtube.com/watch

?v=SjSHVDfXHQ4&feature=em

b_rel_end

Triunghiul lui Pascal

http://gandirelogica.blogspot.com/2012/01/triunghiul-lui-pascal.htm

Triunghiul lui Pascal şi

Şirul Fibonacci

Numerele Fibonacci sunt sumele diagonalelor "superficiale“

(prezentate în roșu) ale triunghiului Pascal.

Triunghiul lui Pascal şi

aplicaţii

http://gandirelogica.blogspot.com/2012/01/triunghiul-lui-pascal.html

Triunghiul lui Pascal şi

Şirul Fibonacci

http://gandirelogica.blogspot.com/2012/01/triunghiul-lui-pascal.html

Simetria Triunghiul lui Pascal

http://gandirelogica.blogspot.com/2012/01/triunghiul-lui-pascal.html

Triunghiul lui Pascal

Începeţi cu orice „1” din dreapta

sau din stânga marginilor

triunghiului şi mergeţi pe

diagonală oricât vreţi. Atunci

când vă opriţi întoarceţi-vă cu

90 de grade iar acel număr va fi

egal cu suma tuturor numerelor

de pe diagonala cu care aţi

început.

http://gandirelogica.blogspot.com/2012/01/triunghiul-lui-pascal.html

Triunghiul lui Pascal si

Puncte într-un cerc

După cum putea vedea în figura de mai jos,

fără prima diagonală, mai putem regăsi

numerele ce compun fiecare rând din triunghiul

lui Pascal după punctele înscrise într-un cerc,

care formează diferite figuri geometrice.

Triunghiul lui Pascal şi

Triunghiul lui Sierpinski

•https://en.wikipedia.org/wiki/Sierpinski_triangle ---

http://gandirelogica.blogspot.com/2012/01/triunghiul-lui-pascal.html

Triunghiul lui Sierpinski

• https://en.wikipedia.org/wiki/Sierpinski_triangle

• https://en.wikipedia.org/wiki/Fractal

Pătratele magice

666 şi Seal magic al Soarelui La "Sigilii of the Planets"

popular înainte de vremea

lui Hristos în conformitate

cu Budge (Amulete şi

superstiţii), sunt

interesante pentru că

sigiliul care

conţine"numărul Ducat al

Soarelui" conţine numărul

foarte sacru 36 prevăzute

într-un 6 × 6pătrat

cu numerele de 1 la

36, astfel aranjate ca

acestea să

redea adăugat la fel în

toate direcţiile, cu totalul

de focă întregului 666.

http://secretele-lui-gogu.blogspot.com/2012/02/numere-magice.html

Pătratele magice în antichitate

• În China antică, se cunoşteau pătratele magice încă din Mileniul al III-lea î.Hr., după cum atestăLo Shu. După legendă, într-o bună zi se devărsă un râu; oamenii, înfricoşaţi, încercară să aducă o ofrandă zeilor râului Lo (unul din cele devărsate) pentru a-i calma furia. …

• Aşa cum reia Cornelius Agrippa în Despre filozofia ocultă III (1533), pătratul de ordinul trei(15) era consacrat zeuluiSaturn, cel de patru(34) lui Jupiter, cel de cinci(65) lui Marte, cel de şase(111) Soare, cel de şapte(175) luiVenus, cel de opt(260) lui Mercur şi cel de nouă(369)Lunei; o atribuţie similară se poate găsi în astrologia hindusă.

https://ro.wikipedia.org/wiki/P%C4%83trat_magic

Pătratele magice

https://ro.wikipedia.org/wiki/Matematic%C4%83_recreativ%C4%83

Pătratele magice

Pătratul magic al lui Durer

https://istoriesinumismatica.wordpress.com/2014/02/05/patratul-magic-al-lui-durer/

Pătratul magic al lui Albrecht Dürer,

sculptat în opera sa Melancolía este

considerat primul din artele europene.

În pătratul de ordinea patru se obţine

constanta magică (34) în rânduri,

coloane, diagonale principale, şi în

cele patru submatricii de ordinul (2) în

care se poate împărţi pătratul,

adăugând numerele din colţuri, cele

patru numere centrale, numerele

centrale ale primelor şi ultimelor

rânduri (sau coloane) etc. şi cifrele

centrale ale ultimului rând 1514 fiind

anul creaţiei operei.

Melancolia, gravură de

Albrecht Dürer (1514)

https://ro.wikipedia.org/wiki/P%C4%83trat_magic https://istoriesinumismatica.wordpress.com/2014/02/05/patratul-magic-al-lui-durer/

Pătratul magic de la Sagrada Familia Faţada Pasiunii a bisericii Sagrada Família în Barcelona, concepută de sculptorul Josep

Subirachs arată un pătrat magic de ordinea 4:

https://ro.wikipedia.org/wiki/P%C4%83trat_magic

Pătratele magice

• http://asapteadimensiune.ro/patrate-magice.html

• http://varena.ro/problema/magic +exemplu

• https://istoriesinumismatica.wordpress.com/2014/02/05/patratul-magic-al-lui-durer/

• https://www.astrotext.ro/2012/07/iantrele-patrate-magice/

• http://totusipovestile.blogspot.com/2013/04/patrate-magice-2.html

• https://ro.wikipedia.org/wiki/Matematic%C4%83_recreativ%C4%83

• https://ro.wikipedia.org/wiki/P%C4%83trat_magic

• https://www.setthings.com/ro/probleme-cu-patrate-magice/ -tipuri

• http://www.qreferat.com/referate/matematica/Patratele-magice345.php

• http://secretele-lui-gogu.blogspot.com/2012/02/numere-magice.html

Ce sint Fractalii ? • Colocvial, un fractal este o figură geometrică fragmentată sau frântă

care poate fi divizată în părți, astfel încât fiecare dintre acestea să

fie (cel puțin aproximativ) o copie miniaturală a întregului".

• Termenul a fost introdus de Benoît Mandelbrot în 1975 și este

derivat din latinescul fractus, însemnând "spart" sau "fracturat".

• Fractalul, ca obiect geometric, are în general următoarele

caracteristici:

• Are o structură fină la scări arbitrar de mici.

• Este prea neregulat pentru a fi descris în limbaj geometric euclidian

tradițional.

• Este autosimilar (măcar aproximativ sau stohastic).

• Are dimensiunea Hausdorff mai mare decât dimensiunea topologică

(deși această cerință nu este îndeplinită de curbele Hilbert).

• Are o definiție simplă și recursivă.

Granița mulțimii lui Mandelbrot

este un exemplu faimos de fractal.

Fractali Covorul Sierpinski (la nivelul 6),

• un fractal cu o dimensiune topologică de 1 și o dimensiune Hausdorff de

1.893 actali

•https://en.wikipedia.org/wiki/Fractal

Triunghiul lui Sierpinski

Un fractal generat de o regulă de

subdiviziune finită pentru o legătură

alternativă

Mulțimea Julia, un fractal relatat la

mulțimea Mandelbrot

Fractal recursiv

Cristalele de gheaţă care se produc în mod natural

pe sticla rece formând modele fractale

Fractali renumiți

• "multimile lui Cantor„

• "triunchiul lui Sierpinski"

• "covorul lui Sierpinski„

• "buretele lui Menger"

• "multimea Julia„

• "curba lui Peano „

• "curba dragonului„

• "fraclalul lui Lyapunov„

• "fractalul lui Albert Klein„

• " Fulgul de zăpadă a lui Koch„

• https://sites.google.com/site/teoriahaosului10/exemple-de-fractali

Despre fractali și exemple

• https://ro.wikipedia.org/wiki/Fractal

• https://en.wikipedia.org/wiki/Fractal

• https://sites.google.com/site/marianputanu

/3-fractali/exemple-de-fractali

• https://sites.google.com/site/teoriahaosului

10/exemple-de-fractali

• Matematica este o magie!

• Intrați în lumea matematicii și

veți vedea cât este de

frumoasă!