presstern memorator matematica de trecere

Upload: angi-roni

Post on 07-Aug-2018

382 views

Category:

Documents


8 download

TRANSCRIPT

  • 8/20/2019 Presstern Memorator Matematica de Trecere

    1/16

  • 8/20/2019 Presstern Memorator Matematica de Trecere

    2/16

    Cuprins

    1. Operaţii cu numere reale .................................... 11.1. Radicali, puteri .............................................................................. 11.1.1. Puteri .......................................................................................... 1

    1.1.2. Radicali ...................................................................................... 1

    1.2. Identităţi ........................................................................................ 2

    1.3. Inegalităţi ...................................................................................... 3

    2. Funcţii .................................................................. 62.1. Noţiunea de funcţii ....................................................................... 6

    2.2. Funcţii injective, surjective, bijective ........................................... 62.3. Compunerea funcţiilor .................................................................. 7

    2.4. Funcţia inversă .............................................................................. 8

    3. Ecuaţii şi inecuaţii de gradul întâi ...................... 83.1. Ecuaţii de gradul întâi ................................................................... 8

    3.2. Inecua¸tii de gradul întâi ............................................................... 9

    3.3. Modul unui număr real ............................................................... 10

    4. Numere complexe .............................................. 124.1. Forma algebrică .......................................................................... 12

    4.2. Puterile numărului i .................................................................... 13

    4.3. Conjugatul lui z .......................................................................... 13

    4.4. Modulul unui număr complex .................................................... 14

    4.5. Forma trigonometrică ................................................................. 15

    4.6. Formula lui Moivre ..................................................................... 16

    4.7. Forma exponenţială .................................................................... 174.8. Ecuaţia binomă ........................................................................... 18

    5. Progresii ............................................................. 185.1. Progresiile aritmetice .................................................................. 18

    5.2. Progresiile geometrice ................................................................ 19

    6. Logaritmi ........................................................... 206.1. Ecuaţii şi inecuaţii logaritmice fundamentale ............................ 22

    6.2. Ecuaţii şi inecuaţii exponenţiale fundamentale .......................... 22

  • 8/20/2019 Presstern Memorator Matematica de Trecere

    3/16

    7. Geometrie ........................................................... 237.1. Vectori ........................................................................................ 23

    7.2. Adunarea vectorilor .................................................................... 25

    7.3. Teoreme cu vectori ..................................................................... 30

    7.4. Geometrie analitică în plan şi în spaţiu ...................................... 34

    7.4.1. Plan determinat de un punctşi doi vectori necolinari paraleli cu planul . 34

    7.4.2. Plan determinat de trei puncte necolinare ............................... 36

    7.4.3. Ecuaţia planului prin tăieturi ................................................... 37

    7.4.4. Ecuaţia generală a planului ...................................................... 37

    7.4.5. Poziţia planelor ........................................................................ 38

    7.5. Ecuaţia dreptei ............................................................................ 39

    7.5.1. Ecuaţia dreptei determinat de un punctşi de un vector paralel cu dreapta .. 39

    7.5.2. Ecuaţia dreptei determinat de două puncte diferite ................. 41

    7.5.3. Ecuaţia generală a dreptei ........................................................ 41

    7.5.4. Ecuaţia dreptei în plan ............................................................. 42

    7.5.5. Ecuaţia dreptei determinat de două puncte diferite ................. 42

    7.5.6. Unghul determinat de două drepte .......................................... 43

    7.6. Distanţa la un punct la o dreaptă (în plan) .................................. 44

    7.6.1. Ecuaţia bisectoarei (în plan) .................................................... 44

    7.7. Distanţa la un punct la o dreaptă (în spaţiu) ............................... 45

    7.8. Cercul .......................................................................................... 467.9. Elipsa .......................................................................................... 46

    7.10. Hiperbola .................................................................................. 48

    7.11. Parabola .................................................................................... 49

    7.12. Alte aplicaţii cu vectori ............................................................ 50

    8. Metoda inducţiei matematice ........................... 518.1. Axioma de recurenţă a lui Peano ................................................ 51

    8.2. Metoda unducţiei matematice ..................................................... 51

    8.3. Variantă a metodei inducţiei matematice ................................... 52

    9. Analiză combinatorie ........................................ 529.1. Permutări..................................................................................... 52

    9.2. Aranjamente ................................................................................ 52

    9.3. Combinări ................................................................................... 53

    9.4. Binomul lui Newton ................................................................... 54

    9.5. Suma puterilor asemenea ale primelor n numere naturale ......... 55

  • 8/20/2019 Presstern Memorator Matematica de Trecere

    4/16

    10. Polinoame ......................................................... 5610.1. Forma algebrică a unui polinom ............................................... 56

    10.2. Divizibilitatea polinoamelor ..................................................... 56

    10.3. R ăd ăcinile polinoamelor ........................................................... 57

    10.4. Ecuaţii algebrice ....................................................................... 58

    10.5. Polinoame cu coeficienţi din R, Q, Z ....................................... 58

    11. Permutări, matrici, determinanţi ................... 5911.1. Permutări .................................................................................. 59

    11.2. Matrici....................................................................................... 60

    11.3. Determinanţi ............................................................................. 62

    11.4. Inversa unei matrici .................................................................. 63

    11.4.1. Tr(A) ...................................................................................... 63

    11.4.2. Determinantul şi rangul ......................................................... 64

    12. Sisteme liniare .................................................. 6612.1. Notaţii ....................................................................................... 66

    12.2. Compatibilitatea ........................................................................ 67

    12.3. Sisteme omogene (bi=0) ........................................................... 67

    13. Trigonometrie .................................................. 68

    13.1. Aplicaţii ale trigonometriei în geometrie ................................. 71

    14. Analiză matematică ......................................... 7414.1. Recurenţe .................................................................................. 74

    14.1.1. Recurenţe de ordin 1 .............................................................. 74

    14.1.2. Recurenţe de ordin al doilea .................................................. 74

    14.2. Limita de şiruri ......................................................................... 74

    14.2.1. Limite generale, criterii de convergenţă ................................ 76

    14.3. Limite de funcţii ....................................................................... 8014.3.1. Operaţii cu limite de funcţii ................................................... 80

    14.3.2. Limite tip ............................................................................... 81

    14.4. Continuitatea funcţiilor ............................................................. 83

    14.4.1. Teoreme pentru continuitatea funcţiilor ................................ 84

    14.5. Funcţii derivabile ...................................................................... 86

    14.5.1. Definiţia derivatei într-un punct ............................................ 86

    14.5.2. Reguli de derivare .................................................................. 86

    14.5.3. Derivatele funcţiilor elementare ............................................ 87

  • 8/20/2019 Presstern Memorator Matematica de Trecere

    5/16

    14.5.4. Derivatele funcţiilor compuse ............................................... 88

    14.5.5. Derivatele de ordin superior ale unor funcţii elementare ...... 90

    14.5.6. Proprietăţi ale funcţiilor derivabile ........................................ 91

    14.6. Integrale .................................................................................... 91

    14.6.1. Primitive ................................................................................ 91

    15. Primitivele funcţiilor ....................................... 9215.1. Reguli pentru integrarea generală a funcţiilor .......................... 92

    15.2. Primitivele funcţiilor raţionale ................................................. 93

    15.3. Integrale cu r=(x2+a2)1/2 ............................................................ 96

    15.4. Integrale cu s=(x2 –a2)1/2 ............................................................ 99

    15.5. Integrale cu t=(a2 –x2)1/2 .......................................................... 100

    15.6. Integrale cu R 1/2=(ax2+bx+c)1/2 ............................................... 101

    15.7. Integrale de funcţii trigonometrice ce conţin numai sin ......... 10315.8. Integrale cu funcţii trigonometrice ce conţin numai cos ........ 105

    15.9. Integrale cu funcţii trigonometrice ce conţin numai tan ........ 107

    15.10. Integrale cu funcţii trigonometrice ce conţin atât sin cât şi cos ... 107

    15.11. Funcţii logaritmice ................................................................ 109

    15.11.1. Proprietăţi ale integralei definite ....................................... 110

    15.11.2. Teorema Fundamentală ..................................................... 112

    15.11.3. Inegalităţi ........................................................................... 113

    15.12. Alte teoreme ......................................................................... 11615.12.1. Funcţii primitivabile .......................................................... 116

    15.12.2. Funcţii integrabile .............................................................. 117

    15.12.3. Arii ..................................................................................... 117

    16. Structuri algebrice ......................................... 11816.1. Grupul ..................................................................................... 118

    16.1.1. Proprietăţi şi teoreme ........................................................... 119

    16.2. Monoid .................................................................................... 12116.3. Inel .......................................................................................... 122

    16.4. Corpuri .................................................................................... 122

    17. Spaţii vectoriale ............................................. 124

  • 8/20/2019 Presstern Memorator Matematica de Trecere

    6/16

    1 Operaţii cu numere reale

    1.1 Radicali,Puteri1.1.1 Puteri

    1.   am·n =  am · an2.   am · bm = (a · b)m3.   am :  an =  am−n

    4.   am

    :  b

    m

    = (a  :  b)

    m

    5.   a−m =  1

    am

    6.   (am)n =  amn.

    Puterile numerelor reale se extiind atât pentru exponenţiraţionali pozitivi sau negativi, cât şi pentru puterile realefiind definite cu ajutorul şirurilor de puteri raţionale.

    Aceste puteri au proprietǎţi identice cu exponenţi nu-mere naturale.

    1.1.2 Radicali

    1.   n√ 

    a  =  a1n , a >  0;

    2.   n 

    1a

    =   1n√ a =  a−  1m ;

    3.   (  n√ 

    a)n

    =  a;

    4.   n√ 

    a ·   n√ 

    b =  n√ 

    ab;

    5.   (  n 

    1

    a)n =

      1

    a;

    6.   n√ 

    a

    ·  n√ 

    b

    ·  n√ 

    c =  n√ 

    abc;

    7.   n√ 

    a  :  n√ 

    b =   n 

    a

    b;

    1

  • 8/20/2019 Presstern Memorator Matematica de Trecere

    7/16

    8.   m√ 

    a ·   n√ a  =   nm√ 

    an+m;

    9.   m√ 

    a  :   n√ 

    a  =  nm√ 

    an−m;10.   n

    √ anm =  a

    m;

    11.   m√ an =  an

    m ;12.   mn

    √ amp =

      n√ 

    ap;

    13.   m√ 

    ap ·   n√ 

    bq =  nm√ 

    apn · bqm;14.   m

     n√ 

    a  =   nm√ 

    a;

    15.√ 

    a2 = |a|;16.   2n+1

    √ 

    −a  =

    −2n+1

    √ a;

    17. 

    a ±√ b = 

    a +  c

    2  ±

     a − c

    2  ,

    c2

    =  a2 − b;

    1.2 Identit ǎţi

    Oricare ar fi  x, y, z, t, a, b, c, d ∈ R  şi   n ∈ N  avem:1.   a2 − b2 = (a − b)(a +  b)2.   (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax − by)2 + (ay + bx)23.   ab − b3 = (a − b)(a2 + ab  +  b2)4.   a3 + b3 = (a +  b)(a2 − ab +  b2)

    5.   a3

    +b

    3

    +c

    3

    −3abc  = (a+b+c)(a2

    +b

    2

    +c

    2

    −ab−bc−ca)6.   ab + b3 + c3 = (a +  b +  c)3 − 3(a +  b)(b +  c)(c +  a)7.   a4 − b4 = (a − b)(a +  b)(a2 + b2)8.   a4 + b4 = (a2 + b2 − ab

    √ 2)(a

    2+ b

    2+ ab

    √ 2)

    9.   a5 − b5 = (a +  b)(a4 + a3b +  a2b2 + ab3 + b4)10.   a6 + b6 = (a3 − 2ab2)2 + (b3 − 2a2b)2

    11.  an

    −bn

    = (a−

    b)(

    an−1

    +an−2

    b+

    ...+

    abn−2

    +bn−1

    )

    2

  • 8/20/2019 Presstern Memorator Matematica de Trecere

    8/16

    12.   a2n+1 + b2n+1 =(a +  b)(a

    2n − a2n−1b +  ... − ab2n−1 + b2n)

    13.   (a +  b  +  c)2 =  a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac

    14. nj=1

    a2

    j

    nj=1

    x2

    j

    − nj=1

    ajxj

    2

    =

    1≤i

  • 8/20/2019 Presstern Memorator Matematica de Trecere

    9/16

    6.   (a +  b  +  c)

    1

    a+

      1

    b+

      1

    c

    ≥ 9,

    a, b, c > 0;7.   a2 + b2 + c2

    ≥ab +  bc +  ca;

    8.   a3 + b3 + c3 ≥ 3abc;9.

      a1

    a2+

      a2

    a3+ ...  +

      an−1

    an+

      an

    a1≥ n;

    10.   (x2 + y2)(a2 + b2) ≥ (ax +  by)2;11. (Bernoulli) Pentru orice   x ∈ [−1,∞)  şi   α ∈ Q∗ \ {1}

    avem:   (1 + x)α ≤ 1 + αx, dacǎ  α ∈ (0, 1) şi  (1 + x)α ≥1 + α · x  dacǎ   α ∈ (−∞, 0) ∪ (1, +∞).

    12. Pentru orice   ak ∈ R, k  = 1, n  şibk ∈ {−1, 1}  avem cǎn

    k=1

    ak · bk ≤

    nk=1

    |ak|.

    13. Dacǎ   un   =

    1 +  1

    n

    n. Atunci şirul   un   este strict

    descrescǎtor, adicǎ:   un   > un+1.

    14. Pentru orice   ak ≥ 0  numere reale avem cǎ:a1  + a2  + ...  +  an

    n

    ≥   n√ a1a2 · ... · an ≥n

    1a1

    +   1a2 + ... +  1an

    .

    Inegalitatea de mai sus, este numitǎ, inegalitatea medi-ilor. Egalitatea se obţine pentru   a1  =  ... =  an.

    15.  a1  + a2  + ... +  an

    n≤

     a2

    1  + a2

    2  + ... +  a2n

    n

    4

  • 8/20/2019 Presstern Memorator Matematica de Trecere

    10/16

    16. (Cauchy-Buniakovsky-Schwarz) Dacǎ   ak, bk ∈ Ratunci

        n

    k=1

    a2

    k ·  n

    k=1

    b2

    k ≥  nk=1

    akbk

    2

    17. (Cebisev) Pentru orice n ∈ N∗ şi ∀ak, bk ∈ R,  k  = 1, nesetén

      1n

    nk=1

    ak · 1n

    nk=1

    bk ≤

    1

    n

    nk=1

    akbk

    .

    Egalitatea se obţine dacǎ   ai  =  aj   şi   bi  =  bj   i =  j.18. (Huygens) Pentru orice n

    ∈N∗

    \{1}

    şi  xk ∈R+  avem

    cǎn

    k=1

    (1 + xk) ≥ (1 +   n√ x1...xn)n

    19. (Kantorovici) Fie  [a, b] ⊂ R∗+  un interval, atunci dacǎxk ∈ [a, b]   k  = 1, n  avem

      nk=1

    tkxk

      nk=1

    tk

    xk

    (a +  b)2

    4ab

      nk=1

    tk

    2.

    5

  • 8/20/2019 Presstern Memorator Matematica de Trecere

    11/16

    7.5.2 Ecuaţia dreptei determinat de dou ǎ

    puncte diferite

    Similar, folosim ecuatţia de mai sus, pentru puntul   M 1,şi pentru vectorul    M 1M 2:   M 1M 2   :

    x − x1x2 − x1

    =  y − y1y2 − y1

    =  z − z1z2 − z1

    .   (23)

    7.5.3 Ecuatţia generel ǎ a dreptei

    Teoremǎ 7.6.   Sistemul:

      A1x +  B1y + C 1z + D1  = 0

    A2x +  B2y + C 2z + D2  = 0  (24)

    unde

        A1   B1   C 1   D1A2   B2   C 2   D2

    = 2.reprezint ̌  a o dreapt ̌  a.

    41

  • 8/20/2019 Presstern Memorator Matematica de Trecere

    12/16

    7.5.4 Ecuaţia dreptei în plan

    Similar ca şi în spacţiu. Fie   e  o drepatǎ în plan atunciecuatţia canonicǎ este:

    x − x0 p

    =  y − y0

    q(25)

    Dacǎ   e  nu este paralel cu axa   Oy  atunci (adicǎ   p =0), atunci pentru orice vector de direcţie avem cǎ

      q

     p=  m

    este constantǎ. Numǎrul   m   este numitǎ panta dreptei.Avem cǎ

    m =   tg α,   (26)

    unde  α este unghiul determinat de dreapta  e cu axa  Ox.În acest caz dacǎ dreapta trece prin punctul

    A(x0, y0)  şi are panta   m  atunci ecuaţia dreptei este:

    y

    −y0  =  m(x

    −x0).   (27)

    Observaţie 7.3.   Douǎ drepte sunt parelele dacǎ şi numai dacǎ pantadreptelor sunt egale.

    Observaţie 7.4.   Fie e1, e2 douǎ drepte perpendiculare. Fie   d1( p1, q1)

     şi    d2( p2, q2)  vectorii de direcţie. Evident cˇ a    d1  ⊥    d2 , deci v1 ·v2   = 0. Cea ce înseamnˇ a  p1 p2   +  q1q2   = 0. Presupunem cˇ adreptele nu sunt paralele cu axa  Oy atunci

    e1 ⊥ e2 ⇐⇒ m1 · m2  = −1.   (28)

    7.5.5 Ecuaţia dreptei determinat de dou ǎ

    puncte diferite

    Fie M 1(x1, y1) şi M 2(x2, y2) douǎ puncte în plan. Atunciecuaţia dreptei care trece prin punctele   M 1   şi   M 2   are

    42

  • 8/20/2019 Presstern Memorator Matematica de Trecere

    13/16

    vectorul de direcţie−−−−→M 1M 2(x2−x1, y2−y1), deci Ecuaţia

    canonicǎ a dreaptei   M 1M 2  este

    x

    −x1

    x2 − x1 =  y

    −y1

    y2 − y1 ,   (29)sau:   x y   1x1   y1   1

    x2   y2   1

    = 0.   (30)

    7.5.6 Unghul determinat de dou ǎ drepte

    Fie   d1   şi   d2  douǎ drepte. Atunci

    m(d1, d2) =

    arccos d1 ·   d2

    || d1

    | | · | | d2

    ||

    ,  d1 ·   d2 ≥ 0

    π − arccos  d1 ·   d2|| d1| | · | | d2||

    ,   altfel.

    Dacǎ luǎm în considerare cǎ

    π − arccos x = arccos(−x),

    pentru orice   x

    ∈[

    −1, 1] atunci avem cǎ:

    m(d1, d2) = arccos  | d1 ·   d2||| d1| | · | | d2||

    ,   (31)

    sau:m(d1, d2) =

    arccos   | p1 p2  + q1q2  + r1r2

    |  p21  + q

    21  + r

    21 · 

     p22  + q

    22  + r

    22

    .

    43

  • 8/20/2019 Presstern Memorator Matematica de Trecere

    14/16

    13 Trigonometrie

    1.   sin2 x + cos2 x = 1;

    2.   1 + tan2 x  =  1

    cos2 x;

    3.   1 + cot2 x  =  1

    sin2 x;

    4.   sin x = cos

    π

    2 − x

    ;

    5.   cos x = sinπ

    2 − x;6.   tan x  = cot

    π

    2 − x

    ;

    7.   cot x = tan

    π

    2 − x

    ;

    8.   tan x > x >  sin x, ∀x ∈ 0,π

    2;9.   cos(x +  y) =

    cos(x) cos(y) − sin(x) sin(y);

    10.   sin(x +  y) =

    sin(x) cos(y) + sin(y) cos(x);

    11.   tan(x +  y) =  tan(x) + tan(y)

    1 − tan(x) tan(y) ;

    12.   cot(x +  y) =  cot(x) cot(y) − 1

    cot(x) + cot(y)  ;

    13.   sin(x − y) =

    sin(x) cos(y) − sin(y) cos(x);

    68

  • 8/20/2019 Presstern Memorator Matematica de Trecere

    15/16

    14.   cos(x − y) =

    cos(x) · cos(y) + sin(x) · sin(y);

    15.   tan(x − y) =   tan(x) − tan(y)1 + tan(x) tan(y)

    ;

    16.   cot(x − y) =   cot(x) cot(y) + 1cot(y) − cot(y)   ;

    17.   sin(2x) = 2 sin(x) cos(x);

    18.   cos(2x) = cos2 x − sin2 x =

    1 − 2sin2 x  = 2 cos2 x − 1;

    19.   sin 3x = 3 sin x − 4sin3 x;20.   cos(3x) = 4 cos3(x) − 3 cos(x);

    21.   cos

    x

    2

    =

     1 + cos(x)

    2  ;

    22.   sin

    x

    2

    =

     1 − cos(x)

    2  ;

    23.   tan

    x

    2

    =

       1 − cos x1 + cos(x)

    ;

    24.   cotx

    2 =  

     1 + cos x

    1 − cos(x

    )

    ;

    25.   sin( p) + sin(q) =

    2sin

     p +  q

    2

    · cos

     p − q

    2

    ;

    26.   sin(x) · cos(y) =

    12

    [sin(x +  y) + sin(x − y)];

    69

  • 8/20/2019 Presstern Memorator Matematica de Trecere

    16/16

    27.   sin( p) − sin(q) =

    2sin

     p − q

    2 · cos

     p +  q

    2 ;

    28.   cos( p) + cos(q) =

    2 cos

     p +  q

    2

    · cos

     p − q

    2

    ;

    29.   cos(x) cos(y) =

    1

    2 [cos(x +  y) + cos(x − y)];30.   cos( p) − cos(q) =

    −2 sin

     p − q2

    · sin

     p +  q

    2

    ;

    31.   sin(x) sin(y) =

    1

    2[cos(x − y) − cos(x +  y)];

    32.   tan( p) ± tan(q) =   sin( p ± q)cos( p) · cos(q) ;

    33.   cot( p) + cot(q) =  sin( p +  q)

    sin( p)sin q;

    34.   sin(x) = 2 tan(x2 )

    1 + tan2(x2

    );

    35.   cos(x) =1 − tan2(x

    2)

    1 + tan2(x2

    );

    36.   tan(x) =2 tan(x

    2)

    1 − tan2(x2

    );

    37.   tan( x2

    ) =   sin(x)1 + cos(x)

      =   1 − cos(x)sin(x)

      ;

    70