Cuprins

1. Operaii cu numere reale .................................... 1 1.1. Radicali, puteri .............................................................................. 1 1.1.1. Puteri .......................................................................................... 1 1.1.2. Radicali ...................................................................................... 1 1.2. Identiti ........................................................................................ 2 1.3. Inegaliti ...................................................................................... 3 2. Funcii .................................................................. 6 2.1. Noiunea de funcii ....................................................................... 6 2.2. Funcii injective, surjective, bijective ........................................... 6 2.3. Compunerea funciilor .................................................................. 7 2.4. Funcia invers .............................................................................. 8 3. Ecuaii i inecuaii de gradul nti ...................... 8 3.1. Ecuaii de gradul nti ................................................................... 8 3.2. Inecuatii de gradul nti ............................................................... 9 3.3. Modul unui numr real ............................................................... 10 4. Numere complexe .............................................. 12 4.1. Forma algebric .......................................................................... 12 4.2. Puterile numrului i .................................................................... 13 4.3. Conjugatul lui z .......................................................................... 13 4.4. Modulul unui numr complex .................................................... 14 4.5. Forma trigonometric ................................................................. 15 4.6. Formula lui Moivre ..................................................................... 16 4.7. Forma exponenial .................................................................... 17 4.8. Ecuaia binom ........................................................................... 18 5. Progresii ............................................................. 18 5.1. Progresiile aritmetice .................................................................. 18 5.2. Progresiile geometrice ................................................................ 19

6. Logaritmi ........................................................... 20 6.1. Ecuaii i inecuaii logaritmice fundamentale ............................ 22 6.2. Ecuaii i inecuaii exponeniale fundamentale .......................... 22

7. Geometrie ........................................................... 23 7.1. Vectori ........................................................................................ 23 7.2. Adunarea vectorilor .................................................................... 25 7.3. Teoreme cu vectori ..................................................................... 30 7.4. Geometrie analitic n plan i n spaiu ...................................... 34 7.4.1. Plan determinat de un punct i doi vectori necolinari paraleli cu planul . 34 7.4.2. Plan determinat de trei puncte necolinare ............................... 36 7.4.3. Ecuaia planului prin tieturi ................................................... 37 7.4.4. Ecuaia general a planului ...................................................... 37 7.4.5. Poziia planelor ........................................................................ 38 7.5. Ecuaia dreptei ............................................................................ 39 7.5.1. Ecuaia dreptei determinat de un punct i de un vector paralel cu dreapta .. 39 7.5.2. Ecuaia dreptei determinat de dou puncte diferite ................. 41 7.5.3. Ecuaia general a dreptei ........................................................ 41 7.5.4. Ecuaia dreptei n plan ............................................................. 42 7.5.5. Ecuaia dreptei determinat de dou puncte diferite ................. 42 7.5.6. Unghul determinat de dou drepte .......................................... 43 7.6. Distana la un punct la o dreapt (n plan) .................................. 44 7.6.1. Ecuaia bisectoarei (n plan) .................................................... 44 7.7. Distana la un punct la o dreapt (n spaiu) ............................... 45 7.8. Cercul .......................................................................................... 46 7.9. Elipsa .......................................................................................... 46 7.10. Hiperbola .................................................................................. 48 7.11. Parabola .................................................................................... 49 7.12. Alte aplicaii cu vectori ............................................................ 50 8. Metoda induciei matematice ........................... 51 8.1. Axioma de recuren a lui Peano ................................................ 51 8.2. Metoda unduciei matematice ..................................................... 51 8.3. Variant a metodei induciei matematice ................................... 52 9. Analiz combinatorie ........................................ 52 9.1. Permutri..................................................................................... 52 9.2. Aranjamente ................................................................................ 52 9.3. Combinri ................................................................................... 53 9.4. Binomul lui Newton ................................................................... 54 9.5. Suma puterilor asemenea ale primelor n numere naturale ......... 55

10. Polinoame ......................................................... 56 10.1. Forma algebric a unui polinom ............................................... 56 10.2. Divizibilitatea polinoamelor ..................................................... 56 10.3. Rdcinile polinoamelor ........................................................... 57 10.4. Ecuaii algebrice ....................................................................... 58 10.5. Polinoame cu coeficieni din R, Q, Z ....................................... 58 11. Permutri, matrici, determinani ................... 59 11.1. Permutri .................................................................................. 59 11.2. Matrici....................................................................................... 60 11.3. Determinani ............................................................................. 62 11.4. Inversa unei matrici .................................................................. 63 11.4.1. Tr(A) ...................................................................................... 63 11.4.2. Determinantul i rangul ......................................................... 64 12. Sisteme liniare .................................................. 66 12.1. Notaii ....................................................................................... 66 12.2. Compatibilitatea ........................................................................ 67 12.3. Sisteme omogene (bi=0) ........................................................... 67

13. Trigonometrie .................................................. 68 13.1. Aplicaii ale trigonometriei n geometrie ................................. 71 14. Analiz matematic ......................................... 74 14.1. Recurene .................................................................................. 74 14.1.1. Recurene de ordin 1 .............................................................. 74 14.1.2. Recurene de ordin al doilea .................................................. 74 14.2. Limita de iruri ......................................................................... 74 14.2.1. Limite generale, criterii de convergen ................................ 76 14.3. Limite de funcii ....................................................................... 80 14.3.1. Operaii cu limite de funcii ................................................... 80 14.3.2. Limite tip ............................................................................... 81 14.4. Continuitatea funciilor ............................................................. 83 14.4.1. Teoreme pentru continuitatea funciilor ................................ 84 14.5. Funcii derivabile ...................................................................... 86 14.5.1. Definiia derivatei ntr-un punct ............................................ 86 14.5.2. Reguli de derivare .................................................................. 86 14.5.3. Derivatele funciilor elementare ............................................ 87

14.5.4. Derivatele funciilor compuse ............................................... 88 14.5.5. Derivatele de ordin superior ale unor funcii elementare ...... 90 14.5.6. Proprieti ale funciilor derivabile ........................................ 91 14.6. Integrale .................................................................................... 91 14.6.1. Primitive ................................................................................ 91

15. Primitivele funciilor ....................................... 92 15.1. Reguli pentru integrarea general a funciilor .......................... 92 15.2. Primitivele funciilor raionale ................................................. 93 15.3. Integrale cu r=(x2+a2)1/2 ............................................................ 96 15.4. Integrale cu s=(x2a2)1/2 ............................................................ 99 15.5. Integrale cu t=(a2x2)1/2 .......................................................... 100 15.6. Integrale cu R1/2=(ax2+bx+c)1/2 ............................................... 101 15.7. Integrale de funcii trigonometrice ce conin numai sin ......... 103 15.8. Integrale cu funcii trigonometrice ce conin numai cos ........ 105 15.9. Integrale cu funcii trigonometrice ce conin numai tan ........ 107 15.10. Integrale cu funcii trigonometrice ce conin att sin ct i cos ... 107 15.11. Funcii logaritmice ................................................................ 109 15.11.1. Proprieti ale integralei definite ....................................... 110 15.11.2. Teorema Fundamental ..................................................... 112 15.11.3. Inegaliti ........................................................................... 113 15.12. Alte teoreme ......................................................................... 116 15.12.1. Funcii primitivabile .......................................................... 116 15.12.2. Funcii integrabile .............................................................. 117 15.12.3. Arii ..................................................................................... 117

16. Structuri algebrice ......................................... 118 16.1. Grupul ..................................................................................... 118 16.1.1. Proprieti i teoreme ........................................................... 119 16.2. Monoid .................................................................................... 121 16.3. Inel .......................................................................................... 122 16.4. Corpuri .................................................................................... 122

17. Spaii vectoriale ............................................. 124

1 Operatii cu numere reale

1.1 Radicali,Puteri

1.1.1 Puteri

1. amn = am an2. am bm = (a b)m3. am : an = amn

4. am : bm = (a : b)m

5. am =1

am

6. (am)n = amn.

Puterile numerelor reale se extiind att pentru exponeniraionali pozitivi sau negativi, ct i pentru puterile realefiind definite cu ajutorul irurilor de puteri raionale.Aceste puteri au proprietai identice cu exponeni nu-mere naturale.

1.1.2 Radicali

1. na = a

1n , a > 0;

2. n

1

a=

1na

= a 1m ;

3. ( na)n

= a;4. na nb =

nab;

5. ( n

1

a)n

=1

a;

6. na nb nc = n

abc;

7. na :

nb = n

a

b;

1

8. ma na = nm

an+m;

9. ma : na =

nmanm;

10. nanm = a

m;11. m

an = a

nm ;

12. mnamp =

nap;

13. map n

bq =

nmapn bqm;

14. m

na = nm

a;

15.a2 = |a|;

16. 2n+1a = 2n+1a;

17.ab =

a+ c

2a c

2,

c2

= a2 b;

1.2 IdentitatiOricare ar fi x, y, z, t, a, b, c, d R i n N avem:

1. a2 b2 = (a b)(a+ b)2. (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax by)2 + (ay + bx)23. ab b3 = (a b)(a2 + ab+ b2)4. a3 + b3 = (a+ b)(a2 ab+ b2)5. a3+b3+c33abc = (a+b+c)(a2+b2+c2abbcca)6. ab + b3 + c3 = (a+ b+ c)3 3(a+ b)(b+ c)(c+ a)7. a4 b4 = (a b)(a+ b)(a2 + b2)8. a4 + b4 = (a2 + b2 ab

2)(a

2+ b

2+ ab

2)

9. a5 b5 = (a+ b)(a4 + a3b+ a2b2 + ab3 + b4)10. a6 + b6 = (a3 2ab2)2 + (b3 2a2b)211. an bn = (a b)(an1 +an2b+ ...+abn2 + bn1)

2

12. a2n+1 + b2n+1 =(a+ b)(a

2n a2n1b+ ... ab2n1 + b2n)

13. (a+ b+ c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab+ 2bc+ 2ac

14.

nj=1

a2j

nj=1

x2j

nj=1

ajxj

2=

1i

6. (a+ b+ c)(

1

a+

1

b+

1

c

) 9,

a, b, c > 0;7. a2 + b2 + c2 ab+ bc+ ca;8. a3 + b3 + c3 3abc;9.

a1

a2+a2

a3+ ...+

an1an

+an

a1 n;

10. (x2 + y2)(a2 + b2) (ax+ by)2;11. (Bernoulli) Pentru orice x [1,) i Q \ {1}

avem: (1+x) 1+x, daca (0, 1) i (1+x) 1 + x daca (, 0) (1,+).

12. Pentru orice ak R, k = 1, n ibk {1, 1} avem cank=1

ak bk

nk=1

|ak|.

13. Daca un =(

1 +1

n

)n. Atunci irul un este strict

descrescator, adica: un > un+1.14. Pentru orice ak 0 numere reale avem ca:

a1 + a2 + ...+ an

n

na1a2 ... an n

1a1

+ 1a2+ ...+ 1an

.

Inegalitatea de mai sus, este numita, inegalitatea medi-ilor. Egalitatea se obine pentru a1 = ... = an.

15.a1 + a2 + ...+ an

n

a21 + a

22 + ...+ a

2n

n

4

16. (Cauchy-Buniakovsky-Schwarz) Daca ak, bk Ratunci (

nk=1

a2k

)(

nk=1

b2k

)

(nk=1

akbk

)2

17. (Cebisev) Pentru orice n N i ak, bk R, k = 1, nesetn (

1

n

nk=1

ak

)(

1

n

nk=1

bk

)

(1

n

nk=1

akbk

).

Egalitatea se obine daca ai = aj i bi = bj i 6= j.18. (Huygens) Pentru orice n N \{1} i xk R+ avem

cank=1

(1 + xk) (1 + nx1...xn)n

19. (Kantorovici) Fie [a, b] R+ un interval, atunci dacaxk [a, b] k = 1, n avem(

nk=1

tkxk

)(nk=1

tk

xk

)

(a+ b)2

4ab

(nk=1

tk

)2.

5

7.5.2 Ecuatia dreptei determinat de douapuncte diferite

Similar, folosim ecuatia de mai sus, pentru puntul M1,i pentru vectorul ~M1M2: M1M2 :

x x1x2 x1

=y y1y2 y1

=z z1z2 z1

. (23)

7.5.3 Ecuattia generela a drepteiTeorema 7.6. Sistemul:{

A1x+ B1y + C1z +D1 = 0A2x+ B2y + C2z +D2 = 0

(24)

unde (A1 B1 C1 D1A2 B2 C2 D2

)= 2.

reprezinta o dreapta.

41

7.5.4 Ecuatia dreptei n planSimilar ca i n spaciu. Fie e o drepata n plan atunciecuatia canonica este:

x x0p

=y y0q

(25)

Daca e nu este paralel cu axa Oy atunci (adica p 6=0), atunci pentru orice vector de direcie avem ca

q

p= m

este constanta. Numarul m este numita panta dreptei.Avem ca

m = tg , (26)

unde este unghiul determinat de dreapta e cu axa Ox.n acest caz daca dreapta trece prin punctul

A(x0, y0) i are panta m atunci ecuaia dreptei este:

y y0 = m(x x0). (27)

Observatie 7.3. Doua drepte sunt parelele daca si numai daca pantadreptelor sunt egale.

Observatie 7.4. Fie e1, e2 doua drepte perpendiculare. Fie ~d1(p1, q1)si ~d2(p2, q2) vectorii de directie. Evident ca ~d1 ~d2, deci ~v1 ~v2 = 0. Cea ce nseamna p1p2 + q1q2 = 0. Presupunem cadreptele nu sunt paralele cu axaOy atunci

e1 e2 m1 m2 = 1. (28)

7.5.5 Ecuatia dreptei determinat de douapuncte diferite

FieM1(x1, y1) iM2(x2, y2) doua puncte n plan. Atunciecuaia dreptei care trece prin punctele M1 i M2 are

42

vectorul de direcieM1M2(x2x1, y2y1), deci Ecuaia

canonica a dreaptei M1M2 este

x x1x2 x1

=y y1y2 y1

, (29)

sau: x y 1x1 y1 1x2 y2 1 = 0. (30)

7.5.6 Unghul determinat de doua drepteFie d1 i d2 doua drepte. Atunci

m(d1, d2) =arccos

~d1 ~d2||~d1|| ||~d2||

, ~d1 ~d2 0

pi arccos~d1 ~d2

||~d1|| ||~d2||, altfel.

Daca luam n considerare ca

pi arccos x = arccos(x),

pentru orice x [1, 1] atunci avem ca:

m(d1, d2) = arccos|~d1 ~d2|||~d1|| ||~d2||

, (31)

sau:m(d1, d2) =

arccos|p1p2 + q1q2 + r1r2|

p21 + q21 + r

21 p22 + q

22 + r

22

.

43

13 Trigonometrie1. sin2 x+ cos2 x = 1;

2. 1 + tan2 x =1

cos2 x;

3. 1 + cot2 x =1

sin2 x;

4. sin x = cos(pi

2 x);

5. cos x = sin(pi

2 x);

6. tan x = cot(pi

2 x);

7. cot x = tan(pi

2 x);

8. tan x > x > sin x, x (

0,pi

2

);

9. cos(x+ y) =

cos(x) cos(y) sin(x) sin(y);

10. sin(x+ y) =

sin(x) cos(y) + sin(y) cos(x);

11. tan(x+ y) =tan(x) + tan(y)

1 tan(x) tan(y) ;

12. cot(x+ y) =cot(x) cot(y) 1cot(x) + cot(y)

;

13. sin(x y) =

sin(x) cos(y) sin(y) cos(x);

68

14. cos(x y) =

cos(x) cos(y) + sin(x) sin(y);

15. tan(x y) = tan(x) tan(y)1 + tan(x) tan(y)

;

16. cot(x y) = cot(x) cot(y) + 1cot(y) cot(y) ;

17. sin(2x) = 2 sin(x) cos(x);18. cos(2x) = cos2 x sin2 x =

1 2 sin2 x = 2 cos2 x 1;

19. sin 3x = 3 sin x 4 sin3 x;20. cos(3x) = 4 cos3(x) 3 cos(x);

21. cos(x

2

)=

1 + cos(x)

2;

22. sin(x

2

)=

1 cos(x)

2;

23. tan(x

2

)=

1 cos x

1 + cos(x);

24. cot(x

2

)=

1 + cos x

1 cos(x) ;

25. sin(p) + sin(q) =

2 sin

(p+ q

2

) cos

(p q

2

);

26. sin(x) cos(y) =1

2[sin(x+ y) + sin(x y)];

69

27. sin(p) sin(q) =

2 sin

(p q

2

) cos

(p+ q

2

);

28. cos(p) + cos(q) =

2 cos

(p+ q

2

) cos

(p q

2

);

29. cos(x) cos(y) =

1

2[cos(x+ y) + cos(x y)];

30. cos(p) cos(q) =

2 sin(p q

2

) sin

(p+ q

2

);

31. sin(x) sin(y) =

1

2[cos(x y) cos(x+ y)];

32. tan(p) tan(q) = sin(p q)cos(p) cos(q) ;

33. cot(p) + cot(q) =sin(p+ q)

sin(p) sin q;

34. sin(x) =2 tan( x2 )

1 + tan2( x2 );

35. cos(x) =1 tan2( x2 )1 + tan2( x2 )

;

36. tan(x) =2 tan( x2 )

1 tan2( x2 );

37. tan(x

2) =

sin(x)

1 + cos(x)=

1 cos(x)sin(x)

;

70