presstern fituica matematica 2 algebra

7252019 Presstern Fituica Matematica 2 Algebra

httpslidepdfcomreaderfullpresstern-fituica-matematica-2-algebra 125



Cuprins1 Elemente de logică matematică 1

11 Propoziţii 112 Predicate 6

13 Mulţimi 914 Inducţia matematică 12

2 Numere reale 1721 Numere reale 1722 Puteri 2523 Radicali 28

24 Logaritmi 323 Şiruri progresii 37

31 Şiruri 3732 Progresii aritmetice 4233 Progresii geometrice 45

4 Funcţii 49

41 Noţiunea de funcţie 4942 Operaţii cu funcţii numerice 5243 Proprietăţile funcţiilor 6644 Funcţii bijective 7545 Graficul unei funcţii 8746 Graficul şi proprietăţile funcţiei 91

5 Funcţii numerice ecuaţii 10351 Funcţia de gradul icircntacirci 10352 Ecuaţii şi inecuaţii de gradul icircntacirci 10853 Funcţia de gradul al doilea 11354 Ecuaţii de gradul al doilea 12255 Funcţia putere cu exponent

natural 13056 Funcţia putere cu exponent

negativ 13457 Funcţia radical 138



58 Ecuaţii iraţionale 14259 Funcţia exponenţială 146510 Ecuaţii exponenţiale 149511 Funcţia logaritmică 155512 Ecuaţii logaritmice 160513 Funcţia sinus 170514 Funcţia arcsinus 175515 Funcţia cosinus 180516 Funcţia arccosinus 183517 Funcţia tangentă 188518 Funcţia arctangentă 191519 Funcţia cotangentă 194520 Funcţia arccotangentă 197

6 Numere complexe 20161 Mulţimea numerelor complexe 20162 Forma algebrică 20463 Reprezentarea geometrică 20964 Forma trigonometrică 21565 Rădăcinile de ordinul n 22266 Ecuaţii binome şi bicvadratice 224

7 Elemente de combinatorică 22771 Reguli generale ale

combinatoricii 22772 Permutări 23373 Grupul Sn 23474 Aranjamente 24375 Combinări 24476 Binomul lui Newton 246

8 Statistică şi probabilităţi 24981 Matematică financiară 24982 Elemente de statistică matematică 25383 Calculul probabilităţilor 258

9 Matrice şi determinanţi 264



91 Matrice 26492 Determinanţi 27393 Aplicaţii ale determinanţilor

icircn geometrie 28294 Matrice inversabile 28495 Rangul unei matrice 287

10 Sisteme de ecuaţii liniare 29211 Structuri algebrice 302

111 Legi de compoziţie 302112 Grupuri 319113 Subgrupuri 325

114 Morfisme de grupuri 328115 Inele şi corpuri 332

12 Polinoame 337121 Inel de polinoame 337122 Forma algebrică a unui polinom 338



1 Elemente de logicămatematică

11 Propoziţii

Definiţie Se numeşte propoziţie un enunţ declara-tiv despre care se poate decide dacă este adevărat saufalsObservaţie O propoziţie nu poate fi icircn aceeaşi timp şi

adevărată şi falsăDefiniţie Unei propoziţii icirci putem atribui una din celedouă valori de adevăr ldquo1rdquo sau ldquo0rdquo dacă propoziţia esteadevărată valoarea sa de adevăr este 1 iar valoareade adevăr a unei propoziţii false este 0 (ldquo1rdquo şi ldquo0rdquo suntsimboluri nu reprezintă numere)

Notaţie Propoziţiile se notează cu literele micipqr

Exemplu Sunt propoziţii ldquoIcircn fiecare pătrat există un unghidreptrdquo- propoziţie adevărată valoarea sa de adevăr este 1ldquosuma măsurilor unghiurilor unui triunghi este egală cu

110

rdquo-falsă valoarea sa de adevăr este 0ldquoIcircntr-un triunghi echilateral toate laturile sunt de lungimeegalărdquo-adevărată valoarea sa de adevăr este 1

Nu sunt propoziţii (icircn sensul logicii matematice) ldquox+3=10rdquo- nu se poate decide dacă este advărată sau falsă pentrux=7 propoziţia ldquo7+3=10rdquo este adevărată iar pentru

alte valori ale lui x propoziţia este falsăldquoIcircntr-un triunghi laturile sunt congruenterdquo- icircn cazul triun-ghiului echilateral propoziţia este adevărată icircn alte cazurieste falsă

1



Definiţie Negaţia propoziţiei p este propoziţia ldquononprdquo notată notp sau p care este adevărată dacă p estefalsă şi falsă dacă p este adevărată

Tabelul de adevăral lui notpp notp0 11 0

Observaţie Propoziţianot(notp) are aceeaşi valoa-rea de adevăr ca şi pPentru a nega o propoziţie sepune icircn faţa ei expresia ldquonu eadevărat cărdquo

Negaţia unei propoziţii

Exemplu Negaţia propoziţiei adevărate p ldquo2+3gt4rdquoeste notp ldquo2+3gt4rdquoNegaţia propoziţiei false ldquoFiecare cacircine este neagrărdquo estepropoziţia adevăratăldquoExistă cacircine care nu este neagrărdquo

Definiţie Conjuncţia propoziţiilor p q este pro-poziţia ldquop şi qrdquo notată pandq care este adevărată

Tabelul de advăr al lui

pandqp q pandq

0 0 00 1 01 0 01 1 1

numai atunci cacircnd atacirct pcacirct şi q sunt adevărate fi-

ind falsă icircn celelate cazuriObservaţie Pentru a ex-prima conjuncţia propozi-ţiilor p q punem icircntrecele două propoziţii cu- vacircntul ldquoşirdquo

Conjuncţia propoziţiilor

2



Definiţie Disjuncţia propoziţiilor p q este propo-ziţia ldquop sau qrdquo notată porq care este falsă numai


porqp q porq

0 0 00 1 11 0 11 1 1

atunci cacircnd atacirct p cacirct şi q

sunt false fiind adevărată icircn celelate cazuriObservaţie Pentru a ex-prima disjuncţia propozi-ţiilor p q punem icircntrecele două propoziţii cu- vacircntul ldquosaurdquo

Disjuncţia propoziţiilor

Definiţie Din propoziţiile simple pqr prinaplicarea de un număr finit de ori a conectorilor logici

notorand se pot crea propoziţii compuse

Observaţie Calculul propoziţiilor studiază propoziţi-ile compuse din punctul de vedere al adevărului saufalsului icircn raport cu valorile logice ale propoziţiilorsimple care le compun

3



3 Şiruri progresii

31 Şiruri

Definiţie Fie A o mulţime nevidă O funcţie f N

lowast rarrA se numeşte şir de elemente din mulţimea

ANotaţie Valoarea f (n) se numeşte termenul derang n al şirului şi icircl notăm an (bn cn ) Şi-

rul se notează cu litere mici (an ) (an )nisinNlowast (bn )Definiţie Dacă A este o mulţime de numere realefuncţia f Nlowast rarrA se numeşte şir de numere reale

Un şir poate fi definit descriptiv (prin descriere) termenul de rang

n este definit printr-o proprietate sau scriemcacircţiva termeni ai şirului pacircnă cacircnd regula deobţinere este clară

cu ajutorul unei formule care permite să se gă-sească orice termen al său

recurent se dă primul termen al şirului (saucacircţiva din primii termeni) respectiv o formulăcare exprimă orice termen al şirului de la unrang oarecare prin precedenţii (unul sau maimulţi)

Moduri de definire a unui şir

37



Problemă Fie şirul (xn )nge1 astfel icircncacirct

xn =minus10+7n forallnge1 Să se scrie primii trei termeni ai şirului Este termen al acestui şir numărul 99respectiv 123

S x1 =minus10+7middot1=minus3 x2 =minus10+7middot2=4x3 =minus10+7middot3=11

Numărul 99 este un termen al şirului dacă există kisinNlowast

astfel icircncacirct xk =99hArrminus10+7k =99hArrk = 109

7 isinN

lowast Deci 99 nu face

parte din şirDacă xk =123 kisinNlowast atunci minus10+7k =123hArrhArrk = 133

7 =19isinN

lowast Deci 123 este termenul de

rang 19

Problemă Fie şirul (xn )n

ge1 definit prin relaţia de

recurenţă xn =2xnminus1 +1 forallnge1 x1 =1 Să se

scrie primii patru termeni ai şirului şi să se termenul gene-ralS x1 =1 icircn relaţia de recurenţă icircnlocuind n=2respectiv n=3 n=4 rezultă că x2 =2x1 +1=3

x3 =2x2 +1=7 x4 =2x3 +1=15Cu metoda inducţiei matematice demonstrăm căxn =2n minus1 forallnisinN

lowast Fie P (n) ldquoxn =2n minus1rdquo nisinN

lowast

I n=1 P (1)ldquox1 =21 minus1rdquo

II Presupunem că xk

=2k

minus1 şi demonstrăm că

xk+1 =2k +1minus1

38



xk+1rec

= 2xk +1ip= 2(2k minus1)+1=

=2k+1 minus1

Definiţie Un şir (an ) este mărginit dacă existădouă numere reale m şi M astfel icircncacirct mlean leM forallnisinN

lowast Teoremă Şirul (an )nge0 este mărginit dacă şi

numai dacă există un număr real M gt0

astfel icircncacirct|an|leM forallnisinNlowast

Şiruri mărginite

Problemă Să se demonstreze că şirul (an )

an =n+2

2n+3este mărginit

S Scriem cacircţiva din primii termeni a1 = 35

a2 = 47

a3 = 59

Demonstrăm că termenii şirului sunt mai mici

decacirct 1

an lt1hArr n+2

2n+3lt1hArrn+2lt2n+3hArr

hArrltn+1Evident 0 este o margine inferioară deci 0ltan lt1

Problemă Să se demonstreze că şirul x0 isin

[minus

52]xn+1 =2sin(xn)+1 este mărginit

S sin(xn )isin[minus11]rArr2sin(xn )isin[minus22]rArrrArrsin(xn )+1isin[minus13]rArr xn+1 isin[minus13]

39



forallnisinNlowast

Aşadar x0 isin[minus52] x2x3isin[minus13] decixn isin[minus53] forallnisinN

Definiţie Şirul (an ) este

crescător dacă forallnisinNlowast

an lean+1

strict crescător dacă

foralln

isinN

lowast

an ltan+1

descrescător dacă forallnisinNlowast

an gean+1

strict descrescător dacăforallnisinNlowast

an gtan+1


monoton dacă (an ) este crescător sau des-crescător

strict monoton dacă (an ) este strict crescă-tor sau strict descrescător

Şiruri monotone

Exemplu Şirul (an ) cu termenul general an =1++2++n este strict crescător

Şirul (bn ) bn =

983131n

3

983133([A] icircnseamnă partea icircntreagă a

lui A) este crescător

Şirul (xn )nisinNlowast xn =

1

neste strict descrescător

40



4 Funcţii

41 Noţiunea de funcţie

Definiţie Fie A şi B două mulţimi nevide Spunemcă am definit o funcţie pe mulţimea A cu valori icircnmulţimea B dacă fiecărui element din A este aso-ciată un singur element din B Mulţimea A se nu-meşte domeniul de definiţie B este mulţimea de va

lori sau codomeniul funcţieiNotaţie Dacă f este o funcţie definită pe A cu valori icircn B atunci se scrie f ArarrB Dacă elementu-lui x din A este asociată elementul yisinB se scrie

x f rarry sau y =f (x) şi se spune că ldquoy este imagi-

nea elementului x din A prin funcţia f rdquo

Exemplu Fie A=123 şi B =56 Asoci-

erea x f rarrx+4 nu este o funcţie ArarrB pentru că

3 f

rarr7isin

B

Fie mulţimile A=124 şi B =R Asocierea

ldquox rarry unde y2 =xrdquo nu defineşte o funcţie ArarrBpentru că elementului x=1 din A corespundmaimulteva-lori din B y1 =1isinB şi y2 =minus1isinB satisfac relaţia

y

21 =y

22 =1 Relaţia Ararr

R+ ldquox rarry unde y

2=

xrdquo este o funcţie 1 rarr1 2 rarrradic 2 4 rarr2

49



Dacă A şi B sunt mulţimi de numere o funcţie f ArarrB se numeşte numerică Definiţie Fie f ArarrB o funcţie C subeA Fun-cţia

f |C C rarrB f |C (x)=f (x) forallxisinC

se numeşte restricţia lui f la mulţimea C

Exemplu Fie funcţia g 123rarr456789

x g

rarrx+4 Domeniul lui g este

123

codo-

meniul este 456789 g(1)=5 g(2)=6g(3)=7 Restricţia lui g la mulţimea 12 este fun-cţia h=g|12 h12rarr456789h(1)=5 h(2)=6

O funcţie este definită de următoarele trei ldquocompo-

nenterdquo domeniul de definiţie (A) mulţimea de va-lori (B) şi legea care leagă cele două mulţimiDefiniţie Funcţiile f ArarrB şi g C rarrD suntegale dacă A=C B =D şi f (x)=g(x)forallxisinA (punctual funcţiile coincid)

Exemplu Funcţiile f RrarrR x f rarr|x| şi g RrarrR

x grarrradic

x2 sunt egale domeniile de definiţie şi codomeni-

ile coincid iar |x|=radic

x2

forallxisinR

50



Funcţia f este definită sintetic dacă fiecărui elementx al domeniului este dat icircn mod explicit elemen-tul y =f (x)isinB- de obicei această modalitateeste folosită cacircnd domeniul are un număr mic de ele-mente

diagrama Venn-Euler (diagrama cu săgeţi) tabelul de valori graficul funcţiei

Funcţia f este definită analitic dacă legea de cores-pondenţă este dată printr-o formulă sau o proprietate

funcţie definită pe baza unei formule funcţie definită cu ajutorul mai multor formule

(funcţii multiforme) funcţie definită cu ajutorul unei formule recur-

sive

Modalităţi de a defini o funcţie

Exemplu

Diagrama alăturată reprezintă funcţia f pentru care

A=263 B =abcd2 f rarrc 3

f rarrc

6 f

rarrd

2

6

3

a

b

c

d

51



Tabelul x 2 3 4g(x) 11 2 11

defineşte

funcţia g pentru care domeniul este A=234 codo-

meniul este B =211 2 grarr11 3

grarr2 4 grarr11

Graficul Gh =(a3)(b4)(c4)(d5) defi-neşte funcţia h al cărei domeniu este A=abcdco-

domeniul este B =345 şi a hrarr3 b

hrarr4 c hrarr4

d hrarr5

Funcţia f (0infin)rarrR f (x)=x2 defineşte funcţiaf funcţie care fiecărui element aisin(0infin) icirci asociază

numărul a2 de exemplu f (3)=32 =9 f (11)=

112 =121 dar f (minus5) nu are sens pentru cu minus5isin

(0

infin)

42 Operaţii cu funcţii numerice

Definiţie Fie A o mulţime nevidă şi f ArarrR

g ArarrR două funcţii Suma funcţiilor f şi geste funcţia hArarrR h(x)=f (x)+g(x)forallxisinANotaţie Suma funcţiilor f şi g se notează cu f +gdeci (f +g)(x)=f (x)+g(x) forallxisinA

Observaţie Suma este definită numai icircn cazul funcţii-lor cu domenii de definiţie egale Operaţia care asoci-ază unei perechi de funcţii suma funcţiilor se numeşteadunarea funcţiilor

Adunarea funcţiilor

52



5 Funcţii numerice ecuaţii

51 Funcţia de gradul icircntacirci

Definiţie Funcţia f RrarrR f (x)=ax+babisinRa=0 se numeşte funcţia de gradul icircntacirci

Reprezentarea geometrică a funcţiei de gradul icircntacirci este odreaptă

Dacă agt0

x

y

O

minus ba

b

Dacă alt0

x

y

O

minus

ba

b

f (x)xminusinfin minusb

a+infin

dacă agt0minusinfinminus

minus 0 +++infindacă alt0 +infin++ 0 minusminusminusinfin

Tabelul de variaţie şi de semn

Problemă Fie f o funcţie de gradul icircntacirci Să se demon-streze că funcţia f f este strict crestătoareS Fie f R

rarrR f (x)=ax+b a

=0 Atunci

(f f )(x)=f (ax+b)=a(ax+b)+b==a2x+(ab+b)

o funcţie de gradul icircntacirci Coeficientul lui x983080

a2983081

fiind po-

103



zitiv f este strict crescătoare

Problemă Să se determine valoarea lui misinR pen-tru care funcţia f este strict crescătoare unde f RrarrR

f (x)=(3

minusm2 )x+3

S Funcţia f fiind de gradul icircntacirci f este strict crescă-toare dacă şi numai dacă coeficientul lui x este strict pozitiv

3minusm2 gt0hArrmisin(minusradic 3

radic 3)

Problemă Să se determine funcţia de gradul icircntacirci al cărei grafic trece prin punctele A(27) şi B(

minus3

minus18)

S Fie funcţia f RrarrR f (x)=ax+bABisinGf hArrf (2)=7f (minus3)=minus18hArr

hArr983163

2a+b =7minus3a+b =minus18

hArr983163

a =5b =minus3

Deci f RrarrR f (x)=5xminus3

Definiţie f RrarrR f (x)=ax+babisinR a=0

Imaginea lui f Imf =R

Puncte de inter- Gf capOy =(0b)secţie cu axele Gf capOx =

852091983080minus b

a0983081852093

Peiodicitate nu este periodicăParitate dacă b=0 f este impară centru

de simetrie O

dacă b=0 f nu este pară nu esteimparăContinuitate continuă pe R

Proprietăţile funcţiei de gradul icircntacirci

104



Asimptote asimptotă oblică la plusmninfin y =ax+b

Mărginire nu este mărginită

Monotonie dacă agt0 f este strict crescă-toare peRdacă alt0 f este strict descrescă-toare peR

Semnul funcţiei dacă agt0 f (x)ge0hArrxisin

852059minusb

a

infin983081

f (x)lt0hArrxisin983080minusinfinminus b

a

983081dacă alt0 f (x)ge0hArrxisin983080

minusinfinminus ba

983081

f (x)lt0hArr

x

isin852059minusb

a

infin983081Bijectivitate f este bijectivă

Funcţia inversă f minus1 RrarrR f minus1(x)=xminusb

a

Proprietăţile funcţiei de gradul icircntacirci (cont)

Problemă Să se traseze graficul funcţiei f RrarrRf (x)=2x+1S f fiind o funcţie de gradul icircntacirci graficul lui f este odreaptă

105



54 Ecuaţii de gradul al doilea

Definiţie O ecuaţie de forma ax2 +bx+c=0abcisinR a=0 se numeşte ecuaţie de gradul al

doilea cu coeficienţi realiFie ∆=b2 minus4ac discriminantul ecuaţiei

dacă ∆lt0 ecuaţia nu admite soluţii reale dacă ∆=0 atunci ecuaţia admite o singură

soluţie reală (două soluţii egale)

x12 =minusb

2a

dacă ∆gt0 ecuaţia admite două soluţii realedistincte

x1 =minusb+

radic ∆

2a

x2 =minusbminusradic

∆

2a

Teoremă ( Descompunerea expresiei de gradul al doilea icircn produs) Dacă x1 şi x2 sunt soluţiile

ecuaţiei ax2 +bx+c=0 atunci

ax2 +bx+c=a(xminusx1)(xminusx2 )

Problemă Să se rezolve icircn R ecuaţia

3x2 minus5x+2=0

SCoeficienţii ecuaţiei sunt a=3 b=minus5 c=2 aşadar∆=(minus5)2 minus4middot3middot2=1gt0 deci ecuaţia admite douăsoluţii

122



x1 =minus(minus5)+radic 1

2middot3=1

x2 =minus(minus5)minusradic

1

2

middot3

=2

3

Problemă Să se determine valoarea lui misinR astfel icircn-cacirct ecuaţia următoare să admită o singură soluţie reală

mx2 minus(m+3)x+4=0

S a=m b=minus(m+3) c=4 deci ∆=m2 minus10m+9 Ecuaţia are o singură soluţie reală dacă ∆=

0 m2 minus10m+9=0rArr∆m =100minus36=64m1 =9 m2 =1

Teoremă

Fie x1

şi x2

soluţiile ecuaţiei

ax2 +bx+c=0 Atunci

S =x1 +x2 =minusb

a P =x1 middotx2 =

c

a

Consecinţă Dacă x1 şi x2 sunt soluţiile ecuaţiei

ax2 +bx+c=0 atuncix2

1 +x22 =S2 minus2P

1

x1

+1

x2

=S

P

x3

1+x3

2=S

middot(S2

minus3P )

1

x21

+1

x22

=S2 minus2P

P 2

Relaţiile lui Vieacutete

123



Cu notaţia Sn =xn

1

+xn

2

n

isinN avem relaţia

de recurenţăaSn +bSnminus1 +cSnminus2 =0 forallnge3

Relaţiile lui Vieacutete (continuare)

Problemă Fără a rezolva ecuaţia să se calculeze

x1 +x1 x2 +x2 x21x2 +x1x22 x41 +x42 unde

x1 şi x2 sunt soluţiile ecuaţiei x2 minus3x+1=0S Folosind relaţiile lui Vieacutete S =x1 +x2 =3P =x1 middotx2 =2x1 +x1 x2 +x2 =S +P =5

x21x2 +x1x22 =x1 x2(x1 +x2 )=S middotP =6

Pentru a calcula suma Sn =xn1 +xn

2 nge3 cal-

culăm racircnd pe racircnd valoarea lui S1 =x1 +x2 =S

=x

2

1 +x

2

2Sn =x

n

1 +x

n

2 S1 =3 S2 =x2

1 +x22 =S2 minus2P =5

x1 soluţierArrx21 minus3x1 +1=0 |middotx1 rArr


rArr3

minus3x2

1+x

1=0

rArrx32 minus3x2

2 +x2 =0

oplusrArr

rArrx31 +x3

2 minus3983080

x21 +x2

2

983081+(x1 +x2)=0rArr

124



rArrS3 =3middot5minus3=12

x1 soluţierArrx21 minus3x1 +1=0 |middotx2

1 rArrx2 soluţierArrx2

2 minus3x2 +1=0 |middotx22 rArr

rArrx4

1 minus3x3

1 +x2

1 =0rArrx4 minus3x32 +x2

2 =0

oplusrArr

rArrx41 +x4

2 minus3983080

x31 +x3

2

983081+983080

x21 +x2

2

983081=0rArr


Pe baza relaţiilor lui Vieacutete pot fi determinate semnelerădăcinilor unei ecuaţii de gradul al doilea fără rezol- varea ecuaţiei

S lt0 S gt0

P lt0 x1 lt0x2 gt0P

ge0 x1x2 le0 x1x2 ge0

Semnul rădăcinilor ecuaţiei de gradul al doilea

Exemplu Fie ecuaţia 3x2

minus15x+5=0 Atunci

S =5gt0 P = 5

3gt0 deci x1x2 gt0

Teoremă Ecuaţia de gradul al doilea ale cărei solu-

ţii sunt x1 şi x2 este x2 minusSx+P =0 unde

S =x1 +x2 P =x1 middotx2

125



515 Funcţia cosinus

Definiţie Funcţia f Rrarr[minus11] f (x)=cosx se numeşte funcţia cosinus

Reprezentarea geometrică a graficului

x

y

O

1

minus1

minus4

minus3

minus2

minus1

minusπ

x

y

1

2

3

4

5

6

7

1

minus1

π6

π3

π2

2π3

5π6

π

7π6

4π3

3π2

5π3

11π6

2π

Gcos x

x 0π

6

π

4

π

3

π

2

2π

3

3π

4

5π

6π

cosx1

radic 3

2

radic 2

212

0 minus 12

minusradic

22

minusradic

32

minus1

Valori remarcabile

180



x minusπ 0 π 2π 3π

cosx minus1 1 minus1 1 minus1

Tabelul de variaţie

x minus3π

2minus

π

2

π

2

3π

2

5π

2cosx 0

minus 0 + 0

minus 0 + 0

Tabelul de semne

Definiţie f Rrarr[minus11]f (x)=cosx

Imaginea lui f Imf =[

minus11]

Puncte de inter- Gf capOy =(01)secţie cu axe Gf capOx =

=852091983080

π2

+kπ0983081

| kisinZ

852093Periodicitate periodică perioada principală

T =2π

Paritate f este pară cos

(minusx)=cosxaxa de simetrie Oy

Continuitate curbă continuă Asimptote nu există

Proprietăţile funcţiei cosinus

181



Mărginire f este mărginităminus1lecosxle1cosx=1hArrx=2kπ

cosx=minus1hArrhArr=(2k+1)πkisinZ

Monotonitate f este strict crescătoare[(2k +1)π(2k+2)π]-nf este strict descrescătoare

[2kπ(2k +1)π]-n kisinZ

Semnul funcţiei cosxge0hArrxisinisin852059minus π

2 +2kπ π

2 +2kπ

852061şicosxlt0hArrxisin983080

π2 +2kπ 3π2 +2kπ983081

Convexitate f este convexă pe983080π2

+2kπ 3π2

+2kπ983081

f este concavă pe983080minus π2

+2kπ π2

+2kπ983081

Puncte de inflexiexk = π

2 +kπ kisinZ

Bijectivitate

f nu este bijectivă (nu e injectivăf e surjectivă)

Restricţia bijectivăf b [0π]rarr[minus11]f b (x)=cosx

Proprietăţile funcţiei cosinus (continuare)



Cuprins1 Elemente de logică matematică 1

11 Propoziţii 112 Predicate 6

13 Mulţimi 914 Inducţia matematică 12

2 Numere reale 1721 Numere reale 1722 Puteri 2523 Radicali 28

24 Logaritmi 323 Şiruri progresii 37

31 Şiruri 3732 Progresii aritmetice 4233 Progresii geometrice 45

4 Funcţii 49

41 Noţiunea de funcţie 4942 Operaţii cu funcţii numerice 5243 Proprietăţile funcţiilor 6644 Funcţii bijective 7545 Graficul unei funcţii 8746 Graficul şi proprietăţile funcţiei 91

5 Funcţii numerice ecuaţii 10351 Funcţia de gradul icircntacirci 10352 Ecuaţii şi inecuaţii de gradul icircntacirci 10853 Funcţia de gradul al doilea 11354 Ecuaţii de gradul al doilea 12255 Funcţia putere cu exponent

natural 13056 Funcţia putere cu exponent

negativ 13457 Funcţia radical 138




















11 Propoziţii





110




1










pandqp q pandq

0 0 00 1 01 0 01 1 1




2





porqp q porq

0 0 00 1 11 0 11 1 1







3



3 Şiruri progresii

31 Şiruri










37








7 isinN



7 =19isinN


rang 19







lowast



=2k


xk+1 =2k +1minus1

38



xk+1rec

= 2xk +1ip= 2(2k minus1)+1=

=2k+1 minus1





Şiruri mărginite


an =n+2

2n+3este mărginit


a2 = 47

a3 = 59


decacirct 1

an lt1hArr n+2




[minus



39



forallnisinNlowast




an lean+1


foralln

isinN

lowast

an ltan+1


an gean+1


an gtan+1




Şiruri monotone


Şirul (bn ) bn =

983131n

3




1


40



4 Funcţii








3 f

rarr7isin

B



y

21 =y



2=


49







x g


123

codo-





x grarrradic



x2

forallxisinR

50








sive


Exemplu



f rarrc

6 f

rarrd

2

6

3

a

b

c

d

51



Tabelul x 2 3 4g(x) 11 2 11

defineşte



grarr2 4 grarr11



hrarr4 c hrarr4

d hrarr5




(0

infin)






52







Dacă agt0

x

y

O

minus ba

b

Dacă alt0

x

y

O

minus

ba

b


a+infin





rarrR f (x)=ax+b a

=0 Atunci



a2983081

fiind po-

103





f (x)=(3

minusm2 )x+3



radic 3)


minus3

minus18)


hArr983163


hArr983163

a =5b =minus3





852091983080minus b

a0983081852093


de simetrie O



104







852059minusb

a

infin983081


a


minusinfinminus ba

983081

f (x)lt0hArr

x

isin852059minusb

a



a



105








x12 =minusb

2a


x1 =minusb+

radic ∆

2a


∆

2a





3x2 minus5x+2=0


122




2middot3=1


1

2

middot3

=2

3


mx2 minus(m+3)x+4=0



Teoremă

Fie x1

şi x2


ax2 +bx+c=0 Atunci

S =x1 +x2 =minusb

a P =x1 middotx2 =

c

a



1 +x22 =S2 minus2P

1

x1

+1

x2

=S

P

x3

1+x3

2=S

middot(S2

minus3P )

1

x21

+1

x22

=S2 minus2P

P 2


123



Cu notaţia Sn =xn

1

+xn

2

n

isinN avem relaţia




x1 +x1 x2 +x2 x21x2 +x1x22 x41 +x42 unde




2 nge3 cal-


=x

2

1 +x

2

2Sn =x

n

1 +x

n

2 S1 =3 S2 =x2

1 +x22 =S2 minus2P =5



rArr3

minus3x2

1+x

1=0

rArrx32 minus3x2

2 +x2 =0

oplusrArr

rArrx31 +x3

2 minus3983080

x21 +x2

2

983081+(x1 +x2)=0rArr

124







rArrx4

1 minus3x3

1 +x2


2 =0

oplusrArr

rArrx41 +x4

2 minus3983080

x31 +x3

2

983081+983080

x21 +x2

2

983081=0rArr



S lt0 S gt0

P lt0 x1 lt0x2 gt0P




minus15x+5=0 Atunci

S =5gt0 P = 5

3gt0 deci x1x2 gt0




125






x

y

O

1

minus1

minus4

minus3

minus2

minus1

minusπ

x

y

1

2

3

4

5

6

7

1

minus1

π6

π3

π2

2π3

5π6

π

7π6

4π3

3π2

5π3

11π6

2π

Gcos x

x 0π

6

π

4

π

3

π

2

2π

3

3π

4

5π

6π

cosx1

radic 3

2

radic 2

212

0 minus 12

minusradic

22

minusradic

32

minus1

Valori remarcabile

180






x minus3π

2minus

π

2

π

2

3π

2

5π

2cosx 0

minus 0 + 0

minus 0 + 0

Tabelul de semne



minus11]


=852091983080

π2

+kπ0983081

| kisinZ


T =2π





181








2 +2kπ π

2 +2kπ


π2 +2kπ 3π2 +2kπ983081


+2kπ 3π2

+2kπ983081


+2kπ π2

+2kπ983081


2 +kπ kisinZ

Bijectivitate























11 Propoziţii





110




1










pandqp q pandq

0 0 00 1 01 0 01 1 1




2





porqp q porq

0 0 00 1 11 0 11 1 1







3



3 Şiruri progresii

31 Şiruri










37








7 isinN



7 =19isinN


rang 19







lowast



=2k


xk+1 =2k +1minus1

38



xk+1rec

= 2xk +1ip= 2(2k minus1)+1=

=2k+1 minus1





Şiruri mărginite


an =n+2

2n+3este mărginit


a2 = 47

a3 = 59


decacirct 1

an lt1hArr n+2




[minus



39



forallnisinNlowast




an lean+1


foralln

isinN

lowast

an ltan+1


an gean+1


an gtan+1




Şiruri monotone


Şirul (bn ) bn =

983131n

3




1


40



4 Funcţii








3 f

rarr7isin

B



y

21 =y



2=


49







x g


123

codo-





x grarrradic



x2

forallxisinR

50








sive


Exemplu



f rarrc

6 f

rarrd

2

6

3

a

b

c

d

51



Tabelul x 2 3 4g(x) 11 2 11

defineşte



grarr2 4 grarr11



hrarr4 c hrarr4

d hrarr5




(0

infin)






52







Dacă agt0

x

y

O

minus ba

b

Dacă alt0

x

y

O

minus

ba

b


a+infin





rarrR f (x)=ax+b a

=0 Atunci



a2983081

fiind po-

103





f (x)=(3

minusm2 )x+3



radic 3)


minus3

minus18)


hArr983163


hArr983163

a =5b =minus3





852091983080minus b

a0983081852093


de simetrie O



104







852059minusb

a

infin983081


a


minusinfinminus ba

983081

f (x)lt0hArr

x

isin852059minusb

a



a



105








x12 =minusb

2a


x1 =minusb+

radic ∆

2a


∆

2a





3x2 minus5x+2=0


122




2middot3=1


1

2

middot3

=2

3


mx2 minus(m+3)x+4=0



Teoremă

Fie x1

şi x2


ax2 +bx+c=0 Atunci

S =x1 +x2 =minusb

a P =x1 middotx2 =

c

a



1 +x22 =S2 minus2P

1

x1

+1

x2

=S

P

x3

1+x3

2=S

middot(S2

minus3P )

1

x21

+1

x22

=S2 minus2P

P 2


123



Cu notaţia Sn =xn

1

+xn

2

n

isinN avem relaţia




x1 +x1 x2 +x2 x21x2 +x1x22 x41 +x42 unde




2 nge3 cal-


=x

2

1 +x

2

2Sn =x

n

1 +x

n

2 S1 =3 S2 =x2

1 +x22 =S2 minus2P =5



rArr3

minus3x2

1+x

1=0

rArrx32 minus3x2

2 +x2 =0

oplusrArr

rArrx31 +x3

2 minus3983080

x21 +x2

2

983081+(x1 +x2)=0rArr

124







rArrx4

1 minus3x3

1 +x2


2 =0

oplusrArr

rArrx41 +x4

2 minus3983080

x31 +x3

2

983081+983080

x21 +x2

2

983081=0rArr



S lt0 S gt0

P lt0 x1 lt0x2 gt0P




minus15x+5=0 Atunci

S =5gt0 P = 5

3gt0 deci x1x2 gt0




125






x

y

O

1

minus1

minus4

minus3

minus2

minus1

minusπ

x

y

1

2

3

4

5

6

7

1

minus1

π6

π3

π2

2π3

5π6

π

7π6

4π3

3π2

5π3

11π6

2π

Gcos x

x 0π

6

π

4

π

3

π

2

2π

3

3π

4

5π

6π

cosx1

radic 3

2

radic 2

212

0 minus 12

minusradic

22

minusradic

32

minus1

Valori remarcabile

180






x minus3π

2minus

π

2

π

2

3π

2

5π

2cosx 0

minus 0 + 0

minus 0 + 0

Tabelul de semne



minus11]


=852091983080

π2

+kπ0983081

| kisinZ


T =2π





181








2 +2kπ π

2 +2kπ


π2 +2kπ 3π2 +2kπ983081


+2kπ 3π2

+2kπ983081


+2kπ π2

+2kπ983081


2 +kπ kisinZ

Bijectivitate













pandqp q pandq

0 0 00 1 01 0 01 1 1




2





porqp q porq

0 0 00 1 11 0 11 1 1







3



3 Şiruri progresii

31 Şiruri










37








7 isinN



7 =19isinN


rang 19







lowast



=2k


xk+1 =2k +1minus1

38



xk+1rec

= 2xk +1ip= 2(2k minus1)+1=

=2k+1 minus1





Şiruri mărginite


an =n+2

2n+3este mărginit


a2 = 47

a3 = 59


decacirct 1

an lt1hArr n+2




[minus



39



forallnisinNlowast




an lean+1


foralln

isinN

lowast

an ltan+1


an gean+1


an gtan+1




Şiruri monotone


Şirul (bn ) bn =

983131n

3




1


40



4 Funcţii








3 f

rarr7isin

B



y

21 =y



2=


49







x g


123

codo-





x grarrradic



x2

forallxisinR

50








sive


Exemplu



f rarrc

6 f

rarrd

2

6

3

a

b

c

d

51



Tabelul x 2 3 4g(x) 11 2 11

defineşte



grarr2 4 grarr11



hrarr4 c hrarr4

d hrarr5




(0

infin)






52







Dacă agt0

x

y

O

minus ba

b

Dacă alt0

x

y

O

minus

ba

b


a+infin





rarrR f (x)=ax+b a

=0 Atunci



a2983081

fiind po-

103





f (x)=(3

minusm2 )x+3



radic 3)


minus3

minus18)


hArr983163


hArr983163

a =5b =minus3





852091983080minus b

a0983081852093


de simetrie O



104







852059minusb

a

infin983081


a


minusinfinminus ba

983081

f (x)lt0hArr

x

isin852059minusb

a



a



105








x12 =minusb

2a


x1 =minusb+

radic ∆

2a


∆

2a





3x2 minus5x+2=0


122




2middot3=1


1

2

middot3

=2

3


mx2 minus(m+3)x+4=0



Teoremă

Fie x1

şi x2


ax2 +bx+c=0 Atunci

S =x1 +x2 =minusb

a P =x1 middotx2 =

c

a



1 +x22 =S2 minus2P

1

x1

+1

x2

=S

P

x3

1+x3

2=S

middot(S2

minus3P )

1

x21

+1

x22

=S2 minus2P

P 2


123



Cu notaţia Sn =xn

1

+xn

2

n

isinN avem relaţia




x1 +x1 x2 +x2 x21x2 +x1x22 x41 +x42 unde




2 nge3 cal-


=x

2

1 +x

2

2Sn =x

n

1 +x

n

2 S1 =3 S2 =x2

1 +x22 =S2 minus2P =5



rArr3

minus3x2

1+x

1=0

rArrx32 minus3x2

2 +x2 =0

oplusrArr

rArrx31 +x3

2 minus3983080

x21 +x2

2

983081+(x1 +x2)=0rArr

124







rArrx4

1 minus3x3

1 +x2


2 =0

oplusrArr

rArrx41 +x4

2 minus3983080

x31 +x3

2

983081+983080

x21 +x2

2

983081=0rArr



S lt0 S gt0

P lt0 x1 lt0x2 gt0P




minus15x+5=0 Atunci

S =5gt0 P = 5

3gt0 deci x1x2 gt0




125






x

y

O

1

minus1

minus4

minus3

minus2

minus1

minusπ

x

y

1

2

3

4

5

6

7

1

minus1

π6

π3

π2

2π3

5π6

π

7π6

4π3

3π2

5π3

11π6

2π

Gcos x

x 0π

6

π

4

π

3

π

2

2π

3

3π

4

5π

6π

cosx1

radic 3

2

radic 2

212

0 minus 12

minusradic

22

minusradic

32

minus1

Valori remarcabile

180






x minus3π

2minus

π

2

π

2

3π

2

5π

2cosx 0

minus 0 + 0

minus 0 + 0

Tabelul de semne



minus11]


=852091983080

π2

+kπ0983081

| kisinZ


T =2π





181








2 +2kπ π

2 +2kπ


π2 +2kπ 3π2 +2kπ983081


+2kπ 3π2

+2kπ983081


+2kπ π2

+2kπ983081


2 +kπ kisinZ

Bijectivitate








porqp q porq

0 0 00 1 11 0 11 1 1







3



3 Şiruri progresii

31 Şiruri










37








7 isinN



7 =19isinN


rang 19







lowast



=2k


xk+1 =2k +1minus1

38



xk+1rec

= 2xk +1ip= 2(2k minus1)+1=

=2k+1 minus1





Şiruri mărginite


an =n+2

2n+3este mărginit


a2 = 47

a3 = 59


decacirct 1

an lt1hArr n+2




[minus



39



forallnisinNlowast




an lean+1


foralln

isinN

lowast

an ltan+1


an gean+1


an gtan+1




Şiruri monotone


Şirul (bn ) bn =

983131n

3




1


40



4 Funcţii








3 f

rarr7isin

B



y

21 =y



2=


49







x g


123

codo-





x grarrradic



x2

forallxisinR

50








sive


Exemplu



f rarrc

6 f

rarrd

2

6

3

a

b

c

d

51



Tabelul x 2 3 4g(x) 11 2 11

defineşte



grarr2 4 grarr11



hrarr4 c hrarr4

d hrarr5




(0

infin)






52







Dacă agt0

x

y

O

minus ba

b

Dacă alt0

x

y

O

minus

ba

b


a+infin





rarrR f (x)=ax+b a

=0 Atunci



a2983081

fiind po-

103





f (x)=(3

minusm2 )x+3



radic 3)


minus3

minus18)


hArr983163


hArr983163

a =5b =minus3





852091983080minus b

a0983081852093


de simetrie O



104







852059minusb

a

infin983081


a


minusinfinminus ba

983081

f (x)lt0hArr

x

isin852059minusb

a



a



105








x12 =minusb

2a


x1 =minusb+

radic ∆

2a


∆

2a





3x2 minus5x+2=0


122




2middot3=1


1

2

middot3

=2

3


mx2 minus(m+3)x+4=0



Teoremă

Fie x1

şi x2


ax2 +bx+c=0 Atunci

S =x1 +x2 =minusb

a P =x1 middotx2 =

c

a



1 +x22 =S2 minus2P

1

x1

+1

x2

=S

P

x3

1+x3

2=S

middot(S2

minus3P )

1

x21

+1

x22

=S2 minus2P

P 2


123



Cu notaţia Sn =xn

1

+xn

2

n

isinN avem relaţia




x1 +x1 x2 +x2 x21x2 +x1x22 x41 +x42 unde




2 nge3 cal-


=x

2

1 +x

2

2Sn =x

n

1 +x

n

2 S1 =3 S2 =x2

1 +x22 =S2 minus2P =5



rArr3

minus3x2

1+x

1=0

rArrx32 minus3x2

2 +x2 =0

oplusrArr

rArrx31 +x3

2 minus3983080

x21 +x2

2

983081+(x1 +x2)=0rArr

124







rArrx4

1 minus3x3

1 +x2


2 =0

oplusrArr

rArrx41 +x4

2 minus3983080

x31 +x3

2

983081+983080

x21 +x2

2

983081=0rArr



S lt0 S gt0

P lt0 x1 lt0x2 gt0P




minus15x+5=0 Atunci

S =5gt0 P = 5

3gt0 deci x1x2 gt0




125






x

y

O

1

minus1

minus4

minus3

minus2

minus1

minusπ

x

y

1

2

3

4

5

6

7

1

minus1

π6

π3

π2

2π3

5π6

π

7π6

4π3

3π2

5π3

11π6

2π

Gcos x

x 0π

6

π

4

π

3

π

2

2π

3

3π

4

5π

6π

cosx1

radic 3

2

radic 2

212

0 minus 12

minusradic

22

minusradic

32

minus1

Valori remarcabile

180






x minus3π

2minus

π

2

π

2

3π

2

5π

2cosx 0

minus 0 + 0

minus 0 + 0

Tabelul de semne



minus11]


=852091983080

π2

+kπ0983081

| kisinZ


T =2π





181








2 +2kπ π

2 +2kπ


π2 +2kπ 3π2 +2kπ983081


+2kπ 3π2

+2kπ983081


+2kπ π2

+2kπ983081


2 +kπ kisinZ

Bijectivitate






3 Şiruri progresii

31 Şiruri










37








7 isinN



7 =19isinN


rang 19







lowast



=2k


xk+1 =2k +1minus1

38



xk+1rec

= 2xk +1ip= 2(2k minus1)+1=

=2k+1 minus1





Şiruri mărginite


an =n+2

2n+3este mărginit


a2 = 47

a3 = 59


decacirct 1

an lt1hArr n+2




[minus



39



forallnisinNlowast




an lean+1


foralln

isinN

lowast

an ltan+1


an gean+1


an gtan+1




Şiruri monotone


Şirul (bn ) bn =

983131n

3




1


40



4 Funcţii








3 f

rarr7isin

B



y

21 =y



2=


49







x g


123

codo-





x grarrradic



x2

forallxisinR

50








sive


Exemplu



f rarrc

6 f

rarrd

2

6

3

a

b

c

d

51



Tabelul x 2 3 4g(x) 11 2 11

defineşte



grarr2 4 grarr11



hrarr4 c hrarr4

d hrarr5




(0

infin)






52







Dacă agt0

x

y

O

minus ba

b

Dacă alt0

x

y

O

minus

ba

b


a+infin





rarrR f (x)=ax+b a

=0 Atunci



a2983081

fiind po-

103





f (x)=(3

minusm2 )x+3



radic 3)


minus3

minus18)


hArr983163


hArr983163

a =5b =minus3





852091983080minus b

a0983081852093


de simetrie O



104







852059minusb

a

infin983081


a


minusinfinminus ba

983081

f (x)lt0hArr

x

isin852059minusb

a



a



105








x12 =minusb

2a


x1 =minusb+

radic ∆

2a


∆

2a





3x2 minus5x+2=0


122




2middot3=1


1

2

middot3

=2

3


mx2 minus(m+3)x+4=0



Teoremă

Fie x1

şi x2


ax2 +bx+c=0 Atunci

S =x1 +x2 =minusb

a P =x1 middotx2 =

c

a



1 +x22 =S2 minus2P

1

x1

+1

x2

=S

P

x3

1+x3

2=S

middot(S2

minus3P )

1

x21

+1

x22

=S2 minus2P

P 2


123



Cu notaţia Sn =xn

1

+xn

2

n

isinN avem relaţia




x1 +x1 x2 +x2 x21x2 +x1x22 x41 +x42 unde




2 nge3 cal-


=x

2

1 +x

2

2Sn =x

n

1 +x

n

2 S1 =3 S2 =x2

1 +x22 =S2 minus2P =5



rArr3

minus3x2

1+x

1=0

rArrx32 minus3x2

2 +x2 =0

oplusrArr

rArrx31 +x3

2 minus3983080

x21 +x2

2

983081+(x1 +x2)=0rArr

124







rArrx4

1 minus3x3

1 +x2


2 =0

oplusrArr

rArrx41 +x4

2 minus3983080

x31 +x3

2

983081+983080

x21 +x2

2

983081=0rArr



S lt0 S gt0

P lt0 x1 lt0x2 gt0P




minus15x+5=0 Atunci

S =5gt0 P = 5

3gt0 deci x1x2 gt0




125






x

y

O

1

minus1

minus4

minus3

minus2

minus1

minusπ

x

y

1

2

3

4

5

6

7

1

minus1

π6

π3

π2

2π3

5π6

π

7π6

4π3

3π2

5π3

11π6

2π

Gcos x

x 0π

6

π

4

π

3

π

2

2π

3

3π

4

5π

6π

cosx1

radic 3

2

radic 2

212

0 minus 12

minusradic

22

minusradic

32

minus1

Valori remarcabile

180






x minus3π

2minus

π

2

π

2

3π

2

5π

2cosx 0

minus 0 + 0

minus 0 + 0

Tabelul de semne



minus11]


=852091983080

π2

+kπ0983081

| kisinZ


T =2π





181








2 +2kπ π

2 +2kπ


π2 +2kπ 3π2 +2kπ983081


+2kπ 3π2

+2kπ983081


+2kπ π2

+2kπ983081


2 +kπ kisinZ

Bijectivitate











7 isinN



7 =19isinN


rang 19







lowast



=2k


xk+1 =2k +1minus1

38



xk+1rec

= 2xk +1ip= 2(2k minus1)+1=

=2k+1 minus1





Şiruri mărginite


an =n+2

2n+3este mărginit


a2 = 47

a3 = 59


decacirct 1

an lt1hArr n+2




[minus



39



forallnisinNlowast




an lean+1


foralln

isinN

lowast

an ltan+1


an gean+1


an gtan+1




Şiruri monotone


Şirul (bn ) bn =

983131n

3




1


40



4 Funcţii








3 f

rarr7isin

B



y

21 =y



2=


49







x g


123

codo-





x grarrradic



x2

forallxisinR

50








sive


Exemplu



f rarrc

6 f

rarrd

2

6

3

a

b

c

d

51



Tabelul x 2 3 4g(x) 11 2 11

defineşte



grarr2 4 grarr11



hrarr4 c hrarr4

d hrarr5




(0

infin)






52







Dacă agt0

x

y

O

minus ba

b

Dacă alt0

x

y

O

minus

ba

b


a+infin





rarrR f (x)=ax+b a

=0 Atunci



a2983081

fiind po-

103





f (x)=(3

minusm2 )x+3



radic 3)


minus3

minus18)


hArr983163


hArr983163

a =5b =minus3





852091983080minus b

a0983081852093


de simetrie O



104







852059minusb

a

infin983081


a


minusinfinminus ba

983081

f (x)lt0hArr

x

isin852059minusb

a



a



105








x12 =minusb

2a


x1 =minusb+

radic ∆

2a


∆

2a





3x2 minus5x+2=0


122




2middot3=1


1

2

middot3

=2

3


mx2 minus(m+3)x+4=0



Teoremă

Fie x1

şi x2


ax2 +bx+c=0 Atunci

S =x1 +x2 =minusb

a P =x1 middotx2 =

c

a



1 +x22 =S2 minus2P

1

x1

+1

x2

=S

P

x3

1+x3

2=S

middot(S2

minus3P )

1

x21

+1

x22

=S2 minus2P

P 2


123



Cu notaţia Sn =xn

1

+xn

2

n

isinN avem relaţia




x1 +x1 x2 +x2 x21x2 +x1x22 x41 +x42 unde




2 nge3 cal-


=x

2

1 +x

2

2Sn =x

n

1 +x

n

2 S1 =3 S2 =x2

1 +x22 =S2 minus2P =5



rArr3

minus3x2

1+x

1=0

rArrx32 minus3x2

2 +x2 =0

oplusrArr

rArrx31 +x3

2 minus3983080

x21 +x2

2

983081+(x1 +x2)=0rArr

124







rArrx4

1 minus3x3

1 +x2


2 =0

oplusrArr

rArrx41 +x4

2 minus3983080

x31 +x3

2

983081+983080

x21 +x2

2

983081=0rArr



S lt0 S gt0

P lt0 x1 lt0x2 gt0P




minus15x+5=0 Atunci

S =5gt0 P = 5

3gt0 deci x1x2 gt0




125






x

y

O

1

minus1

minus4

minus3

minus2

minus1

minusπ

x

y

1

2

3

4

5

6

7

1

minus1

π6

π3

π2

2π3

5π6

π

7π6

4π3

3π2

5π3

11π6

2π

Gcos x

x 0π

6

π

4

π

3

π

2

2π

3

3π

4

5π

6π

cosx1

radic 3

2

radic 2

212

0 minus 12

minusradic

22

minusradic

32

minus1

Valori remarcabile

180






x minus3π

2minus

π

2

π

2

3π

2

5π

2cosx 0

minus 0 + 0

minus 0 + 0

Tabelul de semne



minus11]


=852091983080

π2

+kπ0983081

| kisinZ


T =2π





181








2 +2kπ π

2 +2kπ


π2 +2kπ 3π2 +2kπ983081


+2kπ 3π2

+2kπ983081


+2kπ π2

+2kπ983081


2 +kπ kisinZ

Bijectivitate






xk+1rec

= 2xk +1ip= 2(2k minus1)+1=

=2k+1 minus1





Şiruri mărginite


an =n+2

2n+3este mărginit


a2 = 47

a3 = 59


decacirct 1

an lt1hArr n+2




[minus



39



forallnisinNlowast




an lean+1


foralln

isinN

lowast

an ltan+1


an gean+1


an gtan+1




Şiruri monotone


Şirul (bn ) bn =

983131n

3




1


40



4 Funcţii








3 f

rarr7isin

B



y

21 =y



2=


49







x g


123

codo-





x grarrradic



x2

forallxisinR

50








sive


Exemplu



f rarrc

6 f

rarrd

2

6

3

a

b

c

d

51



Tabelul x 2 3 4g(x) 11 2 11

defineşte



grarr2 4 grarr11



hrarr4 c hrarr4

d hrarr5




(0

infin)






52







Dacă agt0

x

y

O

minus ba

b

Dacă alt0

x

y

O

minus

ba

b


a+infin





rarrR f (x)=ax+b a

=0 Atunci



a2983081

fiind po-

103





f (x)=(3

minusm2 )x+3



radic 3)


minus3

minus18)


hArr983163


hArr983163

a =5b =minus3





852091983080minus b

a0983081852093


de simetrie O



104







852059minusb

a

infin983081


a


minusinfinminus ba

983081

f (x)lt0hArr

x

isin852059minusb

a



a



105








x12 =minusb

2a


x1 =minusb+

radic ∆

2a


∆

2a





3x2 minus5x+2=0


122




2middot3=1


1

2

middot3

=2

3


mx2 minus(m+3)x+4=0



Teoremă

Fie x1

şi x2


ax2 +bx+c=0 Atunci

S =x1 +x2 =minusb

a P =x1 middotx2 =

c

a



1 +x22 =S2 minus2P

1

x1

+1

x2

=S

P

x3

1+x3

2=S

middot(S2

minus3P )

1

x21

+1

x22

=S2 minus2P

P 2


123



Cu notaţia Sn =xn

1

+xn

2

n

isinN avem relaţia




x1 +x1 x2 +x2 x21x2 +x1x22 x41 +x42 unde




2 nge3 cal-


=x

2

1 +x

2

2Sn =x

n

1 +x

n

2 S1 =3 S2 =x2

1 +x22 =S2 minus2P =5



rArr3

minus3x2

1+x

1=0

rArrx32 minus3x2

2 +x2 =0

oplusrArr

rArrx31 +x3

2 minus3983080

x21 +x2

2

983081+(x1 +x2)=0rArr

124







rArrx4

1 minus3x3

1 +x2


2 =0

oplusrArr

rArrx41 +x4

2 minus3983080

x31 +x3

2

983081+983080

x21 +x2

2

983081=0rArr



S lt0 S gt0

P lt0 x1 lt0x2 gt0P




minus15x+5=0 Atunci

S =5gt0 P = 5

3gt0 deci x1x2 gt0




125






x

y

O

1

minus1

minus4

minus3

minus2

minus1

minusπ

x

y

1

2

3

4

5

6

7

1

minus1

π6

π3

π2

2π3

5π6

π

7π6

4π3

3π2

5π3

11π6

2π

Gcos x

x 0π

6

π

4

π

3

π

2

2π

3

3π

4

5π

6π

cosx1

radic 3

2

radic 2

212

0 minus 12

minusradic

22

minusradic

32

minus1

Valori remarcabile

180






x minus3π

2minus

π

2

π

2

3π

2

5π

2cosx 0

minus 0 + 0

minus 0 + 0

Tabelul de semne



minus11]


=852091983080

π2

+kπ0983081

| kisinZ


T =2π





181








2 +2kπ π

2 +2kπ


π2 +2kπ 3π2 +2kπ983081


+2kπ 3π2

+2kπ983081


+2kπ π2

+2kπ983081


2 +kπ kisinZ

Bijectivitate






forallnisinNlowast




an lean+1


foralln

isinN

lowast

an ltan+1


an gean+1


an gtan+1




Şiruri monotone


Şirul (bn ) bn =

983131n

3




1


40



4 Funcţii








3 f

rarr7isin

B



y

21 =y



2=


49







x g


123

codo-





x grarrradic



x2

forallxisinR

50








sive


Exemplu



f rarrc

6 f

rarrd

2

6

3

a

b

c

d

51



Tabelul x 2 3 4g(x) 11 2 11

defineşte



grarr2 4 grarr11



hrarr4 c hrarr4

d hrarr5




(0

infin)






52







Dacă agt0

x

y

O

minus ba

b

Dacă alt0

x

y

O

minus

ba

b


a+infin





rarrR f (x)=ax+b a

=0 Atunci



a2983081

fiind po-

103





f (x)=(3

minusm2 )x+3



radic 3)


minus3

minus18)


hArr983163


hArr983163

a =5b =minus3





852091983080minus b

a0983081852093


de simetrie O



104







852059minusb

a

infin983081


a


minusinfinminus ba

983081

f (x)lt0hArr

x

isin852059minusb

a



a



105








x12 =minusb

2a


x1 =minusb+

radic ∆

2a


∆

2a





3x2 minus5x+2=0


122




2middot3=1


1

2

middot3

=2

3


mx2 minus(m+3)x+4=0



Teoremă

Fie x1

şi x2


ax2 +bx+c=0 Atunci

S =x1 +x2 =minusb

a P =x1 middotx2 =

c

a



1 +x22 =S2 minus2P

1

x1

+1

x2

=S

P

x3

1+x3

2=S

middot(S2

minus3P )

1

x21

+1

x22

=S2 minus2P

P 2


123



Cu notaţia Sn =xn

1

+xn

2

n

isinN avem relaţia




x1 +x1 x2 +x2 x21x2 +x1x22 x41 +x42 unde




2 nge3 cal-


=x

2

1 +x

2

2Sn =x

n

1 +x

n

2 S1 =3 S2 =x2

1 +x22 =S2 minus2P =5



rArr3

minus3x2

1+x

1=0

rArrx32 minus3x2

2 +x2 =0

oplusrArr

rArrx31 +x3

2 minus3983080

x21 +x2

2

983081+(x1 +x2)=0rArr

124







rArrx4

1 minus3x3

1 +x2


2 =0

oplusrArr

rArrx41 +x4

2 minus3983080

x31 +x3

2

983081+983080

x21 +x2

2

983081=0rArr



S lt0 S gt0

P lt0 x1 lt0x2 gt0P




minus15x+5=0 Atunci

S =5gt0 P = 5

3gt0 deci x1x2 gt0




125






x

y

O

1

minus1

minus4

minus3

minus2

minus1

minusπ

x

y

1

2

3

4

5

6

7

1

minus1

π6

π3

π2

2π3

5π6

π

7π6

4π3

3π2

5π3

11π6

2π

Gcos x

x 0π

6

π

4

π

3

π

2

2π

3

3π

4

5π

6π

cosx1

radic 3

2

radic 2

212

0 minus 12

minusradic

22

minusradic

32

minus1

Valori remarcabile

180






x minus3π

2minus

π

2

π

2

3π

2

5π

2cosx 0

minus 0 + 0

minus 0 + 0

Tabelul de semne



minus11]


=852091983080

π2

+kπ0983081

| kisinZ


T =2π





181








2 +2kπ π

2 +2kπ


π2 +2kπ 3π2 +2kπ983081


+2kπ 3π2

+2kπ983081


+2kπ π2

+2kπ983081


2 +kπ kisinZ

Bijectivitate






4 Funcţii








3 f

rarr7isin

B



y

21 =y



2=


49







x g


123

codo-





x grarrradic



x2

forallxisinR

50








sive


Exemplu



f rarrc

6 f

rarrd

2

6

3

a

b

c

d

51



Tabelul x 2 3 4g(x) 11 2 11

defineşte



grarr2 4 grarr11



hrarr4 c hrarr4

d hrarr5




(0

infin)






52







Dacă agt0

x

y

O

minus ba

b

Dacă alt0

x

y

O

minus

ba

b


a+infin





rarrR f (x)=ax+b a

=0 Atunci



a2983081

fiind po-

103





f (x)=(3

minusm2 )x+3



radic 3)


minus3

minus18)


hArr983163


hArr983163

a =5b =minus3





852091983080minus b

a0983081852093


de simetrie O



104







852059minusb

a

infin983081


a


minusinfinminus ba

983081

f (x)lt0hArr

x

isin852059minusb

a



a



105








x12 =minusb

2a


x1 =minusb+

radic ∆

2a


∆

2a





3x2 minus5x+2=0


122




2middot3=1


1

2

middot3

=2

3


mx2 minus(m+3)x+4=0



Teoremă

Fie x1

şi x2


ax2 +bx+c=0 Atunci

S =x1 +x2 =minusb

a P =x1 middotx2 =

c

a



1 +x22 =S2 minus2P

1

x1

+1

x2

=S

P

x3

1+x3

2=S

middot(S2

minus3P )

1

x21

+1

x22

=S2 minus2P

P 2


123



Cu notaţia Sn =xn

1

+xn

2

n

isinN avem relaţia




x1 +x1 x2 +x2 x21x2 +x1x22 x41 +x42 unde




2 nge3 cal-


=x

2

1 +x

2

2Sn =x

n

1 +x

n

2 S1 =3 S2 =x2

1 +x22 =S2 minus2P =5



rArr3

minus3x2

1+x

1=0

rArrx32 minus3x2

2 +x2 =0

oplusrArr

rArrx31 +x3

2 minus3983080

x21 +x2

2

983081+(x1 +x2)=0rArr

124







rArrx4

1 minus3x3

1 +x2


2 =0

oplusrArr

rArrx41 +x4

2 minus3983080

x31 +x3

2

983081+983080

x21 +x2

2

983081=0rArr



S lt0 S gt0

P lt0 x1 lt0x2 gt0P




minus15x+5=0 Atunci

S =5gt0 P = 5

3gt0 deci x1x2 gt0




125






x

y

O

1

minus1

minus4

minus3

minus2

minus1

minusπ

x

y

1

2

3

4

5

6

7

1

minus1

π6

π3

π2

2π3

5π6

π

7π6

4π3

3π2

5π3

11π6

2π

Gcos x

x 0π

6

π

4

π

3

π

2

2π

3

3π

4

5π

6π

cosx1

radic 3

2

radic 2

212

0 minus 12

minusradic

22

minusradic

32

minus1

Valori remarcabile

180






x minus3π

2minus

π

2

π

2

3π

2

5π

2cosx 0

minus 0 + 0

minus 0 + 0

Tabelul de semne



minus11]


=852091983080

π2

+kπ0983081

| kisinZ


T =2π





181








2 +2kπ π

2 +2kπ


π2 +2kπ 3π2 +2kπ983081


+2kπ 3π2

+2kπ983081


+2kπ π2

+2kπ983081


2 +kπ kisinZ

Bijectivitate










x g


123

codo-





x grarrradic



x2

forallxisinR

50








sive


Exemplu



f rarrc

6 f

rarrd

2

6

3

a

b

c

d

51



Tabelul x 2 3 4g(x) 11 2 11

defineşte



grarr2 4 grarr11



hrarr4 c hrarr4

d hrarr5




(0

infin)






52







Dacă agt0

x

y

O

minus ba

b

Dacă alt0

x

y

O

minus

ba

b


a+infin





rarrR f (x)=ax+b a

=0 Atunci



a2983081

fiind po-

103





f (x)=(3

minusm2 )x+3



radic 3)


minus3

minus18)


hArr983163


hArr983163

a =5b =minus3





852091983080minus b

a0983081852093


de simetrie O



104







852059minusb

a

infin983081


a


minusinfinminus ba

983081

f (x)lt0hArr

x

isin852059minusb

a



a



105








x12 =minusb

2a


x1 =minusb+

radic ∆

2a


∆

2a





3x2 minus5x+2=0


122




2middot3=1


1

2

middot3

=2

3


mx2 minus(m+3)x+4=0



Teoremă

Fie x1

şi x2


ax2 +bx+c=0 Atunci

S =x1 +x2 =minusb

a P =x1 middotx2 =

c

a



1 +x22 =S2 minus2P

1

x1

+1

x2

=S

P

x3

1+x3

2=S

middot(S2

minus3P )

1

x21

+1

x22

=S2 minus2P

P 2


123



Cu notaţia Sn =xn

1

+xn

2

n

isinN avem relaţia




x1 +x1 x2 +x2 x21x2 +x1x22 x41 +x42 unde




2 nge3 cal-


=x

2

1 +x

2

2Sn =x

n

1 +x

n

2 S1 =3 S2 =x2

1 +x22 =S2 minus2P =5



rArr3

minus3x2

1+x

1=0

rArrx32 minus3x2

2 +x2 =0

oplusrArr

rArrx31 +x3

2 minus3983080

x21 +x2

2

983081+(x1 +x2)=0rArr

124







rArrx4

1 minus3x3

1 +x2


2 =0

oplusrArr

rArrx41 +x4

2 minus3983080

x31 +x3

2

983081+983080

x21 +x2

2

983081=0rArr



S lt0 S gt0

P lt0 x1 lt0x2 gt0P




minus15x+5=0 Atunci

S =5gt0 P = 5

3gt0 deci x1x2 gt0




125






x

y

O

1

minus1

minus4

minus3

minus2

minus1

minusπ

x

y

1

2

3

4

5

6

7

1

minus1

π6

π3

π2

2π3

5π6

π

7π6

4π3

3π2

5π3

11π6

2π

Gcos x

x 0π

6

π

4

π

3

π

2

2π

3

3π

4

5π

6π

cosx1

radic 3

2

radic 2

212

0 minus 12

minusradic

22

minusradic

32

minus1

Valori remarcabile

180






x minus3π

2minus

π

2

π

2

3π

2

5π

2cosx 0

minus 0 + 0

minus 0 + 0

Tabelul de semne



minus11]


=852091983080

π2

+kπ0983081

| kisinZ


T =2π





181








2 +2kπ π

2 +2kπ


π2 +2kπ 3π2 +2kπ983081


+2kπ 3π2

+2kπ983081


+2kπ π2

+2kπ983081


2 +kπ kisinZ

Bijectivitate











sive


Exemplu



f rarrc

6 f

rarrd

2

6

3

a

b

c

d

51



Tabelul x 2 3 4g(x) 11 2 11

defineşte



grarr2 4 grarr11



hrarr4 c hrarr4

d hrarr5




(0

infin)






52







Dacă agt0

x

y

O

minus ba

b

Dacă alt0

x

y

O

minus

ba

b


a+infin





rarrR f (x)=ax+b a

=0 Atunci



a2983081

fiind po-

103





f (x)=(3

minusm2 )x+3



radic 3)


minus3

minus18)


hArr983163


hArr983163

a =5b =minus3





852091983080minus b

a0983081852093


de simetrie O



104







852059minusb

a

infin983081


a


minusinfinminus ba

983081

f (x)lt0hArr

x

isin852059minusb

a



a



105








x12 =minusb

2a


x1 =minusb+

radic ∆

2a


∆

2a





3x2 minus5x+2=0


122




2middot3=1


1

2

middot3

=2

3


mx2 minus(m+3)x+4=0



Teoremă

Fie x1

şi x2


ax2 +bx+c=0 Atunci

S =x1 +x2 =minusb

a P =x1 middotx2 =

c

a



1 +x22 =S2 minus2P

1

x1

+1

x2

=S

P

x3

1+x3

2=S

middot(S2

minus3P )

1

x21

+1

x22

=S2 minus2P

P 2


123



Cu notaţia Sn =xn

1

+xn

2

n

isinN avem relaţia




x1 +x1 x2 +x2 x21x2 +x1x22 x41 +x42 unde




2 nge3 cal-


=x

2

1 +x

2

2Sn =x

n

1 +x

n

2 S1 =3 S2 =x2

1 +x22 =S2 minus2P =5



rArr3

minus3x2

1+x

1=0

rArrx32 minus3x2

2 +x2 =0

oplusrArr

rArrx31 +x3

2 minus3983080

x21 +x2

2

983081+(x1 +x2)=0rArr

124







rArrx4

1 minus3x3

1 +x2


2 =0

oplusrArr

rArrx41 +x4

2 minus3983080

x31 +x3

2

983081+983080

x21 +x2

2

983081=0rArr



S lt0 S gt0

P lt0 x1 lt0x2 gt0P




minus15x+5=0 Atunci

S =5gt0 P = 5

3gt0 deci x1x2 gt0




125






x

y

O

1

minus1

minus4

minus3

minus2

minus1

minusπ

x

y

1

2

3

4

5

6

7

1

minus1

π6

π3

π2

2π3

5π6

π

7π6

4π3

3π2

5π3

11π6

2π

Gcos x

x 0π

6

π

4

π

3

π

2

2π

3

3π

4

5π

6π

cosx1

radic 3

2

radic 2

212

0 minus 12

minusradic

22

minusradic

32

minus1

Valori remarcabile

180






x minus3π

2minus

π

2

π

2

3π

2

5π

2cosx 0

minus 0 + 0

minus 0 + 0

Tabelul de semne



minus11]


=852091983080

π2

+kπ0983081

| kisinZ


T =2π





181








2 +2kπ π

2 +2kπ


π2 +2kπ 3π2 +2kπ983081


+2kπ 3π2

+2kπ983081


+2kπ π2

+2kπ983081


2 +kπ kisinZ

Bijectivitate






Tabelul x 2 3 4g(x) 11 2 11

defineşte



grarr2 4 grarr11



hrarr4 c hrarr4

d hrarr5




(0

infin)






52







Dacă agt0

x

y

O

minus ba

b

Dacă alt0

x

y

O

minus

ba

b


a+infin





rarrR f (x)=ax+b a

=0 Atunci



a2983081

fiind po-

103





f (x)=(3

minusm2 )x+3



radic 3)


minus3

minus18)


hArr983163


hArr983163

a =5b =minus3





852091983080minus b

a0983081852093


de simetrie O



104







852059minusb

a

infin983081


a


minusinfinminus ba

983081

f (x)lt0hArr

x

isin852059minusb

a



a



105








x12 =minusb

2a


x1 =minusb+

radic ∆

2a


∆

2a





3x2 minus5x+2=0


122




2middot3=1


1

2

middot3

=2

3


mx2 minus(m+3)x+4=0



Teoremă

Fie x1

şi x2


ax2 +bx+c=0 Atunci

S =x1 +x2 =minusb

a P =x1 middotx2 =

c

a



1 +x22 =S2 minus2P

1

x1

+1

x2

=S

P

x3

1+x3

2=S

middot(S2

minus3P )

1

x21

+1

x22

=S2 minus2P

P 2


123



Cu notaţia Sn =xn

1

+xn

2

n

isinN avem relaţia




x1 +x1 x2 +x2 x21x2 +x1x22 x41 +x42 unde




2 nge3 cal-


=x

2

1 +x

2

2Sn =x

n

1 +x

n

2 S1 =3 S2 =x2

1 +x22 =S2 minus2P =5



rArr3

minus3x2

1+x

1=0

rArrx32 minus3x2

2 +x2 =0

oplusrArr

rArrx31 +x3

2 minus3983080

x21 +x2

2

983081+(x1 +x2)=0rArr

124







rArrx4

1 minus3x3

1 +x2


2 =0

oplusrArr

rArrx41 +x4

2 minus3983080

x31 +x3

2

983081+983080

x21 +x2

2

983081=0rArr



S lt0 S gt0

P lt0 x1 lt0x2 gt0P




minus15x+5=0 Atunci

S =5gt0 P = 5

3gt0 deci x1x2 gt0




125






x

y

O

1

minus1

minus4

minus3

minus2

minus1

minusπ

x

y

1

2

3

4

5

6

7

1

minus1

π6

π3

π2

2π3

5π6

π

7π6

4π3

3π2

5π3

11π6

2π

Gcos x

x 0π

6

π

4

π

3

π

2

2π

3

3π

4

5π

6π

cosx1

radic 3

2

radic 2

212

0 minus 12

minusradic

22

minusradic

32

minus1

Valori remarcabile

180






x minus3π

2minus

π

2

π

2

3π

2

5π

2cosx 0

minus 0 + 0

minus 0 + 0

Tabelul de semne



minus11]


=852091983080

π2

+kπ0983081

| kisinZ


T =2π





181








2 +2kπ π

2 +2kπ


π2 +2kπ 3π2 +2kπ983081


+2kπ 3π2

+2kπ983081


+2kπ π2

+2kπ983081


2 +kπ kisinZ

Bijectivitate










Dacă agt0

x

y

O

minus ba

b

Dacă alt0

x

y

O

minus

ba

b


a+infin





rarrR f (x)=ax+b a

=0 Atunci



a2983081

fiind po-

103





f (x)=(3

minusm2 )x+3



radic 3)


minus3

minus18)


hArr983163


hArr983163

a =5b =minus3





852091983080minus b

a0983081852093


de simetrie O



104







852059minusb

a

infin983081


a


minusinfinminus ba

983081

f (x)lt0hArr

x

isin852059minusb

a



a



105








x12 =minusb

2a


x1 =minusb+

radic ∆

2a


∆

2a





3x2 minus5x+2=0


122




2middot3=1


1

2

middot3

=2

3


mx2 minus(m+3)x+4=0



Teoremă

Fie x1

şi x2


ax2 +bx+c=0 Atunci

S =x1 +x2 =minusb

a P =x1 middotx2 =

c

a



1 +x22 =S2 minus2P

1

x1

+1

x2

=S

P

x3

1+x3

2=S

middot(S2

minus3P )

1

x21

+1

x22

=S2 minus2P

P 2


123



Cu notaţia Sn =xn

1

+xn

2

n

isinN avem relaţia




x1 +x1 x2 +x2 x21x2 +x1x22 x41 +x42 unde




2 nge3 cal-


=x

2

1 +x

2

2Sn =x

n

1 +x

n

2 S1 =3 S2 =x2

1 +x22 =S2 minus2P =5



rArr3

minus3x2

1+x

1=0

rArrx32 minus3x2

2 +x2 =0

oplusrArr

rArrx31 +x3

2 minus3983080

x21 +x2

2

983081+(x1 +x2)=0rArr

124







rArrx4

1 minus3x3

1 +x2


2 =0

oplusrArr

rArrx41 +x4

2 minus3983080

x31 +x3

2

983081+983080

x21 +x2

2

983081=0rArr



S lt0 S gt0

P lt0 x1 lt0x2 gt0P




minus15x+5=0 Atunci

S =5gt0 P = 5

3gt0 deci x1x2 gt0




125






x

y

O

1

minus1

minus4

minus3

minus2

minus1

minusπ

x

y

1

2

3

4

5

6

7

1

minus1

π6

π3

π2

2π3

5π6

π

7π6

4π3

3π2

5π3

11π6

2π

Gcos x

x 0π

6

π

4

π

3

π

2

2π

3

3π

4

5π

6π

cosx1

radic 3

2

radic 2

212

0 minus 12

minusradic

22

minusradic

32

minus1

Valori remarcabile

180






x minus3π

2minus

π

2

π

2

3π

2

5π

2cosx 0

minus 0 + 0

minus 0 + 0

Tabelul de semne



minus11]


=852091983080

π2

+kπ0983081

| kisinZ


T =2π





181








2 +2kπ π

2 +2kπ


π2 +2kπ 3π2 +2kπ983081


+2kπ 3π2

+2kπ983081


+2kπ π2

+2kπ983081


2 +kπ kisinZ

Bijectivitate








f (x)=(3

minusm2 )x+3



radic 3)


minus3

minus18)


hArr983163


hArr983163

a =5b =minus3





852091983080minus b

a0983081852093


de simetrie O



104







852059minusb

a

infin983081


a


minusinfinminus ba

983081

f (x)lt0hArr

x

isin852059minusb

a



a



105








x12 =minusb

2a


x1 =minusb+

radic ∆

2a


∆

2a





3x2 minus5x+2=0


122




2middot3=1


1

2

middot3

=2

3


mx2 minus(m+3)x+4=0



Teoremă

Fie x1

şi x2


ax2 +bx+c=0 Atunci

S =x1 +x2 =minusb

a P =x1 middotx2 =

c

a



1 +x22 =S2 minus2P

1

x1

+1

x2

=S

P

x3

1+x3

2=S

middot(S2

minus3P )

1

x21

+1

x22

=S2 minus2P

P 2


123



Cu notaţia Sn =xn

1

+xn

2

n

isinN avem relaţia




x1 +x1 x2 +x2 x21x2 +x1x22 x41 +x42 unde




2 nge3 cal-


=x

2

1 +x

2

2Sn =x

n

1 +x

n

2 S1 =3 S2 =x2

1 +x22 =S2 minus2P =5



rArr3

minus3x2

1+x

1=0

rArrx32 minus3x2

2 +x2 =0

oplusrArr

rArrx31 +x3

2 minus3983080

x21 +x2

2

983081+(x1 +x2)=0rArr

124







rArrx4

1 minus3x3

1 +x2


2 =0

oplusrArr

rArrx41 +x4

2 minus3983080

x31 +x3

2

983081+983080

x21 +x2

2

983081=0rArr



S lt0 S gt0

P lt0 x1 lt0x2 gt0P




minus15x+5=0 Atunci

S =5gt0 P = 5

3gt0 deci x1x2 gt0




125






x

y

O

1

minus1

minus4

minus3

minus2

minus1

minusπ

x

y

1

2

3

4

5

6

7

1

minus1

π6

π3

π2

2π3

5π6

π

7π6

4π3

3π2

5π3

11π6

2π

Gcos x

x 0π

6

π

4

π

3

π

2

2π

3

3π

4

5π

6π

cosx1

radic 3

2

radic 2

212

0 minus 12

minusradic

22

minusradic

32

minus1

Valori remarcabile

180






x minus3π

2minus

π

2

π

2

3π

2

5π

2cosx 0

minus 0 + 0

minus 0 + 0

Tabelul de semne



minus11]


=852091983080

π2

+kπ0983081

| kisinZ


T =2π





181








2 +2kπ π

2 +2kπ


π2 +2kπ 3π2 +2kπ983081


+2kπ 3π2

+2kπ983081


+2kπ π2

+2kπ983081


2 +kπ kisinZ

Bijectivitate










852059minusb

a

infin983081


a


minusinfinminus ba

983081

f (x)lt0hArr

x

isin852059minusb

a



a



105








x12 =minusb

2a


x1 =minusb+

radic ∆

2a


∆

2a





3x2 minus5x+2=0


122




2middot3=1


1

2

middot3

=2

3


mx2 minus(m+3)x+4=0



Teoremă

Fie x1

şi x2


ax2 +bx+c=0 Atunci

S =x1 +x2 =minusb

a P =x1 middotx2 =

c

a



1 +x22 =S2 minus2P

1

x1

+1

x2

=S

P

x3

1+x3

2=S

middot(S2

minus3P )

1

x21

+1

x22

=S2 minus2P

P 2


123



Cu notaţia Sn =xn

1

+xn

2

n

isinN avem relaţia




x1 +x1 x2 +x2 x21x2 +x1x22 x41 +x42 unde




2 nge3 cal-


=x

2

1 +x

2

2Sn =x

n

1 +x

n

2 S1 =3 S2 =x2

1 +x22 =S2 minus2P =5



rArr3

minus3x2

1+x

1=0

rArrx32 minus3x2

2 +x2 =0

oplusrArr

rArrx31 +x3

2 minus3983080

x21 +x2

2

983081+(x1 +x2)=0rArr

124







rArrx4

1 minus3x3

1 +x2


2 =0

oplusrArr

rArrx41 +x4

2 minus3983080

x31 +x3

2

983081+983080

x21 +x2

2

983081=0rArr



S lt0 S gt0

P lt0 x1 lt0x2 gt0P




minus15x+5=0 Atunci

S =5gt0 P = 5

3gt0 deci x1x2 gt0




125






x

y

O

1

minus1

minus4

minus3

minus2

minus1

minusπ

x

y

1

2

3

4

5

6

7

1

minus1

π6

π3

π2

2π3

5π6

π

7π6

4π3

3π2

5π3

11π6

2π

Gcos x

x 0π

6

π

4

π

3

π

2

2π

3

3π

4

5π

6π

cosx1

radic 3

2

radic 2

212

0 minus 12

minusradic

22

minusradic

32

minus1

Valori remarcabile

180






x minus3π

2minus

π

2

π

2

3π

2

5π

2cosx 0

minus 0 + 0

minus 0 + 0

Tabelul de semne



minus11]


=852091983080

π2

+kπ0983081

| kisinZ


T =2π





181








2 +2kπ π

2 +2kπ


π2 +2kπ 3π2 +2kπ983081


+2kπ 3π2

+2kπ983081


+2kπ π2

+2kπ983081


2 +kπ kisinZ

Bijectivitate











x12 =minusb

2a


x1 =minusb+

radic ∆

2a


∆

2a





3x2 minus5x+2=0


122




2middot3=1


1

2

middot3

=2

3


mx2 minus(m+3)x+4=0



Teoremă

Fie x1

şi x2


ax2 +bx+c=0 Atunci

S =x1 +x2 =minusb

a P =x1 middotx2 =

c

a



1 +x22 =S2 minus2P

1

x1

+1

x2

=S

P

x3

1+x3

2=S

middot(S2

minus3P )

1

x21

+1

x22

=S2 minus2P

P 2


123



Cu notaţia Sn =xn

1

+xn

2

n

isinN avem relaţia




x1 +x1 x2 +x2 x21x2 +x1x22 x41 +x42 unde




2 nge3 cal-


=x

2

1 +x

2

2Sn =x

n

1 +x

n

2 S1 =3 S2 =x2

1 +x22 =S2 minus2P =5



rArr3

minus3x2

1+x

1=0

rArrx32 minus3x2

2 +x2 =0

oplusrArr

rArrx31 +x3

2 minus3983080

x21 +x2

2

983081+(x1 +x2)=0rArr

124







rArrx4

1 minus3x3

1 +x2


2 =0

oplusrArr

rArrx41 +x4

2 minus3983080

x31 +x3

2

983081+983080

x21 +x2

2

983081=0rArr



S lt0 S gt0

P lt0 x1 lt0x2 gt0P




minus15x+5=0 Atunci

S =5gt0 P = 5

3gt0 deci x1x2 gt0




125






x

y

O

1

minus1

minus4

minus3

minus2

minus1

minusπ

x

y

1

2

3

4

5

6

7

1

minus1

π6

π3

π2

2π3

5π6

π

7π6

4π3

3π2

5π3

11π6

2π

Gcos x

x 0π

6

π

4

π

3

π

2

2π

3

3π

4

5π

6π

cosx1

radic 3

2

radic 2

212

0 minus 12

minusradic

22

minusradic

32

minus1

Valori remarcabile

180






x minus3π

2minus

π

2

π

2

3π

2

5π

2cosx 0

minus 0 + 0

minus 0 + 0

Tabelul de semne



minus11]


=852091983080

π2

+kπ0983081

| kisinZ


T =2π





181








2 +2kπ π

2 +2kπ


π2 +2kπ 3π2 +2kπ983081


+2kπ 3π2

+2kπ983081


+2kπ π2

+2kπ983081


2 +kπ kisinZ

Bijectivitate







2middot3=1


1

2

middot3

=2

3


mx2 minus(m+3)x+4=0



Teoremă

Fie x1

şi x2


ax2 +bx+c=0 Atunci

S =x1 +x2 =minusb

a P =x1 middotx2 =

c

a



1 +x22 =S2 minus2P

1

x1

+1

x2

=S

P

x3

1+x3

2=S

middot(S2

minus3P )

1

x21

+1

x22

=S2 minus2P

P 2


123



Cu notaţia Sn =xn

1

+xn

2

n

isinN avem relaţia




x1 +x1 x2 +x2 x21x2 +x1x22 x41 +x42 unde




2 nge3 cal-


=x

2

1 +x

2

2Sn =x

n

1 +x

n

2 S1 =3 S2 =x2

1 +x22 =S2 minus2P =5



rArr3

minus3x2

1+x

1=0

rArrx32 minus3x2

2 +x2 =0

oplusrArr

rArrx31 +x3

2 minus3983080

x21 +x2

2

983081+(x1 +x2)=0rArr

124







rArrx4

1 minus3x3

1 +x2


2 =0

oplusrArr

rArrx41 +x4

2 minus3983080

x31 +x3

2

983081+983080

x21 +x2

2

983081=0rArr



S lt0 S gt0

P lt0 x1 lt0x2 gt0P




minus15x+5=0 Atunci

S =5gt0 P = 5

3gt0 deci x1x2 gt0




125






x

y

O

1

minus1

minus4

minus3

minus2

minus1

minusπ

x

y

1

2

3

4

5

6

7

1

minus1

π6

π3

π2

2π3

5π6

π

7π6

4π3

3π2

5π3

11π6

2π

Gcos x

x 0π

6

π

4

π

3

π

2

2π

3

3π

4

5π

6π

cosx1

radic 3

2

radic 2

212

0 minus 12

minusradic

22

minusradic

32

minus1

Valori remarcabile

180






x minus3π

2minus

π

2

π

2

3π

2

5π

2cosx 0

minus 0 + 0

minus 0 + 0

Tabelul de semne



minus11]


=852091983080

π2

+kπ0983081

| kisinZ


T =2π





181








2 +2kπ π

2 +2kπ


π2 +2kπ 3π2 +2kπ983081


+2kπ 3π2

+2kπ983081


+2kπ π2

+2kπ983081


2 +kπ kisinZ

Bijectivitate






Cu notaţia Sn =xn

1

+xn

2

n

isinN avem relaţia




x1 +x1 x2 +x2 x21x2 +x1x22 x41 +x42 unde




2 nge3 cal-


=x

2

1 +x

2

2Sn =x

n

1 +x

n

2 S1 =3 S2 =x2

1 +x22 =S2 minus2P =5



rArr3

minus3x2

1+x

1=0

rArrx32 minus3x2

2 +x2 =0

oplusrArr

rArrx31 +x3

2 minus3983080

x21 +x2

2

983081+(x1 +x2)=0rArr

124







rArrx4

1 minus3x3

1 +x2


2 =0

oplusrArr

rArrx41 +x4

2 minus3983080

x31 +x3

2

983081+983080

x21 +x2

2

983081=0rArr



S lt0 S gt0

P lt0 x1 lt0x2 gt0P




minus15x+5=0 Atunci

S =5gt0 P = 5

3gt0 deci x1x2 gt0




125






x

y

O

1

minus1

minus4

minus3

minus2

minus1

minusπ

x

y

1

2

3

4

5

6

7

1

minus1

π6

π3

π2

2π3

5π6

π

7π6

4π3

3π2

5π3

11π6

2π

Gcos x

x 0π

6

π

4

π

3

π

2

2π

3

3π

4

5π

6π

cosx1

radic 3

2

radic 2

212

0 minus 12

minusradic

22

minusradic

32

minus1

Valori remarcabile

180






x minus3π

2minus

π

2

π

2

3π

2

5π

2cosx 0

minus 0 + 0

minus 0 + 0

Tabelul de semne



minus11]


=852091983080

π2

+kπ0983081

| kisinZ


T =2π





181








2 +2kπ π

2 +2kπ


π2 +2kπ 3π2 +2kπ983081


+2kπ 3π2

+2kπ983081


+2kπ π2

+2kπ983081


2 +kπ kisinZ

Bijectivitate










rArrx4

1 minus3x3

1 +x2


2 =0

oplusrArr

rArrx41 +x4

2 minus3983080

x31 +x3

2

983081+983080

x21 +x2

2

983081=0rArr



S lt0 S gt0

P lt0 x1 lt0x2 gt0P




minus15x+5=0 Atunci

S =5gt0 P = 5

3gt0 deci x1x2 gt0




125






x

y

O

1

minus1

minus4

minus3

minus2

minus1

minusπ

x

y

1

2

3

4

5

6

7

1

minus1

π6

π3

π2

2π3

5π6

π

7π6

4π3

3π2

5π3

11π6

2π

Gcos x

x 0π

6

π

4

π

3

π

2

2π

3

3π

4

5π

6π

cosx1

radic 3

2

radic 2

212

0 minus 12

minusradic

22

minusradic

32

minus1

Valori remarcabile

180






x minus3π

2minus

π

2

π

2

3π

2

5π

2cosx 0

minus 0 + 0

minus 0 + 0

Tabelul de semne



minus11]


=852091983080

π2

+kπ0983081

| kisinZ


T =2π





181








2 +2kπ π

2 +2kπ


π2 +2kπ 3π2 +2kπ983081


+2kπ 3π2

+2kπ983081


+2kπ π2

+2kπ983081


2 +kπ kisinZ

Bijectivitate









x

y

O

1

minus1

minus4

minus3

minus2

minus1

minusπ

x

y

1

2

3

4

5

6

7

1

minus1

π6

π3

π2

2π3

5π6

π

7π6

4π3

3π2

5π3

11π6

2π

Gcos x

x 0π

6

π

4

π

3

π

2

2π

3

3π

4

5π

6π

cosx1

radic 3

2

radic 2

212

0 minus 12

minusradic

22

minusradic

32

minus1

Valori remarcabile

180






x minus3π

2minus

π

2

π

2

3π

2

5π

2cosx 0

minus 0 + 0

minus 0 + 0

Tabelul de semne



minus11]


=852091983080

π2

+kπ0983081

| kisinZ


T =2π





181








2 +2kπ π

2 +2kπ


π2 +2kπ 3π2 +2kπ983081


+2kπ 3π2

+2kπ983081


+2kπ π2

+2kπ983081


2 +kπ kisinZ

Bijectivitate









x minus3π

2minus

π

2

π

2

3π

2

5π

2cosx 0

minus 0 + 0

minus 0 + 0

Tabelul de semne



minus11]


=852091983080

π2

+kπ0983081

| kisinZ


T =2π





181








2 +2kπ π

2 +2kπ


π2 +2kπ 3π2 +2kπ983081


+2kπ 3π2

+2kπ983081


+2kπ π2

+2kπ983081


2 +kπ kisinZ

Bijectivitate











2 +2kπ π

2 +2kπ


π2 +2kπ 3π2 +2kπ983081


+2kπ 3π2

+2kπ983081


+2kπ π2

+2kπ983081


2 +kπ kisinZ

Bijectivitate




presstern fituica matematica 2 algebra

Documents