prelucrarea datelor experimentale

Facultatea de Mecanică Departamentul :

1

LUCRAREA nr. 4

PRELUCRAREA DATELOR EXPERIMENTALE 4.1. Consideraţii teoretice 4.1.1. Erori de măsurare Măsurarea unei mărimi fizice reprezintă operaţia prin care aflăm de câte ori mărimea respectivă este mai mare sau mai mică decât unitatea de măsură. După natura mijloacelor folosite în procesul de măsurare măsurătorile pot fi: - directe, când mărimea fizică se compară cu unitatea de măsură; - indirecte, când valoarea mărimii fizice respective se obţine prin intermediul altor mărimi de care depinde. Măsurătorile, de orice natură ar fi şi oricât de corect s-ar efectua, sunt afectate în mod obligatoriu de „erori” datorită variaţiei în timp a obiectului de măsurat, imperfecţiunii organelor noastre de simţ, a aparaturii şi metodelor de măsurare, precum şi a influenţei condiţiilor exterioare. Prin „eroare de măsurare” se înţelege diferenţa dintre rezultatul obţinut prin măsurarea unei mărimi fizice şi valoarea sa adevărată, adică:

x = xi - x0 (4.1) unde: xi - este rezultatul măsurătorii;

x0- valoarea adevărată. Pe lângă o astfel de estimare absolută a preciziei măsurătorilor, în practică se foloseşte şi noţiunea de „eroare relativă“ definită cu relaţia:

Ex

xr

0

100 [%] (4.2)

Eroarea relativă permite caracterizarea preciziei măsurătorilor efectuate pe mărimi fizice de aceeaşi natură, dar de dimensiuni diferite. Erorile rezultate din măsurători se pot clasifica în: - erori grosolane; - erori sistematice; - erori accidentale. Dacă rezultatul unei măsurători diferă esenţial ca valoare de rezultatele celorlalte măsurători se spune că aceasta a fost afectată de o eroare grosolană.

În cele ce urmează se consideră că rezultatele măsurătorilor supuse prelucrării matematice nu conţin erori grosolane.

Erorile sistematice sunt acele erori care rămân constante în cadrul operaţiei de măsurare şi nu pot fi eliminate prin repetarea operaţiei de măsurare. Se deosebesc trei tipuri de erori sistematice şi anume: a) Erori sistematice instrumentale. Acestea sunt de două feluri: - erori instrumentale care pot fi considerate în calcul şi eliminate (de exemplu, măsurarea unei lungimi cu un instrument etalonat la o temperatură şi utilizat la o altă temperatură);


2

- erori instrumentale care nu pot fi eliminate din calcul. Ele se datoresc clasei de precizie şi sunt specifice fiecărui aparat. Eroarea sistematică S a unui aparat construit în clasa de precizie c este egală cu:

sxc c

100 (4.3)

unde cu xc s-a notat valoarea maximă indicată pe scala instrumentului de măsură. Aparatele de clasă de precizie 0,05 0,2 sunt considerate etaloane, cele din clasa 0,2 1,5 sunt aparate de laborator, iar cele de clasă 1,5 2,5 sunt aparate industriale. b) Erori sistematice produse de influenţa mediului exterior cum sunt temperatura, presiunea; c) Erori sistematice personale cauzate de inperfecţiunea organelor de simţ ale experimentatorului. Erorile accidentale (aleatoare) apar din cauza unor multitudini de factori şi nu pot fi înlăturate. Ele au următoarele proprietăţi: - sunt diferite între ele ca mărime şi semn; - au o distribuţie întâmplătoare şi se supun unor legi statistice; - erorile aleatoare pozitive sunt tot atât de frecvente ca şi cele negative; - erorile aleatoare cu o valoare absolută mai mică sunt mai numeroase decât cele cu valoare absolută mare; - erorile aleatoare nu pot depăşi o anumită limită; - media aritmetică a erorilor aleatoare datorate unor măsurători executate cu acelaşi grad de precizie asupra unei aceleiaşi mărimi tinde la zero când numărul de măsurători tinde la infinit:

limn

i

n

n

1 0 (4.4)

- dacă numărul de măsurători tinde la infinit eroarea accidentală poate fi considerată ca o „variabilă aleatoare continuă“ 4.1.2. Metode de prelucrare a datelor experimentale Problema de bază Principalele probleme care se pun la prelucrarea unui şir (selecţie) de date experimentale afectate de erori accidentale obţinute prin măsurători cu acelaşi grad de precizie, asupra unei aceleaişi mărimi fizice sunt: I - aflarea unei valori care să se apropie cel mai mult de valoarea adevărată a mărimii respective; II - determinarea unui interval (-, +) în jurul acestei valori în care să cadă valoarea adevărată. Mărimea 2 se numeşte „interval de încredere”; III- determinarea probabilităţii ca valoarea adevărată să cadă în intervalul de încredere. Această probabilitate se notează cu şi se numeşte „coeficient de încredere”. În practică se efectuează un număr finit de măsurători, spre exemplu: x1, x2, x3, ... xn Acest şir de măsurători poate fi privit ca o „selecţie întâmplătoare” din măsurătorile ce formează ansamblul general normal (mulţime infinită de măsurători). Fiecare selecţie de n măsurători se caracterizează prin două mărimi:

- media aritmetică: x

x

n

ii

n

1 (4.5)


3

- dispersia selecţiei: S

x x

n

ii

n

( )2

1 (4.6)

Cum pentru selecţii diferite x şi S au valori diferite rezultă că atât „media aritmetică xcât şi dispersia S sunt variabile aleatoare”, caracterizate de următoarele distribuţii:

f xn

en

x x

22

22 0

2

( )( )

(4.7)

f Sn

n

Se

n

n

n

n

nS

n3

1

2

3

2

2

1

21

2

2

2( )

( )

(4.8)

unde (n) sunt funcţii Bessel de speţa a doua iar xo valoarea adevărată a mărimii măsurate. În continuare se va încerca să se dea răspuns la cele trei probleme de bază utilizând „metoda celor mai mici pătrate” Metoda celor mai mici pătrate urmăreşte determinarea unei valori considerată ca valoare adevărată a mărimii măsurate astfel încât suma pătratelor erorilor dată de această valoare luată ca referinţă să fie minimă. Se poate demonstra că această problemă de minim este satisfăcută de media aritmetică a valorilor măsurate. În plus media aritmetică tinde la valoarea adevărată când numărul de măsurători tinde la infinit. Răspunsul la prima problemă de bază se formulează astfel: „media aritmetică este cea mai apropiată de valoarea adevărată“. Pentru a răspunde la întrebarea doi şi trei este necesar să se calculeze probabilitatea ca eroarea = x - xo să se afle în intervalul de încredere (-, ). Există diferite metode pentru determinarea intervalului şi a coeficientului de încredere. Metoda clasică a erorilor se aplică în cazul unui număr mare de determinări (n>20). Media dispersiei selecţiei este:

S S f S dsn

n

23

2

0

1( ) (4.9)

Deoarece numărul de determinări este mare se poate accepta ipoteza că valoarea medie a dispersiei selecţiei este egală cu dispersia însăşi:

Sn

n2 21

(4.10)

Eroarea medie pătratică devine:

2

1

( )

1 ( 1)

n

ii

x xn

Sn n

(4.11)

care reprezintă formula lui Bessel, iar eroarea medie a mediei aritmetice:

x

ii

n

x x

n n

( )

( )

2

1

1 (4.12)

Deoarece:

n

x

(4.13)

unde = f() - tabelul 4.1, valoarea intervalului de încredere:


4

x (4.14)

Pentru = 0,68, = 1,0 , iar = x.

Tabelul 4.1 0 0 1,2 0,77 2,6 0,990

0,05 0,04 1,3 0,80 2,7 0,993 0,1 0,08 1,4 0,84 2,8 0,995 0,15 0,12 1,5 0,87 2,9 0,996 0,2 0,16 1,6 0,89 3,0 0,997 0,.3 0,24 1,7 0,91 3,1 0,9981 0,4 0,31 1,8 0,93 3,2 0,9986 0,5 0,38 1,9 0,94 3,3 0,9990 0,6 0,45 2,0 0,95 3,4 0,9993 0,7 0,51 2,1 0,964 3,5 0,9995 0,8 0,57 2,2 0,972 3,6 0,9997 0,9 0,63 2,3 0,978 3,7 0,9998 1,0 0,68 2,4 0,984 3,8 0,99986 1,1 0,73 2,5 0,988 3,9 0,99990

4,0 0,99993

În concluzie, prelucrarea datelor experimentale în teoria clasică a erorilor constă în următoarele: a) - se calculează valoarea cea mai probabilă a mărimii măsurate ca fiind media aritmetică:

xx

n

ii

n

1

b) - se calculează eroarea medie pătratică cu formula lui Bessel:

( )x x

n

ii

n2

1

1

c) - se calculează eroarea medie a mediei aritmetice:

x

ii

n

x x

n n

( )

( )

2

1

1

c) - se scrie rezultatul sub forma:

x x x cu = x pentru = 0,68. Dacă dorim să modificăm intervalul de încredere ‘ x, se calculează cu noul interval valoarea lui ’ ’

x şi din tabelul 1 se citeşte coeficientul de încredere ().

4.1.3. Prelucrarea datelor experimentale. Metoda regresiei liniare.


5

În unele lucrări de laborator este necesar să se exprime sub formă de ecuaţii algebrice o dependenţă funcţională care există între variabilele indicate de grafice sau tabele. Se consideră numai cazul funcţiilor algebrice liniare în care intră numai o singură variabilă independentă, adică se studiază fenomene în care se variază numai un singur parametru. Funcţiile liniare sunt deosebit de importante deoarece multe dependenţe funcţionale neliniare pot fi aduse la forma liniară cu ajutorul unor substituţii (frecvent utilizată este logaritmarea). Deşi se presupune, sau se cunoaşte teoretic caracterul liniar al dependenţei, valorile “yi” indicate nu se află pe o dreaptă din cauza erorilor întâmplătoare care deformează rezultatele. Problema care se pune este aceea a modului în care trebuie trasată dreapta căutată (dreapta de regresie) printre punctele însemnate într-o diagramă în coordonate (xy). Se pleacă de la ipoteza că pentru o anumită valoare a variabilei independente x, mărimea y se supune unei distribuţii normale (Gauss) în jurul valorii medii ideale care se află pe dreapta de regresie, iar această distribuţie Gauss este independentă de valoarea lui x. Să presupunem că dependenţa funcţională liniară a fost pusă sub forma canonică:

y = a + b.x (4.15) Problema este de a determina coeficientul a şi b astfel încât dreapta y = a + bx, numită dreaptă de regresie să exprime cu probabilitate maximă şirul de date experimentale considerat. În acest caz se aplică metoda sumei minime a pătratelor erorilor (metoda celor mai mici pătrate), folosindu-se diferenţa de ordonate între punctul yi şi dreapta y = f(x), adică:

( ) min.y yi 2 (4.16)

Dreapta cu cea mai mică valoare a sumei pătratelor erorilor are cea mai mare probabilitate de a fi dreapta căutată (dreapta de regresie) şi poate fi pusă sub forma:

( ) ( )y y b x xi i (4.17)

unde x şi y sunt valorile medii:

xn

xii

n

1

1

; yn

yii

n

1

1

(4.18)

iar n - numărul de măsurători. Cu precizarea că, de obicei, măsurătorile variabilei independente sunt exacte, iar cele ale variabilei dependente sunt afectate de erori care urmează o repartiţie normală, coeficienţii a şi b sunt daţi de expresiile:

ax y x x y

n x xi i i i i

i i

2 2( ) (4.19)

bn x y x y

n x xi i i i

i i

2 2( ) (4.20)

Coeficientul; b, panta dreptei de regresie, mai poartă numele de coeficient de regresie. La raţionamentele anterioare s-a presupus cunoaşterea teoretică sau intuirea simplă din tabelul de date experimentale a existentei unei dependenţe liniare între variabila independentă x şi variabila dependentă y. Când acest lucru nu se cunoaşte trebuie testate datele experimentale cu ajutorul coeficientului de corelaţie rxy:

rS

S Sxy

xy

x y

(4.21)

unde Sxy este parametrul covarianţă, iar Sx şi Sy dispersiile selecţiilor x şi y.

Sx x y y

nxyi i

( )( )

1 (4.22)


6

Dacă coeficientul de corelaţie este în jurul valorii „1” se poate conchide că între valorile x şi y este o dependenţă liniară şi se trece la trasarea dreptei de regresie.

4.2. Temă. Prelucrarea datelor experimentale Se dă setul de date experimentale xI , yI din tabelul 4.2

Tabelul.4.2 Xi 23 34 41 53 60 66 75 83 88 9

5 Yi 32 35 37 38 42 44 47 53 57 6

1 După parcurgerea consideraţiilor teoretice se cere: 1.Să se reprezinte grafic dependenţa y- x

2.Să se calculeze coeficientul de corelaţie conform rel.(4.21)

Se vor utiliza rel.(4.6) pentru calculul dispersiilor, rel.(4.5) pentru calculul mediilor.

X Y .................... ..................

S S Sx y xy ............. ................ ...............

rxy .................

3.Calculul coeficienţilor a şi b ai dreptei de regresie utilizând rel.(4.19) şi (4.20).

ax y x x y

n x xi i i i i

i i

2 2( )=………………..

bn x y x y

n x xi i i i

i i

2 2( )=…………………….

Y = a + bX

4. Să se reprezinte grafic dreapta de regresie

prelucrarea datelor experimentale

Documents