MIRCEA GIURGIU

FIZICANOTE DE CURS

UNIVERSITATEA TEHNICĂ DE CONSTRUCŢII BUCUREŞTI

- 2010 -

Prefaţă

Prezenta lucrare se adresează mai ales studenţilor de la Facultatea de

Geodezie a Universităţii Tehnice de Construcţii Bucureşti şi acoperă o parte

semnificativă din actualul plan de învăţământ al disciplinei Fizică. Însă,

lucrarea poate fi folosită şi de către studenţii celorlalte facultăţi ale

universităţii, deoarece ea cuprinde cea mai mare parte a capitolelor studiate de

aceştia la cursurile de fizică. De asemenea, lucrarea se adresează tuturor celor

interesaţi sa aprofundeze domeniul atât de complex şi de vast al fizicii.

Tratarea materialului de faţă s-a făcut corespunzător nivelului actual al

cursurilor de “Fizică generală”, punându-se accent pe evidenţierea principiilor

generale ale fizicii şi mai puţin asupra procedeelor specifice fiecărui domeniu.

Înţelegerea acestor cursuri presupune cunoştinţe matematice din

domeniul ecuaţiilor diferenţiale, calculului integral, algebrei şi analizei

vectoriale, etc.

Însuşirea fizicii este o premisă obligatorie pentru abordarea cu succes a

disciplinelor tehnice generale şi de specialitate necesare profesiei de inginer.

Autorul

1

CUPRINS

I INTRODUCERE 7

1.1. Unităţi de măsură. Mărimi fizice fundamentale 10

1.2. Formule dimensionale 12

1.3. Analiză dimensională 13

II ELEMENTE DE MECANICĂ CLASICĂ 16

2.1. Conceptele fundamentale ale mecanicii clasice 16

2.1.1. Elementele mişcării: traiectoria, viteza, acceleraţia 18

2.2. Principiile mecanicii clasice 21

2.3 Lucrul mecanic. Puterea 26

2.4. Energia cinetică 28

2.5. Energia potenţială 31

2.6. Teoremele generale ale mecanicii 35

2.6.1. Teorema impulsului 37

2.6.2. Teorema momentului cinetic 38

2.6.3 Teorema energiei 40

2.7. Oscilaţii şi unde elastice 44

2.7.1. Oscilaţii armonice 45

2.7.2. Compunerea oscilaţiilor armonice 47

2.7.3. Oscilaţii amortizate 51

2.7.4. Oscilaţii forţate şi rezonanţa 53

2.7.5. Unde elastice. Ecuaţia undei plane 56

2.7.6. Viteza de propagare a undelor. Dispersia undelor 59

2.7.7. Unde sferice 61

2.7.8. Energia undei. Intensitatea undei. Atenuarea undelor 62

2.7.9. Elemente de acustică 65

2.7.10. Ultrasunetele şi aplicaţiile lor 68

2

III TEORIA RELATIVITĂŢII 70

3.1. Relativitatea clasică 70

3.2. Teoria relativităţii restrânse (speciale) 73

3.2.1. Principiile relativităţii restrânse 74

3.2.2. Grupul de transformări Lorentz 75

3.2.3. Consecinţe cinematice ale grupului de transformări

Lorentz 77

3.2.3.1. Contracţia lungimilor 78

3.2.3.2. Dilatarea duratelor 79

3.2.3.3. Compunerea relativistă a vitezelor 80

3.2.3.4. Universul cvadridimensional 82

3.2.4. Elemente de dinamică relativistă 84

3.2.4.1. Dependenţa masei de viteză 84

3.2.4.2. Relaţia dintre masă şi energie 87

3.2.4.3. Relaţia dintre energie şi impuls 89

IV TERMODINAMICA 92

4.1. Noţiuni termodinamice de bază 92

4.2. Sisteme termodinamice 94

4.2.1. Gazul ideal 94

4.2.2. Teoria cinetico - moleculară a gazului ideal 96

4.2.2.1. Calculul cinetic al presiunii unui gaz ideal 96

4.2.2.2. Interpretarea cinetico - moleculară a temperaturii 99

4.2.2.3. Viteza termică a moleculelor 100

4.2.3. Gazul real 101

4.3. Legea barometrică şi distribuţia moleculelor din

atmosferă după altitudine 105

4.4. Distribuţia moleculelor unui gaz după modulul

vitezei – funcţia de distribuţie Maxwell 107

3

4.5. Principiile termodinamici 108

4.5.1. Energie internă, lucrul mecanic, căldura 108

4.5.2 Principiul întâi al termodinamicii 111

4.5.2.1. Coeficienţi calorici 112

4.5.2.2 Relaţia Robert Mayer pentru gazul ideal 112

4.5.2.3. Transformări politropice ale gazului ideal 113

4.5.3. Principiul al doilea al termodinamicii 117

4.5.3.1. Maşini termice. Ciclul Carnot 117

4.5.3.2. Entropia 119

4.5.4. Principiul al treilea al termodinamicii 123

V ELECTRICITATE ŞI MAGNETISM 126

5.1. Electrostatica 126

5.1.1. Saricina electrică. Legea Coulomb 126

5.1.2. Câmpul electric 129

5.1.2.1. Intensitatea câmpului electrostatic 129

5.1.2.2. Potenţialul electric . Relaţia dintre intensitatea

câmpului electric şi potenţialul electric 131

5.1.2.3. Fluxul câmpului electric. Teorema Gauss pentru medii

omogene. Ecuaţia Poisson 134

5.1.3. Capacitatea electrică a corpurilor conductoare.

Condensatoare 136

5.1.4. Medii dielectrice 140

5.1.5. Energia câmpului electrostatic 144

5.2. Mărimi si legi de bază în electrocinetică 146

5.2.1. Noţiuni introductive 146

5.2.2. Ecuaţia de continuitate 147

5.2.3. Curentul continuu în conductori metalici. Expresiile

locale ale legii Ohm şi legii Joule 148

4

5.2.4. Tensiunea electromotoare 151

5.3. Electromagnetism 153

5.3.1. Câmpul magnetic. Inducţia câmpului magnetic 153

5.3.2. Legea Biot-Savart-Laplace 155

5.3.3. Fluxul inducţiei câmpului magnetic 156

5.3.4. Legea circuitului magnetic (legea circuitală Ampère) 157

5.3.5. Inducţia electromagnetică 158

5.3.6. Autoinducţia. Energia câmpului magnetic 162

5.3.7. Curentul de deplasare. Inducţia magnetoelectrică 164

5.3.8. Câmpul electromagnetic. Ecuaţiile Maxwell 166

5.4. Unde electromagnetice 169

5.4.1. Ecuaţia undelor electromagnetice 169

5.4.2. Proprietăţile undelor electromagnetice 171

5.4.3. Energia transportată de undele electromagnetice 173

5.4.4. Spectrul undelor electromagnetice 176

VI OPTICA 178

6.1. Elemente de fotometrie 178

6.1.1. Mărimi şi unităţi fotometrice 180

6.2. Optica geometrică 183

6.2.1. Legile fundamentale ale opticii geometrice 183

6.2.2. Reflexia totală a luminii. Fibre optice 185

6.2.3. Aproximaţia gaussiană 186

6.2.4. Dioptrul sferic. Dioptrul plan 187

6.2.5. Oglinda sferică. Oglinda plană 191

6.2.6. Lentila subţire 193

6.2.7. Prisma optică 197

6.2.8. Aberaţiile sistemelor optice 202

6.2.9. Aparate optice 205

5

6.2.9.1. Caracteristicile aparatelor optice 205

6.2.9.2. Aparate optice cu imagini reale 207

6.2.9.3. Aparate optice cu imagini virtuale 211

6.3. Optica ondulatorie 214

6.3.1. Interferenţa luminii 214

6.3.1.1. Noţiuni despre condiţia de coerenţă 217

6.3.1.2. Dispozitive de interferenţă 220

6.3.2. Difracţia luminii 227

6.3.2.1. Difracţia Fraunhofer pe o fantă dreptunghiulară 228

6.3.2.2. Difracţia Fraunhofer pe o reţea de difracţie plană 232

6.3.3. Polarizarea luminii 237

6.3.3.1. Polarizarea luminii prin reflexie 238

6.3.3.2. Polarizarea luminii prin dublă refracţie 240

6.3.3.3. Dispozitive pentru obţinerea luminii liniar polarizae 242

6.3.3.4. Birefingenţă artificială 244

6.3.3.5. Polarizaţia rotatorie 247

6.4. Optica fotonică 249

6.4.1. Efectul fotoelectric 250

6.4.2. Teoria fotonică a luminii 253

6.4.3. Explicarea legilor efectului fotoelectric 255

6.4.4. Efectul Compton 256

6.5. Absorbţia şi dispersia luminii 260

6.5.1. Absorbţia luminii 260

6.5.2. Dispersia luminii 262

VII LASERI 265

7.1. Absorbţia, emisia spontană şi emisia stimulată 265

7.2. Amplificarea radiaţiei 269

7.3. Inversia de populaţie 270

6

7.4. Proprietăţile radiaţiei laser 272

7.5. Tipuri de laseri 274

VIII RADIAŢIA TERMICĂ 277

8.1. Legile experimentale ale radiaţiei termice a corpului negru 279

IX RADIAŢIA X 284

X HOLOGRAFIA 288

Bibliografie 293

Capitolul 1: Introducere

Fizica studiază cele mai generale forme de mişcare ale materiei (mecanice, termice,

electromagnetice, etc). Prin materie se înţelege realitatea obiectivă care există în mod

independent de conştiinţa umană şi este reflectată adecvat de aceasta. Atributul fundamental

al materiei, modul său de existenţă, este mişcarea. Prin mişcare se înţelege orice schimbare

sau proces: deplasare mecanică în spaţiu, reacţie chimică, radiaţie electromagnetică, proces

biologic, gândire. Formele fizice de mişcare ale materiei participă întotdeauna şi la formele

mai complexe (biologice, sociale), fără a epuiza însă esenţa lor calitativă. Astfel, legea

conservării energiei se aplică tuturor proceselor: chimice, biologice, etc; legea atracţiei

universale se aplică tuturor corpurilor: simple sau complexe, vii sau neînsufleţite, etc.

Scopul fizicii este descrierea, explicarea şi prevederea fenomenelor naturii, pentru a

le putea folosi şi stăpâni. Dezvoltarea fizicii a fost stimulată de necesităţile practice ale

oamenilor. La rândul lor descoperirile şi realizările fizicii stau la baza dezvoltării tehnicii;

modelele de cercetare fizice şi aparatura creată de fizicieni se aplică şi în celelalte ştiinţe ale

naturii (de exemplu, în chimie, biologie).

Fizica stabileşte legi pe baza observaţiilor şi a experimentului ştiinţific. Legea

exprimă legătura necesară şi esenţială între fenomene, legătura dintre cauză şi efect, care

condiţionează o dezvoltare determinată a fenomenelor.

Observaţia constă în studiul fenomenului în condiţiile sale naturale de desfăşurare,

în timp ce experimentul ştiinţific constă în reproducerea fenomenului în diverse condiţii

create artificial, cu scopul de a descoperi legităţile fenomenului.

Legile fizicii pot fi stabilite (descoperite sau formulate) numai într-o anumită etapă

sau grad de dezvoltare a ştiinţelor, a tehnicii, şi de obicei în urma unor nenumărate şi

7

îndelungate cercetări. După milenii de dezvoltare istorică a civilizatiei au putut fi stabilite,

de exemplu, legea mişcării planetelor (J. Kepler 1609,1619), legile mecanicii (I. Newton

1687), legea atracţiei universale (I. Newton 1687), legile mecanicii relativiste (A. Einstein

1905), legile mecanicii cuantice (1925), etc.

Domeniul fenomenelor studiate de fizică s-a lărgit odată cu dezvoltarea practicii

social-istorice a omenirii. Obiectul şi metodele fizicii au evoluat. De exemplu, în secolul 18

a predominat mecanica, în secolul 19 - electromagnetismul, iar în secolul 20 - fizica atomică

şi nucleară.

Descrierea şi explicarea fenomenelor fizice trebuie să fie cantitativă - condiţie

fundamentală a ştiinţelor exacte – de aceea matematica este un instrument indispensabil

fizicii; însă cantitatea se determină prin măsurări, de aceea măsurarea este un proces

fundamental în fizică.

Practica apare în triplu rol: de izvor de cunoştinţe, de criteriu al adevărului şi de

scop al cunoaşterii. Cercetarea ştiinţifică realizează unitatea dintre teorie şi practică, în

care rolul practicii este hotărâtor, iar rolul teoriei conducător. Practica fără teorie este

oarbă, iar teoria fără practică este sterilă.

Teoria explică un ansamblu de fenomene folosind un număr mic de ipoteze şi legi

fundamentale, numite de obicei principii, care sunt extrase din experienţă. Din acest sistem

de legi fundamentale sunt deduse teoretic toate legile cunoscute care privesc domeniul

cercetat. Orice teorie trebuie neapărat verificată în practică. Noţiunile şi mărimile fizice nu

sunt creaţii subiective arbitrare, ci reflectă realitatea obiectivă, tot mai precis şi mai deplin

odată cu dezvoltarea fizicii.

Teoriile fizice actuale nu trebuie absolutizate şi eternizate. Ele suferă a dezvoltare

treptată, ducând la un moment dat la crearea prin salt a unor teorii noi, care reflectă mai

8

bine realitatea obiectivă, conţinând ca un caz particular sau caz limită teoriile precedente şi

arătând totodată domeniul lor de valabilitate (principiul de corespondenţă).

Materia este infinită şi inepuizabilă în proprietăţile sale, în formele sale de organizare

şi manifestare. Obiectele şi fenomenele din natură se găsesc în nesfârşite interconexiuni şi

interdependenţe. De aceea, în studiul fenomenelor naturii suntem întotdeauna nevoiţi să

simplificăm, să schematizăm procesele studiate, să creăm modele teoretice ale obiectelor şi

fenomenelor. Fără schematizarea fenomenelor studiate fizica n-ar putea folosi aparatul

matematic, n-ar avea o teorie, n-ar putea conferi experienţei un scop determinat. Un model

corect trebuie să ia în considerare particularităţile principale ale fenomenului studiat, lăsând

la o parte trăsăturile secundare, neesenţiale, necaracteristice. Numai astfel se pot stabili

legile şi relaţiile cantitative. Arta cercetătorului este de a şti ce să păstreze şi ce să neglijeze

în problema propusă. Odată cu dezvoltarea fizicii, modelele sau schemele sunt perfecţionate

cantitativ şi chiar schimbate calitativ, pentru a putea exprima mai fidel realitatea obiectivă.

Exemple de schematizări şi modele: punctul material, solidul rigid, gazul ideal, gazul Van

der Waals, lichidul ideal, atomul lui Bohr, atomul din mecanica cuantică, etc.

Rezultatele fizicii au o mare importanţă pentru teoria cunoaşterii şi o mare

însemnătate practică. Rezultatele fizicii, împreună cu cele ale altor ştiinţe ale naturii, au

schimbat nu numai condiţiile de viaţă ale omenirii dar au creat noi moduri de gândire. Fizica

a pătruns în domenii inaccesibile măsurătorilor directe, acolo unde nu sunt aplicabile

etaloanele şi formele obişnuite de gândire.

9

1.1. Unităţi de măsură. Mărimi fizice fundamentale.

Măsurarea este procesul fundamental în fizică. A măsura o mărime fizică înseamnă a

stabili de câte ori se cuprinde în ea o altă mărime de aceeaşi natură, bine definită şi aleasă

prin convenţie drept unitate de măsură.

Orice măsurare fizică este întotdeauna un proces de interacţiune dintre obiectul

măsurat şi dispozitivul de măsură, proces care modifică şi starea obiectului măsurat (pentru

microparticule această perturbare este principial inevitabilă).

Nici o măsurare fizică nu este perfectă; orice măsurare fizică implică întotdeauna

erori de măsurare mai mari sau mai mici. Odată cu dezvoltarea ştiinţei şi tehnicii se

perfecţionează şi tehnica măsurătorilor. Astăzi în multe domenii, de exemplu în optică şi în

astronomie, s-a atins o precizie de măsurare extrem de înaltă.

În principiu, pentru fiecare mărime fizică se poate alege o unitate proprie arbitrară,

dar atunci legile fizicii s-ar exprima prin formule care ar conţine coeficienţi numerici

paraziţi, dependenţi de unităţile de măsură folosite. De aceea, ţinând seama de relaţiile între

diferite mărimi fizice, se alege întotdeauna un număr mic de mărimi fizice, numite mărimi

fizice fundamentale, şi pe baza acestora se construieşte un sistem coerent de unităţi de

măsură, astfel încât în cele mai frecvente şi mai importante formule fizice să dispară

coeficienţii numerici paraziţi. Celelalte mărimi fizice şi unităţile lor de măsură, legate de cele

fundamentale prin legi ale fizicii, se numesc mărimi fizice derivate, respectiv unităţi de

măsură derivate.

Nu există vreo lege a naturii care să ne impună alegerea anumitor mărimi drept

mărimi fundamentale sau să ne indice numărul acestora.

În sistemul internaţional SI, adoptat de Conferinţa Generală de Măsuri şi Greutăţi de

la Paris, din anul 1960, se disting trei clase de unităţi de măsură:

10

- unităţi fundamentale

- unităţi derivate

- unităţi suplimentare

Unităţile de măsură fundamentale sunt în număr de şapte (tabel 1.1):

Mărimea Denumirea Simbollungime, L metru m

masă, M kilogram kg

timp, T secundă s

intensitatea curentului electric, I amper A

temperatura termodinamică, θ kelvin K

cantitatea de substanţă, ν mol mol

intensitatea luminoasă, J candelă cd

Sistemul internaţional de unităţi fixează, pe lângă cele şapte unităţi fundamentale şi

două unităţi suplimentre:

Mărimea Denumirea Simbolunghi plan radian rad

unghi solid steradian sr

Coerenţa sistemului internaţional impune ca unităţile de măsură pentru mărimile

derivate să se exprime prin unităţi fundamentale şi eventual prin unităţi suplimentare. Este

clar că o mărime derivată nu se exprimă prin toate cele nouă mărimi, fundamentale sau

suplimentare, stabilite de SI. Practic toate mărimile derivate, întâlnite în cadrul mecanicii, se

exprimă numai prin trei mărimi fundamentale şi anume: lungimea L, masa M şi timpul T.

Unităţile de măsură ale mărimilor derivate ale SI se exprimă în funcţie de unităţile

fundamentale şi suplimentare prin intermediul relaţiilor de dependenţă dintre mărimi. Multe

11

din aceste unităţi au denumiri speciale şi simbol particular (N – Newton), mai comod de

folosit decât în exprimarea prin unităţile mărimilor fundamentale (kg.m/s2 pentru newton).

Pentru multipli şi submultipli diferitelor unităţi de măsură se folosesc următoarele

prefixe:

Multipli Unităţi Submultipli Unităţideca-hecto-kilo-mega-giga-tera-peta-exa-

da-h-k-M-G-T-P-E-

10 102

103

106

109

1012

1015

1018

deci-centi-mili-micro-nano-pico-femto-atto-

d-c-m-µ -n-p-f-a-

10-1

10-2

10-3

10-6

10-9

10-12

10-15

10-18

Se recomandă a nu se folosi simultan două prefixe la aceeaşi unitate de măsură şi a

nu se folosi prefixe la numitor.

În afara unităţilor SI se folosesc pe larg câteva unităţi de măsură tolerate, ca de

exemplu: kilogramul-forţă (kgf), litrul (l), calul-putere (CP), torrul (sau mm Hg).

1.2. Formule dimensionale

Dacă asociem fiecărei mărimi fundamentale câte un simbol L, M, T, I, θ , ν , J

(tabel 1.1) atunci pentru orice mărime fizică derivată x, se defineşte dimensiunea sa [x], ca

fiind monomul algebric format din puteri ale simbolurilor mărimilor fizice fundamentale,

exponentul fiecărui simbol fiind egal cu valoarea puterii la care respectiva mărime

fundamentală intră în definiţia mărimii derivate:

[x] = ηϕεδγβα νθ JITML (1.1)

Relaţia (1.1) se numeşte formula dimensională sau ecuaţia de dimensiuni a mărimii

derivate x faţă de mărimile fundamentale.

12

Coeficienţii ηϕεδγβα ,,,,,, , care pot fi întregi sau fracţionari, pozitivi sau

negativi, reprezintă dimensiunile mărimii fizice derivate în raport cu mărimile fizice

fundamentale corespunzătoare.

Ilustrăm modul de obţinere a formulelor dimensionale şi unităţile de măsură pentru

câteva mărimi derivate:

- viteza: v = dr/dt; [v] = [dr/dt] = L/T = LT-1; <v>SI = m/s

- acceleraţia: a = dv/dt; [a] = [dv/dt] = LT-1/T = LT-2 <a>SI = m/s2

- forţa: F = dp/dt; [F] = [dp/dt] = [d(mv)/dt] = LMT-2 <F>SI = kg.m/s2 = N

1.3. Analiză dimensională

Analiza dimensională este o metodă care studiază structura relaţiilor fizice pornind

de la premisa că aceste relaţii sunt corecte dimensional. Analiza dimensională se bazează pe

principiul omogenităţii dimensionale. Deoarece nu se pot aduna sau egala decât mărimi

fizice de aceeaşi natură, fiecare formulă fizică trebuie să fie omogenă din punct de vedere

dimensional, adică ambii membri ai egalităţii, cât şi fiecare termen al unei sume algebrice,

trebuie să aibă aceleaşi dimensiuni, altfel formula nu are sens. Acestă formulare reprezintă

chiar principiul omogenităţii dimensionale a formulelor fizice. Altfel spus, dacă mărimile

derivate x, y se exprimă dimensional sub forma:

[x] = .........111 γβα TML

[y] = .........222 γβα TML

atunci formula fizică:

x = y

poate fi corectă numai în cazul în care sunt satisfăcute egalităţile:

21 αα = ; 21 ββ = ; 21 γγ = ; ………

13

Aceste relaţii exprimă tocmai condiţia de omogenitate a formulelor fizice, asigurând

invarianţa legilor fizice în raport cu schimbările unităţilor de măsură pentru mărimile fizice

fundamentale.

Principiul omogenităţii dimensionale a formulelor fizice ne permite să găsim chiar

forma unor legi fizice. Presupunem că o anumită mărime fizică y depinde de alte mărimi

fizice a1, a2,....….an. Mărimea y se poate exprima faţă de de celelate n mărimi astfel:

y = const. n21 xn

x2

x1 a......aa

Scriind dimensional relaţia se obţine:

[y] = [ nxn

xx aaa ....... 2121 ] = nx

nxx aaa ][..........].[][ 21

21 = ixn

ia ][1

∏ (1.2)

Exprimând dimensiunea fiecărui termen din relaţia de mai sus în funcţie de mărimile

fizice fundamentale obţinem:

[y] = .......γβα TML

[a1] = .......111 γβα TML

[a2] = .......222 γβα TML .

. .[an] = .......nnn TML γβα

şi introducând aceste relaţii în formula (1.2) obţinem:

.......γβα TML = ixn

iii TML ......)(1

γβα∏

Exponenţii xi sunt necunoscutele sistemului:

αα =∑ i

n

i x1

ββ =∑ i

n

i x1

14

γγ =∑ i

n

i x1

. . .

Prin determinarea necunoscutelor xi se poate cunoaşte deci, prin metoda analizei

dimensionale, legea fizică dintre y şi cele n mărimi fizice a1, a2,….an, mărimi de care ştim că

aceasta depinde. Această metodă a analizei dimensionale este cunoscută şi sub denumirea

de metoda Rayleigh.

Prezentăm mai jos un exemplu de lucru cu metoda lui Rayleigh pentru deducerea

formulei perioadei pendulului gravitaţional. Ştiind din experienţă că perioada unui pendul

gravitaţional depinde de lungimea sa l şi de acceleraţia gravitaţională g, putem scrie:

T = const. 21 xx gl ⋅

Trecând la formula dimensională:

[T] = [ 21 xx gl ⋅ ] = 21 ][][ xx gl ⋅

deci: T = 22121 22 )( xxxxx TLLTL −+− ⋅=⋅

prin identificarea termenilor avem:

0 = x1 + x2

1 = -2x2

de unde rezultă: x1 = 1/2, x2 = -1/2

deci perioada pendulului este:

T = const. gl /

unde: const.- este o constantă adimensională care nu poate fi dedusă prin metoda analizei

dimensionale.

15

16

Capitolul 2: Elemente de mecanică clasică

Mecanica studiază mişcarea cea mai simplă a sistemelor fizice, anume deplasarea

lor în spaţiu şi timp, precum şi cauzele care o produc. Cinematica studiază mişcarea în

spaţiu şi timp, făcând abstracţie de cauzele mişcării. Dinamica studiază mişcarea

sistemelor fizice ţinând seama de cauzele care o produc iar statica studiază echilibrul

sistemelor fizice sub acţiunea forţelor. Sistemele fizice pot fi discrete sau continue. În

mecanică cel mai utilizat sistem – un model – este punctul material, punctul geometric în

care este concentrată masa sistemului. Un model mult utilizat este şi sistemul de puncte

materiale.

Mecanica este capitolul de bază al fizicii. Noţiunile şi legile mecanicii – forţă, lucru

mecanic, energie (cinetică, potenţială), legea fundamentală amFrr

= , principiul acţiunilor

reciproce, etc. – se aplică în toate celelalte capitole ale fizicii. Mecanica este cea dintâi

aplicaţie a matematicii la studiul cantitativ şi cauzal al fenomenelor naturii.

Mecanica şi-a elaborat un sistem de concepte, axiome şi principii care permit, prin

cunoaşterea stării de mişcare a unui sistem fizic la un moment dat, să poată fi determinată

evoluţia lui ulterioară.

2.1. Conceptele fundamentale ale mecanicii clasice

Studiul mişcării unui sistem fizic înseamnă studiul evoluţiei sistemului în spaţiu şi

timp. Spaţiul şi timpul sunt considerate în mecanica clasică mărimi absolute. Newton

afirmă despre spaţiu că “ spaţiul absolut considerat în însăşi estenţa lui şi fără nici o

legătură cu ceva extern, rămâne întotdeauna asemenea şi imobil” iar despre timp că “

timpul absolut, adevărat şi matematic în sine şi după natura sa, curge în mod uniform fără

17

nici o legătură cu ceva extern”. Spaţiul şi timpul sunt considerate în mecanica clasică

mărimi fizice, şi sunt deci supuse măsurării. În accepţiunea mecanicii clasice spaţiul este

tridimensional, nelimitat şi fără structură, adică este omogen (toate punctele spaţiului sunt

echivalente) şi izotrop (toate direcţiile sunt echivalente). Timpul este considerat universal,

unidimensional, omogen (curge uniform), şi ireversibil (curge într-un singur sens, de la

trecut prin prezent spre viitor).

Sistemele fizice sunt sisteme materiale. Una din proprietăţile materiei este masa.

Această proprietate se manifestă în două procese mai importante: la modificarea stării de

mişcare, măsura reacţiei sistemului fizic la schimbarea stării de mişcare fiind masa

inerţială mi şi la interacţiunea reciprocă dintre sistemele fizice care au această proprietate

(atracţia universală - proprietatea sistemelor fizice având masă de a se atrage reciproc, forţa

de interacţiune fiind proporţională cu masa, numită masa gravitaţională mg). Toate

experienţele au arătat, cu o foarte bună aproximaţie, că masa inerţială a unui sistem fizic

este egală cu masa sa gravitaţională. Prin urmare oricărui sistem fizic i se asociază o

mărime fizică numită masă, mărime reală şi pozitivă. Pentru mecanica clasică masa este o

mărime aditivă şi este presupusă constantă în timpul mişcării.

Deplasarea unui sistem are loc în raport cu alte corpuri. Fără aceste “alte corpuri“

nu se poate vorbi de deplasarea sistemului, care este întotdeauna relativă. O deplasare

absolută fără raportare la alte corpuri este lipsită de sens. Relativitatea mişcării este legată

de relativitatea poziţiei. Nu se poate vorbi de poziţie într-un spaţiu absolut, independent de

corpurile aflate în el, ci numai de poziţie faţă de alte corpuri. Corpul care se consideră prin

convenţie fix şi faţă de care se studiază mişcarea unui sistem fizic, se numeşte corp de

referinţă. De corpul de referinţă este legat rigid un sistem de coordonate, de exemplu, un

sistem cartezian de 3 axe ortogonale. Pentru măsurarea timpului trebuie ales un proces

18

periodic, de exemplu oscilaţiile unui pendul. Sistemul de coordonate pentru măsurarea

poziţiei şi ceasornicul pentru măsurarea timpului constituie un sistem de referinţă sau un

referenţial.

Poziţia unui punct material în raport cu acest referenţial este determinată prin

distanţa orientată de la originea sistemului de coordonate până la punct, numită vector de

poziţie. Proiecţiile vectorului de poziţie pe cele trei axe ortogonale sunt x, y, z, iar x ir

, y jr

,

z kr

sunt componentele vectorului de poziţie pe cele trei direcţii astfel încât:

kzjyixrrrrr

++= (2.1)

sau r2 = x2 + y2 +z2

unde kjirrr

,, sunt versorii celor 3 axe.

Din relaţia anterioară rezultă că poziţia unui punct este determinată de rr

sau de

proiecţiile x, y, z ale punctului pe cele trei axe ortogonale. În multe situaţii în locul

coordonatelor carteziene se folosesc coordonatele cilindrice sau cele sferice.

2.1.1. Elementele mişcării: traiectoria, viteza, acceleraţia

Se numeşte traiectorie linia sau curba descrisă de mobil în timpul mişcării sale,

adică locul geometric al punctelor prin care trece mobilul. Traiectoria poate fi rectilinie sau

curbilinie (în particular circulară). Forma traiectoriei depinde de referenţialul folosit.

Se presupune că mobilul descrie o traiectorie continuă bine determinată, în sensul

că în fiecare moment el ocupă pe traiectorie o poziţie determinată şi că această poziţie

variază în mod continuu în timpul mişcării. Aceasta înseamnă că x, y, z, coordonatele

punctului material, sunt funcţii finite, uniforme şi continue în timp. De asemenea şi

vectorul de poziţie rr

satisface aceste condiţii.

19

Dependenţa )(trrrr

= reprezintă legea mişcării. A cunoaşte relaţia )(trrrr

= este

echivalent cu a cunoaşte funcţiile:

x = x(t), y = y(t), z = z(t)

Aceste relaţii se numesc ecuaţiile parametrice ale mişcării. Eliminând timpul t între

aceste ecuaţii se obţine ecuaţia traiectoriei.

Viteza mişcării

Considerăm un punct material aflat în mişcare faţă de un referenţial ales care trece

la momentul t prin punctul P şi la momentul t + ∆ t prin punctul P’.

Între momentele t şi t + ∆ t vectorul de poziţie al punctului în mişcare se modifică

cu:

)()( trttrrrrr

−∆+=∆

Prin definiţie:

vrdtrd

tr

t

rrrr

===∆∆

→∆

.

0lim

se numeşte viteza mişcării. fig.

Se observă ca dacă 0→∆t , diferenţa rr

∆ tinde să devină egală cu a

rr

∆ în acest caz coincide cu direcţia tangentei la traiectorie în p

vectorul viteză este tangent în orice punct la traiectorie şi îndreptat

Vectorul viteză este egal cu derivata vectorului de poziţie în raport

În raport cu un sistem cartezian de axe de coordonate,

obţinem:

kdtdz

jdtdy

idtdx

dtrd

vrrrr

r++==

sau:

O

)( ttr ∆+r

rr

∆

2.1

rcul PP’,

unctul P

în sensul

cu timpu

derivând

)(trr

vr

iar

. P

mi

l.

r

P

P’

direcţia lui

rin urmare

şcării.

elaţia (2.1)

20

kvjvivv zyx

rrrr++=

unde vx, vy, vz sunt componentele vitezei pe cele trei axe de coordonate.

Deci componenta vitezei pe o axă este egală cu derivata în raport cu timpul a coordonatei

respective (faţă de un referenţial cartezian ortogonal).

Cunoscând componentele vitezei, modulul său se obţine cu ajutorul relaţiei:

2222zyx vvvv ++=

Acceleraţia mişcării

Fie P şi P’ poziţiile punctului la momentele t şi respectiv t + ∆ t (fig. 2.1). În acest

interval de timp viteza mişcării s-a modificat cu:

)()( tvttvvrrr

−∆+=∆

Prin definiţie:

arvdtvd

tv

t

rrrrr

====∆∆

→∆

...

0lim

se numeşte acceleraţia mişcării.

Acceleraţia este egală cu derivata întâi a vitezei sau derivata a doua a vectorului

de poziţie în raport cu timpul.

În coordonate carteziene:

kzjyixarrrr ......

++=

sau kajaiaa zyx

rrrr++=

unde ax, ay, az sunt componentele acceleraţiei pe cele trei axe de coordonate.

Componentele acceleraţiei sunt egale cu derivatele componentelor respective ale vitezei în

raport cu timpul, sau cu derivatele de ordinul doi ale coordonatelor respective (faţă de un

referenţial cartezian).

21

Cunoscând componentele acceleraţiei, modulul său se obţine cu ajutorul relaţiei:

2222zyx aaaa ++=

În timp ce viteza este întotdeauna tangentă la traiectorie şi are sensul mişcării,

acceleraţia în mişcarea curbilinie este întotdeauna orientată spre “interiorul” traiectoriei,

adică spre partea concavă a traiectoriei, partea spre care se roteşte vectorul viteză tangent la

traiectorie.

2.2. Principiile mecanicii clasice

Mecanica clasică (newtoniană) se bazează pe principiile formulate de către Isaac

Newton în celebra sa carte “ Principiile matematice ale filosofiei naturale” (1687). Cu

ajutorul acestui sistem de principii poate fi dedusă evoluţia spaţio-temporală a orcărui

sistem mecanic ştiind starea de mişcare (poziţie şi viteză) a sistemului la un moment dat

cât şi relaţia dintre sistemul studiat cu exteriorul (ceea ce nu aparţine sistemului studiat).

Valabilitatea acestor principii a fost confirmată în mod foarte clar de către experimente.

Principiile mecanicii clasice elaborate de către Newton sunt valabile pentru mişcări

ale sistemelor fizice macroscopice cu viteze mici în raport cu viteza luminii în vid.

Principiul inerţiei

Experienţa arată că un corp în repaus faţă de Pământ rămâne în repaus atâta timp

cât asupra sa nu acţionează alte corpuri care să-i modifice această stare. De asemenea,

experienţe efectuate cu bile netede şi dure lansate pe suprafeţe orizontale netede şi dure (de

exemplu, pe gheaţă) când greutatea bilei este anulată de către reacţiunea normală a planului

şi forţele de frecare sunt mici, arată că mişcarea bilei se apropie tot mai bine de mişcarea

rectilinie uniformă. De aici, prin abstractizare, se ajunge la principiul inerţiei:

22

Un corp îşi păstrează starea de repaus sau de mişcare rectilinie uniformă atâta

timp cât asupra sa nu acţionează alte corpuri care să-i schimbe această stare de repaus

sau de mişcare rectilinie uniformă.

Principiul inerţiei nu poate fi verificat direct experimental deoarece nici un corp nu

poate fi sustras complet acţiunii altor corpuri, dar acest principiu este verificat prin toate

consecinţele sale.

Experienţa arată de asemenea că la orice acţiune exterioară care caută să schimbe

starea de repaus sau de mişcare rectilinie uniformă a corpului, corpul se opune,

reacţionează. Proprietatea unui corp de a-şi menţine starea de repaus sau de mişcare

rectilinie uniformă, în absenţa acţiunilor exterioare, sau de a se opune la orice acţiune

exterioară care caută să-i schimbe starea de mişcare, se numeşte inerţie. Astfel, corpurile

sunt inerte în sensul că nu-şi pot schimba de la sine starea lor de repaus sau de mişcare

rectilinie uniformă. În virtutea inerţiei corpurile se mişcă rectiliniu uniform în absenţa

acţiunilor exterioare şi datorită inerţiei tind să-şi menţină această stare de mişcare,

opunându-se sau reacţionând la acţiunile exterioare.

Conform principiului inerţiei, mişcarea rectilinie uniformă se autoîntreţine,

adică nu este necesară nici o cauză exterioară pentru menţinerea ei. Dimpotrivă, orice

acţiune exterioară strică o astfel de mişcare, curbând traiectoria şi modificând viteza, adică

produce o mişcare accelerată.

În formularea principiului inerţiei nu se spune nimic despre sistemul de referinţă.

Dar, evident că mişcarea rectilinie uniformă faţă de un referenţial nu mai este astfel faţă de

alte referenţiale care sunt în mişcare accelerată faţă de primul. Prin urmare, principiul

inerţiei nu poate fi valabil faţă de orice referenţial ales. Dacă însă principiul inerţiei este

valabil într-un referenţial dat, atunci el va fi automat valabil în toate referenţialele care se

23

mişcă rectiliniu uniform faţă de acesta. Sistemele de referinţă în care este valabil principiul

inerţiei se numesc sisteme de referinţă inerţiale.

Din punctul de vedere al principiului inerţiei toate sistemele de referinţă inerţiale

sunt absolut echivalente, nici unul din ele nu poate fi considerat fix sau absolut.

Pentru ca principiul inerţiei să fie valabil şi în sistemele de referinţă care se mişcă

accelerat este necesară introducerea unor forţe fictive, numite forţe de inerţie (cum ar fi

forţele centrifuge sau forţele Coriolis). Mecanica clasică presupune că este posibil

întotdeauna să se deosebească forţele reale de cele fictive.

Principiul fundamental al dinamicii

Newton a definit ca măsură a mişcării o mărime fizică numită impuls sau cantitate

de mişcare. Impulsul este egal cu produsul dintre masă şi viteză şi este un vector coliniar

cu viteza:

vmprr

=

Cu ajutorul acestei mărimi, prin modificarea stării de mişcare înţelegem

modificarea impulsului. Un sistem căruia i se modifică impulsul se află în interacţiune cu

exteriorul, deci asupra sistemului acţionează o forţă. Forţa este o măsură a interacţiunii şi

se defineşte ca fiind egală cu viteza de variaţie în timp a impulsului:

dtpd

Frr

= (2.2)

Această relaţie exprimă tocmai expresia matematică a principiului fundamental al

dinamicii, principiu care poate fi enunţat astfel:

Derivata impulsului unui corp în raport cu timpul este egală cu rezultanta forţelor

care acţionează asupra corpului respectiv.

24

Deoarece în mecanica clasică masa corpului m se consideră constantă, deci

dm/dt = 0, relaţia (2.2) se poate scrie sub forma:

amdtvd

mdtdm

vdtvd

mFr

rr

rr==+=

Relaţia amFrr

= este un caz particular al relaţiei (2.2). Această relaţie este valabilă

în aproximaţia mecanicii clasice, adică la mişcarea corpurilor cu viteze mici în raport cu

viteza luminii în vid.

Când asupra unui corp acţionează una sau mai multe forţe, calculul variaţiei

impulsului între două momente de timp ti şi tf se obţine integrând relaţia (2.2):

∫ ⋅=∆f

i

t

t

dtFprr

Dacă asupra corpului nu acţionează nici o forţă (corpul se consideră izolat), din

principiul fundamental al dinamicii rezultă că impulsul corpului este constant în timp,

adică corpul se poate mişca doar rectiliniu uniform. Din acest lucru se poate deduce că

principiul inerţiei este inclus în principiul fundamental al dinamicii. Acest lucru este însă

adevărat doar în cazul mecanicii clasice pentru care masa este constantă. În cazul mecanicii

relativiste masa corpurilor nu mai este constantă ci depinde de viteza corpului astfel încât

pentru un corp izolat:

0)( =⋅ vvmr

ceea ce înseamnă că în acest caz mişcarea poate să nu mai fie rectilinie şi uniformă.

Experienţa arată că principiul fundamental al dinamicii este valabil numai în

sisteme de referinţă inerţiale ca şi principiul inerţiei. Expresia matematică a principiului

fundamental al dinamicii nu se schimbă la trecerea de la un sistem de referinţă inerţial la

altul, deoarece nici mărimea forţei nici mărimea acceleraţiei nu se schimbă în acest caz.

25

Principiul acţiunii şi reacţiunii

Experienţa arată că acţiunea unui corp asupra altui corp poartă întotdeauna

caracterul unei interacţiuni, adică acţiunea unui corp asupra altuia naşte simultan o

reacţiune a acestuia din urmă asupra primului.

Principiul acţiunii şi reacţiunii afirmă că fiecărei acţiuni i se opune întotdeauna o

reacţiune, egală în modul şi de sens contrar, sau altfel spus, acţiunile reciproce a două

corpuri sunt întotdeauna egale în modul şi orientate în sensuri contrare. Cele două forţe,

acţiunea şi reacţiunea, sunt aplicate simultan şi la corpuri diferite.

Subliniem că în cazul acestui principiu este vorba de o interacţiune mutuală

simultană şi nu de o cauză şi un efect. Acţiunea şi reacţiunea nu apar numai la contactul a

două corpuri, ci şi în cazul interacţiunii prin intermediul unui câmp, de exemplu, atracţia

gravitaţională reciprocă dintre două corpuri sau interacţiunea dintre două corpuri cu sarcini

electrice aflate la distanţă unul de celălalt.

Principiul independenţei forţelor

Newton a dedus acest principiu tot din experienţă. În urma acţiunii asupra unui

corp a două forţe s-a constatat că acest corp se va deplasa pe direcţia diagonalei

paralelogramului determinat de cele două forţe, ceea ce nu reprezintă altceva decât regula

de compunere a două forţe cunoscută sub numele de regula paralelogramului. Acest lucru

exprimă tocmai principiul independenţei acţiunii celor două forţe. Pentru cazul acţiunii

asupra unui corp a mai multor forţe principiul independenţei forţelor poate fi generalizat

astfel: dacă asupra unui corp acţionează simultan mai multe forţe, acţiunea fiecărei forţe

este independentă de acţiunea celorlalte. Acceleraţia corpului este dată de rezultanta

acceleraţiilor produse de fiecare forţă asupra lui.

26

Principiul condiţiilor iniţiale

Ecuaţiile de mişcare ale unui sistem fizic obţinute prin aplicarea principiului

fundamental al dinamicii sunt ecuaţii diferenţiale de ordinul al doilea, iar pentru stabilirea

constantelor de integrare este necesară cunoaşterea poziţiei relative şi a vitezei relative ale

sistemului la un moment dat, de exemplu, la momentul iniţial. Astfel principiul condiţiilor

inţiale poate fi enunţat astfel: evoluţia unui sistem fizic în spaţiu şi timp este determinată

dacă sunt cunoscute poziţia relativă şi viteza relativă ale sistemului la un moment dat.

2.3. Lucrul mecanic. Puterea

Forţele pot produce deplasări ale corpurilor pe o direcţie oarecare. O măsură a

efectului util al forţei în acest proces este dată de lucrul mecanic definit prin produsul

dintre deplasare şi componenta forţei pe direcţia de deplasare, deoarece componenta

normală a forţei nu poate contribui la deplasarea dată. Astfel, lucrul mecanic elementar

este definit prin produsul scalar dintre forţa care acţionează asupra corpului Fr

şi

deplasarea elementară (infinitezimală) a acestuia rdr

între momentele t şi t + dt:

dL = rdFrr

⋅ (2.3)

Pentru o deplasare finită, lucrul mecanic are expresia:

L = ∫ ⋅f

i

r

r

rdFrr

(2.4)

În general lucrul mecanic depinde atât de stările iniţială (i) şi finală (f) precum şi de

toate stările intermediare prin care trece corpul, motiv pentru care lucrul mecanic este o

mărime de proces.

27

Ştiind că în coordonate carteziene rdr

se poate scrie:

kdzjdyidxrdrrrr

++=

relaţia (2.4) devine:

L = ∫ ⋅f

i

r

r

rdFrr

= ∫ ∫ ++=++f

i

f

i

zzyyxxzyx

t

t

dtvFvFvFdzFdyFdxF )()(

Pentru a putea calcula lucrul mecanic este necesară cunoaşterea expresiei explicite a forţei

Fr

. Cele mai întâlnite tipuri de forţe sunt:

- forţe constante: Fr

= const;

- forţe dependente de distanţă, cum ar fi forţele elastice rkFrr

−= , electrostatice

(date de legea lui Coulomb) rr

qQF

rr34πε

= , gravitaţionale (date de legea lui

Newton) rr

mMkF

rr3

−= ;

- forţe dependente de viteză, cum ar fi forţele de frecare ce se exercită la

deplasarea unor corpuri în medii fluide ncvF =r

(n≥1) sau forţele care se

exercită la deplasarea purtătorilor de sarcină electrică q şi masă m în câmpuri

magnetice de inducţie Br

, )( BvqFrrr

×= ;

- forţe dependente de timp, aşa cum sunt forţele dezvoltate de rachete, motoare,

etc.

Dacă forţa este tot timpul perpendiculară pe direcţia deplasării, lucrul mecanic

efectuat de forţă este nul. Prin urmare într-o mişcare curbilinie numai componenta

tangenţială a forţei efectuează lucru mecanic.

Lucrul mecanic are dimensiunile L2MT-2 şi se măsoară în N.m = J (joule).

28

Definim puterea momentană sau instantanee ca reprezentând derivata lucrului

mecanic la timp:

P = dtdL

Dacă lucrul mecanic este efectuat uniform, relaţia de definiţie a puterii devine:

P = dtdL

= vFdtrd

Frrrr⋅=

adică puterea dezvoltată de o forţă este egală cu produsul scalar dintre forţă şi viteză.

Unitatea de măsură pentru putere este J/s = W

O unitate de măsură tolerată este calul putere (CP): 1 CP = 736 W

2.4. Energia cinetică

O forţă care acţionează asupra unui corp îl deplasează, efectuând un lucru mecanic,

dar în acelaşi timp forţa produce şi modificarea stării de mişcare a corpului. Pornind de la

relaţia de definiţie a lucrului mecanic elementar (2.3) avem:

dL = mvdvdmvvdvmdm)v()vm(dvdtvdt

)vm(drd

dt)vm(d

rdF 22 +=+=⋅=⋅=⋅=⋅rrrrrr

rr

rrr

unde 22)( vvvv =⋅=rrr

, care prin diferenţiere dă vdvvdv =rr

Ştiind că în mecanica clasică masa este constantă relaţia de mai sus devine:

dL = rdFrr

⋅ = )mv21

(dmvdv 2= = dEc

iar prin integrare obţinem:

L = ∫ ⋅f

i

r

r

rdFrr

= ∆Ec = Ecf – Eci (2.5)

unde se defineşte:

29

Ec = 2

21

mv

şi se numeşte energia cinetică a corpului.

Relaţia (2.5):

L = ∆Ec

reprezintă teorema energiei cinetice: Lucrul mecanic efectuat de rezultanta forţelor care

acţionează asupra unui corp este egal cu variaţia energiei cinetice a corpului.

Dacă rezultanta forţelor aplicate corpului este permanent nulă, energia cinetică a

corpului se conservă (legea de consevare a energiei cinetice).

Energia cinetică este o mărime fizică scalară a mişcării. Existenţa mărimii fizice

energie cinetică şi a legii de conservare a energiei cinetice este legată de proprietatea de

omogenitate a timpului (simetria la translaţii temporale).

Mişcarea mecanică se transmite de la un corp la altul în procesul interacţiunii lor

prin intermediul forţei. Impulsul forţei ∫ ⋅=f

i

dtFHrr

, impulsul momentului forţei

∫ ∫ ×==f

i

f

i

dtFrdtMK )(rrrr

şi lucrul mecanic al forţei ∫ ⋅=f

i

rdFLrr

, măsoară cantitativ

mişcarea mecanică transmisă, fiind egale cu variaţia impulsului vmprr

= , a momentului

cinetic vmrprLrrrrr

×=×= şi respectiv a energiei cinetice Ec2

21

mv= ale corpului. Vom

demonstra aceste lucruri în paragrafele următoare deoarece ele reprezintă de fapt

principalele teoreme de variaţie şi conservare ale mecanicii.

Vom da mai departe expresia energiei cinetice a mişcării de rotaţie a unui corp.

Considerăm un corp solid rigid de volum V, omogen, a cărui densitate este ρ . Mişcarea

de rotaţie a solidului este acea mişcare în care toate punctele solidului descriu cu aceeaşi

30

viteză unghiulară cercuri paralele ale căror centre sunt situate pe o dreaptă, numită axă de

rotaţie. Fie axa de rotaţie )(∆ în jurul căreia solidul execută o mişcare de rotaţie uniformă

cu viteza unghiulară ω . Viteza unghiulară este aceeaşi pentru toate punctele solidului şi se

poate reprezenta printr-un vector de modul ω , situat de-a lungul axei de rotaţie, în sensul

dat de regula burghiului. Vectorul ωr

este vector alunecător, al cărui punct de aplicaţie

poate fi ales în orice punct al axei de rotaţie.

Un element de volum dV, de masă dVdm ρ= , situat la distanţa r faţă de axa de

rotaţie are viteza v = ω r astfel încât energia cinetică a acestui element de masă se poate

scrie:

dEc = dmrvdm 222

21

21 ω=⋅

Având în vedere că viteza unghiulară este aceeaşi pentru toate punctele solidului,

energia cinetică a mişcării de rotaţie a solidului rigid este:

Ec = 222

21

21

ωω IdmrV

=∫∫∫

unde:

∫∫∫ ∫∫∫==V V

22 dVrdmrI ρ

este momentul de inerţie al solidului rigid faţă de axa de rotaţie.

Comparând expresiile energiei cinetice de translaţie şi de rotaţie:

2

21

trtr mvE = , 2

21 ωIErot =

se vede că rolul masei m din mişcarea de translaţie îl joacă, în mişcarea de rotaţie,

momentul de inerţie I faţă de axa de rotaţie.

31

Aşa cum masa unui corp este o măsură a inerţiei sale în mişcarea de translaţie, tot

astfel momentul de inerţie faţă de o axă este o măsură a inerţiei corpului la mişcarea de

rotaţie în jurul acelei axe.

Valoarea momentului de inerţie depinde nu numai de mărimea masei corpului, ci şi

de modul cum sunt distribuite particulele corpului, adică de distanţele lor faţă de axa de

rotaţie. La aceeaşi masă totală, corpul care are masele părţilor componente mai depărtate

de axă va avea un moment de inerţie mai mare. De exemplu, momentul de inerţie al unui

inel (cilindru gol) este de două ori mai mare decât al unui disc (cilindru plin) omogen, din

acelaşi material şi de aceeaşi masă, faţă de axa lor de simetrie. Pentru a obţine un moment

de inerţie cât mai mare, materialul corpului trebuie distribuit cât mai departe de axa de

rotaţie.

Pentru orice solid rigid se poate defini o rază de inerţie (sau de giraţie) astfel:

22g

V

mRdmrI ∫∫∫ == ⇒ mI

Rg =

adică raza de inerţie reprezintă distanţa de la axa de rotaţie unde ar trebui concentrată toată

masa corpului pentru a da un moment de inerţie faţă de acea axă egal cu momentul de

inerţie al corpului dat.

2.5. Energia potenţială

Fie un punct material care se găseşte într-un câmp de forţe. Există câmpuri de forţe

numite conservative, de exemplu, câmpul gravitaţional sau câmpul electrostatic, pentru

care lucrul mecanic efectuat de forţele câmpului asupra unui punct material nu depinde de

traiectoria sau de viteza punctului material, ci numai de poziţiile iniţială şi finală. Atunci

lucrul mecanic efectuat de câmp asupra punctului material pe o traiectorie închisă este nul:

32

L = ∫ ⋅ rdFrr

= 0.

Reciproc, se poate lua această proprietate drept definiţie a câmpului conservativ:

Un câmp de forţe este conservativ dacă lucrul mecanic efectuat de forţele câmpului asupra

unui punct material este zero pe orice drum închis.

Pentru astfel de câmpuri în care lucrul mecanic este o diferenţială totală exactă

(lucrul mecanic pe o traiectorie închisă este nul) se poate defini o mărime numită energie

potenţială: diferenţiala energiei potenţiale a unui punct material este egală cu lucrul

elementar efectuat de forţele câmpului luat cu semn schimbat:

dEp = - dL

Înlocuind în relaţia de mai sus formula lucrului mecanic elementar şi integrând obţinem:

∫ ⋅−=∆r

r

rdFE

ref

p

rr ; L = -∆Ep

sau: Ep (r) = Ep ref - ∫ ⋅r

r

rdF

ref

rr (2.6)

de unde rezultă că energia potenţială a punctului material într-o anumită stare este

determinată până la valoarea unei constante arbitrare – energia potenţială a stării de

referinţă Ep ref.

Revenind la formula diferenţialei energiei potenţiale:

dEp = - rdFrr

⋅

aceasta se mai poate scrie în coordonate carteziene:

dEp = - ( Fx dx + Fy dy + Fz dz) (2.7)

Întrucât energia potenţială este o funcţie de rr

, diferenţiala ei în coordonate

carteziane se poate scrie:

33

dEp = dzz

Edy

y

Edx

x

E ppp

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂ (2.8)

Prin egalarea relaţiilor (2.7) şi (2.8) obţinem:

x

EF p

x ∂

∂−= ;

y

EF p

y ∂

∂−= ;

z

EF p

z ∂

∂−=

sau: −=Fr

grad pE = ix

E p r

∂

∂− ( + j

y

E p r

∂

∂ + )k

z

E p r

∂

∂ (2.9)

adică forţa care se exercită asupra punctului material este egală cu gradientul luat cu

semn schimbat al energiei potenţiale (gradientul unui scalar este un vector ale cărui

componente sunt derivatele parţiale ale scalarului).

Vom da în continuare câteva expresii ale energiei potenţiale pentru diferite câmpuri

de forţe:

- câmp de forţe elastice: xkFrr

−= ; kxdxkdzjdyidxikxrdF −=++⋅−=⋅ )(rrrrrr

Ep = Ep ref - ∫ ⋅r

r

rdF

ref

rr = Ep ref ∫+

x

x

xdxk

ref

= Ep ref + 22

22refkxkx

−

făcând presupunerea că pentru x ref =0, Ep ref = 0, se obţine:

Ep (x) = 2

2kx

- câmp gravitaţional uniform: kmgFrr

−= ; mgdzkdzjdyidxkmgrdF −=++⋅−=⋅ )(rrrrrr

Ep = Ep ref - ∫ ⋅r

r

rdF

ref

rr = Ep ref ∫+

z

z

dzmg

ref

= Ep ref +mgz – mgz ref

alegând pentru z ref = 0, Ep ref = 0, se obţine:

Ep (z) = mgz

- câmp gravitaţional radial: rr

mMkF

rr3

−= ;

34

Ep(r) = Ep ref - ∫ ⋅r

r

rdF

ref

rr = Ep ref ∫

⋅+

r

rr

rdrkmM

ref

3

rr= Ep ref ∫+

r

rrdr

kmM

ref

2=

= Ep ref + )11

(rr

kmMref

−

alegând pentru r ref ∞→ , Ep ref = 0, se obţine:

Ep(r) = r

kmM−

- câmp electric radial: rr

qQF

rr34πε

=

Ep(r) = Ep ref - ∫ ⋅r

r

rdF

ref

rr = Ep ref ∫

⋅−

r

rr

rdrqQ

ref

34

rr

πε= Ep ref ∫−

r

rrdrqQ

ref

24πε=

= Ep ref + )11

(4 refrrqQ

−πε

alegând pentru r ref ∞→ , Ep ref = 0, se obţine:

Ep(r) = r

qQ 14

⋅πε

Spre deosebire de energia potenţială în câmp gravitaţional radial, care este

întotdeauna negativă, energia potenţială în câmp electric radial poate fi pozitivă sau

negativă în funcţie de semnul sarcinilor electrice q şi Q.

35

2.6. Teoremele generale ale mecanicii

Cele trei teoreme generale ale mecanicii clasice: teorema impulsului, teorema

momentului cinetic şi teorema energiei le vom trata în două situaţii: pentru un punct

material şi pentru un sistem discret de puncte materiale. Un sistem discret de puncte

materiale este un ansamblu finit de puncte materiale care nu sunt independente ci supuse la

legături reciproce, astfel încât să formeze un întreg mai mult sau mai puţin deformabil.

Exemple de astfel de sisteme de puncte materiale: un corp considerat ca ansamblu de

particule (molecule, ioni), o maşină ale cărei părţi pot fi aproximate prin puncte materiale,

sistemul solar, etc.

Asupra fiecărui punct material de masă m k din sistemul de n puncte materiale se

exercită, pe de o parte, forţe interne klFr

, ),1( nlk =≠ din partea celorlalte puncte

materiale ale sistemului şi, pe de altă parte, forţe externe extkF ,r

din partea corpurilor

externe care nu fac parte din sistem. Forţele interne sunt forţe de interacţiune dintre

punctele sistemului. Conform principiului acţiunii şi reacţiunii, forţa klFr

exercitată de

particula de masă m l asupra particulei de masă m k este egală în modul şi de sens opus cu

reacţiunea lkFr

exercitată de particula de masă m k asupra particulei de masă m l:

klFr

= - lkFr

, )0( =kkFr

sau klFr

+ lkFr

= 0

adică forţele interne sunt întotdeauna perechi, două câte două egale în modul şi de sens

opus, de aceea când sunt însumate pentru întregul sistem dau o rezultantă nulă.

Forţa internă rezultantă asupra particulei de masă m k este:

∑=

=n

lklFkF

1

rr, kl ≠

şi prin însumare asupra tuturor particulelor se obţine zero pentru rezultanta forţelor interne:

36

0int1

==∑=

n

kkFFrr

Înainte de a ne referi la momentul rezultant al forţelor interne vom reaminti

definiţia momentului unei forţe faţă de un punct (pol) arbitrar ales O.

Se defineşte momentul unei forţe Fr

faţă de un punct oarecare O ca fiind produsul

vectorial dinte vectorul de poziţie care uneşte acel punct cu originea forţei, şi forţă:

FrMrrr

×=

Modulul momentului forţei este dat de relaţia: FbFrrFM == ),sin(rr

unde b este braţul forţei, şi reprezintă distanţa de la punctul O până la direcţia forţei.

Punctul de aplicaţie al momentului forţei este în punctul ales O, direcţia sa este normală pe

planul determinat de vectorii rr

şi Fr

, iar sensul momentului forţei este dat de regula

burghiului.

Momentul forţei se măsoară în N.m .

Revenind la sistemul de puncte materiale se poate arăta uşor că momentul rezultant

al forţelor interne faţă de orice pol este nul.

Alegând un pol oarecare O, deoarece forţele interne sunt întotdeauna perechi, două

câte două egale în modul şi de sens opus, momentul rezultant faţă de polul O al celor două

forţe este zero pentru că ele au module si braţe egale faţă de O dar au sensuri diferite. Deci

momentul rezultant al tututor forţelor interne faţă de un pol oarecare este nul.

În acestă etapă putem afirma că pentru un sistem de puncte materiale rezultanta

forţelor interne şi momentul rezultant al forţelor interne faţă de orice pol sunt nule.

Cu acest rezultat vom trece la tratarea celor trei teoreme generale ale mecanicii, în

cele două situaţii – pentru punctul material şi pentru un sistem de puncte materiale.

37

2.6.1. Teorema impulsului

Pentru un punct material de masă m principiul fundamental al dinamicii :

dtpd

Frr

= , unde vmprr

=

afirmă că forţa aplicată punctului material (sau rezultanta mai multor forţe) este egală cu

derivata impulsului punctului material în raport cu timpul.

Din ecuaţia de mai sus rezultă:

pddtFrr

=

iar prin integrare:

Hr

∫=2

1

t

t

dtFr

= ppprrr

∆=− 12 (2.10)

Integrala Hr

= ∫2

1

t

t

dtFr

se numeşte impulsul forţei iar ecuaţia (2.10) exprimă matematic

tocmai teorema impulsului pentru punctul material: Impulsul forţei rezultante aplicate

punctului material este egal cu variaţia impulsului punctului material.

Dacă rezultanta forţelor aplicate punctului material este nulă, impulsul punctului

material se conservă, adică punctul material rămâne în repaus sau în mişcare rectilinie

uniformă.

Să considerăm în continuare un sistem de n puncte materiale asupra căruia

acţionează mai multe forţe externe şi a căror rezultantă este extFr

.

Să scriem ecuaţia principiului fundamental al dinamicii pentru fiecare punct

material al sistemului:

extkFkFdt

kpd

,rr

r

+=

38

Prin însumare asupra tuturor punctelor materiale ale sistemului, obţinem:

),(11∑∑==

+=n

k

n

kextkFkF

dtkpd rr

r

sau: ∑ ∑∑= ==

+=n

k

n

k

n

kextkFkFkp

dtd

1 11,

rrr

Ştiind că extFextkFn

k

rr=∑

=1, ; ∑

=

n

kkF

1

r= 0 (rezultanta forţelor interne este nulă) şi notând cu

∑=

=n

kkpP

1

rr impulsul total al sistemului, obţinem:

extFdtPd rr

=

Această relaţie exprimă matematic tocmai teorema impulsului pentru un sistem

de puncte materiale: derivata în raport cu timpul a impulsului total al unui sistem de

puncte materiale este egală cu rezultanta forţelor externe aplicte sistemului.

Dacă rezultanta forţelor externe este permanent nulă, impulsul total al sistemului

se conservă. Sistemul nu-şi poate schimba impulsul său total decât sub acţiunea unei forţe

rezultante externe, forţele interne nu pot schimba impulsul total al unui sistem de puncte

materiale ci pot doar redistribui impulsul între părţile componente ale sistemului.

2.6.2 Teorema momentului cinetic

În acelaşi fel în care am definit momentul forţei faţă de un pol, se defineşte şi

momentul impulsului sau momentul cinetic al punctului material, doar că se înlocuieşte

forţa Fr

cu impulsul pr

vmr

= al punctului material:

vmrprLrrrrr

×=×=

39

Derivând relaţia de mai sus în raport cu timpul şi înlocuind derivata impulsului cu

forţa, conform ecuaţiei principiului fundamental al dinamicii, obţinem:

MFrdtpd

rpdtrd

dtLd rrr

rrr

rr

=×=×+×= (2.11)

deoarece 0=×=× pvpdtrd rrrr

, vr

şi pr

fiind vectori paraleli. Deci:

dtLd

Mr

r=

Momentul forţei este egal cu derivata momentului cinetic în raport cu timpul.

Momentul forţei şi momentul cinetic se consideră faţă de acelaşi pol fix într-un sistem de

referinţă inerţial.

Analog, ca la teorema impulsului, se obţine teorema momentului cinetic pentru

punctul material:

∫ −=∆==2

1

12

t

t

LLLdtMKrrrrr

adică: impulsul momentului forţei rezultante aplicate punctului material este egal cu

variaţia momentului cinetic al punctului material.

Dacă momentul forţei rezultante este permanent nul, momentul cinetic al

punctului material se conservă sau altfel spus un punct material nu-şi poate schimba

momentul său cinetic decât sub acţiunea unui moment al forţei.

Să considerăm în continuare un sistem de n puncte materiale şi să aplicăm relaţia

(2.11) fiecărui punct material al sistemului:

ext,kMkMext,kFkrkFkr)kpkr(dtd

kLdtd rrrrrrrrr

+=×+×=×=

Însumând după toate punctele sistemului rezultă:

40

∑ ∑= =

+=n

k

n

kextkMkMkL

dtd

1 1

),(rrr

sau: ∑ ∑ ∑= = =

+=n

k

n

k

n

kextkMkMkL

dtd

1 1 1,

rrr

Ştiind că: extMextkMn

k

rr=∑

=1, ; 0

1

=∑=

n

kkM

r (momentul rezultant al forţelor interne faţă

de orice pol este nul) şi notând cu ∑=

=n

kkLL

1

rrmomentul cinetic total al sistemului faţă de

un pol, obţinem:

extMdtLd rr

=

Această relaţie exprimă matematic tocmai teorema momentului cinetic pentru un

sistem de puncte materiale: Derivata în raport cu timpul a momentului cinetic total al

sistemului de puncte materiale faţă de un pol dat este egală cu momentul rezultant al

forţelor externe faţă de acelaşi pol.

2.6.3. Teorema energiei

Să considerăm mişcarea unui punct material într-un câmp de forţe conservativ.

Aplicând teorema energiei cinetice (2.5), obţinem:

L = ∫ ∆=⋅2

1

rdFrr

Ec = - ∆Ep (deoarece L = - ∆Ep)

rezultă: ∆Ec + ∆Ep = ∆(Ec + Ep) = 0 ⇒ ∆E = 0 ⇒ E= constantă

sau: Ec1 + Ep1 = Ec2 + Ep2 (2.12)

unde E = Ec + Ep se numeşte energia mecanică.

41

Relaţia (2.12) reprezintă tocmai teorema conservării energiei mecanice: Într-un

câmp de forţe conservative are loc în timpul mişcării o transformare reciprocă a energiei

cinetice şi potenţiale ale punctului material, suma lor rămânând constantă.

Pentru un câmp de forţe neconservative (disipative), când lucrul mecanic depinde

de traiectorie şi de modul de mişcare, nu există energia potenţială, şi atunci energia

mecanică, sub formă de energie cinetică, nu se conservă, ci se transformă în alte forme de

energie nemecanice. De exemplu, în cazul forţelor de frecare, când lucrul mecanic depinde

de lungimea drumului şi nu este nul pe un drum închis, energia mecanică se transformă în

căldură.

Să presupunem acum că punctul material se află într-un câmp de forţe conservative

Fr

şi este supus în acelaşi timp la o forţă neconservativă (disipativă) 'Fr

. Aplicând din nou

teorema energiei cinetice, obţinem:

∫ =⋅+=2

1

rd)'FF(L ∆rrr

Ec sau ∆Ec = ∫ ∫ ∆−=⋅+⋅2

1

2

1

' rdFrdFrrrr

Ep + L’

deci rezultă:

L’ = ∆=⋅∫2

1

' rdFrr

(Ec + Ep) =∆E

Lucrul mecanic al forţelor neconservative (disipative) L’ aplicate punctului

material este egal cu variaţia energiei mecanice a punctului material.

De exemplu, lucrul mecanic al forţelor de frecare, care este întotdeauna negativ,

deoarece forţele de frecare sunt orientate în sens contrar sensului de mişcare, produce o

scădere a energiei mecanice, transformând-o în căldură.

Să considerăm în continuare un sistem de n puncte materiale şi să aplicăm teorema

energiei cinetice (în forma diferenţială) fiecărui punct material al sistemului:

42

extkdLkdLkrdextkFkFkvkmd ,),()21

( 2 +=⋅+=rrr

Însumând pentru toate punctele sistemului şi integrând, obţinem:

∑=

n

kkvkmd

1

2 )21

( = ∑=

+=⋅+n

kextdLdLkrdextkFkF

1

),(rrr

∆∑=

n

kkvkm

1

2

21

=∆Ec = ∑∫=

+=⋅+n

kextLLkrdextkFkF

1

2

1

),(rrr

∆Ec = extLL +

Variaţia energiei cinetice totale a sistemului de puncte materiale este egală cu

lucrul mecanic efectuat de toate forţele, atât externe, cât şi interne.

Forţele interne pot mări sau micşora energia cinetică totală a sistemului pe seama

altor forme de energie, prin intermediul lucrului mecanic al forţelor interne.

În cazul solidului rigid , alcătuit dintr-un sistem de puncte materiale care formează

un întreg nedeformabil, lucrul mecanic al forţelor interne este nul şi numai forţele externe

pot schimba energia sa cinetică.

Un alt caz important este acela în care forţele interne sunt consevative. În acest caz

se poate introduce energia potenţială a sistemului în funcţie numai de poziţiile tuturor

punctelor materiale ale sistemului, adică funcţie numai de configuraţia sistemului:

L = ∆−=⋅∑∫=

krdkFn

k

rr

1

2

1

Ep

Teorema energiei cinetice devine în acest caz:

∆Ec = -∆Ep + extL

sau: ∆ (Ec +Ep) = extL

43

Prin urmare, variaţia energiei mecanice a unui sistem conservativ este egală cu

lucrul mecanic al forţelor externe aplicate. De aici rezultă teorema conservării energiei

mecanice a unui sistem conservativ izolat.

44

2.7. Oscilaţii şi unde elastice

Prin mişcare oscilatorie se înţelege orice transformare a energiei unui sistem dintr-o

formă în alta, periodic sau cvasiperiodic, reversibil sau parţial reversibil. Pe scurt, sistemul

care oscilează se numeşte oscilator, iar mişcarea ca atare-oscilaţie. Oscilaţia este periodică,

dacă oscilatorul revine în aceeaşi stare după un interval de timp T numit perioadă, iar dacă

perioadele diferă puţin, deci nu sunt strict egale, oscilaţia este cvasiperiodică. Dacă energia

oscilatorului se păstrează constantă, procesul de oscilaţie este reversibil, iar dacă oscilatorul

pierde o parte din energia sa, cedând-o mediului ambiant, mişcarea oscilatorie este un proces

parţial reversibil, energia fiind pierdută printr-un proces ireversibil.

Toate mediile materiale (solide, lichide, gazoase) sunt medii deformabile. Supuse

unor solicitări (întindere sau comprimare) aceste medii îşi modifică dimensiunile. Dacă în

mediu, în urma deformării, apar forţe care tind să aducă particulele mediului în stare

nedeformată, mediul se numeşte elastic. Elasticitatea unui mediu este caracterizată prin

modulul de elasticitate (E) sau prin inversul lui, numit coeficient de compresibilitate ( β ).

Procesul de propagare a unei oscilaţii într-un astfel de mediul elastic se numeşte undă. Şi

unda este un fenomen periodic, iar din punct de vedere energetic are aceleeaşi tipuri de

caracteristici ca şi oscilaţia, energia undei putând rămâne constantă sau putându-se pierde

prin procese parţial reversibile sau ireversibile.

Pentru caracterizarea cantitativă a unei oscilaţii va fi nevoie de o funcţie care să depindă de

timp (numită elongaţie), iar pentru caracterizarea unei unde este necesară o funcţie care să

depindă atât de timp, cât şi de variabilele spaţiale (numită funcţie de undă). Aceste funcţii

trebuie să fie funcţii periodice atât în raport cu timpul, cât şi în raport cu variabilele spaţiale.

Cele mai importante oscilaţii sunt oscilaţiile armonice, adică acele oscilaţii în care mărimile

caracteristice se modifică după o funcţie armonică (sinus, cosinus, exponenţială complexă).

45

2.7.1. Oscilaţii armonice

Acest tip de oscilaţii este cauzat de acţiunea forţelor elastice Fe, forţe care sunt

proporţionale şi de semn contrar cu elongaţia y (depărtarea faţă de poziţia de echilibru la un

moment t): kyFe −=

unde k se numeşte constanta elastică.

Dacă un corp de masă m este supus numai acţiunii forţei elastice, el va executa oscilaţii

armonice liniare. Oscilaţiile armonice liniare se fac după o singură direcţie, iar asupra

corpului acţionează numai forţe elastice.

Conform principiului al doilea al mecanicii clasice, vom putea scrie:

kydt

ydm −=

2

2

Aceasta este o ecuaţie diferenţială de ordinul doi, cu coeficienţi constanţi şi omogenă (fără

termen liber), care se poate scrie sub forma:

oydt

yd=+ 2

02

2

ω (2.13)

mărimea notată cu ωo, se numeşte pulsaţie proprie a oscilaţiei, legată de perioada oscilaţiilor

proprii To sau de frecvenţa oscilaţiilor proprii 0ν prin relaţia:

00

0 22

πνπ

ω ===Tm

k

Soluţia unei astfel de ecuaţii diferenţiale (2.13) se caută sub forma:

rtCey −=

astfel că dupa înlocuierea soluţiei în ecuaţie se obţine:

020

2 =+ωr

46

Această ecuaţie se numeşte ecuaţia caracteristică a ecuaţiei diferenţiale, rădăcinile ecuaţiei

caracteristice fiind: 02,1 ωir ±= ,

iar soluţia ecuaţiei diferenţiale este:

ti

eCti

eCy 02

01

ωω −+=

Folosid formula Euler:

ixexix =+ sincos

şi înlocuind constantele de integrare C1 şi C2 cu alte două constante A şiϕ :

21sin CCA +=ϕ şi )(cos 21 CCiA −=ϕ

soluţia ecuaţiei diferenţiale se poate scrie în forma mai comodă şi mai des utilizată:

)sin( 0 ϕω += tAy

unde apar două constante de integrare: A – amplitudinea oscilaţiilor (distanţa sau depărtarea

maximă a oscilatorului faţă de poziţia sa de echilibru) şi φ – faza iniţială, o mărime care

precizează poziţia iniţială (la momentul t = 0) a oscilatorului, faţă de poziţia sa de echilibru.

Constantele de integrare se pot determina doar dacă se cunosc cele două condiţii iniţiale

privind oscilatorul, adică poziţia şi viteza iniţială ale acestuia.

Argumentul funcţiei armonice (sinus sau cosinus) se numeşte faza oscilaţiei.

Viteza de oscilaţie v reprezintă viteza cu care se depărtează sau se apropie oscilatorul de

poziţia sa de echilibru şi are expresia:

)cos( 00 ϕωω +== tAdt

dyv

iar energia cinetică a oscilatorului este:

)(cos22

10

2220

2

ϕωω

+=

= tAm

dt

dymEc

Acţiunea forţei elastice determină oscilatorul să acumuleze o energie potenţială elastică:

47

==2

2ykE p )(sin

2 022

20 ϕω

ω+tA

m

astfel că energia mecanică totală a oscilatorului este:

2

2kAEEE pc =+=

Această relaţie reprezintă legea conservării energiei în cazul oscilatorului armonic liniar.

Energia cinetică şi energia potenţială elastică a oscilatorului sunt variabile în timp,

transformându-se una în alta, dar în aşa fel încât suma lor (energia mecanică totală) să rămână

constantă.

2.7.2. Compunerea oscilaţiilor armonice

Dacă un oscilator participă simultan la două sau mai multe mişcări oscilatorii

armonice, mişcarea lui este compusă, el executând o mişcare dată de rezultanta mişcărilor

oscilatorii armonice individuale.

Expresia matematică a mişcării rezultante a oscilatorului se poate determina prin două

metode:

- metoda fazorială, în care un fazor reprezintă un vector de modul A, care se roteşte cu viteza

unghiulară ω0 şi la momentul iniţial se află orientat sub unghiul φ faţă de axa Ox.

- metoda trigonometrică, metodă care se bazează pe separarea părţii temporale a fazei de

partea care conţine faza iniţială, fapt ce revine la utilizarea formulelor trigonometrice:

αββαβα cossincossin)sin( ±=± (2.14)

Există multe situaţii de compunere a oscilaţiilor armonice, iar dintre acestea vom aminti

următoarele:

48

I. Compunerea oscilaţiilor paralele şi de aceeaşi pulsaţie

Să considerăm două oscilaţii armonice individuale de forma:

)sin( 1011 ϕω += tAy

)sin( 2022 ϕω += tAy

iar oscilaţia armonică rezultantă: 21 yyy += , va fi de forma:

)sin( 0 ϕω += tAy

deci: )sin( 0 ϕω +tA = )sin( 101 ϕω +tA + )sin( 202 ϕω +tA

Să determinăm amplitudinea A şi faza iniţială φ a oscilaţiei armonice rezultante. În acest scop

vom dezvolta funcţiile sinus din relaţiile precedente, utilizând formula trigonometrică

indicată mai sus (2.14) şi vom egala factorii din faţa funcţiilor sinus şi cosinus de argument

ω0 t. După calcule elementare, vom obţine:

)cos(2 122122

21 ϕϕ −++= AAAAA

2211

2211

coscos

sinsin

ϕϕϕϕ

ϕAA

AAtg

+

+=

Oscilaţia armonică rezultantă va avea amplitudinea cuprinsă în intervalul:

2121 AAAAA +≤≤−

valoarea ei minimă fiind zero dacă amplitudinile oscilaţiilor iniţiale sunt egale, iar diferenţa

de fază egală cu π (opoziţie de fază).

II. Compunerea oscilaţiilor paralele şi de pulsaţie puţin diferită

Dacă pulsaţiile celor două oscilaţii diferă puţin, adică:

01 ωω = şi ωωω ∆+= 02

49

atunci fazele iniţiale ale oscilaţiilor individuale sunt (se observă că faza iniţială a celei de a

doua oscilaţii depinde uşor de timp):

11 ϕϕ → şi tωϕϕ ∆+→ 22

Putem aplica raţionamentul din paragraful anterior, astfel încât amplitudinea oscilaţiei

rezultante va fi în acest caz:

)cos(2 122122

21 ϕϕω −+∆++= tAAAAA

În cazul particular, când amplitudinile oscilaţiilor iniţiale sunt egale (A1 = A2), expresia de

mai sus devine:

)22

cos(2 121

ϕϕω −+

∆=

tAA

În acest caz, oscilaţia rezultantă poate fi considerată o oscilaţie armonică de pulsaţie 0ω , dar

modulată în amplitudine de funcţia cosinus având argumentul de mai sus, iar faza ei iniţială

depinde foarte uşor de timp. Perioada Tb de modificare în timp a amplitudinii este dată de

intervalul dintre momentele de timp în care aceasta devine zero, adică intervalul de timp în care

argumentul funcţiei cosinus se modifică cu valoarea π :

=−

+∆

2212 ϕϕω

bT2

12 ϕϕπ

−+

şi rezultă expresia perioadei căutate:

ωπ

ωωπ

∆=

−=

22

12bT

Acest fenomen poartă numele de fenomen de bătăi, prin analogie cu cazul din acustică, în

care intensitatea sunetului prezintă întăriri şi slăbiri succesive. Fenomenul este cu atat mai

evident şi mai uşor de observat, cu cât diferenţa celor două pulsaţii ω∆ este mai mică,

perioada batăilor Tb devenind în acest caz mult mai mare.

50

III. Compunerea oscilaţiilor perpendiculare de aceeaşi pulsaţie

Dacă un oscilator este supus acţiunii a două forţe elastice de direcţii perpendiculare, adică

execută două oscilaţii armonice individuale de forma:

tAx x 0sinω=

)sin( 0 ϕω ∆+= tAy y unde: 12 ϕϕϕ −=∆ → diferenţa de fază

atunci are loc compunerea celor două oscilaţii armonice de aceeaşi pulsaţie, dar pe direcţii

perpendiculare.

Dezvoltând funcţia sinus şi înlocuind t0sinω din a doua relatie cu valoarea sa din prima

relatie, după efectuarea calculelor obţinem că traiectoria mişcării oscilatorului va fi în acest

caz o elipsă generalizată dată de ecuaţia:

ϕϕ ∆=∆−+ 22

2

2

2

sincos2yxyx AA

xy

A

y

A

x

Forma ei depinde atât de diferenţa de fază dintre cele două oscilaţii individuale, cât şi de

mărimea celor două amplitudini. Pentru diferite diferenţe de fază 0=∆ϕ , 2/π , π , 2/3π ,

π2 , forma traiectoriei devine mai simplă, aşa cum este redată în figura de mai jos (fig. 2.2).

3

= 0 =2

=

==

2=2

fig. 2.2

51

Dacă pulsaţiile oscilaţiilor perpendiculare sunt diferite, traiectoriile mişcării oscilatorului

sunt, în general, nişte curbe deschise. Numai dacă raportul pulsaţiilor este un număr raţional

traiectoriile sunt curbe închise, numite figurile lui Lissajoux.

2.7.3. Oscilaţii amortizate

Dacă asupra unui corp (oscilator) de masă m acţionează, în afară de forţa elastică, o

forţă de rezistenţă (de frecare), proporţională şi de semn contrar cu viteza:

dt

dybFr −= cu constb =

atunci oscilaţiile pe care le va executa corpul se numesc oscilaţii amortizate.

Principiul al doilea al dinamicii se scrie în acest caz:

dt

dybky

dt

ydm −−=

2

2

relaţie care conduce la ecuaţia diferenţială a mişcării:

oydt

dy

dt

yd=++ 2

02

2

2 ωβ (2.15)

În această ecuaţie am utilizat o nouă notaţie:

m

b

2=β

în care b este constanta de proporţionalitate a forţei de frecare, iar β senumeşte coeficient de

amortizare.

Dacă frecarea este mare, deci β ≥ 0ω soluţia ecuaţiei diferenţiale a mişcării (2.15) nu este

specifică unei mişcări amortizate, elongaţia se atenuează exponenţial în timp, pană când

mişcarea corpului încetează, acest tip de mişcare numindu-se mişcare aperiodică (sau

mişcare aperiodică critică pentru cazul în care β = 0ω ).

52

În schimb, dacă frecarea este mică, deci β < 0ω , şi urmăm aceleaşi etape de rezolvare a

ecuaţiei diferenţiale a mişcării (2.15) ca şi în cazul ecuaţiei oscilaţiilor armonice(2.13), atunci

soluţia ecuaţiei diferenţiale a mişcării este:

)sin( ϕωβ +−= ttAey

Aici apare o nouă pulsaţie, numită pulsaţia oscilaţiilor amortizate, care depinde de coeficientul

de amortizare astfel:

220 βωω −=

Oscilaţiile sunt amortizate deoarece amplitudinea acestora scade exponenţial în timp, după

legea (fig. 2.3):

tAetA β−=)(

iar oscilatorul, datorită frecării cu mediul, îşi micşorează în mod continuu energia, cedând-o

mediului.

fig. 2.3

Pentru a caracteriza ritmul (rata) de scădere în timp a amplitudinii oscilaţiilor amortizate se

utilizează mărimea numită decrementul logaritmic al amortizării, definit astfel:

TTtA

tA

Tty

tyβδ =

+=

+=

)(

)(ln

)(

)(ln

relaţie în care apare perioada T oscilaţiilor amortizate:

53

22

0

22

βω

πωπ

−==T

Oscilatorul amortizat are o perioadă de oscilaţie T mai mare (oscilează mai lent, deci cu o

frecvenţă mai mică) decât perioada de oscilaţie T0 a oscilatorului armonic liber (neamortizat),

datorită pierderii continue de energie prin amortizarea oscilaţiilor.

Oscilaţiile din natură sunt amortizate, deoarece, întotdeauna, asupra oscilatorului acţionează

forţe de frecare.

2.7.4. Oscilaţii forţate şi rezonanţa

Pentru a compensa pierderile de energie datorită amortizării oscilaţiilor, asupra

oscilatorului trebuie acţionat cu o forţă perturbatoare exterioară periodică, forţă care

determină oscilatorul să execute un nou tip de oscilaţii, numite oscilaţii forţate. Sistemul

oscilant (oscilatorul) va intra în regim de oscilaţii forţate dacă forţa exterioară este periodică.

Se ştie că orice funcţie periodică poate fi descompusă într-o serie Fourier de funcţii armonice.

De aceea, să considerăm că forţa exterioară este de tip armonic (funcţiile armonice sunt

funcţii periodice), având expresia:

tFF pωsin0=

iar ecuaţia diferenţială corespunzătoare în acest caz se poate obţine în mod analog ca şi

pentru cazurile precedente:

tm

Fy

dt

dy

dt

ydpωωβ sin2 02

02

2

=++

Aceasta este o ecuaţie diferenţială de ordinul doi cu coeficienţi constanţi şi neomogenă (care

are termen liber). Soluţia ei generală este o sumă dintre soluţia generală a ecuaţiei omogene

(ecuaţia conţinută în membrul stâng, care este chiar ecuaţia oscilaţiilor amortizate) şi soluţia

54

particulară a ecuaţiei neomogene (care are, de obicei, forma termenului liber):

)sin()sin( ppp tAttAey ϕωϕωβ +++−=

Se observă că soluţia ecuaţiei omogene (primul termen), care scade exponenţial în timp,

caracterizează regimul tranzitoriu şi, după un timp teoretic infinit, dar practic finit, ea devine

egală cu zero. După acest moment soluţia va conţine doar termenul al doilea, iar mişcarea va

intra într-un regim staţionar de oscilaţii forţate, adică nişte oscilaţii armonice neamortizate, cu

amplitudinea Ap şi pulsaţie egală cu pulsaţia forţei exterioare perturbatoare ωp . Solutia

ecuaţiei oscilaţiilor întreţinute (oscilaţiilor forţate) în regim stationar este:

)sin( ppp tAy ϕω +=

Deoarece acestă soluţie trebuie să fie valabilă în orice moment al regimului staţionar,

înlocuind această expresie în ecuaţia diferenţială a oscilaţiilor amortizate şi alegând două

momente de timp convenabile, se obţine un sistem de două ecuaţii algebrice din care se poate

afla atât amplitudinea oscilaţiilor forţate:

( ) 22222

0

0

4 pp

p

FA

ωβωω +−=

cât şi faza iniţială a oscilaţiilor forţate:

−

−=

220

2

p

pp arctg

ωω

βωϕ

Cele două mărimi pA şi pϕ pot fi de asemenea deduse şi prin metoda fazorială descrisă în

paginile anterioare.

Aceste două mărimi care caracterizează oscilaţiile forţate depind esenţial de pulsaţia ωp a

forţei perturbatoare periodice exterioare. Dacă pulsaţia forţei exterioare ωp se apropie de

valoarea pulsaţiei proprii ωo a oscilatorului, atunci amplitudinea oscilaţiilor forţate creşte

55

foarte mult. Acest fenomen poartă numele de fenomen de rezonanţă, iar oscilaţia cu

amplitudine maximă a oscilatorului se numeşte oscilaţie de rezonanţă. Dacă nu ar exista

frecare, deci dacă ar fi β = 0, atunci amplitudinea Ap la rezonanţă ar creşte foarte mult. Totuşi,

acest fapt nu se întâmplă în mod practic deoarece, întotdeauna, frecarea este prezentă, chiar

dacă β are valori foarte mici. În anumite cazuri, când ωp se apropie foarte mult de ωo ,

amplitudinea Ap la rezonanţă creşte atât de mult încât poate duce la distrugerea mecanică a

materialului din care este confecţionat oscilatorul. De aceea, la proiectarea podurilor,

clădirilor, a dispozitivelor mecanice sau electronice, trebuie ţinut cont că este posibil să apară

fenomenul de rezonanţă.

Pentru a afla valorea amplitudinii maxime (amplitudinii de rezonanţă), să reprezentăm grafic

fig. 2.4

dependenţa amplitudinii Ap de pulsaţia ωp a forţei exterioare, curbă care se numeşte curbă de

rezonanţă (fig. 2.4). Impunând condiţia de maxim, obţinem:

0=p

p

d

dA

ω, ⇒

220

0,

2 βωβ −=

m

FA rezp

expresie care se realizează pentru valorea pulsaţiei de rezonanţă egală cu:

220 2βωωω −== rezp

56

Pentru a compensa pierderile de energie prin frecare, trebuie introdusă periodic din exterior

energie şi aceasta se realizează prin acţiunea forţei periodice exterioare.

2.7.5. Unde elastice. Ecuaţia undei plane

Mediile continue (gaze, lichide şi solide) sunt sisteme de particule legate, adică

particule (molecule, atomi sau ioni) care interacţionează între ele. De aceea, dacă una din

particule oscilează, vor începe să oscileze şi particulele vecine, oscilaţia propagându-se de la

particulă la particulă. Procesul de propagare a unei oscilaţii în mediul ambiant se numeşte

undă. În decursul propagării undei, fiecare particulă a mediului oscilează în jurul poziţiei sale

de echilibru, mişcarea oscilatorie propagându-se din aproape în aproape, dar nu instantaneu,

ci cu o viteză u finită. Totalitatea punctelor la care a ajuns unda la un moment dat t, puncte

care oscilează în fază, se numeşte suprafaţă de undă. Cea mai depărtată suprafaţă de undă la

un moment dat faţă de sursa undelor se numeşte front de undă.

Forma geometrică a frontului de undă determină denumirea undei (undă plană, undă sferică,

undă cilindrică ).

După relaţia dintre direcţia deplasării particulelor mediului (direcţia de oscilaţie) şi direcţia

propagării undelor, deosebim:

- unde longitudinale: direcţia lor de oscilaţie este coliniară cu direcţia de propagare. Aceste

unde se propagă în toate mediile (solide, lichide, gazoase).

- unde transversale: direcţia lor de oscilaţie este perpendiculară pe direcţia de propagare.

Aceste unde se propagă doar în solide, deoarece solidele sunt singurele medii care pot

menţine tensiuni tangenţiale.

57

În continuare ne vom ocupa de studiul undelor plane. Pentru a deduce ecuaţia undei plane, să

considerăm că punctual S, în care se găseşte sursa undelor, oscilează cu amplitudine

constantă, deci fără amortizare, conform relaţiei:

tAyS ωsin=

În general, elongaţia y nu trebuie neapărat să aibă semnificaţia unei lungimi, ea poate

desemna şi o mărime fizică ondulatorie oarecare, de exemplu: presiunea, respectiv

intensitatea câmpului electric sau intensitatea câmpului magnetic. În general, în aceste cazuri,

elongaţia nu se notează cu y, ci cu Ψ, purtând numele de funcţie de undă. Elongaţia este o

funcţie doar de variabila timp, pe când funcţia de undă depinde atât de timp cât şi de

coordonatele spaţiale x, z, y.

Un punct M din mediu, situat la distanţa x de sursă, va intra în oscilaţie mai târziu, după un

interval de timp:

u

xt =1

adică exact timpul necesar ca unda, care se propagă cu viteza u, să străbată distanţa x dintre S

şi M . Deci, în punctul M ecuaţia oscilaţiei va avea forma:

)(sin 1ttAyM −= ω

Ţinând cont că lungimea de undă λ a undei reprezintă distanţa străbătută de undă în timpul

unei perioade T a oscilaţiei, adică:

uT=λ

vom obţine soluţia undei armonice plane:

−=

−=λ

πωx

T

tA

u

xtAyM 2sinsin

sau: )sin( kxtAyM −= ω ,

58

unde λπ2

=k si se numeste număr de undă.

Înlocuind pe My , cu Ψ , evidenţiind prin aceasta că funcţia de undă depinde atât de timp cât

şi de coordonatele spaţiale x, y, z, soluţia undei armonice plane se scrie:

)sin(),( kxtAtx −= ωψ

Efectuând derivata a doua partială a funcţiei de undă în raport cu timpul t, respectiv cu

distanţa x, obţinem:

Ψ−=∂

Ψ∂ 22

2

ωt

Ψ−=∂

Ψ∂ 22

2

kx

şi împarţind cele două derivate:

22

2

2

2

2

uk

x

t =

=

∂

Ψ∂∂

Ψ∂ω

rezultă ecuaţia undelor plane:

01

2

2

2

2

=∂

Ψ∂−

∂

Ψ∂

tux

Prin generalizare, considerând că unda se propagă pe toate cele trei direcţii în spaţiu, se

obţine ecuaţia generală a undelor:

01

2

2

2

2

2

2

2

2

=∂

Ψ∂−

∂

Ψ∂+

∂

Ψ∂+

∂

Ψ∂

tuzyx

Sau utilizând operatorul lui Laplace aceasta se scrie:

01

2

2

=∂

Ψ∂−∆Ψ

tu (2.16)

59

2.7.6. Viteza de propagare a undelor. Dispersia undelor

Viteza de propagare a undelor armonice monocromatice plane u coincide cu viteza

de deplasare a fazei şi de aceea se numeşte viteza de fază. Expresia ei se obţine punând

condiţia ca faza să fie constantă şi apoi diferenţiind faza undei. Deoarece faza undei depinde

de variabilele spaţiale şi de timp, trebuie să diferenţiem faza ca o funcţie de două variabile:

constkxt =−=ωα ⇒ 0=−= kdxdtd ωα

de unde viteza de fază este:

uTkdt

dxv f ====

λω

Viteza de fază a undelor armonice monocromatice plane depinde de mediul prin care

acestea se propagă, medii solide, lichide sau gazoase.

Pentru undele longitudinale în solide viteza de fază a acestora este dată de relaţia:

ρE

vs =

iar în lichide: βρ1

=lv (2.17)

În gaze propagarea undelor se consideră a fi un proces adiabatic (fără transfer de energie net

de la undă la mediu) astfel că în relaţia (2.17) pentru gaze trebuie considerat coeficientul de

compresibilitate adiabatic:

ad

ad dp

dV

V

−=

1β

Însă în procese adiabatice constpV =γ , unde Vp CC /=γ este exponentul adiabatic al

gazului. Diferenţiind constpV =γ se obţine:

01 =+ − dVpVdpV γγ γ

60

şi deci: pdp

dV

adγ1

−=

Deci viteza de fază a undelor în gaze este:

µ

γργ

ρβRTp

vad

g ===1

deoarece RTm

pVµ

=

Pentru undele transversale într-o coardă, dacă T este tensiunea (forţa) din coardă şi µ este

masa unităţii de lungime, atunci viteza de fază a undelor este:

µT

vtr =

Iar în medii tridimensionale de densitate ρ şi modul de elasticitate la forfecare G:

µG

vtr =

Însă, unda armonică monocromatică plană este un concept idealizat, în sensul că o undă

sinusoidală, cu o întidere infinită în spaţiu şi timp nu poate purta cu sine nici o informaţie.

Numai semnalele, adică perturbaţiile mărginite în spaţiu şi timp pot purta o informaţie.

Semnalele (undele reale) nu sunt monocromatice, ci prezintă un spectru oarecare de frecvenţe

(mai multe frecvenţe apropiate ca valoare), deoarece orice proces perturbator care este sursa

unei unde are o durată şi o întindere spaţială finită.

O suprapunere de mai multe (infinit de multe) unde armonice monocromatice plane cu

frecvenţe foarte apropiate se numeşte grup de unde sau pachet de unde, iar viteza cu care se

propagă grupul de unde se numeşte viteza de grup, care se identifică cu viteza de deplasare a

maximului central. Se poate demonstra că viteza de grup are expresia:

61

λ

λω

d

dvv

dk

dvkv

dk

kvd

dk

dv f

ff

ff

g −=+===)(

deci: λ

λd

dvvv f

fg −=

numită şi relaţia Rayleigh.

Viteza de grup este viteza cu care se deplasează amplitudinea grupului şi deoarece

intensitatea undei este proporţională cu pătratul amplitudinii, înseamnă că viteza de grup este

viteza de transfer a energiei undei în mediu în care aceasta se propagă.

Se observă că viteza de propagare a undei (viteza de fază fv ) depinde de lungimea de undă: u

= u(λ). Acesta este fenomenul de dispersie a undelor: undele care au lungimi de undă diferite

se propagă în acelaşi mediu cu viteze diferite. Cu alte cuvinte, derivata vitezei de fază fv în

raport cu lungimea de undă λ este diferită de zero. Dacă undele cu lungimi de undă mai lungi

se propagă mai repede decât undele cu lungimi de undă mai scurte, atunci dispersia se

numeşte normală, iar dacă undele cu lungimi de undă mai lungi se propagă mai încet decât

undele cu lungimi de undă mai scurte, atunci dispersia se numeşte anomală.

2.7.7. Unde sferice

În cazul în care suprafeţele de undă sunt sferice, funcţia de undă în coordonate

carteziene ),,,( tzyxΨ , devine în coordonate sferice, doar ),( trΨ , datorită faptului că mediul

fiind omogen şi izotop funcţia de undă nu depinde de coordonatele unghiulare θ şi ϕ . În

acest caz este recomandabil a se exprima laplacianul din ecuaţia (2.16) în coordonate sferice:

( ) 01

2

2

2=

∂

Ψ∂−∆Ψ

tur (2.18)

unde ( )r∆Ψ este componenta laplacianului după rază, adică:

62

( ) ( )Ψ∂

∂=

∂Ψ∂

∂∂

=∆Ψ rrrr

rrrr 2

22

2

11

astfel încât ecuaţia (2.18) devine:

( )Ψ∂

∂r

rr 2

210

12

2

2=

∂

Ψ∂−

tu

sau: ( )Ψ∂

∂r

r 2

2

( ) 01

2

2

2=Ψ

∂

∂− r

tu

notând: ),(),( ' trtrr Ψ=Ψ

ecuaţia devine: ( ) 01

2

'2

2' =

∂

Ψ∂−∆Ψ

tur

care este o ecuaţie diferenţială de acelaşi tip ca şi cea a undelor plane, deci soluţia este:

)sin(),(' krtAtr −=Ψ ω

Revenind la funţia de undă ),( trΨ , solutia ecuaţiei diferenţiale a undelor sferice se scrie:

)sin(1

),( krtAr

tr −=Ψ ω

Se observă că amplitudinea oscilaţiilor în unda sferică scade cu distanţa 1/r faţă de locul în

care se află sursa care generează undele.

2.7.8. Energia undei. Intensitatea undei. Atenuarea undelor

Propagarea undelor elastice într-un mediu determină o mişcare de oscilaţie a

particulelor mediului, deci a fiecărui volum elementar din mediul de propagare al undei, în

jurul poziţiei sale de echilibru. Deci, unda elastică posedă energie mecanică, sub formă de

energie cinetică şi energie potenţială elastică. Într-un interval de timp oarecare dt, fiecare

volum elementar al mediului de propagare al undei elastice suferă şi o deformaţie elastică şi,

datorită propagării undei elastice, îşi modifică energia cinetică cu valoarea cdE , iar energia

63

potenţială cu valoarea pdE . Într-un mediu conservativ, deci care nu are pierderi de energie,

energia mecanică totală primită de mediu este egală cu energia mecanică totală transportată

de undă.

În concluzie, unda elastică transportă energie, iar această energie este transmisă de la sursa

undei către toate punctele mediului în care se propagă unda.

Presupunem un cilindru elementar de suprafaţă S şi înalţime dx într-un câmp de unde plane.

Pentru S şi dx mici, putem considera că toate punctele mediului aflat în acest cilindru

infinitezimal oscilează cu aceeaşi amplitudine. Adică legea de oscilaţie a acestor puncte este:

)sin(),( kxtAtx −= ωψ

Energia oscilatorie din volumul dVdE ρ= este:

pc dEdEdE += (2.19)

unde: )(cos2

1

2

1 2222 kxtAdVdmvdEc −== ωωρ (2.20)

şi: )(sin2

1

2

1 2222 kxtAdVdkdE p −=Ψ= ωωρ (2.21)

aici k este constanta elastică pe care o atribuim mediului din cilindrul de volulm dV, cu

dmdmdk ρωω 22 ==

Înlocuind (2.20) şi (2.21) în (2.19) obţinem:

dVAdE 22

2

1ρω=

Deci densitatea de volum dE/dV a energiei oscilatorii este:

22

2

1A

dV

dEρω= (2.22)

64

În cursul propagării undelor prin aria S este transferată energie. Energia transferată prin

unitatea de suprafaţă, orientată normal pe direcţia propagării undei, în unitatea de timp, se

numeşte intensitatea undei (se măsoară în W/m2):

dV

dEu

Sudt

dEu

dt

dE

SI ===

1,

unde: ==dt

dxu viteza de propagare a undei în acel mediu

Tinând cont de relaţia (2.22) intensitatea undei devine:

uAI 22

2

1ρω=

Dacă unda se propagă printr-un mediu absorbant, atunci are loc absorbţia treptată a energiei

undei de către particulele mediului, iar amplitudinea undei scade după o lege exponenţială:

deAA γ−= 0

unde A0 este amplitudinea undei la distanţa d = 0 iar γ este coeficientul de atenuare.

Cum intensitatea undei este proporţională cu amplitudinea, în cazul unui mediu absorbant

obţinem:

deIdI κ−= 0)(

Care reprezintă legea de atenuare a undelor. Ea permite aflarea expresiei intensităţii undei la

distanţa d de pătrundere în mediul absorbant, iar κ = 2γ este coeficientul de absorbţie al

mediului.

65

2.7.9. Elemente de acustică

Undele elastice cu frecvenţe cuprinse între limitele 16 Hz şi 20 kHz, produc o

senzaţie auditivă şi se numesc unde sonore sau sunete. Acustica se ocupă cu studiul

producerii, propagării şi recepţionării undelor acustice şi cu studiul efectelor produse în urma

interacţiunilor acestora cu mediul prin care se propagă. În funcţie de senzaţia auditivă

produsă, sunetele se deosebesc după înălţime, timbru şi intensitate auditivă (tăria).

Înălţimea este calitatea sunetelor de a fi mai "înalte" (mai "ascuţite") sau mai "joase" (mai

"grave"), după cum frecvenţa lor ν este mai înaltă sau mai joasă.

Timbrul este proprietatea sunetelor prin care pot fi deosebite două sunete de aceeaşi

intensitate şi înălţime, dar produse de surse sonore diferite. Se datorează faptului că

majoritatea sunetelor reprezintă superpoziţii de oscilaţii armonice cu intensităţi diferite şi cu

frecvenţe care sunt multiplii întregi ai unei frecvenţe minime, dar cu intensitatea cea mai

mare, numită frecvenţă fundamentală ν0 sau sunet fundamental. Frecvenţele care sunt

multiplii frecvenţei fundamentale se numesc armonice.

Timbrul sunetelor se datorează prezenţei sau absenţei anumitor armonice din spectrul

sunetelor provenind de la surse sonore diferite cât şi diferenţelor de intensitate a fiecarei

armonice prezente.

Intensitatea auditivă sau tăria este legată de faptul că urechea poate percepe un sunet de o

anumită frecvenţă numai dacă acesta are o intensitate cuprinsă între o valoare minimă, numită

prag de audibilitate (P.A.) şi o intensitate maximă, numită pragul senzaţiei dureroase (P.S.D.)

(fig. 2.5). În afara acestor limite, care depind de frecvenţă, sunetul nu poate fi perceput ca

atare, deoarece este fie prea slab şi nu poate fi perceput, fie pentru prea puternic, producând

senzaţii de durere.

66

Urechea omenească are cea mai mare sensibilitate acustică în domeniul de frecvenţe între

1000 Hz şi 4000 Hz, domeniu în care intensitatea sonoră minimă ( intensitatea energetică

minimă a undei) pentru care urechea mai aude sunetul, şi care este aproximativ constantă în

acest interval de frecvenţe, are valoarea Is0 =10-12 W / m2. De aceea, frecvenţa ν0 = 1000 Hz a

fost luată drept frecvenţă standard. Intensitatea maximă corespunzătoare pragului auditiv

superior este Is,max = 102 W / m2 . Deci intervalul de intensităţi sonore este foarte larg, adică

14 ordine de mărime. De aceea, s-a întrodus o mărime nouă numită nivel de intensitate

sonoră, ca fiind de 10 ori logaritmul zecimal al raportului dintre intensitatea sonoră a

sunetului respectiv de frecvenţă oarecare ν şi intensitatea sonoră minimă a sunetului de

frecvenţă standard ν0 :

So

SS I

IN lg10= (dB)

Unitatea de măsură a nivelului de intensitate sonoră se numeşte decibel şi are simbolul dB:

fig. 2.5

Intervalul nivelului sonor al sunetelor percepute de urechea umană se întinde în intervalul de

la 0 la 140 dB.

Dacă intensitatea sonoră a unui sunet reprezintă chiar intensitatea energetică a undei, deci

este o mărime obiectivă, tăria unui sunet recepţionat este o mărime subiectivă, care depinde

67

de receptorul auditiv şi nu permite o măsurare cantitativă precisă. Totuşi, experimental s-a

constatat că există o legătură între intensitatea sonoră şi senzaţia produsă asupra urechii.

Experimentele au arătat că senzaţia fiziologică (de tărie) produsă de un sunet este

proporţională cu logaritmul intensităţii sonore (legea Weber-Fechner). Cu alte cuvinte, dacă

intensitatea sonoră creşte de 100 de ori, senzaţia auditivă (tăria sunetului) creşte abia cu 2

unităţi.

Datorită diferenţelor cu care sunt percepute diferite sunete de către ureche, în sensul că

asupra urechii ele produc senzaţii diferite, se impune ordonarea sunetelor după senzaţia pe

care acestea o produc. Pentru aceasta, se impune introducerea unei mărimi noi, numită

intensitate auditivă (Ia).

Prin definiţie, intensitatea auditivă Ia a unui sunet de frecvenţă ν este egală cu intensitatea

sonoră Is a sunetului standard de referinţă, de frecvenţă ν0 = 1000 Hz (pentru care urechea are

maximum de sensibilitate), care produce aceeaşi senzaţie auditivă ca şi sunetul dat. Din

această definiţie a intensităţii auditive rezultă evident că intensitatea auditivă a unui sunet de

frecvenţă 1000 Hz are aceeaşi valoare cu intensitatea sonoră a sa.

Se poate defini nivelul intensităţii auditive, ca fiind egal cu de 10 ori logaritmul raportului

dintre intensitatea auditivă a sunetului de studiat şi intensitatea auditivă minimă ( 0Ia ) care se

acceptă că este aceeaşi cu intensitatea sonoră minimă a sunetului de frecvenţă standard

ν0=1000 Hz (Is0):

0

lg10Ia

IaNa = (fon)

68

2.7.10. Ultrasunetele şi aplicaţiile lor

Ultrasunetele sunt unde elastice a căror frecvenţă este mai mare decât 20 kHz, limita

aceasta, desigur, nu trebuie înţeleasă în mod strict, frecvenţele maxime atinse în prezent fiind

de ordinul a 2 · 109 Hz (adică 2 GHz). Generarea ultrasunetelor se realizează prin două

metode electroacustice principale, bazate pe două fenomene: efectul piezoelectric invers şi

efectul magnetostrictiv. Efectul piezoelectric direct constă în următoarele: dacă o plăcuţă

cristalină (cuarţ sau titanat de bariu), tăiată în mod convenabil, de-a lungul anumitor axe, este

supusă unei comprimări mecanice, plăcuţa se polarizează, adică pe feţele ei apar sarcini

electrice de semn opus.

Efectul piezoelectric invers constă în aplicarea pe feţele plăcuţei cristaline a unui câmp

electric alternativ, drept rezultat, plăcuţa va suferi deformaţii mecanice (se va alungi sau

comprima) în ritmul frecvenţei câmpului electric. Aceste deformaţii mecanice se vor

transmite în mediul ambiant sub formă de unde ultrasonore. Dacă plăcuţa are grosimea d, în

ea se vor induce unde mecanice staţionare, la capetele plăcuţei fiind situate nodurile undei.

Pentru unda cu frecvenţa fundamentală, condiţia este ca grosimea plăcuţei să fie egală cu o

semilungime de undă. Ţinând cont de expresia vitezei undelor în medii solide, frecvenţa

ultrasunetului generat este:

ρν

λ Ed

2

1

2== ⇒

ρν

E

d2

1=

Efectul magnetostrictiv constă în proprietatea corpurilor feromagnetice (de exemplu, o bară

de nichel) de a se deforma mecanic (comprima sau dilata) atunci când sunt supuse acţiunii

unui camp magnetic alternativ. Deformaţiile mecanice ale barei se transmit în mediul

ambiant sub formă de unde ultrasonore, frecvenţa acestora calculându-se cu o formulă

similară celei de mai sus.

69

Aplicaţiile ultrasunetelor se bazează în principal pe trei proprietăţi remarcabile ale acestora.

- Deoarece au frecvenţe foarte mari, undele ultrasonore transportă energii considerabile.

- Având frecvenţe foarte mari şi, deci, lungimi de undă foarte mici, fenomenul de difracţie

este foarte puţin prezent pentru obstacolele obişnuite şi, în consecinţă, undele ultrasonore pot

fi emise şi recepţionate pe direcţii riguros determinate.

- Frecvenţa lor fiind în afara domeniului de audibilitate, undele ultrasonore nu se aud, deci

funcţionarea aparatelor cu ultrasunete nu este deranjantă.

Din punct de vedere al interacţiunii ultrasunetelor cu mediul ambiant, aplicaţiile

ultrasunetelor se împart în două categorii: aplicaţii pasive, în care ultrasunetele nu modifică

structura şi proprietăţile mediului prin care se propagă, ci servesc numai la obţinerea de

informaţii referitoare la calitatea sau dimensiunile corpului examinat, precum şi aplicaţii

active, în care ultrasunetele, interacţionând cu mediul de propagare, îi modifică acestuia atât

structura, cât şi proprietăţile.

Aplicaţiile pasive cele mai importante ale ultrasunetelor sunt următoarele: defectoscopia

ultrasonoră, microscopia ultrasonoră, hidrolocaţia ultrasonoră, comunicaţia între submarine,

sonicitatea etc.

Aplicaţiile active cele mai importante ale ultrasunetelor sunt următoarele: cavitaţia,

prelucrarea materialelor solide (şlefuire, tăiere, perforare), schimbarea structurii metalelor

(prin micşorarea granulaţiei acestora), obţinerea de aliaje a unor metale nemiscibile, lipirea şi

cositorirea ultrasonoră, distrugerea bacteriilor şi microorganismelor, modificarea unor funcţii

biologice, etc.

70

Capitolul 3: Teoria relativităţii

Studiul mişcării unui sistem fizic se face în raport cu un referenţial. Prin referenţial

se înţelege un ansamblu rigid de corpuri şi un ceasornic solidar cu acesta. Faţă de acest

referenţial un sistem fizic poate fi în repaus relativ sau în mişcare relativă.

Raportând mişcarea unui sistem la diferite referenţiale, legile mişcării stabilite în

raport cu fiecare din ele vor fi diferite, ceea ce arată că nu toate referenţialele sunt la fel de

adecvate pentru stabilirea legilor de mişcare. Vom studia în continuare doar mişcarea

sistemelor fizice faţă de referenţiale inerţiale, adică faţă de acele referenţiale care se mişcă

unele faţă de altele rectiliniu şi uniform.

Fie un referenţial (R) format dintr-un sistem cartezian ortogonal de trei axe şi un

ceasornic, referenţial în raport cu care la momentul t poziţia unui punct este determinată de

coordonatele x, y, z. În raport cu un alt referenţial (R’) acelaşi eveniment este caracterizat

prin ansamblul (x’, y’, z’, t’). Relaţiile care exprimă variabilile x’, y’, z’, t’ ca funcţii de x,

y, z, t se numesc relaţii de transformare (grup de transformări), iar cu stabilirea acestor

relaţii se ocupă teoria relativităţii.

3.1. Relativitatea clasică

Pe baza observaţiilor experimentale privind mişcarea corpurilor macroscopice cu

viteză mică faţă de viteza luminii în vid s-a stabilit grupul de transformări, valabil în

mecanica clasică, numit grupul de transformări Galilei. Observaţiile au impus ipoteza că

interacţiunile dintre corpuri se exercită instantaneu la distanţă, ceea ce înseamnă că

semnalele se transmit cu viteză infinită. Această ipoteză face posibilă sincronizarea tuturor

ceasornicelor, avînd drept consecinţă faptul că ceasornice sincrone măsoară aceeaşi durată

în sisteme de referinţă diferite:

71

'tt ∆=∆ → t – t 0 = t’ – t’0

Considerând t 0 = t’0 = 0, rezultă:

t = t’ (3.1)

Astfel, timpul, acelaşi în toate sistemele de referinţă inerţiale (timp universal)

implică simultaneitatea absolută a două evenimente, adică evenimente simultane într-un

referenţial sunt simultane în orice alt referenţial.

Fie (R) şi (R’) două referenţiale, având originile O şi respectiv O’, aflate în mişcare

relativă cu viteza Vr

unul în raport cu celălalt. Spaţiul fiind euclidian, între vectorii de

poziţie ai unui punct oarecare P în raport cu cele două referenţiale există relaţia:

0' rtVrrrrrr

++= (3.2)

unde 0rr

este vectorul de poziţie al originii O’ la t 0 = t’0 = 0.

Relaţiile (3.1) şi (3.2) constituie grupul de transformări Galilei. În coordonate

carteziene acest grup de transformări capătă forma:

x = x’ + Vxt’ + x0

y = y’ + Vyt’ + y0

z = z’ + Vzt’ + z0

t = t’

Din examinarea acestor relaţii se observă că transformarea Galilei este liniară

(variabilele sunt la puterea întâi, ceea ce înseamnă că la un eveniment în (R) corespunde un

singur eveniment în (R’)), reciprocă (se exprimă la fel x’, y’, z’, t’ în funcţie de x, y, z, t,

modificând doar semnul vitezei), şi asimetrică (coordonatele spaţiale nu se modifică la fel

cu coordonata temporală).

Vom analiza câteva consecinţe ale grupului de transformări Galilei:

72

1. Invarianţa distanţelor. Fie 1rr

şi 2rr

vectorii de poziţie în raport cu (R) ai punctelor P1

şi P2, şi '1rr

şi '2rr

vectorii de poziţie ai aceloraşi puncte în raport cu (R’), vectori consideraţi

la t1= t2. Utilizând relaţia (3.2), distanţa dintre cele două puncte este:

'rrrr

∆=∆

de unde rezultă că distanţa este invariantă în raport cu transformarea Galilei, adică este

aceeaşi în raport cu orice referenţial inerţial.

2. Legea de compunere a vitezelor. Derivând relaţia (3.2) în raport cu timpul şi ţinând

seama că constV =r

se obţine:

V'vvrrr

+= (3.3)

unde vr

este viteza în raport cu (R) iar 'vr

viteza în raport cu (R’)

3. Invarianţa acceleraţiilor. Derivând relaţia (3.3) în raport cu timpul şi deoarece

constV =r

, se obţine:

'aarr

= (3.4)

4. Principiul relativităţii clasice. Pentru mişcări ale corpurilor macroscopice cu viteze

mici în raport cu viteza luminii masa corpurilor este constantă. Ţinând cont de relaţia (3.4)

rezultă:

'FFrr

=

Pe de altă parte, principiul al doilea al mecanicii newtoniene impune:

2

2

dt

rdmF

rr= şi

2

2

dt

'rdm'F

rr= (3.5)

Întrucât 'FFrr

= , integrând ecuaţiile (3.5) se obţine aceeaşi formă a dependenţei

lui rr

şi 'rr

. Cu alte cuvinte, legile mecanicii clasice sunt invariante în raport cu grupul

73

de transformări Galilei şi acest lucru constituie tocmai principiul relativităţii clasice.

Altfel spus, legile mecanicii clasice trebuie astfel formulate încât să-şi păstreze forma la

trecerea de la un referenţial la altul, iar transformarea care asigură această invarianţă este

transformarea Galilei.

3.2. Teoria relativităţii restrânse (speciale)

Teoria relativităţii restrânse a fost creată în esenţă de Albert Einstein în 1905.

În 1863 J. C. Maxwell a formulat legile electromagnetismului şi a dat teoria

electromagnetică a luminii. Ecuaţiile lui Maxwell nu sunt invariante la transformările

Galilei, deci legile fenomenelor electromagnetice şi optice ar trebui să difere de la un

referenţial inerţial la altul. Or, aceasta ar permite determinarea mişcării relative a

referenţialelor inerţiale şi evidenţierea unui referenţial absolut, presupus legat de eterul

cosmic, universal. Ceea ce n-a permis mecanica, ar permite optica. Dar, nenumăratele

experienţe optice, de exemplu experienţele lui Michelson şi Morley de la sfârşitul secolului

nouăsprezece, au arătat că nici prin mijloace optice nu se poate determina mişcarea unui

referenţial inerţial. Astfel, s-a găsit că viteza luminii în vid este independentă de mişcarea

inerţială a sursei sau a observatorului, deci este aceeaşi faţă de diferite referenţiale. Acest

lucru contrazice legea clasică de compunere a vitezelor (3.3), deci şi grupul de transformări

Galilei.

Contradicţia ivită a fost rezolvată clar şi precis în 1905 de către Albert Einstein prin

crearea teoriei relativităţii. Pe baza rezultatelor experimentale Einstein extinde principul

relativităţii clasice al lui Galilei la întreaga fizică, şi îl completează cu un alt principiu

privind invarianţa vitezei maxime de interacţiune.

74

3.2.1. Principiile relativităţii restrânse

La baza teoriei relativităţii restrânse stau următoarele principii:

a) Principiul relativităţii restrânse (einsteiniene): Toate sistemele de referinţă inerţiale

sunt echivalente pentru toate legile fizicii. Acest lucru înseamnă că echivalenţa

referenţialelor inerţiale nu este un principiu de relativitate propriu mecanicii, ci este un

principiu de relativitate universal pentru toată fizica. Prin urmare, referenţialele fiind

echivalente, înseamnă că forma legilor fizicii nu se modifică la trecerea de la un referenţial

inerţial la altul, iar grupul de transformări care asigură această invarianţă este grupul

Lorentz. Principiul relativităţii einsteiniene indică echivalenţa tuturor sistemelor de

referinţă inerţiale, în sensul că, nici o experienţă de fizică efectuată în interiorul unui

referenţial inerţial nu poate să pună în evidenţă mişcarea acestui sistem în raport cu un alt

sistem de referinţă inerţial.

b) Principiul invarianţei vitezei maxime de interacţiune: Viteza maximă de propagare a

interacţiunilor – egală cu viteza luminii în vid – este invariantă în raport cu orice

referenţial inerţial şi cu orice direcţie de propagare. Acest principiu impune afirmaţia că

viteza luminii are aceeaşi valoare în raport cu orice referenţial inerţial, în contradicţie cu

legea compunerii vitezelor în mecanica clasică. Pe de altă parte acest principiu subliniază

caracterul propagării din aproape în aproape a interacţiunilor, înlăturând definitiv ipoteza

propagării instantanee a interacţiunilor la distanţă.

c) Principiul de corespondenţă se adaugă celor anterioare şi face legătura dintre fizica

clasică şi cea relativistă: Legile fizice deduse pe baza primelor două principii ale

relativităţii restrânse trebuie astfel formulate încât pentru viteze relativ mici (v/c →0) să

cuprindă drept cazuri particulare legile fizicii clasice. În consecinţă legile clasice nu sunt

75

înlocuite, ci li se precizează domeniul mai restrîns de valabilitate (sunt valabile la viteze

mici în raport cu viteza luminii în vid).

3.2.2. Grupul de transformări Lorentz

Ne propunem să deducem mai jos grupul de transformări care să satisfacă

principiile relativităţii restrânse.

Fie referenţialele (R) şi (R’) în mişcare cu viteza Vr

astfel încât Ox≡O’x’,

Oy II O’y’ şi Oz II O’z’ (fig.3.1).

Fie P un eveniment de

coordonate x’, y’, z’, t’ în raport cu

(R’) şi de coordonate x, y, z, t, în

raport cu (R). Din modul particular

în care am ales referenţialele, cu y ≡

y’ şi z ≡ z’, rezultă:

x’ = x’(x,t) ; t’ = t’(x,t)

Noile transformări trebuie să fie liniare, la fel ca şi transformările Galilei. De

asemenea, noile transformări trebuie practic să coincidă cu transformările Galilei pentru

valori mici ale vitezei relative Vr

. În aceste condiţii pentru coordonatele x’ şi x trebuie să

avem:

x’ = α (x - Vt) (3.6)

unde α nu depinde de coordonate, ci eventual de viteza relativă V a celor două sisteme.

Relaţia (3.6) trebuie să fie liniară iar pentru punctele x = Vt din planul O’y’z’

trebuie să rezulte x’ = 0 în (R’), deci polinomul liniar al lui x’ trebuie să fie divizibil cu x –

Vt, adică să fie proporţional cu x – Vt.

y y’

z z’

x≡x’ O O’

•P

Vr

fig. 3.1

76

Analog trebuie să avem:

x = α (x’ + Vt’) (3.7)

deoarece pentru punctele x’ = -Vt’ din planul Oxy trebuie să rezulte x = 0 în (R), deci

polinomul lui x trebuie să fie proporţional cu x’ + Vt’.

Coeficientul α trebuie să fie acelaşi în virtutea echivalenţei referenţialelor, altfel

trecerea de la un sistem de referinţă la altul ar fi diferită, în contradicţie cu principiul

relativităţii restrânse. Putem considera că (R) se mişcă cu –V faţă de (R’), atunci

coordonatele din (R) vor fi considerate cu accent, iar cele din (R’) fără accent, deci trecerea

inversă se obţine din cea directă prin substituţia (x,t,V) ⇔ (x’,t’,-V):

x’ = α (x - Vt) ⇔ x = α (x’ + Vt’)

(în cazul transformărilor Galilei α = 1).

Să presupunem acum că în momentul iniţial, când originile O şi O’ coincid, se

emite un semnal luminos din origine în sensul axei comune Ox. Un punct oarecare în care

ajunge semnalul are coordonata x = ct în (R) şi x’ = ct’ în (R’), cu aceeaşi viteză c a luminii

(am ţinut cont de al doilea principiu al teoriei relativităţii restrânse). Aplicând

transformările (3.6) şi (3.7) pentru punctul în care ajunge semnalul luminos, obţinem:

ct’ = α (c – V)t, ct = α (c+V)t’,

de unde, înmulţindu-se membru cu membru se obţine:

22 /1

1

cV−=α

deci: 22 /1

'cV

Vtxx

−

−= şi

22 /1

''

cV

Vtxx

−

+=

Introducând prima relaţie în a doua, sau invers, obţinem formulele pentru

transformarea timpului:

77

22

2

/1

/'

cV

cVxtt

−

−= şi

22

2

/1

/''

cV

cVxtt

−

+=

Reunind rezultatele, obţinem grupul de transformări Lorentz, care dă trecerea de

la un referenţial inerţial, la altul care se mişcă faţă de primul cu viteza constantă V, de-a

lungul axei comune Ox:

22 /1

'cV

Vtxx

−

−= ,

22 /1

''

cV

Vtxx

−

+=

y’ = y, z’ = z, y = y’, z = z’

22

2

/1

/'

cV

cVxtt

−

−= ,

22

2

/1

/''

cV

cVxtt

−

+=

Grupul de transformări Galilei se obţine ca un caz limită al grupului de transformări

Lorentz, considerând 0/ →cV .

Încă înainte ca Einstein să enunţe principiul relativităţii, Lorentz a observat faptul că

acest grup lasă invariantă ecuaţia undelor electromagnetice, şi deci ecuaţiile lui Maxwell, la

trecerea de la un referenţial inerţial la altul. Einstein, urmând o sugestie a lui H. Pointcaré, a

propus ca toate legile fizice să fie astfel formulate încât să rămână invariante la

transformarea Lorentz.

Grupul de transformări Lorentz satisface toate cele trei principii ale teoriei

relativităţii restrânse.

3.2.3. Consecinţe cinematice ale grupului de transformări

Lorentz

Numim sistem de referinţă propriu sistemul în raport cu care un sistem fizic

oarecare se află în repaus, iar mărimilor care caractrizează sistemul fizic în raport cu acest

78

referenţial li se atribuie cuvântul propriu. De exemplu, distanţa dintre două puncte a

sistemului fizic se numeşte distanţă proprie, volumul sistemului se numeşte volum

propriu, iar durata dintre două evenimente care au loc în acelaşi punct al sistemului (în

repaus faţă de referenţialul ales) se numeşte durată proprie.

3.2.3.1. Contracţia lungimilor

Fie (R) şi (R’) două referenţiale inerţiale în mişcare relativă cu viteza Vr

orientată

pe direcţia Ox, aceeaşi cu O’x’.

Fie P1P2 un segment de

dreaptă care pentru simplificarea

calculelor îl considerăm paralel cu

axa Ox, segment în repaus în raport

cu (R’).

Pentru observatorul din (R’) distanţa

dintre cele două puncte este:

12 'x'x'x −=∆

Obsevatorul legat de (R) reperează simultan (t1 = t2 = t) abscisele celor două puncte,

găsind:

12 xxx −=∆

Din reperarea simultană în (R) şi utilizând transformarea coordonatei x din grupul

de transformări Lorentz, rezultă:

22

12

22

1

22

212 c/V1)'x'x()Vtc/V1'x()Vtc/V1'x(xxx −−=+−−+−=−=∆

deci:

y y’

z z’

x≡x’ O O’

P 1 P 2

•• ..................

Vr

fig. 3.2

79

22 /1' cVxx −∆=∆ (3.8)

Relaţia (3.8) arată că lungimea corpurilor pe direcţia mişcării se contractă.

Distanţa dintre două puncte fixate este maximă în raport cu sistemul propriu de referinţă;

în raport cu orice alt sistem, în mişcare faţă de sistemul propriu, distanţa este mai mică.

Doar dimensiunea sistemului fizic pe direcţia mişcării (x) este modificată faţă de

diferite referenţiale, dimensiunile transversale pe direcţia mişcării ramânând aceleaşi (y =

y’, z = z’), de aceea volumul sistemului fizic apare contractat faţă de volumul propriu în

acelaşi raport ca şi dimensiunea x:

22 /1' cVdVdV −=

De exemplu, un corp sferic în referenţialul propriu apare turtit în direcţia mişcării

într-un alt referenţial inerţial, faţă de care corpul se mişcă cu viteza Vr

.

3.2.3.2. Dilatarea duratelor

Să considerăm că în raport cu (R’) la momentele 1't şi 2't în P1 şi respectiv în P2

(fig. 3.2) au loc două evenimente.

Durata dintre evenimente în raport cu (R’) este:

12 't't't −=∆

În raport cu (R) durata dintre evenimente este:

22

2

22

2

11

22

2

22

12

c/V1

c/'xV't

c/V1

c/'Vx't

c/V1

c/'Vx'tttt

−

+=

−

+−

−

+=−=

∆∆∆

Relaţia arată că, în general, duratele în raport cu cele două referenţiale sunt diferite.

Discuţia acestei relaţii se poate face în cateva cazuri particulare:

80

a) 0'=∆t şi 0'≠∆x : evenimente simultane în (R’) dar care au loc în puncte diferite. În

acest caz, în raport cu (R) durata dintre evenimente este:

22

2

/1

/'

cV

cxVt

−

∆=∆

Prin urmare, evenimentele simultane în (R’) dar care au loc în puncte diferite nu mai sunt

simultane în nici un alt referenţial aflat în mişcare faţă de (R’), ceea ce înseamnă că

simultaneitatea este relativă la un anumit referenţial.

b) 0'≠∆t şi 0'=∆x : evenimente în acelaşi punct faţă de (R’) dar la momente diferite. În

acest caz (R’) este referenţial propriu, iar 't∆ este durată proprie.

În raport cu (R) durata dintre evenimente este:

22 /1

'

cV

tt

−

∆=∆

rezultat cunoscut sub numele de dilatarea duratelor (deoarece t∆ > 't∆ ): durata proprie

dintre două evenimente este minimă în raport cu durata dintre aceleaşi evenimente

măsurată din oricare alt referenţial inerţial.

3.2.3.3. Compunerea relativistă a vitezelor

Ne vom referi la acelaşi caz particular al celor două referenţiale în mişcare relativă

cu viteza Vr

după axa Ox≡O’x’ pentru care trecerea de la (R’) la (R) se face cu grupul de

trasformări Lorentz:

22 /1

''

cV

Vtxx

−

+=

y = y’

z = z’

81

22

2

/1

/''

cV

cVxtt

−

+=

Proiecţiile vitezei mişcării pe cele trei axe de coordonate în raport cu (R) sunt:

xv = dt

dx yv =

dt

dy zv =

dt

dz (3.9)

iar în raport cu (R’):

'xv =

'dt

'dx '

yv = 'dt

'dy '

zv = 'dt

'dz (3.10)

Diferenţiind grupul Lorentz, făcând rapoartele cerute de relaţia (3.9) şi ţinând seama de

(3.10) se obţine:

x2

x

x

'vc

V1

V'vv

+

+=

x2

22

y

y

'vc

V1

c/V1'vv

+

−=

x2

22

z

z

'vc

V1

c/V1'vv

+

−=

Se obsevă că relaţia relativistă de compunere a vitezelor diferă de relaţia clasică

dedusă cu ajutorul transformării Galilei.

Trecerea de la (R) la (R’) se poate obţine făcând xx 'vv ⇔ şi VV −⇔ :

x2

x

x

vc

V1

Vv'v

−

−=

x2

22

y

y

vc

V1

c/V1v'v

−

−=

82

x2

22

z

z

vc

V1

c/V1v'v

−

−=

Formulele de compunere relativistă a vitezelor satisfac principiul de corespondenţă,

în sensul că pentru 0/ →cV acestea devin formulele clasice de compunere a vitezelor.

Presupunând o mişcare după axa Ox≡O’x’ astfel încât c'v x = şi V c= , se obţine:

c

cc

c

ccvx =

+

+=

21

ceea ce înseamnă că formulele de compunere a vitezelor satisfac principiul vitezei maxime

de propagare a interacţiunilor (invarianţa vitezei luminii la modificarea referenţialelor).

3.2.3.4. Universul cvadridimensional

În anul 1908, matematicianul Minkowski introduce noţiunea de spaţiu

cvadridimensional (în prezent numit şi spaţiul Minkowski) în care, în afara celor trei

coordonate spaţiale:

x1 = x, x2 = y, x3 = z

se introduce a patra coordonată:

x4 = ict

În acest spaţiu intervalul s2 dintre două evenimente se scrie sub forma:

s2 = 22222 )t(c)z()y()x( ∆∆∆∆ −++

Cu alte cuvinte, intervalul s reprezintă distanţa dintre două puncte în spaţiul

cvadridimensional. Mărimea s2 este invariantă faţă de grupul de transformări Lorentz, la fel

cum în fizica clasică faţă de grupul de tansformări Galilei este invariantă mărimea:

83

222 )()()( zyx ∆+∆+∆

adică, distanţa între două puncte în spaţiul tridimensional.

Invarianţa intervalului s2 arată legătura indestructibilă dintre spaţiu şi timp. Teoria

relativităţii restrânse scoate în evidenţă faptul că spaţiul şi timpul, ca forme de existenţă a

materiei, nu pot fi izolate unul de altul. Prin izolarea noţiunilor de spaţiu şi timp se ajunge

la spaţiul absolut şi timpul absolut, care sunt noţiuni aproximative şi valabile doar pentru

viteze relative mult mai mici decât viteza luminii în vid.

În spaţiul Minkowski dimensiunile spaţiale x, y, z sunt reale iar dimensiunea ict

este imaginară. Prin urmare în acest univers, fiecărui eveniment i se atribuie patru

coordonate (x,y,z,ict), iar evoluţia unui sistem fizic descrie o traiectorie numită linie de

univers. Dacă intervalul s2 dintre două evenimente din acest univers este pozitiv (s2>0)

atunci evenimentele sunt separate printr-un interval de tip spaţial. Două evenimente

separate print-un interval de tip spaţial sunt absolut separate spaţial sau absolut

independente şi nu pot fi legate cauzal între ele, deoarece nici un semnal nu le poate uni,

viteza necesară fiind mai mare decât viteza luminii în vid. Dacă s2 < 0 atunci evenimentele

sunt separate printr-un interval de tip temporal. Două evenimente separate printr-un

interval de tip temporal sunt absolut separate temporal sau în succesiune temporală

absolută şi pot fi legate cauzal între ele. În sfârsit există cazul în care intervalul s2 = 0. În

acest caz cele două evenimente sunt legate prin propagarea luminii.

84

3.2.4. Elemente de dinamică relativistă

În dinamica relativistă rămâne valabilă afirmaţia că derivata impulsului în raport cu

timpul este egală cu forţa care acţionează asupra punctului material. De asemenea, sunt

valabile principiile de conservare ale impulsului şi energiei pentru sisteme izolate.

3.2.4.1. Dependenţa masei de viteză

Pentru a obţine dependenţa masei de viteza corpului, ne vom baza pe formulele

relativiste de compunere a vitezelor şi pe legea conservării impulsului.

Ne imaginăm o ciocnire neelastică a două corpuri. Masa corpurilor este aceeaşi m0

când corpurile se află în repus fată de (R) (fig. 3.3). În referenţialul (R’) corpurile se

deplasează, unul spre celălalt cu vitezele 'v (paralele cu axa O’x’), iar după ciocnire rămân

în repaus faţă de (R’).

Referenţialul (R’) se

deplasează cu viteza 'v faţă de (R)

pe axa Ox ≡ O’x’. Evident că după

ciocnire cele două corpuri se vor

deplasa cu viteza 'v faţă de (R).

În procesul ciocnirii masa:

m = m1 + m2

se conservă.

Pentru obsevatorul din (R) legea conservării impulsului se scrie sub forma:

'v)mm(vm 2111 +=

unde:

y y’

z z’

x≡x’ O O’

• • m1 m2

'vr

fig. 3.3

'vr 'v

r

85

22221

/'1

'2

/'1

''

cv

v

cv

vvv

+=

+

+= (3.11)

deci: ')(/'1

'221221 vmm

cv

vm +=

+

de unde: 2221 )1/'1

2( m

cvm =−

+ (3.12)

În referenţialul aflat în repaus masa celor două corpuri este aceeaşi 0m . Corpul cu

masa 2m se află în repaus faţă de (R) deoarece viteza sa faţă de acest sistem este:

0/'1

''222 =

−

+−=

cv

vvv

Deci relaţia (3.12) devine:

0221 )1/'1

2( m

cvm =−

+

din care rezultă pentru 0m :

22

22

10/'1

/'1

cv

cvmm

+

−=

Utilizând relaţia (3.11) putem scrie egalitatea:

2

22

22

222

2

22

21

/'1

/'1

)/'1(

'4111

+

−=

+⋅−=−

cv

cv

cv

v

cc

v

deci: 22110 /1 cvmm −= sau

221

01

/1 cv

mm

−=

În cazul în care un corp cu masa de repaus 0m se deplasează cu viteza v, relaţia de

mai sus devine:

22

0

/1 cv

mm

−=

86

Această relaţie reprezintă tocmai dependenţa masei de viteză. Masa 0m

reprezintă masa de repaus, iar m reprezintă masa faţă de referenţialul în raport cu care

particula (corpul, sistemul fizic) se deplasează cu viteza v, şi se numeşte masă de

mişcare.

Se observă că dacă v creşte, masa corpului creşte, acesta fiind un efect relativist.

Pentru viteze v mult mai mici decât viteza luminii în vid c, masa de mişcare se poate

aproxima cu masa de rerpaus: 0mm ≅ . Acest rezultat reprezintă chiar aproximaţia

mecanicii clasice care afirmă că la viteze mult mai mici decât viteza luminii în vid masa

corpurilor rămâne constantă.

Putem scrie de asemenea impulsul corpului cu masa de repaus 0m aflat în mişcare

cu viteza v faţă de referenţialul (R):

22

0

/1 cv

vmvmp

−==

rrr

Cum am mai precizat la începutul acestui capitol în dinamica relativistă rămâne

valabilă afirmaţia că derivata impulsului în raport cu timpul este egală cu forţa care

acţionează asupra corpului, astfel încât:

amdt

dmv

dt

vdm

dt

dmvvm

dt

d

dt

pdF

rrr

rrr

r+=+=== )(

însă această relaţie diferă de cea clasică prin faptul că 0≠dt

dm. Se remarcă de asemenea că

spre deosebire de mecanica clasică în mecanica relativistă forţa şi acceleraţia nu mai sunt

coliniare.

87

3.2.4.2. Relaţia dintre masă şi energie

Fie un corp cu masa proprie m0 supus acţiunii forţei Fr

. Presupunând corpul iniţial

în repaus, forţa îl deplasează pe direcţia şi în sensul ei modificându-i starea de mişcare.

Lucrul mecanic efectuat de forţă pe distanţa elementară rdr

este:

mvdvdmv

vmddmvvvmdvpddt

rdrd

dt

pdrdFdL

+=

=+====⋅=

2

)()(rrrrrr

rr

rrr

Din relaţia de dependenţă a masei de viteză:

22

0

/1 cv

mm

−=

prin diferenţiere şi efectuarea calculelor rezultă:

22 vc

mvdvdm

−=

astfel încât:

dmcdmvcdmvdL 2222 )( =−+=

Potrivit teoremei de variaţie a energiei cinetice:

dL = dEc

Pentru situaţia considerată, energia cinetică iniţială este nulă. Fie Ec energia cinetică a

corpului în momentul în care corpul are viteza v, şi deci masa m.

Integrând dEc = c2dm între limitele considerate:

∫∫ =m

m

E

c dmcdEc

0

2

0

se obţine:

Ec = mc2 – m0c2

Deci energia cinetică a corpului apare ca diferenţă a doi termeni.

88

Termenul

E0 = m0c2

este numit energie de repaus, iar

E = m0c2 + Ec = mc2

este energia totală a corpului (corespunzătoare masei de mişcare m ).

Relaţia:

E = mc2

are valabilitate generală în sensul că orice sistem fizic de masă m are energia E = mc2 şi

reprezintă cunoscuta formulă a lui Einstein care a stat la baza dezvoltării fizicii nucleare.

Această relaţie ne precizează că legea de conservare a energiei este şi lege de conservare a

masei. Deci variaţia de energie a unui punct material sau a unui sistem de puncte materiale

implică o variaţie de masă potrivit relaţiei:

mcE ∆=∆ 2

În cadrul fizicii nucleare întâlnim fenomenul de transformare a masei în energie

(fisiunea nucleară, anhilarea electron - pozitron), cât şi fenomenul invers, de transformare a

energiei în masă (generarea de perechi electron – pozitron).

În cazul vitezelor mici, energia cinetică dată de diferenţa celor doi termeni:

Ec = mc2 – m0c2

devine: Ec = m0c2(1 + ......)

8

3

2

14

4

2

2

++c

v

c

v - m0c

2 ≅2

1m0v

2

adică se obţine în prima aproximaţie expresia clasică a energiei cinetice.

89

3.2.4.3. Relaţia dintre energie şi impuls

Considerăm un sistem cu masa de repaus m0, în mişcare cu viteza v în raport cu

(R). În raport cu acest referenţial impulsul sistemului şi energia lui totală sunt:

p = mv

E = m c2

unde:

2

2

0

1c

v

mm

−

= (3.13)

Împărţind primele două relaţii, viteza se poate scrie:

v = E

pc 2

Înlocuind această ultimă relaţie şi m = E/c2 în relaţia (3.13), după ridicarea la pătrat

se obţine:

202

22

4

2

)1( mE

cp

c

E=−

sau: 420

222 cmcpE +=

adică tocmai relaţia dintre energia totală E şi impulsul p ale sistemului:

220

2 cmpcE +±=

Utilizând expresia energiei de repaus E0 = m0c2, relaţia precedentă se poate scrie:

2

00

1

+±=

E

pc

E

E

Dependenţa E/E0 = f(pc/E0)

este arătată în figura alăturată, în

abscisă fiind pc/E0, iar în ordonată

E/E0.

pc/E0

E/E0

1

-1

I

II

90

Această dependenţă are două ramuri.

- ramura superioară (I) :

2

00

1

++=

E

pc

E

E

care arată că pe măsură ce creşte impulsul, creşte şi energia.

- ramura inferioară (II) :

2

00

1

+−=

E

pc

E

E

care corespunde valorilor negative ale energiei totale; potrivit acestei ramuri, pe măsură ce

creşte impulsul sistemului energia sa totală scade. Acest rezultat a fost ignorat de fizica

clasică, considerându-se că nu există sisteme în aceste stări. Dirac a presupus că astfel de

sisteme există, şi deoarece energia totală a sistemului este negativă, înseamnă că aceste

sisteme sunt în stări “legate”, pe când sistemele cu energia totală pozitivă se află în stări

“libere”. Este evident că pentru a trece un sistem din starea “legată” în starea “liberă” la

aceeaşi valoare a impulsului trebuie să i se transfere o energie egală cu diferenţa energiilor

celor două stări:

2

00 12

+=∆

E

pcEE

cu 02min

EE =∆

Acest lucru a fost pus în evidenţă experimental în fizica nucleară. Procesul se

numeşte generare de perechi şi se desfăşoară în felul următor: radiaţia γ de energie

022,1≥γE MeV, în câmpul coulombian al nucleelor (în câmpul nucleelor din necesitatea

conservării impulsului) generează o pereche electron – pozitron (pozitronul este

antiparticula electronului, având sarcina +e), ceea ce se scrie:

min,, EEEhE pozitroncelectronc ∆++== νγ

91

unde νh este energia fotonului, electroncE , este energia cinetică a electronului, iar pozitroncE ,

energia cinetică a pozitronului. Se observă că procesul nu poate avea loc decât dacă

minEE ∆≥γ, minE∆ fiind o energie de prag ( minE∆ = 2 Eo,e =1,022 MeV, unde Eo,e este

energia de repaus a electronului).

Este cunoscut şi procesul invers: un electron şi un pozitron în repaus se anihilează

rezultând doi fotoni de aceeaşi energie γE = 0,511 MeV = Eo,e , şi direcţii opuse, situaţie

impusă de legile de conservare ale energiei şi impulsului.

92

Capitolul 4: Termodinamică

Termodinamica studiază proprietăţile fizice ale sistemelor macroscopice, scoţând

în evidenţă, în special, legile care descriu mişcarea termică a materiei.

Făcând parte din fizica macroscopică, termodinamica este o teorie fenomenologică

şi ca atare, în obiectul său de studiu nu intră consideraţii privind natura intimă a materiei.

Termodinamica stabileşte pe baza unor principii generale, legi şi relaţii între parametrii

fizici ai unui sistem, indiferent de natura acestuia. Ca urmare, consecinţele care decurg din

legile termodinamicii sunt aplicabile în mod obligatoriu orcărui sistem fizic macroscopic.

4.1. Noţiuni termodinamice de bază

Sistemele pe care le studiază termodinamica sunt constituite dintr-un număr foarte

mare de elemente. Aceste elemente pot fi de natură foarte variată ca de exemplu: molecule,

electroni, nucleoni, nuclee atomice, fotoni, dipoli electrici, oscilatori, goluri într-un cristal,

etc. Tot ce nu face parte din sistem, formează mediul exterior.

Sistemul se numeşte izolat dacă acesta nu schimbă nici masă, nici energie cu

mediul exterior. Sistemul se numeşte neizolat dacă acesta interacţionează cu mediul

exterior.

Sistemul se numeşte închis, dacă între el şi mediul înconjurător există schimb de

energie dar nu există schimb de masă.

Sistemul se numeşte deschis, dacă între el şi mediul înconjurător există atât schimb

de energie cât si schimb de masă.

93

Starea unui sistem este definită printr-un ansamblu de proprietăţi pe care le are

sistemul la un moment dat. Starea sistemului termodinamic este determinată de un

ansamblu de mărimi fizice numite parametri de stare. Aceştia caracterizează proprietăţile

sistemului termodinamic în acel moment. Exemple de parametri de stare: masa, densitatea,

temperatura, presiunea, volumul, etc.

Se utilizează împărţirea parametrilor în două categorii:

- parametri intensivi, sunt acei parametri care nu depind de dimensiunea sau de

întinderea sistemului, ca de exemplu: temperatura, presiunea, potenţialul chimic, etc.

- parametri extensivi, sunt acei parametri care variază proporţional cu extinderea

sau masa sistemului, ca de exemplu: masa, energia, entropia, volumul, numărul de

particule, etc.

În unele cazuri parametrii de stare pot fi clasificaţi şi în alte două categorii:

parametri interni si parametri externi.

Starea unui sistem termodinamic se numeşte stare de echilibru termodinamic,

dacă toţi parametrii care o caracterizează nu se modifică în timp.

Starea unui sistem termodinamic se numeşte stare de neechilibru termodinamic,

dacă parametrii care o caracterizează se modifică în timp.

Trecerea sistemului dintr-o stare în alta se numeşte proces sau transformare de

stare.

Procesul se numeşte cvasistatic, dacă parametrii de stare variază în timp atât de

lent încât, la orice moment, sistemul să poată fi considerat în echilibru.

Procesul în urma căruia sistemul trece dintr-o stare iniţială de echilibru într-o stare

de echilibru finală fără a trece succesiv prin stări intermediare de echilibru se numeşte

proces necvasistatic.

94

Procesul în care, în urma schimbării semnului de variaţie al parametrilor de stare

sistemul evoluează de la starea finală spre cea iniţială trecând prin aceleaşi stări

intermediare de echilibru prin care a trecut în procesul iniţial, de la starea inţială la cea

finală, fără ca în mediul exterior să se fi produs vreo modificare, se numeşte proces

reversibil .

Prin definiţie toate procesele care nu sunt reversibile se numesc ireversibile. Toate

procesele necvasistatice sunt şi procese ireversibile. Experienţele şi întreaga practică ne

arată că procesele din natură sunt ireversibile.

Transformarea este numită ciclică dacă starea finală a sistemului termodinamic

coincide cu starea sa iniţială.

4.2. Sisteme termodinamice

4.2.1. Gazul ideal

Gazul ideal este cel mai simplu model cinetico-molecular folosit pentru gaze.

Caracteristicile principale ale acestui model sunt:

- gazul este format dintr-un număr foarte mare de particule (molecule sau atomi).

- dimensiunile moleculelor sunt mici în comparaţie cu distanţa dintre ele, astfel

încât ele pot fi considerate puncte materiale.

- moleculele se află într-o mişcare haotică continuă; mişcarea fiecărei molecule,

luată separat, se supune legilor mecanicii clasice.

- forţele intermoleculare se neglijează: moleculele se mişcă liber, traiectoriile lor

fiind linii drepte.

- ciocnirile dintre molecule gazului şi pereţii vasului în care se află sunt perfect

elastice.

95

Starea unui gaz ideal de masă m, la echilibru termodinamic este caracterizată de trei

parametri macroscopici de stare: presiune (p), volum (V), temperatură absolută (T), şi care

satisfac următoarea ecuaţie de stare:

pV = νµ

RTm

RT= (ecuaţia Clapeyron – Mendeleev) (4.1)

unde µ este masa molară, R este constanta universală a gazului ideal

R = 8310 J/ kmol k şi ν numărul de moli de gaz.

Dacă sistemul trece dintr-o stare de echilibru iniţială, într-o altă stare de echilibru

finală, cu modificarea celor trei parametri p,V,T, spunem că a avut loc o transformare

generală.

Gazul ideal, ca sistem termodinamic, poate suferi procese termodinamice în care

unul dintre parametri se menţine constant. Aceste transformări se numesc transformări

simple şi sunt:

a) Transformarea izotermă: T = constant

Din relaţia (4.1), prin considerarea temperaturii constante ⇒

pV = constant (4.2)

care reprezintă legea transformării izoterme (Legea Boyle - Mariotte)

b) Transformarea izobară: p = constant

Din relaţia (4.1), prin considerarea presiunii constante ⇒

V

T = constant (4.3)

care reprezintă legea transformării izobare (Legea Gay - Lussac)

c) Transformarea izocoră: V = constant

Din relaţia (4.1), prin considerarea volumului constant ⇒

96

p

T = constant (4.4)

care reprezintă legea transformării izocore (Legea Charles)

Pentru gaze se definesc următorii coeficienţi termici:

1)α p = 1

V

V

T p

∂∂

- coeficient de dilatare izobară

2) αV = 1

p

p

T V

∂∂

- coeficientul termic al presiunii

3) β T = - T

p

V

V

1

∂∂

- coeficient de compresibilitate izotermă

4) β S = - S

p

V

V

1

∂∂

- coeficient de compresibilitate adiabatică

unde S - reprezintă entropia sistemului

După efectuarea calculelor, pentru gazele ideale aceşti coeficienţi au valorile:

α p = αV =1

T, β T =

1

p,

p

1S γ

β =

4.2.2. Teoria cinetico - moleculară a gazului ideal

4.2.2.1. Calculul cinetic al presiunii unui gaz ideal

Bazându-ne pe caracteristicile modelului de gaz ideal, prezentate anterior, vom

stabili în continuare formula presiunii exercitate de gaz asupra pereţilor vasului.

Pentru stabilirea acestei formule se consideră un vas de formă cubică de latură l,

deci de volum V = l3, în care se află închis un gaz ideal alcătuit din N molecule identice,

fiecare de masă m.

97

Dacă se notează cu v1, v2, .....vN, modulele vitezelor pe care le au la un moment dat

cele N molecule care alcătuiesc gazul, atunci mărimea:

2v = v v v

N

N12

22 2+ +.. .. .

=

v

N

i

N2

1∑

se numeşte viteză pătratică medie .

Presiunea exercitată de gaz asupra pereţilor vasului este determinată de numărul

ciocnirilor exercitate de molecule pe unitatea de suprafaţă a peretelui, în unitatea de timp.

Să considerăm o moleculă de masă “m” care se deplasează cu viteza “v”, paralel cu

latura Ox a cubului.

Întrucât ciocnirea fiecărei molecule cu peretele vasului este perfect elastică, ea îşi

variază impulsul cu cantitatea:

∆ H = - mv - (mv) = - 2mv (4.5)

Conform teoremei variaţiei impulsului : ∆ H = f ∆ τ

unde ∆ τ teprezintă timpul cât durează ciocnirea dintre molecule şi perete, iar f forţa

medie cu care o moleculă ciocneşte peretele în intervalul de timp ∆ τ . Peretele

reacţionează la rândul lui cu o forţă egală şi de sens contrar. În urma ciocnirii molecula se

întoarce spre peretele opus cu care se ciocneşte tot perfect elastic după care revine la

primul perete. Timpul dintre două ciocniri consecutive ale unei molecule cu acelaşi perete

este:

∆ t = 2l

v (4.6)

Deoarece timpul ∆ τ cât durează ciocnirea este necunoscut, se înlocuieşte forţa de

ciocnire f cu forţa de ciocnire medie fm care acţionează asupra peretelui în intervalul de

timp ∆ t dintre două ciocniri consecutive.

98

În acest caz relaţia (4.5) devine :

2mv = fm ∆ t

de unde rezultă:

fm = 2mv

t∆ (4.7)

Ţinându-se seama de relaţia (4.6), se obţine pentru forţa medie fm cu care o

moleculă acţionează asupra peretelui expresia:

fm = mv

l

2

(4.8)

Se consideră că cele N molecule se distribuie uniform după cele trei direcţii, astfel

că pe fiecare din direcţiile Ox, Oy, şi Oz acţionează N/3 molecule. Cele N/3 molecule vor

produce pe un perete forţa:

F = 1

3 1

f m

N

i∑ = 1

3

2

1

mv

l

iN

∑ = mN

l3v 2

(4.9)

(am utilizat în formula de mai sus definiţia vitezei pătratice medii)

Presiunea exercitată pe perete va fi:

p =F

S =

F

l 2 =

1

3

N

l 3m v 2 =

1

3

N

V m v 2 =

1

3n m v 2 (4.10)

unde: N

V = n - concentraţia moleculelor (numărul de molecule din unitatea de volum).

Formula: p = 1

3n m v 2

reprezintă formula fundamentală a teoriei cinetico-moleculare a gazului ideal.

Această formulă se mai poate scrie şi sub forma:

p = 2

3n

mv 2

2 =

2

3n ε t (4.11)

unde: ε t - este energia cinetică medie a unei molecule în mişcarea de translaţie.

99

4.2.2.2. Interpretarea cinetico - moleculară a temperaturii

În cadrul acestei teorii se consideră că energia cinetică medie a mişcării de

translaţie a moleculelor unui gaz aflat la echilibru este o măsură a temperaturii sistemului

şi invers, temperatura unui gaz ideal este o măsură a intensităţii mişcării termice a

moleculelor.

În aceast caz rezultă că : ε t ~T

Termodinamica arată că formula completă este:

ε t = 3

2kT (4.12)

unde k = 1,38 . 10-23 J/K, este o constantă universală şi se numeşte constanta lui

Boltzmann.

Înlocuind formula (4.12) în relaţia ce reprezintă formula fundamentală a t.c.m.

(4.11) rezultă ecuaţia termică de stare a gazului ideal:

p = nkT (4.13)

În cazul gazului ideal, moleculele nu interacţionează între ele şi energia internă a

gazului este data numai de suma energiilor cinetice.

Dacă gazul ideal este monoatomic, moleculele nu au decât mişcări de translaţie şi

energia internă se exprimă prin suma energiilor cinetice medii de translaţie ale moleculelor

acelui gaz:

U = N . ε t = ν NA 3

2kT =

3

2 ν NA k T =

3

2 ν R T (4.14)

Relaţia anterioară reprezintă ecuaţia calorică de stare a gazului ideal monoatomic.

Pentru un gaz ideal cu un număr oarecare de atomi în moleculă relaţia de mai sus se

poate generaliza:

100

U = i

2 ν R T (4.15)

unde "i" reprezintă numărul de grade de libertate ale gazului.

i = 3 - pentru gazele monoatomice

5 - pentru gazele biatomice

6 - pentru gazele poliatomice

4.2.2.3. Viteza termică a moleculelor

Se defineşte viteza termică a moleculelor gazului ideal astfel:

vT = v 2

Egalând expresiile pentru energia medie de translaţie din relaţiile (4.11) şi (4.12)

rezultă:

mv 2

2 =

3

2kT ⇒ vT =

3kT

m (4.16)

sau: vT = 3RT

µ (4.17)

101

4.2.3. Gazul real

Aşa cum am constatat la modelul utilizat pentru gazul ideal, acest model nu ţine

cont de interacţiunea intermoleculară şi nici de volumul moleculelor gazului, considerând

moleculele punctiforme.

Wan der Waals (1837 - 1923) aduce corecţii modelului de gaz ideal, obţinând o

ecuaţie ce descrie mai bine comportarea gazelor în diferite transformări.

1. Wan der Waals a luat în consideraţie şi forţele de interacţiune dintre moleculele

gazului, constatând că aceste forţe contribuie cu un termen suplimentar la presiunea

gazului din vas, şi numeşte acest termen suplimentar presiune internă (pi).

A considerat presiunea internă ca fiind invers proporţională cu pătratul volumului

ocupat de gaz (urmând un raţionament de analiză a modului de interacţiune a moleculelor

gazului).

pi = a

V 2 (4.18)

unde "a" este o constantă a forţelor de legătură Wan der Waals.

2. În comprimarea gazelor la presiuni foarte mari, volumul nu se reduce la zero aşa

cum rezultă din ecuaţia gazului ideal. Din acestă cauză Wan der Waals a considerat că nu

trebuie neglijat volumul propriu al moleculelor gazului.

El a considerat că molculele sunt sfere rigide de diametru "d". Numeşte covolum

(b) volumul ocupat de toate moleculele dintr-un mol de gaz, găsind pentru acesta formula:

b = 4 NA v (4.19)

unde :”v” - reprezintă volumul propriu al unei molecule.

102

Introducând cele două corecţii în ecuaţia gazului ideal, scrisă pentru un mol de

substanţă, prin înlocuirea termenilor: p prin p + pi, şi V prin V - b, se obtine ecuaţia Wan

der Waals pentru un mol de gaz, sau ecuaţia gazului real:

( p + a

Vµ2

) ( Vµ - b ) = RT (4.20)

unde: Vµ - reprezintă volumul molar al gazului.

Această ecuaţie este o ecuaţie de gradul trei în Vµ :

V µ3 - (b +

RT

p) V µ

2 + a

p Vµ -

ab

p = 0 (4.21)

sau altfel scrisă:

p = RT

V b

a

Vµ µ−−

2

În figura alăturată sunt prezentate izotermele

p= f(Vµ ) pentru gazul real (izotermele Wan der

Waals) aşa cum rezultă din ecuaţia (4.21).

Pentru valori fixate ale presiunii şi

temperaturii ecuaţia admite următoarele soluţii:

1. trei soluţii reale şi distincte pentru T< Tc

2. o soluţie triplă pentru T = Tc

3. o soluţie reală si două complex conjugate

pentru T >Tc

Izoterma Tc se numeşte izotermă critică iar temperatura corespunzătoare

temperatură critică. Această izotermă are un punct de inflexiune (C). Izotermele pentru

care T > Tc sunt hiperbole identice cu cele ale gazului perfect (izotermele Boyle-Mariotte).

p

Vµ

pC C

VµC

TC

T

fig. 4.1

103

Pentru punctul critic se pot calcula valorile pc şi Tc ale presiunii si temperaturii: în

punctul critic Vµ = Vµc sau (Vµ - Vµc )3 = 0, care scrisă ca un binom la cub arată

astfel:

(Vµ - Vµc )3 = V µ3 - 3V µc V µ

2 + 3V µc

2 V µ - V µc

3 = 0 (4.22)

Comparând această ecuaţie cu ecuaţia gazului real (4.21) scrisă în punctul critic:

V µc

3 - (b +RT

p

c

c

) V µc

2 + a

pc

Vµc - ab

pc

= 0 (4.23)

rezultă prin identificarea coeficienţilor:

b +RT

p

c

c

= 3 V µc V µc = 3b

a

pc

= 3 V µc

2 ⇒ pc = a

b27 2 (4.24)

ab

pc

= V µc

3 Tc = 8

27

a

Rb

Parametrii critici pot fi deduşi într-un mod foarte general din condiţiile ca tangenta

la izoterma prin punctul critic să fie orizontală (dp

dVµ

=0) şi ca punctul critic să fie un punct

de inflexiune (d p

dV

2

2µ

=0).

Pentru T = constant obţinem:

dp

dVµ

= - ( )2bV

RT

−µ

+ 2

3

a

Vµ

= 0

şi d p

dV

2

2µ

= ( )

23

RT

V bµ − -

4

6

µV

a = 0

104

Cu ajutorul acestor ecuaţii şi înlocuind pe T şi Vµ cu Tc şi V cµ obtinem aceeaşi

parametrii critici ca şi cei calculaţi mai sus.

Valorile constantelor "a" şi "b" sunt caracteristice fiecărui gaz în parte. Ele se pot

determina măsurând valorile experimentale ale presiunii şi temperaturii critice pc şi Tc.

Ecuaţia stărilor corespondente

Putem transforma ecuaţia Wan der Waals (4.20) introducând în locul coordonatelor

p, Vµ şi T, alte coordonate, numite coordonate reduse, care au avantajul de a fi

adimensionale:

π = p

pc

; ω = V

V c

µ

µ

; τ = T

Tc

Dacă exprimăm constantele a, b, şi R din (4.24) în funcţie de pc, V µc , Tc ⇒

a = 3 pc V µc

2 ; b = V cµ

3 ; R =

8

3

p V

T

c c

c

µ

şi introducând aceste expresii şi coordonatele reduse în ecuaţia gazului real (4.20)

obţinem:

(π + 3

2ω ) ( 3 ω - 1) = 8 τ (4.25)

care se numeşte ecuaţia stărilor corespondente.

105

4.3. Legea barometrică şi distribuţia moleculelor din

atmosferă după altitudine

Mişcarea moleculelor în atmosferă se datorează atât agitatiei termice şi gravitaţiei,

cât şi variaţiilor de presiune la diferite înălţimi. Atmosfera Pământului nu este în echilibru

termic (temperatura scade cu altitudinea) şi ca atare mişcarea datorită agitaţiei termice este

mai complicată.

Pentru simplificarea calculelor se consideră o "atmosferă ideală", lipsită de vânturi

şi curenţi şi aflată în echilibru termic. Într-o astfel de "atmosferă ideală" mişcarea

moleculelor se datorează doar agitaţiei termice şi gravitaţiei.

Să considerăm o coloană verticală de atmosferă ideală cu înălţimea infinitezimală

dh. Presiunea în partea superioară o notam cu p1 iar în partea inferioară cu p2 > p1. Se poate

scrie:

dp = - ρ g dh (4.26)

Presiunea ρ g dh se datorează greutăţii coloanei de aer din atmosferă, dintre cele

două nivele, iar semnul minus se adaugă deoarece dp este negativă (presiunea scade cu

înălţimea) pentru un dh pozitiv (adică, la o creştere de înălţime dh apare o micşorare a

presiunii dp).

Din ecuaţia de stare a gazului ideal se poate calcula densitateaρ :

pV = m

µRT ⇒ ρ =

p

RT

µ

introducând relaţia de mai sus în ecuaţia (4.26) se obţine:

dp = - p

RT

µg dh

106

sau: dp

p = -

µg

RT dh

Integrând relaţia:

p

pdp

p0

∫ = - p

RT

µ∫h

dh0

⇒ ln p

p0

= - p

RT

µ h ⇒ p = p0 e

g

RTh−

µ

(4.27)

formulă cunoscută sub numele de legea barometrică. Această formulă arată că presiunea

în atmosferă scade cu altitudinea după o lege exponenţială.

Conoscând ecuaţia termică de stare a gazului ideal:

p = nkT

din legea barometrică rezultă:

nkT = n0kT e

g

RTh−

µ

⇒ n = n0 e

g

RTh−

µ

(4.28)

Dacă exprimăm masa molară µ în funcţie de masa unei molecule "m" obţinem:

µ = m NA

şi ţinem cont de relaţia: R = k NA , relaţia (4.28) devine:

n = n0 e

mgh

kT−

(4.29)

care reprezintă formula de distribuţie a moleculelor din atmosferă dupa energia potenţială a

unei molecule (mgh).

Această formulă se mai numeşte şi funcţia de distribuţie a moleculelor din

atmosferă dupa energia potenţială sau funcţia de distribuţie Boltzmann a moleculelor din

atmosfera terestră.

107

4.4. Distribuţia moleculelor unui gaz după modulul vitezei -

funcţia de distribuţie Maxwell

Se ştie că moleculele unui gaz au viteze diferite chiar şi la echilibru termic şi deci

se poate vorbi despre o distribuţie a vitezelor moleculelor.

Presupunem că într-un recipient se află un gaz omogen la echilibru termic alcătuit

dintr-un număr N foarte mare de molecule (deci alcătuind un sistem termodinamic) având

vitezele v1, v2, .... vn. Distribuţia Maxwell, arată că din acest număr total N de molecule,

există un număr dNV de molecule având vitezele cuprinse între v şi v + dv.

Acest număr dNv este dat conform teoriei probabilităţilor de relaţia:

dNV = N ·f(v) ·dv (4.30)

unde f(v) reprezintă funcţia de distribuţie a vitezei moleculelor, iar raportul dNV/N

reprezintă probabilitatea ca o moleculă să aibă viteza cuprinsă între v şi v + dv. Conform

statisticii Maxwell - Boltzmann, funcţia de distribuţie este de forma:

f(v) = 4π (m

kT2π)3/2 v2 e

mv

kT−

2

2 (4.31)

care reprezintă funcţia de distribuţie a moleculelor după modulul vitezei sau funcţia de

distribuţie Maxwell.

Întroducând această funcţie în relaţia (4.30) se obţine;

dNV = 4π N (m

kT2π)3/2 v2 e

mv

kT−

2

2 dv (4.32)

relaţie ce reprezintă legea de distribuţie Maxwell a moleculelor după modulul vitezei.

Ea este o lege statistică.

108

Funcţia de distribuţie a moleculelor după modulul vitezei, la temperaturi diferite,

este trasată în fig.4.2. Viteza care corespunde maximului funcţiei de distribuţie se numeşte

viteza cea mai probabilă vp, adică viteza pentru care numărul dNV este maxim.

Valoarea lui vp se obţine

punând condiţia de maxim

pentru funcţia de distribuţie,

adică:

[ d

dv(v2 e

mv

kT−

2

2 )] v vp= = 0

de unde:

1 - v p

2 m

kT2 = 0 sau vp =

2kT

m (4.33)

De asemenea din grafic se mai observă că pentru temperaturi din ce în ce mai mari,

maximul curbelor se deplasează spre regiunea vitezelor mai mari; adică pentru temperaturi

mai mari numărul moleculelor cu viteze mici scade, iar numărul moleculelor cu viteze

mari creşte.

4.5. Principiile termodinamicii

4.5.1. Energie internă, lucrul mecanic, căldura

Orice sistem termodinamic este alcătuit dintr-un număr foarte mare de particule

aflate într-o mişcare continuă, dezordonată, care interacţionează între ele. Fiecare moleculă

are o anumită energie. Prin însumarea energiilor tuturor moleculelor care alcătuiesc

sistemul, se obţine energia internă a sistemului U. Deci, energia internă a sistemului

f(v)

v

300 K

1000 K

2000 K

vP

fig. 4.2

109

termodinamic se defineşte ca fiind suma dintre energiile cinetice ale tuturor moleculelor

datorată mişcării de agitaţie termică şi energiile potenţiale ale lor determinate de forţele

intermoleculare, precum şi energiile potenţiale în câmpurile de forţe externe.

Ca exemplu, pentru gazul ideal energia internă este formată doar din suma

energiilor cinetice ale tuturor moleculelor datorată mişcării de agitaţie termică.

Energia internă este o funcţie de stare, ceea ce înseamnă că fiecărei stări a

sistemului îi corespunde o valoare bine determinată a energiei interne U.

Deci energia internă fiind o funcţie de stare, înseamnă că va fi la rândul ei complet

determinată de parametrii sistemului:

U = U (a1, a2, ...... an, T ) (4.34)

care constituie ecuaţia calorică de stare a sistemului termodinamic.

Pentru un sistem simplu, având volumul ca unic parametru extern:

U = U ( V, T ) (4.35)

În formă diferenţială ecuaţia (4.35) se scrie :

dU = ( )∂∂U

VT dV + ( )

∂∂U

TV dT (4.36)

Energia internă este o funcţie de stare şi admite diferenţială totală exactă. În

consecinţă când sistemul trece dintr-o stare (1), într-o stare (2), variaţia energiei interne

∆ U nu depinde decât de valorile acestor stări U1 şi U2 şi nu depinde de valorile

intermediare prin care a trecut sistemul (ceea ce este echivalent cu a spune că energia

internă este o funcţie de stare). Deci, pentru un proces ciclic ∆ U = 0.

Schimbul de energie dintre un sistem neizolat şi mediul exterior se poate produce

în două feluri diferite:

- prin variaţia parametrilor externi ai sistemului, ceea ce implică un schimb de lucru

mecanic cu mediul exterior.

110

- fără variaţia parametrilor externi ai sistemului, dar cu variaţia temperaturii, ceea

ce implică un schimb de căldură cu mediul exterior.

Trebuie remarcat că energia internă este o mărime care se referă la starea unui

sistem, pe când lucrul mecanic şi căldura sunt mărimi care se referă la o transformare a

sistemului. Din acest motiv, lucrul mecanic şi căldura sunt forme ale schimbului de

energie dintre sistem şi mediul exterior.

Q şi L nu sunt funcţii de stare, ele sunt mărimi de proces, în sensul că valoarea lor

depinde de procesul pe care l-a efectuat sistemul. De asemenea, precizăm că Q şi L nu

admit diferenţiale totale exacte, deci nu au sens notaţiile dQ şi dL, în locul cărora vom

folosi notaţiile δ Q şi δ L, cu precizarea că prin aceste notaţii nu înţelegem diferenţialele

acestor mărimi ci o valoare infinitezimală a lor într-o transformare elementară.

Prin convenţie vom considera:

L > 0 dacă lucrul mecanic este efectuat de sistem spre exterior

L < 0 dacă lucrul mecanic este efectuat din exterior asupra sistemului

Q > 0 dacă sistemul primeşte căldură din exterior

Q < 0 dacă sistemul cedează căldură mediului exterior

În cursul unei transformări elementare, lucrul mecanic efectuat de forţele de

presiune se scrie :

δ L = p dV (4.37)

iar cantitatea de căldură :

δ Q = C dT (4.38)

unde C = capacitatea calorică a sistemului

111

4.5.2. Principiul întâi al termodinamicii

Principiul întâi al termodinamicii este expresia principiului conservării energiei

pentru procesele în care intervine şi o cantitate de căldură.

Primul principiu se exprimă prin relaţia generală, valabilă pentru o transformare

infinitezimală a sistemului:

δ Q = dU + δ L (4.39)

Căldura primită de sistem se regăseşte în variaţia energiei interne a sistemului şi în

lucrul mecanic furnizat mediului exterior.

Pentru o transformare finită, forma integrală a principiului întâi este:

Q = ∆ U + L (4.40)

Câteva exemple de aplicare a primului principiu în unele procese termodinamice:

a) În cazul proceselor ciclice, întâlnite de exemplu la maşinile termice:

∆ U = 0 ⇒ Q = L

b) În cazul în care sistemul nu schimbă lucru mecanic cu exteriorul (V = const.):

L = 0 ⇒ QV = ∆ U

c) În cazul în care sistemul evoluează izolat, deci fără schimb de căldură şi fără

schimb de lucru mecanic:

∆ U = 0 ⇒ U = const.

deci energia sistemului rămâne constantă în timpul procesului.

112

4.5.2.1. Coeficienţi calorici

Se numeşte capacitate calorică a unui sistem mărimea definită prin relaţia:

C = δQ

dT, [C] = J/K

Se numeşte căldură specifică a unui sistem mărimea definită prin relaţia:

c = C

m =

1

m δQ

dT, [c] = J/Kg K

Se numeşte căldură molară a unui sistem mărimea definită prin relaţia:

C = µ c = µm

δQ

dT, [C ] = J/mol K

sau : C = 1

ν δQ

dT ; unde ν = numărul de moli

4.5.2.2. Relaţia Robert Mayer pentru gazul ideal

Pentru gaze, se constată o diferenţă între valorile coeficienţilor calorici în cazul

unei transformări izobare faţă de cei dintr-o transformare izocoră. Pentru gazul ideal relaţia

dintre aceşti coeficienţi este o relaţie simplă, numită relaţia Robert Mayer.

Pentru demonstraţie ne folosim de definiţiile coeficienţilor calorici şi de primul

principiu al termodinamicii:

Conform definiţiei, căldura molară la volum constant este:

CV = 1

ν (δQ

dT)V

ţinând cont de principiul întâi ⇒CV = 1

ν (δQ

dT)V =

1

ν( )∂∂U

TV

Conform definiţiei, căldura molară la presiune constantă este:

Cp = 1

ν (δQ

dT)p

113

ţinând cont de principiul întâi ⇒Cp = 1

ν (δQ

dT)p =

1

ν[ ( )

∂∂U

Tp + p ( )

∂∂V

Tp ]

Dar pentru gazul ideal: ( )∂∂U

Tp = ( )

∂∂U

TV deoarece energia internă a gazului ideal

depinde doar de temperatură.

Din ecuaţia de stare a gazului ideal: ( )∂∂V

Tp =

p

Rν

⇒ Cp = CV + p

ννR

p = CV + R

deci : Cp = CV + R (4.41)

care reprezintă chiar relaţia Robert Mayer între căldurile molare ale unui gaz ideal.

Relaţia se poate scrie şi între căldurile specifice:

cp = cV + R

µ (4.42)

şi între capacităţile calorice:

Cp = CV + ν R

Pentru gazele ideale căldura molară la volum constant este dată de relaţia:

CV = i

2R ; unde: i = 3 pentru gazele monoatomice, 5 pentru gazele

biatomice şi 6 pentru gazele poliatomice.

4.5.2.3. Transformări politropice ale gazului ideal

Transformările politropice sunt acele transformări în care capacitatea calorică a

sistemului rămîne constantă în cursul procesului.

C = constant

114

Deducerea ecuaţiei unei transformări politropice:

δ Q = ν CdT

dU = ν CV dT

ν CdT = ν CV dT + pdV

ν (C - CV) dT - pdV = 0 (4.43)

prin diferenţierea ecuaţiei de stare a gazului ideal rezultă:

pdV + Vdp = ν RdT (4.44)

şi înlocuirea lui dT din relaţia (4.44) în relaţia (4.43), rezultă:

(C - CV - R)pdV + (C - CV)Vdp = 0

sau ţinând cont de relaţia R. Mayer:

(C - Cp)pdV + (C - CV)Vdp = 0

împărţind relaţia cu produsul : pV(C - CV), rezultă:

C C

C C

dV

V

p

V

−

− +

dp

p = 0 (4.45)

Numim indice politropic (notat cu n) următorul raport:

n = C C

C C

p

V

−

− (4.46)

Prin integrarea relaţiei (4.45) obţinem ecuaţia transformărilor politropice:

pV n = const. (4.47)

în care indicele politropic n ia valori de la - ∞ la ∞ .

Transformările simple ale gazului ideal sunt şi ele transformări politropice, deci luând

valori particulare pentru indicele politropic vom regăsi legile transformărilor cunoscute:

a) n = γ ⇒ pV γ = const. - Transformarea adiabatică

Un sistem este izolat adiabatic dacă el nu schimbă căldură cu mediul exterior.

115

Q = 0 deci C = 0

rezultat care se deduce şi din relaţia de definiţie a indicelui politropic:

n = C C

C C

p

V

−

− = γ ⇒ C = 0

Ecuaţia acestui proces, aşa cum rezultă şi din ecuaţia transformărilor politropice

este:

pV γ = const. (4.48)

numită ecuaţia Poisson.

În coordonate (T, V) ecuaţia devine:

TV γ −1 = const. (4.49)

Lucrul mecanic într-o transformare adiabatică din starea (1) în starea (2) este:

L = pdVV

V

1

2

∫ = k dV

VV

V

γ1

2

∫ = k

1− γ(V V2

111− −−γ γ )

dar: p V p V1 1 2 2γ γ= = k

de unde prin înlocuirea constantei k:

L = p V p V1 1 2 2

1

−

−γ (4.50)

b) n = 1 ⇒ pV = const. - Transformarea izotermă

din: n = C C

C C

p

V

−

− = 1 ⇒ C→∞

Lucrul mecanic într-o transformare izotermă din starea (1) în starea (2) este:

L = pdVV

V

1

2

∫ = ν RT dV

VV

V

1

2

∫ = ν RT lnV

V

2

1

(4.51)

Deoarece dU = 0, rezultă că într-o transformare izotermă lucrul mecanic şi căldura

sunt egale, transformându-se reciproc în timpul procesului.

116

c) n → ∞ ⇒ V = const. - Transformarea izocoră

din: n = C C

C C

p

V

−

− → ∞ ⇒ C =CV

În acest caz lucrul mecanic este zero, variaţia energiei interne fiind o consecinţă a

schimbului de căldură cu exteriorul.

d) n = 0 ⇒ p = const. - Transformarea izobară

din: n = C C

C C

p

V

−

− = 0 ⇒ C =Cp

Lucrul mecanic într-o transformare izobară din starea (1) în starea (2) este:

L = pdVV

V

1

2

∫ = p (V2 - V1) = p∆V (4.52)

În figura 4.3 sunt reprezentate cele patru transformări :

fig. 4.3

Izoterma şi adiabata sunt hiperbole echilatere, dar panta adiabatei este mai mare

deoarece γ > 1.

p

V

V= const.

p=const.

T=const.

Q=0

117

4.5.3. Principiul al doilea al termodinamicii

4.5.3.1. Maşini termice . Ciclul Carnot

Considerăm un proces termodinamic ciclic reprezentat în figura 4.4, în planul pV.

În procesul 123 gazul efectuează lucrul mecanic pozitiv, iar în procesul 341 gazul se

comprimă şi deci lucrul mecanic efectuat va fi negativ.

Aria ciclului 12341 reprezintă lucrul mecanic efectuat pe întregul ciclul.

Aria unei transformări ciclice în planul de coordonate pV reprezintă

întotdeauna lucrul mecanic efectuat de sistem în acel ciclu.

Dacă ciclul este parcurs în sensul 1234 lucrul mecanic efectuat de sistem este

pozitiv, deci o maşină care ar funcţiona după un astfel de ciclu ar produce în exterior lucru

mecanic, această maşină numindu-se motor termic (fig. 4.5).

Randamentul unui motor termic este:

η = =−L

Q

Q Q

Q1

1 2

1

(4.53)

unde Q1(>0) - reprezintă căldura primită de

sistem în procesul ciclic de la o sursă de căldură

aflată la temperatura T1 ( termostatul de

temperatură superioară), respectiv Q2 (<0)

reprezintă căldura cedată de sistem în acel ciclu

unei alte surse aflate la temperatura T2

(termostatul de temperatură inferioară).

Q1

L

Q2

S. T.

T2

T1

fig. 4.5

fig. 4.4

p

V

1

3 2

4

118

Dacă ciclul este parcurs în sens invers,

adică 4321, obţinem schema de funcţionare a

unei maşini frigorifice sau pompe termice, care

pe seama lucrului mecanic efectuat în exterior,

transmite căldură de la sursa rece la sursa caldă

(fig. 4.6).

Maşinile frigorifice se caracterizează prin eficienţa frigorifică definită astfel:

ε f

Q

L= 2 (4.54)

Iar pompele termice sunt caracterizate prin eficienţa pompei definită asfel:

ε p

Q

L= 1 (4.55)

Ciclul Carnot

Ciclul Carnot este un ciclu biterm, reversibil, care corespunde unei maşini termice

ideale a cărei substanţă de lucru este un gaz ideal. Ciclul este constituit din două izoterme

corespunzătoare temperaturilor T1 şi T2 şi din

două adiabate (fig. 4.7).

Pentru a calcula randamentul unei maşini

termice care funcţionează după un ciclu Carnot,

conform formulei 4.53 este necesară aflarea

celor două călduri Q1 şi Q2 schimbate de sistem

cu mediul exterior într-un ciclu:

Q1

L

Q2

T1

S. T.

T2

fig. 4.6

V

p

A B

D C

fig. 4.7

T1

T2

119

Q1 = ν RT1lnV

V

B

A

şi Q2 = ν RT2 lnV

V

D

C

(4.56)

⇒ η C

L

Q

Q Q

Q= =

−

1

1 2

1

= 1 -

TV

V

TV

V

C

D

B

A

2

1

ln

ln

Pentru transformările adiabatice BC şi DA se poate aplica ecuaţia lui Poisson:

T1V B

γ −1 = T2V C

γ −1 şi T1V A

γ −1 = T2V D

γ −1 (4.57)

făcând raportul lor ⇒

V

V

B

A

= V

V

C

D

introducând acest raport în formula randamentului obţinem:

η C = 1 - T

T

2

1

(4.58)

În concluzie randamentul unei maşini termice care funcţionează după un ciclu ideal

Carnot este independent de natura agentului termic; el depinde doar de temperatura celor

două surse de căldură (termostate). Randamentul oricărei maşini termice care ar funcţiona

între aceleaşi temperaturi T1 şi T2 ar avea un randament mai mic decât randamentul η C .

4.5.3.2. Entropia

Pornind de la formula randamentului pentru ciclul Carnot se poate obţine o relaţie

algebrică între cantităţile de căldură şi temperaturile celor două surse:

η C

Q

Q

T

T= − = −1 12

1

2

1

; Q Q2 2= − ( Q2 <0 )

şi deci:

120

Q

T

Q

T

1

1

2

2

0+ = (4.59)

Acest rezultat poate fi generalizat: toate procesele ciclice reversibile efectuate de un

sistem oarecare, pot fi descompuse într-o sumă de cicluri Carnot infinitezimal mici

(fig.4.8), pentru fiecare astfel de ciclu infinitezimal fiind valabilă relaţia 4.59.

fig. 4.8

În fig. 4.8 ciclul reversibil reprezentat prin curba Γ (efectuat în sens orar) este

descompus în cicluri elementare prin trasarea unui număr mare de adiabate. Pentru fiecare

ciclu Carnot obţinut se aplică relaţia 4.59:

02

2

1

1 =+i

i

i

i

T

Q

T

Q δδ (i = n,1 )

unde iQ1δ este căldura elementară primită pe izoterma de temperatură T1i, iar iQ2δ este

căldura elementară cedată pe izoterma de temperatură T2i.

Pentru ciclul întreg scriem:

δ δQ

T

Q

T

i

i

i

ii

n1

1

2

21

0+

=

=∑

care la limită devine:

δQ

T∫ = 0 (4.60)

numită egalitatea Clausius.

p

V

Γ

iQ2δ

iQ1δ

121

Această relaţie constituie expresia cea mai generală a principiului II al

termodinamicii pentru procesele reversibile. Acest din urmă rezultat arată că luând

integrala între două stări 1 şi 2, mărimea δQ

T este independentă de drumul de integrare sau

altfel spus δQ

T este o diferenţială totală exactă (deci o funcţie de stare ).

Pentru procesele reversibile se defineşte funcţia de stare S - numită entropie:

dS = δQ

T (4.61)

(se observă că 1/T este un factor integrant pentru cantitatea de căldură)

Pentru trecerea sistemului din starea (1) în starea (2) variaţia entropiei este:

∫=−=2

1

12T

QSSS

δ∆ <S> = J/K (4.62)

Entropia are următoarele proprietăţi:

1. Entropia este o funcţie de stare

2. Într-o transformare adiabatică, reversibilă, entropia rămâne constantă.

3. Entropia este o funcţie aditivă.

4. Valoarea entropiei este definită până la o constantă arbitrară S0:

S = δQ

T∫ + S0 (4.63)

Variaţia entropiei în procesele ireversibile

Procesele reale sunt în general ireversibile. Într-un ciclu Carnot ireversibil sistemul

ar ceda sursei reci o cantitate mai mare de căldură decât în condiţii de reversibilitate, de

aceea η irev < η rev , astfel încât egalitatea lui Clausius devine o inegalitate:

δQ

T

irev∫ < 0 (4.64)

122

relaţie numită inegalitatea Clausius.

Pentru procesele ireversibile, entropia nu se defineşte. În acelaşi timp entropia fiind

o funcţie de stare, trebuie să putem determina variaţia ei între două stări (1) şi (2) în urma

unui proces ireversibil.

Fie un proces ciclic care este constituit din procese reversibile cât şi din procese

ireversibile (fig. 4.9).

fig. 4.9

Deci ciclul întreg este ireversibil şi putem scrie inegalitatea lui Clausius:

δQ

T

irev∫ = δ δQ

T

Q

T

irev

1

2

2

1

∫ ∫+ < 0

sau : δQ

T

irev

1

2

∫ + S1 - S2 < 0

sau în sfârşit : δQ

T

irev

1

2

∫ < S2 - S1 = ∆ S

deci : ∆ S > δQ

T

irev

1

2

∫ (4.65)

Pentru un sistem izolat δQirev este zero, deci :

∆ S > 0 (4.66)

Am arătat de asemenea că pentru un proces reversibil este valabilă relaţia:

∫=−=2

1

12T

QSSS

δ∆

Deci pentru un sistem izolat:

∆ S = 0 (4.67)

p

V

1 2

irev

rev

123

Combinând relaţiile 4.66 şi 4.67 obţinem:

∆ S ≥ 0 (4.68)

Cu ajutorul entropiei principiul al doilea al termodinamicii se poate enunţa astfel:

Un sistem termodinamic izolat va evolua astfel încât entropia sa să crească sau să

rămână cel mult constantă dacă procesul este reversibil.

Calculul entropiei gazului ideal

Într-o transformare reversibilă a gazului ideal variaţia entropiei este:

dS = δQ

T =

dU pdV

TC

dT

Tp

dV

TV

+= +ν

după integrare obţinem:

S = ( )ν C T R VV ln ln+ + S0 (4.69)

iar variaţia entropiei este:

∆S CT

TR

V

VV= +

ν ln ln2

1

2

1

(4.70)

4.5.4. Principiul al treilea al termodinamicii

Entropia sistemelor termodinamice este determinată până la o constantă aditivă,

motiv pentru care se impune stabilirea constantei S0.

Principiul al treilea al termodinamicii a fost formulat de către Nernst astfel: “ dacă

temperatura absolută a unui sistem tinde către zero entropia sa tinde către o valoare

constantă sau variaţia entropiei tinde către zero”:

.lim0

constSKT

=→

sau 0lim0

=∆→

SKT

124

Deci pentru T → 0 K, entropia sistemului nu poate fi modificată prin nici un fel de

acţiune. Planck a arătat că pentru T → 0 K nu numai ∆S, ci şi S →0. Formularea

principiului al treilea al termodinamicii dată de Planck este: “ când temperatura tinde la

zero absolut, entropia sistemului este nulă”:

0lim 00

==→

SSKT

Formularea principiului al treilea al termodinamicii se mai face şi astfel: “prin nici

o experienţă nu poate fi atinsă temperatura de 0 K”.

Din principiul al treilea al termodinamicii rezultă următoarele consecinţe:

1. capacităţile calorice Cx, pentru un parametru x constant, tind spre 0 pentru

T → 0 K

2. coeficientul de dilatare termică şi coeficentul termic al presiunii tind spre zero

când T → 0 K

3. este imposibilă atingerea temperaturii de zero absolut.

Să ne imaginăm un ciclu Carnot cu T2 = 0 (fig. 4.10). Variaţia entropiei pe întregul

ciclu este:

S∆ = δQ

T∫ = 1

1

T

Q

Dar conform principiului doi al

termodinamicii variaţia entropiei într-un

proces ciclic reversibil, cum este şi ciclul

Carnot, este zero (egalitatea Clausius). Deci:

S∆ = δQ

T∫ = 0 S fig. 4.10

T

T1

125

Se obţine că Q1/T1 = 0, deşi Q1 primită de la sursa caldă este nenulă. Această

contradicţie se explică prin aceea că s-a încercat să se presupună că se poate construi un

ciclu Carnot cu temperatura sursei reci T2 = 0 K.

Deci este imposibil să se realizeze un ciclu în care temperatura agentului termic să

atingă temperatura de 0 K sau altfel spus, temperatura absolută de 0 K nu poate fi atinsă.

126

Capitolul 5: Electricitate şi magnetism

5.1. Electrostatica

5.1.1. Saricina electrică. Legea Coulomb

Sarcina electrică este o proprietate a substanţei - o mărime fizică - care poate fi

pusă în evidenţă în condiţii specifice. Într-un şir de experienţe, efectuate la diferite

momente ale istoriei cunoaşterii umane, referitoare la electrizarea corpurilor, curenţii

electrici în conductori metalici, electroliţi şi gaze, structura cristalină a substanţei, structura

atomului şi apoi a nucleului, a fost pusă în evidenţă existenţa a doua tipuri de sarcini

electrice, pozitive (+) şi negative (-). Sarcina electrică cea mai mică, determinată pe cale

experimentală, este sarcina electronului care are valoarea: e = (1.6021±0.00007)10-19 C.

Unitatea de sarcină electrică în sistemul internaţional este C (coulombul).

Studiul fenomenelor electrice se bazează pe principiul conservării sarcinilor

electrice: într-un sistem izolat sarcina electrică totală, adică suma algebrică a

sarcinilor pozitive şi negative rămâne constantă.

Conform acestui principiu sarcina electrică totală într-un astfel de sistem se poate

modifica numai aducând sarcini electrice din exterior sau luând din acel sistem sarcini

electrice.

O ilustrare a principiului conservării sarcinilor electrice este experienţa în care la

întâlnirea unui pozitron (e+) cu un electron (e-) are loc transformarea acestora în radiaţie

electromagnetică. Masa de repaus a celor două particule se transformă în energia a două

cuante de radiaţie γ în acord cu relaţia lui Einstein, E=mc2. Sarcina totală este zero atât

înainte cât şi după acest proces:

e- + e+ → γ +γ

127

Principiul conservării sarcinilor electrice poate fi enunţat fie ca un postulat de baza

al teoriei electromagnetismului, fie ca o lege empirică verificată în toate observaţiile

experimentale.

În diferite cazuri practice, sarcinile electrice sunt distribuite pe o curbă, pe o

suprafaţă sau în interiorul unui volum, în aşa fel încât oricât de mic ar fi elementul de

curbă, de suprafaţă sau de volum, pe el se vor afla un număr foarte mare de particule

încărcte (electroni sau ioni ). Aşadar, practic se poate considera o distribuţie continuă a

sarcinii electrice pe elementul respectiv, neglijând structura discontinuă a sarcinilor

electrice. Astfel se pote defini noţiunea de densitate de sarcină.

Pentru cele trei situaţii posibile se definesc:

Densitatea liniară de sacină electrică:

dl

dq

l

ql

=∆

∆=

→∆ 0limλ

unde dq este elementul de sarcină distribuit pe elementul de lungime dl.

Pentru o porţiune finită, de lungime L, sarcina electrică q se calculează cu ajutorul

integralei:

q = ∫L

dlλ

Densitatea superficială de sacină electrică:

σ =dq

dS

unde dS reprezintă elementul de suprafaţă pe care se află elementul de sarcină dq.

Pentru o porţiune finită, de suprafaţă S, sarcina electrică q se calculează cu ajutorul

integralei:

q = ∫S

dSσ

128

Densitatea volumică de sacină electrică:

ρ =dq

dV

unde dV reprezintă elementul de volum pe care se află elementul de sarcină dq.

Într-un spatiu finit, de volum V, sarcina electrică q se calculează cu ajutorul integralei:

q = ∫V

dVρ

Legea Coulomb

Forţa de interacţiune dintre două sarcini electrice punctuale (a căror dimensiuni

sunt foarte mici în raport cu distanţa pe care le separă ) q1 si q2, aşezate în vid, se exercită

de-a lungul dreptei care le uneşte, este proporţională cu produsul sarcinilor şi invers

proporţională cu pătratul distanţei dintre ele:

rF12 = k

q q

rr1 2

123 12

r = - 21F

r (5.1)

unde r12 este distanţa dintre sarcinile punctuale iar k este o mărime a cărei valoare depinde

de sistemul de unităţi de măsură. Dacă sarcinile se află în vid, în sistemul internaţional de

unităţi k=1

4 0πε, în care ε 0 = 8,85. 10-12 F/m şi reprezintă permitivitatea electrică a

vidului. Pentru alte medii dielectrice: ε ε ε= r 0 , unde ε r reprezintă permitivitatea electrică

relativă a mediului respectiv.

Într-un sistem format din mai multe sarcini electrice punctuale forţa care acţionează

asupra unei sarcini este egală cu suma vectorială a forţelor care se exercită din partea

tuturor celorlalte sarcini (principiul independenţei acţiunii forţelor electrice).

Într-un sistem în care sarcina este distribuită continuu se exprimă un element de

forţă:

129

d2 rF = 123

12

21

04

1r

r

dqdq r

πε (5.2)

Deci între două distribuţii finite de sarcini se va exercita forţa:

r rF

dq dq

rr dV dV

VV

= ∫∫1

4 0

1 2

123 12 1 2

21πε

(5.3)

unde dV1 şi dV2 reprezintă cele două elemente de volum în care se află distribuite continuu

sarcinile dq1 şi dq2.

5.1.2. Câmpul electric

Câmpul electric este o stare a materiei care există în jurul sarcinii electrice, având

ca sursă sarcina electrică şi mijlocind interacţia dintre sarcini. Când corpurile încărcate cu

sarcină electrică sunt în repaus şi sarcina lor se află în echilibru, câmpul electric produs

este un câmp electrostatic.

5.1.2.1. Intensitatea câmpului electrostatic

Intensitatea câmpului electric este o mărime vectorială, funcţie de punct, egală cu

raportul dintre forţa electrică care se exercită asupra unui corp electrizat de probă, aflat

într-un anumit punct al câmpului electric, şi valoarea sarcinii electrice q a acestui corp.

Er

= 0

lim→q q

Fr

Valoarea sarcinii electrice q a corpului de probă, cu ajutorul căruia este pusă în

evidenţă forţa Fr

, trebuie sa aibă o valoare foarte mică pentru ca să nu fie perturbat câmpul

electric Er

ce se determină.

130

În sistemul internaţional de unităţi, pentru unitatea de măsură a intensităţii

câmpului electric se foloseşte V/m.

Dacă se cunoaşte intensitatea Er

a câmpului electric, atunci forţa pe care o exercită

asupra unei sarcini q se exprimă:

Fr

= q Er

(5.4)

Conform relaţiei (5.2) intensitatea câmpului electric în jurul unei sarcini punctuale q1 ia

forma:

Er

= 2

12

q

Fr

= 12312

1

04

1r

r

q r⋅

πε (5.5)

unde r12 este distanţa de la sarcina punctuală q1 pană în locul unde este calculată

intensitatea Er

a câmpului electric creat de această sarcină. Sarcina punctuală q2 joacă rolul

sarcinii de probă.

Pe baza principiului superpoziţiei, intensitatea câmpului electric creat de un sistem

de n sarcini punctuale are expresia:

Er

= j

n

j j

jr

r

q r∑=

⋅1

304

1

πε (5.6)

unde rj este distanţa de la o sarcina oarecare qj până la punctul în care se calculează

intensitatea câmpului electric Er

.

În cazul unei distribuţii continue de sarcină intensitatea câmpului electric se

calculează cu ajutorul integralei:

Er

= rr

dqr∫⋅ 3

04

1

πε (5.7)

Integrala se calculează pe volumul, suprafaţa sau linia pe care sunt distribuite sarcinile ce

crează câmpul electric.

131

5.1.2.2. Potenţialul electric. Relaţia dintre intensitatea

câmpului electric şi potenţialul electric

Lucrul mecanic efectuat împotriva forţei electrice (sau de către forţa electrică), la

deplasarea cu d rr

a unei sarcini punctuale q în câmpul electric se exprimă:

dL = Fr

· d rr

(5.8)

Ţinând cont de relaţia (5.4), relaţia de mai sus devine:

dL = q Er

· d rr

de unde se obţine:

q

dL= E

r· d r

r (5.9)

Se notează:

q

dL= - dV

deci rezultă:

dV = - Er

· d rr

(5.10)

Mărimea V se numeşte potenţial electric. În sistemul internaţional de unităţi,

unitatea de măsură a potenţialului electric este voltul (V).

Potenţialul electric se poate deci exprima cu ajutorul integralei astfel:

V = - ∫ ⋅ rdErr

+ constantă arbitrară (5.11)

Dacă se cunoaşte distribuţia în spaţiu a vectorului intensitate se poate calcula

variaţia finită a potenţialului cu ajutorul integralei:

V2 – V1 = ∆V = - ∫ ⋅2

1

rdErr

(5.12)

132

integrala fiind calculată pe un drum finit între punctele 1 şi 2 de coordonate (x1, y1, z1) şi

respectiv (x2, y2, z2).

Se numeşte tensiune electrică (U) diferenţa de potenţial V1 – V2

Utilizând relaţia (5.12), formula de calcul a tensiunii electrice dintre două puncte este:

U = ∫ ⋅2

1

rdErr

(5.13)

Dacă punctele 1 şi 2 coincid (deci integrala se face pe un drum închis l) atunci:

V1 = V2

deci relaţia (5.12) în acest caz devine:

∫ ⋅l

rdErr

= 0 (5.14)

Utilizând formula Stokes, integrala curbilinie pe drumul închis l se poate

transforma într-o integrală de suprafaţă, pe o suprafaţă oarecare S care se sprijină pe

această curbă:

∫ ⋅l

rdErr

= ∫∫ ⋅S

dSnErotrr

= 0 (5.15)

unde: rot Er

= Er

×∇ , iar “∇ ” este operatorul gradient.

Se ştie că operatorul gradient, notat cu “grad” sau “∇ “ (nabla), este dat de expresia:

∇ = kz

jy

ix

rrr

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

Din relaţia (5.15) rezultă:

rot Er

= 0 (5.16)

133

care este o relaţie de bază în elecrostatică. Această relaţie este echivalentă din punct de

vedere fizic cu afirmaţia că circulaţia pe un drum închis al vectorului intensitatea

câmpului electric este zero.

Exprimând intensitatea câmpului electric precum şi vectorul rdr

cu ajutorul

coordonatelor carteziene:

kEjEiEE zyx

rrrr++=

kdzjdyidxrdrrrr

++=

Se observă că relaţia (5.10) capată forma:

dV = - ( dzEdyEdxE zyx ++ ) (5.17)

Pe de altă parte, diferenţiala potenţialului electric poate fi scrisă:

dV = dzz

Vdy

y

Vdx

x

V

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂ (5.18)

Confruntând relaţiile (5.17) şi (5.18) se obţin pentru componentele intensităţii câmpului

electric expresiile:

Ex = - dxx

V

∂

∂, Ey = - dy

y

V

∂

∂, Ez = - dz

z

V

∂

∂ (5.19)

Pe baza acestor relaţii intensitatea câmpului electric se poate exprima vectorial astfel:

)( kz

Vj

y

Vi

x

VE

rrrr

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−= (5.20)

Cum am arătat anterior operatorul gradient este dat de expresia:

∇ = kz

jy

ix

rrr

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

deci relaţia (5.20) se poate scrie în forma:

Ev

= - grad V

134

Această relaţie este de asemenea o relaţie de bază în elecrostatică şi permite calculul

intensităţii câmpului electric într-un punct în care este cunoscut potenţialul electric.

5.1.2.3. Fluxul câmpului electric. Teorema Gauss pentru medii

omogene . Ecuaţia Poisson

Considerăm o suprafaţă S curbă traversată de un câmp electric uniform Er

(x,y,z),

ca în figura alăturată. Un element de suprafaţă “ds” va putea fi considerat ca aparţinând şi

planului tangent la S în punctul (x,y,z).

Versorul normalei la elementul de

suprafaţă ds îl notăm cu nr

. Definim

fluxul elementar al câmpului electric ca

fiind:

dsnEdrr⋅=Φ (5.21)

Prin suprafaţa S fluxul câmpului electric

se va calcula cu ajutorul integralei:

∫∫ ⋅=ΦS

dSnErr

(5.22)

Teorema Gauss: Fluxul câmpului electric printr-o suprafaţă oarecare închisă este

proporţional cu sarcina electrică aflată în volumul delimitat de această suprafaţă.

Când suprafaţa închide un sistem de sarcini punctuale, teorema lui Gauss capată

forma matematică:

εεq

q

dSnEj

j

S

==⋅=Φ∑

∫∫rr

(5.23)

fig. 5.1

z

y

x

Er

S

nr

dS

135

unde s-a notat q = ∑j

jq , iar є este permitivitatea electrică.

În cazul în care suprafaţa închide o distribuţie continuă de sarcină, teorema Gauss

are expresia matematică:

∫∫∫∫∫ ==⋅=ΦVS

qdvdSnE

ερ

ε1rr

(5.24)

unde s-a notat q = ∫∫∫V

dVρ , iar ρ reprezintă densitatea volumică de sarcină electrică.

Utilizând formula Gauss - Ostrogradski, integrala pe suprafaţa S din relaţia precedentă se

transformă într-o integrală pe volumul V, unde V este volumul delimitat de suprafaţa S:

∫∫∫∫∫ ⋅=⋅VS

dVEdivdSnErrr

(5.25)

unde: div Ev

= =⋅∇ Er

( kz

jy

ix

rrr

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂)· ( kEjEiE zyx

rrr++ ) =

z

E

y

E

x

E zyx

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

Utilizând relaţia (5.25), relaţia (5.24) devine:

∫∫∫ ⋅V

dVEdivr

= ∫∫∫V

dVρε1

, din care rezultă:

ερ

=Edivr

(5.26)

Folosindu-ne de relaţia: Ev

= - grad V sau )( kz

Vj

y

Vi

x

VE

rrrr

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−= (în această

relaţie V reprezintă potenţialul electric) şi înlocuind componentele intensităţii câmpului

electric cu ajutorul potenţialului electric, adică x

VE x ∂

∂−= ,

y

VE y ∂

∂−= ,

z

VE z ∂

∂−= ,

relaţia (5.26) devine:

ερ

−=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂2

2

2

2

2

2

z

V

y

V

x

V

136

sau folosind notaţia pentru operatorul lui Laplace: =∆2

2

2

2

2

2

zyx ∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

ερ

−=∆V (ecuaţia Poisson) (5.27)

În situaţia în care densitatea de sarcină este zero, dar există câmp electric, putem scrie:

0=∆V (5.28)

numita ecuaţia Laplace.

În paragrafele anterioare am întâlnit două ecuaţii fundamentale pentru câmpul electrostatic

:

rot Er

= 0, ceea ce în formă integrală se scrie ∫ ⋅l

rdErr

= 0

şi ερ

=Edivr

, ceea ce în formă integrală se scrie εq

dSnES

=⋅∫∫rr

Aceste ecuaţii, fie în formă diferenţială, fie în formă integrală, sunt ecuaţiile Maxwell

pentru electrostatică (sarcinile electrice se află în repaus).

5.1.3. Capacitatea electrică a corpurilor conductoare.

Condensatoare

Potenţialul unui singur conductor, încărcat electric, la echilibru, depărtat suficient

de alte conductoare, ca să nu se influenţeze electrostatic cu acestea, este acelaşi în toate

punctele sale şi se calculează cu ajutorul relaţiei:

∫∫=S r

dS

4

1V

σπε

(5.29)

unde r este distanţa dintre elementul de sarcină de pe suprafaţa dS, pe care se află

elementul de sarcină dSdq σ= şi punctul în care se calculează V.

137

Pe de altă parte, sarcina distribuită pe conductor se calculează cu ajutorul relaţiei:

∫∫=S

dSq σ (5.30)

Dacă pe conductor se mai aduc sarcini, σ din expresiile (5.29) şi (5.30) se

multiplică cu acelaşi factor, ceea ce face ca şi valorile lui V si q să se multiplice cu acelaşi

factor. Înseamnă că raportul dintre q şi V este o mărime constantă, o proprietate a

conductorului. Se notează acest raport cu C:

V

qC =

C se numeşte capacitatea electrică a conductorului.

Unitatea de măsură pentru capacitate în S.I. este faradul (F). În practică se folosesc

submultiplii faradului (10-12 ÷ 10-3 F).

Vom da mai jos, ca exemplu, calculul capacităţii electrice a unui conductor sferic

încărcat, la echilibru electrostatic, plasat în vid şi depărtat suficient de alte conductoare.

Folosind teorema Gauss, se găseşte pentru potenţialul electric al sferei:

R

qV ⋅=

04

1

πε

unde q este sarcina distribuită pe suprafaţa conductorului sferic iar R este raza

conductorului.

Capacitatea electrică a conductorului are în acest caz expresia:

V

qC = = R04πε (5.31)

Capacitatea electrică a unei sfere conductoare cu raza egală cu raza pământului are

valoarea de 0,7 · 10-3 F.

138

Fie doi conductori oarecare apropiaţi unul de altul, încărcaţi cu sarcinile electrice Q

si respectiv –Q, având potenţialele V1, respectiv V2. Aceşti doi conductori formează un

condensator electric a cărui capacitate este dată de relaţia:

21 VV

QC

−= (5.32)

Condensatorul plan este un sistem format din doi conductori plani, paraleli şi

apropiaţi unul de altul între care se găseşte un dielectric cu permitivitatea electrică ε. Pe cei

doi conductori plani (armături) se află sarcini egale şi de semn opus Q, respectiv +Q, iar

intensitatea câmpului dintre armături determinată cu ajutorul teoremei Gauss este dată de

expresia:

E =εσ

unde σ este densitatea superficială de sarcină de pe cele două armături (σ = Q/S, S este

aria unei armături). Er

este orientat perpendicular pe armături, cu sensul spre armătura

negativă.

Pentru calculul capacităţii condensatorului plan se utilizează relaţia dintre potenţial

şi intensitatea câmpului electric:

dV = - drErdE ⋅−=⋅rr

dUVVEdVVdrEdV 211

V

V

d

0

2

2

1

⋅==−⇒−=−⇒⋅−=∫ ∫ εσ

unde d este distanţa dintre cele două armături.

deci capacitatea condensatorului plan este:

21 VV

QC

−= =

d

S

d

Sε

εσσ

= (5.33)

139

Condensatorul sferic este format din doi conductori sferici încărcaţi cu sarcinile

electrice Q, respectiv -Q, de raze R1 şi R2, între care se găseşte un dielectric cu

permitivitatea electrică ε. Utilizând teorema Gauss valoarea intensităţii câmpului electric

într-un punct situat între cele două armături este:

2

1

4)(

r

QrE ⋅=

πε

Utilizând relaţia dintre potenţial şi intensitatea câmpului electric şi folosind

expresia pentru Er

din relaţia de mai sus, se obţine diferenţa de potenţial dintre armăturile

sferice:

)11

(44

)(21

21RR

QVV

r

QrV −=−⇒=

πεπε cu r ∈[R1, R2]

deci capacitatea condensatorului sferic este:

21 VV

QC

−= =

12

214RR

RR

−⋅πε (5.34)

Condensatorul cilindric este format din doi conductori cilindrici, aşezaţi coaxial,

încărcaţi cu sarcinile electrice Q, respectiv -Q, de raze R1 şi R2, fiecare de lungime l, între

care se găseşte un dielectric cu permitivitatea electrică ε. Raza conductorului interior R1

poate fi considerată atât de mică încât să putem scrie pentru acest conductor o densitate

liniară de sarcină λ.

Utilizând teorema Gauss valoarea intensităţii câmpului electric într-un punct situat

între cele două armături este:

r2

El

rl2Eπελ

ελ

πΦ =⇒=⋅= cu r ∈[R1, R2]

unde l reprezintă lungimea orcăreia dintre conductori.

140

Utilizând relaţia dintre potenţial şi intesitatea câmpului electric şi folosind expresia

pentru Er

din relaţia de mai sus, se obţine diferenţa de potenţial dintre armăturile

cilindrice:

1

21

V

V

R

R

2R

Rln

2VVdrEdV

2

1

2

1πελ

=−⇒⋅−=∫ ∫

deci capacitatea condensatorului cilindric este:

21 VV

QC

−= =

1

2

1

2 ln

2

ln2 R

Rl

R

Rl πε

πελλ

= (5.35)

5.1.4. Medii dielectrice

Un corp dielectric poate fi definit ca un corp care la echilibru electrostatic, în

general, modifică valoarea câmpului electric în spaţiul pe care îl ocupă.

Unele proprietăţi ale mediilor dielectrice pot fi studiate umplând cu ele spaţiul

dintre armăturile unui condensator plan.

La început sa considerăm că între plăcile condensatorului plan nu avem un

dielectric, ci vid. Capacitatea condensatorului se exprimă:

d

SC 00 ε= (5.36)

unde S este aria feţei interioare a uneia dintre plăci, d distanţa dintre armături şi 0ε

permitivitatea electrică a vidului.

Aplicând pe plăcile condensatorului diferenţa de potenţial U0, sarcina electrică de pe una

din plăci este:

q0 = C0U0 (5.37)

141

Introducând între plăcile condensatorului un dielectric omogen şi izotrop în condiţiile în

care sarcina pe plăci se păstrează aceeaşi se constată experimental că diferenţa de

potenţial scade la valoarea:

r

UU

ε0=

unde rε este permitivitatea electrică relativă a mediului dielectric. Întrucât sarcina

condensatorului rămâne aceeaşi putem scrie:

000

0 UCU

CCUqr

===ε

de unde rezultă:

C = 0Crε (5.38)

Deci capacitatea creşte de rε ori la introducerea dielectricului între plăci.

În absenţa dielectricului intensitatea câmpului este:

0

000 ε

σ==

d

UE

Numim inducţia câmpului electric mărimea dată de relaţia: ED ε=

Deci în absenţa dielectricului inducţia câmpului electric dintre plăcile

condensatorului plan are valoarea:

0000 σε == ED (5.39)

În prezenţa dielectricului intensitatea câmpului electric este:

0

000

εεσ

εε rrr

E

d

U

d

UE ====

de unde, se obţine pentru inducţia câmpului electric:

000 DEED r ==== σεεε (5.40)

142

În condiţiile în care sarcina pe plăcile condensatorului rămâne aceeaşi, inducţia

câmpului păstrează aceeaşi valoare în cele două situaţii, fară, şi cu dielectric.

Să analizăm ce se întâmplă dacă se păstrează neschimbată diferenţa de potenţial

dintre armături.

Dacă la introducerea dielectricului omogen şi izotrop diferenţa de potenţial aplicată

pe condensator se păstrează aceeaşi, ca atunci când dielectricul nu există, se constată

experimental că sarcina electrică de pe plăcile condensatorului creşte de rε ori.

Pentru sarcina electrică vom scrie:

q0 = C0U0

în situaţia fără dielectric şi:

q = CU0

în situaţia cu dielectric.

Dar întrucât: q = 0qrε rezultă în acest caz pentru capacitatea condensatorului:

0CC rε=

Deci şi în acest caz capacitatea condensatorului creşte de rε ori la introducerea

dielectricului între plăci.

Intensitatea câmpului electric este:

0

000 ε

σ===

d

UEE

aceeaşi în cele două situaţii, cu, şi fără dielectric.

Inducţia câmpului electric este:

0000 σε == ED

în situaţia fără dielectric şi:

143

σσεεσ

εεεε ===== 00

000 rrEED

sau

0DD rε=

în situaţia cu dielectric.

Obsevăm că, în condiţiile în care intensitatea câmpului se păstrează aceeaşi,

inducţia câmpului este mai mare în spaţiul ocupat de dielectric decât atunci când era vid.

Aceasta se datoreşte fenomenului de polarizare a dielectricului. Se poate introduce

noţiunea de intensitate de polarizare, sau simplu, polarizare. Se poate scrie:

PEDDD =−=−=− 000 εσσ

unde cu P s-a notat mărimea numită intensitate de polarizare sau polarizarea dielectricului.

Densitatea de sarcină:

0' σσσ −=

se regăseşte pe oricare din cele două feţe ale dielectricului şi constituie manifestarea

macroscopică a faptului că fiecare moleculă a dielectricului devine un dipol sau se

comportă ca un diopl, în câmpul electric. Sarcinile electrice, de pe feţele dielectricului, de

densitate superficială 'σ se numesc sarcini legate.

Rezultă că, în condiţiile stabilite mai sus polarizarea dielectricului se exprimă:

P = 'σ

Obsevăm că:

E)1(EE'P 0r00 εεεεσσσ −=−=−==

Se numeşte susceptibilitate electrică mărimea:

1−= re εχ

Deci polarizarea electrică se mai poate scrie:

144

EP eχε 0=

Cum intensitatea câmpului este o mărime vectorială înseamnă că şi polarizarea este

o mărime vectorială. De asemenea şi inducţia câmpului electric este o mărime vectorială.

Într-un mediu dielectric omogen şi izotrop cei trei vectori PDEvrr

,, au aceeaşi

direcţie, astfel că între cei trei vectori se pot scrie relaţiile:

PED

EP

ED

errr

rr

vr

+=

=

=

0

0

ε

χε

ε

unde ε şi eχ sunt mărimi scalare. În mediile anizotrope ε şi eχ sunt mărimi tensoriale. În

astfel de medii direcţiile celor trei vectori, în general, nu sunt aceleaşi.

5.1.5. Energia câmpului electrostatic

Să considerăm un condensator plan, încărcat, care are una dintre plăci (1) legată la

pământ. Cealaltă placă (2) va avea potenţialul V = q/C, unde q este sarcina de pe această

placă, iar C capacitatea condensatorului. În acest caz tensiunea dintre plăci U = V = q/C.

Pentru a trece sarcina dq de pe placa 1 pe placa 2 este necesar sa se efectueze lucrul

mecanic elementar:

dL = Udq = dqC

q

Dacă se porneşte de la starea când sarcina plăcii 2 este egală cu zero şi se ajunge la

starea cănd sarcina acestei plăci este q, lucrul mecanic efectuat este:

2

0

2

2

1

2

1

2CUqU

C

qdq

C

qL

q

==== ∫

if WWWL −=∆=

145

unde W reprezintă energia câmpului electrostatic dintre plăcile condensatorului.

Condensatorul fiind iniţial descărcat Wi = 0, deci energia electrostatică a câmpului

electric este W = Wf = L

Expresia energiei câmpului electrostatic al condensatorului este deci:

2

2

1CUW = (5.41)

Dacă utilizăm formulele deduse pentru condensatorul plan, relaţia de mai sus

devine:

VEEdd

SCUW 222

2

1)(

2

1

2

1ε

ε===

unde: V = Sd, volumul dintre cele două lăci, deci volumul în care există câmp electrostatic.

Împărţind W, cu V, obţinem densitatea energiei electrostatice localizată în spaţiul

dintre plăci w= W/V:

2

2

1Ew ε= (5.42)

Formula de mai sus se poate gerneraliza pentru orice conductor izolat, încarcat cu

sarcini aflate în echilibru electrostatic. Energia câmpului electrostatic se va localiza în

spaţiul din afara conductorului deoarece în interiorul conductorului, la echilibru

electrostatic, intensitatea câmpului este egală cu zero.

Dacă energia câmpului electrostatic nu este distribuită uniform în spaţiu atunci se

scrie densitatea de energie dintr-un volum elementar:

dVEwdVdW 2

2

1ε==

iar energia totală a câmpului electrostatic se calculează cu ajutorul integralei:

∫∫∫=V

dVEW 2

2

1ε (5.43)

146

5.2. Mărimi şi legi de bază în electrocinetică

5.2.1. Noţiuni introductive

Electrocinetica se ocupă de fenomenele determinate de deplasarea ordonată a

sarcinilor electrice.

Când un ansamblu de sarcini electrice (purtători de sarcină) se deplasează ordonat

într-un sens ia naştere un curent electric. Curenţii electrici sunt de două tipuri, de conducţie

şi de convecţie.

Curentul electric de conducţie constituie o mişcare ordonată a purtătorilor de

sarcină “liberi” dintr-un conductor sub acţiunea unui câmp electric.

Curentul electric de convecţie constituie o mişcare ordonată de sarcini electrice, dar

aceste sarcini aparţin unui corp macroscopic care este în mişcare. De exemplu, un curent

de convecţie ia naştere în mişcarea de revoluţie a Pământului dat fiind că acesta este

încărcat cu sarcini electrice.

Existenţa unui curent electric este pusă în evidenţă prin efectele termice, chimice şi

magnetice pe care acest curent le produce.

Convenţional, sensul curentului electric este considerat sensul de deplasare a

sarcinilor pozitive.

Dacă printr-o spurafaţă oarecare S, în intervalul de timp dt, trece sarcina dq,

intensitatea curentului electric se defineşte astfel:

dt

dqI = (5.44)

Intensitatea curentului electric este o mărime fizică scalară egală cu sarcina

transportată printr-o suprafaţă oarecare S în unitatea de timp.

În S.I. unitatea de masură a intensităţii este amperul (A).

147

În orice punct din spaţiu unde există un curent electric se poate defini un vector ir

,

numit densitate de curent, care are aceeaşi direcţie şi acelaşi sens cu direcţia si sensul de

mişcare ale sarcinilor pozitive. Modulul densităţii de curent este dat de relaţia:

ndS

dIi =

unde dSn este un element de suprafaţă perpendicular pe direcţia de deplasare a sarcinilor

electrice.

În S.I. unitatea de măsură a densităţii de sarcină este A/m2.

Dacă un element de suprafaţă dS este orientat oricum faţă de vectorul ir

, atunci

intensitatea dI a curentului prin acest element de suprafaţă se poate exprima:

dSnidIvr⋅=

unde nr

este versorul normalei la dS.

Pornind de la relaţia anterioară, intensitatea curentului printr-o suprafaţă finită S se

exprimă:

∫∫ ⋅=S

dsniIrr

(5.45)

5.2.2. Ecuaţia de continuitate

Să considerăm o suprafaţă oarecare S, închisă, care delimitează volumul V, în care

se află sarcina electrică q (fig.5.2):

∫∫∫=V

dVq ρ

unde ρ este densitatea volumică de sarcină.

Sarcina q se poate deplasa în timp prin

traversarea suprafeţei S, prin care se stabileşte

curentul de intensitate I:

V

ρ

S

fig. 5.2

148

∫∫∫ ∂∂

−=−=V

dVtdt

dqI

ρ

Aceeaşi intensitate se poate exprima cu ajutorul densităţii de curent:

∫∫ ⋅=S

dSniIrr

Pe de altă parte, conform teoremei Gauss-Ostrogradski se poate scrie:

∫∫ ∫∫∫=⋅S V

dVidivdSni )(rrr

Confruntând ultimele trei relaţii se poate scrie:

t

idiv∂

∂−=

ρr

sau: 0=∂

∂+

tidiv

ρr (5.46)

care se numeşte ecuaţia de continuitate.

La stabilirea acestei ecuaţii, aşa cum se poate constata din cele prezentate mai sus,

s-a folosit principiul conservării sarcinii electrice.

5.2.3. Curentul continuu în conductori metalici. Expresiile

locale ale legii Ohm şi legii Joule

În acest paragraf ne vom referi la curentul continuu ce se poate stabili într-un

conductor, omogen şi izotrop, menţinut la o temperatură normală.

Vom considera că, într-un astfel de conductor, purtătorii de sarcină ‘liberi” sunt

electronii.

Dacă luăm în calcul un conductor de formă cilindrică, de lungime l şi secţiune

transversală S, şi aplicăm la capetele lui o diferenţă de potenţial V1 – V2 (V1 > V2), în

149

conductor se stabileşte un curent de intensitate I, constantă în timp şi cu aceeaşi valoare în

oricare secţiune transversală a conductorului, pe care îl numim curent continuu.

Relaţia dintre intensitatea curentului I şi diferenţa de potenţial aplicată pe

conductor este dată de legea lui Ohm:

R

VVI 21 −= (5.47)

unde R este rezistenţa electrică a conductorului, o mărime care depinde de proprietăţile

intrinseci ale conductorului, de dimensiunile acestuia, cât şi de condiţiile exterioare. În

S.I. rezistenţa electrică are ca unitate de măsură ohmul (Ω ).

În funcţie de dimensiunile conductorului considerat mai sus, rezistenţa electrică se

exprimă:

S

lR ρ=

unde ρ este rezistivitatea electrică, o mărime care depinde de natura conductorului şi de

condiţiile exterioare. Se observă, conform relaţiei anterioare, că în S.I. unitatea de măsură

pentru rezistivitatea electrică este m⋅Ω . Inversul rezistivităţii:

ρ

σ1

=

se numeşte conductivitate electrică şi are ca unitate de masură în S.I. 11 −− ⋅Ω m .

Acum putem trece la stabilirea expresiei locale a legii Ohm. Pentru aceasta

obsevăm mai întâi că relaţia (5.47) capătă forma:

Sl

U

S

l

VVI 21 σ

ρ=

−= (5.48)

150

În relaţia anterioară se înlocuieşte expresia intensităţii câmpului electric l

UE =

pentru acest tip de conductor. Pe de altă parte se poate exprima densitatea de curent S

Ii = .

Astfel că, pornind de la relaţia (5.48) putem scrie:

Ei σ=

Întrucât în cazul unui conductor omogen şi izotrop σ este un scalar iar ir

are sensul

şi direcţia lui Er

se poate scrie:

Eivr

σ= (5.49)

care reprezintă chiar expresia locală a legii Ohm.

Când într-un conductor se stabileşte un curent continuu de intensitate I în

conductor se degajă o căldură a cărei expresie este dată de legea Joule:

Q = RI2t (5.50)

unde R este rezistenţa conductorului iar t este durata curentului prin conductor. Pentru a

stabili forma locală a legii Joule vom introduce noţiunea de densitate a puterii termice w:

Slt

Qw =

mărime numeric egală cu căldura care se degajă în unitatea de volum a conductorului, în

unitatea de timp.

Folosind relaţia (5.50) se poate scrie:

2

22 1

iSl

Is

l

Slt

tRIw

σ

ρ===

Folosind substituţia 222 Ei σ= se obţine:

2Ew σ= (5.51)

care reprezintă expresia locală a legii Joule.

151

5.2.4 Tensiunea electromotoare

Un câmp electrostatic nu poate întreţine un curent electric pe un drum închis,

deoarece câmpul produce un lucru mecanic total nul asupra unei sarcini care urmează un

astfel de drum. Dacă un astfel de câmp favorizează deplasarea sarcinii pe o porţiune a

drumului, el se va opune deplasării în acelaşi sens a sarcinii în restul drumului.

Când la bornele unei surse de energie electrică este conectat un rezistor, în rezistor

se stabileşte un curent al cărui sens este de la potenţialul ridicat la potenţialul scăzut, de la

borna pozitivă a sursei, la borna ei negativă. Sarcina pozitivă se deplasează în sensul

câmpului coulombian. Pentru a păstra, în oricare punct al circuitului, inclusiv în interiorul

sursei, acelaşi sens de deplasare a sarcinii pozitive, trebuie ca în interiorul sursei să se

efectueze un lucru mecanic împotriva câmpului coulombian. Raţionamentul se poate face

şi pentru electron schimbând sensul de parcurgere al circuitului închis.

Lucrul mecanic efectuat asupra sarcinii în interiorul sursei îl putem asocia unui

“câmp electromotor“ sau “câmp imprimat“, a cărui natură diferă, în general, de a

câmpului coulombian şi a cărui existenţă este legată de conversia unei forme de energie, în

energie electrică (în sursa galvanică - energia chimică, în termoelement - energia termică,

în fotoelement - energia luminoasă, în generatoarele rotative de curent electric - energia

mecanică, toate aceste forme de energie se transformă în energie electrică).

În general, putem spune că într-un punct al circuitului o sarcină este supusă acţiunii

câmpului:

SC EEErrr

+=

unde CEr

este câmpul electric coulombian iar SEr

este câmpul electromotor din interiorul

sursei. Câmpul electromotor, de regulă, este nul în unele puncte, sau chiar pe porţiuni mari

152

ale circuitului. Se întâlnesc şi situaţii particulare - în cazul inducţiei electromagnetice -

când acest câmp electromotor acţionează în orice punct al circuitului.

Circulaţia vectorului Er

de-a lungul unei linii de circuit închis (când circuitul este

închis) se poate scrie:

ldEldEldE SC

rrrrrr

∫∫ ∫ +=

Prima integrală din membrul drept este nulă, deoarece circulaţia câmpului

coulombian pe un drum închis este nulă. Integrala a doua din membrul drept este diferită

de zero când în circuit se găseşte o sursă de energie electrică. Cu ajutorul acestei integrale

se defineşte tensiunea electromotoare E a sursei.

E = ldES

rr⋅∫

Tensiunea electromotoare este o mărime fizică egală cu lucrul mecanic efectuat

de câmpul electromotor asupra unei sarcini pozitive unitare pe porţiunea de circuit (de

sursă) în care acest câmp există. Câmpul electromotor acţionează asupra sarcinii pozitive

asfel încât curentului să i se asigure în interiorul sursei acelaşi sens ca şi în circuitul

exterior sursei.

Luând în considerare forma locală a legii Ohm dedusă în paragraful anterior,

tensiunea electromotoare definită mai sus, cât şi principiul conservării sarcinii electrice, se

pot deduce uşor, ca aplicaţii directe, legea Ohm generalizată şi teoremele Kirchhoff.

153

5.3. Electromagnetism

5.3.1. Câmpul magnetic. Inducţia câmpului magnetic

În spaţiul din jurul unui curent electric (sau din jurul sarcinilor electrice ce se

deplasează cu viteză constantă) cât şi din jurul magneţilor permanenţi se stabileşte o stare

a materiei numită câmp magnetic.

Existenţa câmpului magnetic este pusă în evidenţă prin intermediul forţei cu care

acţionează câmpul magnetic asupra unui curent (altul decât cel care ar putea eventual

genera câmpul magnetic).

Forţa are expresia:

BlIdFdrrr

×= (5.52)

Această forţă este numită forţă electromagnetică şi este dată deci de produsul

vectorial (fig. 5.3) dintre factorul lIdr

, unde I este intensitatea curentului ce străbate

porţiunea de circuit ldr

, şi mărimea vectorială Br

, care este o mărime ce caracterizează

câmpul magnetic, numită inducţia câmpului magnetic. Relaţia anterioară poate fi

considerată ca relaţie de definiţie a inducţiei câmpului magnetic.

Modulul forţei se va scrie:

dF = (Idl)·Bsinα

şi ia valori între IBdl, când 2

πα = şi 0, când 0=α .

Se observă că măsurând modulul forţei dF, intensitatea curentului I şi porţiunea de circuit

dl, se poate determina experimental modulul inducţiei câmpului magnetic B.

Unitatea de măsură în S.I. pentru inducţia magnetică este tesla (T).

Pentru a afla forţa electromagnetică care acţionează asupra întegului circuit de lungime l se

integrează relaţia (5.52):

lIdr B

r

Fdr

α

fig. 5.3

154

)(0∫ ×=l

BldIFrrr

(5.53)

care în cazul simplu al unui conductor rectiliniu devine:

αsinBIlF =

Acţiunea câmpului magnetic asupra unui curent electric reprezintă în esenţă

acţiunea câmpului magnetic asupra sarcinilor electrice în mişcare. Forţa cu care un câmp

magnetic acţionează asupra unei sarcini electrice în mişcare se numeşte forţa Lorentz.

Fie dq sarcina elementară pozitivă pe care curentul de intensitate I o transportă în

intervalul de timp dt de-a lungul conductorului dl. Viteza de transport a sarcinii electrice

este: vdtdldt

dlv =⇒=

Prin definiţie avem: dt

dqI =

Introducând această relaţie în formula forţei electromagnetice, obţinem:

dF = (Idl)·Bsinα = dq·v·B·sinα

Prin integrare pentru întreaga sarcină q, se obţine:

∫ =⋅=q

qvBdqvBF0

sinsin αα

Deoarece pentru sarcina pozitivă, vectorul vqr

are aceeaşi orientare cu lIdr

,

obţinem expresia vectorială a forţei Lorentz:

)( BvqFrrr

×⋅=

Această forţă este perpendiculară atât pe direcţia de mişcare a particulei cât şi pe

direcţia inducţiei câmpului magnetic. Datorită forţei Lorentz, o particulă încărcată electric

este deviată la trecerea prin câmpul magnetic.

155

5.3.2. Legea Biot-Savart-Laplace

Legea Biot-Savart-Laplace dă expresia inducţiei câmpului magnetic la distanţa r de

elementul de curent lIdr

(fig.5.4):

34 r

rlIdBd

rrr ×=

πµ

(5.54)

unde µ este permeabilitatea magnetică a mediului.

În cazul unui circuit de lungime l inducţia

câmpului magnetic într-un anumit punct se

calculează prin integrarea relaţiei (5.54):

∫×

=l r

rldIB

34

rrr

πµ

(5.55)

Dacă se ţine seama de relaţia dintre intensitatea curentului şi densitatea de curent

ir

, care poate fi scrisă ca fiind dVilIdrr

= , unde dV este volumul porţiunii de curent

considerate, atunci relaţiile (5.54) şi (5.55) pot fi aduse la forma:

dVr

riBd

34

rrr ×=

πµ

(5.56)

şi

∫×

=V

dVr

riB

34

rrr

πµ

(5.57)

unde V este volumul ocupat de curentul electric, în particular, de conductorul în care s-a

stabilit curentul electric considerat.

În cazul particular al conductorului rectiliniu infinit r

IB

πµ2

= , iar în cazul unei

bobine l

NIB µ= (unde N reprezintă numărul de spire iar l lungimea bobinei).

l rr

lIdr

fig. 5.4

Bdr

156

5.3.3. Fluxul inducţiei câmpului magnetic

Fluxul inducţiei câmpului magnetic print-o suprafaţă elementară dS se defineşte

(fig. 5.5):

dSnBdrr⋅=Φ (5.58)

unde nr

este versorul normalei la dS.

Fluxul printr-o suprafaţă S (fig. 5.5) se va

exprima:

∫∫ ⋅=ΦS

dSnBrr

(5.59)

Unitatea de măsură pentru fluxul câmpului magnetic în S.I. este weberul (Wb).

1Wb = 1T·1m2.

Ţinând cont de faptul că în cazul câmpului magnetic nu avem surse, fluxul

inducţiei magnetice printr-o suprafaţă închisă este egal cu zero.

0=⋅=Φ ∫∫S

dSnBrr

(5.60)

Pe baza teoremei Gauss – Ostrogradski se poate scrie:

0)( ==⋅∫∫ ∫∫∫S V

dVBdivdSnBrrr

unde S este suprafaţa închisă, iar V este volumul delimitat de suprafaţa S.

Deci se obţine:

0=Bdivr

(5.61)

care reprezintă una din ecuaţiile diferenţiale ale lui Maxwell. Faţă de electrostatică unde

ερ

=Edivr

, în cazul câmpului magnetic 0=Bdivr

, ceea ce semnifică faptul că în cazul

câmpului magnetic nu avem surse.

Br

nr

ds

S

α

fig. 5.5

157

Relaţia 0=Bdivr

este valabilă nu doar pentru câmpuri magnetice constante (în

magnetostatică) ci şi în cazul câmpurilor magnetice variabile.

5.3.4. Legea circuitului magnetic (legea circuitală Ampère)

Legea circuitală Ampère stabileşte că circulaţia vectorului inducţie magnetică Br

,

pe un drum închis l, este proporţională cu intensitatea curentului I care trece printr-o

suprafaţă oarecare S ce se sprijină pe drumul l (fig. 5.6).

fig. 5.6

∫ =⋅l

IldB µrr

(5.62)

De la forma finită (integrală) a legii circuitale Ampère se poate trece la forma ei

diferenţială care constituie totodată una dintre ecuaţiile Maxwell în formă particulară,

valabilă doar în cazul magnetostaticii (a câmpurilor magnetice constante în timp).

Folosind teorema Stokes putem scrie:

∫ ∫∫ ⋅=⋅l S

dSnBrotldBrrrr

)( (5.63)

unde S este o suprafaţă oarecare care se sprijină pe drumul închis l (fig. 5.6).

Pe de altă parte, membrul drept al relaţiei (5.62) poate fi scris sub forma:

I

l

ldr

Br

S

158

∫∫ ⋅=S

dSniIrr

µµ (5.64)

unde ir

este vectorul densitate de curent.

Ţinând seama de relaţia (5.64) legea circuitală Ampère devine:

∫ =⋅l

ldBrr

∫∫ ⋅S

dSnirr

µ (5.65)

Din confruntarea relaţiilor (5.63) şi (5.65) se obţine ecuaţia diferenţială;

iBrotrr

µ= (5.66)

care reprezintă o formă particulară a uneia din ecuaţiile Maxwell, cu valabilitate doar în

domenilul magnetostaticii. Forma generală a acestei ecuaţii va fi dată în capitolul în care

ne ocupăm de câmpul electromagnetic. Forma generală implică postularea unui termen

suplimentar în membrul drept al ecuaţiei, numit curent de deplasare.

De asemenea, ecuaţia de mai sus, care exprimă forma diferenţială a legii circuitale

Ampère, pune în evidenţă caracterul rotaţional al câmpului magnetic (în jurul curenţilor

există linii de câmp magnetic închise care înconjoară curentul electric).

5.3.5. Inducţia electromagnetică

Fenomenul de inducţie electromagnetică, descoperit de Faraday încă din 1831,

poate fi pus în evidenţă prin nenumărate experienţe simple care arată că în orice circuit, în

cazul variaţiei fluxului inducţiei magnetice prin suprafaţa delimitată de acel circuit, apare

un curent electric numit curent de inducţie. Existenţa curentului este determinată de

tensiunea electromotoare indusă în circuit. Experienţele arată că mărimea t.e.m. de

inducţie nu depinde de modul în care se realizează variaţia fluxului magnetic Φ, ci numai

de viteza de variaţie a lui Φ, adică dt

dΦ. Într-adevăr, din expresia fluxului inducţiei

159

magnetice αcosBS=Φ , rezultă posibilitatea de a produce o variaţie a fluxului prin

modificarea unuia din parametrii: B, S sau α.

Pentru a stabili relaţia dintre t.e.m. indusă şi viteza de variaţie a fluxului,

considerăm circuitul din figura 5.7, cu o latură de lungime l mobilă, latură care se

deplasează perpendicular pe direcţia inductiei câmpului magnetic, cu viteză constantă.

La deplasarea conductorului, electronii

din interiorul acestuia se vor deplasa cu aceeaşi

viteză în raport cu câmpul magnetic Bv

şi asupra

lor va acţiona forţa Lorentz:

)( BveFrrr

×⋅−=

şi de modul F = evB, orientată în lungul

conductorului.

Acţiunea acestei forţe este echivalentă cu acţiuna unei forţe electrice, determinată

de un câmp electric E:

eE = evB sau E = vB

Acest câmp este de origine neelectrostatică, este un câmp imprimat (electromotor)

şi circulaţia sa pe un contur, dă mărimea t.e.m. induse iε :

iε = ∫ ===⋅dt

dSB

dt

lvdtBvBlldE

rr

unde dS = lvdt reprezintă variaţia ariei circuitului străbatut de câmpul magnetic de inducţie

Br

în intervalul de timp dt (fig. 5.7). În calculul integralei s-a ţinut seama că E ≠ 0 numai

pe lungimea l . Folosind dΦ = BdS, obţinem formula de legătură dintre t.e.m. şi viteza de

variaţie a fluxului inducţiei magnetice:

dt

di

Φ−=ε (5.67)

Fr

Br

vr

vdt

fig. 5.7

160

unde semnul minus indică sensul t.e.m. induse în funcţie de variaţia fluxului (legea lui

Lenz).

Relaţia (5.67) exprimă legea lui Faraday pentru inducţia electromagnetică:

t.e.m. indusă iε într-un circuit este egală cu viteza de variaţie a fluxului inducţiei

magneticeΦ prin acel circuit, luată cu semn schimbat.

Se poate arăta că legea lui Faraday este independentă de modul în care s-a produs

variaţia fluxului magnetic prin circuit: prin schimbarea formei circuitului, prin rotirea lui,

prin deplasarea într-un câmp magnetic neuniform sau prin însăşi variaţia în timp a

câmpului magnetic.

A doua lege a inducţiei electromagnetice este legea lui Lenz, lege care indică

sensul t.e.m. induse: curentul indus are sensul pentru care fluxul inducţiei magnetice

induse se opune variaţiei fluxului magnetic inductor. Aceasta înseamnă că dacă fluxul

magnetic inductor scade (dt

dΦ < 0), sensul curentului de inducţie este astfel încât să creeze

un câmp magnetic propriu, de acelaşi sens cu câmpul magnetic inductor, iar dacă fluxul

magnetic inductor creşte (dt

dΦ > 0), curentul indus are acel sens care determină un câmp

magnetic indus de sens contrar sensului câmpului magnetic inductor.

Maxwell, generalizând rezultatele experimentale cu privire la fenomenul de

inducţie electromagnetică, a ajuns la concluzia că în toate punctele spaţiului unde există

un câmp magnetic variabil în timp apare întotdeauna un câmp electric, independent de

existenţa unui conductor electric; conductorul nu face decât să pună în evidenţă existenţa

câmpului electric prin apariţia curentului electric.

161

Câmpul electric indus se numeşte câmp electrodinamic; spre deosebire de câmpul

electrostatic, câmpul electrodinamic este rotaţional. Într-adevăr, din legea lui Faraday şi

din definiţia fluxului magnetic rezultă:

∫ ∫∫ ∫∫ ∂∂

−=−=⋅l S S

dSnt

BdSnB

dt

dldE

rr

rrrr

şi aplicând teorema Stokes:

∫ ∫∫ ⋅=⋅l S

dSnErotldErrrr

Din egalarea ultimilor două relaţii obţinem:

dt

BErot

rr ∂

−= (dt

BE

rr ∂

−=×∇ ) (5.68)

Această relaţie reprezintă forma locală a legii inducţiei electromagnetice şi exprimă

caracterul rotaţional al câmpului electrodinamic. Astfel, un câmp magnetic variabil se

înconjoară întotdeauna cu linii închise de câmp electric. Prin aceasta se deosebeşte câmpul

electrodinamic de câmpul electrostatic al sarcinilor fixe, ale cărui linii de câmp sunt

deschise. Deci, câmpul electric poate fi irotaţional ( 0=Erotr

), ca în cazul câmpului

electrostatic, cât şi rotaţional (dt

BErot

rr ∂

−= ), ca în cazul câmpului electrodinamic. Câmpul

magnetic are în schimb întotdeauna un caracter rotaţional.

162

5.3.6. Autoinducţia. Energia câmpului magnetic

Să considerăm că într-un circuit închis s-a stabilit curentul I. Prin suprafaţa limitată

de circuit va exista un flux magnetic )(IΦ . Când curentul din circuit capătă o variaţie dI,

fluxul magnetic variază cu dΦ . Se defineşte inductanţa circuitului astfel:

dI

dL

Φ=

Unitatea de masură pentru inductanţă în S.I. este henry (H); 1H = sA

sV

A

Wb⋅Ω=

⋅=

Pornind de la definiţia inductanţei legea lui Faraday se poate scrie:

dt

dILi −=ε

Această relaţie este o formă particulară a legii inducţiei electromagnetice, numită şi legea

autoinducţiei, iar iε se numeşte în acest caz tensiune autoindusă.

Fie un circuit a carui inductanţă este L, prin care circulă un curent i(t)= dtdq / . În

circuit va apare o tensiune autoindusă dt

diLi −=ε . Pentru deplasarea sarcinilor electrice

prin circuit este necesară efectuarea unui lucru mecanic:

d = Lididt

dqLdidq

dt

diLdqi −=−=−=⋅ε

Considerând ca i ],0[ I∈ prin integrare se obţine lucrul mecanic total:

∫ −=−=I

ILLidi

0

2

2

Ştiind că: = magW∆ , unde Wmag reprezintă energia câmpului magnetic din jurul

circuitului când în circuit s-a stabilit un curent I, rezultă că = Wmag. - Wmag. iniţial =

Wmag. (deoarece curentul iniţial în circuit era zero şi deci Wmag. iniţial =0).

Deci energia câmpului magnetic se calculează cu ajutorul formulei:

163

Wmag. = 2

2IL (5.69)

Pentru o bobină cu N spire, de lungime l şi cu aria secţiunii unei spire S, utilizând

legea lui Faraday, inductanţa se poate calcula astfel:

dt

dI

l

SN

dt

l

NId

NSdt

BSdN

dt

dNi

2)()(

µµ

ε −=−=−=Φ

−=

Confruntând această ultimă relaţie cu legea autoinducţiei, rezultă formula de calcul

a inductanţei unei bobine:

l

SNL

2

µ=

Introducând acestă ultimă relaţie în relaţia (5.69) obţinem pentru energia câmpului

magnetic:

Wmag = µ

µµ

µ2

)(222

222

22 BV

l

NISlI

l

SNIL ===

unde V = Sl este volumul din interiorul bobinei.

Definim densitatea de energie a câmpului magnetic din interiorul bobinei ca fiind

energia câmpului magnetic din unitatea de volum: wmag = Wmag/V. Deci densitatea de

energie a câmpului magnetic este data de relaţia:

wmag = µ2

2B sau wmag= 2

2

1Hµ (5.70)

unde HBrr

µ= este o relaţie de material, iar Hr

este vectorul intensiatea câmpului magnetic.

Dacă energia câmpului magnetic nu este distribuită uniform în spaţiu atunci se scrie

densitatea de energie dintr-un volum elementar:

dVB

dVwdW magmag µ2

2

==

164

iar energia totală a câmpului magnetic se calculează cu ajutorul integralei:

∫∫∫=V

dVB

Wµ2

2

5.3.7. Curentul de deplasare. Inducţia magnetoelectrică

Legea de conservare a sarcinilor electrice exprimată prin ecuaţia de continuitate :

0=∂

∂+

tidiv

ρr, conduce la o dificultate în cazul curenţilor nestaţionari.

Am arătat în capitolele anterioare că în cazul câmpului magnetic, datorită faptului

că nu avem surse, întotdeauna este valabilă ecuaţia:

0=Bdivr

(5.71)

De asemenea am arătat că în cazul magnetostaticii este valabilă legea Ampère,

care în forma locală are următoarea expresie:

iBrotrr

µ= (5.72)

Aspectul particular al acestei ultime ecuaţii poate fi dovedit uşor printr-o

confruntare cu ecuaţia de continuitate.

Dacă în relaţia (5.72) aplicăm operatorul divergenţă ambilor membri se obţine:

idivBrotdivrr

µ=)(

dar cum 00)( =⇒= idivBrotdivrr

Acest rezultat este însă în contradicţie cu ecuaţia de continuitate în cazul curenţilor

nestaţionari: t

idiv∂

∂−=

ρr. Această contradicţie a fost rezolvată de catre Maxwell, care a

postulat un termen suplimentar t

D

∂

∂r

, unde Dr

reprezintă inducţia câmpului electric. Astfel,

în cazul curenţilor nestaţionari, în legea Ampère trebuie considerat în locul lui ir

, curentul

165

total dt

Diit

rrr ∂+= , care este constituit din doi curenţi: i

r- curentul de conducţie şi

t

D

∂

∂r

-

curentul de deplasare ( tir

, ir

, dir

sunt de fapt densităţile de curent). Deci, curentul de

deplasare dir

este egal cu viteza de variaţie a inducţiei electrice:

t

Did ∂

∂=

rr

În această situaţie ecuaţia (5.72), care a fost demonstrată în cazul unui câmp

magnetostatic, trebuie completată în cazul curenţilor variabili în timp cu curentul de

deplasare:

)(t

DiBrot

∂

∂+=

rrr

µ (5.73)

care în forma integrală se poate scrie:

∫ =⋅l

ldBrr

dSnt

DdSni

SS

rr

rr⋅

∂

∂+⋅ ∫∫∫∫ µµ (5.74)

sau utilizând relaţia de material HBrr

µ= :

∫ =⋅l

ldHrr

dSnt

DdSni

SS

rr

rr⋅

∂

∂+⋅ ∫∫∫∫

Dacă în relaţia (5.73) aplicăm operatorul divergenţă ambilor membri se obţine:

0=+= dt idividividivrrr

ceea ce înseamnă că liniile curentului total trebuie să fie închise, deci, acolo unde se

termină liniile curentului de conducţie, aceste linii trebuie să se continuie cu liniile

curentului de deplasare. Aşa cum rezultă din (5.73) sau (5.74), curentul de deplasare

creează un câmp magnetic ca şi curentul de conducţie. El este o sursă de câmp magnetic

dBr

care se determină prin legea circuitului magnetic:

166

∫ =⋅l

d ldBrr

dSnt

DdSni

SS

d

rr

rr⋅

∂

∂=⋅ ∫∫∫∫ µµ (5.75)

Rezultă deci că orice câmp electric variabil, indiferent dacă este în vid, într-un mediu

dielectric sau într-un conductor, creează un curent de deplasare şi deci, un câmp magnetic.

Fenomenul de inducere a unui câmp magnetic (variabil) de către un câmp electric

variabil se numeşte inducţie magnetoelectrică.

Pentru câmpurile electrice care variază lent în timp (cvasistaţionare, de frecvenţă

joasă) curenţii de deplasare sunt mici. În cazul proceselor cu variaţie rapidă în timp (de

înaltă frecvenţă), curenţii de deplasare au valori mari şi nu pot fi neglijaţi în comparaţie cu

curenţii de conducţie.

În concluzie, curentul de deplasare există oriunde există un câmp electric variabil

în timp, deci el există şi în interiorul conductorilor parcurşi de curent electric variabil însă

are valori mult mai mici decât curentul de conducţie. Curentul de deplasare creează în

jurul lui un cîmp magnetic la fel ca şi curentul de conducţie. Deosebirea esenţială între

curentul de conducţie şi curentul de deplasare constă în faptul că în timp ce curentul de

conducţie corespunde mişcării unor sarcini electrice, curentul de deplasare în vid se

datoreşte doar variaţiei câmpului electric, ca atare el nu este însoţit de o degajare de

caldură.

5.3.8. Câmpul electromagnetic. Ecuaţiile Maxwell

Curentul de deplasare creează în jurul său un câmp magnetic. Deoarece curentul de

deplasare este generat de variaţia câmpului electric ( 0≠∂

∂

t

Dr

), rezultă că o variaţie în timp

167

a câmpului electric generează un câmp magnetic. Dar, un câmp electric variabil, creează

un curent de deplasare variabil şi în consecinţă un câmp magnetic variabil.

Astfel, spaţiul ocupat de un câmp electric variabil este ocupat în acelaşi timp şi de

un câmp magnetic variabil.

Pe de altă parte, ştim că un câmp magnetic variabil produce un câmp electric.

Practic, avem întotdeauna câmpuri magnetice variabile în care variază nu doar Br

, ci şi

t

B

∂

∂r

, şi în acest caz câmpul electric produs este de asemenea variabil. Deci, spaţiul ocupat

de un câmp magnetic variabil este ocupat simultan şi de un câmp electric variabil.

Ambele câmpuri, electric şi magnetic, sunt deci într-o interconexiune, generându-

se reciproc şi alcătuind câmpul electromagnetic. Starea câmpului electromagnetic este

definită de vectorul intensitatea câmpului electric Er

şi de vectorul inducţia câmpului

magnetic Br

, respectiv, prin intermediul relaţiilor de material, de catre Dr

şi Hr

. Aceste

mărimi sunt legate între ele printr-un sistem complet de ecuaţii liniare cu derivate parţiale

care determină starea câmpului electromagnetic în fiecare punct al câmpului şi care se

numesc ecuaţiile Maxwell. Sistemul ecuaţiilor Maxwell este considerat sistemul de

ecuaţii fundamental al electrodinamicii. Recapitulăm acest sistem de ecuaţii care

înglobează toate fenomenele electromagnetice studiate în capitolele anterioare:

a) Forma integrală a ecuaţiilor Maxwell

∫ =⋅l

ldHrr

dSnt

DdSni

SS

rr

rr⋅

∂

∂+⋅ ∫∫∫∫ - ecuaţia Maxwell-Ampère pentru legea circuitului

magnetic

∫ ∫∫ ⋅∂

∂−=⋅

l S

dSnt

BldE

rr

rr - ecuaţia Maxwell –Faraday pentru legea inducţiei

electromagnetice

168

∫∫∫∫∫ =⋅VS

dVdSnD ρrr

- legea lui Gauss pentru fluxul electric

0=⋅∫∫S

dSnBrr

- legea lui Gauss pentru fluxul magnetic

b) Forma locală a ecuaţiilor Maxwell

t

DiHrot

∂

∂+=

rrr

dt

BErot

rr ∂

−=

ρ=Ddivr

0=Bdivr

Luând aceste ecuaţii drept postulate, cu ajutorul lor pot fi stabilite legile şi relaţiile

întâlnite în diferite domenii ale electricităţii şi magnetismului. Mulţimea fenomenelor

electrice, magnetice şi electromagnetice se supun acestor ecuaţii. De la forma generală a

acestor ecuaţii se poate trece uşor la formele particulare, proprii diferitelor domenii ale

electromagnetismului.

Studiul fenomenelor electromagnetice implică şi cunoaşterea proprietăţilor

mediului, proprietăţi care apar explicit în relaţiile de material impuse de polarizarea

electrică şi magnetică:

HB

EDrr

rr

µ

ε

=

=

la care se adaugă în cazul mediilor conductoare legea lui Ohm: Eirr

σ=

169

5.4. Unde electromagnetice

5.4.1. Ecuaţia undelor electromagnetice

Din teoria câmpului electromagnetic a lui Maxwell decurge proprietatea de

propagare a câmpului electromagnetic sub forma undelor electromagnetice. Dacă un câmp

electromagnetic este creat într-o regiune oarecare, limitată a spaţiului, el se propagă în

restul spaţiului cu o viteză finită. Pentru a demonstra această afirmaţie în modul cel mai

simplu, vom considera cazul particular al unui mediu omogen, izotrop şi fară sarcini

electrice distribuite în volum, adică: ε = constant, µ = constant (mediu omogen şi izotrop),

ρ = 0 (absenţa sarcinilor libere). Considerăm de asemenea că în acel mediu nu există

curenţi de conducţie ( 0=ir

).

Cu aceste condiţii ecuaţiile lui Maxwell devin:

dt

BErot

rr ∂

−=

0=Bdivr

t

DHrot

∂

∂=

rr

sau t

EBrot

∂

∂=

rr

εµ

0=Ddivr

sau 0=Edivr

Aplicând operatorul rotor primei ecuaţii se obţine:

)Brot(t

)t

B(rot)Erot(rot

rr

r

∂

∂−=

∂

∂−=

Substituind Brotr

prin expresia dată de cea de a treia ecuaţie putem scrie:

2

2

t

E)Erot(rot

∂∂

−=

rr

εµ

sau scris cu ajutorul simbolului nabla “∇ ”:

170

2

2

t

EE

∂∂

−=×∇×∇

rr

εµ (5.76)

Aplicând regula de efectuare a produsului dublu vectorial:

EEErrr

2)( ∇−⋅∇∇=×∇×∇

şi folosind a patra ecuaţie Maxwell: 0==⋅∇ EdivErr

, iar EErr

∆=∇ 2 (operatorul lui

Laplace), relaţia (5.76) devine:

0t

EE

2

2

=∂∂

−

rr

εµ∆

sau explicitând operatorul Laplace:

0t

E

z

E

y

E

x

E2

2

2

2

2

2

2

2

=∂∂

−∂∂

+∂∂

+∂∂

rrrr

εµ (5.77)

care reprezintă ecuaţia diferenţială a undelor electromagnetice, în care variabilă în timp

şi spaţiu este intensitatea câmpului electric.

Printr-o demonstraţie asemănătoare, pornind de la treia ecuaţie Maxwell şi folosind

ecuaţiile unu şi doi se poate scrie o ecuaţie diferenţială a undelor electromagnetice de

forma:

0t

B

z

B

y

B

x

B2

2

2

2

2

2

2

2

=∂∂

−∂∂

+∂∂

+∂∂

rrrr

εµ (5.78)

în care variabilă în timp şi spaţiu este inducţia câmpului magnetic

Dacă comparăm relaţiile (5.77) şi (5.78) cu ecuaţia generală a undelor, cunoscută

de la capitolul de oscilaţii şi unde elastice:

0tv

1

zyx 2

2

22

2

2

2

2

2

=∂∂

−∂∂

+∂∂

+∂∂ ΨΨΨΨ

rezultă că viteza de propagare a undelor electromagnetice este dată de relaţia:

vεµ

1=

171

Astfel, din sistemul ecuaţiilor lui Maxwell, rezultă că atât câmpul electric cât şi

câmpul magnetic nu sunt localizate în spaţiu, ci se propagă sub formă de unde cu aceeaşi

viteză εµ

1. Deci, cele doua componente, electrică şi magnetică, se propagă simultan în

spaţiu, coexistă în fiecare punct din spaţiu şi reprezintă unda electromagnetică.

În cazul propagării în vid, obţinem:

v 8

00

1031

⋅===µε

c m/s

care este egală cu valoarea vitezei luminii în vid.

Acest rezultat deosebit de interesant al teoriei electromagnetice a condus la

concluzia că lumina reprezintă o undă electromagnetică.

5.4.2. Proprietăţile undelor electromagnetice

a) Transversalitatea undelor electromagnetice

Ecuaţia undelor electromagnetice admite ca soluţie, şi soluţia ecuaţiei undei plane,

deoarece la distanţă mare de sursă o porţiune dintr-o undă sferică poate fi considerată

practic plană. Deci soluţia ecuaţiei unelor electromagnetice care se propagă pe o singură

direcţie este de tipul soluţiei unei unde plane:

)sin(0 kxtEE −= ωrr

)sin(0 kxtBB −= ωrr

sau sub formă complexă, şi alegând de asemenea axa Ox drept direcţie de propagare:

)(0

kxtieEE

−= ωrr

)(0

kxtieBB

−= ωrr (5.79)

172

unde k este numărul de undă, cu k=ω v, iar 0Er

, 0Br

reprezintă amplitudinea constantă,

independentă de coordonate, a mărimilor vectoriale Er

şi respectiv Br

. Din sistemul

ecuaţiilor lui Maxwell alegem ecuaţiile:

0=⋅∇ Er

( )0=Edivr

0=⋅∇ Br

( )0=Bdivr

(5.80)

Operatorul divergenţă aplicat funcţiilor din (5.79) se reduce la expresia:

∇ = kz

jy

ix

rrr

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂ = - (ik) i

r⋅ (5.81)

unde ir

este versorul direcţiei de propagare Ox, iar i este unitatea imaginară. Considerând o

direcţie de propagare arbitrară de versor nr

, conform (5.81) avem:

nikr

−=∇ (5.82)

şi deci ecuaţiile (5.80) se scriu:

0

0

=⋅−=⋅∇

=⋅−=⋅∇

BnikB

EnikErrr

rrr

din care rezultă că Er

şi Br

sunt perpendiculari pe nr

, deci pe direcţia de propagare a undei.

Am arătat astfel ca undele electromagnetice sunt unde transversale.

b) O altă proprietate importantă a undelor electromagnetice este că Er

şi Br

sunt

perpendiculari între ei şi împreună cu nr

alcătuiesc un triedru drept.

Considerăm ecuaţia:

t

BE

∂

∂−=×∇

rr

(5.83)

şi calculăm derivata în raport cu timpul a lui Br

(din ecuaţia 5.79):

Bikxti

eiBt

B rr

ωωω =−⋅=∂

∂ )(0

173

Se observă că operaţia de derivare în raport cu timpul se reduce la înmulţirea

funcţiei respective cu )( ωi .

Ţinând cont de această menţiune cât şi de (5.82), ecuaţia (5.83) se scrie sub forma:

BiEnikrrr

ω−=×−

dar ştiind că ω = kv, se obţine:

=×Enrr

v Br

(5.84)

din care rezultă pe de o parte că Er

şi Br sunt perpendiculari unul pe celălalt şi pe de altă

parte, că cei trei vectori nr

, Er

şi Br

sunt perpendiculari între ei şi alcătuiesc un triedru

drept.

Întrucât, EEn =×rr

, din (5.84) rezultă:

=B

Ev sau E =

εµ

H , unde B = µ H (5.85)

deci E şi B (respectiv E şi H) se află într-un raport constant, ceea ce înseamnă că cei doi

vectori au aceeaşi fază, variază sincron atingând simultan valorile maxime şi minime.

5.4.3. Energia transportată de undele electromagnetice

Una din proprietăţile importante ale undelor electromagnetice este aceea că unda

electromagnetică transportă energie şi această energie este evident conţinută în câmpurile

electric şi magnetic. Pornind de la relaţiile densităţiilor de energie ale câmpului electric şi

respectiv magnetic, deduse în capitolele anterioare, densitatea de energie totală va fi dată

de suma celor două densităţii de energie:

w µ

ε2

2

2

1

2

1 BE += sau w 22

2

1

2

1HE µε += (5.86)

174

Ţinând cont că pentru undele electromagnetice este valabilă relaţia: E = εµ

H

densitatea energiei totală devine:

w = 222

2

1

2

1HHH µµµ =+

adică, densitatea energiei electrice a undei electromagnetice este egală cu densitatea

energiei magnetice, iar densitatea totală este deci de doua ori mai mare decât densitatea de

energie a fiecăreia din cele două componente ale câmpului electromagnetic:

w = 22 HE µε =

Intensitatea undei electromagnetice adică, energia care trece în unitatea de timp,

prin unitatea de suprafaţă perpendiculară pe direcţia de propagare, este egală cu produsul

dintre viteza undei şi densitatea totală de energie:

I ==dt

dW

S

1vw= 221

EEµε

εεµ

=

fiind deci direct proporţională cu pătratul amplitudinii oscilaţiei vectorului electric. Ţinând

cont de relaţia (5.85), relaţia de mai sus devine:

I = HE ⋅ = PHErrr

=×

Vectorul HEPrrr

×= , numit vectorul Poynting, este egal în modul cu intensitatea

undei electromagnetice şi este orientat în sensul direcţiei de propagare a undei

electromagnetice (are sensul vectorului nr

).

Modulul vectorului Poynting este deci egal cu energia transportată de unda

electromagnetică în unitatea de timp, prin unitatea de suprafaţă perpendiculară pe

direcţia de propagare.

175

Ne propunem în continuare să calculăm variaţia în timp a energiei electromagnetice W care

se află în interiorul unui volum V, mărginit de o suprafaţă S.

Pentru acest lucru vom porni de la relaţia:

∫∫∫=V

wdVW

unde w reprezintă densitatea energiei totale a câmpului electromagnetic.

Derivând această relaţie în raport cu timpul, obţinem:

∫∫∫ ∂∂

=∂

∂

V

dVt

w

t

W (5.87)

Din (5.86) rezultă:

t

HH

t

EE

t

w

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂r

rr

rµε

în care introducând pentru derivatele t

E

∂

∂r

şi t

B

∂

∂r

expresiile corespunzătoare din ecuaţiile

lui Maxwell se obţine:

EEit

w rrr(+⋅−=

∂

∂ HHrot

rr− Erot

r)

sau: )( HEdivEit

w rrrr×−⋅−=

∂

∂ (5.88)

(s-a folosit ecuaţia cunoscută din analiza vectorială: BBAdivrrr

=× )( AArotrr

− Brotr

)

Introducând (5.88) în (5.87) şi aplicând teorema Gauss-Ostrogradski se găseşte:

∫∫∫ ∫∫ ⋅×+⋅=∂

∂−

V S

dSnHEdVEit

W rrrrr)(

sau: ∫∫∫ ∫∫ ⋅+=∂

∂−

V S

dSnPdVEt

W rr2σ (5.89)

Ecuaţia (5.89) exprimă tocmai variaţia în timp a energiei electromagnetice W care se află

în interiorul unui volum V, mărginit de o suprafaţă S.

176

Scăderea energiei electromagnetice din volumul V considerat, este egală cu

energia disipată prin efect termic (efect Joule) plus energia transportată de undele

electromagnetice prin suprafaţa S care mărgineşte volumul V.

5.4.4. Spectrul undelor electromagnetice

Undele electromagnetice acoperă un domeniu foarte larg de frecvenţe sau de

lungimi de undă (104 m ÷ 10-14 m).

Rezumăm aici clasificarea uzuală a spectrului electromagnetic:

1. Unde herţiene (unde radio) ≅λ 104 ÷ 100 m

2. Microunde ≅λ 100 ÷ 10-3 m

3. Infraroşii ≅λ 10-3 ÷ 10-7 m

4. Vizibil ≅λ 8.10-7 ÷ 4.10-7 m

5. Ultraviolet ≅λ 4.10-7 ÷ 10-8 m

6. Raze X şi raze γ ≅λ 10-8 ÷ 10-14 m

Undele herţiene, microunde, infraroşii, vizibile şi ultraviolete iau naştere la

tranziţia electronilor de la periferia atomului între stări energetice vecine. Aceste tipuri de

unde sunt produse fie în instalaţii electronice (circuite oscilante LC, cavităţi rezonante) fie

de către corpurile încălzite. Undele radio se clasifică în: unde lungi (30 km ÷ 750 m), unde

medii (750 ÷ 50 m), unde scurte (50 ÷ 10 m) şi unde ultrascurte (10 m ÷ 30 cm).

Razele X sunt unde electromagnetice penetrante care iau naştere când electronii din

păturile interne, mai apropiate de nucleu, trec în pături mai profunde, eliberând surplusul

de energie obţinut din tranziţie (radiaţia X cu spectru de linii). De asemenea razele X mai

pot lua naştere prin frânarea electronilor puternic acceleraţi pe anticatod, proces în care

177

energia cinetică a electronilor se transferă în fotoni X (radiaţie X cu spectru continuu sau

radiaţie de frânare).

Razele γ sunt unde electromagnetice de origine nucleară. Ele se caracterizează

printr-o energie foarte mare, energie rezultată prin dezexcitarea nucleelor. Razele γ de

provenienţă cosmică, cu energie deosebit de mare, se numesc radiaţii cosmice.

Acest domeniu larg de lungimi de undă al undelor electromagnetice implică

multiple aplicaţii în tehnică şi evident mijloace de producere şi detecţie foarte diferite.

178

Capitolul 6: Optica

6.1. Elemente de fotometrie

Fotometria este partea de optică în care se studiază intensitatea surselor de radiaţii,

precum şi unele mărimi legate de această intensitate. În fotometrie, folosind ochiul

omenesc drept receptor de lumină, se caută să se măsoare efectele luminii şi să se exprime

în mod cantitativ rezultatele acestor măsurători.

O senzaţie luminoasă se poate percepe numai pentru un interval spectral limitat, şi

anume pentru radiaţii din domeniul situat aproximativ între 400 şi 780 nm. Energia radiată

în acest domeniu se numeşte radiaţie vizibilă sau lumină, în sensul obişnuit al cuvântului.

Senzaţia luminoasă depinde, pe de o parte, de valoarea fluxului de energie radiantă

(mărime reprezentând energia emisă de sursa de lumină în unitatea de timp) care cade pe

un element fotosensibil al retinei, pe de altă parte, de lungimea de undă a radiaţiei

recepţionate. Componenţa dupa lungimi de undă a unei radiaţii condiţionează culoarea

acesteia. Ochiul este un receptor care are sensibilitate diferită pentru diferite lungimi de

undă din domeniul vizibil.

Pentru a caracteriza cantitativ dependenţa sensibilităţii ochiului de lungimea de

undă se introduce mărimea denumită sensibilitate spectrală relativă Vλλλλ.

Dacă se iluminează o suprafaţă perfect difuzantă cu lumină verde cu λ= 555 nm,

sursa de lumină având fluxul de energie radiantă constant ( v

eφ ), şi se iluminează o

suprafaţă vecină, cu aceleaşi caracteristici ca şi prima, cu o lumină de altă culoare,

constatăm că, pentru ca ochiului cele două suprafeţe să pară la fel de luminoase este nevoie

ca fluxul de energie radiantă al acestei surse ( λφe ) sa crească mult peste cel al sursei de

179

lumină verde. Acest lucru arată ca ochiul este mult mai sensibil pentru lumina verde şi

devine din ce în ce mai puţin sensibil pentru lumina cu lungimi de undă aflate spre capătul

spectrului vizibil, adică spre albastru şi roşu.

Prin definiţie sensibilitatea spectrală relativă Vλλλλ este:

Vλλλλ = λφφ

e

v

e

Pentru un ochi normal dependenţa sensibilităţii spectrale relative de lungimea de

undă este dată în figura 6.1

Din curba plină, care se referă la regimul de vedere diurnă, se observă că

sensibilitatea spectrală relativă Vλλλλ are valoarea 1 pentru lumina de 550 nm şi scade la

zero pentru extremităţile spectrului vizibil. Curba punctată se referă la regimul de vedere

nocturnă şi, se vede cum ea se deplasează evident spre violet faţă de cea din lumina diurnă.

Vλλλλ

λλλλ

1,o 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1

(nm) 400 450 500 550 600 650 700 750

fig. 6.1

180

6.1.1. Mărimi şi unităţi fotometrice

Pentru caracterizarea numerică a rezultatelor măsurătorilor fotometrice în

fotometrie se foloseşte un sistem propriu de mărimi fizice şi de unităţi de masură, care este

un sistem biofizic (fiziologic), legat de sistemul de mărimi energetice prin intermediul

sensibilităţii spectrale relative a ochiului uman.

1. Fluxul luminos φ

Dacă fluxul energetic radiant al sursei de lumină este monocromatic, cu lungimea

de undă λ , atunci se defineşte fluxul luminos monocromatic corespunzător:

λλλ φφ eKV=

unde K este echivalentul fotometric al radiaţiei, mărime care în cazul vederii diurne are

valoarea 683 lm/W.

Dacă fluxul energetic radiant al sursei de lumina este complex, adică este suma

unor fluxuri radiante monocromatice, atunci fluxul luminos corespunzător este:

λλφφ eVK∑=

Dacă, la descompunerea spectrală, fluxul radiant are un spectru continuu între două

lungimi de undă 1λ şi 2λ , atunci fluxul luminos va fi dat de relaţia:

12

)(2

1

λλ

λλφ

φ

λ

λλ

−=

∫ dV

K

e

Unitatea de măsură a fluxului luminos este lumenul (lm).

2. Intesitatea luminoasă I

181

Intensitatea luminoasă a unei surse punctiforme de lumină într-o direcţie dată, se

defineşte ca fiind egală cu raportul dintre fluxul luminos emis în unghiul solid elementar

din jurul acelei direcţii şi valoarea acelui unghi solid:

Ω

=d

dI

φ

Unitatea de măsură a intensitaţii luminoase este candela (cd). Ea este o unitate

fundamentală a sistemului internaţional de unităţi de măsură.

3. Luminanţa L

Luminanţa unei surse de lumină într-un punct al său şi într-o direcţie dată, care

formează cu normala la suprafaţă în acel punct unghiul θ este:

Ω

=ddS

dL

θφ

cos

2

unde φd este fluxul luminos emis în unghiul solid Ωd , dS este aria elementului de

suprafaţă a sursei ( θcosdS este aria aparentă, egală cu proiecţia elementului de suprafaţă

dS pe planul normal pe direcţia de observare).

Există şi o altă relaţie de definţie echivalentă, des utilizată în fotometrie:

θcosdS

dIL =

unde dI este intensitatea luminoasă a sursei de lumină în punctul dat şi în direcţia

considerată.

Unitatea de măsură pentru luminanţă este cd/m2 sau, cu denumirea anterioară, nit (nt).

În general luminanţa unei surse depinde de direcţia de observaţie. Sursele de lumină a

căror luminanţă nu depinde de direcţia de observaţie se numesc surse perfect difuzante.

4. Iluminarea E

Iluminarea unei suprafeţe, într-un punct dat, este raportul dintre fluxul luminos

primit de o suprafaţă elementară din jurul acelui punct şi aria suprafeţei:

182

dS

dE

φ=

sau ţinând cont de definiţia intensităţii luminoase I:

ir

IE cos

2=

unde r este distanţa de la sursa de lumină până la punctul în care calculăm iluminarea, iar i

este unghiul de incidenţă al luminii pe suprafaţă.

Unitatea de măsură pentru iluminare este luxul (lx).

5. Emitanţă (exitanţă) luminoasă M

Emitanţa luminoasă a unei surse întinse, într-un punct al sau, este raportul dintre

fluxul luminos emis de către un element de suprafaţă din jurul acelui punct şi aria acelui

element de suprafaţă:

dS

dM

φ=

Unitatea de măsură a emitanţei este lm/m2.

În cazul corpurilor perfect difuzante între emitanţa si luminanţa sursei de lumină

există relaţia:

M = π L

6. Eficacitatea luminoasă η

Eficacitatea luminoasă a unei surse este raporul dintre fluxul lumins emis de o

sursă şi puterea consumată de aceasta:

P

φη = (unitatea de măsură este lm/W)

Lămpile cu incandescenţă au eficacitatea luminoasă cuprinsă între 7 şi 18 lm/W

pentru puteri cuprinse între 25 şi 1000 W, în timp ce lămpile cu descărcari în gaze ajung la

eficacităţi de circa 50 lm/W. Mărimile forometrice se măsoară cu aparte optice numite

183

fotometre. Fotometrul Lummer –Brodhun este unul din cele mai utilizate fotometre. De

asemenea se fac frecvent masurători fotometrice şi cu sfera intergratoare Ulbricht.

6.2. Optica geometrică

6.2.1. Legile fundamentale ale opticii geometrice

Aşa cum este cunoscut din electromagnetism, propagarea luminii constă în

propagarea unei unde electromagnetice cu lungimea de undă cuprinsă între 400 şi 780 nm.

Asupra unor receptori (ochi, emulsie fotografică, etc.) lumina acţionează prin intermediul

câmpului electric al undei electromagnetice. Totuşi multe dintre fenomenele optice pot fi

înţelese şi numeroase instrumente optice pot fi concepute fară a fi nevoie să se ţină seama

de natura electromagnetică a luminii.

La baza opticii geometrice stă conceptul de rază de lumină - înţeleasă ca un

fascicul de lumină cât se poate de îngust. Optica geometrică s-a constituit pe baza unor

observaţii calitative referitoare la razele de lumină şi a unor relaţii cantitative referitoare la

parcursul razelor de lumină.

Aceste observaţii şi relaţii le vom denumi legile fundamentale ale opticii geometrice.

1. Legea propagării rectilinii a luminii: Într-un mediu omogen şi izotrop lumina se

propagă în linie dreaptă.

2. Legea independenţei mersului razelor de lumină: Dacă mai multe raze de lumină se

întâlnesc în acelaşi punct ele nu se influenţeză reciproc, parcursul şi intensitatea lor

ramânând neschimbate.

3. Legea reversibilităţii mersului razelor de lumină: Mersul unei raze de lumină este

independent de sensul de propagare.

184

4. Legile reflexiei: daca o rază de lumină ajunge la suprafaţa de separare a două medii

transparente diferite, o parte din lumină se întoarce din mediul din care a venit, adică se

reflectă, iar altă parte se refractă, adică pătrunde în al doilea mediu schimbându-şi direcţia

de propagare.

Legile reflexiei stabilite experimental încă din antichitate sunt:

1. Raza incidentă, raza reflectată şi normala în punctul de incidenţă sunt în acelaşi

plan, numit plan de incidenţă.

2. Unghiurile de incidenţă i si de reflexie r sunt egale ca mărime, razele incidentă şi

reflectată fiind situate de cele două parţi ale normalei în punctul de incidentă.

5. Legile refracţei sunt:

1. Raza incidentă, raza refractată si normala în punctul de incidenţă sunt în acelaşi

plan, numit plan de incidenţă.

2. Legea a doua a refracţiei conduce la stabilirea direcţiei razei refractate şi se

exprimă prin relaţia:

n1sin i = n2 sin r

unde n1 şi n2 sunt indicii de refracţie absoluţi (sau simplu spus, indici de refracţie) ai

mediilor 1 şi 2 prin care trece lumina; i este unghiul de incidenţă şi r unghiul de refracţie.

Atât i cât şi r se măsoară faţă de normala care trece prin punctul de incidenţă.

Legea a doua a refracţiei a fost stabilită abia în secolul XVII-lea de Snellius (1626),

relaţia respectivă fiind publicată ulterior de către Descartes (1637) şi de aceea ea este

cunoscută si sub numele de relaţia Snellius – Descartes.

Legile reflexiei cât şi legile refracţiei, stabilite iniţial experimental, pot fi uşor

deduse cu ajutorul principiului lui Fermat:

“Drumul real parcurs de lumină între două puncte fixate este acela pentru care timpul de

propagare a luminii între aceste puncte este minim „

185

Se poate considera o rază de lumină care se reflectă sau se refractă, se calculează

distanţa dintre cel două puncte din considerente geometrice, iar cu ajutorul principiului lui

Fermat se pune condiţia ca între cele două puncte prin care trece lumina timpul de

propagare să fie minim, adică derivata distanţei dintre cele două puncte la timp sa fie nulă.

În urma acestor calcule vom obţine tocmai legile reflexiei şi refracţiei.

6.2.2. Reflexia totală a luminii. Fibre optice

Reflexia totală a luminii se poate produce la limita de separare a două medii cu

indici de refracţie diferiţi, atunci când indicile de refracţie al celui de-al doilea mediu este

mai mic decât al primului. În aceste condiţii raza refractată se departează de normală,

existând un unghi de inchidenţă pentru care unghiul de refracţie devine 90o. Numim acest

unghi, unghi limită (l). Unghiul limită se calculează cu relaţia:

sin l = n2 /n1

La incidenţa luminii peste unghiul limită, întreg fasciculul de lumină suferă doar reflexie,

acest fenomen fiind denumit reflexie totală.

Fibrele optice reprezintă o importantă aplicaţie, bazată pe fenomenul reflexiei

totale a luminii. Dacă lumina pătrunde într-o bară dintr-un mediu transparent cu indicele

de refracţie mai mare decât al mediului înconjurător, ea poate suferi o serie de reflexii

totale astfel încât fasciculul de lumină urmăreşte curburile barei fară ca lumina să poată

ieşi din ea. Un conductor de lumină poate fi constituit dintr-un mănunchi de fibre optice

subţiri. Fiecare fibră constă dintr-un miez mai refringent şi un înveliş exterior mai puţin

refringent. Acest lucru se realizează prin introducerea unei bare subţiri de sticlă într-un tub

de sticlă mai puţin refringent. Prin încălzire sticlele se înmoaie şi diametrul barei acoperite

poate fi redus la câţiva micrometri. Un mănunchi de astfel de fibre sudate între ele prin-o

nouă înmuiere la cald poate conduce la realizarea unui conductor de lumină subţire,

186

flexibil şi totuşi suficient de rezistent. Un astfel de conductor poate dirija lumina pe un

traseu curbat, cu foarte mici pierderi de intensitate a luminii. Progresele recente au dus la

obţinerea de fibre optice suficient de pure şi omogene care au permis realizarea de cabluri

optice folosite pentru comunicaţii de date la mare distanţă, chiar intercontinentale. De

asemenea fibrele optice au devenit indispensabile în anumite tehnici medicale.

6.2.3. Aproximaţia gaussiană

Optica geometrică s-a dezvoltat în principal pe baza cecetărilor având drept scop

realizarea de instrumente optice din ce în ce mai perfecţionate, capabile sa furnizeze

imaginile unor obiecte la care să se poată distinge cât mai multe detalii. Evident s-a

urmărit obţinerea de imagini cât mai clare şi mai asemănatoare obiectelor observate.

Întrucât imaginea unui obiect reprezintă juxtapunerea imaginilor porţiunilor infinit

de mici care alcătuiesc obiectul, claritatea acesteia ar putea fi perfectă dacă imaginea unui

punct al obiectului ar fi de asemenea punctiformă. Un sistem optic care satisface această

condiţie se numeşte stigmatic, iar punctul obiect şi punctul imagine se numesc puncte

conjugate.

Cele mai simple sisteme optice sunt oglinda (o suparafaţă reflectatoare) şi dioptrul

(suprafaţa de separare dintre două medii cu indici de refracţie diferiţi).

Deşi aceste sisteme optice sunt simple, nici prin aceste sisteme imaginea unui punct

nu este total stigmatică decat în anumite condiţii. Orice abatere de la stigmatism o numim

“aberaţie”. Aceste aberaţii sunt de doua tipuri: geometrice si cromatice. Cele geometrice

constituie abateri de la stigmatism în lumină monocromatică, ele se datorează formei şi

lărgimii fascicului de lumină, pe când cele cromanice apar datorită dependenţei indicelui

de refracţie de lungimea de undă a luminii.

187

În anumite condiţii un sistem optic real poate forma o imagine aproximativ

stigmatică. Cel mai important caz de stigmatism aproximativ, sau apropiat, apare în cazul

formării imaginii cu raze de lumină foarte apropiate de axa optică, paraxiale. Aceasta

aproximaţie este numită aproximaţia paraxială sau aproximatia gaussiană.

În paragrafele următoare vom preciza în ce condiţii se poate obţine un stigmatism

aproximativ acceptabil în cazul dioptrilor sferici cât şi în cazul oglinzilor sferice.

6.2.4. Dioptrul sferic. Dioptrul plan

Suprafaţa sferică este suprafaţa cea mai uşor de confecţionat cu suficientă precizie

pentru a se realiza piesele optice, numite lentile, din care se confecţionează sistemele

optice. Două medii cu indicii de refracţie diferiţi, separaţi printr-o suprafaţă sferică,

formează sistemul optic cel mai simplu. Acest sistem optic poartă numele de dioptru

sferic. El se caracterizează prin: raza dioptrului R – raza suprafeţei sferice; centrul

dioptrului C – centrul suprafeţei sferice; vârful dioptrului V- este centrul calotei sferice a

dioptrului; axa principală a dioptrului CV – axa care uneşte vârful cu centrul dioptrului;

indicii de refracţie n1 şi n2 ai celor două medii omogene şi izotrope care mărginesc

dioptrul. Orice dreaptă care trece prin centrul dioptrului se numeşte axă optică secundară.

Sistemele optice sunt formate în cazul general din mai mulţi dioptri sferici.

Când raza dioptrului tinde la ∞ , dioptrul sferic devine un dioptru plan.

La un dioptru sferic vom distinge un spaţiu obiect, care reprezintă spaţiul în care se

găseşte obiectul, cât şi spaţiul imgine, care reprezintă spaţiul în care se formează imaginea.

Distanţa de la obiect până la vârful dioptrului o numim distanţă obiect şi o notăm cu p1, iar

pe cea de la imagine până la vârful dioptrului o numim distanţă imagine şi o notăm cu p2.

În figura 6.2 este prezentat mersul razelor de lumină prin-un dioptru sferic:

188

Ne propunem să găsim poziţia imaginii unui obiect punctiform P1 situat pe axul

optic. Considerăm raza de lumină P1I, izvorâtă din P1, care atinge dioptrul sub unghiul de

incidenţă i şi se refractă sub unghiul de refracţie r. Raza refractată intersectează axul optic

principal în punctul P2. Raza incidentă în V trece nedeviată, pentru această rază unghiurile

de incidenţă şi de refracţie sunt zero. În P2 se intersectează deci două raze izvorâte din P1.

Adoptăm următoarele notaţii:

p1 = VP1, p2 = VP2, R = VC

considerând că p1, p2 şi R reprezintă segmente dirijate cu originea în vârful dioptrului.

Adoptând un sens pozitiv în lungul axului dioptrului, mărimile p1, p2 şi R pot avea valori

pozitive sau negative, după cum sunt orientate în sensul ales drept pozitiv sau în sens opus.

Un segment de dreaptă se consideră pozitiv daca el este orientat, fată de vârful dioptrului,

în sensul de mers al luminii prin dioptru. În cazul ales (figura 6.2) lumina se propagă de la

stânga spre dreapta, înseamnă că: p1<0, p2>0, R>0.

Punctul P2 se poate consideră drept imagine a punctului luminos P1 doar în

condiţiile în care dioptrul sferic poate fi considerat un sistem optic aproximativ stigmatic.

În condiţii de stigmatism considerăm fasciculul de lumină care pleacă din P1 ca

fiind un fascicul îngust, paraxial (aproximaţia lui Gauss), deci punctul de incidenţă I se

găseşte aproape de vârful dioptrului. În aceste condiţii se pot face aproximaţiile:

P1I ≅ P1V= - p1 şi P2I ≅ P2V = p2

Aplicând teorema sinusului în triunghiurile P1IC şi P2IC obţinem:

V P1 P2 C

I

fig. 6.2

189

απ sin)sin(

11 IP

i

CP=

−

)sin(sin22

απ −=

IP

r

CP

Ţinând cont de aproximaţia lui Gauss şi de convenţia de semne, relaţiile de mai sus devin:

αsin

sin

1

1 i

p

Rp=

−

+−

αsin

sin

2

2 r

p

Rp=

−

Împarţind relaţiile de mai sus membru cu membru şi ţinând cont de legea refracţiei, după

efectuarea calculelor se obţine:

R

nn

p

n

p

n 12

1

1

2

2 −=− (6.1)

numită relaţia punctelor conjugate sau formula fundamentală a dioptrului sferic.

Conform acestei relaţii toate razele din P1 se vor intersecta după refracţie în P2, deci

putem spune că în aproximaţia opticii geometrice (aproximaţia lui Gauss) dioprul sferic

este un sistem optic stigmatic. Pentru un astfel de sistem stigmatic, constatăm că în

aproximaţia gaussiană, unui obiect plan, perpendicular pe axul optic îi corespunde o

imagine tot plană şi perpendiculară pe axul optic şi asemănătoare cu obiectul (ortoscopică).

Mărirea transversală a obiectului se defineşte ca fiind egală cu raportul dintre

mărimea imaginii şi mărimea obiectului, măsurate perpendicular pe axul optic:

1

2

y

y=β

Ţinând cont de aproximaţia opticii geometrice se poate arăta uşor că mărirea

transversală a unui dioptru sferic este dată de relaţia:

12

21

pn

pn=β (6.2)

Pentru orice dioptru sferic se pot defini focarele sale.

190

Se numeşte focar imagine F2 punctul de pe axul optic în care s-ar forma imaginea unui

obiect aşezat tot pe acest ax dar foarte îndepărtat de dioptrul sferic, practic la infinit.

Distanţa focală imagine f2 este distanţa VF2.

Analog, focarul obiect F1 este punctul de pe axul optic, în care dacă am aşeza un obiect

imaginea sa se formează practic la infinit, iar VF1, reprezintă distanţa focală obiect f1.

Conform acestor definiţii din (6.1) se obţin formulele pentru distanţele focale f1 şi

f2:

⇒−

=−R

nn

f

n 12

1

1 12

11

nn

Rnf

−−= (6.3)

⇒−

=R

nn

f

n 12

2

2 12

22

nn

Rnf

−=

Se poate arată uşor că între cele două distanţe focale există relaţia:

12

2

1

1 =+p

f

p

f

Relaţiile (6.1), (6.2), (6.3), reprezintă relaţiile dioptrului sferic.

Dioptrul sferic poate fi considerat un sistem optic stigmatic.

Pentru a obţine relaţiile dioptrului plan este suficient ca în relaţiile dioptrului sferic

(6.1), (6.2), (6.3), să introducem condiţia ca ∞→R .

Deci pentru dioptrul plan relaţiile devin:

1

1

2

2

p

n

p

n= (6.4)

1=β (6.5)

Dioptrul plan nu are focare (acestea sunt practic la infinit). Într-un dioptru plan se

formează deci o imagine dreaptă, virtuală şi egală în mărime cu obiectul, a cărei poziţie se

poate obţine din (6.4).

191

6.2.5. Oglinda sferică. Oglinda plană

Prin oglindă se înţelege o suprafaţă de formă geometrică regulată cu proprietăţi

reflectatoare puternice. În marea majoritate a cazurilor această suprafaţă este realizată prin

depunerea unui strat metalic subţire, de argint, de mercur sau de aluminiu, pe o suprafaţă

de sticlă bine şlefuită şi lustruită. După forma suprafeţei, oglinzile se împart în plane şi

curbe. Oglinzile curbe pot fi sferice, parabolice sau cilindrice. După cum suprafaţa

reflectatoare este interioară sau exterioară, oglinzile curbe se numesc concave, respectiv

convexe. O oglindă sferică este o porţiune dintr-o suprafaţă sferică reflectatoare.

Oglinzile sferice sunt de două feluri:

- oglinzi concave, la care suprafaţa reflectatoare este partea interioară a sferei

- oglinzi convexe, la care suprafaţa reflectatoare este partea exterioară a sferei

La oglinzile sferice întâlnim următoarele elemente geometrice: centrul de curbură

C, vârful oglinzii V, axul optic principal, axe secundare - elemente geometrice definite

similar cu cele pe care le-am definit la dioptrul sferic.

Relaţiile care dau poziţia şi mărimea imaginii formate de o oglindă sferică se pot

obţine din relaţiile dioptrului sferic, punând condiţia:

n2 = - n1

Din relaţiile (6.1), (6.2), (6.3), folosind condiţia de mai sus obţinem relaţiile oglinzilor

sferice:

Rpp

211

12

=+ (6.6)

1

2

p

p−=β (6.7)

Dacă ∞→1p , p2 = f2 = R/2, iar dacă ∞→2p , p1 = f1 = R/2

192

Pentru oglinda sferică cele două focare coincid, focarul comun F fiind situat pe

axul optic, la mijlocul distanţei dintre vârful V şi centrul C al oglinzii. Deci în cazul

oglinilor sferice se vorbeşte de o singură distanţă focală f :

f = R/2. (6.8)

Tinând seama de aceasta, relaţia (6.6) se transformă în relaţia mai frecvent folosită:

fpp

111

12

=+ (6.9)

Formarea imaginilor în oglinzile sferice se bazează pe fenomenul de reflexie a

luminii pe oglindă. Pentru a construi imaginea unui obiect plan, aştezat perpendicular pe

axul optic, se folosesc următoarele raze particulare de lumină:

- raza de lumină care pleacă dintr-un punct al obiectului şi trece prin centrul C al oglinzii,

se reflectă pe aceeaşi direcţie dar în sens contrar.

- raza de lumină care pleacă dintr-un punct al obiectului şi se propagă spre oglindă paralel

cu axul optic, se reflectă pe oglindă astfel încât se întoarce prin focarul oglinzii F.

- raza de lumină care pleacă dintr-un punct al obiectului şi se propagă spre oglindă trecând

prin focarul F al oglinzii, se reflectă pe oglindă astfel încât se întoarce paralel cu axul optic

principal.

Cu ajutorul celor trei raze de lumină particulare se poate construi foarte uşor imaginea

unui obiect atât în oglinzile concave cât şi în cele convexe. Se poate remarca că imaginea

unui obiect într-o oglindă concavă poate fi reală, dar şi virtuală, mărită, dar şi micşorată,

dreaptă, dar şi răsturnată – toate aceste situaţii depinzând de poziţia pe care o are obiectul

faţă de oglindă, în schimb, pentru o oglindă convexă, dacă obiectul este real, imaginea este

întotdeauna virtuală, micşorată şi dreaptă, indiferent de poziţia obiectului faţă de oglindă.

Oglinda plană poate fi considerată o oglindă sferică pentru care raza poate fi

considerată infinit de mare. Relaţiile (6.6), (6.7), (6.8), conduc la:

193

P2 = - p1

1=β

Oglinda plană formează o imagine simetrică cu obiectul faţă de oglindă (imagine

virtulală, dacă obiectul este real şi invers). Imaginea este evident dreaptă şi egală în

mărime cu obiectul.

Trebuie de asemenea remarcat că oglinda plană este un sistem optic riguros

stigmatic, întrucât poziţia imaginii unui punct nu depinde de unghiul de incidenţă al

razelor care pornesc din punctul obiect.

6.2.6. Lentila subţire

Lentila este un sistem optic sub forma unui mediu transparent, limitat de doi dioptri

sferici sau un dioptru sferic şi unul plan.

Dacă ambii dioptri sunt sferici, axele lor optice coincid (dioptri centraţi),

constituind axul optic al lentilei. Pentru stabilirea relaţiilor privind poziţia şi mărimea

imaginii formate de o lentilă ţinem seama că imaginea formată de primul dioptru pe care

cade lumina devine obiect pentru cel de-al doilea dioptru, imaginea dată de acesta din

urmă constituind imaginea formată de lentilă. Dacă distanţa dintre vârfurile celor doi

dioptri care constituie lentila este mică, putem aproxima această distanţă cu un punct,

numit centrul optic al lentilei O. Lentilele pentru care se poate face această aproximaţie

poartă numele de lentile subţiri. Tot ce vom spune în continuare despre lentile se va referi

doar la lentilele subţiri.

Formulele lentilelor subţiri se pot obţine din formulele dioptrului sferic, aplicate de

două ori pentru cei doi dioptri ai lentilei. Dupa efectuarea calculelor şi aproximarea

distanţei V1V2 dintre vârfurile dioptrilor cu zero se obţin formulele lentilelor subţiri:

194

fpp

111

12

=− (6.10)

unde: )

11)(1(

1

211

2

RRn

nf

−−= (6.11)

În relaţia de mai sus, n2 reprezintă indicele de refracţie al mediului lentilei şi n1 indicele de

refracţie al mediului exterior, iar R1 şi R2 sunt razele celor doi dioptri ai lentilei.

Mărirea transversală se obţine ca fiind un produs al măririlor în cei doi dioptri care

mărginesc lentila:

1

221

p

p== βββ (6.12)

La lentile se obişnuieste să se vorbească de o singură distanţă focală f (dată de

formula 6.11), dar de fapt lentila are două focare aşezate simetric faţă de lentila, F1 –

focarul obiect şi F2 – focarul imagine.

Inversul distanţei focale a unui sistem optic se numeşte convergenţa acestuia.

Unitatea de masură a convergenţei este dioptria (m-1):

f

C1

=

Din punct de vedere geometric lentilele pot avea formele schiţate în figura 6.3.

Formelor numerotate cu 1, 2, 4 şi 5 le corespund denumirile de lentile biconvexă,

plan convexă, biconcavă şi plan concavă. Lentila de forma 3 se numeşte menisc

convergent, iar cea de forma 6 se numeşte menisc divergent.

1 2 3 Lentile convergente

fig. 6.3

4 5 6 Lentile divergente

195

Lentilele de formele 1, 2 şi 3 sunt mai groase în dreptul axului optic decât la

margine, iar lentilele, 4, 5 şi 6 sunt mai groase la margine.

Lentilele de formele 1, 2, şi 3 se numesc lentile convergente.

Lentilele convergente au distanţa focală pozitivă, iar focarele lor sunt reale şi aşezate

simetric faţă de centrul optic al lentilei, cu F1 aflat de aceeaşi parte a lentilei ca şi obiectul,

iar F2 în partea opusă.

Lentilele de formele 4, 5, şi 6 se numesc lentile divergente.

Lentilele divergente au distanţa focala negativă, iar focarele lor sunt virtuale şi aşezate

simetric faţă de centrul optic al lentilei, cu F2 aflat de aceeaşi parte a lentilei ca şi obiectul,

iar F1 în partea opusă.

Întrucât dupa străbaterea lentilei razele dintr-un fascicul paralel cu axul optic au

direcţii care se intersectează în F2, o lentilă convergentă va transforma un fascicul paralel

într-un fascicul convergent, iar o lentilă divergentă îl va transforma într-un fascicul

divergent, de unde şi denumirile celor două feluri de lentile.

Formarea imaginilor în lentilele subţiri se bazează pe fenomenul de refracţie al

luminii pe cei doi dioptri ai lentilei. Pentru a construi imaginea unui obiect plan, aşezat

perpendicular pe axul optic, se folosesc următoarele raze particulare de lumină.

a) pentru lentila convergentă

- raza de lumină care trece prin centrul optic al lentilei trece nedeviată.

- raza de lumină care pleacă dintr-un punct al obiectului şi se propagă spre lentilă paralel

cu axul optic, se refractă prin focarul imagine F2 al lentilei.

- raza de lumină care pleacă dintr-un punct al obiectului şi se propagă spre lentilă trecând

prin focarul obiect F1 al lentilei, se refractă astfel încât trece de lentilă paralel cu axul optic

principal.

b) pentru lentila divergentă

196

- raza de lumină care trece prin centrul optic al lentilei trece nedeviată.

- raza de lumină care pleacă dintr-un punct al obiectului şi se propagă spre lentilă paralel

cu axul optic, se refractă astfel încât prelungirea ei sa treacă prin focarul imagine F2 al

lentilei.

- raza de lumină care pleacă dintr-un punct al obiectului şi se propagă spre lentilă pe

direcţia focarului obiect F1 al lentilei, se refractă astfel încât trece de lentilă paralel cu axul

optic principal.

Cu ajutorul celor trei raze de lumină particulare se poate construi foarte uşor

imaginea unui obiect atât în lentilele convergente cât şi în cele divergente. Se poate

remarca că imaginea unui obiect într-o lentilă convergentă poate fi reală, dar şi virtuală,

mărită, dar şi micşorată, dreaptă, dar şi răsturnată – toate aceste situaţii depinzând de

poziţia pe care o are obiectul faţă de lentilă, în schimb, pentru o lentilă divergentă, dacă

obiectul este real, imaginea este întotdeauna virtuală, micşorată şi dreaptă, indiferent de

poziţia obiectului faţă de lentilă. În figura (6.4) exemplificăm modul de construcţie a

imaginilor într-o lentilă, în cazul unei lentile convergente, cu obiectul aşezat mai departe

de lentilă decât dublul distanţei sale focale:

În acest caz imaginea obiectului prin lentila convergentă este o imagine reală, micşorată şi

răsturnată.

De obicei un sistem optic este constituit din mai multe lentile, iar un caz special pentru

un sistem optic cu mai multe lentile îl constituie cazul în care aceste lentile sunt centrate şi

O F2

fig. 6.4

F1

L

197

aflate în contact - sistem de lentile alipite. Pentru un astfel de sistem, convergenţa

sistemului este egală cu suma algebrică a convergentelor componentelor sistemului:

∑=i

iCC

6.2.7. Prisma optică

Prisma optică este un mediu transparent, delimitat de doi dioptri plani, a căror

intersecţie reprezintă muchia prismei. Un plan perpendicular pe muchia prismei constituie

o secţiune principală prin prismă (figura 6.5). Cea de-a treia latură a prismei geometrice

poate fi chiar neşlefuită şi nepolişată, putând fi chiar diferită de un plan.

Unghiul diedru A este numit unghi refringent al prismei. Practic, în toate aplicaţiile

indicele de refracţie n al materialului din care este făcută prisma este mai mare decât al

mediului înconjurător, de obicei aerul. Mersul unei raze de lumină monocromatice prin

prismă este arătat în figura (6. 5), unde i şi i’ reprezintă unghiurile de incidenţă şi respectiv

de emergenţă, iarδ reprezintă unghiul de deviaţie prin prismă al razei de lumină incidente.

Raza incidentă se refractă prima dată într-un punct I de pe faţa AB sub unghiul de

incidenţă i dupa care intră în prismă. La ieşirea din prismă suferă o noua refracţie în

punctul 'I de pe faţa AC, după care părăseşte prisma cu unghiul de emergenţă 'i . Notăm

cu r şi 'r unghiurile formate de raza de lumină din interiorul prismei cu normalele prin

cele două puncte de incidenţă. Prin străbaterea prismei, raza de lumină este deviată cu

A

B

fig. 6.5

C

198

unghiul δ faţă de de direcţia iniţială. Din considerente geometrice (fig. 6.5) unghiul de

deviaţie este:

'' riri −+−=δ

dar: 'rrA +=

deci deviaţia prin prismă este:

Aii −+= 'δ (6.13)

Dacă se roteşte prisma în jurul unui ax perpendicular pe secţiunea principală,

trecând prin primul punct de incidenţă, astfel încât unghiul de incidenţă să ia valori

succesive între 2/π şi zero, urmărindu-se în acelaşi timp şi variaţia unghiului de deviaţie

δ , se constată că acesta scade până la o valoare minimă mδ , după care începe să crească,

remarcându-se că deviaţia are valoare minimă când raza de lumină străbate prisma după o

direcţie perpendiculară pe bisectoarea unghiului refringent A.

În aceste condiţii 'ii = şi 2/Ar = şi deci:

Aim −= 2δ

Din legea refracţiei sin i = n sin r , de unde:

2sin

2sin

A

A

n

mδ+

= (6.14)

Conform relaţiei (6.14) se poate determina valoarea indicelui de refracţie al materialului

din care este realizată prisma măsurând cu un goniometru, unghiul de deviaţie minimă mδ

şi cunoscând valoarea unghiului refringent A al prismei.

Condiţia 'ii = la deviaţie minimă se poate stabili şi pe cale teoretică, derivând în

raport cu i mărimile care intervin în relaţiile prismei:

Aii −+= 'δ

rni sinsin =

199

'sin'sin rni =

Arr =+ '

Se obţine:

di

di

di

d '1+=

δ ;

di

drrni coscos =

di

drrn

di

dii

''cos

''cos = ; 0

'=+

di

dr

di

dr

la minim de deviaţie:

0=di

dδ

de unde:

1'

−=di

di

iar relaţiile precedente devin:

di

dr

di

dr '−= ,

di

drrni 'cos'cos −=− ,

di

drrni coscos =

Din împarţirea membru cu membru a ultimelor două relaţii se obţine:

r

r

i

i

cos

'cos

cos

'cos=

sau, după înlocuiri trigonometrice, ridicare la pătrat şi folosirea legii refracţiei:

)'sin

1)(sin1()sin

1)('sin1(2

22

2

22

n

ii

n

ii −−=−−

de unde:

in

ii

n

i 22

22

2

2

sin'sin

'sinsin

−−=−−

sau: )1

1('sin)1

1(sin2

22

2

ni

ni −=−

200

Întrucât amblele unghiuri, i şi 'i au valori cuprinse între o şi 2/π rezultă că la deviaţie

minimă:

'ii =

În cazul unei prisme de unghi refingent mic şi dacă unghiul de incidenţă este de

asemenea mic, sinusurile unghiurilor pot fi aproximate cu valorile unghiurilor respective,

putându-se scrie nri = şi '' nri = . În acest caz:

AnArrn )1()'( −=−+=δ

Deci, pentru prisme de unghi refringent mic şi la incidenţă practic normală, unghiul de

deviaţie prin prismă devine independent de valoarea unghiului de inchidenţă.

Dacă unghiul 'r este mai mare decât unghiul limită l la interfaţa prismă - mediul

înconjurator, raza de lumină se reflectă total pe faţa AC.

Deci, pentru ca o rază de lumină pătrunsă în prismă să mai poată ieşi din ea

(condiţia de emergenţă) trebuie ca:

'r < l sau 'sin r < n

l1

sin =

n fiind indicele de refracţie relativ al materialului prismei în raport cu al mediului

înconjurator. Întrucât 'rrA += , valoarea maximă a unghiului refringent al prismei A

pentru care lumina mai poate străbate prisma la deviaţie minimă, fară a se produce reflexie

totală pe faţa AC este:

lA 2max =

situaţie în care lumina pătrunde razant pe faţa AB şi iese razant pe faţa AC.

În anumite instrumente optice este necesară devierea luminii cu un anumit unghi,

(frecvent de 900 sau 1800) ceea ce se poate realiza prin refelxie totală în interiorul prismei.

Aceste prisme se numesc prisme cu refelxie totală (figura 6.6).

201

Până acum am considerat că raza incidentă este o rază de lumină monocromatică.

Dacă în schimb raza de lumină este o rază de lumină albă, la intrarea în prismă se produce

fenomenul de dispersie al luminii (dependenţa indicelui de refracţie al materialului prismei

de lungimea de undă a luminii care trece prin ea), care conduce la apariţia prin prismă şi la

ieşirea din aceasta, a unei succesiuni de raze de lumină colorate, de direcţii diferite, ceea ce

arată întradevăr că indicele de refracţie al materialului prismei depinde de lungimea de

undă a luminii. Figura (6.7) ilustrează dispersia în domeniul vizibil a luminii care străbate

o prismă, indicându-se mersul razelor pentru o lungime de undă mare (roşu R) şi mică

(violet V).

Pe fenomenul de dispersie a luminii se bazează importanta utilizare a prismei

optice în spectroscopie. Spectroscopia experimentală se ocupă cu studiul spectrelor

obţinute în diferite condiţii. Un spectru este în esenţă o succesiune de dungi luminoase

adiacente, numite linii spectrale, fiecare dintre acestea corespunzând unei radiaţii

monocromatice. Liniile spectrale prezente în spectru evidenţiază prezenţa în lumina

analizată spectral a respectivei lungimi de undă. În componenţa unui aparat spectral trebuie

să intre un dispozitiv care descompune lumina în radiaţiile monocromatice componente.

fig. 6.6

R

V fig. 6.7

202

Prisma optică realizează această descompunere prin fenomenul de dispersie a luminii.

Unul dintre cele mai simple aparate spectrale cu prisma este spectroscopul.

6.2.8. Aberaţiile sistemelor optice

Până acum s-a tratat formarea imaginilor cu ajutorul sistemelor optice în limita

aproximaţiei gaussiene (fascicule paraxiale) şi atribuind fiecărui mediu transparent o

anumită valoare a indicelui de refracţie. În aceste condiţii am stabilit că imaginea unui

obiect plan, perpendicular pe axul optic al sistemului este practic stigmatică - fiecărui

punct al obiectului îi corespunde o imagine punctuală, este plană şi situată de asemenea

perpendicular pe axul optic, şi este ortoscopică, adică asemenea obiectului, nedeformată.

Relaţiile stabilite în aproximaţia gaussiană sunt esenţiale pentru precizarea poziţiei

şi obţinerea mărimii imaginii formate cu ajutorul unui sistem optic, dar, în cazul

instrumentelor optice, la formarea imaginii contribuie şi razele neparaxiale şi, ca urmare,

imaginile se abat mai mult sau mai puţin de la stigmatism, planeitate şi ortoscopie. Aceste

abateri pot fi apreciate trasând mersul razelor de lumină, în conformitate cu legile refracţiei

şi reflexiei şi sunt denumite aberaţii geometrice.

În plus, aşa cum s-a arătat în paragraful precedent, indicele de refracţie al unui

mediu depinde de lungimea de undă a radiaţiei monocromatice considerate, ceea ce

conduce la nesuprapunerea imaginilor corespunzătoare diferitelor culori. Apare astfel

aberaţia cromatică.

Cunoaşterea aberaţiilor unui sistem optic prezintă interes pentru a vedea dacă sistemul

optic poate fi folosit sau nu în anumite aplicaţii.

203

Aberaţii geometrice:

1. Aberaţia de sfericitate. Aceasta apare în cazul formării imaginii cu un fascicul de

lumină larg şi simetric faţă de axul optic. Corectarea aberaţiei de sfericitate a unui

instrument optic se poate realiza: 1. reducând prin diafragmare lărgimea fasciculului de

lumină (ceea ce duce totuşi la o scădere a luminozităţii instrumentului); 2. prin constituirea

unui sistem centrat de lentile convergente şi divergente; 3. prin alegerea cât mai

avantajoasă a formei şi orientării fiecărei lentile.

2. Coma. Apare în cazul fasciculelor largi, puţin înclinate faţă de axul optic. Ea apare

datorită faptului că puterea de refracţie a sistemului optic este diferită pentru diferite

regiuni de incidenţă şi unghiuri de incidentă, ceea ce face ca razele de lumină să nu

conveargă în acelaşi punct imagine. În planul care secţionează fasciculul se obţin figuri

caracteristice de forma unei comete sau chiar mai complicate. Prin întrebuinţarea unei

diafragme se constată ca pentru o anumită poziţie a acesteia faţă de sistemul optic,

fasciculul de raze emergente prezintă o simetrie în mersul razelor ducând la micşorarea

aberaţiei de comă.

3. Aberaţia de astigmatism. Această aberaţie geometrică se manifestă atunci când imaginea

unui obiect punctiform este formată de către un fascicul îngust de lumină, mult înclinat

faţă de axul optic al sistemului. În aceste condiţii fasciculul emergent nu se mai

concentrează într-un punct ci formează două mici segmente de dreaptă. Aberaţia de

astigmatism este strâns legată şi de cea de curbură a câmpului. Astigmatismul unui sistem

optic se corectează prin alegerea potrivită a elementelor constructive: curburi, suprafeţe,

distanţe, indici de refracţie, etc.

4. Distorsiunea. Ea reprezintă abaterea de la condiţia de ortoscopie. Dacă mărirea

sistemului optic nu are aceeaşi valoare pentru toate regiunile obiectului plan, imaginea

acestuia este deformată, apărând aberaţia de distorsiune.

204

Distorsiunea poate persista şi după corectarea în măsură corespunzătoare a următoarelor

grupuri de aberaţii: de sfericitate împreună cu coma, sau de astigmatism împreună cu

curbura câmpului. În general, claritatea imaginii afectate doar de distorsiune nu este

influenţată de lărgimea sau de înclinarea faţă de axul optic a fasciculelor de lumină care

contribuie la formarea imaginii. Forma distorsionată a imaginii este condiţionată de

prezenţa în sistemul optic a unor diafragme şi care sunt uzual introduse pentru micşorarea

altor aberaţii. Prin faptul că distorsiunile sunt contrare pentru diafragma plasată după sau

înaintea sistemului optic, această aberaţie poate fi eliminată alcătuind un sistem optic din

două jumătaţi simetrice şi plasând diafragma (necesară din alte considerente) la mijlocul

distanţei dintre cele două jumătăţi ale sistemului.

Aberaţia cromatică

Această aberaţie se produce datorită fenomenului de dispersie a luminii care străbate

sistemul optic şi are drept consecinţă formarea unor imagini cu contururi irizate în diferite

culori. Întrucât mărirea imaginii produse de o lentilă depinde de distanţa focală a acesteia,

mărimile imaginilor vor fi diferite pentru diverse culori. Ştim că pentru o lentilă formula

distanţei focale este dată de relaţia:

)

11)(1

)((

1

211

2

RRn

nf

−−=

λ

unde )(2 λn , care este indicele de refracţie al materialului din care este confecţionată

lentila, depinde de lungimea de undă a luminii care o străbate. Datorită acestui fapt în

cazul unei lentile convergente focarul razelor violete se formează mai aproape de lentilă

decât focarul razelor roşii, iar în cazul unei lentile divergente poziţia focarelor

corespunzătoare razelor violete şi roşii este inversă. Acest lucru este folosit la eliminarea

aberaţiei cromatice prin asocierea unor lentile convergente cu unele divergente şi

205

realizarea unor sisteme, numite sisteme acromate. O asemenea asociere se obţine dacă pe o

lentilă biconvexă din sticlă de crown (pe bază de calciu) se lipeşte o lentilă divergentă din

sticlă de flint (pe bază de plumb). Această asociere compensează aberaţiile celor două

lentile astfel încât sistemul are un focar acromat.

6.2.9. Aparate optice

Intrumentele optice sunt combinaţii de oglinzi, lentile, prisme, formând un

ansamblu unitar, destinate observării şi măsurării unor mărimi optice. Ele se clasifică în

două categorii: aparate cu imagini reale (obiective) şi aparate cu imaginii virtuale

(oculare).

Aparatele optice obiective dau imagini reale şi funcţionează înregistrând imaginea

obiectelor pe un receptor fizic (placă sau film fotografic). Dintre aceste tipuri de aparate

amintim: aparatul fotografic, aparatul de proiecţie, retroproiectorul, epidiascopul, etc.

Imaginea reală furnizată de aparatul optic poate fi prinsă pe un ecran, o emulsie fotografică

sau un strat fotosensibil. Un astfel de strat este şi retina ochiului, de aceea, fară sa fie pe

deplin justificat, şi ochiul omenesc poate sa fie considerat un aparat optic care formează

imagini reale.

Aparatele optice ocupare dau imagini virtuale, funcţionează o dată cu ochiul şi

imaginea acestora se formează în ochiul observatorului, pe retină. Astfel de aparate sunt:

lupa, luneta, microscopul, telescopul, etc.

6.2.9.1. Caracteristicile aparatelor optice

Instrumentele sau aparatele optice sunt caracterizate prin anumite mărimi care

permit sa se facă comparaţia dintre două aparate de acelaşi tip şi să se poată alege care

206

dintre ele îndeplineşte anumite cerinţe. Principalele mărimi caracteristice ale aparatelor

optice sunt:

1. Mărirea liniară. Ea se defineşte ca fiind raportul dintre o anumită dimensiune liniară a

imaginii ( 2y ) şi dimensiunea corespunzătoare a obiectului ( 2y ). Deoarece numai imaginile

reale pot să aibă dimensiuni liniare măsurabile direct, rezultă că mărirea liniară se

defineşte doar pentru aparatele optice obiective:

1

2

y

yM =

2. Puterea

1

2

y

tgP

α=

unde 2α reprezintă unghiul sub care se vede prin instrument obiectul liniar de mărime 1y .

3. Grosismentul

1

2

αα

tg

tgG =

unde 2α reprezintă unghiul sub care se vede prin instrument obiectul, iar 1α unghiul cu

care se vede cu ochiul liber acelaşi obiect, situat la distanţa optimă de vedere δ .

Pentru ochiul uman normal se consideră cm25=δ , deci între putere şi grosisment

se poate stabili relaţia:

4

PPG == δ

4. Puterea separatoare. Reprezintă proprietatea pe care o are un aparat optic de a vedea

distinct prin el două puncte apropiate ale obiectului. În cazul microscopului, puterea

separatoare este cea mai mică distanţă dintre două puncte ale obiectului pentru ca ele să se

vadă distinct prin aparat – putere separatoare liniară. Dacă punctele sunt prea apropiate

ele se suprapun. În cazul lunetei puterea separatoare este determinată de unghiul minim

207

dintre două raze care vin de la două puncte luminoase (de exemplu de la două stele) pentru

ca ele sa dea imagini separate - în acest caz putem vorbi de putere separatoare unghiulară.

5. Câmpul unui aparat. Este regiunea din spaţiu pe care o poate explora aparatul. Se poate

vorbi astfel de un câmp de lărgime cu dimensiunile perpendiculare pe axul optic al

aparatului cât şi de un câmp de adâncime, cu dimensiunile pe direcţia axului optic.

6. Claritatea. Reprezintă raportul fluxurilor luminoase trimise ochiului de suprafeţe egale

din obiect şi din imagine. La aparatele cu putere mică pentru îmbunătăţirea clarităţii se

caută să se mărească fluxul luminos care pătrunde în aparat.

6.2.9.2. Aparate optice cu imagini reale

1. Ochiul poate fi socotit foarte bine un sistem optic, deoarece el formează imagini reale pe

retină, dar ochiul este un sistem optic complicat, iar pentru a putea compara sistemul optic

al ochiului cu sistemele optice obişnuite se introduce un model simplificat al ochiului,

sistem numit ochiul redus. Acesta se consideră a fi un dioptru sferic, având raza de curbură

şi indicele de refracţie potriviţi asfel încât să formeze imaginea în dreptul retinei ochiului.

Ochiul redus are lungimea de 22 mm, raza 5,7 mm, indicele de refracţie 1,33, raza de

curbură a retinei 9,7 mm, frontifocalele anterior şi posterior 17, 1 mm şi 22, 8 mm, puterea

58,64 dioptrii.

Imaginea reală de pe retină este formată de către cristalin, acesta fiind alcătuit din

straturi suprapuse, flexibile. Sub acţiunea muşchilor ciliari suprafeţele limitatoare ale

cristalinului se pot bomba, conferind sistemului convergenţa necesară pentru formarea

imaginii pe retină. Operaţia respectivă se numeşte acomodarea ochiului. Ochiul normal

poate vedea clar obiecte situate între infinit şi 15 cm. Neacomodat, deci relaxat, ochiul se

găseşte în starea de convergenţă minimă, care, la ochiul normal, corespunde formării pe

208

retină a imaginii obiectelor de la infinit. Pentru observarea obiectelor de la 15 cm

acomodarea este puternică, devenind obositoare dacă este menţinută un timp îndelungat.

De aceea se consideră drept distanţă minimă de vedere acea distanţă pe care ochiul o poate

menţine, fară efort, un timp îndelungat. Pentru ochiul normal se adoptă drept distanţă

minimă de vedere distinctă δ =25, cm.

Punctul cel mai îndepărtat vizibil (M )se numeşte punctum remotum, iar punctul cel

mai apropiat vizibil fară oboseală (m), punctum proximum. Pentru ochiul normal M se află

la infinit faţă de ochi iar m se află la δ faţă de ochi.

Dacă, fară acomodare, imaginea unui obiect de la infinit se formează înaintea

retinei, ochiul este miop, distanţa cristalin - retină fiind mai mare decât cea

corespunzătoare ochiului normal, iar dacă, tot fără acomodare, imaginea unui obiect de la

infinit s-ar forma în spatele retinei, ochiul este hipermetrop, distanţa cristalin - retină fiind

mai mică decât la ochiul normal. Miopul vede clar, fară acomodare, obiectele situate la o

distanţă mai mică decât infinit şi, cu acomodare, obiecte situate la o distanţă mai mică

decât δ . Pentru miop punctele M şi m sunt mai apropiate de ochi decât pentru o persoană

cu ochi normal. Hipermetropul vede, cu acomodare, obiecte situate între infinit şi o

distanţă mai mare decât δ , punctum proximum al hipermetropului fiind mai îndepărtat de

ochi decât pentru o persoană cu ochi normal.

Ambele defecte pot fi corectate cu ochelari sub formă de lentile divergente, în

cazul miopiei, şi convergente, în cazul hipermetropiei. Lentilele pentru ochelari se fac sub

formă de menisc divergent, respectiv convergent, suprafaţa convexă fiind îndreptată spre

obiect, iar cea concavă spre ochi.

Cu vârsta, capacitatea de acomodare scade, cristalinul nu se mai poate bomba

suficient pentru formarea pe retină a imaginii obiectelor situate la distanţa de 0, 25 m.

209

Îndepărtarea punctului proxim se corectează pentru presbit cu ochelari convergenţi, ca şi

pentru ochiul hipermetrop.

Ochiul are o putere de separaţie unghiulară de aproximativ un minut, ca urmare,

două stele, apropiate unghiular, mai apar separate la observarea cu ochiul liber, dacă

unghiul format de fasciculele paralele provenite de la acestea este de cel puţin un minut.

2. Aparatul de fotografiat. Partea principală a aparatului de fotografiat o constituie

obiectivul, care poate fi de la o simplă lentilă până la un sistem foarte complicat, cu

distanţe focale diferite şi care dau posibilitatea ca aparatele fotografice să posede

caracteristici foarte diferite cu privire la mărire, puterea de separare, câmp şi luminozitate.

Formarea imaginii este aceeaşi ca la oricare lentilă convergentă. Imaginea reală se

formează pe placa sensibilă fotografică pe care o impresionează şi în urma unui tratament

– de revelare şi fixare - se formează o imagine, „negativul”, după care într-un proces

invers de impresionare a altui strat fotosensibil se obţine „pozitivul”, o imagine

asemănătoare obiectului.

Pentru micşorarea aberaţiilor se întrebuinţează o diafragmă. Obiectivele simple au

o diafragmă montată în faţa obiectivului, o lentilă convergentă cu concavitatea spre

exterior pentru a micşora astigmatismul şi curbura câmpului, nu însă şi distorsiunea.

Pentru acromatizare se utilizează dublete acromate. Prin întrebuinţarea a două lentile

simple sau acromate montate simetric faţă de diafragmă practic sunt înlăturate coma,

distorsiunea şi aberaţia cromatică. Mărirea tipurilor de lentile, ca şi montarea diafragmei

simetric sau nesimetric în interiorul sistemului optic, au dus la o mulţime de tipuri de

obiective, deci la o mulţime de tipuri de aparate de fotografiat.

Obiectivul fotografic fiind destinat înregistrării fotografice a imaginii, prezintă

unele caracteristici legate de faptul că înnegrirea emulsiei fotografice depinde de cantitatea

de energie radiantă recepţionată în timpul expunerii. Ca urmare, timpul convenabil de

210

expunere va depinde de luminozitatea aparatului fotografic, în estenţă a obiectivului

acestuia.

Cu cât obiectul de fotografiat este mai îndepărtat, cu atât imaginea sa este mai

mică. Pe o imagine de mici dimensiuni unele detalii se pierd din cauza dimensiunilor

finite ale microcristalelor fotosensibile, o ulterioară mărire a fotografiei ne mai putând

îmbunătăţi rezoluţia imaginii. Pentru o distanţă obiect – obiectiv fotografic dată,

dimensiunea imaginii se poate mări prin creşterea distanţei focale a obiectivului. Aceasta

impune însă lungirea, neconvenabiă, a aparatului fotografic. O soluţie de realizare a unui

obiectiv cu distanţă focală suficient de mare, menţinându-se lungimea aparatului în valori

convenabile, este adoptată în cazul teleobiectivului. El se compune dintr-un sistem

convergent şi unul divergent. Prin introducerea lentilei divergente, distanţa focală a

teleobiectivului, distanţă de care depinde mărirea imaginii, este mult mai mare decât

lungimea aparatului.

Fotoreporterii au nevoie să treacă rapid de la înregistrări de prim plan la

fotografierea unor ansambluri, deci să modifice fără dificultate mărirea imaginii, fără a

schimba poziţia filmului. Aceasta impune schimbarea rapidă a distanţei focale a

obiectivului. În acest scop se folosesc în prezent obiective fotografice numite zoom

(obiective transfocatoare). Un astfel de obiectiv transfocator este alcatuit din trei lentile,

dintre care cele marginale au poziţii fixe în interiorul obiectivului, iar cea centrală se poate

deplasa între acestea în lungul axului optic comun. Prin această deplasare se schimbă

distanţa focală a obiectivului şi deci mărirea imaginii. Cuplarea deplasării lentilei centrale

cu deplasarea întregului obiectiv faţă de film permite ca filmul să rămână în planul focal al

obiectivului, oricare ar fi distanţa focală momentană a acestuia.

3. Aparatul de proiecţie. Aparatele de proiecţie servesc la proiectarea pe un ecran a

imaginii unei figuri, a unui clişeu prin transparenţă - dispozitiv numit diascop, sau a unui

211

text de pe o carte, plan, fotografie - dispozitiv numit episcop. Sunt aparate care întrunesc

în ele cele două funcţii şi se numesc epidiascoape. La orice aparat de proiecţie se disting

două părţi principale: condensorul de lumină şi obiectivul. Condensorul are ca scop

iluminarea uniformă a filmului. El este în general constituit din două lentile plan convexe,

iar clişeul se aşează alături de faţa posterioară a condensorului pentru a fi cât mai uniform

luminat. Obiectivul se aşează în conul luminos al condensorului pentru a utiliza toate

razele.

4. Retroproiectorul, este un aparat de proiecţie care serveşte la proiectarea pe un ecran a

ceea ce este scris sau desenat pe o folie transparentă. Deosebirile faţă de aparatul de

proiecţie constau în aceea că în cazul retroproiectorului obiectivul are dimensiuni mult mai

mari (circa 25cm x20 cm) şi că el este aşezat orizontal.

6.2.9.3. Aparate optice cu imagini virtuale

1. Lupa este cel mai simplu instrument ocular (cu imagini virtuale) şi este de obicei o

lentilă simplă convergentă cu distanţă focală mică. Imaginea virtuală formată de lupă

trebuie să se formeze la o distanţă mai mare decât distanţa optimă de vedere δ , de preferat

la infinit, distanţă pentru care ochiul nu are nevoie de acomodare. Puterea lupei este data

de inversul distanţei sale focale f:

fP

1=

Lupa prezintă aberaţii care se pot observa mai ales de la distanţe focale f mai mici

de 30 mm. Pentru aceasta s-au confecţionat lupe formate din mai multe lentile, alipite sau

depărtate.

2. Microscopul. Acest aparat serveşte la observarea obiectelor foarte mici care nu pot fi

distinse cu ochiul liber. Este un aparat optic ocular compus din două parţi: obiectivul,

212

îndreptat spre obiect şi ocularul, în apropierea căruia se află ochiul observatorului. Ambele

părţi ale microscopului sunt sisteme optice mai mult sau mai puţin complexe.

Obiectivul primeşte fascicule largi de la puncte situate în imediata apropiere a

axului optic al instrumentului. Imaginea dată de obiectiv trebuie sa fie corectată în special

pentru aberaţia de sfericitate, coma şi aberaţia cromatică. Se construiesc obiective uscate

şi obiective cu imersie, după cum staţiul dintre lentila frontală a obiectivului şi lama cu

preparatul de observat este plin cu aer sau cu un lichid de imersie.

Ocularul vizează un câmp larg, primind de la fiecare punct al obiectivului câte un

fascicul îngust, dar care poate fi mult înclinat faţă de axul optic. Ca urmare, ocularul

trebuie să fie corijat mai ales pentru astigmatism, curbura câmpului, distorsiune şi aberaţia

cromatică. Obiectivul microscopului formează o imagine reală şi mărită a obiectului, care

devine obiect pentru ocular; imaginea dată de ocular, care are rolul de lupă, fiind virtuală.

Distanţa focală a obiectivului microscopului este de câţiva milimetri, iar cea a ocularului

de câţiva centimetri. Puterea microscopului este dată de relaţia:

21

ff

eP =

unde f1 şi f2 sunt distanţele focale ale obiectivului, respectiv ocularului, iar e – interstiţiul,

distanţa dintre focarul imagine al obiectivului şi focarul obiect al ocularului.

Preparatul microscopic este iluminat puternic de un condensor format fie dintr-o oglindă

concavă, fie de un sistem de lentile convergente cu distanţă focală scurtă.

3. Luneta. Telescopul. Lunetele şi telescoapele sunt instrumente care au ca scop mărirea

diametrului aparent sub care apar imaginile obiectelor îndepartate. Dacă obiectivul este de

regulă o oglindă, aparatul se numeşte telescop; în cazul unui obiectiv format din lentile,

aparatul se numeşte lunetă. În ambele cazuri privim imaginea reală formată de obiectiv cu

ajutorul unui ocular.

213

Lunetele sunt de dpuă tipuri: lunete terestre care formează o imagine dreaptă a

obiectelor terestre îndepărtate şi lunete astronomice, alcătuite dintr-un obiectiv convergent

cu distanţă focală mare, de ordinul metrului, şi care formează o imagine răsturnată a

obiectelor cereşti.

Principala aberaţie prezentată de obiectivul unei lunete este aberaţia cromtică.

Pentru evitarea acestei aberaţii s-au construit telescoape cu oglindă parabolică în care, prin

faptul că avem doar reflexie, nu apare aberaţia cromatică. În plus, în cazul fasciculului

paralel cu axa optică, oglinda parabolică strânge razele în focarul ei, fără a prezenta

abereţia de sfericitate. Oglinzile realizate pot avea diametre mari, s-a ajuns până la 6 m,

care atrage după sine şi o micşorare a efectelor de difracţie, deci o putere separatoare mai

mare decât în cazul lunetelor.

Diferitele tipuri de telescoape funcţionează după acelaşi principiu: imaginea

obiectului care este situat la infinit (foarte îndepartat), se formează în focarul oglinzii. Se

interpune în mersul razelor fie o oglindă plană – telescopul lui Newton, fie o oglindă

hiperbolică – telescopul Cassegrain şi care produce o deviere laterală a fasciculului sau

întoarecerea fasciculului spre oglinda telescopului, astfel că imaginea sa poată fi observată

cu ajutorul unui ocular. Grosimentul telescopului este dat, ca şi la lunetă, de raportul

distanţelor focale ale obiectivului şi ocularului:

ocular

obiectiv

f

fG =

214

6.3. Optica ondulatorie

6.3.1. Interferenţa luminii

Prin interferenţă se înţelege efectul suprapunerii a două sau mai multe unde de

frecvenţe egale şi coerente. În prezentul capitol sunt tratate fenomenele care apar la

suprapunera unor unde luminoase, unde care în cadrul opticii ondulatorii sunt tratate ca

fiind unde de natură electromagnetică. Astfel conform teoriei electromagnetice lumina este

o undă electomagnetică transversală având două componente care se propagă corelat,

câmpul electric şi câmpul magnetic. Aceste două componente sunt perpendiculare între

ele, sunt corelate ca mărime şi sunt orientate perpendicular pe direcţia de propagare a

undei. Totuşi, din cele două componente ale câmpului electromagnetic doar componenta

electrică este sesizată de către ochi, celulă fotografică sau emulsie fotografică şi, deci,

vectorul câmp electric Er

al undei trebuie considerat drept vector luminos, oscilaţiile

luminoase reprezentând variaţiile periodice ale acestui vector. Conform teoriei

electromagnetice toate undele de natură electromagnetică, deci şi lumina, se propagă în vid

cu viteza de circa 3.108 m/s.

În cele ce urmează vom înţelege prin intensitatea luminii energia luminoasă care

trece în unitatea de timp prin suprafaţa perpendiculară pe direcţia de propagare a luminii.

Intensitatea luminii este proporţională cu amplitudinea vectorului luminos, deci cu pătratul

valorii maxime a intensităţii câmpului electric al undei în locul respectiv.

Efectul interferenţei undelor poate fi înţeles ca un efect al suprapunerii undelor pe

baza principiului superpoziţiei formulat de către Young în 1802 cu referire la suprapunerea

undelor de natură elastică. Conform acestui principiu, deplasarea unui punct al mediului, în

zona în care se suprapun cele două unde, este suma vectorială a deplasărilor produse de

215

fiecare undă în parte. Deci efectul suprapunerii mai multor unde se obţine însumând

vectorii deplasare corespunzători tuturor undelor care interferă în locul respectiv.

Principiul superpoziţiei poate fi aplicat imediat la interferenţa undelor luminoase,

înlocuindu-se vectorii deplasare cu vectorii câmp electric ai undei în locul unde are loc

interferenţa. În cazul interferenţei optice, în regiunea de interferenţă a undelor luminoase,

în anumite condiţii pe care le vom preciza în continuare, apar aşa numitele franje de

interferenţă, care reprezintă o distribuţie locală de maxime şi minime de intensitate a

luminii. Întrucât intensitatea luminii este proporţională cu pătratul amplitudinii oscilaţiei

(pătratul valorii maxime a vectorului luminos), franjele de interferenţă pun în evidenţă

tocmai variaţia în spaţiu a intensităţii luminoase. Pentru explicarea fenomenului de

interferenţă este necesar să se calculeze valoarea amplitudinii rezultante, în funcţie de

mărimile care caracterizează oscilaţiile componente, şi deci să se înţeleagă fenomenul de

compunere a oscilaţiilor paralele şi de frecvenţă egale.

Aşa cum este cunoscut, componenta electrică a câmpului electromagnetic care se

propagă în spaţiu pe o direcţie oarecare Ox, poate fi scrisă de forma:

)sin(),( 0 kxtEtxE −= ωrr

unde T

ππνω

22 == , ν este frecvenţa iar T este perioada undei. Mărimea

λπ2

=k se

numeşte număr de undă, λ reprezentănd lungimea de undă, iar kxt −ω , numindu-se faza

undei. O astfel de undă care se propagă pe o singură direcţie, poarta numele de undă plană.

În optică, în afara de undele plane, se operează şi cu unde sferice care se pot descrie cu

expresia:

)sin(),,,( 0 krtr

EtzyxE −= ω

rr

În acest caz suprafaţa de undă este sferică.

216

La o undă oarecare atât amplitudinea undei cât şi faza pot depinde de timp.

Să considerăm pentru simplificare două unde plane 1Er

şi 2Er

de frecvenţe egale, ale

căror direcţii de vibraţie sunt paralele şi care se suprapun într-o anumită regiune din spaţiu:

)sin(),( 1011 kxtEtxE −= ωrr

)sin(),( 2022 kxtEtxE −= ωrr

Unda rezultantă se poate scrie:

21 EEErrr

+=

şi este de forma:

)sin(),( 0 kxtEtxE −= ωrr

Cunoaştem de la compunerea oscilaţiilor paralele şi de frecvenţe egale că amplitudinea

undei rezultante este dată de relaţia:

ϕ∆++= cos2 0201202

201

20 EEEEE (6.15)

unde ϕ∆ reprezintă diferenţa de fază dintre cele două unde.

Din relaţia de mai sus rezultă că amplitudinea undei rezultante nu depinde doar de

amplitudinile 01E şi 02E ale undelor care se suprapun, ci şi de diferenţa de fază, a fazelor

celor două unde.

Ochiul sau oricare alt receptor optic nu poate urmări o variaţie rapidă ca cea a

amplitudinii undei luminoase rezultante. Frecvenţa medie a undelor din domeniul optic

este de ordinul 1015 Hz, pe care detectorii optici nu o pot înregistra, ci o pot doar media.

Intensitatea luminii este proporţionlă cu amplitudinea medie a undei la pătrat:

≈I < 20E >

deci relaţia (6.15) poate fi scrisă:

2121 2 IIIII ++= < ϕ∆cos > (6.16)

217

unde termenul 212 II < ϕ∆cos > reprezintă termenul de interferenţă.

Dacă acest termen este nul nu apare fenomenul de interferenţă şi în acest caz 21 III += ,

deci avem o simplă suprapunere a celor două unde luminoase, intensitatea luminii având

aceeaşi valoare în întrega zonă în care cele două unde luminoase se suprapun.

Dacă acest termen este nenul, apare ceea ce numim fenomenul de interferenţă şi în acest

caz 21 III +≠ , în regiunea de interferenţă a undelor luminoase, intensitatea luminii nu mai

este aceeaşi, ea se modifică de la punct la punct şi apar aşa numitele franje de interferenţă,

care reprezintă o distribuţie locală de maxime şi minime de intensitate a luminii.

Pentru ca intensitatea undei rezultante să fie constantă în fiecare punct al zonei de

interferenţă termenul < ϕ∆cos > trebuie să rămână constant în timp. Numim această

condiţie, condiţia de coerenţă. Deci două unde sunt coerente dacă:

< ϕ∆cos > = ϕ∆cos = constant.

6.3.1.1. Noţiuni despre condiţia de coerenţă

Dacă în cazul undelor elastice este uşor sa se obţină maxime şi minime de

interferenţă, realizându-se uşor conditia de diferenţă de fază constantă în timp, în cazul

undelor luminoase acest lucru prezintă dificultăţi.

Lumina este generată în interiorul unui microsistem (atom, ion, moleculă) care emite

continuu doar un interval foarte scurt, de ordinal 10-8 s. Se va genera astfel un tren de undă

de lungime finită, care se propagă în spaţiu. Numim lungimea trenului de undă, lungime de

coerenţă. Următoarea emisie din atom apare după un oarecare interval de timp, faza

iniţială a acestei oscilaţii electromagnetice neavând nici o legătură cu cea a emisiei

precedente. De asemenea, nu există nici o corelaţie între direcţiile vectorilor luminoşi

218

corespunzători diferitelor emisii, vectorul luminos putând avea orice orientare în planul

perpendicular pe direcţia de propagare a luminii.

Să ne închipuim că dispunem de două surse punctiforme de lumină, care emit

radiaţii monocromatice cu aceleaşi lungime de undă. Într-un punct din spaţiu, unde se

întâlnesc undele luminoase emise de cele două surse, vectorii luminoşi vor forma între ei

un unghi care va lua toate valorile posibile, în timpul observaţiei, nefiind îndeplinită

condiţia de paralelism a oscilaţiilor. Dar chiar dacă orientarea paralelă a vectorilor ar fi

impusă, folosindu-se lumină liniar polarizată, interferenţa tot nu ar fi observabilă din cauza

diferenţei de fază a oscilaţiilor componente, care poate lua de asemenea, statistic, toate

valorile posibile, intensitatea undei luminoase rezultante devenind – în tot spaţiul de

suprapunere a undelor – suma intensităţilor componente.

Deci cu două surse de lumină diferite nu se poate obţine o figură de interferenţă pentru că

sursele sunt incoerente.

Pentru a se realize condiţia de coerenţă facem ca cele două fascicule de lumină care

se suprapun să provină de la aceeaşi sursa de lumină, ceea ce e posibil prin folosirea

undelor difractate (aşa cum se procedează la dispozitivul Young) sau împărţind fasciculul

iniţial în două porţiuni - metoda divizării de amplitudine, care apoi pot fi aduse la

suprapunere (de ex. prin reflexie sau refracţie), ca în unele dispozitive de interferenţă

(oglinzi Fresnel, oglinda Lloyd, prisma Fresnel, bilentila Billet).

În cele două fascicule care interferă, raze provenite de la acelaşi punct al sursei ar

transporta trenuri de unde obţinute prin separarea în două a aceloraşi trenuri de unde

transportate de raza de lumină în lungul direcţiei de propagare, înainte de despicarea în

două a fasciculului. Evident, trenurile de undă succesive transportă oscilaţii necorelate

între ele din punct de vedere al fazei şi a orientării vectorului luminos. Dar trenurile de

unde din fasciculele care interferă şi care provin din dedublarea aceluiaşi tren de unde

219

reflectă aceleaşi schimbări care au avut în atomul emiţător. În locul de întâlnire al acestora

sunt îndeplinite condiţiile de producere a interferenţei. Deci în fasciculele care se

suprapun, deşi emisiile din diferite puncte ale sursei de lumină transportă oscilaţii

incoerente, din fiecare punct al sursei de lumină există două raze care transportă oscilaţii

coerente, astfel încât condiţia de coerenţă este îndeplinită pentru tot fasciculul, cu condiţia

întâlnirii în punctul de interferenţă a câte două trenuri de unde provenind din acelaşi tren

de unde iniţial. Îndeplinirea acestei condiţii depinde, pe de o parte, de lungimea trenurilor

de unde (lungimea de coerenţă), pe de altă parte, de diferenţa între distanţele străbătute de

razele de lumină de la separarea lor până în punctul unde se produce o nouă intersecţie.

Lungimea de coerenţă depinde de natura atomului emiţător, de linia spectrală aleasă şi de

condiţiile de excitare în sursa de lumină. Cu cât linia spectrală este mai fină, mai aproape

de monocromatism riguros, cu atât trenul de unde este mai lung şi deci, cu atât poate fi mai

mare distanţa dintre drumurile strabătute de razele de lumină care interferă, de la separarea

până la reîntâlnirea lor, fără ca interferenţa să dispară. Cu alte cuvinte, pentru ca

fenomenul de interferenţă să aibă loc, diferenţa de drum optic dintre undele care interferă

trebuie să fie mai mică decât lungimea de coerenţă.

Din tot ce am discutat pâna în prezent reiese că, pentru ca fenomentul de

interferenţă să se producă, trebuie ca undele luminoase să se suprapună în spaţiu, planele

lor de oscilaţie să fie paralele, trebuie să fie coerente, iar diferenţa de drum optic dintre

undele luminoase să fie mai mică decât lungimea de coerenţă.

220

6.3.1.2. Dispozitive de interferenţă

Dispozitivul Young

La acest dispozitiv obţinerea celor două unde coerente se face prin divizarea

frontului de undă. Acest dispozitiv are o importanţă istorică, deoarece cu ajutorul său s-a

realizat în 1801 prima experienţă de interferenţă a luminii, interpretată în cadrul teoriei

ondulatorii a luminii. Dispozitivul Young, extrem de simplu, este schiţat în figura 6.8.

Dispozitivul constă din două fante dreptunghiulare şi înguste, paralele. O altă fantă, la fel

ca şi cele două şi paralelă cu ele, iluminată puternic de către o sursă de lumină, iluminează

la rândul său cele două fante.

O sursă de lumină liniară sau o fantă îngustă, cum este cazul fantei F generează

unde cilindrice. Într-o secţiune perpendiculară pe suprafaţa cilindrului, este reprezentată

printr-un arc de cerc (desenat punctat în figura 6.8) unda cilindrică emisă de fanta F,

iluminată de sursa S. Astfel de unde cilindrice sosesc în punctual P de pe ecran de la

fantele F1 şi F2. Intersecţia celor două unde cilindrice este o dreaptă, în consecinţă franjele

sunt drepte.

Pentru calcularea interfranjei, notăm cu xm distanţa OP, iar din figura 6.8 obţinem:

2222 )( lxDr m ++=

*

F

F1 F2

D

r1

r2

2l S

P

O

xm

fig. 6.8

221

2221 )( lxDr m −+=

prin scăderea celor două relaţii de mai sus se obţine:

lxrr m421

22 =− ,

dar: )(2))(( 1212122

12

2 rrDrrrrrr −≅+−=−

unde s-a făcut aproximarea 2/)( 12 rr + =D deoarece distanţa D (de ordinal metrului) este

mult mai mare decât distanţele 2l şi xm (de ordinal milimetrilor).

Deci diferenţa de drum dintre cele două unde δ 12 rr −= este:

D

lxrr m212 =−=δ

Punând condiţia de maxim de interferenţă:

λmrr =− 12 , obţinută din condiţia: 1)/2cos(cos ==∆ λπδϕ

unde m este un numar întreg, şi se numeşte ordin de interferenţă;

xm are valoarea:

l

Dmxm 2

λ=

Dar franjele sunt echidistante şi interfranja, adica distanţa dintre două franje consecutive,

este:

l

Dxxi mm 21

λ=−= + (6.17)

Pentru m = 0 se obţine maximul situat în punctual O, numit maximul central sau franja

luminoasă centrală, de ambele părţi a acestui maxim situându-se maximele de ordinile ±1,

±2, ……, denumirea maximului fiind dată de valoarea numărului m.

Dacă sursa de lumină nu emite o radiaţie monocromatică atunci fiecare lungime de

undă îşi va forma propria figură de interferenţă. Poziţia maximului central nu depinde de

lungimea de undă, asfel că, în lumină albă maximul central va fi întotdeauna o franjă albă.

222

Cu ajutorul dispozitivului Young se observă franje de interferenţă pentru diferite

poziţii ale ecranului faţă de planul fantelor, însă bineînţeles că valoarea intrefranjei

diferită. Din acest motiv se spune că franjele obţinute cu acest dispozitiv sunt nelocalizate.

Mai există şi alte dispozitive care produc franje nelocalizate. Dintre acestea

amintim pe scurt:

- Oglinzile Fresnel. Dispozitivul este format din două oglinzi plane care fac între ele un

unghi foarte mic, deci sunt practic aproape una în prelungirea celeilalte. O sursă de lumină

(de regulă o fantă paralelă cu muchia comună a celor două oglinzi) aflată în faţa oglinzilor

va forma două imagini virtuale, exchivalente cu două surse de lumină coerente. Lumina

provenită de la cele două surse coerente virtuale, în fapt fasciculele de lumină reflectate pe

cele două oglinzi, se va suprapune într-o anumită zonă, deci se va produce fenomenul de

interferenţă. Acest dispozitiv se poate reduce la un dispozitiv de tip Young, ceea ce

permite calculul uşor al interfranjei.

- Biprisma Fresnel. Dispozitivul este format din două prisme identice de unghi refringent

foarte mic, realizate din sticlă cu acelaşi indice de refracţie şi care au baza comună. De la o

sursă de lumină aşezată în faţa biprismei porneşte un fascicul de lumină care va fi deviat

cu un unghi δ întru-un anumit sens de către o jumatate din biprismă şi în sens opus cu

acelaşi δ de către partea cealaltă de biprismă, astfel încât, într-o anumită regiune din

spaţiu aflată în vecinătatea biprismei lumina se suprapune, ca şi cum ar proveni de la două

surse virtuale de lumină coerente, şi deci se formează franje de interferenţă.

- Bilentilele Billet. În cazul acestui dispozitiv de interferenţă cele două surse coerente sunt

constituite din imaginile reale ale unei surse de lumină formate de către două jumătăţi ale

unei lentile convergente subţiri. Cele două jumătăţi de lentilă sunt depărtate una de alta,

spaţiul dintre ele fiind umplut cu o substanţă opacă. Sursa de lumină este situată în planul

223

de simetrie al dispozitivului, iar fenomenul de interferenţă are loc în zona de suprapunere a

fasciculelor provenite de la cele două jumătăţi de lentilă.

- Oglinda Lloyd. Acest dispozitiv este constituit dintr-o oglindă plană, astfel aşezată, încât

lumina care se reflectă pe oglindă să interfere cu fasciculul provenit direct de la sursă. Cele

două surse de lumină, sursa de lumină reală şi imaginea sa virtuală în oglinda plană, fiind

coerente. Lărgimea câmpului de intereferenţă depinde de dimensiunile şi poziţionarea

oglinzii faţă de sursă.

În dispozitivele descrise anterior, de tip Young – Fresnel, franjele se găseau, atunci

când sursa era de dimensiuni mici, răspândite într-o regiune întinsă din spaţiu, deci

nelocalizate, adică nu se observau doar într-un singur loc. Prin iluminarea însă a unei

pelicule, un strat subţire de ulei întins pe apa, a băşicilor de săpun, a straturilor subţiri de

oxizi de pe o lama de oţel, etc., se observă coloraţii în lumină albă şi franje luminoase şi

întunecoase în lumină monocromatică. Aceste franje se observă pe pelicula sau lama însăşi

şi de aceea ele se numesc franje localizate. Prezentăm mai jos câteva tipuri de dispozitive

care produc franje localizate:

- Lama cu feţe plane şi paralele. Într-o astfel de lamă cele două raze de lumină provin din

despicarea aceleiaşi raze de lumină incidente, deci ele sunt coerente. Aceste raze se

întâlnesc la infinit, sau dacă străbat un sistem convergent, în planul focal imagine al

acestuia. În figura 6.9 este prezentat mersul razelor de lumină prin lamă. Intensitatea

luminii în punctul de intersecţie al celor două raze este condiţionată de diferenţa

drumurilor optice. Până în punctul A razele străbat acelaşi drum. Conform principiului lui

Fermat, de la frontul de undă DC până în punctul de interferenţă drumurile optice sunt

egale. Diferenţa de drum este deci cea care se produce între punctul A, unde are loc

despicarea, şi frontul de undă DC. Pe parcursul ABC drumul optic este:

224

r

dnBCABn

cos2)(1 =+=δ

Pe AD drumul optic are valoarea:

idtgriACAD sin2sin2 ===δ

Reflexia pe un mediu mai refringent induce o defazare egală cu π . Ca urmare, reflexia în

A introduce o diferenţă de drum de ± 2/λ , ceea ce nu se întâmplă la reflexia în B. Deci

drumul optic 2δ are valoarea:

2

sin22

λδ −= idtgi

Diferenţa de drum dintre cele două raze este:

2

)sincos

(221

λδδδ +−=−= itgr

r

nd

iar dupa efectuarea calculelor diferenţa de drum are valoarea finală:

2

cos2λ

δ += rnd

Să presupunem că lumina reflectată de lama cu feţe plane şi paralele întâlneşte o

lentilă convergentă, aşezată asfel încât să aibă axul optic perpendicular pe lamă. În acest

caz razele R şi 'R vor fi concentrate într-un punct din planul focal al lentilei. Intensitatea

luminoasă în acel punct depinde de diferenţa de drum δ . Din formula precedentă reiese

că, pentru o lamă dată şi o anumită lungime de undă , diferenţa de drum este funcţie doar

I R 'R

B

C

D

A fig. 6.9

d

225

de r, deci de înclinarea razelor incidente pe lamă. O franjă de interferenţă din planul focal

al lentilei va avea deci forma locului geometric al punctelor corespunzătoare aceleiaşi

valori a unghiului de incidenţă. Ca urmare, figura de interferenţă este compusă din franje

de egală înclinare, care au formă de cercuri concentrice cu centrul în focarul lentilei.

În centrul cercurilor interferă razele care cad normal pe lamă, pentru care i = r = 0,

corespunzând deci unei diferenţe de drum :

2

20

λδ += nd

Centrul figurii corespunde în general unei stări de interferenţă oarecare, diferită de maxim

sau minim.

- Pana optică. Ea constă dintr-un material transparent, delimitat de două suprafeţe plane

care formează între ele un unghi mic α (de ordinul minutelor). Pana optică este în fond o

prismă de unghi foarte mic. Dacă pe pană ajunge un fascicul de lumină monocromatică se

formează chiar pe suprafaţa sa franje de interferenţă a căror formă este o dreaptă paralelă

cu muchia penei, luminoase sau întunecoase, aceeaşi luminozitate corespunzând punctelor

în care stratul subţire are aceeaşi grosime. Din acest motiv franjele obţinute la suprafaţa

penei optice se numesc franje de egală grosime. Pentru lumină monocromatică cu

lungimea de undă λ valoarea interfranjei este dată de relaţia:

αλn

i2

=

unde n este indicele de refracţie al materialului penei.

Relaţia de mai sus se obţine astfel: se consideră două puncte de pe suprafaţa penei în care

grosimea ei are valorile d şi 'd şi presupunem că aceste două puncte aparţin la două franje

paralele vecine. Diferenţa de drum în fiecare din cele cele două puncte, la incidenţă

normală, va fi:

226

2

2λ

δ += nd

2

'2'λ

δ += nd

Franjele din cele două puncte fiind învecinate rezultă că λδδ =−' , de unde:

λ=− )'(2 ddnd

pentru unghiuri mici ale penei optice:

αα ≅−

=i

ddtg

'

unde i reprezintă distanţa dintre cele două puncte, deci după modul în care au fost

considerate cele două puncte această distanţă reprezintă chiar interfranja.

Uitlizând acestă ultimă relaţie se poate scrie:

λα =ind2

din care se obţine tocmai formula dorită:

αλn

i2

=

Diferenţa de drum în cazul franjelor formate pe pana optică fiind mică, face ca

fenomenul să poată fi observat şi în lumină albă, când apar franje de diferite culori.

Coloraţiile strălucitoare ale baloanelor de săpun sau cele care apar după ploaie, când un

strat subţire de ulei se întinde peste apa care mai acoperă asfaltul, sunt datorate franjelor de

egală grosime, observate în lumina albă a zilei.

Este de remarcat, acum la sfârsitul discuţiei despre interferenţă că, în cazul unui surse de

lumină înguste (punct sau fantă), figura de interferenţă este nelocalizată, pe când, în cazul

unor surse întinse, figura de interferenţă este localizată (cazul franjelor de egală înclinare,

localizate la infinit, sau a celor de egală grosime).

227

6.3.2. Difracţia luminii

Una din legile fundamentale ale opticii geometrice este legea propagării rectilinii a

luminii într-un mediu omogen. Conform acestei legi, umbra pe un ecran a unui corp opac

pe care cade lumina ar trebui să fie net separată de regiunea iluminată. Experienţa arată că

acest rezultat este adevărat doar într-o primă aproximaţie şi că în unele cazuri lumina

pătrunde în regiunea umbrei geometrice, iar în afara umbrei apar regiuni luminoase

alternând cu altele întunecoase, adică apar franje de difracţie.

Difracţia este un fenomen caracteristic propagării undelor şi constă în ocolirea de

către lumină a obstacolelor de dimensiuni comparabile cu lungimea sa de undă. Într-un

sens mai larg, prin difracţie se înţelege orice fenomen produs de unde când acestea

întâlnesc în calea lor neomogenităţi ale mediului (de exemplu, ocolirea fantelor,

obstacolelor, a ecranelor, etc.).

Teoria corpusculară nu a putut explica difracţia luminii. Huygens a fost primul

care propus o teorie ondulatorie a luminii. Experimentele de difracţie a luminii se pot

interpreta calitativ prin aplicarea principiului lui Huygens cu privire la propagarea undelor

în spaţiu. Conform acestui principiu, fiecare punct al suprafeţei sferice, care reprezintă

suprafaţa unei unde plecate dintr-un izvor de unde punctiform, este o sursă de unde

secundare elementare în momentul în care este atins de unda primară provenită de la

izvorul punctiform. Înfăşurarea geometrică a tuturor acestor unde elementare se constituie

într-un nou front de undă care se propagă în spaţiu, direcţia de propagare fiind normală la

frontal de undă. Principiul lui Huygens explică pătrunderea luminii în regiunea umbrei

geometrice în cazul difracţiei pe o fantă, pe un obstacol opac şi la marginile unui ecran.

Problemele de difracţie sunt printere cele mai dificile probleme din optică. Datorită

aparatului matematic complicat nu vom discuta în cele ce urmează decât metodele

aproximative folosite în toate cazurile de interes practic.

228

Fenomenul de difracţie care se produce în cazul când sursa de lumină este foarte

îndepărtată, astfel încât razele de lumină sunt practic paralele, se numeşte difracţie în

lumină paralelă sau difracţie Fraunhofer. Difracţia luminii produsă când sursa punctiformă

de lumină este apropiată de obstacol sau fantă (unde sferice), se numeste difracţie în

lumină divergentă sau difracţie Fresnel. În cele ce urmează vom studia doar două cazuri de

interes practic de difracţie în lumina paralelă (Fraunhofer).

6.3.2.1. Difracţia Fraunhofer pe o fantă dreptunghiulară

Fasciculul de lumină care vine de la sursa S (sub formă de fantă perpendiculară pe

planul figurii 6.10) plasată în planul focal al lentilei C (colimator) este transformat în

fascicul paralel de către aceasta, frontul său de undă fiind plan (undă plană). Acest fascicul

paralel cade normal pe un ecran opac în care s-a practicat fanta de lărgime a, ale cărei

margini sunt paralele cu ale fantei sursei.

Ne propunem să găsim care este distribuţia de intensitate (sau amplitudine) în

figura de difracţie de pe ecranul E, care va fi formată din dungi luminoase (maxime) şi

dungi întunecate (minime) paralele cu fanta sursei S.

* S

C F

L

a

P

E

δ

O

fig. 6.10

229

Suprafaţa de undă plană a fantei de laţime a, conform principiului Huygens-Fresnel, este

sediul izvoarelor elementare care emit unde elementare coerente şi în fază, astfel că prin

lentila L, se pot focaliza în punctual P din planul focal E razele paralele după direcţia α .

Diferenţa de drum între razele marginale care pornesc de la fanta F de lărgime a este:

ααδ aa ≈= sin

în care s-a ţinut seama că unghiurile de difracţie sunt mici.

Diferenţa de fază între cele două raze extreme este dată:

αλπ

λπδ

ϕ a22

≈= (6.18)

Pentru a afla intensitatea franjei în punctual P vom împărţi unda plană de pe

suprafaţa fantei F în mici fâşii înguste, paralele cu fanta sursei S şi de lăţimi egale. Fiecare

fâşie din suprafaţa undei din F va trimite în punctual P un fascicul de amplitudine A∆ ,

după direcţia α şi care prezintă diferenţa de fază ϕ∆ faţă de fasciculele alăturate.

Pentru calculul efectiv al intensităţii în punctul P vom folosi metoda fazorială a lui

Fresnel. În reprezentarea fazorială, considerând undele emise de către fâşiile succesive în

aceeaşi direcţie α , vom avea un lanţ de vectori. Lungimile A∆ ale vectorilor vor fi

aceleaşi deoarece fâşiile au dimensiuni egale, iar doi vectori succesivi vor face între ei

acelaşi unghi ϕ∆ (fig. 6.11 a). Ultimul vector va determina cu primul vector unghiul ϕ

dat de relaţia (6.18). Amplitudinea rezultantă este dată de mărimea vectorului OA care

uneşte originea primului vector cu extremitatea ultimului vector. Trecând la limtă pentru

A∆ şi ϕ∆ infinitezimali, ceea ce corespunde unui numar foarte mare de fâşii, lanţul de

vectori se transformă într-un arc de cerc cu unghiul la centru ϕ (fig. 6.11 b).

Menţionăm faptul că razele difractate în direcţia fasciculului incident, şi care vor fi

strânse în punctual O din figura de difracţie, vor da în reprezentarea fazorială un lanţ de

vectori paraleli între ei ),0( o== ϕα , a caror amplitudine rezultantă este A0 (fig. 6.11 c).

230

Mărimea acestei amplitudini corespunde arcului de cerc OA din figura 6.11 b şi, ca

urmare, raza cercului din care face parte arcul de cerc este:

x

f

a

A

a

AAAR

λπ

αλπ

λπδϕ 222

0000 ==== (6.19)

unde s-a ţinut cont de relaţia (6.18), iar afx ≅ reprezintă depărtarea faţă de punctual O a

punctului P din figura de difractie, iar f reprezintă distanţa focală a lentilei L.

Amplitudinea rezultantă în direcţia α este coarda subîntinsă de arcul OA şi are

mărimea:

2

sin2ϕ

RA =

sau, ţinând cont de (6.19):

2

2sin

0 ϕ

ϕ

AA =

Intensitatea fiind proporţională cu pătratul amplitudinii va fi dată de formula:

2

2

02

2

0

)(

sin

)2

(

2sin

xf

a

xf

a

III

λπλπ

ϕ

ϕ

== (6.20)

ϕ

ϕ∆ A

O

A

0,0 == ϕα

O

C ϕ

a

A0

c b fig. 6.11

231

Reprezentarea grafică a intensitaţii în funcţie de x arată că figura de difracţie are maxime si

minime nule aşa după cum se vede în figura 6.12.

Se obţin minime pentru acele valori ale lui x pentru care:

0)sin( =xf

a

λπ

adică: a

fkxλ

= cu k =± 1, ± 2,± 3…..

Pentru k =0 se obţine maximul central deoarece:

1sin

lim2

20 =→ ϕ

ϕ

ϕ şi ca urmare I= I0

Se remarcă următoarele:

- maximul central al figurii de difracţie pe o fantă are lăţimea dublă faţă de maximile

secundare.

- lărgimea maximelor (atât a celui central cât şi a celor secundare) este invers

proporţională cu lărgimea a a fantei.

- intensitatea maximelor secundare scade pe masură ce ne depărtăm de maximul central.

- poziţia maximelor şi minimelor depinde de lungimea de undă. În cazul luminii albe vom

avea un ansamblu de astfel de figuri de difracţie, corespunzând diferitelor culori. Maximul

central este comun pentru toate lungimile de undă, deci el va avea culoarea albă.

I

I0

a

fλ2−

a

fλ−

a

fλ

a

fλ2

O

fig. 6.12

232

6.3.2.2. Difracţia Fraunhofer pe o reţea de difracţie plană

Numim reţea de difracţie sistemul construit dintr-un număr foarte mare de fante

fine, paralele, egale ca lăţime şi echidistante, situate în acelaşi plan. Aceste fante le numim

în mod obişnuit trăsăturile reţelei. Reţeaua de difracţie se realizează cu ajutorul unui vârf

de diamant. Fie o astfel de reţea a cărei porţiune striată are lungimea L (lungimea reţelei) şi

a cărei număr total de trăsături este N. Vom nota cu l constanta reţelei, adică distanţa care

separă două puncte omologe a două fante vecine. Ea este dată de formula: l = L/N, iar

numărul de trasături pe unitatea de lungime n este: n = N/L.

În aparatele spectrale care folosesc reţele de difracţie plane, asupra acestora cade

lumina sub forma unui fascicul paralel provenit de la obiectivul colimator, iar lumina

difractată de reţea este concentrată de o lentilă în planul său focal, unde se observă figura

de difracţie. Fasciculul de lumină paralel cade sub unghiul de incidenţă i faţă de reţeaua de

difracţie, după care fasciculul va fi difractat cu unghiul α şi se va concentra în planul

focal al lentilei, în punctual P.

Diferenţa de drum dintre două raze de lumină difractate de două trăsături vecine ale

reţelei, în cazul în care razele incidente şi cele difractate sunt de aceeaşi parte a normalei,

este dată de formula:

)sin(sin αδ −= il (6.21)

S

i

l

α

α

P

O

E

fig. 6.13

233

iar în cazul în care razele incidente sunt de o parte a normalei, iar cele difractate sunt de

cealaltă parte a normalei:

)sin(sin αδ += il (6.22)

Pentru cazul incidenţei normale pe reţea )0( =i , din ambele relaţii se obţine aceeaşi

valoare a diferenţei de drum:

il sin=δ (6.23)

În cazul reţelei plane avem N fascicule difractate care interferă. Pe ecranul E se vor

forma maxime şi minime cu o structură mai complicată. Pentru a găsi amplitudinea si

intensitatea rezultantă vom folosi construcţia grafică a lui Fresnel: toate cele N trăsături,

identice ca dimensiuni vor interfera în punctual P din planul focal al lentilei cu vibraţii

coerente de amplitudini egale a, unghiul de difracţie fiind acelaşi. Diferenţa de fază între

undele care provin de la oricare două fante succesive, între care există o diferenţă de drum

dată de relaţiile (6.21, 6.22, 6.23), este constantă şi dată de relaţia:

λπδ

ϕ2

=

Prin urmare, diagrama fazorială conduce la un lanţ format din N vectori, lungimea fiecărui

vector fiind egală cu amplitudinea vibraţiei transportate de raza difractată de către o fantă a

reţelei, iar unghiul ϕ dintre direcţiile a doi vectori consecutivi este egal cu diferenţa de

fază între oscilaţiile provenite de la două fante consecutive.

Diferenţa de fază între oscilaţiile din prima şi a N-a rază va fi ϕN . Lungimea vectorului

OA va fi egală cu amplitudinea rezultantă. În figura 6.14, punctul C reprezintă centrul

cercului de rază R, circumscris porţiunii de poligon regulat formată din vectorii

componenţi.

234

Din triunghiul OCA care are unghiul din C egal cu ϕN , se obţine pentru

amplitudinea rezultantă:

2

sin2ϕN

RA =

iar din triunghiul OCD:

2

sin2ϕ

Ra =

deci amplitudinea rezultantă se poate scrie:

2sin

2sin

ϕ

ϕN

aA =

Cea mai mare valoare a lui A se obţine când cei N vectori sunt coliniari. Vom nota

această amplitudine cu A0. Deci: A0 = aN ⋅ , şi deci amplitudinea oscilatiei rezultante în

punctual P se poate scrie:

2sin

2sin

0 ϕ

ϕ

N

N

AA =

Intensitatea fiind proporţională cu pătratul amplitudinii va fi dată de formula:

2

0

2sin

2sin

=ϕ

ϕ

N

N

II (6.24)

O

A

C

D

ϕN

fig. 6.14

235

Din relaţia 6.24 este uşor de văzut că pentru N finit se obţin minime nule de câte ori se

anulează numărătorul fracţiei, deci pentru:

=2

ϕN 0, ±π , ± π2 , …..± πk

În figura de difracţie (fig. 6.15) vom întâlni atât maxime principale de intensitate mare,

maxime secundare de intensitate slabă, cât si minime nule. Între două maxime principale

consecutive se formează (N-1) minime nule şi (N-2) maxime secundare. Maximile

principale au lăţimea dublă faţă de maximile secundare.

Cu cât numărul de trasături ale reţelei este mai mare şi reţeaua are o lungime L mai

mare, cu atât maximile principale vor fi mai intense şi mai subţiri, observabile pe un fond

întunecos, în sensul că maximile secundare devin atât de puţin intense încât în figura de

difracţie de pe ecranul E se observă parctic doar maximile principale foarte intense.

Numărul maxim de ordine care se pot fi obţine de o parte şi de alta a maximului

principal central (k = 0) se poate calcula din condiţia ca diferenţa de drum să aibă valoarea

maximă, deci 1sin =α , ceea ce înseamnă emergenţă razantă, adică:

il(sin ± λmax)1 k=

Numărul maxim de ordine este: 12 max +k .

fig. 6.15

236

Trebuie remarcat şi faptul că intensitatea maximelor principale nu este aceeaşi, ea

scade pe măsură ce ne departăm de maximul numărul zero, adică maximul principal

central.

Dacă iluminăm reţeaua cu lumină albă observăm că maximul principal central se

va forma în acelaşi loc pentu toate lungimile de undă, deci el va avea o culoare albă.

Pentru toate celelalte ordine se obţin spectre de diferite ordine, de ambele părţi ale

maximului principal central, lungimile de undă scurte fiind situate mai aproape de

maximul central.

237

6.3.3. Polarizarea luminii

Lumina este emisă de către atomi şi molecule. Conform teoriei ondulatorii a

luminii acesta este o undă electromagnetică transverslă. O proprietate importantă a undelor

electromagnetice este că intensitatea câmului electric Er

(pe care îl vom numi în

continuare vectorul luminos, deoarece el este cel care produce senzaţia de vedere) şi

inducţia magnetică Br

sunt perpendiculari între ei, iar fiecare dintre ei este în acelaşi timp

perpendicular pe direcţia de propagare a undei luminoase.

Lumina, aşa cum apare în general în natură, este nepolarizată sau naturală. În

cazul luminii naturale toate direcţiile de vibraţie din planul perpendicular pe direcţia undei

luminoase sunt echivalente, amplitudinea vectorului luminos pe toate direcţiile fiind

aceeaşi. Acest rezultat este explicabil dacă ţinem seama că lumina captată de un receptor

provine de la o multitudine de atomi sau molecule în intervalul necesar percepţiei. Să ne

referim pentru simplificare, la lumina monocromatică. Un atom emite un tren de unde, cu

lungimea de undă respectivă, pentru care vectorul luminos are o anumită orientare în

planul perpendicular pe direcţia de propagare. Această emisie durează aproximativ 10-8 s.

La o nouă emisie orientarea vectorului luminos, precum şi faza vibraţiei la un moment dat

nu are nici o legătură cu cele corespunzătoare emisiei precedente, nici cu cele ale emisiilor

simultane provenite de la alţi atomi. Întrucât toate direcţiile din planul perpendicular pe

direcţia de propagare sunt la fel de posibile, iar receptorul sumează pe multitudinea de

atomi şi mediază pe un anumit interval de timp, este explicabil de ce lumina naturală nu

prezintă nici o direcţie privilegiată a vectorului luminos. În figura 6.16 a, planul figurii

reprezintă un plan perpendicular pe direcţia de propagare a luminii naturale, iar fiecare

dreaptă cu săgeţi la capete indică amplitudinea vectorului luminos având această direcţie.

238

Spunem că lumina este liniar polarizată (sau total polarizată) atunci cand printr-un

procedeu oarecare a fost selectată pentru vectorul luminos o singură direcţie de vibraţie în

planul perpendicular pe direcţia de propagare, aşa cum se arată în figura 6.16 b.

Dacă în schimb vectorul luminos vibrează în toate direcţiile din planul

perpendicular pe direcţia de popagare a luminii dar nu are aceeaşi amplitudine în toate

direcţiile, existând două direcţii, una pe care amplitudinea vectorului luminos este minimă

şi una pe care aceasta este maximă, spunem ca lumina este parţial polarizată (fig. 6.16 c).

Evident lumina liniar polarizată reprezintă cazul extrem, pentru care amplitudinea minimă

este nulă. Se defineşte gradul de polarizare P al luminii parţial polarizate conform relaţiei:

minmax

minmax

II

IIP

+−

=

Conform acestei formule gradul de polarizare este nul în cazul luminii naturale şi are

valoarea 1 pentru lumina liniar polarizată. Lumina parţial polarizată poate fi considerată un

amestec de lumină naturală şi de lumină liniar polarizată.

Metode de polarizare a luminii

6.3.3.1. Polarizarea luminii prin reflexie

Polarizarea luminii prin reflexie este cea mai simplă metodă de obţinere a luminii

polarizate. Reflexia pe oglindă produce transformarea luminii naturale în lumină parţial

polarizată, predominând în aceasta vibraţiile perpendiculare pe planul de incidenţă. Se

constată ca pentru diferite unghiuri de incidenţă gradul de polarizare al luminii reflectate

diferă, existând un unghi de incidenţă pentru care lumina reflectată este total polarizată.

fig. 6.16

a b c

239

Pentru reflexia aer - sticlă se constată că polarizarea totală prin reflexie se produce la

unghiul de incidenţă de aproximativ 570.

Brewster a stabilit experimental că în aceste condiţii:

ntgiB =

unde n reprezintă indicele de refracţie relativ al mediului pe care se face reflexia (sticla),

faţă de mediul din care vine lumina (aerul).

Din relaţia de mai sus şi din legea refracţiei rezultă:

ni

itgi

B

BB ==

cos

sin şi n

r

iB =sin

sin

de unde riB sincos =

şi deci 2/π=+ riB

ceea ce arată că în aceste condiţii fasciculul reflectat este perpendicular pe cel refractat.

Unghiul Bi se numeşte unghi de incidentă brewsteriană.

Faptul că, la incidenţă brewsteriană, lumina reflectată de oglindă este total

polarizată, unghiul Bi se mai numeşte şi unghi de polarizare totală.

Experienţa a arătat că la polarizarea totală prin refelxie, deci la incidenţă

brewsteriană, vectorul luminos este perpendicular pe planul de incidenţă al oglinzii pe care

se produce polarizarea. Când unghiul de incidenţă diferă de cel brewserian, fasciculul

reflectat este doar parţial polarizat, vectorului luminos perpendicular pe planul de incidenţă

corespunzându-i amplitudinea maximă. Fasciculul de lumină refractat este, pentru orice

unghi de incidenţă, un fascicul de lumină parţial polarizată, predominând în această lumină

vibraţiile paralele cu planul de incidenţă.

Experimental s-a constatat că la o singură reflexie pe o suprafaţă de sticlă (o placă

plan paralelă) cu n = 1,5, la incidenţă brewsteriană, în fasciculul refractat trece 100 % din

lumina care vibrează paralel cu planul de incidenţă şi 85 % din cea care vibrează

240

perpendicular pe planul de incidentă (deci lumina refractată este parţial polarizată,

preponderenţă având vibraţiile paralele cu planul de incidenţă), restul de 15 % fiind

conţinut în fasciculul reflectat. Prin urmare gradul de polarizare al luminii refractate este

mic dacă se utilizează o singura placă. Utilizând un set de placi plan paralele, şi paralele

între ele, se poate obţine şi în fasciculul refractat un grad de polarizare mult mai mare, iar

pentru un număr suficient de mare de astfel de plăci gradul de polarizare în lumină

refractată se poate considera egal cu unitatea, deci lumina este practic total polarizată.

6.3.3.2. Polarizarea luminii prin dublă refracţie (birefringenţă naturală)

Producerea luminii polarizate se poate realiza cu ajutorul fenomenului de dublă

refracţie, fenomen care are loc în corpurile transparente şi anizotrope (corpuri ale căror

proprietăţi variază cu direcţia). Trecera luminii prin aceste cristale duce la dedublarea razei

luminoase, acest fenomen fiind denumit birefringenţă naturală.

Proprietăţi de anizotropie deosebit de puternice posedă spatul de Islanda (calcitul, o

variantă cristalizată a carbonatului de calciu). Cristalul de calcit cristalizează în sistemul

romboedric cu unghiurile între muchii de 780 '5 , respective 1010 '55 . Cristalul de calcit

poate fi imaginat ca provenind dintr-un cub care a fost turtit după după o diagonală 'AA

astfel încât cele şase feţe pătrate au devenit romburi. Dreapta 'AA constituie o axă de

simetrie de ordinal 3 a romboedrului, întrucât o rotaţie de 1200 în jurul acestei direcţii

readuce cristalul în poziţie identică cu cea iniţială. Această axă cristalografică are şi

proprietăţi optice speciale. Ea poartă denumirea de axă optică a cristalului. Astfel de

cristale, cum este şi calcitul, se numesc cristale optice uniax.

Alte cristale cu mai puţine elemente de simetrie, prezintă două axe optice şi din

această cauză se numesc cristale optice biaxe (cum sunt mica, gipsul, etc.)

241

Să urmărim cum se produce în cazul spatului de Islanda polarizarea luminii prin

dublă refracţie. Să presupunem că un fascicul paralel şi îngust de lumină naturală cade

perpendicular pe o faţă rombică a cristalului, ca în figura 6.17, în care planul desenului

conţine şi direcţia axei optice 'AA , care trece prin vârful A al cristalului.

Se constată că fasciculul de lumină SI se dedublează, fasciculul IO străbate cristalul

respectând legea refracţiei, pe când fasciculul IE este deviat în cristal. Rotind cristalul în

jurul incidentei SI, fasciculul IO rămâne pe loc, pe când fasciculul IE se roteşte în jurul lui

IO, rămânând mereu în planul determinat de normala la faţa de intrare (care coincide cu

direcţia razei incidente) şi axa optică 'AA , plan numit, planul secţiunii principale al

cristalului.

Dacă se modifică unghiul de incidenţă i pe faţa de intrare, raza IO se supune legilor

opticii geometrice stabilite în cazul mediilor izotrope, ramânând mereu în planul de

incidenţă şi păstrând pentru indicele de refracţie valoarea o

or

in

sin

sin= , or fiind unghiul de

refracţie pentru raza IO. Această rază se numeşte rază ordinară.

Raza IE nu se supune legilor opticii geometrice, indicele de refracţie corespunzător

en fiind diferit de on . Această rază se numeşte rază extraordinară.

Pentru cristalele anizotrope se defineşte birefringenţa cristalui ca fiind diferenţa

dintre valoarea indicelui de refracţie extraordinar şi a celui ordinar: en - on .

I

E

A’

A

fig. 6.17 S

O

242

În cazul în care lumina se propagă în cristal pe direcţia axei optice, se constată că

en = on , cele două fascicule care corespund aceleiaşi raze incidente, propagându-se după

aceeaşi direcţie. În aceste condiţii dispare dubla refracţie, deci birefringenţa cristalului

devine nulă.

Dacă fasciculul SI este suficient de îngust şi cristalul suficient de gros, cele două

fascicule IO şi IE ies din cristal deplaste şi chiar separate complet, fiind paralele între ele

dacă faţa de ieşire a cristalului este paralelă cu cea de intrare a luminii în cristal, ca şi în

figura 6. 17.

În ceea ce priveşte starea de polarizare a fasciculelor IO şi IE, se constată că

ambele fascicule sunt liniar polarizate, având planele de vibraţie perpendiculare între ele.

Vibraţiile ordinare sunt perpendiculare pe planul principal al razei ordinare, iar vibraţiile

extraordinare sunt conţinute în planul principal ar razei extraordinare. Prin plan principal al

razei ordinare se înţelege planul determinat de axa optică şi de raza ordinară, iar prin plan

principal al razei extraordinare cel determinat de axa optică şi de raza extraordinară.

6.3.3.3. Dispozitive pentru obţinerea luminii liniar polarizate

Prisme polarizatoare

Este dificil de reuşit cu un singur cristal birefringent să separăm complet cele două

fascicule de lumină emergente total polarizate, cel ordinar şi cel extraordinar, chiar dacă

fasciculul de lumină este suficient de îngust şi utilizăm cristale mai groase. Din acest motiv

s-a apelat la combinaţii de cristale birefringente, cu ajutorul cărora să se obţină un fascicul

emergent liniar polarizat, de lărgime suficient de mare şi luminozitate bună.

Aceste prisme sunt de două categorii:

- prisme care transmit ambele fascicule liniar polarizate, atât cel ordinar cât şi cel

extraordinar, dar în direcţii suficient de diferite pentru a putea fi utilizat doar un fascicul.

243

- prisme care transmit doar unul dintre fasciculele liniar polarizate, eliminându-l pe

celălalt.

Pentru exemplificare, vom descrie, din prima categorie, prisma Rochon, iar din a

doua categorie prisma Nicol, numită curent nicol.

1. Prisma Rochon este confecţionată din spat de Islanda sau din cuarţ. Se compune din

două jumătăţi tăiate astfel încât se aibă axele optice orientate în direcţii perpendiculare.

Cele două jumătăţi sunt alipite cu glicerină sau ulei de ricin. Dacă un fascicul de lumină

albă cade normal pe faţa de intrare a prismei pătrunzând în cristal în lungul axei optice,

suferă fenomenul de dublă refracţie la suprafaţa de separare a celor două prisme ale

dispozitivului. Fasciculul ordinar, liniar polarizat, iese nedeviat prin prisma Rochon, iar

fasciculul de lumină extraordinar iese colorat şi suficient de deviat pentru a putea fi

îndepărtat prin diafragmare.

2. Prisma Nicol este obţinută dintr-un cristal de spat de Islanda alungit. Mai întâi, prin

şlefuire şi polişare, se modifică uşor orientarea feţelor, astfel încât feţele să formeze

unghiuri de 48o cu axa optică a cristalului. Apoi se taie cristalul în două. Pentru o lungime

convenabil aleasă a cristalului planul tăieturii este perpendicular pe feţele şlefuite. Se obţin

astfel două prisme geometrice, cu secţiunea în formă de triunghi dreptunghic, care se

alipesc cu balsam de Canada sau glicerină. Indicele de refracţie al balsamului de Canada

are o valoare cuprinsă între en şi on . Raza ordinară se reflectă total pe stratul de balsam de

Canada, pe când raza extraordinară, mai puţin deviată şi corespunzându-i alt indice de

refracţie, străbate mai departe prisma, ieşind singură din ea. Se obţine astfel un fascicul de

lumină liniar polarizat.

244

Polaroizi

Polaroizii (geamurile polaroizi) sunt geamuri pe care s-a depus un strat de gelatină,

în care sunt înglobate cristale fine de herapatit (iodosulfat de chinină) orientate în acelaşi

sens prin metode mecanice sau electrice. Aceste cristale prezintă fenomenul de dicroism

(ca şi cristalele de turmalină): raza incidentă se descompune în cele două raze, ordinară şi

extraordinară, însă din cristal iese doar raza extraordinară, cea ordinară fiind puternic

absorbită de cristalul însuşi. Polaroizii, deşi nu au aceeaşi eficacitate optică în domeniile

extreme ale spectrului vizibil ca şi prismele polarizatoare, sunt totuşi mult întrebuinţaţi

deoarece se pot construi uşor pe suprafeţe mari, obţinându-se fascicule largi de lumină

liniar polarizate.

6.3.3.4. Birefingenţă artificială

Unor materiale natural izotrope li se pot provoca pe diferite căi o anizotropie, care

în general, nu are aceeaşi valoare în orice punct al mediului, materialul devenind astfel

anizotrop, dar, în acelaşi timp materialul este şi neomogen. Dacă o acţiune exterioară

creează o direcţie pronunţat preferenţială într-un material iniţial izotrop, pe cale mecanică,

electrică sau magnetică, această direcţie poate deveni axă optică a materialului, devenit

astfel anizotrop. Dintre cazurile de birefingenţă artificială (sau provocată) amintim:

1. Birefingenţa mecanică. Un corp izotrop transparent supus unor deformări mecanice, de

exemplu de întindere sau comprimare, şi întrodus între nicoli încrucişaţi, ne arată ca el a

devenit anizotrop din punct de vedere optic şi se comportă ca şi un cristal uniax, având axa

optică îndreptată după direcţia efortului maxim. Orice piesă supusă unor solicitări

mecanice suferă deformarea nu numai după direcţia de acţionare a forţei solicitatoare,

piesa se deformează şi după o direcţie perpendiculară pe aceasta. Se pun astfel în evidenţă

efortul maxim P şi, perpendicular pe acesta, efortul minim Q, care se numesc şi tensiunile

245

principale. Birefringenţa provocată ( en - on ) este proporţională cu diferenţa tensiunilor

principale:

( en - on ) = )( QPC −λ

unde C se numeşte constantă fotoelastică, iar λ este lungimea de undă a radiaţiei

întrebuinţate.

Aşezând piesa de cercetat astfel ca direcţia efortului maxim P sa fie la 45o faţă de

nicolii încurcişaţi, se obţin o serie de franje colorate în cazul în care tensiunile nu se

repartizează uniform în piesă. Franjele de aceeaşi culoare - izocromele - corespund la

aceleaşi valori ale birefingenţei, deci la aceleaşi valori ale diferenţei tensiunilor principale

P – Q. În felul acesta se pot dimensiona în mod raţional piesele mecanice ale căror modele

realizate din plexiglas se studiază prin această metodă, numită fotoelasticitate. Şi piesele

de sticlă prost răcite, având tensiuni interioare, sau masele plastice, se pot cerceta cu

dispozitive fotoelastice.

2. Birefingenţă electrică (efectul Kerr) reprezintă birefringenţa provocată unor materiale

(lichide şi gaze) sub acţiunea unui câmp electric. Efectul câmpului electric (sau efectul

Kerr) decurge practic fără inerţie, ceea ce a condus la numeroase aplicaţii ale celulelor

Kerr pentru comanda intensităţii fasciculelor de lumină.

Celula Kerr este de regulă umplută cu nitrobenzen, în care sunt cufundaţi doi

electrozi plani, constituind un condensator plan, putându-se astfel aplica un câmp electric

uniform. Între nicoli încrucişaţi, în absenţa câmpului electric, lumina nu trece prin sistem.

La aplicarea câmpului electric, lichidul din zona condensatorului electric se comportă ca şi

un cristal uniax, cu direcţia axei optice în direcţia câmpului electric, lumina fiind lăsată să

treacă într-o proporţie depinzând de intensitatea câmpului. Efectul va fi maxim când

direcţia câmpului electric va fi la 45o faţă de direcţiile de vibraţie permise de nicolii

246

încrucişaţi. Experienţa arată că birefingenţa provocată este proporţionlă cu pătratul

intensităţii E a câmpului electric:

2kEnn oe =−

Ca urmare, diferenţa de fază dintre vibraţiile extraordinară şi ordinară, după

străbaterea lungimii l a zonei aflată în câmp electric, va fi:

λ

πλ

πλδ

πϕ2

2)(

22lkEnnl oe =

−==

sau: 22 BlEπϕ =

unde constanta de material B, denumită constanta Kerr, scade cu creşterea temperaturii.

Pentru majoritatea lichidelor birefingenţa este pozitivă, deşi există şi unele (eter

eticlic, unii alcooli sau unele uleiuri) pentru care birefingenţa este negativă.

3. Birefingenţă magnetică (efectul Cotton – Mouton). Se poate provoca birefingenţă

artificială şi prin aplicarea unor câmpuri magnetice exterioare. Aplicarea unui câmp

magnetic suficient de intens, perpendicular pe direcţia de propagare a luminii, face ca

mediul să devină anizotrop.

La aplicarea câmpului magnetic mediul capătă proprietăţi optice asemănătoarte cu

cele ale unui cristal uniax, cu direcţia axei optice pe direcţia câmpului magnetic.

Birefingenţa indusă fiind proporţională cu pătratul intensităţii câmpului magnetic H :

2kHnn oe =−

Ca urmare diferenţa de drum satisface relaţia:

2)(ClH

nnl oe =−

=λλ

δ

raportul λk

C = este numită constanta Cotton – Mouton a materialului, după numele celor

care au descoperit fenomenul.

247

6.3.3.5. Polarizaţia rotatorie

Am arătat în paragrafele precedente că o lamă dintr-un cristal uniax tăiată

perpendicular pe axa optică nu produce fenomenul de birefingenţă la incidenţa normală a

luminii pe ea. Dacă introducem o astfel de lamă între nicoli încrucişaţi (polarizatori

perpendiculari) este de aşteptat să se producă completa extincţie a luminii care se propagă

în lungul axei optice. Aşa se petrec lucrurile în cazul marii majorităţi a cristalelor uniaxe,

însă dacă lama este din cuarţ, tăiată perpendicular pe axa optică, introdusă între nicoli

încrucişaţi, se constată experimental că o parte din lumină trece prin sistem. Acest lucru se

explică prin faptul că lama de cuarţ a rotit planul de vibraţie a luminii liniar polarizate

transmisă de primul nicol, astfel încat cei doi nicoli se comportă ca şi cum nu ar mai fi

încrucişaţi, şi deci, o parte din lumina provenită de la primul nicol poate trece prin al

doilea nicol.

Acest fenomen prin care unele medii rotesc planul de vibraţie al luminii liniar

polarizate care trece prin ele poartă numele de polarizaţie rotatorie.

Fenomenul de polarizaţie rotatorie se întâlneşte la unele cristale birefringente, cum

este şi cazul cuarţului, dar şi la alte cristale din sistemul cubic, ca de exemplu cloratul de

sodiu, la anumite solide amorfe, la unele lichide pure sau la soluţiile unor substanţe

organice.

O binecunoscută substanţă optic activă este şi zaharoza. Unghiul de rotaţie al

planului de vibraţie α este proporţional cu distanţa strabătută de lumină prin acel mediu l,

şi depinde de o constată specifică mediului, numită polarizaţie rotatorie specifică ][α ,

care la rândul ei depinde puternic de lungimea de undă a luminii liniar polarizate care trece

prin mediul dat. De exemplu, pentru cuarţ polarizaţiea rotatorie specifică este de

aproximativ 15o/mm pentru roşu şi de 51o/mm pentru violet. În soluţia de zahăr, unghiul de

248

rotaţie este proporţional cu concentraţia c de zahăr în apă. Relaţia dintre unghiul de rotaţie

şi concentraţia de zahăr în apă, numită şi legea lui Biot (1831) este:

lc ⋅⋅= ][αα

Rotirea planului de polarizaţie se poate face spre dreapta observatorului – substanţe

optic active dextrogire, sau spre stânga – substanţe optic active levogire.

Polarimetrele sunt aparate care conţin polarizori pentru măsurarea unghiului de

rotaţie produs de soluţiile de zahăr sau alte substanţe optic active; cu ajutorul acestora se

pot face analize polarimetrice cu privire la concentraţia în soluţii a substanţelor optic

active.

249

6.4. Optica fotonică

Teoria ondulatorie a luminii dă o descriere completă a tuturor fenomenelor care

se referă la interacţiunea lumină – lumină, cum se întâmplă în cazul interferenţei şi

difracţiei. Când încercăm însă să tratăm interacţiunea luminii cu substanţa, ca în cazul

emisiei şi absorbţiei luminii, în cel al efectului fotoelectric, etc, apar serioase dificultăţi. În

aceste cazuri nu apar numai uşoare deosebiri între teorie şi experiment, care sunt

detectabile prin determinări cantitative, ci teoria prevede rezultate radical diferite decât

cele obţinute experimental.

O serie de fenomene descoperite şi studiate la sfârşitul secolului al XIX-lea şi

începutul secolului XX nu au putut fi explicate cu ajutorul teoriei ondulatorii a luminii,

ceea ce a impus introducerea unor noi concepte, pe baza cărora s-a constituit mai târziu

teoria fotonică a luminii. Amintim aici eforturile facute pentru explicarea distribuţiei de

energie în spectrul corpului negru, eforturi care au condus în 1900 la introducerea de către

Planck a noţiunii de cuanată de energie, deoarece teoria electromagnetică conjugată cu

teoria clasică a echipartiţiei energiei nu au putut explica distribuţia în spectrul de energie

observat experimental. Introducerea de către Max Planck a conceptului de cuantă de

energie reprezintă începutul unei noi teorii asupra luminii, teorie care va evidenţia

caracterul discontinuu al luminii, având la bază noţiunea de foton. Acestată nouă teorie

poartă numele de teoria fotonică a luminii.

În cadrul teoriei fotonice au putut fi explicate o serie de fenomene petrecute la

intercaţiunea luminii cu substanţa, printre care, efectul fotoelectric, efectul Compton,

presiunea luminii, etc. Tocmai la aceste fenomene ne vom referi în cele ce urmează,

încercând să punem în evidenţă necesitatea elaborării teoriei fotonice a luminii pentru

explicarea acestora.

250

6.4.1. Efectul fotoelectric

Efectul fotoelectric constă în emisia de electroni de către corpurile solide sub

acţiunea luminii. Descoperirea efectului fotoelectric i se atribuie lui Hertz (1888) care a

observat că producerea scânteii electrice între doi electrozi de Zn este mult uşurată dacă

unul din electrozi este iluminat cu lumină ultravioletă.

Există două feluri de efecte fotoelectrice:

- extern, în care, sub influenţa luminii, substanţa emite electroni şi

- intern, în care creşte energia electronilor care interacţionează cu lumina, dar aceştia nu

părăsesc substanţa, ci paticipă la conducţie (fenomen care se produce în semiconductoare).

În cele ce urmează ne vom referi la efectul fotoelectric extern. Figura 6.18 indică

schema experimentală pentru studierea legilor efectului fotoelectric.

Într-un tub de curaţ vidat T sunt introduşi doi electrozi. Catodul K constă dintr-o

placă metalică iar anodul A este de obicei un inel de nichel. Montajul electric permite

K A

V

G

T

fig. 6.18

251

polarizarea pozitivă sau negativă a anodului A faţă de catod. Tensiunea între A şi K se

măsoară cu voltmetrul V iar intensitatea curentului care circulă între aceşti electrozi este

măsurată cu galvanometrul G. Se polarizează anodul pozitiv faţă de catod şi se constată că,

atâta vreme cât fotocelula este la întuneric, galvanometrul nu indică existenţa unui curent.

Iluminând catodul cu lumină monocromatică de lungime de undă potrivit aleasă, între A şi

K se stabileşte, practic instantaneu, un curent de electroni, numit fotocurent, indicat de

galvanometrul G. Aceasta arată că sub acţiunea luminii electronii sunt scoşi din metalul

catodului şi în prezenţa câmpului electric sunt orientaţi spre anod.

Măsurând pentru acelaşi flux luminos 1Φ , dependenţa intensităţii curentului

fotoelectric de tensiunea aplicată electrozilor se obţine o curbă de felul celei din figura

6. 19. Mărind fluxul incident, curentul prin fotocelulă se măreşte, obţinându-se curbele

prezentate în figură pentru 3Φ > 2Φ > 1Φ .

Din analiza curbelor caracteristice curent - tensiune se pot trage următoarele

concluzii:

- pentru tensiunea zero între electrozi (U = 0), fotocurentul I este diferit de zero. Acest

lucru arată că o parte din cei mai rapizi electroni reuşesc sa ajungă la anod fară nici o

tensiune de accelerare.

U0 0 U

I IS3

IS2 IS1

3Φ

2Φ

1Φ fig. 6.19

252

- pentru a anula curentul este necesară aplicarea unei tensiuni inverse pe electrozi (catodul

mai pozitiv decât anodul) de mărime U0, numită tensiune de frânare. Valoarea tensiunii de

frânare dă o masură a energiei cinetice maxime a electronilor care părăsesc catodul,

deoarece între energia cinetică maximă şi tensiunea de frânare există relaţia:

0max, eUEc = (6.25)

dedusă pe baza legii conservării energiei.

- tensiunea de frânare depinde liniar de frecvenţa radiaţiei cu care se iluminează catodul

(fig. 6.20) şi la o anumită frecvenţă 0ν , numită frecvenţă de prag, ea se anulează. Deci

pentru frecvenţe ν < 0ν efectul fotoelectric nu se mai produce.

- la tensiuni pozitive între A si K intensitatea fotocurentului creşte odată cu tensiunea,

deoarece câmpul electric dintre electrozi, din ce în ce mai intens, antrenează un număr din

ce în ce mai mare de electroni către anod. La valori suficient de mari ale tensiunii,

intensitatea atinge valoarea de saturaţie IS, care este proporţională cu mărimea fluxului

luminos pe catod (fig. 6.19). Curentul de saturaţie corespunde situaţiei în care toţi electroni

emişi în unitatea de timp de către anod ajung la catod.

Toate aceste constatări au condus la următoarele legi ale efectului fotoelectric:

I. La frecvenţă constantă, intensitatea curentului fotoelectric de saturaţie este direct

proporţională cu fluxul luminos incident.

U0

0ν ν 01ν 02ν 03ν ν

Ec,max

fig. 6.20 fig. 6.21

1 2 3

253

Dacă se modifică frecvenţa radiaţiilor incidente, se găseşte că energia cinetică

maximă a elecronilor, calculată cu (6.25) creşte liniar cu creşterea frecvenţei (fig. 6.21)

pentru orice valoare a fluxului incident. În figură, familia de drepte paralele (1, 2, 3)

prezintă o astfel de dependenţă pentru catozi din materiale diferite. Rezultă cea de-a doua

lege a efectului fotoelectric:

II. Energia cinetică a fotoelectronilor emişi creşte liniar cu frecvenţa luminii incidente şi

nu depinde de mărimea fluxului luminos.

Analizând figurile 6. 19 şi 6. 20 se poate formula legea a treia:

III. Efectul fotoelectric se poate produce numai dacă frecvenţa luminii incidente este cel

putin egală cu o frecvenţă de parg 0ν (denumită şi pragul roşu al efectului fotoelectric).

Măsurându-se intervalul de timp care se scurge din momentul iluminării catodului

până la apariţia fenomenului, s-a găsit că el este mai mic decăt 10-9 s şi, ca urmare, s-a

formulat legea a patra a efectului fotoelectric:

IV. Efectul fotoelectric se produce practic instantaneu.

6.4.2. Teoria fotonică a luminii

Legile experimentale ale efectului fotoelectric enunţate mai sus sunt în contradicţie

cu teoria ondulatorie a luminii, care explică efectul fotoelectric astfel: unda

electromagnetică luminoasă produce oscilaţii forţate ale electronilor cu o amplitudine

proporţionlă cu amplitudinea undei incidente. Dacă forţele care ţin electronii în interiorul

materialului nu sunt prea mari, electronii pot fi expulzaţi cu o viteză proporţională cu

amplitudinea luminii incidente, implicit cu intensitatea luminii. Această concluzie a teoriei

electromagnetice a luminii a fost infirmtă de experienţă în cazul efectului fotoelectric.

Conform teoriei ondulatorii, efectul fotoelectric ar trebui să se producă pentru orice

frecvenţă a luminii, cu condiţia ca intensitatea luminii să fie suficient de mare. De

254

asemenea, ar trebui să existe un decalaj între momentul iluminării suprafeţei emisive şi cel

al emisiei, timp în care electronul ar trebui să acumuleze energie suficientă pentru a parăsi

metalul.

La baza teoriei fotonice a luminii stă conceptul de foton. În anul 1905, Albert

Einstein a arătat că toate legile efectului fotoelectric se pot explica imediat dacă

presupunem că lumina este formată dintr-un flux de particule de energie foarte mică,

numite fotoni.

Energia fotonilor ε este dată de relaţia:

νε h= (6.26)

unde ν este frecvenţa luminii, iar h = 6,625.10-34 J.s, este o constantă universală,

cunoscută azi sub denumirea de constanta lui Planck.

Alături de energie, ca oricare altă particulă, fotonul trebuie să aibă şi impuls.

Ţinând seama de relaţia (din teoria relativităţii) care dă echivalenţa dintre masă şi energie:

E = mc2

şi luând în considerare relaţia (6.26), se obţine masa de mişcare a fotonului:

2c

hm

ν=

Dacă avem în vedere relaţia dintre masa de mişcare m şi masa de repaus m0:

2

2

0

1c

v

mm

−

=

şi tinând sema de faptul că fotonul se deplasează în vid cu viteza luminii, rezultă că:

00 =m

deci noţiunea de masă de repaus a fotonului nu are sens, fotonul neavând referenţial

propriu (el se deplasează cu aceeaşi viteză c faţă de orice referenţial inerţial).

Impulsul fotonului este:

255

λ

νν h

c

hc

c

hmcp ====

2

unde ν

λc

= este lungimea de undă.

6.4.3. Explicarea legilor efectului fotoelectric

Pentru explicarea efectului fotoelectric, Einstein presupune că la ciocnirea

fotonului cu electronul, fotonul cedează acestuia întrega sa energie. Electronul cheltuieşte

o parte din energia primită pentru a ieşi din metal, iar restul se regăseşte sub formă de

energie cinetică. Din legea conservării energie se scrie:

2

2mvLh +== νε (6.27)

În această relaţie, cunoscută sub numele de ecuaţia lui Einstein, νh este energia

absorbită de la foton, 2

2mvreprezintă energia cinetică a fotoelectronului extras, iar L este

lucrul mecanic de extracţie al electronului din catod, mărime ce depinde de materialul din

care este făcut catodul.

Cu ajutorul ecuaţiei lui Einstein se pot explica uşor legile efectului fotoelectric. Fiind

vorba de interacţiunea dintre două particule, fotoelectronii apar instantaneu, indiferent de

fluxul luminos, adică independent de numărul fotonilor incidenţi (legea a IV-a).

Creşterea fluxului incident implică creşterea numărului de fotoni incidenţi de egală

energie, ceea ce duce la creşterea numărului de fotoelectroni emişi şi, implicit, la creşterea

valorii de saturaţie a curentului fotoelectric (legea I-a).

Din ecuaţia lui Einstein se obţine:

Lhmv

−= ν2

2

256

ceea ce arată ca energia cinetică a electronilor emişi variază liniar cu valoarea frecvenţei

luminii incidente (legea a II-a).

Energia νh a fotonilor este cu atât mai mică cu cât frecvenţa este mai mică, ceea

ce conform ecuaţiei lui Einstein, duce la micşorarea energiei cinetice a electronilor emişi.

Pentru o anumită frecvenţă 0ν , de parg, energia cinetică a fotoelectronilor este nulă. Pentru

această frecvenţă ecuaţia lui Einstein devine:

Lh =0ν

Energia absorbită în acest caz serveşte doar pentru efectuarea lucrului mecanic de

extracţie. Deci pentru frecvenţeν < 0ν efectul fotoelectric nu se mai produce (legea a III-a).

Cu tot acest succes obţinut prin explicarea efectului fotoelectric, teoria fotonică a

luminii nu a fost unanim recunoscută decât în urma experienţelor de împrăştiere a razelor

X efectuate de Compton.

6.4.4. Efectul Compton

Confirmarea deplină a naturii corpusculare a luminii a fost dată de către A. H.

Compton în anul 1923 prin descoperirea efectului care-i poartă numele. În 1923 Compton

a studiat împrăştierea radiaţiilor X pe atomi uşori. Un fascicul îngust de raze X cu

lungimea cunoscută 0λ , cade pe o ţintă de grafit (sau o altă ţintă). Razele X împrăştiate

sub un unghi θ faţă de direcţia iniţială sunt analizate pentru a li se cunoaşte lungimea de

undă şi intensitatea. În urma acestui experiment Compton observă următoarele:

- pe lângă radiaţia cu lungimea de undă incidentă 0λ , mai apare a doua radiaţie de lungime

de undă λ , cu atât mai mare decât 0λ , cu cât unghiul de împrăştiere este mai mare.

- comportamentul este acelaşi, indiferent de natura ţintei. Experimental el a stbilit că:

)cos1(0 θλλ −=− a

257

unde a este o constantă cu valoarea 2,426 pm.

Efectul Compton nu poate fi explicat în cadrul teoriei ondulatorii, în conformitate

cu care la împraştierea radiaţiei luminoase se schimbă doar distribuţia spaţială a

intensitaţii, nu şi lungimea de undă.

Explicaţia efectului Compton a fost dată pe baza teoriei fotonice, considerându-se

că la împraştierea razelor X are loc o interacţiune între foton şi electronul substanţei ţintă,

ţinându-se cont de legile de conservare ale energiei şi impulsului.

Presupunând că, înaine de ciocnirea cu fotonul, electronul era în stare de repaus, şi

notând cu 0ν frecvenţă fotonului incident şi cu ν frecvenţa fotonului imprăştiat sub

unghiul θ , legea conservării energie se scrie:

LEhh c ++= νν 0 (6.28)

unde 0νh este energia fotonului incident, νh este energia fotonului împrăştiat, cE energia

cinetică a electronului în urma ciocnirii şi L lucrul mecanic de ieşire a electronului din

materialul ţintei.

Ţinând seama că energia fotonului incident este mult mai mare decât lucrul

mecanic de ieşire (în experienţa lui Compton de 1550 ori), în relaţia 6.28, L poate fi

neglijat, ca şi cum electronul ar fi liber.

Considerând L =0 şi ţinând seama de relaţia 20

2 cmmcEc −= din teoria relativităţii,

relaţia 6.28 se scrie:

20

20 cmmchh −+= νν

sau:

200

2 )( cmhmc +−= νν (6.29)

Urmărind figura 6.22, care redă conservarea impulsului, putem scrie:

eppprrr

+=0

258

unde 0pr

şi pr

reprezintă impulsurile fotonului înainte şi după ciocnire, fotonul fiind

împrăştiat sub unghiul θ , iar epr

este impulsul electronului după interacţiune, el fiind

împrăştiat sub unghiul ϕ faţă de direcţia fascicului incident de raze X.

Tinând seama că: c

hp 0

0

ν= ,

c

hp

ν= , mvpe = şi luând în considerare triunghiul

impulsurilor din figura 6.22, rezultă:

θνννν

cos2

20

2

2

22

2

20

222

c

h

c

h

c

hvm −+=

sau θνννν cos2 02222

02222 hhhcvm −+= (6.30)

Ridicând la pătrat relaţia (6.29), se obţine:

420

2000

22220

242 )(22 cmcmhhhhcm +−+−+= νννννν (6.31)

Scăzând din (6.31) ecuaţia (6.30), rezultă:

420

2000

222242 )(2)cos1(2 cmcmhhcvmcm +−+−−=− ννθνν

care se poate scrie sub altă formă dacă se ţine seama de relaţia dintre masă şi viteză din

teoria relativităţii )1(2

222

0c

vmm −= , şi anume:

420

2000

2420 )(2)cos1(2 cmcmhhcm +−+−−= ννθνν

sau: )cos1(2)(2 022

00 θνννν −=− hcmh

Împărţind relaţia anterioară cu cmh 002 νν , rezultă:

)cos1()(

00

0 θνν

νν−=

−

cm

hc

pr

θ 0pr

ϕ

epr

fig. 6.22

259

sau 2

sin2 2

00

θλλ

cm

h=−

Deci variaţia λ∆ a lungimii de undă în efectul Compton este:

2

sin2 2 θλ Λ=∆

unde cm

h

0

=Λ se numeşte lungime de undă Compton.

Variaţia de lungime de undă obţinută, dedusă din ipoteza fotonică a luminii,

confirmă observaţiile experimentale:

- variaţia λ∆ a lungimii de undă este independentă de natura substanţei ţintă, în expresia

sa intrând doar constantele universale h, c şi m0.

- variaţia lungimii de undă se schimbă o dată cu modificarea unghiului de împrăştiere,

având valorile extreme, zero pentru 0=θ şi Λ2 pentru 180=θ 0.

- când particula care interacţionează cu fotonul este un electron, lungimea de undă

Compton are valoarea 426,2==Λ a pm, aşa cum s-a stabilit şi experimental. Pentru alte

particule cu mase de repaus mai mari decât ale electronului, lungimea de undă Compton ia

valori foarte mici, de cele mai multe ori neglijabile faţă de lungimea de undă a radiaţiei

incidente.

În concluzie, efectul Compton a contribuit la fundamentarea teoriei fotonice a

luminii, confirmând în mod stralucit că fotonul are impuls.

260

6.5. Absorbţia şi dispersia luminii

6.5.1. Absorbţia luminii

Lumina este absorbită mai mult sau mai puţin prin trecerea ei printr-un mediu

oarecare. Absorbţia nu este aceeaşi pentru toate radiaţiile, deci este selectivă. Astfel, sticla

este transparentă şi incoloră în vizibil deoarece absoarbe radiaţiile în vizibil mai puţin, în

schimb, ea este foarte absorbantă pentru undele ultraviolete.

Să presupunem că un fascicul de lumină monocromatică străbate perpendicular un

strat de substanţă cu grosimea infinit mică dx. Dacă la intrarea în strat intensitatea luminii

este I, prin străbaterea acestuia intensitatea variază cu dI, astfel încât:

IdxdI α−=

Semnul minus arată ca lumina este slăbită prin fenomenul de absorbţie în substanţa

străbătută. Slăbirea provocată de străbaterea unui strat de grosime finită x poate fi obţinută

prin integrarea relaţiei anterioare:

∫∫ −=xI

I

dxI

dI

00

α

care conduce la:

xeII ⋅−= α0

În această relaţie, numită şi legea Bouguer-Lambert, 0I reprezintă intensitatea

luminii la intrarea în strat, iar I intensitatea la ieşirea din strat. Constanta de material

α este numită coeficient de absorbţie. Valoarea acestuia depinde de substanţa absorbantă

şi de lungimea de undă a radiaţiei monocromatice. Pentru radiaţiile în vizibil 510−≅α m-1

pentru aer şi 210−≅α m-1 pentru sticlă.

Micşorarea intensităţii fasciculului luminos prin străbaterea materialului poate fi

datorată transformării energiei luminoase în altă formă de energie, caz în care avem de-a

261

face cu fenomenul de absorbţie propru zisă, sau împrăştierii luminii în alte direcţii decât

cea a fascicului incident.

Dacă substanţa absorbantă este dizolvată într-un solvent transparent, slăbirea

intensităţii depinde de numărul de molecule absorbante întâlnite de fasciculul luminos,

astfe încât coeficientul de absorbţie α este proporţional cu concentraţia c a substanţei:

εα = c

unde constanta ε , numită coeficient de extincţie, depinde de asemenea de substanţa

absorbantă şi de lungimea de undă a luminii, fiind independentă de concentraţia c.

În aceste condiţii legea Bouguer-Lambert devine:

xceII ⋅⋅−= ε0

relaţie cunoscută uzual sub numele de legea Lambert-Beer.

Atunci când în soluţie au loc reacţii chimice depinzând de concentraţia c, de

exemplu asociaţii moleculare favorizate de creşterea concentraţiei, ε încetează să mai fie

independent de concentraţie, apărând abateri de la legea Lambert-Beer.

Întrucât α , şi respectiv ε , depind de lungimea de undă, compoziţia spectrală a

luminii transmise print-un strat de substanţă diferă funcţie de compoziţia spectrală a

luminii incidente. Toate materialele transparente şi colorate absorb o parte a spectrului

vizibil. Astfel, dacă lumina emisă de un filament incandescent este lăsată să trecă printr-o

placă de sticlă verde, aceasta va absorbi în oarecare măsură radiaţiile din domeniile roşu şi

albastru-violet ale spectrului vizibil, lumina transmisă aparând observatorului ca lumină

verde.

Cu ajutorul unui aparat spectral cu prismă se poate obţine spectrul de absorbţie al

unui material. Gazele atomice rarefiate au spectre de absorbţie de linii, lungimile de undă

absorbite fiind egale cu unele dintre lungimile de undă pe care gazul respectiv le emite

când este excitat (prin producerea unor descărcări electrice, aducerea la temperatură înaltă,

262

etc.). Spectrul de absorbţie al unui gaz atomic are însă mai puţine linii decât cel de emisie

al aceluiaşi gaz, deoarece sunt absorbite numai radiaţii care corespund tranziţiilor de pe

nivelul fundamental energetic al atomului pe nivele superioare, excitate, pe când spectrul

de emisie cuprinde şi linii care corespund unor tranziţii între diverse nivele excitate.

Gazele moleculare rarefiate dau spectre de absorbţie de benzi, fiecare bandă fiind

alcătuită dintr-o grupare de linii de absorbţie apropiate în spectru.

În spectrele de absorbţie ale gazelor la presiune mai mare şi, în special, în cele ale

lichidelor şi solidelor apar benzi complicate care nu pot fi uşor descompuse în linii.

Practic toate materialele transparente prezintă o absorbţie selectivă în anumite

regiuni spectrale.

În domeniul vizibil se poate realiza o absorbţie neselectivă, deci în aceeaşi

proporţie pentru toate lungimile de undă, cu ajutorul unei suspensii de particule de negru

de fum sau cu ajutorul unei plăci de sticlă acoperită cu un strat subţire semitransparent de

platină. O astfel de placă constituie un filtru negru.

6.5.2. Dispersia luminii

Dispersia luminii, fenomen natural observat în curcubeu, a fost pus în evidenţă

experimental şi studiat ştiinţific de către Newton cu ajutorul unei prisme. Experienţa facută

de către Newton constă în trimiterea printr-o prismă a unei raze de lumină albă. Această

rază trecând prin prismă se descompune, asfel încât pe un ecran aşezat în faţa fasciculului

de lumină care iese din prismă în loc de o pată luminoasă albă se vede o pată colorată,

numită de către Newton spectru. Culorile se succed în mod continuu, de la roşu până la

violet. Dacă se trece printr-o altă prismă fiecare culoare din spectru, se constată că aceasta

nu se mai descompune, deci spectrul care iese din prima prismă este compus din radiaţii

263

simple monocromatice (cu o singură lungime de undă λ ). Prin amestecarea tuturor

culorilor din spectru se reface lumina albă iniţială.

Descompunera luminii albe prin prismă arată că indicele de refracţie n al mediului din care

este confecţionată prisma nu este acelaşi pentru toate radiaţiile cu lungimi de undă diferite.

Prin dispersia luminii se înţelege fenomenul care rezultă din variaţia indicelui de refracţie

n al unui mediu în funcţie de lungimea de undă a lumini care trece prin el: )(λfn = .

Disperisia luminii este de două tipuri: dispersie normală şi dispersie anormală.

Dispersia normală este cazul de dispersie în care indicele de refracţie n creşte monoton o

dată cu descreşterea lungimii de undă a luminii (de la roşu la violet).

O relaţie dedusă de Cauchy, şi care corespunde satisfăcător datelor experimentale de

dispersie normală pe domenii nu prea întinse, în care materialul este transparent, este:

.....42+++=

λλ

CBAn

în care λ reprezintă lungimea de undă, iar constantele de material A > B > C..... pot fi

determinate experimental prin măsurători ale indicelui de refracţie pentru diferite radiaţii

monocromatice.

Prin prismele umplute cu iod se constată că radiaţiile dinspre albastru sunt deviate

mai puţin decât cele dinspre roşu (invers decât la dispersia normală), iar alte radiaţii sunt

absorbite, ceea ce a dus la denumirea de dispersie anormală. S-a constatat că toate

corpurile care absorb lumina foarte puternic într-un anumit domeniu (sau domenii) de

lungimi de undă, prezintă în acel loc (acele locuri) dispersia anormală.

Spectrele tuturor substanţelor prezintă benzi de absorbţie. Dacă stratul de substanţă

este incolor, deci nu absoarbe în vizibil, el poate absorbi în ultraviolet sau infraroşu şi în

vecinătatea acestei benzi de absorbţie variaţia cu lungimea de undă a indicelui de refracţie

prezintă mersul neobişnuit ce caracterizează dispersia anormală. Deşi o astfel de dispersie

264

este întâlnită la orice substanţă, în vecinătatea benzilor de absorbţie s-au menţinut

denumirile de dispersie normală pentru dispersia dintr-o regiune spectrală depărtată de

banda de absorbţie şi de dispersie anormală pentru dispersia din vecinătatea benzii de

absorbţie.

În figura 6.23 este prezentată schematic dependenţa de lungimea de undă a

indicelui de refracţie al unei substanţe care prezintă o bandă de absorbţie în infraroşu.

Să presupunem că liniile punctate orizontale limitează banda de absorbţie.

Deplasându-ne de la dreapta la stânga, deci spre lungimi de undă descrescătoare, indicile

de refracţie creşte, conform dispersiei normale, creşterea devenind pronunţată în

apropierea benzii de absorbţie. Chiar în dreptul acesteia, substanţa nu mai este transparentă

şi, în general, nu se mai poate determina valoarea indicelui de refracţie. De cealaltă parte a

benzii de absorbţie (spre lungimi de undă mai mici) valoarea indicelui de refracţie este mai

mică decât era la lungimi de undă mai mari decât a benzii de absorbţie. Este tocmai zona

dispersie anormale. Continuând deplasarea spre lungimi de undă mai mici se găseşte un

mers normal al dispersiei cu o creştere rapidă a lui n cu descreşterea lui λ . Creşterea din

nou rapidă a lui n din stânga figurii indică apropierea de o nouă bandă de absorbţie situată

în vizibil. Se poate concluziona că în apropierea unei benzi de absorbţie materialele devin

mai dispersive, are loc o variaţie mai rapidă a indicelui de refracţie pentru variaţii mici ale

lungimii de undă.

λ

n

fig. 6.23

265

Capitolul 7: Laseri

7.1. Absorbţia, emisia spontană şi emisia stimulată

Efectul de amplificare a radiaţiei (efectul maser sau laser), care stă la baza

funcţionării generatoarelor şi amplificatoarelor cuantice de radiaţii, se bazează pe

fenomenul de emisie stimulată sau indusă, care este inversul fenomenului de absorbţie a

radiaţiei. Când un foton este absorbit, energia lui este transferată în energie internă a

sistemului atomic (atom, moleculă, etc.) şi acesta din urmă trece într-o stare energetică

excitată. Sistemul atomic respectiv poate fi excitat, de exemplu, prin trecerea sa de pe

starea fundamentală n, cu valoarea energetică cea mai mică, pe o anumită stare energetică

cuantificată superioară m, de unde poate reveni la starea iniţială (fundamentală) prin

eliberarea energiei câştigate sub formă de radiaţie cu frecvenţa mnν dată de condiţia lui

Bohr:

nmmn EEh −=ν (7.1)

În această relaţie, mE şi nE sunt energiile stărilor excitată şi fundamentală ale sistemului

atomic, iar h este constanta lui Planck.

Emisia de radiaţie cu frecvenţa dată de relaţia de mai sus poate avea în două

moduri:

- trecerea de la starea excitată pe cea fundamentală se face fără intervenţie din afară, în

acest caz avem emisie spontană.

- dacă asupra sistemului atomic aflat în stare excitată acţionează câmpul unei unde

electromagnetice având frecvenţa mnν , egală cu cea corespunzătoare tranziţiei considerate,

sistemul atomic va emite o undă care se găseşte într-o relaţie bine determinată cu unda

incidentă. Acest process se numeşte emisie stimulată sau emisie indusă. La rândul său

unda emisă în acest mod este capabilă să stimuleze un alt sistem mecanic, ş.a.m.d..

266

Procesul conduce la amplificarea undei incidente, idee care stă la baza principiului de

funcţionare a generatoarelor cuantice de radiaţie.

Noţiunea de emisie stimulată a fost introdusă de Einstein, pornind de la un

ansamblu de sisteme atomice aflat la temperatura T în echilibru termodinamic cu pereţii

incintei în care se află. Datorită acestui echilibru, Einstein postulează că radiaţia emisă şi

absorbită de către sisteme prin tranziţii între nivelele energetice trebuie sa se supună legii

radiţiei corpului negru.

Fie m si n două nivele energetice ale sistemului atomic. Nivelului superior m îi

corespunde energia Em, iar celui inferior n, energia En. Tranziţiile posibile între cele două

nivele sunt corespunzătoare absorbţiei sau emisiei de radiaţie cu frecvenţa bine

determinată, dată de relaţia (7.1).

Să determinăm probabilităţile tranziţiilor de absorbţie şi emisie, cât şi numărul de

tranziţii efectuate în fiecare caz în unitatea de timp. Să considerăm un sistem atomic aflat

în starea energetică inferioară n, în prezenţa radiaţiei electromagnetice având densitatea de

energie, în unitatea de interval de frecvenţă, la frecvenţa de tranziţie ν , egală cu νρ . Acest

sistem este capabil să absoarbă o anumită cantitate din energia radiaţiei prezente, trecând

în starea excitată m. Probabilitatea aceste tranziţii într-un interval de timp dt depinde de

densitatea de energie νρ după relaţia:

E

fig. 7.1

m n

267

dtBdP nm

abs

nm νρ=

unde nmB este o constantă numită coeficient Einstein de absorbţie, şi ea dă probabilitatea

de absorbţie în unitatea de timp pentru unitatea de densitate de energie. Numărul de

tranziţii de absorbţie )( mn→ în unitatea de timp pentru ansamblul de sisteme atomice va

fi proporţional cu numărul Nn de sisteme atomic din unitatea de volum aflate în starea n şi

cu probabilitatea de absorbţie, adică:

νρnmn

abs

n BNdt

dN=−

)( (7.2)

în care abs

ndN )( va reprezenta numărul cu care se măreşte populaţia nivelului m.

Dacă în prezenţa radiaţiei de densitate νρ , sistemul se găseşte în starea superioară

m, el va reveni sub influenţa acestei radiaţii pe starea n, emiţând energia câştigată prin

excitaţie sub formă de radiaţie cu frecvenţa ν (relaţia 7.1) şi în fază cu unda care a

provocat tranziţia. Dat fiind că această tranzaţie se face sub influenţa radiaţiei prezente,

fenomenul a fost numit emisie stimulată sau emisie indusă. În fenomenul de emisie

stimulată se obţine o undă amplificată, monocromatică şi coerentă.

Probabilitatea unei astfel de tranziţii va depinde deci de densitatea νρ a radiaţiei şi,

ca urmare, pentru intervalul de timp dt vom avea:

dtBdP mn

indus

mn νρ=

unde mnB este o constantă, numită coeficient de emisie indusă şi reperezintă probabilitatea

de emisie indusă în unitatea de timp pentru densitatea de energie unitară. Numărul

tranziţiilor induse nm→ în unitatea de timp, pentru unitatea de volum, va fi:

νρmnm

indus

m BNdt

dN=−

)( (7.3)

268

mN reprezentând numărul de sisteme atomice din unitatea de volum, aflate în starea m, iar

- indus

mdN )( este numărul de sisteme atomice cu care se micşorează mN prin emisie indusă.

Dacă, în absorţia radiaţiei, sistemul atomic considerat se găseşte pe starea

energetică superioară m, atunci probabilitatea de trecere a acestui sistem de la starea m la

starea inferioară n, în intervalul de timp dt va fi:

dtAdP mn

spon

mn =tan

unde mnA este o constantă, numită coeficient de emisie spontană, care dă posibiliatea

fenomenului de emisie spontană în unitatea de timp. Observăm că tanspon

mndP nu depinde de

densitatea νρ . În acest caz, sistemele atomice emit întâmplător, la diferite momente de

timp, radiaţia emisă spontan fiind incoerentă şi distribuită într-un interval de frecvenţe

(nemonocromatică).

Numărul tranziţiilor spontane nm→ va depinde numai de probabilitatea de

tranziţie în unitatea de timp mnA şi de numărul Nm de sisteme atomice aflate pe starea m.

Deci: mnm

spon

m ANdt

dN=−

tan)( (7.4)

Deoarece ansamblul sistemelor atomice a fost presupus în echilibru termodinamic,

numărul sistemelor care emit trebuie să fie egal cu cel al celor care absorb energie, deci,

ţinând sema de relaţiile (7.2), (7.3) şi (7.4) obţinem:

)( mnmnmnmn ABNBN += νν ρρ (7.5)

Pe de altă parte, la echilibru termodinamic, repartiţia pe nivelele de energie este

dată de legea lui Boltzman, deci:

kT

h

n

m

n

m eg

g

N

Nν

−

= (7.6)

269

În legea Boltzman mg şi ng sunt ponderile statistice ale nivelelor de energie considerate.

Menţionăm că în cazul în care mg = ng = 1 (nivele nedegenearte), aveam:

BBB mnnm ==

şi relaţia (7.6) devine:

kT

nE

mE

nkT

h

nm eNeNN

−−−

==

ν

(7.7)

Nivelele energetice m şi n, considerate anterior, au fost asfel alese încât frecvenţa

prin tranziţii între ele să coincidă cu cea a câmpului electromagnetic cu care sistemele

atomice se află în echilibru. Menţionăm că nu toate tranziţiile (între diferite nivele) sunt

însoţite de radiaţie, ci există şi procese neradiative (de relaxare).

7.2. Amplificarea radiaţiei

În procesul de amplificare a radiaţiei rolul esenţial îl au fenomenele de absorbţie şi

de emisie stimulată. Emisia spontană generează zgomot şi nu va fi luată în considerare.

Să considerăm din nou numărul de sisteme atomice în echilibru termodinamic cu

radiaţia electromagnetică de densitate de energie νρ . Conform relaţiei (7.2) numărul de

fotoni absorbiţi în unitatea de volum, în timpul dt, va fi:

dtBNdN n

abs

n νρ=− )(

şi energia absorbită va fi:

dthBNdW na νρν=

Neglijând emisia spontană, numărul fotonilor emişi (relaţia 7.3) în unitatea de

volum, în acelaşi timp dt va fi:

dtBNdN m

indus

m νρ=− )(

şi energia emisă va fi:

270

dthBNdW mi νρν=

Pentru a obţine amplificarea trebuie ca energia emisă să fie mai mare decât energia

absorbită, adică:

ai dWdWW −=∆ > 0 sau dthBNNW nm νρν)( −=∆ > 0

Satisfacerea acestei condiţii impune nm NN − > 0, adică în intervalul de timp dt trebuie să

existe un surplus de sisteme atomice pe starea excitată m.

Dacă această condiţie este îndeplinită, un foton cu frecvenţa ν , care întâlneşte un sistem

atomic în starea m va induce emisia de către acesta a unui nou foton cu aceeaşi frecvenţă şi

fază ca ale celui incident. Cei doi fotoni existenţi, repetând procesul, vor induce emiterea

altor doi fotoni, ş.a.m.d. Pe măsura propagării în mediu, unda este amplificată. Dacă

fotonul incident întâlneşte sisteme atomice în starea inferioară, el va fi absorbit, conducând

la excitarea sistemului. Dacă condiţia mN > nN nu este îndeplinită, amplificarea nu are loc.

7.3. Inversia de populaţie

În mod natural condiţia mN > nN nu este îndeplinită. Aşa cum am mai precizat, la

echilibru termodinamic raportul numărului de sisteme atomice în cele două stări este dat de

distribuţia Boltzman, care arată că la orice valoare a lui T numărul de sisteme aflate pe un

nivel scade cu creşterea energiei nivelului. Deci pe nivelele superioare se află mai puţine

sisteme atomice decât pe cele joase. Deşi probabilităţile de absorbţie şi emisie indusă sunt

egale, numărul fotonilor absorbiţi depăşeşte numărul celor emişi, deoarece majoritatea

sistemelor atomice se află pe stările joase de energie şi, ca urmare, condiţia de amplificare

nu este satisfăcută în mod natural.

Pentru a realiza condiţia mN > nN vor trebui create condiţii speciale de mărire a

numărului de sisteme atomice de pe nivelul superior, adică să se producă inversia de

271

populaţie. În acest caz, ansamblul de sisteme atomice nu mai este în echilibru

termodinamic, ci în raport cu nivelele m şi n considerate, el are temperatură negativă.

Ţinându-se cont de relaţia (7.7) putem deduce uşor:

n

m

nm

N

Nk

EET

ln

−−= (7.8)

La echilibru termodinamic mN < nN şi mE > nE , deci T> 0.

Dacă printr-o anumită metodă se reuşeşte mN > nN , deşi sistemul de sisteme

atomice nu se mai află în echilibru, pentru un interval de timp se stabileşte un echilibru

forţat. E ca şi cum, conform relaţiei (7.8), acest lucru ar corespunde la T< 0.

Ansamblul de sisteme atomice pentru care s-a realizat inversia de populaţie şi care

posedă temperatură negativă în raport cu aceste nivele, este capabil de amplificare (acţiune

laser) a radiaţiei de frecvenţă ν corespunzătoare tranziţiei între nivelele considerate. Acest

ansamblu de sisteme atomice se numeşte mediu activ.

Pentru realizarea unui surplus de populaţie pe nivelul superior al tranziţiei laser

sunt necesare mai multe condiţii. Dintre acestea cea mai importantă este necesitatea unui

timp de viaţă mediu lung al nivelului superior al tranziţiei laser - nivelul trebuie să fie

metastabil. În aceste condiţii se pot acumula, pe acest nivel, un număr cât mai mare de

sisteme atomice, încât acesta să depăşească mult numărul de sisteme atomice de pe nivelul

inferior, dacă acesta este tot un nivel excitat, sau de pe nivelul fundamental, dacă acesta

este nivelul inferior al tranziţiei laser. Acest proces de transfer al sistemelor atomice din

starea fundamentală în starea excitată superioară a tranziţiei laser, a căpătat numele de

pompaj. Realizarea pompajului depinde, printre altele, de natura substanţei utilizate ca

mediu, astfel:

272

- dacă mediul activ este solid, mijlocul cel mai eficace de pompaj este iradiera acestuia cu

lumină intensă având frecvenţa adecvată (pompaj optic).

- dacă mediul activ este un gaz (sau amestecuri de gaze), pompajul cu randamentul cel mai

bun se realizează cu ajutorul unei descărcări electrice în gazul respectiv sau prin ciocniri

neelastice între atomii gazului şi electronii proveniţi de la un tun electronic special.

Funcţionarea unui laser este legată şi de prezenţa unei cavităţi de rezonanţă, care

conţine mediul activ. O astfel de cavitate (de obicei de tip etalon Fabry-Perot) este

construită în aşa fel încât drumul optic dus-întors al radiaţiei prin cavitate sa fie un

multiplu întreg al lungimii de undă λ . Alegând potrivit distanţa dintre plăcile etalonului

(deci lungimea cavităţii) se pot selecta, de la o sursă bogată în radiaţii, una sau mai multe

lungimi de undă pentru care este îndeplinită această condiţie.

Excitarea mediului activ, care umple cavitatea, într-un mod oarecare (iradiera cu

lumină, descărcare în gaz sau ciocniri cu electroni) cu lungimea de undă selectată, conduce

la apariţia în cavitate a unei unde staţionare, îndeplinindu-se condiţia de autooscilaţie.

Pentru apariţia fenomenului laser, realizarea inversiei de populaţie este numai condiţie

necesară, dar nu şi suficientă. Ea trebuie completată cu condiţia de autooscilaţie, care

constă în necesitatea ca puterea radiaţiei obţinute prin amplificare să depăşească puterea

pierdută în cavitate. Pentru a realiza aceasta, trebuie depăşită o putere de prag a radiaţiei

excitatoare, începând de la care efectul laser are loc.

7.4. Proprietăţile radiaţiei laser

Coerenţa. Radiaţia spontană este emisă de sistemele atomice în mod întâmplător, la

momente diferite; ca urmare, această radiaţie este necoerentă, faza ei variind întâmplator.

În schimb, radiaţia stimulată este emisă de sistemele atomice în fază cu radiaţia

stimulatoare şi, prin urmare, este coerentă. După cum am arătat, efectul laser este declanşat

273

de primii fotoni emişi în mod spontan. Să presupunem că a fost emis spontan un singur

foton, care, prin stimulare, va obliga unul din sistemele atomice acumulate pe nivelul

superior al tranziţiei laser să emită un foton. Acesta este coerent cu cel care l-a produs, la

rezonanţă (care este cea mai probabilă), fiind în fază cu el, iar în afara rezonanţei, în avans

sau în întârziere de fază cu o cantitate finită. Deci faza radiaţiei stimulate nu variază deloc,

ci este comandată de unda stimulatoare. Fotonul indus va stimula, la rândul său, un alt

sistem atomic, ş.a.m.d. Ca urmare, radiaţia indusă va fi în totalitate o radiaţie coerentă.

Direcţionalitatea. Datorită dimensiunilor lor finite, sursele obişnuite de lumină emit

fascicule de divergenţă mare. În cazul laserului, ţinând seama de amplificare, semnalul

emis este extrem de direcţional. În acest caz, datorită formei speciale a cavităţii rezonante

(de tip etalon Fabry-Perot) undele se reflectă de un număr mare de ori pe oglinzile de la

capete, fiind amplificate numai acele unde care se propagă de-a lungul axei cavităţii.

Undele care formează un unghi cu acestă direcţie se reflectă de un număr mic de ori şi apoi

părăsesc cavitatea prin pereţii laterali fără să participle la amplificare. Unghiul de

divergenţă este cuprins între 0,10 şi 10 pentru laserii cu mediu activ solid şi sub un minut

de grad pentru cei cu mediu activ gazos.

Monocromaticitatea. Una dintre cele mai importante proprietăţi ale radiaţiei laser este

monocromaticitatea extrem de pronunţată a acesteia. Această proprietate depinde de

calităţile cavităţii rezonante şi de procesul de emisie stimulată care are loc în interiorul său.

Monocromaticitatea la un laser cu gaz este de ordinal 10-2 Hz.

Intensitatea. Cea mai imprtantă limitare a surselor de lumină obişnuite pare a fi luminanţa

lor foarte mică pentru diferite aplicaţii. Emisia stimulată, care stă la baza efectului laser,

forţează sistemele atomice excitate să emită mai rapid decât ar face-o în mod normal, fapt

care, corelat cu direcţionalitatea foarte bună, conduce la luminanţe foarte mari ale surselor

laser. Ca exemplu, laserul cu rubin conduce la luminanţe de 5.109 ori mai mari decât o arie

274

echivalentă a suprafeţei solare. Această valoare este şi mai mare la laserii cu gaz deoarece

au o direcţionalitate mai mare.

7.5. Tipuri de laseri

Realizarea primilor laseri (Light Amplification by Stimulated Emission of

Radiation) se datorează în primul rând fizicienilor C.H Townes, N. G. Basov şi A. M.

Prokhorov, cărora li s-a decernat în 1964 premiul Nobel.

Realizarea practică a unui laser presupune existenţa unei cavităţi rezonante şi a

unui sistem de pompaj pentru realizarea inversiei de populaţie. De exemplu, la laserul cu

rubin (mediu solid) cavitatea rezonantă este constituită din însuşi mediul activ(rubinul), iar

sistemul de excitare este în mod obligatoriu optic şi se realizează cu un tub de descărcare

în Xe sau amestec de neon-kripton, construit în formă de spirală în jurul barei de rubin. În

cazul laserilor cu gaz inversia de populaţie se realizează în principal cu ajutorul excitării

mediului gazos prin ciocniri electronice, produse de descărcarea electrică în gaz (dar s-au

realizat şi laseri care folosec ambele metode de excitare, atât optică, cât şi prin descărcare

electrică), iar cavitatea rezonantă este formată de însuşi tubul de descărcare umplut cu

mediul activ, care se termină cu două oglinzi plane şi paralele, aşezate perpendicular pe

axul tubului şi având un coeficient de reflexie mare.

Vom enumera în continuare cele mai importante tipuri de laseri construiţi:

Laserul cu He-Ne, realizat pentru prima dată în 1959, conţine ca mediu activ un amestec

gazos de He-Ne în raportul 10:1, cu presiunea totală de 1,1 Torr. Acest amestec gazos se

află într-un tub de descărcare, care constituie împreună cu oglinzile reflectatoare, cavitatea

rezonantă. Prin fenomenele de descărcare electrică în gaze, la ciocnirile electronilor cu

atomii, şi a atomilor exitaţi cu cei neexcitaţi, apar stări metastabile ale neonului care

275

servesc la obţinerea radiaţiei stimulate respective. La aceste tipuri de laseri se obţin radiaţii

în infraroşu cu lungimile de undă de 1152.6 nm, 1161,7 nm, 1207 nm şi în vizibil cu

lungimea de undă de 632,8 nm. Laserul cu He-Ne emite în mod continuu cu o putere de 10

– 15 mW.

Laserul cu He-Ne a fost realizat pentru prima data în România, la Bucuresti în anul 1961,

de colectivul de cercetători condus de prof. I. Agârbiceanu.

Laserul cu Rubin are ca mediu activ un cristal de rubin (Al2O3+0,05 0/00 Cr) şi a fost

realizat în 1960 de către T. H. Maiman. Cristalul de rubin este tăiat sub formă de bară

cilindrică astfel încât axa optică a cristalului să coincidă cu axa cilindrului. Prin iradierea

cristalului de rubin cu radiaţia de 560 nm, care se face cu un tub de descărcare în Xe sau

amestec de neon-kripton, construit în formă de spirală în jurul barei de rubin, se realizează

pompajul optic. Pentru a concentra toată lumina emisă de lampă pe cristal, pereţii incintei

în care se află dispozitivul sunt acoperiţi cu un strat difuzant de oxid de magneziu. Laserul

astfel construit emite lumina stimultă cu lungimile de undă de 694,3 nm şi 692,9 nm.

Laserul cu rubin funcţionează în pulsuri (durata unui puls este de aproximativ 10-8 s), iar în

timpul pulsului el furnizează o putere de ordinal zecilor de MV.

Alte tipuri de laseri utilizează diferite alte medii active solide, lichide şi gazoase:

- laserul cu neodim trivalent Nd+++ înglobat în sticlă de bariu-crom

- laserul cu coloranţi organici în soluţie, de exemplu rodamina dizolvată în alcool, care a

permis realizarea laserului “acordabil” cu emisie laser în domeniul de lungimi de undă

500 – 600 nm; iar cu alţi coloranţi, între 330 – 1176 nm.

- laserul cu semiconductori, unde se utilizează nivelele energetice caracteristice acestor

substanţe (joncţiuni p-n)

- laserul cu dioxid de carbon, care este un laser de putere mare

- laserul cu vapori de cesiu

276

- laserul cu azot ( cu radiaţii laser în ultraviolet)

- laserul (continuu) cu neodim în Ytrium-Aluminium-Granat (YAG: Nd+++)

- laseri cu lichide, de exemplu laserul cu chelaţi, cu mediu activ europiu-chelat (chelatul

fiind un radical organic - acetonatul de benzen dizolvat în alcool etilic)

- laserul cu argon ionic

Un alt tip interesant de laser este laserul cu electroni liberi realizat in 1977, în care

electronii liberi (relativişti) traversează un câmp magnetic periodic sau câmpul unor unde

electromagnetice staţionare şi emit radiaţii electromagnetice (emisie spontană) care în

interiorul unor cavităţi rezonante devin radiaţie de emisie stimulată.

Aplicaţiile laserilor sunt foarte numeroase. Se găsesc aplicaţii în: verificarea

experimentală a teoriei relativităţii, cercetarea câmpului gravitaţional, radioastronomie, în

măsurători optice, în medicină (operaţii pe retină, tehnică dentară, endoscopie), în biologie,

la tăierea şi prelucrarea materialelor, în spectroscopia atomică şi moleculară, în separarea

izotopilor, în meteorologie, în geofizică, în aplicaţiile militare, în fuziunea nucleară , etc.

De asemenea, realizarea laserilor a condus la crearea şi dezvoltarea unor discipline noi, de

mare importanţă pentru ştiintă şi tehnică, cum ar fi optica neliniară, holografia, etc.

277

Capitolul 8: Radiaţia termică

S-a constatat pe cale experimentală că toate corpurile din natură sunt surse de

radiaţii electromagnetice, ale căror caracteristici depind de natura corpurilor, cât şi de

temperatura la care acestea se află. Din acest motiv, acest tip de radiaţie a primit

denumirea de radiaţie termică. Această radiaţie este determinată de mişcarea de agitaţie

termică a atomilor şi moleculelor, care au ca rezultat excitarea energetică a acestora prin

ciocniri, urmată de dezexcitarea prin emise de radiaţie electromagnetică. Ansamblul

acestor radiaţii electromagnetice de dezexcitare formează tocmai radiaţia termică.

Dacă se plasează un corp încălzit într-o incintă vidată cu pereţii perfect reflectatori

şi izolată adiabatic de exterior, se stabileşte în timp o stare de echilibru între radiaţia

termică emisă de corp şi radiaţia pe care acesta o absoarbe din incintă. Corpul primeşte în

unitatea de timp de la radiaţia absorbită aceiaşi cantitate de energie pe care el însuşi o

emite sub formă de radiaţie termică. Distribuţia de energie între corp şi radiaţie nu variază

în timp, obţinându-se astfel radiaţia termică de echilibru. Proprietăţile radiaţiei termice de

echilibru sunt următoarele:

- spectrul său este continuu

- este izotropă şi omogentă

- este nepolarizată

Radiaţia termică are proprietăţile comune tuturor undelor: se reflectă, se refractă,

este absorbită.

Pentru fiecare dintre aceste trei fenomene se defineşte coeficientul corespunzător:

- coeficientul de reflexie ρ , definit ca raportul dintre fluxul de radiaţie reflectat (fluxul

reprezentând energia din unitatea de timp a radiaţiei termice) şi cel incident:

i

r

Φ

Φ=ρ

278

- coeficientul de transmisie τ , definit ca raportul dintre fluxul de radiaţie transmis şi cel

incident: i

t

Φ

Φ=τ

- coeficientul de absorbţie α , definit ca raportul dintre fluxul de radiaţie absorbit şi cel

incident:

i

r

Φ

Φ=α

Conform legii consevării energiei se obţine:

1=++ ατρ

Aceşti trei coeficienţi depind de lungimea de undă a radiaţie incidente, precum şi de natura

sau temperatura corpului.

Un corp al cărui coeficient de absorbţie este unitar )1( =α indiferent de lungimea

de undă a radiaţiei incidente şi temperatură se numeşte corp negru. În natură nu se pot

întâlni corpuri negre absolute, însă există şi unele corpuri cu o comportare apropiată de cea

a corpului negru (de ex. negrul de fum sau negrul de platină).

Suprafaţa unui corp care emite şi absoarbe radiaţii se caracterizează prin:

- emitanţa energetică(exitanţă energetică) M, definită ca energia emisă în unitatea de

timp, în toate direcţiile, de unitatea de suprafaţă emisivă:

dt

dW

SM

1= (W/m2)

Emitanţei energetice, definită global pentru pentru toate lungimile de undă îi

corespunde mărimea emitanţa energetică spectrală, definită ca fiind emitanţa energetică

din vecinătatea unei lungimi de undă considerate:

λλ

d

dMm =

Pentru toate lungimile de undă emitanţa energetică totală este dată de relaţia:

279

λλdmM ∫∞

=0

Aşa cum am precizat anterior, în natură nu exista corpuri negre absolut, dar se pot

construi dispozitive care să aproximeze destul de bine un asfel de corp. Experimental, se

poate realiza un corp negru cu ajutorul unei incinte opace cu pereţii interiori foarte

absorbanţi (de ex. o incintă de cupru cu oxid de cupru negru) având un orificiu foarte mic.

O radiaţie termică care pătrunde în incinta va suferi reflexii succesive însoţite de absorbţii

parţiale pe pereţii interiori ai incintei, astfel încât radiaţia este practic complet absorbită.

Suprafaţa orificiului se comportă ca un corp negru. De asemenea, această incintă se poate

introduce într-un cuptor, deci se poate încalzi incinta la o temperatură oarecare T şi atunci

orificiul va emite o radiaţie termică care are proprietaţile corpului negru aflat la aceeaşi

temperatură. Se poate astfel cerceta repartiţia spectrală a energiei radiaţiei termice emise

de către corpul negru la diferite temperaturi. Studiul experimental al radiaţiei corpului

negru a condus la formularea unor legi specifice ale radiaţiei termice.

8.1. Legile experimentale ale radiaţiei termice a corpului negru

1. Legea lui Kirchhoff: “emitanţa energetică spectrală a unui corp negru depinde doar de

temperatura sa absolută şi de lungimea de undă a radiaţiei emise, fără a depinde de natura,

forma şi dimensiunile corpului”,

),( Tmm λλλ =

Integrând emitanţa energetică spectrală în raport cu lungimea de undă se obţine:

∫∞

==0

)(),( TMdTmM λλλ

Legea Kirchhoff se mai poate enunţa astfel: “emitanţa energetică a corpului negru este o

funcţie universală de temperatura sa absolută”.

280

2. Legea Stefan-Boltzmann. Emitanţa energetică a corpului negru M, cuprinzând toate

frecvenţele, toate direcţiile de propagare şi toate stările de polarizare depinde de

temperatura absolută T prin legea stabilită experimental de Stefan şi justificată teoretic de

Boltzman:

4TM ⋅=σ

lege cunoscută sub numele de legea Stefan-Boltzmann, iar σ este o constantă universală a

cărei valoare este 5,6697.10-8 Wm-2K-4.

3. Legea de deplasare Wien. Distribuţia spectrală a energiei emise sub formă de radiaţie

termică nu depinde de materialul, forma şi dimensiunile corpului negru, ci numai de

temperatura acestuia. Curba distribuţiei emitanţei energetice spectrale λm la diferite

temperaturi este reprezentată în figura 8.1.

Se observă că pe măsura creşterii temperaturii, maximul curbelor se deplasează

spre lungimi de undă mai mici. Această modificare a distribuţiei spectrale a energiei

determinată de creşterea temperaturii este descrisă de legea de deplasare Wien:

bT =⋅maxλ

unde maxλ este lungimea de undă corespunzătoare maximului de distribuţie a emitanţei

energetice spectrale la temperatura T, iar b este o constantă universală cu valoarea

2,8978 .10-3 m.K. În aceste condiţii, la temperaturile atinse în mod curent, maximul emisiei

λ

λm

T2>T1

T1

fig. 8.1

281

se găseşte în infraroşu. La 5000 K acest maxim intră în regiunea galbenului din vizibil, iar

la peste 7200 K, maximul intră în ultraviolet.

Legile radiaţiei termice au o deosebită importanţă practică, în special la

determinarea temperaturilor mari ale corpurilor prin metoda pirometriei optice.

În cadrul fizicii clasice, s-a încercat fără succes explicarea legilor experimentale ale

radiaţiei termice a corpului negru. Astfel, bazându-se pe termodinamica clasică şi pe legea

echipartiţiei energiei, Rayleigh şi Jeans au obţinut o formulă teoretică pentru emitanţa

energetică spectrală a corpului negru:

kTc

m4

2

λπ

λ = (8.1)

în care k este constanta Boltzmann şi c este viteza luminii în vid.

Această formulă a fost confirmată experimental numai la lungimi de undă mari, fiind în

contradicţie cu experienţa spre lungi de undă mici. Această divergenţă dintre formula

Rayleigh-Jeans şi experienţă a fost denumită “catastrofa ultravioletă”. În schimb, la

lungimi mici de undă, Wien a găsit valabilă o altă formulă pentru emitanţa spectrală a

corpului negru:

T

C

ec

m λλ λ

2

51

−= (8.2)

unde c1 şi c2 sunt constante universale.

Atât formula 8.1 cât şi formula 8.2, conduc la valori infinite pentru emitanţa

energetică integrală M.

În anul 1900 Planck stabileşte o formulă generală, în deplină concordanţă cu datele

experimentale:

1

125

2

−

⋅=kT

hc

e

hcm

λ

λ λπ

(8.3)

282

unde h este constanta lui Planck. În figura 8.2 sunt reprezentate grafic formulele 8.1 (curba

R-J), 8.2 (curba W) şi 8.3 (curba P).

Se poate vedea imediat că formulele Rayleigh-Jeans şi Wien constituie cazuri

particulare ale formulei Planck. Într-adevăr, pentru Tλ >> 1 (unde cu lungimi de undă

lungi sau temperaturi ridicate): kT

hc

eλ = .......1 ++kT

hc

λ, formula Planck devine

kTc

m4

2

λπ

λ = , adică formula Rayleigh-Jeans. Pentru Tλ << 1 (unde cu lungimi de undă

scurte sau temperaturi foarte joase) formula lui Planck devine: kT

hc

ehc

m λλ λ

π −⋅=

5

22, adică

formula stabilită de Wien.

Pentru a explica mecanismul radiaţiei termice şi a demonstra formula care-i poartă

numele, Planck a considerat că atomii şi moleculele care întră în constituţia corpului negru,

se comportă ca nişte oscilatori electromagnetici foarte mici care emit şi absorb energie. În

legătură cu aceşti oscilatori atomici, Planck a făcut următoarele ipoteze, în contradicţie cu

concepţiile fizicii clasice:

- un oscilator nu poate avea orice energie E, ci doar numai un multiplu întreg al unei

cantităţi distincte νh :

E = νhn ⋅

λ

λm

fig. 8.2

P W R-J

283

- oscilatorul nu emite radiaţiile în mod continuu, ci numai în “salturi”, sau cuante, sau

fotoni. Aceste cuante de energie se emit atunci când oscilatorul trece de la o stare

cuantificată de energie la alta. Atâta timp cât oscilatorul rămâne în una din stările sale

(stări staţionare) el nu emite şi nu absoarbe energie.

Constanta lui Plank, este o constantă universală cu un rol deosebit de important în

fizica modernă. Legile radiaţiei corpului negru dau pentru această constantă valoarea

6, 62 .10-34 Js.

Demonstraţiei făcute de Planck pentru a deduce formula care-i poartă astăzi numele

i se poate reproşa caracterul ei inconsecvent. Astfel ipoteza structurii fotonice a radiaţiei

termice (pe baza căreia se calculează energia medie a unui mod de vibraţie) este utilizată în

acelaşi timp cu ipoteza ondulatorie (pe baza căreia calculează numărul modurilor de

vibraţie). Deci, Planck cuantificând energia oscilatorilor atomici, trata radiaţia

electromagnetică exclusiv ca o undă. Einstein, studiind legile efectului fotoelectric, a arătat

pentru prima dată însuficienţa în anumite condiţii a acestei descrieri ondulatorii a radiaţiei,

elaborănd teoria fotonică a luminii, teorie prezentată deja într-un capitol anterior.

284

Capitolul 9: Radiaţia X

Razele X sunt radiaţii electromagnetice similare celor luminoase, însă au frecvenţe

mult mai mari. Domeniul de lungimi de undă corespunzătoare radiaţiilor X se întinde între

0,1 Å şi 500 Å. Structura discontinuă a radiaţilor electromagnetice rezultă în mod evident

din experienţele cu raze X.

În anul 1895, W.K. Röngen lucrând cu razele catodice (cunoscute astăzi ca fiind

electronii) a descoperit existenţa radiaţiei X, caracterizată prin:

- radiaţia este produsă la impactul razelor catodice (electronilor) cu o suprafaţă solidă

- radiaţia nu este deviată în câmpuri electrice şi magnetice

- trecerea radiaţiei printr-un gaz provoacă ionizarea gazului mărindu-i conductivitatea

electrică

- elementele mai uşoare sunt mai transparente la razele X decât elementele mai grele

- impresionează placa fotografică

- posedă proprietăţile caracteristice radiaţiei luminoase: se reflectă, se refractă, se

polarizează şi produce fenomene de interferenţă şi difracţie.

Descoperirea proprietăţilor optice – polarizare şi difracţie, a clarificat natura

electromagnetică a radiaţiei X.

Razele X se produc în tuburi speciale. Un astfel de tub de raze X, este un tub de

descărcare în care electronii emişi de un catod încălzit sunt acceleraţi către anod de o

diferenţă de potenţial de ordinul 104 – 105 V. De pe suprafaţa anodului ţintă, numit şi

anticatod, se emite radiaţia X. Metoda difracţiei pe reţele cristaline a permis să se

determine experimental lungimea de undă a razelor X şi să se determine spectrul lor.

Într-un tub de raze X iau naştere două tipuri de astfel de raze: radiaţii X cu spectru

continuu (radiaţiile de frânare) şi radiaţii X cu spectru de linii (radiaţie X caracteristică).

285

Radiaţiile X de frânare se produc prin frânarea electronilor puternic acceleraţi pe

anticatod, ea fiind rezultatul efectului fotoelectric invers, în care energia cinetică a

electronilor incidenţi se transformă în fotoni de energie νh . Cu cât electronul trece mai

aproape de un nucleu din anodul ţintă, deci cu cât parametrul de ciocnire este mai mic, cu

atât el este mai puternic frânat şi energia fotonului emis este mai mare. Există fotoni care

sunt frânaţi până la oprire, în acest caz energia fotonului este maximă. Fotonii emişi de un

ansamblu de astfel de electroni frânaţi pot avea orice energie între zero şi energia maximă

egală cu energia electronilor incidenţi, deci spectrul radiaţiei de frânare este un spectru

continuu. Experimental s-a găsit că spectrul continuu este net delimitat spre lungimi mici

de undă, valoarea lungimii de undă minimă minλ fiind independentă de materialul

anodului, dar depinde de tensiunea de acclerare U a electronilor. Conform teroiei

fotonice, energia maximă a unui foton este determinată de tensiunea de accelerare conform

realţiei: eUhc

hE ===

minmaxmax

λν

de unde: eU

hc=minλ (9.1)

Spre exemplu, pentru U = 10 000 V, se obţine minλ = 1,24 Å, valoare care este în

concordanţă cu ce aceea obţinută prin difracţia razelor X pe cristale.

În figura 9.1 se prezintă spectrul radiaţiei X de frânare pentru diferite valori ale

tensiunii de accelerare. Spectrul pentru fiecare tensiune de accelerare începe de la o

lungime de undă minimă corespunzătoare tensiuni de accelerare, conform relaţiei (9.1). Pe

măsură ce creştem tensiunea de accelerare, limita spectrului continuu se deplasează spre

lungimi de undă mai mici.

Cu cât tensiunile de accelerare sunt mai mari, peste spectrul continuu de frânare se

suprapune un spectru de linii.

286

Acest spectru de raze X are doar câteva lungimi de undă, lungimi caracteristice

materialului anodului, şi de aceea aceste raze se numesc radiaţii X caracteristice.

Mecanismul de generare a spectrului caracteristic constă în aceea că, ciocnindu-se

cu atomii anodului, electronii puternic acceleraţi smulg acestora electroni din păturile

profunde, cu număr cunatic principal mic (n = 1 - pătura K, n = 2 - pătura L, n = 3 - pătura

M, etc.). Electronii atomului tind să se rearanjeze pentru a aduce atomul în starea de

energie minimă, deci locurile rămase libere sunt ocupate de electroni din păturile

superioare cu numărul cunantic principal n mai mare, tranziţiile respective fiind însoţite

de emisia de raze X cu lungimi de undă bine deterninate, grupate în serii. Deoarece fiecare

tip de atom are un anumit spectru energetic rezultă că radiaţia X caracteristică depinde în

mod esenţial de structura atomică a materialului anticatodului.

Lungimea de undă a radiaţiei X caracteristice se poate calcula destul de bine cu

ajutorul următoarei relaţii cunoscută şi sub numele de legea lui Moseley:

)11

)((1

22 knZR

nk

−−= σλ

unde R este constanta Rydberg, Z este numărul atomic al elementului emiţător, n şi k sunt

numerele cuantice principale ale nivelelor între care are loc tranziţia, σ este o constantă,

numită constantă de ecranare, care se determină experimental.

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 λ (Å)

Intensitatea relativă

10

8

6

4

2

0 20 KV

30 KV

40 KV

50 KV

fig. 9.1

287

Din legea lui Moseley se vede că lungimile de undă emise depind prin intermediul

lui Z de tipul elementului emiţător. Această dependenţă a dus spectrului de linii al radiaţiei

X denumirea de spectru caracteristic. Legea lui Moseley ne mai arată că între mecanismul

de emisie al spectrului luminos şi cel de emise a radiaţiilor X caracteristice nu este o mare

diferenţă. În schimb, datorită faptului că radiaţiile X caracteristice sunt emise prin

dezexcitare pe nivele interioare, spectrul razelor X se găseşte la lungimi de undă mai mici

(deci frecvenţe şi energii mult mai mari decât pentru lumină) şi are mai puţine linii decât

spectrul luminos, linii a caror frecvenţă variază monoton cu Z.

Din cauza acestei din urmă caracteristici, spectrele de raze X se utilizează pentru

identificarea elementelor. Această metodă de analiză şi identificare prin excitarea radiaţiei

X caracteristice este foarte precisă şi foarte sensibilă. Ea a servit la identificarea unor

elemente grele necunoscute cât şi la descoprerirea elementelor transuraniene (Z > 92).

Fizicianul român Horia Hulubei a adus contribuţii importante în studiul radiaţiilor X

caracteristice emise de elementele grele.

Trebuie de asemenea remarcată deosebita importanţă a utilizării radiaţiei X în

medicină (la obţinerea radiografiilor), în biologie, în studiul reţelelor cristaline ale

corpurilor solide - prin difracţia razelor X pe aceste reţele cristaline, etc.

288

Capitolul 10: Holografia

Holografia este tehnica de obţinere a unei fotografii în relief – holograme, fără a

folosi un obiectiv. Holografia a fost concepută de fizicianul D. Gabor în 1947 însă datorită

lipsei la acea vreme a unui surse de lumină coerentă – cerinţă absolut necesară în realizarea

hologramelor, descoperirea sa a fost concretizată în anul 1963 de către fizicienii Leith şi

Upatnicks, care au obţinut holograme cu ajutorul unui laser He –Ne. Denis Gabor a primit

premiul Nobel în 1971 pentru holografie.

Metoda lui Denis Gabor constă în obţinerea imaginii unui obiect din figura

generală de difracţie Fresnel, produsă de acel obiect. Această metodă a fost numită

holografie (holos = întreg, grafos = scriere, în limba greacă).

Metoda constă în două etape:

- peste un fond luminos coerent se suprapune figura de difracţie Fresnel, produsă de

obiectul luminat coerent cu fondul luminos, interferograma rezultată înregistrată pe o placă

fotografică constituie holograma (care conţine toate informaţiile cu privire la amplitudinea

şi faza luminii difractate de obiect).

- holograma fotografică se iluminează cu un fascicul de lumină paralelă, monocromatică şi

datorită variaţiilor în densitatea optică prezentată de placa fotografică, apar efecte de

difracţie prin care se reconstituie imaginea obiectului.

Experienţa reuşeşte bine dacă se utilizează o sursă de lumină coerentă şi de intensitate

mare. Să analizăm în continuare mai amănunţit modul de realizare a acestor două etape.

Dacă fotografia obişnuită reţine o imagine datorită intensităţii mediate în timp a

luminii provenite din diferite puncte ale obiectului, holograma înregistrează şi informaţia

cuprinsă în faza undei optice transmise sau reflectate de obiect. Dar mediile de înregistrare

disponibile (filme, plăci, detectori foto, etc.), răspund numai la intensitatea luminii

289

(proporţională cu pătratul amplitudinii). Acest fapt, impune înregistrarea informaţiei de

fază prin conversie în variaţii de intensitate, ceea ce se realizează practic prin

interferometrie, unda transmisă sau reflectată de obiect este suprapusă peste o undă de

referinţă care provine de la acelaşi laser, iar figura de interferenţă rezultantă este

întrgistrată pe placa fotografică.

Principiul holografiei este deci simplu. Pentru a putea înregistra şi faza undei sosite

de la un obiect, se foloseşte încă o undă coerentă cu cea obiect, care interferă cu aceasta.

Figura de interferenţă obţinută depinde deci, atât de amplitudinile celor două unde, cât şi

de diferenţa de fază dintre ele în planul hologramei.

Metoda cea mai simplă de a obţine o hologramă este redată în figura 10.1.

Fasciculul luminos emis de un laser şi expandat cu ajutorul unei lentile, este scindat

în două: o parte din fascicul cade pe o oglindă (O) şi cealaltă parte din fascicul cade pe

obiectul de holografiat. Fasciculul reflectat de oglindă reprezintă fasciculul de referinţă, iar

fasciculul reflectat de obiect constituie fasciculul obiect. Ambele fascicule fiind coerente,

interferă la nivelul plăcii fotografice, formând un tablou de interferenţă determinat atât de

amplitudinea cât şi de fazele relative ale undelor reflectate de obiect ( holograma H-).

O

θ

Obiect

Laser

H-

fig. 10.1

Placă fotografică

290

Într-adevăr, lumina reflectată de obiect prezintă modificări în funcţie de poziţia în

spaţiu a diverselor puncte ale obiectului, tabloul de interferenţă (holograma H-)

înregistrând astfel informaţiile de fază.

În acest procedeu, monocromaticitatea şi coerenţa luminii sunt esenţiale, aşa încât

laserii folosiţi curent sunt cei de heliu-neon sau cei cu argon ionizat.

Pentru reconstituirea imaginii, holograma obţinută prin developare (holograma H+)

se plasează în aceeaşi poziţie ca la înregistrare şi se iluminează cu un fascicul de referinţă

identic cu cel de la înregistrare, sub acelaşi unghi de incidenţă (fig. 10.2).

Fasciculul de referinţă se difractă pe hologramă, care se comportă acum ca şi o

reţea de difracţie complicată şi ca atare apar unde având aceeaşi structură ca şi undele

reflectate de obiect (fasciculul obiect). Astfel, holograma reproduce fasciculul obiect

printr-un proces de modulare. Undele produse prin difracţie, formează o imagine virtuală a

obiectului în poziţia în care a fost înregistrat; această imagine clară, nedistorsionată, poate

fi văzută de observator, care are senzaţia că priveşte însuşi obiectul real. În afară de această

imagine primară virtuală, holograma va difracta înspre observator o imagine conjugată

O

θ

Imagine primară virtuală Laser

H+

fig. 10.2

E

Imagine conjugată reală

Placa fotografică cu holograma

291

reală, care apare neclară şi puternic distorsionată. Dacă fasciculul laser de iluminare este

dirijat în sens invers fasciculului iniţial, acesta iluminând partea inversă a hologramei, va

produce o imagine reală a obiectului în locul poziţiei iniţiale a obiectului, imagine care

poate fi înregistrată direct pe o placă fotografică fără a fi necesare lentile.

Hologramele se caracterizează prin urmatoarele:

- o porţiune dintr-o hologramă dă prin iluminare aceeaşi imagine pe care o dă holograma

întreagă, însă cu cât este mai mic fragmentul folosit pentru reconstituirea imaginii, cu atât

este mai slabă claritatea ei.

Această proprietate se explică prin faptul că orice porţinue a unei holograme conţine

înregistrate figurile de interferenţă create de toate punctele obiectului.

- pe aceeaşi placă fotografică se pot înregistra mai multe holograme folosind fascicule

laser orientate sub diverse unghiuri. Se poate obţine astfel stocajul optic al informaţiilor.

Este de menţionat că hologramele, care sunt obţinute de regulă pe plăci fotografice, pot fi

stocate şi pe alţi fotodetectori, cum ar fi: sticlele fotoceramice, receptorii termoplastici,

fotolacurile-polimeri, cristale feroelectrice, etc.

Holografia se aplică în microscopie, în transmiterea imaginilor prin atmosfera

terestră, în stocajul holografic al informaţiilor - un domeniu de mare interes în momentul

actual. Alte aplicaţii şi dezvoltări se referă la hologramele Fourier, hologramele

bidimensionale, de volum, de fază, prin reflexie, în culori, cu radiaţii invizibile, holografia

ultraacustică.

Prelucrarea automată a datelor solicită memorarea unui volum mare de date şi un

rapid acces la informaţiile stocate. Cu ajutorul holografiei (bi sau tridimensionale) se pot

realiza sisteme optice de memorare a datelor de mare capacitate (memorii holografice).

Există procesoare şi calculatoare optice specializate în prelucrarea optică a informaţiei. În

prezent, în multe centre de cercetare din lume se fac cercetări pentru obţinerea de memorii

292

holografice superioare, sau cel puţin competitive cu memoriile actuale folosite de

calculator. Desigur, încă sunt probleme de rezolvat, dar rezultatele obţinute până în prezent

atestă că memoriile holografice şi în general tehnicile de stocare holografică a informaţiei

vor câştiga în competitivitate faţă de altele.

La reconstituirea holografică apare un efect de difracţie, ca şi în imaginea

obiectului difuzant iluminat de un laser, efectul de granularitate “spekle”: obiectul sau

imaginea imaginea dă impresia că este acoperit de o structură granulară foarte fină. S-a

dezvoltat astfel un capitol de optică “spekle” cu multe aplicaţii.

Cu ajutorul holografiei şi a utilizării transformatei Fourier la formarea imaginii în

sistemele optice se poate realiza recunoaşterea formelor, identificarea optică a unui semnal

(de exemplu, de câte ori apare o literă dată într-un text tipărit).

De asemenea, metoda interferometriei holografice poate fi folosită cu succes în

tehnică pentru verificarea şi controlul calităţii şi formei suprafeţelor.

Este de reţinut ca în momentul de faţă hologramele se pot genera pe calculator

(hologramă sintetizată pe calculator). Calculatoarele desenează un sistem de franje care

trecute pe negativ (placa holografică) dau naştere unui fascicul difractat.

293

Bibliografie

1. Ghe. Ciobanu: Termodinamica, Universitatea Bucureşti 1982

2. T. Creţu: Fizică generală, Editura Tehnică 1984

3. D. Demirian: Fizica, U.T.C.B. 1978

4. I. Dima: Electricitate şi magnetism, Universitatea Bucureşti 1981

5. I. Druică Zeletin: Fizica, U:T.C.B. 1989

6. A. Einstein: Teoria relativităţii, Editura Tehnică 1957

7. R. Feymann: Fizica modernă, Editura Tehnică 1970

8. I.A. Friş, K.V. Timoreva: Curs de fizică generală, Editura Tehnică 1964

9. D. Halliday, R. Resnick: Fizica, Editura Didactică şi Pedagogică, 1975

10. A. Hristev: Mecanică şi acustică, Editura Didactică şi Pedagogică, 1984

11. Ch. Kitell, W.D. Knight, M.A. Rudermann: Cursul de fizică Berkeley, Editura

Didactică şi Pedagogică, 1981

12. J.C. Maxwell: Tratat elementar de electricitate, Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică

1989

13. I. Newton: Principiile matematice ale filosofiei naturale, Editura Academiei 1969

14. Al. Nicula: Electricitate şi magnetism, Editura Didactică şi Pedagogică, 1973

15. I.M. Popescu: Fizica, Editura Didactică şi Pedagogică, 1982

16. E. Purcell: Cursul de fizică Berkeley, Editura Didactică şi Pedagogică, 1982

17. F.W. Sears, M.W. Zemanskz, H.D. Young: Fizica, Editura Didactică şi Pedagogică,

1983

18. R. Tomulescu: Curs de fizică generală, U:T.C.B., 1992

19. R. Ţiţeica, I. Popescu: Fizică Generală, Editura Tehnică 1971

20. S.G. Landsberg: Optica, Editura Tehnică, 1958

21. G.G. Brătescu: Optica, Editura Didactică şi Pedagogică, 1982

294

22. M. Giurgiu, Fizica, Editura Matrix Rom, 2003

23. M. Giurgea, L. Nasta: Optica, Editura Academiei Române, 1998

24. Şt. Levai, M Bulinski, O. Toma: Optica, Editura Universităţi Bucuresti, 2002

25. M. Giurgiu, Fizica II, Editura Matrix Rom, 2005

26. R. Ţiţeica, I. Popescu: Fizică Generală, Editura Tehnică 1973, 1975

27. I. Iova: Elemente de optică aplicată, Editura Didactică şi Pedagogică, 1982

28. I. Cucurezeanu: Laseri, Editura Academiei RSR, 1966