pre Țuri Și concuren ȚĂ anul ii, semestrul...

UNIVERSITATEA „DANUBIUS“ DIN GALAŢI

DEPARTAMENTUL DE ÎNVĂŢĂMÂNT LA DISTANŢĂ

FACULTATEA DE ŞTIINŢE ECONOMICE

Lect. univ. dr. GINA IOAN

PREȚURI ȘI CONCURENȚĂ Anul II, Semestrul II

Gina Ioan Prețuri și concurență

3

CUPRINS

Introducere........................................................................................... 5

1. Mecanismul formării prețurilor....................................................... 9

2. Cererea............................................................................................. 13

3. Oferta............................................................................................... 48

4. Cererea și oferta............................................................................... 89

5. Monopolul....................................................................................... 107

6. Oligopolul........................................................................................ 118

7. Eficiența economică........................................................................ 134


4


5

INTRODUCERE Modulul intitulat “Prețuri și concurență” se studiază în anul II în semestrul al II-lea și vizează dobândirea de competențe în domeniul formării prețurilor pe piață în cadrul aplicațiilor practice ale microeconomiei. După ce se va învăța modulul, vor fi dobândite următoarele competențe generale:

• Utilizarea adecvată a conceptelor, teoriilor, metodelor şi instrumentelor de natură financiară în entităţile/organizaţiile private şi publice;

• Identificarea şi definirea conceptelor, teoriilor, metodelor şi instrumentelor de natură financiară în entităţile/organizaţiile private şi publice;

• Explicarea şi interpretarea conceptelor, teoriilor, metodelor şi instrumentelor de natură financiară în entităţile/organizaţiile private şi publice;

• Culegerea, analiza şi interpretarea de date şi informaţii referitoare la probleme economico-financiare;

• Identificarea şi definirea metodelor, tehnicilor şi instrumentelor de culegere, analiză şi interpretare a datelor referitoare la o problemă economico-financiară;

• Explicarea metodelor, tehnicilor şi instrumentelor de culegere, analiză şi interpretare a datelor referitoare la o problemă economico-financiară;

• Aplicarea metodelor, tehnicilor şi instrumentelor de culegere, analiză şi interpretare a datelor referitoare la o problemă economico-financiară;

• Efectuarea de analize economico-financiare curente pe baza datelor şi informaţiilor culese;

• Identificarea rolurilor si responsabilitatilor intr-o echipa plurispecializata si aplicarea de tehnici de relationare si munca eficienta in cadrul echipei;

• Realizarea prestațiilor în comerț, turism și servicii;

• Definirea adecvată a conceptelor şi principiilor specifice teoriei economice, precum şi a celor din domeniul comerţului, turismului şi serviciilor;

• Explicarea şi interpretarea de date si informaţii din punct de vedere cantitativ şi calitativ, pentru formularea de argumente şi decizii concrete asociate comerţului, turismului şi serviciilor;

• Gestionarea relațiilor cu clienții și furnizorii;

• Definirea conceptelor privind cererea şi oferta de bunuri şi servicii, inclusiv în activitatea de turism, a comportamentului consumatorilor şi a normelor de protecţie a acestora;


6

• Explicarea şi interpretarea fenomenelor şi proceselor economice specifice comerţului, turismului şi serviciilor pe baza conceptelor privind cererea şi oferta de servicii şi a comportamentului consumatorilor;

• Gestionarea și alocarea resurselor materiale și financiare;

• Descrierea conceptelor şi principiilor evidenţei contabile aplicate în finanţarea activităţilor de comerţ, turism, servicii, precum şi a metodologiei şi indicatorilor de fundamentare a alocării resurselor;

• Elaborarea de calcule pentru diferite situaţii alternative (variante decizionale) în alocarea de resurselor;

• Cunoaşterea şi utilizarea adecvată a noţiunilor specifice disciplinei , explicarea şi interpretarea unor idei specifice acesteia, precum şi proiecte teoretice şi/sau practice de aplicare a noţiunilor specifice;

• Proiectarea şi evaluarea activităţilor practice specifice disciplinei ; utilizarea unor metode, tehnici şi instrumente de investigare şi aplicare;

• Manifestarea unor atitudini pozitive şi responsabile faţă de domeniul ştiinţific în care se regăseşte disciplina , cultivarea unui mediu ştiinţific centrat pe valori şi relaţii democratice, valorificare optimă şi creativă a propriului potenţial în activităţile ştiinţifice, participarea la propria dezvoltare profesională.

Obiectivele cadru pe care le propun sunt următoarele: • Capacitatea de a înțelege noţiunile teoretice specifice domeniului precum şi aplicarea practică a a acestora;

• Cunoașterea teoretică și practică a tipologiei concurenței economice;

• Înțelegerea importanței și rolului studierii mecanismului de funcţionare a economiei naţionale;

• Înțelegerea și explicarea conceptelor şi mecanismelor macroeconomice;

• Implementarea noțiunilor necesare pentru pregătirea viitorilor specialiști care vor acționa în mediul economic;

• Selectarea informaţiilor esenţiale din curs şi din bibliografie;

• Formarea deprinderilor de calcul economic în abordarea unor probleme microeconomice complexe;

• Dezvoltarea capacității de a interpreta o serie de fenomene microeconomice.

Conținutul este structurat în următoarele unităţi de învăţare:


7

• Mecanismul formării prețurilor

• Cererea

• Oferta

• Cererea și oferta

• Monopolul

• Oligopolul

• Eficiența economică

În unitățile de învăţare se vor regăsi operaționalizarea următoarelor competenţe specifice:

• Definirea adecvată a conceptelor şi principiilor specifice teoriei economice, precum şi a celor din domeniul comerţului, turismului şi serviciilor;

• Explicarea şi interpretarea de date si informaţii din punct de vedere cantitativ şi calitativ, pentru formularea de argumente şi decizii concrete asociate comerţului, turismului şi serviciilor;

• Explicarea şi interpretarea de situaţii/procese concrete din domeniul administrării afacerilor pentru interpretarea corectă a evoluţiilor pieţei muncii şi a evoluţiilor din interiorul firmelor în ceea ce priveşte angajaţii;

• Explicarea corectă a noilor concepte; • Folosirea în mod practic a instrumentarului microeconomic; • Culegerea, analiza şi interpretarea de date şi informații referitoare la

probleme economico-financiare; • Aplicarea deciziilor financiare în cadrul entităților/organizațiilor private şi publice;

• Cunoaşterea şi înţelegerea conceptelor metodologice privind formarea preţurilor;

• Formarea unor abilităţi şi a unor conexiuni între problematica preţurilor şi practicilor în cadrul mediului concurenţial;

• Dezvoltarea capacităţii studentului de a percepe rolul şi importanţa politicii concurenţei

după ce se va studia conținutul cursului şi se va parcurge bibliografia recomandată. Pentru aprofundare şi autoevaluare se propun exerciții şi teste adecvate care vor permite să se aplice în probleme concrete de natură economică cunoștințele învățate.

Pentru o învăţare eficientă este nevoie de următorii pași obligatorii:

• Să se citească modulul cu maximă atenție; • Să se evidențieze informațiile esențiale cu culoare, să fie notate pe hârtie,

sau adnotate în spațiul alb rezervat; • Să se răspundă la întrebări şi să se rezolve exercițiile propuse; • Să se simuleze evaluarea finală, autopropunându-vă o temă şi rezolvând-

o fără să apelați la suportul scris; • Să se compare rezultatul cu suportul de curs şi să vă explicaţi de ce ați

eliminat (eventual) anumite secvențe; • În caz de rezultat nesatisfăcător să se reia întreg demersul de învăţare.


8

Se vor primi, după fiecare capitol parcurs, lucrări de verificare, cu cerinţe clare, care vor trebui rezolvate, imediat ce veți fi anunțați prin intermediul platformei de învățământ în termen de o săptămână; în acest fel vor fi îndeplinite obiectivele pe care le-am formulat. Se va răspunde în scris la aceste cerințe, folosindu-vă de suportul de curs şi de următoarele resurse suplimentare (autori, titluri, pagini). Veți fi evaluat după gradul în care ați reușit să operaționalizați competenţele. Se va ţine cont de acuratețea rezolvării, de modul de prezentare şi de promptitudinea răspunsului. Pentru neclarităţi şi informații suplimentare veți apela la tutorele indicat. 30% din notă va proveni din evaluarea continuă (cele două lucrări de verificare) şi 70% din evaluarea finală.


9

1. MECANISMUL FORMĂRII PREȚURILOR

Mecanismul formării prețurilor 9

Rezumat 11

Test de autoevaluare 11

Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare

11

Bibliografie minimală 12

Obiective în termeni de competențe specifice:

La sfârşitul modulului, se va şti: să se definească în mod adecvat conceptele şi principiile specifice teoriei economice, precum şi a celor din domeniul comerţului, turismului şi serviciilor;

să se explice şi interpreteze datele și informaţiile din punct de vedere cantitativ şi calitativ pentru formularea de argumente şi decizii concrete asociate comerţului, turismului şi serviciilor;

să se poată explica corect noile concepte;

să se folosească în mod practic instrumentarul economic.

Timp mediu estimat pentru studiu individual: 4 ore

Noțiunea de preț (provenită din latinescul pretium) poate fi abordată din mai multe puncte de vedere. La o primă interpretare, prețul reprezintă o cantitate de bani plătită de către un cumpărător în vederea achiziționării unui produs sau serviciu de la posesorul/producătorul/furnizorul acestuia. În această accepțiune, prețul reprezintă un cuantificator al transferului de proprietate.

Procesul de schimb între producător sau deținătorul unui bun și cumpărător se poate realiza însă și sub alte forme cum ar fi, de exemplu, barter-ul. În acest sistem, bunurile sunt schimbate între ele fără a apela la mijlocirea banilor. Sistemul, utilizat preponderent în formele arhaice de schimb, se mai poate întâlni și astăzi, de exemplu în comunitățile rurale. Serviciile reciproce între familii sau persoane sărace de tipul oferirii unor produse în schimbul unor zile de muncă sau a altor produse (hrană, băutură, îmbrăcăminte etc.) fac dovada existenței sistemului de barter și în zilele noastre. Neajunsurile acestei metode s-au făcut


10

însă simțite odată cu specializarea din ce în ce mai accentuată a muncii. Cum s-ar putea efectua, de exemplu, un schimb de tip barter, între un profesor și un măcelar? Dacă măcelarul are un copil la școală, să spunem că profesorul l-ar educa în schimbul unui kg zilnic de carne. Ce se va face însă măcelarul atunci când profesorul ține post? Dar dacă profesorul este vegetarian? Vă dați seama ce interesant ar suna un anunț de felul acesta: “Școala gimnazială din comuna X angajează profesor de limba română care poate preda și limba engleză, dar mănîncă zilnic carne”? Revenind, apariția banilor a fost imperios necesară odată cu diversificarea ocupațională, ceea ce a condus la estimarea valorii bunurilor ce trebuiau schimbate între producători și cumpărători adică tocmai noțiunea de preț. Discuții, clasificări și clarificări ale diferitelor forme de preț pot fi realizate din mai multe puncte de vedere. Putem astfel identifica prețul de vânzare ce reprezintă contravaloarea cerută de către beneficiarul mărfii sau presatorul de servicii potențialului beneficiar și prețul de tranzacționare care reprezintă prețul efectiv plătit. Situația negocierii prețului după cantitatea achiziționată, de exemplu, într-o piață agroalimentară, reprezintă o bună ilustrare a diferenței dintre cele două concepte.

Abordările economice ale conceptului de preț au evoluat odată cu dezvoltarea economiei în ansamblu. În “O cercetare asupra naturii și cauzelor avuției națiunilor” (1776), Adam Smith leagă prețul de volumul de muncă consumat pentru producerea unui bun. Adam Smith discerne între două tipuri de valoare a unui bun și anume valoarea de utilizare – reflectată de utilitatea produsului respectiv și valoarea de schimb – ce reprezintă puterea de cumpărare a altor bunuri în locul celui achiziționabil. În această accepțiune, valoarea de schimb se apropie de noțiunea de cost de oportunitate ce reprezintă costul cel mai mare al alternativelor la care un decident renunță. Valoarea de schimb reprezintă, după opinia noastră, un cerc vicios în definirea conceptului pentru că puterea de cumpărare trebuie cuantificată cumva și atunci se ajunge din nou la preț. Dacă paradoxul valorii prezentat de Adam Smith într-un exemplu sugestiv privind apa și diamantele – prima are o utilitate foarte mare, dar un preț foarte mic, uneori chiar nul, cele din urmă având utilitate aproape zero, dar un preț exagerat de ridicat – ar părea că vine în argumentul tezei sale de formare a prețului, astăzi lururile nu mai stau deloc astfel. Putem da ca exemplu, fabricile moderne de autoturisme sau de dispozitive electronice, în care munca este preluată aproape în întregime de roboți industriali, deci factorul muncă efectiv (cel fizic) devine aproape nul. Este adevărat că munca intelectuală încorporată în conceperea roboților respectivi produce efecte asupra prețului, dar, în general, aceasta este foarte greu de cuantificat. Imaginați-vă câte mii de teorii matematice, fizice, chimice stau la baza funcționării calculatoarelor de astăzi, ce nu pot fi cuantificate sau evaluate în prețuri!

O abordare diferită a noțiunii de preț a venit din partea Școlii Austriece. Bazându-se pe teoria utilității marginale a lui Carl Menger, prețul devine o subiectivare a utilității bunului.


11

Relativ la natura unei economii prețul îmbracă diverse aspecte privind formarea și evoluția sa. Dacă într- economie concurenială de tip capitalist, prețul este dictat de jocul cererii și al ofertei, într-o economie centralizată (de tip socialist, comunist) el este stabilit în funcție de factori exogeni, de multe ori de natură politică sau socială, foarte rar aliniindu-se preceptelor economice. Prețul poate fi, în acest caz, subvenționat de stat la o serie de bunuri vitale, dar care sunt produse la costuri exagerat de mari. Uneori, chiar în cadrul economiei capitaliste, pot apărea subvenții de preț pentru protejarea industriei naționale din varii motive: de protecție socială a cetățenilor, de securitate energetică, militară etc. Din aceleași motive, prețul poate îmbrăca uneori forma de mercurial – stabilirea de prețuri maximale (de regulă, în piețe agroalimentare) ce sunt destinate protejării cetățenilor (în perioade de criză) împotriva speculei.

Rezumat Prețul reprezintă o cantitate de bani plătită de către un cumpărător în

vederea achiziționării unui produs sau serviciu de la posesorul/producătorul/ furnizorul acestuia.

Prețul de vânzare reprezintă contravaloarea cerută de către beneficiarul mărfii sau presatorul de servicii potențialului beneficiar

Prețul de tranzacționare reprezintă prețul efectiv plătit.

Sarcina de lucru 1

Ce reprezintă prețul de vânzare și prețul de tranzacționare?


12

Test de autoevaluare I. Ce reprezintă în concepția lui Adam Smith valoarea de utilizare? II. Ce reprezintă în concepția lui Adam Smith valoarea de schimb? Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testul de autoevaluare I. Valoarea de utilizare este reflectată de utilitatea produsului. Pentru această întrebare primiți 1 punct. II. Valoarea de schimb reprezintă puterea de cumpărare a altor bunuri în locul celui achiziționabil. Pentru această întrebare primiți 1 punct.

Bibliografie minimală Ioan G., Ioan C.A. (2014), Prețuri și concurență, Editura Zigotto, Galați Ignat I., Luțac Gh. (coord.) (2004), Micro și Macroeconomie, Ed. Sedcom Libris, Iași, 2004 Dudian M. (coord.) (2005), Economie, Ed. All Beck, București Hardwick P., Langmead J., Khan B. (2002), Introducere în economia politică

modernă, Ed. Polirom, Iași

Ioan C.A., Ioan G. (2012), Matεconomie, Ed. Zigotto, Galați


13

2. CEREREA

Cererea 13

Rezumat 43



44








Într-o economie concurențială stabilirea prețului de echilibru

este dată de jocul cererii și al ofertei. Chiar dacă în cele ce urmează nu putem preciza rolul primordial al ofertei sau al cererii (în fond cine cere primul un anumit preț: cumpărătorul sau producătorul?) esențiale în analiză sunt două entități: funcția de utilitate a cumpărătorului și funcția de producție a părții opuse.

Utilitatea consumatorului Ce înseamnă în fond utilitatea unui bun sau a unei mulțimi de bunuri?

Vom încerca, în cele ce urmează, să facem un compromis între o prezentare riguros matematică și una mult mai accesibilă (chiar cu prețul unor compromisuri).

Mai întâi, este natural ca să presupunem existența unui coș de bunuri (sau

coș de consum) ca un ansamblu ordonat de cantități: (x1,x2,...,xn) din bunurile B1,B2,...,Bn. Este evident că aceste cantități trebuie, obligatoriu, să fie pozitive. De asemenea, chiar dacă teoria nu reclamă și nu are nevoie de acest lucru, vom


14

presupune că ele sunt și mărginite (este greu de imaginat o persoană normală

psihic ce își poate dori cantități infinite dintr-un bun). Prin urmare ∀i= n,1 vom

avea: xi∈[0,Mi] unde Mi este cantitatea maximă din bunul Bi. Ansamblul acesta se va numi spațiul de consum al celor n bunuri (notat în cele ce urmează: SC). Se subînțelege faptul că dacă un consumator nu dorește un anumit produs într-o anumită situație, dar în alta da, o să-i alocăm valoarea 0 în cazul nealocării lui.

Pe spațiul de consum definim, mai întâi, relația de indiferență notată cu

∼ și anume două coșuri C1=(x1,...,xn) și C2=(y1,...,yn) vor fi indiferente dacă oricare din combinațiile de bunuri (x1,...,xn) și (y1,...,yn) îi este indiferentă consumatorului. Putem da ca exemplu un mic dejun ce poate consta din 2 felii de pâine cu 20 de grame de gem plus o cană de ceai sau dintr-o omletă făcută din trei ouă și o felie de pâine (deh, îngrașă...). În acest caz, dacă vom nota cu x1 – felia de pîine, x2 – 10 g de gem, x3 – o cană de ceai și x4 – un ou atunci avem următoarele coșuri: C1=(2,2,1,0) și C2=(1,0,0,3) a căror alegere este indiferentă.

Se arată că relația de indiferență este una de echivalență (reflexivă,

simetrică și tranzitivă) ceea ce permite descompunerea spațiului de consum în clase de coșuri echivalente (adică toate coșurile dintr-o clasă sunt indiferente

între ele). Graficul asociat unei clase de indiferență se numește hipersuprafață de indiferență (pentru n=2 – curbă de indiferență, n=3 – suprafață de indiferență).

Astfel, pentru coșul format din două bunuri: ouă (x1) și pâine (x2), putem avea coșurile: C1=(3,1), C2=(2,2), C3=(1,4) toate indiferente între ele. Curba de indiferență va fi:

Fig.1

Observați din construcția curbei de mai sus că am presupus infinit divizibilitatea bunurilor presupunând că pot exista coșuri de bunuri indiferente cu cele de mai sus și pentru părți fracționare din acestea. Presupunerea este naturală. Închipuiți-vă ce s-ar întâmpla dacă felia de pâine ar proveni dintr-o pită zdravănă, din aceea ardelenească, iar consumatorul s-ar sătura după prima mușcătură dintr-o anumită felie. Ca teoria să se verifice ar trebui ca să mănânce cu lacrimi și restul. Prin urmare, din milă față de personajul nostru, am presupus bunurile divizibile. Vom presupune acum existența unui coș minimal de bunuri și anume acel coș cu proprietatea că se află, pe curba (suprafața, hipersuprafața) de indiferență, la


15

cea mai mică distanță de origine. Atenție, acest coș nu înseamnă neapărat numărul total minim de produse! De exemplu, în cazul de mai sus, atât coșul (2,2), cât și (3,1) au același număr de produse (4), iar coșul minimal nu este niciunul dintre acestea (fig.2).

Fig.2

Dacă până acum ați rezistat cu stoicism (habar nu aveți ce vă pregătim în

continuare...) meritați un desert! Vă place crema de zahăr ars? Dacă, da să știți că ea se face în mod tradițional din 8 ouă și categoric fără pâine (evident, dacă nu aveți gusturi excentrice...). Prin urmare, iată că pe spașiul de consum a apărut un nou element (8,0). Este acesta plasat pe curba de indiferență de mai sus? Principial, am spune că nu! În marea majoritate a cazurilor (cel puțin pentru autori), elementul (8,0) va fi preferat oricăruia din cele de mai sus. Iată că trebuie să definim un nou concept! Pe spațiul de consum vom defini, deci, relația de preferință notată cu � și

anume un coș C1=(x1,...,xn) va fi preferat lui C2=(y1,...,yn) dacă primul îi va produce o satisfacție cel puțin la fel de mare precum cel de-al doilea (reamintim,

definiția nu este absolut deloc riguroasă din punct de vedere matematic, dar

sperăm că este puternic intuitivă). Se arată că relația de preferință este o relație de ordine (reflexivă, antisimetrică și tranzitivă) totală (adică orice două

elemente pot fi comparate: putem afirma cu certitudine întotdeauna dacă

preferăm un coș de bunuri sau altul). Vom mai considera, de asemenea, că dacă între două coșuri de bunuri x=(x1,...,xn) și y=(y1,...,yn) există o relație de

inegalitate de forma: x≥y definită prin x1≥y1,...,xn≥yn (relația, atenție este

reflexivă, antisimetrică și tranzitivă deci de ordine, dar nu este totală în sensul

că nu orice două coșuri pot fi comparate) atunci x va fi preferat lui y. Este natural acum să definim zona de consum (ZC) preferată unui coș de bunuri

C1=(x1,...,xn) ca fiind ZC(C1)={y∈SCy� x} adică mulțimea acelor coșuri de

consum preferate cel puțin la fel de mult lui C1 (unde am notat x=(x1,...,xn) și

y=(y1,...,yn)). Se poate arăta că zona de consum este întotdeauna nevidă, iar dacă un coș este preferat altuia atunci zona sa de consum va fi inclusă în cea de-a doua.


16

Fig.3

O condiție esențială (nu neapărat din punct de vedere economic, doar

din punct de vedere matematic – ceea ce nu este neimportant pentru că vom

numeriza imediat aceste concepte) este aceea a convexității zonei de consum. O mulțime se numește convexă dacă segmentul determinat de oricare două puncte ale sale este în întregime inclus în ea. Este naturală această condiție? Noi spunem că da! Gândiți-vă pentru un moment că ne deplasăm consumul de la un coș de bunuri la altul. Dacă zona nu ar fi convexă (fig.4) deplasarea de la un coș la altul ar putea produce un timp o satisfacție inferioară celor două. Acest lucru este inadmisibil în marea majoritate a situațiilor, dar nu este totuși exclus în diverse situații. Gândiți-vă numai la restructurarea unei economii naționale în care pentru a trece dintr-o fază de relativă bunăstare într-o alta (dar cu perspective mult mai bune decât prima) se poate trece temporar prin situații de dezechilibre ce pot cauza suferințe unei părți a populației.

Fig.4

O întrebare care poate stă pe buzele tuturor în acest moment este următoarea: cum putem defini concret, în practică, relația de indiferență sau cea de preferință?

Un prim punct de vedere asupra modului de definire a relației de indiferență ar putea proveni din suma de bani pe care consumatorul este dispus să o aloce pentru un coș de bunuri oarecare. Considerând două coșuri de bunuri

x=(x1,...,xn) și y=(y1,...,yn) putem considera că x∼y dacă un consumator este dispus să aloce aceeași sumă de bani pentru achiziționarea lui x, respectiv y.


17

Problema preferinței este însă mult mai complicată. Considerând o sumă de bani S pe care consumatorul este dispus să o cheltuiască în vederea achiziționării unui coș de bunuri (cu o anumită structură fixată) vom putea spune că x� y dacă

suma Sx necesară pentru obținerea lui x este mai mare sau egală cu cea corespunzătoare cumpărării lui y: Sy, amândouă sumele fiind mai mici sau egale cu S. Acest tip de alegere este însă destul de limitat în aplicabilitatea sa concretă. Pe de o parte, chiar dacă prețul unui anumit bun ar fi identic pe piață (altfel,

consumatorul și-ar putea procura coșul de bunuri din diverse surse și atunci

relația de preferință ar putea fi, în anumite situații, inversă venitului alocat) structura internă a coșului ar putea duce la situații de excludere în anumite componente ale acestuia. Să considerăm, de exemplu, un consumator ce dispune de un venit disponibil de 12 unități monetare ce dorește achiziționarea a două produse și anume: pâine al cărui preț este de 3 u.m./buc. și pastă de dinți cu prețul de 5 u.m./buc. Considerând perechile de bunuri de forma (p,d) unde p – numărul de pâini și d – numărul de tuburi de pastă de dinți, totalitatea coșurilor admisibile va fi formată din perechile: (0,1) – 5 u.m., (0,2) – 10 u.m., (1,0) – 3 u.m., (1,1) – 8 u.m., (2,0) – 6 u.m., (2,1) – 11 u.m., (3,0) – 9 u.m., (4,0) – 12 u.m. Coșul de consum ce va surclasa pe toate celelalte va conține, din acest punct de vedere, 4 pâini și nicio pastă de dinți. Consumatorul a alocat deci, întreaga sumă disponibilă, dar satisfacția sa nu pare, în niciun caz, a fi cea mai mare deoarece, pe de o parte, nu a cumpărat nicio pastă de dinți (de care avea efectiv nevoie), iar pe de alta, a cumpărat 4 pâini care, în situația că locuiește singur, s-ar putea să fie mult mai multe decât necesarul său de alimentație. În ideea că nu poate consuma mai mult de o pâine pe zi, mai rațională ar putea fi alegerea (1,1), dar care nu maximizează venitul dispus a fi cheltuit! O altă alegere, care i-ar asigura cele două produse, ar putea fi (2,1) dar care, din nou, i-ar aduce un surplus de aprovizionare cu pâini ce poate nu îi este necesar. Observăm deci că, în principiu, spațiul de consum SC ar trebui limitat în funcție de necesitățile consumatorului. Pe de altă parte, abordarea strict monetară a preferințelor consumatorului poate conduce la situații extreme ce provoacă, în fapt, insatisfacție! Să presupunem deci că am găsit un mod rațional de a ne defini relațiile de indiferență, respectiv preferință.

Vom defini funcția de utilitate: U:SC→R+, (x1,...,xn)→U(x1,...,xn)∈R+

∀(x1,...,xn)∈SC cu ajutorul următoarelor axiome: 1. ∀x,y∈SC: x∼y ⇔ U(x)=U(y);

2. ∀x,y∈SC: x� y ⇔ U(x)≥U(y);

3. U(0)=0. Vom considera, de asemenea, curba (suprafața) de izoutilitate ce reprezintă

pentru a∈R+, graficul corespunzător soluțiilor ecuației U(x)=a. Aceasta nu reprezintă altceva decât curba de indiferență a coșurilor de consum pentru care utilitatea este egală cu “a”.


18

Vom introduce acum un concept ce a revoluționat economia și anume cel de mărime marginală. Haideți ca să ne imaginăm următoarea situație: oricare dintre dumneavoastră, după lectura (sperăm și aprofundarea...) acestei cărți, se va îndrăgosti “definitiv și irevocabil” de teoria prețurilor și a concurenței. Odată ce examenul a fost promovat (din nou, sperăm...) veți simți lipsa acestei discipline din viața dumneavoastră. Ce veți face? Vă veți duce probabil la o librărie (bibliotecă) și veți cumpăra (împrumuta) o altă carte. Este evident că lectura acelei cărți vă va aduce un plus de utilitate prin cunoștințele noi pe care le veți acumula. După aceea vor urma o alta și alta... Fiecare carte va mai aduce ceva nou în cultura economică a dumneavoastră, deci utilitatea va crește. Întrebarea este cu cât însă? De ce ne-ar interesa acest lucru? Răspunsul poate fi foarte simplu: dacă prețul de achiziție al acelei cărți este suficient de mare încât să nu merite, de exemplu, învățarea unor foarte puține lucruri în plus (să spunem

că dumneavoastră sunteți administratorul unui magazin de pâine, iar în cartea

cea nouă vi se expune modul de formare a prețurilor la export) care pot fi și inutile (în raport cu aspirațiile dumneavoastră) s-ar putea ca să vă gândiți de două ori înainte de cumpărare. Prin urmare, ceea ce vă va interesa va fi plusul de utilitate pe care aceasta vi-l va aduce. La un moment dat, este chiar posibil, ca achiziția unei cărți noi să vă producă o dezutilitate (adică o scădere a utilității

totale) în sensul că veți cheltui o sumă de bani fără ca să mai obțineți nicio informație nouă. Concluzionând, ceea ce ne interesează, de cele mai multe ori, este plusul de utilitate mai mult decât ea însăși, ca entitate absolută.

Să considerăm deci U:SC→R+ o funcție de utilitate. Am văzut mai sus, că utilitatea este o funcție crescătoare în raport cu relația de preferință a coșurilor de bunuri, deci crescătoare și în raport cu relația de inegalitate de pe Rn. Dacă în spațiul de consum, toate cantitățile de bunuri vor fi constante cu excepția unuia, vom spune că suntem în ipoteza caeteris paribus (expresie din limba latină

ce înseamnă: “toate celelalte lucruri rămân constante”).

Considerând bunurile B1,...,Bn și un bun fixat Bi, 1≤i≤n fie ak∈R+, k= n,1

, k≠i – cantitățile de bun Bk ce se presupun a rămâne constante. n cele ce urmează,

vom nota sintetic x=(a1,...,ai-1,xi,ai+1,...,an)∈SC (deci, un coș de bunuri în care

singura cantitate variabilă este cea corespunzătoare bunului Bi). Definim utilitatea marginală în raport cu bunul Bi, în condițiile în care

consumul celorlalte bunuri este constant (caeteris paribus), ca fiind:

Um,i(x)=ix

U

∆∆

=i

n1iii1i1n1ii1i1

x

)a,...,a,xx,a,...,a(U)a,...,a,x,a,...,a(U

∆∆−− +−+−

deci variația utilității U la variația consumului bunului Bi (caeteris paribus). Altfel spus, utilitatea marginală (discretizată) măsoară plusul de utilitate adus la

consumul suplimentar cu o cantitate ∆xi. Este utilă o astfel de noțiune? Răspunsul depinde de cel căruia îi adresați

întrebarea. Un matematician va spune că în mod cert este utilă pentru că, nu-i așa, s-a mai născut o formulă! Un poet va declama un categoric NU pentru că nu vede (numeric) cum un plus de strălucire a unei luni pline îi va aduce un vers


19

mai inspirat! Un economist va spune însă, într-un gest de reconciliere a celor doi, că: “și da și nu”!

Prin urmare, haideți ca să vedem ce vrea să spună acest pașnic economist al nostru...

Din formula de mai sus, rezultă că:

ii,mn1iii1i1

n1ii1i1

x)x(U)a,...,a,xx,a,...,a(U

)a,...,a,x,a,...,a(U

∆+∆−=

+−

+−

Prin urmare, dacă vom cunoaște valoarea utilității (absolute) la un moment anterior și utilitatea marginală vom putea cunoaște ce se întâmplă în momentul de față, dar, mai mult, vom putea afirma că dacă fenomenul va urma aceeași lege și în viitor vom cunoaște cu exactitate ceea ce se va întâmpla! Nu este fantastic? Noi spunem că da! Întotdeauna omul a fost speriat de necunoscut și, oricât s-a străduit, viitorul “cert” a rămas mereu pentru el o necunoscută! Iată deci că, marginalul unei entități vine să ne dea o speranță asupra măcar a unui minim de control al viitorului. Bun, veți spune, am lămurit deci problema! Ei, nu e chiar așa... Noțiunea de utilitate marginală expusă mai sus are un caracter de liniaritate. Priviți formula de mai sus, în care, pentru simplificare, să notăm utilitatea

cunoscută (cea din trecut) cu α= )a,...,a,xx,a,...,a(U n1iii1i1 +− ∆− , utilitatea

marginală cu β= )x(U i,m . Formula devine:

in1ii1i1 x)a,...,a,x,a,...,a(U ∆β+α=+−

adică o funcție de gradul I în ∆xi. Prin urmare, cu cât ne vom depărta de

momentul inițial, cu atât utilitatea va crește (dacă β>0) sau va scădea (dacă β<0). Este totuși puțin absurd! Gândiți-vă numai un moment la situația în care un ou, de exemplu, ne aduce un plus de 143 calorii. Prin urmare, de la primul ou la cel de-al doilea vom înregistra un plus de utilitate (definită aici ca totalul de calorii consumate) de 143. Procedând ca mai sus, rezultă că pentru asigurarea necesarului de calorii (de exemplu, pentru un bărbat de 25 de ani, 1,80 m, 70 kg

și care mai este și student) de 2537 vor trebui consumate: 143

2537=17 ouă și ceva

(rezultatul acestui calcul nu poate fi vizualizat de către copii decât cu acordul

părinților!) Evident că nu vă recomandăm acest lucru. Prin urmare, se pare că este nevoie de o exprimare mai complexă a utilității și, implicit, a celei marginale. Cum vom proceda deci? În practică, întâlnim, în esență, două tipuri de situații: fie tabele de date ce trebuie apoi prelucrate, fie condiții generale ce trebuie satisfăcute și apoi, plecând de la acestea, crearea unor funcții de utilitate care să se muleze “cât se poate de bine” pe acestea. În cazul unei utilități diferențiabile de clasă C2 (condiția suficientă aici este

numai de clasă C1, dar nu dorim să încărcăm expunerea cu mai multe condiții

decât ar fi necesare), vom defini utilitatea marginală în raport cu bunul Bi, în condițiile în care consumul celorlalte bunuri este constant, ca fiind:

Um,i(x)=ix

U

∂∂

(a1,...,ai-1,xi,ai+1,...,an)=


20

i

n1iii1i1n1ii1i1

0x x

)a,...,a,xx,a,...,a(U)a,...,a,x,a,...,a(Ulim

i ∆∆−− +−+−

→∆

deci utilitatea marginală în cazul diferențiabil va fi limita utilității marginale discretizate atunci când variația consumului bunului Bi tinde la 0.

Din formula de definiție a diferențialei unei funcții de mai multe

variabile: dU=1x

U

∂∂

dx1+...+nx

U

∂∂

dxn obținem, în ipoteza caeteris paribus (dxk=0,

k= n,1 , k≠i), că: dU=ix

U

∂∂

dxi=Um,i(x)dxi deci utilitatea marginală reprezintă

factorul de multiplicare al unei variații de consum infinitezimale corespunzătoare bunului Bi pentru a obține o variație de utilitate infinitezimală dată. Într-un limbaj mai puțin academic, utilitatea marginală reprezintă “viteza” de variație a utilității în raport de consumul bunului respectiv, caeteris paribus. De asemenea, din aceeași formulă a diferențialei obținem faptul că:

( )( ) ( ) ( ) nn1n,m1n11,mn1

nn11

hx,...,xU...hx,...,xUx,...,xU

hx,...,hxU

+++≈++

deci la modificarea cantităților bunurilor B1,...,Bn cu h1,...,hn funcția de utilitate va fi aproximativ egală cu suma dintre fosta utilitate și produsele dintre utilitățile marginale și creșterile de consum. Mai mult, cu cât utilitatea marginală a unui bun este mai mare (în valoare absolută) cu atât influența sa în variația utilității totale va fi mai mare ceea ce poate da, de multe ori, orientarea spre consumul unuia sau altuia dintre bunuri.

Observați că această formulă nu s-ar fi putut scrie în termeni discretizați! Într-adevăr, pentru două bunuri (ca exemplu), avem (în termeni discreți) pentru un coș inițial (a,b):

Um,1(a,b)=1

1

h

)b,ha(U)b,a(U −−,

Um,2(a-h1,b)=2

211

h

)hb,ha(U)b,ha(U −−−−

de unde:

)b,a(Uh)b,ha(Uh)hb,ha(U

)b,a(Uh)b,ha(U)b,a(U

1,m112,m221

1,m11

+−+−−

=+−=

observând că nu pot recupera (nici măcar aproximativ) direct din valoarea utilității corespunzătoare lui (a-h1,b-h2) valoarea în (a,b) având nevoie și de o utilitate marginală intermediară. Prin urmare, cum vom folosi, aceste două concepte? Fie vom încerca (ca mai

sus) determinarea unei funcții care să joace rolul de utilitate, fie vom calcula utilitățile marginale discrete și vom aproxima apoi derivatele utilității prin aceste valori (atenție însă că procedeul poate da erori foarte mari!). Revenind acum, dacă funcția de utilitate este concavă obținem legea I a lui Hermann Heinrich Gossen ce specifică faptul că utilitatea marginală este o funcție descrescătoare în raport cu creșterea cantității consumate dintr-un bun.


21

Trebuie remarcat faptul că toate aceste legi se aplică în condiții de normalitate a fenomenelor. Astfel, în faza inițială de acumulare (fie că este vorba de învățatul

unei limbi străine – cum ar fi matematica, fie că este vorba de un pahar cu apă

rece într-o zi toridă) utilitatea marginală poate fi crescătoare (și chiar puternic), dar după ce fenomenul se normalizează, ea nu mai aduce un plus de utilitate atât de puternic în comparație cu trecutul (nu cred că la cel de-al treilea pahar cu

apă veți mai simți același plus de satisfacție ca la primul sau la cel de-al doilea...

Atenție, este vorba de apă!). De asemenea, trebuie remarcat faptul că pentru o funcție de utilitate cuasi-concavă (care însă nu este concavă) nu avem garantată existența legii I a lui Gossen.

Fig.5

Un comentariu absolut necesar relativ la figura 5 se referă la faptul că cele două tipuri de utilitate nu au aceeași axă de măsură, prima (cea totală) fiind exprimată de exemplu în utili (unitate de măsură abstractă pentru exemplificarea utilității), în timp ce utilitatea marginală este exprimată în utili/unitate de măsură a bunului (bucată, exemplar etc.). Prin urmare, graficul are doar rol explicativ pentru variația celor două mărimi!

Se poate arăta (absolut elementar) că utilitatea totală corespunzătoare consumului a n unități dintr-un bun oarecare este egală cu suma utilităților marginale discretizate (pentru unitățile de bun 1,...,n), altfel spus:

=

=n

1km )k(U)n(U

Un alt concept de o deosebită importanță atât practică, cât și teoretică este cel de rată marginală de substituție. După oftatul tău justificat (ah, altă noțiune?) o să-ți spunem că, în acest moment chiar, aplici acest concept. Dacă noi nu suntem suficient de expliciți, te vei duce la calculator și vei căuta conceptul pe Internet. Vei citi unul, două sau mai multe articole pe această temă, iar simplul act al abandonării lecturii de față va reprezenta explicația a ceea ce cauți. Cum așa? Este foarte simplu: vei substitui cantitatea de informație pe care ți-o dăm noi cu altă cantitate urmărind ca să-ți păstrezi utilitatea (ce reprezintă în cazul de față,

satisfacția faptului că ai înțeles noțiunea). La fel de normală poate fi însă și


22

decizia renunțării de învățare a acestui concept, dar ieșim din sfera economiei și intrăm în cea a Facebook-ului... Să trecem totuși la fapte!

Vom considera, pentru început, cazul unui coș în care numai două bunuri au consumul variabil, al celorlalte rămânând fix. Considerând restricția funcției de utilitate la subspațiul de consum aferent (în care, precum am specificat deja,

numai cele două bunuri variază) și notând-o, de exemplu, cu u (pentru a ne

diferenția de U – funcția generală), vom numi rată marginală de substituție (RMS) între bunurile Bi și Bj, (caeteris paribus), variația cantității de bun Bj pentru a substitui o variație a cantității de bun Bi în situația conservării utilității.

Vom nota în cele ce urmează: RMS(Bi,Bj)=i

j

dx

dx (dacă variațiile sunt

infinitezimale – caracteristic proceselor continue) sau RMS(Bi,Bj)=i

j

x

x

∆∆

(în

cazul bunurilor discretizate, adică enumerabile) unde xi și xj sunt cantitățile de bun Bi, respectiv Bj.

Deoarece u(xi,xj)= u =constant, obținem prin diferențiere: du(xi,xj)=0

adică: jj

ii

dxx

udx

x

u

∂∂

+∂∂

=0 de unde:

j

i

i

j

x

ux

u

dx

dx

∂∂∂∂

−= =j,m

i,m

U

U− .

În ultima egalitate, am reînlocuit pe u cu U, deoarece într-o analiză marginală cantitățile (exceptând-o pe cea împricinată) sunt considerate constante (ceea ce, referitor la celelalte bunuri făceau atât u, cât și U).

Vom putea scrie deci: RMS(Bi,Bj)=j,m

i,m

U

U− care este o funcție de xi și xj. Să

observăm că RMS(Bi,Bj)= ( ) ( )ijji B,BRMS

1B,BRMS = .

În cazul substituției unui bun Bi cu mai multe bunuri, propunem ca formulă a ratei marginale de substituție (numită aici globală)1:

RMS(Bi)=

≠=

−n

ij1j

2j,m

i,m

U

U

Natura bunurilor în funcție de utilitate Vom spune că n bunuri sunt perfect substituibile dacă funcția de utilitate este

liniară, adică: U(x1,...,xn)=a1x1+...+anxn, ai>0, i= n,1 .

Vom spune acum că n bunuri sunt perfect complementare dacă funcția de

utilitate este: U(x1,...,xn)=min(a1x1,...,anxn), ai>0, i= n,1 .

1 Ioan Cătălin Angelo, Ioan Gina, Matεconomie, Editura Zigotto, Galați, 2012


23

Vom spune că n bunuri sunt independente în sensul utilității dacă funcția de

utilitate este de forma: U(x1,...,xn)=f1(x1)+...+fn(xn), cu fi∈C2(0,∞), if ′′ ≤0, i= n,1

, iar f1(0)+...+fn(0)=0. Vom spune acum că n bunuri sunt separabile în sensul utilității dacă funcția

de utilitate este de forma: U(x1,...,xn)=f1(x1)⋅...⋅fn(xn), cu fi∈C2(0,∞), fi(x)>0

∀x>0, f1(0)⋅...⋅fn(0)=0, iar funcția U este cuasi-concavă.

Vom spune că n bunuri sunt cu utilitate contrară dacă ∃ I,J≠∅ astfel încât

I∪J={1,...,n} astfel încât: Um,i>0 ∀i∈I şi Um,j<0 ∀j∈J. Vom spune că m bunuri ale căror cantități corespondente sunt (x1,...,xm) dintr-

o clasă de n (n>m) bunuri sunt neutre dacă funcția de utilitate este de forma: U(x1,...,xn)=f(xm+1,...,xn), unde f este de clasă C2 și cuasi-concavă. Bugetul consumatorului Până acum, am vorbit despre funcția de utilitate ce măsoară satisfacția cumpărătorului la achiziționarea diverselor cantități de bunuri. Analiza noastră însă ar fi incompletă dacă nu am ține seama de un fapt esențial. Indiferent de cât este valoarea utilității marginale (dacă este pozitivă), utilitatea totală va crește. Ca urmare a acestei constatări, un cumpărător va fi tentat (cel puțin teoretic) ca să achiziționeze cât de multe produse va putea eventual depozita. Apare însă o problemă și anume cea a venitului necesar pentru achiziționare (care nu este, în

principiu, suficient de mare)! Prin urmare, vom lua în considerare în această secțiune tocmai acest lucru.

Să considerăm deci, pentru început o mulțime ordonată de bunuri B1,...,Bn, SC – spațiul de consum al acestora și prețurile de vânzare: p1,...,pn.

Pentru un coș de consum (x1,...,xn)∈SC, un consumator oarecare trebuie să

plătească: p1x1+...+pnxn==

n

1iiixp u.m. (u.m .= unitate monetară).

Luând acum în calcul un venit V de care consumatorul nostru dispune (în

vederea achiziționării bunurilor) se va genera o constrângere bugetară ce constă în limitarea posibilităților de cumpărare la mulțimea:

ZB={(x1,...,xn)∈SC=

n

1iiixp ≤V} – numită zonă de buget. Pentru exemplificare,

vom considera două bunuri B1 și B2 ale căror prețuri de achiziție sunt p1,

respectiv p2. Zona de buget (corespunzătoare lui V) este: p1x1+p2x2≤V.


24

Fig.6

Dreapta de ecuație p1x1+p2x2=V se numește dreapta bugetului (pentru n bunuri

– hiperplanul bugetului) și constă în perechile de cantități (x1,x2) ce pot fi achiziționate epuizând întreg venitul disponibil (evident, pentru această

activitate). Dreapta bugetului împarte planul (sau spațiul de consum – chiar dacă

acesta este situat numai în zona pozitivă a lui Rn) în două semiplane. Este cunoscut faptul că dacă un punct situat într-unul dintre acestea satisface

inegalitatea p1x1+p2x2≤V atunci toate punctele de aceeași parte cu el vor satisface aceeași inegalitate, iar cele din semiplanul opus vor satisface inegalitatea

contrară (p1x1+p2x2≥V). Considerând punctul (0,0) – originea axelor de

coordonate, observăm că p1⋅0+p2⋅0≤V deci zona de buget ZB va fi partea din semiplanul determinat de dreapta de buget, ce conține originea și are toate coordonatele pozitive (zona închisă la culoare din figură). Vom nota, de asemenea, că intersecțiile dreptei bugetului cu axele de coordonate sunt punctele

0,

p

VA

11 și

22 p

V,0A . Aria domeniului triunghiular (sau volumul – noțiune

generalizată – în cazul lui Rn) se numește volumul bugetului ce permite, uneori, compararea din punct de vedere numeric a zonelor de buget.

În R2, volumul bugetului este egal cu 21

2

pp2

V, iar în Rn este:

n21

n

p...pp!n

V unde

n! reprezintă factorialul lui n (n!=1⋅2⋅...⋅n). Cereri de tip Marshall și Hicks

Până în acest moment, am văzut cum un consumator își poate determina funcția de utilitate corespunzătoare unui număr oarecare de bunuri. Principial vorbind, odată ce este în posesia acestei funcții, el poate, plecând de la un coș de

bunuri existent, să-și construiască curba (hipersuprafața în cazul a n≥2 bunuri) de izoutilitate (utilitate constantă de-a lungul acesteia) deplasându-și consumul de-a lungul acesteia nefiindu-i alterată utilitatea totală. Problema care se pune însă este aceea că, la o deplasare de consum, bugetul alocat coșului de bunuri se modifică și este posibil ca acesta să devină fie insuficient, fie să nu fie complet


25

alocat (aici este o cu totul altă problemă). Pe de altă parte, studiind dreapta

(hiperplanul în cazul a n≥2 bunuri) bugetului, am văzut că oricărui coș de bunuri situat pe aceasta i se va aloca exact aceeași sumă. Este însă posibil ca în acest caz, utilitatea totală să scadă ceea ce va produce o reală insatisfacție cumpărătorului nostru (dornic de a-și goli buzunarele...). Prin urmare, se pare că este imperios necesar ca să armonizăm cele două situații!

Fie deci un consumator pus în fața alegerii unui număr oarecare de cantități dintr-o mulțime ordonată de bunuri (în cazul de față, vom considera din

nou două bunuri – pentru o analiză generală vezi: Ioan Cătălin Angelo, Ioan

Gina, Matεconomie, Editura Zigotto, Galați, 2012) B1,B2, SC – spațiul de consum al acestora și prețurile de vânzare: p1,p2. Vom presupune că întreg venitul V de care dispune consumatorul poate fi alocat actului de cumpărare, preferințele acestuia nefiind afectate de mărimea lui V. Vom spune, în acest caz, că cererea de bunuri este necompensată sau de tip Marshall sau Walras.

Fie de asemenea, o funcție de utilitate U:SC→R+. Considerând zona de

buget ZB={(x1,x2)∈SC 2211 xpxp + ≤V} ne punem problema determinării

coșului de consum astfel încât utilitatea să fie maximă. Problema devine:

∈≤+

SCx,x

Vxpxp

)x, U(xmax

21

2211

21

Se arată că în condițiile în care U este funcție cuasi-concavă de clasă C2, iar restricția de tip inegalitate este generată de o funcție cuasi-convexă (la noi

este funcția liniară p1x1+p2x2 care este și cuasi-concavă și cuasi-convexă), iar SC este o mulțime convexă, atunci soluția optimă a problemei se află situată pe frontiera zonei de buget, adică satisface condițiile (Kuhn-Tucker):

∈=+

SCx,x

Vxpxp

)x, U(xmax

21

2211

21

Problema nouă, astfel formulată, este de determinare a extremelor funcției U atunci când variabilele sunt supuse la legături. Vom aplica deci metoda multiplicatorilor lui Lagrange.

Fie deci: L(x1,x2,λ)=U(x1,x2)+λ ( )Vxpxp 2211 −+ . Condițiile de extrem sunt:

=∂∂

=∂∂

=∂∂

0λ

L

0x

L

0x

L

2

1

de unde:


26

=−+

=λ+∂∂

=λ+∂∂

0Vxpxp

0px

U

0px

U

2211

22

11

În termeni de utilități marginale, putem scrie sistemul de mai sus sub forma:

=−+=λ+=λ+

0Vxpxp

0pU

0pU

2211

22,m

11,m

Din primele două relații, deducem λ=i

i,m

p

U− , i= 2,1 sau altfel:

2

2,m

1

1,m

p

U

p

U= - legea a doua a lui Gossen

Rezolvând acum sistemul caracteristic:

=−+

=

0Vxpxpp

U

p

U

2211

2

2,m

1

1,m

rezultă soluția problemei:

==

)V,p,p(fx

)V,p,p(fx

2122

2111

Cererea de tip Marshall

Fig.7 Să considerăm, în cele ce urmează, același consumator ce dorește

satisfacerea unui nivel de utilitate dat în condițiile în care acesta este dispus să aloce cel mai mic venit pentru atingerea scopurilor sale. Vom spune, în acest caz, că cererea de bunuri este compensată sau de tip Hicks. Considerând

funcția de utilitate U:SC→R+ și u utilitatea dorită, problema determinării coșului de consum astfel încât venitul alocat să fie minim devine:


27

( )

∈≥

+

SCx,x

u)x,U(x

xpxp min

21

21

2211

Se arată că în condițiile în care funcția obiectiv: 2211 xpxp + este funcție

cuasi-convexă (ceea ce este adevărat, fiind liniară) de clasă C2, iar restricția de tip inegalitate este generată de o funcție cuasi-concavă, iar SC este o mulțime convexă, atunci soluția optimă a problemei se află situată pe frontiera zonei de

utilitate: u)x,U(x 21 = , adică satisface condițiile (Kuhn-Tucker):

( )

∈=

+

SCx,x

u)x,U(x

xpxp min

21

21

2211

Aplicând din nou metoda multiplicatorilor lui Lagrange, fie L(x1,x2,λ)=

2211 xpxp + +λ ( )u)x,U(x 21 − . Condițiile de extrem sunt:

=∂∂

=∂∂

=∂∂

0λ

L

0x

L

0x

L

2

1

de unde:

=−=λ+=λ+

0u)x,U(x

0Up

0Up

21

2,m2

1,m1

Din primele două relații, obținem λ=i,m

i

U

p− , i= 2,1 sau altfel:

2

2,m

1

1,m

p

U

p

U= - legea a doua a lui Gossen

Rezolvând acum sistemul caracteristic:

=

=

u)x,U(xp

U

p

U

21

2

2,m

1

1,m

rezultă soluția problemei:

==

)u,p,p(gx~)u,p,p(gx~

2122

2111


28

Cererea de tip Hicks

Fig.8 Analiza celor două tipuri de cereri relevă faptul că dreapta de venit

trebuie să fie tangentă suprafeței (hipersuprafeței) de utilitate. Un alt aspect ce merită a fi analizat constă în interpretarea economică a

parametrului λ din cele două aplicații ale metodei multiplicatorilor lui Lagrange. În cazul cererii de tip Marshall, avem, pentru diferențiala venitului (adică

tendința de creștere infinitezimală): dV= 2211 dxpdxp + . Pe de altă parte, din

legea a doua a lui Gossen: 1,m1 Up =λ− , 2,m2 Up =λ− deci (după o evidentă

înmulțire cu -λ): -λdV= 2211 dxpdxp λ−λ− = 22,m11,m dxUdxU + =

22

11

dxx

Udx

x

U

∂∂

+∂∂

=dU. Prin urmare: λ=dV

dU− , deci, în cazul cererii de tip

Marshall, multiplicatorul λ reprezintă opusul utilității marginale a venitului, în sensul că “măsoară” variația de utilitate la o creștere infinitezimală a venitului.

În cazul cererii de tip Hicks, avem: dU= 22

11

dxx

Udx

x

U

∂∂

+∂∂

=

22,m11,m dxUdxU + .

Din legea a doua a lui Gossen: 11,m pU λ−= , 22,m pU λ−= implică: dU=

2211 dxpdxp λ−λ− =-λdV de unde rezultă aceeași semnificație a lui λ.

Comportamentul consumatorului Cazul bunurilor perfect substituibile

Să considerăm, în cele ce urmează două bunuri perfect substituibile B1,B2, SC – spațiul de consum al acestora, prețurile de vânzare: p1,p2 și funcția

de utilitate U(x1,x2)=a1x1+a2x2, a1,a2>0 a unui consumator ce dispune de venitul V.

Ne punem problema optimizării de tip Marshall a dirijării actului de cumpărare în vederea maximizării utilității.

Din 2.4, condițiile necesare și suficiente de maxim sunt:


29

=+

=

Vxpxpp

U

p

U

2211

2

2,m

1

1,m

de unde:

=+

=

Vxpxpp

a

p

a

2211

2

2

1

1

Din prima ecuație a sistemului, observăm că dacă 2

2

1

1

p

a

p

a= atunci toate punctele

( )21 x,x ale dreptei de buget, unde Vxpxp 2211 =+ constituie componente ale

coșului optim de consum.

Dacă 2

2

1

1

p

a

p

a≠ atunci sistemul este incompatibil, deci nu există soluții pe dreapta

de buget (de fapt, pe segmentul determinat de axele de coordonate). În acest caz, vom analiza comparativ valorile funcției de utilitate pe

intersecția dreptei de buget cu axele de coordonate adică la capetele acestui segment de dreaptă. Avem deci următoarele situații:

• 1

1

p

a>

2

2

p

a implică coșul optim de consum: ( )21 x,x =

0,

p

V

1

;

• 1

1

p

a<

2

2

p

a implică coșul optim de consum: ( )21 x,x =

2p

V,0 .

Coșul optim de consum în cazul bunurilor perfect substituibile și 2

2

1

1

p

a

p

a=

Fig.9


30


2

1

1

p

a

p

a>

Fig.10


2

1

1

p

a

p

a<

Fig.11 Natura bunurilor în funcție de cerere

Considerând două bunuri B1 și B2 supuse unei funcții de utilitate U, prețurile de vânzare ale acestora: p1, respectiv p2 și venitul disponibil V al unui consumator oarecare, ne punem, în cele ce urmează, problema modului în care se modifică cererea sub acțiunea unor factori specifici. Bunuri normale în raport cu cererea

Considerând deci unul dintre cele două bunuri, de exemplu, B1 să presupunem că prețul acestuia se modifică cu o cantitate dp (caeteris paribus). Vom nota, de asemenea, dx – variația cererii bunului B1.


31

Vom spune că bunul este normal în raport cu cererea dacă dp

dx<0

(caeteris paribus) adică dacă la o modificare infinitezimală a prețului, cererea se modifică în sens contrar. Este evident faptul că, la analize discrete (în care

cererea nu este precizată ca funcție de preț, ci pur și simplu ca o colecție de date

discrete de tip: preț-cantitate) bunul va fi normal în raport cu cererea dacă p

x

∆∆

<0.

Un bun se numește Giffen dacă dp

dx>0 (caeteris paribus).

Ca urmare a definiției, în cazul bunurilor Giffen, dacă prețul acestora scade, cererea se diminuează și invers, cererea crește odată cu reducerea prețului.

Un bun B2 se spune că substituie brut un bun B1 dacă 1

2

dp

dx≥0.

Dacă bunul B2 substituie brut bunul B1, la o creștere a prețului bunului B1 cererea de produs B2 crește, iar la o scădere a prețului lui B1 se produce o descreștere a cererii lui B2.

Un bun B2 se spune că este un complement brut pentru un bun B1 dacă

1

2

dp

dx≤0.

Semnificația complementarității brute este aceea că dacă prețul bunului Bi crește atunci cererea din bunul Bj scade și invers.

Un bun B1 se numește normal în sensul venitului dacă dV

dx >0.

Ca urmare a acestei definiții, bunul B1 este normal în sensul venitului, dacă la o creștere a venitului disponibil, consumul bunului se mărește.

Un bun B1 se numește bun inferior dacă dV

dx <0.

Bunul B1 este inferior, dacă la o creștere a venitului disponibil, consumul bunului B1 se diminuează sau la o scădere a venitului disponibil consumul acestuia se majorează.

O altă abordare a modificării cererii în raport de prețul produselor se referă la variațiile relative ale solicitărilor de produse în raport cu prețul acestora sau venitul alocat. Conceptul de elasticitate a cererii măsoară tocmai această situație.

Definim deci:

• elasticitatea cererii în raport cu prețul produsului, la momentul t2, raportată la “momentul” inițial t1, ca fiind:

p,xε =

)t(p

)t(p)t(p)t(x

)t(x)t(x

1

12

1

12

−

−

=

p

px

x

∆

∆

= p

p

x

x

∆⋅

∆=

p

x

δδ


32

unde am notat pentru simplificare x și p – nivelul cererii, respectiv al prețului la

momentul inițial t1, iar δx şi δp reprezintă variația relativă a lui x, respectiv p în raport cu momentul t1.

• elasticitatea arc a cererii în raport cu preţul produsului, relativ la momentele t1 şi t2:

p,x,aε =

+−

+−

2

)t(p)t(p)t(p)t(p

2

)t(x)t(x)t(x)t(x

21

12

21

12

=)x2(p

)p2(x

δ+δδ+δ

La nivel diferențiabil (pentru procese continue, nediscretizate), vom defini elasticitatea punct a cererii în raport cu prețul produsului, ca fiind:

p,xε =

p

dpx

dx

=x

p

dp

dx⋅

Elasticitatea cererii în raport cu prețul unui produs semnifică variația procentuală a cererii la o variație procentuală a prețului acestuia.

Din cele de mai sus, rezultă că bunurile normale sunt cele pentru care p,xε <0,

iar bunurile Giffen pentru care p,xε >0.

Relativ la caracterul elasticității, există următoarea clasificare:

• p,xε =0 – cererea este perfect inelastică. În acest caz, indiferent de modificarea

prețului, cererea de produs rămâne constantă (dx=0). În figura 12 este reprezentat cazul acestui tip de cereri, în care la orice modificare a prețului p

pentru bunul respectiv, cantitatea cerută rămâne constantă *x . O analiză a cererii de produse în funcție de preț (pe piața americană) relevă faptul că cererea este

(aproape) perfect inelastică în cazul vizitelor la medicul pediatru (ii p,xε ∈[-0,03,-

0,06]) sau în cazul ouălelor (ii p,xε =-0,1).

Cererea perfect inelastică

Fig.12


33

• p,xε ∈(-1,1) – cererea este inelastică. În acest caz, la modificarea prețului,

cererea de produs variază procentual mai puțin (fig.13). Se observă din figura 13 că la orice modificare a prețului p, cantitatea cerută x variază procentual mai

puțin (unghiul α din triunghiul ABC este mai mic decât unghiul β din triunghiul

DOE). Exemple de cerere inelastică (pe piața americană) sunt cele referitoare la

vicii (țigări - p,xε ∈[-0,3,-0,6], bere - p,xε ∈[-0,3,-0,7]) sau în cazul unor produse

vitale: orez - p,xε =-0,55, ulei - p,xε =-0,4, benzină - p,xε =-0,25.

Cererea inelastică

Fig.13

• p,xε ∈{-1,1} – cererea cu elasticitate unitară. În acest caz, la modificarea

prețului, cererea de produs variază cu același procent. Avem p,xε =x

p

dp

dx⋅ =±1,

de unde: p

dp

x

dx±= . Dacă

p

dp

x

dx= după integrare în ambii membri, rezultă

x=Cp – graficul cererii fiind o dreaptă (fig149). Dacă p

dp

x

dx−= atunci px=C –

graficul cererii fiind o hiperbolă echilateră (fig.15). Exemple de cerere unitar

elastică (pe piața americană) sunt cele referitoare la cererea de vin - p,xε =-1 sau

de băuturi răcoritoare - p,xε =-1.


34

Cererea cu elasticitate unitară p,xε =1

Fig.14

Cererea cu elasticitate unitară p,xε =-1

Fig.15

• p,xε ∈(-∞,-1)∪(1,∞) – cererea este elastică. În acest caz, la modificarea prețului,

cererea de produs variază procentual mult mai mult. Se observă din figura 16 că la orice modificare a prețului p, cantitatea cerută variază într-un procent mai mare. Exemple de cerere elastică (pe piața americană) sunt cele referitoare la

băuturi spirtoase ( p,xε =-1,5), Coca Cola ( p,xε =-3,8) sau Mountain Dew ( p,xε =-

4,4).


35

Cererea elastică

Fig.16

• p,xε =±∞ – cererea este perfect elastică. În acest caz, la orice modificare de preț,

cererea de produs variază la infinit. Exemple de cerere (aproape) perfect elastică pot fi produse așteptate de populație care, în cazul scăderii prețului sub un prag psihologic pot determina o creștere spectaculoasă a cererii.

Cererea perfect elastică

Fig.17 Un ultim tip de elasticitate este cea în funcție de venit. Vom defini deci:

• elasticitatea cererii în raport cu venitul, la momentul t2, raportată la “momentul” inițial t1, ca fiind:

V,xε =

)t(V

)t(V)t(V)t(x

)t(x)t(x

1

12

1

12

−

−

=

V

Vx

x

∆

∆

=V

V

x

x

∆⋅

∆=

V

x

δδ

• elasticitatea arc a cererii de produs în raport cu venitul, relativ la momentele t1 şi t2:


36

V,x,aε =

+−

+−

2

)t(V)t(V)t(V)t(V

2

)t(x)t(x)t(x)t(x

21

12

21

12

=)x2(V

)V2(x

δ+δδ+δ

• elasticitatea punct a cererii de produs în raport cu venitul, ca fiind:

V,xε =

V

dVx

dx

=x

V

dV

dx⋅

Elasticitatea cererii în raport cu venitul semnifică variația procentuală a cererii de produs la o variație procentuală a venitului disponibil al consumatorului.

Din cele de mai sus, rezultă că bunul i este normal în sensul venitului

dacă V,xε >0, iar bunul este inferior dacă V,xε <0.

De asemenea, produsele pentru care V,xε >1 se numesc bunuri superioare (sau

de lux), iar cele pentru care V,xε <1 – bunuri de necesitate. În cazul bunurilor

superioare, la o creștere a venitului, cererea crește în procent mai mare (uneori

din cauza inaccesibilității acestor produse la niveluri mici de venit, dar cel mai

des din cauza snobismului). Bunurile de necesitate, la o creștere a venitului înregistrează o evoluție mai mică a consumului datorită posibilei lor înlocuiri cu altele asemănătoare. Efectele Hicks și Slutsky

Am studiat mai sus cazul cererii necompensate sau de tip Marshall. Esența acesteia constă în determinarea cererii pentru un număr oarecare de produse astfel încât, în condițiile unui venit dat V, utilitatea să devină maximă.

Considerând deci prețurile a două bunuri (analiza este aproape identică și pentru n bunuri) B1,B2 ca fiind: p1,p2, cantitățile cerute din aceleași bunuri:

x1,x2, V – venitul alocat achiziționării acestora și funcția de utilitate U:SC→R+ unde SC este spațiul de consum al acestora, problema de optim este:

∈=+

SCx,x

Vxpxp

)x, U(xmax

21

2211

21

Prin aplicarea metodei multiplicatorilor lui Lagrange, se obține soluția:

==

)V,p,p(fx

)V,p,p(fx

2122

2111

ce satisface condițiile:

=+

=

Vxpxpp

U

p

U

2211

2

2,m

1

1,m


37

multiplicatorul Lagrange fiind: λ=i

i,m

p

U− , i= 21, .

De asemenea, am studiat cazul cererii compensate sau de tip Hicks ce consta în determinarea cererii pentru un număr oarecare de produse astfel încât,

în condițiile unei utilități dorite u , venitul alocat să fie minim. Cu aceleași notații de mai sus, problema de optim devenea:

( )

∈=+

SCx,x

u)x,U(x

xpxpmin

21

21

2211

Prin aplicarea metodei multiplicatorilor lui Lagrange, se obține soluția:

==

)u,p,p(gx~)u,p,p(gx~

2122

2111

ce satisface condițiile:

=

=

u)x~,x~U(p

U

p

U

21

2

2,m

1

1,m

multiplicatorul Lagrange fiind: λ~

=i,m

i

U

p− , i= 21, .

Ne punem, în mod natural, problema evoluției cererii atunci când prețurile bunurilor variază. În principiu, fie că este vorba de cerere necompensată sau compensată, se rezolvă din nou sistemul de condiții respectiv obținându-se noua soluție. Aspectul interesant este însă acela al trecerii de la vechea pereche de bunuri achiziționate la cea nouă, dat fiind că acest proces este, de regulă, unul care se desfășoară în timp și deci are o serie de implicații și efecte tranzitorii. Chiar dacă venitul achiziționării produselor va rămâne același, utilitatea se va modifica ceea ce va da indicii importante asupra unor eventuale deplasări ale preferințelor către alte bunuri. Efectul Hicks

Fie deci noile prețuri ale bunurilor B1,B2 ca fiind: 1'p , 2'p .

Vom considera în cadrul acestei analize că, pentru început, consumatorul își va modifica cererea astfel încât să-și conserve nivelul de utilitate inițial. Cererea compensată va satisface deci problema:

( )

∈=+

SCx,x

u)x,U(x

x'px'pmin

21

21

2211

unde u este nivelul inițial al utilității. Fie soluția:

==

)u,'p,'p(fx~)u,'p,'p(fx~

2122

2111


38

Pentru noul coș de bunuri ( )21 x~,x~ venitul necesar achiziționării coșului de

bunuri respectiv este V’==

n

1iii x~'p , utilitatea păstrându-se la nivelul inițial U( 1x~

, 2x~ )= u . Vom numi trecerea de la coșul de bunuri inițial ( )21 x,x la ( )21 x~,x~ -

efect de substituție de tip Hicks (notat prescurtat Hs), variația de consum fiind:

∆Hs,i= ix~ -xi, i= 2,1 . Prin urmare, în ideea conservării utilității inițiale

consumatorul va trebui să dispună de un alt venit V’ (nu neapărat diferit de V,

dar în cele mai multe cazuri da). În situația în care V’≠V (mai ales în cazul în

care V’>V) analiza trebuie continuată.

Faza a doua derivă din faptul că dacă V’≠V consumatorul își va modifica din nou perechea cererii (corespunzător venitului său real V și nu V’), proporțional cu cel anterior ce îi conservase utilitatea. În acest caz, apare problema cererii necompensate și anume:

∈=+

SCx,x

Vx'px'p

)x, U(xmax

21

2211

21

cu soluția:

==

)V,'p,'p(gx~~

)V,'p,'p(gx~~

2122

2111

În acest caz, avem: V= 2211 x~~'px

~~'p + , U=U( 1x~~ , 2x

~~ ) – utilitatea obținută

pentru noul coș de bunuri. Vom numi trecerea de la coșul de bunuri intermediar

( )21 x~,x~ la ( )21 x~~,x

~~ - efect de venit de tip Hicks (notat prescurtat Hv) variația

de consum fiind: ∆Hv,i= ix~~ - ix~ , i= 2,1 .

Efectul total al acestor două etape este: ∆H,i=∆Hs,i+∆Hv,i= ix~ -xi+ ix~~ - ix~ = ix

~~ -xi, i=

2,1 (ceea ce era și normal adică diferența dintre cantitatea finală de produs și

cea inițială). Din punct de vedere grafic, efectul Hicks constă într-o primă deplasare a

dreptei de venit determinată de noile prețuri astfel încât aceasta să rămână

tangentă curbei de utilitate U= u , punctul de tangență determinând efectul de substituție de tip Hicks pentru fiecare produs în parte. A doua etapă, constă în deplasarea paralelă a dreptei de buget până la atingerea venitului inițial și determinarea curbei de utilitate tangentă la aceasta. Noua deplasare a punctelor de tangență va determina efectul de venit de tip Hicks pentru fiecare produs. În particular, pentru două bunuri B1 și B2 ale căror prețuri inițiale sunt p1, respectiv p2, iar venitul consumatorului este V, vom presupune că bunul x1 suferă

o reducere de preț de la p1 la 1'p <p1.

Dreapta venitului, relativ la prețurile inițiale, este: V=p1x1+p2x2. Considerând funcția de utilitate U=U(x1,x2), dreapta venitului devine tangentă la


39

una din curbele de izoutilitate (U=constant) în punctul A(x1,s,x2,s) (fig.18), iar utilitatea va fi: U=U(x1,s,x2,s)=Us (am notat cu indicele s – de la start).

Ca urmare a modificării prețului bunului x1, în prima fază, consumatorul își va modifica coșul de consum astfel încât să-și păstreze același nivel de utilitate maximă pe care-l avea înainte de schimbare. Prin urmare, noua dreaptă

a venitului: V’= 1'p x1+p2x2 (unde V’ nu este cunoscut pentru moment) se va

deplasa paralelă cu ea însăși până când va deveni tangentă la curba de izoutilitate U=Us în punctul intermediar B(x1,i,x2,i) (am notat cu indicele i – de la

intermediar), iar cantitățile consumate vor fi: x1,i>x1,s (natural, ca urmare a

micșorării prețului lui x1) și x2,i<x2,s (consumatorul deplasându-se către bunul

x1 care este mai ieftin). Grafic, noua dreaptă se construiește simplu: se determină

panta acesteia (2

1

p

'p - în sens geometric, ca unghi al triunghiului determinat cu

axele de coordonate), se trasează o dreaptă, de exemplu, prin origine și cu panta dată (repetăm, în sens geometric și nu cu semnificația de la funcția de gradul I

care este opusa acesteia) și apoi se delasează paralel cu ea însăși până devine, așa cum am precizat și mai sus, tangentă la curba de izoutilitate.

Efectul Hicks

Fig.18 Se observă că, întrucât noua dreaptă a venitului taie axa Ox2 într-un punct

mai apropiat de origine, rezultă că V’<V. Diferența x1,i-x1,s este tocmai efectul de substituție de tip Hicks (nu vom considera și efectul asupra bunului B2

deoarece, în final, acesta va înregistra aceeași valoare ca la început). Etapa a doua constă în realocarea diferenței de venit suplimentar (V-V’)

unui nou vector de consum. În acest caz, consumatorul își sporește utilitatea maximală la U=Uf (am notat cu indicele f – de la final) obținând un nou consum:


40

x1,f>x1,i (ca urmare a venitului suplimentar alocat), respectiv x2,f=x2,s, corespunzător punctului C(x1,f,x2,f) Diferența x1,f-x1,i este efectul de venit de tip Hicks. Efectul Slutsky

Fie, din nou, noile prețuri ale bunurilor B1,B2 ca fiind: 1'p , 2'p . Vom

considera, de această dată, situația în care, mai întâi, consumatorul își va conserva puterea de cumpărare adică va cumpăra aceleași cantități de bunuri.

Venitul necesar acestui fapt devine: V’= 2211 x'px'p + , dreapta de venit rotindu-

se în jurul punctului inițial (x1,x2) ceea ce va determina o nouă utilitate maximală, determinată prin tangența curbei de izoutilitate la aceasta.

Apare deci o problemă de cerere necompensată, consumatorul dorind să-și maximizeze utilitatea în condițiile noului venit. Avem deci:

∈=+

SCx,x

'Vx'px'p

)x, U(xmax

21

2211

21

cu soluția:

==

)'V,'p,'p(fx

)'V,'p,'p(fx

2122

2111

utilitatea fiind U=U( 1x , 2x ).

Vom numi trecerea de la coșul de bunuri inițial (x1,x2) la ( 1x , 2x ) efect

de substituție de tip Slutsky (notat prescurtat Ss) și avem: ∆Ss,i= ix -xi, i= 2,1 .

În a doua etapă, datorită faptului că V’≠V (V – venitul inițial), consumatorul își va modifica din nou coșul cererii (corespunzător venitului său

real și nu al celui virtual V’ – necesar păstrării obiceiului de consum), proporțional cu cel anterior ce îi maximizase utilitatea. Noua problemă apărută este din nou de cerere necompensată:

∈=+

SCx,x

Vx'px'p

)x, U(xmax

21

2211

21

cu soluția:

==

)V,'p,'p(gx

)V,'p,'p(gx

2122

2111

În acest caz, avem: V= 2211 x'px'p + , U=U( 1x , 2x ) – utilitatea obținută.

Vom numi trecerea de la coșul de bunuri intermediar ( 1x , 2x ) la ( 1x , 2x ) efect

de venit de tip Slutsky (notat prescurtat Sv) și avem: ∆Sv,i= ix - ix , i= 2,1 .

Geometric, dreapta de venit: 'Vx'px'p 2211 =+ se deplasează paralel până la

vechiul venit V, determinându-se apoi curba de izoutilitate tangentă.

Efectul total al acestor două etape este: ∆S,i=∆Ss,i+∆Sv,i= ix -xi+ ix - ix = ix

-xi, i= 2,1 .


41

În particular (fig.19), pentru două bunuri B1 și B2 ale căror prețuri inițiale sunt p1, respectiv p2, iar venitul consumatorului este V, vom presupune că bunul

x1 suferă o reducere de preț de la p1 la 1'p <p1.

În acest caz trecerea secvențială de la consumul inițial la cel final, se realizează în mai multe etape.

Dreapta venitului, relativ la prețurile inițiale, este: V=p1x1+p2x2. Considerând funcția de utilitate U=U(x1,x2), dreapta venitului devine tangentă la una din curbele de izoutilitate (U=constant) în punctul A(x1,s,x2,s), iar utilitatea va fi: U=U(x1,s,x2,s)=Us (am notat cu indicele s - start).

Ca urmare a modificării prețului bunului x1, în prima fază, consumatorul își va păstra puterea de cumpărare inițală, deci va opta pentru același vector de consum (x1,s,x2,s). În acest caz însă, dreapta venitului, având panta mai mică (ca

urmare a scăderii prețului p1) nu va mai fi tangentă la curba de izoutilitate U=Us (ea trecând totuși, în continuare, prin punctul A). Prin urmare, consumatorul își va modifica coșul de consum, pentru a obține maxim de utilitate, deplasându-se în punctul intermediar B(x1,i,x2,i) (am notat cu indicele i - intermediar), iar cantitățile consumate vor fi: x1,i>x1,s (natural, ca urmare a micșorării prețului

lui x1) și x2,i<x2,s (consumatorul deplasându-se către bunul x1). Se observă că, întrucât noua dreaptă a venitului intersectează axa Ox2 mai aproape de origine, rezultă că V’<V. Diferența x1,i-x1,s este efectul de substituție de tip Slutsky.

Etapa a doua constă în realocarea diferenței de venit suplimentar (V-V’) unui nou coș de consum. În acest caz, consumatorul își sporește utilitatea maximală la U=Uf (am notat cu indicele f - final) obținând un nou consum: x1,f>x1,i (ca urmare a venitului suplimentar alocat), respectiv x2,f=x2,s corespunzătoare punctului C(x1,f,x2,f). Diferența x1,f-x1,i este efectul de venit de tip Slutsky.

Efectul Slutsky


42

Fig.19 Ca o sinteză a celor două tipuri de efecte asupra consumatorului putem afirma că ele abordează aceeași problemă (componența finală a coșului de consum fiind

aceeași), dar din puncte de vedere diferite. Dacă în cazul Hicks, consumatorul este tributar utilității, el urmărind la o modificare de preț mai întâi conservarea acesteia (deci îl putem considera un

consumator precaut) și mai apoi ajustarea consumului la noile realități (date de

prețurile în schimbare), la Slutsky consumatorul dă dovadă, inițial, de inerție, înțelegând ulterior importanța optimizării coșului de consum în raport cu utilitatea și apoi, la fel ca și în cazul Hicks, ajustându-și necesitățile în funcție de noile prețuri și de venitul existent.


43

Sarcina de lucru 2

1.Un consumator dispune de un venit de 40.000 u.m. din care 20% este destinat coșului de consum pentru achiziționarea a două bunuri A și B. Funcția de utilitate a consumatorului este de forma: U=(x-5)(y+12), unde x, y sunt cantitățile din cele două bunuri A și B. Dacă prețul bunului A este 80 u.m. și prețul bunului B este 100 u.m., să se determine:

a. ecuația dreptei bugetare; b. cererea necompensată de tip Marshall.

2.Fie două bunuri A și B ale căror prețuri sunt pA=6 u.m., pB=9.u.m. Pentru un consumator ce dispune de un venit de 720 u.m.:

a. să se traseze dreapta bugetului; b. să se determine volumul bugetului; c. să se determine rata marginală de substituție a bunului A; d. să se determine coșul minimal.

3.Fie un consumator ce dispune de un venit de 72 u.m. și dorește achiziționarea a două bunuri A și B la prețurile: prețul bunului A este 2 u.m. și prețului bunului B este 3 unități monetare. Dată fiind funcția de utilitate de forma U=A2B2:

a) Să se determine combinația optimă de consum; b) Dacă prețul bunului B se micșorează la 1,5 u.m., care este noua

combinație optimă? c) Determinați efectul de substituție și efectul de venit Hicks; d) Determinați efectul de substituție și efectul de venit Slutsky

4. Fie funcția de utilitate: U(x,y)=15X4Y3

a) Să se calculeze utilitatea marginală a acesteia în raport cu fiecare bun; b) Să se calculeze utilitatea marginală a acesteia în raport cu fiecare bun

corespunzătoare unui consum de 3 unități de bun x și 2 unități de bun y.

5. Funcția utilității totale obținută prin consumul a două bunuri x și y este 3x2+6y+8. Individul consumă 5 bucăți din bunul x și 10 bucăți din bunul y. Prețul bunului x este 24 u.m.. Care ar trebui să fie prețul bunului y la echilibru? Să se determine venitul consumatorului. 6. Funcția utilității totale obținută prin consumul a două bunuri x și y este 4x0,5+y. Dacă prețurile celor două bunuri sunt px=1 și py=2, iar consumatorul dispune de un venit de 24 de unități monetare să se determine combinația optimă din cele două bunuri. Dar pentru un venit de 34 u.m., care va fi noua structură a consumului din cele două bunuri?


44

Test de autoevaluare

1. Aplicatia 1. Fie un consumator ce dispune de venitul V=30 u.m. și două bunuri

perfect substituibile B1 și B2 cu prețurile de vânzare p1=3 și p2=4. Să se determine cererea necompensată (de tip Marshall) dacă utilitatea este de forma: U(x1,x2)=(6+x1)(8+x2) Datele problemei: V=30 u.m.

p1=3; p2=4; U(x1,x2)=(6+x1)(8+x2)

Rezolvare:

2mgx

1mgx

U

U=

2x

1x

P

P

V= Px1+Px2

Pentru a determina utilitățile marginale ale celor două bunuri, derivăm funcția utilității totale și vom avea: Umgx1= 8+x2 și Umgx2=6+x1,

+=

=++

21

1

2

x4x3304

3

x6

x8

+=−=

21

21

x4x330

x4x314 x1=7,33 și x2=1,75

2.Fie două bunuri A și B ale căror prețuri sunt pA= 3 u.m., respectiv pB=5 u.m. Pentru un consumator ce dispune de un venit de 30 u.m.:

a. să se determine volumul bugetului; b. să se determine rata marginală de substituție a bunului A; c. să se determine coșul minimal; d. să se traseze dreapta bugetului. Datele problemei: V=300 u.m.

pA=3; pB=5; Rezolvare:

a. Volumul bugetului, Vbuget=BA

2

pp2

V, deci Vbuget=

��

��=30 u.m.

Rezumat Funcția de utilitate: U:SC→R+, (x1,...,xn)→U(x1,...,xn)∈R+ ∀(x1,...,xn)∈SC satisface axiomele:

1. ∀x,y∈SC: x∼y ⇔ U(x)=U(y); 2. ∀x,y∈SC: x� y ⇔ U(x)≥U(y);

3. U(0)=0. Utilitatea marginală (discretizată) măsoară plusul de utilitate adus la

consumul suplimentar cu o cantitate ∆xi. Rata marginală de substituție (RMS) între bunurile Bi și Bj, (caeteris

paribus), reprezintă variația cantității de bun Bj pentru a substitui o variație a cantității de bun Bi în situația conservării utilității Un număr de n bunuri sunt perfect substituibile dacă funcția de utilitate este liniară.


45

b. RMS=5

3

p

p

B

A −=− =-0,6.

c. Coșul minimal de consum este acel coș care se află pe curba de indiferență la cea mai mică distanță de origine. Acest coș nu înseamnă număr total minim de produse.

Coșul minimal în cazul nostru este: ��

��

�=�∙��

��=2,65,

��

��

�=�∙��

��=4,41. Avem deci coșul minimal = (2,65; 4,41).

d.

Aplicatia 3 3. Fie un consumator, ce dispune de un venit egal cu 300 u.m. și care dorește achiziționarea a două bunuri A și B ce au prețurile pA=5 u.m. și pB=8 u.m. Funcția sa de utilitate este: U(x,y)=xy unde x și y sunt cantitățile consumate din A, respectiv B. a) Să se determine combinația optimă de consum; b) Dacă prețul bunului B se micșorează la 6 u.m., care este noua combinație optimă? c) Determinați efectul de substituție și efectul de venit Hicks; d) Determinați efectul de substituție și efectul de venit Slutsky. Rezolvare:

a.mgy

mgx

U

U=

y

x

P

P

V= xPx+yPy

Pentru a determina utilitățile marginale ale celor două bunuri, derivăm funcția utilității totale și vom avea: Umgx= y și Umgx=x

+=

=

y8x53008

5

x

y

+==

y8x5300

x5y8 x=30 și y=18,75

b. pB=6 u.m. (py), deci vom avea:


46

+=

=

y6x53006

5

x

y

+==

y6x5300

x5y6 x=30 și y=25

c.Pentru Px=5 și Py=8, combinația optimală din cele două bunuri este: x=30 și y=18,75 Cum U=xyU=30*18,75=562,5 Știm că prețul bunului B se modifică de la 8 la 6 unități iar individul va dori ca să-și mențină nivelul utilității neschimbat (562,5) U=562,5=xy

6

x5y = (vezi pct.b), din aceste două relații 562,5= x

6

x5562,5=

6

x5 2

x=25,98

65,216

98,25*5y ==

Efectul de substituție Hicks (vezi combinația optimă de la pct.a):

x1-x0=25,98-30= -4,02

y1-y0=21,65-18,75=2,9

Efectul de venit Hicks (vezi combinația optimă de la pct.b):

x0-x1=30-25,98 = 4,02

y0-y1=25-21,65=3,35

În această situaație venitul disponibil V (pentru x=25,98 și y=2,65) va fi:

V=25,98*5+21,65*6=259,8

d.În urma modificării prețului bunului B de la 8 la 6 u.m., consumatorul va

dori să achiziționeze aceleași cantități de bunuri (vezi pct.a). Deci, vom calcula

noul venit disponibil:

5x+6y=V5*30+6*18,75=262,5

În condițiile noului venit, vom calcula din nou combinația optimă de cantități

(x și y) din bunurile A și B.

+=

=

y6x55,2626

5

x

y

+==

y6x55,262

x5y6 x=26,25 și y=21,875

Efectul de substituție Slutsky va fi: x1-x0=26,25-30= -3,75

y1-y0=21,875-18,75=3,125

Efectul de venit Slutsky va fi: x0-x1=30-26,25 = 3,75

y0-y1=25-21,875=3,125


47

4.Fie două bunuri A și B ale căror prețuri inițiale sunt 2 u.m. și 10 u.m., funcția de utilitate fiind de tip Cobb-Douglas U(x,y)=x0,1y0,9 unde x şi y sunt cantităţile de produs A, respectiv B. Fie, de asemenea, 270 u.m. - venitul consumatorului. Să se determine cererea necompensată (de tip Marshall). Rezolvare: Condițiile de optimizare sunt:

1. mgy

mgx

U

U=

y

x

P

P

2. V= Px+Py

Pentru a determina utilitățile marginale ale celor două bunuri, derivăm funcția utilității totale și vom avea: Umgx= 9,09,0 yx1,0 −

Umgy=1,01,0 yx9,0 −

+=

=−

−

y10x227010

2

yx9,0

yx1,01,01,0

9,09,0

+=

=

y10x227010

2

x9,0

y1,0x=13,5 și y=24,3

Soluția: A=13,5 și B=24,3

5.Funcția utilității totale obținută prin consumul a două bunuri x și y este 2x+5y. Prețul bunului x este 25 u.m. Care ar trebui să fie prețul bunului y la echilibru? Rezolvare:

mgy

mgx

U

U=

y

x

P

P

Umgx=2 Umgy=5

5

2=

yp

25 py =62,5





48

3. OFERTA

Oferta 45

Rezumat 77

Teste de autoevaluare 77


77








Funcții de producție

În orice activitate economică, obținerea unui rezultat al acesteia presupune, în mod implicit, existența unui număr oarecare de resurse necesare bunei desfășurări a procesului de producție. Ca și în cazul bunurilor, vom presupune că resursele sunt indefinit divizibile, ceea ce implică posibilitatea utilizării instrumentarului

specific analizei matematice în analiza fenomenelor specifice. Vom defini deci pe Rn spațiul de producție pentru n resurse fixate ca

fiind SP={(x1,...,xn)xi≥0, i= n,1 } unde x∈SP, x=(x1,...,xn) reprezintă un

ansamblu ordonat de resurse. Deoarece în cadrul unui proces de producție, în funcție de natura tehnologiei aplicate, dar și al specificului acestuia, nu orice cantitate de resurse este posibilă,

vom restrânge spațiul de producție la o submulțime Dp⊂SP numită domeniu de producție.


49

În contextul existenței domeniului de producție, ne punem deci problema determinării rezultatelor acesteia (output-ul) în funcție de nivelul resurselor (input-urilor) din Dp. Se numește funcție de producție o aplicație:

Q:Dp→R+, (x1,...,xn)→Q(x1,...,xn)∈R+ ∀(x1,...,xn)∈Dp

Considerând acum o funcție de producție Q:Dp→R+ și

Q ∈R+ - o producție dată (fixată), mulțimea input-urilor ce generează producția

Q se numește izocuantă.

O izocuantă este deci caracterizată de mulțimea:

{(x1,...,xn)∈DpQ(x1,...,xn)= Q }

Vom spune că o funcție de producție Q:Dp→R+ este cu revenire constantă la

scală dacă Q(λx1,...,λxn)=λQ(x1,...,xn), cu revenire crescătoare la scală dacă

Q(λx1,...,λxn)>λQ(x1,...,xn) şi cu revenire descrescătoare la scală dacă

Q(λx1,...,λxn)<λQ(x1,...,xn) ∀λ∈(1,∞) ∀(x1,...,xn)∈Dp. Faptul că o funcție de producție este cu revenire constantă la scală semnifică multiplicarea producției cu același factor cu care s-au amplificat factorii de producție. În mod analog, revenirea crescătoare (descrescătoare) la scală multiplică producția cu un factor superior (inferior) celui corespunzător factorilor de producție.

Ca și exemple de funcții de producție, putem da: Funcția liniară

Q: 2+R →R+, Q(K,L)=αK+βL∈R+ ∀(K,L)∈ 2

+R , α,β>0

unde K – capitalul, iar L – munca. Funcția CES (Constant elasticity of substitution)

Q: 2+R →R+, Q(K,L)= ( )ρρρ −+

1

L)c1(cKA ∈R+ ∀(K,L)∈ 2+R , A∈ *

+R , α>0,

c,ρ∈(0,1) unde K – capitalul, iar L – munca. Funcția neoclasică

Q: 2+R →R+, β−β

α

= 1L

K

LKAe)L,K(Q ∀(K,L)∈ 2+R

Funcția Halter

Q: 2+R →R+, βα+= LKAe)L,K(Q bLaK ∀(K,L)∈ 2

+R , α,β∈(0,1)

Funcția Liu & Hildebrand

Q: 2+R →R+, ( ) ( )[ ]ηη−ηη δ+δ−=

1m1m LKK1A)L,K(Q ∀(K,L)∈ 2

+R

Funcția CMS (Bruno – Constant Marginal Share)

Q: 2+R →R+, mLLAK)L,K(Q 1 −= α−α ∀(K,L)∈ 2

+R

Funcția VES (Revankar – Variable Elasticity of Substitution)

Q: 2+R →R+, ( ) ( )[ ]ρδµδµ−ρ −µ+= K1LAK)L,K(Q 1 ∀(K,L)∈ 2

+R

Funcția Ringstad

Q: 2+R →R+, βα+ = KALQ Qlnc1 ∀(K,L)∈ 2

+R , c≥0


50

Funcția Diewert (Generalized linear production function)

Q: 2+R →R+, ( )cLKLb2aKh)L,K(Q ++= ∀(K,L)∈ 2

+R , a,b,c≥0, h este

continuă, monoton crescătoare la +∞ și h(0)=0 Funcția translog

Q: 2*+R →R+, LlngLlnKlnfKlneLlncKlnbaQln 22 +++++= ∀(K,L)∈

2*+R

Funcția Kadiyala

Q: 2+R →R+, [ ] 21

212121 KKL2L)t(E)L,K(Q 221211ρ+ρ

ρρ+ρρρρ+ρ ω+ω+ω= ∀(K,L)∈

2+R unde ω11+2ω12+ω22=1, ωij≥0, ρ1 și ρ2 au același semn ca și ρ1+ρ2

Funcția Kmenta

Q: 2*+R →R+, ( ) ( )( )2LlnKln15,0Lln1KlnAlnQln −δ−ρβδ−δ−ρ+ρδ+=

∀(K,L)∈ 2*+R

Funcția McCarthy

Q: 2+R →R+, ( )bcbcbb LKLKA)L,K(Q

ρ−γ+β+α= ∀(K,L)∈ 2

+R , A,α,β,γ>0,

b≠0 Funcția Allen

Q:D⊂ 2+R →R+, 22 cLbKL2aKA)L,K(Q ++= ∀(K,L)∈D,

∆=4(b2-ac)>0, A>0 Funcția Johann von Thünen

Q: 3+R →R+, ( )( )( )PaLaKa 321 e1e1e1A)P,L,K(Q −−− −−−= ∀(K,L,P)∈ 3

+R

unde, în plus față de variabilele K și L apare și P este pământul. Funcția de producție Leontief

Q: 2+R →R+, Q(K,L)=

βαL

,K

min cu α,β>0.

Această funcție nu este de clasă C1. Principalii indicatori ai funcțiilor de producție

Am văzut în secțiunea precedentă că, luând în considerare un număr de resurse (capital, muncă, pământ etc.), putem construi o funcție de producție care să furnizeze valoarea efectivă a rezultatelor proceselor de producție în funcție de factorii analizați.

În mod natural, se pun o serie de întrebări. Prima dintre acestea se referă la natura funcției de producție alese. De ce alegem o funcție sau alta (aici, din

nefericire, rareori se răspunde...)? Cum determinăm parametrii unei funcții de producție (în toate cazurile se folosesc metodele econometrice, dar nu aplicate

direct pe funcția de producție ci combinat cu indicatorii ce vor urma)? Ce indicatori putem desprinde plecând de la o funcție de producție pentru a obține răspunsuri esențiale la calitatea procesului de producție (aici întrebarea este

vitală deoarece este posibil ca rezultatul absolut al producției să fie satisfăcător,

dar cu eforturi foarte mari...)?


51

Vom încerca deci, în cele ce urmează, să răspundem la o parte (și în

parte...) dintre aceste întrebări. Fie deci o funcție de producție:

Q:Dp→R+, (x1,...,xn)→Q(x1,...,xn)∈R+ ∀(x1,...,xn)∈Dp

Se numește productivitate marginală relativ la un factor de producție xi: ixη =

ix

Q

∂∂

reprezintând tendința de variație a producției la variația factorului xi.

În particular, pentru o funcţie de producţie de forma: Q=Q(K,L) avem: ηK=K

Q

∂∂

numit productivitatea marginală a capitalului și ηL=L

Q

∂∂

numit

productivitatea marginală a muncii. Din definiție, observăm că productivitatea marginală reprezintă tendința instantanee (sau pentru variații foarte mici) de variație a producției la modificări foarte mici ale factorului respectiv. În cazul datelor discretizate (tabelate) vom defini productivitatea marginală prin

relația: ixη =

ix

Q

∆∆

adică raportul dintre creșterea producției și creșterea factorului

respectiv. Este evident, din cele ce am spus deja că, pentru o valoare corectă, chiar în cazul datelor discretizate, creșterea variabilei va trebui ca să fie suficient de mică.

Productivitate marginală a unei funcții de producție Q=Q(K,L)

Fig.20

Se numește productivitate medie relativ la un factor de producție xi: ixw =

ix

Q

reprezintând valoarea producției raportată la consumul unei unități de factor xi


52

În particular, pentru o funcţie de producţie de forma: Q=Q(K,L) avem:

wK=K

Q numit productivitatea medie a capitalului, iar wL=

L

Q se va numi

productivitatea medie a muncii.

Productivitate medie a unei funcții de producție Q=Q(K,L)

Fig.21 Plecând de la acești indicatori și procedând ca și în cazul utilității,

obținem că producția corespunzătoare consumului a k1 unități din factorul 1,...,kn unități din factorul n este:

Q(k1,...,kn)= η++η1

0

n1xn

1

0

n1x1 dt)tk,...,tk(k...dt)tk,...,tk(kn1

Reciproc, se numește coeficient marginal al unui factor de producție

xi: ixγ =

Q

x i

∂∂

și reprezintă tendința de variație a factorului xi (caeteris paribus)

relativ la variația producției Q sau altfel, necesarul suplimentar de factor de producție pentru o variație infinitezimală a producției.

În particular, pentru o funcţie de producţie de forma: Q=Q(K,L) avem: γK=Q

K

∂∂

numit coeficient marginal al capitalului, iar γL=Q

L

∂∂

se numește și coeficientul

marginal al muncii.

Numim coeficient mediu al unui factor de producție xi: ixν =

Q

x i și

reprezintă necesarul de factor (caeteris paribus) pentru obținerea unui nivel dat al producției.


53

În particular, pentru o funcţie de producţie de forma: Q=Q(K,L) avem: νK=Q

K

numit și coeficientul mediu al capitalului, iar νL=Q

L se numește coeficientul

mediu al muncii. Este evident că:

ixν =ixw

1,

ixw =ix

1

ν

și, în ipoteza caeteris paribus:

ixη =ix

1

γ,

ixγ =ix

1

η

În particular, pentru Q=Q(K,L) avem:

Kν =Kw

1, Kw =

K

1

ν, Lν =

Lw

1, Lw =

L

1

ν,

Kη =K

1

γ, Kγ =

K

1

η, Lη =

L

1

γ, Lγ =

L

1

η

Ca și în cazul utilității, vom presupune în continuare cazul a doi factori de producție variabili, ceilalți rămânând fixați.

Considerând factorii Fi și Fj cu i≠j, vom considera D – restricția domeniului de producție în ipoteza că toți ceilalți factori rămân constanți și restricția funcției de producție la acest domeniu (notată, fără apariția vreunei

ambiguități, tot cu Q). Numim rată marginală de substituție tehnică parțială a factorilor Fi și Fj, relativ la D (caeteris paribus), opusul variației cantității de factor Fj pentru a substitui o variație a cantității de factor Fi în situația conservării nivelului producției.

Vom nota în cele ce urmează: RMS(Fi,Fj)=i

j

dx

dx− . Deoarece

Q(xi,xj)=Q0=constantă, obținem prin diferențiere: dQ(xi,xj)=0 adică:

jj

ii

dxx

Qdx

x

Q

∂∂

+∂∂

=0 de unde:

j

i

i

j

x

Qx

Q

dx

dx

∂∂∂∂

=− =j

i

x

x

η

η.

Putem deci scrie: RMS(Fi,Fj)=j

i

x

x

η

η care este o funcție de xi și xj.

Vom defini acum, rata marginală de substituție tehnică globală între factorul Fi şi ceilalți ca:

RMS(Fi)=

≠=

η

ηn

ij1j

2x

x

j

i


54

În particular, pentru o funcţie de producţie de forma: Q=Q(K,L) avem:

RMS(K,L)=L

K

ηη

, iar RMS(L,K)=K

L

ηη

.

Se numește elasticitate a producției în raport cu un factor de producție xi:

ixε =

i

i

x

Qx

Q

∂∂

=i

i

x

x

w

η și reprezintă variația relativă a producției la variația relativă a

factorului xi.

În particular, pentru o funcţie de producţie de forma: Q=Q(K,L) avem: εK=

K

QK

Q

∂∂

=K

K

w

η numit și elasticitatea producției în raport cu capitalul, iar εL=

L

QL

Q

∂∂

=

L

L

w

η se numește elasticitatea producției în raport cu factorul muncă.

Considerând acum o funcție de producție Q:D→R+, (K,L)→Q(K,L)∈R+

∀(K,L)∈Dp cu revenire constantă la scală adică Q(λx1,...,λxn)=λQ(x1,...,xn), să

notăm χ=L

K. Obținem:

Q(K,L)=L

1,L

KQ =L ( )1,Q χ

Considerând funcția ( )χq = ( )1,Q χ putem scrie: ( )1,Q χ =L ( )χq

Cu noua funcție introdusă, indicatorii de mai sus devin:

Kη = ( )χ'q , Lη = ( ) ( )χχ−χ 'qq , Kw =( )χχq

, Lw = ( )χq , RMS(K,L)=L

K

ηη

=

( )( ) ( )χχ−χ

χ'qq

'q, RMS(L,K)=

K

L

ηη

=( ) ( )

( )χχχ−χ

'q

'qq, Kε =

L

K

w

η=

( )( )χ

χχq

'q, Lε =

L

L

w

η=

( ) ( )( )χ

χχ−χq

'qq

Se numește elasticitate a ratei marginale de substituție tehnică pentru o funcție de producție cu revenire constantă la scală:


55

σ=

χ

χ∂∂

)L,K(RMS

)L,K(RMS

și reprezintă variația relativă a ratei marginale de substituție tehnică la variația

relativă a factorului de înzestrare tehnică a muncii χ. Avem deci (din formulele de mai sus):

σ= ( ))('q)(q)('q

)("q)(q

χχ−χχχχχ

Analiza pe termen scurt a producției În analiza activității unei firme, sunt esențiale două perioade de timp:

• perioada pe termen scurt – în care tehnologia (ansamblul metodelor, proceselor,

operațiilor făcute sau aplicate asupra materiilor prime, materialelor și datelor

pentru realizarea unui anumit produs industrial sau comercial) rămâne constantă și toate input-urile cu excepția unuia sunt fixe (de regulă, munca);

• perioada pe termen lung - în care tehnologia rămâne constantă și toate input-urile sunt variabile.

Dacă până acum am studiat funcții de producție pe termen lung, de data aceasta, vom considera că pentru o funcție Q=Q(K,L), pe termen scurt, capitalul K=constant. Obținem deci q=q(L) – evoluția producției în funcție de factorul muncă.

Din cele de mai sus, productivitatea medie a muncii este: qmed(L)=L

)L(q

, iar productivitatea marginală a muncii: qmarg(L)=q’(L) ce reprezintă sporul de producție realizat la angajarea unui muncitor suplimentar (la date discrete, la

cele continue reprezentând tendința instantanee de variație a producției). Vom impune celor doi indicatori următoarele restricții:

1. productivitatea medie este nulă dacă nu există angajați, crește până la un anumit număr de angajați după care scade;

2. productivitatea marginală este nulă dacă nu există angajați, crește până la un anumit număr de angajați după care scade, devenind negativă la un număr suficient de mare de angajați.

Din aceste două cerințe, rezultă forma graficului funcției2.



56

Graficul funcției de producție pe termen scurt

Fig.22

• Pe porțiunea OL1 – productivitatea marginală este mai mare decât cea medie, este pozitivă și crescătoare. Acest lucru înseamnă că, pe această porțiune, datorită faptului că producția crește, iar capitalul este constant, rezultă că productivitatea medie a capitalului crește. Productivitatea marginală fiind crescătoare, rezultă că forța de muncă este suprautilizată și deci fiecare lucrător în plus angajat aduce un spor de producție mai mare decât cel anterior.

• Pe porțiunea L1L2 – productivitatea marginală este mai mare decât cea medie, este pozitivă și descrescătoare. De asemenea, pe această porțiune, datorită faptului că producția crește în continuare, iar capitalul este constant, rezultă că productivitatea medie a capitalului crește. Productivitatea marginală fiind descrescătoare, rezultă că forța de muncă continuă să fie suprautilizată, dar fiecare lucrător în plus angajat aduce un spor de producție mai mic decât cel anterior.

• În L2 productivităţile marginală şi medie devin egale, adică plusul de producţie adus de un lucrător angajat este egal cu productivitatea medie a celorlalţi angajaţi.

• Pe porțiunea L2L3 – productivitatea marginală este mai mică decât cea medie, este pozitivă și descrescătoare. Acest lucru înseamnă că producţia va creşte în continuare, capitalul fiind utilizat la maximum, fiecare lucrător angajat în plus, aducând un spor de producție mai mic decât cel mediu. Aceasta este zona spre care trebuie să tindă orice producător (zona de eficiență tehnologică)

• Pe porțiunea L3∞ – productivitatea marginală este mai mică decât cea medie, este negativă și descrescătoare. Acest lucru înseamnă că angajații suplimentari vor aduce o scădere a producției, deci este nevoie de o creștere de capital.

În legătură cu aspectul curbei de producție de mai sus, să observăm că pe

porțiunea L1∞ productivitatea marginală qmarg descrește până când ajunge să fie nulă, proprietate numită și legea randamentelor marginale descrescătoare.


57

Costul producției După studiul diverselor funcții de producție și a principalilor indicatori

asociați acestora, o problemă ce apare inevitabil este aceea a determinării costurilor necesare realizării acesteia.

Considerând domeniul de producție Dp și o funcție de producție

Q:Dp→R+, (x1,...,xn)→Q(x1,...,xn)∈R+ ∀(x1,...,xn)∈Dp unde x1,...,xn sunt factori de producție, fie p1,...,pn – prețurile acestora.

Numim cost de producție relativ la consumul x1,...,xn de factori, cantitatea: C(x1,...,xn)=p1x1+...+pnxn.

Deoarece în cadrul unui proces de producție, factorii se pot combina în diverse proporții, rezultă că, în general, există mai multe posibilități de alocare a acestora pentru realizarea unei producții date.

Astfel, o anumită cantitate de produse se poate obține, de exemplu, în urma muncii prestate de 10 muncitori care folosesc 5 utilaje de producție. Societatea poate lua măsura achiziționării uni utilaj performant care va disponibiliza un număr de 4 muncitori. În aceste condiții, alocarea de factori de producție va fi de 6 muncitori și 6 utilaje de producție. Este evident că ceea ce se va modifica, în ciuda persistenței producției totale, va fi costul total al acesteia (salarii, cheltuieli de amortizare a utilajelor, energie electrică consumată etc.).

Vom numi deci cost de producție relativ la funcția de producție Q pentru obținerea unui rezultat Q0, soluția problemei de programare neliniară:

( )

≥≥

++

0x,...,x

Q)x,...,x(Q

xp...xpmin

n1

0n1

nn11

Ca urmare a acestei definiții, costul de producție reprezintă cheltuiala minimă efectuată cu factorii de producție pentru realizarea a cel puțin Q0 unități.

Problema de programare neliniară de mai sus este supusă condițiilor Karush-Kuhn-Tucker ce afirmă că pentru problema de mai sus, în condițiile în care funcția Q este cuasi-concavă (la care se adaugă prețurile nenule ale

factorilor, ceea ce este evident in punct de vedere economic), extremul costului

de producție este atins pe frontiera mulțimii { }0n1pn1 Q)x,...,x(QD)x,...,x( ≥∈

adică pe mulțimea: { }0n1pn1 Q)x,...,x(QD)x,...,x( =∈ și satisface condițiile

necesare și suficiente:

( )( )

=

==∂∂

λ−

0n1

n1k

k

Qx,...,xQ

n1,k ,0x,...,xx

Qp

După eliminarea parametrului λ rezultă:

( ) ( )

( )

=

∂∂

==∂∂

0n1

n

n1n

1

n11

Qx,...,xQp

x,...,xx

Q

...p

x,...,xx

Q


58

Soluțiile acestui sistem reprezintă combinația optimă de factori de producție ce

determină, în final, costul minim: C(p,Q0)= nn11 xp...xp ++ unde p=(p1,...,pn)∈n*

+R . Vom presupune, în cele ce urmează, funcția de cost ca fiind continuă în

raport cu p și Q0. Din punct de vedere geometric, problema determinării costului de producție se pune într-un mod destul de simplu. Considerând, pentru simplificare, doi factori de producție (de exemplu K și L),

fie dreapta: pKK+pLL=d, d∈R. Distanța de la origine la aceasta este: dist=

2L

2K pp

d

+. Condiția de mai sus revine deci la determinarea dreptei tangente la

curba Q(K,L)=Q0 și care se află la distanță minimă față de origine. Altfel spus, considerând prețurile factorilor de producție fixate, dreapta se va deplasa paralel cu ea însăși până devine tangentă la curba de izoproducție. Punctul de tangență furnizează cantitățile de factori necesare. Pentru o valoare totală a producției fixată, ansamblul factorilor de producție ce generează acest cost se numește dreapta izocost pentru doi factori de producție (hiperplanul izocost în cazul mai

multor factori).

Determinarea costului pentru doi factori de producție K și L

Fig.23 O problemă care se pune acum este aceea a repartizării producției pe mai

multe centre. Să presupunem că nivelul cerut al producției Q0 se repartizează între două (pentru simplificare) subunități cu valorile Q1,Q2 astfel încât Q1+Q2=Q0, prețurile factorilor (din nou, pentru simplificare, vom considera

numai doi factori, de exemplu K și L) fiind aceleași de la o subunitate la alta și egale cu prețurile inițiale (înainte de repartizare).

Înainte de splitarea producției, consumul optim de factori de producție

( )L,K satisface:


59

( )

≥=+

0L,K

Q)L,K(Q

LpKpmin

0

LK

După repartizarea producției, rezultă că pentru subunitatea 1, consumul

optim de factori de producție ( )11 L,K satisface:

( )

≥=+

0L,K

Q)L,K(Q

LpKpmin

1

LK

respectiv, perechea ( )22 L,K satisface:

( )

≥=+

0L,K

Q)L,K(Q

LpKpmin

2

LK

Avem deci: C(p,Q1)= 1L1K LpKp + și C(p,Q2)= 2L2K LpKp + (am notat ca mai

sus p=(pK,pL)). Pe de altă parte, înainte de repartizare, costul total era C(p,Q0)=

LpKp LK + .

Splitarea producției va deveni deci rentabilă numai în cazul în care:

C(p,Q1)+C(p,Q2)<C(p,Q0) sau altfel:

1L1K LpKp + + 2L2K LpKp + < LpKp LK +

de unde, condiția de minimizare a costurilor devine:

( ) ( )21L21K LLLpKKKp −−+−− >0

Înainte de a face următorul demers, să notăm α1=0

1

Q

Q, α2=

0

2

Q

Q partea din

producția totală ce îi revine subunității 1, respectiv subunității 2. Avem deci:

α1+α2=1. Să considerăm acum că funcția de producție este cu revenire constantă la scală

adică Q(λK,λL)=λQ(K,L). În acest caz, restricția corespunzătoare subunității 1 devine:

Q(K,L)=Q1=α1Q0 de unde: ( ) 01

QL,KQ1

=α

sau altfel: 011

QL1

,K1

Q =

αα.

Din expresia funcției obiectiv și din unicitatea soluției, avem:

α+

αα=+ L

1pK

1pLpKp

1L

1K1LK de unde:

( )LpKpLpKp LK11L1K +α=+

deci: C(p,Q1)=α1C(p,Q0). În mod cu totul analog, obținem: C(p,Q2)=α2C(p,Q0). După sumare, rezultă:

C(p,Q1)+C(p,Q2)=(α1+α2)C(p,Q0)=C(p,Q0) Prin urmare, în cazul funcției de producție cu revenire constantă la scală repartizarea producţiei pe mai multe subunități (indiferent de modul de splitare

a acesteia) conduce la același cost total.


60

Dacă funcția de producție este cu revenire crescătoare la scală adică

Q(λK,λL)>λQ(K,L) atunci, ca mai sus, restricția corespunzătoare subunității 1

devine: ( ) 01

QL,KQ1

=α

de unde:

( )

αα<

α= L

1,K

1QL,KQ

1Q

1110

Ca urmare a acestei inegalități, rezultă că soluția optimă a problemei corespunzătoare subunității 1 este în domeniul admisibil al problemei inițiale, deci:

( )1L1K1

LK LpKp1

LpKp +α

<+

sau altfel: α1C(p,Q0)<C(p,Q1). Analog, pentru subunitatea 2, avem:

α2C(p,Q0)<C(p,Q2). Însumând, rezultă:

C(p,Q0)=(α1+α2)C(p,Q0)<C(p,Q1)+C(p,Q2) deci repartizarea producției pe mai multe subunități va duce la creșterea costului total.

Dacă funcția de producție este cu revenire descrescătoare la scală adică

Q(λK,λL)<λQ(K,L) atunci, ca mai sus, restricția corespunzătoare subunității 1

devine: ( ) 01

QL,KQ1

=α

de unde:

( )

αα>

α= L

1,K

1QL,KQ

1Q

1110

Ca urmare a acestei inegalități, rezultă că soluția optimă a problemei inițiale este în domeniul admisibil al celei corespunzătoare subunității 1, deci:

( )1L1K1

LK LpKp1

LpKp +α

>+

sau altfel: α1C(p,Q0)>C(p,Q1). Analog, pentru subunitatea 2, avem:

α2C(p,Q0)>C(p,Q2). Însumând, rezultă:

C(p,Q0)=(α1+α2)C(p,Q0)>C(p,Q1)+C(p,Q2) deci repartizarea producției pe mai multe subunități va duce la diminuarea costului total. O altă problemă care se pune acum este cea a dependenței nivelurilor factorilor de producție de mărimea prețului acestora. Dacă pentru un nivel de prețuri pK și pL (pentru doi factori K și L) din problema

de optimizare de mai sus se obține alocarea optimă ( )L,K (corespunzătoare

punctului M de pe dreapta AA’ din figura 24), cum curba Q(K,L)=Q0 rămâne invariantă rezultă că la modificarea prețurilor factorilor, dreapta AA’ devine BB’

(deoarece pantele, în sens economic și nu matematic, ale acestor drepte sunt L

K

p

p

, respectiv L

K

'p

'p) și deci punctul de tangență devine ( )'L,'KN (nu neapărat diferit


61

decât dacă L

K

L

K

'p

'p

p

p≠ ). Prin urmare, se pune probema determinării noilor valori

ale input-urilor în funcție de actuala conjunctură.

Fig.24

Lema Shephard (Ronald William Shephard – 1912-1982)

Considerând funcția de cost: C(p,Q0)= nn11 xp...xp ++ , de clasă C1, are

loc egalitatea:

kx =k

0

p

)Q,p(C

∂∂

, k= n,1

Lema exprimă nivelul factorului de producție ca funcție marginală de preț a costului total.

Vom studia acum comportarea funcției de cost relativ la nivelul producției sau al prețurilor factorilor.

Un prim rezultat este: Proprietatea de monotonie a funcției de cost relativ la nivelul producției

Pentru un nivel constant al preţurilor factorilor, funcţia de cost este crescătoare în raport cu nivelul producției. În limbaj geometric, proprietatea exprimă faptul că la creșterea producției curba de producție se deplasează “spre dreapta” (exprimare improprie în cazul mai

multor dimensiuni unde noțiunile de dreapta și stânga dispar, dar sugestivă într-

o abordare mai puțin formalizată), iar dreapta de cost se deplasează paralelă cu ea însăși (prețurile rămânând constante). Distanța de la origine la punctul de tangență se majorează și ea corespunzător. Proprietatea de monotonie a funcției de cost relativ la preț

Pentru o valoare fixată a producției, funcția de cost este crescătoare în raport cu ansamblul prețurilor factorilor (adică în situația în care toate aceste

prețuri se măresc sau rămân constante). Alte proprietăți generale ale funcției de cost sunt: Proprietatea de omogenitate a funcției de cost relativ la preț


62

Pentru o valoare fixată a producției, funcția de cost este omogenă de gradul întâi în raport cu ansamblul prețurilor factorilor.

În limbaj geometric, proprietatea exprimă faptul că la conservarea producției curba de producție rămâne neschimbată, iar dreapta de cost se deplasează paralelă cu ea însăși (prețurile variind proporțional). Distanța de la origine la punctul de tangență rămâne deci constantă, dar distanța de la origine la dreaptă (care reprezenta costul total) se mărește cu factorul de proporționalitate. Proprietatea de concavitate a funcției de cost relativ la preț

Pentru o valoare fixată a producției, funcția de cost este concavă în raport cu ansamblul prețurilor factorilor. Proprietatea de convexitate a funcției de cost relativ la producție

Pentru o valoare fixată a prețurilor, funcția de cost este convexă în raport cu producția. Principalele categorii de costuri

În abordarea costurilor apar mai mulți factori care concură la definirea diferitelor tipuri și specificități ale acestora.

Dacă în funcție de consumul factorilor de producție și de costul acestora am abordat în secțiunea precedentă costul de producție (CP) sau costul explicit, o analiză indirectă generează așa-numitul cost de oportunitate (CO) sau costul implicit. Acesta reprezintă beneficiul maxim la care se renunță prin investirea resurselor bănești în cadrul producției. Astfel, o sumă de bani cheltuită pentru cumpărarea unor utilaje performante ar putea fi depusă la bancă cu o dobândă oarecare sau investită în altă afacere. Maximul de beneficiu adus în urma acestor alternative va reprezenta costul de oportunitate al achiziției noilor utilaje. În timp ce costul de producție este clar determinat de prețurile factorilor de producție, cel de oportunitate are un caracter profund subiectiv. Dacă, pe de o parte, se pune în mod natural problema cum s-ar putea determina efectiv alternative ale procesului în derulare (cum se măsoară acestea, pentru că este

posibil ca o altă investiție să nu aducă beneficii imediate sau să fie dependentă

de factori imprevizibili – cum este cazul depunerii banilor la o bancă ce vor

depinde de evoluția dobânzii), pe de altă parte apreciem că acesta este un cost virtual pentru că este posibil ca, după începerea afacerii propriu-zise, să apară alte oportunități (ce poate existau, dar nu fuseseră luate în considerare sau poate

că au fost ignorate) ceea ce ar modifica nivelul acestui tip de cost. De asemenea, luarea în considerare a costului de oportunitate ar putea

ridica și următoarea întrebare (perfect legitimă spunem noi): dacă există o altă afacere mai rentabilă, de ce investitorul nu se orientează către aceasta? S-ar putea atunci obiecta că poate el are în vedere beneficiile pe termen lung. Sunte perfect de acord cu acest lucru, dar atunci ar trebui ca să discutăm de costuri pe termen scurt sau lung și cine definește această durată.

Costul contabil (CC) reprezintă totalitatea cheltuielilor efectuate pentru aprovizionare, remunerarea muncii, procesul de producție propriu-zis și alte activități necesare pentru buna desfășurare a activității.


63

Costul economic (CE) diferă de cel contabil prin faptul că adaugă acestuia din urmă costul de oportunitate CO. Putem deci scrie:

CE=CC+CO Din alt punct de vedere, costurile sunt de două tipuri: fixe și variabile.

Costurile fixe (CF) sunt acele costuri ce sunt independente de valoarea producției (chirii, cheltuieli cu iluminatul, cheltuieli cu încălzirea, dobânzi etc.) și sunt plătite indiferent dacă există sau nu producție.

Costurile cuasi-fixe (CCF) sunt acele costuri ce sunt, de asemenea, independente de valoarea producției, dar sunt plătite doar dacă există producție (de exemplu, cheltuieli cu publicitatea).

Costurile variabile (CV) reprezintă totalitatea cheltuielilor de producție care variază odată cu producția, în același sens (cheltuieli cu materii prime și

materiale, salarii, cheltuieli cu energia consumată în timpul procesului de

producție etc.). Costul total (CT) al producţiei reprezintă suma dintre costurile fixe și

cele variabile: CT=CF+CV

Considerând domeniul de producție Dp și o funcție de producție

Q:Dp→R+, (x1,...,xn)→Q(x1,...,xn)∈R+ ∀(x1,...,xn)∈Dp unde x1,...,xn sunt factori de producție, iar p1,...,pn – prețurile acestora, costul total de producție (pe termen

lung) este, din secțiunea anterioară: CT=p1x1+...+pnxn

Considerând un nivel Q al producției, numim cost fix mediu (CFM) valoarea:

CFM=Q

CF

și reprezintă costul fix pe unitatea de produs. La un nivel Q al producției, numim cost variabil mediu (CVM)

valoarea:

CVM=Q

CV

și reprezintă costul variabil pe unitatea de produs. În mod analog, costul total mediu (CTM) este:

CTM=Q

CT

și reprezintă costul total al unei unități de produs. Din relațiile de mai sus, rezultă:

CTM=Q

CT=

Q

CF+

Q

CV=CFM+CVM

Considerând un nivel Q al producției, numim cost marginal (Cm) valoarea:

Cm=Q

CT

∂∂


64

și reprezintă tendința de variație a costului total la o producție dată. În termeni discreți, pentru două momente ale producției t1 și t2 cu valorile

Q1 și Q2 ale producției, respectiv CT1 și CT2 ale costului total, definim:

Cm=12

12

QQ

CTCT

−−

=Q

CT

∆∆

reprezentând variația de cost total necesară pentru variația cu o unitate a producției. Propoziție

La un cost total dat, nivelul maxim al producției se obține dacă și numai dacă:

n

x

1

x

p...

pn1

η==

η

Propoziția de mai sus, afirmă faptul că producția maximă se obține la proporționalitatea dintre productivitățile marginale și prețurile factorilor de producție. Propoziție

Considerând productivitatea fizică medie ixw a fiecărui factor de

producție i, avem: CTM=n1 x

n

x

1

w

p...

w

p++ .

Din propoziție, rezultă că, în particular, considerând toți factorii de producție constanți cu excepția muncii (L), din faptul că productivitatea medie crește până la un anumit număr de angajați după care scade, rezultă o scădere a costului total mediu până la un anumit număr de muncitori, după care acesta va crește. Propoziție

Considerând coeficienții marginali ixγ =

Q

x i

∂∂

ai fiecărui factor de

producție i, avem: Cm=n1 xnx1 p...p γ++γ .

Din propoziție, rezultă că, în particular, considerând toți factorii de producție constanți cu excepția muncii (L), din faptul că productivitatea marginală crește până la un anumit număr de angajați după care scade, devenind negativă la un număr suficient de mare de angajați, rezultă variația inversă a coeficienților marginali, deci va rezulta o scădere a costului marginal până la un anumit număr de muncitori, după care acesta va crește.

Un proces de producție se spune că se desfășoară pe termen scurt dacă cel puțin un factor de producție rămâne constant.

De regulă, pe termen scurt, vom presupune că nivelul de capital (totalitatea mijloacelor ce concură la desfășurarea producției, fără a se

înregistra un consum, dar suferind în timp o depreciere) este constant, ca și pământul (locații geografice, depozite minerale etc.), singura variabilă semnificativă fiind munca. Din analiza producției pe termen scurt rezultă că, în


65

acest caz, de la un număr de muncitori încolo se manifestă legea randamentelor marginale descrescătoare.

Vom nota, pentru a evidenția caracterul special al acestor costuri: CVS – costul variabil pe termen scurt, CTS – costul total pe termen scurt, CVMS - costul variabil mediu pe termen scurt, CTMS – costul total mediu pe termen scurt, CmS – costul marginal pe termen scurt, costurile fixe, și costul fix mediu păstrându-și notațiile CF, respectiv CFM datorită faptului că ele nu pot apărea decât în această situație.

Din secțiunea precedentă avem deci:

• CTS=CF+CVS;

• CFM=Q

CF;

• CVMS=Q

CVS;

• CTMS= Q

CTS=CFM+CVMS;

• CmS= Q

CTS

∂∂

=Q

CVS

∂∂

.

Un proces de producție se spune că se desfășoară pe termen lung dacă toți factorii de producție sunt variabili. Spre deosebire de situația anterioară, în cadrul producției pe termen lung, datorită schimbărilor tehnologice sau a îmbunătățirii managementului, productivitatea muncii poate crește. Pe termen lung, nu se înregistrează costuri fixe, deci vom considera CF=0 și CFM=0.

Vom nota, în acest caz: CVL – costul variabil pe termen lung, CTL – costul total pe termen lung, CVML - costul variabil mediu pe termen lung, CTML – costul total mediu pe termen lung și CmL – costul marginal pe termen lung. Din secțiunea precedentă avem:

• CTL=CVL;

• CVML=Q

CVL;

• CTML=Q

CTL=CVML;

• CmL=Q

CTL

∂∂

=Q

CVL

∂∂

.

Din proprietatea de monotonie a funcției de cost relativ la nivelul producției, rezultă că CTL este crescător în raport cu nivelul acesteia.

Relativ la cele două tipuri de termene de desfășurare a producției se cuvine să facem câteva comentarii.

Să considerăm pentru această discuție, două serii de factori de producție:

ficși – F1,...,Fk și variabili – Fk+1,...,Fn, k≥1 ale căror prețuri sunt: p1,...,pn. Este evident că această împărțire în categorii de factori nu are sens decât pe termen scurt, deoarece pe termen lung toți aceștia sunt variabili. Vom nota, de asemenea,


66

consumul minimal de factori ficşi cu k1 x,...,x ceea ce înseamnă că pentru orice

cantitate consumată de factor xi≤ ix , i= k,1 , costul fix aferent va fi pi ix (de

exemplu valoarea facturii de energie electrică relativ la iluminat pentru o hală

de producție este aceeași indiferent de nivelul producției realizate). Costul fix va fi deci:

CF==

k

1iii xp

Costul total pe termen scurt este suma costului fix cu cel variabil:

CTS=CF+CVS==

k

1iii xp +

+=

n

1kjjjxp

Pe termen lung, costurile fixe se transformă în variabile, obținând:

CTL=CVL==

k

1iii xp +

+=

n

1kjjjxp

Diferența dintre cele două perioade este deci:

CTL-CTS==

k

1iii xp +

+=

n

1kjjjxp -

=

k

1iii xp -

+=

n

1kjjjxp = ( )

=

−k

1iiii xxp

Prin urmare, dacă se consumă întreaga cantitate de factori de producție

F1,...,Fk atunci: xi≥ ix , i= k,1 deci, în acest caz: CTL≥CTS. Dacă din fiecare

factor de producție F1,...,Fk rămân cantități neconsumate, atunci: xi≤ ix , i= k,1

deci: CTL≤CTS. Pe de altă parte, pe o perioadă fixată, din cauza necesităților procesului

de producție, este natural să considerăm că factorii de producție ficși nu se consumă în cantități mai mari decât sunt ei disponibili la momentul respectiv. Astfel, nu trebuie amestecat costul pe termen lung cu un cost oarecare pe termen scurt relativ la o producție care s-a realizat la un moment când nu existau schimbări de tehnologie sau alți factori ce concurau la diminuarea cheltuielilor. Astfel, dacă pentru extinderea unei afaceri, o firmă închiriază încă o hală identică de producție, costul chiriei se dublează, dar folosirea la capacitate maximă a acestora nu este încă realizată. Din acest motiv, vom avea întotdeauna, la un

moment fixat: ii xx ≤ , i= k,1 deci CTL≤CTS.

În mod absolut natural, împărțind costurile la producția realizată, rezultă:

CTML=Q

CTL≤

Q

CTS=CTMS.

Vom impune acum tuturor acestor costuri o serie de axiome și anume:

• Costul marginal CmL (CmS) este pozitiv, convex și are un unic punct de minim local;

• Costul variabil mediu CVML (CVMS) este pozitiv, convex și are un unic punct de minim local;

• Costul total mediu pe termen scurt CTMS este pozitiv, convex și crescător pentru o valoare a producției suficient de mare.


67

Din aceste axiome, rezultă că poziționările relative ale costurilor pe termen lung, respectiv scurt sunt următoarele:

Costurile pe termen lung

Fig.25 În figura 25, Q1 reprezintă punctul de minim local al costului marginal.

Curba CTL a costului pe termen lung își schimbă concavitatea în Q1, ea fiind la început concavă, iar după acest punct – convexă. Pe de altă parte, din prima axiomă rezultă că funcția CmL este convexă în vecinătatea lui Q1.

Din cea de-a doua axiomă, costul variabil mediu (CVML) este pozitiv, convex și are un unic punct de minim local. Notând acest punct cu Q2 se arată că valorile costului marginal și a celui variabil mediu sunt egale în acest punct. Se demonstrează, de asemenea, că la stânga lui Q2 CmL este mai mic decât CVML, iar la dreapta este mai mare, deci punctul de minim al lui CVML se va

afla pe ramura crescătoare a costului marginal, adică Q2≥Q1. Relativ la costurile pe termen scurt (fig.26) la fel ca mai sus, Q1 reprezintă

punctul de minim local al costului marginal. Curba CTS a costului pe termen lung (și analog și CVS deoarece ele diferă printr-o constantă - CF) își schimbă concavitatea în Q1, ea fiind la început concavă, iar după acest punct – convexă. Pe de altă parte, din prima axiomă rezultă că funcția CmS este convexă în vecinătatea lui Q1.

Costurile pe termen scurt


68

Fig.26

Costurile medii și marginal pe termen scurt

Fig.27 Din cea de-a doua axiomă, costul variabil mediu (CVMS) este pozitiv,

convex și are un unic punct de minim local. Notând acest punct cu Q2 se arată că valorile costului marginal și a celui variabil mediu sunt egale în acest punct. Se demonstrează, de asemenea, că la stânga lui Q2 CmS este mai mic decât CVMS, iar la dreapta este mai mare, deci punctul de minim al lui CVMS se va

afla pe ramura crescătoare a costului marginal, adică Q2≥Q1. Cum costul fix mediu (CFM) este strict descrescător (el fiind invers proporțional cu producția)

și cum CTMS=CFM+CVMS rezultă CTMS’=CFM’+ CVMS’<0 ∀Q<Q2 deci până în punctul de minim al lui CVMS acesta este descrescător. Cum axioma 3 afirmă faptul că pentru o producție suficient de mare el devine crescător, rezultă că derivata sa se va anula și, mai mult, fiind convex, va avea un punct de minim

Q3>Q2. Cum CTMS’=Q

CTMSCmS − rezultă că Q3 (corespunzător rădăcinii

ecuației CTMS'=0) coincide cu punctul de intersecție a curbei CmS cu CTMS. În final, graficul celor patru curbe: CFM, CVMS, CTMS și CmS este ca în figura 28.

O ultimă problemă care va fi analizată acum este cea a trecerii de la costurile pe termen scurt la cele pe termen lung.

Am văzut mai sus că la un anumit moment și pentru o înzestrare cu capital K – constant există o curbă a costului total pe termen scurt. Fie deci CTS=CTS(Q,K) unde Q – nivelul producției, iar K – factorul capital. Problema constă în determinarea costurilor astfel încât consumul de capital să fie minim.

Acest lucru revine la: K

CTS

∂∂

=0, generând costul pe termen lung, Ca urmare a

acestui lucru cum costul total pe termen scurt este funcție de producția Q, dar și de capitalul K, iar pe termen lung costul se exprimă (în final) strict în funcție de producție, vom determina costul pe termen lung prin eliminarea lui K între ecuațiile sistemului de condiții:

=∂

∂=

0K

CTS)K,Q(CTSCTS


69

Soluția rezultată este înfășurătoarea familiei de curbe CTS=CTS(Q,K) adică o curbă ce nu face parte din familia dată (adică nu se confundă cu niciuna din

curbele pe termen scurt) și care este tangentă la fiecare din curbele familiei. În mod analog, prin împărțire la Q se obțin condițiile:

=∂

∂=

0K

CTMS)K,Q(CTMSCTMS

deci costul total mediu pe termen lung CTML este înfășurătoarea familiei de curbe a costurilor totale medii pe termen scurt CTMS. O observație se cuvine aici. Acțiunea de determinare a costurilor pe termen lung cu ajutorul curbei înfășurătoare se bazează pe condiția globală ca derivata familiei de costuri pe termen scurt să fie zero. Punctele de contact ale înfășurătorii cu familia de curbe nu sunt nicidecum punctele de minim ale

curbelor de cost pe termen scurt, acestea fiind cele pentru care Q

CTS

∂∂

=0.

Costul total pe termen lung ca înfășurătoare a

costurilor totale pe termen scurt Fig.28

Costul total mediu pe termen lung ca înfășurătoare a

costurilor totale medii pe termen scurt Fig.29


70

Se arată, de asemenea, faptul că pentru o funcție de producție Q=Q(K,L) cu revenire constantă la scală, graficul costului total pe termen lung este o dreaptă, panta acesteia fiind costul total mediu pe termen lung ce este constant.

Revenind la originea costurilor, trebuie să mai specificăm faptul că într-o unitate de producție există, de asemenea, costuri materiale (CM) și costuri salariale (CS).

Costurile materiale se împart la rândul lor în costuri materiale fixe (CMF) și costuri materiale variabile (CMV) astfel încât:

CM=CMF+CMV La rândul lor, costurile materiale fixe (CMF) se împart în costuri de

amortizare a capitalului fix (ACF) și costuri materiale fixe de întreținere (CMFI) cum ar fi: cheltuielile de căldură, lumină, apă etc. care nu sunt folosite efectiv în procesul de producție. Avem deci:

CMF=ACF+CMFI Costurile materiale variabile sunt cele folosite în procesul de producție și

anume în achiziționarea materiilor prime sau materialelor, costul combustibilului, al energiei etc.

Costurile salariale se împart, de asemenea, în costuri salariale fixe (CSF) cum ar fi salariile personalului administrativ și costuri salariale variabile (CSV) – salariile personalului direct productiv. Cu aceste notații, avem deci:

CS=CSF+CSV iar din punct de vedere al costurilor fixe și al celor variabile:

CF=CMF+CSF=ACF+CMFI+CSF respectiv:

CV=CMV+CSV În plus:

CT=CF+CV=CM+CS Profitul

În activitatea sa de producție, firma operează cu mai multe variabile (dependente sau independente) și anume:

• un ansamblu de factori de producție (x1,...,xn) situați într-un domeniu de producție Dp, dependent de natura tehnologiei aplicate, ce au ca rezultat final

cuantificat printr-o funcție de producție Q:Dp→R+, (x1,...,xn)→Q(x1,...,xn)∈ R+

∀(x1,...,xn)∈Dp;

• un sistem de prețuri (p1,...,pn) ale factorilor de producție implicați;

• un cost total CT al unui nivel de producție Q0 ce satisface problema de programare neliniară:

( )

≥≥

++=

0x,...,x

Q)x,...,x(Q

xp...xpminCT

n1

0n1

nn11

• un preț de vânzare a producției Q0 – p(Q0), determinat de legile cererii și ofertei

și care determină venitul total al firmei: V(Q0)=p(Q0)⋅Q0 numit și cifră de afaceri a acesteia.


71

În funcție de aceste variabile, vom defini profitul firmei (notat în cele ce

urmează cu Π) ca fiind:

Π(Q0)=V(Q0)-CT(Q0) reprezentând deci diferența dintre veniturile firmei și costurile totale ale producției.

Pe termen lung, profitul se poate exprima în funcție de costul total mediu sub forma:

Π(Q0)=V(Q0)-CTML(Q0)⋅Q0 iar pe termen scurt, în funcție de costul variabil mediu și cel fix:

Π(Q0)=V(Q0)-CVMS(Q0)⋅Q0-CF=V(Q0)-CVMS(Q0)⋅Q0-CFM⋅Q0 Considerând un nivel Q al producției și V=V(Q) – funcția de venit

corespunzătoare, vom numi venit marginal (sau încasare marginală) și notăm Vm valoarea:

Vm=Q

V

∂∂

reprezintând tendința de variație a venitului încasat la o producție dată. În termeni discreți, pentru două momente ale producției t1 și t2 cu valorile Q1 și Q2 ale producției, respectiv V1 și V2 ale venitului total, definim:

Vm=12

12

QQ

VV

−−

=Q

V

∆∆

reprezentând variația venitului la variația cu o unitate a producției vândute.

Pentru o funcție inversă a cererii p=p(Q), avem: V(Q)=p(Q)⋅Q deci:

Vm(Q)=p’(Q)⋅Q+p(Q). Pentru bunuri normale avem p’(Q)<0 deci Vm(Q)<p(Q). Prin urmare, pentru bunuri normale graficul funcției de venit marginal este sub cel al funcției inverse a cererii.

La o primă analiză, orice firmă este interesată de alocarea resurselor sale și de stabilirea prețurilor astfel încât profitul să se maximizeze. Extremele locale

ale funcției Π satisfac deci condiția: Π’(Q0)=0 de unde: V’(Q0)=CT’(Q0). Cum V’(Q0)=Vm(Q0) – venitul marginal corespunzător producției Q0 și cum CT’(Q0)=Cm(Q0) – costul marginal al producției Q0 rezultă că maximul profitului se înregistrează dacă venitul marginal este egal cu costul marginal.

Pe de altă parte, pentru un preț fixat p de vânzare a producției, avem:

V(Q)=p⋅Q de unde V’(Q)=p deci condiția de maximizare a profitului se reduce la p=Cm(Q0) deci la existența egalității dintre preț și costul marginal corespunzător producției date.


72

Profitul Fig.30

Astfel, în figura 30 se observă că, fiind dat un preț fixat p, producția maximă (din punctul de vedere al profitului) se obține determinând punctul de pe curba Cm a costului marginal corespunzător acestui preț. Practic, se trasează paralela la axa OQ prin punctul p, abscisa punctului de intersecție fiind producția optimă Q0. Trasând, de asemenea, curba costului total mediu CTM (ce intersectează

curba Cm în punctul de minim al acesteia, punctul M de coordonate (Q0,CTM(Q0)) determină o zonă dreptunghiulară (OQ0MR) a cărei arie este

Q0⋅CTM(Q0)=CT(Q0) – costul total de producție corespunzător lui Q0. Cum

venitul obținut este aria dreptunghiului OQ0Np(Q0) adică Q0⋅p(Q0) rezultă că aria lui RMNp(Q0) reprezintă profitul maxim obținut.

În determinarea costului total, odată stabilit nivelul Q0 al producției și al prețurilor factorilor de producție, din problema de programare neliniară de mai sus, rezultă atât cantitățile optime de factori, cât și costul total. Ca urmare a acestui fapt, rezultă că valoarea profitului va fi, pentru o producție dată, funcție de prețurile factorilor de producție și de prețul de vânzare pe unitatea de produs. Obținem deci:

Π(p,p1,...,pn)=p(Q0)⋅Q0-p1x1-...-pnxn unde x1,...,xn reprezintă soluția problemei:

( )

≥≥

++

0x,...,x

Q)x,...,x(Q

xp...xpmin

n1

0n1

nn11

Înainte de a continua, vom proceda la o analiză a unui tip special de piață și anume cea a concurenței perfecte. Vom spune că o piață satisface condițiile concurenței perfecte dacă are următoarele atribute:

• atomicitatea – existența pe piață a unui număr foarte mare de producători și consumatori ale căror acțiuni sunt independente, în sensul că deciziile luate de unul dintre aceștia nu influențează pe ceilalți;

• omogenitatea – bunurile și serviciile oferite sunt perfect substituibile între ele;


73

• informația totală – fiecare agent economic și fiecare consumator dispune de toate informațiile necesare privind prețul bunurilor;

• nediscriminarea tehnologică – fiecare firmă dispune de accesul neîngrădit la inovațiile tehnologice și la modurile de aplicare a acestora;

• accesul liber pe piață – fiecare agent economic poate intra sau ieși oricând de pe piață.

În practica economică curentă există foarte rar fenomenul concurenței perfecte, fiecare dintre condițiile de mai sus fiind un ideal de realizare (poate

mai puțin posibilitatea firmei de a ieși de pe piață...). Practic, cel mai mult de concurența perfectă apreciem că se apropie producătorii agro-alimentari din piețele de profil în condițiile în care nu există lideri care să dicteze o anumită politică de preț sau de cantitate.

În cele ce urmează, vom considera totuși acest tip de piață, din considerente atât pur teoretice, cât și de clarificare a unor concepte.

Pe o piață cu concurență perfectă, prețul este dat și este egal deci cu costul marginal. Pe termen lung, avem deci:

Π(Q0)=p(Q0)⋅Q0-CTL(Q0)=CmL(Q0)⋅Q0-CTL(Q0)=CTL’(Q0)⋅Q0-CTL(Q0)=

20

'

0

0 QQ

)Q(CTL

= 2

00 Q)Q('CTML

Ca urmare a acestei relații, rezultă că firma va obține profit pe termen lung pentru o producție Q0 pentru care costul total mediu CTML este crescător sau altfel spus atunci când costul marginal este mai mare decât cel mediu.

Nivelul de cost sau de încasare obținut pentru o valoare a producției Q0 corespunzătoare egalității dintre costul marginal și cel total mediu (sau altfel

spus, cel corespunzător costului mediu minim, acolo unde curba costului

marginal Cm intersectează curba costului total mediu CTML) se numește nivel normal, iar profitul corespunzător – profit normal. Producția Q0 corespunzătoare nivelului normal se numește prag de rentabilitate.

Pragul de rentabilitate

Fig.31


74

Să observăm că la nivelul normal, profitul Π al firmei este zero, ceea ce înseamnă că aceasta își va putea continua activitatea la același nivel și pondere de utilizare a factorilor de producție. Ca urmare a acestei observații, rezultă că

pragul de rentabilitate satisface relația Π(Q0)=0 sau altfel:

)Q('CTML 0 =0

În situația în care firma produce sub pragul minim de rentabilitate (fig.32), costul total (aria dreptunghiului OQ0MR) este mai mare decât venitul încasat (aria dreptunghiului OQ0Np(Q0)), aceasta înregistrând pierderi (aria

dreptunghiului RMNp(Q0)). Costul total mediu fiind descrescător, aceasta va trebui să-și mărească producția până la nivelul pragului de rentabilitate (corespunzător intersecției celor două curbe – Cm și CTM).

Fig.32

Pe de altă parte, în condițiile concurenței perfecte, obținerea de profit peste nivelul normal aduce pe piață (intrarea fiind liberă) noi firme dornice să-și însușească și ele o parte din acesta. Plusul de cantitate oferită, va determina însă scăderea prețului care va împinge în cele din urmă producția către nivelul normal.

Relativ la producția pe termen scurt, avem:

Π(Q0)=p(Q0)⋅Q0-CTS(Q0)=CmS(Q0)⋅Q0-CVS(Q0)-CF=

CVS’(Q0)⋅Q0-CVS(Q0)-CF= 20

'

0

0 QQ

)Q(CVS

-CF= 2

00 Q)Q('CVMS -CF

Ca urmare a acestei relații, rezultă că firma va obține profit pentru o producție

Q0 pentru care 20

0Q

CF)Q('CVMS > >0, deci pentru care costul variabil mediu

CVMS este crescător, iar viteza acestuia de variație să fie mai mare decât pragul

minim 20Q

CF. Pragul de rentabilitate pe termen scurt se definește analog și avem:

200 Q)Q('CVMS =CF

Pe de altă parte:

)Q('CTMS 0 = )Q('CVMS)Q('CFM 00 + = )Q('CVMSQ

CF02

0

+− =


75

20

200

Q

CFQ)Q('CVMS −=0

deci pragul de rentabilitate pe termen scurt se definește analog celui pe termen

lung și anume: )Q('CTMS 0 =0.

Din relația de mai sus, rezultă că dacă )Q('CTMS 0 >0 atunci firma obține profit.

În situația în care firma produce sub pragul minim de rentabilitate, deci

20

0Q

CF)Q('CVMS < , dar 0)Q('CVMS 0 > , atunci 0>Π(Q0)= 2

00 Q)Q('CVMS -

CF>-CF sau, în termeni de pierderi: -Π(Q0)<CF. Ca urmare a acestor calcule, rezultă că venitul încasat este mai mic decât costul total, deci firma înregistrează pierderi. Pe de altă parte, pierderea este mai mică decât costul fix, deci firma va trebui să își continue producția în scopul atenuării costurilor fixe. Vom numi Q0

pentru care 0)Q('CVMS 0 = - prag de închidere a firmei. În particular, pentru

Q0 astfel încât 0)Q('CVMS 0 = firmei îi este indiferent dacă se închide sau își

continuă activitatea, cheltuielile fixe fiind în întregime acoperite. În mod evident, pentru o producție aflată sub pragul de închidere, firma

va trebui închisă, costurile fixe ale acesteia nemaiputând fi acoperite pe termen scurt.

Fig.33

Să considerăm acum prețul de vânzare p determinat de factori exteriori firmei și anume fie de celelalte firme, fie de consumatori, fie de ambele categorii. Pentru a avea condiția de maximizare a profitului p=Cm(Q0) nivelul producției Q0 trebuie să fie rădăcină a acestei ecuații. Se arată3 că numărul rădăcinilor pozitive distincte ale ecuației Cm(Q0)=p este de cel mult două (în caz contrar,

curba costului marginal având cel puțin două puncte de extrem, contrar

ipotezelor). Dacă 0<Q1<Q2 sunt cele două rădăcini pozitive ale ecuației Cm(Q)=p atunci cea mai mare dintre acestea va da cea mai mare valoare a



76

profitului aflându-se pe ramura crescătoare a curbei costlui marginal. Considerând deci producția corespunzătoare fiecărui preț p, se arată că:

Π’(p)=Cm-1(p)>0, Π”(p)= ( )'1 )p(Cm− >0

unde Cm-1(p) – producția corespunzătoare prețului p. Ca urmare a acestei inegalități, rezultă că funcția de profit este crescătoare și convexă în raport cu nivelul prețului de vânzare. Dacă monotonia crescătoare a funcției de profit reprezintă faptul că prfitul crește odată cu majorarea prețului, convexitatea nu afirmă decât faptul că “accelerația” profitului (adică viteza de

variație a vitezei de creștere a profitului) este pozitivă. Ne propunem acum analiza profitului în funcție de prețul factorilor de

producție. Am văzut mai sus că, pentru un nivel dat al producției Q0:

Π(p,p1,...,pn)=p(Q0)⋅Q0-p1x1-...-pnxn unde x1,...,xn reprezintă soluția problemei:

( )

≥≥

++

0x,...,x

Q)x,...,x(Q

xp...xpmin

n1

0n1

nn11

Să considerăm acum un nou vector de prețuri ( )*n

*1 p,...,p corespunzător

factorilor de producție 1,...,n astfel încât ( )*n

*1 p,...,p ≥ ( )n1 p,...,p deci k

*k pp ≥

∀k= n,1 și problema:

( )

≥≥

++

0x,...,x

Q)x,...,x(Q

xp...xpmin

n1

0n1

n*n1

*1

cu soluția: ( )n1 x,...,x .

Din proprietatea de monotonie a funcției de cost relativ la preț, rezultă că pentru o valoare fixată a producției, funcția de cost este crescătoare în raport cu ansamblul prețurilor factorilor, deci:

n*n1

*1 xp...xp ++ ≥p1x1+...+pnxn

de unde, pentru un nivel constant al prețului de vânzare și al producției:

Π(p,p1,...,pn)=p(Q0)⋅Q0-(p1x1+...+pnxn)≥

p(Q0)⋅Q0-( n*n1

*1 xp...xp ++ )=Π ( )*

n*1 p,...,p,p

prin urmare, funcția de profit este descrescătoare în raport cu nivelul prețurilor factorilor de producție (ceea ce este absolut evident din cauza faptului că se

măresc costurile de producție, veniturile fiind aceleași). Să considerăm acum pentru un preț de vânzare dat p și un vector al prețurilor

factorilor (p1,...,pn) o modificare a acestora cu un factor multiplicativ α (datorat

inflației, schimbării unității monetare etc.). Din proprietatea de omogenitate a funcției de cost relativ la preț, rezultă

că pentru o valoare fixată a producției, funcția de cost este omogenă de gradul întâi în raport cu ansamblul prețurilor factorilor, deci:

αp1x1+...+αpnxn=α(p1x1+...+pnxn) de unde:


77

Π(αp,αp1,...,αpn)=αp(Q0)⋅Q0-αp1x1-...-αpnxn=

α(p(Q0)⋅Q0-p1x1-...-pnxn)=αΠ(p,p1,...,pn) Putem formula deci următoarea concluzie: funcția de profit este omogenă de gradul întâi în raport cu prețul de vânzare și cu nivelul prețurilor factorilor de producție adică la o multiplicare a prețurilor factorilor, dar și a prețului de vânzare cu un factor (mai mare sau mai mic decât 1) profitul se multiplică în aceeași măsură. Revenind la expresia funcției de profit:

Π(p,p1,...,pn)=p(Q0)⋅Q0-p1x1-...-pnxn am văzut că aceasta este convexă în raport cu prețul de vânzare al producției și, de asemenea, funcția de cost este concavă în raport cu ansamblul prețurilor factorilor pentru o producție dată. Se arată, în aceste condiții, că funcția de profit este convexă în raport cu ansamblul variabilelor.

Datorită intrării și ieșirii libere pe/din piață, existența profiturilor pozitive va atarage noi competitori pe piața respectivă. Acest lucru face ca oferta pentru bunul respectiv să se majoreze, în condțiile în care cererea rămâne nemodificată, fapt ce atrage după sine diminuarea profiturilor pentru firmele deja existente. Această situație continuă până când profiturile devin zero și unele firme se văd nevoite a părăsi pe piața. Pe termen lung, prețul pe piață este egal cu minimul costului total mediu (CTM). Cu alte cuvinte, mărfurile sunt produse și vândute la cel mai mic cost posibil. Pe termen lung, echilibru este dat de condiția:

p=minCTM

Dacă p este mai mare decât minCTM, oportunitatea profiturilor va atrage noi firme pe piață ce va determina scăderea prețului până la nivelul minCTM. Iar dacă p este mai mic decât minCTM, firmele pentru a evita pierderi prea mari vor trebui să iasă de pe piață, lucru ce va face ca pretul să urce, din nou, până la nivelul minCTM. Existența unui echilibru pe termen lung implică și un echilibru pe termen scurt.

Pe termen lung, firmele nou intrate (condiționate de egalitatea dintre prețul pieței și minimizarea costului mediu) va alege întotdeauna acea cantitatea de output care le minimizează costurile. Dar în același timp (fig.32,33), costul marginal întretaie costul total mediu în minimul acestuia. Deci aceeași cantitate va fi produsă pe termen scurt pentru egalitatea dintre pret și cost marginal. De ce? Pentru că pe terme lung, știm că toți factorii de producție sunt variabili și firmele au la îndemână mai multe posibilități. Dacă firmele aleg să modifice structura ambilor factori de producție este lesne de înțeles ca ne aflăm în situația unui echilibru pe termen lung. Dacă, însă firmele aleg să modifice doar un singur factor de producție (și cel mai eficient este a face modificări în structura factorului muncă) ne aflăm în situația unui echilibru pe termen scurt. Pe termen lung, tot surplusul merge către consumator, deoarece se produc cantități din ce în ce mai mari la prețuri din ce în ce mai mici.


78

Lema Hotelling (Harold Hotelling – 1895-1973) determină relațiile

dintre nivelul maxim al profitului și volumul producției pe de o parte sau cantitățile de factori de producție utilizați, pe de altă parte.

Lema Hotelling Considerând funcția de profit: Π(p,p1,...,pn)=p(Q0)⋅Q0-p1x1-...-pnxn, de clasă C1, în punctul de maxim al acesteia au loc relațiile:

kx =k

n1

p

)p,...,p,p(

∂Π∂

− , k= n,1 , 0Q =p

)p,...,p,p( n1

∂Π∂

O altă problemă ce va fi abordată este aceea a maximizării profitului. Am văzut mai sus, că în funcție de producția realizată Q0, condiția de maximizare revine la p=Cm(Q0) deci la existența egalității dintre preț și costul marginal corespunzător producției date. Pe de altă parte, considerând dat prețul factorilor de producție și prețul de vânzare, funcția de profit este:

Π(x1,...,xn)=p⋅Q(x1,...,xn)-p1x1-...-pnxn

Condiția de maximizare revine deci la anularea derivatelor parțiale ale lui Π deci:

=−∂∂

=∂

Π∂

=−∂∂

=∂

Π∂

0px

Qp

x

...

0px

Qp

x

nnn

111

de unde:

=∂∂

=∂∂

p

p

x

Q...

p

p

x

Q

n

n

1

1

Din sistemul de relații de mai sus, rezultă nivelul factorilor de producție utilizați pentru un nivel al profitului corespunzător punctelor sale staționare. Pe de altă parte, avem:

ji

2

ji

2

xx

Qp

xx ∂∂∂

=∂∂Π∂

, i,j= n,1

de unde: d2Π=p⋅d2Q. Dacă funcția de producție este concavă (d2Q<0) rezultă

d2Π<0 deci punctele staționare ale lui Π sunt puncte de maxim local. La un preț variabil al producției, avem:

Π(Q)=p(Q)⋅Q-CT(Q) de unde, condiția de extrem a profitului revine la: )Q('Π =0 adică:

0)Q(Cm)Q(pQ)Q('p =−+

deci: )Q(pQ)Q('p)Q(Cm +=


79

Dacă toată producția Q va fi vândută, putem folosi coeficientul de elasticitate a

cererii (notat aici, pentru simplificare, p,Qε în loc de p,Q,Cε ) în raport cu prețul

și avem:

p,Qε =Q

p

dp

dQ⋅ =

QdQ

dpp

=Q)Q('p

)Q(p

sau altfel:

p,Q

1)Q(pQ)Q('p

ε=

Prin urmare, condiția de extrem a profitului are drept egalitate necesară:

ε+=

p,Q

11)Q(p)Q(Cm

Pe de altă parte, )Q("Π = )Q('Cm)Q('p2Q)Q("p −+ deci condiția de maxim

local revine la:

)Q('Cm)Q('p2Q)Q("p −+ <0

pentru valoarea producției obținută mai sus.


80

Sarcina de lucru 3 1.La momentul de timp t1, costul variabil mediu reprezenta 70% din costul total mediu. La momentul t2, costul total mediu a scăzut cu 20%, iar costul variabil mediu a scăzut cu 30%. Cu cât s-a modificat costul fix mediu?

2.Un producător înregistrează la momentul t1 un cost variabil mediu CVM1=20 u.m./buc., iar la momentul t2, costul variabil mediu scade cu 5 u.m./buc.. Să se determine variația relativă a producției în situația în care costul total rămâne neschimbat. 3. Costul total al unui producător este, pentru o producție Q:

CT=Q3-6Q2+14Q+54 Să se determine Q astfel încât: a) costul total mediu CTM să fie minim și să se determine valoarea acestuia; b) costul variabil mediu CVM să fie minim și să se determine valoarea acestuia; c) costul marginal Cmg să fie minim și să se determine valoarea acestuia.

4. Costul total al unui producător este, pentru o producție Q: CT=Q3-2Q2+5Q+10

Pentru o producție de 20 unități, să se calculeze: a) costul fix CF; b) costul variabil CV; c) costul total mediu CTM; d) costul fix mediu CFM; e) costul variabil mediu CVM; f) costul marginal Cmg. 5.La momentul de timp t1, un întreprinzător are CT1=2000 u.m., CV1=1900 u.m. Dacă la momentul de timp t2 costul variabil crește cu 20%, să se determine creșterea costului total. 6.O firmă înregistrează, pe termen scurt, un cost total de forma: CT=75+5Q2

a. care este costul fix înregistrat de firmă? b. dacă firma produce 10 bucăți din bunul respectiv, care este costul variabil

mediu. c. care este costul marginal al firmei? d. care este costul fix mediu înregistrat de firmă? e. pp. că firma contractează un împrumut bancar pentru extinderea producției.

Costurile fixe cresc cu 7 u.m., costurile variabile medii scad la 2,5 u.m. Costul împrumutului (r) intră în ecuația costului total. Fiecare punct procentual al ratei dobânzii (r) duce la o creștere a costului total al firmei cu 1 u.m. Rescrieți noua funcție a costului total al firmei

7.La momentul t1, costul total mediu CTM1=100, din care 20% este cost fix mediu. La momentul t2, producția firmei crește cu 20%, iar costurile variabile cu 15%. Dacă prețul de vânzare rămâne nemodificat și este egal cu 120 u.m., care este variația relativă a profitului unitar?


81

Sarcina de lucru 3 8. Pe o piață cu o structură cu concurență perfectă, toate firmele sunt identice, funcția costului total pentru fiecare firmă fiind de forma: CT=100+q2+q, unde q este cantitatea produsă de fiecare firmă. Cererea pentru produsul respectiv este dată de funcția: p=1000-2Q iar funcția ofertei este de forma p=100+Q, unde Q este cantitatea totală de pe piață.

a. Determinați prețul și cantitatea de echilibru b. Determinați producția ce maximizează profitul. De asemenea detereminați

veniturile fiecărei firme, costurile totale și profitul la echilibru. Firmele se află în echilibru pe termen lung sau pe termen scurt. Explicați.

c. Ce se va intampla pe această piață pe termen lung? d. Care vor fi prețul și cantitatea de echilibru pe piață pe termen lung?

9. Pe o piață cu concurență perfectă, toate firmele sunt identice având curbe ale costului, de asemenea, identice. Forma costului total este CT=13Q2+33Q+7606, curba cererii este: P=782-9Q, iar curba ofertei este: P=3Q+37. a) Să se determine prețul și cantitatea de echilibru; b) Să se determine nivelul producției care maximizează profitul, iar în acest caz să se determine venitul total, costul total și profitul la echilibru.

c) Ce se va întâmpla pe piață pe termen lung? Anticipați evoluția pe baza rezultatelor de la punctul b); d) Pe această piață, care este prețul de echilibru pe termen lung și, de asemenea, cantitatea de echilibru. Explicați răspunsul. e) Dat fiind prețul de echilibru pe termen lung, câte bucăți din bunul respectiv vor fi produse pe piață?

10. Pe o piață cu concurență perfectă, toate firmele sunt identice având curbe ale costului, de asemenea, identice. Forma costului total este CT=20Q2+19Q+6593, curba cererii este: P=828-9Q, iar curba ofertei este: P=3Q+25.

a) Să se determine prețul și cantitatea de echilibru; b) Să se determine nivelul producției care maximizează profitul, iar în acest

caz să se determine venitul total, costul total și profitul la echilibru. c) Ce se va întâmpla pe piață pe termen lung? Anticipați evoluția pe baza

rezultatelor de la punctul b); d) Pe această piață, care este prețul de echilibru pe termen lung și, de

asemenea, cantitatea de echilibru. Explicați răspunsul. e) Dat fiind prețul de echilibru pe termen lung, câte bucăți din bunul respectiv

vor fi produse pe piață?


82

Rezumat O funcție de producție Q:Dp→R+ este cu revenire constantă la scală

dacă Q(λx1,...,λxn)=λQ(x1,...,xn), cu revenire crescătoare la scală dacă

Q(λx1,...,λxn)>λQ(x1,...,xn) şi cu revenire descrescătoare la scală dacă

Q(λx1,...,λxn)<λQ(x1,...,xn) ∀λ∈(1,∞) ∀(x1,...,xn)∈Dp. Se numește productivitate marginală relativ la un factor de producție

xi: ixη =

ix

Q

∂∂

reprezintând tendința de variație a producției la variația factorului

xi. În particular, pentru o funcţie de producţie de forma: Q=Q(K,L) avem:

ηK=K

Q

∂∂

numit productivitatea marginală a capitalului și ηL=L

Q

∂∂

numit

productivitatea marginală a muncii. Se numește productivitate medie relativ la un factor de producție xi:

ixw =ix

Q reprezintând valoarea producției raportată la consumul unei unități de

factor xi. Rata marginală de substituție tehnică parțială a factorilor Fi și Fj, relativ la D (caeteris paribus) este opusul variației cantității de factor Fj pentru a substitui o variație a cantității de factor Fi în situația conservării nivelului producției. Elasticitatea producției în raport cu un factor de producție xi:

ixε =

i

i

x

Qx

Q

∂∂

=i

i

x

x

w

η.


83

Test de autoevaluare 1. Costul total al unui producător este, pentru o producție Q: CT=2Q3-12Q2+25Q+200 Să se determine: a) costul fix CF; b) costul variabil CV; c) costul total mediu CTM; d) costul fix mediu CFM; e) costul variabil mediu CVM; f) costul marginal Cmg. g) producția (Q) astfel încât costul total mediu CTM să fie minim și să se determine valoarea acestuia; h) producția (Q) astfel încât costul variabil mediu CVM să fie minim și să se determine valoarea acestuia; i) producția (Q) astfel încât costul marginal Cmg să fie minim și să se determine valoarea acestuia.

Rezolvare:

a) CF=200; b) CV= Q25Q12Q2 23 +− ; c) CTM=Q

20025Q12Q2

Q

CT 2 ++−=

d) CFM=Q

200

Q

CF= ; e) CVM= 25Q12Q2

Q

CV 2 +−= ; f) Cmg=

25Q24Q6Q

CT 2 +−=∂

∂;

g) Punctul de minim atât al CTM cât și al CVM este atunci când acestea două sunt egale cu Cmg, sau când derivata de ordinul intâi a funcției respective este egal cu 0.

CTM=Cmg Q

20025Q12Q2 2 ++− = 25Q24Q6 2 +− 200Q12Q4 23 =−

Dacă ecuația are rădăcini întregi, atunci acestea sunt divizori comuni ai termenului liber (200). Calculăm valoarea lui Q pentru aceștia. Pentru Q=1, vom avea: 20011214 23 ≠⋅−⋅ ; Pentru Q=2, vom avea 20021224 23 ≠⋅−⋅ ; Pentru Q=5, vom avea: 20051254 23 =⋅−⋅ , deci Q=5 este radcina ecuatiei de

gradul 3, iar CTM(5)= 555

2002551252 2 =++⋅−⋅

sau

0Q

CTM=

∂∂

0Q

20012Q4

2=−− 200Q12Q4 23 =− și se rezolvă ecuația de

gradul 3 (vezi mai sus)

h) CVM=2Q2-12Q+25 de unde: CVM’ )Q

CVM(

∂∂

=4Q-12=0 deci: Q1=3, iar

CVM(3)= 72531232 2 =+⋅−⋅


84

i) Cmg=6Q2-24Q+25, Condiția de extrem este: Cmg’=0, de unde Cmg’=12Q-24=0 ceea ce implică Q=2, iar Cmg(2)=1.

2. La momentul de timp t1, costul variabil mediu reprezenta 80% din costul total mediu. La momentul t2, costul total mediu a crescut cu 10%, iar costul variabil mediu cu 20%. Cu cât s-a modificat costul fix mediu? Rezolvare: Din prima relație, avem: CVM1=0,8CTM1. Cum CTM1=CFM1+CVM1 rezultă: CTM1=CFM1+ 0,8CTM1 deci: CFM1= CTM1-0,8CTM1=0,2CTM1. De asemenea: CTM2=CFM2+CVM21,1CTM1= CFM2+1,2CVM11,1CTM1=CFM2+1,2⋅0,8⋅CTM11,1CTM1= CFM2+0,96CTM1 de unde: CFM2=1,1CTM1-0,96CTM1=0,14CTM1. Variația relativă a

costului fix mediu este: 1CFM

CFM∆=

1

12

CFM

CFMCFM −=

1

11

CTM2,0

CTM2,0CTM14,0 −=

1

1

CTM2,0

CTM06,0− = -0,3= -30%.

3. La momentul de timp t1, costul fix mediu este 100 u.m. La momentul t2, producţia creşte cu 20%, costul total cu 15%, iar costul variabil cu 20%. Să se determine costul marginal. Rezolvare: Din enunț: CFM1=100, Q2=Q1(1+0,2)=1,2Q1, CT2=CT1(1+0,15)= 1,15CT1,

CV2=CV1(1+0,2)=1,2CV1. Deoarece CFM1=1Q

CFCF=CFM1Q1=100Q1. Costul total

CT1=CF+CV1. CT2=CF+ CV2=CF+1,2CV1. Cum CT2=1,15CT11,15(CF+CV1)= CF+1,2CV1 1,15CF+1,15CV1=CF+1,2CV1 1,15CF-CF=1,2CV1-

1,15CV10,15CF=0,05CV1 de unde: CV1=05,0

CF15,0=3CF. Din formula:

CT1=CF+CV1CT1=CF+3CF=4CF=4⋅100Q1=400Q1. De asemenea: CT2=CF+1,2CV1=CF+1,2⋅3CF=CF+3,6CF=4,6CF=4,6⋅100Q1=460Q1.

Avem acum Cm=Q

CT

∆∆

=12

12

QQ

CTCT

−−

=11

11

QQ2,1

Q400Q460

−−

=1

1

Q2,0

Q60=300 u.m.

4. Un producător înregistrează la momentul t1 un cost fix mediu CFM1=10 u.m./buc., iar la momentul t2, costul fix mediu se diminuează cu 2 u.m. /buc. Să se determine variația relativă a producției. Rezolvare. Notând cu Q1 și Q2 – producțiile la momentele t1, respectiv t2 avem: CFM1=

1Q

CF=10, CFM2=

2Q

CF. Obținem deci CF=10Q1, iar cum CFM2=CFM1-2=10-2=8,

rezultă: CF=8Q2. Din egalitatea celor două expresii ale lui CF, rezultă: 10Q1=8Q2 de

unde Q2=8

Q10 1 =1,25Q1. Variația relativă a producției este: 1Q

Q∆=

1

12

Q

QQ −=

1

11

Q

QQ25,1 −=

1

1

Q

Q25,0=0,25 deci producția crește cu 25%.

5. La momentul de timp t1, un întreprinzător are CT1=1000 u.m., CV1=800 u.m. Dacă la momentul de timp t2 costul variabil crește cu 30%, să se determine creșterea costului total. Rezolvare:


85

Din enunț: CT1=1000, CV1=800. Avem CV2=(1+0,3)CV1=1,3CV1. Pe de altă parte

CT1=CF+CV1, CT2=CF+CV2. De aici, rezultă: 1CT

CT∆=

1

12

CT

CTCT −=

1

12

CT

CVCFCVCF −−+=

1

11

CT

CVCV3,1 −=

1

1

CT

CV3,0=

1000

8003,0 ⋅=0,24=24%.

6. O firmă înregistrează, pe termen scurt, un cost total de forma: CT=400+125Q. a. Care este costul fix înregistrat de firmă? b. Dacă firma produce 10 bucăți din bunul respectiv, care este costul variabil mediu? c. Care este costul marginal al firmei? d. Care este costul fix mediu înregistrat de firmă? e. Pp. că firma contractează un împrumut bancar pentru extinderea producției. Costurile

fixe cresc cu 50 u.m., costurile variabile medii scad la 10 u.m. Costul împrumutului (r) intră în ecuația costului total. Fiecare punct procentual al ratei dobânzii (r) duce la o creștere a costului total al firmei cu 2 u.m. Rescrieți noua funcție a costului total al firmei.

Rezolvare: CT=400+125Q a. CF=400

b. 5,1210

125

Q

CVCVM ===

c. Cmg=Q

CT

∂∂

=125

d. 4010

400

Q

CFCFM ===

e. CT=450+100Q+2r

7. La momentul t1, costul fix mediu al unei firme este 100 u.m./buc., iar costul variabil mediu 200 u.m./buc. La momentul t2, producția acesteia crește de două ori, iar costurile variabile cu 150%. Care este variația absolută a profitului unitar? Rezolvare: CFM1=100 și CVM1=200 implică CTM1=CFM+CVM1=300.

CFM2=2Q

CF=

1Q2

CF=0,5CFM1=0,5⋅100=50, iar CV2=CV1(1+1,5)= 2,5CV1 de unde: CVM2=

2

2

Q

CV=

1

1

Q2

CV5,2=1,25CVM1=1,25⋅200=250. Prin urmare:

CTM2=CFM2+CVM2=50+250=300. Cum profitul pe unitatea de produs: Πu=Q

Π=

Q

CTpQ −=p-CTM unde p este prețul de vânzare al acesteia, rezultă că variația absolută de

profit unitar este: u∆Π = 1,u2,u Π−Π = ( ) ( )12 CTMpCTMp −−− = 21 CTMCTM − =300-

300=0.

8. Considerând pentru o anumită industrie funcția cererii ca fiind de forma Q= 132-p și funcția ofertei Q= p-4, unde Q reprezintă cantitatea și p – prețul. Costul total al fiecărei firme este de forma CT=4q2+4q+36, unde q este cantitatea produsă de fiecare firmă.


86

Având în vedere că toate firmele sunt identice și că piața este caracterizată de concurență perfectă: a. Determinați prețul de echilibrul, cantitatea de echilibru pe piață, cantitatea

oferită de fiecare firmă, câte firme sunt în industria respectivă și profitul fiecărei firme.

Cererea=Oferta

132-p= p-4 136=2pDeci prețul de echilibru p=68

Q=64Cantitatea de echilibru, Q=64

Pentru afla cantitatea oferită de fiecare firmă egalăm prețul cu costul marginal

Cmg= q

CT∂

= 8q+4

68=8q+4 q=8. Fiecare firmă produce 8 buc.

Numar firme= 8

64

= 8 de firme Pe piață se află 8 firme identice

Pentru a afla profitul fiecărei firmei avem: Π =VT-CT Π =8 ⋅ 68-4 ⋅ 82+4 ⋅ 8+36=220 b.În situația de la punctul a ar putea noi firme să intre pe piață? Ce efect ar putea avea intrarea sau ieșirea unor firme pe/din piață asupra echilibrului initial? Având în vedere că profitul obținut de fiecare firmă este pozitiv, noi firme ar putea fi stimulate de a intra pe piața respectivă. Odată intrate pe piață, oferta globală se va majora (grafic, aceasta se va deplasa spre dreapta) fapt ce va determina scăderea prețului de echilibru. O scădere a prețului de echilibru va reduce profitul fiecărei firme până la anularea acestuia. Această situație persistă până când firme noi nu mai sunt stimulate să intre pe piață și firme existente care vor ieși de pe piață dacă nu-și poat acoperi nici costurile fixe. c.Care va fi cel mai mic preț la care firmele își pot vinde producția pe termen lung? Profitul acestora va fi pozitiv, negativ sau zero? Cert, este că firmele nu pot produce la un preț inferior CTM, deoarece în această situație, orice firmă este în pierdere (profit negativ) fără a-și putea recupera nici măcar costurile fixe. Stim că pe termen lung, echilibru este dat de identitatea: p=minCTM Pentru a afla minimul CTM, egalăm CTM cu Cmg. (vezi graficul Cmg întretaie costul total mediu (CTM) în minimul acestuia.

Din funcția CT=4q2+4q+36 (din datele problemei) aflăm CTM =4q+4+ q

36

4q+4+

q

36

=8q+4 q=1,73 deci înlocuind q=1,73 în funcția CTM aflăm CTM=31,72 Deci firmele nu își pot vinde producția sub un preț de 31,72 u.m., acesta fiind în același timp prețul minim. Pe termen lung, la un preț de 31,72 firmele vor obține profit zero iar la un preț sub 31,72 u.m., profiturile firmei vor fi negative.


87

9. Pe o piață cu concurență perfectă, toate firmele sunt identice având curbe ale costului, de asemenea, identice. Formula costului total pe termen scurt este CT=14q2+56q+7194, unde q este cantitatea produsă de fiecare firmă, curba cererii este: P=849-10Q, iar curba ofertei este: P=6Q+58, unde Q este cantitatea totală de pe piață. a) Să se determine prețul și cantitatea de echilibru; b) Să se determine nivelul producției care maximizează profitul, iar în acest caz să se determine venitul total, costul total și profitul la echilibru pe perioadă scurtă sau lungă. Explicați; c) Ce se va întâmpla pe piață pe termen lung? Anticipați evoluția pe baza rezultatelor de la punctul b); d) Pe această piață, care este prețul de echilibru pe termen lung și, de asemenea, cantitatea de echilibru. Explicați răspunsul. e) Dat fiind prețul de echilibru pe termen lung, câte bucăți din bunul respectiv vor fi produse pe piață? Rezolvare a) Pentru determinarea cantității de echilibru egalăm expresiile celor două curbe ale

cererii și ale ofertei: 849-10Q=6Q+58 de unde: 849-58=6Q+10Q ⇔ 849-58=(6+10)Q

⇔ 791=16Q ⇔ Q*= ��

��=49,44, iar prețul de echilibru este:

P*=6Q*+58=6⋅49,44+58=354,64. b) Maximizarea profitului se realizează atunci când Cmg=Vmg=P*. Avem însă:

Cmg=CT’=28q+56 de unde: 28q+56=354,64 ⇔ 28q=354,64-56 ⇔ 28q=298,64 ⇔ q=10,67.

Venitul total este VT=P*⋅q=354,64⋅10,67=3784,01.

Costul total este CT=14q2+56q+7194=14⋅10,672+56⋅10,67+7194=9385,40. Profitul la echilibru este P=CT-VT=9385,40-3784,01=5601,39.

Deoarece π nu este egal cu 0, rezultă că este vorba de echilibru pe termen scurt. c) Pe termen lung, având în vedere faptul că profitul este pozitiv, vor intra noi firme ce vor determina o creștere a ofertei, o diminuare a prețului și un profit economic în industria respectivă egal cu zero. d) Prețul de echilibru pe termen lung se obține atunci când firmele realizează profit zero, adică atunci când Cmg=CTM (sau altfel CTM’=0) pentru fiecare firmă. Avem deci:

CTM= q7194+56q+14q2

=14q+56+ q

7194

Metoda 1

Cmg=CTM ⇔ 28q+56=14q+56+ q

7194

⇔ 28q=14q+ q

7194

⇔ 14q= q

7194

⇔

14q2=7194 ⇔ q2= q

7194

=513,86 ⇔ q= 86,513 =22,67. Metoda 2

CTM’=14-2q

7194

=0 ⇔ 14Q2-7194=0 ⇔ 14Q2=7194 ⇔ q2= q

7194

=513,86 ⇔ q=

86,513 = 22,67 (q care minimizează CTM -CTMmin) Înlocuind q=22,67 în ecuatia CTM, vom avea CTMmin=690,76


88

Cum P=Cmg=Vmg=CTMmin , vom avea un preț de echilibru pe termen lung: P= 690,76 Pentru un q=22,67, dacă firma va produce la prețul P=690,76 va obține un venit total

VT= =690,76⋅22,67=15659,53. De asemenea, calculând costul total, avem:

CT(22,67)=14q2+56q+7194=14⋅22,672+56⋅22,67+7194=15659,53.





89

4. CEREREA ȘI OFERTA

Cererea și oferta 79

Rezumat 92



92








Echilibrul economic

Existența oricărei activități economice este condiționată de cele două grupe principale de “actori”: consumatorii și producătorii.

În cele ce urmează vom considera (fără a afecta semnificativ

generalitatea) un bun normal B produs de un anumit număr de agenți economici pe care o să-i cuprindem într-o singură categorie

(să-i spunem F – de la firmă) și solicitat de un număr oarecare de cumpărători considerați, de asemenea, în mod global, într-o categorie C.

Din cauza faptului că bunul este normal, la un preț p al acestuia, cantitatea

solicitată de consumatorul C, notată x=x(p), va satisface: dp

dx≤0 (caeteris

paribus) unde egalitatea cu zero are loc fie în lipsa unei cereri din partea consumatorului, fie în cazul unei cereri indiferente la modificarea prețului. Ca urmare a acestei relații rezultă deci că cererea pentru bunul B este o funcție


90

descrescătoare de prețul p. Mai mult, am văzut mai sus că, în cazul bunurilor

normale, funcția de cerere este convexă, deci: 2

2

dp

xd≥0.

În mod analog, pentru producătorul F, am văzut că pentru un preț de vânzare dat, producția optimă în sensul maximizării profitului satisface relația: Q0=Cm-1(p).

Cum Cm este crescătoare, iar funcția inversă are același caracter precum funcția directă, rezultă că Q0 este o funcție crescătoare în raport cu prețul de vânzare. Altfel spus, pentru producător creșterea prețului, ca urmare a solicitărilor pieței, antrenează creșterea producției. Să notăm acum cu y=y(p)

cantitatea de bun B oferită de producătorul F. Din cele de mai sus, rezultă dp

dy

≥0 unde egalitatea cu zero are loc fie în lipsa unei oferte din partea producătorului, fie în cazul unei oferte indiferente de preț. Din această relație, rezultă că oferta pentru bunul B este o funcție strict crescătoare de prețul p al

acestuia. De asemenea, se arată că funcția ofertei este concavă, adică: 2

2

dp

yd≤0.

Vom spune că piața bunului B se află în echilibru dacă ∃p>0 (numit preț de

echilibru) astfel încât: x(p)=y(p)

Cantitățile x(p)=y(p) se numesc cantități de echilibru. Înainte de a continua, să considerăm ecuația x(p)=0. Dacă x este strict descrescătoare rezultă că ea este injectivă, deci ecuația va avea cel mult o

rădăcină reală. De asemenea, cum x(0)>0 (cantitatea maximă de bun ce poate fi

achiziționată la un preț aproape nul), iar )p(xlimp ∞→

<0 (există un prag psihologic

al prețului de la care nu se mai cumpără nimic) va rezulta că ∃pd>0 astfel încât: x(pd)=0. Ca urmare a acestor considerații, analiza funcției de cerere raportată la

preț se va desfășura pentru p∈[0,pd]. Dacă x este o funție constantă, vom putea presupune că pd este suficient de mare, dar tot finit.

De asemenea, dacă funcția de ofertă y=y(p) este strict crescătoare, considerând ecuația y(p)=0 (prețul de vânzare al unei producții suficient de mici)

fie soluția unică a acesteia ps∈R (deci y(ps)=0). Dacă ps≤0 (situație în care

producătorul stabilește o limită minimă a producției) vom considera ps=0.

Pentru pi>ps avem deci: y(p)>0, iar p<ps va implica y(p)<0. Analiza ofertei se va

efectua deci pentru p∈[ps,∞). În cazul constanței funcției y, ps poate fi considerat suficient de mic (dar pozitiv).

Dacă ps>pd (adică dacă prețul minimal la care producătorul își poate

desfășura activitatea este strict mai mare decât prețul maximal la care

cumpărătorul mai este interesat de achiziționarea bunului) rezultă

[0,pd]∩[ps,∞)=∅ deci echilibrul nu poate avea loc. Dacă ps=pd atunci nu există practic confruntare pe piață, cumpărătorul achiziționând la prețul cel mai mare


91

pe care-l poate suporta, iar producătorul desfăcându-și marfa la cel mai mic preț posibil. Situația este deci neinteresantă din punct de vedere economic.

Prin urmare, vom efectua analiza de echilibru pentru ps<pd și p∈(ps,pd). În această situație, cum x(pd)=0 și funcția x=x(p) este descrescătoare rezultă că

x(ps)>0. Analog, cum y(ps)=0, iar y=y(p) este crescătoare rezultă că y(pd)>0. Să notăm acum E(p)=x(p)-y(p) diferența dintre cerere și ofertă la un preț

p. Datorită faptului că dp

dy

dp

dx

dp

dE−= ≤0 rezultă că funcția E este descrescătoare

în funcție de preț. Fie E(ps)=x(ps)-y(ps)=x(ps)>0 și E(pd)=x(pd)-y(pd)=-y(pd)<0. Din caracterul descrescător și continuu al funcției E și cum aceasta își schmbă semnul la capetele intervalului (ps,pd) rezultă că avem o unică rădăcină a ecuației

E(p)=0 adică un unic preț de echilibru pe∈(ps,pd) ce satisface ecuația x(p)=y(p) (fig.34).

Să analizăm, în cele ce urmează, cazul particular al cererii și ofertei liniare.

Fie x=a-bp și y=c+dp, a,b,d>0, c∈R. Ecuația x(p)=0 implică pd=b

a, iar

y(p)=0: ps=d

c− . Dacă c≥0 atunci vom considera ps=0. Vom lua deci ps=

− 0,

d

cmax . Problema determinării prețului de echilibru are deci sens

(netrivial) pentru ps<pd adică

− 0,

d

cmax <

b

a. Dacă c≥0 inegalitatea revine la

b

a>0 – adevărată, iar dacă c<0 atunci:

d

c− <

b

a⇔ad+bc>0. De asemenea, avem:

dp

dx=-b<0,

2

2

dp

xd=0,

dp

dy=d>0,

2

2

dp

yd=0≤0 deci condițiile teoretice sunt

satisfăcute.

Fig.34


92

Prețul unic de echilibru revine, din cele de mai sus, la rezolvarea ecuației: a-bp=c+dp de unde:

p =db

ca

+−

, x = y =db

bcad

++

Fig.35

Comportarea echilibrului la modificări ale cererii sau ofertei Să considerăm, ca mai sus, un bun normal B cu prețul p și a cărui funcție

de cerere este x=x(p). Funcția ofertei este: y=y(p).

Deoarece bunul este normal, am văzut mai sus că: dp

dx≤0 și, de asemenea:

dp

dy≥0.

În situația de echilibru, prețul p satisface egalitatea: x(p)=y(p) în

condițiile suplimentare: x(ps)>0 și y(pd)>0.

În situația în care funcțiile x și y sunt strict monotone (adică dp

dx<0 și

dp

dy

>0) rezultă că ele sunt inversabile pe o restricție a codomeniului lor, deci îl putem exprima pe p ca funcție de x: p=f(x), funcția f fiind (în virtutea conservării

monotoniei la inversabilitate) strict descrescătoare și, analog: p=g(y), funcția g fiind (din aceleași rațiuni) strict crescătoare. Modificarea cererii

A. Stabilitatea în sens Walras Să considerăm acum o modificare a cererii de la cea de echilibru

( )*y*,x*,p la *x .

Pentru început, vom presupune că, la acest preț, cererea se majorează la

*x > *x . În acest caz, curba cererii se va deplasa la dreapta, din poziția D în D’. Cum curba ofertei rămâne neschimbată, această cerere va fi complet onorată de către producător la prețul *p (corespunzător ordonatei curbei S la abscisa *x

). Cum funcția y=y(p) este strict crescătoare, valoarea *p va fi strict mai mare


93

decât p*. Pe de altă parte, la acest nou preț, cum funcția de cerere este strict descrescătoare în raport cu acesta, cantitatea pe care cumpărătorii vor dori ca să o achiziționeze va fi mai mică decât cea nouă dorită de ei.

Din acest motiv, producătorul nu va satisface în întregime cererea

suplimentară și va oferi o cantitate **x ∈ ( )*x*,x mai mare decât cea inițială,

dar mai mică decât cea dorită de consumatori. Cum funcția de preț a producătorului - g este strict crescătoare, din inegalitatea: *x**x*x << rezultă: *p**p*p << . Ca urmare a acestor considerații, rezultă că în urma

cererii suplimentare de bunuri, producătorul va oferi numai o parte dintre acestea la un preț mai ridicat decât cel inițial de echilibru.

Stabilitatea în sens Walras la suplimentarea cererii

Fig.36

Să presupunem acum că *x < *x deci cumpărătorii solicită un număr mai mic de produse. Curba cererii se deplasează la stânga din D în poziția D’. La noua cerere (mai mică), cum curba ofertei este crescătoare rezultă că prețul

solicitat de către producător va fi mai mic și anume *p < *p . Cum însă funcția

de cerere este strict descrescătoare în raport cu prețul, la acest nou nivel, cumpărătorii vor solicita o cantitate mai mare decât *x . Din acest motiv, producătorul nu își va reduce în întregime oferta (corespunzătoare cererii

descrescânde) și va oferi **x ∈ ( )*x*,x . Cum funcția de preț a producătorului

– g este strict crescătoare, rezultă *p < **p < *p . Ca urmare a acestor

considerații, rezultă că în urma cererii descrescânde de bunuri, producătorul va reduce numai o parte dintre acestea la un preț mai scăzut decât cel inițial de echilibru.


94

Stabilitatea în sens Walras la reducerea cererii

Fig.37 Vom numi această metodă de restabilire a echilibrului cu ajutorul

prețului, în funcție de modificarea cererii – stabilitate în sens Walras. B. Stabilitatea în sens Marshall

Să considerăm acum o modificare a prețului de la cel de echilibru

( )*y*,x*,p la *p .

Mai întâi vom presupune că noul preț este strict mai mare decât cel

anterior: *p > *p . La noul preț, curba cererii D se deplasează spre dreapta

devenind D’. Pe de altă parte, funcția ofertei fiind strict crescătoare, avem: *y

> *y adică producătorul va fi tentat ca să ofere mai multă cantitate de bun B. Pe

de altă parte, funcția f a prețului în funcție de cerere, fiind strict descrescătoare, rezultă că prețul oferit de cumpărători va fi mai mic decât cel solicitate de către producători.

Ca urmare a acestei constatări, rezultă că producătorul nu va majora

prețul bunului atât cât dorește, ci va alege un preț **p ∈ ( )*p*,p . Din

inegalitatea *p < **p < *p rezultă: *x > **x > *x . Ca urmare a acestor

considerații, rezultă că în urma majorării prețului, producătorul va oferi numai o parte suplimentară de produse la un preț mai ridicat decât cel de echilibru, dar mai scăzut față de cel dorit.


95

Stabilitatea în sens Marshall la majorarea prețului

Fig.38

Dacă acum prețul se micșorează: *p < *p , deoarece funcția de ofertă este

strict crescătoare, avem: *y < *y . Cum funcția de preț a cumpărătorului – f este

strict descrescătoare, rezultă că prețul oferit de către acesta devine mai mare decât cel inițial. Ca urmare a acestei constatări, rezultă că producătorul nu va

diminua prețul bunului atât cât dorește, ci va alege un preț **p ∈ ( )*p*,p . Din

inegalitatea *p < **p < *p rezultă: *x > **x > *x . Am obținut deci faptul că

în urma diminuării prețului, producătorul va suplimenta cantitatea de produse oferite, dar într-o măsură mai mică decât cererea pieței la prețul diminuat.

Stabilitatea în sens Marshall la micșorarea prețului


cantităților, în funcție de modificarea prețului– stabilitate în sens Marshall.

Modificarea ofertei


96

A. Stabilitatea în sens Walras

Fie o modificare a ofertei de la cea de echilibru ( )*y*,x*,p la *y .

Vom presupune pentru început că *y > *y . Curba ofertei se va deplasa

din poziția S la dreapta în poziția S’. Plusul de ofertă din partea producătorului atrage, cum funcția cererii

x=x(p) este strict descrescătoare, un preț mai mic decât cel inițial. Pe de altă parte, cum funcția ofertei este strict crescătoare în raport cu prețul, la acest nou

nivel, vom avea: y < *y deci o contradicție în raport cu oferta suplimentară de

produs. Din acest motiv, producătorul nu va oferi în întregime cantitatea

suplimentară și o va reduce la **y ∈ ( )*y*,y . Cum funcția de preț în raport cu

cererea a cumpărătorului – f este strict descrescătoare, din inegalitatea: *y <

**y < *y rezultă *p > **p > *p . Ca urmare a acestor considerații, rezultă că în

urma ofertei suplimentare de bunuri, producătorul va fi nevoit să reducă prețul de vânzare față de cel inițial de echilibru.

Stabilitatea în sens Walras la suplimentarea ofertei

Fig.40

Să presupunem acum că *y < *y deci producătorul oferă un număr mai

mic de produse. Curba ofertei se va deplasa din poziția S la stânga în poziția S’. Scăderea ofertei atrage după sine, la echilibru, noul preț ce va fi mai mic decât cel inițial. Cum funcția x=x(p) este strict descrescătoare, noul preț pe care cumpărătorul va fi dispus ca să-l ofere va fi mai mare decât cel inițial. În acest caz însă, la preț mărit, producătorul va oferi o canttate mai mare de bunuri, în contradicție cu oferta inițială, diminuată, de produs. Din acest motiv,

producătorul nu își va reduce în întregime oferta și va oferi **y ∈ ( )*y*,y . Cum

funcția de preț a cumpărătorului – f este strict descrescătoare, din inegalitatea:

*y < **y < *y rezultă: *p > **p > *p . Ca urmare a acestor considerații,

rezultă că în urma ofertei descrescânde de bunuri, producătorul va crește prețul de vânzare față de cel inițial de echilibru.


97

Stabilitatea în sens Walras la reducerea ofertei


prețului, în funcție de modificarea ofertei– stabilitate în sens Walras. B. Stabilitatea în sens Marshall

Să considerăm acum o modificare a prețului de la cel de echilibru

( )*y*,x*,p la *p .

Mai întâi vom presupune că *p > *p . Curba ofertei se va deplasa din

poziția S la stânga în poziția S’. Deoarece funcția cererii este strict descrescătoare, cantitatea cerută se va diminua la mărirea prețului. Pe de altă parte, funcția de preț a producătorului – g fiind strict crescătoare, va rezulta un preț mai mic decât cel inițial, în contradicție cu presupunerea făcută. Ca urmare a acestei constatări, rezultă că producătorul nu va majora prețul bunului atât cât

dorește, ci va alege un preț **p ∈ ( )*p*,p . Din inegalitatea *p < **p < *p

rezultă: *y < **y < *y . Ca urmare a acestor considerații, rezultă că în urma

majorării prețului, producătorul va oferi numai o parte suplimentară de produse la un preț mai ridicat decât cel de echilibru, dar mai scăzut față de cel dorit.

Stabilitatea în sens Marshall la majorarea prețului

Fig.42


98

Dacă acum *p < *p , curba ofertei se va deplasa din poziția S la dreapta

în poziția S’. Deoarece funcția cererii este strict descrescătoare, rezultă o cantitate mai mare solicitată de către cumpărător. Cum funcția de preț a producătorului – g este strict crescătoare, rezultă că și prețul cerut va deveni mai mare decât cel inițial, în contradicție cu presupunerea făcută. Ca urmare a acestei constatări, rezultă că producătorul nu va diminua prețul bunului atât cât dorește,

ci va alege un preț **p ∈ ( )*p*,p . Din inegalitatea *p < **p < *p rezultă *y

< **y < *y . Am obținut deci faptul că în urma diminuării prețului, producătorul

va suplimenta cantitatea de produse oferite, dar într-o măsură mai mică decât cererea pieței la prețul diminuat.

Stabilitatea în sens Marshall la micșorarea prețului


cantităților, în funcție de modificarea prețului– stabilitate în sens Marshall. Surplusul consumatorului și cel al producătorului

Am văzut până acum cum cele două curbe ale cererii și ofertei determină atât prețul de echilibru cât și cantitatea respectivă de bun. Dacă notăm p - prețul

de echilibru, x - cantitatea pe care o va achiziționa cumpărătorul, iar y -

cantitatea pe care o va oferi producătorul la echilibru remarcăm următoarele:

• până la prețul de echilibru, consumatorul este dispus să ofere un preț mai mare pentru bunurile achiziționate. Astfel, pentru prima unitate de produs B el este dispus să ofere un preț p1, pentru a doua p2 ș.a.m.d. Pe de altă parte, achiziționând x unități de produs la prețul p el va realiza o economie de

(p1- p )+(p2- p )+... Considerând bunurile infinit divizibile, obținem deci că

surplusul consumatorului (suma pe care acesta ar fi fost dispus să o ofere

pentru achiziționarea a x produse) este: Sd= − )0(x

p

1

dp)p(x unde )0(x 1− =pd – prețul

maxim la care cumpărătorul este dispus să înceapă să achiziționeze.


99

• până la prețul de echilibru, producătorul este dispus să ofere un preț mai mic pentru bunurile realizate. Astfel, pentru prima unitate de produs B el este dispus să ceară un preț p1, pentru a doua p2 ș.a.m.d. Pe de altă parte, vânzând y unități de produs la prețul p el va realiza un beneficiu suplimentar de ( p -p1)+( p -p2)+...

Considerând bunurile infinit divizibile, obținem deci că surplusul producătorului (suma pe care acesta ar fi fost dispus să o încaseze la vânzarea

y produse) este: Ss= −

p

)0(y 1

dp)p(y unde )0(y 1− =ps – prețul minim la care

producătorul este dispus să înceapă vânzarea.

Surplusul consumatorului și surplusul producătorului

Fig.44 Dacă funcțiile cererii și ale ofertei sunt liniare: x=a-bp, respectiv y=c+dp, am

văzut mai sus că x = y =db

bcad

++

, iar p =db

ca

+−

. Surplusul consumatorului este

aria triunghiului dreptunghic determinat de intersecția cererii cu axa Op

b

a,0

, punctul de echilibru

+−

++

db

ca,

db

bcad și punctul a cărui ordonată este p :

+−

db

ca,0 deci avem:

Surplusul consumatorului=( )

( )2

2

dbb2

bcad

++

Surplusul producătorului este aria triunghiului dreptunghic determinat de

intersecția ofertei cu axa Op

−d

c,0 , punctul de echilibru

+−

++

db

ca,

db

bcad și

punctul a cărui ordonată este p :

+−

db

ca,0 deci avem:


100

Surplusul producătorului=( )

( )2

2

dbd2

bcad

++

Surplusul consumatorului și surplusul producătorului

în cazul cererii și ofertei liniare Fig.45


101

Sarcina de lucru 4

1. La momentul t0, pentru un anumit produs funcția de cerere este x0(p)=35-4p, iar cea de ofertă y(p)= -20+3p. La momentul t1 funcția de cerere se modifică devenind x1(p)=40-5p. Să se studieze modificarea cererii la echilibru din punctele de vedere Walras și Marshall.

2. Considerând pentru un anumit produs funcția de cerere x(p)=3200-25p și cea de ofertă y(p)= -800+15p să se determine surplusul consumatorului și cel al producătorului.

3. Cantitatea cerută pe piața unui bun este Q=300-2p iar costul total al firmei producătoare este CT=100Q-2. Să se determine Q ce maximizează profitul, precum și profitul firmei.

4. Firma X(care evident urmărește maximizarea profitului) produce 250 de bucati

dintr-un anumit bun. Costurile fixe sunt 700 de u.m. Costul marginal este egal cu costul total mediu, 10 u.m. Dacă firma produce 125 de bucăți, costul marginal va fi egal cu costul variabil mediu, 6 u.m.. Bunul respectiv se vinde pe piață cu un preț de 8 u.m.

Ce considerati că ar trebui să facă firma pentru maximizarea rezultatelor? a. să producă 250 de bucăți în continuare? b. să producă mai mult de 250 de bucăți ? c. să producă mai puțin de 250 de bucăți ? Cum ar trebui să se situeze prețul practicat de firmă în raport cu costurile?

5. Firma X(care evident urmărește maximizarea profitului) produce 250 de bucati dintr-un anumit bun. Costurile fixe sunt 400 de u.m. Costul marginal este egal cu costul total mediu, 10 u.m. Bunul respectiv se vinde pe piață cu un preț de 10 u.m. Firma, fiind, pe o piață cu concurentă perfectă, nu poate influența prețul, deci ea nu va putea practica nici un pret mai mare, nici un pret mai mic de 10 u.m. Ce profit obtine firma și ce ar trebui să facă pentru maximizarea rezultatelor?

6. Să considerăm că cererea pentru un anumit produs A este: Qc=350-2PA, iar oferta:

Qo= -200+3PA, unde PA este prețul bunului A. a) Să se traseze graficul cererii și al ofertei; b) Să se determine prețul de echilibru al pieței; c) Să se determine sursplusul consumatorului și al producătorului la echilibru. d) Să se analizeze ce se întâmplă cu prețul de echilibru, dacă cererea consumatorilor crește cu 150 unități;


102

Test de autoevaluare Aplicația1

La momentul t0, pentru un anumit produs funcția de cerere este x0(p)=20-2p, iar cea de ofertă y(p)= -10+3p. La momentul t1 funcția de cerere se modifică devenind x1(p)=20-3p. Să se studieze modificarea cererii la echilibru din punctele de vedere Walras și Marshall. Rezolvare: La momentul t0, ecuația de echilibru este: 20-2p= -10+3p de unde: 5p=30 deci p0=6. Avem acum x0(6)=y(6)=8. La momentul t1, ecuația de echilibru devine: 20-3p= -10+3p de unde: 6p=30 deci p1=5, iar x1(5)=y(5)=5. Analiza Walras ia în considerare scăderea cererii de la 8 unități la 5 unități de produs. La această nouă solicitare, producătorul nu mai poate susține prețul de 6 u.m./produs, noul preț fiind soluție a ecuației:-10+3p=5 de unde p1=5 u.m./produs. Analiza Marshall tratează scăderea prețului de echilibru de la 6 u.m./produs la 5 u.m./produs. Scăderea prețului solicitat de cumpărător va conduce la diminuarea producției la y(5)=-10+3⋅5=5 unități de produs.

Aplicația 2 Considerând pentru un anumit produs funcția de cerere x(p)=10-2p și cea de ofertă y(p)=-10+3p să se determine surplusul consumatorului și cel al producătorului. Rezolvare. Ecuația de echilibru este: 10-2p= -10+3p de unde: 5p=20 deci p=4. De asemenea, x(p)=0 implică 10-2p=0 deci pd=5(prețul maxim pe care cumpăratorul este dispus să-l ofere), iar y(p)=0 implică: -10+3p=0 deci ps= 33,3 (prețul minim la care

producătorul este dispus să-și vândă marfa) Avem deci: Sconsumatorului= −5

4

dp)p210( =

( ) 54

2pp10 − =(50-25)-(40-16)=25-24=1

și

Sproducătorului= +−4

3

10

dp)p310( = 4

3

10

2

2

p3p10

+− =-16+

6

100=

6

4=0,66

Metoda 2: Reprezentăm grafic funcțiile cererii și ale ofertei, precum și situația de echilibru: Din 10-2p= -10+3p un pret de echilibru, p=4 și o cantitate de echilibru, Q=2

Rezumat Piața bunului B se află în echilibru dacă ∃p>0 (numit preț de echilibru) astfel încât: x(p)=y(p). Cantitățile x(p)=y(p) se numesc cantități de echilibru.

Surplusul consumatorului este: Sd= − )0(x

p

1

dp)p(x unde )0(x 1− =pd – prețul

maxim la care cumpărătorul este dispus să înceapă să achiziționeze.

Surplusul producătorului este: Ss= −

p

)0(y 1

dp)p(y unde )0(y 1− =ps – prețul minim

la care producătorul este dispus să înceapă vânzarea.


103

Aria triunghiului dreptunghic ce se află deasupra prețului de echilibru reprezintă surplusul consumatorului.

Sconsumatorului=2

2)45( ⋅−=1

Aria triunghiului dreptunghic ce se sub prețul de echilibru reprezintă surplusul producătorului.

Sproducătorului=2

2)33,34( ⋅−=0,66

Aplicația 3. Cantitatea ceurtă pe piața unui bun este Q=300-p iar costul total al firmei producătoare este CT=200Q. Să se determine Q ce maximizează profitul, precum și profitul firmei. Indicație: Datorită faptului că Π (profitul)= )Q(CT)Q(pQ)Q(CT)Q(VT −⋅=− ,

maximul acestuia se atinge în rădăcinile derivatei, adică Π’=0, de unde VT’(Q)- CT’(Q)=0, altfel spus Vmg=Cmg (venitul marginal este egal cu costul marginal) Rezolvare: Din Q=300-p p=300-Q VT=Qp=Q(300-Q)=300Q-Q2Vmg=VT’=300-2Q Cmg=CT’=200 300-2Q=200 implică o producție Q=50 Înlocuind Q=50 în funcția prețului (300-Q) vom obține un preț, p=250 iar profitul firmei este Π =VT-CT=2500 Aplicația 4 Firma X(care evident urmărește maximizarea profitului) produce 200 de bucati dintr-un anumit bun. Costurile fixe sunt 400 de u.m. Costul marginal este egal cu costul total mediu, 10 u.m. Dacă firma produce 150 de bucăți, costul marginal va fi egal cu costul variabil mediu, 7 u.m.. Bunul respectiv se vinde pe piață cu un preț de 8 u.m.


104

Ce considerati că ar trebui să facă firma pentru maximizarea rezultatelor: a. să producă 200 de bucăți în continuare? b. să producă mai mult de 200 de bucăți ? c. să producă mai puțin de 200 de bucăți ? Cum ar trebui să se situeze prețul practicat de firmă în raport cu costurile?

Rezolvare: Dacă firma produce 200 de bucăți, atunci: VT=Qp=1600, CT=CTMQ=2000 Π =VT-CT= -400 Dacă firma produce 150 de bucăți, venitul său va fi VT=1200 iar CT=1050 (datorită constanței costului fix, costul marginal reprezintă variația costului variabil) În acest caz, profitul firmei va fi 150 de u.m. Deci firma va trebui să producă mai puțin de 200 de bucăți din bunul respectiv, iar prețul produsului să fie superior costului marginal. Aplicatia 5 Să considerăm că cererea pentru un anumit produs A este: Qc=500-2PA, iar oferta: Qo=-400+4PA, unde PA este prețul bunului A. a) Să se traseze graficul cererii și al ofertei; b) Să se determine prețul de echilibru al pieței; c) Să se determine sursplusul consumatorului și al producătorului la echilibru. d) Să se analizeze ce se întâmplă cu prețul de echilibru, dacă cererea consumatorilor crește cu 100 unități; Rezolvare. a) Avem: Qc=Qo de unde: 500-2PA=-400+4PA adică: 6PA=900 de unde PA=150. Cantitatea de produse este:Qc=500-2⋅150=200=-400+4⋅150=Qo. b) Graficul este:

c) La echilibru, consumatorul este dispus să ofere un preț de 150 u.m. pentru 200 de unități de produs. Pentru mai puține, acesta ar fi fost dispus să ofere un preț mai mare. Vom numi surplus al consumatorului, diferența dintre prețul total pe care consumatorul

ar fi dispus să-l plătească și cel plătit efectiv. Aici: Sc=2

)150250()0200( −⋅−=10000.


105

La echilibru, producătorul va fi capabil să ofere la un preț de 150 u.m., 200 de

unități de produs. El poate însă să ofere în intervalul [0,200] unități de produs un preț mult mai mic.

Vom numi surplus al producătorului, diferența dintre prețul total la care acesta este dispus să ofere produsul și prețul real la care-l oferă. Aici: Sc=

2

)100150()0200( −⋅−=5000.

d) În acest caz: Qc=600-2PA de unde: Qc=Qp implică: 600-2PA=-400+4PA adică: 6PA=1000 adică: PA=166,66. Cantitatea de produse este:Qc=600-2⋅166,66=266,68. În acest caz, producătorul mărește prețul (datorită creșterii cererii) de la 150 u.m. la 166,66 u.m., iar consumatorul renunță la o parte din cerere (de la 200+100=300 la

266,68).


106





107

5. MONOPOLUL

Monopolul 93

Rezumat 100



100








Monopolul reprezintă situația unei piețe în care există un singur ofertant al unui bun nesubstituibil și un număr suficient de mare de consumatori. Firma ce acționează ca și monopol poartă numele de monopolist.

Existența monopolului presupune implicit absența concurenței între firme de producție, singurii care pot influența într-

o măsură mai mică sau mai mare prețul fiind cumpărătorii. Putem enumera câteva categorii principale de monopol și anume:

• monopolul natural – ca urmare a realizării unor invenții sau a posesiei unor resurse limitate sau prohibitive pentru alți potențiali concurenți. De regulă, un astfel de monopol nu are o durată foarte mare de viață datorită, pe de o parte, progresului tehnologic ce poate naște noi invenții care să anuleze avantajul celei generatoare de monopol sau, pe de altă parte, realocării resurselor din varii motive. În cadrul acestui tip de monopol, costul mediu pe termen lung este, contrar situației întâlnite în cadrul concurenței perfecte, descrescător. Se poate


108

exemplifica aici cazul companiei Microsoft ce deține putere de monopol pentru o serie largă de produse informatice.

• monopolul public – reprezentat de firme cu capital de stat, generat de cele mai multe ori de ținerea sub control a prețurilor sau de monitorizarea unor activități periculoase. Întâlnim un astfel de monopol, de regulă, în cadrul unor firme prestatoare de servicii esențiale pentru societate, cum ar fi: societățile de transport feroviar și/sau aerian, societățile de distribuție a energiei (electrice, gaz

metan, nucleare, eoliene etc.), societățile de distribuție a apei și/sau agentului termic etc.

• monopolul ca rezultat final al concurenței – apare atunci când, rând pe rând, firmele concurente sunt eliminate de pe piață.

În cadrul pieței monopolistice, prețul stabilit de monopolist nu mai urmează legea echilibrului, acesta având posibilitatea de a-l ajusta, relativ unilateral, în scopul maximizării profitului. Pe de altă parte, o creștere exagerată a prețului implică o scădere a producției datorită imposibilității vânzării acesteia în întregime.

Condiția de nesubstituibilitate a produsului este esențială, deoarece dacă există un alt produs ce l-ar putea substitui pe cel inițial, cumpărătorii își vor deplasa cererea către acesta, firma monopolistică diminuându-și astfel piața de desfacere. Înainte de a începe analiza noastră asupra prețului unui bun vândut în condiții de monopol să reamintim situația principalelor costuri ale producției (în care am

notat simplu Cm în loc de CmL, CT de CTL și CTM în loc de CTML).

Limite de acțiune ale monopolistului

Fig.46

Acțiunea monopolistului este eficientă pentru Q∈[Q1,Q2] (Q1 – punctul de

minim al lui Cm, Q2 – punctul de minim al lui CTM) deci pe porțiunea unde costul marginal este crescător, dar cel total mediu este descrescător.


109

Din definiția profitului este cunoscut faptul că la un preț p(Q) de vânzare

a producției Q, avem: Π(Q)=p(Q)⋅Q-CT(Q) de unde, condiția de extrem a profitului ( )Q('Π =0) implică (vezi 3.7):

ε+=

p,Q

11)Q(p)Q(Cm

unde: p,Qε =Q

p

dp

dQ⋅ - reprezintă coeficientul de elasticitate a cererii în raport cu

prețul.

Vom presupune, în continuare, că bunul este normal, deci p,Qε <0 de unde

rezultă că, la producția ce asigură maximul profitului, Cm(Q)<p(Q), deci prețul de vânzare al producției trebuie să se situeze deasupra costului marginal al acesteia. Pe de altă parte, venitul marginal (care este egal la maximul profitului cu nivelul

costului marginal) Vm(Q)=

ε+

p,Q

11)Q(p .

Dacă p,Q

11

ε+ <0⇔

p,Q

1

ε<-1⇔ p,Qε ∈(-1,0) atunci Vm(Q)<0. Cum producția

oricărei firme se situează la nivelul costului marginal pozitiv rezultă

Vm(Q)=Cm(Q)>0 deci contradicție.

Dacă p,Qε ≤-1 atunci: p,Q

11

ε+ ≥0 deci Vm(Q)≥0. Dacă ecuația Cm(Q)=Vm(Q)

are soluția Q0 (deci Cm(Q0)=Vm(Q0)) atunci Q=Q0 reprezintă producția la care monopolistul își maximizează profitul, prețul de producție fiind p0=Cm(Q0). Din cele de mai sus, rezultă că prețul de vânzare trebuie să fie mai mare sau egal cu prețul de producție (ceea ce este, de altfel, absolut normal).

Prin urmare, pentru maximizarea profitului, monopolistul își va desfășura producția atât timp cât elasticitatea este mai mică decât -1 (cererea fiind deci

elastică) sau, echivalent, atât timp cât venitul marginal este mai mare sau egal cu 0

De asemenea, cum Vm(Q)=p’(Q)⋅Q+p(Q)<p(Q) ∀Q (pentru un bun normal

p’(Q)<0) rezultă că, în particular pentru Q=Q0: Vm(Q0)<p(Q0) adică p0<p(Q0), deci prețul p*=p(Q0) pe care consumatorii sunt dispuși să-l ofere este mai mare decât cel de producție p0 (care maximizează profitul monopolistului). Ca urmare a acestui fapt, rezultă că încasările monopolistului sunt: V=p*Q0. La o producție oarecare Q, profitul monopolistului este: )Q(Π =

( ) ( )QQCTMQQp − = ( ) ( )( )QQCTMQp − . Din condiția ca ≥0 rezultă

deci: ( ) ( )QCTMQp ≥ deci prețul de vânzare al bunului (pentru o anumită

producție) trebuie să fie mai mare decât costul total mediu (corespunzutor

producției respective). Ca urmare a acestui fapt, rezultă că prețul optim de producție al monopolistului trebuie să se situeze sub punctul de minim al lui

)Q(Π


110

CTM (pentru a prevedea posibilele variații de preț oferite de către consumatori

care, la un nivel exagerat al prețului, pot renunța la bunul respectiv). Pe de altă parte, producția optimă se va situa pe ramura crescătoare a costului marginal deoarece, în caz contrar, monopolistul sesizând scăderea acestuia (costul suplimentar la producerea unei unități de bun) va continua procesul, deoarece va obține bunuri suplimentare la un cost din ce în ce mai mic. Urmarea acestui demers este că limitele de acțiune ale monopolistului se vor încadra între punctul de minim al costului marginal și cel al costului total mediu (fig.46).

De asemenea, la un asemenea nivel al producției, costul total mediu CTM(Q0) este mai mare decât p0 deoarece zona de producție se află sub punctul de minim al acestuia și mai mic decât p*. Profitul monopolistului este deci:

Π(Q0)=(p*-CTM(Q0))⋅Q0 reprezentat în figura 47 sub forma dreptunghiului hașurat.

Profitul monopolistului

Fig.47

Să notăm acum Pp(Q)=)Q(Cm

)Q(p- puterea de piață a firmei

corespunzătoare producției Q. Observăm că o valoare supraunitară a lui Pp reprezintă un preț ce depășește costul marginal și deci este furnizoare de profit

suplimentar. Cum = =Q

p

dQ

dp1

⋅ =( )( )Q'Qp

Qp rezultă:

1p,Q

p,Q

+εε

=

( )( )

( )( ) 1Q'Qp

QpQ'Qp

Qp

+=

( )( ) ( )Q'QpQp

Qp

+=

( )( )( ) ' QQp

Qp=

( )( )QVm

Qp=

( )( )QCm

Qp deci:

Pp(Q)=

p,QεQ

p

dp

dQ⋅

1p,Q

p,Q

+ε

ε


111

Analiza matematică a funcției de mai sus, relevă faptul că: Pp(Q)∈(1,∞) ∀ p,Qε

∈(-∞,-1) și Pp(Q)∈(-∞,0) ∀ p,Qε ∈(-1,0].

Am văzut însă mai sus că monopolistul își va desfășura producția atât

timp cât elasticitatea este mai mică decât -1 ( <-1) deci puterea de piață a

firmei monopolistice Pp(Q)>1. La o cerere din ce în ce mai elastică, monopolistul va putea majora preţul din ce în ce mai mult peste costul marginal al producţiei.

Analog, definim puterea de preț a firmei (indicele Lerner),

corespunzătoare producției Q, ca fiind: L(Q)=)Q(p

)Q(Cm)Q(p −. Avem:

L(Q)=)Q(p

)Q(Cm)Q(p −=1-

)Q(p

)Q(Cm=1-

)Q(Pp

1=1-

p,Q

p,Q 1

ε

+ε=

p,Q

1

ε−

Puterea de preț reprezintă abaterea relativă a prețului practicat de monopolist față de prețul izvorât dintr-o concurență perfectă (Cm(Q)). Observăm că la o

cerere din ce în ce mai elastică ( p,Qε <-1) L tinde la zero.

În cadrul pieței de monopol, producția Q0 la care monopolistul își maximizează profitul este deci soluție a ecuației Cm(Q)=Vm(Q), prețul de producție fiind

p0=Cm(Q0). Prețul de vânzare al produsului este p*=p(Q0). Cum V(Q)=p(Q)⋅Q

rezultă că Vm(Q)=p’(Q)⋅Q+p(Q) deci Q0 satisface egalitatea:

Cm(Q0)=p’(Q0)⋅Q0+p(Q0). În acest caz, surplusul consumatorului (în caz de monopol) este aria

triunghiului curbiliniu Fap* (fig.48) și anume:

Sd,m= 0*

Q

0

QpdQ)Q(p0

−

deci diferența dintre cât ar fi fost dispus să ofere (ca și preț) consumatorul pentru fiecare unitate de produs și cât oferă el efectiv. Analog, surplusul monopolistului (în caz de monopol) este aria patrulaterului curbiliniu p*ACD (fig.48):

Ss,m= −0Q

0

0* dQ)Q(CmQp

adică diferența dintre cât obține el efectiv și cât ar fi fost dispus să primească producătorul pentru fiecare unitate de produs. Surplusul total (în caz de monopol) este suma celor două surplusuri (aria zonei

FDCA - fig.48) și anume:

Sm=Sd,m+Ss,m= ( ) −0Q

0

dQ)Q(Cm)Q(p

Cum indicele Lerner L(Q)=)Q(p

)Q(Cm)Q(p − rezultă p(Q)-

Cm(Q)=L(Q)p(Q)=p,Q

)Q(p

ε− . Surplusul total se mai poate scrie deci:

p,Qε


112

Sm= ε−

0Q

0 p,Q

dQ)Q(p

Dacă producătorul ar acționa în condițiile concurenței perfecte, atunci producția

de echilibru ar satisface relația Cm(Q)=p(Q). Fie deci Q și p - producția,

respectiv prețul de echilibru în acest caz. Surplusul consumatorului (în caz de concurență perfectă) este aria

triunghiului curbiliniu FB p (fig.48) și anume:

Sd,c= QpdQ)Q(pQ

0

−

deci diferența dintre cât ar fi fost dispus să ofere consumatorul pentru fiecare unitate de produs și cât oferă el efectiv. Analog, surplusul monopolistului (în caz de concurență perfectă) este aria triunghiului curbiliniu p BD (fig.48):

Ss,c= −Q

0

dQ)Q(CmQp

adică diferența dintre cât obține el efectiv și cât ar fi fost dispus să primească producătorul pentru fiecare unitate de produs. Surplusul total (în caz de concurență perfectă) este suma celor două surplusuri (aria zonei FBD - fig.48) și anume:

Sc=Sd,c+Ss,c= ( ) −Q

0

dQ)Q(Cm)Q(p

Să observăm acum că, deoarece optimul în condiții de monopol se realizează pe zona descrescătoare a curbei CTM, iar în cadrul concurenței perfecte pe cea

crescătoare, rezultă: Q0< Q .

Aria triunghiului curbiliniu ABC se numește ineficiență alocativă și avem:

Ia= ( ) −Q

Q0

dQ)Q(Cm)Q(p =Sc-Sm

Cum pe regiunea de acțiune a producătorului: p(Q)≥Cm(Q) rezultă că Ia≥0 deci

Sc≥Sm. Prin urmare, surplusul total în cazul monopolului este mai mic sau egal decât cel din cazul concurenței perfecte. De asemenea, să observăm că:

∆Ss=Ss,m-Ss,c=

−−

−

Q

0

Q

0

0* dQ)Q(CmQpdQ)Q(CmQp

0

=

+−Q

Q

0*

0

dQ)Q(CmQpQp

reprezintă diferența de surplus pentru producător la trecerea de la concurența perfectă la condiția de monopol.


113

Se poate arăta4 că trecerea la o situație de monopol va crește surplusul producătorului și-l va diminua pe cel al consumatorului.

Ineficiența alocativă

Fig.48



114

Sarcina de lucru 5 1. Fie un monopolist a cărui funcție de cost pe termen lung este: CT(Q)=Q3-15Q2+100Q. a) Să se determine intervalul de producție admisibil;

b) Considerând funcția de cerere Q=25-0,5⋅p, să se determine prețul la care poate produce pentru maximizarea profitului; 2.Un monopol își vinde produsul către două grupe de consumatori G1 și G2. Funcția cererii pentru prima grupă (G1) este. p1=50-4Q1 și pentru a doua grupă (G2): p2=25-2Q2. Funcția costului total este de forma:CT=80+15Q iar functia cererii pentru intreaga piață este p=p1+p2��p=75-6Q

a. Să se determine prețurile practicate de monopolist atât pentru prima grupă cât și pentru a doua grupă de consumatori.

b. Să se calculeze profitul total al mono,oplistului în condițiile discriminării prin prețuri.

c. Dacă nu ar fi posibilă discriminarea prin prețuri ce s-ar întâmpla cu prețul, cantitatea și profitului firmei monopoliste. Care situație este mai avantajoasă?

3.Fie un monopolist ce practică discriminarea prin preț. Acesta își vinde produsul către două grupe de consumatori G1 și G2. Pentru G1 funcția cererii este: Q1=10-p1 iar pentru G2, funcția cererii este Q2=10-0,2p2. Funcția costului total este de forma CT=14+0,5Q2.

a. Care grupă de consumatori va plăti un preț mai mare? b. Care din cele două grupe de consumatori furnizează cel mai mare venit

monopolistului? c. Să se calculeze costul total al monopolistului.

4.Un monopol are o funcție a costului total de forma: CT=Q2 și funcția cererii p=120-Q

a. Să se determine funcția venitului total b. Să se determine Q care corespunde profitului maxim c. Să se determine prețul practicat de monopolist și profitul acestuia.


115

Test de autoevaluare 1.Considerând funcția de cost a unui monopolist: CT(Q)=5Q3-4Q2+3,07Q a) Să se determine intervalul de producție admisibil;

b) Considerând funcția de cerere Q=2-0,5⋅p, să se determine prețul la care poate produce pentru maximizarea profitului; (producția fiind exprimată în mii bucăți).

a. Intervalul de producție admisibil este cuprins între valorile producției corespunzătoare

costului marginal minim și a costului total mediu minim. Cmg= CT’=15Q2-8Q+3,07 CTM(Q)=5Q2-4Q+3,07 Dar Cmg’=30Q-8=0 implică Q1=0,27; CTM’(Q)=10Q-4=0 implică Q2=0,4, prin urmare intervalul de producție admisibil al monopolistului este Q ∈ �0,26; 0,4� (sau în bucăți Q∈[270,400]).

b. Funcția de cerere este Q=2-0,5⋅p Maximizarea profitului pentru un monopol are loc atunci când Vmg=Cmg.

Cmg=15Q2-8Q+3,07 Vmg= VT’ Ca să aflăm venitul total al monopolistului va trebui să determinăm funcția inversă a cererii

Q=2-0,5⋅p�� p=4-2Q ��VT=4Q-2Q2��Vmg=4-4Q Vmg=Cmg��=4-4Q=15Q2-8Q+3,07��15Q2+4Q+0,93=0

Q1,2=��√��!"#

�"=�!�√$,!

�� Q=0,415

Înlocuind valoarea lui Q în funcția inversă a cererii, vom obține un preț p=4-2∙0,415=3,17 2.Un monopol își vinde produsul către două grupe de consumatori G1 și G2. Funcția cererii pentru grupul (G1) este. p1=100-8Q1 și pentru grup 2 (G2): p2=80-4Q2. Funcția costului total este de forma: CT=100+24Q iar functia cererii pentru intreaga piață este p=p1+p2��p=180-12Q

a. Să se determine prețul bunului oferit către primul grup de consumatori. Vmg=Cmg

Rezumat Monopolul reprezintă situația unei piețe în care există un singur ofertant al unui bun nesubstituibil și un număr suficient de mare de consumatori. Firma ce acționează ca și monopol poartă numele de monopolist. Monopolul natural apare ca urmare a realizării unor invenții sau a posesiei unor resurse limitate sau prohibitive pentru alți potențiali concurenți. Monopolul public este reprezentat de firme cu capital de stat, generat de cele mai multe ori de ținerea sub control a prețurilor sau de monitorizarea unor activități periculoase. Monopolul ca rezultat final al concurenței apare atunci când, rând pe rând, firmele concurente sunt eliminate de pe piață.


116

Cmg=24 VT=100Q1-8Q1

2��Vmg=100-16Q1��100-16Q1=24��Q1=4,75 Înlocuind valoarea lui Q1 în funcția cererii pentru G1, obținem p=62.

b. Să se determine prețul bunului oferit către al doilea grup de consumatori. Vmg=Cmg Cmg=24 VT=80Q2-4Q2

2��Vmg=80-8Q2��80-8Q2=24��Q1=7 Înlocuind valoarea lui Q1 în funcția cererii pentru G1, obținem p=52

c. Să se determine profitul total (Π) al firmei monopoliste Qtotal=11,75; Având funcția CT=100+24Q��CT=382 Venitul total obținut din urma vânzării bunului către primul grup de consumatori este VT1=Q1p1=294,5. În mod analog, VT2=364 iar VTtotal=658,5 Deci '=VT-CT=276,5

d. Dacă nu ar fi posibilă discriminarea prin prețuri ce s-ar întâmpla cu prețul, cantitatea și profitului firmei monopoliste. Care situație este mai avantajoasă? Funcția totală a cererii este p=180-12Q Cum maximizarea Π impune egalitatea Vmg=Cmg, vom avea: Noul Vmg=180-24Q��180-24Q=24��Q=6,5 iar noul preț va fi p=102 În această situație VT(6,5)=663 iar CT(6,5)=256�� Π(6,5)=407 Analizând cele de mai sus, este mai avantajos pentru frima monoplistă să nu practice discriminarea prin prețuri.

3.Fie un monopolist ce practică discriminarea prin preț. Acesta își vinde produsul către două grupe de consumatori G1 și G2. Pentru G1 funcția cererii este: Q1=20-p1 iar pentru G2, funcția cererii este Q2=20-0,5p2. Funcția costului total este de forma CT=12+0,5Q2.

a. Care grupă de consumatori va plăti un preț mai mare? Având în vedere principiul maximizării profitului ��Vmg=Cmg

Cmg= CT’ Vmg= VT’

Pentru a determina funcțiile VT pentru fiecare grupă de consumatori, vom afla funcția inversă a cererii (prețul exprimat în funcție de producție) Din Q1=20-p1 rezultă p1=20-Q1; Din Q2=20-0,5p2 rezultă p2=40-2Q2 Pentru G1, avem VT1=20Q1-Q1

2; Vmg1= VT1’=20-2Q1

Cmg=Q, dar cum Q reprezintă producția totală (Q=Q1+Q2) rezzultă Cmg= Q1+Q2

20-2Q1= Q1+Q2 �� Q2=20-3Q1

Pentru G2, avem VT2=40Q2-2Q22 ; Vmg= VT2’=40-4Q2

40-4Q2= Q1+Q2

Înlocuind Q2 în egalitatea de mai sus ��40-Q1=5(20-3Q1) ��Q1=4,28 și Q2=7,16 Prețul plătit de prima grupă de consumatori va fi p1=20-Q1 ��p1=15,72 și prețul plătit de a doua grupă de consumatori va fi p2=40-2Q2��p2=37,28 Deci a doua grupă de consumatori va plăti un preț mai mare.

b. Care din cele două grupe de consumatori furnizează cel mai mare venit monopolistului?


117

VT1=67,28 și VT2=266,92 A doua grupă de consumatori generează venitul cel mai mare monopolistului

c. Să se calculeze costul total al monopolistului. Cum CT=12+0,5Q2 iar Q= Q1+Q2=11,44 rezultă un CT (11,44)=77,43





118

6. OLIGOPOLUL

Oligopolul 101

Rezumat 114



114








Oligopolul reprezintă situația unei piețe în care există un

număr mic de ofertanți (cel puțin doi) al unui bun nesubstituibil și un număr suficient de mare de consumatori. Oligopolul compus din doi producători se numește duopol.

Considerând, în cele ce urmează, două firme concurente A și B ce produc un același bun normal, ne propunem analiza

activității fiecăreia ca răspuns la activitatea celeilalte firme. Oricare dintre firme, în momentul în care își stabilește nivelul producției

și prețul de vânzare, va avea în vedere producția și prețul celeilalte firme. Pentru a evidenția faptul că una dintre cele două firme va stabili mai întâi prețul sau cantitatea produsă, cealaltă ajustându-se după ea, o vom numi lider de preț, respectiv lider de producție, a doua firmă numindu-se satelit de preț, respectiv satelit de producție. Cazul liderului de producție (modelul Stackelberg) Să considerăm că firma A este un lider de cantitate. Dacă ea va produce QA unități de bun, atunci firma B își va ajusta producția după A producând QB=f(QA)


119

unități de bun (f fiind numită funcție de reacție). Prețul de vânzare fiind dependent de cantitatea totală de produse ajunse pe piață, vom nota: p=p(QA+QB) – prețul pe unitatea de produs.

Firma A trebuie să-și stabilească un nivel al producției în funcție de reacția firmei B, deoarece aceasta, prin producția realizată, va determina prețul de vânzare a produsului. Analog, firma B își va ajusta nivelul producției în funcție de A, deoarece la un nivel mai mare sau mai mic prețul se va modifica și deci și profitul firmei respective.

Fie deci profitul liderului de producție:

( ) )Q(CTQQQp)Q( AAABAAA −+=Π

Deoarece producția firmei B depinde de cea a firmei A (QB=f(QA)) avem:

( ) )Q(CTQ)Q(fQp)Q( AAAAAAA −+=Π

Să considerăm, de asemenea, profitul satelitului:

( ) )Q(CTQQQp)Q( BBBBABB −+=Π

Condiția de extrem pentru profitul lui A este:

( )( ) ( ) 0)Q(Cm)Q(fQpQ)Q('f1)Q(fQ'pQ

)Q(AAAAAAAA

A

AA =−++++=∂

Π∂

iar cea pentru satelitul B:

( ) ( ) 0)Q(CmQQpQQQ'pQ

)Q(BBBABBA

B

BB =−+++=∂

Π∂

Considerând deci producția liderului QA ca fiind dată, rezultă că cea a satelitului satisface condiția:

( ) ( ) 0)Q(CmQQpQQQ'p BBBABBA =−+++

Variind acum producția QA rezultă că QB=f(QA) de unde, problema maximizării profitului liderului revine la:

( )( ) ( ) 0)Q(Cm)Q(fQpQ)Q('f1)Q(fQ'p AAAAAAAA =−++++

cu f determinat mai sus. În particular, pentru o funcție liniară de preț (funcția inversă a cererii) de

forma: p(Q)=a-bQ, a,b>0, obținem pentru firma satelit B:

( ) 0)Q(CmQQbabQ BBBAB =−+−+−

de unde:

b2

)Q(CmbQaQ BBA

B

−−=

Să observăm că, în această relație, determinarea lui QB este pur formală, ea necesitând cunoașterea costului marginal al lui B și deci, implicit, a costului total al acestuia. Înlocuind expresia de mai sus a lui QB în condiția de maximizare a profitului

liderului A, rezultă pentru f(QA)= b2

)Q(CmbQa BBA −− de unde (în urma

calculelor):


120

A

BB

BBAAA

Q

)Q(Cmb2

)Q(Cm)Q(Cm2aQ

∂∂

−

+−=

Notând *AQ soluția ecuației de mai sus, obținem valoarea:

b2

)Q(CmbQaQ

*BB

*A*

B

−−=

unde toate derivatele parțiale se calculează în *AQ și *

BQ .

Condiția ca liderul să aibă o producție mai mare decât cea a satelitului

revine la: *B

*A QQ > .

Cu presupunerea suplimentară că cele două costuri marginale ale lui A, respectiv B sunt constante (pe termen foarte scurt, variațiile de cost marginal fiind foarte

mici, presupunerea nu este absurdă), obținem pentru CmA=α și CmB=β mai întâi, din ecuația de determinare a producției satelitului:

( ) 0QQbabQ BAB =β−+−+− de unde:

( )AA

B Qfb2

bQaQ =

β−−=

iar 2

1)Q('f A −= .

Înlocuind acum în ecuația de maximizare a profitului lui A:

( ) 0b2

bQaQpQ

2

11)Q(fQ'p A

AAAA =α−

β−−++

−+

și cum p(Q)=a-bQ rezultă succesiv:

0b2

bQaQbaQ

2

11b A

AA =α−

β−−+−+

−−

02

bQabQaQ

2

bbQ A

AAA =α−β−−

−−++−

b2

2aQ*

A

α−β+=

de unde b4

32a

b2

bQaQ

*A*

B

β−α+=

β−−= .

De asemenea: b4

56aQQ *

B*A

β+α−=− .

Pentru ca producția liderului să fie mai mare decât producția satelitului, va trebui

ca deci a>6α-5β.

Din faptul că CmA=α și CmB=β rezultă după o simplă integrare:

CTA(Q)=αQ+γ, CTB(Q)=βQ+δ, α,β,γ,δ≥0. Revenind la profiturile celor două firme A și B avem:

( ) )Q(CTQQQp)Q( AAABAAA −+=Π = ( ) γ−α−+− AABAA QQQQbaQ =

( ) γ−α+−−− AB2A QabQbQ .

respectiv:

*B

*A QQ >


121

( ) )Q(CTQQQp)Q( BBBBABB −+=Π = ( ) δ−β−+− BBBAB QQQQbaQ =

( ) δ−β+−−− BA2B QabQbQ .

Considerând )Q( AAΠ =π1=constant, respectiv: )Q( BBΠ =π2= constant,

obținem cele două curbe ale izoprofitului în sistemul de axe QA-O-QB:

( ) γ−α+−−− AB2A QabQbQ =πA – pentru liderul A

( ) δ−β+−−− BA2B QabQbQ =πB – pentru satelitul B

Graficele celor două curbe sunt reprezentate în figurile 49 și 50.

Considerând acum funcția de reacție a lui B față de A: b2

bQaQ A

B

−β−= și

diferența dintre aceasta și punctul corespunzător al unei curbe de izoprofit, se arată5 că minimul acesteia se obține pentru:

AQ =b2

2a α−β+= *

AQ

Prin urmare, producția de echilibru a liderului A este punctul de tangență dintre funcția de reacție a lui B față de A la familia de curbe de izoprofit al lui A.

Pentru firma satelit B se procedează analog, obținându-se:

BQ =b4

32a β−α+= *

BQ

Curbele de izoprofit ale liderului de ecuație:

A

AA2A

B bQ

Q)a(bQQ

γ−π−α−+−=

Fig.49



122

Curbele de izoprofit ale satelitului de ecuație:

B

BB2B

A bQ

Q)a(bQQ

δ−π−β−+−=

Fig.50 Cazul liderului de preț

Să considerăm acum că firma A este un lider de preț, în sensul în care ea stabilește prețul de vânzare. Este evident că, indiferent de comportarea firmei satelit, prețul final de vânzare va fi același pentru cele două firme, în caz contrar, cumpărătorii deplasându-și cererea către firma cu prețul cel mai scăzut.

Fie deci QA – producția firmei lider A și QB – producția satelitului B,

prețul fiind p>0. Vom presupune, de asemenea, costul marginal al lui B ca fiind funcție inversabilă. Funcțiile de profit ale celor două firme sunt deci:

)Q(CTpQ)Q( AAAAA −=Π

respectiv:

)Q(CTpQ)Q( BBBBB −=Π

Condiția de maximizare a profitului lui B este:

0)Q(CmpQ BB

B

B =−=∂Π∂

de unde: p=CmB(QB). Producția realizată de B va fi deci:

QB= )p(Cm 1B−

În același timp, firma lider este conștientă că stabilirea unui preț de vânzare p va conduce la o producție QB mai mare sau mai mică a firmei satelit, deci în condițiile unei curbe a cererii Q=Q(p) oferta ei va trebui să se restrângă la QA=Q-

QB=Q(p)- )p(Cm 1B− . Funcția sa de profit devine:

( ) ( ))p(Cm)p(QCT)p(Cm)p(Qp)Q(CTpQ)p( 1BA

1BAAAA

−− −−−=−=Π


123

Condiția de maximizare a profitului lui A devine deci: 0p

A =∂Π∂

de unde, dacă

ecuația are soluție p*>0 obținem alocarea de producție: *AQ =Q(p*)- )p(Cm *1

B− , *

BQ = )p(Cm *1B−

În particular, pentru funcțiile de cerere și de cost:

Q(p)=a-bp, a,b>0, CTA(Q)=αQ+β, CTB(Q)=γQ+δ, α,β,γ,δ>0

avem: CmA(Q)=α, CmB=γ.

Din ecuația: 0)Q(Cmp BB =− obținem: p=γ, producția QB fiind indiferentă.

Funcția de profit a liderului A este:

( ) ( )BABA QbaCTQba)p( −γ−−−γ−γ=Π =

( ) ( ) β−−−α−−− BB QbpaQbpap = ( ) β−α+α−−α++− BB2 QapQbabp

de unde: ( ) 0Qbabp2p B

A =−α++−=∂Π∂

implică: b2

Qbap B* −α+

= .

Avem acum:

*AQ =Q(p*)- )p(Cm *1

B− = B

B Qb2

Qbaba −

−α+− =

2

Qba B−α−

*BQ = BQ

Notând QB=q – arbitrar, pozitiv, rezultă:

=2

qba −α−, =q,

b2

qbap* −α+

=

unde, în mod evident q<a-αb. Dn cele de mai sus, rezultă că în cazul costurilor marginale constante, producțiile celor două firme sunt determinate până la o constantă (q).

Dacă acum, în aceleași condiții de mai sus: Q(p)=a-bp, a,b>0,

CTA(Q)=αQ+β, costul total al satelitului B este o funcție de gradul II:

CTB(Q)=γQ2+δQ+ε, α,β,γ,δ,ε>0 avem: CmA(Q)=α, CmB=2γQ+δ.

Ecuația: devine: p-2γQB-δ=0 de unde:

QB=γδ−

2

p

Avem acum profitul liderului A:

γδ−

−−−

γδ−

−−=Π2

pbpaCT

2

pbpap)p( AA =

β−

γδ−

−−α−

γδ−

−−2

pbpa

2

pbpap =

β−

γδ

+α−

γδ+α

+α++

γ+−

2ap

2bap

2

1b 2

02

bap2

1b2

pA =

γδ+α

+α++

γ+−=

∂Π∂

implică:

*AQ *

BQ

0)Q(Cmp BB =−


124

( )( )1b22

ba2p*

+γδ+α+α+γ

=

*BQ = =

γδ−

2

p*

=( )

( )1b24

b4ba2

+γγγδ−δ−α+α+γ

=Q(p*)- =( )

( )*BQ

1b22

ba2ba −

+γδ+α+α+γ

− =

γα−γα−δ+γ

4

b2a2

Echilibrul Cournot pentru duopol Modelul Cournot pentru un duopol presupune ajustarea succesivă a

producțiilor celor două firme prin asumarea pe rând a rolului de lider.

Fie deci, la un moment de timp t∈N, producția firmei A în funcție de cea a firmei B la momentul anterior:

QA,t=f(QB,t-1) ∀t≥1 și producția firmei B în funcție de cea a firmei A la momentul anterior:

QB,t=g(QA,t-1) ∀t≥1 unde f și g sunt funcții continue. Funcția QA=f(QB) se numește curba de reacție a firmei A relativ la B, iar QB=g(QA) - curba de reacție a firmei B relativ la A.

Dacă ∃ *At,A

tQQlim =

∞→, *

Bt,Bt

QQlim =∞→

atunci, din relațiile de mai sus,

rezultă:

)Q(fQ *B

*A = , )Q(gQ *

A*B =

Perechea de producții ( )*B

*A Q,Q se numește echilibru Cournot și se obține ca

intersecție a curbelor de reacție ale celor două firme. În cele ce urmează vom considera o funcție de preț (funcția inversă a

cererii) de forma: p(Q)=a-bQ, a,b>0 aceeași pentru cele două firme și costurile

marginale constante: CmA=α și CmB=β. Să presupunem acum că la momentul t, firma A are o producție QA,t.

Firma B este în situația unei firme satelit (modelul Stackelberg) și la momentul t+1 va avea o producție, în scopul maximizării profitului ei:

QB,t+1=b2

bQa t,A β−−=

b2

a

2

Q t,A β−+−

În mod cu totul analog, la același moment de timp t, firma A consideră pe B ca lider și își ajustează producția la:

QA,t+1=b2

bQa t,B α−−=

b2

a

2

Q t,B α−+−

În scriere matriceală, relațiile devin:

+

+

1t,B

1t,A

Q

Q=

β−

α−

+

−

−

b2

ab2

a

Q

Q

02

12

10

t,B

t,A

)p(Cm *1B−

*AQ )p(Cm *1

B−


125

Notând: Qt=

t,B

t,A

Q

Q, C=

β−

α−

b2

ab2

a

și A=

−

−

02

12

10

, putem scrie relațiile

de mai sus sub forma: Qt+1=AQt+C

Se poate de aici arăta6 că:

Qt+n=AnQt+(An-1+...+A+I2)C, n≥1 unde I2 este matricea unitate. În particular, pentru t=0, obținem:

Qn=AnQ0+(An-1+...+A+I2)C, n≥1 unde Q0 reprezintă producțiile celor două firme la momentul inițial. În urma calculelor, obținem:

An-1+...+A+I2=(A-I2)-1(An-I2) deci:

Qn=AnQ0+(A-I2)-1(An-I2)C, n≥1

unde An=n2

1I2 dacă n este număr par și An=

1n2

1− A dacă n este număr impar,

iar (A-I2)-1=

−

−

3

4

3

23

2

3

4

.

Din cele de mai sus, rezultă: lim An=02 (matricea nulă de ordin 2), de unde:

lim Qn=

−

−

3

4

3

23

2

3

4

C=

−

−

3

4

3

23

2

3

4

β−

α−

b2

ab2

a

=

α+β−

β+α−

b3

2ab3

2a

Cantitățile limită ale celor două firme la echilibru sunt deci:

b3

2aQ*

A

β+α−= ,

b3

2aQ*

B

α+β−=

prețul de vânzare fiind:

p*=a-b )QQ( *B

*A + =

α+β−+

β+α−−

b3

2a

b3

2aba =

3

a β+α+

În figura 51 se poate observa cum echilibrul Cournot stabileşte un compromis de echilibru între cele două firme faşă de modelul Stackelberg. Astfel, firma A va avea o producţie mai mică decât în situaţia în care îşi asumă rolul de lider, dar mai mare decât cea obţinută în condiţii de satelit. În mod cu totul analog, firma B va avea o producţie mai mică decât în situaţia în care îşi asumă rolul de lider, dar mai mare decât cea obţinută în condiţii de satelit.



126

Echilibrul Cournot în raport cu echilibrul Stackelberg

Fig.51 În figura 52 se poate observa recurenţa producţiilor celor două firme la două momente de timp succesive. Astfel, dacă la momentul t-1 avem (QA,t-1,QB,t-1), la momentul t firma A îşi ajustează producţia la QA,t (intersecția paralelei la axa OQA prin (QA,t-1,QB,t-1) cu funcția de reacție a lui A

față de B), iar firma B îşi ajustează producţia la QB,t (intersecția paralelei la axa

OQB prin (QA,t-1,QB,t-1) cu funcția de reacție a lui B față de A) obținându-se în final noua pereche de producții: (QA,t,QB,t). Prin urmare, echilibrul Cournot se atinge ca limită a liniei frânte din interiorul unghiului format cu cele două funcții de ajustare.

Echilibrul Cournot

Fig.52


127

Echilibrul Cournot pentru oligopol sau în cazul concurenței perfecte Să considerăm acum un număr de n firme ale căror producții sunt

Q1,...,Qn. Prețul de vânzare va fi același pentru toate firmele (în caz contrar,

cumpărătorul alegând prețul cel mai mic) și va depinde de producția totală. Funcția de profit corespunzătoare firmei “k” este deci:

)Q(CTQQp)Q( kkk

n

1iikk −

=Π

=

unde CTk este costul total corespunzător acesteia. Condiția de maximizare a profitului implică:

0)Q(CmQpQQ'pQ kk

n

1iik

n

1ii

k

k =−

+

=

∂Π∂

==

unde Cmk este costul marginal corespunzător firmei “k”. Considerând acum coeficientul de elasticitate a cererii în raport cu prețul: p,Qε =

Q

p

dp

dQ⋅ rezultă:

dQ

dp=

p,Q

1

Q

p

ε, iar pentru Q=

=

n

1iiQ obținem:

=

n

1iiQ'p =

p,Qn

1ii

n

1ii

1

Q

Qp

ε

=

=

Înlocuind în condiția de maximizare a profitului, rezultă:

)Q(Cm1

Q

Q1Qp kk

p,Qn

1ii

kn

1ii =

ε+

=

=

Notând acum νk=

=

n

1ii

k

Q

Q, k= n,1 - ponderea lui “k” în totalul firmelor, rezultă:

)Q(Cm1Qp kkp,Q

kn

1ii =

εν

+

=

Din această relație, rezultă pentru n=1 că ν1=1 și avem:

( ) )Q(Cm1

1Qp 11p,Q

1 =

ε+

deci tocmai situația monopolului. Pe de altă parte, dacă există un număr mare de firme pe piață a căror pondere în

ansamblu este neglijabilă, avem: νk≈0 ∀k= n,1 și:

)Q(CmQp kk

n

1ii =

=

∀k= n,1

deci prețul este egal cu costul marginal al fiecărei firme, echilibrul devenind specific pieței cu concurență perfectă.


128

Cartelurile

Considerând un număr oarecare de firme, cartelul reprezintă situația în care acestea colaborează în vederea stabilirii producției ce va maximiza profitul total, urmând ca ulterior acestea să și-l împartă între ele.

Fie deci un număr de două (pentru simplificarea expunerii) firme A și B ale căror producții sunt QA, respectiv QB, prețul de vânzare depinzând de producția totală, bunul vândut fiind normal.

Funcția de profit a cartelului are următoarea expresie:

( )( ) )Q(CT)Q(CTQQQQp)Q,Q( BBAABABABA −−++=Π

unde CTA și CTB sunt costurile totale corespunzătoare firmelor A și B. Condiția de maximizare a profitului implică determinarea producțiilor

QA și QB astfel încât )Q,Q( BAΠ =maxim. Avem deci:

( )( ) ( )

( )( ) ( )

=−++++=∂

Π∂

=−++++=∂

Π∂

0)Q(CmQQpQQQQ'pQ

0)Q(CmQQpQQQQ'pQ

BBBABABAB

AABABABAA

unde CmA și CmB sunt costurile marginale corespunzătoare celor două firme A și B. Din relația de mai sus, rezultă:

CmA(QA)=CmB(QB) deci la optim costurile marginale ale celor două firme trebuie să fie egale. Dacă una dintre firme va avea un cost marginal mai ridicat decât al celeilalte, atunci producția acesteia va trebui sporită până la egalitatea costului marginal al ei cu cel al firmei dominante.

Să considerăm deci producțiile optime ale celor n firme ca fiind: *AQ , *

BQ . Din

relația de optim de mai sus, am văzut că:

( )( ) ( )( )( ) ( )

=−++++=−++++

0)Q(CmQQpQQQQ'p

0)Q(CmQQpQQQQ'p

BBBABABA

AABABABA

sau altfel:

( ) ( )( )( ) ( )( )

++−=−+++−=−+

BABABBBA

BABAAABA

QQQQ'p)Q(CmQQp

QQQQ'p)Q(CmQQp

de unde:

( ) ( )( )BABABBAABA QQQQ'p2)Q(Cm)Q(CmQQp2 ++−=−−+

Pe de altă parte, profiturile celor două firme sunt:

( )( )

−+=Π−+=Π

)Q(CTQQQp)Q(

)Q(CTQQQp)Q(

BBBBABB

AAABAAA

Adunând variațiile de profit individual pentru toate firmele implicate în cartel, rezultă:


129

( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( )

( )( ) 0QQQQ'p

)Q(Cm)Q(CmQQp2QQQQ'p

)Q(CmQQpQQQ'p

)Q(CmQQpQQQ'pQQ

BABA

BBAABABABA

BBBABBA

AABAABAB

B

A

A

>++−=−−++++

=−+++

+−+++=∂Π∂

+∂Π∂

datorită faptului că bunul fiind normal: 'p <0.

În situaţia în care una dintre firme, de exemplu A, crede că cealaltă firmă va

respecta termenii înțelegerii cartelului și nu va modifica producția, deci: B

B

Q∂Π∂

=0 atunci, din relația de mai sus, rezultă: A

A

Q∂Π∂

>0 deci firma va fi tentată să își

mărească unilateral producția în scopul majorării profitului. Pe de altă parte, din relația de mai sus, rezultă:

( )( )B

BBABA

A

A

QQQQQ'p

Q ∂Π∂

−++−=∂Π∂

În situația în care firma A consideră că firma B nu respectă înțelegerea

cartelului și produce mai mult, cum la optim *B

*A QQ + =constantă=Q* rezultă:

( )B

B**

A

A

QQQ'p

Q ∂Π∂

−−=∂Π∂

. Firma B producând mai mult va înregistra o creștere

a profitului său adică B

B

Q∂Π∂

>0 de unde A

A

Q∂Π∂

va evolua în sens contrar și cum

producția la optim a firmei A avea =0 aceasta va deveni negativă.

Prin urmare, la o încălcare a înțelegerii de către partener, firma A își va diminua profitul. Ca urmare a acestei suspiciuni, firma își va majora producția înainte de a se întâmpla acest lucru. Observăm deci că, în absența unor reglementări foarte stricte și a unui control riguros, orice firmă din cadrul cartelului este tentată să își mărească producția pentru a obține o sporire a profitului. Ca un caz particular, să considerăm cazul a două firme A și B ce înregistrează

costuri marginale constante: CmA=α și CmB=β, funcția de preț fiind de forma:

p(Q)=a-bQ, a>α,b>0 aceeași pentru cele două firme. Avem:

( )( )( ) )Q(CT)Q(CTQQQQba)Q,Q( BBAABABABA −−++−=Π

și condițiile de maximizare a profitului:

( )

( )

=β−+−=∂

Π∂

=α−+−=∂

Π∂

0QQb2aQ

0QQb2aQ

BAB

BAA

A

A

Q∂Π∂


130

Am văzut mai sus că pentru existența producțiilor optime, avem: α=β, iar din sistemul de mai sus:

b2

aQQ *

B*A

α−=+

prețul de vânzare fiind:

p*=a-bb2

a α−=

2

a α+

În cazul echilibrului Cournot, avem (secțiunea 5.3.3):

b3

a

b3

2aQ*

c,A

α−=

β+α−= ,

b3

a

b3

2aQ*

c,B

α−=

α+β−=

de unde: b3

)a(2QQ *

c,B*

c,A

α−=+ .

Prețul de vânzare este:

*cp =a-b )QQ( *

c,B*

c,A + =b3

)a(2ba

α−− =

3

2a α+

Avem acum:

( ) ( )b6

)a(

b3

)a(2

b2

aQQQQ *

c,B*

c,A*B

*A

α−−=

α−−

α−=+−+ <0

p*- *cp =

2

a α+-

3

2a α+=

3

a α− >0

Ca urmare a acestor considerații, rezultă că producția totală în cazul cartelului este mai mică decât cea rezultată în cadrul competiției de oligopol, prețul de vânzare crescând.


131

Sarcina de lucru 6

1.Se consideră două firme A si B în care A este lider de productie. Functia inversa a cererii este P(Q)=51−2Q. Costul total al firmei A este CTA(QA)=11 + 21QA. Costul total al firmei B este CTB(QB)=2 + 8QB. Să se determine productiile ce maximizează profiturile celor două firme, profiturile acestora si pretul la care se vinde productia.

2.Se consideră două firme A si B în care A este lider de productie.

Functia inversa a cererii este P(Q)=87−3Q. Costul total al firmei A este CTA(QA)=96 + 20QA. Costul total al firmei B este CTB(QB)=88 + 4QB. Să se determine productiile ce maximizează profiturile celor două firme, profiturile acestora si pretul la care se vinde productia.

3.Se consideră două firme A si B în care A este lider de pret. Functia inversa a cererii este p(Q)=91−13Q. Costul total al firmei A este CTA(QA)=31+15QA. Costul total al firmei B este CTB(QB)=5+5QB +46QB

2. Să se determine productiile ce maximizează profiturile celor două firme, profiturile acestora si pretul la care se vinde productia.

4.Se consideră două firme A si B în care A este lider de pret. Functia inversa a cererii este p(Q)=86-5Q. Costul total al firmei A este CTA(QA)=14+42QA. Costul total al firmei B este CTB(QB)=3+28QB +30QB

2. Să se determine productiile ce maximizează profiturile celor două firme, profiturile acestora si pretul la care se vinde productia.

5.Se consideră două firme A si B care actionează independent. Functia inversa a cererii este P(Q)=48−4Q (unde Q=QA+QB). Costul total al firmei A este CTA(QA)=3 + 4QA. Costul total al firmei B este CTB(QB)=20+12QB. Să se determine productiile ce maximizează profiturile celor două firme, profiturile acestora si pretul la care se vinde productia.

6.Se consideră două firme A si B care actionează independent. Functia inversa a cererii este P(Q)=96−7Q (unde Q=QA+QB). Costul total al firmei A este CTA(QA)=7+23QA. Costul total al firmei B este CTB(QB)=3+6QB. Să se determine productiile ce maximizează profiturile celor două firme, profiturile acestora si pretul la care se vinde productia.


132

Test de autoevaluare Oligopol – lider de producție Se consideră două firme A si B în care A este lider de productie. Functia inversa a cererii este P(Q)=90−3Q.( Q=QA+QB) Costul total al firmei A este CTA(QA)=20 + 3 QA. Costul total al firmei B este CTB(QB)=16 + 3 QB, Q Să se determine productiile ce maximizează profiturile celor două firme, profiturile acestora si pretul la care se vinde productia. Rezolvare Profitul firmei A: ΠA=pQA-CTA ΠA=(90 � 3+,- . ,/&,- � 20 � 3,-0 �� ΠA=90QA-3QA

2-3QAQB-20-3QA=87QA-3QA

2-3QAQB-20 Profitul firmei B va fi: ΠB=pQB-CTB ΠB=(90 � 3+,- . ,/&,/ � 16 � 3,/0 �� ΠA=90QB-3QAQB -3QB

2-16-3QB=87QB-3QAQB-3QB

2-16

Derivând funcția profitului firmei B, 23

24=0 �� 87-3QA-6QB=0 �� QB=14,5-

0,5QA

Revenind la profitul firmei A și înlocuind QB=14,5-0,5QA �� ΠA=90QA-3QA

2-3QA(14,5-0,5QA)-20-3QA �� ΠA=43,5QA-1,5QA2-20

Derivând funcția profitului firmei A, 23�

24�=0 ��43,5=3 QA �� QA=14,5 și

QB=7,25 Producția totală a pieței este Q=QA+QB=21,75 Prețul la care se vinde producția îl determinăm înlocuind Q în funcția invesră a cererii rezultând p=24,75 Pentru determinarea profitului fiecărei firme, vom afla veniturile și costurile acestora. VTA=PQA=358,87; CTA=63,5 �� ΠA=295,37 VTB=179,437; CTB=37,75 �� ΠB=141,7 Oligopol – lider de preț

Se consideră două firme A si B în care A este lider de pret. Functia inversa a cererii este p(Q)=54−2Q. Costul total al firmei A este CTA(QA)=75 + 16QA. Costul total al firmei B este CTB(QB)=2 + 19 QB + 26 QB

2. Să se determine productiile ce maximizează profiturile celor două firme, profiturile acestora si pretul la care se vinde productia. Rezolvare: Determinăm mai intâi expresia cererii in funcție de preț. Din p(Q)=54−2Q ��2Q=54-p��Q=27-0,5p ΠA=pQA-CTA= pQA-75-16QA ΠB=pQB-CTB= pQB-2-19QB -26QB

2

Pentru maximizarea profitului firmei B avem 2324

=0 ��

Rezumat Oligopolul reprezintă situația unei piețe în care există un număr mic de ofertanți (cel puțin doi) al unui bun nesubstituibil și un număr suficient de mare de consumatori. Oligopolul compus din doi producători se numește duopol. Cartelul reprezintă situația în care acestea colaborează în vederea stabilirii producției ce va maximiza profitul total, urmând ca ulterior acestea să și-l împartă între ele.


133

p-19-52QB=0 �� p-19=52QB�� QB=0,01925p-0,3653 Deoarece firma B își va stabili producția ținând seama de prețul dictat de firma A, firma A își va restrange producția la QA=Q(p)-QB(p) rezultând: QA=(27-0,5p)-(0,01925p-0,3653) ��QA=27,365-0,51925p Intorcându-ne la profitul firmei A, ΠA=pQA-CTA= pQA-75-16QA �� ΠA=p(27,365-0,51925p)-75-16(27,365-0,51925p) �� ΠA=35,673p-0,51925p2-512,365

Pentru maximizarea profitului firmei A avem 23�24�

=0 �� 35,673-1,0385p=0 ��

p=34,35 Înlocuind p atât în producția cât și în funcția profitului celor două firme �� QA=0,2959; QB=9,528; ΠA=99,8388; ΠB=0,26 Oligopol – echilibrul Cournot Se consideră două firme A si B care actionează independent. Functia inversa a cererii este P(Q)=83−3Q (unde Q=QA+QB). Costul total al firmei A este CTA(QA)=24 + 25QA. Costul total al firmei B este CTB(QB)=16 +24QB. Să se determine productiile ce maximizează profiturile celor două firme, profiturile acestora si pretul la care se vinde productia. ΠA=pQA-CTA= pQA-24-25QA ΠB=pQB-CTB= pQB-16-24QB

ΠA=(83 � 3+,- . ,/&0,--24-25QA �� ΠA=83QA-3QA2-3QAQB-24-25QA

�� ΠA=58QA-3QA2-3QAQB-24

Pentru maximizarea profitului firmei A avem 23�24�

=0 �� 58-6QA-3QB=0 ��

QA=9,66-0,5QB

ΠB=(83 � 3+,- . ,/&0,/-16-24QB �� ΠB=83QB-3QB2-3QAQB-16-24QB��

ΠB=59QB-3QAQB-3QB2-16

2324

=0 ��59-3QA-6QB=0 �� 59-3QA=6QB

Înlocuind QA în derivata de ordinul I a profitului (B)�� 59-3(9,66-0,5QB)=6QB �� QB=6,667 QA=6,32 Q=QA+QB=12,99 P=44 Cunoscând producția și prețul se poate afla profitul fiecărei firme ΠA=44∙6,32-24-25∙6,32=96,08 ΠB= 44∙6,667-16-24∙6,667=117,34





134

7. EFICIENȚA ECONOMICĂ

Eficiența economică 115

Rezumat 120



121








Eficiența consumului Să considerăm, în cele ce urmează, doi consumatori A și B și un număr de două bunuri B1 și B2, disponibile în cantitățile c1,c2, pentru care se cunosc funcțiile de utilitate ale lui A, respectiv B și anume: U=UA(x1,x2), respectiv U=UB(x1,x2) corespunzătoare consumului a x1 unități de bun B1, respectiv x2 unități de bun B2.

Vom presupune, în cele ce urmează, că funcțiile de utilitate sunt de clasă C2 pe interiorul spațiului de consum.

Este, de asemenea, cunoscut faptul că utilitatea marginală este descrescătoare. Vom presupune, de asemenea, că funcțiile de utilitate sunt concave. Vom construi în cele ce urmează cutia lui Edgeworth ce constă în dreptunghiul:

[0,c1]×[0,c2], cantitățile relative la A fiind raportate la originea O(0,0), iar cele la B la punctul F(c1,c2) pe segmentele ce definesc dreptunghiul.

Fie o alocare de consum inițială pentru A și B:

xA=(α1,α2), xB=(β1,β2)

unde α1+β1=c1, α2+β2=c2 (A și B consumând tot disponibilul de produse).


135

Cutia lui Edgeworth

Fig.53 Utilitățile corespunzătoare celor doi vectori de consum inițial sunt deci:

UA,0=UA(α1,α2), respectiv UB,0=UB(β1,β2) raportate la O, respectiv F.

Deoarece β1=c1-α1, β2=c2-α2 obținem: UB,0=UB(c1-α1,c2-α2). Funcția de utilitate a lui B devine deci în raport cu A:

U= BU (x1,x2)=UB(c1-x1,c2-x2)

De acum înainte, pe parcursul prezentării problemei, vom considera funcția de utilitate a lui B de această formă. Avem acum:

−=∂∂

−=∂

−−∂=

∂∂

=

−=∂∂

−=∂

−−∂=

∂∂

=

22

11

x,Bm2

B

2

2211B

2

Bx,Bm

x,Bm1

B

1

2211B

1

Bx,Bm

Ux

U

x

)xc,xc(U

x

UU

Ux

U

x

)xc,xc(U

x

UU

ji

B2

i

2211B

jji

B2

xx

U

x

)xc,xc(U

xxx

U

∂∂∂

=

∂−−∂

−∂∂

=∂∂

∂, i,j= 2,1

deci funcția BU este tot concavă, dar are derivatele parțiale negative.

Considerând curbele de izoutilitate, rezultă că (raportat la O) cea a lui A este convexă, iar cea a lui B este concavă (fig.54).


136

Cutia lui Edgeworth – curbele de izoutilitate

Fig.54

Fie: ZUA,0={(x1,x2)∈SCUA(x1,x2)≥UA,0} – zona de consum a lui A de utilitate superioară lui UA,0 (aflată la “dreapta” curbei de izoutilitate a lui A) și

ZUB,0={(x1,x2)∈SC (x1,x2)≤ 0,BU } – zona de consum a lui B de utilitate

superioară lui UB,0 (aflată la “stânga” curbei de izoutilitate a lui B). Să

presupunem acum că 0,B0,A ZUZU ∩ ≠∅.

Să considerăm acum un punct C(γ1,γ2)∈ 0,B0,A ZUZU ∩ și dreapta ce

trece prin origine și prin C. Să notăm D(d1,d2) intersecția acesteia cu hipersuprafața de utilitate UA=UA,0 și cu E(e1,e2) intersecția acesteia cu

hipersuprafața de utilitate = . Avem deci: UA(d1,d2)=UA,0 și BU

(e1,e2)= . Cum însă (γ1,γ2)>(d1,d2) din axioma relației de preferință pe clase

rezultă că C este preferat lui D (relativ la consumatorul A) deci

UA(C)>UA(D)=UA,0. Analog, (γ1,γn)<(e1,e2) implică faptul că C este preferat lui

E (relativ la consumatorul B) deci (C)< BU (E)= 0,B'U .

Fig.55

BU

BU 0,BU

0,BU

BU


137

Ca urmare a acestor considerații, rezultă că dacă

0,B0,A ZUZU ∩ ≠∅ atunci fiecare dintre cei doi consumatori își poate spori

utilitatea, deci alocarea inițială nu este optimă. Vom numi eficiență Pareto situația în care niciun consumator

nu-și poate îmbunătăți alocarea fără afectarea intereselor celuilalt. Din cele de mai sus, rezultă că eficiența Pareto se obține în situația în care curbele de utilitate devin tangente.

Condiția de tangență pentru U=UA(x1,x2) și U= BU (x1,x2)= UB(c1-x1,c2-x2) se

reduce la determinarea acelor puncte (x1,x2) pentru care:

∂∂

λ=∂∂

∂∂

λ=∂∂

2

B

2

A

1

B

1

A

x

U

x

Ux

U

x

U

, λ∈R

adică acele puncte în care curbele se intersectează și au aceeași tangentă. În

termenii utilităţii lui B, avem: )x,x(x

U21

i

B

∂∂

= )xc,xc(x

U2211

i

B −−∂∂

− , i= 2,1 de

unde condiția de mai sus devine:

( ) ( )

( ) ( )

−−∂∂

µ=∂∂

−−∂∂

µ=∂∂

22112

B21

2

A

22111

B21

1

A

xc,xcx

Ux,x

x

U

xc,xcx

Ux,x

x

U

, µ∈R

unde am renotat noua constantă cu µ. În notație marginală, avem:

( ) ( )( ) ( )

−−µ=−−µ=

2211x,Bm21x,Am

2211x,Bm21x,Am

xc,xcUx,xU

xc,xcUx,xU

22

11 , µ∈R

sau altfel: 2

1

2

1

x,Bm

x,Bm

x,Am

x,Am

U

U

U

U= . Pe de altă parte, A

1

2

x,Am

x,Am

dx

dx

U

U

2

1 = = RMSA(B1,B2)

– rata marginală de substituție între bunurile B1 și B2 pentru A, iar

B1

2

x,Bm

x,Bm

dx

dx

U

U

2

1 = =RMSB(B1,Bx2) – rata marginală de substituție între bunurile

B1 și B2 pentru B. Egalitatea de mai sus, devine: RMSA(B1,B2)= RMSB(B1,B2). Totalitatea punctelor în care alocarea este eficientă Pareto (soluțiile problemei

de mai sus) formează așa-numita curbă a contractelor.


138

Curba contractelor

Fig.56 Curba contractelor reprezintă totalitatea combinațiilor de bunuri pentru care niciuna dintre părți nu își poate maximiza utilitatea fără a i-o diminua celuilalt. Pe de altă parte, orice punct al curbei contractelor reprezintă o alocare posibilă. Problema care apare este următoarea: dacă unul dintre cei doi cumpărători dorește un coș de produse ce îi maximizează utilitatea, celălalt cumpărător este de acord să achiziționeze ceea ce mai rămâne? Problema este foarte reală și, din fericire, relativ simplu de rezolvat.

Să considerăm deci prețurile celor două bunuri (pe care le-am neglijat

până în acest moment) ca fiind p1,p2. Pentru un venit V, dreapta de buget: p1x1+p2x2=V (totalitatea combinațiilor de bunuri ce pot fi achiziționate cu suma

V) maximizează utilitatea (în cadrul cererii de tip Walras) dacă este tangentă curbei de izoutilitate, caz în care, din legea a doua a lui Gossen, utilitățile marginale sunt proporționale cu prețurile bunurilor. Cum fiecare consumator își dorește maximizarea utilității, rezultă:

−−=

−−

=

2

2211x,Bm

1

2211x,Bm

2

21x,Am

1

21x,Am

p

)xc,xc(U

p

)xc,xc(Up

)x,x(U

p

)x,x(U

21

21

deci dreapta bugetului va fi tangentă la cele două curbe de izoutilitate adică va coincide cu tangenta comună la acestea. Considerând curba contractelor de forma:

x1=f(λ),x2=g(λ), λ∈R rezultă că determinarea preţurilor se va face dintr-o singură serie de egalități de mai sus (cealaltă derivând din proporționalitatea utilităților marginale pe curba

contractelor). Obținem deci:

2

x,Am

1

x,Am

p

))(g),(f(U

p

))(g),(f(U21

λλ=

λλ

de unde 1x,Am

x,Am

2 p))(g),(f(U

))(g),(f(Up

1

2

λλ

λλ= . Notând acum ν=p1 putem scrie:


139

νλλ

λλ=

ν=

))(g),(f(U

))(g),(f(Up

p

1

2

x,Am

x,Am

2

1

, ν>0

Observăm că prețurile sunt determinate până la un factor multiplicativ,

fapt ce nu afectează rezultatul problemei. Putem considera ν=1 datorită faptului că o multiplicare a prețurilor cu un factor constant nu afectează panta dreptei de buget.

Dacă alocarea inițială a fost xA=(α1,αn), xB=(β1,βn) rezultă că bugetul lui

A este: V=p1α1+p2α2. Noile cantități (ce satisfac, de asemenea, ecuația

bugetului: p1x1+p2x2=V) implică:

p1(α1-x1)+p2(α2-x2)=0 Înlocuind expresiile lui p1 și p2 de mai sus în această ecuație, rezultă:

( )( ) ( )( ) 0g))(g),(f(U

))(g),(f(Uf 2

x,Am

x,Am

1

1

2 =λ−αλλ

λλ+λ−α

sau altfel:

( )( ) ( )( ) 0g))(g),(f(Uf))(g),(f(U 2x,Am1x,Am 21=λ−αλλ+λ−αλλ

de unde rezultă λ∈R. Înlocuind în expresiile corespunzătoare, rezultă pk și xk,

k= .

2,1

Sarcina de lucru 7

Fie două bunuri B1 și B2 disponibile în cantitățile 30 și 50 bucăți. Considerând doi consumatori A și B ale căror suprafețe de utilitate sunt de tip Cobb-Douglas:

UA(x1,x2)= 7,02

3,01 xx10 , respectiv UB(x1,x2)= 6,0

24,0

1 xx5 :

a) Să se determine curba contractelor; b) Să se traseze graficul curbei contractelor; c) Să se determine prețurile celor două bunuri ce maximizează utilitățile lui A

și B în condițiile unei alocări inițiale pentru A: *1x =10, *

2x =20;

d) Să se determine în condițiile de la punctul c) alocările finale de bunuri pentru cumpărătorul A.


140

Test de autoevaluare I. Fie două bunuri B1 și B2 disponibile în cantitățile 30 și 50 bucăți. Considerând doi consumatori A și B ale căror suprafețe de utilitate sunt de tip Cobb-Douglas:

UA(x1,x2)= 7,02

3,01 xx10 , respectiv UB(x1,x2)= 7,0

23,0

1 xx10 :

a) Să se determine curba contractelor; b) Să se determine prețurile celor două bunuri ce maximizează utilitățile lui A și

B în condițiile unei alocări inițiale pentru A: 6,02

4,01xx5 =10, *

2x =20;

c) Să se determine în condițiile de la punctul b) alocările finale de bunuri pentru cumpărătorul A. Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testul de autoevaluare

I. a) Curba contractelor este graficul funcției: g(x1)=54x

x140

1

1

+; b) p1=1 și p2=

06,160

5433,9=

+; c) x1=9,33, x2= 63,20

5433,9

33,9140=

+⋅

. Pentru o analiză corectă

primiți 5 puncte.




Rezumat Se numește eficiență Pareto situația în care niciun consumator nu-și poate îmbunătăți alocarea fără afectarea intereselor celuilalt. Totalitatea punctelor în care alocarea este eficientă Pareto formează așa-numita curbă a contractelor.


141

pre Țuri Și concuren ȚĂ anul ii, semestrul...

Documents