placa circulara

4 PLĂCI CIRCULARE CU SĂGEŢI MICI 4.1 INTRODUCERE

Prin intersecţia a două suprafeţe cilindrice circulare concentrice (C, Ci) cu alte două suprafeţe (S1, S2) obţinute prin rotaţia în jurul axei cilindrilor a două curbe coplanare cu această axă şi concurente cu ea, se obţine un corp cu simetrie axială. Un astfel de corp se numeşte placă circulară, atunci când distanţele dintre perechile de puncte obţinute prin intersecţia suprafeţelor S1, S2 cu drepte paralele cu axa sunt mai mici decât R/5, unde R este raza cilindrului exterior. Suprafeţele (C, Ci) se numesc contururi, suprafeţele (S1, S2) se numesc feţe iar distanţele dintre ele, grosimi. Punctele situate la mijlocul segmentelor ce definesc grosimile formează suprafaţa mediană a plăcii. În figura 4.1 este reprezentată o placă circulară cu grosime constantă (feţe plane). În coordonate cilindrice, contururile interior şi exterior al suprafeţei mediane au ecuaţiile r = Ri respectiv r = R iar feţele plăcii, .

Fig. 4.1

În figura 4.1, a sunt reprezentate câteva plăci circulare cu grosime constantă şi variabilă, în trepte sau continuu. În cele ce urmează se va prezenta numai placa circulară de grosime constantă, frecvent întâlnită în practică.

Ca şi plăcile dreptunghiulare, plăcile circulare pot fi încărcate cu forţe normale pe feţele plăcii – concentrate (F, [ N ] ) sau/şi distribuite ( p (r, ), [ N / m2] ), cu forţe aplicate contururilor plăcii – paralele cu axa plăcii (q1(), q2(), [N /m]) sau/şi cu planul median al plăcii (q, qi , [N /m] ), cu momente concentrate (M

r, M , [N m] ), cu momente distribuite pe contururile plăcii (mr1(), mr2(), [N m/m] ) (v.

fig. 4.1, b), precum şi cu deplasări prescrise. Pe contururi sau/şi pe feţe pot fi aplicate legături – rigide sau elastice, distribuite sau concentrate. Frecvent, plăcile circulare sunt încărcate cu sarcini distribuite normale iar legăturile, uzual rezeme simple sau încastrări, sunt prevăzute numai pe contururi. Unul din contururi poate fi şi liber.

4.2 ECUAŢIA DIFERENŢIALĂ A ÎNCOVOIERII PLĂCII CU SĂGEŢI MICI ÎN COORDONATE POLARE

Dată fiind configuraţia geometrică a plăcile circulare, este avantajos ca studiul acestora să se facă în coordonate polare. Se folosesc aceleaşi ipoteze care au fost utilizate la studiul plăcii în coordonate rectangulare, adică materialul se consideră continuu, omogen, izotrop şi liniar-elastic iar deformarea

qi

zh

F

mr

pr

mr

q rj

rh(r)

q2

a) b)

q1

x

ry

R

q

Ri

M

y

(F)

Mr

q

x

C

C

qi

r

S2

S1

S1

S1

S1

S2

S2

S2

S1

S2

S2

S1

S1

S2

S1

S2

REZISTENTA MATERIALELOR III

plăcii circulare are loc în conformitate cu ipoteza lui Kirchhoff. Influenţa asupra săgeţii w a încărcărilor q, qi aplicate în planul plăcii se neglijează. Relaţiile de la încovoierea plăcii circulare cu săgeţi mici se pot stabili cu uşurinţă trecând în coordonate polare relaţiile stabilite la studiul plăcii în coordonate rectangulare. Între coordonatele rectangulare x, y şi cele polare r, există relaţiile

x = r cos , y = r sin , , (4.1)

din care se obţine imediat

, ; (4.2)

, . (4.3)

Observând că x = x (r, ) şi y = y (r, ), din , rezultă

operatorii /x, /y în coordonate polare,

, . (4.4)

Folosind relaţiile (4.4), operatorii de derivare de ordinul al doilea devin,

;

; (4.5)

,

sau, dezvoltat,

;

; (4.6)

.

Se scrie în coordonate polare operatorul lui Laplace,

, (4.7)

şi dublul operator al lui Laplace,

77

CAP 4. PLĂCI CIRCULARE CU SĂGEŢI MICI

. (4.8)

Substituind (4.8) în ecuaţia Sophie-Germaine, rezultă ecuaţia diferenţială a încovoierii plăcilor circulare cu săgeţi mici,

, (4.9)

sau, dezvoltat,

, (4.10)

undew = w(r, ) . (4.11)

Ecuaţia (4.10) serveşte la studiul încovoierii plăcilor cu orice încărcări. Dacă grosimea este variabilă dar cu simetrie axială, h (r), rigiditatea D este funcţie de r.

4.3 EFORTURI ŞI TENSIUNI ÎN COORDONATE POLARE

Suprapunând axa polară r peste x, expresiile eforturilor Mr , M , Mr , Tr , T devin identice cu cele dinn coordonare rectangulare, Mx , My , Mxy, Tx , Ty ( = 0, fig. 4.2, a).

Fig. 4.2

Efectuând substituirea indicilor în relaţiile

, ,

, , ,

concomitent cu înlocuirile (v. şi (4.4), (4.6))

, ,

, , ,

rezultă următoarele expresii pentru eforturi în plăcile circulare :

d

a) b)

T

T

TrMr

M

Mr

x

r

y

Tr

M

Mr

Mr

Mr

Mr

78


, ,

(4.12)

, .

Tensiunile normale şi tensiunile tangenţiale de lunecare în placa circulară se calculează cu relaţii similare celor de la placa dreptunghiulară :

, ; (4.13, a)

, ; (4.13, b)

, . (4.13, c)

Ca şi la placa dreptunghiulară, tensiunile tangenţiale de forfecare pentru placa circulară au variaţii parabolice pe înălţimea secţiunii, cu valori maxime pentru z = 0,

, . (4.13, c)

4.4 PLACA CIRCULARĂ CU SIMETRIE AXIALĂ

Dacă o placă are contururi circulare şi este încărcată numai cu sarcini axial simetrice – care nu depind de unghiul – şi dacă nici reacţiunile de pe contururile ei nu depind de , placa se deformează după o suprafaţă de revoluţie, adică

w = w (r) . (4.14)

În probleme axial-simetrice, operatorii şi au expresiile :

; (4.15, a)

, (4.15, b)

sau

. (4.15, c)

Substituind (4.15, b sau c în ecuaţia Sophie-Germaine, rezultă ecuaţia diferenţială a încovoierii axial simetrice a plăcilor circulare cu săgeţi mici,

, (4.16)

sau

. (4.17)

Din (4.12) rezultă expresiile pentru eforturi în placa circulară încovoiată axial-simetric,

79


, , Mr = Mr = 0 ; (4.18, a)

, T = 0 . (4.18, b)

4.4.1 Integrarea ecuaţiei diferenţiale a încovoierii axial simetrice a plăcilor circulare

Dacă se consideră forma (4.17) a ecuaţiei diferenţiale, soluţia acesteia se obţine cu uşurinţă prin integrări succesive :

, (4.19, a)

,

, (4.19, b)

,

, (4.19, c)

,

. (4.19, d)

Soluţia generală are deci forma

w (r) = wo (r) + wp

(r) , (4.20)unde wo este soluţia omogenă,

wo (r) = C 1 + C 2 r

2 + C 3 ln r + C 4 r 2 ln r , (4.21)

iar wp este soluţia particulară,

. (4.22)

Dacă se foloseşte forma (4.16), care este o ecuaţie diferenţială tip Euler, se consideră mai întâi ecuaţia diferenţială omogenă.

Prin schimbarea de variabilă r = et, ecuaţia diferenţială omogenă devine cu coeficienţi constanţi. Ea admite soluţii de forma wi = e

pt = (e t) p = r

p, unde p sunt rădăcini ale ecuaţiei caracteristice care se obţine înlocuind wi în ecuaţia diferenţială omogenă,

p (p – 1) (p – 2) (p – 3) + 2 p (p – 1) (p – 2) – p (p – 1) + p = 0 p2 (p – 2)2 = 0 .

80


Ecuaţia caracteristică obţinută are rădăcinile multiple p1 = p2 = 0 şi p3 = p4 = 2. Ecuaţia diferenţială omogenă admite deci soluţia generală w (t) = (C 1 + C 3 t) eo + (C 2 + C 4 t) e2t. Revenind la variabila iniţială prin substituţiile t = ln r şi e2t = r2, rezultă (4.21).

Soluţia particulară depinde de forma funcţiei p(r). Dacă această funcţie este polinomială de grad n în r,

, (4.23)

soluţia particulară se ia de forma . Din condiţia ca wp(r) să verifice ecuaţia diferenţială

(4.16), se obţine relaţia , care poate fi satisfăcută numai dacă j = k + 4.

Prin identificarea coeficienţilor rezultă

, (4.24)

adică soluţia particulară a ecuaţiei diferenţiale a încovoierii axial-simetrice a plăcii circulare cu săgeţi mici, cu o încărcare variabilă după legea polinomială (4.23, este dată de relaţia

. (4.25)

Soluţia obţinută mai sus (prin două procedee) pentru ecuaţia diferenţială (4.16) este acceptabilă matematic, când variabila r este fără dimensiuni. Din punct de vedere fizic este necesar ca funcţia log să nu depindă de unitatea de măsură folosită. În acest sens se va înlocui ln r cu ln (r / R) = ln r – ln R. Apar astfel termenii suplimentari – C3 ln R şi – C4 r2 ln R, care se includ în constantele C1 respectiv C2

(deocamdată arbitrare, ele urmând a se determina din condiţiile la limită). Este raţional de asemenea să se înlocuiască r2 cu r2/R2. Soluţia generală este deci

. (4.26)

Se determină soluţia particulară în cazurile din figura 4.3. Se poate folosi relaţia (4.25) sau integrala (4.22).

1) p (r) = const. = p (fig. 4.3, a). În acest caz : k = 0, Ao = p / D şi deci

. (4.27)

2) p (r) = pr / D (fig. 4.3, b), adică Ao = 0, A1 = pr / (RD). Rezultă

. (4.28)

3) p (r) = p (R – r) / R D (fig. 4.3, c). Se efectuează integrala (4.22) sau se fac în (4.25) înlocuirile Ao

= p / D şi A1 = – pr / (RD) sau se folosesc rezultatele de la 1) şi 2). Rezultă

81


. (4.29)

Fig. 4.3

4.4.2 Condiţii la limită

Constantele de integrare C1 , C2 , C3 , C4 se obţin din 4 condiţii la limită. Ecuaţia diferenţială fiind de ordinul al patrulea, în condiţiile la limită scrise pentru contururile r = Ri şi r = R ale plăcii va interveni funcţia w (r) şi derivatele până la ordinul al treilea ale acesteia,

; (4.30, a)

; (4.30,b)

. (4.30, c)

Dacă placa circulară este continuă, adică fără gol central, ea este mărginită de un singur contur. În

centrul plăcii, , . (4.31)

Din relaţiile (4.26) şi (4.18), (4.30) se observă că expresiile momentelor şi săgeţii conţin funcţia ln (r/R), care devine infinită în centrul plăcii (r = 0). Dar săgeata şi momentele nu pot deveni infinite. Rezultă C 3 = 0, C 4 = 0 şi relaţiile (4.26), (4.30) devin :

; (4.32)

, , . (4.33)

Constantele C1 , C2 se obţin din 2 condiţii la limită scrise pentru conturul r = R.

Se prezintă câteva cazuri de condiţii la limită frecvent întâlnite.

1) Contur încastrat :

w = 0 , . (4.34)

2) Contur simplu rezemat. Ţinând seama că pe un astfel de contur tensiunile radiale sunt nule, adică Mr = 0, rezultă

w = 0 , . (4.35)

3) Contururi (r = Ri sau / şi r = R) încărcate cu forţe (q1 sau/şi q2) sau / şi momente radiale (mr1 sau / şi mr2) (v. figura 4.1, b),

R

p p(r)

a)

Rr

R Rr

R

p p p(r)

Rr

p

b) c)

82


, ; (4.36, a)

, . (4.36, b)

În cazul particular când conturul este liber de legături şi de încărcări :

, . (4.37)

4.5 APLICAŢII

4.5.1 Metoda analitică

1) Placa circulară continuă, simplu rezemată pe contur, încărcată uniformă (v. fig. 4.4).

Fig. 4.4

În acest caz, soluţia ecuaţiei diferenţiale este

. (4.38)

Din condiţiile la limită scrise pentru r = R, rezultă sistemul

, ,

din care se obţin constantele C 1 , C 2 ,

, .

Înlocuind constantele în soluţia scrisă mai sus, rezultă funcţia săgeată

. (4.39)

Săgeata maximă, la r = 0, este

. (4.40)

a)

b)–

p(r) = const. = p

0,0875pR 20,5pR

TM

Rr

R

Mr

+

0,206 pR2

83


Cunoscând funcţia w(r), din (4.18) se obţin expresiile eforturilor,

, , . (41)

Ca şi la bare, eforturile se pot reprezenta grafic. Din diagramele desenate în figura 4.4 se observă că, în centrul plăcii,

Mr (0) = M

(0) = .

Pentru = 0,3 (oţel),

Mr (0) = M

(0) = 0,206 pR2 .

Pe conturul plăcii, cu = 0,3, rezultă

Mr (R) = 0 , M

(R) = – 0,0875 pR2 .

Tensiunile extreme apar în centrul plăcii, unde direcţiile r şi se confundă,

. (4.42)

2) Placa circulară continuă, încărcată uniform şi încastrată pe contur (v. fig. 4.5).

.

Fig. 4.5

Soluţia ecuaţiei diferenţiale este aceeaşi ca în cazul precedent.

Din condiţiile la limită scrise pentru r = R, rezultă sistemul

, ,

din care se obţine

, .

Înlocuind constantele, rezultă funcţia săgeată

. (4.43)

Săgeata maximă, la r = 0, este

p

r

– 0,5pR

TM

Mr

+

0,0812 pR2

0,0375pR2

0,125pR2

A

p(r) = const. = p

Rr

R

B

B

A

84


. (4.44)

Cunoscând w(r) se obţin eforturile

, , . (4.45)

În figura 4.5 sunt reprezentate diagramele de momente. Se observă că (aşa cum se întâmplă şi la bare) aceste diagrame pot fi obţinute din diagramele reprezentate în figura 4.4, prin translaţia în jos a liniilor de referinţă cu 0,125 pR2.

În centrul plăcii,

Mr (0) = M

(0) = .

Luând = 0,3 (pentru oţel), rezultă

Mr (0) = M

(0) = 0,0812 pR2 . Pe conturul plăcii,

Mr (R) = – 0,125 pR2 , M

(R) = – 0,125 pR2 = – 0,0375 pR2 (cu = 0,3) . (46)

Tensiunile extreme apar pe conturul plăcii :

,

. (4.47)

Elementul cel mai solicitat este notat cu B în figura 4.5. Pentru calcule de dimensionare (determinare a grosimii sau razei), de stabilire a presiunii maxime sau de verificare se aplică teoriile de rezistenţă.

Aplicaţie numerică. Să se determine grosimea fundului unui rezervor cilindric din oţel având raza de 40 cm., solicitat de o presiunea p = 0,2 MPa, din condiţia ca săgeata maximă a fundului să nu depăşească 0,2 din grosimea acestuia. Să se determine apoi tensiunile echivalente după toate teoriile clasice de rezistenţă. Se dau E = 2.1011 Pa şi = 0,3. Porţiunea cilindrică a rezervorului va fi considerată rigidă, adică se va ignora încovoierea acesteia ; în aceste condiţii, placa fundului se consideră încastrată pe conturul ei.

Din relaţia (4.44), rezultă

h = 0,03R = 1,2 cm.

Tensiunile echivalente se calculează în elementul cel mai solicitat (elementul B – figura 4.5), în care tensiunile principale au valorile :

, , .

Rezultă ;

85


;

; ;

.

Tensiunea echivalentă maximă este dată de teoria tensiunii tangenţiale maxime. Ea are valoarea

.

3) Să se scrie condiţiile la limită pentru o placă circulară continuă, încărcată uniform, încastrată pe contur şi consolidată cu o nervură concentrică de înălţime h şi grosime t (v. fig. 4.6).

Pe cele două zone de placă separate de nervură, prima circulară continuă (fără gol central) (0 r (a – t /2) a) şi a doua de forma unei coroane circulare ((a – t /2) a r R) (v. fig. 4.6, a), ecuaţiile suprafeţelor mediane deformate şi primelor trei derivate ale acestora sunt :

, ; (4.48)

, ; (4.49, a)

, ; (4.49, b)

, . (4.49, c)

Nervura joacă pentru placă rolul unei încastrări elastice. Pe circumferinţele r = a, celor două plăci le sunt aplicate din partea nervurii momentele reactive

m = k , (4.50)unde (v. fig. 4.6, b)

m = Mr2 – Mr1 , (4.51)

este unghiul de rotaţie a secţiunii transversale a nervurii, egal cu panta radială a suprafeţei deformate a

plăcilor la raza a, iar k este coeficientul de rigiditate.

Pentru determinarea rigidităţii k, se observă că în secţiunile transversale ale nervurii încărcată cu momentele exterioare m – axial simetrice (v. fig. 4.6, b) – apar momente încovoietoare care se obţin din ecuaţia de echilibru a nervurii secţionată diametral (v. fig. 4.6, d),

. (4.52)

86


Fig. 4.6

Momentele încovoietoare Mî din nervură produc deformaţii specifice circumferenţiale

, (4.53)

variabile liniar cu z. Notând cu La = 2a lungimile fibrelor circumferenţiale de rază a, sub acţiunea tensiunilor x ele devin L'

a = 2(a + a) = La + La = 2a + x La a = x a, sau

, (4.54)

unde

h

a)

b)

d)

Mr2(a)

m

Ht a R

p

Mr1(a)

Mr2(a)

Mr1(a)

Mr1(a) Mr1(a) Mr2(a)Mr2(a)

H

m

z

y

y x

y

x

m

Mî

Mîa

c)

Mî Mî

d

a

x

y

h/2

h/2

m

z

ya

b1)

u(h/2)

87


. (4.55)

Unghiul este dat de relaţia (v. fig. 4.6, b1)

. (4.56)

astfel încât

. (4.57)

Constantele ce intervin în expresiile (4.48) se obţin din următoarele 6 condiţii la limită :

w1 (a) = w2

(a) , ; (4.58, a)

; (4.59, b)

; (4.59, c)

. (4.59, d)

După determinarea constantelor, folosind (4.48), (4.18) şi (4.49 se pot obţine săgeţile, momentele încovoietoare şi forţele tăietoare pentru fiecare din cele două zone ale plăcii, precum şi tensiunile din nervura de rigidizare.

4) Placa circulară continuă, cu încărcare parţială.

a) Placa simplu rezemată pe contur şi încărcată uniform pe o zonă centrală circulară de rază a (v. fig. 4.7, a).

Pe cele două zone formate, prima (0 r a) încărcată şi cea de a doua (a r R) neîncărcată, expresiile deformatelor şi primelor trei derivate ale acestora sunt date de ecuaţiile (4.48) respectiv (4.49, luând p = 0 pe zona a doua.

Cele 6 constante de integrare se determină din condiţiile de continuitate la r = a şi din condiţiile de simplă rezemare la r = R,

w1 (a) = w2

(a) , ; (4.59, a)

; (4.59, b)

; (4.59, c)

88


Fig. 4.7

. (4.59, d)

Înlocuind (4.49 în (4.59), se obţine un sistem de şase ecuaţii cu necunoscutele Ci, 1,6i . După rezolvarea sistemului şi înlocuirea constantelor în (4.48), se obţine

; (4.60, a)

. (4.60, a)

Folosind (4.18), rezultă expresiile momentelor încovoietoare şi ale forţelor tăietoare pentru cele două zone ale plăcii,

a)

p

RRrar

p

Ra

TT

r

R Rr

F

TF

T Tp

p

a')

a'')

b)

c)

c')

ra

R

T

89


; (4.61, a)

; ; (4.61, b)

; (4.61, c)

; . (4.61, d)

Expresiile forţelor tăietoare se puteau obţine direct din ecuaţii de echilibru ale proiecţiilor pe axă ale forţelor ce acţionează asupra unei coroane de rază r (v. fig. 4.7, a', a'')

b) Placa încastrată pe contur şi încărcată uniform pe o zonă centrală circulară de rază a se rezolvă

identic, modificând a doua condiţie din (4.59, d), care devine .

c) Placa circulară continuă, simplu rezemată pe contur şi încărcată uniform pe coroana circulară cu raza interioară a şi cea exterioară R (v. fig. 4.7, b), se rezolvă însumând rezultatele obţinute la aplicaţia 1 cu cele de la p. a) în care p se înlocuieşte cu – p.

5) Placa circulară continuă, rezemată pe contur şi încărcată cu o forţă concentrată aplicată în centrul plăcii (v. fig. 4.7, c). Problema se rezolvă pe baza rezultatelor obţinute în aplicaţia precedentă,

făcând pe a să tindă la zero astfel încât lim2

0lima

p a F

. În acest sens se scrie (4.60, b) sub forma

, (4.62, a)

astfel încât, la limită, rezultă

. (4.63)

Eforturile se obţin trecând la limită în (4.61, c, d),

, , . (64)

În centrul plăcii, săgeata plăcii devine

, (4.65)

iar eforturile (deci şi tensiunile) devin infinite, însă scad repede cu creşterea lui r. În realitate sarcinile concentrate reprezintă o idealizare, orice forţă concentrată fiind repartizată pe o suprafaţă circulară care poate fi foarte mică dar nu nulă. Raza minimă ao a aceastei suprafaţe poate fi determină din condiţiile de satisfacere simultană a condiţiilor de rezistenţă la strivire şi încovoiere,

, . (4.66)

Eliminând forţa F din aceste două relaţii se obţine

90


. (4.67)

6) Să se stabilească schema de calcul şi condiţiile la limită pentru talerul pistonului reprezentat în figura 4.8, a.

Fig. 4.8

Coroana şi butucul fiind rigide şi obligate să aibă deplasări verticale, talerul pistonului se calculează ca o placă supusă încărcărilor şi legăturilor reprezentate în figura 4.8, b. Suprafaţa deformată are ecuaţia

, (4.68)

constantele de integrare urmând a se determina din următoarele condiţii la limită:

; (4.69)

, (4.70)

unde

. (4.71)

F

R

a)

b)

Ro

p

p p

p

91

placa circulara

Documents