FISA CU TEORIE PENTRU CLASA a VII-a

PATRULATERUL CONVEX

. prof. Marius Damian, Braila

Definitia 1. Fie punctele distincte A, B, C, D situate ın acelasi plan. Numim patrulater,

notat ABCD, figura geometrica formata din reuniunea segmentelor rABs, rBCs, rCDs, rDAs,

astfel ıncat:

• oricare trei dintre punctele A, B, C, D sunt necoliniare;

• oricare doua dintre segmentele pABq, pBCq, pCDq, pDAq sunt disjuncte.

(Figurile 1-a si 1-b.)

Figura 1-a Figura 1-b

Patrulaterul ABCD are:

• patru varfuri: punctele A, B, C, D;

• patru laturi: segmentele rABs, rBCs, rCDs, rDAs;

• doua diagonale: segmentele rACs si rBDs.

Definitia 2. Spunem ca un patrulater este convex daca dreapta-suport a fiecarei laturi

are proprietatea ca ın unul din semiplanele deschise determinate de ea se afla doua varfuri ale

patrulaterului. (figura 2-a) In caz contrar, patrulaterul este concav. (figura 2-b.)

Figura 2-a Figura 2-b

1

Un patrulater convex ABCD are patru unghiuri interioare: ?DAB, ?ABC, ?BCD si

?CDA.

Un unghi adiacent si suplementar cu un unghi al unui patrulater convex se numeste unghi

exterior al patrulaterului.

Fiecare patrulater convex are 8 unghiuri exterioare (cate doua unghiuri opuse la varf, deci

congruente, pentru fiecare varf al patrulaterului).

In figura 3 un unghi exterior al patrulaterului ABCD este ?ADP.

Figura 3

Definitia 3. Interiorul unui patrulater convex ABCD, notat IntpABCDq, este multimea

punctelor din plan formata prin intersectia semiplanelor pAB,C; pBC,D; pCD,A; pDA,B.

(Figura 4.)

Figura 4

Punctele unui patrulater convex ABCD ımpreuna cu punctele din interiorul patrulaterului

formeaza o suprafata patrulatera convexa, notata cu rABCDs.

Observatia 1. Fiecarei suprafete patrulatere convexe rABCDs i se asociaza un unic numar

pozitiv numit arie si notat ariarABCDs sau AABCD. Prin abuz de limbaj, vom mai folosi si

denumirea de arie a unui patrulater convex.

Observatia 2. Fiind dat un patrulater ABCD, cel putin una dintre diagonalele sale,

sa zicem rACs, are proprietatea ca determina cu laturile patrulaterului doua triunghiuri cu

interioarele disjuncte: 4ACB si 4ACD. Prin urmare, putem defini suprafata patrulatera

rABCDs ca fiind reuniunea suprafetelor triunghiulare ce o compun: rABCDs “ rACBs Y

rACDs. Mai mult, aria unei suprafete patrulatere se poate scrie ca suma ariilor suprafetelor

triunghiulare ce o compun. (Figurile 5-a si 5-b.)

2

Figura 5-a Figura 5-b

Teorema. Suma masurilor unghiurilor unui patrulater convex este egala cu 360˝.

Demonstratie. Consideram patrulaterul convex ABCD si construim diagonala rACs.

(Figura 6.) Tinand cont ca suma masurilor unghiurilor unui triunghi este egala cu 180˝, avem

m p?DACq `m p?DCAq `m p?CDAq “ 180˝ (1)

si

m p?BACq `m p?BCAq `m p?ABCq “ 180˝. (2)

Figura 6

Adunand, membru cu membru, relatiile (1) si (2) deducem ca

m p?DABq `m p?ABCq `m p?BCDq `m p?CDAq “ 360˝. �

Definitia 4. Patrulaterul convex cu diagonalele perpendiculare se numeste patrulater or-

todiagonal. (Figura 7.)

Figura 7

3