partea ii (1).pdf

Upload: lavinia-pop

Post on 06-Jul-2018

232 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    1/87

      113113

    Partea a II-a.

    Geometrie diferenţială 

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    2/87

     114114

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    3/87

      115115

    Capitolul 4.

    Geometria diferenţială a curbelor plane

    4.1. Reprezentarea curbelor plane

    Curbele plane, denumire generică pentru ceea ce unvârf de creion poate imprima în mişcarea sa continuă pe ohârtie, se descriu matematic, exceptând reprezentarea

    grafică, prin patru tipuri de ecuaţii: implicit ă , explicit ă , parametrică şi intrinsecă. Fiecare tip de ecuaţie corespundeunui tip (unei metode) de reprezentare (de descriere) acurbei, denumit(ă) la fel ca şi ecuaţia:  reprezentare(descriere)  implicit ă , reprezentare explicit ă , reprezentare

     parametrică şi reprezentare intrinsecă a curbei plane. Dacă F: R 2  R  atunci rela ţ ia

    F(x, y) = 0 (4.1.1) se spune că reprezint ă analitic o curbă în plan.

    Intuitiv, termenul curbă  desemnează  de obicei omulţime de puncte din plan situate astfel încât să formeze ourmă lăsată pe o hârtie de mişcarea continuă a unui vârf decreion. Prin urmare, nu orice formulă  de tipul (4.1.1)reprezintă o curbă.

    Prin urmare, o rela ţ ieF(x, y) = 0

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    4/87

     116116reprezint ă  analitic o curbă  plană  dacă  func ţ iile

    ob ţ inute prin explicitare

    y = y(x) sau x = x(y) sunt continue cel pu ţ in pe anumite intervale. Rela ţ ia

    F(x, y) = 0,dacă  ea reprezint ă  o curbă  plană , se nume şte ecua ţ iaimplicit ă a curbei. 

     Rela ţ iile ob ţ inute prin explicitarey = f(x) sau x = g(y) (4.1.2)

     se numesc ecua ţ ii explicite ale curbei . Dacă  f: D   R  şi g: D   R , D   R ,  sunt func ţ iicontinue ( pe por  ţ iuni) atunci sistemul de ecua ţ ii

    g(t)y

    f(t)x, (4.1.3)

     formează  ecua ţ iile parametrice ale unei curbe , iar t  este parametrul  folosit la reprezentarea curbei .

    Reprezentarea parametrică a unei curbe plane nu este

    unică. O curbă  se poate descrie în mai multe feluri, înfuncţie de semnificaţia parametrului folosit pentrureprezentare.

    Ecuaţia implicită a unei curbe se obţine din ecuaţiile parametrice eliminând parametrul t între cele două  ecuaţiiale curbei.

    Având în vedere aceste posibilităţi de reprezentareanalitică  a curbelor plane, proprietăţile curbelor vor fi

    tratate în funcţie de maniera de reprezentare a curbei.

    4.2. Elementul de arc

    Fie curba plană (C ) cu ecuaţia implicită F(x, y) = 0,

    ecuaţia explicită y = y(x) şi ecuaţiile parametrice

    tgy

    tf x,

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    5/87

      117117unde y, f, g sunt funcţii reale de argument real, continueşi derivabile. Fie xoy un reper cartezian în plan.

    Dacă  punctele P(x, y) şi P1(x+dx, y+dy) apar ţincurbei (C ), dx şi dy fiind creşteri ale coordonatelor x şi y,atunci, dacă PQ || ox iar QP1 || oy rezultă că PQ  QP1. Dintriunghiul dreptunghic PQP1 obţinem:

    ||PP1||2 = ||PQ||2 + ||P1Q||

    2,ceea ce înseamnă că 

    ||PP1||2 = dx2 + dy2.

    Figura 4.2.1

    Dacă punctul P1 este foarte apropiat de P, atunci lungimeacoardei PP1  este foarte apropiată  de lungimea ds a arculuide curbă ( 1PP ), deci

    22 dydxds   . (4.2.1)Având în vedere posibilitatea de a interpreta dx şi dy ca

    diferenţialele variabilelor x şi y şi că y’ = dxdy

    , iar lungimea

    unui arc de curbă  este s = ds , din (4.2.1) se obţineformula lungimii arcului de curbă  delimitat de puncteleA(a, y(a)) şi B(b, y(b)) ca fiind:

    yy+dy P1

    y P Q

    xO x x+dx

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    6/87

     118118

        

      

     b

    a

    2

    dxdx

    dy1s .

    Aceasta se poate scrie şi:

       b

    a

    2 dxy'1s . (4.2.2)

    Când curba (C ) este reprezentată parametric, notândcu α şi β valorile parametrului t pentru care

    a = f(α) şi b = f(β)relaţia (4.2.2) devine, datorită lui (4.2.1),

      β

    α

    22

    dttg'tf's . (4.2.3)Am demonstrat astfel următoarea proprietate:Proprietatea 4.2.1.  Dacă  (C ) este curba plană cu ecua ţ ia

    explicit ă y = y(x)  şi ecua ţ iile parametrice 

    tgy

    tf x, unde y,

    f, g  sunt func ţ ii reale de argument real, continue  şiderivabile, atunci lungimea  s a arcului de curbă  delimitat

    de punctele A(a, y(a))  şi B(b, y(b)) se calculează prin:    b

    a

    2 dxy'1s ,

    iar dacă  α  şi  β  sunt valorile parametrului  t  pentru care a=f(α)  şi b = f(β) atunci

      β

    α

    22 dttg'tf's .

    Observaţia 4.2.2. Când curba (C ) este parametrizată  cu

    ajutorul parametrului s, atunci (4.2.1) devine:22

    ds

    dy

    ds

    dx1  

     

      

      

      

      . (4.2.4)

    Considerând ecuaţiile parametrice ale curbei (C ) cu

     parametrul s,

    sψy

    sx    , din (4.2.4) rezultă  relaţia de

    legătur ă între funcţiile φ şi ψ:

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    7/87

      119119 1sψ's' 22   .

    (4.2.5)

    4.3. Tangenta şi normala la o curbă într-un punctregulat şi într-un punct singular

    Fie curba (C ) cu ecuaţia explicită y = f(x) şi P(a, f(a))şi P1(a1, f(a1)) două  puncte ale curbei (fig. 4.3.1). Ecuaţiadreptei PP1 este

     

    a x

    aa

    af af =af y

    1

    1,

    unde raportul

    aa

    af af 

    1

    1

      reprezintă  coeficientul unghiular

    (panta) al acestei drepte.

    Figura 4.3.1.

    Luând a1 = a + h obţinem

     

    axh

    af h+af =af y  

    .

    y

    nt

    P P1B /2 t’||t

    φ  φ2  φ1T O A A1  x

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    8/87

     120120

    Dacă h tinde către zero atunci a1  a, deci P1  P, iardreapta PP1 tinde către tangenta t la curba (C ) în punctul P,

    dacă această tangentă există. Condiţia de existenţă a acesteitangente este existenţa limitei

    h

    af h+af    .

    Această limită, dacă există, reprezintă derivata funcţiei f în punctul a, f’(a). Prin urmare, am demonstrat următoarea proprietate:Proprietatea 4.3.1.  Dacă  func ţ ia f   este derivabil ă  în

     punctul a, curba (C ) admite tangent ă în punctul P(a, f(a))  şiecua ţ ia acestei tangente este:y – f(a) = f’(a)(x – a). (4.3.1)

    Dacă  notăm cu φ  unghiul pe care tangenta la curbă (4.3.1) îl face cu axa absciselor (cu semiaxa pozitivă),atunci se observă, prin trecere la limită, din triunghiuldreptunghic TAP (fig. 4.3.1), că 

    tg φ = f’(a). (4.3.2)

    Proprietatea 4.3.2.   Dacă  ecua ţ ia curbei (C ) este sub forma explicit ă  x = g(y),  iar func ţ ia g este derivabil ă  în punctul b  atunci ecua ţ ia tangentei la curbă  într-un punct  Q(g(b), b) este dat ă de 

    x – g(b) = g’(b)(y – b). (4.3.3)Dacă în (4.3.1) f’(a) = 0 atunci tangenta la curbă este

     paralelă cu axa absciselor. Dacă în (4.3.3) g’(b) = 0 atuncitangenta la curbă  este paralelă  cu axa ordonatelor. Dacă 

    f’(a) = 0 atunci în aplicaţii este posibil ca punctul a să  fie punct de extremum sau punct de inflexiune al curbei deecuaţie y = f(x). La fel pentru curba x = g(y), atunci cândg’(b) = 0.

    Dacă în (4.3.1) derivata funcţiei f este infinită atuncitangenta la graficul funcţiei în punctul P este paralelă  cuaxa ordonatelor şi în acest caz este mai concludentă folosirea ecuaţiei tangentei sub forma (4.3.3).

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    9/87

      121121Definiţia 4.3.3.  Numim normal ă  la o curbă  într-un

     punct al curbei dreapta care trece prin acel punct  şi este

     perpendicular ă pe tangenta în acel punct la curbă.Având în vedere faptul că  dacă  două  drepte sunt perpendiculare atunci ele au pantele inverse şi de semn

    opus (aceasta rezultă  întrucât dacă 2

    π=12          şi

    21

    1212 tgtg1

    tgtgtg

      

        

    +=

        este infinită  deoarece

    0tgtg1 21 =+      , rezultă 2

    1 tg

    1tg

         =   sau

    1

    2 tg

    1tg

         = )

    obţinem ecua ţ ia normalei la curbă în punctul P sub forma

    y – f(a) = af'1

    (x – a). (4.3.4)

    sau ecua ţ ia normalei în punctul  Q sub forma

    x – g(b) = bg'1

    (y – b). (4.3.5)

    În cazul în care curba (C ) este reprezentată  implicit prin ecuaţia F(x, y) = 0, iar A(x0, y0) este un punct al curbei

    în care F este derivabilă  par ţial în raport cu fiecare dintreargumente, atunci notând prin

    'xF şi

    'yF  derivatele par ţiale

    ale fucţiei F în raport cu x şi y, considerând pe y ca funcţiede x, obţinem

    0y'yx,Fyx,F 'y'x   .

    De aici deducem că 

    yx,F

    yx,Fy'

    'y

    'x .

    Înlocuind aceasta în (4.3.1) pentru a scrie ecuaţia tangenteila (C ) în punctul A obţinem

    0

    00'y

    00'x

    0 xxy,xF

    y,xFyy   ,

    ceea ce revine la:Proprietatea 4.3.4.   Dacă  ecua ţ ia curbei (C ) esteimplicit ă  sub forma F(x, y) = 0,  iar func ţ ia F este

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    10/87

     122122derivabil ă par  ţ ial în raport cu x  şi y în punctul A(x0, y0)

    atunci ecua ţ ia tangentei la curbă în A este dat ă de:

    0y,xFyyxxy,xF 00'

    y0000

    '

    x   . (4.3.6)Observaţia 4.3.5. Dacă  0y,xF 00

    'y    şi 0y,xF 00

    'x    atunci

    tangenta este paralelă  cu axa Oy. Dacă  0y,xF 00'x     şi

    0y,xF 00'y    atunci tangenta este paralelă cu axa Ox.

    Ţinând cont de relaţia dintre panta tangentei şi cea anormalei la curbă  în punctul A, obţinem panta normalei în

     punctul A la curbă :

    yx,F

    yx,F

    y'1m 'x

    '

    y .

    Figura 4.3.2.Proprietatea 4.3.6.   Dacă  ecua ţ ia curbei (C ) esteimplicit ă  sub forma F(x, y) = 0,  iar func ţ ia F estederivabil ă  par  ţ ial în raport cu x  şi y  în punctul A(x0, y0)atunci ecua ţ ia normalei la curbă în A este dat ă de:

    0y,xFyyxxy,xF 00'x0000

    'y   . (4.3.7)

    y

    (C )t

    ny0 A

    ρ M(x,y)

    O  x0  x

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    11/87

      123123Observaţia 4.3.7. Cosinusurile directoare ale normaleiîn A la curba (C ) se calculează prin :

      200'y

    2

    00'x

    00'x

    y,xFy,xFy,xFcosα

     ;

      200'y2

    00'x

    00'y

    y,xFy,xF

    y,xFcosβ

    .

     Reprezentarea parametrică  a normalei în A  la curba (C )este :

    ρcosβyy

    ρcosαxx

    0

    0

     ,

    unde parametrul ρ  reprezint ă  distan ţ a de la un punctcurent M(x, y) de pe normal ă  la punctul A(x0, y0) (vezifigura 4.3.2).

    Figura 4.3.3

    y

    t (C )

    n N

    D A(x0,y0)

    O  B M x

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    12/87

     124124Definiţia 4.3.8. Numim punct singular al curbei (C ), de

    ecua ţ ie implicit ă sub forma F(x, y) = 0, un punct A(x0, y0)

     pentru care au loc simultan condi ţ iile: 0y,xF 00   , 0y,xF 00'x     şi 0y,xF 00

    'y   .

     Punctele care nu sunt singulare se numesc puncte regulate.Dacă punctul A este singular atunci ecuaţiile (4.3.6)

    şi (4.3.7) sunt nedeterminate. În general, prin astfel de puncte trec mai multe ramuri ale curbei şi deci există maimulte tangente şi normale. Nedeterminatea existentă într-un

     punct singular se nummeşte aparent ă  dacă  ea poate fi

    eliminată printr-o parametrizare convenabilă a curbei.Dacă  vom considera punctele B(x0, 0), D(0, y0) şi

    notăm cu N punctul de intersecţie al normalei în A la curba(C ) cu axa oy, iar cu M punctul de intersecţie al normalei înA la curba (C ) cu axa ox (vezi figura 4.3.3), atunciobservăm că DN = pr oyAN şi BM = pr oxAM.

    Conform celor demonstrate anterior, se obţine, prinintersecţia cu axele de coordonate a normalei la (C ) în A:

     

     

      

        ,0y,xF

    y,xFyy,xFxM00

    'y

    00'x000'y0,

       

      

       

    00'x

    00'y000

    'x0

    y,xF

    y,xFxy,xFy0, N .

    În acest caz,

    00

    '

    y

    00'x0

    0My,xF

    y,xFyxxBM   ,

    00'x

    00'y0

    0 Ny,xF

    y,xFxyyDN   .

    Segmentele DN şi BM se numesc  subnormalele curbei (C ) în punctul  A referitoare la axele de coordonate.

    Atunci când curba (C ) este reprezentată explicit prinecuaţia y = f(x), o formă a sa implicită este y – f(x) = 0. Înacest caz F(x, y) = y – f(x), deci în punctul A(x0, y0) avem

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    13/87

      125125

    y0 = f(x0), 000'x xf'y,xF    şi  1y,xF 00

    'y   .

    Subnormalele curbei (C ) în punctul A referitoare la axele

    de coordonate devin 000M xf'xf xxBM   ,

    00

    0 N xf'

    xyyDN   .

    Analog se definesc şi se calculează  lungimile subtangentelor curbei (C ) în punctul  A referitoare la axelede coordonate.

    Când curba (C ) se reprezintă parametric prin

    tyytxx

     

    şi dacă t0 este valoarea parametrului t astfel încât x0 = x(t0),iar y0 = y(t0), atunci ecuaţia tangentei în A(x0, y0) la curbă este

    00

    0

    0

    ty'

    yy

    tx'

    xx  

    .

    Ecuaţia normalei în A(x0, y0) la curbă devine:

    00

    0

    0

    tx'

    yy

    ty'

    xx  

    .

    Derivările, în acest caz, se fac în raport cu t. Aceste formulese obţin ţinând cont că 

    't

    't

    't

    'x

    x

    y

    x

    1y'

    dx

    dt

    dt

    dy

    dx

    dyy   ,

    apoi se înlocuieşte în (4.3.1) şi (4.3.4).

    4.4. Contactul a două curbe plane

    Consider ăm curba (C 1) reprezentată prin ecuaţiaF(x, y) = 0

    şi curba (C 2) reprezentată prin ecuaţia

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    14/87

     126126G(x, y) = 0.

    Pentru a determina coordonatele punctelor de intersecţie ale

    celor două  curbe rezolvăm sistemul de ecuaţii rezultat dincondiţia ca aceste coordonate să  verifice ambele ecuaţii,deci:

    0yx,G

    0yx,F. (4.4.1)

    Dacă  sistemul (4.4.1) nu are soluţie reală  atunci curbele(C 1) şi (C 2) nu se intersectează.Definiţia 4.4.1. Două curbe plane au un contact de ordinul

    n într-un punct P(x0, y0) dacă ele au în acel punct în comunn+1 puncte confundate.

    De exemplu, un punct P(x0, y0) este contact deordinul zero a două curbe dacă P este punct de intersecţie alacestora f ăr ă a fi punct de tangenţă.

    Un punct P(x0, y0) este contact de ordinul 1 a două curbe dacă P este punct de tangenţă al acestora, deci (x0, y0)este r ădăcină dublă a sistemului (4.4.1).

    Faptul că un punct P(x0, y0) este contact de ordinul na două  curbe înseamnă  că  (x0, y0) este soluţie multiplă  deordinul n+1 a sistemului (4.4.1).Definiţia 4.4.2.  Dacă  (C ) este o curbă  plană  şi A(x0, y0)este un punct al său, curba (C’ )  se nume şte curbă osculatoare în punctul A  la (C ) dacă are în punctul A uncontact de ordinal 2 cu curba (C ). În acest caz, curbele (C ) şi (C’ ) se numesc curbe osculatoare în punctul A.

    Prin urmare, dacă  (C ) şi (C’ ) sunt curbe osculatoareîn punctul A(x0, y0) atunci (x0, y0) este soluţie multiplă deordinul 3 a sistemului (4.4.1) format cu ecuaţiile celor două curbe.

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    15/87

      127127

    4.5. Cerc osculator

    Printre curbele osculatoare, un rol important îl arecercul osculator.

    Figura 4.5.1.

    Definiţia 4.5.1. Dacă (C ) este o curbă  şi A un punct al ei,numim cerc osculator la curba (C ) în punctul A cercul careare un contact de ordinul 2 cu curba (C ) în punctul A (vezi

    figura 4.5.1).Pentru a determina ecuaţia cercului osculator lacurba (C ) într-un punct A(x0, y0), vom determina centrulacestui cerc, C(a, b), împreună  cu raza sa, R. Consider ămcurba (C ) reprezentată explicit prin ecuaţia y = f(x). Cerculcu centru C(a, b) are ecuaţia

    x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0, (4.5.1)unde

    y

    (C )

    C(a,b)

    Ay0 

    R

    O x0 x

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    16/87

     128128R 2 = a2 + b2 – c.

    (4.5.2)

    Sistemul:

    0c2by2axyx

    xf y22   (4.5.3)

    are soluţia triplă (x0, y0), deoarece punctul A trebuie să fiecontact de ordinul 2 între cerc şi curbă. Prin urmare, ecuaţiaobţinută substituind y în a doua ecuaţie din (4.5.3):

    x2 + f 2(x) – 2ax – 2bf(x) + c = 0are r ădăcina triplă x0. Aceasta înseamnă că, în acest punct,

    atât membrul stâng al ecuaţiei cât şi primele sale două derivate sunt 0. Obţinem astfel, prin două  derivărisuccesive în punctul x0, sistemul cu necunoscutele a, b, c:

    0x bf"xf"xf xf'1

    0x bf'axf'xf x

    0cx2bf 2axxf x

    00002

    0000

    00022

    0

      (4.5.4)

    Din cea de-a treia ecuaţie rezultă 

     

    00

    2

    0 xf"

    xf'1xf  b    (4.5.5)

    Înlocuind (4.5.5) în a doua ecuaţie din sistemul (4.5.4) şiexplicitând pe a se obţine

     

    00

    2

    00 xf"

    xf'1xf'xa

      . (4.5.6)

    Substituind pe a şi b în prima ecuaţie din (4.5.4) şiexplicitând coeficientul c, obţinem

     

    00

    2000

    022

    0 xf"

    ]xf'1][xf'xxf [2xf xc 

      (4.5.7)

    Din (4.5.5), (4.5.6) şi (4.5.7), prin înlocuire în (4.5.2)deducem

    R 2 = a2 + b2 – c .

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    17/87

      129129După  înlocuirea formulelor anterioare, reducereatermenilor asemenea şi efectuarea calculelor necesare

    găsim

    02

    3

    02

    2

    xf"

    xf'1R 

      . (4.5.8)

    Aceasta înseamnă că 

    0

    2

    3

    02

    xf"

    xf'1R 

      .

    Proprietatea 4.5.2. Dacă not ămy0 = f(x0), 0

    'o xf'y     şi  0

    " f'  x= yo ,centrul cercului osculator în punctul A(x0, y0) la curba (C )are coordonatele

    "0

    2'0'

    00

    1

     y

     y y xa  ,

    (4.5.9)

    "0

    2'0

    0

    1

     y

     y yb   

    iar raza R  este egal ă cu

    "0

    2

    32'

    0 ]1[

     y

     y R

      . (4.5.10)

    Fie curba (C ) dată prin ecuaţiile parametrice

    tyytxx

    .

    În punctul A(x0, y0), corespunzător valorii t0 a parametruluit, coordonatele centrului cercului osculator (4.5.9) şi raza(4.5.10) devin:

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    18/87

     130130

     

     

    0000

    02

    02

    00

    0000

    02

    02

    00

    ty'tx"ty"tx'

    ty'tx'tx'ty b

    ty'tx"ty"tx'

    ty'tx'ty'txa

    , (4.5.11)

      00000

    2

    3

    02

    02

    tx'ty'tx"ty"tx'

    ty'tx'R 

    . (4.5.12)

    4.6. Curbura curbelor plane

    Având în vedere observaţia că  un cerc este cu atâtmai curbat cu cât raza sa este mai mică, iar între cerculosculator şi curbă  există  o legătur ă  intimă  (în sensul că  ocurbă  „se modelează” după  cercul său osculator într-un

     punct al său), această  legătur ă  poate constitui ocaracteristică a gradului curburii curbei.

    Figura 4.6.1

    y

    Δτ  P2

    Δs

    P1  Δτ 

    τ1  τ2O x

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    19/87

      131131Definiţia 4.6.1. Centrul cercului osculator al curbei (C )în punctul A se nume şte centrul de curbur ă al curbei (C ) în

     punctul A.Definiţia 4.6.2.  Raza cercului osculator al curbei (C ) în punctul A  se nume şte raza de curbur ă  a curbei (C ) în punctul A.Definiţia 4.6.3.  Numărul

    1k   , (4.6.1)

    unde R  este raza de curbur ă a curbei (C ) în punctul A, se

    nume şte curbura curbei (C ) în punctul A.De fapt, curbura unei curbe se caracterizează  prinvariaţia unghiului τ  dintre două  tangente „consecutive” lacurbă  (vezi figura 4.6.1). Curbura k este cu atât mai mică cu cât por ţiunea de arc Δs necesar ă pentru modificarea Δτ aunghiului direcţiilor tangente este mai mare.

    Prin urmare curbura se poate defini prin variaţiaacestui unghi în funcţie de lungimea arcului

    ds

    Δs

    Δτ

    limk  0Δs .Cercul osculator al curbei (C ) în punctul A se

    numeşte şi cercul de curbur ă  al curbei (C ) în punctul A,având în punctul de contact aceeaşi curbur ă ca şi (C ).Definiţia 4.6.4. O ecua ţ ie de forma R = f(s)  se nume şteecua ţ ie intrinsecă a curbei.

    Se observă  că  ecuaţia intrinsecă  a curbei, stabilindlegea de variaţie a razei de curbur ă  în funcţie de lungimeaarcului de curbă, ofer ă  o descriere a curbei „din interior”,f ăr ă raportarea acesteia la vreun reper extern.

    4.7. Înf ăşurătoarea unei familii de curbe plane

    Fie o ecuaţie de formaF(x, y, λ ) = 0, (4.7.1)

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    20/87

     132132

    unde   R  este un parametru, astfel încât pentru fiecarevaloare fixată a lui  se obţine ecuaţia unei curbe plane. Se

    spune că  o astfel de ecuaţie reprezintă  o  familie de curbe plane. Fiecare membru al familiei este o curbă, care se poate obţine prin particularizarea parametrului . Desprefamilia de curbe (4.7.1) se spune că  depinde de un

     parametru.Să consider ăm acum o ecuaţie de forma

    F(x, y, λ , μ) = 0, (4.7.2)unde , μ   R   sunt parametri, astfel încât pentru fiecare

     pereche de valori fixate ale parametrilor, (, μ)   R 2, seobţine ecuaţia unei curbe plane. Se spune că  familia decurbe (4.7.2) depinde de 2 parametri. Particularizând numaiunul dintre cei doi parametri,  sau μ, ecuaţia (4.7.2) devinede tip (4.7.1), adică se obţine o familie de curbe depinzândde un singur parametru.

    Să consider ăm familia de curbeF(x, y, λ ) = 0, (4.7.3)

    şi să  aplicăm o creştere dλ   a parametrului λ . Obţinem ocurbă „apropiată” de curba dată,

    F(x, y, λ + dλ ) = 0. (4.7.4)Punctele de intersecţie ale curbelor (4.7.3) şi (4.7.4) suntsoluţii ale sistemului de ecuaţii

    0dλ 

    λ y,x,Fdλ λ y,x,F0λ y,x,F

    . (4.7.5)

    Dacă  funcţia F este derivabilă  în raport cu parametrul λ  atunci, pentru dλ  tinzând la 0, sistemul (4.7.5) devine:

    .

    0λ y,x,F

    0λ y,x,F'

       (4.7.6)

    Acest sistem ne dă punctele de intersecţie dintre două curbeinfinit apropiate din familia (4.7.3).

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    21/87

      133133Definiţia 4.7.1.   Locul geometric al punctelor deintersec ţ ie dintre două  curbe infinit apropiate dintr-o

     familie de curbe se nume şte înf ăşur ătoarea familiei decurbe.Înf ăşur ătoarea unei familii de curbe se obţine

    eliminând parametrul λ  între ecuaţiile sistemului (4.7.6).În cazul unei familii de curbe depinzând de doi

     parametri,f(x, y, λ , μ) = 0, (4.7.7)

    legaţi prin relaţia g(λ , μ) = 0, înf ăşur ătoarea se obţine prin

    eliminarea parametrilor între ecuaţiile sistemului:

    0μλ ,D

    gf,D0μλ ,g

    0μλ ,y,x,f 

    , (4.7.8)

    unde 'μ

    'λ 

    'λ 

    gg

    f f 

    μλ ,D

    gf,D .

    4.8. Evoluta unei curbe plane

    Fie (C ) o curbă plană.Definiţia 4.8.1.  Evoluta unei curbe plane este locul

     geometric al centrelor ei de curbur ă.Presupunem că  reprezentăm curba (C ) explicit prin

    ecuaţia y = y(x). Formulele (4.5.2) permit să  deducemurmătoarea proprietate:Proprietatea 4.8.2.  Dacă  A(x, y) este un punct curent alcurbei  şi C(X, Y) este centrul de curbur ă  al curbei în

     punctul A (vezi figura .8.1), avem

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    22/87

     134134

    y'x"y"x'

    y'x'y'xX

    22

     

    (4.8.1)

    y'x"y"x'

    y'x'x'yY

    22

     

    unde derivatele y’  şi y” sunt calculate în punctul  x.

    Figura 4.8.1.

    Sistemul de ecuaţii (4.8.1) reprezintă  ecuaţiile parametrice ale evolutei curbei (C ), parametrul fiind x.

    Eliminând x între ecuaţiile (4.8.1) obţinem ecuaţiaimplicită, eventual ecuaţia explicită, a evolutei curbei date.Când curba este dată parametric prin

    tyy

    txx 

    atunci, cu notaţiile de mai sus, ecuaţiile evolutei sunt

    y

    (C )

    evoluta

    C(X,Y)y

    A

    O x x

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    23/87

      135135

    y'y"-x"x'y'x'x'yY

    y'y"-x"x'

    y'x'y'xX

    22

    22

    . (4.8.2)

    Derivatele din (4.8.2) sunt calculate în raport cu parametrult. Se folosesc, pentru deducerea ecuaţiilor (4.8.2), ecuaţiile(4.5.11) şi (4.5.12).

    4.9. Evolventă a unei curbe plane

     Evolventa unei curbe se mai întâlneşte şi sub numelede curbă  desf ăşur ătoare. Aceasta deoarece, intuitiv,evolventa se descrie astfel: presupunem că de-a lungul uneicurbe este aşezat un fir inextensibil.

    Dacă se fixează acest fir într-un punct A pe curbă şise lasă firul liber, atunci un alt punct B al curbei va descrie,în mişcarea prin care se va elibera, o altă  curbă, care senumeşte evolvent ă a curbei ini ţ iale (vezi figura 4.9.1). 

    Figura 4.9.1.

    evolventă 

    AB

    B B

    (C )

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    24/87

     136136Deoarece fiecare punct descrie câte o evolventă, rezultă 

    că  fiecare curbă admite o familie de evolvente.

    Pe de altă parte, tangentele la curbă în punctul B sunt perpendiculare pe tangentele la evolventă  în acel punct.Astfel, au loc proprietăţile:Proprietatea 4.9.1.  Evolventele unei curbe plane sunttraiectorii ortogonale tangentelor acestei curbe.Proprietatea 4.9.2. Orice curbă  este evoluta evolventelor

     sale.Proprietatea 4.9.3. Orice curbă este una dintre evolventele

    evolutei ei.Dacă  reprezentăm curba (C ) parametric, alegânddrept parametru lungimea s a arcului de curbă:

    syy

    sxx  (4.9.1)

    obţinem ecuaţiile evolventelor prin

    's

    's

    ysλ yY

    xsλ xX  (4.9.2)

    unde   R  este arbitrar.

    4.10. Curbe date în coordonate polare

    Fie O un punct în plan, numit  pol , şi o semidreaptă 

    Ox, numită  axă  polar ă. Dacă  M este un punct din planatunci lungimea segmentului OM (vezi figura 4.10.1),OMr   , se numeşte raza vectoare  a punctului M, iar

    măsura θ  a unghiului (xOM), măsurat în senstrigonometric, se numeşte anomalia  punctului M. Poziţia

     punctului M este complet determinată de perechea (r, θ) şide aceea aceste numere formează coordonatele polare ale

     punctului M. Fiecărei perechi de numere (r, θ) îi

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    25/87

      137137corespunde un singur punct din plan. Reciproc nu esteadevărat datorită  faptului că  punctului M îi corespunde

    mulţimea tuturor perechilor de coordonate polare (r,θ+2k π), k   Z. De aceea vom considera, în cele ceurmează, acolo unde acest lucru este suficient, unghiuri θ  [0, 2π[.

    Figura 4.10.1.

    Pentru a studia relaţia dintre sistemul de coordonatecarteziene şi sistemul de coordonate polare, suprapunemcele două  sisteme. Astfel, în sistemul de coordonatecarteziene xOy, vom alege originea O drept pol şi axaabsciselor Ox drept axă polar ă (vezi figura 4.10.2). Atunciun punct M din plan va fi precizat atât prin coordonatelecarteziene (x, y) cât şi prin coordonatele polare (r, θ).

    Fie M’ = pr OxM şi M” = pr OyM. În triunghiuldreptunghic OMM’, cu unghiul drept (OM’M), au locrelaţiile:

    sin θr y

    cos θr x  (4.10.1)

    Relaţiile (4.10.1) reprezintă  formulele de transformare acoordonatelor polare în coordonate carteziene.

    Transformarea inversă , a coordonatelor cartezieneîn coordonate polare, se face tot prin raţionamentgeometric în triunghiul OMM’. Din teorema lui Pitagora,

    M

    r

    θ O x

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    26/87

     138138222

    MM'OM'OM     (4.10.2)rezultă că r 2 = x2 + y2 şi, prin urmare

    22

    yxr    . (4.10.3)

    Figura 4.10.2.

    De asemenea, pentru a determina anomalia punctului M,folosind coordonatele carteziene ale acestui punct, vomfolosi definiţia funcţiilor trigonometrice în triunghiuldreptunghic OMM’:

    x

    ytgθ

    yx

    y

    ysinθ

    yx

    x

    xcosθ

    22

    22

      (4.10.4)

    Dacă  un unghi 0  verifică  ecuaţiile (4.10.4) atunci rezultă 

    că orice unghi  = 0 + 2k , k  Z, verifică aceste ecuaţii.O curbă  se poate reprezenta şi în coordonate polare printr-o ecuaţie explicită,

    r = f(),implicită,

    F(r, ) = 0,sau parametrică,

    yM”(0, y) M

    r

    θ 

    O M’(x, 0) x

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    27/87

      139139

    .tθθ

    tr r 

     

    Exemplul 4.10.1.  În ecuaţia carteziană  generală  a uneidrepte

    Ax + By + C = 0înlocuind x şi y cu (4.10.1) obţinem

    0CsinθBr cosθAr     şi deci

    sin θC

    Bcos θ

    C

    A

    1 .

    De aici, notândC

    B b,

    C

    Aa   ,

    obţinem ecua ţ ia dreptei în coordonate polare

     bsin θacos θr 

    1 .

    Exemplul 4.10.2. Cu aceeaşi transformare, ecua ţ ia cerculuix2 + y2 – R 2 = 0

    devine în coordonate polare

    [0,2   π0,θ

    R r  

    Tangenta la o curbă. Notând cu  unghiul dintre tangentala curba (C ) în punctul M(r, ) şi dreapta OM (vezi figura4.10.3), avem

    r'

    r tg     ,

    unde r’ este derivata lui r în raport cu .

    Punctul O este punct singular pentru coordonatele polare deoarece unghiul   este nedeterminat pentru O, iarraza r = 0. Unghiul dintre o tangentă la o curbă în pol estetocmai anomalia acestei tangente.Elementul de arc. Din (4.10.1) se obţine

    dθrcos θdr θsindy

    dθrsin θdr cosθdx 

    şi atunci

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    28/87

     140140 22222222 dθθsinr dr θcosdydxds  

    .dθr dr dθdr sinθ2rcos θdθθcosr dr θsindθdr sinθ2rcos θ

    222

    22222

     

    Figura 4.10.3.

    Dacă reprezentăm curba în coordonate polare prin r = r(),împăr ţind relaţia de mai sus prin d2, găsim

    222

    r dθ

    dr 

    ds

      

      

      

      

     

    şi deci22 r'r s'     (4.10.5)

    sau următoarea expresie a elementului de arc în coordonate polare:

      2

    1

    θ

    θ

    22 dθr'r s   (4.10.6)

    Curbura. Printr-un calcul similar se obţineR 

    1k   , deci

    |)'/()"'2(| 23

    2222 r r rr r r k    . (4.10.7)

    Ecuaţia tangentei la curbă în punctul A(r 0, 0) este

    y

     M(r,)

    r

    θ O x

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    29/87

      141141

     

    00

    00

    0

    θθsinr 

    θr'θθcos

    1

    1 . (4.10.8)

    Ecuaţia normalei la curbă în punctul A(r 0, 0) este 0

    00

    0

    θθsinr 

    1θθcos

    1

    1 . (4.10.9)

    4.11. Probleme propuse

    1. Găsiţi o reprezentare trigonometrică a elipsei01

    49

    22

     y x

    .

    2. Ar ătaţi că ecuaţiile parametrice

    2

    2

    2

    1

    21

    1

    t b y

    t a x

      reprezintă o

    elipsă.

    3. Ar ătaţi că ecuaţiile parametrice

      

      

      

      

    t t 

    b y

    t t a x

    1

    2

    12

     reprezintă o

    hiperbolă.4. Ar ătaţi că  ecuaţiile în coordonate polare     cos2r    şi

        sin2r   reprezintă cercuri.

    5. Ar ătaţi că  ecuaţiile în coordonate polare    

    cos

    a

      şi

       

    sin

    a  reprezintă o dreaptă.

    6. Scrieţi ecuaţiile tangentelor la curba

    43

    223

    2

    t t  y

    t t  x, care

    sunt paralele cu dreapta 3x – y + 3 = 0.

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    30/87

     142142

    7. Scrieţi ecuaţia normalei la curba

    3

    4

    t  y

    t  x, care trece

     prin punctul A     

       0,

    47  .

    8. Calculaţi lungimea arcului curbei de ecuaţie y = ach a x

     

    între două puncte x1 şi x2, arbitrare.9. Calculaţi lungimea arcului curbei de ecuaţii

      

      

    t a y

    t t 

    tg a x

    sin

    cos2

    ln 

    între două puncte x1 şi x2, arbitrare.10. Calculaţi curbura curbei x3  – y3  + 4xy = 0 în punctulM(2, -2).11. Calculaţi raza de curbur ă  a curbei x3  + y3  = 12xy înoriginea reperului cartezian.12. Determinaţi ordinul de contact al curbelor de ecuaţii

    (C1): y = x3 şi (C2): y = xsin

    2x.

    13. Determinaţi ordinul de contact al curbelor de ecuaţii(C1): y = ln(1+x) şi (C2): y = 1 x

     x.

    14. Scrieţi ecuaţia cercului osculator al curbei (C):

    t  y

    t  x

    2cos

    sin în punctul pentru 6

     t  .

    15. Determinaţi ecuaţia parabolei y = x2 + ax + b, care esteosculatoare pentru cercul x2 + y2 = 2 în punctul M(1, 1).

    16. Scrieţi înf ăşur ătoarea familiei de curbe(x – 2a)2 + y2 = 2a2.17. Scrieţi ecuaţia evolutei curbei y = ln x.

    18. Scrieţi ecuaţia evolutei curbei

    t  y

    t t 

    tg  x

    sin

    cos2

    ln.

    19. Scrieţi ecuaţia evolventei curbei y =4

    2 x.

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    31/87

      143143

    20. Scrieţi ecuaţia evolventei curbei

    t a y

    t t a x

    cos1

    sin.

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    32/87

     144144

    Capitolul 5.

    Geometria diferenţială a curbelor strâmbe

    5.1. Coordonate cilindrice în spaţiu

    Fie spaţiul R 3  şi P un punct din spaţiu. Poziţia punctului P s-a stabilit în raport cu un reper cartezian Oxyzîn spaţiu, P(x, y, z), dar se poate stabili şi în alte sisteme decoordonate. Reamintim că  un reper cartezian raportează spaţiul la un punct origine, O (vezi figura 5.1.1 şi

     paragraful 2.1), în care se intersectează  trei axe ale

    numerelor perpendiculare două câte două:Ox OyOzOx.

    Figura 5.1.1.

    z

    z

    P(x,y,z)

    Oy y

    xx

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    33/87

      145145Coordonata pe fiecare dintre axe a proiecţiei unui punctP din spaţiu pe axa dată se numeşte coordonata punctului P

    după axa respectivă.

    Figura 5.1.2.

    Fie un plan fix , un punct O în planul   şi osemidreaptă, Oa, cu originea în O (vezi figura 5.1.2.). În planul   consider ăm sistemul de coordonate polare (r, φ),determinat de alegerea punctului O ca origine şi asemidreptei Oa ca axă polar ă.

    Punctul P se proiectează  pe planul   în punctul P’,având în acest plan coordonatele polare (r, φ). Notând cu zdistanţa de la P la P’, convenind că pentru punctele dintr-un

    semiplan atribuim acestui număr semnul +, iar pentru celedin semiplanul opus semnul –, poziţia punctului P estecomplet determinată de tripletul (r, φ, z). Tripletul (r, φ, z)astfel definit formează  coordonatele cilindrice ale

     punctului P.Se observă  că oricare ar fi tripletul de numere reale

    (r, φ, z) există  un singur punct P din spaţiu, P(r, φ, z).Reciproc nu este adevărat, deoarece un punct P din spaţiu

    P

    O

    φ  ra P’

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    34/87

     146146

    este descris de oricare triplet de forma (r, φ+2k , z), cuk Z. Din acest motiv se convine ca r 0, [0,2[, zR .

    Sistemul de ecuaţii

     

    R z

    0,2 π

    constantr 

        (5.1.1)

    descrie un cilindru de rotaţie de rază r (figura 5.1.3). Acestaeste motivul pentru care sistemul de coordonate (r, φ, z) senumeşte „cilindrice”: fiecare punct M (sau P în figura5.1.3) se obţine prin intersecţie dintre un cilindru de rotaţie

    (C), un plan (β) în care se află cercul cilindrului care trece prin acel punct şi un plan α (respectiv α1 în cazul punctuluiP din figura 5.1.3) care conţine axa de rotaţie a cilindruluişi acel punct, adică  M=C  (sau P=C11)(vezi figura 5.1.3).

    α1  (C)β1 P

    O r Mβ 

    α 

    Figura 5.1.3.

    Suprapunerea de sisteme de coordonate va duce lastabilirea manierei de trecere de la coordonatele cilindricela coordonatele carteziene şi invers. Această suprapunere se

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    35/87

      147147face astfel: alegem punctul O drept originea reperuluicartezian, semidreapta Oa fiind semidreapta pozitivă Ox a

    absciselor, Oy , OxOy şi Oz  astfel încât triedrulOxyz să fie direct orientat (vezi figura 5.1.4).Atunci,  formulele de transformare a coordonatelor

    cilindrice în coordonate carteziene sunt:

    zz

    rsiny

    rcosx

     

     

      (5.1.2)

    Transformarea inversă, din coordonate carteziene în

    coordonate cilindrice se face prin:

    zzr 

    ysin

    xcos

    yxr  22

     

     

      (5.1.3)

    Figura 5.1.4.

    z

    P2

    P(x,y,z)z

    zOx φ  y

    P1  y P’x

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    36/87

     148148

    5.2. Coordonate sferice

    Fie un plan , un punct O, o semidreaptă  Oa cu originea în punctual O, o altă  semidreaptă  cu aceeaşiorigine, Ob (vezi figura 5.2.1). Dacă PR 3 atunci notăm

    OPr   , lungime numită rază vectoare, şi mai notăm P’ = pr P şi AOP'μ     măsurat în sens trigonometric, iar

    PObμθ   .Definiţia 5.2.1. Tripletul (r, , ) se nume şte coordonatele

     sferice ale punctului P (sau coordonatele polare în spa ţ iuale punctului P).Pentru

     

    π][0,θ

    0,2 π

    constantr 

        (5.2.1)

    se obţine o sfer ă (S) cu centrul 0 şi raza r.

    Figura 5.2.1.

    Poziţia punctului P este determinată  de intersecţiaacestei sfere cu două  plane: (Ob, OP) şi planul

     bP

    r

    θ O

    φ 

    a P’

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    37/87

      149149 perpendicular pe Ob, care trece prin punctul P (vezifigura 5.2.2).

    Unghiul φ  se nume şte longitudinea punctului P, iarunghiul θ   se nume şte colatitudinea punctului P. Prinurmare, un sistem de coordonate sferice este dat precizândraza vectoare r   0, longitudinea     [0, 2[ şi

    colatitudinea     [0, ]. Unghiul   θ2

    πλ      se nume şte 

    latitudinea punctului P.Suprapunerea de sisteme de coordonate va duce la

    stabilirea manierei de trecere de la coordonatele sferice lacoordonatele carteziene şi invers. Această  suprapunere seface astfel: alegem punctul O drept originea reperuluicartezian, semidreapta Oa fiind semidreapta pozitivă Ox aabsciselor, semidreapta Ob fiind semidreapta pozitivă  Oz,iar Oy, cu OxOy şi OzOy, fiind astfel încât triedrulOxyz să fie direct orientat (vezi figura 5.2.3).

    Figura 5.2.2.

    Din triunghiul OP’P1, dreptunghic în P1, se obţine:

     sinOP'y

    cosOP'x.

     b(Ob,OP)

    P

    a

    O

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    38/87

     150150Din triunghiul OPP’, dreptunghic în P’, se obţine:

      

      

     

      

     

    θ2

    πrsinPP'

    θ

    2

    πrcosOP'

    , deci rezultă că:

    rcos   θZ

    rsin   θOP'.

    Atunci,  formulele de transformare a coordonatelor sferice în coordonate carteziene sunt:

    rcos θzsinrsin θy

    cosrsin θx

        (5.2.2)

    Figura 5.2.3.

    Transformarea inversă, din coordonate carteziene încoordonate sferice, se face observând din triunghiul OPP’că  r 2  = z2  +OP’2, iar din triunghiul dreptunghic OP1P că OP’2 = x2 + y2. deci:

    222  z y xr    , (5.2.3)

    z

    P3P(x,y,z)

    z r zO θ  P2 x φ  y

    P1  y P’x

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    39/87

      151151

    zcos θ  ,

    de unde rezultă 222

    cos z y x

     z

      . (5.2.4)

    De asemenea, aplicând teorema lui Pitagora în acelaşitriunghi, avem 2222'  y x zr OP      şi atunci, dintriunghiul OP1P’, obţinem:

    x

    ytg

    yxysin

    yx

    xcos

    22

    22

     

     

     

      (5.2.5)

    Formulele (5.2.3), (5.2.4) şi (5.2.5) sunt  formulele detransformare a coordonatelor carteziene în coordonate

     sferice.

    5.3. Reprezentarea suprafeţelor

    Definiţia 5.3.1. O mul  ţ ime de puncte M(x, y, z)  R 3, alecăror coordonate x, y, z  sunt supuse unor leg ături care sereduc la o singur ă ecua ţ ie

    F(x, y, z) = 0 (5.3.1)

    unde F este o func ţ ie care satisface anumite condi ţ ii deregularitate, F: D  R , D  R 3,  se nume şte suprafa ţă  în R 3  şi se notează cu (S).

    Ecuaţia (5.3.1) se numeşte ecua ţ ia implicit ă  a unei suprafe ţ e în R 3.

    Dacă  ecuaţia (5.3.1) se poate explicita în raport cucoordonata z prin

    z = f(x, y) (5.3.2)

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    40/87

     152152unde f este o funcţie univalentă pentru fiecare sistem de

    valori ale lui x, y, ecuaţia (5.3.2) se numeşte ecua ţ ia

    explicit ă a suprafe ţ ei (S). În acest caz o paralelă la axa Ozintersectează  suprafaţa într-un singur punct. În condiţiisimilare celor impuse formulei (5.3.2) se pot obţine şi alteecuaţii explicite ale suprafeţei (S). De exemplu, se potexplicita variabilele y sau x în locul variabilei z. Dacă rezolvarea ecuaţiei (5.3.2) se face în raport cu x se obţine

    x = g(y, z). (5.3.3)Dacă  rezolvarea ecuaţiei (5.3.2) se face în raport cu y se

    obţine y = h(x, z). (5.3.4)Dacă u şi v sunt parametri, (u, v)  A  R 2, atunci

    mulţimea punctelor M(x, y, z) unde

    v)z(u,z

    v)y(u,y

    v)x(u,x

      (5.3.5)

    reprezintă o suprafa ţă (S) descrisă parametric.

    5.4. Reprezentarea curbelor în spaţiu

    Dacă  M(x, y, z)   R 3, iar coordonatele x, y, z sereprezintă  prin funcţii continue şi derivabile de un

     parametru t,

    h(t)z

    g(t)yf(t)x

      (5.4.1)

    atunci  punctul   M descrie o curbă  în  R 3. Notăm cu (C ) oastfel de curbă.Definiţia 5.4.1. Numim curbă strâmbă o curbă care nu este

     plană.

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    41/87

      153153Descrierea (5.4.1) a unei curbe în spaţiu se

    numeşte reprezentarea parametrică a curbei.

    Pe de altă  parte, o curbă  poate fi ob ţ inut ă  prinintersec ţ ia a două  suprafe ţ e. Dacă  suprafaţa (S1) estereprezentată de ecuaţia

    F(x, y, z) = 0,iar suprafaţa (S2) de ecuaţia

    G(x, y, z) = 0atunci se obţine curba de intersecţie a celor două suprafeţe

    (C ):

    0zy,x,G

    0zy,x,F  (5.4.2)

    Sistemul de ecuaţii (5.4.2) formează  reprezentareaimplicit ă a curbei (C ).

    Putem dovedi faptul că  intersecţia a două  suprafeţereprezintă o curbă astfel: dacă în ecuaţiile (5.4.1) eliminăm

     parametrul t între primele două obţinem o relaţie (x, y)=0,iar din a doua şi a treia, prin eliminarea parametrului t seobţine (y, z)=0. Ambele relaţii găsite descriu implicit câte

    o suprafaţă, iar sistemul (5.4.1) se reduce la

    0zy,x,Ψ

    0zy,x,Φ  (5.4.3)

    Acesta este un sistem de tipul (5.4.2), care reprezintă intersecţia a două  suprafeţe. Deci curba (5.4.1) se obţine

     prin intersecţia a două suprafeţe.Ecuaţiile (5.4.3) pot fi explicitate în anumite cazuri

     prin

    xψzxy    

      (5.4.4)

    ceea ce constituie o reprezentare explicit ă a curbei (C ).O suprafaţă  se numeşte algebrică  dacă  ecuaţia, prin

    care se exprimă implicit (5.3.1), este un polinom în x, y, z.O curbă obţinută prin intersecţia a două suprafeţe algebricese numeşte curbă algebrică. O suprafaţă  sau o curbă  carenu este algebrică se numeşte transcendent ă.

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    42/87

     154154Exemplul 5.4.2. Ecuaţia

    Ax + By + Cz + D = 0, x, y, z  R

    reprezintă  implicit un plan. Sistemul de ecuaţii format deecuaţiile a două plane care se intersectează:

    0

    0

    2222

    1111

     D zC  y B x A

     D zC  y B x A, x, y, z  R

    reprezintă o dreaptă.Exemplul 5.4.3. Ecuaţia r = R reprezintă, în coordonatesferice, sfera cu centrul în origine şi de rază R. Sistemul

    2πθ

    R r 

     

    reprezintă, în planul xOy, cercul cu centrul O şi raza R.

    5.5. Elementul de arc

    Consider ăm o curbă  (C ) reprezentată  parametric cuajutorul funcţiilor derivabile x, y, z prin

    tzz

    tyy

    txx

      (5.5.1)

    iar M, M’  (C ), M(x, y, z), M’(x+dx, y+dy, z+dz) (veezifigura 5.5.1). Dacă  M şi M’ sunt foarte apropiate atuncilungimea ds a arcului de curbă  delimitat pe curba (C ) de

     punctele M şi M’ poate fi aproximată suficient de bine prinlungimea coardei MM’. Obţinem deci:

    ds2 = dx2 + dy2 + dz2, prin urmare

    222 dzdydxds   ,ceea ce devine, datorită condiţiei de derivabilitate,

    dttz'ty'tx'ds 222   (5.5.2)

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    43/87

      155155

    Figura 5.5.1.

    Pentru a calcula lungimea arcului MM’, notată cu s, presupunând că punctele M şi M’ au coordonatele

    M(x(t1), y(t1), z(t1)),M’(x(t2), y(t2), z(t2)),

    avem în mod evident

      2

    1

    t

    t

    222 dttz'ty'tx's . (5.5.3)

    Când curba este dată explicit prin

    xgz

    xf y 

    iar punctele M şi M’ de pe curbă au coordonateleM(x1, f(x1), g(x1)),

    zz+dz

    M’

    z

    M

    O y y+dy y

    xx+dxx

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    44/87

     156156M’(x2), f(x2), g(x2)),

    atunci rezultă că  lungimea s a arcului determinat pe curbă 

    de cele două curbe este  

    2

    1

    x

    x

    22 dxxg'xf'1s . (5.5.4)

    5.6. Tangenta şi planul normal la o curbă strâmbă 

    Fie (C ) o curbă reprezentată prin

    (C ):

    tzz

    tyy

    txx

     

    unde x, y, z sunt funcţii o dată derivabile. Fie punctul de pecurbă M(x(t0), y(t0), z(t0)). Notăm

    x0 = x(t0), y0 = y(t0), z0 = z(t0))şi atunci M(x0, y0, z0), iar cu MT notăm tangenta la curbă în

     punctul M (vezi figura 5.6.1).Pentru a scrie ecuaţia tangentei, consider ăm un alt punct de pe curbă, N(x1, y1, z1), diferit de M şi scriemecuaţia dreptei MN:

    01

    01

    0

    01

    01

    0

    01

    01

    0

    tt

    zzzz

    tt

    yyyy

    tt

    xxxx

     

    unde x1 = x(t1), y1 = y(t1), z1 = z(t1), iar

    01

    01

    01

    01

    01

    01ttz,tty,tt xx  z y  

    sunt cosinusurile directoare ale dreptei MN.Dacă punctul N tinde către M, deci t1  tinde către t0  atuncilimita coardei MN este tangenta MT. Deoarece funcţiile x,y, z sunt derivabile, cosinuşii directori ai tangentei MT sunt

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    45/87

      157157

    001

    01

    tttx'

    tt

    txtxlimα

    01

      001

    01

    ttty'

    tttytylimβ

    01

      (5.6.1)

    0

    01

    01

    tttz'

    tt

    tztzlimγ

    01

     

    Figura 5.6.1.

    Am demonstrat astfel următoarea proprietate.Proprietatea 5.6.1.  Ecua ţ ia tangentei  MT la curba

     strâmbă  (C )  în punctul M(x0, y0, z0) al curbei, ob ţ inut pentru t = t0 , este

    o

    0

    o

    0

    o

    0

    tz'

    zz

    ty'

    yy

    tx'

    xx  

      . (5.6.2)

    z

    z1

     N

    z0

    T

    M

    O y0  y1 y

    x0x1

    x

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    46/87

     158158Vectorul tangent la curbă  în punctul M  are

    coordonatele

    000 tz',ty',tx'dtr d .  (5.6.3)

    Când curba este descrisă implicit prin

    0zy,x,G

    0zy,x,F,

    tangenta la curbă în punctul M(x0, y0, z0) are ecuaţiile:

         

      000

    0

    000

    0

    000

    0

    z,y,xyx,D

    GF,Dzz

    z,y,xxz,D GF,D

    yy

    z,y,xzy,D GF,D

    xx

     

    unde se notează  'y

    'x

    'y

    'x

    GG

    FF

    yx,D

    GF,D .

    Definiţia 5.6.2. Planul perpendicular pe tangenta la curba strâmbă  (C ) în punctul   M  se nume şte planul normal lacurbă în M.Proprietatea 5.6.3.  Ecua ţ ia planului normal   la curba

     strâmbă  (C )  în punctul M(x0, y0, z0) al curbei, ob ţ inut pentru t = t0 , este

    0zztz'yyty'xxtx' 000000   .  (5.6.4)În cazul reprezentării implicite a curbei strâmbe (C ),

    ecuaţia (5.6.4) devine:

       

     

      0000

    00000000

    zzz,y,xyx,D

    GF,D

    yyz,y,xxz,D

    GF,Dxxz,y,x

    zy,D

    GF,D

     

    Când curba strâmbă (C ) se reprezintă explicit prin

    xgz

    xf y, cu x  I  R ,

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    47/87

      159159atunci ecuaţiile tangentei la curba (C ) în punctul Mdevin

    00

    00

    0

    xkg'zz

    xkf'yyk xx

    , pentru k  R . (5.6.5)

    Planul normal la curba (C ) în punctul M are, în cazulreprezentării explicite a curbei, ecuaţia:

    0xgzxg'xf yxf'xx 00000   . (5.6.6)

    5.7. Planul osculator, binormală, normală principală, plan rectificant

    Fie o curbă (C) cu ecuaţiile parametrice, reprezentate prin funcţiile de două ori derivabile

    (C):

    tzz

    tyy

    txx

    , t  I  R , I interval.

    Definiţia 5.7.1. Orice plan care con ţ ine tangenta într-un punct la o curbă se nume şte plan tangent la curbă în acel punct.

    Un plan tangent la o curbă  are contact de ordinul 1cu curba, întrucât planul şi curba au două  puncte deintersecţie confundate în acest punct.Definiţia 5.7.2. Un plan care are cu o curbă un contact de

    ordinul 2 (trei puncte de intersec ţ ie confundate) se nume şte plan osculator la curbă în punctul de contact.

    Fie trei puncte ale curbei, Mk , corespunzătoarevalorilor tk  ale parametrului t, k = 1, 2, 3. Notând

    k k 

    k k 

    k k 

    tzz

    tyy

    txx

    , k = 1, 2, 3,

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    48/87

     160160ecuaţia planului determinat de punctele M1, M2  şi M3 

    este

    0

    131313

    121212

    111

     z z y y x x

     z z y y x x z z y y x x

    . (5.7.1)

    Când t2 tinde către t1, deci M2 tinde către M1, planul (5.7.1)va tinde către planul tangent la curbă în M1, deoarece

    x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1sunt numere propor ţionale cu parametrii directori aitangentei. Ecuaţia acestui plan este:

    0

    zzyyxx

    tz'ty'tx'zzyyxx

    131313

    111

    111

    . (5.7.2)

    Formula lui Taylor conduce la:

     

    ...tx"2!

    tttx'

    1!

    ttxx 1

    213

    113

    13  

    ,

     

    ...ty"2!

    ttty'

    1!

    ttyy

    1

    213

    1

    13

    13

     

    ,

     

    ...tz"2!

    tttz'

    1!

    ttzz 1

    213

    113

    13  

    .

    Atunci, prin operaţii cu liniile determinantului (5.7.2) seobţine:Proprietatea 5.7.3. Ecua ţ ia planului osculator la curba

    (C):

    tzz

    tyy

    txx

    , t  I  R , I interval ,

    în punctul M1(x1, y1, z1) este

    0

    )(tz")(ty")(tx"

    )(tz')(ty')(tx'

    zzyyxx

    111

    111

    111

    . (5.7.3)

    Când curba (C) se reprezintă vectorial prin

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    49/87

      161161(C): k t  z jt  yit  xt r    ,

    se observă  din (5.7.3) că  planul osculator la curbă  în

     punctul M este determinat de punctul M şi de vectoriinecoliniari k tz'+ jty'+itx'=tr' ,

    k tz"+ jty"+itx"=tr" .Definiţia 5.7.4.  Vectorul normal la planul osculator în

     punctul M al curbei (C) se nume şte binormala la curba (C)în punctul M.

     Notând cu1 b

     binormala la curbă  în punctul M, areloc"r 'r  b1     (5.7.4)

    deci putem enunţa:Proprietatea 5.7.5.  Coordonatele vectorului binormal lacurba (C) în punctul M1(x1, y1, z1) sunt date de

    111

    1111

    tz"ty"tx"

    tz'ty'tx'

    k  ji

     b   . (5.7.5)

    Proprietatea 5.7.6. Vectorul

    k tz' jty'itx'tdt

    r dt 11111     (5.7.6)

    este vectorul tangent la curba (C) în punctul M1.Definiţia 5.7.7. Numim normala principal ă la curba (C) în

     punctul M1  vectorul 1n   care este normal la curbă  în

     punctul M1  şi este situat în planul osculator la curbă în M1.Proprietatea 5.7.8.  Coordonatele vectorului normal ă  principal ă la curba (C) în punctul M1(x1, y1, z1) sunt datede

    1111 't"r t'r n t r  ,adică 

    1n = 11 t b   . (5.7.7)

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    50/87

     162162Prin normalizarea vectorilor (5.7.4), (5.7.6) şi

    (5.7.7) se obţin câmpul versor tangent t , câmpul versor

     binormal  b  şi câmpul versor normal principal n   la curba(C) în punctul M1, astfel:

    1

    1

    1

    1

    t'r 

    t'r =

    t

    t=t

    11

    11

    1

    1

    t"r t'r 

    t"r t'r 

     b

     b b

      (5.7.8)

      111111

    1

    1

    t'r t"r t'r 

    t'r t"r t'r 

    n

    nn

     

    O curbă  strâmbă  are, în fiecare punct M, o singur ă tangentă  t . Orice plan care conţine această  tangentă  esteun plan tangent la curbă în punctul M. Planul osculator esteunul dintre acestea, putând fi caracterizat ca “cel maiapropiat” de curbă, punctul M fiind un contact de ordinul 2între curbă şi plan.Definiţia 5.7.9.  Planul determinat de vectorii binormal b   şi tangent t    la curba (C)  în punctul M  se nume şte planrectificant la curba (C) în punctul M.

    Din definiţia 5.7.9 rezultă  că  planul rectificant la ocurbă  într-un punct M al curbei are drept cosinusuridirectoare cosinusurile directoare ale normalei principale lacurbă în M, date de (5.7.7). Se observă că planul osculatorla curbă în punctul M este determinat de vectorii t  şi n .

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    51/87

      1631635.8. Versorii triedului lui Frenet

    Fie un vector k tv jtvitvtv 321     un vectorarbitrar, cu proprietatea 1tv   , t   I   R . Următorulrezultat este important pentru următoarele paragrafe.Proprietatea 5.8.1. Dacă  1tv    oricare ar fi t  I  R  ,atunci vectorul t'v   este perpendicular pe tv   pentruoricare t  I.

    Figura 5.8.1.

    Demonstraţie. Fiind un vector de lungime 1, are loc 1tvtvtv 222

    321  ,

    oricare ar fi t   I. Rezultă, prin derivare membru cumembru, că  0tvtvtvtvtvtv ,33

    ,22

    ,1 1

    ,

     pentru oricare  t   I. Intrucât k tv jtvitvt'v,,,

    321 ,

    această relaţie înseamnă că  0t'vtv   ,

    adică  cei doi vectori sunt ortogonali, ceea ce trebuiademonstrat.

    (P N)

    (PR )  b  

    t   M n  

    (C) (PO)

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    52/87

     164164Pentru o curbă (C),

    (C):

    tzztyy

    txx

     ,

    în fiecare punct M(xo, yo,zo), xo = x(to), yo = y(to), zo = z(to),al ei se asociază un reper ortonormat intim legat de curbă,{M;  b,n,t }. Triedrul direct orientat {  b,n,t } se numeştetriedrul lui Frenet   (triedrul principal) al curbei (C) în

     punctul M.Triedrul lui Frenet determină, în fiecare punct M al

    unei curbe, un sistem de coordonate intim legat de curbă,cu următoarele elemente (vezi figura 5.8.1): 

    Originea în punctul M al curbei; 

    Axa tangentă  la curbă, având versorul vectorultangent t ;

     

    Axa normală  principală  la curbă, având versorulvectorul normal principal n ;

     

    Axa binormală  la curbă, având versorul vectorul binormal  b .Triedrul lui Frenet determină  trei plane variabile

    împreună cu punctul M curent al curbei (vezi figura 5.8.1): 

    Planul osculator, (PO), determinat de vectorii tangentt  şi normal principal n ;

     

    Planul normal, (P N), determinat de vectorul normal principal n  şi vectorul binormal  b ;

     

    Panul rectificant, (PR ), determinat de vectorul

     binormal  b  şi vectorul tangent t .Orientarea acestui triedru este identică  orientării reperuluicartezian iniţial, faţă de care se raportează spaţiul.

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    53/87

      165165

    5.9. Curbura unei curbe strâmbe; torsiunea

    Din definiţia vectorului n , (5.7.7), rezultă  că  acesta

    este coliniar cu vectorul 22

    ds

    r d  (ds este elementul de arc)

    deci

    2

    2

    ds

    r d = nρ     (5.9.1)

    într-un punct M al curbei (C), corespunzător valorii to  a

     parametrului.Definiţia 5.9.1. Numărul ρ  din (5.9.1) se nume şte curburacurbei (C) în punctul  M.

    Figura 5.9.1.

    Definiţia 5.9.2. Numărul

    R = ρ1

      (5.9.2)

     se nume şte raza de curubur ă a curbei (C) în punctul  M.Caz particular 5.9.3.  Când curbura este nulă, ρ   = 0, întoate punctele curbei (C), atunci prin integrarea de două oria ecuaţiei (5.9.1) se obţine

    t'  M’

    t  

    M t'  

    t' = t + t  

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    54/87

     166166

    21 k sk r    , (5.9.3)unde 21 k ,k   sunt vectori constanţi. Pentru

    k z jyixk k n jmilk 0002

    1

     rezultă din (5.9.3):

    n

    zz

    m

    yy

    l

    xx 000  

    ,

    deci curba se reduce la un segment de dreaptă.Analog, din definiţia vectorului  b  (5.7.4), rezultă că acestaeste coliniar cu vectorul n , deci

    ds bd  = nτ    (5.9.4)

    Definiţia 5.9.4. Numărul  din (5.9.4) se nume şte torsiuneacurbei (C) în punctul  M.Definiţia 5.9.5. Numărul

    T =τ

    1  (5.9.5)

     se nume şte raza de torsiune a curbei (C) în punctul  M.

    Interpretarea geometrică a curburii şi a torsiunii uneicurbe într-un punct M este (vezi figura 5.9.1) :1)

     

    Curbura unei curbe într-un punct M este viteza devariaţie a unghiului pe care-l face tangenta lacurbă  cu o dreaptă  fixă. Cu alte cuvinte, curburaunei curbe strâmbe este o măsur ă  a modului încare tangenta la curbă  îşi schimbă  direcţia când

     punctul M se deplasează  de-a lungul curbei.

    Aceasta înseamnă  că  prin studiul curburii seobţine informaţie asupra modului de schimbare a poziţiei planului normal la curbă când punctul M parcurge curba.

    2) 

    Torsiunea unei curbe într-un punct M este vitezade variaţie a unghiului pe care-l face binormala lacurbă  cu o dreaptă  fixă. Torsiunea unei curbestrâmbe este o măsur ă  a modului în care ‘se

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    55/87

      167167întoarce’ planul osculator pe curbă  când

     punctul M parcurge curba.

    Curbura şi torsiunea se numesc elementele intrinseciale curbei, iar ecuaţiile:

    sττ

    sρρ, (5.9.6)

    formează reprezentarea intrinsecă a curbei (C).Consecinţa 5.9.6. Valorile numerice ale curburii  şitorsiunii unei curbe într-un punct  M(s) al său sunt :

    ds

     bdτ

    ds

    tdρ

      (5.9.7)

    Formula (5.9.7) rezultă din (5.9.1) şi (5.9.4).

    5.10. Formulele lui Frenet

    Să  presupunem că  o curbă  (C), are reprezentareaintrinsecă 

    (C):

    sττ

    sρρ.

    Deoarece t bn   , rezultă:

    ds

    td bt

    ds

     bd

    ds

    nd 

    nρ btnτ  

    t

    T

     bnρ bτ   .

    Prin urmare, am demonstrat următoarea:Proprietatea 5.10.1. Varia ţ ia versorilor triedrului lui

     Frenet de-a lungul curbei (C) în func ţ ie de varia ţ iaelementului de arc este:

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    56/87

     168168

    nτds

     bd

     bτtρdsnd

    nρds

    td

    . (5.10.1)

    Aceste relaţii sunt cunoscute sub numele de formulele lui Frenet . Acestea stabilesc legătura dintreversorii triedrului lui Frenet n , t ,  b , derivatele lor,curbura şi torsiunea. Ele se mai pot scrie şi astfel, folosind

    raza de curbur ă R şi raza de torsiune T:

    T

    n

    ds

     bdT

     b

    t

    ds

    ndR 

    n

    ds

    td

      (5.10.2)

    Să  presupunem acum că  reprezentăm curba (C)

     parametric prin:

    (C):

    tzz

    tyy

    txx

    .

    Aceasta este echivalent cu reprezentarea vectorială:(C): tr r   .

    Formulele lui Frenet ne permit să  obţinem expresiaanalitică a razei de curbur ă şi a razei de torsiune astfel. Prin

    calcul direct găsim derivatele vectorului de poziţie tr r    al unui punct M curent al curbei:

    ts'dt

    ds

    ds

    dr 

    dt

    r dt'r    ,

     

    nρs'ts"dt

    ts'dt"r  2

      (5.10.3)

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    57/87

      169169

     

    dt

    ns'ts"dt'''r 

    2

     

     bρτs'ndtdρs'ρs"3s'ts'ρ''s' 3232   

        

    Din acestea rezultă, folosind faptul că  s’(t) = t'r  ,relaţiile:

    ntρs't"r t'r  3  

     bt'r ρ bρs't"r t'r 33   (5.10.4)

      62τs'ρt'''r t"r t'r     

        τt'r ρt'''r t"r t'r 22

      (5.10.5)

    Din (5.10.4) şi (5.10.5) se obţine uşor:Proprietatea 5.10.2. Curbura  şi torsiunea unei curbe (C)într-un punct al său M cu vectorul de pozi ţ ie  tr r     sunt :

    3t'r 

    t"r t'r ρ , (5.10.6)

     

    2t"r t'r 

    t'''r t"r t'r τ

    . (5.10.7)

    Cu ajutorul acestor proprietăţi deducem prin calculdirect următoarele proprietăţi ale curbelor plane şi ale

    dreptelor:Proprietatea 5.10.3.  Fie (C) o curbă  în spa ţ iu avândcurbura   0. Atunci (C) este o curbă plană dacă  şi numaidacă  torsiunea sa    este identic nul ă  de-a lungul întregiicurbe. Proprietatea 5.10.4. O curbă  în spa ţ iu este o por  ţ iunedintr-o dreapt ă dacă  şi numai dacă  are curbura   identicnul ă. 

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    58/87

     170170

    5.11. Probleme propuse

    1. Să se scrie ecuaţiile tangentei şi normalei în punctul t=2la curba

    (C): k t  jt it t r  2

    22   .

    2. Să  se scrie ecuaţiile tangentei şi normalei în punctul

    M(6,16,-4) la curba

    (C):

    2

    22

    3

    t  z

    t  y

    t  x

    .

    3. Calculaţi lungimea arcului curbei (C):

    3

    2

    2

    3

    bt  z

    abt  y

    at  x

     

     pentru 10   t  .

    4. Calculaţi lungimea arcului curbei (C):

    22

    23

    a xz ya x , care se

    află între planele y = 3a

     şi y = 9a.

    5. Determinaţi versorii triedrului lui Frenet al curbei(C):     k t  jt it t r    123 32  

    în punctul corespunzând valorii t  = 2 dată parametrului.6. Determinaţi versorii triedrului lui Frenet al curbei

    (C):

    5

    232

    2

    23

    t  z

    t  yt t  x

     

    în punctul M(-1, 5, -4).7. Calculaţi curbura şi torsiunea curbei

    (C):     k t  jt it t r    123 32  în punctul corespunzând valorii t  = 2 dată parametrului.8. Calculaţi curbura şi torsiunea curbei

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    59/87

      171171

    (C):

    5

    23

    2

    2

    23

    t  z

    t  y

    t t  x

     

    în punctul M(-1, 5, -4).9. Scrieţi ecuaţiile planelor triedrului lui Frenet al curbei

    (C):     k t  jt it t r    123 32  în punctul corespunzând valorii t  = 2 dată parametrului.10. Scrieţi ecuaţiile planelor triedrului lui Frenet al curbei

    (C):

    5

    23

    2

    2

    23

    t  z

    t  y

    t t  x

     

    în punctul M(-1, 5, -4).11. Scrieţi ecuaţiile axelor triedrului lui Frenet al curbei

    (C):     k t  jt it t r    123 32  în punctul corespunzând valorii t  = 2 dată parametrului.12. Scrieţi ecuaţiile axelor triedrului lui Frenet al curbei

    (C):

    5

    23

    2

    2

    23

    t  z

    t  y

    t t  x

     în punctul M(-1, 5, -4).13. Găsiţi planul osculator al curbei de ecuaţie vectorială 

    k t  jt it t r  32 , care trece prin punctul M     

       6,

    3

    1,2 .

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    60/87

     172172

    Capitolul 6

    Geometria diferenţială a suprafeţelor

    6.1 Curbe pe o suprafaţă 

    In capitolul 3 s-a definit o suprafaţă  ca fiind omulţime de puncte M(x, y, z)   R 3  ale căror coordonatesunt supuse unor legături, care se reduc la o singur ă ecuaţie:

    F(x, y, z) = 0 (6.1.1)unde F: D  R , D R 3, este o funcţie satisfacând anumitecondiţii de regularitate.

    Formula (6.1.1) se numeşte ecuaţia implicită  asuprafeţei.Amintim că  pentru o suprafaţă  s-au discutat şi

    reprezentările explicite, parametrică, vectorială, care vor fiapelate în acest capitol.

    Fie o suprafaţă (S) dată  prin ecuaţiile parametrice:

    vu,zz

    vu,yy

    vu,xx

      (6.1.2)

    unde (u,v)  D  R 3.Presupunem că  suprafaţa (S) este regulată, adica

    funcţiile x, y, z sunt continue, diferenţiabile, cu derivate

     par ţiale continue, iar determinanţii funcţionali vu,D

    yx,D,

    vu,D

    zx,D,

    vu,D

    zy,D nu se anulează simultan. Notând

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    61/87

      173173 k vu,z jvu,yivu,xvu,r    ,

    (6.1.3)

    obţinem ecuaţia vectorială a suprafeţei (S), iar regularitateaimplică 0r r 

    ,v

    ,u   . (6.1.4)

    Figura 6.1.1.

    Valorile u, v  ale parametrilor determină  un punctA(x,y,z) al suprafeţei (S). Valorile u şi v care determină 

     punctul A se numesc coordonatele curbilinii ale punctuluiA. Vom scrie astfel punctul A(x, y, z) în coordonate

    carteziene şi A(u,v) în coordonatele curbiliniicorespunzătoare.

    Fie un punct M  (S), M(uo, vo) (vezi figura 6.1.1).Definiţia 6.1.1. Ecua ţ iile

    v,uzz

    v,uyy

    v,uxx

    0

    0

    0

      (6.1.5)

    M(u0,v0)

    0r   

    z

    O y

    x

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    62/87

     174174reprezint ă  o curbă  pe suprafa ţ a  (S), care trece prin

     punctul   M.  Aceasta se nume şte curba  u = uo  de pe

     suprafa ţ a (S).

    Figura 6.1.2.

    Definiţia 6.1.2. Ecua ţ iile

    0

    0

    0

    vu,zz

    vu,yy

    vu,xx

      (6.1.6)

    reprezint ă o curbă pe suprafa ţ a (S), care trece prin punctul  M. Aceasta se nume şte curba v = vo de pe suprafa ţ a (S).

    Curbele u = uo  şi v = vo  se numesc curbelecoordonate  pe suprafaţa (S) în raport cu reprezentarea(6.1.2). Astfel suprafaţa (S) este cadrilată  de curbele salecoordonate, u=const. şi v=const.

    Fie curba u = uo, a cărei ecuaţie vectorială este k v,uz jv,uyiv,uxvr  000   , (6.1.7)

    având deci parametrul v. Vectorul

    v=v0

    M(u0,v0)

    0r    u=u0z

    O yx

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    63/87

      175175

    k v

    v,uz j

    v

    v,uyi

    v

    v,ux

    v

    r r  000

    ,v

     

    este tangent curbei, el fiind vectorul tangent la curbă  în punctul de coordonată v.Analog pentru curba v = vo cu ecuaţia vectorială 

    k vu,z jvu,yivu,xur  000   , (6.1.8)vectorul

    u

    vu,z j

    u

    vu,yi

    u

    vu,x

    u

    r r  000

    ,u

     

    este tangent la curbă în punctul de parametru u.

    Definiţia 6.1.3. O rela ţ ie  v = f(u) determină pe suprafa ţ a (S) o curbă cu ecua ţ iile parametrice.

    uf u,zz

    uf u,yy

    uf u,xx

      (6.1.9)

    Observaţia 6.1.4. Ecuaţiile

    tvv

    tuu, t  I  R ,

    definesc pe suprafaţa (S) o curbă cu ecuaţiile parametrice

    tv,tuzz

    tv,tuyy

    tv,tuxx

    , t  I  R.  (6.1.10)

    6.2. Elementul de arc al unei curbe pe o suprfaţă 

    Fie o curba (C) pe o suprafaţă  (S) cu ecuaţiile parametrice (6.1.2). Presupunând suprafaţa (S) regulată,elementul ds de arc al curbei (C) se calculează prin:

    ds2 = dx2 + dy2+ dz2 =2

    r d . (6.2.1)Ţinând seama că 

    dvr dur r d,v

    ,u   ,

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    64/87

     176176iar

    u

    z j

    u

    yi

    u

    x

    u

    r r 

    ,u

    , (6.2.2)

    k v

    z j

    v

    yi

    v

    x

    v

    r r 

    ,v

    , (6.2.3)

    deci

    k dvv

    zdu

    u

    z jdv

    v

    ydu

    u

    yidv

    v

    xdu

    u

    xr d  

      

      

      

      

      

      

    atun

    ci se obţine:22 r dds   =

    =

    222

    dvv

    zduu

    zdvv

    yduu

    ydvv

    xduu

    x

      

      

      

      

      

      

     

    = 22

    22

    dvv

    xdudv

    v

    x

    u

    x2du

    u

    x  

      

      

      

    +

    + 22

    22

    dvv

    ydudv

    v

    y

    u

    y2du

    u

    y  

      

      

      

    +

    + 22

    22

    dvv

    zdudv

    v

    z

    u

    z2du

    u

    z  

      

      

      

    =

    = 2222

    duuzuyux

                 +

    + dudvvz

    u

    z

    v

    y

    u

    y

    v

    x

    u

    x2  

      

      

    +

    +2

    222

    dvv

    z

    v

    y

    v

    x

     

      

     

     

      

     

     

      

     

     

     Notăm:

    E =

    2,ur 

    =

    222

    u

    z

    u

    y

    u

      

     

     

      

     

     

      

     

    , (6.2.4)F = ,v

    ,u r r   = v

    z

    u

    z

    v

    y

    u

    y

    v

    x

    u

    x

    , (6.2.5)

    G =2,

    vr  =222

    v

    z

    v

    y

    v

    x  

      

      

      

      

      

      (6.2.6)

    si atunci are loc:Proprietatea 6.2.1. Elementul de arc al curbei (C) de pe o

     suprafa ţă (S) cu ecua ţ iile parametrice

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    65/87

      177177

    vu,zz

    vu,yy

    vu,xx

     

     se calculează prinds2 = E du2 + 2 F dudv + G dv2. (6.2.7)

    Când suprafaţa (S) este reprezentată explicit prinz=f(x, y)

    atunci (6.2.4), (6.2.5) şi (6.2.6) devin:

    E = 1 +2

    x

    f   

      

    = 1 + p2, (6.2.8)

    F = yf 

    xf 

     = pq, (6.2.9)

    G = 1 +2

    y

    f  

      

     

    = 1 + q2, (6.2.10)

    unde p = xf 

     şi q = yf 

    . În acest caz (6.2.7) devine

    ds2 = (1+p2)dx2 + 2pq dx dy + (1+q2)dy2. (6.2.11)

    6.3. Prima formă fundamentală a unei suprafeţe.Lungimea unui arc de curbă de pe o suprafaţă 

    Fie (S) suprafaţa reprezentată parametric prin:

    (S):

    vu,zz

    vu,yy

    vu,xx

     

    Presupunem că suprafaţa (S) este regulată.Definiţia 6.3.1.  Expresia pătratului elementului de arc  ds

     se nume şte prima formă metrică fundamental ă a suprafe ţ ei (S), notându-se aceasta cu 1:

    1 = ds2 = Edu2 + 2Fdudv + G dv2. (6.3.1)

    Când suprafaţa (S) se reprezintă explicit prin(S): z = f(x,y)

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    66/87

     178178atunci prima formă metrică fundamentală a sa este1 = ds

    2 = (1 + p2)dx2 + 2 pqdxdy + (1+q2)dy2. (6.3.2)

    Presupunând acum că  (C) este o curba pe suprafaţa(S), unde (S) este reprezentată  parametric prin (6.1.2) iar(C) se descrie prin:

    tvv

    tuu, t  I  R ,

    ecuaţiile curbei (C) fiind (6.1.10), cu u şi v diferenţiabile,atunci

    ds2 = Eu’2dt2 + 2Fu’v’dt2 + Gv’2dt2

    şi decidtGv'v'2Fu'Eu'ds 22   (6.3.3)

    Fie punctele A, B   (C) unde A(t1) şi B(t2). Lungimea arcului de curbă AB este:

        2

    1

    t

    t

    22

    AB

    dtGv'v'2Fu'Eu'dsABl . (6.3.4)

    6.4. Unghiul a două curbe pe o suprafaţă 

    Fie (S) o suprafaţă regulată reprezentată prin

    (S):

    vu,zz

    vu,yy

    vu,xx

    .

    Pe suprafaţa (S) consider ăm curba (C1) dată de

    tvv

    tuu

    1

    1, t  I  R ,

    şi vom nota cu d r  , du, dv, ds diferenţialele de-a lungulcurbei (C1). Prin urmare

    dvr dur r d,v

    ,u    

    şi deci

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    67/87

      179179

    ds= r d  = 22 Gdv2FdudvEdu   .Tot pe suprafata (S) consider ăm şi curba (C2) dată de:

    tvvtuu

    2

    2, t  I  R ,

    şi notăm cu , u, v, s diferenţialele de-a lungul curbei(C2).Are loc deci

    δvr δur r δ,v

    ,u    

    şi atunci

    s=r δ

    =

    22 Gδδ2FδFδuEδδ  

    .Definiţia 6.4.1.  Prin unghiul  θ  dintre curbele  (C1)  şi  (C2)de pe suprafa ţ a (S) se în ţ elege unghiul dintre tangentele lacele două  curbe în punctul lor de intersec ţ ie  (vezi figura6.4.1).

    Figura 6.4.1.

    Deoarece vectorul d r    este coliniar cu versorultangentei 1t   la curba (C1) în punctul M, {M} = (C1)  (C2),iar vectorul   este coliniar cu versorul 2t    al tangentei la

    (C1)

    1t   M 

    2t   (S)r    (C2)

    z

    O y

    x

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    68/87

     180180(C2) în M, unghiul dintre cele două  curbe este unghiul

    dintre  1t   şi 2t  , deci:

    Proprietatea 6.4.2. Unghiul θ dintre curbele (C1)  şi (C2) de pe suprafa ţ a (S) se calculează prin

    2222 vGvuF2uEGdv2FdudvEdu

    GdvδddvδvduδuFEduδd

    cosθ

    δ

       

     

    Condiţia de ortogonalitate a curbelor (C1) şi (C2) de

     pe suprafaţa (S) este cosθ = 0, deciEduu + F(duv + dvu) + Gdvv = 0. (6.4.1)Când curbele (C1) şi (C2) sunt curbe coordonate pesuprafaţă atunci cosinusul unghiului dintre ele este

    EG

    Fcosθ  . (6.4.2)

    Când F = 0 atunci aceste curbe formează o reţea ortogonală  pe suprafaţa (S).

    6.5. Planul tangent şi normala la o suprafaţă 

    Fie suprafaţa (S) reprezentată prin ecuaţia vectorială de tipul (6.1.3)

    k vu,z jvu,yivu,xvu,r    .

    Presupunem că (S) este regulată. Dacă (C) este o curbă pesuprafaţa (S) care trece prin punctul M, iar ecuaţia curbei(C) este

    tv,tur r   ,atunci vectorul

    dt

    dvr 

    dt

    dur 

    dt

    r d ,v

    ,u    

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    69/87

      181181este tangent la curba (C) în punctul M. Acest vector estesituat în planul determinat de vectorii ,ur   şi

    ,vr    tangenţi la

    curbele de coordonate din punctul M (vezi figura 6.5.1).

    Figura 6.5.1.

    Definiţia 6.5.1.  Planul tangent   (T) la suprafa ţ a  (S) în punctul  M(S) este planul care con ţ ine toate tangentele în M la curbele din (S) care trec prin M.

    Fie P(x,y,z) un punct arbitrar din planul (T) şiM(xo,yo,zo). Atunci vectorii MP ,

    ,ur   şi

    ,vr   sunt coplanari,

    deci produsul lor mixt este nul. Această condiţie ne va da:Proprietatea 6.5.2.  Ecua ţ ia planului tangent   (T) la

     suprafa ţ a (S) în punctul  M(S) este

    0

    z,y,xzz,y,xyz,y,xx

    z,y,xzz,y,xyz,y,xx

    zzyyxx

    000,v000

    ,v000

    ,v

    000,u000

    ,u000

    ,u

    000

    . (6.5.1)

    De asemenea, normala   N   la suprafa ţ a  (S) în punctul  M, adică normala planului tangent la (S) în M are parametrii directori:

     N  ,ur    (T)

    P(x,y,z)M

    ,vr    (S)

    r   z

    O yx

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    70/87

     182182

    A = vu,D

    zy,D, B =

      vu,D

    zx,D , C =

    vu,D

    yx,D . (6.5.2)

    Prin urmare , ecua ţ ia normalei la suprafa ţ a  (S) în punctul  M este

    C

    zz

    B

    yy

    A

    xx 000  

    . (6.5.3)

    Când (S) este reprezentată  explicit prin z = f(x, y),atunci parametrizând prin

    yx,f z

    yy

    xx

     

    obţinem

    A = xz

    , B = yz

    , C = 1.

    Când (S) este reprezentată implicit prinF(x, y, z) = 0

    atunci

    zFx

    F

    x

    z

    , iarzF

    y

    F

    y

    z

     

    şi deci parametrii directori ai normalei pot fi consideraţi

    x

    F

    , yF

    , zF

    .

    6.6. Versorul normalei la suprafaţă 

     Normala  N   la suprafaţa (S) este coliniar ă  cuvectorul ,ur  

    ,vr  . Din identitatea

    2,v

    ,u

    2,v

    2,u

    2,v

    ,u r r r r r r     

    rezultă:A2+ B2+ C2 = EG – F2

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    71/87

      183183Definiţia 6.6.1. Versorul normalei la suprafa ţ a (S) esteversorul  ν  astfel orientat încât

    ,v,u r r Δ1 ν   , unde  2FEGΔ   .

    6.7. Elementul de arie

    Pentru a calcula aria unei por ţiuni (D) a suprafeţei

    (S) consider ăm un element de suprafaţă definit astfel:Definiţia 6.7.1.  Două  cre şteri dx  şi  dy ale argumentuluidetermină  pe suprafa ţ a  (S) un dreptunghi curbiliniu  (dS)numit element de suprafa ţă al suprafe ţ ei (S).

    Fie M un punct al acestui dreptunghi curbiliniu, (T) planul tangent la (S) în M şi fie dreptungiul determinat în planul (T) de (dS). Aceasta înseamnă că proiecţia pe planulxOy a elementului de suprafaţă  (dS) şi a dreptunghiului

    este un dreptunghi cu laturile dx şi dy. Aria elementului de suprafa ţă  dS este atunci, aproximându-l prin por ţiunea adin (T), calculată prin dxdy = acos, deci

    cos γ

    dydxdSa  .

    Dacă  (S) se reprezintă  implicit prin F(x,y,z)=0,atunci

    2,z

    2,y

    2,x FFF

    1cosγ

    , (6.7.1)

    derivatele calculate fiind în punctul M, iar dacă  (S) sereprezintă explicit prin z = f(x, y), avem în punctul M.

    2,y

    2,x f f 1

    1cosγ

    . (6.7.2)

    Prin urmare, în cazul reprezentării explicite, elementul dearie este 

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    72/87

     184184

    dxdyy,xf y,xf 1dS 002'

    y00

    2'x     (6.7.3)

    Am obţinut, pentru cazul reprezentării explicite asuprafeţei (S) următoarea:Proprietatea 6.7.2.  Aria por  ţ iunii  (D) din suprafa ţ a  (S)este:

       D D

    dxdyyx,f yx,f 1dSDA2'

    y

    2'x . (6.7.4)

    Figura 6.4.1.

    Consecinţa 6.7.3. Aria suprafeţei (S) va fi, astfel,

      S S 

    dxdyyx,f yx,f 1dSSA2'

    y

    2'x . (6.7.5)

    Consecinţa 6.7.4. Când(S) este dată vectorial prin k vu,z jvu,yivu,xvu,r    ,

     N  z

     (D)

    aM dS  

    (T) (S)

    r   z

    O yx

    dx

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    73/87

      185185atunci aria suprafeţei (D) se poate exprima folosind

     prima formă fundamentală a suprafeţei (S) prin

      D

    2

    dudvFEGDA . (6.7.6)În acest caz, elementul de arie al suprafetei (S) este

    dudvFEGdS 2 . (6.7.7)

    6.8. Triedrul lui Darboux

    Fie (C) o curbă trasată pe o suprafaţă (S), regulată. Înfiecare punct al curbei (C) se va defini un triedru diferit detriedrul lui Frenet, care va ilustra faptul că (C) este o curbă 

     pe suprafaţa (S).

    Figura 6.8.1.

    Fie  ν   versorul normalei la suprafaţa (S) în punctul M alcurbei (C). Fie n  versorul normal principal în M la (C), iarθ unghiul dintre  ν  şi n  (vezi figura 6.8.1). Fie t  versorul

     ν  

    n   M t  

    β   (S)r    (C)

    z

    O yx

  • 8/17/2019 Partea II (1).pdf

    74/87

     186186tangentei în M la (C), cu un sens pozitiv ales arbitrar, iar

    β   un vector unitar situat în planul tangent în M la (S)

    astfel încât triedrul β, ν,t   să  fie ortonormat şi directorintat.Definiţia 6.8.1. Triedrul lui Darboux este triedrul β, ν,t  ob ţ inut din triedrul lui Frenet prin rota ţ ia de unghi  θ  în

     jurul tangentei orientate  t .Făcând schimbarea de reper prin rotaţia de unghi θ în

     jurul tangentei orientate t  se obţine :Proprietatea 6.8.2.  Formulele de transformare ale

    triedrului   b,n,t  în  β, ν,t  sunt :

    sin   θ νcos   θβ b

    cos   θ νsin   θβn

    tt

      (6.8.1)

    Schimbarea de bază  în f