partea a ii
DESCRIPTION
licentaTRANSCRIPT
PARTEA a II-a: METODOLOGIA CERCETĂRII
II.1. Justificarea cercetării
Am ales să realizez o analiză comparativă cu privire la strategiile utilizate în predarea
conceptelor legate de mulţimea numerelor naturale în România şi Regatul Unit al Marii
Britanii , reliefând atât asemănările dintre acestea cât şi deosebirile principale, încercând
astfel să evidenţiez lipsurile şi plusurile sistemului românesc, dar şi modalităţi ce pot
îmbunătăţi şi eficientiza învăţământul românesc. Totodată, consider că această temă
ar putea avea un impact pozitiv asupra modului în care îmi voi proiecta şi desfăşura
activităţile educative specifice disciplinei matematică atunci când voi ajunge la catedră.
Totodată, am fost motivată şi de faptul că studiile internaţionale au ridicat motive de
îngrijorare privind performanţa scăzută a elevilor din România, şi nu numai, la disciplina
matematică; acest lucru m-a determinat să identific pe de o parte obstacolele şi
aspectele problematice, iar pe de altă parte, abordările eficiente care să conducă la
promovarea metodelor eficiente de predare care se axează pe aplicarea practică a
cunoştinţelor şi deprinderilor elevilor în rezolvarea de probleme, şi cele care sprijină
implementarea strategiilor didactice în vederea reducerii semnificative a numărului elevilor
din ciclul primar cu nivel scăzut de achiziţii la matematică.
II.2. Obiectivele cercetării
Studiul de faţă îşi propune să analizeze comparativ modul de predare a conceptelor
legate de Mulţimea numerelor naturale în România şi Marea Britanie, având următoarele
obiective:
Identificarea posibilelor asemănări şi deosebiri care se pot regăsi la nivelul
sistemului de învăţământ românesc şi britanic;
Identificarea unor aspecte comune şi diferite existente în programele
şcolare specifice celor două ţări;
Analiza comparativă a numărului de ore alocat matematicii/săpt./clasă în
ciclul primar în România şi Marea Britanie;
Identificarea unor asemănări şi deosebiri cu privire la obiectivele şi
conţinuturile/clase specifice curriculum-ului britanic şi românesc;
Analiza comparativă a strategiilor didactice utilizate în predarea noţiunilor
şi operaţiilor aritmetice specifice Mulţimii numerelor naturale;
Identificarea unor strategii eficiente şi noi, care să asigure îmbunătăţirea şi
creşterea randamentului şcolar al elevilor din ciclul primar la disciplina
matematică
II.3. Ipotezele studiului
1. Sistemul de învăţământ britanic şi românesc sunt structurate pe nivele iar spre
deosebire de Marea Britanie, în România este promovată mentalitatea
concurenţială, în care copilul învaţă ca să-i întreacă pe ceilalţi, nu pentru a se
întrece permanent pe sine.
2. Spre deosebire de România, în sistemul de învăţământ britanic se stabileşte
bugetul total de timp pentru un an de studiu, timpul de studiu alocat
disciplinelor fiind flexibil.
3. În România, competenţele generale vizate la nivelul disciplinei Matematică şi
explorarea mediului jalonează achiziţiile de cunoaştere şi de comportament ale
elevului pentru întregul ciclu primar, pe când, obiectivele generale specifice
Marii Britanii nu sunt elaborate pentru întreg ciclul primar ci fiecare etapă
cheie(Key stage) prezintă obiectivele proprii;
4. Metodologia de predare a noţiunilor şi operaţiilor aritmetice specifică
învăţământului britanic este mai flexibilă, mai înclinată spre explorare,
descoperire şi experimentare, introducând elevii în contexte multiple şi reale de
viaţă în vederea rezolvării problemelor matematice într-un mod practic şi
creatic; acest lucru se poate remarca chiar şi prin posibilitatea utilizării
calculatorului electronic de către elevi în lecţiile de matematică.
II.4. Variabilele introduse ( vă rog mult să ma ajutaţi aici; măcar o idee, multumesc!)
II.4.1. Variabile dependente: ??? numărul de ore alocate,
II.4.2. Variabile independente: ??? sistemul de învăţământ, planul de învăţământ,
programa şcolară, strategiile didactice
II.5. Metoda a analizei de conţinut (eu am gasit ceva pe net despre ea ca fiind metoda
cantitativa; nu e cumva calitativa??
II.5.1. Prezentarea generală a metodei
II.5.2. Prezentarea modului de aplicare a metodei
PARTEA a III- a: PREZENTAREA, PRELUCRAREA ŞI INTERPRETAREA
DATELOR
III.1. Sistemul de învăţământ românesc versus sistemul de învăţământ britanic:
III.1.1. Structura anului şcolar
O minimă comparaţie în privinţa structurii anului şcolar între sistemele de învăţământ
din ţările România şi Marea Britanie, evidenţiază diversitatea şi flexibilitatea acestei
structuri.După cum se poate observa în tabel, spre deosebire de România, în Marea Britanie
anul şcolar este împărţit în 3 semestre iar vacanţele sunt mai scurte.
1.1. Structura anului şcolar în România şi Marea Britanie
Aspecte vizate România Regatul unit al Marii Britanii
Nr. de semestre 2 semestre:
- I sem.- sept-dec.
- II sem.- ian.- iun.
3 semestre:
- I sem. – sept-dec.
- II sem. – ian.-martie
-III sem.- aprilie – sfârşitul iunie
Nr. de săpt. de
cursuri
36-săpt împărţite în
2 semestre
39-40 săpt.
Nr. de săpt. de
vacanţă
17 săpt. 12-13 săpt.
Data începutului de
an şcolar
aprox 17 sept 1 septembrie/15 august, Scoţia
Data sfârşitului de
an şcolar
22 iunie 23-30 iunie
Vacanţa de toamnă 05-11 noi.- ciclul
primar şi preşcolar
1 săpt între 24 oct-1 noi.
Crăciun/Anul nou 22 dec.-13 ian -1 săpt. între 19 dec şi prima săpt. din ian.
- În jur de 2 săpt. în intervalul 16 dec.- 09.ian-
Scoţia
Vacanţa de
iarnă/Carnaval
- Aprox. 5 zile în intervalul 13-20 febr.
Primăvară/Paşte 06 aprilie.-14
aprilie
Circa 1 săpt. în intervalul 03.-13. aprilie
Circa 2 săpt între 23.martie-16 aprilie
Vacanţă
intermediară
- Unele şcoli circa 1 săpt în intervalul 1 iunie-8
iunie
Vară 22.iunie-15 sept Circa 1 luna jumătate în intervalul 1 iulie-2
sept(în Irlanda sunt 2 luni)
Sărbători legale
“bank holidays”
1 ianuarie-
prima zi din
an
1 mai, Ziua
internaţional
ă a muncii
5-6 mai-
Prima şi a
doua zi de
1 ianuarie: prima zi din an,
Good Friday(Vinerea Mare in
Romania)
Easter Monday – prima luni dupa
sarbatoarea Pastelui.
23 aprilie - Ziua nationala a Angliei;
1 Mai sau Ziua Muncii – ca in mai
toate statele Europene
Ziua de Whitsun –are o data variabila;
Paşti
iunie -
prima şi a
doua zi de
Rusalii
1
decembrie,
Ziua
Naţională a
României
25-26 dec.-
Prima si a
doua zi de
Crăciun
este echivalentul sarbatoririi Rusaliilor
25 Decembrie – ziua de Craciun
26 sau 27 decembrie: Boxing Day; De
regula, este ziua de dupa Craciun
Săptămâna 1 – 5
aprilie din
semestrul al doilea
este săptămână
dedicată
activităţilor
extracurriculare şi
extraşcolare, în
cadrul programului
numit „Să ştii mai
multe, să fii mai
bun!”, având un
orar specific.
III.1.2. Structura studiilor
În România, sistemul naţional de învăţământ preuniversitar cuprinde următoarele niveluri:
educaţia timpurie (0—6 ani), formată din nivelul antepreşcolar (0—3 ani) şi
învăţământul preşcolar (3—6 ani), care cuprinde grupa mică, grupa mijlocie şi
grupa mare;
învăţământul primar, care cuprinde clasa pregătitoare şi clasele I—IV;
învăţământul secundar, care cuprinde:
- învăţământul secundar inferior sau gimnazial, care cuprinde clasele V—IX;
- învăţământul secundar superior sau liceal, care cuprinde clasele de liceu
X—XII/XIII, cu următoarele filiere: teoretică, vocaţională şi tehnologică;
învăţământul profesional, cu durată între 6 luni şi 2 ani;
învăţământul terţiar nonuniversitar, care cuprinde învăţământul postliceal.
Învăţământul liceal, vocaţional şi tehnologic, învăţământul profesional şi învăţământul
postliceal se organizează pentru specializări şi calificări stabilite de Ministerul Educaţiei,
Cercetării, Tineretului şi Sportului, în conformitate cu Registrul naţional al calificărilor.
învăţământul superior se realizează prin instituţii de învăţământ de tipul:
universităţi, academii, şcoli de studii academice postuniversitare. Instituţiile de
învăţământ superior includ în mod obişnuit mai multe facultăţi, colegii universitare,
departamente, catedre şi unităţi de cercetare ştiinţifică, de proiectare şi de
microproducţie.
Fig.1.1. Nivelurile de învăţământ din România
În Regatul Unit al Marii Britanii, sistemul de invatamant este structurat în mod
diferit faţă de România, astfel că şcolile primare sunt pentru copii cu varste intre 5 si 11
ani, si au doua nivele: unul pentru copii cu varste intre 5 si 7 ani si unul pentru copii cu
varste intre 7 si 11 ani. Unele scoli primare includ si o gradiniţa pentru copii de 3 si 4 ani.
Scolile secundare sunt pentru copii cu vârste intre 11 si 16 ani. Scolile din Marea Britanie
sunt de asemenea impartite in 4 „stadii cheie”. La unele scoli elevii pot ramane doi ani(16-
18 ani) in continuare si pentru invatamantul tertiar. Acesta este finalizat cu sustinerea
examenelor pentru Certificatul General pentru Educatie la Nivel Avansat (GCS A
Levels).Educaţia în UK este o probelma specifică fiecărei regiuni, care au sisteme diferite
sub guverne separate.În timp ce sistemele din Anglia, Ţara Galilor şi Irlanda de Nord sunt
aproape similare, sistemul scoţian este complet diferit. Prin lege, toţi copiii între 5 – 16 ani
trebuie să primească educaţie obligatoriu (full – time). UK a introdus Curriculum - ul
Naţional în 1992 şi şcolile de stat sunt obligate să adere la acesta până când elevii ating
vârsta de 16 ani. Totuşi, şcolile independente nu sunt obligate să facă acest lucru. După 5
ani de educaţie secundară ( gimnaziu ), studenţii dau examene cu subiecte de nivelul
Certificat General de Educaţie Secundară (GCSE). Şcolarizarea copiilor, între vârstele 3 –
18 ani, este gratuită.
Tabelul de mai jos ilustrează comparativ structura studiilor/nivel de vârstă şi tipuri de
învăţământ în cele două ţări:
1.2. Structura comparativă studiilor în România şi Marea Britanie
ŢARA NIVELUL DE
VÂRSTĂ
STADIUL
CHEIE
CLAS
A
TIPURI DE
ÎNVĂŢĂMÂNT
REGATUL UNIT
AL MARII
BRITANII
5-6
Unu
I
6-7 II
Preşcolar
i
7-8 III
Primar
8-9
Doi
IV
9-10 V Şcolari
10-11 VI
ROMÂNIA
3-4
____
Grupa
mică
4-5
Grupa
mijloci
e Preşcolar
5-6
Grupa
mare
6-7 PREG.
Primar7-8 I
8-9 II
9-10 III
10-11 IV
III.1.3.Sistemul de notare
În România, pentru primii patru ani, există un sistem numit calificative. Acestea sunt
Foarte bine (FB) - Excelent, Bine (B) - Bine, Satisfăcător (S) -satisfăcător, de fapt, sensul
(abia) trece și Insuficient (I) - a eșuat. Elevii care nu obțin pe tot parcursul anului note
bune trebuie să susțină un examen în vară cu un ansamblu de profesori, iar în cazul în care
situația nu este mai bună, elevul va repeta tot anul. "Calificativele" sunt folosite pe tot
parcursul anului, într-un sistem de evaluare pe tot parcursul anului, la teste, în activitățile
școlare, acasă sau pentru proiecte. În medie, pentru un subiect (care va merge în catalog) se
calculează de către profesor, ținând seama de progresele înregistrate de student si printr-o
valoare de la 1-4 pentru fiecare calificativ.
Pentru clasele 5-12, este utilizat un sistem de notare de la 1 la 10, 10 fiind cea mai bună
notă, 1 fiind cea mai proastă notă și 5 este nota minimă de trecere. Sistemul de evaluare
este folosit, de asemenea, cu note individuale pentru fiecare test, examen oral, proiect, teme
pentru acasă sau exerciții în clasă fiind înscrise în catalog. La unele materii se susține un
examen parțial, la sfârșitul semestrului (Teză).
În timp ce în România se acordă importanţă calificativelor obţinute în şcoala
primară UK nu realizează acest lucru , ci apreciază activitatea copilului la clasă în funcţie
de criterii mult mai largi. Aceasta se întâmplă fiindcă în ţările britanice nu sunt importante
notele, ci ştiinţa elevilor, capacitatea lor de a răspunde la probleme şi de a înţelege.Totuşi
există un sistem de notare care este folosit de obicei in scoala primară, secundară şi
tertiară: se foloseşte sistemul alfabetic de la A la E
A – excelent B – bine C – suficient
D – sub medie E – picat
Spre deosebire de U.K., în România este promovată mentalitatea concurenţială, în
care copilul învaţă ca să-i întreacă pe ceilalţi, nu pentru a se întrece permanent pe sine.
III.1.4.Metode de evaluare
În România, elevii sunt evaluaţi de către profesori pe parcursul întregului an şcolar.
Elevii cu dificultăţi de învăţare pot ajunge să repete anul. La sfârşitul şcolii primare, elevii
promovează automat la nivelul următor (fără nici un fel de examinare finală). La sfârşitul
nivelului secundar inferior (care coincide cu sfârşitul învăţământului obligatoriu) elevii dau
Examenul de Capacitate. Absolvenţii ciclului inferior al Şcolii de Arte şi Meserii primesc
un certificat de absolvire, un portofoliu în vederea educaţiei viitoare şi, la cerere, o copie a
situaţiei şcolare cu notele obţinute pe parcursul anilor de învăţământ obligatoriu. Pe lângă
aceasta, ei pot obţine, în cazul în care trec examenul pentru certificarea competenţelor
profesionale, un certificat care atestă nivelul 1 de calificare profesională.
La sfârşitul ciclului superior de liceu există o examinare finală. Diploma obţinută în urma
acestui examen (diplomă de bacalaureat) permite elevilor să se înscrie la examenele de
admitere în instituţiile de învăţământ superior. Orice elev care absolvă nivelul de
învăţământ secundar superior, beneficiind sau nu de un certificat de absolvire, se poate
înscrie pentru a lua parte la examenul de admitere în instituţiile de învăţământ post-
secundar (cu toate acestea, şcolile medicale post-secundare cer diploma de bacalaureat).
În Marea Britanie evaluarea este continuă. Educaţia obligatorie este de 11 clase (5-16
ani), timp în care elevii dau 4 serii de examene - Key Stage National Curriculum Tests.
Rezultatele la teste contează pentru continuarea studiilor. La 7 ani, sunt testaţi la citit, scris
şi matematică; la 10/11 ani – la citit, scris, matematică şi ştiinţă; la 13/14 ani – la engleză,
matematică şi ştiinţă. Învăţământul obligatoriu se termină, de regulă, cu susţinerea testului
General Certificate of Secondary Education. În învăţământul obligatoriu se studiază religia.
De la 13 ani, elevii au cursuri de educaţie sexuală şi sfaturi în carieră. Conform
regulamentului şcolar britanic, toţi elevii trebuie să susţină o serie de examene obligatorii în
funcţie de vârsta lor. Aceste examene sunt cunoscute sub numele de Key Stage Naţional
Curriculum Tests (aceste examene sunt cunoscute si sub numele de SAT (Standard
Assessment Tests):
- Key Stage 1 (KS1) - in timpul anului scolar clasa a II-a
- Key Stage 2 (KS2) —la sfarsitul anului scolar clasa a VI-a
- Key Stage 3 (KS3) —la sfarsitul anului scolar clasa a XI-a
- Key Stage 4 (KS4) —in timpul clasei a X-a si a XI-a
Educaţia în Marea Britanie nu mai este obligatorie dupa vârsta de 16 ani, elevii
având la această vârsta trei optiuni:
- obţinerea unei calificări profesionale (NVQ)
- continuarea liceului, “Sixth Form”, în vederea obţinerii diplomei de bacalaureat (A -
Levels)
- începerea activităţii profesionale
Calificarea profesională NVQ este recomandată celor care doresc sa lucreze in
domenii de specialitate precum: turism, industria hotelieră, cosmetică, gastronomie,
construcţii etc.
In cadrul celor doi ani de “Sixth Form” elevul trebuie să işi aleagă trei sau patru
materii de studiu . Acestea vor fi studiate intensiv, aproximativ 10 ore de curs la
fi ecare materie, săptamânal. Este indicat ca materiile de studiu alese să aibă acelasi profi l
ca şi facultatea pe care elevul doreste sa o urmeze. Exemplu, un elev care studiază istorie,
literatură şi o limba straină nu va putea să studieze la o facultate cu profi l tehnic.
Diferenţa între calificările NVQ şi examenele de A-Levels este că primele oferă o
specializare teoretică şi practică, iar examenele A - Levels oferă o diplomă echivalentă cu
bacalaureatul european.
Astfel spus, în UK nu se selectează elevii pentru liceu şi pentru SAM în perioada de
învăţământ obligatoriu. Acolo unde elevii vor să urmeze studii speciale - corespunzătoare
gimnaziului nostru - acest lucru se întâmplă pe baza opţiunii elevului, a recomandării şcolii
şi, nicidecum, în urma unui examen.
III.2. Numărul de ore alocate/săpt. disciplinei matematică în ciclul primar
În Marea Britanie în stagiile 1 şi 2 disciplina opţională este: Educaţie personală,
socială şi pentru sănătate (PSHE), iar în stagiul 3 se numeşte Educaţie personală, socială,
pentru sănătate şi economică (PSHEE).
Spre deosebire de sistemul de învăţământ românesc în sistemul de învăţământ
britanic, ca şi în alte sisteme, se stabileşte bugetul total de timp pentru un an de studiu.
Timpul de studiu alocat disciplinelor este flexibil. Acest lucru se poate remarca în tabelul
următor:
2.3. Numărul de ore alocate/săpt. disciplinei matematică în ciclul primar
ŢARA Clasa
preg.
Clasa
I
Clasa
a II-a
Clasa
a III-a
Clasa
a IV-a
Clasa
a V-a
Clasa
a VI-a
Aria
curricul
ară
Numă
r total
de ore
TC
Curriculum
la decizia
şcolii(discipli
ne opţionale)
Nr. min. de
ore/săpt
ROMÂNIA 4
(3+1)
4
(3+1)
5
(4+1)
4 4 - - Matemat
ică şi
Ştiiinţe
ale
naturii
19-20-
20-21
0-1 19-20-20-20-
21
MAREA
BRITANIE
- flexibil flexibil flexibil flexibil flexibil flexibil Discipli
ne
nucleu
flexibi
l
1-3 21-23,5 h
Clasa I a II-a a III-
a
a IV-a a V-a a VI-
a
Timp flexibil alocat
disciplinelor
obligatorii/ an
798 h 798 h 893
h
893 h 893 h 893 h
III.3. Programa şcolară
Spre deosebire de Curriculum-ul românesc, cel Britanic promovează dezvoltarea
spirituală, morală, culturală, mentală şi fizică a elevilor şi a societăţii, în vederea pregătirii
elevilor pentru oportunităţile, responsabilităţile şi experienţele de viaţă de mai târziu.
Curriculum românesc promovează dezvoltarea liberă, integrală si armonioasă a
individualitatii umane, in formarea personalitatii autonome si în asumarea unui sistem de
valori care sunt necesare pentru implinirea si dezvoltarea personală, pentru dezvoltarea
spiritului antreprenorial, pentru participarea cetăţeneasca activă in societate, pentru
incluziune sociala şi pentru angajare pe piata muncii. Ambele ţări urmăresc pregătirea şi
formarea elevilor pentru responabilităţile şi experienţele de mai târziu.
III.3.1.Structura programei şcolare
Spre deosebire de Regatul Unit al Marii Britanii, în România programa disciplinei
Matematică şi explorarea mediului( clasele pregătitoare – a II- a) este elaborată potrivit
unui nou model de proiectare curriculară, centrat pe competenţe iar construcţia
programei este realizată astfel încât să contribuie la dezvoltarea profilului de formare al
elevului din ciclul primar. În Marea Britanie, programa este centrată pe obiective şi este
structurată pe baza celor 2 etape cheie( key stage 1 şi key stage 2); pentru fiecare etapă
fiind prezentate obiectivele generale, anumite cerinţe de predare, conţinuturi şi obiectivele
aferente, exemple de activităţi de învăţare şi modalităţi de evaluare astfel încât să contribuie
la dezvoltarea capacităţilor la elevi de a face conexiuni de idei matematice pentru a
dezvolta raţionamentul fluent, matematic şi competenţe de rezolvare a problemelor din ce
în ce mai complexe.
Structura programei şcolare specifice României se aseamănă foarte mult cu cea din Marea
Britanie. Asemănările şi deosebirile reies din acest tabel:
1.4. Structura programei şcolare
Nr. crt. ROMÂNIA MAREA BRITANIE
1. Notă de prezentare Introducerea
2. Competenţe generale Prezentarea importanţei studiului
disciplinei
3. Competenţe specifice şi exemple de
activităţi de învăţare
Obiective generale pentru fiecare etapă
cheie( sunt formulate pornind de la ob. de
inv. timpurie)
4. Conţinuturi Cerinţe cu privire la: utilizarea
T.I.C( calculator), limba vorbită, sănătate
şi siguranţă, integrare a copiilor cu CES
5.. Sugestii metodologice(strategii
didactice, evaluare, modele de integrare
a activităţilor)
Conţinuturi şi obiectivele aferente
6.. - Note şi orientări (activităţi orientative de
învăţare şi predare, facultative a fiecarei
etape cheie/Contexte de învăţare, activităţi,
experienţe de învăţare, modalităţi de
evaluare la sfârşitul fiecărei etape cheie)
III.3.2. Obiectivele/competenţele prevăzute în programa şcolară
În ţara noastră, competenţele generale vizate la nivelul disciplinei Matematică şi
explorarea mediului jalonează achiziţiile de cunoaştere şi de comportament ale elevului
pentru întregul ciclu primar, pe când, obiectivele generale specifice Marii Britanii nu sunt
elaborate pentru întreg ciclul primar( ca şi competenţele generale din România), ci fiecare
etapă cheie prezintă obiectivele proprii concretizate în abilităţile, competenţele care se
doresc a fi însuşite până la finalizarea fiecarei etape cheie( key stage 1, key stage 2).Tabelul
următor ilustrează acest lucru:
1.5.Competenţe generale/Obiectivele generale
Nr.
crt.
ROMÂNIA
- competenţe-
MAREA BRITANIE
- obiective-
KEY STAGE 1 KEY STAGE 2
1. Utilizarea numerelor în calcule
elementare
Dezvoltarea capacităţii
de operare cu numerele
întregi şi de numărare.
Formarea conceptului de
„place value”.
Efectuarea de calcule
folosind cele patru
operaţii aritmetice.
Dezvoltarea capacităţii
de a recunoaşte, descrie,
compara şi sorta diferite
forme şi de a folosi
vocabularul
corespunzător.
Utilizarea unor serii de
măsuri pentru a descrie
şi a compara diferite
cantităţi, cum ar fi
lungimea, masa,
capacitatea / volum, timp
şi bani.
Citirea şi scrierea corectă
a noţiunilor matematice.
Efectuarea, rezolvarea
rapidă şi fluentă de
calcule şi probleme cu
cele 4 operaţii aritmetice.
Explorarea de către
elevi a caracteristicilor
diverselor forme şi
spaţii.Dezvoltarea
abilităţilor de măsurare
într-o gamă de contexte.
Dezvoltarea capacităţii
de selectare şi utilizare a
unor metodele şi
raţionamente în
rezolvarea problemelor,
folosind un limbaj
matematic mai complex,
diagrame şi grafice.
2. Evidenţierea caracteristicilor
geometrice ale unor obiecte
localizate în spaţiul înconjurãtor
3. Generarea unor explicaţii simple
prin folosirea unor elemente de
logică
4. Rezolvarea de probleme pornind de
la sortarea şi reprezentarea unor
date
5. Utilizarea unor etaloane
convenţionale pentru măsurări şi
estimări
Conform curriculum-ului românesc, competenţele specifice sunt derivate din
competenţele generale, care reprezintă etape în dobândirea acestora şi se formează pe
durata unui an şcolar. Pentru realizarea competenţelor specifice(din România) şi a
obiectivelor propuse (Marea Britanie) în programele din ambele ţări sunt propuse exemple
de activităţi de învăţare/note şi orientări care valorifică experienţa concretă a elevului şi
care integrează strategii didactice adecvate unor contexte de învăţare variate. Conform
curriculum-ului britanic, pentru fiecare conţinut matematic sunt formulate obiectivele
aferente şi contextele de învăţare în care ar putea fi implicaţi elevi, pentru o învăţare
practică, investigativă, explorativă şi durabilă.
III.3.3.Conţinuturile comparative România - Marea Britanie specifice programei
pentru disciplina Matematică în ciclul primar
Atât în România, cât şi în Marea Britanie, conţinuturile specifice disciplinei Matematică
sunt organizate pe domenii, cum ar fi:
Numerele şi conceptul de “place value” (recunoaştere, formare, scriere,
citire,comparare, ordonare, rotunjire)
Adunarea şi scăderea
Înmulţirea şi împărţirea
Rezolvarea de probleme
Algebră
Figuri şi corpuri geometrice
Măsurări
Date
Din tabelul de mai jos rezultă faptul că, la nivelul conţinuturilor matematice/clase,
între cele două ţări există atât asemănări, cât şi deosebiri.
Atât în România, cât şi în Marea Britanie
Spre deosebire de România, şcolile de stat din Regatul Unit al Marii Britanii au
obligaţia legală de a respecta curriculum-ul naţional( programele de studiu), dar ele au
deasemenea libertatea de a include alte subiecte, teme sau conţinuturi decât cele prevăzute
în programa de studiu pentru a planifica şi proiecta propriul program de instruire, ţinând
cont de preocupările, interesele şi aptitudinile elevilor sau opiniile părinţilor.În România,
programa şcolară propune o ofertă flexibilă, dar doar care permite cadrului didactic să
modifice, să completeze sau să înlocuiască activităţile de învăţare exemplificate, nu şi
conţinuturile. Se urmăreşte astfel realizarea unui demers didactic personalizat, care să
asigure formarea competenţelor prevăzute de programă, în contextul specific al fiecărei
clase şi al fiecărui elev
Tabelul de mai jos ilustrează conţinuturile pe clase ale disciplinei Matematică în cele două
ţări.
1.6.Conţinuturile comparative/clase în România şi Marea Britanie
ŢARA Clasa preg. Clasa I Clasa a II-a Clasa a III-a Clasa a IV-a
ROMÂNIA 6-7 ani
- Numere 0-31
( recunoaştere, citire,
scriere, comparare,
ordonare în concentr.
0-31)
- Adunarea şi
scăderea ( calcule de
adunare şi scădere cu
1-5 unităţi în concentr.
0-31 fără şi cu trecere
peste ordin, adunarea
repetată,)
- Rezolvare de
probleme (utilizarea
7-8 ani
-Numere 0-100(
recunoaştere,
formare, citire,
scriere, comparare,
ordonare, nr.
pare/impare
-Adunarea şi
scăderea 0-100
fără şi cu trecere
peste ordin(proba
adunării, proba
scăderii)
- Rezolvare de
probleme( cu una
8-9 ani
Numere 0-
1000(recunoa
ştere, formare.
citire, scriere,
comparare,
ordonare, nr.
pare/impare
- Adunarea şi
scăderea 0-
1000 fără
trecere peste
ordin
- Înmulţirea
şi Împărţirea
9-10 ani
-Numerele
naturale de la 0
la 1 000 000:
formare, scriere,
citire, comparare,
ordonare,
rotunjire.
-Adunarea şi
scăderea 0- 10
000
- Înmulţirea şi
împărţirea
numerelor
10-11 ani
-Numere
naturale mai
mici sau egale
cu 1 000 000:
scriere, citire,
formare, clase
(unităţi, mii,
milioane),
comparare,
ordonare,
rotunjire.
Scrierea
numerelor cu
cifre romane.
denumirilor şi
simbolurilor matem.:
sumă, total, diferenţă,
=, -, + în rezolvarea şi
compunerea de
probleme 0-31 cu
suport intuitiv)
- Figuri şi corpuri
geometrice ( forme
geometrice plane 2D:
pătrat, trinughi,
dreptunghi, cerc;-
denumire, conturare
corpuri geom.3D:
cuboid, sferă, cub
- Măsurări şi
estimări( lungime-
unităţi nonstandard,
timp- zi, săpt., lună,
anotimpuri- denumire,
ordonare , bani.
Date: colectarea şi
gruparea datelor
şi 2 operaţii de
adunare şi scădere
- Figuri şi corpuri
geometrice( figuri
plane 2 D: pătrat,
triunghi,
dreptunghi, cerc-
reprez. grafică;
corpuri
3D:cub,cuboid,
cilindru, sferă)
-
Măsurări(lungime
- unităţi standard:
cm, instrument-
rigla,capacitate:
litrul, nonstandard,
timpul:ora, ziua,
luna, anul,
anotimpuri-durată,
bani: leul, monede,
bancnote, schimb
valoric
- Date(colectarea,
citirea şi
interpretarea
datelor)
cu rest 0 în
limitele 0-
100(probele
lor)
- Fracţii:
½(jumătate,
doime),
¼(sfert,
pătrime), fracţii
echivalente:
1/2=3/4
- Rezolvare
de peobleme
(care se rezolvă
prin 1, 2 sau
mai multe
operaţii de
adunare,
scădere,
înmulţire,
împărţire
- Figuri şi
corpuri
geometrice:fig
uri plane
2D(pătrat,
triunghi,
dreptunghi,
cerc, semicerc:
axa de
simetrie),
naturale mai
mici ca 100
- Rezolvarea de
probleme- prin 2
operaţii
- Figuri şi
corpuri
geometrice:
Forme
plane:pătrat,
triunghi,cerc,
dreptunghi,
poligon,punct,
segment,linie
dreaptă,linie
frântă, linie
curbă; corpuri:
cub, sferă,
cilindru,con,
cuboid
(paralelipiped
dreptunghic)
-
Măsurări ( unităţi
nonstandard,
lungime(m,
multiplii,
submultiplii),
capacitate(l,
multiplii,
-Adunarea şi
scăderea
numerelor
naturale mai
mici sau
egale cu 1
000 000
fără şi cu
trecere peste
ordin
- Înmulţirea şi
împărţirea
numerelor
naturale mai
mici sau egale
cu 1 000
-Rezolvare de
probleme care
se rezolvă prin
mai mult de trei
operaţii de
ordine diferite;
- Fracţii
Compararea
fracţiilor,
adunarea şi
scăderea
fracţiilor cu
acelaşi numitor
Figuri şi
corpuri
3D(cub,
cuboid,
cilindru, sferă,
con;
- Măsurări:
lungime(unităţ
i standard:
metru,cm,
mm,instrument
e: metrul,
ruleta, panglica
de croitorie)
capacitate(unit
ăţi standard- l,
ml),
masă(unităţi
standard: kg, g,
instrumente:
cântar,
balanţă),
timp(ora
inclusiv sfertul
de oră,ziua,
săpt., luna,
anul,
anotimpuri)
bani(leul,
euro, monede
şi bancnote,)
Date:organiza
submultiplii),
masa(kg,
multiplii,
submultiplii)
timp(oră, minut,
ziua, luna, săpt,
lună, an)
banii(monede,
bancnote, cele
europene)
utilizartea
instrumentelor:
metru, riglă,
cântar, balanţă
etc.
Date:organizarea
şi reprezentarea
datelor- tabele,
grafice cu bare
corpuri
geometrice:
figuri plane:
triunghi, pătrat,
dreptunghi,
romb,
*paralelogram,
trapez;corpuri:
cub, cuboid,
piramidă
-Măsurări:
unităţi
standard,
utilizarea
instrumentelor de
măsură adecvate:
metrul, rigla
gradată, cântar,
balanţa, ceas.
Unităţi de
măsură:
lungimea:
metrul,
multiplii,
submultiplii,
transformări
prin înmulţire
şi împărţire cu
10, 100 şi
1000;
capacitatea:l
rea şi
reprezentarea
datelor- tabele,
grafice cu bare
itrul,
multiplii,
submultiplii,
transformări
prin înmulţire
şi împărţire
cu 10, 100 şi
1000;
masa:
kilogramul,
multiplii,
submultiplii,
transformări
prin înmulţire
şi împărţire cu
10, 100 şi 100;
timp: ora,
minutul,
secunda, ziua,
săptămâna,
luna, anul,
deceniul,
secolul,
mileniul;
Bani
Date:
organizarea şi
reprezentarea
datelor- tabele,
grafice cu bare
MAREA
BRITANI
E
- 5-6 ani
- Numărul şi
conceptul de
“ place value” :
numărarea până la
100, crescător şi
descrescător,
scriere, citire,
ordonare,
reprezentare pe
linie, utilizarea
limbajului matem :
mai mare, mai mic,
cel mai mare, cel
mai mic etc.
- Adunarea şi
scăderea
numerelor până la
20:utilizarea
simbolurilor: +, -,
=;
- Rezolvare de
probleme cu
adunare şi scădere
în limitele 0-20
- Înmulţirea(ca
adunare repetată)
şi împărţirea(ca
scădere repetată)
6 -7 ani
- Numărul şi
conceptul de
“ place value”
0/100:recunoa
ştere, scriere,
numărare,
reprezentare
pe linie,
comparare,
ordonare
recunoaşterea
valorii locului
fiecărei cifre
într-un număr
din două cifre
(zeci, unităţi);
descompunere
a în zeci şi
unităţi;
Adunarea şi
scăderea 0-
100:proprietăţ
i, relaţia
inversă dintre
adunare şi
scădere pt.
verificare,
termenii:
7-8 ani
Numărul,
conceptul de
“place value” şi
rotunjirea
Recunoaştere,
citire, scriere,
comparare,
ordonarea
numerelor până
la 1000
(e.g. 46 = 40 şi 6,
46 = 30 şi 16).
Adunarea şi
scăderea
numerelor 0-
1000, cu până la 3
cifre, termeni
necunoscuţi,
opereţii inverse
pentru probă
Rezolvarea de
probleme
numerice şi
practice folosind
operaţiile de
adunare şi scădere
8-9 ani
Numărul,
conceptul de
“place value”
şi rotunjirea
nr. mai mari
decât 1000
recunoaşterea
valorii locului
fiecărei cifre
într-un număr
de patru cifre
(mii, sute, zeci,
si unităţi)
- reprezentarea,
ordonarea şi
compararea
numerelor mai
mari decât 1000
- rotunjirea
oricărui număr
la cel mai
apropiat
multiplu de 10,
100 sau 1000
- denumirea
cifrelor romane
până la 100(I-
C)
0-20:rezolvare de
probleme cu o
singură etapă, cu
ajutorul
materialului intuitiv
- Fracţii:
recunoaşterea,
găsirea şi numirea
unei jumătăţi
(1/2)ca unul dintre
cele două părţi
egale ale unui
obiect, forme sau
cantităţi;
recunoaşterea,
găsirea şi numirea
unui sfert(1/4) ca
una dintre cele
patru părţi egale ale
unui obiect, forme
sau cantităţi.
Măsurări:
Unităţi standard şi
nonstandard
lungimi şi înălţimi
(de exemplu, lung /
scurt, mai lung /
mai scurt, înalt /
scurt, dublu /
sumă,
diferenţă,
Rezolvarea
de
probleme:cu
adunare şi
scădere
folosind un
singur pas, cu
ajutorul
reprezentărilo
r şi obiectelor
concrete;
- Înmulţirea
şi împărţirea
0-100( cu 2, 5
şi 10),
utilizarea
simbolurilor: :
, *,=; relaţia
inversă dintre
înmullţire şi
împărţire
pentru a
dezvolta
raţionamentul
multiplicativ
(de exemplu,
4 × 5 = 20 şi
20 ÷ 5 = 4),
proprietăţi,
- Înmulţirea şi
împărţirea nr. 0-
1000( cu 3,4 şi 8)
folosind metode
mentale şi scrise,
proprietăţi,
rezolvare de
probleme,
stabilirea relaţiei,
conexiunii dintre
cele 2 operaţii.
Fracţii:
Recunoaştere,
utilizarea
fracţiilor ca
numere: fracţii şi
fracţiunile non-
unitare cu
numitori mici
- recunoaşterea
folosind diagrame
a fracţiilor
echivalente cu
numitori mici
- adunarea şi
scaderea unor
fracţii cu acelaşi
numitor în termen
de un întreg (de
exemplu, 5/7 +
1/7 = 6/7)
. Adunarea şi
scăderea
numerelor mai
mari decât
1000 cu până
la 4 cifre
utilizarea de
operaţiuni
inverse pentru
Rezolvarea de
probleme care
implică
operaţiile de
adunare şi
scădere, în două
etape şi în
contexte reale,
practice.
Înmulţirea şi
împărţirea
numerelor mai
mari decât
1000 cu 2, 3, 4
cifre
Rezolvarea de
probleme în
două etape în
contexte
diferite, cu
jumătate)
masă sau greutate
(de exemplu, grele /
uşoare, mai greu
decât, mai uşoare
decât)
capacitate / volum
(plin / gol, mai
mult, mai puţin,
sfert)
timp (ore, minute,
secunde, zi, săpt.,
lună, an, mai rapid,
mai lent, mai
devreme, mai
târziu, precizarea
timpului (oră fixă si
oră jumătate) şi
trasarea cu mâna pe
ceas pt. a
reprezenta aceste
ore.)
Bani: monede şi
bancnote
Geometrie:
proprietăţile,
caracteristicile
formelor
recunoaşterea şi
denumirea comună
a formelor de 2-D
Rezolvarea
unor
probleme
simple care
implică
înmulţire şi
împărţire,
folosind
materiale,
tablouri,
adunarea
repetată,
metodele
mentale.
Fracţii
recunoaşterea,
identificarea,
scrierea
denumirilor
fracţiilor 1/3,
1/4, 2/4 şi 3/4
dintr-o
lungime,
formă, set de
obiecte sau
cantitate;
scrierea unor
fracţii simple,
de exemplu,
1/2 din 6 = 3
- compararea
fracţiilor cu
acelaşi numitor
- rezolvarea unor
probleme cu
fracţii
- relaţia dintre
fracţii şi numerele
întregi
- Măsurări:
măsurarea,
compararea,
adunarea şi
scăderea a :
lungime (m / cm /
mm), masa (kg /
g), volum /
capacitate (l /
ml)
- măsurarea
perimetrului a
unor forme
simple 2-D
- adunarea şi
scăderea de sume
de bani pentru
schimbare(lire
sterline şi pence)
în contexte
practice
- denumirea şi
numere din ce
în ce mai
complexe.
Fracţii
identificarea,
numirea şi
scrierea
fracţiilor
echivalente,
inclusiv zecimi
şi sutimi
- adunarea şi
scăderea
fracţiilor cu
acelaşi numitor.
- fracţii
echivalente şi
simplificarea,
dacă este cazul
(de exemplu,
6/9 = 2/3 sau
1/4 = 2/8).
- ordonarea
fracţiilor simple
şi zecimale
Măsurări:
Transformări de
unităţi de
măsură (de
exemplu km la
(dreptunghiuri,
pătrate, cercuri şi
triunghiuri) şi 3-D
(cuburi, piramide şi
sfere).
Geometrie:
poziţie, direcţie,
mişcare
ordonarea şi
aranjarea
combinaţiilor de
obiecte şi forme în
modele
descrierea poziţiei,
direcţiilor şi
mişcărilor,
utilizezarea
limbajului: la
stânga şi la dreapta,
de sus, de mijloc şi
de jos, pe partea de
sus, in faţa, sus,
între, în jurul,
aproape, aproape şi
departe, în sus şi în
jos, înainte şi
înapoi, în interiorul
şi în afară.
şi
recunoaşterea
echivalenţei a
două sferturi
cu o
jumătate.
Măsurări:
unităţi
standard:
lungime /
înălţime în
orice direcţie
(m / cm),
masa (kg / g);
Temperatura
(° C);
Capacitate
(litri / ml)
instrumente:
cântare,
termometre şi
vase de
măsurare
Timpul:
minute, sfert,
oră,
reprezentarea
oreelor pe
ceas
Compararea
si lungimilor
scrierea cu cifre
romane de la I la
XII
- estimarea şi
citirea timpului cu
precizie tot mai
mare la cel mai
apropiat minut,
înregistrarea şi
compararea dată
în termeni de
secunde, minute,
ore; folosirea
vocabularului,
cum ar fi AM /
PM, dimineaţă,
după-amiază, la
prânz şi la miezul
nopţii
- termenii: zi,
lună, an şi an
bisect
Geometrie:
proprietăţile
formelor
- numirea,
descrierea
recunoaşterea,
desenarea unor
forme 2-D şi 3-
metru, ora la
minut)
Calcularea
perimetrului
unor figuri în
centimetri şi
metri
Bani: calcule in
lire sterline si
pence
Recunoaşterea,
scrierea şi
transformarea
timpului
rezolvarea
problemelor
care implică
transformarea
orei în minute,
minute în
secunde, ani în
luni, săptămâni
în zile.
Geometrie:
proprietăţile
formelor
forme
geometrice
(triunghiuri şi
patrulatere):
comparare si
de ordine,
masă, timp,
volum /
capacitate şi
înregistrarea
rezultatelor
folosind >, <
si =; Bani:
numărarea şi
recunoaşterea
monedelor şi
bancnotelor( l
ire sterline,
pence(p),
schimburi.
-Rezolvarea
de probleme
simple într-
un context
practic care
implică
adunarea şi
scăderea de
bani
Geometrie –
proprietăţile
formelor
- identificarea
şi descrierea
proprietăţilor
D folosind
materiale de
modelare
- unghiurile
drepte
- identificarea
liniilor orizontale,
verticale,
perpendiculare şi
linii paralele în
raport cu alte
linii.
Date:
- interpreta şi
prezenta datele
utilizând grafice
de bare,
pictograme şi
tabele
clasificare
- clasificarea
diferitelor
triunghiuri (de
exemplu,
isoscel,
echilateral,
scalen) şi
patrulatere (de
exemplu,
paralelogram,
romb, trapez).
- poligonul
regulat sau
neregulat
Geometrie:
poziţie,
direcţie,
mişcare
Date
- interpretarea,
prezentarea
datelor folosind
diagrame bară
şi continuă a
datelor utilizând
diagrame bară,
pictograme,
tabele şi grafice
de linie simple.
formelor 2-D
şi 3-D:
patrulatere şi
cuboide,
prisme, conuri
şi poligoane,
(de exemplu,
numărul de
laturi,
numărul de
feţe).
vocabularul
precis, cum ar
fi feţe,
muchii,
noduri şi feţe.
- Geometrie –
poziţie,
direcţie,
mişcare
folosirea
vocabularului
matematic
pentru a
descrie
poziţia,
direcţia şi
mişcările,
(sensul acelor
de ceasornic
şi invers
acelor de
ceasornic), şi
de mişcare în
linie dreaptă.
Date:
- interpretarea
şi construirea
de pictograme
simple,
diagrame,
itemii,
diagrame bloc
şi tabele
simple
III.4. Aspecte metodice cu privire la Mulţimea numerelor naturale
Din punct de vedere metodic, mi-am propus să fac o analiză comparativă a modului în
care se predă conceptele legate de mulţimea numerelor naturale în două ţări după
următoarele două criterii:
1. Formarea conceptului de număr natural. Numeraţia şi aspectul valoric al cifrei în cadrul
unui număr
2. Adunarea şi scăderea numerelor naturale
Tot ceea ce voi expune comparativ se va realiza din punct de vedere al strategiilor
didactice (metode şi procedee, forme de organizare, mijloace de învăţământ) utilizate în
procesul instructiv-educativ.
III.4.1.Formarea conceptului de număr natural. Numeraţia şi aspectul valoric al
cifrei în cadrul unui număr
Atât în România, cât şi în Marea Britanie, în formarea conceptului de număr natural
sunt extrem de esenţiale operaţiile de:
Clasificare: în grupe omogene şi eterogene, compararea grupelor de obiecte,
stabilirea asemănărilor şi deosebirilor după mai multe criterii
Seriere: ordonare după diferite criterii(mărime, lungime, grosime, lăţime
etc.)
Reprezentarea grafică a mulţimilor
Prin efectuarea acestor operaţii, numărul se reflectă în cuvânt
nu numai ca procedeu de numărare a elementelor mulţimii, ci ca
noţiune rezultată prin acţiune, desemnând sintetic mulţimea
elementelor.Acţiunea de numărare de diferite grupări omogene
trebuie organizată astfel încât copilul să înţeleagă că fiecare număr reprezintă o cantitate
diferită de elemente.
Un aspect foarte important în vederea însuşirii corecte, eficiente a
conceptului de număr natural şi a numeraţiei este etapa de pregătire numită Fig.4.1.
prenumeraţia, care presupune aprecierea globală a cantităţii prin punerea în
perechi, facilitându-se astfel înţelegerea noţiunii de relaţie între elementele unei mulţimi. (fig 4.1)
Astfel se utilizează diverse procedee: suprapunere, alăturare, punere în perechi, şi, ulterior,
numărare.Prin aceste procedee, elevii reuşesc să formeze mulţimi cu tot atâtea elemente, cu mai puţine
elemente, cu mai multe elemente.Un exemplu sugestiv este prezentat în Anexele nr. ,(metodica Neagu)
care reprezintă descrierea unei activităţi matematice şi o fişă specifice etapei prenumeraţiei.
În perioada prenumeraţiei sarcina învăţătorului este de a organiza activităţi de învăţare
care să susţină formarea reprezentărilor despre faptul că cardinalul unei mulţimi nu depinde
de forma elementelor, poziţia spaţială, mărimea elementelor, culoare sau distanţa dintre
elemente.Pentru realizarea acestui deziderat, învăţătorul poate să solicite elevilor
formarea a 3 mulţimi cu acelaşi număr de elemente, dar după criterii diferite: formă,
grosime, lungime şi se cere punerea în corespondenţă între elementele celor trei
mulţimi.Deasemenea, pentru explicarea acestor concepte, cât şi pentru efectuarea calculelor
simple de adunare sau scădere, se utilizează rigletele cuisenaire., care sunt de fapt riglete în
zece culori şi lungimi de la 1 cm la 10 cm, simbolizând numerele naturale de la 1 la
10.Fiecare număr este reprezentat printr-o rigletă de o anumită lungime şi culoare. În
România, aceste sarcini se realizează de către elevi în cele mai multe situaţii individual iar
în Marea Britanie în perechi sau pe grupe.Din perspectivă didactică, perioada prenumeraţiei
este caracterizată în ambele tări de : utilizarea exerciţiului cu material individual şi a jocului
didactic ca metode, munca în perechi şi pe grupe ca forme de organizare.
Referitor la proprietatea cardinală şi ordinală a numărului natural, atât în Marea
Britanie, cât şi în România, aceste noţiuni se predau concomitent. Elevul trebuie să înveţe
că numărul ordinal al ultimului element numărat este numărul cardinal al mulţimii.Acesta
este un pas important în dezvoltarea capacităţii de înţelegere a numărului
şi procesului de numărare.
În ambele ţări, aspectul cardinal al numarului se explică de regulă prin
procesul de corespondenţă 1 la 1 demonstrând faptul că două mulţimi de
trei obiecte(ex. 3 pahare şi 3 linguriţe) sunt echivalente, asociindu-se cifra corespunzătoare
numărului de elemente.
În Marea Britanie, elevii sunt puşi în contexte reale de viaţă pentru a opera cu numerele, de exemplu,
folosirea etichetelor cu numere pt a pune lucruri în ordine. Fig. 4.2.
Spre deosebire de România, în Marea Britanie, aspectul ordinal al numărului se
evidenţiază foarte bine prin folosirea unei axe numerice denumită „number line” pe care se
reprezintă numerele şi a unei panglici, benzi pe care se vor reprezenta cifrele.Astfel se
stabileşte coeziunea dintre cele două concepte diferite.Recomandabil ar fi ca linia cu
numere să fie aşezată vertical şi nu orizontal, pentru că în acest mod copiii vor remarca
ordinea numerelor. (fig. ) Cel mai important aspect care ţine de numerele ordinale
reprezintă momentul în care se reprezintă numerele ca poziţii pe o bandă cu numere sau ca
puncte pe o linie cu numere, diagrame, imagini(fig.4.3.)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
fig. 4.3.Bandă cu numere
În România, aspectul ordinal se evidenţiază de cele mai multe cadre didactice prin
strategia jocului didactic, folosindu-se materiale concrete-intuitive. Un exemplu de
activitate specifică, sub formă de joc didactic ar fi „Al câtelea fluturaş a zburat?”: la
semnalul învăţătoarei copiii inchid ochii, timp in care se ascunde un fluture din şirul
constituit anterior;la al doilea semnal (la două bătăi din palme)copiii deschid ochii si
sesizează al câtelea fluturaş « a zburat » după care îi asociază cifra corespunzatoare
utilizând numeralul ordinal.După desfăşurarea unui astfel de joc didactic se apelează la
scara numerică, care corespunde acelei linii cu numere, pentru consolidarea şi fixarea
cunoştinţelor cu privire la ordinea numerelor.
Spre deosebire de România, în Marea Britanie numărul este prezentat nu numai sub
aspectul cardinal şi ordinal, ci si sub aspectul nominal pentru a identifica şi diferenţia
diverse categorii de lucruri, elemente (nr. 3 al autobuzului, al tramvaiului, fotbalistul nr. 3,
etc. ).
Un alt aspect important cu privire la însuşirea conceptului de număr natural, pe care l-
am identificat în didacticile matematicii ambelor ţări este deosebirea cifrei de
număr.Cifrele (0-9) reprezintă simbolurile care ne ajută să reprezentăm conceptul de
număr(3, 4, 56), să îl manipulăm sau să-l raportăm la alte numere.”Cifrele reprezintă
simbolurile pe care le scriem pe hârtie când lucrăm şi operăm cu numereEste foarte
important să se formeze copiilor imaginea unei corespondenţe de 1 la 1, şi faptul că atunci
când spunem 3, trebuie sa facem legătura cu o mulţime cu 3 elemente (3 jucării, 3 degete
etc). Un rol important îl au şi poveştile fiecărui număr.Copiii vor reţine uşor 3 urşi, 4
prinţese, etc.Corespondenţa de 1 la 1 a unor 3 obiecte dintr-o mulţime cu 3 obiecte dintr-o
altă mulţime este extrem de eficientă în înţelegerea conceptului de număr natural pentru că
dezvoltă copiilor o imagine mentală despre mulţime şi număr.
Cifra este un simbol sau o colecţie de simboluri pe care le folosim pt a reprezenta un
număr.Numărul este conceptul reprezentat de cifră.Acelaşi număr (ex. 366) poate fi
reprezentat de cifre diferite: 366 în sistem arabic sau CCCLXVI în cifre romane.” .
(Haylock, D., 2010, Mathematics explained for primary teachers). Observăm că, la fel ca şi
în România, se acordă o relevanţă deosebită poveştilor, poeziilor în predarea numerelor.În
acest sens am ataşat anexa, care prezintă câteva poezii şi poveşti cu cifre.
Un alt aspect pe care l-am remarcat în metodicile scrise de autorul britanic Derek
Haylock este legat de ceea ce el precizează în cartea sa: „O (zero) este considerat un
număr şi poate fi reprezentat pe linia cu numere înainte de numărul 1.Dacă spunem
copiilor că 0 inseamnă nimic, atunci vor crede că nu mai este necesar să scriem 0 pentru că
este nimic iar acest lucru va produce erori în scrierea corectă a numerelor.Le putem explica
copiilor că şi 0 are un rol anume într-un număr: de ex. dacă nu scriem corect un număr de
telefon care contine şi 0, automat nu vom mai putea lua legatura cu cel pe care dorim sa-l
sunăm.”
Numerţia este un alt concept important atât în România, cât şi în Marea Britanie.
În U.K. numărarea în ordine crescătoare şi descrescătoare sunt necesare pentru însuşirea
adunării, şi a scăderii, după cum vom remarca în capitolul următor.
În ambele ţări, numeraţia se predă cu ajutorul obiectelor şi materialelor concret-intuitive
prin formare de mulţimi cu un anumit număr de elemente.Ordinea în care se numără
obiectele este irelevantă cât şi aranjarea acestora într-o mulţime.
Spre deosebire de România, în Marea Britanie nu există anumite etape-standard sau un
anumit algoritm de predare a numărului natural, însă, în vederea însuşirii şi învăţării
acestuia se exersează toate activităţile mai sus menţionate în mod practic astfel încât elevii
să dobândească priceperile şi deprinderile necesare. Profesorul pentru învăţământ primar
desfăşoară activităţi care îi implică pe elevi în situaţii reale de viaţă, care să-i motiveze şi
să-i antreneze în procesul de învăţare.Vezi anexa( proiect didactic- UK lesson 31)
Pentru învăţarea numerelor mai mari decât 9, elementul semnificativ al acestor teme din
punct de vedere metodic este gruparea câte zece a elementelor unei mulţimi şi înţelegerea
semnificaţiei unei zeci ca unitate de ordin superior( ex. 10 unităţi formează o zece, 10 zeci
= 100, 10 sute = 1000, etc)
În România, activităţile pot fi proiectate şi realizate în următoarea succesiune logică a
activităţilor de învăţare (Neagu, M., Mocanu, M. 2007): activităţi de grupare câte zece,
activităţi de compunere şi descompunere a numerelor în zeci şi unităţi, activităţi de
numărare de obiecte, activităţi de poziţionare la numărătoare a unor numere cu precizarea
numărului de zeci şi a numărului de unităţi, activităţi de scriere şi citire
a numerelor formate din Z şi U, activităţi de ordonare a numerelor
formate din Z şi U şi de formare a şirului numeric, activităţi de
comparare a numerelor care au acelaşi număr de zeci, acelaşi număr de
unităţi şi de numere care au diferit atât numărul de zeci, cât şi cel de
U, activităţi de comparare şi ordonare pe axa numerelor.
Un exemplu sugestiv de predarea a numerelor mai mari decât 10 în Fig. 4.4
România este.acesta:
Se prezintă copiilor numărătoarea de poziţionare şi activităţile de grupare câte 10 a numerelor,
urmate de transpunerea numerelor pe numărătoare.De exemplu numărul 32 format din trei grupe
de zece unităţi şi încă două unităţi, se poate reprezenta astfel:
trei bile pe tija zecilor şi două bile pe tija unităţilor. „Ce semnificaţie au cele trei
bile de pe tija zecilor?” sau o mulţime de două bile de pe
tija zecilor şi 12 bile pe tija unităţilor. Dacă elevii nu descoperă singuri al doilea mod de
reprezentare a numărului 32, învăţătorul va forma numărul la numărătoare şi va solicita
elevilor să explice semnificaţia modului de grupare.
Se discută cu clasa avantajele uneia sau alteia dintre metode şi se evidenţiază faptul
că în primul mod de lucru se folosesc mai puţine bile şi numărul se poate citi cu
uşurinţă dacă se respectă semnificaţia bilelor de pe fiecare tijă.
Se scrie numărul stabilind convenţiile de scriere pentru zeci şi unităţi
Fiecare copil va lucra individual, urmând să reprezinte numerele propuse de
profesor.Se verifică ce s-a lucrat şi se corectează cu numărătoarea
Activităţile de scriere, citire şi reprezentare a numerelor se organizează cu
respectarea regulilor de poziţionare a numerelor.Copiii vor reprezenta numărul pe
numărătoarea de poziţionare şi apoi vor scrie cu cifre, insistând pe semnificaţia
fiecrărei cifre şi poziţia pe care se află în scriere şi reprezentare.Se poate utiliza
scrierea _ _, unde prima liniuţă va marca locul zecilor, iar a doua locul
unităţilor.Dacă numărul nu mai are nicio unitate, se va scrie pe liniuţa peste unităţi
cifra 0, care arată că numărul este format numai din zeci.
Se vor formula întrebări de tipul: „Cum se citelte numărul în acest caz?”, „De ce?”,
„ Cum se citeşte numărul care se scrie şase zero?”, „Reprezentaţi pe numărătoare
acest număr!”, „Ce semnificaţie are cifra 0?”, „Câte zeci conţine numărul…?”, „Dar
unităţi?”. În mod asemănător se procedează şi pentru alte numere.
În Marea Britanie, odată cu învăţarea numerelor mai mari decât 9 se are în vedere
formarea şi dezvoltarea conceptului de „Place value”, unul dintre cele mai importante
concepte aritmetice, care reprezintă principiul conform căruia poziţia unei cifre într-un
număr determină valoarea sa.(ex. 127: 1- reprezintă sutele, 2- zecile, 3-unităţile)
Acest pricipiu este de fapt esenţa sistemului de numeraţie.Pentru a se realiza acest
lucru, în activităţile la clasă se realizează transformări şi schimbări a unităţilor în zeci,
zecilor în sute etc..(ex. grupez într-o singură zece 10 unităţi).
În această privinţă, un element comun a celor două ţări este îmbinarea activităţii
practice cu scrierea rezultatelor acţiunilor obiectuale întreprinse de elevi.De exemplu, în
ambele ţări se utilizează axa numerelor/”number line”(fig. 4.5.), prin intermediul căreia
elevii pot fi solicitaţi să identifice şi să poziţionze pe axă: numere consecutive, predecesorul
unui număr, succesorul altui număr etc. şi este o imagine importantă care este fundamental
necesară pentru a aprecia poziţia unui număr în relaţie cu alte numere (numeralul
ordinal).Astfel elevii vor putea aprecia că de ex. nr.58 este „mai departe” de
50 dar „mai aproape” de 60, comparând şi ordonând numerele între ele.În efectuarea
exercăţiilor de comparare, elevii trebuie să argumenteze modul de lucru.
Fig. 4.5. Number line
Spre deosebire de România,unde se folosesc numai numărătoarea, beţişoarele şi axa
numerelor, în Marea Britanie, locul şi valoarea fiecărei cifre sunt explicate prin
reprezentarea numerelor folosind mai multe grafice demonstrative:de ex. blocuri cu
apartamente/pătrăţele(fig) (un pătratel reprezintă o unitate, cu 10 pătrăţele de o unitate
formăm 1 zece, si cu 10 zeci formăm 1 sută) - elevul a reprezentat numărul 1 249 astfel: un
bloc cu 1000 de apartamente, două cu 100, trei cu 10 şi încă 9 apartamente. Pentru
facilitarea procesului de învăţare, în explicarea acestui concept matematic se folosesc şi alte
materiale: monede, imagini spatiale, axa numerelor „number line”(pentru a remarca poziţia
şi relaţia cu alte numere), cartonaşe colorate cu numere, imagini, obiecte, jucării etc..(vezi
Anexa ).Pentru a înţelege mai bine modul de abordare a acestui concept a profesorilor
britanici, am descris câteva activităţi specifice în Anexa . Astfel copiii isi vor construi
imaginea care îi va ajuta şi va sta la baza înţelegerii modului de efectuare a calculelor de
adunare şi scădere prin metodele scrise, după cum vom vedea în capitolul următor.
Este foarte important să se acorde o atenţie particulară funcţiei şi semnificaţiei
numărului şi cifrei 0(zero) când scriem şi explicăm numerele copiilor.(ex. nr 307 poate fi
confundat uşor cu 37 unde 0 este cifra zecilor chiar dacă nu este nicio zece).Este dificil pt
un copil sa scrie corect un număr căruia îi lipseşte o valoare, tocmai de aceea este important
să se reprezinte numerele grafic pentru a elimina posibilitatea ca elevul să scrie greşit
numărul: în loc de 307 să scrie 37.
În opinia metodiştilor britanici, pentru a scrie corect numerele, este foarte important ca
elevii să cunoască suficient de bine conceptul “place value” şi să se folosească cât mai
multe materiale demonstrative.Este extrem de important ca elevul să deţină cunoştinte
corecte legate de modul de formare a numărului natural, precum şi de valorile fiecărei cifre
pt a putea mai târziu să rezolve
operaţiile de adunare şi scădere.
Fig. 4.6. Hundred square
III.4.2. Adunarea şi scăderea numerelor naturale
Cu referire la procesul de învăţare a acestor două operaţii aritmetice, voi descrie
comparativ posibile trasee metodice şi etapele importante de predare a lor pentru fiecare
ţară, cu menţiunea că între adunare şi scădere sunt similitudini metodice.
În România, înţelegerea sensului operaţiei de adunare sau scădere se face cu uşurinţă
prin rezolvarea unor probleme-acţiune( anexa) care solicită mărirea sau micşorarea
cantităţii cu un număr de unităţi.Elevii vor fi solicitaţi să realizeze practic acţiuni de mărire
şi micşorare, accentul punându-se pe verbalizarea simultană a operaţiilor realizate practic şi
utilizarea unor sintagme verbale: „am mai pus”, „am luat”, „au rămas” etc.. Un exemplu de
problemă-acţiune este următoarea: Ana are două mere şi mai primeşte 7 mere de la
prietena ei Maria.Câte mere are acum Ana?Această problemă se rezolvă, parcurgând mai
multe etape:
Copiii lucrează cu beţişoare şi reprezintă prin 2 beţişoare merele pe care le are Ana,
la care mai adaugă 7 beţişoare, merele primite de la Maria.Acum vor avea 2 şi încă
7, în total 9 beţişoare, rezultat care se află prin numărare. Acţiunea este verbalizată,
cu accent pe sintagma verbală”mai primeşte” care sugerează sensul transformării.
Acţiunea este repetată pentru a se putea asocia şi transcrie simbolic 2+7=9
Se repetă activitatea într-o situaţie de învăţare nouă, se propun alte probleme, pe
care elevii le vor rezolva individual, utilizând materialul didactic şi elementele
dominante: termenii sumei, reprezentarea, acţiunea de punere la un loc, numărarea
ca procedeu de aflare a rezultatului acţiunii de reuniune a celor 2 mulţimi,
verbalizarea acţiunilor efectuate, scrierea operaţiei, utilizarea terminologiei
specifice.Reprezentarea prin desen a operaţiei utilizând diagramele Venn este
următoarea:
(Neagu, M.; Mocanu, M. 2007)
2 + 7 = 9
Fig. 4.6.Reprezentarea unei operaţii de adunare
Înainte de efectuarea operaţiilor de adunare şi scădere este necesar să se parcurgă un
demers prin care elevii să se familiarizeze cu compunerea şi descompunerea numerelor
(prin manipulare de obiecte: beţişoare, numărătoare, figuri geometrice). Copiii vor primi
sarcini ca: reprezentarea prin desen a mulţimilor de obiecte, scrierea operaţiei
corespunzătoare desenului reprezentat, completarea unor adunări lacunare(existenţa unui
termen lipsă) etc..Se respectă acelaşi traseu sau algoritm de calcul şi pentru operaţia de
scădere.Adunarea cu o unitate se sprijină pe deprinderea de compunere a numărului iar în
cazul scăderii pe cea de descompunere.Din persepctivă metodică, activităţile de învăţare a
adunării până la 10 au următoarea succesiune:
exerciţii cu material individual de compunere a numerelor;
activităţi de rezolvare a unor probleme-acţiune prin numărare, utilizând material
didactic individual;
exerciţii de scriere a operaţiilor corespunzătoare problemelor rezolvate practic;
exerciţii de completare a termenului-lipsă într-o adunare: a + ? = b, utilizând
rezultatul descompunerii numărului b în a şi cel care reprezintă tocmai termenul-
lipsă; acest concept de adunare lacunară sau adunări cu termen-lipsă, de foarte
multe ori este confundat cu exerciţiile de aflare a termenului necunoscut, care se
rezolvă prin proba operaţiei şi nu prin descompunere sau numărare.
exerciţii de compunere de probleme după un exerciţiu dat;
exerciţii de rezolvare de probleme cu text sau probleme-acţiune.
● ●●●●●●●●
Adunarea şi scăderea numerelor până la 100, fără trecere peste ordin, ridică
anumite dificultăţi de ordin metodic pentru că se operează cu numere formate din zeci şi
unităţi şi se introduc două modalităţi de calcul (dezvoltat şi scris),[exceptând situaţia când
se adună numere până la 20 cu trecere peste ordin: datorită faptului că sunt primele operaţii
cu trecere peste ordin pe care le efectuează copiii, se folosesc alte două tehnici precedente:
utilizarea axei numerelor şi utilizarea numărătorii cu tije].Calculul dezvoltat presupune
descompunerea numerelor pentru a reduce adunarea la alte cazuri deja învăţate şi utilizarea
proprietăţilor de asociativitate (grupare convenabilă a termenilor) şi comutativitate
(schimbarea locului termenilor) a adunării, care se demonstrează prin manipularea de
obiecte, mai întâi demonstrativ la tablă, şi apoi individual, de către elevi.Calculul dezvoltat
este cel care facilitează înţelegerea calculului scris şi presupune parcurgerea următoarelor
etape: descompunerea numerelor, adunarea separată a zecilor şi a unităţilor, aflarea sumei
prin adunarea zecilor cu numărul total de unităţi.Un element semnificativ din punct de
vedere formativ rămâne acţiunea directă cu obiecte, învăţarea prin acţiune şi
problematizarea, care are un rol major în învăţare.Este recomandabilă respectarea
următoarelor etape în învăţare:
reactualizarea compunerii şi descompunerii numerelor mai mari decât 10 prin
exerciţii practice şi în scris
se efectuează exerciţii de adunare/scădere în care un termen este format numai din
zeci
se efectuează exerciţii de adunare lacunară, in care un termen este format numai din
zeci
se propun probleme-acţiune a căror rezolvare să solicite efectuarea tipului de
adunare dorit (ex. 12 + 5 ) şi, prin acţiune cu obiectele, elevii sunt îndrumaţi să
descompună termenul mai mare decât 10 în zeci şi unităţi
se separă zecea şi la cele două unităţi ale primului termen se adună cele 5 unităţi ale
termenului al doilea ( 12 + 5 = 10 + 2 + 5)
Se adună unităţile între ele şi rezultatul se adună cu zecea rămasă
Se scrie calculul dezvoltat utilizând asociativitatea adunării( 12 + 5 = 10 + 2 + 5 =
10 + (2 + 5) = 10 + 7 = 17);
Se consolidează deprinderile prin exerciţii variate rezolvate prin calcul dezvoltat şi
calcul scris şi verificarea corectitudinii prin numărare sau utilizând numărătoarea;
Se rezolvă probleme simple
Se compun oral sau scris probleme după imagini sau exerciţiu
În continuare aş dori să exemplific rezolvarea unor operaţii de adunare utilizând
cele patru tipuri de calcule.
Ex. 1: Adunarea numerelor până la 100, fără trecere peste ordin
- Calcul dezvoltat: 25 + 53 = (20 + 5) + (50 + 3) = (20 + 50) + (5 + 3) = 70 + 8 =
78
(comutativitate) (asociativitate)
- Calcul scris:
Astfel se poate observa relaţia de interdependenţă dintre cele două calcule.
Ex. 2: Adunarea numerelor până la 20, cu trecere peste ordin ( 6 + 9 )
- Utilizarea axei numerelor: unităţile celui de-al doilea termen „se adaugă” pe axă
la unităţile primului termen şi se citeşte pe axă rezultatul adunării
- Utilizarea numărătorii cu tije: se pun 6 bile pe tija unităţilor şi se adaugă apoi 9
bile(termenul al doilea). Se observă prin numărare că sunt mai mult de 10 bile şi se
înlocuiesc 10 bile de pe tija unităţilor cu o bilă pe tija zecilor. Se citeşte numărul obţinut: 1
Z şi 5 U, ca rezultat al adunării numerelor 6 şi 9.
- Calcul dezvoltat bazat pe completarea zecii la numărul cel mai mare:
Z U
2 5
5 3
7 8
6 + 9 = (5 + 1) + 9 = 5 + (1 + 9) = 5 + 10 = 15
Este necesar să se exemplifice şi calculul dezvoltat bazat pe completarea zecii la numărul
cel mai mic, pentru a se putea compara cele două variante de calcul şi a se oferi copiilor
libertatea de a alege modul de lucru.
- Calcul scris: se va evidenţia modul de aşezare a numerelor şi legătura cu calculul
dezvoltat: 6+
9
15
Ex. 3: Adunarea cu trecere peste ordin a numerelor mai mici ca 100 (56 + 38)
Se reprezintă la numărătoarea numărul 56,primul termen al adunării:5 bile pe „tija
zecilor” şi 6 pe „tija unităţilor”.
Se reprezinta la numărătoarea numărul 38, al doilea termen al adunării:3 bile pe
„tija zecilor” si 8 pe „tija unităţilor”.
Se observă că pe „tija unităţilor” sunt mai mult de 10 bile şi apare în mod natural
ideea de a înlocui zece dintre ele printr-o bilă pe „tija zecilor”.
Se numără bilele rămase pe „tija unităţilor” şi cele care sunt acum pe „tija zecilor”
şi se compune numărul din zeci si unităţi.
Se reia in scris modul de operare la numărătoarea şi va rezulta calculul
dezvoltat.Apoi se va face legătura cu calculul scris:
56+38=(50+6)+(30+8)=(50+30)+(6+8)=80+14=(80+10)+4=90+4=94
Ex. 4:Adunarea cu trecerea peste ordin a numerelor mai mici ca 100
56 + 38 = 56 + 4 + 34 = 60 + 34 = 94
De la această scriere schematică se trece cu uşurinţă la calculul dezvoltat:
56 + 38 = 56 + (4 + 34) = (56 + 4) + 34 = 60 + 34 = 94 şi apoi la calculul scris.
Z U
5 6
3 8
9 4
În vederea observării modului în care decurge un demers didactic specific operaţiilor de
adunare şi scădere şi a unor diverse sarcini de lucru necesare însuşirii şi consolidării
acestora în învăţământul românesc, propun vizualizarea Anexei( proiecte, fise)
Spre deosebire de metodologia de predare a operaţiilor aritmetice din România, în
Marea Britanie există mai multe modalităti de efectuare a calculelor matematice. Prima
metodă este preponderent utilizată şi-n ţara noastră iar în a doua metodă deasemenea există
elemente pe care le regăsim şi în ţara noastră( de ex. manipularea de obiecte, lucruri
familiare elevilor).Cele trei metode sunt:
1. Algoritmul – se referă la un proces realizat pas cu pas pt a obţine soluţia la o problemă
matematică sau rezultatul unui calcul, exerciţiu.Este o metodă formală, numită şi „metoda
hârtiei şi stiloului” pe care o putem utiliza pentru a efectua calcule iar dacă procedurile
sunt indeplinite corect,totdeauna vom ajunge la rezultatul dorit, aşteptat: ex. 2-1=1 .
2. A doua metodă este una informală pe care o folosesc frecvent adulţii pentru a rezolva calcule
şi probleme, pe care le întâlnesc în viaţa de zi cu zi.Un exemplu ar fi acela de a face referire la
bani, monede sau la alte obiecte, valori cunoscute si familiare elevilor.Are rolul de a încuraja
înţelegerea relaţiilor dintre numere, pentru că nu sunt aplicate mecanic, ca şi în cazul
algoritmului,
3. Utilizarea calculatorului electronic este o parte importantă pentru înţelegerea
matematicii, pentru verificarea rezultatelor obţinute.Elevii din U.K. nu folosesc calculatorul
pentru a efectua calcule simple, care pot fi rezolvate prin aplicarea altor metode, ci pentru a
explora numere, rezolvarea unei probleme.Utilizarea calculatorului nu este privită ca pe
ceva păcătos, înşelător sau trădător, aşa cum se percepe în România, ci ca o parte
importantă în dezvoltarea abilităţilor matematice atunci când elevii sunt capabili să
folosească corect calculatorul pentru a rezolva probleme. Mulţi oameni britanici au
considerat că calculatorul nu ar fi benefic pentru învăţarea matematicii şi au propus
interzicerea utilizării în şcoli. Argumentul acestor oameni era că acest aparat face totul, fără
ca elevul să fie pus în situaţia de a rezolva singur, independent.Totuşi s-a dovedit a fi util
pentru rezolvarea problemelor practice.Când avem de rezolvat o astfel de problemă trebuie
inclusă problema în situaţii reale de viaţă şi pusă în contextul banilor.Folosim calculatorul
atunci când se obţin rezultate cu virgulă: ex 8,333333333333. Calculatorul se utilizează atât
pentru efectuarea si rezolvarea
exerciţiilor aritmetice cât si pentru a promova înţelegerea conceptelor matematice şi pentru
a explora formele şi relaţiile dintre numere. Chiar daca unii jurnalişti şi politicieni au
afirmat faptul că calculatoarele manuale subminează capacitatea şi abilităţile elevilor de a
efectua calculele matematice, cercetările făcute nu dovedesc acest lucru.Atunci când se
predă operaţiile aritmetice, profesorii britanici realizează o strânsă legătură a operaţiei de
adunare sau scădere cu situaţii reale de viaţă, folosesc multe desene, reprezentari,
simboluri si ulterior calculatorul, pentru a demonstra şi învăţa cum se scrie operaţia
respectivă.
Din cele menţionate mai sus, putem deduce faptul că sistemul de învăţământ britanic, în
comparaţie cu cel român, este mult mai deschis şi înclinat spre explorare, rezolvare de
probleme într-un mod practic, creativ şi inovativ, introducând elecvii în contexte reale de
viaţă iar acest lucru se poate remarca chiar şi prin posibilitatea utilizării calculatorului în
procesul educaţional.
În metodicile de predare a matematicii în ciclul primar din Marea Britanie am remarcat
noţiunea denumită „Structuri ale adunării şi scăderii”, care desemnează principalele
strategii mentale de rezolvare a operaţiilor de adunare şi scădere şi înglobează diferitele
tipuri de situaţii pe care elevii ar putea să le întâlnească şi la care trebuie aplicate operaţia
de adunare sau scădere.Ele reprezintă de fapt diverse categorii, metode care
contextualizează utilizarea operaţiei de scădere şi scădere.
Unele situaţii sunt identificabile şi în învăţământul românesc, dar nu poartă aceste
denumiri şi nu presupun utilizarea aceloraşi strategii didactice în desfăşurarea lor la clasă.
Aşadar, referitor la structura adunării, există doi termeni/metode care stau la baza
acestei structuri: agregarea(contopire, unire) şi augmentaţia(creşterea).Când adunăm două
numere mergem cu gândul la ideea de-a număra de-alungul unei linii cu numere:ex. 3+1=;
începem cu 3 şi numărăm înainte cu 1 = 3(fig.)
Fig. 4.7. Adunarea efectuată pe number line
În structura de agregare, adunarea se poate întâlni în două contexte: primul şi cel mai
simplu, atunci când copiii împreunează sau contopesc două mulţimi de obiecte într-o singură
mulţime pentru a afla numărul total, situaţie pe care o identificăm şi-n învăţământul
românesc.De exemplu combinând două mulţimi de copii(25 de băieţi şi 29 de fete), câţi sunt
împreună?. Al doilea context şi cel mai important, relevant, care din păcate nu se regăseşte în
strategiile româneşti, este cel al banilor(elevii trebuie să găsească costul total a două sau mai
multe preţuri , cumpărături, diverse aspecte ce ţin de măsurare ca şi lungimea, distanţa, volumul,
capacitatea, şi timpul:ex.: Calculează timpul total de lucru pentru realizarea unui jurnal dacă
pentru prima parte mi-a trebuit 67 min şi pentru a doua 76 min.etc).
În structura de augmentaţie, adunarea se poate întâlni în următoarele contexte:cel mai
important şi relevant context pentru această structură este domeniul banilor(preţ, cost, salar), un
alt context este temperatura; un altul este vârsta elevilor: Acum ai 6 ani.Câţi ani vei avea peste 4
ani?(se evidenţiază procesul de creştere, mărire, numărare ); măsurarea(masă, lungime, timp) este
un alt context.
La fel ca şi în România, proprietatea comutativităţii are un rol şi o importanţă majoră în
predarea operaţiei de adunare. Este evident din această figură (fig) că acest exerciţiu poate fi
reprezentat fie prin 6+3, fie 3+6.
Fig. 4.8. Comutativitatea adunării
Semnificaţia acestei proprietăţi este dublă: prima, este important să realizăm că scăderea nu are
această proprietate comutativă (de exemplu 10-5 nu este egal cu 5-10); a doua, este important să
utilizăm cât mai des această proprietate în efectuarea calculelor de adunare.În mod particular, când
se foloseşte ideea de numărare, este recomandat aproape totdeauna să se înceapă cu numărul mai
mare.De exemplu nu este atât de comod să calculezi 3+59, începând cu 3 şi numărând până la
59.Lucrul evident care trebuie făcut este să se folosească legea comutativităţii mental pentru a
schimba adunarea în 59+3, începând cu 59 şi numărând până la 3.
Referitor la structura scăderii, există 4 categorii, metode care contextualizează utilizarea
operaţiei de scădere: metoda împărţirii unei cantităţi de obiecte, metoda reducerii, comparaţia şi
inversul adunării.
Metoda împărţirii „take away” am remarcat-o şi în România în contextul în care se
rezolvă probleme-acţiune şi se referă la o situaţie în care o cantitate este împărţită
într-un anume fel şi este necesară operaţia de scădere pt a calcula câte/cât ne-a
rămas.De ex: Într-o cutie sunt 17 bile. 5 bile au fost eliminate.Câte bile au rămas în
cutie? Exerciţiul care trebuie scris la calculator pentrut a afla rezolvarea problemei
este 17-5.Invaţătorul nu trebuie să determine elevul să creadă că doar expresia „ia,
înlătură, îndepărtează”, (take away) ne cere operaţia de scădere, deoarece sunt şi
alte structuri care se asociază cu operaţia de scădere.
Cea de-a doua metodă a reducerii se aseamănă cu metoda împărţirii „take away” şi
este inversul procesului de mărire, creştere specific adunării. Se referă la faptul că o
cantitate este redusă de o anumită sumă şi operaţia de scădere este folosită pentru a
găsi valoarea redusă.(ex. O bicicletă costa 34¤ £, preţul s-a redus cu 3¤ £. Care este
noul preţ? Această metodă sugerează ideea de a număra înapoi de-a lungul unei
linii cu numere ca în figură(fig.) ; datorită acestei conexiuni, ideea de scădere ca
reducere este contruită pe aspectul ordinal al numărului.
Metoda comparaţiei este utilizată în diverse contexte: de exemplu atunci când
comparăm două cantităţi A şi B şau două numere; ca şi atunci când întrebăm despre
diferenţă, totdeauna se foloseşte cel puţin două forme, modalităţi de a pune
întrebarea: una în care să fie subiectul întrebării, cantitatea mai mare iar alta
cantitatea mai mică.De ex.: Cu cât sunt mai multe în A?/Cu cât sunt mai puţine în
B?, Cu cât este mai mare A?Cu cât este mai mic B?, Cu cât este mai lung A?/Cu cât
este mai scurt B?Cu cât este mai devreme A?/Cu cât este mai târziu B?Cu cât este
mai ieftin A?Cu cât este mai scump B?sau Cu cât costă mai mult A decât B?;Cu cât
este mai mare 6 decât 2? (fig.)etc.
Scăderea este implicată când avem de făcut o comparaţie pentru a identifica care este
mai mare sau mai mică cantitate; atunci trebuie să întrebăm:Cu cât sunt mai multe?Cu cât
sunt mai puţine?Cu cât este mai mare/mic/uşor/greu?În contextul banilor elevii vor întâlni
această structură oricând compară preţul unor articole sau costul diverselor servicii.
Metoda inversul adunării este adesea cea mai dificilă structură pentru copiii din
ciclul primar pentru a o recunoaşte pentru că expresia care este asociată cu aceasta
ca:”De cât mai avem nevoie?”şi „Ce trebuie adăugat?”ne semnalează mai degrabă
operaţia de adunare şi nu de scădere, aşa că automat copiii vor adăuga cele două
numere; de aceea trebuie îndrumaţi pentrut a observa nevoia de scădere şi nu de
adunare.Cele mai convingătoare exemple sunt cele din domeniul sportului(ex. Dacă
am obţinut scorul de 180 la tenis, de cât mai am nevoie pentru a ajunge la 401?
Aceasta corespunde scăderii 401-180; măsurarea distanţei:câţi km trebuie să mai
parcurg pentru o călătorie de 467 Km dacă până în prezent am parcurs 234 km ?
Bineînţes că atunci când avem de făcut o scădere ca şi 243 - 87 fără calculator, ar fi
bine să folosim o linie cu numere şi ideea de a adăuga de la numărul 87 pentru a
ajunge la 243.De ex putem aduga 3 la 87 pt a ajunge la 90, apoi 10 pt a ajunge la
100, apoi 100 pt a ajunge la 200 si apoi 43 pt a ajunge la 243 ca şi în figură(fig).
Fig. 4.9.
Aceasta este o strategie mentală puternică pentru că consolidează capacitatea
copiilor de a asocia scăderea cu alte contexte, structuri, ca mai sus.Astfel vor cunoaşte
nu numai momentul când o situaţie va cere rezolvarea problemei prin scădere, ci şi
faptul că atunci când este necesar un exerciţiu de scădere ei pot să interpreteze în
diferite modalităţi pentru a negocia cu acesta.
Este de recomandat să se exemplifice cât mai multe exemple din viaţa de zi cu zi:
taxa de intrare este de 80, dar eu am numai 52.De câti mai am nevoie?; chiar dacă
întrebarea este de a adăuga ceva la 52, exerciţiul este de fapt o scădere 80-52.
Pentru a facilita elevii să utilizeze operaţia corespunzătoare pentrut rezolvarea
problemei este important să se pună elevilor întrebarea:”Care este exerciţiul care
trebuie introdus pe calculator pentru a rezolva această problemă?”, care ajută să
focalizăm gândirea copiilor pe structura matematică de bază a situaţiei.
Spre deosebire de România, în Marea Britanie există două tipuri de strategii de
calcul a operaţiilor de adunare şi scădere: strategii mentale şi strategii scrise.
Strategiile mentale implică efectuarea calculelor „în minte” şi faptul că elevii scriu şi
desenează, reprezintă anumite lucruri, desene care îi ajută să rezolve calculele rapid,
corect şi creativ. („number line, hundred square ).Strategiile scrise presupun
efectuarea calculelor unde numerele sunt aşezate unele sub altele respectând valoarea
fiecarei cifre.
În efectuarea calculelor mentale, procedeul se realizează de la stânga la dreapta şi
nu ca în cazul celor mai multe metode scrise, de la dreapta la stânga.
Fiecare din aceste strategii cuprind, la rândul lor mai multe metode didactice.
Strategiile mentale sunt metode informale, uneori inventate şi create de elevi, care
se aplică după predarea-învăţarea strategiilor scrise şi care facilitează procesul de înţelegere
a conceptelor matematice.Potrivit acestor strategii, elevii sunt învăţaţi că nu este o cale
specifică de a face un calcul şi că o metodă informală, mentală este la fel de validă ca o
metodă scrisă, formală.El trebuie să gândească creativ pentru a rezolva problema.Un
calcul de adunare sau scădere, înainte de a fi aşezat vertical (coloane) se rezolvă scris sub
formă orizontală cu ajutorul strategiilor mentale. După ce au fost predate metodele formale,
scrise de efectuare a calculelor, copiii trebuie încurajaţi să găsească alte căi
informale,mentale inventate de ei, care li se par mai uşoare pentru a rezolva corect înainte
de a aplica metodele formale, algoritmii. Înainte de a efectua calcule este f important ca
elevul să stăpânească foarte bine descompunerea şi compunerea numerelor.(ex. 10=7+3,
10=4+6, etc)
Este esenţial ca elevii să cunoască procedeul „dublul numărului”: ex. dublul lui 6
este 6+6=12; 6+7=?; dacă dublul lui 6 este 12 atunci mai punem 1 şi obţinem 13.
Sau 23+19=?; la al doilea număr adăugăm 1 şi obţinem: 23+20=43, apoi scădem 1
şi obţinem rezultatul final 42.
Elevii sunt încurajaţi să explice modul de rezolvare, să compare metodele lor cu ale
altor copii sau ale profesorului,
1. Numărarea înainte (la adunare) şi înapoi (la scădere) sprijineşte efectuarea calculelor mentale
(de ex. efectuarea calculelor pe un pătrat cu 100 pătrăţele „hundred square”(fig.) le
dezvoltă copiilor imaginaţia, sprijineşte procesul de numărare crescător şi descrescător în
unităţi şi zeci. Pentru a aplica această metodă elevii trebuie să stăpânească foarte bine
număratul crescător şi descrescător.
Fig. 4.10. Hundred square
2. O altă strategie mentală, care corespunde calculului dezvoltat din ţara noastră, este să
descompunem numerele care se adună sau scad în sute, zeci, unităţi, după care se aplică
legea comutativităţii şi asociativităţii, combinând numerele cum dorim pentru a ajunge la
rezultatul estimat.Ex:
345 + 215 = (300 + 40 + 5) + (200 + 10 + 5) = (300 + 200) + (40 + 10) + (5 + 5) = 500 + 50 + 10 = 560
3. O altă metodă este metoda compensaţiei (pentru a facilita efectuarea calculelor), pe care de
asemenea o regăsim în strategia românească în efectuarea calculului dezvoltat.
Ex.1 : 4003-3196=
- adăugăm 4 la al doilea număr: 4003-3200=
- adăugăm 800 la al doilea număr: 4003-4000=3
- acum compensăm: 3+4+800=807
- copiilor le explicăm că trebuie să înlocuim unele numere cu altele „mai prietenoase”
pentru a ne ajuta
Ex 2 :742-146=
- schimbăm 146 în 142:742-142=600
- compensăm: 600-4=596
- sau schimbam 742 în 746
4. Cele mai practicate strategii mentale sunt cele în care se utilizează frecvent linia cu
numere „number line”.Această linie/axă nu este marcată şi nu trebuie neapărat trasată
cu liniarul, poate fi verticală, orizontală, nu neapărat dreaptă.Ea are rolul de a oferi
copiilor un tablou, o imagine mentală a unui calcul care le dezvoltă, lărgeşte gândirea
copiilor în legătură cu structura numerelor.Am folosit pentru a explica metodele două
operaţii de adunare şi scădere: Aşadar, am identificat următoarele metode:
Pentru adunare (37+29=66): presupune sărirea cu zeci de-a lungul liniei,
de la stânga la dreapta, începând cu primul număr.Sărim de la 37 la 47 o zece, apoi
la 57 o altă zece, (până aici e 20) sărim încă 3 până la 60 şi încă 9, astfel rezultatul
este 66. Pentru scădere (43-28=15): pentru e efectua scăderea ne deplasăm pe linia
de numere de la dreapta la stânga, adică înapoi.În cazul acestui calcul sărim înapoi
cu 10 până la 33 apoi până la 23.Apoi sărim înapoi cu 3 până la 20 iar în final până
la 15 cu 5.A sări înapoi presupune a scădea, a lua.
A doua metodă pentru adunare presupune să sărim la al doilea număr cu un
număr care să transforme al doilea număr într-un multiplu a lui 10, pentru ca
exerciţiul să devină mai uşor.(De la 37, sărim 3 pentru a ajunge la 40, apoi sărim
zece(50), apoi iar 10(60) apoi 6(66).Sau se poate sări direct de la 40 la 60 cu 20,
astfel se face cu un pas mai puţin. Pentru efectuarea scăderii iniţial sărim înapoi cu 3
de la 43 şi ajungem la 40.Apoi sărim înapoi cu 20 până la 20 iar în final cu 5 înapoi.
A treia metodă implică faptul că este foarte uşor să adăugăm numere care
sunt multiplii lui 10(e. sărim de la 37 la 67(avem 30) şi trebuie neapărat să sărim
înapoi cu 1(si-am ajuns la 66) pentru că noi trebuie să adunăm cu 20.Rezultatul este
66 .O altă modalitate de a rezolva este să sărim tot câte 10 până la 67 şi după aceea
să revenim cu 1 înapoi( sărim de la 37 la 47, la 57, la 67 şi înapoi cu 1)( această
metodă se foloseşte atunci când adunăm numere ca şi 29, care este foarte aproape de
următorul multiplu a lui 10(adică 30). Pentru scădere: de la 43 sărim înapoi la 13 cu
30 după care sărim cu 2 la 15: 43-30+2=15.Această metodă, la scădere mai poate fi
numită compensaţie sau „luăm prea mult apoi punem înapoi!”
A patra metodă mentală de scădere care presupune numărarea de-a lungul liniei
şi se bazează pe faptul că este mai uşor să numeri înainte decât înapoi. Presupune
aflarea diferenţei dintre două numere numărând de la unul la altul.Această numărare
poate fi ilustrată prin sărirea de-a lungul liniei cu numere.
Ex. pentru scăderea 43-28=15; mai întâi vom reprezenta cele două numere pe linie şi
vom găsi diferenţa dintre ele sărind de la 28 la 43.Aşadar vom sări cu 2 până la 30, apoi
cu 10 până la 40, şi cu 3 până la 43.(2+10+3=15) - adunăm săriturile de-a lungul liniei
şi obţinem rezultatul) (fig)
Sărim cu 2 sărim 10 sărim 3
28 30 40 43
Fig. 4.11.Scăderea cu ajutorul liniei cu numere
În urma prezentării şi analizării strategiilor mentale, concluzionez faptul că în
învăţământul românesc nu se aplică decât două dintre metodele mai sus menţionate:
descompunerea numerelor cu proprietăţile asociativităţii şi comutativităţii şi metoda
compensaţiei (care are rolul de a reduce dificultatea calculului) specifice calculului
dezvoltat.
Cel de-al doilea tip de strategii utilizate pentru predarea operaţiilor de adunare şi
scădere în Marea Britanie sunt cele scrise. La fel ca şi-n România, pentru a facilita
efectuarea calculelor de adunare este extrem de esenţială descompunerea numerelor iar
pentru realizarea acestui lucru elevul trebuie să înţeleagă sistemul de numeraţie.
Ex: 37 + 29 = 66; vom descompune fiecare număr în zeci şi unităţi, se adună zecile cu zeci,
unităţile cu unităţi apoi se recombină.
37 = 30 + 7; 29 = 20 + 9
30 + 20 = 50; 7 + 9 = 16 ; 50 + 16 = 66(recombinarea)
Metodele scrise pentru adunare
Presupune aşezarea numerelor unele sub altele, în coloană pe verticală. Pentru ca
elevii să efectueze calculele fără greşeli este nevoie ca aceştia să cunoască conceptul de
“place value”, adică să cunoască valoarea fiecărei cifre în cadrul unui număr. Înainte
de aplicarea metodelor scrise, elevii trebuie să stăpânească foarte bine metodele
mentale, altfel nu vor face faţă cu success.
Să ne gândim de exemplu la adunarea 36 + 57= ___;
Copiii vor fi obişnuiţi să rezolve calculul mental sau poate prin decompunerea numerelor în
zeci şi unităţi.Copiii sunt învăţaţi să lucreze în felul acesta şi de fiecare dată sunt tentaţi să
adune mai întâi zecile.
Este foarte important ca atunci când începem să efectuăm adunarea cu metoda coloanei
să spunem copiilor că ei pot să se folosească şi de celelalte metode pe care deja le cunosc.
Ex.: 36 = 3 Z şi 6 U; 57 = 5 Z şi 7 U; deci 30 + 50 = 80 şi 6 + 7 = 13 iar 80 + 13 = 93,
Deci 36 + 57 = 93 ; astfel elevii folosesc descompunerea şi asociativitatea specifice
calculului dezvoltat. Ulterior, învăţătorul demonstrează scrierea numerelor unele sub altele
pentru a efectua calculul: astfel, 36 + 57 = se scrie astfel:
36
+ 57
Am observat faptul că că în Marea Britanie chiar şi poziţia semnului „+”(plus) este diferită
faţă de România, fiind situat în partea stângă a termenului al doilea.
Principalele etape ale unui calcul scris în U.K. sunt:
1. Se cere elevilor să rezolve exerciţiul aşa cum au învăţat până acum, adunând mai întâi
zecile.Elevii scriu rezultatul dedesubt.Paranteza le aminteşte ce au făcut.
36
+57
80(30 + 50)
2. Următorul pas este să adunăm unităţile şi să scriem rezultatul dedesubt.
36
+ 57
80 (30 + 50)
13 ( 6 + 7)
3. Acum elevii pot să adauge 80 cu 13, care poate fi calculat mintal foarte uşor,
obţinând 93, pe care îl scrie dedesubt.
36
+ 57
80 (30 + 50)
13 ( 6 + 7)
93
4. elevii vor face în acest mod calculul o singură dată, după care vor fi încurajaţi să
încerce rezolvarea adunării adunând mai întâi unităţile şi apoi zecile.Oare vom
obţine rezultatul dorit?
48 48
+ 34 + 34
70 (40 + 30) 12 ( 8 + 4)
12 ( 8 + 4) 70 ( 40 + 30)
82 82
5. Bineînţeles că am obţinut acelaşi rezultat dar copiii trebuie să descopere ei înşişi.
6. Odată ce şi-au însuşit acest lucru, copiii vor efectua calcule şi cu numere din 3 cifre,
implicând sutele.
235 + 367
Adunăm mai întâi sutele Adunăm mai întâi unităţile
235 235
+ 367 + 367
500 (200 + 300) 12 ( 5 + 7)
90 ( 30 + 60) 90 ( 30 + 60)
12 ( 5 + 7) 500 (200 + 300)
602 602
7. Atunci când copii dovedesc mai multă precizie şi stăpânesc destul de bine această
metodă se poate trece la metoda mai scurtă, care presupune să transporte ceea ce a
rămas de la o cifră la alta.
Ex. 37 + 28
37 Mai întâi adunăm 7 cu 8 pentru. a obţine 15.
+ 28 Deoarece elevii înţeleg sistemul numeric, ei ştiu că
5 15 = 1 Z şi 5 U
1 Se plasează 1 Z “din minte” în coloana zecilor şi se
scrie 5 în coloana unităţilor.
Se adună 30, 20 şi 10 pentru a obţine 60.
37 Se reprezintă acest lucru scriind pe 6 în coloana zecilor
+ 28 6 Z obţinând 60.
65
1
Dacă copiii continuă să facă greşeli în aplicarea acestei metode mai scurte, se vor
întoarce la metoda anterioară, mai extinsă.
Metode scrise pentru scădere
Pînă acum am văzut cum descompunerea numerelor sprijineşte efectuarea calculelor
de adunare iar legea comutativităţii facilitează acest lucru.Însă, pentru scădere nu se
întâmplă aşa deoarece:
5 – 2 = 3 şi 2 – 5 = (-3)
Dacă se aplică scăderii această lege vom
obţine două rezultate total diferite.
Acest lucru înseamnă că descompunerea numerelor nu ajută în mod
necesar atunci când scădem.Vom vedea cum, pentru a rezolva o operaţie de
scădere, vom trece de la metoda liniei cu numere la metoda coloanei, care
presupune aşezarea numerelor unele sub altele. Calculul este: 43 – 28 = 15
15
Sărim 2 sărim 10 sărim 3
28 30 40 43
Fig. 4.12.
Folosind metoda numărării, se plasează pe linie numerele 43 şi 28 şi vom găsi
diferenţa dintre ele sărind de la 28 la 43.
Vom folosi aceeaşi metodă, dar de această dată calculul implică numere cu 3 cifre:
237-179= 58
Vom poziţiona cele două numere pe linie, după care vom sări de la unul la altul
pentru a afla diferenţa.Rezultatul va fi obţinut în urma adunării săriturilor efectuate.
Unii copiii foarte buni vor sări direct la 200, dar alţii poate vor sări mai întâi cu
1 la 180 şi apoi cu 20 la 200.Totuşi este în interesul profesorului să reducă numărul de
sărituri pentru a face un calcul mai eficient.
Ajutaţi şi sprijiniţi de această metodă mentală, elevii vor rezolva scăderi folosind
metoda coloanei: 237 – 179
237
Se scriu numerele unele deasupra celorlalte, pe
coloană, respectând valorile cifrelor.
- 179 Apoi vom sări în paşi lenţi, mai întâi de la
21 ( 200) 179 la 200, care este o săritură de 21.
37 ( 237)
58
Putem pune în paranteză numărul care indică unde am
ajuns
Ulterior vom sări de la 200 la 237, care este o săritură
de 37.Adăugăm săriturile şi obţinem 58
Folosind acestă metodă copiii vor fi învăţaţi să folosească linia cu numere ca o
imagine mentală pentru gândirea lor.Dacă elevii continuă să comită erori în folosirea
metodei coloanei, se cere acestora să revină la metoda cu linia pentru a consolida gândirea.
Vom folosi metoda coloanei pentru a rezolva scădearea: 675- 136
Strategiile scrise specifice metododologiei de predare a operaţiilor aritmetice de
adunare şi scădere din Marea Britanie corespund strategiei „calculului scris” pe coloane,
aflat în relaţie de interdependenţă cu „calculul dezvoltat” în care se aplică descompunerea
numerelor (în sute, zeci şi unităţi) şi proprietăţile de asociativitate, respectiv comutativitate
din România .Deosebirea dintre cele două ţări constă în faptul că în U.K, atunci când încep
să efectueze calculele cu metoda coloanei, elevii sunt încurajaţi să se folosească şi de
celelalte metode pe care deja le cunosc (metodele mentale). O altă deosebire este şi faptul
că în Regatul Unit, în procesul de explicare şi predare se folosesc extrem de multe obiecte,
reprezentări, desene (ex. linia cu numere „number line”, hundred square, etrc.) care
facilitează înţelegerea, pe când în România nu se foloseşte decât numărătoarea „cu tije”.În
concluzie, pot să afirm faptul că, spre deosebire de România, metodologia de predaare a
conceptelor legate de mulţimea numerelor naturale şi a operaţiilor aritmetice specifice
Regatului Unit al Marii Britanii este mai flexibilă, adaptată particularităţilor de
vârstă şi individuale ale copiilor, încurajează spontaneitatea, creativitatea şi dezvoltă
imaginaţia creatoare în vederea rezolvării calculelor şi problemelor matematice într-un
mod practic şi stimulativ.
PARTEA a IV- a: CONCLUZII, PROPUNERI ŞI RECOMANDĂRI
675
-136 Prima săritură va fi de la 136 la
4 (140) 140 care este de 4. Următoarea
60 (200) . săritură de la 140 la 200 care
400 (600) . este 60. Următoarea de la 200 la
75 (675) 600 care este 400.Ultima săritură
539 de la 600 la 675 care este 75.
.Adunăm toate săriturile şi obţinem 539
- Imi puteti face va rog cateva sugestii si recomandari aici. Sper ca nu mai trebuie tabele comparative ca nu mai pooooottt! E ok daca mai scriu aprox. 2 pagini? Va multumesc din suflet!