CENTRUL DE EXCELENŢĂ

1)Paralelism în plan .Linia mijlocie în triunghi2) Probleme de concurs

Tema prezentată şi probleme selectatede prof. Titus Dobîndă şi Maria-Ana Dobîndă

pentru şedinţa din 02.03.2013,cls. a VI-a

I) Noţiuni teoretice:

1) Drepte paralele:a) Definiţieb) Axioma paralelelor(Euclid)c) Consecinţe ale axiomei paralelelor:,,Două drepte paralele cu o a treia sunt

paralele între ele” şi ,,Dacă două drepte sunt paralele, atunci orice dreaptă ce va intersecta pe una din ele o va intersecta şi pe cealaltă.”

d) Scurt istorice) Teoreme de paralelism

2) Unghiuri cu laturile respectiv paralele

3) Linia mijlocie în triunghi (definiţie,teorema liniei mijlocii,reciproca teoremei liniei mijlocii)

4) Suma măsurilor unghiurilor unui triunghi

5) Măsura unui unghi exterior unui triunghi

6) Unghiul format de bisectoarea interioară şi cea exterioară duse din acelaşi vârf al unui triunghi

7) Propozitia: ,,Dacă o dreaptă este perpendiculară pe mai multe drepte distincte, atunci acestea sunt paralele.”

II) Probleme selectate,propuse spre rezolvare (paralelism)

1) Să se demonstreze că dreapta determinată de vârful A al unui triunghi ABC şi

mijlocul medianei din B, intersectează într-un punct E, astfel încât BE= .

2 Fie ABC un triunghi oarecare, iar (BM bisectoarea unghiului B, ( ). Paralela prin M la BC intersectează latura (AB) în N. Sa se arate că:

a) BN=MN.

b) Dacă BM=MC, atunci (MN este bisectoarea unghiului AMB.

3) Se consideră isoscel, cu m( )= .Pe laturile şi se construiesc în exteriorul triunghiului ABC, triunghiurile echilaterale ABM şi ACN.

Arătaţi că :a)Dacă P aparţine înălţimii din A a triunghiului ABC,atunci .b)MN // BC .

4).În triunghiul ABC cu AB AC, unghiul BAD este exterior lui BAC.

Bisectoarele unghiurilor BAC şi BAD intersectează dreapta BC respectiv în punctele

E şi F, iar pe dreapta AF se ia punctul G astfel încât . Fie

. Demonstraţi că:

a) este isoscel.

b) . c)

şi .

5) In triunghiul ABC se consideră mediana . Fie E şi F respectiv mijloacele

segmentelor [AD], [BD]. Paralelele prin E şi F la DC intersectează pe AC în L, iar pe BC

în K. Să se arate că .

PROBLEME DE CONCURS

1) Pe latura (OX a unghiului propriu XOY se consideră punctele A şi B, unde A iar pe latura (OY punctele C şi D , unde C (OD), astfel încât [OC] [OA] şi [OD] [OB]. Dreptele AD şi BC se intersectează în I. Demonstraţi că:

a) (BC) (AD);b) .c) (OI este bisectoarea unghiului BOD

2) Fie triunghiul ABC, cu BC = 10 cm şi AC = 5 cm , iar E şi F astfel încât

.

a) Arătaţi că b) Dacă AB .

3) În triunghiul ABC, D este mijlocul lui (BC), E mijlocul lui (AD) şi F intersecţia dreptelor AB şi CE. Dacă , să se arate că:

a) BC = 2AC; b) m ;c) m

4) Triunghiurile ABC şi au acelaşi perimetru, BC = . Demonstraţi că triunghiurile sunt congruente.

5) Fie triunghiul oarecare ABC, cu AB < AC, şi punctele astfel încât Dacă M şi N sunt mijloacele segmentelor , respectiv , demonstraţi că:

a) ;b) ;c) este bisectoarea unghiului MAN.

6) Pe laturile triunghiului isoscel ABC, AB = AC se construiesc în exterior triunghiurile ABD şi ACE astfel încât

{M}=BE DC.Arătaţi că:

a) BE = CD;b) ME = MD;c) AM este mediatoarea segmentului (DE).

7) Fie P un punct în interiorul triunghiului isoscel ABC ( [AB] [AC] )astfel încât măsurile unghiurilor ABP si ACP să fie proporţionale cu măsurile unghiurilor , raportul de proporţionalitate fiind K > 0.

a) Să se arate că

b) Să determine K în funcţie de astfel încât punctul P să fie egal depărtat de vârfurile triunghiului ABC.

8) Demonstraţi că într-un triunghi oarecare, bisectoarea interioară a unui unghi intersectează mediatoarea laturii opuse într-un punct situat în exteriorul triunghiului.

9) Se dă triunghiul ABC cu (AB) (AC) şi M (AB), N (AC) astfel încât (AM) (AN).Să se arate că MNB NMC.

10) Se consideră triunghiul ABC cu AB = AC. Pe latura (BC) se iau punctele M şi N astfel încât BM = NC. In semiplanul opus vârfului A faţă de dreapta BC se ia un punct P astfel încât PB = PC. Să se arate că :

a) AM =AN;b) PM = PN;c)

11) In exteriorul triunghiului ABC construim triunghiurile isoscele AFB,

şi AEC , . Inălţimea din F a triunghiului AFB şi înălţimea

din E a triunghiului AEC se întâlnesc în I. Să se arate că .

12)Considerăm ABC şi bisectoarea (AD, D (BC) a unghiului BAC. Paralelele prin B şi C la AD se intersectează cu dreptele AC respectiv AB în E, respectiv în F,iar EF se intersectează cu BC în M.

a) Arătaţi că .b) Demonstraţi că MA AD.

13) Un număr se numeşte ,,norocos” dacă se scrie sub forma n= cu a,b,c. Demonstraţi că 2002 şi sunt norocoase.

14) a) Arătaţi că .

b) Demonstraţi că numărul N= este pătrat

perfect.