CONFERINŢA NAŢIONALĂ DE INSTRUMENTAŢIE VIRTUALĂ, EDIŢIA A V-A, BUCURE�TI, 20 MAI 2008 13

Pachet de programe care

ilustrează capitole din matematică, fizică

şi studiul fractalilor Luminiţa – Dominica MOISE, Doina - Luminiţa DRUŢĂ

Abstract—. La conferinta din anul trecut am prezentat programele realizate de noi care ilustreaza geometria fractala. Am continuat

crearea de programe in acest sens si am realizat in acest an scolar un studiu opţional “Algoritmi, numere si fractali ” pentru elevii

claselor a XI-a .

Index Terms—LabVIEW, prime numbers, chaos theory, fractals, dynamical systems.

—————————— � ——————————

1 INTRODUCERE

În ultimii 30 de ani matematica şi ştiintele naturii au creat un domeniu nou care prin creativitatea şi puternica sa dezvoltare a devenit o ştiinţă de prim ordin. Fractalii şi teoria haosului au captivat atenţia unui public larg, aducând o nouă interpretare a lumii înconjurătoare. Acolo unde imprevizibilul, pe scurt haoticul a fost observat, noua ştiintă dă posibilitatea de a se vedea ordine şi structură. De asemenea, această teorie, făcănd conexiuni între domenii diferite ale activităţii umane, leagă matematica de viaţă.

Utilizarea calculatorului - blamată de unii sau aprobată de alţii – a deschis un nou capitol în evoluţia ştiinţei şi a dat speranţe în prelucrarea numărului mare de date şi relaţii necesare determinării evoluţiei unui sistem.

Dar ştiinţele actuale au ajuns la concluzia unanimă că este imposibil să prevedem exact viitorul, deoarece determinismul strict şi evoluţia aparent accidentală nu se exclud reciproc, mai mult ele coabitează şi aceasta este o regulă a naturii. Teoria haosului şi geometria fractală se refera la acest ultim rezultat.

2 CONTINUTURI

Ne-am propus prin studiul noilor capitole : • Utilizarea algoritmilor si a conceptelor

matematice in rezolvarea de probleme. • Exprimarea coerenta in limbaj cotidian si formal

a strategiilor de rezolvare a unei probleme.

• Generalizarea unor proprieti prin modificarea contextului initial

• Prelucrarea datelor de tip cantitativ sau calitativ cuprinse in enunturi matematice.

• Modelarea matematica a unor contexte problematice.

Pachetul de programe Fractall este structurat după continuturile optionalului „ Algoritmi, numere si fractali ”: 1. Numere pare şi impare - sau ce putem face cu doar două numere şi un algoritm . 2. Numere prime şi tabloul numerelor prime. 3. Demonstraţii fără cuvinte – sau forţa de sugestie a unei imagini. 4. Puteri şi fractali. 5. Fractali din cercuri şi segmente . 6. Teorema lui Pitagora. 7. Sisteme dinamice. 8. Transformări în spaţii metrice.

3 TRANSFORMARI IN SPATII METRICE

Ilustram in continuare pachetul Fractall cu programele din capitoul 8 -Transformari in spatii metrice- care are urmatoarea structura: a) Spaţii metrice: Definiţie, exemple; şiruri, transformări afine, funcţii continue. Spaţiul metric H(X). b) Principiul contracţiei în Spaţii metrice. c) Sisteme iterative. Algoritmul deterministic şi algoritmul iterativ probabilistic. d) O sursă de fractali: mulţimile invarante ale unor aplicaţii continue e) Mulţimi Julia ca atractori ai unor sisteme iterative f) Mulţimi de condensare si o teorema care modelează

———————————————— • Luminita – Dominica MOISE, Colegiul Tehnic TRAIAN Bucureşti, .

E-mail: dominic_moise@yahoo.com • Doina – Luminita DRUTA, Liceul bilingv DANTE ALIGHERI –

Bucureşti. E-mail: doinadruta@yahoo.com

14 CONFERINŢA NAŢIONALĂ DE INSTRUMENTAŢIE VIRTUALĂ, EDIŢIA A V-A, BUCURE�TI, 20 MAI 2008

fractali. Contracţii în spaţii metrice Definiţie: Fie ( X, d ) un spaţiu metric şi f : X → X o funcţie . f se numeste contracţie dacă exista k ∈ [0,1) astfel incat d(f(x),f(y) ≤ kd(x,y) oricare ar fi x, y ∈ X. Principiul contracţiei (Banach) Teorema : Fie (X,d) un spatiu metric complet si f: X�X o contratie de factor k. Atunci:

• f are un unic punct fix u şi • oricare ar fi x0 ∈X , şirul f(n)(x0) converge la u.

fig 1. Transformarea triunghiului lui Pascal prin funcţia (x , y) � ( 10*x(x-9/10 ) , y )

fig 2. Transformarea triunghiului lui Pascal prin funcţia (x ,y)� (x2 - y2 ,2xy ) 1200 de linii sunt în domeniul de definiţie (0; 3)

fig 3.Transformarea unui pătrat de latură 1

Fig 4.Transformarea succesivă a pătratului de latură 1 în urma unor contracţii

SISTEMELE ITERATIVE (IFS)

Operatorul Hutchinson Considerăm 2R (planul euclidian) ca un spaţiu

metric complet cu distanţa uzuală (euclidiană). Fie n un număr natural fixat (nenul) şi fie, pentru orice

},...,2,1{ nj ∈ , o contracţie 22: RRW j → având

factorul de contracţie jk . Dacă A este o submulţime oarecare din 2R , notăm cu )(AW j imaginea mulţimii A prin funcţia jW .

Definim aplicaţia (operatorul lui Hutchinson): H : H(R2) → H(R2) ,H(A)=W1 (A)U W2 (A)U ... U Wn (A). Vom nota ),...,,( 21 nWWWH = . De asemenea (R2 ,W1,W2,...,Wn) se numeste sistem iterativ de funcţii (IFS) Observatie: Se poate înlocui în definiţie 2R cu X un spaţiu metric complet. Este adevărată următoarea afirmaţie: Teoremă: Operatorul lui Hutchinson este o contracţie pe spaţiul metric complet al părţilor compacte din plan H(R2) cu distanţa Hausdorff . În plus, factorul de contracţie al lui H este cel mai mare element al mulţimii

},...,,{ 21 nkkk k . Definiţie: Punctul fix F∈ H(R2) al operatorului Hutchinson (există şi este unic conform principiului contracţiei) se numeşte atractor al sistemului iterativ (sau fractal deterministic) şi este limita şirului Hn(A), oricare ar fi A∈ H(R2)

L.D. MOISE, D.L. DRUŢĂ - PACHET DE PROGRAME CARE ILUSTREAZĂ CAPITOLE DIN MATEMATICĂ, FIZICĂ �I STUDIUL FRACTALILOR 15

Exemplul 1 :trei contracţii de coeficient ½ H=(W1,W2,W3)

W1 =omotetie de factor ½ urmata de o translaţie,

W2=omotetie de factor ½ urmata de o translaţie W3=omotetie de factor ½, A= pătratul de latură 1. Vom genera triunghiul lui Sierpinski ca atractor al unui sistem iterativ

Fig 5. triunghiul lui Sierpinski ca atractor al unui sistem iterativ prnind de la un patrat

Exemplul 2 : trei contracţii de coeficient ½ H=(W1,W2,W3)

W1 = omotetie de factor ½, W2 = omotetie de factor ½ urmată de o translaţie W3 = omotetie de factor ½ urmată de o translaţie A = triunghiul din prima imagine

Fig 6. triunghiul lui Sierpinski ca atractor al unui sistem iterativ pornind de la un triunghi

16 CONFERINŢA NAŢIONALĂ DE INSTRUMENTAŢIE VIRTUALĂ, EDIŢIA A V-A, BUCURE�TI, 20 MAI 2008

Exemplul 3: opt contracţii de coeficient 1/3 H=(W1,W2,...,W8 ) A= pătrat de latură l=1

Fig7. covorul lui Sierpinski ca atractor al unui sistem iterativ prnind de la un patrat

Exemplul 4 : trei contracţii de tip „ferigă”(vezi paragraful următor) H=(W1,W2,W3) A = pătrat plin (sau doar un punct)

fig 8. feriga ca atractor

L.D. MOISE, D.L. DRUŢĂ - PACHET DE PROGRAME CARE ILUSTREAZĂ CAPITOLE DIN MATEMATICĂ, FIZICĂ �I STUDIUL FRACTALILOR 17

Algoritmul iterativ probabilistic Sistemele iterative (IFS) considerate anterior sunt deterministe în sensul că fiecare iteraţie este unic determinată. Se pot considera sisteme iterative care au un caracter aleator (haotic) în sensul că o anumită iteraţie este aleasă dintr-o listă de posibili operatori (fiecare cu o anumită probabilitate). Exemplul 1: Vom efectua 20 000 de iteraţii în felul următor: se obţine aleator un număr pozitiv subunitar şi în funcţie

de acest număr se va face una din transformările 1, 2 sau 3 cu probabilităţi egale

(p1=0.33 p2=0.33 , p3=0.34). Pornind de la un punct arbitrar obţinem:

fig 9.triunghiul lui Sierpinski- algoritm iterativ probabilistic Exemplul 3: Putem face 4 transformări diferite ale unui pătrat ca în imaginea următoare :

Exemplul 2:

Observăm că de fapt prima funcţie aplicată unui punct M transformă punctul în mijlocul segmentului OM unde O este originea axelor de coordomate O(0,0) Cea de a doua transformare determină mijlocul segmentului ce uneşte punctual dat M cu cel de-al doilea vârf al triunghiului. La fel pentru cea de a treia tranformare. Înlocuind cele trei transformări anterioare conform cu interpretarea geometrică anterioară obţinem algoritmul probabilistic al triunghiului lui Sierpinki pentru un triunghi oarecare.

fig 10. transformari de tip feriga

18 CONFERINŢA NAŢIONALĂ DE INSTRUMENTAŢIE VIRTUALĂ, EDIŢIA A V-A, BUCURE�TI, 20 MAI 2008

H= ( W1 , W2 , W3 , W4 ) Fig 11. feriga- algoritm iterativ probabilistic

Mulţimi Julia ca atractori ai unor sisteme iterative In acest capitol, primul exemplu a condus la generarea triunghiului lui Sierpinski ▲ ca atractor al unui sistem iterativ de funcţii (R2, W1,W2,W3). Expresia analitică a celor trei funcţii ale sistemului este: W1 (x,y)=(0.5x , 0.5y+0.5) W2(x,y)=(0.5x+0.5 , 0.5y) W3(x,y)=(0.5x , 0.5y) Acest sistem iterativ de funcţii este direct legat de sistemul dinamic (R2, f ) unde

Sistemul dinamic (R2, f ) verifică relaţia d (f(x1),f(x 2 )) =2d(x1 , x 2) , deci distanţa imaginilor prin f este dublul distanţei dintre puncte initiale.

Mai mult f(▲)=▲. Observaţie: dacă (x,y)∈ ▲, calculând cu calculatorul orbita şirului vor rezulta puncte care nu aparţin ▲ datorită erorilor de calcul; de aceea în reprezentarea următoare ne luăm o marjă de siguranţă. Să reprezentăm multimea Julia a sistemului dinamic (R2, f ): punctele din pătratul de latură unu ale căror orbite nu converg la infinit. Vom reprezenta punctele (x,y) cu 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 ale căror orbite verifică relaţia : x 2 +y2 ≤ 200 pentru primele10 iteraţii. Vom obtine o noua generare a triunghiului lui Sierppinski ▲ prin algoritmul “escape-time” Se poate demonstra că pentru x∈ R2 − ▲ , orbita şirului xn =f n(x) converge la infinit, adică

d ( O, f n(x)) → ∞ pentru n → ∞ .

Intuitiv ne asteptăm ca punctele apropiate de ▲să conveargă mai lent la infinit decât cele mai îndepărtate. Cât de repede diverg aceste orbite? Ne propunem să realizam o imagine care să ilustreze acest lucru. Dacă punctul părăseşte discul de rază r2=200 (x 2 +y2 ≤ 200) după prima iteraţie îl colorăm cu culoarea 1.Dacă punctul părăseşte discul de rază r2=200 (x 2 +y2 ≤ 200) după a doua iteraţie îl colorăm cu culoarea 2 ş.a.m.d

L.D. MOISE, D.L. DRUŢĂ - PACHET DE PROGRAME CARE ILUSTREAZĂ CAPITOLE DIN MATEMATICĂ, FIZICĂ �I STUDIUL FRACTALILOR 19

Fig12. Triunghiul lui Sierpinski prin algoritmul „escape-time” Vom repeta algoritmul si pentru doua din multimile Julia prezentate in capitolul precedent:

fig 13. multimi Julia asociate functiei f(x)=x2 +c

fig 143. Diagrama programului care a generat imaginea din figura 12.

20 CONFERINŢA NAŢIONALĂ DE INSTRUMENTAŢIE VIRTUALĂ, EDIŢIA A V-A, BUCURE�TI, 20 MAI 2008

Fig 15. Capturi de acran ale pachetului de programe Fractall

L.D. MOISE, D.L. DRUŢĂ - PACHET DE PROGRAME CARE ILUSTREAZĂ CAPITOLE DIN MATEMATICĂ, FIZICĂ �I STUDIUL FRACTALILOR 21

BIBLIOGRAFIE

1) Michael F.Barnsley – “Fractals every where “ Second Edition, Academic Press Professional, 1993. 2) Heinz – Otto Peitgen, Harmut Jurgens, Dietmar Saupe – “Chaos and New frontiers of science” – Springer Verlag 1992. 3) Tom Savu, Neacşu Ion, Grigorescu Ştefan, Garabet Elena

Mihaela, “Bazele instrumentaţiei virtuale LabView”, Editura Atelier didactic, Bucureşti, 2006

4) Robert L.Devamy – „Chaos, Fractals and Dynamics” – Wesley Publishing Company, 1990.

5) Ioan Odăgescu, Ion Smeureanu, Daniel Luca,Marian Dârdală, Felix Furtună –„Grafică interactivă pe calculatorul personal” – Editura Militară, Bucureşti 1995.

6) Mircea Olteanu-“ Fractali” –curs universitar , Universitatea Politehnica din Bucureşti

7) Dominica Moise, Brandusa Bogdan, Doina Druta ”Algoritmi, numere si fractali ”, editura Printech, Bucuresti, 2007