Sistem optic centrat

► Un sistem optic centrat este format din dioptri ce au axa optică principală comună

(centrele dioptrilor sunt aşezate pe aceeaşi dreaptă, numită axa optică a sistemului)

Axa optică este singura dreaptă normală pe toate suprafeţele sistemului. Rezultă că o rază de

lumină incidentă pe sistemul optic care se propagă de-a lungul axei optice trece prin

sistemul optic centrat fără a-şi schimba direcţia de propagare.

► Un sistem optic împarte spaţiul, în lungul axei optice, în patru regiuni, determinate de

primul şi ultimul dioptru.

► Când reprezentăm un sistem optic, figurăm doar primul şi ultimul dioptru.

Primul dioptru împarte spaţiul în

- spaţiul obiect real (în faţa sistemului optic)

- spaţiul obiect virtual (după primul dioptru al sistemului).

Ultimul dioptru al sistemului împarte spaţiul în

- spaţiul imagine real (după ultimul dioptru)

- spaţiul imagine virtual (în faţa ultimului dioptru).

Obiectele şi imaginile situate în regiunea reală a spaţiului respectiv sunt reale;

Obiectele şi imaginile situate în regiunea virtuală sunt virtuale.

A1 A2

B1

B2 C1

C2

A1, B1 obiecte reale,

C1 obiect virtual,

C2 imagine virtuală,

A2, B2 imagini reale.

Dacă unui punct obiect A1 îi corespunde un singur punct imagine A2, atunci imaginea

A2 este stigmatică în raport cu A1.

Un sistem optic este ideal dacă îndeplineşte următoarele condiţii:

- Oricărui punct din spaţiul obiect îi va corespunde un singur punct conjugat în spaţiul

imagine. Obiectul şi imaginea lui sunt conjugate.

- Oricărei drepte din spaţiul obiect îi corespunde o singură dreaptă conjugată în spaţiul

imagine.

- Oricărui plan din spaţiul obiect îi corespunde un singur plan conjugat în spaţiul imagine.

- Imaginea unui obiect este asemănătoare cu obiectul (condiţia de ortoscopie).

Un sistem optic ideal poate fi realizat cu o aproximaţie suficient de bună sub forma

unui sistem optic centrat dacă ne limităm la domeniul din apropierea axei optice, adică la

fascicule paraxiale.

Poziţia elementelor cardinale, determină toate proprietăţile sistemului optic şi

permite folosirea lui fără a fi nevoie să se studieze mersul real al razelor de lumină prin sistem.

Planele focale şi planele principale

O2

S1

F2

Ф2

I2

P2

H2 I1

O1

F1

π2

Σ1 Σ1

F2 este focarul imagine al sistemului optic

centrat. Planul perpendicular pe axa optică

ce trece prin F2, se numeşte plan focal

imagine (Φ2).

O2

S2 J2

O1

F1

J1

P1

π1 Ф1

H1

F1 reprezintă focarul obiect al sistemului optic

centrat. Planul perpendicular pe axa optică ce

trece prin F1, se numeşte plan focal obiect

(Φ1).

F2

F1 P1

π1 Ф1

H1

J1

J'1

H'1

F2

Ф2

I'1

P2

H'2

I1

F1

π2

H2

Focar obiect virtual. Focar imagine virtual.

►punctele H1 şi H2 sunt conjugate

F1 P1

π1 Ф1

H1

Ф2

F2

H’1

H2

H’2

P2

π2

► orice punct obiect situat pe

dreapta H1P1 are o singură

imagine, care se află pe dreapta

H2P2,

această imagine este situată la

aceeaşi distanţă faţă de axa optică

O1O2 ca şi punctul obiect.

► există două plane π1 şi π2 ale căror puncte sunt conjugate (fiecare punct dintr-un plan

are imaginea în celălalt plan),

►mărirea transversală liniară pentru cele două plane este egală cu 1 (β = 1).

► π1 şi π 2 sunt planele principale ale sistemului centrat considerat.

122

11 HP

HP

Punctele P1 şi P2, situate la intersecţia planelor principale cu axa optică, sunt punctele

principale ale sistemului optic centrat. Distanţele dintre punctele principale şi focare se

numesc distanţe focale ale sistemului: f1= P1F1, respectiv f2 = P2F2

F2α

Ф2

F1

H2

π2 π1

α

H1

P1 P2 F2

Focarul imagine secundar

conjugat direcţiei α.

F1

π1 Ф1

H1

Ф2

F2

H2

π2

Mersul unei raze înclinate prin

sistemul optic centrat.

Formarea imaginii unui obiect printr-un sistem optic centrat

A2

B2

F2

Ф2

P2 F1 P1

π2 π1 Ф1

H’1

H2

f1

p1

f2

p2

H1

H’2 x1

x1

A1

B1

1p

f

p

f

2

2

1

1 2121 ffxx

1p2

p

2f1f

β

2p1

pG

βGγ 1

2

x

xγ

Asocierea sistemelor centrate

22

2

"f'ff

11

1

"f'ff

d"fD 2

2

d'fD 1

1

12 "fd'f

F´1

π´1 Φ˝2

F1

π˝1 π˝2 π´2 π1

F´2

F˝1

F˝2

P1 P´2 P´1

P˝1 P˝2

H˝1 H1

Φ˝1 Φ´2 Φ´1

f1

f´1 f´2 f ˝2

f ˝1

Δ

d

Φ1

H˝2

D1

► Poziţia relativă a celor două sisteme optice este dată de distanţa d (distanţa dintre planul

principal imagine (π´2) al primului sistem şi planul principal obiect (π˝1) al celui de-al doilea

sistem) sau distanţa Δ (distanţa dintre planul focal obiect (Φ˝1) al celui de-al doilea sistem şi

planul focal imagine (Φ´2) al primului sistem).

F´1

π´1 Φ˝2

F2

π˝1 π˝2 π´2

π2

F´2 F˝1 F˝2

P2 P´2 P´1

P˝1 P˝2

H´2 H2

Φ2 Φ˝1 Φ´2 Φ´1

f2

f´1 f´2

f ˝2 f ˝1

Δ

D2 d H"1

H"2

H'1

► f2 = (π2 → Φ2) distanţa focală imagine a ansamblului.

► f1 = (π1 → Φ1) distanţa focală obiect a ansamblului.

► D2 =π˝2 → π2)

► D1 = (π´1 → π1)

► d = (π´2 → π˝1)

► Δ = (Φ˝1 →Φ´2)

Dioptrul sferic → Cel mai simplu sistem centrat.

Planele principale ale dioptrului sferic sunt confundate şi trec prin vârful dioptrului

(distanţele focale se măsoară de la vârful dioptrului la planele focale).

Aplicaţii ale sistemelor optice centrate.

F2 C F1

Φ1 Φ2 π1, π2

P1, P2

Elementele cardinale ale unui dioptru sferic

F1 (focar obiect), F2 (focar imagine);

C (centrul dioptrului)

P1 (punct principal obiect), P2 (punct principal imagine);

π1 (plan principal obiect), π 2 (plan principal imagine);

φ1 (plan focal obiect), φ 2 (plan focal imagine).

Lentilele → sunt sisteme centrate formate prin asocierea a doi dioptrii sferici, sau a unui dioptru

sferic şi a unui dioptru plan, astfel încât axa lor optică să fie comună.

Lentilele convergente transformă un fascicul paralel într-

unul convergent.

Lentilele convergente au distanţa focală imagine pozitivă.

Lentilele divergente transformă un fascicul paralel

într-unul divergent. Lentilele divergente au distanţa

focală imagine negativă

Aflarea poziţiei imaginii formată de o lentilă pentru un obiect se poate face din aproape în

aproape, aplicând pentru fiecare dioptru în parte relaţia

Imaginea dată de primul dioptru (´) este obiect pentru cel de al doilea (˝) (calcul destul de

complicat).

O metodă mai simplă este determinarea poziţiei elementelor cardinale ale lentilei (lentila este

un sistem centrat) şi apoi aplicarea relaţiei

1p

f

p

f

2

2

1

1

1p

f

p

f

2

2

1

1

22

2

"f'ff

11

1

"f'ff

d"fD 2

2

d'fD 1

1

12 "fd'f

Lentila groasă → O lentilă mărginită de doi dioptri sferici cu razele de curbură R1 şi R2,

confecţionată din material transparent, cu indicele de refracţie n.

Distanţa dintre cei doi dioptri = grosimea lentilei d.

π'1

π'2

π"2

π1 π2

Φ"2

F"2

R2

F2

F1

f1

f2 D2 D1

C2 C1

F”1

R1

n1 n2

n

π"1

nn

Rn

n'n'

Rn'f'

1

11

21

111

1

1

12

122

nn

Rn

n'n'

Rn'f'

Primul dioptru:

n’1 = n1 şi n’2 =n

Al doilea dioptru:

n”1 = n şi n”2 = n2 2

2

21

211

nn

Rn

n"n"

Rn"f"

nn

Rn

n"n"

Rn""f'

2

22

12

222

2

2

1

112

nn

Rnd

nn

Rn"fd'f

21

1

2

2

1

1

11 RRn

nnnnd

R

nn

R

nn

n

1

f

1 2

21

1

2

2

1

1

22 RRn

nnnnd

R

nn

R

nn

n

1

f

1 2

1

2

2

1

1

1

1

1

1

11

R

R

nn

nnn

dR

nn

d

n

nD

2

1

1

2

2

2

2

1

2

11

R

R

nn

nnn

dR

nn

d

n

nD

2

1

2

1

n

n

f

f

Caz general:

lentila separă două medii diferite (n1 ≠ n2)

http://facstaff.cbu.edu/~jvarrian/applets/lens3/thickl_z.htm

n2 = n1

De o parte şi de alta a lentilei = acelaşi mediu

21

1

211

1

1

111

RRn

nnd

RRn

nn

f

21

1

211

1

2

111

RRn

nnd

RRn

nn

f

1

2

1

1

1 1

11

R

R

d

n

R

nn

d

n

nD

2

1

2

1

12

11

R

R

d

n

R

nn

d

n

nD

12

1 f

f

n1 = n2 =1

lentilă groasă situată în aer

21

2

211

1111

1

RRn

nd

RRn

f

21

2

212

1111

1

RRn

nd

RRn

f

11

2

1

11

1

R

n

R

R

d

n

D

22

1

2

11

1

R

n

R

R

d

n

D

12

2

1

1 p

f

p

f

2121 ffxx

1

2

2

1p

p

f

f

2

1p

pG

2

1

2

2

1

G

βγ

p

p

f

f

formula lui Gauss;

relaţia lui Newton;

mărirea liniară tranversală;

mărirea unghiulară;

mărirea liniară longitudinală.

221

111

fpp

2

221 fxx

1

2

p

p

2

1p

pG

2

1

2

G

βγ

p

p

f1 = - f2

Medii diferite de o parte si

de alta a lentilei

Acelasi mediu de o parte si

de alta a lentilei

2

1

2

1

n

n

f

f

Lentila subţire → grosimea d a lentilei este neglijabilă faţă de R1 şi R2 (d = 0)

2

2

1

1

11

11

R

nn

R

nn

nf

2

2

1

1

22

11

R

nn

R

nn

nf

021 DD

2

1

2

1

n

n

f

f

►poziţia planului principal obiect al lentilei subţiri coincide cu poziţia primului dioptru,

► poziţia planului principal imagine al lentilei subţiri coincide cu poziţia celui de-al dioptru

► planele principale ale lentilei subţiri se confundă cu poziţia lentilei, fiind confundate între

ele)

F1 F2

π2 π1

f1

f2

F2 F1

π2 π1

f2 f1

lentilă convergentă lentilă divergentă

n2 = n1

lentila subţire

211

1

2

111

RRn

nn

f

21 ff

021 DD

n2 = n1 = 1

lentila subţire

212

111

1

RRn

f

21 ff

021 DD

Convergenţa unei lentile este egala cu inversul distanţei focale imagine a acelei lentile:

Dioptrie1C,f

1C SI

2

221

111

fpp 2

221 fxx 1

2

p

p

2

1p

pG

1 Dioptrie = 1 m-1

F1

F2

p1

p2

A1

B1

B2

A2

F1

F2

p1 p2

A1

B1

B2

A2

F2 F1

π2 π1

p2 p1

A1

B1

B2

A2

Formarea imaginii unui obiect intr-o lentila:

http://graphics.stanford.edu/courses/cs178-10/applets/

Asocierea lentilelor subţiri

Prin asocierea a două lentile subţiri aflate la distanţa d una de alta se obţine un

sistem centrat a cărui elemente cardinale au poziţia determinată de următoarele distanţe:

22222 f"f'

d

f'

1

f"

1

f

1

f1 = -f2

df

f

fdD

2

2

21 '

"

'

111

dfdf

f

D

1

"

1

"

'1

22

2

2

2212 "'"' fdffdf

Dacă cele două lentile sunt lipite → distanţa dintre ele este nulă (d = 0)

222 f'

1

f"

1

f

1 f1 = -f2 021 DD C = C' + C"

C = C' + C" - d·C'·C"

22

2

"f'ff

11

1

"f'ff

d"fD 2

2

d'fD 1

1

F"1

F"2

L"

F'2

F'1

L'

A1

B1

B2

A2

d

Formarea imaginii unui obiect într-un ansamblu format de două lentile subţiri.