Operaii pe mulimea numerelor naturale

Mulimea numerelor naturale este

Mulimea numerelor naturale diferite de zero (nenule) este

AdunareaDac , atunci .Numerele naturale a i b se numesc termeni, iar numrul natural c se numete sum.

Proprietile adunrii

i) asociativitateaAdunarea numerelor naturale este asociativ, adic:;

ii) comutativitateaAdunarea numerelor naturale este comutativ, adic:;

iii) element neutruNumrul natural 0 este element neutru pentru adunarea numerelor naturale, adic:.

ScdereaPentru , definim diferena dintre a i b ca fiind numrul natural c, cu proprietatea .Cu alte cuvinte,.Numrul natural a se numete desczut, numrul natural b se numete scztor, iar numrul natural c se numete rest sau diferen.

Scderea numerelor naturale nu este nici asociativ, nici comutativ.Astfel, de exemplu,,i, n plus, dei, diferena dintre 3 i 5 nu este definit n .

nmulireaDac , atunci .Numerele a i b se numesc factori, iar numrul natural c se numete produs.

Proprietile nmulirii

i) asociativitateanmulirea numerelor naturale este asociativ, adic:;

ii) comutativitateanmulirea numerelor naturale este comutativ, adic:;

iii) element neutruNumrul natural 1 este element neutru pentru nmulirea numerelor naturale, adic:;

iv) distributivitatea fa de adunare i scderenmulirea este distributiv fa de adunare i scdere, adic:

i.Distributivitatea nmulirii fa de adunare i scdere st la baza metodei de scoatere n factor comun:

sau.

mprireaTeorema mpririi cu rest. Pentru orice numere naturale a i b, cu , exist dou numere naturale unice q i r, astfel nct:constituie proba mpririi cu rest.Dac r=0, se spune c a se mparte exact la b.

Puteri. Operaii cu puteri

Prin definiie a la puterea n este numrul notat.a se numete baza puterii iar n exponentul puterii.Prin convenie,

iarnu are sens.

Proprieti ale operaiilor cu puteri

i) ;ii) ;iii) ;iv) ;

II. DivizibilitateDac a i b sunt dou numere naturale, spunem c b divide pe a sau c a este divizibil cu b dac exist un numr natural c astfel nct .Notaie. (b divide pe a), respectiv (a se divide cu b).n aceast situaie mai putem spune c b este un divizor al lui a sau c a este un multiplu al lui b.

Proprietile relaiei de divizibilitate- reflexivitatea: ;- antisimetria: dac i , atunci ;- tranzitivitatea: dac i , atunci .

- (orice numr natural are ca divizori pe 1 i pe el nsui, numii divizori improprii.);- (0 este divizibil cu orice numr natural.);- dac , atunci ;- dac , atunci ;- dac i b i c sunt prime ntre ele, atunci .

Criterii de divizibilitate

Criterii de divizibilitate cu 10, 100, 1000Criteriul de divizibilitate cu 10. Un numr natural este divizibil cu 10 dac i numai dac are ultima cifr egal cu 0.Criteriul de divizibilitate cu 100. Un numr natural este divizibil cu 100 dac i numai dac ultimele dou cifre ale sale sunt egale cu 0.Criteriul de divizibilitate cu 1000. Un numr natural este divizibil cu 1000 dac i numai dac ultimele trei cifre ale sale sunt egale cu 0.n general, un numr natural este divizibil cu dac i numai dac ultimele n cifre ale sale sunt egale cu 0.

Criteriile de divizibilitate cu 2 i cu 5Criteriul de divizibilitate cu 2. Un numr natural este divizibil cu 2 dac i numai dac ultima sa cifr este divizibil cu 2, adic este o cifr par (0, 2, 4, 6 sau 8).Criteriul de divizibilitate cu 5. Un numr natural este divizibil cu 5 dac i numai dac ultima sa cifr este divizibil cu 5, adic este 0 sau 5.

Criteriile de divizibilitate cu 4 i cu 25Criteriul de divizibilitate cu 4. Un numr natural este divizibil cu 4 dac i numai dac ultimele dou cifre ale sale formeaz un numr divizibil cu 4.Criteriul de divizibilitate cu 25. Un numr natural este divizibil cu 25 dac i numai dac ultimele dou cifre ale sale formeaz un numr divizibil cu 25, adic ultimele dou cifre sunt 00, 25, 50 sau 75.

Criteriile de divizibilitate cu 3 i cu 9Criteriul de divizibilitate cu 3. Un numr natural este divizibil cu 3 dac i numai dac suma cifrelor sale este divizibil cu 3.Criteriul de divizibilitate cu 9. Un numr natural este divizibil cu 9 dac i numai dac suma cifrelor sale este divizibil cu 9.

Numere prime i numere compuseDefiniie. Se numete numr prim orice numr natural diferit de 1 care se divide doar cu 1 i cu el nsui, adic admite doar divizori improprii.Definiie. Se numete numr compus orice numr natural care admite cel puin trei divizori.

Cel mai mare divizor comunDefiniie. Cel mai mare divizor comun a dou sau mai multe numere naturale nu toate nule este cel mai mare numr natural care divide toate numerele date.Notaie. este cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.) al numerelor .

Definiie. Dou numere naturale se numesc prime ntre ele dac c.m.m.d.c. al lor este 1.

C.m.m.d.c. a dou sau mai multe numere naturale scrise ca produse de numere prime (factori primi) este egal cu produsul factorilor primi comuni, luai o singur dat, la puterea cea mai mic.

Cel mai mic multiplu comunDefiniie. Cel mai mic multiplu comun a dou sau mai multe numere naturale diferite de zero este cel mai mic numr natural diferit de zero care se divide cu toate numerele date.Notaie. este cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.) al numerelor .

C.m.m.m.c. a dou sau mai multe numere naturale scrise ca produse de numere prime (factori primi) este egal cu produsul factorilor primi comuni i necomuni, luai o singur dat, la puterea cea mai mare.

Proprietate. Pentru orice numere naturale nenule a i b are loc:.