operatii cu numere reale.doc

7/18/2019 Operatii cu numere reale.doc

http://slidepdf.com/reader/full/operatii-cu-numere-realedoc 1/3

Operatii cu numere reale

ADUNAREA NUMERELOR REALE are toate proprietatile adunarii numerelorrationale:- asocitativitatea: a+(b+c)+c;- comutativitatea: a+b=b+a;- are pe zero ca element neutru: a+0=a;

- orice numar real are un opus: a+(-a)=0.

DIFERENTA A DOUA NUMERE REALE a si b estenumarul real c, notrat a-b,cu proprietatea ca b+c =a; aeste descazut, iar b este scaztaorul.a-b =c inseamna a=b+cDiferenta a doua numere reale se efectueaza adunanddescazutul cu opusulscazatorului.

*pentru a aduna mai multe numere reale de forma a√b, care au acelesi numar

sub radical, se aduna factorii din fata radicalilor, iar rezultatul se inmulteste cu

radicalul. *o succesiune de adunari de numere reale se numestesuma algebrica denumere reale. *opusul unei sume alebrice de numere reale estesuma alebrica a opusilortermenilor ce o alcatuiesc.

!rin INMULTIREA A DOUA NUMERE REALE a si b se obtine un numar realnotat a.b numit produsulnumerelor a si b. "umerele a si b se numesc factorii

produsului.#nmultirea numerelor reale are toate proprietatile inmultiriinumerelor rationale:

- asociativitatea: a(b⋅c)=(a⋅b)⋅c;

- comutativitatea: a⋅b = b⋅a;

- are pe $ ca ellement neutru: a⋅$=$⋅a;

- distributiviatea inmultirii fata de adunare: a⋅(b +c)= a⋅b +a⋅c.

*produsul numerelor reale √b si c√d ( b%0, d%0) este numarul real ac√bd, deci a√b

⋅c√d= a⋅c√b⋅d.

* produsul dintre un numar real si -$ este eal cu opusul numarului real: a⋅(-$)=-a

√CATUL( sau RAPORTUL) a doua numere reale a si b ≠0) este numarul real c,

notat a:b (sau a&b) cu proprietatea ca a= b⋅c; b este impartitorul, iar a este

deimpartitul ( a estenumaratorul, b este numitorul si c valoarea raportului): a:b = c

sau a&b =c inseamna a=b⋅c.

*impartirea a doua numere reale se efectueaza inmultind deimpartitul cuinversulimpartitorului.




√INVERSUL UNUI NUMAR REAL a (a≠0) este numarul a-$= $&a.

* produsul dintre un numar real si inversul sau este eal cu $.

* daca numitorul uni raport de numere reale este un numar rational de forama a√b

prinamplifiacrea raportului cu √b, numitorul devine un numar rational si spunem ca

am rationalizatnumitorului: √b ) c&a√b=c√b&a⋅b, a∈'*, b∈'*.

√RIDICAREA UNUI NUMAR REAL a numerelor rale are toate proprietatile din ':

an= a⋅a⋅......⋅a; a0= (∀) a ∈-.

Sa retinem 00 nu se defineste.

$. am⋅an=am+n (a∈*, m,n ∈");

. a(m)n

=am⋅n

a∈*, m, n ∈"). am:an= am-n(a∈*, m, n ∈")

. (a⋅b)n =an⋅bn(a,b ∈*, n∈")

. (a:b )n=an:bn(a,b ∈*, n∈")

. a-n=$&an, a∈*, n∈".

√ !/"1 #D2 1" "13 /4 de forma a√b ( a≠0, b%0) la o

putere, ridicam laputerea respectiva factorul din fata radicalului si numarulde sub radical:

( a√b) n= an⋅√b n, n∈5.

* intr-un e6ercitiu de calcul ce contine mai multe operatii cu nr. reale seefectuieaza:-mai intai ridicari la putere ;- apoi inmultirile si impartirile in ordinea in care sunt scrise ;- apoi adunarile si scaderile in ordinea in care sunt scrise.* in ec6ercitiile de calcul care contin paranteze se efectueaza mai intai: -calaculele din paranteze mici ( rotunde) ; apoi cele din parantezele mari( drepte) ; cele dinacolade, respectand ordine operatiilor.

√ !7!#/# 4/ 37D14141#

urmatoarele proprietati sunt leate de oparatiile de adunare si inmultire;

$. pt orice a,b ∈, avem: a⋅b= 8a8⋅8b8

. daca b≠0, atunci 8a:b8=8a8:8b8.. daca a, 6 ∈ si b ∈, b%0, atunci 8a-689a -6 9b.




. daca a, b ∈, atunci 8a+b8 =8b8.

√24214 21 D#24#

am definit radicalul dintr-un numar rational netiv a ca fiind acel unic numarreal neativ,alcarui patrat este numarul a. /6tindem notiunea de radicalastfel:definitie:

daca a este un numar real, a%0, atunci prin √a intelem unicul numarar real

neativ b pentru care b= a.De retinut

*√a are sens numai daca a este un numar real neativ.

*√a este numar real neativ.

/<14# D/ 2414

$. √a= 8a8, a∈

. √a= a,a∈ a %0)

. (√a)=a,(a∈, a % 0)

. √a⋅√b = √a⋅b, ( a,b ∈, a %0, b%0)

. √a:√b =√a:b, ( a,b ∈, a% 0 %)

. √a&b =√a &√b,(a,b ∈, a% 0, b% 0)

. √an =(√ a)n ( a% 0, n∈5).

De retinut :

√a ⋅b =a√b,a%0 si b%0.

#7"4#5/ 1"/# >2##:ationalizarea numitorului unei fractii inseamna eliminarea prin amplificare a

radicalilor de lanumitor.Dupa amplificare, numitorul fractiei obtinute estenumar rational. Daca numitorul este de forma a√b, a∈', b∈', b%0,con?uata este √b (amplificam

fractia cu √b ).

Daca numitorul este de forma √a ±√b, a,b ∈, a%0 b%0 atunci con?uata este

√±√b (amplificamfractia prin √a ±√b )

#n calcule se foloseste formula ( 6-@ (6+@ )= 6-@

#n particular (√a +√b )(√a-√b)=a-b

operatii cu numere reale.doc

Documents